Lassi Me Trias

7/22/2019 Lassi Me Trias

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LAS SIMETR IAS Y EL TEOREMA ENORME

Pedro Alegra ( [email protected] )

El matematico, como el pintor o el poeta, es un constructor de dise nos. El hecho deque sus dise nos sean m as permanentes que los de los otros se debe a que est an hechoscon ideas.

G. Hardy (1877-1947)

El sentido en que se enrosca una concha de caracol es un rasgo hereditario quese encuentra en su constituci on genetica, como sucede con ... la manera en que seenrosca el conducto intestinal en la especie humana... Tambien observamos que laconstitucion qumica mas profunda del cuerpo humano se nala que hay un tornillodentro, un tornillo que gira del mismo modo en todos nosotros (la molecula delADN?).

H. Weyl (1885-1955)

INDICE

1. Introduccion.2. Nociones te oricas abstractas.

3. Grupos de simetra puntuales.

4. Grupos de simetra de los frisos.

5. Grupos cristalogr acos planos.

6. Grupos cristalogr acos espaciales.

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mailto:[email protected]:[email protected]


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1. INTRODUCCI ON.

El desarrollo de un resultado matem atico hace que muchas veces la formulaci on nal no tenganingun parecido con el origen del problema y que se pierdan los detalles relativos a su naci-miento y temprana evoluci on. La exposici on precisa y metodica de un libro hace pensar que lasmatematicas constituyen un ente rgido e inmutable. Sin embargo, la parte m as excitante de lasmatematicas la forman el proceso de invenci on y descubrimiento. As, muchas veces, mirandoejemplos y buscando caractersticas comunes a los mismos, se pueden descubrir las razones deesas analogas y desarrollar las subsiguientes ideas matem aticas.

Lo primero que debemos hacer al analizar una estructura que presenta simetras en el mundoreal es decidir a que categora pertenece:

- Figuras nitas : no tienen simetras por traslaci on.

- Bandas o cintas : tienen simetras por traslaci on en una direccion.

- Murales : tienen simetras por traslaci on en dos direcciones diferentes.

Esta clasicacion no es tan simple como parece porque muchos modelos est an hechos con variasestructuras menores.

La composici on de formas variadas puede estudiarse tanto en un contexto matem atico comoartstico. Por ejemplo, dos bandas pueden unirse para formar una banda m as larga. En algunoscasos, la combinaci on de estas bandas tiene m as simetras que las de cada una de sus com-ponentes, pero a veces la simetra es menor. En cualquier ejemplo, como puede ser una piezade porcelana china, una discusi on de la interaccion artstica de las bandas componentes es tanimportante como una discusi on de la interaccion matematica.

En arte la nocion de simetra se asocia con los conceptos de equilibrio, belleza y orden. Deeste modo, si las primeras manifestaciones de la simetra aparecen en la naturaleza org anicae inorg anica -ores, animales, minerales, etc.-, en el arte se desarrolla, bien como copia dela naturaleza, bien apoyada en una idea que tiene como soporte el concepto matem atico de lasimetra. Las simetrasse presentan tambien a veces enmascaradas en estructuras matem aticasmuy complejas que, cuando son estudiadas exhaustivamente, permiten salir a ote con sus corres-pondientes formulaciones generales que las originan. Por ejemplo, en el estudio de las relacionesdenitorias de un p-grupo de clase maximal, hemos obtenido por metodos computacionales unatabla para p = 31 que al colorear permite conjeturar las regiones que representan uniformidadeso simetras.

Las simetras tambien aparecen en expresiones matem aticas como pueden ser las siguientes

descomposiciones numericas:

1 8+1 = 9

12 8+2 = 98

123 8+3 = 987

1234 8+4 = 9876

12345 8+5 = 98765

123456 8+6 = 987654

1234567 8+7 = 9876543

12345678 8+8 = 98765432

123456789 8+9 = 987654321

12 = 1

11 2 = 121

111 2 = 12321

1111 2 = 1234321

11111 2 = 123454321

111111 2 = 12345654321

1111111 2 = 1234567654321

11111111 2 = 123456787654321

111111111 2 = 12345678987654321

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1 9+2 = 11

12 9+3 = 111

123 9+4 = 1111

1234 9+5 = 11111

12345 9+6 = 111111123456 9+7 = 1111111

1234567 9+8 = 11111111

12345678 9+9 = 111111111

123456789 9+10 = 1111111111

9 9+7 = 88

98 9+6 = 888

987 9+5 = 8888

9876 9+4 = 88888

98765 9+3 = 888888987654 9+2 = 8888888

9876543 9+1 = 88888888

98765432 9+0 = 888888888

987654321 9 1 = 8888888888

12345679 9 1 = 111111111

12345679 9 2 = 222222222

12345679 9 3 = 333333333

12345679 9 4 = 444444444

12345679 9 5 = 555555555

12345679 9 6 = 66666666612345679 9 7 = 777777777

12345679 9 8 = 888888888

12345679 9 9 = 999999999

1122334455667789 99 1 = 111111111111111111

1122334455667789 99 2 = 222222222222222222

1122334455667789 99 3 = 333333333333333333

1122334455667789 99 4 = 444444444444444444

1122334455667789 99 5 = 555555555555555555

1122334455667789 99 6 = 666666666666666666

1122334455667789 99 7 = 7777777777777777771122334455667789 99 8 = 888888888888888888

1122334455667789 99 9 = 999999999999999999

Ya desde las civilizaciones mas antiguas, los smbolos usados en cualquier representaci on artsti-ca, tanto en la construcci on civil, militar o religiosa, han estado dotados de simetra. Por ejemplo,edicios destinados al culto como son los templos griegos, las iglesias cristianas, etc., tienen si-metra axial.

La teora de grupos de permutaciones puede usarse para analizar una gran variedad de dise nos

que aparecen en el arte y la arquitectura. Una peque na lista de lugares donde se pueden encontrardisenos interesantes es la siguiente:

Paredes de ladrillos. Diversos disenos corresponden a distintas clasicaciones que dan lugara distintos tipos de grupos de simetras.

Alfombras y paredes pintadas. Muchos museos y lugares publicos contienen variadas es-tructuras que puede interesar estudiar y comparar.

El arte de M.C. Escher. Este artista construy o una gran cantidad de murales fascinantes,entre los que se incluyen originales divisiones regulares del plano. Pueden compararse conlos trabajos del disenador de la epoca victoriana William Morris.

