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Universidad Francisco GavidiaFacultad de Ingeniera y Sistemas

Laboratorio 3Asignatura: Matemtica IVProfesor: Lic. Danilo Leiva.Estudiantes: Garca Tobar Wilmer JosuGT100814 Quintanilla Orellana Susana CarolinaQO100213 Rivas Menjivar Gabriela NicoleRM106814 Tejada Snchez Julia MeraryTS100113

Grupo: 02Ciclo 01-2015

ndicePortada..................................................1ndice..2Introduccin3Cuerpo del trabajo Ejercicio 04 Ejercicio 15 Ejercicio 29 Ejercicio 312 Ejercicio 4..14 Ejercicio 5..17 Ejercicio 6..20 Ejercicio 7..23 Ejercicio 8..27 Ejercicio 9..30 Ejercicio 1034 Ejercicio 1138 Ejercicio 1242 Ejercicio 1346 Ejercicio 1449 Ejercicio 1552

Conclusiones57Sugerencias y/o comentarios58Bibliografa ..59

IntroduccinLa matemtica ha constituido, tradicionalmente, la tortura de los escolares del mundo entero, y la humanidad ha tolerado esta tortura para sus hijos como un sufrimiento inevitable para adquirir un conocimiento necesario; pero la enseanza no debe ser una tortura, y no seramos buenos profesores si no procurramos, por todos los medios, transformar este sufrimiento en goce, lo cual no significa ausencia de esfuerzo, sino, por el contrario, alumbramiento de estmulos y de esfuerzos deseados y eficaces.(Puig Adam, 1958)

El presente trabajo de modelado de problemas matemticos tales como crecimiento y decrecimiento, enfriamiento, circuito elctrico L-R en serie, circuito elctrico R-C en serie, ecuaciones no lineales; estn resueltos de una forma semi estndar la cual te la daremos a conocer para ayudarte a facilitar la comprensin y anlisis del mismo.El primer paso ser la lectura detenida pero sobre todo comprensiva de cada uno de los 15 ejercicios enunciados a continuacin, al tener claro el problema tenemos que plantearnos de una forma precisa y ordenada nuestras interrogantes y a la vez dejar claros nuestros datos ya conocidos.Una de las decisiones ms importantes a tomar es utilizar un modelo matemtico que ayude a resolver el problema, luego con lo ya aprendido en clase resolvemos las ecuaciones diferenciales que se nos presentan; planteamos la solucin particular que nos ayude a resolver nuestras interrogantes, antes ya planteadas y de esta forma lograr el xito en la resolucin de los mismos.

0) Responda a las siguientes interrogantes de modelado con E.D. de primer orden:

InterrogantesRespuestas

Qu es un modelo matemtico?Es la descripcin matemtica de un sistema o fenmeno.

Qu significa el nivel de resolucin de un modelo?La construccin de un modelo a partir de la identificacin de las variables responsables del cambio que producen en el sistema.

Qu significa el trmino vida media?Es una medida de la estabilidad de una sustancia radioactiva. Es decir, el tiempo en que se desintegra la sustancia a la mitad de los tomos presentes en una cantidad inicial o transmutar en tomos de otro elemento.

Verificar las predicciones del modelo con hechos conocidos Presentar predicciones del modelo, por ejemplo, de forma grficaObtencin de soluciones Resolucin de las ecuaciones diferenciales Si es necesario, modificar las suposiciones o incrementas la resolucin del modelo Formulacin matemtica Matemtica SuposicionesExpresar suposiciones en trminos de ecuaciones diferenciales Cules son los pasos del proceso de modelacin? Construya un diagrama.

