Embed Size (px)
Citation preview
1
PRIMIJENJENA I NUMERIČKA MATEMATIKA
LABORATORIJSKE VJEŽBE
Marijan Čančarević
2
Uvod
Prisjetimo se nekih nama važnih pojmova, operacija i funkcija Matlab-a.
Primjer 1.Neka je zadana matrica A kojoj su elementi brojevi 1, 4, 7, ..., 148. Napišimo:
a) matricu B kao vektor-stupac elemenata matrice A ,
b) matricu C kojoj su elementi kubovi elemenata matrice B,
c)matricu D kojoj su elementi logaritmi baze 2 elemenata matrice C,
d) matricu E čiji su stupci matrice A, B i C,
e) matricu F reda 4, kojoj su retci redom 8., 24., 35. , 42. redak matrice E, a zadnji stupac su jedinice,
f) ispitati regularnost matrice F i odrediti (ako postoji).
Rješenje: a) >> A=1:3:148 % ili A=linspace(1,148,50)
A = Columns 1 through 12 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 ... >> B=A' % transponiramo matricu A B = 1 4 7 :
b) > C=B.^3 C = 1 64 343 :
c) >> D=log2(C) % ili D=log(C)/log(2) D = 0 6.0000 8.4221 :
d) >> format long >> E=[B C D] E = 1.0e+006 * 0.00000100000000 0.00000100000000 0 0.00000400000000 0.00006400000000 0.00000600000000 0.00000700000000 0.00034300000000 0.00000842206477 : e) >> F1=[E(8,:);E(24,:);E(35,:);E(42,:)] F1 = 1.0e+006 *
0.00002200000000 0.01064800000000 0.00001337829486 0.00007000000000 0.34300000000000 0.00001838784905
3
0.00010300000000 1.09272700000000 0.00002005950158 0.00012400000000 1.90662400000000 0.00002086258893
>> F2=ones(4,1) % matrica jedinica tipa 4x1 F2 =1 1 1 1
>> F=[F1 F2] F = 1.0e+006 *
0.00002200000000 0.01064800000000 0.00001337829486 0.00000100000000
0.00007000000000 0.34300000000000 0.00001838784905 0.00000100000000
0.00010300000000 1.09272700000000 0.00002005950158 0.00000100000000
0.00012400000000 1.90662400000000 0.00002086258893 0.00000100000000
f) >> det(F) % računamo determinantu matrice F i kako je različita od 0, F je regularna i ima inverznu ans = -2.213110104752545e+007 >> invF=inv(F) invF =
0.03427107891291 -0.20644296659192 0.31677476889746 -0.14460288121845
-0.00000038872086 0.00000340043027 -0.00000685589081 0.00000384418140
-0.50220429503858 1.95209438099016 -2.58039326093020 1.13050317497861
6.96881250055306 -21.61015673195249 27.62521849852486 -11.98387426712543
Primjer 2. Riješimo sustav:
a) , b) x+2y+3z=14, 2x+3y-2z=2, 3x-2y+z=0
Rješenje: Navedene sustave možemo riješiti na različite načine. Prvi sustav je homogen i ima uvijek barem trivijalno rješenje.
a) >> [x,y,z]=solve('3*x-2*y+z=0','2*x-3*y+4*z=0','-x-y+3*z=0') x =x y =2*x z =x
b) >> A=[1 2 3;2 3 -2;3 -2 1]; >> Ab=[1 2 3 14;2 3 -2 2;3 -2 1 2]; >> rank(A) ans = 3 >> rank(Ab) ans = 3 % sustav ima jednoznačno rješenje, koje možemo naći npr . ovako:
>> rref(Ab)
4
ans = 1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
Lako se čita da je
Možemo to napraviti kao u a) ili >> [14 2 2]/A
ans = 1 2 3
ili
>> X=A\[14 2 2]' X = 1 2 3
Primjer 3. Funkciju spremimo kao m-file pod imenom f1 i nacrtajmo njezin graf .
Rješenje: function y=f1(x) y=3*cos(x)-sqrt(x-7)
>> fplot('f1',[7,16]) % fplot koristimo za crtanje grafa funkcija koje su spremljene kao m-file
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Za crtanje grafa koriste se i funkcije plot , ezplot,... pri čemu je neophodno znati domenu funkcije . Pogledajmo što se dešava kada crtamo graf, a da ne znamo područje definicije funkcije:
>>syms x >> ezplot(3*cos(x)-sqrt(x-7),[-4,4]) Warning: Cannot plot 3*cos(x)-(x-7)^(1/2): This function has no real values.
>> ezplot(3*cos(x)-sqrt(x-7)) % nismo naveli granice pa Matlab uzima interval [-2*pi,2*pi] Warning: Cannot plot 3*cos(x)-(x-7)^(1/2): This function has no real values.
5
Kako smo već vidjeli, Matlab je i programski jezik i omogućuje nam stvaranje vlastitih funkcija i programa koje možemo koristiti za rješavanje složenijih zadataka i problema.
Primjer 4. Koristeći funkciju rand ( generira uniformno distribuirane slučajne brojeve između 0 i 1 ) simulirajmo izvlačenje loto brojeva 6 od 45 .
Rješenje: >> x=ceil(1+(45-1)*rand(6,1)) % ceil zaokružuje broj na najbliži veći cijeli broj x = 1 33 20 41 21 19
ili
>> x=ceil(45*rand(6,1)) x = 7 1 41 9 14 30
Napomena: ako ste dobili dva ili više istih brojeva ( moguće je) , ponovite izvlačenje.
Primjer 5. Napišimo program koji će ispisivati binomne koeficijente u razvoju binoma
(redak u Pascalovu trokutu).
Rješenje: Kako je , to možemo riješiti npr. ovako:
function y=bk(n)
for k=0:n
y(k+1)=prod([n:-1:n-k+1]./[1:k]); % morali smo y-u indeks povećati za 1
end
Tako je >> bk(7)
ans = 1 7 21 35 35 21 7 1,
što znači :
Laplaceova transformacija
Ako je )(tf funkcija definirana za 0≥t , tada funkciju
∫∞+
−=0
)()( dttfesF st
6
nazivamo Laplaceovom transformacijom funkcije f(t), odnosno kažemo da je funkcija F(s) Laplaceov
transformat za f(t) i pišemo )(sF = ( ))(tfL . Funkcija )(tf se može transformirati pomoću
Laplaceove transformacije ako je definirana za svako 0≥t i nepravi integral ∫∞+
−
0
)( dttfe st konvergira,
tj. 0)(lim =−
∞→
st
tetf .
Za određivanje Laplaceovih transformacija funkcija koristi se navedena definicija, a za primjenu
koristimo Tablicu Laplaceovih transformacija.U Matlab-u Laplaceove transformacije po definiciji
određujemo uporabom naredbe int, i samostalno (bez Matlab-a) određivanjem ˝očitog˝ limesa( iako
ponekad izgleda komplicirano). To je zbog toga što nam za funkciju F(s) trebaju dvije varijable ( s i t)
koje treba zadati i Matlab to interpretira kao funkciju dvije varijable, a limes računamo po jednoj (t )
varijabli.
Primjer 1. Odredimo Laplaceovu transformaciju funkcije .2)( =tf
Rješenje:
>> syms t s
>> f=2*exp(-s*t);
>> F=int(f,t,0,inf)
F =limit(-2*(exp(-s*t)-1)/s,t = Inf)
Limes koji smo dobili ima vrijednost s
s2
/)1(2 =−⋅− ( jer je ( ) 0/2lim =⋅− −
∞→se st
t), pa
je .2
)2()(s
LsF ==
Prethodni način je teorijski dobar, ali manje vještom čitatelju može predstavljati problem. Zato Matlab posjeduje
funkciju laplace ( f ), gdje je f funkcija argumenta t (postoje i drugi oblici).
Primjer 2. Odredimo pomoću funkcije laplace Laplaceovu transformaciju funkcija:
a) ,2)( =tf b) ,3)( 2ttf = c) ttf cos)( =
Rješenje: a) >> f=2*t^0;
>> laplace(f)
ans =2/s
b) >> laplace(3*t^2)
ans = 6/s^3
c) >> laplace(cos(t)
ans =s/(s^2+1)
Svojstva Laplaceove transformacije:
7
1. Ako su a i b proizvoljne konstante i )(tf , )(tg funkcije za koje postoje Laplaceove transformacije,
tada je: ( ) ( ) ( ) )()()()()()( sbGsaFtgbLtfaLtbgtafL +=+=+
2. ( ) ( ) )0()()( ftfsLtfL −=′
3. ( ) ( ) )0()0()()( 2 fsftfLstfL ′−−=′′
Laplaceovoj transformaciji ))(()( tfLsF = funkcije )(tf je inverzna Laplaceova transformacija
( ))()( 1 sFLtf −= funkcije )(sF .
Primjer 3. Odredimo
−
sL
21 .
Rješenje: U prethodnom primjeru smo vidjeli da je L(2)=2/s pa je ( )sL /21− =2.
Inverznu Laplaceovu transformaciju u Matlab-u nalazimo funkcijom ilaplace(F) gdje je F funkcija
varijable s.
Primjer 4. Pomoću funkcije ilaplace odredimo a)
−
sL
21 , b)
++−
4)1(
22
1
sL ,c)
−−
2
1
)3(
1
sL
Rješenje: a) >> f=ilaplace(2/s)
f =2
b)>> f=ilaplace(2/((s+1)^2+4))
f =exp(-t)*sin(2*t)
c)>> f=ilaplace(1/(s-3)^2)
f =t*exp(3*t)
Vrijedi:
( ) ( ) ( ) )()()()()()( 111 tbgtafsGbLsFaLsbGsaFL +=+=+ −−− .
Tablica Laplaceovih transformacija i svojstava:
Funkcija f(t) Laplaceova transformacija F(s)
realna konstanta c
s
c
Nnt n ∈, 1
!+ns
n
te ⋅−α α+s1
8
tte ⋅−α
2)(
1
α+s
)sin( t⋅β
22 ββ+s
)cos( t⋅β
22 β+ss
)sin( te t ⋅⋅− βα 22
)( βαβ++s
)cos( te t ⋅⋅− βα 22)( βα
α++
+s
s
)()( tbgtaf +
)()( sbGsaF +
)(tf ′
)0()( fssF −
)(tf ′′
)0()0()(2 fsfsFs ′−−
)(atf
a
sF
a
1
a
tf
a
1
)(asF
Primjer 5. Koristeći prethodnu tablicu odredimo inverznu Laplaceovu transformaciju za funkciju
sss
sssF
128
43)(
23
2
++
−+= .
Rješenje: >> format rat
>> a=[1 3 -4]; b=[1 8 12 0];
>> [r,p,k]=residue(a,b) % rastavljamo funkciju na parcijalne razlomke
r = 7/12 % brojnici parcijalnih razlomaka
3/4
-1/3
9
p = -6 % nultočke nazivnika
-2
0
k= [] % ostatak 0
Dakle, naša se funkcija da zapisati u obliku: sss
sF1
3
1
2
1
4
3
6
1
12
7)( ⋅−
+⋅+
+⋅= i primjenom
tablice dobivamo 3
1
4
3
12
71
3
1
2
1
4
3
6
1
12
7))(( 261111 −+=
−
+
+
+
= −−−−−− tt ees
Ls
Ls
LsFL .
Napomena. Funkciju residue koristimo u slučaju da polinom u nazivniku ima sve realne nultočke, u protivnom
koristimo funkciju factor za rastav nazivnika na faktore, raspišemo racionalnu funkciju, iskoristimo jednakost dva
polinoma i na kraju riješimo sustav.