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Arte isl amico. Es bien conocido el hecho de la existencia de disenos simetricos en la Al-hambra de Granada. Recordemos el nombre de arabescos para representar dise nos conestructuras curvilneas muy comunes en el arte del Islam.

Arte renacentista. Fue frecuente el uso de los grupos de simetra puntuales , llamadosgrupos de Leonardo pues este artista los aplic o en el diseno de capillas, de manera que alanadir nuevos elementos a la capilla inicial se conservase la simetra de la misma. Leonardodescubri o que los unicos grupos de isometras en el plano son los grupos cclicos C n ydiedricos D n , para todo n natural.

Los grupos de simetra puntuales fueron usados en arquitectura religiosa, en construccionesmilitares (como fortalezas de planta estrellada), y en ornamentaci on e iluminaci on de edicios(como los rosetones de las fachadas de las catedrales g oticas). En la actualidad se usan en laconstruccion de urbanizaciones, situando en el punto central de la simetra los servicios comunes,como pueden ser una plaza, una piscina, una zona recreativa, etc.

En arquitectura, los grupos puntuales predominantes son D1 y D2; en las pir amides de Egiptoaparece D

4; hay torres con grupo de simetra de D

6. La simetra con grupo D

5 es bastante

inusual, no obstante hay edicios emblem aticos, como por ejemplo, el edicio del Pent agono enWashington que las utiliza; el templo Bahai (Chicago) tiene grupo de simetra D9. Por contra,la simetra de tipo 5 aparece con frecuencia en la naturaleza, por ejemplo, en las ores. El grupoD6 es el que poseen los copos de nieve.

Veamos la aplicacion de las ideas contenidas en los grupos simetricos a la cristalografa.

A los cristal ografos les interesan los grupos nitos de isometras que surgen como subgrupos delos grupos de simetra de las celosas tridimensionales. Se ha probado que se trata precisamentede los casos especiales en los que las unicas rotaciones que ocurren tienen perodos 2, 3, 4 o 6.Consideraciones cristalogr acas reducen estos grupos rotacionales a

C 1, C 2, C 3, C 4, C 6, D 2, D 3, D 4, D 6, A4, S 4.

Una de las preocupaciones del Arquitecto, a lo largo de los siglos, ha sido embellecer sus construc-ciones mediante la ornamentaci on de las mismas. En el arte de la ornamentaci on han destacadolos egipcios, los chinos, y sobre todo los arabes.

Uno de los primeros estudios matem aticos sobre los mosaicos fue dirigido por J. Kepler en 1619,quien, en su libro Harmonice Mundi , ya observ o que los unicos polgonos regulares que cubrenel plano son el tri angulo, el cuadrado y el hexagono. Despues tuvieron que pasar m as de 200anos para que se produjeran avances signicativos con respecto a la teora matem atica de losembaldosados.

A modo de resumen, existe un n umero innito de grupos de simetras nitos, del plano, carac-terizados en dos familias, a saber, de tipo cclico, o de tipo diedrico. Por otro lado, se puededemostrar que existe un n umero nito de grupos de simetras innitos. De entre estos, si llama-mos grupos de frisos a aquellos que contienen solamente traslaciones en una direcci on, existenexactamente 7 de ellos; por otro lado, si llamamos grupos cristalogr acos planos a aquellos quecontienen traslaciones en dos direcciones, existen exactamente 17 grupos de ellos y ningunomas (este es el merito del matem atico). A pesar de que ya eran conocidos los 17 grupos desdetiempos pasados (todos ellos han sido encontrados en la Alhambra de Granada), su vericaci onmatematica fue realizada por primera vez por E. Fedorov en 1890. La versi on tridimensional deesta teora es muy importante en fsica y en cristalografa, de ah que estos grupos reciban el

nombre de grupos cristalogr acos. Es tambien un resultado debido a Fedorov y Schoenies (en

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un principio trabajando independientemente y despues aunando esfuerzos) que existen exacta-mente 230 tipos de grupos cristalogr acos. En el caso de dimensi on cuatro, existen exactamente4895 de estos grupos, clasicacion terminada en 1974 por H. Brown, R. B ulow, J. Neubuser, H.Wondratscheck y H. Zassenhaus.

Como ya hemos indicado, el interes matem atico de esta teora se extiende tambien a otras disci-plinas, como la cristalografa, el arte, mec anica cu antica (disposicion de partculas subat omicas),criptologa (estudio de c odigos secretos en comunicacion), biologa, etc.

La simetra ornamental es la mas complicada pero mas interesante clase de simetra geometri-ca. En tres dimensiones, caracteriza el ordenamiento de atomos en los cristales, por lo quetambien recibe el nombre de simetra cristalograca.

En el arte y la naturaleza, el esquema ornamental bidimensional m as frecuente es el hexagonal:azulejos, panales de abejas. Es la disposici on natural (mas economica) que se consigue en elempaquetamiento de crculos del mismo radio.

Cada crculo es tangente a otros seis, los puntos de intersecci on forman hex agonos regulares;

al sustituir los crculos por los hex agonos circunscritos se obtiene una conguraci on que puedecubrir todo el plano.

Esta disposicion es, de entre todas las divisiones del plano en partes iguales, la de menor longitudde contorno. Por tanto, aparece en otras estructuras, como el pigmento de la retina ocular. En lospanales, que se construyen de forma cilndrica girando las abejas sobre s mismas, la capilaridadact ua sobre la cera semiuida y transforma los crculos en hex agonos inscritos.

2. NOCIONES TE ORICAS ABSTRACTAS.

En Matematicas, la estructura b asica en donde se producen los movimientos que dan lugar asimetras corresponde al espacio eucldeo. El espacio eucldeo ordinario se puede considerar comoel conjunto de vectores con origen un punto jado previamente (el origen de coordenadas). Alcambiar dicho origen de referencia, se obtiene un nuevo espacio vectorial, isomorfo al anteriorpero no identico. Para que no intervenga en la denici on ninguna elecci on arbitraria del origen,se construye el llamado espacio afn . Expondremos a continuaci on la denici on axiom atica deestos espacios y las propiedades b asicas de los elementos que intervienen en estos espacios. Su-pondremos conocidas las nociones elementales de espacio vectorial y espacio normado, as comola de aplicaci on lineal entre espacios vectoriales.