Mencione el nombre de 10 modelos matemticos con su respectiva ecuacin diferencial.1) dinmicas de poblacin

2) decaimiento radioactivo

3) Ley de Newton de enfriamiento o calentamiento

4) Difusin de una enfermedad

5) Reacciones qumicas

6) mezclas

7) Drenado de un tanque

8) circuitos en serie

9) Cada libre

10) Cada de cuerpos y resistencia al aire

1) Resuelva el siguiente problema de modelado con E.D. de primer orden:

PROBLEMAEn un principio, estaban presentes 100 miligramos de cierta sustancia radiactiva. Despus de 6 horas, la masa haba disminuido en 3%. Si la tasa de decaimiento es proporcional a la cantidad de sustancia presente en el tiempo t, encuentre:(a) la cantidad restante despus de 24 horas.(b) la cantidad de la sustancia para cuando .(c) el tiempo en que la sustancia se reduce al 50%.

i) DATOS E INTERROGANTESDatos: Sustancia inicial Sustancia para t = 0 A(0) = 100Sustancia disminuye 3% en t = 6 horas A(6) = a) la cantidad de sustancia despus de 24 horas A(24) = Ab) la cantidad de sustancia para cuando c) el tiempo en que la sustancia se reduce al 50%

ii) MODELO MATEMTICO A USAR

iii) SOLUCIN DE LA E.D. (Solucin General)

iv) VALOR DE LAS CONSTANTES DE PROPORCIONALIDAD Y DE INTEGRACINk = C = 100

v) SOLUCIN PARTICULAR

vi) RESPUESTAS DE LA(S) INTERROGANTE(S)(a) La cantidad restante despus de 24 horas

P = 88 miligramos

(b) La cantidad de sustancia para cuando .

(c) El tiempo en que la sustancia se reduce al 50%

JUSTIFICACIONES DEL PASO iii)Separando variables:

JUSTIFICACIONES DEL PASO iv)EVALUANDO CONDICIONES:A (0) = 100

A (6) = (0.03)

JUSTIFICACIONES DEL PASO vi)

Evaluando condiciones: A (24) =


PROBLEMA

Cuando el inters se compone de manera continua, la cantidad de dinero aumenta de una tasa proporcional a la cantidad presente en el tiempo , es decir, , donde es la tasa anual de inters.(a) Encuentre la cantidad de dinero acumulada al final de ocho aos cuando se depositan $10,000 en una cuenta de ahorro que produce una tasa de inters anual compuesta continua de .(b) En cuntos aos se habr duplicado la suma inicial que se deposit?(c) Utilice una calculadora comparar la cantidad que se obtuvo en el inciso (a) con la cantidad que se acumula cuando el inters se compone trimestralmente.

i) DATOS E INTERROGANTESDatos: Cantidad inicial Cantidad para t = 8 a) Cantidad de dinero acumulado en 8 aos b) En cuantos aos ser 2c) Comparacin de y



iv) VALOR DE LAS CONSTANTES DE PROPORCIONALIDAD Y DE INTEGRACINk = 0.0675C = 10,000


vi) RESPUESTAS DE LA(S) INTERROGANTE(S)(a) La cantidad acumulada despus de 8 aos

(b) La cantidad de aos en que se duplica

(c) Comparacin


JUSTIFICACIONES DEL PASO iv)

C viene dada por los $10,000 que se depositan anualmenter viene dada por la tasa de inters anual, en este caso es el 6 = 0.0675


Evaluando las condiciones:

=


PROBLEMAEl sudario de Turn muestra el negativo de la imagen del cuerpo de un hombre que parece que fue crucificado, muchas personas creen que es el sudario del entierro de Jess de Nazaret. En 1988 el Vaticano concedi permiso para datar con carbono el sudario Tres laboratorios cientficos independientes analizaron el pao y concluyeron que el sudario tena una antigedad de 660 aos, una antigedad consistente con su aparicin histrica. Usando esta antigedad determine qu porcentaje de la cantidad original de C-14 quedaba en el pao en 1988.

i) DATOS E INTERROGANTESDatos: Antigedad: 660 aosLa vida media del carbono = 5,600 aosa) Cuanto carbono an permanece en el pao en 1988



iv) VALOR DE LAS CONSTANTES DE PROPORCIONALIDAD Y DE INTEGRACINk = C =


vi) RESPUESTAS DE LA(S) INTERROGANTE(S)(a) Porcentaje de la cantidad original de C-14 que queda en el pao en 1988