Sve ovo možemo riješiti jednostavnije: >> y=ilaplace((s^2+3*s-4)/(s^3+8*s^2+12*s))
y =-1/3+7/12*exp(-6*t)+3/4*exp(-2*t)
Naša osnovna primjena Laplaceove transformacije je za rješavanje nehomogene diferencijalne jednadžbe 2.
reda s konstantnim koeficijentima , )(tfcyybya =+′+′′ uz početne uvjete .)0(,)0( ByAy =′= Algoritam
rješavanja je sljedeći:
1) diferencijalnu jednadžbu Laplaceovom transformacijom zamijenimo algebarskom, 2) riješimo algebarsku jednadžbu po L(y) i 3) primjenom inverzne Laplaceove transformacije na dobiveno rješenje u 2) nalazimo rješenje
diferencijalne jednadžbe.
Primjer 5. Riješimo problem (nađimo partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe)
.1)0(,0)0(,2 =′==′+′′ yyyy
Rješenje: )2()()( LyLyL =′+′′ . Iz tablice dobivamo s
yysLysyyLs2
)0()()0()0()(2 =−+′−− ,
što nakon uvrštavanja početnih uvjeta daje: 232
2 2
)(
2)(.,
2)(1)(
ss
s
sss
syLtj
sysLyLs
+
+=
+
+==+− .
Rastavimo desnu stranu na parcijalne razlomke. >> a=[1 2 ]; b=[1 1 0 0];
>> [u v k]=residue(a,b)
u =1
-1
2
v=-1
0
0
k = []
10
Dobili smo: 223
21
1
12)(
sssss
syL +−
+=
++
= . Primjenom inverzne Laplaceove transformacije na L(y) i uz
pomoć tablice nalazimo partikularno rješenje: .21 tey t +−= −
Pokušajte problem riješiti pomoću funkcije ilaplace. Predhodnu jednadžbu smo riješili uz prilično skromnu
pomoć Matlab-a i jedini razlog za takav način rješavanja može biti samo teorijski. Svakako ovu i sve druge
diferencijalne jednadžbe lako i jednostavno rješavamo uz pomoć Matlab-a upotrebom naredbe dsolve.
Za rješenje je dovoljno napisati:>> syms t
>> y=dsolve( 'D2y+Dy=2','y(0)=0,Dy(0)=1' )
y =exp(-t)+2*t-1
Eulerova metoda
Neka je zadana diferencijalna jednadžba ),( yxfy =′ i početni uvjet 00 )( yxy = tj. točka ),( 000 yxM
odgovarajuće integralne krivulje. Za određivanje približne vrijednost i funkcije y(a) i aproksimaciju integralne
krivulje na intervalu [ ax ,0 ] podijelimo taj interval na n jednakih dijelova duljine h, tako da je .0 nhxa += U
točki ),( 000 yxM povučemo tangentu na integralnu krivulju . Postupak ponavljamo u sjecištu tangente i pravca
1xx = i tako do točke nx . Dobili smo točke ),( kkk yxM , gdje je ),(, 11 kkkkkk yxhfyyhxx +=+= ++ ,
k=0,1,...,n-1. Spajanjem točaka ),( kkk yxM dobivamo poligonalnu liniju koja će bolje aproksimirati traženu
integralnu krivulju povećavanjem broja koraka n.
Primjer 1. Eulerovom metodom za jednadžbu ,1)0(,2 =−=′ yyxy odredimo y(0.1) i nacrtajmo točke koje
smo dobili .
Rješenje: Očito je 2
0 ),(,1.0),1,0( yxyxfaM −== . Eulerova metoda približnog rješavanja diferencijalne
jednadžbe daje nam sljedeći postupak:
>> x=0;y=1;h=(0.1-0)/15;
>> for k=1:15 % uzeli smo n=15
f=x-y^2; y=y+f*h;x=x+h; plot (x,y,’*’); hold on
end
>> y
y = 0.9130
11
Greška aproksimacije je u četvrtoj decimali.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10.91
0.92
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
1
Zadaci
1. Napišite: a) jednostupčanu matricu A kojoj su elementi redom 110, 108, …, 4,2,
b) jednorednu matricu B dobivenu iz A zamjenom stupca u redak,
c) matricu C kojoj su elementi dobiveni potenciranjem elemenata matrice B eksponentom 3/2,
d) matricu D kojoj su elementi tangensi elemenata matrice C
e) matricu E kojoj su retci matrice B,C i D,
f) matricu F kojoj su stupci 3., 7. i 13 stupac matrice E,
g) ispitajte regularnost matrice F i odredite joj inverznu( ako postoji).
2. Funkcije spremimo kao m-file i nacrtajmo njihov graf.
3. Napišite program koji će računati sumu reda s točnošću .
4. Odredite Laplaceovu transformaciju funkcija: a) ,1)( −=tf b) ,3cos5)( 3 tttf += c) tetf t sin)( 2−=
5. Odredite inverznu Laplaceovu transformaciju funkcija :
a) .
6. Riješite problem a) b) 7. Metodom sukcesivnih aproksimacija nađite rješenje y3 (x) diferncijalne jednadžbe:
(uputa, ).
8. Eulerovom metodom izračunajte
12
Numerika
Greške
Greške su sastavni dio svakog mjerenja. Svaki mjerni uređaj ima svoju granicu točnosti. Ako se ne zna prava(točna) vrijednost broja a , ali se zna njegova približna vrijednost A, kažemo da A aproksimira a . Broj |A-a| nazivamo apsolutna greška aproksimacije, a broj |A-a|/|A| relativna greška.
Primjer 1.Odredimo apsolutnu i relativnu grešku aproksimacije za a)a=3.257, A=3.26, b)a=1234.12 , A=1234.123.
Rješenje: a) >> ap=abs(3.26-3.257)
ap = 0.00300000000000
>> re=ap/3.26
re = 9.202453987729049e-004
b) >> format short
>> ap=abs(1234.123-1234.12)
ap = 0.0030
>> re=ap/1234.123
re = 2.4309e-006
Kažemo da broj A aproksimira a sa točnošću ε ako je |A-a|≤ε i ε nazivamo graničnom apsolutnom greškom.Analogno se uvodi granična relativna greška.
Primjer 2. Neka su A=2132.63... i B=14.362... aproksimacije brojeva a i b. Procijenimo točnost umnoška AB.
Rješenje: Apsolutna granična točnost za A je 0.5∙0.001, a za B 0.5∙0.001 pa je prema formuli granične greške umnoška: >> gag=2132.63*0.5*0.001+14.362*0.5*0.01, gag=1.13812500000000, što znači da se umnožak AB može pouzdano odrediti na jedinice.
Približno određivanje rješenja jednadžbe
Neprekidna funkcija y=f(x) na intervalu koji sadrži segment [a,b] za koju je f(a)f(b)<0 ima nultočku u [a,b].Za nalaženje nultočke funkcije y=f(x) (rješenja jednadžbe f(x)=0) važan korak je određivanje intervala [a,b], tj.lociranje nultočke. To možemo napraviti tako da nacrtamo graf funkcije y=f(x) ili f(x)=0 transformiramo u oblikg(x)=h(x), gdje znamo nacrtati graf funkcija g(x) i h(x). Kad to radimo u Matlab-u oba načina su jednostavna ako znamo odrediti domene navedenih funkcija.
Primjer 1. Odredimo broj nultočki funkcije a) .
Rješenje: a) Stavimo i nacrtajmo graf tih funkcija.
>> x=-2:0.05:3;
>> g=exp(x);h=3*x+1;
13
>> plot(x,g,x,h)
>>grid
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5
0
5
10
15
20
25
Sa slike vidimo da funkcija ima dvije nultočke i to .
b) Domena zadane funkcije je interval . Koristimo funkciju ezplot.
>> syms x
>> ezplot(sqrt(x-5)-2*cos(x),[5,10])
>> grid
5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10
-1
0
1
2
3
4
x
(x-5)1/2-2 cos(x)
X: 7.055
Y: 0.0009798
Metoda bisekcije (polovljenja)
Metoda polovljenja sastoji se u formiranju niza intervala za koje je , n=0,1,2,.. ,
i pritom je . Za apsolutnu grešku aproksimacije
vrijedi . Algoritam nalaženja rješenja može biti sljedeći:
1)
2)
3) za staviti , za <0 staviti , za = 0 stop ;
14
4) ako je ići na 2 a za <
Napišimo m-file kojim rješavamo jednadžbe( tražimo nultočku funkcije) metodom bisekcije.
function y=bis(funkcija,a,b,n)
argx='(x)'; arga='(a)'; argb='(b)';
if eval([funkcija,arga])*eval([funkcijaja,argb])>0, error('Pogreška u ulaznim podacima!'), end
for k=0:n
x=(a+b)/2;
if abs(eval([funkcija,argx]))==0, break, end
if eval([funkcija,argx])*eval([funkcija,arga])>0 a=x;
else b=x; end
end
y=x;
Primjer 1. Odredimo metodom bisekcije najmanju nultočku funkcije s točnošću
Rješenje: Locirajmo nultočke koristeći Matlab-ovu grafiku.
>> syms x
>> ezplot(log10(x+3)-exp(x-1), [-2.5,2])
>> grid
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
x
log(x+3)/log(10)-exp(x-1)
Sa slike čitamo da je najmanja nultočka u intervalu [-2,-1.5]. Spremimo funkciju kao m-file:
function y=nf(x)
y=log10(x+3)-exp(x-1);
Izračunajmo n: >> n=ceil((log(-1.5+2)-log(0.0001))/log(2)) , n =13.
Pozovimo funkciju bis sa stvarnim parametrima: >> bis('nf',-2,-1.5,13) , ans = -1.8589.
Jednako možemo postupiti i u slučaju da trebamo naći rješenje jednadžbe Put do lociranja
rješenja može biti različit, a i Matlab- program za metodu bisekcije. Dobra vježba iz programiranja ali i
primijenjene i numeričke matematike može biti pisanje vlastitog programa, pri čemu može poslužiti i
ranije naveden algoritam. Pokušajte!
Primjer 2. Nađimo rješenje jednadžbe najbliže 0 s točnošću
Rješenje: Grafičko rješenje jednadžbe nađimo kao presjek krivulja
>> x=-9:0.05:1; % za brojeve manje od -8 krivulje se neće sjeći
15
>> y1=sqrt(1-x);y2=3*sin(x);
>> plot(x,y1,x,y2)
>> grid
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Rješenje najbliže nuli je u intervalu [0,1]. Odredimo n, zapišimo jednadžbu kao m-file i pozovimo bis. Imamo: >> n=ceil((log(1-0)-log(0.01))/log(2)),n = 7,
function y=f1(x)
y=sqrt(1-x)-3*sin(x), >> bis('f1',0,1,7),ans = 0.2852
Rješenje smo mogli dobiti i direktno pomoću funkcije fzero koja traži nultočku funkcije
najbližu broju . Dakle, >> fzero('f1',0), ans = 0.2856, ili ako funkcija nije spremljena kao m-file >>
f=@(x)sqrt(1-x)-3*sin(x); >> c=fzero(f,0),c = 0.2856, ili >> c=fzero(f,[0,1]), c = 0.2856 .
Metoda tangente (Newtonova metoda)
Neka je realan broj c izdvojeno rješenje jednadžbe f(x)=0 na segmentu [a,b] i ne mijenjaju
predznak u [a,b]. Pretpostavimo da funkcija raste ( i graf zakreće prema gore ( .