Denici on 1. Dados un conjunto A no vaco y un espacio vectorial T sobre un cuerpo deescalares K , decimos que A es un espacio afn sobre K con grupo de traslaciones T si existe

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una operaci on externa : A T A denida por (P, v ) = P + v con las siguientespropiedades:

i) (P, 0) = P, P A.

ii) P, Q A, existe un unico v T tal que (P, v ) = Q (en cuyo caso escribiremos v = P Q.

iii) (P + v, w) = (P, v + w), P A, v, w T (lo que equivale a la propiedad P Q + QR =P R , P,Q,R A).

Los elementos de A reciben el nombre de puntos , los de T traslaciones (o direcciones) y los deK escalares. La unica traslacion

P Q que enva el punto P en el punto Q es el vector de origen

P y extremo Q.

Si A es un espacio afn con grupo de traslaciones T , una variedad afn de A viene determinadapor un punto P 0 A y un subespacio vectorial S de T , y est a denida por

A = {Q : Q = P 0 + u, u S } = {Q A : P 0Q S }.

Al subespacio vectorial S se le denomina direcci on de A y se escribe A = P 0 + S.Una referencia en un espacio afn, es el conjunto R = {O; B }, formado por un punto O de A ,llamado origen de referencia , y una base B del espacio T .

Si el cuerpo de escalares es K = R , decimos que A es un espacio afn eucldeo. Si T es enparticular un espacio normado, podemos denir sobre A una distancia

d : A A R ,

pord(P, Q ) =

P Q .

Denici on 2. Dados dos espacios anes A1 y A2 sobre K con grupos de traslaciones T 1 y T 2,respectivamente, una aplicaci on g : A1 A2 es una aplicaci on afn si existe f : T 1 T 2 lineal(llamada aplicacion lineal asociada ) tal que

f (P Q ) =

g(P )g(Q), P, Q A1.

En el caso particular de que A 1 y A 2 sean espacios anes eucldeos, una aplicaci on g : A1 A2se dice isometra si

d2(g(P ), g(Q)) = d1(P, Q ), P, Q A1(la distancia entre dos puntos coincide con la distancia entre sus im agenes).

La condici on anterior equivale a decir que g es una aplicaci on afn cuya aplicaci on lineal asociadaf es una transformacion ortogonal (conserva la longitud de los vectores). As, una isometra quedaunvocamente determinada conocidas la imagen de un punto y su aplicaci on lineal asociada. Lasisometras son claramente aplicaciones inyectivas.

Dos espacios anes son isometricos si existe una isometra biyectiva entre ellos.

Llamamos movimiento a toda isometra de un espacio afn en s mismo.

El conjunto de movimientos de un espacio afn es un grupo con respecto a la composici on deaplicaciones.

Como la aplicaci on lineal asociada a un movimiento es una transformaci on ortogonal, la matrizasociada a dicha aplicacion con respecto a cualquier base tiene determinante igual a 1. Portanto, podemos clasicar los movimientos en un espacio afn en dos tipos:

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1. Movimientos directos: det f = 1 (no cambian la orientaci on de la gura). Tienen lassiguientes propiedades generales:

P.1.- Todo movimiento directo queda unvocamente determinado por dos puntos y susimagenes (esto se basa en que ningun movimiento directo puede tener dos puntosjos).

P.2.- El conjunto de movimientos directos es un subgrupo del grupo de movimientosgenerado por las traslaciones y las rotaciones.

1.1. Traslaci on. Dado un vector arbitrario v , se dene la traslacion de vector v comoel movimiento v : A A dado por v(P ) = P si

P P = v .

Por denici on, todos los mosaicos son invariantes por traslaciones (esto asegura que unmismo dise no ornamental se repite al trasladarlo en alguna direcci on).

Propiedades.

i) Toda traslaci on es una isometra directa.

ii) La aplicaci on lineal asociada a una traslaci on es la identidad.

iii) La composici on de dos traslaciones de vectores v y w es la traslaci on de vectorv + w .

iv) La composici on de traslaciones es conmutativa.

v) El inverso de una traslaci on de vector v es la traslaci on de vector v .

vi) El conjunto de traslaciones es un subgrupo normal del grupo de movimientos.

vii) Si v = 0, la traslacion v no tiene puntos jos.

viii) En el plano eucldeo, si v = ( a, b), entonces

v(x, y) = ( x + a, y + b) = ( a, b) + ( x, y)1 00 1 .

1.2. Rotaci on. Fijados un punto O A y un numero , se dene la rotaci on de centroO y angulo al movimiento O, : A A dado por O, (P ) = P si d(O, P ) = d(O, P )y P OP = .

Propiedades.

i) Toda rotaci on es isometra directa.ii) La composici on de dos rotaciones de angulos y es una rotacion de angulo + .

iii) La composici on de rotaciones no es conmutativa.

iv) Si = 0, el unico punto jo de la rotaci on O, es O.

v) En el plano, una rotaci on transforma rectas paralelas en rectas paralelas.

vi) En el plano eucldeo, si O = ( x0, y0),

O, (x, y) = ( x0, y0) + ( x x0, y y0) cos sen sen cos .

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2. Movimientos inversos: det f = 1 (invierten la orientaci on de la gura).

2.1. Reexi on. Si A = ( P 0; S ) es una variedad afn del espacio afn eucldeo, llamamosreexion (o simetra ortogonal ) respecto de esta variedad a toda aplicaci on A : A A, dada por

A (P ) = P ,

con P = P +2P Q, donde Q es la proyeccion ortogonal de P sobre A (en el plano eucldeo,

S es la mediatriz del segmento P P ).

Propiedades.

i) Si A es un hiperplano, A es un movimiento inverso. (Las simetras respecto a hi-perplanos tienen una especial importancia, ya que toda traslaci on se puede expresarcomo composici on de dos simetras respecto a hiperplanos paralelos.)

ii) Toda reexion es una involuci on (su cuadrado es la identidad).

iii) En el plano eucldeo, si r es la recta que pasa por el punto ( x0, y0) y forma un angulo

con el eje X ,

r (x, y) = ( x0, y0) + ( x x0, y y0)cos2 sen2sen2 cos2 .

2.2. Reexi on deslizada. Llamamos reexi on deslizada (o simetra con deslizamien-to ) a la composici on de una simetra respecto de un hiperplano con una traslaci on devector no nulo en la direccion del hiperplano, S A ,v = v A .

Propiedades.

i) Toda reexion deslizada es un movimiento inverso.

ii) Una reexi on deslizada no tiene puntos jos.iii) El cuadrado de una reexi on deslizada es una traslaci on.

iv) En el plano eucldeo, si r es la recta que pasa por el punto ( x0, y0) y forma un angulo con el eje X , y v = ( a, b),

S r,v (x, y) = ( x0 + a, y0 + b) + ( x x0, y y0)cos2 sen2sen2 cos2 .