JUSTIFICACIONES DEL PASO iii)Si:

Por variables separables:


Para C(0) =

Para C(5600) =


PROBLEMA

Se toma un termmetro de una habitacin donde la temperatura es de y se lleva al exterior, donde la temperatura del aire es de . Despus de tres cuartos de minuto el termmetro marca .a) Cul es la lectura del termmetro en minutos?b) Cunto tarda el termmetro en alcanzar ?c) Cul ser la temperatura cuando ?

i) DATOST (0) = 90FTm = 0FT = 60F



iv) VALOR DE LAS CONSTANTES DE PROPORCIONALIDAD Y DE INTEGRACIN

C = 90


vi) RESPUESTAS DE LA(S) INTERROGANTE(S)(a) Lectura del termmetro en minutos:

(b) Tiempo en alcanzar 00 C:

(c) Temperatura cuando .

Datos: T (0) = 90FTm = 0FT = 60F

Por variables separables:Evaluando valores iniciales

90F =

90 = C

Encontrando K

Solucin Particular

(a) Cul es la lectura del termmetro en t= 1 minutos?

(b) Cunto tarda el termmetro en alcanzar 0 C?F = C x 1.8 + 32F = 0 x 1.8 + 32 F = 32

(c) Cul ser la temperatura cuando t ?


PROBLEMA

Un termmetro que marca se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante. Por una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que despus de de minuto el termmetro marca y luego de un minuto y medio la lectura es de .(a) Cul es la temperatura del horno?

(b) En cunto tiempo alcanzar una temperatura de ?

i) DATOST(0) = 90FTm = ?T(3/4) = 125FT(1.5) = 175F



iv) VALOR DE LAS CONSTANTES DE PROPORCIONALIDAD Y DE INTEGRACINk =


vi) RESPUESTAS DE LA(S) INTERROGANTE(S)(a) Temperatura del horno

(b) Tiempo en alcanzar 3000 F:

Datos:T(0) = 90FTm = ?T(3/4) = 125FT(1.5) = 175F


(a) Cul es la temperatura del horno?

igualando

(b) En cunto tiempo alcanzar una temperatura de 300F?

Encontrando K

Solucin particular


PROBLEMA

Se toma un termmetro de una habitacin donde la temperatura es de y se lleva al exterior, donde la temperatura del aire es de . Despus de medio minuto el termmetro marca . (a) Cul es la lectura del termmetro en minuto? (b) Cunto tarda el termmetro en alcanzar ? (c) Cul ser la temperatura cundo ?

i) DATOST(0)= 70FTm= 10FT(0.5)= 50F



iv) VALOR DE LAS CONSTANTES DE PROPORCIONALIDAD Y DE INTEGRACIN


vi) RESPUESTAS DE LA(S) INTERROGANTE(S)(a) Lectura del termmetro en t = 1 minuto:

(b) Tiempo en alcanzar 150 F:

(c) Temperatura cuando .

Datos:T(0)= 70FTm= 10FT(0.5)= 50F


Sust. Valores Iniciales.

Entonces sust. Segundos valores iniciales

Solucin particular

(a) Cul es la lectura del termmetro en t=1 minuto?

(b) Cunto tarda el termmetro en alcanzar 15F?

(c) Cul ser la temperatura cundo ?


PROBLEMA

A un circuito en serie, en el cual la capacitancia es de (faradios) y la resistencia es de (ohmios), se le aplica una tensin de (voltios). Evale(a) La carga del capacitor si .(b)

Determine la carga y la corriente para seg.(c) Determine la carga cuando .

i) DATOS (Diagrama)



iv) VALOR DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIN


vi) RESPUESTAS DE LA(S) INTERROGANTE(S)(a) Carga si i(0)=0.5:

|

(b) Carga y corriente para t=1.5 seg:

(c) Carga cuando .

Forma estndar:

Factor Integrante

Escribir de la forma

(a) La carga del capacitor si i (0)= 0.5.

Solucin particular

(b) Determine la carga q(t) y la corriente i(t) para t =1.5 segundos.

