Laboratorijske Milovan

8/18/2019 Laboratorijske Milovan

1/15

Osnove automatskog upravljanja

DRUGA LABORATORIJSKA VEŽBA IZ OSNOVA

AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

Za sistem automatske regulacije date jednačinom ponašanja otvorenog kola:

)()()()()()(..

2

.

100

.

1

..

2 t ebt ebt ebt xat xat xa iii ++=++

Potrebno je odrediti:

a) Prenosnu unkciju otvorenog kola

b) !rekventnu karakteristiku otvorenog kola

c) Za 1=ω analitički i graički odrediti )()"()"(#m)"($e ω ϕ ω ω ω OK Aok Fok Fok inacrtati:

a) %mplitudno rekventnu karakteristiku otvorenog kola b) &odogra rekventne karakteristike otvorenog kola

c) 'ogaritamsko rekventnu karakteristiku otvorenog kola

a2 a1 a0 b0 b1 b2

2 2 1 0

)()()()()()(..

2

.

100

.

1

..

2 t ebt ebt ebt xat xat xa iii ++=++.. . .

2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( )i ii x t x t x t e t e t + + = +

22 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )iii

S x s S x s x s e s S e s+ + = +

2

( )

( ) 2 2

i x s S

e s S S

+=

+ +

a) Prenosna unkcija:2

( )

2 2

S Wok s

S S

+=

+ + b) !rekventna karakteristika: !*+ (jω) , -*+ (s) (s,jω)

2

2 2 2

j j (22 ) j( j )

2(j ) j 2 (22 ) j (22 ) j Fok

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω

+ += = ×

+ + + 2

2 2 2

2 2 10 /( j )

(22 ) ( )

j j Fok

ω ω ω ω

ω ω

− − − +=

+2

2 2 2

2 / (2 10 )( j )

(22 ) ( )

j Fok

ω ω ω ω

ω ω

− + − +=

+2

2 2 2

2 /$e ( )

(22 ) ( ) Fok

ω ω

ω ω

− +=

+ "

2 2 2

(2 10 )#m ( )

(22 ) ( ) Fok

ω ω ω

ω ω

− +=

+22 )(#m)($e)( ω ω ω Fok Fok Aok +=

2 22

2 2 2 2 2 2 2 2

2 / (2 10 )

( ) ((22 ) ( ) ) ((22 ) ( ) ) Aok

ω ω ω

ω ω ω ω ω

− + − += + ÷ ÷+ +

Jovanović Milovan 24/041


2/15


2

2 2 2

0 3/ /( )

(22 ) ( ) Aok

ω ω ω ω

ω ω

+ + +=

+

( )( )

2 2 2

2 2

2 2 2

(2 10 )

#m (2 10 )(22 ) ( )( )2 /$e 2 /

(22 ) ( )

Ok Fok arctg arctg arctg Fok

ω ω

ω ω ω ω ω ϕ ω ω ω ω

ω ω

− +

− ++= = = ÷− + − + +

c) Za 1=ω

2

2 / $e ( 1) 1

(22) Fok ω

− += = = =

+12

#m ( 1)

Fok ω −

= = = −

2

0 3/ / 1/0( 1) 0.34

0 1/ Aok ω

+ + += = = =

+

( )

( 1) 31.5/ 1.21

Ok arctg arctg rad ϕ ω

−= = = − = − = −o

)()()()(

)( s x sWok x sWok

s x

xuS i

u

i ⋅=⇒=

2 2

1

2 2 1i

S x

S S S

+= ×

+ + + "=)(t x

i

' 12 2

2( 1)( 1)

S

S S

+ + + '.6.

=)(t xi

' 1( ) ( )

22 2

2 1 1 0

S

S S

+

+ + +

=)(t xi

1

2 ' 1

( ) ( ) 22 2

1 1 0

S

S S

+

+ + + " ( ) ( )[ ]

2222 β α ω

δ

++⋅+

+

S S

S

1 2 2 2

2 1 2

1. 40 31.53 1.25 0arctg arctg arctg arctg rad

ω αω

θ δ α β ω = − = − = − = − = −+ −

( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 2 22 2 1 1 0 1 γ αω α β ω = + + − = × + + − =

2 2 2 2 2

2 0 2 1 00

1 1 0 1arctg arctg arctg arctg

β αβ θ

γ α α β ω

× ×= + = + =

− − + − − +

( ) ( ) ( )

( ) ( )

112 2 22 2 2

1 2

1 1 1sin sin

2

t

i x t t e t h t α δ α β δ ω ω θ β θ

ω γ β γ

−

− + + = + + + ÷ ÷ ÷



3/15


( ) ( ) ( )

( ) ( )

112 22 2 1 01 1 1

sin 1.25 sin 0 02 0

t

i x t t e t h t −

− + + = − + + ÷ ÷ ÷

( ) ( ) ( )

11.25sin 1.25

2i x t t h t

= −


t

7i(t)


4/15


a) %mplitudno rekventna karakteristika

2

2 2 2

0 3/ /

( ) (22 ) ( ) Aok

ω ω ω ω ω ω

+ + +

= +

w 3 2.5 2 1.5 1 0.50.2

5 0

-0.2

5-

0.5 -1-

1.5 -2-

2.5 -3

49.538.

