L’INTEGRALE DEFINITO

DEFINIZIONI, PROPRIETA’ E APPLICAZIONI

Appunti di MATEMATICAFIORENZO MERLI

Docente di matematica I.T.T. “G.MARCONI”-PC

APPLICAZIONI DELL’INTEGRALE DEFINITO

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Appunti di MATEMATICAFIORENZO MERLIDocente di matematica I.T.T. “G.MARCONI”-PC

L’INTEGRALE DEFINITO

DEFINIZIONI, PROPRIETA’ E APPLICAZIONI

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FIORENZO MERLI

Redatto da Fiorenzo Merli© 2016 Fiorenzo Merli – Tutti i diritti riservatiI contenuti di questo sito, salvo diversa indicazione, sono rilasciati sotto una licenza Creative Commons License Tutti i marchi sono proprietà dei rispettivi proprietari

Ai potenziali fruitori einconsapevoli revisori,allievi delle classi 5e

eal più prolifico dei matematici che con la sua funzione gamma

Γ( x)=∫0+∞

t x−1 e−tdt

mi ha dato lo spuntoper le cornici di separazionedegli argomenti trattati.

Prefazione

L’integrale definito è collegato a quello indefinito attraverso un corollario del teoremafondamentale del calcolo integrale che conduce alla formula risolutiva di Newton-Leibniz.

Uno strumento che ammette un’interpretazione geometrica (l’area, con segno, del trapezoide)e che consente svariate applicazioni:

- calcolo dell’area di una regione del piano;- calcolo dell’area di una superficie nello spazio;- calcolo del volume di un solido nello spazio;- calcolo della lunghezza di una curva;- calcolo del valor medio di una funzione.

Ma soprattutto consentirà la risoluzione di equazioni differenziali che stanno alla base dellamodellizzazione matematica di tanti fenomeno reali.

Ora diventano realizzabili progetti come la determinazione del volume di una vasca/piscinadal fondo irregolare, il calcolo della tensione e della corrente che in regime costantedissiperebbero per effetto Joule una potenza equivalente alla potenza media dissipata inregime sinusoidale dallo stesso bipolo resistivo , la determinazione dell’area di unappezzamento di terreno dal contorno curvilineo, la determinazione del baricentro di unafigura senza simmetrie, il calcolo del volume e della superficie di un solido di rotazione, ladeterminazione del momento d’inerzia di un corpo che ruota attorno ad un asse, il calcolodella probabilità che l’errore in misura commesso nella produzione di un pezzo meccanico siacompreso tra due determinati valori, il calcolo del volume di una certa regione di spazio per ildimensionamento dell’impianto di riscaldamento, la determinazione del lavoro compiuto dauna forza variabile, il calcolo dello spazio percorso da un’automobile in un determinatointervallo di tempo quando è nota la sua velocità o la sua accelerazione in funzione deltempo, il calcolo della distanza media dei punti di un quadrato da uno dei suoi vertici, ladeterminazione del lavoro compiuto da una pompa per svuotare un serbatoio cilindrico, ladeterminazione del lavoro compiuto da un gas durante una trasformazione termodinamica, ilcalcolo della velocità media di caduta di un paracadutista, il calcolo della lunghezza di unpercorso inaccessibile.

<<Bene, ora introdurremo il concetto di integrazione definita, che sfrutta quello diintegrazione indefinita, per risolvere problemi concreti attraverso varie applicazioni>>.

Laggiù in fondo alla classe un banco è vuoto, ……….. dov’è Mister X?ll prof. guarda velocemente il registro elettronico che segnala la sua presenza inclasse……………..ah eccolo, si è spostato in avanti di un banco!

F. Merli

“Non c'è certezza nella scienza se la matematica non può esservi applicata, o se non vi è comunque in relazione.”

Leonardo da Vinci (1452-1519)

Definizione di integrale definito (secondo Riemann)L’integrale definito da a a b di una funzione reale di variabile reale f(x) definita nell’intervallo

[a,b] si indica con ∫a

b

f (x)dx , dove a e b sono detti estremi d’integrazione.

Contrariamente a quello indefinito, esso ha un’interpretazione geometrica: rappresenta l’area con segno del trapezoide cioè di quella regione del piano compresa tra il grafico della funzione integranda, l’asse delle ascisse e le rette verticali x=a ed x=b.La sua definizione, secondo Riemann, prevede l’integrabilità di una funzione se le successioni delle aree dei plurirettangoli circoscritti (integrali superiori) e inscritti (integrali inferiori) convergono ad un limite finito comune.Per plurirettangoli circoscritti e inscritti s’intendono quei poligoni formati dall’unione di più rettangoli adiacenti aventi come basi una partizione dell’intervallo [a,b] sull’asse delle ascissee per altezze rispettivamente i valori assoluti più alti e più bassi assunti dalla funzione nel relativo intervallo di base (come mostrato in figura).Se

chiamiamo con sn e con S n rispettivamente le successioni delle aree dei plurirettangoli inscritti e circoscritti possiamo scrivere nel linguaggio della matematica che

sn=∑i=1

n

(b−a

nm i n

a+(i−1)b−a

n≤x≤a+i

b−an

f (x)) e S n=∑i=1

n

(b−a

nm a x

a+(i−1)b−a

n≤x≤a+i

b−an

f (x))E la definizione di integrabilità secondo Riemann diventa:

∫a

b

f (x)dx= limn→+∞

sn= limn→+∞

Sn

Più in generale si può scrivere che ∫a

b

f (x)dx= limn→+∞

∑i=1

n

[ f (ζi)⋅Δ x i ] , ζi∈[ xi , xi+1]

Condizione sufficiente per l'integrabilità di f(x) è che f (x)∈C0([a ,b ]) , cioè che f(x) sia continua in un compatto (chiuso e limitato).In realtà si può dimostrare che anche in presenza di discontinuità di prima specie o di terza specie, purché isolate, l’integrabilità resta garantita.

Esempio notevole di funzione non integrabile secondo Riemann

La funzione di Dirichlet χ :ℝ→ℝ così definita χ (x)={1,∀ x∈ℚ0,∀ x∈ℝ−ℚ

non è integrabile secondo Riemann in un intervallo chiuso e limitato [a,b].

Nasce perciò la necessità di ampliare l’insieme delle funzioni integrabili. L’integrabilità secondo Lebesgue, meno stringente di quella di Riemann, è in grado di garantire il passaggio al limite sotto il segno di integrale in condizioni più deboli ovvero più vantaggiose.

La classe delle funzioni integrabili in un intervallo chiuso e limitato [a,b] si amplia con Lebesgue e si chiamerà L([a,b]), i suoi elementi si diranno funzioni sommabili nell'intervallo [a,b]. In analisi funzionale ha un ruolo di rilievo anche lo spazio L2([a,b]), i cui elementi si diranno funzioni di quadrato sommabile secondo Lebesgue nell'intervallo [a,b] per le quali

esiste ed è finito il seguente integrale ∫a

b

f 2( x)dx .

La funzione di Dirichlet è integrabile in un intervallo chiuso e limitato [a,b] secondo Lebesgue. Tutte le funzioni integrabili secondo Riemann lo sono anche secondo Lebesgue, ovviamente non vale il viceversa come abbiamo visto con la funzione di Dirichlet.L’integrazione secondo Lebesgue non rientra nel corso del ciclo di studi previsti.Proprietà degli integrali definiti

∫a

a

f (x)dx=0

∫a

b

f (x)dx=−∫b

a

f (x)dx

∫a

b

|f (x)|dx≥|∫a

b

f ( x)dx|∫a

b

f (x)dx=∫a

c

f (x)dx+∫c

b

f ( x)dx , a<c<b Proprietà segmentaria o additiva

∫a

b

[k1 f (x)+k 2 g(x)] dx=k 1∫a

b

f ( x)dx+k2∫a

b

g(x)dx Proprietà di linearità

Teorema della media integraleSe f(x) è anche continua nel compatto [a,b] cioè f (x)∈C0([a , b ]) allora

∃c∈[a,b ]/ f (c)=1

b−a∫a

b

f (x)dx .

Interpretazione geometrica del teorema della media integraleEsiste un punto nell’intervallo [a,b] la cui immagine rappresenta l’altezza del rettangolo di base AB equivalente al trapezoide. Tale altezza è il valore medio della funzione f(x) nell’intervallo [a,b].Nota Il teorema è interessante anche come generalizzazione del concetto di valore medio:

media nel finito → ∑k=1

n

ak

n

media nel discreto numerabile → limn→+∞

∑k=1

n

ak

n

media nel continuo → ∫a

b

f (x)dx

b−a

Dim.Per il teorema di Weierstrass la funzione f(x), essendo continua in un compatto, ammetterà massimo e minimo nel compatto stesso.L’area del trapezoide è sicuramente maggiore o uguale a quella del rettangolo inscritto ABCDavente la stessa base del trapezoide ed altezza uguale a min

x∈[a ,b ]f (x) .

L’area del trapezoide è sicuramente minore o uguale a quella del rettangolo inscritto ABEF avente la stessa base del trapezoide ed altezza uguale a max

x∈[a ,b ]f (x) .

Perciò vale la seguente disuguaglianza (b−a)⋅minx∈[a ,b ]

f (x)≤∫a

b

f ( x)dx≤(b−a)⋅maxx∈[a ,b ]

f ( x)

da cui, dividendo tutti i membri per (b – a) , si ottiene min

x∈[a ,b ]f (x)≤

∫a

b

f ( x)dx

b−a≤ max

x∈[a ,b]f (x)

Per il teorema di Darboux la funzione f(x), essendo continua in un compatto, assumerà tutti i valori compresi tra il suo massimo e il suo minimo.