Povucimo tangentu u točki ) i sjecište tangente i x-osi je prva aproksimacija , zatim u točki
napravimo to isto i nastavljanjem postupka dobivamo :
Za apsolunu grešku aproksimacije vrijedi: za
Napomena. Za početnu aproksimaciju bira se rub intervala [a,b] takav da su vrijednost funkcije i druga
derivacija istog predznaka.
Primjer 1 . Metodom tangente nađimo negativno rješenje jednadžbe s točnošće
.
Rješenje: Prvo lociramo rješenje:
>> syms x
>> f=exp(x)-x^2+1;
>> ezplot(f,[-6,0])
>> grid
16
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
x
exp(x)-x2+1
Sa slike čitamo da se rješenje (nultočka) nalazi u intervalu [-2,-1]. Napišimo m-file kojim ćemo tražiti
rješenje sa zadanom točnošću i brojem koraka bilo koje funkcije.
function y=mettan(funkcija,ap,greska)
%za ap biramo a ako na intervalu [a,b] je f(a)*f''(a)>0 i f raste
%ili pada, a ap=b za f(b)f''(b)>0, ap pocetna aproksimacija
n=0;
while abs(subs(funkcija,ap)/subs((diff(funkcija)),ap))>greska
n=n+1
ap=ap-subs(funkcija,ap)/subs((diff(funkcija)),ap)
end
y=ap ;n
>> mettan(f,-2,0.5*10^(-5))
n = 1
ap = -1.30727147363943
n = 2
ap = -1.15531785001272
n = 3
ap = -1.14777596444999
n = 4
ap = -1.14775763225296
n = 4
ans = -1.14775763225296
Napomena. M-file mettan ( funkcija,ap,greška) je primjenjiv za funkcije zapisane simbolički, a ne za funkcije napisane kao m-file. Pokušajte napisati program koji će raditi samo za takove funkcije (kao npr. bis).
Metoda sekante (tetive)
Uz iste uvjete kao i kod metode tangente, kroz točke povučemo pravac (sekantu) i presjek
pravca i x-osi (y=0) daje nam prvu aproksimaciju rješenja:
17
Drugu i sljedeće aproksimacije nalazimo primijenivši prethodno na interval u čijim rubnim točkama funkcija ima suprotne predznake ( koji sadrži rješenje).
Primjer 1. Metodom sekante nađite nađite rješenje jednadžbe s točnošću
Rješenje: >> f=x^3-x-1; >> ezplot(f) >> grid >> ezplot(f,[-2,2]) %poravka >> grid
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
x3-x-1
Očito se naše rješenje nalazi između 1 i 1.5 , pa napišimo i pozovimo m-file metsek i upišimo stvarne podatke:
function y=metsek(funkcija,a,b,greska)
if subs(funkcija,a)*subs(funkcija,b)>0, error('greška u ulaznim podacima!'), end
n=0;
while abs(subs(funkcija,a)/subs(diff(funkcija),a))>greska
x=a-subs(funkcija,a)*(b-a)/(subs(funkcija,b)-subs(funkcija,a))
if subs(funkcija,x)*subs(funkcija,a)>0 a=x;
else b=x; end
n=n+1
end
y=x,n
>> metsek(f,1,1.5,0.5*10^(-4))
x = 1.2667,n = 1; x = 1.3160, n = 2; x = 1.3234,n = 3; x = 1.3245,n = 4; x =1.3247,n = 5;y =1.3247.
Dakle , približno rješenje zadane jednadžbe 1.3247 i postiže se u 5 koraka.
Napomena. Funkcija je i u ovom slučaju zadana simbolički, a ne kao m-file. Također, ovaj program, kao i prethodni, al ii budući mogu se napisati i drugačije. Svakako trebate pokušati.
18
Njutnova metoda za nelinearane sustav
Metodu ćemo pokazati za sustav od tri jednadžbe sa tri nepoznanice. Na sličan način se rješava sustav od n
nelinearnih jednadžbi sa n nepoznanica. Neka je zadan sustav od tri jednadžbe sa tri nepoznanice:
i
neka je početna aproksimacija. Pretpostavimo da je matrica
A= regularna u okolini .
Prvu , drugu,... aproksimaciju matrično zapisano ,nalazimo po formuli:
, gdje su X .
Primjer 1. Riješimo sustav
neka je početna aproksimacija . Rješenje: Primijenimo gornji algoritam:
>> syms x y z >> format rat >> f1=2*x^2-y+z-3; >> f2=x^2+2*y^2-z^3+18; >> f3=x^2+y^2+z^2-14; >> F=[f1;f2;f3] % formiramo matricu funkcija F = 2*x^2-y+z-3 x^2+2*y^2-z^3+18 x^2+y^2+z^2-14 >> A=[diff(F,x),diff(F,y),diff(F,z)]; % formiramo matricu parcijalnih derivacija A = [ 4*x, -1, 1] [ 2*x, 4*y, -3*z^2] [ 2*x, 2*y, 2*z] >> F0=subs(F,{x,y,z},{2,3,4}); % računamo elemente matrice F u početnoj aproksimaciji F0 = 6 -24 15 >> A0=subs(A,{x,y,z},{2,3,4}) % računamo elemente matrice A u početnoj aproksimaciji A0 = 8 -1 1
19
4 12 -48 4 6 8
>> D=det(A0) % ispitujemo regularnost matrice A D = 3272 >> IA0=inv(A0) IA0 = 48/409 7/1636 9/818 -28/409 15/818 97/818 -3/409 -13/818 25/818 >> r0=[2,3,4]' r0 = 2 3 4 >> r1=r0-IA0*F0 % primijenjujemo formulu za nalaženje sljedeće aproksimacije r1 = 1009/818 1695/818 2621/818 >> format short >>r1 = 1.2335 2.0721 3.2042
>> %postupak nastavljamo tako da računamo s r1 umjesto r0 >> F0=subs(F,{x,y,z},{1.2335,2.0721,3.2042}) ; >> A0=subs(A,{x,y,z},{1.2335,2.0721,3.2042}) ; >> D=det(A0) D = 973.4390 >> IA0=inv(A0); >> r2=r1-IA0*F0 % nalazimo drugu aproksimaciju r2 = 1.0190 1.9960 3.0110
>> % itd...
Točno rješenje sustava je (1,2,3) i greška 2. aproksimacije je manja od 0.02.
Zadaci
1. Odredite broj rješenja jednadžbe: a)
d) , e) , f)
20
2. Metodom bisekcije nađite realna rješenja jednadžbe s točnošću 0.001.
3. Metodom tangente nađite najveće rješenje jednadžbe s točnošću .
4. Metodom sekante nađite negativno rješenje jednadžbe s točnošću .
5.Metodom bisekcije, tangente i sekante odrediti najmanje rješenje jednadžbe s
točnošću
6. Njutnovom metodom riješite sustav a) ; b)
početna aproksimacija.
Numerička integracija
Naučili smo : ako je .Postoji veliki broj funkcija f(x) za koje
se elementarnim metodama ne mogu naći primitivne funkcije F(x) ili su one dosta složene ili funkcija nije
zadana analitički nego tablično. U tim slučajevima određene integrala oblika nalazimo pomoću
metoda numeričke (približne) integracije.
Trapezna formula
Neka je neprekidna funkcija na intervalu [a,b] . Interval [a,b] podijelimo točkama
, na n podintervala svaki duljine . Površinu ispod grafa
funkcije na intervalu [a,b] zamijenimo zbrojem površina trapeza kojima su vrhovi točke Tako smo dobili tzv. trapeznu formulu:
Za apsolutnu grešku aproksimacije određenog integrala trapeznom formulom vrijedi:
.
Primjer 1. Koristeći trapeznu formulu izračunajmo podjelom intervala integracije na 5 jednakih
dijelova.
Rješenje: Najprije napišemo m-file za računanje određenog integrala trapeznom formulom : function It=trapez(funkcija,a,b,n)
argx='(x)';
h=(b-a)/n; %duljina svakog podintervala
x=linspace(a,b,n+1) %dijeljenje intervala [a,b]
y=eval([funkcija,argx]);
It=h/2*(y(1)+y(n+1)+2*sum(y(2:n)));
Sada podintegralnu funkciju napišemo kao m. file:
21
function y=ft(x)
y=log(x)./x
>> trapez('ft',1,2,5)
x = 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000
y = 0 0.1519 0.2403 0.2938 0.3265 0.3466
ans = 0.2372
Brže i jednostavnije smo mogli doći do rješenja (bez m-fileova) pomoću funkcije trapz na sljedeći način:
>> x=linspace(1,2,6);
>> y=log(x)./x;
>> It=trapz(x,y)
It = 0.2372
Primjer 2. Trapeznom formulom odredimo s točnošću
Rješenje: Korak h možemo odrediti iz nejednadžbe n iz
Dakle, imamo: >> syms x >> format long >> f=exp(x)/(x+1); >> d2x=diff(diff(f)); >> ezplot(d2x,[0.2,1]) % sa slike čitamo da neprekidna funkcija d2x na segmentu [0.2,1] postiže maksimum u 0.2
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.6
0.62
0.64
0.66
0.68
0.7
0.72
0.74
X: 0.2
Y: 0.7351
x
exp(x)/(x+1)-2 exp(x)/(x+1)2+2 exp(x)/(x+1)
3
>> d2xmax=subs(d2x,0.2) % računamo vrijednost maksimuma d2xmax = 0.73510351185566 >> h2=12*0.5*10^(-5)/((1-0.2)*d2xmax) % računamo granični h^2 h2 = 1.020264476912562e-004 >> h=sqrt(h2) h = 0.01010081420932 >> n=ceil((1-0.2)/h) % uzimamo veći n (isto što i manji h) n = 80
22
>> x=linspace(0.2,1,81); >> y=subs(f,x); >> It=trapz(x,y) It =0.92416967056301
Simpsonova formula
Naučili smo da je . Primjenom Newton-Leibnizove formule uz
malo igre s algebarskim izrazima dobiva se :
(1) ,
gdje je polinom 2. stupnja ili kvadratna funkcija. Ako podintegralnu funkciju f(x) na
segmentu [a,b] zamijenimo polinomom 2. stupnja (geometrijski, krivulju y=f(x) zamijenimo parabolom) koji u
točkama poprima vrijednosti i primijenimo
formulu (1) dobivamo:
(2) .
Za veću točnost uzimamo paran broj n i interval [a,b] podijelimo točkama na n
intervala duljine h i na svakom segmentu primijenimo formulu (2).
Zbrajanjem svih tih integrala uz oznaku dobivamo Simpsonovu formulu:
Za apsolutnu grešku aproksimacije određenog integrala Simpsonovom formulom vrijedi:
.
Češće se zbog jednostavnosti greška aproksimacije G određuje po Rungeovom principu: gdje su
vrijednosti integrala dobvene za korake h i 2h.
Napomena. Na isti način smo mogli doći do trapezne formule, samo podintegralnu funkciju bi zamijenili linearnom (geometrijski, krivulju pravcem). Pokušajte .
Primjer 1. Simpsonovom formulom (pravilom) izračunajmo integral podjelom intervala integracije na
6 jednakih dijelova.
