La matematica in STORIA DELLA Francia tra MATEMATICA ...minnaja/DIDATTICA/DOTTORATO...Laplace, Monge; le lezioni si tenevano al Jardin des Plantes Gli insegnanti di Fourier: Gli insegnanti

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STORIA DELLA STORIA DELLA

MATEMATICAMATEMATICA

Dottorato 2008-09

La matematica in La matematica in

Francia tra Francia tra

Rivoluzione e Rivoluzione e

RestaurazioneRestaurazione

Altri matematici della prima Altri matematici della prima

metà dell’Ottocentometà dell’Ottocento

• Quasi schiacciati tra matematici più famosiaccenniamo qui a tre personaggi a cui lavita non riservò soltanto successi.

•• JeanJean--JosephJoseph BaptisteBaptiste FourierFourier (1768-1830)si occupò principalmente della diffusionedel calore e propose come soluzionedell’equazione relativa funzioni che eranoespresse tramite serie trigonometriche.

FourierFourier

•• JeanJean--BaptisteBaptiste JosephJoseph

FourierFourier (1768-1830)

• Figlio di un sarto,diciannovesimo (e nonultimo!) figlio dellastessa coppia, moltopresto orfano dientrambi i genitori,viene mandato ad uncollegio militare

FourierFourier

• Incontrò l’opposizione di Lagrange, che nonconcepiva come si potesse a priori supporreche una funzione qualsiasi ammettesse unosviluppo in serie trigonometriche, e quindi isuoi studi sull’argomento vennero premiatima non pubblicati, il che poi portò apolemiche sulla priorità

FourierFourier

• Fourier fu pienamente partecipe sia nellaRivoluzione che nel regime napoleonico epertanto fu fortemente osteggiato al ritornodella Restaurazione. È fondamentale la suaanalisi delle funzioni periodiche, estensibileanche a funzioni definite su un intervallo (eprolungate per periodicità)

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FourierFourier La serie di FourierLa serie di Fourier

La serie di FourierLa serie di Fourier La serie di FourierLa serie di Fourier

Spettro di una serie di FourierSpettro di una serie di Fourier

Lo spettro di una nota dell’armonica a bocca

La serie di FourierLa serie di Fourier

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La serie di FourierLa serie di Fourier FourierFourier

• A tredici anni si scopre matematico e passale notti studiando a lume di candela. Unanotte il guardiano, vedendo la luce, credeche ci sia un incendio…

• A diciassette anni si diploma e fa domandaper entrare al Ministero della Guerra, ma ladomanda viene respinta (forse per le originimodeste).

FourierFourier

• Come ripiego entranovizio tra i Benedettininell’abbazia di St.Benoit-sur-Loire (reliquiedi S. Benedetto) e ha ilcompito di insegnare.

• Nel 1789 sta per prenderei voti, ma scoppia laRivoluzione

FourierFourier

• La Rivoluzionevieta di prendere ivoti e poi aboliscegli ordini religiosi.

• Fourier torna adAuxerre, sua cittànatale dove insegnamatematica, storia eretorica

FourierFourier

• Nel 1789 Fourier invia all’Académie desSciences un lavoro che viene giudicatopositivamente, ma non viene pubblicatodata la situazione rivoluzionaria. I ritardinella pubblicazione saranno frequenti perFourier e ciò causerà diatribe perl’attribuzione della priorità

FourierFourier

• Fourier rifugge dalla violenza, ma partecipacon grande passione all’amministrazionerivoluzionaria; si dimette dal Comitato diSorveglianza, ma le sue dimissioni sonorespinte e viene posta in dubbio la sua lealtàrivoluzionaria.

• Diventa presidente del locale ComitatoRivoluzionario, ma viene raggiunto da undecreto di arresto con condanna a mortedopo un processo sommario.

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FourierFourier

• Va a Parigi da Robespierre per perorare lapropria causa, ma al ritorno viene arrestatoed incarcerato. Viene liberato soltantoperché un comitato di cittadini, data la stimadi cui gode, va a Parigi da Saint-Juste; inquei giorni Robespierre viene ghigliottinatoe quindi si ha un’amnistia e Fourier torna inlibertà.