128.

119.

612.

6 7.8 6.4 6.0 6.4 7.812.

619.

628.

138.

149.

5

292 135 52 15 4 3 4 4 4 3 4 15 52 135 292Ao

k 0.170.2

80.5

41.2

83.1

62.3

91.7

11.5

01.7

02.4

03.1

51.2

90.5

40.2

80.1

7



5/15


b) &odogra rekventne karakteristike otvorenog kola2

2 2 2

2 /$e ( )

(22 ) ( ) Fok

ω ω

ω ω

− +=

+ "

2 2 2

(2 10 )#m ( )

(22 ) ( ) Fok

ω ω ω

ω ω

− +=

+

w -3 -2 -1.5-

1.25 -1

-

0. 75 -0.5

-

0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

ReFok(

w)

-0.04

1

-0.0

4 0.10.3

8 11.6

21.6

91.5

61.5

1.56

1.69

1.62 1

0.38 0.1

ImFok(

w)

0.288

0.69

1.43

2.18 3

2.77

1.62

0.67 0

-0.6

7

-1.6

2

-2.7

7 -3

-2.1

8

-1.4

3

c) 'ogaritamsko rekventna karakteristika:

2

( )

2 2

S Wok s

S S

+=

+ + "

1 2 Wok Wok Wok Wok = × ×

1)1( ) 8 2Wok s =

1 1 1( ) 0 $e ( ) 8 2 " #m ( ) 0 Fok j Fok Fok ω ω ω = ⇒ = =22 #m$e += A

2( ) 8 2 Aok ω =

1

1

20log82

#m0

$eOK

Lok

arctg ϕ

=

= =



6/15


2)2

1

S Wok = +

( )

j Fok

ω ω

+=

2$e ( ) 1 Fok ω = "

2#m ( )

Fok

ω ω =

2

2

2( ) 1

Aok

ω ω

= + ÷

21

22

( ) 0 "

( ) 20 log

Lok

Lok

ω ω

ω ω ω

> =

22

2

#m( )

$e OK arctg arctg

ω ϕ ω = =

) 2

1

2 1Wok

S S =

+ +

( )( )( )

( )

( )

2 2

22 2 2 2

1 2 1 21( )

1 2 1 2 1

j j Fok

j j

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω

− − − −= × =

− + − − − +

( )

( )

2

22 2

1$e ( )

1 Fok

ω ω

ω ω

−=

− + "

( ) 2

2 2

2#m ( )

1 Fok

ω ω

ω ω

−=

− +

( )

( )( ) ( )

22 2

2 22 2 22 2

1 1( )

1 1

Aok ω ω

ω

ω ω ω ω

− += =

− +− +

1

2

2

( ) 0 " 1

( ) 20 log 20 log " 1

Lok

Lok

ω ω

ω ω ω ω

= >

2

#m 2( )

$e 1OK arctg arctg

ω ϕ ω

ω = = −

−


ω 0.5 0.52

10 100

1OK ϕ 5 4.2 35.4 3.1 4.3

2OK ϕ 35.4 8 1/0 13/.1 134./

OK ϕ 0.4 .1 4 4.4


7/15


TREĆA LABORATORIJSKA VEŽBA IZ OSNOVA

AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

Za sistem dat prenosnom unkcijom kola:

12

212 ++

+=S S

S Wok



8/15

Osnove automatskog upravljanjaa) %nalitički odrediti i graički prika9ati jedinični od9iv pri svim početnim uslovima

jednakim nuli.

b) *drediti jednačinu stanja i jednačinu i9la9a.

c) *drediti kretanje u slobodnom radnom reimu.

d) #spitati stabilnost primenom:

• 6eoreme stabilnosti

• &urvicovog kriterijuma• ;ajkvistovog kriterijuma• pravljivost objekta• #9la9nu upravljivost objekta• *smotrivost objekta

g) #9abrati regulator koji ?e obe9bediti nultu vrednost po9icione statičke greške.