Rješenje: Napišimo m-file koji će računati integral po Simpsonovoj formuli za podintegralnu funkciju zapisanu kao m-file.
function Is=simpson(funkcija,a,b,n)
if 2*round(n/2)>n, error('greška,n mora biti paran'), end
argx='(x)';
h=(b-a)/n;
format rat % lakše pratimo raèun, barem ja
23
x=linspace(a,b,n+1)
y=eval([funkcija,argx]);
format long
Is=h/3*(y(1)+4*sum(y(2:2:n))+2*sum(y(3:2:n))+y(n+1));
Funkciju smo ranije zapisali i spremili pod imenom ft. Sada samo pozovemo funkciju simpson sa stvarnim argumentima: >> simpson('ft',1,2,6) x = Columns 1 through 6 1 7/6 4/3 3/2 5/3 11/6 Column 7 2 y = Columns 1 through 6 0 139/1052 449/2081 183/677 453/1478 934/2825 Column 7 794/2291 ans = 0.24018458162203
Točnost aproksimacije možemo provjeriti tako da povećavamo broj koraka (n) i pratimo znamenke koje se ne mijenjaju.
Što se desi ako stavimo da je n neparan? Uzmimo npr. n=7 , >> simpson('ft',1,2,7) ??? Error using ==> simpson greška,n mora biti paran.
Primjer 2. Simpsonovom formulom odredimo s točnošću
Rješenje: Najlakše rješavamo upotrebom funkcije quad(f,a,b,tol) , gdje tol određuje traženu grešku. Ako funkciju ne želimo spremati kao m-file, tada je pišemo: >> f=@(x)exp(x)./(x+1); % podintegralnu funkciju smo zadali kao, nazovimo je priručna funkcija >> Its=quad(f,0.2,1,0.5*10^(-5)) Its = 0.92416542633132
Isto se dobije ako se podintegralna funkcija spremi kao m-file pod imenom f3 i napiše: Its=quad('f3',0.2,1,0.5*10^(-5)); >> Its Its = 0.92416542633132
Primjer 3 . Podjelom intervala integracije na 8 jednakih dijelova izračunajmo integral i
procijenimo grešku.
Rješenje: function y=m(x)
y=exp(x.^2+1)
>> Ih=simpson('m',0,1,8)
x =
Columns 1 through 6
0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8
Columns 7 through 9
3/4 7/8 1
24
y =
Columns 1 through 6
1457/536 2739/992 2937/1015 2941/940 3253/932 1157/288
Columns 7 through 9
978/205 5325/911 2431/329
Ih = 3.97609447816791
>> I2h=simpson('m',0,1,4)
x =
0 1/4 1/2 3/4 1
y =
1457/536 2937/1015 3253/932 978/205 2431/329
I2h = 3.97877836223924
>> G=abs((Ih-I2h)/15) % procjena greške
G =1.789256047550166e-004
Zadaci
1. Napišite program koji će formulom lijevog pravokutnika aproksimirati .
2. Formulom lijevog pravokutnika za n=6 izračunajte
3. Napišite program koji će formulom desnog pravokutnika aproksimirati .
4. Formulom desnog pravokutnika za n=6 izračunajte
5. Koristeći trapeznu formulu izračunajte podjelom intervala integracije na 5 jednakih dijelova.
6. Trapeznom formulom odredite s točnošću
7. Simpsonovom formulom izračunajte integral podjelom intervala integracije na 10
jednakih dijelova.
8. Simpsonovom formulom odredite s točnošću
9. Podjelom intervala integracije na 12 jednakih dijelova izračunajte integral i procijenite grešku.
Aproksimacija funkcije
Neka su na neki način određene vrijednost varijable i vrijednost
nepoznate funkcije . Aproksimirati ovako zadanu funkciju znači naći analitički izraz (formulu) za
funkciju kojom možemo izračunavati približne vrijednosti nepoznate funkcije za argumente različite od zadanih.
25
Lagrangeov interpolacijski polinom
Neka su zadane vrijednost varijable i vrijednost . Tražimo polinom
stupnja ne višeg od n za koji će vrijediti: Definirajmo polinome
, ..., . Za svaki vrijedi
.
Polinom oblika
nazivamo Lagrangeovim interpolacijskim polinomom.
Primjer 1. Odredimo Lagrangeov interpolacijski polinom za podatke zadane tablicom :
-1 0 2
3 1 -2
Rješenje: Polinom nalazimo koristeći navedene formule, a račun izvodimo u Matlab-u.
>> syms x >> xz=[-1 0 2];% vektor zadanih x >> y=[3 1 -2]; % vektor zadanih y >> l0=(x-0)*(x-2)/((-1-0)*(-1-2)) % računamo pomoćne polinome l0 =1/3*x*(x-2) >> l1=(x-(-1))*(x-2)/((0-(-1))*(0-2)) l1 =-1/2*(x+1)*(x-2)
>> l2=(x-(-1))*(x-0)/((2-(-1))*(2-0)) l2 =1/6*(x+1)*x
>> l=[l0 l1 l2] % vektor pomoćnih polinoma l =[ 1/3*x*(x-2), -1/2*(x+1)*(x-2), 1/6*(x+1)*x]
>> L2=simple(sum(l.*y)) % Lagrangeov interpolacioni polinom 2. stupnja L2 =1/6*x^2-11/6*x+1
Sada kada smo naučili kako se formira Lagrangeov interpolacioni polinom, kao i u većini drugih slučajeva , traženi polinom možemo naći jednostavnije i brže . Matlab posjeduje funkciju polyfit(x,y,n) koja direktno računa polinom stupnja n za ulazne podatke x i y . Dovoljno je napisati: >> L2=polyfit(xz,y,2) L2 = 1/6 -11/6 1 Dobiveni brojevi odgovaraju koeficijentima polinoma(vektorski zapis polinoma).
Primjer 2. ¸Aproksimirajmo funkciju na segmentu [0,1] Lagrangeovim interpolacionim polinomom 3.
stupnja i izračunajmo
Rješenje: >> x=[0 0.2 0.6 1];>> y=exp(x); >> L3=polyfit(x,y,3)
26
L3 = 0.26531130611937 0.44571147972950 1.00725904261017 1.00000000000000 >> polyval(L3,0.5) % računamo vrijednost polinoma za x=0.5 ans = 1.64822130450238 >> exp(0.5) % računamo vrijednost funkcije za x=0.5 ans = 1.64872127070013
Vidimo da naš polinom dosta dobro aproksimira eksponencijalnu funkciju na segmentu [0,1]. Nacrtajmo i njihove grafove na segmentu [0,1]: >> x=0:0.05:1; >> L3=0.2653*x.^3+0.4457*x.^2+1.0073*x+1; >> plot(x,L3,x,exp(x),'*')
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
0.4996 0.4998 0.5 0.5002 0.5004 0.5006
1.6474
1.6476
1.6478
1.648
1.6482
1.6484
1.6486
1.6488
1.649
1.6492
1.6494
Na prvi pogled grafovi se podudaraju , ali ako sliku povećamo vidimo razliku. Svakako polinom dosta dobro aproksimira ekaponencijalnu funkciju (to smo potvrdili i računom i slikom).
Metoda najmanjih kvadrata
Neka su zadane točke . Metodom najmanjih kvadrata tražimo funkciju f
argumenta x odnosno njezine nepoznate parametre za koje funkcija
ima minimum. Nalaženjem i izjednačavanjem s nulom parcijalnih derivacija funkcije dobivamo m+1
27
jednadžbu sa m+1 nepoznanicom. Ako je aproksimativna funkcija polinom m-tog stupnja ( naš slučaj)
tada sustav ima oblik:
.
Za polinom 1. stupnja oblika pripadni sustav je:
Za polinom 2. stupnja oblika pripadni sustav je:
Primjer 1 . Metodom najmanjih kvadrata nađimo polinome 1. i 2. stupnja za podatke:
Rješenje: Problem ćemo riješiti prema ranije napisanim formulama pri čemu račun izvodimo Matlab-om: >> x=[1.1 1.9 4.1 6];>> y=[2.4 3.2 4.5 6.1]; >> x1=sum(x);x2=sum(x.^2);x3=sum(x.^3);x4=sum(x.^4); % računamo potrebne sume >> y1=sum(y);x1y1=sum(x.*y);x2y1=sum(x.^2.*y); >> A=[x1 4;x2 x1] % matrica koeficijenata A = 131/10 4
5763/100 131/10 >> B=[y1 x1y1]' % matrica slobodnih članova B = 81/5 6377/100
>> ab=inv(A)*B % rješavamo sustav ab = 713/980 917/550
>> a=ab(1,1) a = 713/980 >> b=ab(2,1) b = 917/550
28
Aproksimativni polinom 1. stupnja ima oblik . Za aproksimaciju polinomom 2. stupnja matrice
koeficijenata i slobodnih članova su:
>> A=[x2 x1 4;x3 x2 x1;x4 x3 x2] A = 5763/100 131/10 4 2638/9 5763/100 131/10 22303/14 2638/9 5763/100
>> B=[y1 x1y1 x2y1]' B = 81/5 6377/100 30041/97 >> abc=inv(A)*B abc = 148/9411 199/323 697/386
Polinom 2. stupnja ima oblik: . Kada smo ovo naučili , možemo problem riješiti i
ovako: >> polyfit(x,y,1) % aproksimacija polinomom 1. stupnja (vektorski zapis polinoma) ans = 713/980 917/550
>> polyfit(x,y,2) % aproksimacija polinomom 2. stupnja ans = 148/9411 199/323 697/386
Primjer 2. Aproksimirajmo metodom najmanjih kvadrata funkciju na segmentu (uzeti 5
vrijednosti za x) polinomom 1. i 2. stupnja i grafički ih prikažimo u istom koordinatnom sustavu . Rješenje: >> x=0:0.05:pi/2;>> y=sin(x);>> y1=polyfit(x,y,1)
y1 = 0.6698 0.1084
>> y2=polyfit(x,y,2) y2 = -0.3342 1.1879 -0.0211
>> plot(x,y,x,0.6429*x+0.1097,'-',x,-0.3346*x.^2+1.1685*x-0.005,'+')
29
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Zadaci
1. Napišite Lagrangeov interpolacioni polinom za podatke zadane tablicom:
a)
-2 -1 0 2
3 1 -2 4
b)
1.2 1.3 1.4 1.6 1.9
1.51 1.70 2.09 2.46 2.78
2.Za funkciju popunite tablicu i na osnovu te tablice aproksimirajte je Lagrangeovim polinomom 3.
stupnja i izračunajte približno log 0.7 . Nacrtajte grafove polinoma i logaritamske funkcijre.
0.3 0.6 0.8 0.9
)
3. Metodom najmanjih kvadrata odredite polinom 1. i 2. stupnja za podatke zadane tablicim:
a)
-3 -1 1 2
2 0 -1 3
b)
30
-1.23 0.34 2.35 2.98 3.12 4.34
-2.34 1.56 -3.27 4.32 -1.41 0.75
4. Na osnovu tablice koju treba popuniti,funkciju aproksimirajte po metodi najmanjih kvadrata
polinomom 1. i 2. stupnja na segmentu [-1,1] . Odredite približno cos(0.5)i nacrtajte grafove zadane funkcije i dobivenih aproksimacija.