Di conseguenza dovrà assumere anche il valore∫a

b

f (x)dx

b−acioè dovrà esistere un punto c

appartenente ad [a,b] tale che f (c)=1

b−a∫a

b

f (x)dx .

c.v.d.Teorema fondamentale del calcolo integrale (di Torricelli-Barrow)Se f(x) è una funzione limitata e integrabile nel compatto [a,b] allora la funzione integrale

F( x)=∫a

x

f (t )dt è continua in [a,b].

Se f(x) è anche continua in [a,b] cioè f (x)∈C0([a , b ]) allora F(x) è derivabile eF ' (x)=f (x ) ,∀ x∈[a, b ] cioè F(x) è una primitiva di f(x).

Dim.Per la dimostrazione della prima parte (continuità della funzione integrale) fare riferimento al divertente link CNR/Brezzi.

Di seguito la dimostrazione della seconda parte, quella tradizionalmente trattata nelle classi terminali delle scuole medie-superiori.

Sfruttando la definizione di derivata possiamo scrivere che

F ' (x)=limh→0

F (x+h)−F( x)h

=limh→0

∫a

x+h

f (t )dt−∫a

x

f (t)dt

h=lim

h→0

∫a

x

f (t )dt+∫x

x+h

f ( t )dt−∫a

x

f (t )dt

h=

=limh→0

∫x

x+h

f ( t )dt

h=lim

h→0

1h ∫x

x+h

f (t )dt =conc∈[ x, x+h ]

teorema dellamedialimh→0

f (c)=f (x) , ∀ x∈[a ,b ]

c.v.d.

Corollario del teorema fondamentale del calcolo integrale (formula di Newton-Leibniz)

Se f (x)∈C0([a , b ]) e G(x) è una primitiva di f(x) allora ∫a

b

f (x)dx=G(b)−G(a) .

Dim.Per il teorema fondamentale del calcolo integrale anche la funzione integrale

F( x)=∫a

x

f (t )dt è una primitiva di f(x).

Due qualsiasi primitive della stessa funzione differiscono per una costante additiva, perciòF( x)=G(x )+k , ∀ x∈[a ,b] per x=a si ha F(a)=G (a)+k⇒0=G (a)+k⇒ k=−G(a)

da cui F( x)=G(x)−G(a) per x=b si ha F(b)=G (b)−G(a)

ma F(b)=∫a

b

f (t)dt perciò ∫a

b

f (t )dt=G (b)−G(a) .

c.v.d.

La formula di Newton-Leibniz è, di fatto, la formula risolutiva degli integrali definiti.

Integrale in coordinate polariIn alcuni casi potrebbe essere vantaggioso ragionare in coordinate polari (ρ,θ).Se la funzione è espressa in coordinate polari ρ=f(θ) l’elemento infinitesimo di area è rappresentato dall’area del settore circolare dS in figura.

L’area di un settore circolare, in analogia con iltriangolo, è data dalla lunghezza dell’arco (base)per il raggio (altezza) diviso 2.

La lunghezza dell’arco è, per definizione diradiante, data dal raggio per l’angolo espresso inradianti. Perciò possiamo scrivere

dS=12ρ2 dθ=1

2[ f (θ)]2dθ

e sommando tutti i contributi infinitesimi perα≤θ≤β, cioè passando all’integrale, otteniamo

S=∫S

dS=12∫α

β

[ f (θ)]2 dθ .

Integrale in coordinate parametriche

Se la funzione è espressa in coordinate parametriche {x=x( t )y=y (t)

con t0≤t≤t1 tali che x(t0)=a,

x(t1)=b allora si può scrivere che ∫a

b

f (x)dx=∫a

b

f (x (t))dx (t)=∫t 0

t 1

y (t) x ' (t )dt .

Esempio 1.1Calcolare l’area contenuta in un’ellisse di centro l’origine e semiassi a, b. L’equazione dell’ellisse è

x2

a2+y 2

b2=1 in forma cartesiana

ρ2cosθ

a2 +ρ2 sinθ

b2 =1 ⇒ ρ2=

a2 b2

a2 sinθ+b2cosθin forma polare, con 0 ≤ θ ≤ 2π

{x(α)=a cosαy(α)=b sinα

in forma parametrica, con 0 ≤ α ≤ 2π.

Risoluzione in forma cartesianaCalcoliamo il quadruplo dell’area del quarto di ellisse situato nel primo quadrante.

Per integrare è prima necessario esplicitare: y=ba√a2−x2 , con 0 ≤ x ≤ a.