Un resultado general sobre los movimientos en espacios anes eucldeos es elsiguiente.

Teorema (de Cartan-Dieudonne). Sea A espacio afn eucldeo de dimensi on n. Todo movi-miento g de A es composici on de r reexiones respecto de hiperplanos, para alg un r n + 1 ,es decir, g se puede expresar como composici on de a lo sumo n + 1 reexiones. Adem as, los hiperplanos de r 1 de estas reexiones pueden elegirse pasando por un punto jo O.

MOVIMIENTOS EN EL PLANO EUCL IDEO

Designaremos por O2 al grupo de los movimientos de un espacio afn eucldeo A de dimensi on2. Haciendo uso del teorema anterior, se tienen las siguientes caracterizaciones de los diferenteselementos de O2.

Proposici on. Sea g O2 un movimiento de A distinto de la identidad.

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(a) Las siguientes condiciones son equivalentes:

(a.1) g es una traslaci on.

(a.2) g es composici on de dos reexiones de ejes paralelos.

(a.3) g es un movimiento directo sin puntos jos.

(b) Las siguientes condiciones son equivalentes:

(b.1) g es una rotaci on.

(b.2) g es composici on de dos rotaciones del mismo centro.

(b.3) g es composici on de dos reexiones de ejes no paralelos.

(b.4) g es un movimiento directo con un unico punto jo.

(c) Las siguientes condiciones son equivalentes:

(c.1) g es un simetra.

(c.2) Existen dos puntos distintos, jos por g.

(d) Las siguientes condiciones son equivalentes:

(d.1) g es un simetra con deslizamiento.

(d.2) g es un movimiento inverso sin puntos invariantes.

Como consecuencia de los resultados anteriores, podemos clasicar los movimientos del plano,teniendo en cuenta sus puntos invariantes, en cinco tipos:

g = I A todo el plano es de puntos jos.g = R tiene una recta de puntos jos.

g = C, tiene un unico punto jo, el centro C del giro g.g = u es una traslacion es un movimiento directo sin puntos jos.

g es una reexi on deslizada es un movimiento inverso sin puntos jos.

Veamos representaciones gr acas de estos movimientos, y el efecto optico sobre guras concretasdel plano:

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Un subgrupo H de O2 se dice discontinuo o discreto si para cada punto P del plano A , existealgun entorno con centro en P que no contiene ninguna imagen (P ), H, distinta de P (lo

que signica que no hay operaciones pr oximas a la identidad salvo la propia identidad). Estacondici on es equivalente a decir que la orbita H(P ) = {(P ) : H} de cualquier punto P tiene interseccion nita con cualquier conjunto acotado D de A .

En un grupo discontinuo, el conjunto generado por la rotaci on O, es nito, es decir n N talque O, n = I . Por tanto, = 2 /n , con n entero.

Si H es un subgrupo discontinuo del grupo de traslaciones T , entonces, o bien H se reduce a laaplicaci on identidad, o bien H esta generado por una traslaci on de vector no nulo v, o bien Hest a engendrado por dos traslaciones de vectores linealmente independientes. En el lenguaje dela teora de grupos, esto equivale a decir que H es trivial, o cclico innito, o abeliano libre derango 2:

H {1, C , C C }.

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A continuacion, estudiamos grupos de simetra H del plano cuya interseccion con el subgrupode traslaciones sea un subgrupo discontinuo, es decir sea uno de los tres casos anteriores, asaber:

H T = {I } (1)

H T = { nv : n Z } (2)H T = { nv mw : n, m Z }, (3)

donde v y w generan el espacio vectorial T .

El caso (1) no contiene traslaciones. Esto implica que todas las rotaciones tienen el mismo centro.Son grupos discretos planos con s olo rotaciones y reexiones, llamados grupos de Leonardoo grupos puntuales.

El caso (2) contiene una traslaci on basica que genera todo el grupo. Este corresponde a gruposdiscretos planos que contienen rotaciones, reexiones, reexiones deslizadas y traslaciones enuna sola direcci on y son los llamados grupos de frisos.

En el caso (3) las traslaciones forman un retculo bidimensional. Este caso corresponde a losgrupos cristalogracos planos, o grupos planos de Fedorov.

Estudiaremos a continuaci on con mas detalle estos tres tipos de grupos.

3. GRUPOS DE SIMETR IA PUNTUALES

Vamos a dar el soporte matem atico en el que se basa la clasicaci on de los grupos de simetra delplano que tienen un punto jo, tambien llamados de Leonardo debido al uso sistem atico de losmismos realizado por Leonardo da Vinci en sus dise nos arquitectonicos de capillas. En segundolugar estudiaremos los frisos, grupo de gran uso en la Arquitectura sobre todo ornamental.

Teorema 1. Si H es un subgrupo de O2 que no contiene ninguna traslaci on no trivial, es decir H T = {I }, entonces H ja puntos. Es decir, existe O A tal que g(O) = O para cualquier gde H .

Teorema 2. Si H es un subgrupo de O2 con un n umero nito de elementos, entonces H ja un punto y adem as, o bien es un grupo engendrado por un giro (por tanto un grupo cclico), o bien es un grupo engendrado por un giro y una simetra (con estructura de grupo diedrico).

Denici on. Todo grupo nito de movimientos del plano recibe el nombre de grupo puntualo de Leonardo .

Por ser el grupo nito, no contiene ninguna traslaci on propia y el grupo tiene un punto jo.Del teorema 2 se deduce que existen innitos grupos de Leonardo y son cclicos o diedricos: C no D n , con n N . Veamos las tablas de estos grupos.

Grupo cclico de orden n generado por un elemento g:

C n = g = {1,g ,g2, . . . , g n 1},

donde la multiplicacion se dene por

gi g j = gi+ j = g(i+ j )0 ,

siendo ( i + j )0 el resto modulo n del exponente i + j .

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Veamos como ejemplo la tabla de multiplicaci on de C 4:C 4 1 g g2 g3

1 1 g g2 g3

g g g2 g3 g4 = 1g2 g2 g3 g4 = 1 g5 = gg3 g3 g4 = 1 g5 = g g6 = g2

Grupo diedrico de orden 2n generado por dos elementos a y b:

Dn = a, b : an = 1 , b2 = 1 , ab = a 1 = {a i , a i b : 0 i n 1}.