-1 -0.4 0 0.2 0.7 1
)
VIEROJATNOST I STATISTIKA
Neki osnovni pojmovi
Mjerenjem n puta neke veličine X dobivamo niz brojeva . X nazivamo statističkim obilježjem, a
brojeve statističkim podacima. Statističko obilježje je diskretno ako X prima vrijednosti u
konačnom ili prebrojivom skupu. Ako X može imati bilo koju vrijednost unutar intervala skupa realnih brojeva govorimo o kontinuiranom statističkom obilježju. Broj pojavljivanja neke vrijednosti nazivamo frekvencijom f ,
a broj relativnom frekvencijom. Statističke podatke prikazujemo tablično i grafički. Kontinuirana obilježja (i
diskretna sa puno raličitih vrijednosti ) prikazuju se formiranjem razreda, kojima se raspon mogućih vrijednosti podijeli na više podintervala. Na osnovu tabličnog prikaza dobivamo grafički . Ako na x-os nanesemo različite vrijednosti obilježja X, a na y-os frekvencije odnosno relativne frekvencije , dobivamo grafikon frekvencija odnosno grafikon relativnih frekvencija. Spajanjem točaka dobivaju se odgovarajući poligoni. Kumulativne (i relativne kumulativne )frekvencije koje pripadaju vrijednosti x dobivamo zbrajanjem svih frekvencija za koje je
Podatke razvrstane u razrede obično prikazujemo pomoću histograma frekvencija.
Primjer 1.Rezultati ankete provedene među maturantima na pitanje :˝ Koliko ste puta u ožujku bili u sportskoj kladionici˝ su sljedeći : 3, 4, 0, 7, 0, 1, 1, 0, 4, 5, 7, 1, 3, 6 , 5, 0, 2,0, 1, 5, 7, 8, 8, 3, 3, 1,0, 0, 2,0. Odredimo pripadne frekvencije, relativne frekvencije i prikažimo grafički .
Rješenje: Zapišemo podatke kao vektor redak i sortiramo ga: >> x=[3, 4, 0, 7, 0, 1, 1, 0, 4, 5, 7, 1, 3, 6 , 5, 0, 2,0, 1, 5, 7, 8, 8, 3, 3, 1,0, 0, 2,0]; >> sort(x) ans = Columns 1 through 16 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 3
Columns 17 through 30 3 3 3 4 4 5 5 5 6 7 7 7 8 8
Napišimo program koji će prebrojati različite vrijednosti skupa zadanih podataka, tj. odrediti pripadne frekvencije :
function [a,f]=afr(x)
x=sort(x);
i=1; fr=1;
for j=2:size(x,2)% prolazimo po sortiranim podacima i usporeðujemo ih
if x(j)==x(j-1) fr=fr+1;
else f(i)=fr; a(i)=x(j-1); fr=1; i=i+1;
31
end
a(i)=x(j); f(i)=fr;
end
Pozovimo funkciju afr(x):
>> [a,f]=afr(x)
a =0 1 2 3 4 5 6 7 8
f =8 5 2 4 2 3 1 3 2
Relativne frekvencije ćemo odrediti po definiciji, dakle:
>> ref=1/size(x,2)*f
ref = Columns 1 through 6 4/15 1/6 1/15 2/15 1/15 1/10
Columns 7 through 9 1/30 1/10 1/15
ili
>> ref=1/sum(f)*f
ref = Columns 1 through 6 4/15 1/6 1/15 2/15 1/15 1/10
Columns 7 through 9 1/30 1/10 1/15
Sve prethodno možemo jednostavnije riješiti funkcijom tabulate(x) , koja nam direktno daje različite
vrijednosti mjerene veličine , frekvencije i relativne frekvencije (u postotcima). Napišimo:
>> tabfre=tabulate(x)
tabfre =
0 8.0000 26.6667
1.0000 5.0000 16.6667
2.0000 2.0000 6.6667
3.0000 4.0000 13.3333
4.0000 2.0000 6.6667
5.0000 3.0000 10.0000
6.0000 1.0000 3.3333
7.0000 3.0000 10.0000
8.0000 2.0000 6.6667
Za grafički prikaz (poligon frekvencija) dovoljno je napisati: >> plot(a,f)
>> grid
32
0 1 2 3 4 5 6 7 81
2
3
4
5
6
7
8
Isto napravimo i za poligon relativnih frekvencija : >> plot(a,ref)
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Također, frekvencije diskretnog statističkog obilježja možemo prikazati grafikonom s uspravnim stupcima . Napišimo >> bar(a,f) ,>> title('Broj odlazaka maturanata u kladionicu u ožujku'),>> xlabel('broj odlazaka u kladionicu'),>> ylabel('broj maturanata')
33
0 1 2 3 4 5 6 7 80
1
2
3
4
5
6
7
8Broj odlazaka maturanata u kladionicu u ožujku
broj odlazaka u kladionicu
broj maturanata
Primjer 2. Mjerenjem težine (u kg) 30 maturanata dobiveni su sljedeći podaci: 78.4, 56.2, 86.5,74.2, 50.7, 80.0, 94.3, 67.6, 49.4, 58.7, 96.5, 49.8, 56.9, 47.8, 67.3, 85.4, 72.3, 59.4, 65.8, 85.1, 81.6, 93.7, 57.5, 76.2, 64.7, 54.3, 60.8, 51.6, 63.8, 81.3. Prikažimo (kontinuirane) podatke formiranjem 6 razreda .
Rješenje: Najprije napišemo m-file koji će odrediti širinu razreda, razrednu sredinu i prebrojati frekvencije u svakom od razreda: function [s,f,c]=sfc(x,r)
x=sort(x); najmanji=x(1); najveci=x(size(x,2));c=(najveci-najmanji)/r;
dg=najmanji:c:najveci-c; gg=dg+c;s=(dg+gg)/2; j=1; f=zeros(1,size(s,2));
for k=1:size(x,2)
if j==r, f(j)=size(x,2)-k+2; break , end
while x(k)>=gg(j)
if j<r, j=j+1;
else break, end
end
f(j)=f(j)+1;
end
>> x=[78.4, 56.2, 86.5,74.2, 50.7, 80.0, 94.3, 67.6, 49.4, 58.7, 96.5, 49.8, 56.9, 47.8, 67.3, 85.4, 72.3, 59.4, 65.8,
85.1, 81.6, 93.7, 57.5, 76.2, 64.7, 54.3, 60.8, 51.6, 63.8, 81.3];
>> [s,f,c]=sfc(x,6)
s = 51.8583 59.9750 68.0917 76.2083 84.3250 92.4417
f = 6 7 4 5 5 3
c = 8.1167
Podatke organizirane u razrede grafički prikazujemo pomoću histograma. Matlab posjeduje funkciju hist, pa je dovoljno napisati >> hist(x,6) ( % 6 razreda ) i dobivamo
34
40 50 60 70 80 90 1000
1
2
3
4
5
6
7
Numerički parametri niza statističkih podataka
Aritmetička sredina (srednja vrijednost, prosječna vrijednost) niza od n podataka s vrijednostima
je broj . Za niz podataka grupiranih u frekvencije aritmetička sredina (vagana ili
ponderirana) je , gdje su različite vrijednosti, a pripadne frekvencije.
Mod je ona vrijednost koja se u statističkom nizu pojavljuje najveći broj puta.
Medijan je ona vrijednost u nizu podataka poredanih po veličini koja ga dijeli na polovinu koja ima
vrijednost manju ili jednaku i polovinu koja ima vrijednost veću ili jednaku medijanu.
Donji (gornji) kvartil je vrijednost ispod koje se nalazi četvrtina (tri četvrtine)vrijednosti promatranog
niza podataka.
Varijanca (disperzija) je srednje kvadratno odstupanje pojedinačnih vrijednosti od aritmetičke
sredine. Računamo je formulama: odnosno
Standardna devijacija je pozitivni drugi korijen iz
Koeficijent varijacije V je postotak i pokazuje stupanj varijabilnosti podataka oko srednje
vrijednosti.
Primjer 3. Odredimo za podatke iz primjera 1 aritmetičku sredinu , mod, medijan , donji i gornji kvartil,
varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije.
Rješenje: >> x=[3, 4, 0, 7, 0, 1, 1, 0, 4, 5, 7, 1, 3, 6 , 5, 0, 2,0, 1, 5, 7, 8, 8, 3, 3, 1,0, 0, 2,0];
>> as=sum(x)/size(x,2)
as = 2.9000
>> % ili >> as=mean(x), as = 2.9000 % ili >> [a,f]=afr(x);>> as=1/sum(f)*sum(a.*f), as = 2.9000.
U ožujku mjesecu su maturanti bili u prosjeku 2.9 puta u kladionici. Vrijednost moda lako se čita iz tablice
distribucije i to je ona vrijednost koja ima najveću frekvenciju. Napišemo li >> [a,f]=afr(x) dobiva se
a = 0 1 2 3 4 5 6 7 8, f = 8 5 2 4 2 3 1 3 2 odakle čitamo da je mod 0. Isto
35
dobijemo ako napišemo: >> mode(x), ans = 0 . Medijan i kvartile možemo odrediti pomoću funkcije
prctile(x,a) i to svaki posebno ili odjednom: >> prctile(x,[25,50,75]) , ans = 0 2.5000 5.0000 ili samo
>> median(x), ans = 2.5000. Donji kvartil je 0, medijan 2.5, a gornji kvartil 5. Za računanje varijance imamo
puno načina. Evo nekih: >> varijanca=1/size(x,2)*sum((x-as).^2), varijanca = 7.1567 ili
>> varijanca=1/sum(f)*(sum(f.*a.^2)-sum(f)*as^2) ili ... . Možemo koristiti i funkciju var(x,1) pomoću koje
direktno dobivamo vrijednost varijance: >> var(x,1), ans = 7.1567. Po definiciji standardna devijacija je
drugi korijen iz varijance. Možemo je izračunati tako da napišemo: >> standd=sqrt(var(x,1)), standd =
2.6752 ili pomoću funkcije std(x,1), >> standd=std(x,1), standd = 2.6752.
Napomena. Kada koristimo funkcije var(x) i std(x) (bez 1), tada nazivnik nije n nego n-1 i ove funkcije
uglavnom koristimo kod procjene varijance i standardne devijacije.
Koeficijent varijacije ćemo izračunati prema ranije navedenoj formuli: >> kovar=std(x,1)/mean(x)*100
kovar = 92.2481 , što znači veliku varijabilnost (92.2481 %) podataka oko aritmetičke sredine.
Primjer 4. Odredimo aritmetičku sredinu, varijancu i standardnu devijaciju za podatke iz primjera 2.
Rješenje: Račun provodimo prema formulama za podatke grupirane u razrede . Umjesto stvarnih
vrijednosti u formule uvrštavamo razredne sredine. >> x=[78.4, 56.2, 86.5,74.2, 50.7, 80.0, 94.3, 67.6, 49.4,
58.7, 96.5, 49.8, 56.9, 47.8, 67.3, 85.4, 72.3, 59.4, 65.8, 85.1, 81.6, 93.7, 57.5, 76.2, 64.7, 54.3, 60.8, 51.6,
63.8, 81.3];>> [s,f,c]=sfc(x,6); >> as=sum(f.*s)/sum(f), as = 69.4444, >> varijanca=(sum(f.*s.^2)-
as^2*sum(f))/sum(f), varijanca = 180.4388, >> standd=sqrt(varijanca), standd = 13.4327. Ovako
dobiveni rezultati se (naravno) razlikuju (manje točni) od rezultata koje bi dobili da smo radili sa
negrupiranim podacima. Izračunajmo : >> as=mean(x), as = 68.9267, >> var(x,1), ans = 209.1486,
>> standd=sqrt(ans), standd = 14.4620.
Zadaci
1. Skup statističkih podataka zadan je tablicom :
Frekvencije
2
3
4
5
6
10
15
5
20
10
60
a) nacrtajte poligon frekvencija b) odredite aritmetičku sredinu , varijancu i standardnu devijaciju.