4 A 14

=4∫0

a

f 4∫0

aba√a2

−x2 dx =dx=a⋅cosα⋅dα

x=a⋅sinα4

ba∫0

π2

a cosα√a2−a2 sin2

αd α=

=4 ab∫0

π2

cosα √1−sin2αd α=4 ab∫0

π2

cosα|cosα|dα=4 ab∫0

π2

cos2α dα=

=bisezione

4 ab∫0

π2

(±√ 1+cos2α2 )

2

d α=4 ab∫0

π2

(12+12

cos2α)dα=4 ab [ 12 α+ 14

sin 2α]0

π2=

=4 ab(12 π2+

14

sin π )=abπ

Risoluzione in forma polare

Essendo [ f (θ)]2=a2 b2

a2sin2θ+b2cos2θposso scrivere

4 A 14

=412∫0

π2

a2 b2

a2 sin2θ+b2cos2θdθ =

b2cosθ

raccogliendo 2

b2∫0

π2

a2 b2

a2

b2 tg2θ+1

1

cos2θdθ=2a2∫

0

π2

1

a2

b2 tg2θ+1

d tgθ=

=t=tgθ

2 a2∫0

+∞ 1

a2

b2 t 2+1

dt=[2 a2 ba

arctg( ab

t )]0+∞

= limt→+∞ [2ab⋅arctg ( a

bt ) ]−0=2 ab⋅π

2=ab π

Risoluzione in forma parametrica

4 A 14

=4∫0

r

f (x)dx=4∫π2

0

bsinα(−a sinα)dα=−4 ab∫π2

0

sin2α dα =

bisezione

=−4 ab∫π2

0

(12−12

cos(2α))d α=−4 ab [ 12 α− 14

sin (2α)]π2

0

=0−(−4 ab 12π2 )=ab π

(x)dx=

2 2

2 2

Esempio1.2

La cicloide ha la seguente equazione parametrica {x(t )=rω t−r sin(ω t )y( t )=r−r cos (ω t )

.

L’area sottesa dalla cicloide per 0≤t≤2πω è data da

∫t0

t1

y (t ) x ' (t )dt=∫0

2πω

[r−r cos (ω t)][rω−rωcos (ω t)]dt=r2ω∫

0

2πω

[1−cos(ω t )]2 dt=

=r2ω∫

0

2πω

[1−2cos (ω t)+cos2(ω t)]dt =

sulcoseno

bisezioner 2ω∫

0

2πω

[1−2 cos(ω t )+1+cos(2ω t )

2]dt=

=r2ω[ t− 2ω sin(ω t )+ 1

2t+ 1

4ωsin(2ω t )]

0

2πω=r2ω(

2πω + πω)=3π r2

L’area della cicloide è il triplo dell’area del cerchio generatore.

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Applicazioni geometricheDeterminazione dell’area A della regione del piano compresa tradue curve espresse in coordinate cartesiane da y=f(x) e y=g(x)

A=∫xa

xb

[ f (x)−g(x)]dx

Determinazione dell’area A della regione del piano compresa tra due curve espresse in coordinate polari da ρ =f( θ) e ρ =g( θ )

A= 12∫α

β

{[ f (θ)]2−[g(θ)]2}dθ

Lunghezza di una curva nel pianoAnalogamente a quanto fatto per l’area del trapezoide potremmo pensare di calcolare la lunghezza di una curva. Per calcolare l’area del trapezoide si è discretizzata la base in modo da costruire plurirettangoli approssimatori; per calcolare la lunghezza di una curva si discretizzerà la curva in modo da costruire spezzate approssimatrici.Se per calcolare l’area del trapezoide si faceva tendere il numero di rettangoli del plurirettangolo ad infinito per calcolare la lunghezza della curva si farà tendere il numero di segmenti della spezzata ad infinito.Nel caso del trapezoide facendo tendere il numero di rettangoli ad infinito la loroarea diventa infinitesima:Δ A=f (x)Δ x→f (x)dx=dA .

Nel caso della curva piana facendo tendere il numero di segmenti ad infinito la loro lunghezza Δs diventerà infinitesima ds e la loro direzione tenderà a quella tangente alla curva (vedere zoom nell’intorno di P).

Scomponendo lungo le due direzioni

principali e applicando il teorema di

Pitagora si ha

ds=√(dx)2+(dy)2=√(dx)2[1+( dydx )

2

]=dx √1+ ( f ' (x))2

in forma cartesiana cioè per y=f(x)

ds=√(dx)2+(dy)2=√[x ' (t)dt ]2+[ y ' (t)dt ]2=dt √[ x ' (t )]2+[ y ' (t )]2 in forma parametrica

cioè per {x=x( t)y=y (t )

ds=√(dx)2+(dy )2=√[ x 'ρ(ρ ,θ)dρ+x '

θ(ρ ,θ)dθ]2+[ y '

ρ(ρ ,θ)dρ+ y '

θ(ρ ,θ)d θ]2=

=√[cosθdρ−ρsinθdθ]2+[sin θdρ+ρcosθdθ]2 =e raccogliendo [d θ]2

semplificando √[ f (θ)]2+[ f ' (θ)]2 dθ

in forma polare cioè per ρ=f(θ)

e sommando tutti i contributi infinitesimi si ottengono le rispettive formule generali

L= limΔ s→0n→+∞

∑i=1

n

Δ si=∫L

ds=∫a

b

√1+ ( f ' ( x))2dx in forma cartesiana

L= limΔ s→0n→+∞

∑i=1

n

Δ si=∫L

ds=∫t 0

t1

√[ x' (t)]2+[ y ' (x)]2 dt in forma parametrica

L= limΔ s→0n→+∞

∑i=1

n

Δ si=∫L

ds=∫θ0

θ1

√[ f (θ)]2+[ f ' (θ)]2d θ in forma polare.