(c) Determine la carga cuando ?


PROBLEMA

Una batera de (voltios) se conecta a un circuito simple en serie en el cual la inductancia es (henrios), y la resistencia, de (ohmios). Determinar:(a) La corriente si la intensidad inicial es cero.(b)

Determine la corriente para seg.(c)

Qu sucede con la corriente para cuando ?

i) DATOS (Diagrama)





vi) RESPUESTAS DE LA(S) INTERROGANTE(S)(a) Corriente si i(0)=0:

(b) corriente para t=100 seg:

(c) Corriente cuando .

Sust. Valores iniciales

Resolviendo E.D. Lineal

Factor Integrante

Escribir de la forma

(a) La corriente i si la intensidad inicial es cero.

Solucin particular

(b) Determine la corriente i(t) para t =100 seg.

(c) Qu sucede con la corriente i para cuando ?


PROBLEMA

El nmero de Supermercados en el Gran San Salvador que usan un sistema de control por computadora de los horarios de entrada y salida se describe por medio del problema de valor inicial , con , sujeta a .(a) Cuntos Supermercados estarn usando dicho sistema cuando meses?(b) En cunto tiempo adoptarn el sistema 500 supermercados?(c) Cul es el mximo de empresas que adoptarn el nuevo procedimiento en el futuro?

i) DATOS



iv) VALOR DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIN 0.175


vi) RESPUESTAS DE LA(S) INTERROGANTE(S)(a) Nmero de supermercados en 10 meses: 39.987; aproximado 40 supermercados

(b) Tiempo en que 500 supermercados adoptan el sistema:.

(c) Nmero de supermercados en un largo periodo:.

JUSTIFICACIONES DEL PASO iii)

Escribiendo la ecuacin de la forma e identificar p(t), f(t) y n;; ;Donde:P(t)=-1 ; f(t)=-0.025 ; n=2Hacer ; ;

Formar la E.D. lineal reducida ; Donde: p(t)=1 f(t)=0.025

Calculando factor integrante.(t)=(t)=(t)=

Escribir la ecuacin de forma ;

Integrando ambos miembros:;

Despejando WW =

Sustituir W para recobrar variables originales y reducir.

S =

JUSTIFICACIONES DEL PASO iv)a) S(o)=55 = 5 = 5(0. 025+c)=1 0.125+5C=1 C = C = 0.175

JUSTIFICACIONES DEL PASO vi)a) S(10) = SS (t) = S (10) = S (10) = 39.987; aproximado 40 supermercados.b) S(t)=500S (t) =

Despejando t

Sustituyendo los valores de S(t) y C

Aplicando propiedades de logaritmos .

c) C=0.175 S(t)=?

Ocuparemos la ecuacin encontrada para S ; ;

Aplicando la regla de Lhospital obtenemos Aplicamos derivada en la ecuacin

S = 0.025 .


PROBLEMA

La poblacin de una marginal de una gran ciudad en un instante cualquiera se rige por el problema de valor inicial , sujeta a , en donde se mide en aos.(a) Cul es el valor lmite de la poblacin?(b) En qu momento ser la poblacin igual a la mitad de su valor lmite?(c) Cul ser la poblacin despus de 10 aos?

i) DATOSInterrogantes:P(10)=?P(?)=500P(=?

ii) MODELO MATEMTICO A USAREn este caso el ejercicio nos lo proporciona



v) SOLUCIN PARTICULAR o a largo plazo

vi) RESPUESTAS DE LA(S) INTERROGANTE(S)(a) Lmite de la poblacin:

(b) Tiempo en que la poblacin alcanzar la mitad de su valor lmite:

(c) Poblacin a los 10 aos:



Despejando p


JUSTIFICACIONES DEL PASO vi)a) Solucin particular forma a largo plazo en funcin del tiempo

=

=10000

B) valor lmite= 10000/2 = 5000

c) Poblacin a los 10 aos:


PROBLEMALa poblacin de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional al nmero de bacterias presentes en el tiempo . Despus de cinco horas se observ que estn presentes 900 bacterias. Despus de diez horas hay 5000 bacterias.(a) Cul fue el nmero inicial de bacterias?(b) Qu tiempo es necesario para que el nmero de bacterias se triplique?