2. Zadana je tablica statističkih podataka razvrstanih u razrede :
Razredi Frekvencije
36
3-5
5-7
7-9
9-11
11-13
13-15
15-17
4
6
20
40
20
4
6
100
a) nacrtajte histogram frekvencija, b) odredite aritmetičku sredinu, varijancu i standardnu devijaciju
3. Mjerenjem kontinuiranog statističkog obilježja dobiveni su sljedeći podaci : 3.23, 4.57, 2.53, 7.58, 6.37,5.45,
4.12, 5.07,3.50, 2.96, 5.13, 4.34, 5.21, 3.67, 6.87, 5.08,4.23, 4.65,3.76, 3.42, 2.35,5.13, 6.02, 3.20, 5.35, 7.05,
4.80, 5.93, 4.17, 2.74, 6.21, 5.05, 4.76, 3.17, 6.19, 5.37, 4.34, 2.90, 3.59, 5.50, 3.47,6.26,7.08, 3.37, 3.64, 6.48,
5.68, 4.57, 3.95, 5.25. a) Grupirajte podatke u 10 razreda i nacrtajte histogram frekvencija;
b) Odredite aritmetičku sredinu, varijancu i standardnu devijaciju .
Kombinatorika
Za m skupova koji imaju elemenata , skup ima
elemenata (teorem o uzastopnom prebrojavanju) . Svaka uređena n –torka međusobno različitih elemenata
skupa naziva se permutacija skupa T . Ukupan broj permutacija P(n)skupa od n elemenata
je . Ako se u permutaciji nalazi međusobno jednakih elemenata tada se radi o
permutacijama s ponavljanjem. Broj svih mogućih takovih permutacija je .
Kombinacija (bez ponavljanja) tog razreda od elemenata je svaki podskup od tih
elemenata. Broj svih kombinacija r-tog razreda od n elemenata je: . Kombinacija s
ponavljanjem r-tog razreda n-članog skupa je svaka neuređena r-torka tih elemenata. Ukupno ih
je . Varijacija bez ponavljanja r-tog razreda od n međusobno različitih
elemenata je svaka uređena r-torka ( tih elemenata . Broj ovako definiranih varijacija je:
. Ako se u varijaciji dopusti da pojedini elementi nastupe više puta tada govorimo o
varijacijama s ponavljanjem r-tog razreda od n elemenata . Ukupan broj varijacija s ponavljanjem je .
Primjer 1. a) Odredimo broj načina na koje možemo izabrati po jednu jednu knjigu iz matematike, fizike i kemije
ako knjižnica ima 30 knjiga iz matematike 25 iz fizike i 20 iz kemije.
Rješenje: Prema zakonu o uzastopnom prebrojavanju ukupan broj trojki je
37
Primjer 2. Odredimo a) broj permutacija napravljenih od slova riječi vsite , b) na koliko načina možemo
posaditi 10 paprika, 10 rajčica i 5 zelja na 25 označenih mjesta , c) ukupan broj kombinacija lota 6 od 45, d) broj
različitih načina na koje je moguće sastaviti orkestar od 5 članova i 3 vrste instrumenata , e) na koliko se načina
mogu odabrati 4 dužnosnika od 9 članova nekog odbora pri čemu se može imati najviše jedna funkcija, f) broj
peteroznamenkastih brojeva koji se mogu zapisati pomoću znamenki 3, 5 i 9.
Rješenje: a) >> P5=factorial(5), P5 = 120, b) radi se o permutacijama s ponavljanjem i traženi broj je:
>> PP=factorial(25)/(factorial(10)^2*factorial(5)), PP = 9.816086280000000e+009 , c) često nam trebaju
binomni koeficijenti i zato napišimo program koji ih računa (imali smo slično ranije) :
function y=bk1(n,k)
y=1;
for i=0:k-1
y=y*(n-i)/(k-i);
end
U bk1 stavimo n=45, k=6 pa dobivamo: >> bk1(45,6), ans = 8145060 . d) radi se o kobinacijama s
ponavljanjem petog razreda od 3 elementa, pa je >> kp=bk1(3+5-1,5), kp = 21, e) broj načina izbora su sve
varijacije bez ponaljanja 4-tog razreda od 9 elemenata tj. ili
>> vbp=factorial(9)/factorial(9-4), vbp = 3024 , f) Ukupan broj su varijacije s ponavljanjem 5-tog razreda od 3
elementa, pa je .
Vjerojatnost
Svaki slučajni eksperiment završava nekim ishodom ili događajem . Neka je skup svih mogućih ishoda ili kako
često kažemo skup svih elementarnih događaja nekog eksperimenta. Svaki podskup skupa nazivamo
događajem. Kako su podskupovi skupa onada su i oni događaji i nazivamo ih nemogućim ( i sigurnim
događajima. Događaju A je suprotan događaj . Događaj je unija događaja A i B i dogodi se kada se
dogodi bar jedan od događaja A , B. Događaj je presjek događaja A i B i dogodi se kada se dogode i A i B.
Ako je kažemo da se događaji A i B međusobno isključuju ili da su disjunktni. Događaj naziva se
razlika događaja A i B i dogodi se kada se dogodi A i ne dogodi B.
Definicija: Neka je zadan skup . Funkciju koja događaju A pridružuje broj tako da je i
ako nazivamo vjerojatnost.
Vrijedi: 1) , 2) 3)
Ako je skup elementarnih događaja konačan sa n jednako vjerojatnih ishoda i događaj A sa m povoljnih ishoda,
tada je vjerojatnost događaja A prema klasičnoj definiciji: .
Za broj nazivamo uvjetna vjerojatnost događaja A u odnosu na događaj B. Ako je
tada vrijedi: (Bayesova formula).
Događaji A i B su nezavisni ako je .
38
Ako je mjera (duljina, površina,...) cijelog područja S, a mjera dijela tog područja povoljna za ishod slučajnog
događaja onda se (geometrijska) vjerojatnost događaja definira formulom .
Primjer 1. Ako je , a P funkcija vjerojatnosti , izračunajmo ako je
Rješenje: Kako je zbroj vjerojatnosti elementarnih događaja 1, treba riješiti
sustav: Uvrštavajući poznate podatke u posljednju
jednadžbu dobivamo: >> format rat >> p2=1-(2/5-2/5/2-2/5/3), p2 =
14/15 .
Primjer 2. U kutiji se nalazi 14 kuglica, 5 bijelih i 9 crnih. Slučajno izvlačimo jednu kuglicu. Odredimo vjerojatnost
da će biti izvučena kuglica a) biti bijela , b) biti crna.
Rješenje: Neka su A={izvučena je bijela guglica}, B= {izvučena je crna kuglica}. Odmah se vidi da je a) ,
b) .
Primjer 3. U skupu od 50 proizvoda ima 8 neispravnih. Odredimo vjerojatnost da među 6 slučajno izabrana
proizvoda a) ima 5 neispravnih, b) nema ispravnih, c) nema neispravnih.
Rješenje: Od 50 proizvoda njih 6 biramo na načina , 5 neispravnih na , itd., Zato je
a) >> p5n=bk1(8,5)*bk1(42,1)/bk1(50,6), p5n = 4/27025, b)>> pni=bk1(8,6)/bk1(50,6), pni = 1/567525,
c)>> pnn=bk1(42,6)/bk1(50,6), pnn = 650/1969 .
Primjer 4. U skupu od 10 ulaznica pet ima vrijednost 10 kn, tri su po 30 kn i dvije vrijede 50 kn. Ako se slučajno
izvlače tri ulaznice, odredimo vjerojatnost da a) vrijednost sve tri ulaznice je 70 kn, b)bar dvije ulaznice su iste
vrijednosti.
Rješenje: a) pa prema tome je vjerojatnost da zbroj bude 70:
>> p70=bk1(5,2)*bk1(2,1)/bk1(10,3)+bk1(5,1)*bk1(3,2)/bk1(10,3), p70 = 7/24 .
b) Događaju ˝bar dvije ulaznice iste vrijednosti˝, je suprotan ´sve tri ulaznice različite vrijednosti ˝pa je:
>> p=1-bk1(5,1)*bk1(3,1)*bk1(2,1)/bk1(10,3), p = 3/4
Primjer 5. U kutiji koja sadrži 6 bijelih i 4 crne kuglice slučajno je izvučeno 3 kuglice. Pod pretpostavkom da su
izvučene kuglice iste boje , odredimo vjerojatnost da su crne .
Rješenje: Stavimo A={ izvučene su 3 crne kuglice}, B= {izvučene su 3 crne ili 3 bijele kuglice} i izračunajmo
. Prema formuli uvjetne vjerojatnosti uz imamo:
. >> pab=bk1(4,3)/(bk1(4,3)+bk1(6,3)), pab = 1/6.
39
Primjer 6. Odredimo vjerojatnost da umnožak dva slučajno izabrana realna broja iz segmenta [0,1] bude veći od
0.4.
Rješenje: Neka su to brojevi Tada prema uvjetima zadatka moguće vrijednosti su: a povoljne
. Mogući formiraju kvadrat površine 1, a povoljni su izvan hiperbole Možda nam malo i
slika pomogne: >> y=0.4/x;>> ezplot(y,[0,1]),>> ylim([0,1]),>> grid
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
2/5/x
Sada izračunajmo površinu koju određuju jedinični kvadrat i područje izvan hiperbole, tj. tražimo povšinu skupa
u kojem vrijedi . Malo matematičke analize i lako stižemo do rješenja:
>> P=0.6-int(y,0.4,1),P =3/5+2/5*log(2)-2/5*log(5), >> subs(P), ans = 0.23348370725034 što je i konačan
rezultat, jer je površina jediničnog kvadrata 1.
Zadaci
1. Odredite broj različitih 6-znamenkastih brojeva koji ne sadže znamenke 0, 3 i 5.
2. Odredite broj različitih načina na koje možemo složiti otvorenu ogrlicu od 8 v, 5 s i 9 m bisera.
3.Ako test ima 10 pitanja sa odgovorima da, ne, odredite ukupan broj načina na koje se test može riješiti.
4.Na polici se nalazi 15 knjiga iz matematike i 5 iz kemije. Odredite ukupan broj rasporeda na polici tako da na
prvih 5 mjesta dođu knjige iz kemije.
5. Iz špila od 32 karte nasumice se izvlače 3. Odredite vjerojatnost da će među njima biti barem jedan as.
6. Odredite vjerojatnost da će zbroj dva slučajno izabrana broja iz [0,1] biti manji od 1 a njihov umnožak veći od
0.25.
7.Strijelac A pogađa metu s a vjerojatnošću 0.6, a B s vjerojatnošću 0.7. Odredite vjerojatnost pogađanja cilja
ako svaki ispaljuje po jedan metak.
8. Kutija sadrži 12 teniskih loptica od kojih su 4 loše. Slučajno se izvlači odjednom 7 loptica. Odredite
vjerojatnost da među izvučenim lopticama : a) 2 su loše , b) nema loših
Slučajna varijabla
Neka je na skupu elementarnih događaja definirana funkcija vjerojatnosti P. Funkciju nazivamo
slučajna varijabla ili slučajna veličina. Za promatramo skup kojeg kraće označavamo
40
, pri čemu za jednočlan skup B pišemo , pišemo ili
itd. Funkciju definiranu izrazom nazivamo funkcijom razdiobe ili
funkcijom distribucije slučajne varijable X.
Vrijedi: 1) Funkcija distribucije je rastuća funkcija i neprekidna s desna, 2) .
Ako slučajna varijabla X prima vrijednosti ) na konačnom ( prebrojivom) skupu s pripadnim
vjerojatnostima , tada je nazivamo diskretnom slučajnom varijablom. Njezina
funkcija distribucije je .