Esempio1.3Calcoliamo la lunghezza della circonferenza di raggio r.Senza perdita di generalità possiamo supporre la circonferenza centrata nell’origine degli assi cartesiani.L’equazione della circonferenza è data da

x2+y2 = r2 in forma cartesiana implicitaρ = r in forma polare esplicita, con 0 ≤ θ ≤ 2π

{x(α)=r cosαy(α)=r sinα

in forma parametrica, con 0 ≤ α ≤ 2π

Risoluzione in forma cartesianaCalcoliamo il quadruplo della lunghezza del quarto di circonferenza situato nel primo quadrante.

Per integrare è prima necessario esplicitare: y=√ r2−x2, con 0 ≤ x ≤ r .

4 L 14

=∫0

r

√1+ ( f ' (x))2dx=4∫

0

r

√1+( −2 x

2√r2−x2 )

2

dx=4∫0

r

√ r 2

r2−x2 dx=4 r∫0

r1

√r2−x2

dx=

=dx=r⋅cos t⋅dt

x=r⋅sin t4r∫

0

π2

1

√r2−r2 sin2 tr⋅cos t⋅dt=4 r2∫

0

π2

1

r√1−sin2tcos t⋅dt=4 r∫

0

π2

1|cos t|

cos t⋅dt=

=4 r∫0

π2

dt=4 r [ t ]0π2=4 r π

2=2πr

Risoluzione in forma polareEssendo f(θ)=r posso scrivere

L=∫θ0

θ1

√[ f (θ)]2+[ f ' (θ)]2d θ=∫0

2π

√r2 dθ=r∫0

2π

dθ=r [θ]02π=2π r

Risoluzione in forma parametrica

L=∫α0

α1

√[ x' (α)]2+[ y ' (α)]2 dα=∫0

2π

√[−r sinα]2+[r cosα]2 dα=

=∫0

2π

√r2(sin2α+cos2α)dα=∫0

2π

√r2 dα=[rα]02π=2π r

Esempio1.4

Calcoliamo la lunghezza della cicloide {x(t )=rω t−r sin(ω t)y( t )=r−r cos (ω t)

, per 0≤t≤2πω

Un solido di rotazione è un oggetto in 3D ottenuto ruotando una curva del piano attorno ad unasse.Superficie di un solido di rotazioneGli elementi infinitesimi sono le superfici deicilindroidi ottenuti “affettando” il solido dirotazione con piani perpendicolari all’asse dirotazione. Senza perdere in generalità possiamoassumere come asse di rotazione uno dei due assicartesiani. La superficie della “fetta” i-esima èdata da Δ Si=2π f (xi)Δ si e sommando tutti icontributi infinitesimi avremo la formuladesiderata

S= limn→+∞

∑i=1

n

ΔSi=2π∫a

b

f (x)√1+[ f ' (x)]2 dx

Volume di un solido di rotazioneGli elementi infinitesimi sono i volumi dei cilindri ottenuti “affettando” il solido di rotazione con piani perpendicolari all’asse di rotazione. Senza perdere in generalità possiamo assumere come asse di rotazione unodei due assi cartesiani.Il volume della “fetta” i-esima è dato daΔV i=[ f (xi)]

2πΔ xie sommando tutti i

contributi infinitesimi avremo la formula

desiderata V= limn→+∞

∑i=1

n

ΔV i=π∫a

b

[ f (x)]2 dx

Le coordinate polari nel piano trovano corrispondenza con quelle sferiche/cilindriche nello spazio ma una loro trattazione andrebbe oltre gli obiettivi previsti dal piano di studi.

Esempio 1.5Calcolo della superficie e del volume di una sfera di raggio r.Ruotando il quarto di circonferenza del primo quadrante attorno all’asse x si determina una semisfera come solido di rotazione. La superficie ed il volume della sfera si otterrà raddoppiando il rispettivo della semisfera.

La funzione che esprime il quarto di circonferenza è data da y=√ r2−x2, con 0 ≤ x ≤ r .

2 S12

=2⋅2π∫0

r

f (x)√1+[ f ' ( x)]2 dx=4 π∫0

r

√r2−x2√1+( −2 x

2√r2−x2 )

2

dx=4 π∫0

r

√r2−x2√1+

x 2

r2−x2 dx=

=4π∫0

r

√r2−x2√ r 2

r2−x2 dx=4 π r∫

0

r

√r 2−x2 1

√r2−x 2

dx=4π r∫0

r

dx=4π r [x ]0r=4 πr2

2V 12

=2⋅π∫0

r

[ f ( x)]2 dx=2π∫0

r

(r2−x2

)dx=2π [r2 x−x3

3 ]0

r

=2π (r3−

r3

3 )=2π⋅23

r3=

43π r3

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Applicazioni fisicheDeterminazione di grandezze fisiche variabili rispetto al tempo