[El smbolo ab representa, como es usual, la operaci on de conjugaci on b 1ab.]

Multiplicacion:a ib j a r bs = a i+( 1)

j r b j + s ,

con el exponente de a reducido m odulo n y el exponente de b reducido m odulo 2.

Tabla de multiplicaci on de D 4:D4 1 a a2 a3 b ab a2b a3b1 1 a a2 a3 b ab a2b a3ba a a 2 a3 a4 = 1 ab a2b a3b ba2 a2 a3 a4 = 1 a5 = a a2b a3b b aba3 a3 a4 = 1 a5 = a a2 a3b b ab a2bb b a3b a2b ab 1 a3 a2 a

ab ab b a3b a2b a 1 a3 a2

a2b a2b ab b a3b a2 a 1 a3

a3b a3b a2b ab b a3 a2 a 1

Veamos que para n 3, los grupos diedricos D n se corresponden de forma unica con los gruposde simetra de los polgonos regulares de n lados.

Denici on. Un polgono de n lados, o n-polgono , est a determinado por n puntos distin-tos

P 1, , P n ,

llamados vertices del polgono, y n segmentos [P 1, P 2], [P 2, P 3], , [P n , P 1], llamados lados delpolgono, que solo tienen en com un los vertices y de modo que cada tres vertices consecutivosno est an alineados.

El n-polgono se dice convexo si el segmento que une puntos de dos lados est a contenido enel interior del polgono o es un lado del mismo. En caso contrario se dice que el polgono esconcavo . Se dice que un n-polgono convexo es regular si tiene todos sus lados iguales.

Teorema 3. (a) El grupo de simetra de un n-polgono regular es el grupo diedrico Dn .

(b) El grupo de simetra de un n-polgono orientado coincide con el grupo cclico C n .

Los siguientes diagramas describen las representaciones gr acas de C 4 y D4 en el cuadradoABCD .

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En las siguientes guras tenemos una representaci on de los seis primeros grupos puntuales o deLeonardo cclicos y diedricos (tambien llamados rosetas), sobre un mismo motivo ornamen-tal.

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16


17/40

17


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4. GRUPOS DE SIMETR IAS DE LOS FRISOS.

En la decoraci on y ornamentacion artstica es com un crear dise nos que consisten en la repetici onde un mismo motivo ornamental a lo largo de una lnea recta -pensemos por ejemplo en las grecasde cer amica, cenefas y bordes de alfombras-, con el objeto de dar al resultado nal un aspectomas arm onico y simetrico. Cada elemento decorativo genera de esta manera lo que llamaremosun grupo de frisos. Un estudio geometrico, basado en las propiedades del grupo de movimientosen el plano eucldeo, permite deducir que unicamente son posibles siete formas distintas degenerar los grupos de frisos, como ilustramos a continuaci on.

Sea F un subgrupo de O2 cuyo subconjunto de traslaciones

T 1 = F T = { nv : n Z },

para alg un v T , v = 0, es decir, es un grupo cclico innito. Tales grupos son grupos de simetrade ciertas guras planas que se llaman frisos , las cuales admiten traslaciones unicamente a lo

largo de una direccion dada por un vector v.Teorema 4. Si representamos por a una traslaci on de vector v , a una reexi on de eje r , a una rotaci on de 180 y S a una reexi on deslizada, existen siete grupos geometricos de frisos,con las siguientes caractersticas:

1) F 1 = C .

2) F 2 = , C C 2, donde 2 = 1 y = .

3) F 3 = , D , donde 2 = 1 y = 1.

4) F 4 = , S C , donde S 2 = y S = .

5) F 5 = , D , donde 2

= 1 y

= 1

.6) F 6 = ,, D C 2, donde 2 = 2 = 1 y = , = 1, = .

7) F 7 = ,,S D , donde 2 = 1 , S 2 = , = , S = 1, S = 1.

Observe que F 1 y F 4 son isomorfos pero no son geometricamente equivalentes porque F 1 conservala orientacion y F 4 no la conserva.

Los cuatro primeros ejemplos no poseen rotaciones propias y los tres ultimos tienen rotacionespropias.

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Las siguientes guras representan los siete grupos de frisos a partir de un mismo motivo ornamen-tal, donde utilizamos la notaci on adoptada por la Uni on Internacional de Cristalografa.

p1: traslaciones de vector v .

pm: traslaciones de vector v mas reexi on por eje horizontal.

p/m: traslaciones de vector v mas reexi on por eje vertical.

pg: traslaciones de vector v mas reexi on deslizada cuyo cuadrado es igual a la traslaci on.

p2: traslaciones de vector v mas rotaci on de 180 .

p2m: traslaciones de vector v mas rotaci on de 180 mas reexi on (o bien doble reexi on:horizontal y vertical).

p2g: traslaciones de vector v mas rotaci on de 180 mas reexi on deslizada.

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GRUPOS DE SIMETR IAS DE FRISOSCARACTER ISTICAS NOTACI ON DESCRIPCI ON

sin

rotacionespropias

p1 pm

p/m

pg

traslaciontraslacion

mas reexi on de eje paralelotraslacionmas reexi on de eje perpendicular

traslacion mas reexi on deslizada

conrotaciones

de 180

p2 p2m = pmm p2g = pmg

traslacion mas rotaci ontraslacion mas rotaci on mas reexi ontraslacion mas rotaci on

mas reexi on deslizada

Interpretaci on de los smbolos.

p: periodico.

m: reexion (mirror).g: reexion deslizada (glide).

1 o 2: orden de la rotacion.

/: perpendicular.

5. GRUPOS CRISTALOGR AFICOS PLANOS.

Como ya hemos indicado, un grupo de simetra G es un grupo cristalograco o de Fedorovplano si G es un subgrupo discontinuo de O

2 cuya interseccion con el subgrupo de traslaciones

es un subgrupo abeliano libre de rango 2. La composici on de las simetras forma as un dise nobidimensional que llena el plano.

Podemos elegir dos generadores del grupo de traslaciones, v y w , de tal forma que v es denorma mnima entre todos los elementos de T 2 distintos de la identidad y w es de norma mnimaentre todos los elementos de T 2 que no son multiplos de v . El espacio

v, w = {mv + nw : m, n Z }

recibe el nombre de retculo generado por v y w y { v , w} es un conjunto reducido degeneradores de T 2.