Ako za slučajnu varijablu X gotovo svuda postoji onda se f(x)
naziva funkcija gustoće vjerojatnosti u točki x, a za X kažemo da je kontinuirana slučajna varijabla.
Vrijedi :
.
Matematičko očekivanje (srednja vrijednost) diskretne slučajne varijable X računa se formulom:
Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable X računa se formulom: .
Disperzija ili varijanca diskretne slučajne varijable X računa se formulom: 2.
Disperzija ili varijanca kontinuirane slučajne varijable X računa se formulom: 2 .
Standardna devijacija slučajne varijable X je broj: .
Primjer 1. Distribucija vjerojatnosti diskretne slučajne varijable X zadana je tablicom:
-2 -1 0 1 2
0.15 a 0.3 0.07 0.1
a) odredimo realan broj a, b) napišimo izraz i nacrtajmo graf funkcije distribucije, c) odredimo očekivanje,
varijancu i standardnu derivaciju
Rješenje: a) Kako zbroj vjerojatnosti mora biti 1, onda je : >> a=1-(0.15+0.3+0.07+0.1), a = 0.3800.
b) Koristeći definiciju i tablicu, dobivamo :
Grafički prikaz: > plot(-4:0.1:-2,0,'*',-2:0.1:-1,0.15,'*',-1:0.1:0,0.53,'*',0:0.1:1,0.83,'*',1:0.1:2,0.9,'*',2:0.1:4,1,'*')
>> grid
41
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
c) Prema gore navedenim formulama imamo: >> ak=[-2 -1 0 1 2];>> pk=[0.15 0.38 0.3 0.07 0.1];
>> EX=sum(ak.*pk), EX = -0.4100; >> VarX=sum(ak.^2.*pk)-EX^2, VarX = 1.2819, >> stdd=sqrt(VarX)
stdd = 1.1322.
Primjer 2. Ispitajmo da li je funkcija funkcija gustoće neke slučajne
varijable X i odredimo pripadnu funkciju distribucije .
Rješenje: Funkcija je očito nenegativna i provjerimo da li vrijedi: . Integral računamo na
, jer izvan je funkcija 0, pa je i integral 0. >> syms x, >> int(2*cos(x)^2/pi,-pi/2,pi/2), ans =1.
Odgovor je: zadana funkcija je funkcija gustoće. Nađimo pripadnu funkciju distribucije koristeći definiciju:
. Za
3) =1. Izračunajmo integral pod 2):
>> pretty(simple(int(2*cos(t)^2/pi,-pi/2,x)))
sin(2 x) + 2 x + pi
1/2 -------------------
pi
Iz dobivenih podataka nalazimo:
Primjer 3. Slučajna varijabla X ima funkciju razdiobe . Odredimo a) očekivanje i
varijancu pripadne distribucije, b) .
42
Rješenje: a) >> EX=int(x*diff(1-8/x^3),2,inf), EX =3 , >> VarX=int((x-EX)^2*diff(1-8/x^3),2,inf),
VarX = 3, ili >> VarX=int(x^2*diff(1-8/x^3),2,inf)-EX^2, VarX =3.
b) .
Binomna i Poissonova razdioba
Kažemo da diskretna slučajna varijabla X ima binomnu razdiobu s parametrima ,
i pišemo ako ima skup vrijednosti i za pripadne vjerojatnosti vrijedi:
U binomnoj razdiobi (distribuciji) matematičko očekivanje je: , a varijanca (disperzija):
.
Kažemo da diskretna slučajna varijabla X ima Poissonovu razdiobu s parametrom i pišemo
ako ima skup vrijednosti i pripadne vjerojatnosti: :
.
U Poissonovoj razdiobi matematičko očekivanje je: , a varijanca (disperzija): .
Za veliko i malo binomna razdioba može se aproksimirati Poissonovom razdiobom .
Primjer 1. Ako je odredimo a) , b)
Rješenje: Za računanje navedenih vjerojatnosti koristimo funkciju Matlab-a binopdf(x,n,p), koja računa po
binomnom zakonu vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednost x i funkciju binocdf(x,n,p) koja zbraja
vjerojatnosti do x, tj. određuje:
a) . Zato je: >> p=binocdf(1,5,0.2), p = 0.7373 ili >>
p=binopdf(0,5,0.2)+binopdf(1,5,0.2), p = 0.7373.
b) >> p=binopdf(3,5,0.2)+binopdf(4,5,0.2), p = 0.0576.
c) Događaji kojima računamo vjerojatnost pod a) i c) su suprotni , pa je
>> p=1-binocdf(1,5,0.2),p = 0.2627.
Primjer 2. Skup od 100 proizvoda sadrži 10 neispravnih. Ako se slučajno uzme 5 proizvoda, odredimo
a) skup vrijednosti , pripadne vjerojatnosti i očekivani broj neispravnih proizvoda sadržanih u slučajnom uzorku,
b) vjerojatnost da uzorak sadrži više od 2 neispravna proizvoda, c) bar jedan loš proizvod.
Rješenje: a) Radi se očito o binomnoj razdiobi s parametrima pri čemu je skup vrijednosti
a pripadne vjerojatnosti . Imamo: >> format rat
>>k=0:5 ;
>>p(k+1)=binopdf(k,5,0.1)
p = 1217/2061 683/2082 729/10000 81/10000 9/20000 1/100000
Očekivani broj neispravnih proizvoda računamo po formuli .
43
b) Sadržavati više od dva znači da neispravnih može biti 3, 4 ili 5. Dakle , treba
izračunati: . >> pvise2=p(4)+p(5)+p(6) % povećali smo indeks za 1 ,jer ne
može biti 0 pvise2 = 107/12500 ili >>
pvise2=binopdf(3,5,0.1)+binopdf(4,5,0.1)+binopdf(5,5,0.1), pvise2 = 107/12500. Isti rezultat dobijemo koristeći
funkciju binocdf(x,n,p) . Događaju više do 2 je suprotan događaj da slučajna varijabla uzme vrijednost 0, 1 ili 2.
Zato je >>pvise2= 1-binocdf(2,5,0.1),pvise2 = 107/12500.
c) Događaju ˝bar jedan neispravan˝ je suprotan događaj ˝0,nema neispravnih˝ . Zato je
>> bar1n=1-binopdf(0,5,0.1), bar1n = 844/2061 .
Primjer 3. Neki stroj proizvodi s vjerojatnošćo 0.04 neispravan proizvod. U uzorku od 5 nasumce izabranih
proizvoda odredimo broj x tako da je .
Rješenje:Funkciji y= binocdf(x,p,n) je inverzna funkcija x= binoinv(y,n,p) , gdje je y broj u [0,1] ili vektor s
komponentama u [0,1], a n i p parametri binomne razdiobe. Prema tome je: >> x=binoinv(0.91,5,0.04) ,
x = 1.
Primjer 4. Ako je , odredimo a) .
Rješenje: Analogno kao funkcije binocdf, binopdf odnosno binoinv , funkcije poisscdf , poisspdf
odnosno poissinv određuju odgovarajuće vjerojatnosti odnosno vrijednost po Poissonovom zakonu.
a) >> p1=poisspdf(1,2), p1 = 0.2707,
b) >> pm3=poisspdf(0,2)+poisspdf(1,2)+poisspdf(2,2), pm3 = 0.6767 ili >> poisscdf(2,2), ans = 0.6767,
c) >> pv0mj2=poisspdf(1,2)+poisspdf(2,2), pv0mj2 = 0.5413
d) >> pvj3=1-pm3 pvj3 = 0.3233 ili >> pvj3=1-poisscdf(2,2), pvj3 = 0.3233.
Primjer 5. Jedna telefonska centrala primila je tokom jednog sata 210 poziva. Odredimo vjerojatnost da u jednoj
minuti a)je bilo točno 5 poziva, b) nije bilo poziva.
Rješenje: Parametar , . a) >> p5=poisspdf(5,3.5), p5 = 0.1322,
b) >> p0=poisspdf(0,3.5), p0 = 0.0302
Primjer 6. Poznato je da ljevorukih ljudi ima 1%. Odredimo vjerojatnost a) da među 1000 slučajno odabranih
ljudi bude 15 ljevorukih, b) bar 15 ljevorukih , c) nađimo očekivanje i varijancu.
Rješenje : Kako je aproksimirajmo Poissonovom razdiobom
.
a) >> p15=poisspdf(15,10), p15 = 0.0347
b) >> pb15=1-poisscdf(14,10), pb15 = 0.0835
c)
Usporedimo dobivene rezultate (približne) sa točnim rezultatima dobivenim po formulama za binomnu
razdiobu: a) >> p15=binopdf(15,1000,0.01),p15 = 0.0345, b) >> pb15=1-binocdf(14,1000,0.01),pb15 = 0.0824:
44
Uočavamo da je greška pod a) u četvrtoj decimali , a pod b) trećoj decimali i da Poissonova razdioba dosta
dobro aproksimira binomnu, a puno je jednostavnija za računanje kada se radi o velikim brojevima.
Napomena: Kako su nam poznate formule binomne i Poissonove razdiobe, pokušajte napisati programe (m-file)
kojima izračunavamo vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi vrijednost .
Kontinuirane razdiobe
Uniformna razdioba s parametrima definirana je funkcijom gustoće vjerojatnosti:
Vrijedi: 1) 2)
Normalna ili Gaussova razdioba s parametrima i definirana je funkcijom gustoće
vjerojatnosti:
Normalnu razdiobu nazivamo standardna (jedinična) normalna razdioba i njezine funkcije gustoće i
distribucije su: .
Vrijedi: 1) , 2) (umjesto znaka < može
stajati znak , 3) , 4)
Eksponencijalna razdioba parametra definirana je funkcijom gustoće vjerojatnosti:
Vrijedi: 1) 2) .
Primjer 1. Ako je , odredimo a) .
Rješenje: Zadatak možemo riješiti koristeći formulu funkcije distribucije uniformne razdiobe ili direktno pomoću
funkcije unifcdf(x,a,b) gdje su a, b parametri , a x argument funkcije distribucije (zadana vrijednost) . Općenito,
a,b i x mogu biti matrice . Za izračunavanje vrijednost funkcije gustoće vjerojatnosti koristimo funkciju
unifpdf(x,a,b). Sada nam nije teško riješiti naš zadatak.
a) >> syms x
>> a=2;b=6;
>> Fx=(x-a)/(b-a);
>> PXm3=subs(Fx,3) , PXm3 = 0.2500 ili >> Pxm3=unifcdf(3,2,6) , Pxm3 = 0.2500.
45
Ako želimo izračunati f(-2), f(1), f(5), f(13) dovoljno je napisati: >> x=[-1,2,5,13]; fx=unifpdf(x,2,6),
fx = 0 0.2500 0.2500 0 (vidjeti funkciju gustoće uniformne distribucuje).
b) >> PX35=unifcdf(5,2,6)-unifcdf(3,2,6), PX35 = 0.5000 ili >> PX35=int(1/(6-2)*x^0,3,5), PX35 =1/2.
c) >> PXvj4=1-unifcdf(4,2,6), PXvj4 = 0.5000
Primjer 2. Neka je . a) Odredimo x tako da je , b) .
Rješenje: a)U Matlab postoji funkcija unifinv(p,a,b) koja je inverzna je Matlab funkciji unifcdf(x,a,b) , tj.
određuje inverz za funkciju razdiobe F(x). Prema tome, >> format rat, >> x=unifinv(1/3,0,4), x = 4/3 .
b) >> EX=int(1/4*x,0,4), EX =2, >> VarX=int(1/4*x^2,0,4)-EX^2, VarX =4/3. Očekivanje i varijancu smo mogli
naći bez integracije, pomoću formula .
