LA RETTA

In geometria analitica, una retta nel piano cartesiano è l'insieme descritto dalle soluzioni di una equazione lineare. Ad esempio: 4x-3y=2 Esistono due forme equivalenti per descrivere una retta nel piano cartesiano: la forma cartesiana, che a sua volta si può esprimere in forma implicita o esplicita, e la forma parametrica. Per adesso esaminiamo solo la forma cartesiana

FORMA IMPLICITA

L’equazione avente forma implicita è la seguente:

ax+by+c=0

La lettera a è chiamata coefficiente della x, la lettera b coefficiente della y e la lettera c termine noto. Esse non sono altro che dei numeri. Ad esempi se a=2, b=3 e c=5 la retta avrà questa equazione:

2x+3y+5=0

FORMA ESPLICITA

L’equazione della retta in forma esplicita è la seguente: y=mx+q

dove mx è il coefficiente della x, mentre q è chiamata intercetta

COEFFICIENTE ANGOLOAREProvando a disegnare una retta su un piano cartesiano, sapendo che essa passa per i punti A(3;2) e B(6;6) ,vediamo che essa forma un angolo con l’asse delle X. Se la retta passa forzatamente per A e B l’angolo formato potrà essere solo quello. L’angolazione della retta è misurata dal coefficiente angolare, che nell’equazione è rappresentato da m , ossia da –a\b . Maggiore è il valore di m, maggiore sarà l’inclinazione della retta. Conoscendo l’equazione della retta possiamo ricavare il coefficiente angolare. Inoltre valori negativi di m, significano che la retta forma un angolo ottuso con l’asse delle X. Gli esempi chiariscono quanto detto.

X O

Y 4

3m

1

2m

2

3m

EQUAZIONE DELLA RETTA PER DUE PUNTISiano dati i punti A(3;2) e B(6;6). Per trovare l’equazione della retta passante per questi due punti si usa la seguente formula (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1); dove y2 rappresenta l’ordinata del punto B, cioè 6;y1 rappresenta l’ordinata del punto A, cioè 2; x2 rappresenta l’ascissa del punto B, cioè 6; x1 rappresenta l’ascissa del punto A, cioè 3

ESEMPIO

EQUAZIONE DELLA RETTA DI COEFFICIENTE ANGOLARE PASSANTE PER UN PUNTO NOTO

Calcoliamo l’equazione della retta avente m=2 ed A(3;5).Utilizzando la formula sottostate avremo :

5 2( 3)y x

5 2 6

2 6 5

2 1

y x

y x

y x

PARALLELISMO TRA RETTE

Due rette sono parallele se i loro coefficienti angolari sono uguali: 1)y=3x+5; 2)y=5x-3; 3)y=3x+5 La prima e la seconda retta sono parallele poiché hanno lo stesso coefficiente

PERPENDICOLARITA’FRA RETTE

Due rette sono perpendicolari fra loro se i rispettivi coefficienti angolari sono opposti ed inversi: la prima e la seconda sono perpendicolari poiché il coefficiente dell’una è l’antireciproco del coefficiente dell’altra:

1) 3 2y x

2) 1

13

y x

3) 8y x

RETTE PARTICOLARI Esistono alcune rette particolari di cui è importante conoscere le

equazioni.

Asse delle ascisse: essendo sul piano è anch’esso una retta, con la particolarità che tutti suoi punti hanno ordinata uguale a zero, per cui la sua equazione è y=0

Asse delle ordinate: analogamente l’asse delle ordinate ha equazione x=0

Bisettrice del 1° e 3° quadrante: su questa retta, che divide in modo simmetrico sia il primo che il terzo quadrante, ogni ascissa ha valore uguale all’ordinata, per cui l’equazione è y=x

Bisettrice del 2° e4° quadrante: In questo caso ogni ascissa ha valore opposto a quello dell’ordinata (stesso numero, ma segno opposto) per cui l’equazione è y=-x

INSERZIONE FRA RETTE

Date due rette su un piano cartesiano, a meno che le due rette non siano parallele, sicuramente si intersecheranno in un punto. Per trovare le coordinate di questo punto è sufficiente mettere a sistema le due equazioni (per informazioni più dettagliate sulla risoluzione dei sistemi di primo grado si veda uno dei moduli precedenti). La x e la e la y trovate sono l’ascissa e l’ordinata del punto

ESEMPIO

2x-y+3=0 e x+2y-1=0 Ricaviamo la y dalla prima e per sostituzione avremo il punto P(-1;1);