FaktorialDalam matematika, faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial.Sebagai contoh, 7! adalah bernilai 7654321 = 5040. Berikut ini adalah daftar sejumlah faktorial: 0! = 1 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720 7! = 5040 8! = 40320 9! = 362880 10! = 3628800 11! = 39916800 12! = 479001600DefinisiFungsi faktorial didefinisikan sebagai:

Selain definisi tersebut, terdapat juga definisi secara rekursif, yang didefinisikan untuk

Untuk n yang sangat besar, akan terlalu melelahkan untuk menghitung n! menggunakan kedua definisi tersebut. Jika presisi tidak terlalu penting, pendekatan dari n! bisa dihitung menggunakan rumus Stirling:

Juga terdapat definisi analitik untuk faktorial, yaitu menggunakan fungsi gamma:

KombinasiIstilah kombinasi dalam matematika kombinatorik berarti himpunan objek yang tidak mementingkan urutan. Kombinasi berbeda dengan permutasi yang mementingkan urutan objek.Daftar isi 1 Definisi 2 Sifat rekursif dari Kombinasi 3 Hubungan dengan Permutasi 3.1 Hubungan dengan Permutasi Berunsur Identik 4 Koefisien Binomial 5 Segitiga Pascal 6 Membangkitkan Kombinasi 7 Lihat pula

DefinisiKombinasi C dari sebuah himpunan S adalah himpunan bagian dari S.

Sebagai contoh, misalkan terdapat suatu kumpulan buah: apel, jeruk, mangga, pisang. Maka {apel, jeruk} dan {jeruk, mangga, pisang} adalah merupakan kombinasi dari kumpulan tersebut. Seluruh himpunan bagian yang mungkin dibentuk dari kumpulan buah tersebut adalah: tidak ada buah apa pun satu buah: apel jeruk mangga pisang dua buah: apel, jeruk apel, mangga apel, pisang jeruk, mangga jeruk, pisang mangga, pisang tiga buah: apel, jeruk, mangga apel, jeruk, pisang apel, mangga, pisang jeruk, mangga, pisang empat buah: apel, jeruk, mangga, pisangKombinasi r dari sebuah himpunan S, berarti dari himpunan S diambil elemen sebanyak r untuk dijadikan sebuah himpunan baru. Dalam hal kumpulan buah di atas, himpunan {apel, jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 3 dari S, sedangkan {jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 2 dari S.Banyaknya kombinasi r dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat dihitung tanpa harus memperhatikan isi dari himpunan tersebut. Besarnya dinyatakan dengan fungsi:

Fungsi dalam banyak literatur dinyatakan juga dengan notasi .Sebagai contoh, tanpa harus mengetahui elemen himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang}, banyaknya kombinasi 3 dari himpunan tersebut dapat dihitung:

Sifat rekursif dari KombinasiKombinasi dapat dibentuk dari dua kombinasi sebelumnya. Ini mengakibatkan banyaknya kombinasi juga bersifat rekursif:

Hubungan dengan PermutasiDari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} dapat diambil permutasi 3 unsur, yang dapat didaftar sebagai berikut:apel jeruk manggaapel mangga jerukjeruk apel manggajeruk mangga apelmangga apel jerukmangga jeruk apel

apel jeruk pisangapel pisang jerukjeruk apel pisangjeruk pisang apelpisang apel jerukpisang jeruk apel

apel mangga pisangapel pisang manggamangga apel pisangmangga pisang apelpisang apel manggapisang mangga apel

jeruk mangga pisangjeruk pisang manggamangga jeruk pisangmangga pisang jerukpisang jeruk manggapisang mangga jeruk

Perhatikan bahwa dalam susunan ini setiap kolom merupakan permutasi dari kolom pertama. Karena dalam kombinasi urutan tidak dipentingkan, maka cukup salah satu kolom saja yang diambil. Jika kita mengambil kolom pertama saja, maka kita mendapatkan kombinasi 3 dari keempat buah tersebut adalah: apel, jeruk, mangga apel, jeruk, pisang apel, mangga, pisang jeruk, mangga, pisangPenyusunan tabel seperti di atas akan menghasilkan atau 24 permutasi, dengan kolom, karena untuk setiap baris terdapat permutasi dari kolom pertama. Dengan demikian, jumlah baris dari tabel akan sebesar:

Aturan seperti ini dapat digeneralisasikan sehingga untuk setiap n unsur yang dikombinasikan r unsur, berlaku:

Yang dapat dengan mudah dibuktikan:

Hubungan dengan Permutasi Berunsur IdentikKombinasi juga berhubungan dengan permutasi dengan unsur identik. Kombinasi dari sebuah himpunan S dapat dimengerti sebagai pemilihan unsur-unsur himpunan S. Unsur yang terpilih kita tandai dengan 1, dan yang tidak terpilih kita tandai dengan 0. Dengan demikian dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} tersebut, kita dapat mendaftarkan kombinasi-3 nya seperti ini:Kombinasiapeljerukmanggapisang

apel, jeruk, mangga1110

apel, jeruk, pisang1101

apel, mangga, pisang1011

jeruk, mangga, pisang0111

Dengan demikian, banyaknya kombinasi 3 unsur dari himpunan S yang berisi 4 benda setara dengan banyaknya permutasi terhadap untai 1110, yaitu:

Karena untai 1110 memiliki 4 unsur, tetapi ada 3 unsur identik, yaitu 1. Maka total permutasinya adalah 4! dibagi dengan 3!. Kombinasi r dari n unsur, sesuai dengan pengertian itu, selalu setara dengan permutasi yang terdiri dari r angka 1 dan n - r angka 0. Maka permutasinya menjadi:

Yang sesuai dengan rumus kita di awal, untuk menghitung .Koefisien BinomialSuatu binomial yang dijabarkan dalam bentuk jumlahan, akan membangkitkan koefisien-koefisien yang merupakan bilangan kombinasi.

Dengan penjabaran seperti di atas, maka banyaknya kombinasi r dari n unsur bisa didapat dari setiap suku:

Daftar berikut menunjukkan beberapa penjabaran binomial:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Segitiga PascalDengan menuliskan hanya koefisiennya saja, dari penjabaran binomial dapat kita peroleh:1. 2. 3. 4. Jika diteruskan, daftar koefisien ini akan membentuk susunan yang disebut sebagai Segitiga Pascal. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1

PermutasiPermutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai "adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari." Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut sorting.Daftar isi 1 Pengertian 1.1 Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin 2 Bilangan Inversi 2.1 Faktoradik 3 Membangkitkan Permutasi 4 Jenis-jenis Permutasi Lainnya 4.1 Permutasi-k dari n benda 4.2 Permutasi dengan elemen yang identik 4.3 Permutasi siklis 5 Lihat pula 6 Pranala luar