Napomena. Ako se u naredbama iz primjera 1 i 2 ne navode parametri a i b onda su oni 0 i 1 i govorimo o
standardnoj uniformnoj razdiobi.
Primjer 3. Neka je (standardna normalna razdioba) odredimo a)
c) .
Rješenje: Analogno uniformnoj razdiobi , postoje Matlab funkcije pomoću kojih određujemo vjerojatnosti da
normalno distribuirana slučajna varijabla poprimi zadanu vrijednost. Također, pomoću računala potrebne račune
možemo izvesti na razne načine, pri čemu koristimo definicije, svojstva, integralni račun,... i Matlab-ovu
funkciju erf . Vrijedi : ,a otuda .
Funkcijom normcdf (x, ) nalazimo vjerojatnost p da normalno distribuirana slučajna varijabla X
padne u interval tj. računamo a funkcijom norminv(p, ) nalazimo interval vrijednosti
slučajne varijable X za koji je . računamo .
a) Uzevši u obzir ranije navedeno, naš račun je sljedeći: >> syms t
>> p05=subs(1/sqrt(2*pi)*int(exp(-t^2/2),-inf,0.5)), p05 =0.6915 ili >> p05=normcdf(0.5),p05 =0.6915
ili >> p05=0.5*erf(0.5/sqrt(2))+0.5, p05 = 0.6915.
b) >> p=normcdf([-1,2]); >> pmin1do2=p(2)-p(1), pmin1do2 = 0.8186 ili
>> pmin1do2=normcdf(2)-normcdf(-1), pmin1do2 = 0.8186 ili …
c) >> pv1ipo=1-normcdf(1.5),pv1ipo = 0.0668
d) >> a=norminv(0.5), a = 0
Ako se radi o standardnoj normalnoj razdiobi ne treba navoditi parametre
Primjer 4.Visina čovjeka normalno je distribuirana slučajna varijabla X s parametrima
Odredimo: a) Postotak ljudi s visinom između 165 i 185 (cm), b)
vjerojatnost da slučajna varijable X poprimi vrijednost veću od 200 (cm), c) graničnu visinu ispod koje
se nalazi 1% ljudi.
46
Rješenje: a) >> p=normcdf([165,185],174,9); >> p165185=p(2)-p(1), p165185 = 0.7305, što znači da
73.05% ljudi je visine od 165 do 185 cm.
b) >> pv200=1-normcdf(200,174,9), pv200 = 0.0019
c) >> a=norminv(0.01,174,9), a = 153.0629
Primjer5. Slučajna varijabla X distribuirana je po normalnom zakonu s parametrima .
Odredimo varijancu tako da vjerojatnost pripadanja intervalu [1,3] slučajne varijable X bude
najveća.
Rješenje: Derivirajući kompoziciju
funkcija dobivamo: . Nužan uvjet ekstrema
je i kako je dobivamo : Broj 3 možemo
zapisati kao , pa je , i konačno
Primjer 6. Nacrtajmo grafove funkcija gustoće i razdiobe za eksponencijalnu distribuciju .
Rješenje: Grafove možemo nacrtati koristeći ranije navedene formule:
>> syms x t
>> f=2*exp(-2*t);>> ezplot(f,[0,4])
>> grid
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t
2 exp(-2 t)
>> F=1-exp(-2*x);>> ezplot(F,[0,4]),>> grid
47
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
1-exp(-2 x)
Matlab-funkcije pomoću kojih direktno računamo vrijednosti navedenih funkcija su:
Za određivanje
koristimo se funkcijom .
Primjer 7. Funkcija raspodjele slučajne varijable X eksponencijalno distribuirane ima oblik:
Odredimo a) b) očekivanje i varijancu
Rješenje: a) Parametar a ima vrijednost 0.5 i prema tome je: >> p=expcdf([1 3],1/0.5); >> p13=p(2)-p(1)
p13 = 0.3834
b) E[X]= , E[X]=2, Var[X]= , Var[X ]=4.
Primjer 8. Vijek trajanja jedne vrste otpornika slučajna je varijabla X eksponencijalno distribuirana
s očekivanom vrijednosti 500 (h). Nađimo vjerojatnost da a) vrijeme trajanja bude manje od 400 (h),
b) da vrijeme trajanja bude veće od 700 (h).
Rješenje: Iz .
a)Bez računala račun je sljedeći:
. Pomoću Matlab-a postupak
je: >> pm400=expcdf(400,500), pm400 = 0.5507.
b)
Brže i jednostavnije je napisati: >> pvj700=1-expcdf(700,500), pvj700 = 0.2466.
48
Prilagodba trorijske razdiobe empirijskim podacima
Za određivanje parametara pretpostavljene teorijske razdiobe s jednim parametrom (Poissonova i
eksponencijalna) izjednačavamo izračunatu aritmetičku sredinu sa nepoznatim očekivanjem, tj.
stavljamo: Kod razdiobe s dva nepoznata parametra (binomna, uniformna ili normalna)
aritmetičku sredinu izjednačimo s očekivanjem, a varijancu izmjerenih statističkih podataka s
nepoznatom varijancom teorijske razdiobe, tj. riješimo sustav: .
Primjer 1. Mjerenjem vremena zakašnjenja jednog vlaka kroz 30 dana na željezničkoj postaji A
dobiveni su sljedeći podaci: 2,5,17, 0, 1, 10, 45, 22, 50, 31, 11,8, 12, 44, 23, 5, 3,34,16, 21, 5, 1, 5, 23,
17, 12, 4,20, 3,31. Uz pretpostavku da je zakašnjenje vlaka distribuirano po Poissonovoj razdiobi
odredimo tako da najbolje odgovara dobivenim podacima.
Rješenje: Dovoljno je naći aritmetičku sredinu izmjerenih podataka i izjednačiti je s
>> x=[2,5,17, 0, 1, 10, 45, 22, 50, 31, 11,8, 12, 44, 23, 5, 3,34,16, 21, 5, 1, 5, 23, 17, 12, 4,20, 3,31];
>> as=mean(x), as = 16.0333 . Radi se o .
Primjer 2. Mjerenjem je dobiven skup podataka: 1,0,3,2,4,6,3,1,4,6,1,0,5,2,3,2,4,3,1,3,2,4,5,2,1,2,0,4,3,6.
Odredimo binomnu razdiobu koja najbolje odgovara izmjerenim podacima i pripadne teorijske
frekvencije.
Rješenje: >> x=[1,0,3,2,4,6,3,1,4,6,1,0,5,2,3,2,4,3,1,3,2,4,5,2,1,2,0,4,3,6];
>> tabulate(x)
Value Count Percent
0 3 10.00%
1 5 16.67%
2 6 20.00%
3 6 20.00%
4 5 16.67%
5 2 6.67%
6 3 10.00%
>> as=mean(x), as = 2.7667
>> vari=var(x),vari = 3.1506
>> p=as/6, p = 0.4611
49
>> for k=0:6
ft(k+1)=round(30*binopdf(k,6,0.4611));
end
>> ft
ft = 1 4 8 9 6 2 0
Odstupanja teorijskih i izmjerenih frekvencija možemo vidjeti ako nacrtamo sliku.
>> f=[3,5,6,6,5,2,3]; % frekvencije, drugi stupac iz tablice tabulate(x)
>> hold on
>> plot(ft,'+')
>> plot(f,'.')
1 2 3 4 5 6 70
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Matlab crta točke ( 1, f11 ), (2,f12), … ,(7,f17), a kako f11 pokazuje frekvenciju 0, f12 frekvenciju 1,… to su
stvarne točke grafa (0,f11), (1, f12), …, (6,f17). Analogno vrijedi i za teorijske frekvencije.
Primjer 3. Mjerenjem je dobiven sljedeći skup podataka: 1.53, 3.45,2.67,0.56, 1.42,4.50,3.67,6.08,5.23,
1.24, 7.79,0.67, 5.12,4.78, 8.40,5.45,7.04,5.34, 3.63, 2.15, 3.22,1.97,2.09,8.21,7.54,6.36,2.98,6.75,
1.34, 2.85, 2.34, 0.56, 1.47, 5.19, 7.13. Odredimo prilagođenu normalnu teorijsku razdiobe i pripadne
teorijske frekvencije.
Rješenje: Postupak rješavanja može teći ovako (ali i drugačije):
>> x=[1.53, 3.45,2.67,0.56,1.42,4.50,3.67,6.08,5.23,1.24,7.79,0.67, 5.12,4.78,8.40,5.45,7.04,
5.34,3.63,2.15,3.22,1.97,2.09,8.21,7.54,6.36,2.98,6.75,1.34,2.85,2.34,0.56,1.47,5.19,7.13];
as=mean(x)
as = 4.0206
50
vari=var(x)
vari = 5.8013
mi=as;
sigma=sqrt(vari)
sigma = 2.4086
for k=1:7
p=normcdf([s(k)-c,s(k)+c],mi, sigma);
P=p(2)-p(1);
ft(k)=round(35*P);
end
>> ft
ft = 6 10 12 12 10 7 4
Zadaci
1. Ako je odredite: a)
, f ) očekivanje i varijancu.
2. Za binomnu distribuciju odredite p ako je , očekivanje , varijancu,
standardnu devijaciju b) .
3. Poissonova slučajna varijabla ima standardnu devijaciju 4. Odredite a) , b)
4. Vjerojatnost da se pri prijevozu razbije boca vina je 0.005. Ako se prevozi 1000 boca, odredite
vjerojatnost da do odredišta stignu: a) sve cijele boce, b) od 4 do 7 razbijenih boca.
5. Ako je odredite a) očekivanje i varijancu , b) c) .
51
6. Vjerojatnost da pretplatnik nazove telefonsku centralu u vremenskom intervalu t, iznosi 0.009. Centrala
poslužuje 4000 pretplatnika. Kolika je vjerojatnost da će u vremenskom intervalu t centralu nazvati 5
pretplatnika?
7. Slučajna varijabla X normalno je distribuirana sa parametrima . Izračunajte:
a) b) c) odredite vrijednost a tako da je
8. Težina čovjeka je slučajna varijabla X normalno distribuirana sa parametrima . Izračunajte:
a)Koliki je postotak ljudi lakših od 50 (kg), b) c) odredite a tako da je
9. Ako je odredite a) očekivanje, varijancu, , b)
10. Ako je vijek trajanja ( u satima) nekog uređaja slučajna varijabla X eksponencijalno distribuirana i vrijedi
odredite a) parametar a,očekivanje, b) c) .
11. Praćenjem broja prometnih nesreća na jednoj dionici puta kroz 24 mjeseca , dobiveni su sljedeći podaci: 5,
1, 7, 3, 6, 4, 2, 5, 3, 6, 7, 6, 3, 2, 3, 5, 4, 5, 4, 6, 1,4, 3,7. Uz pretpostavku da se broj nesreća ravna po Poissonovoj
razdiobi , odredite parametar i pripadne teorijske frekvencije.
12. Mjerenjem je dobiven sljedeći skup podataka: 10.153, 13.042, 11.537,10.157, 17.420, 14.351, 13.247,
11.207, 15.123, 10.324, 17.077, 12.563, 13.514, 14.573, 18.653, 14.545, 17.414,15.235, 13.163, 12.213, 13.521,
10.397, 12.937, 18.521, 17.355, 16.136, 12.498,16.375, 11.334, 14.285, 12.934, 10.556, 13.547,15.319, 17.617.
Odredite prilagođenu normalnu teorijsku razdiobe i pripadne teorijske frekvencije.