Cuando se elige un punto base O, el grupo T 2 determina una celosa o retculo fundamentalL, siendo la orbita de O respecto de T 2,

L = { (O) : T 2}

(conjunto de puntos que se obtienen aplicando las traslaciones en las dos direcciones al punto0).

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En principio, el paralelogramo es arbitrario pero en algunos casos la construcci on del grupo exigeformas particulares. En la siguiente tabla, exponemos una clasicaci on de los diferentes tipos deretculo fundamental.

RET ICULO LONGITUD ANGULOTri angulo

(celosa hexagonal) v = w v, w = / 3Cuadrado v = w v, w = / 2Rombo(celosa centrada) v = w v, w = / 2, / 3Rect angulo v = w

v, w = / 2

Paralelogramo v = w v, w = / 2Un grupo puede identicarse por su celda unidad o celosa primitiva , que es cualquier regionconexa, maximal que no contiene puntos hom ologos (puntos tales que uno de ellos es imagen delotro por alg un elemento del grupo) en su interior. De este modo, todo el grupo puede generarsemediante traslaciones sobre dicha regi on.

Una region fundamental es la menor regi on mediante la cual todo el grupo puede obtenersecomo resultado de alguna transformaci on sobre dicha region. Es pues una region que no contienepuntos homologos en su interior pero no puede extenderse sin perder esta propiedad. Observemosque, tanto las celdas unidad como las regiones fundamentales, pueden no ser unicas.

GRUPOS CRISTALOGR AFICOS QUE CONSERVAN LA ORIENTACI ON

La determinaci on de todas las posibles conguraciones regulares de objetos es un problemafundamental en cristalografa, qumica y otras disciplinas. Resumiremos a continuaci on los hechosfundamentales que han permitido realizar dicha clasicaci on en el plano.

Debido a su car acter discontinuo, el grupo de rotaciones de un grupo cristalogr aco plano debeser uno de los grupos de Leonardo, C n o Dn (n N), pero que lleven el retculo sobre s mismo.Una sencilla argumentaci on geometrica hace que los unicos valores admisibles sean n = 1 , 2, 3, 4o 6 (la exclusion del 5 se llama restriccion cristalograca).

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Las propiedades basicas en las que se basa la clasicacion que exponemos a continuaci on son lassiguientes:

Propiedades.

1. Si G , entonces n G , n Z .

2. Si O, G , v G y O = O + v , entonces O , G .

3. Si O, G , O , G y O = O , (O), entonces O , G .[La presencia de un retculo de traslaciones { mv + nw : m, n Z} y una rotacion O,asegura la presencia de un retculo de rotaciones O+ mv + nw, .]

4. Si v G , O, G , P = v(O) y Q = O, (P ), entonces OQ G .

5. Si v G y O, G , entonces O+ v/ 2, G .[Si tenemos un retculo de traslaciones y una rotaci on de orden 2, tenemos tambien unretculo de rotaciones de orden 2 de los puntos medios del retculo.]

TEOREMA. Sea G + un grupo cristalogr aco que conserva la orientaci on. Entonces G + est a ge-nerado por T 2 = G + T y una unica rotaci on de orden n, con n = 1 , 2, 3, 4, o 6. As pues, G +adopta una de las formas siguientes:

1) G 1 = v , w .

2) G 2 = v , w , , donde 2 = 1 , v = v , w = w .

3) G 3 = v , w , , donde 3 = 1 , v = v w = v+ w , w = w .

4) G 4 = v , w , , donde 4 = 1 , v = w , w = v .

5) G 5 = v , w , , donde 6 = 1 , v = w , w = v w = v+ w .

En el teorema siguiente se listan los grupos cristalogr acos planos G correspondientes a cadauno de los posibles subgrupos directos G + = G i , para i = 1 , 2, 3, 4, 6.

TEOREMA.

a) Para el subgrupo G 1 = v , w tenemos exactamente cuatro tipos distintos de grupos crista-logr acos:

a.1) p1 = v , w .

a.2) pm = v , w , , donde 2 = 1 , v = v , w = w .

a.3) cm = v , w , , donde 2 = 1 , v = w , w = v .

a.4) pg = v , w , S , donde S 2

= v , S v = v ,

S w = w .

b) Para el subgrupo G 2 tenemos exactamente cinco tipos distintos de grupos cristalogr acos:

b.1) p2 = v , w , , donde 2 = 1 , v = v , w = w .

b.2) pmm = v , w , , , donde 2 = 2 = 1 , ( )2 = 1 , v = v , w = w , v = v , w = w .

b.3) pmg = v , w , , , donde 2 = 2 = 1 , ( )2 = v , v = v , w = w , v = v , w = w .

b.4) cmm = v , w , , , donde 2 = 2 = 1 , ( )2 = 1 , v = v , w = w , v = w , w = v .

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b.5) pgg = v , w , ,S , donde 2 = 1 , S 2 = v , (S )2 = w , v = v , w = w , S v = v , S w = w .

c) Para el subgrupo G 3 tenemos exactamente tres tipos distintos de grupos cristalogr acos:

c.1) p3 = v , w , , donde 3 = 1 , v = w v , w = v .

c.2) p3ml = v , w , , , donde 3 = 1 , 2 = 1 , ( )2 = 1 , v = w v , w = v , v = w , w = v .

c.3) p3lm = v , w , , , donde 3 = 1 , 2 = 1 , ( )2 = w , v = w v , w = v , v = w , w = v .

d) Para el subgrupo G 4 tenemos exactamente tres tipos distintos de grupos cristalogr acos:

d.1) p4 = v , w , , donde 4 = 1 , v = w , w = v .

d.2) p4m = v , w , , , donde 4 = 1 , 2 = 1 , ( )2 = 1 , v = w , w = v , v = v , w = w .

d.3) p4g = v , w , ,S , donde 4 = 1 , S 2 = v , (S )2 = 1 , v = w , w = v , S v = v , S w = w .

e) Para el subgrupo G 5 tenemos exactamente dos tipos distintos de grupos cristalogr acos:

e.1) p6 = v , w , , donde 6 = 1 , v = w , w = v w = v+ w .

e.2) p6m = v , w , , , donde 6 = 1 , 2 = 1 , ( )2 = 1 , v = w , w = w v , v = v , w = v w .

Ejemplos de todos estos grupos de simetra se encuentran en ornamentos antiguos y, como seobserva, su construcci on no es en absoluto trivial en su aspecto matem atico. Debemos observarque la base conceptual para la formulaci on abstracta del problema es la noci on de grupo detransformaciones, introducida en el siglo XIX, y la demostraci on de que s olo puede haber 17simetras se debe a P olya en 1924.