PengertianJika terdapat suatu untai abjad abcd, maka untai itu dapat dituliskan kembali dengan urutan yang berbeda: acbd, dacb, dan seterusnya. Selengkapnya ada 24 cara menuliskan keempat huruf tersebut dalam urutan yang berbeda satu sama lain. abcd abdc acbd acdb adbc adcb bacd badc bcad bcda bdac bdca cabd cadb cbad cbda cdab cdba dabc dacb dbac dbca dcab dcbaSetiap untai baru yang tertulis mengandung unsur-unsur yang sama dengan untai semula abcd, hanya saja ditulis dengan urutan yang berbeda. Maka setiap untai baru yang memiliki urutan berbeda dari untai semula ini disebut dengan permutasi dari abcd.Menghitung Banyaknya Permutasi yang MungkinUntuk membuat permutasi dari abcd, dapat diandaikan bahwa terdapat empat kartu bertuliskan masing-masing huruf, yang hendak kita susun kembali. Juga terdapat 4 kotak kosong yang hendak kita isi dengan masing-masing kartu: Kartu Kotak kosong ----------- --------------- a b c d [ ] [ ] [ ] [ ]Maka kita dapat mengisi setiap kotak dengan kartu. Tentunya setiap kartu yang telah dipakai tidak dapat dipakai di dua tempat sekaligus. Prosesnya digambarkan sebagai berikut: Di kotak pertama, kita memiliki 4 pilihan kartu untuk dimasukkan. Kartu Kotak ----------- --------------- a b c d [ ] [ ] [ ] [ ] ^ 4 pilihan: a, b, c, d Sekarang, kondisi kartunya tinggal 3, maka kita tinggal memiliki 3 pilihan kartu untuk dimasukkan di kotak kedua. Kartu Kotak ----------- --------------- a * c d [b] [ ] [ ] [ ] ^ 3 pilihan: a, c, d Karena dua kartu telah dipakai, maka untuk kotak ketiga, kita tinggal memiliki dua pilihan. Kartu Kotak ----------- --------------- a * c * [b] [d] [ ] [ ] ^ 2 pilihan: a, c Kotak terakhir, kita hanya memiliki sebuah pilihan. Kartu Kotak ----------- --------------- a * * * [b] [d] [c] [ ] ^ 1 pilihan: a Kondisi terakhir semua kotak sudah terisi. Kartu Kotak ----------- --------------- * * * * [b] [d] [c] [a]Di setiap langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang. Maka banyaknya semua kemungkinan permutasi adalah 4321 = 24 buah. Jika banyaknya kartu 5, dengan cara yang sama dapat diperoleh ada 54321 = 120 kemungkinan. Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari n unsur adalah sebanyak .Bilangan InversiSetiap permutasi dapat kita kaitkan dengan barisan bilangan yang disebut sebagai barisan bilangan inversi. Setiap unsur dalam permutasi dikaitkan dengan sebuah bilangan yang menunjukkan banyaknya unsur setelah unsur tersebut, yang posisinya salah. Sebagai contoh, salah satu permutasi dari untai abcdefg adalah dacfgeb. Maka untuk setiap unsur dacfgeb dapat dibuat bilangan inversinya:PosisiUnsurBilangan

0d3Ada 3 huruf setelah posisi 0, yang seharusnya berada sebelum d, yaitu a, b, dan c.

1a0Tidak ada huruf setelah posisi 1, yang seharusnya berada sebelum a.

2c1Ada 1 huruf setelah posisi 2, yang seharusnya berada sebelum c, yaitu b.

3f2Ada 2 huruf setelah posisi 3, yang seharusnya berada sebelum f, yaitu e, dan d.

4g2Ada 2 huruf setelah posisi 4, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu e, dan b.

5e1Ada 1 huruf setelah posisi 5, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu b.

6b0Tidak ada huruf setelah b.

Maka barisan bilangan inversi dari dacfgeb adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.FaktoradikBarisan bilangan inversi dapat dimengerti sebagai sebuah sistem bilangan, yang setiap digitnya memiliki sifat:

dan

Sistem bilangan ini disebut sebagai faktoradik. Masing-masing faktoradik dapat diubah maupun dibentuk dari bilangan desimal. Ini berguna untuk dapat menghasilkan permutasi ke-k dari sebuah untai.Membangkitkan PermutasiPermasalahan umum yang terdapat seputar membangkitkan permutasi adalah:Diberikan sebuah untai S, tentukan: Semua permutasi dari S Semua permutasi n-elemen dari S Permutasi berikutnya setelah S Permutasi ke-k dari s sesuai urutan leksikografik (atau aturan lainnya)Jenis-jenis Permutasi LainnyaPermutasi-k dari n bendaTerkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak semuanya. Permutasi ini disebut permutasi-k dari n benda. Pada contoh untai abcd, maka permutasi-2 dari abcd (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12: ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dcSedangkan permutasi-3 dari untai yang sama adalah sebanyak 24: abc abd acb acd adb adc bac bca bad bda bcd bdc cab cba cad cda cbd cdb dab dba dac dca dbc dcbBanyaknya kemungkinan permutasi seperti ini adalah