FourierFourier

• Nel 1794 la Convenzione aveva istituitol’Ėcole Normale per creare una classe dimaestri elementari e professori di scuolamedia (l’istruzione era principalmente inmano agli ecclesiastici) e Fourier vi ebbeaccesso. Tra i professori vi erano Lagrange,Laplace, Monge; le lezioni si tenevano alJardin des Plantes

Gli insegnanti di Fourier: Gli insegnanti di Fourier: LagrangeLagrange

Luigi Lagrange (1736-1813)Monumento a Lagrange a Torino, in via Lagrange

Gli insegnanti di Fourier: LaplaceGli insegnanti di Fourier: Laplace

Pierre Simone Laplace(1749-1827) Medaglia di Laplace incisa da Cauchy

Gli insegnanti di Fourier:Gli insegnanti di Fourier:

MongeMonge e e BertholletBerthollet

Claude Louis Berthollet (1748-1822)

Gaspard Monge (1746-1818)

Fourier Fourier –– orti botaniciorti botanici

Jardin des PlantesParigi

Orto botanicoPadova

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Gli insegnanti di Fourier: Gli insegnanti di Fourier: MongeMonge

•• GaspardGaspard MongeMonge (1746-1818) figlio di unarrotino, alunno bravissimo (puer aureus) inun collegio di preti; al termine degli studigli viene offerto un posto a condizione cheprenda almeno i primi voti. Entra invece inun collegio per allievi ufficiali, ma nonviene nominato ufficiale, perché di umilinatali


Monge è contento di disegnarefortificazioni. Il problema di allora eracostruire mura che rendessero minimo ildanno delle cannonate. La trasformazioneda torri quadrate a torri poligonali e poitonde si ha con il progressivo uso dellapolvere da sparo

Gli insegnanti di Fourier: Gli insegnanti di Fourier: MongeMonge Gli insegnanti di Fourier: Gli insegnanti di Fourier: MongeMonge

• Una volta Monge risolse il problema moltorapidamente, senza calcoli, ma con solidisegni geometrici; l’ufficiale che dovevacontrollare i calcoli non ci credeva. Nascevala geometriageometria descrittivadescrittiva

Gli insegnanti di Fourier: Gli insegnanti di Fourier: MongeMonge Gli insegnanti di Fourier: Gli insegnanti di Fourier: MongeMonge

Monge: tavole di geometria descrittiva

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A Monge fu subito proposto un posto diinsegnante nel collegio militare, e il suoinsegnamento era coperto da segreto: solonel 1794 gli fu permesso di insegnare talemateria all’École Normale. Tre anni dopo fuprofessore anche di fisica, e poi direttoredell’Istituto di idraulica


Monge fu per anni presidente dellacommissione degli esami di ammissioneall’Accademia militare, dove bocciava chinon era all’altezza, anche se figlio diaristocratici; si rifiutava di fare e riceverefavori


Allo scoppio della Rivoluzione Monge èdalla parte dei rivoluzionari, viene nominatoministro della Marina e delle Colonie; perònon avendo parametri diversi dal meritoviene sospettato di essere reazionario e sidimette


Monge e Berthollet si adoperano nelladifesa della patria: ci sono da armare900.000 uomini, bisogna estrarre il salnistrodalla terra, bisogna fondere i metalli degliorologi e delle campane per fare cannoni.Monge viene denunciato come contro-rivoluzionario e lascia segretamente Parigi

LaplaceLaplace

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•• PierrePierre--SimonSimon

Laplace Laplace (1749-1827)

• Di umili (e non note)origini, fu fattostudiare da alcuniprotettori, si dedicòprincipalmente allameccanica celeste

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LaplaceLaplace

• Non prese parte alla rivoluzione, fece partedel Comitato di Pesi e Misure, fu nominatoconte da Napoleone e poi marchese daiBorboni. Napoleone lo fece ministro, madopo pochi mesi disse che “Laplace avevaintrodotto lo spirito dell’infinitamentepiccolo nella direzione degli affari”

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• Ambizioso, opportunista, guarda consuperiorità i colleghi ed è apprezzato sottotutti i regimi.

• Nel 1773 dimostra la stabilità del sistemasolare, applicando la teoria gravitazionale diNewton all’intero sistema, comprese leperturbazioni (il sistema è idealizzato, adesempio sono trascurate le maree che frenanoil moto di rotazione)

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• Scrive pochi trattati, ma molto ponderosi; ilsuo Traité de Mécanique céleste in edizionie ampliamenti successivi esce in cinquevolumi dal 1799 al 1825.