a) 12

21)(

2 +++=

S S

S sWok

++⋅

+⋅=

++⋅

+⋅=

=

++⋅

+=

++⋅+

=⋅=

+++

=

++++++

+

=

+++

+

+++

=+

=

4

2)

2(

2

1

2

4

2)

2(

)2

1(2

)(

1)("

4

2)

2(

21

)2(

21)()()(

2

12

12

2

12

21

12

211

12

21

)(1

)()(

22

22

2

2

2

2

2

2

S S

S

S S

S

s x

S s x

S S

S

S S S

S s x sW s x

S S

S

S S

S S

S S

S

S S

S S S

S

sWok

sWok sW

uui

⋅==

2)()( t g t xi

' 1

++⋅

+2

2

2)

2(

2

1

S S

S

"

)( 22 β α

γ

++⋅+

S S

S

( )( ) )(sin

1

2)(

22

22

22 t ht et x t i ⋅

+⋅⋅⋅

++−

⋅++

= − θ β β α

β α γ

β β α

γ α

rad arctg arctg arctg arctg /1.0

)2

)

2

)2

21

)

2

−=

−

⋅−

−

⋅=

−

⋅−

−

⋅=

α

β

α γ

β θ



9/15


=⋅

+⋅⋅⋅

+

+

−

⋅+

+

= −

)(/1.0

2sin

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2)(

2

22

22

22t ht et x

t

i

( ) )(/1.03.0sin34.035.0

2

2

t ht et

⋅

+⋅⋅+=

−

t

π

π

2

π

π π

)(t xi 0.55 0.50 0.5 0.5 0.5

b)

2

21

)(

)()(

2 +++==

S S

S

s x

s x sW

u

i

1"

2"0

2"

"1

)(

1)(

2)(

2)(

)(

:8)(2)()(2)()(

012

012

....

2

===

===

+=++

+=++

bbb

aaa

t xt xt xt xt x

sSx s x s x sSx s xS

uuiii

uuiii

+

−

−=

12

)(

0

2

1

)( @

.

@

t xt xi jednačina stanja

[ ] )(0)(01)( @

t xt xt xui

⋅+⋅= jednačina i9la9a

c) ( ) 11 −− =− P ASI

( )

−+=

−

−−

=−

S

S

S

S ASI

2

1

02

1

0

0

2

2

1

)det( 2 ++=−+

=− S S S

S ASI

" adj(A#%) ,

+−

21

S

S

( )

+−⋅

++=− −

21

2

1

2

1

S

S

S S

ASI



10/15


"

2

1"

2221

1211

+=−=

==

S A A

AS A

++

+

++

−

++++

=Φ

2

2

2

2

1

2

)(

22

22

S S

S

S S

S S S S

S

t

=Φ )(11 t ' 1=

++

2

2S S

S

' 1

222 )(

4

2)

2(

β α

γ

+++

⇒

++ S S

S

S

( ) ( ) ( )

−+⋅

+

−=+⋅+−=Φ −−

2

2

2sin)(

2

4

2

2

sin)( 2

2

22

11 arctg t t het t het t t θ β

β β α γ α

( )

−⋅=Φ

−2/.5

2sin)(3.1

2

11 t t het t

=Φ )(12 t ' 1=

++

2

1

2S S

' 1( ) 222

2)(

2)

2(

1

β γ

α

++⇒

++

S

S

( ) t t het t het t

t

2sin)(

2

1sin)(

2

12 ⋅=⋅=Φ −− β

β

α γ

=Φ )(21 t ' 1

2

2)

2(

2

2

2

−=

++

−

S

' 1

222

2)(

2)

2(

2

β γ

α

++⇒

++

−

S S

( ) t t het t het t het t t t

2sin)(2

2

2sin)(

2

2

sin)( 2

2

21 ⋅−=⋅−=⋅=Φ −−− β

β α γ

=Φ )(22 t ' 1

=

++

+

2

2S S

S

' 1

222

2)(

2)

2(

β α

γ

+++

⇒

++

+

S

S

S

S

( ) ( )

( )

−+⋅

+

−

=+⋅+−

=Φ −−

2

2

2sin)(

2

4

2

2

sin)(

2

2

22

22 arctg t t het t het

t t

θ β β

β α γ α



11/15


( )

+⋅=Φ

−2/.5

2sin)(3.1

2

22 t t het t

⋅

ΦΦΦΦ

=2221

1211

20

10

0)()(

)()()B(

X

X

t t

t t xt x

=

Φ+ΦΦ+Φ

=2221

1211

)(

)(

)()(

)()()B(

2

1

2010

2010

0 @ t X

t X

X t X t

X t X t xt x

20102

20101

)()()(

)()()(

X t X t t X

X t X t t X

2221

1211

Φ+Φ=Φ+Φ=

d)6eorema stabilnosti 0det ≠

1o $eAi ≤ 0

9a sistem :2

21

2 ++

+=S S

S W

karakterističan polinom: 02 2 =++ S S

stabilan jeSistem R

iS

e ⇒≤−=

±−=−±−=

0/

5

/

5

/

21/281

• &urvicov kriterijum

2""

2)(

012

2

===

++=

aaa

S S s f

02

0>=∆

m

00

2

1

>=∆ >=∆

Crugi uslov je 9adovoljenB pa je sistem i prema ovom kriterijumu stabilan.