CinematicaNota la velocità istantanea v(t), lo spazio percorso nell’intervallo di

tempo [t0,t1] è dato da ∫t0

t1

v (t )dt=[s(t )]t0

t1=s( t1)−s(t 0)=Δ s

la velocità media è data da vm=1

t 1−t 0∫t0

t1

v (t)dt=[s(t)]t0

t1

t1−t 0

=s(t 1)−s(t 0)

t1−t 0

=Δ sΔ t

la legge oraria, spostamento istantaneo s(t), è

∫t0

t

v (τ)d τ=[s(τ)]t0

t=s(t)−s(t 0) ⇒ s(t )=s(t 0)+∫

t0

t

v (τ)d τ

Nota l’accelerazione istantanea a(t), l’accelerazione media nell’intervallo di

tempo [t0,t1] è data da: am=1

t1−t 0∫t0

t1

a(t)dt=[v(t )]t0

t1

t1−t 0

=v(t 1)−v (t0)

t1−t0

=Δ vΔ t

la velocità istantanea v(t) è data da

∫t0

t

a(τ)d τ=[v( τ)]t0

t=v(t )−v(t 0) ⇒ v(t )=v (t0)+∫

t0

t

a(τ)d τ

Esempio1.6Nel moto rettilineo uniforme v(t)=cost.=v, se t0 = 0 e s(0)=s0 la legge oraria è data da

s(t )−s(0)=∫0

t

v d τ=[v⋅τ]0t=v⋅t−v⋅0=v⋅t ⇒ s(t)=s0+v⋅t

Esempio1.7Nel moto rettilineo uniformemente accelerato a(t)=cost.=a, se t0 = 0 e v(0)=v0

v (t)−v (0)=∫0

t

a d τ=[a⋅τ]0t=a⋅t−a⋅0=a⋅t ⇒ v(t)=v 0+a⋅t

e se s(0)=s0 la legge oraria è data da

s(t )−s(0)=∫0

t

(v0+a⋅τ)d τ=[ v0⋅τ+a τ2

2]0

t

=v0⋅t+12

a t2=v 0⋅t+

12

a t2⇒

⇒ s(t )=s0+v0⋅t+12

a t2

Determinazione del lavoro compiuto da una forza.Sia F la forza applicata ad un corpo di massa m come in figura.

Il lavoro svolto da una forza costante F è per definizione il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento s: L=F⃗⋅⃗s=F⋅s⋅cosϕ .

Geometricamente il lavoro compiuto dalla componente attiva FII è pari all’area del rettangolo del grafico:

Se la forza è variabile, F=F(s), possiamo considerare costante la forza F sul tratto infinitesimo ds e calcolare il lavoro infinitesimo svolto dalla funzione F sul tratto ds:

dL=F⋅cosϕ⋅ds=F II⋅dsdL rappresenta l’area del generico rettangolo in figura, immaginandolo con base infinitesima ds.

Il lavoro totale sarà ottenuto sommando il contributo di tutti i rettangoli infinitesimi ovvero passando all’integrale:

L=∫L

dL=∫s0

s1

F⋅cosϕ⋅ds .

Determinazione del baricentro di una figura piana.Il baricentro di un sistema discreto e finito di particelle x1, x2, x3,...xn di masse rispettivamente m1, m2, m3,…..mn è quel il punto G(xG,yG) tale che

xG=∑i=1

n

mi⋅xi

∑i=1

n

mi

e yG=∑i=1

n

mi⋅yi

∑i=1

n

mi

Nel discreto numerabile le coordinate del baricentro si ottengono passando al limite:

xG=

limn→+∞

∑i=1

n

mi⋅x i

limn→+∞

∑i=1

n

mi

=∑i=1

+∞

mi⋅xi

∑i=1

+∞

mi

e yG=

limn→+∞

∑i=1

n

mi⋅yi

limn→+∞

∑i=1

n

mi

=∑i=1

+∞

mi⋅y i

∑i=1

+∞

mi

Per corpi omogenei con centro di simmetria il baricentro è il centro di simmetria.Per esempio un rettangolo ha come baricentro il punto d’incontro delle diagonali, un cerchio ed una circonferenza hanno come baricentro il loro centro.Dal punto di vista del loro peso ogni corpo è identificabile con con un punto in cui è concentrata tutta la sua massa, tale punto è il suo baricentro.Così determinare il baricentro di un sistema costituito da una lamina quadrata sormontata da un triangolo equilatero si può ricondurre al calcolo del baricentro di un sistema discreto composto da due soli punti: uno identificante il baricentro del quadrato, l’altro identificante il baricentro del triangolo.