Permutasi dengan elemen yang identikTerkadang tidak semua unsur dalam permutasi dapat dibedakan. Unsur-unsur ini adalah unsur-unsur yang identik atau sama secara kualitas. Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur, yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak dua kali. Kedua a tersebut identik. Permutasi dari aabc adalah berjumlah 12: aabc aacb abac abca acab acba baac baca bcaa caab caba cbaaIni bisa dimengerti sebagai permutasi biasa dengan kedua unsur a dibedakan, yaitu a0 dan a1: a0a1bc a1a0bc = aabc a0a1cb a1a0cb = aacb a0ba1c a1ba0c = abac a0bca1 a1bca0 = abca a0ca1b a1ca0b = acab a0cba1 a1cba0 = acba ba0a1c ba1a0c = baac ba0ca1 ba1ca0 = baca bca0a1 bca1a0 = bcaa ca0a1b ca1a0b = caab ca0ba1 ca1ba0 = caba cba0a1 cba1a0 = cbaaTotal permutasi dari untai aabc adalah sebanyak 4! = 24. Tetapi total permutasi ini juga mencakup posisi a0 dan a1 yang bertukar-tukar, yang jumlahnya adalah 2! (karena a terdiri dari 2 unsur: a0 dan a1). Dengan demikian jika dianggap a0 = a1 maka banyak permutasinya menjadi 4! dibagi dengan 2!. Cara menghitung ini dapat digeneralisasikan:Untuk untai S sepanjang n yang mengandung satu macam unsur identik sebanyak k:

Lebih umum lagi, jika panjang untai adalah n, mengandung m macam unsur yang masing-masing adalah sebanyak k1, k2, ..., km, maka:

atau

Sebagai contoh, untai aaaaabbcccdddddd terdiri dari 5 a, 2 b, 3 c, dan 6 d, maka banyaknya permutasi yang dapat dibentuk:

Dalam permutasi biasa, misalnya abcd, setiap unsur hanya muncul satu kali, sehingga

Unsur yang identik tersebut tidak perlu benar-benar identik, tetapi bisa merupakan unsur yang berbeda, tetapi ada kualitas tertentu yang kita anggap sama dari kedua unsur tersebut. Sebagai contoh, huruf A dan huruf a bisa dianggap identik untuk keperluan tertentu.Permutasi siklisPermutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar. h a g b f c e d Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai salah satu dari untai-untai berikut: abcdefgh bcdefgha cdefghab defghabc efghabcd fghabcde ghabcdef habcdefgCara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain. Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai. a bcdefgh -------- ^ bagian yang dipermutasikanDengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak .Kombinasi dan permutasiKombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Di dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan.{1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan?Solusi: Ada 3 kombinasi yaitu; A-B, A-C dan B-C.Sedangkan permutasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan. Di dalam permutasi, urutan diperhatikan.{1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?Solusi: Ada 6 permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.Salah satu aplikasi kombinasi dan permutasi adalah digunakan untuk mencari probabilitas suatu kejadian.Daftar isi 1 Rumus 1.1 Permutasi pengulangan 1.2 Permutasi tanpa pengulangan 1.3 Kombinasi tanpa pengulangan 1.4 Kombinasi pengulangan 2 Lihat pula

RumusPermutasi pengulanganJika urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali maka jumlah permutasinya adalah:

di mana n adalah banyaknya objek yang dapat dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.Sebagai contoh, jika kamu memiliki huruf A, B, C, dan D dan kamu ingin mencari tahu ada berapa cara untuk menyusunnya dalam suatu grup yang berisi tiga angka maka kamu akan menemukan bahwa ada 43 atau 64 cara untuk menyusunnya. Beberapa cara untuk menyusunnya adalah: AAA, BBB, CCC, DDD, ABB, CBB, DBB, dst.Permutasi tanpa pengulanganJika urutan diperhatikan dan setiap objek yang tersedia hanya bisa dipilih atau dipakai sekali maka jumlah permutasi yang ada adalah:

di mana n adalah jumlah objek yang dapat kamu pilih, r adalah jumlah yang harus dipilih dan ! adalah simbol faktorial.Sebagai contoh, ada sebuah pemungutan suara dalam suatu organisasi. Kandidat yang bisa dipilih ada lima orang. Yang mendapat suara terbanyak akan diangkat menjadi ketua organisasi tersebut. Yang mendapat suara kedua terbanyak akan diangkat menjadi wakil ketua. Dan yang mendapat suara ketiga terbanyak akan menjadi sekretaris. Ada berapa banyak hasil pemungutan suara yang mungkin terjadi? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-3)! = 60 permutasi.Umpamakan jika n = r (yang menandakan bahwa jumlah objek yang bisa dipilih sama dengan jumlah yang harus dipilih) maka rumusnya menjadi:karena 0! = 1! = 1Sebagai contoh, ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? Dengan menggunakan rumus n! maka ada 5! = 120 permutasi.Kombinasi tanpa pengulanganKetika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada hanya bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.Sebagai contoh, kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-2)!(2)! = 10 kombinasi.Kombinasi pengulanganJika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih. Sebagai contoh jika kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donut itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli tiga donat. Maka kombinasi yang dihasilkan adalah (10+3-1)!/3!(10-1)! = 220 kombinasi.Bilangan FibonacciDalam matematika, bilangan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

Penjelasan: barisan ini berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan aturan ini, maka barisan bilangan Fibonaccci yang pertama adalah:

Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut:

dengan Fn adalah bilangan Fibonacci ke-n x1 dan x2 adalah penyelesaian persamaan x2 x 1 = 0.Perbandingan antara Fn+1 dengan Fn hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut Golden Ratio yang nilainya mendekati 1,618.

Pengaturan lantai dengan kotak berukuran bilangan FibonacciAsal mulaBerdasarkan buku The Art of Computer Programming karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India, Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong. Di dunia barat, barisan ini pertama kali dipelajari oleh Leonardo da Pisa, yang juga dikenal sebagai Fibonacci (sekitar 1200), ketika membahas pertumbuhan ideal dari populasi kelinci.DeretFibonacci(http://davdc.wordpress.com/2011/07/24/deret-fibonacci/)Posting saya kali ini adalah pembahasan singkat mengenai pengertian Deret Fibonacci.Deret Fibonacci adalah suatu deret matematika yang berasal dari penjumlahan dua bilangan sebelumnya atau deret yang pada suku ke-n merupakan hasil jumlahan 2 suku sebelumnya (Un=Un-1+Un-2)apabila suku ke-n dibagi dengan suku sebelumnya (Un/Un-1) maka akandidapat angka yg nilainya mendekati dengan hasil pembangian antara suku yg lain dengan suku sebelumnyayaitu 1.618, dan akan sama setelah suku ke-131.618 tersebut disebut rasio emasrasio emas ini sangat istimewa karena mewakili banyak perbandingan dr kehidupan diduniacontohnya pada tubuh manusiaJarak antara ujung jari dan siku / jarak antara pergelangan tangan dan siku,Jarak antara garis bahu dan unjung atas kepala / panjang kepala,Jarak antara pusar dan ujung atas kepala / jarak antara garis bahu dan ujung atas kepala,Jarak antara pusar dan lutut / jarak antara lutut dan telapak kaki.Contoh deret Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987.Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan berurutan (dari kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya.Pengertian Deret Fibonacci (http://wisnu10018134.blogspot.com/2011/06/pengertian-deret-fibonacci.html)Diposkan oleh WISNU.NUGROHO di 00:05 0 komentar pendidikan

Perjalanan HidupPerkembangan matematika pada abad pertengahan di Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Fibonacci (artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak bodoh, tapi dia bukan orang bodoh karena jabatannya adalah seorang konsul yang wewakili Pisa. Jabatan yang dipegang ini membuat dia sering bepergian. Bersama anaknya, Leonardo, yang selalu mengikuti ke negara mana pun dia melakukan lawatan.