(c) Cul ser el nmero de bacterias para cuando ?

i) DATOSDatos:Poblacin inicial Poblacin para t = 0 Poblacin para t = 5 horas Poblacin para t = 10 horas

a) Cul es la poblacin inicial b) En cuanto tiempo se triplicar c) Cuantas bacterias sern cuando



iv) VALOR DE LA CONSTANTE DE INTEGRACINC = 162


vi) RESPUESTAS DE LA(S) INTERROGANTE(S)(a) Cul fue el nmero inicial de bacterias?

(b) Qu tiempo es necesario para que el nmero de bacterias se triplique?

(c) Cul ser el nmero de bacterias para cundo ?


JUSTIFICACIONES DEL PASO iv)Evaluando condiciones:N (0) =

JUSTIFICACIONES DEL PASO vi)Evaluando en las condiciones:N (5) = 900

N (10) =5,000

Sustituyendo el valor de :

Evaluando para encontrar k:

N (5) = 900

Por tanto nuestra solucin particular ser:

Evaluando para:N (t) = 3

Evaluando cuando


PROBLEMAAoPoblacin(en millones)

17903,929

18005,308

18107,240

18209,638

183012,866

184017,069

185023,192

186031,433

187038,558

188050,156

189062,948

190075,996

191091,972

1920105,711

1930122,775

1940131,669

1950150,697

En la tabla se muestran los datos del censo para Estados Unidos entre 1790 y 1950.(a) construya un modelo de poblacin, usando la ecuacin logstica con los datos de 1790, 1850 y 1910;(b) construya, con su modelo, otra tabla en la que se pueda comparar los datos reales del censo con la poblacin predicha mediante el modelo hecho en (a);(c) calcule el error y el error porcentual para cada par de datos.

i) DATOS





vi) RESPUESTAS DE LA(S) INTERROGANTE(S)(a) Modelo de Poblacin:

(b) Tabla

(c) Clculo del error y error porcentual:


Variables separables



R= a/b


PROBLEMAa)

El problema con valores iniciales , es el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva. Demuestre que, en general, la vida media de la sustancia es: b) Demuestre que la solucin del problema con valores iniciales del inciso (a) se puede escribir como: c)

Si una sustancia radiactiva tiene la vida media dada en el inciso (a), cunto tiempo le tomar a una cantidad inicial de sustancia decaer a ?

i) RESPUESTAS DE LA(S) INTERROGANTE(S)(a) Demostracin de la vida media:

(b) Demostracin de solucin con valores iniciales

(c) Tiempo que tomara en decaer:

T = 3T

JUSTIFICACIONES DEL PASO i)

(a) Separando variables para obtener nuestra solucin general:

Evaluando en:A (0) =

Si A = Entonces:

(b) Se tiene que

Despejando k :

Sustituyendo k en la solucin general:

(c) Si se tiene que decaer a

Se elimina por aparecer en ambos miembros de la ecuacin

Por la propiedad de los exponentes de igual base se tiene que:

Despejando t:

Por tanto:


PROBLEMAUna pequea barra de metal, cuya temperatura inicial era de 20o C, se deja caer en un gran tanque de agua hirviendo. Cunto tiempo tardar la barra en alcanzar los 90 C si se sabe que su temperatura aument 2o C en 1 segundo? Cunto tiempo tardar en alcanzar los 98o C?

i) DATOSDatos: Temperatura inicial de la barra Temperatura inicial del tanque

a) Tiempo para alcanzar 90 b) Tiempo para alcanzar 98





vi) RESPUESTAS DE LA(S) INTERROGANTE(S)(a) Tiempo en alcanzar 90 C:

(b) Tiempo en alcanzar 98 C:

JUSTIFICACIONES DEL PASO iii)Si

Entonces por variables separadas tenemos que:

Integrando ambos lados:

JUSTIFICACIONES DEL PASO iv)Teniendo que:

Evaluando en:T(0) = 20 Entonces:

Encontrando la constante de proporcionalidad: T(1) = 22


Evaluando las condiciones iniciales: T (t) = 90

T(t) = 98


PROBLEMADos grandes tanques A y B del mismo tamao se llenan con fluidos diferentes. Los fluidos en los tanques A y B se mantienen a 0o C y a 100o C, respectivamente. Una pequea barra de metal, cuya temperatura inicial es 100o C, se sumerge dentro del tanque A. Despus de 1 minuto la temperatura de la barra es de 90o C. Despus de 2 minutos se saca la barra e inmediatamente se transfiere al otro tanque.Despus de 1 minuto en el tanque B la temperatura se eleva 10o C. Cunto tiempo, medido desde el comienzo de todo el proceso, le tomar a la barra alcanzar los 99.9o C?

i) DATOSDatos: Temperatura inicial de la barra de metal Temperatura inicial del tanque A Temperatura inicial del tanque B


iii) RESPUESTAS DE LA(S) INTERROGANTE(S)(a) Tiempo en el Tanque A

(b) Tiempo en el Tanque B

(c) Tiempo Total

JUSTIFICACIONES DEL PASO iii)Si:

Entonces por variables separadas tenemos que:

Integrando ambos lados:

Para encontrar la constante de integracin se evala las condiciones iniciales con respecto al tanque A:Donde:

Para T(0) = 100 C

Para encontrar la constante de proporcionalidad se evala con las condiciones iniciales con respecto al tanque A:Para T(1) = 90 C

Evaluar en:T(2) = T

Para el segundo tanque se tiene que:T(0) = 81 C

T(1) = 91 C

Entonces:

Ahora se evala con respecto a las temperaturas obtenidas en el tanque B:

Para : T (t) = 99.9 C

Para obtener el tiempo total del proceso: Tiempo en el tanque A + tiempo en el tanque B = T2 min + 7.02 min = 9.02 min

ConclusionesAl finalizar el presente trabajo comprendimos que los modelos matemticos pueden ser situaciones cotidianas que se presentan en el entorno laboral o diario, estos problemas aunque a veces parecen tediosos, complicados, difciles de resolver o astrales; son ms fciles si seguimos al pie de la letra los siguientes pasos, los cuales nos facilitan la comprensin y desarrollo de los mismos:1. Leer el problema en su totalidad para tener un panorama global o general de ste.2. Leer el problema de nuevo, pero ahora detenidamente, e ir haciendo un listado de la informacin (datos) explcita e implcita que el enunciado de ste proporciona. Hacer diagramas, bosquejos o dibujos. Anotar tambin, las preguntas o interrogantes a resolver.3. Escoger el modelo matemtico a utilizar o construir la ecuacin diferencial, basados en el enunciado del problema.4. Resolver la ecuacin diferencial (Variables Separables, Exactas, Lineales, Homogneas o Bernoulli).5. Hallar el valor numrico de la constante de integracin y/o la constante de proporcionalidad evaluando las condiciones iniciales (datos).6. Escribir la Solucin Particular.7. Responder a las interrogantes del problema.

Sugerencias y/o comentariosA los miembros de nuestro grupo nos parece que el presente trabajo es un documento sumamente elaborado el cual reta y nos ayuda a comprender de una excelente manera los temas planteados y estudiados a lo largo del ciclo, pero sobre todo de la vida.Los ejercicios de cierta forma van subiendo su dificultad a lo largo del camino, pero con unin y trabajo en equipo no hay duda que todo se puede lograr.Le agradecemos Lic. Leiva porque en cierta forma confa en nuestro conocimiento y reta nuestros pensamientos, hacindonos al final lograr el xito del proyecto, el cual consideramos es el objetivo del mismo; lograr el xito!

Bibliografa Zill, Dennis. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de Modelado, 9 edicin, cencage learning. Mexico, 2009.

Ronald Estrada Palomares. Manejo de la tabla de integrales, 7 edicin, editorial universitaria, 2014.

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