Nota la definizione di densità ρ=massaarea

=mA

e supponendo il materiale in oggetto

omogeneo (densità costante) possiamo scrivere che

xG=m1 xG1

+m2 xG2

m1+m2

=ρ A1 xG1

+ρ A2 xG2

ρ A1+ρ A2

=A 1 xG1

+A2 xG2

A1+A2

=

12

12+12√34

12+√34

=12 facilmente

deducibile per simmetria

e

yG=m1 yG1

+m2 yG2

m1+m2

=ρ A 1 yG1

+ρ A2 yG2

ρ A1+ρ A2

=A1 yG1

+A2 yG2

A1+A2

=

12

12+(1+16√3) √3

4

12+ √34

=14+3√3

26

La determinazione del baricentro di un sistema costituito da una lamina quadrata forata si può ricondurre al calcolo del baricentro di un sistema discreto composto da due soli punti: uno identificante il baricentro del quadrato, l’altro identificante il baricentro del foro (quest’ultimo contribuisce negativamente).

xG=m1 xG1

−m2 xG2

m1−m2

=ρ A1 xG1

−ρ A2 xG2

ρ A1−ρ A2

=A1 xG1

−A 2 xG2

A1−A 2

=

12

12− π16

34

12− π16

=32−3π64−4 π

e

yG=m1 yG1

−m2 yG2

m1−m2

=ρ A 1 yG1

−ρ A2 yG2

ρ A1−ρ A2

=A 1 yG1

−A2 yG2

A 1−A2

=

12

12−π6

14

12− π16

=32−π

64−4π

Se le figure coinvolte non godono di simmetrie particolari (nel continuo asimmetrico) è necessario ragionare in termini infinitesimali.Come individuare il baricentro del trapezoide? Basta vederlo composto dagli infiniti rettangoli del plurirettangolo, ciascuno dei quali è identificabile con il suo baricentro.

xG= limn→+∞Δ x i→0

∑i=1

n

mi⋅xi

∑i=1

n

mi

= limn→+∞Δ xi→0

∑i=1

n

ρ Ai x i

∑i=1

n

ρ A i

= limn→+∞Δ xi→0

ρ∑i=1

n

f (xi)Δ xi⋅xi

ρ∑i=1

n

f (xi)Δ xi

=

limn→+∞Δ x i→0

∑i=1

n

xi⋅f (xi)Δ xi

limn→+∞Δ x i→0

∑i=1

n

f (xi)Δ xi

=

∫a

b

x f (x)dx

∫a

b

f (x)dx

yG= limn→+∞Δ xi→0

∑i=1

n

mi⋅yi

∑i=1

n

mi

= limn→+∞Δ xi→0

∑i=1

n

ρ Ai yi

∑i=1

n

ρ A i

= limn→+∞Δ xi→0

∑i=1

n

f ( xi)Δ xi12

f (xi)

∑i=1

n

f ( xi)Δ xi

=

limn→+∞Δ xi→0

∑i=1

n12

f 2(xi)Δ xi

limn→+∞Δ xi→0

∑i=1

n

f ( xi)Δ xi

=

∫a

b

f 2(x)dx

2∫a

b

f ( x)dx

Ragionando analogamente è possibile generalizzare ottenendo il baricentro di una regione delpiano compresa tra due curve f(x) e g(x).

xG=

∫a

b

x [ f (x)−g(x)]dx

∫a

b

[ f (x)−g(x)]dx

yG=

∫a

b

[ f 2(x)−g2

(x)]dx

2∫a

b

[ f (x)−g(x)]dx

- - -- ------ ------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Esercizio completo 1.E’ data la funzione f :ℂ→ℂ così definita f (z)=z2+z .Individuare l’immagine della circonferenza di centro l’origine e raggio 1 prima per via grafica e poi attraverso le sue equazioni in forma parametrica, cartesiana e polare.

Determinare il baricentro dell’area della regione racchiusa una sola volta dalla curva.Determinare la velocità minima e massima del punto immagine quando la sua controimmagine si muove di moto circolare uniforme sulla circonferenza unitaria.Svolgimento.Il generico punto della circonferenza di centro l’origine e raggio 1 è espresso semplicemente in forma esponenziale da z=eθ i , che al variare di θ in [0, 2π] descrive l’intera circonferenza.Calcolando la funzione in alcuni valori si può ipotizzare il grafico dell’immagine.

z | ω = f(z) Conviene interpretare f(z) come somma tra vettori.--------------------------------------

ei 0 ω1=ei 0/2+ei 0=1+1=2ei π/4 ω2= ei π/2+ei π/4

ei π/2 ω3 =ei π+ei π/2

ei 2π/3 ω4= ei 4π/3+ei 2π/3

ei π ω5 =ei 2π+ei π

ei 4π/3 ω6= ei 8π/3+ei 4π/3

ei 3π/2 ω7 =ei 3π+ei 3π/2

ei 7π/4 ω8 =ei 7π/2+ei 7π/4

ei 2π ω9 =ei 4π+ei 2π

Essendo z=x+iy la variabile indipendente (ovvero argomento della funzione f) e ω=u+iv la variabile dipendente (ovvero immagine della funzione f) possiamo scrivere che