Existen distintas formas de identicar los 17 grupos de simetras de murales, desde la notaci ondecimal, pasando por la aceptada por la IUC (International Union of Crystallography) desde1952, hasta la notaci on orbifold que proviene de las palabras orbit + manifold , basada en ideasde W. Thurston y adoptada por J. Conway. La siguiente tabla describe cada uno de los gruposcitados.

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DESCRIPCI ON DE LOS GRUPOS DE MURALESDecimal Orbifold IUC Retculo Descripci on

1 o p1 paralelogramo 2 traslaciones

2 2222 p2 paralelogramo 2 traslaciones+ rotacion de 180

3 ** pm rect angulo 2 traslaciones+ reexion

4 xx pg rect angulo 2 traslaciones+ reexion deslizada

5 *2222 pmm rect angulo2 traslaciones

+ rotacion de 180

+ reexion

6 22* pmg rect angulo2 traslaciones

+ rotacion de 180

+ reexion

7 22x pgg rect angulo2 traslaciones

+ rotacion de 180+ reexion deslizada

8 x* cm rombo 2 traslaciones+ reexion

9 2*22 cmm rombo2 traslaciones

+ rotacion de 180

+ reexion

10 442 p4 cuadrado 2 traslaciones+ rotacion de 90

11 *442 p4m cuadrado2 traslaciones

+ rotacion de 90

+ reexion

12 4*2 p4g cuadrado2 traslaciones

+ rotacion de 90

+ reexion deslizada

13 333 p3 triangulo 2 traslaciones+ rotacion de 120

14 *333 p3ml tri angulo2 traslaciones

+ rotacion de 120

+ reexion

15 3*3 p3lm tri angulo

2 traslaciones

+ rotacion de 120

+ reexion

16 632 p6 hexagono 2 traslaciones+ rotacion de 60

17 *632 p6m hexagono2 traslaciones

+ rotacion de 60

+ reexion

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OTRA CLASIFICACI ONSin rotaciones propias p1 pm pg cmCon rotaci on de 180

(sin rotaciones de 90 , 60 ) p2 pmm pgg cmm pmg

Con rotaci on de 90 p4 p4m p4gCon rotaci on de 120(sin rotaciones de 60 ) p3 p31m p3m1

Con rotaci on de 60 p6 p6m

La notaci on cristalogr aca consiste en cuatro smbolos que identican las caractersticas dela celda unidad. La celosa primitiva se elige con los centros de rotaci on de mayor orden en losvertices, salvo en dos casos, donde se elige una celosa centrada, de modo que los ejes de reexi onsean normales a uno o los dos lados de la celosa. Cuando no hay lugar a confusi on, se reduce elnumero de smbolos utilizados.

Interpretaci on de los smbolos:

(1) p: celosa primitivac: celosa centrada

(2) 1, 2, 3, 4, 5, 6: mayor orden de rotacion.

(3)

m: eje de reexi on (mirror)g: reexion deslizada (glide)

(eje de simetra normal a un eje)l: sin eje de simetra

(4)m: eje de reexi on (mirror)g: reexion deslizada (glide)( )

l: sin eje de simetra() El eje de simetra forma un angulo con el eje ( = 180 si n = 1 o 2, = 60 si n = 3 o 6, = 45 si n = 4).

En la notaci on orbifold, los smbolos representan los generadores del grupo: los enteros indicanla presencia de rotaciones (el entero m aximo es el mayor orden de rotaci on). El smbolo indicareexiones y el smbolo xindica la presencia de reexiones deslizadas.

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v

w

1 = p1: traslaciones de vectores v y w .

(sin rotaciones, reexiones ni reexiones deslizadas).

v

w

2 = p2: traslaciones de vectores v y w mas giro de 180

(sin reexiones ni reexiones deslizadas).

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v

w

3 = pm:

traslaciones de vectores v y wmas reexi on segun la lnea de puntos;(cualquier eje de una reexi on deslizadaes tambien eje de una reexi on).

v

w

4 = pg: traslaciones de vectores

v y w mas reexi on deslizada.(sin rotaciones ni reexiones).

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v

w

5 = pmm :traslaciones de vectores v y w mas giro de 180

mas reexi on segun la lnea de puntos (o bien, dos reexiones);cualquier eje de una reexion deslizada es tambien eje de reexi on.

v

w

6 = pmg:

traslaciones de vectores v y w mas giro de 180

mas reexi on segun la lnea de puntos;existe alguna reexion deslizadacuyo eje no es paralelo a ningun eje de reexi on.

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v

w

7 = pgg: traslaciones de vectores

v y wmas giro de 180 mas reexi on deslizada

(no contiene reexiones).

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v

w

8 = cm: traslaciones de vectores v y w mas reexi on respecto a la diagonal;

hay un eje de una reexion deslizada que no es eje de reexion.

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31/40

v

w

9 = cmm :traslaciones de vectores v y w mas giro de 180

mas reexi on respecto a la diagonal; tiene una reexi on deslizadacuyo eje es paralelo (pero distinto) a un eje de reexi on.

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v

w


(sin reexiones ni reexiones deslizadas).

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v

w

11 = p4m:traslaciones de vectores v y w mas giro de 90

mas reexi on segun la lnea de puntos;el centro de rotacion de 90 pertenece al eje de alguna reexi on.

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v

w

12 = p4g:traslaciones de vectores v y w mas giro de 90

mas reexi on deslizada; hay un centro de rotaci onde 90 no contenido en ningun eje de reexi on.

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v

w


(sin reexiones).

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v

w

14 = p3ml :traslaciones de vectores v y w mas giro de 120 mas reexi on(cualquier centro de rotaci on de 120

est a contenido en un eje de reexion).

v

w

15 = p3lm :traslaciones de vectores v y w mas giro de 120 mas reexi on(hay un centro de rotaci on de 120

no contenido en ningun eje de reexi on).

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v

w


(sin reexiones).

v

w

17 = p6m: traslaciones de vectores v y w mas giro de 60

mas reexi on segun la lnea de puntos.

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6. GRUPOS CRISTALOGR AFICOS ESPACIALES.

Un sistema de puntos del espacio se llama sistema espacial regular de puntos si satisfacelas propiedades siguientes:

1) Todo punto del sistema se puede transportar a cualquier otro punto del sistema mediantemovimientos que transforman el sistema en s mismo.