• ;ajkvistov kriterijum012 2 =++ S S

/

2

/

122281

iS

±−=−±−=

⇒−=

1e

R *tvoreno kolo sistema je stabilno pa se primenjuje poseban ;ajkvistov

kriterijum.



12/15


Ca bi sistem bio stabilan potrebno je i dovoljno da Dodogra rekventne karakteristike 9a)B0( +∞∈ω otvorenog kola sistema ni jedan put ne obuDvata kritičnu tačku (1B j0) niti

prola9i kro9 nju.

Aistem je stabilan po ovom kriterijumu.

• ω Lok .

e)Pojačanje i statičke greške

2

212 ++

+=

S S

S W

02 2 =++ S S " stabilan jeSistem R

iS

e ⇒≤−=

±−=−±−=

0/

5

/

5

/

21/281

$ealni delovi su manji od nule ($eF0) pa se moe primeniti druga granična teorema 'aplasa:

0"2

0"1

2

1"0

2

21lim

)(lim

2

0)$e( 0

0

==

==

==

++

+⋅=

=

>→

→

k r

k r

k r

S S

S S k

sW S k

r

S S

r

S

Atatičke greške:

• Po9iciona statička greška



13/15


( )

( ) 21

2

11

2

211lim

2

2111lim)()(lim)(lim

20

20

0)$e(0

0)$e(0

=−=

++

+−=

+++

⋅−⋅=−=⋅=

→

→≥

→≥

→

S S S

S

S S

S

S S S s X s X s S

S SP

S ii!

S

S

S

S SP

ε

ε

• pravljivost objekta

1"

2"

1"

2"1

)(

1)(

2

1

21

:8)()(22

01012

....

....

=====

+=++

+=++

bbaaa

t "t " x x x

t "t " x x x

iii

i

ii

>pravljivost


ž

[ ] )(01)(

1

2

)(

0

1

1

2

)(

12

21)(

)()()(

@ @

@

.

@

2

t X t X

t X t X

S S

S sWo

Wos sWo sWk sWok

i

ii

⋅=

+⋅

−

−=

+++=

=⋅=


14/15


−−=

+−+−=

⋅

−−=⋅

=−=

=

4

24

1

04

2

1

4

1

2

0

1

1

2

1

1

2

1

2

# A

#

( )

−

−=

4

2

14

1

2

B A# # 2)B( == n A# #rang *bjekat je upravljiv

• #9la9na upravljivost

[ ] 2

1

2

01 =

⋅=⋅ #$ % ⇒= 0)B( #$ rang % *bjekat je i9la9no upravljiv

• *smotrivost objekta

g)

12

21)(

2 +++=

S S

S sW O

"

S

S % sW

R

1)(

+⋅=

( )

( ) 1

1

1

1)22(

1)22(lim)(lim

1)22(

1)22(

12

2111

12

211

)()(1

)()()(

200

2

2

2

==++++⋅+

+++⋅==

++++⋅++++⋅=

+++

⋅+⋅

+

+++

⋅+⋅

=⋅+

⋅=

→→ % S % S S

% %S S sW k

% S % S S

% %S S

S S

S

S

S % S S

S

S

S %

sW sW

sW sW sW

S S

O R

O R

S sW %

R

1)(0 =⇒=


ž

(

[ ]

osmotri& jeobjekat A$ $ rang

$ A

A A$ $

$ A$

%

%

% %

%

⇒≠=

−=

⋅

−−=⋅

−−=

−

−=

=⇒=

≠

02)B(

1

2

0

1

01

1

2

01

1

2

"

0

1

1

2

"0

101

0B


15/15


0

12

2111lim))()((lim)(lim

12

21

12

2111

12

211

)(

2

000

2

2

2

=

+++

+⋅−=−=⋅=

++++

=

+++

⋅+

+++

⋅=

→→→ S S S

S

S S

s X s X s S

S S S

S

S S

S

S

S S

S

S sW

S

ii!

S S

Sr ε


Documents

Laboratorijske Milovan