Fibonacci menulis buku Liber Abaci setelah terinspirasi pada kunjungannya ke Bugia, suatu kota yang sedang tumbuh di Aljazair. Ketika ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab memperlihatkan keajaiban sistem bilangan Hindu-Arab. Sistem yang mulai dikenal setelah zaman Perang Salib. Kalkulasi yang tidak mungkin dilakukan dengan menggunakan notasi (bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua kalkulasi yang dimungkinkan oleh sistem ini, dia memutuskan untuk belajar pada matematikawan Arab yang tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya yang sangat mengebu-gebu membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria, Yunani, Sisilia.Mengarang bukuTahun 1202 dia menerbitkan buku Liber Abaci dengan menggunakan apa yang sekarang disebut dengan aljabar, dengan menggunakan numeral Hindu-Arabik. Buku ini memberi dampak besar karena muncul dunia baru dengan angka-angka yang bisa menggantikan sistem Yahudi, Yunani dan Romawi dengan angka dan huruf untuk menghitung dan kalkulasi.Pendahuluan buku berisi dengan bagaimana menentukan jumlah digit dalam satuan numeral atau tabel penggandaan (baca: perkalian) dengan angka sepuluh, dengan angka seratus dan seterusnya. Kalkulasi dengan menggunakan seluruh angka dan pembagian, pecahan, akar, bahkan penyelesaian persamaan garis lurus (linier) dan persamaan kuadrat. Buku itu dilengkapi dengan latihan dan aplikasi sehingga menggairahkan pembacanya. Dasar pedagang, ilustrasi dalam dunia bisnis dengan angka-angka juga disajikan. Termasuk di sini adalah pembukuan bisnis (double entry), penggambaran tentang marjin keuntungan, perubahan (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran (kalibrasi), bahkan menyertakan penghitungan bunga. (Pada zaman itu riba, masih dilarang). Penguasa pada saat itu, Frederick, yang terpesona dengan Liber Abaci, ketika mengunjungi Pisa, memanggil Fibonacci untuk datang menghadap. Dihadapan banyak ahli dan melakukan tanya-jawab dan wawancara langsung, Fibonacci memecahkan problem aljabar dan persamaan kuadrat.Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh ahli-ahli tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak lama kemudian. Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku tentang Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk Sang raja. Dalam buku itu tercantum problem yang mampu mengusik akal sehat matematikawan yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak Pertanyaan sederhana tapi diperlukan kejelian berpikir.Berapa pasang kelinci yang akan beranak-pinak selama satu tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua- Akhir bulan kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis kelamin. - Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru, sehingga ada 2 pasang kelinci. - Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci. - Akhir bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak baru dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci.Akan diperoleh jawaban: 55 pasang kelinci. Bagaimana bila proses itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya (contek saja): 354.224.848.179.261.915.075.Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini Fibonacci memberikan rumus bilangan yang kemudian dikenal dengan nama deret Fibonacci.Deret FibonacciOrang Kristen menolak angka nol; namun pedagang dalam melakukan transaksi membutuhkan angka nol. Alasan yang dipakai oleh Fibonacci adalah nol sebagai batas. Apabila diperoleh hasil negatif berarti kerugian. Orang yang mengenalkan angka nol ini ke dunia Barat adalah Leonardo dari Pisa. Meskipun ayahnya seorang Konsul sekaligus pedagang, profesi Fibonacci tidak mau menjadi konsul, adalah seorang pedagang. Anak muda yang lebih dikenal dengan nama Fibonacci belajar matematika dari orang-orang Islam dan menjadi matematikawan