ω=f (z)⇒u+iv=( x+iy)2+x+iy⇒u+iv=x2−y 2+x+i (2 xy+ y)⇒ {u=x2− y2

+xv=2 xy+ y

,

con x2+y2=1.Con qualche passaggio algebrico si ottiene anche la forma parametrica:

{u=2 x2+x−1

v 2=(1−x2)(2 x+1)2, con –1 ≤ x ≤ +1.

che però ci costringe ad estrarre la radice quadrata suddividendo in due casi.Da quest’ultima, elevando al quadrato ambo i membri della prima equazione e sommando membro a membro si ottiene l’equazione cartesiana: u4+v4+2u2v2–3u2–3v2–2u=0, trattasi di un’equazione algebrica di quarto grado.I seguenti passaggi consentono anche di raggiungere facilmente l’equazione in coordinate polari (ρ,θ) dell’insieme ℂ di arrivo:u4+v4+2u2v2–3u2–3v2–2u=0 → (u2+v2)2–3(u2+v2)–2u=0 → ρ4 – 3ρ2 – ρ cos θ = 0.

La funzione complessa f produce una mappatura della circonferenza di centro l’origine e raggio unitario dell’insieme ℂ di partenza nella curva autointersecante dell’insieme ℂ di arrivo, come mostrato in figura:

Passando invece in coordinate polari (r,α) dell’insieme ℂ di partenza, si ha la forma

parametrica {u=r2 cos(2α)+r cosαv=r2 sin(2α)+r sinα

che con r=1 diventa

{u=r2 cos(2α)+r cosαv=r2 sin(2α)+r sinα

⇒ {u=cos (2α)+cosαv=sin (2α)+sinα

, con 0 ≤ α ≤ 2π

Tale rappresentazione consente il calcolo dell’area racchiusa una sola volta dalla curva. Basta calcolare il seguente integrale

2 A 12

=2 [−∫023π

v (α)u ' (α)d α+∫23π

π

v(α)u' (α)d α ]=−2∫0

23π

[sin (2α)+sinα][−2sin (2α)−sinα]dα+

+2∫23π

π

[sin(2α)+sinα][−2 sin(2α)−sinα]dα=…………=2 (π+ 34√3)+2 ( 3

4√3−π

2 )=π+3√3

Per ragioni di simmetria il baricentro è sull’asse delle ascisse (yG=0), perciò calcoliamo

xG=

∫a

b

x f ( x)dx

∫a

b

f ( x)dx

=

=

2{−∫023π

[ cos(2α)+cosα ] [sin (2α)+sin α ] [−2sin (2α)−sin α ]dα+∫23π

π

[cos (2α)+cosα ] [sin (2α)+sinα ] [−2sin (2α)−sinα ] dα}A

=

= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ =

2 [(π3 +3√38 )+(π6 +

3√38 )]

π+3√3=ππ+3√3

≈0.3768

Da cui G=(π

π+3√3,0) .

Nota.Porre la massima attenzione ai segni davanti agli integrali: al crescere di α in [0,2/3 π] l’ascissa u diminuisce (ovvero u’(α)≤0) mentre al crescere di α in [2/3 π, π] l’ascissa u aumenta (ovvero u’(α)≥0).

Calcoliamo la velocità tangenziale del puntoimmagine quando il punto origine si muovesulla circonferenza unitaria di moto circolareuniforme con velocità angolare ω. Avremo α = ωt e dal vettore posizione (u,v)potremo ricavare i vettori velocità (u’,v’) eaccelerazione (u’’,v’’):

{u(t)=cos(2ω t)+cos(ω t)v( t )=sin (2ω t )+sin (ω t )

{u ' (t)=−2ωsin(2ω t )−ωsin(ω t)v ' ( t )=2ω cos(2ω t )+ωcos (ω t )

{u' ' (t )=−4ω2 cos(2ω t )−ω2cos (ω t)

v ' ' (t )=−4ω2sin (2ω t )−ω2 sin (ω t )

Il punto ha velocità minima nell’origine degliassi cartesiani per t=π/ω ed il suo modulo vale

||(u’,v’)|| = ||(0,ω)|| = ω.

Il punto ha velocità massima nel punto (2,0)per t=2π/ω dove il suo modulo vale

||(u’,v’)|| = ||(0,3ω)|| = 3ω.

Nel punto (–1,0), raggiunto al tempo t1,2=±2π/(3ω), il modulo della velocità è

||(u’,v’)||=||(±1/2 ω√3,–3/2 ω)||=ω√3.Cliccare sul grafico per l’animazione.

Esercizio completo 2.Nella lastra quadrata forata, già trattata precedentemente, supponiamo di poter effettuare un foro variabile come in figura.

Cliccare sul grafico per l’animazione.

Se G2 si muovesse di moto rettilineo uniforme, quale sarebbe la legge oraria del punto G?Quando G2 si sposta dal punto A al punto G1 quanto spazio percorre G?Considerando il quadrato ABCD come la base di un cubo pieno d’acqua, che diametro dovrebbe avere il foro per consentire lo svuotamento del cubo in un certo tempo t noto?