2) Ninguna esfera de radio nito contiene innitos puntos del sistema.

3) Existe un numero positivo r tal que toda esfera de radio r contiene al menos uno de lospuntos del sistema.

El problema de estudiar la estructura de los cristales est a ntimamente ligado con el problemade la clasicaci on de los sistemas espaciales regulares, ya que un cristal tiene la peculiaridadde que sus atomos forman, en cierto sentido, un sistema regular en el espacio; estas cristaliza-ciones aparecen en general en la estructura de las moleculas y, a su vez, est a relacionada conla clasicaci on de los grupos discretos de movimientos en el espacio, entendiendo que un grupode movimientos H del espacio se dice discreto (o no continuo) si para cada punto P existe unaesfera de radio r y centro P tal que todo movimiento de H , o deja jo el punto P , o lo llevafuera de la esfera.

En 1891, el eminente cristal ografo y geometra ruso E.S. Fedorov resolvi o por metodos de lateora de grupos uno de los problemas fundamentales de la cristalografa: clasicar los sistemasregulares de puntos en el espacio. Este fue el primer ejemplo de aplicaci on de la teora de gruposa la solucion de un problema de las ciencias naturales, causando un impacto importante en eldesarrollo posterior de la teora de grupos.

Se puede demostrar que el conjunto de los movimientos del espacio que llevan un sistema espacial

regular de puntos a coincidir consigo mismo es necesariamente un grupo discreto y que todoslos puntos del sistema se pueden obtener a partir de un punto dado del sistema transformandoeste por todos los movimientos del grupo. Recprocamente, dado un cierto grupo discreto H , sitomamos un punto arbitrario P y lo sometemos a todas las transformaciones del grupo obtenemosun sistema de puntos que cumplen las propiedades 1) y 2).

Anadiendo condiciones muy sencillas, se pueden aislar, de entre los grupos discretos, aquellosque para puntos P convenientemente elegidos dan, de hecho, sistemas regulares de puntos, esdecir, sistemas de puntos con las tres propiedades 1), 2) y 3). Tales grupos discretos se llamancristalogracos o de Fedorov (en el espacio). De todo lo dicho se desprende que el objetivo m asimportante en el estudio de los sistemas espaciales de puntos es la clasicaci on de los grupos deFedorov. Se ha comprobado que para los objetivos que persiguen las ciencias de la naturalezaes interesante considerar grupos que constan no s olo de movimientos propios, sino tambien demovimientos propios e impropios, es decir, que incluyen simetras respecto a ejes. El n umero degrupos de Fedorov formados solamente de movimientos de primera especie es 65, y el n umerode grupos de Fedorov que contienen tambien movimientos de segunda especie es 165; en totaltenemos pues 230 grupos de Fedorov en el espacio, n umero muy grande en comparaci on con los17 grupos de Fedorov que hay en el plano. En contraposici on al plano, s olo la teora de grupos hapermitido analizar el n umero excepcionalmente grande de posibilidades que se dan en el espacio.Una deducci on y enumeracion detallada de todos los grupos de Fedorov en el espacio requierevarias docenas de paginas de texto. Nos hemos limitado a dar los resultados cuantitativos yremitimos al lector a las obras especializadas. Podemos citar la colecci on [HL] que proporcionanla descripci on completa de todos los grupos cristalogr acos planos y espaciales.

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BIBLIOGRAF IA.

[Bl] M a F. Blanco. Movimientos y Simetras. Univ. de Valladolid, 1994.

[Co] H.S.M. Coxeter. Fundamentos de Geometra. Limusa, 1984.

[Fe] E.S. Fedorov. Simetra de los sistemas regulares de guras. Obras completas, Akad. NaukURSS, Moscu, 1949.

[GS] B. Grunbaum y G.C. Shephard. Tilings and Patterns. Freeman, 1987.

[HL] N. Henry y K. Lonsdale (eds.). International Tables for X-Ray Crystallography, vol.1. Kynoch Press, Birmingham, 1952.

[HC] D. Hilbert y S. Cohn-Vossen. Geometry and the Imagination. Chelsea Pub., 1952(english translation).

[Sc] D. Schattschneider. Visions of Symmetry, Note Books, Periodic Drawings and Related Works of M.C. Escher. Freeman, 1990.

[We] H. Weyl. Simetra. McGraw Hill, 1990.

REFERENCIAS EN LA WEB

1. David Joyce,http://aleph0.clarku.edu/ djoyce/wallpaper

2. Grupo Virtual Chemistry (Dpto. de Qumica de la Universidad de Oxford),http://neon.chem.ox.ac.uk/vrchemistry/sym/splash.htm

3. Xah Lee,http://www.best.com/ xah/Wallpaper dir/c0 WallPaper.html

4. Allan Bergmann Jensen,http://home6.inet.tele.dk/bergmann/16engelsk/idx16.htm

5. Alok Bhushan, Kendrick Kay y Eleanor Williams,http://library.advanced.org/16661/

6. Steven Dutch,http://gbms01.uwgb.edu/ dutchs/symmetry/symmetry.htm

7. John Grant Mcloughlin,http://www.ucs.mun.ca/ mathed/Geometry/Transformations/Transformations.html

8. Carol Bier y Melissa June Dershewitz,http://forum.swarthmore.edu/geometry/rugs/index.html

9. Hans Kuiper,http://web.inter.nl.net/hcc/Hans.Kuiper/

PROGRAMAS RELACIONADOS

1. KALI. Realizado por Jeff Weeks para The Geometric Center. Dibuja dise nos simetricosbasados en alguno de los 17 grupos de murales. Tambien se pueden generar los grupos de frisosy los grupos de Leonardo.

Se consigue en http://www.geom.umn.edu/software/download/kali.html

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2. REPTILES. Escrito por Olaf Delgado y Daniel Huson. El programa es capaz de generartodos los grupos cristalogr acos planos. Permite tambien dise nar esquemas geometricos m ascomplejos e interesantes. Util tambien para cristal ografos y qumicos.

Se consigue en ftp://ftp.uni-bielefeld.de/pub/math/tiling/reptiles

3. PLANETILING. Realizado por Xah Lee. Este paquete, escrito para el programa Mathema-tica, permite representar los 17 tipos de dise nos de murales con un motivo ornamental arbitrario.Contiene documentaci on que permite representar la celosa fundamental y la celda unidad decada uno de los grupos.

http://www.best.com/ xah/SpecialPlaneCurves dir/MmaPackages dir/mmaPackages.html#PlaneTiling

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