piawai dengan cara belajar sendiri. Menemukan deret bilangan yang diberi nama seperti namanya. Deret Fibbonacci yaitu: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan berurutan (dari kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Angka 3, urutan kelima, adalah hasil penjumlahan 1 (urutan 3) + 2 (urutan 4); angka 5 urutan keenam, adalah hasil penjumlahan 2 (urutan 4) + 3 (urutan 5); angka 8 urutan ketujuh, adalah hasil penjumlahan 3 (urutan 5) + 5 (urutan 6) dan seterusnya. Deret di atas mampu menjawab problem kelinci beranak-pinak, alur bunga lily, pola dan jumlah mata nanas, jumlah kelopak dan alur spiral bunga jenis-jenis tertentu. Lewat deret Fibonacci ini dapat diketahui diketahui urutan atau alur yang akurat pada alam. Ukuran ruangan binatang berkulit lunak (moluska) yang berbentuk spiral, nautilus *; jumlah searah jarum jam atau berlawanan jarum jam mata nanas, jumlah kelopak bunga matahari dan ada 2 alur spiral (ke kanan 34 dan ke kiri 55) sesuai dengan deret Fibonacci.Kaitan dengan nisbah emasNisbah emas sudak dikenal sejak zaman Pythagoras. Disebutkan bahwa alam tampaknya diatur oleh nisbah emas. Kesaktian nisbah ini mendasari arsitektur bangunan zaman dahulu, khususnya di Yunani. Bentangan pilar dan tinggi Panthenon merupakan perbandingan hasil nisbah emas. Perhatikan hasil pembagian bilangan-bilangan pada deret Fibonacci di bawah ini.1/1; 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; 144/89Pola apa yang terjadi? Bilangan hasil pembagian menunjukkan sesuatu yang istimewa sehingga disebut dengan seksi emas (golden section). Nama ini mirip dengan nisbah emas. Memang ada hubungan erat antara seksi emas dan nisbah emas seperti dapat dilihat pada tabel dan gambar di bawah ini.Deret 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 Pembagi 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 Hasil 1 2 1,5 1,66 1,6 1,625 1,615 1,619 1,617 1,618 1,618Barangkali kenyataan ini mampu menjawab pertanyaan mengapa deret Fibonacci mendekati nisbah emas.Ambil contoh dua bilangan: a, b, a+b (deret Fibonacci) dan b/a (nisbah emas) kemudian diperbandingkanb/a (a+b)/b b/a (nisbah emas) a/b + 1 (seksi emas)Substitusikan nisbah emas dengan notasi (phi) untuk persamaan di atas. = 1/ + 1 (kalikan ruas kiri dan kanan dengan F) hasil: - 1 = 0 = (1+ 5)/2 1,618Revolusi FibonacciTopik dalam buku Liber abaci juga menjelaskan proses aritmatik, termasuk cara mencari akar bilangan. Problem-problem dalam buku ini lebih ditekankan untuk penggunaan dalam transaksi perdagangan, sistem pecahan untuk menghitung pertukaran mata uang. Fibonacci menggunakan pecahan biasa, bilangan berbasis enam puluh (seksadesimal) dan satuan bukan bilangan berbasis sepuluh (desimal). Penulisan 5/12 28 biasa kita kenal sebagai 28 5/12. Dia juga menempatkan bilangan pecahan berupa komponen-kompenen yang belum dijumlah. Penulisan 115/6, sebagai contoh, ditulis dengan 1/3 11. Tidak puas dengan kebingungan ini pecahan satuan ternyata lebih membingungkan. Pecahan 98/100, sebagai contoh, dipecah menjadi 1/100 1/50 1/5 , dan 99/100 ditulis dengan 1/25 1/5 .SumbangsihMengenalkan angka nol dan menghitung pola-pola alam tidak lazim sekaligus memberi dasar pada pengenalan aljabar ke dunia Barat adalah sumbangsih terbesar Fibonacci. Mampu menciptakan deret Fibonacci yang memberi jawaban atau alasan tentang pola alam seperti yang dijabarkan dalam nisbah emas. Adopsi angka nol untuk penulisan dan melakukan perhitungan di Eropa mengubah sistem bilangan Romawi yang tidak efisien dengan sistem bilangan Hindu-Arabik ini kelak sangat memengaruhi perkembangan matematika di benua Eropa. Sistim bilangan pecahan Fibonacci yang rumit, kemudian disederhanakan untuk kepentingan perdagangan. Perhatikanlah perubahan harga saham-saham yang diperdagangkan di Wall Street menggunakan sistem pecahan.