• Espone un’ipotesi sulla formazione delsistema solare, già proposta da Kant

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• Rappresentazionedell’ipotesi di Kant-Laplace: una unicanebulosa da cui nasceil sistema solare(ipotesi accettataancora adesso conqualche precisazione)

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• Laplace intuì il concetto di buco nero, corpoceleste di massa così grande che nemmenola luce avrebbe velocità superiore a quelladi fuga. Ipotizzò inoltre che alcune dellenebulose mostrate dai telescopi nonfacessero parte della Via Lattea e fosseroesse stesse delle galassie. Questo fatto verràconfermato da Hubble nel 1924.

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• 1812: Théorie analitique des probabilités : “la teoria della probabilità è soltanto senso comune espresso in numeri”

• In quest’opera si trova il calcolo dell’areadella gaussiana come viene raccontataadesso; vi sono numerosi integrali difunzioni estremamente complicate

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LaplaceLaplace

• Ancora nella Théorie analitique des

probabilités si trova la “trasformata diLaplace” (però soltanto con x reale)

• La differenza tra Laplace e Lagrange è stataben descritta da Fourier: Lagrange è unmatematico per cui la fisica è un’occasione,Laplace è un astronomo per cui lamatematica è un mezzo

LaplaceLaplace

• Laplace chiude un’epoca: tutto quello che sipoteva dire sulla meccanica celeste dimodello newtoniano tramite il calcolodifferenziale e integrale è detto. È unfautore del determinismo più rigoroso.

I successori di FourierI successori di Fourier

I successori di FourierI successori di Fourier

• I maestri di Fourier erano morti, sia Mongeche Lagrange; Laplace muore nel 1827.Fourier morirà nel 1830. Cauchy, Fourier ePoisson dovranno fronteggiare unaagguerrita concorrenza di giovani

CauchyCauchy

• Augustin LouisCauchy (1789-1857)era stato un ingegneredelle fortificazionisotto Napoleone

CauchyCauchy

• Cauchy si rifiutò di giurare al nuovo re Luigi Filippo e nel 1830 abbandonò la Cattedra alla Sorbona; andò in esilio e venne anche a Torino, dove presentò un lavoro all’Accademia

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CauchyCauchy

• Dopo i nuovi rivolgimenti in FranciaCauchy tornò a Parigi dove fu reintegratonella cattedra nonostante non avesse giuratofedeltà al nuovo re.

Gauss e l’Accademia di TorinoGauss e l’Accademia di Torino

• Contemporaneamente alla presenza di Cauchy a Torino viene nominato socio dell’Accademia Gauss, che non viene a Torino, ma ringrazia

La nascita della La nascita della

topologiatopologia

I ponti di I ponti di KönigsbergKönigsberg


Siamo a Konisberg, nel 1759.Il fiume che attraversa la città si divide indue rami formando un'isola incorrispondenza della biforcazione.Il territorio è diviso in 4 aree come si vedenella figura qui sotto: l'isola A, le duesponde B, C e la parte interna allabiforcazione D


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I ponti di I ponti di KönigsbergKönigsbergLe 4 aree sono collegate da 7 ponti:A-C sono collegate dai ponti c, d;A-B sono collegate dai ponti a, b;D-A sono collegate dal ponte e;D-C sono collegate dal ponte g;D-F sono collegate dal ponte f


• E' possibile fare una passeggiataattraversando esattamente una sola voltatutti i ponti?

• Il problema dei ponti di Konisberg si puòricondurre alla seguente figura.


E' possibile tracciarlacon un solo tratto dipenna senza maistaccare la penna dalfoglio e percorrendotutte le linee una solavolta?

NonNon èè possibile!possibile!


Una figura di questo tipo, formata da puntinodali (A, B, C, D) e da linee che licongiungono (a, b, c, d, e, f, g), si chiama

grafografo..I punti A, B, C, D si chiamano nodinodi.Le linee a, c, d, e, f, g si chiamano archiarchi ( olati o segmenti). Le superficie chiuselimitate da una serie di archi si chiamano

regioniregioni..


Il numero di archi che escono da un nodo si chiama ordine del nodo. Ad esempio l'ordine del nodo A è 5 mentre l'ordine del nodo D è 3.


• Quando si dice "nodo pari" o "nodo dispari" si intende rispettivamente "nodo di ordine pari" o "nodo di ordine dispari"

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• La possibilità di tracciare grafi con un solo tratto di penna è soggetta alle seguenti leggi:

• 1) Le figure che non hanno nodi dispari si possono tracciare con un tratto continuo partendo da un nodo qualunque.

• 2) Una figura che ha esattamente 2 nodi

dispari può essere tracciata con un tratto continuo partendo da uno di essi.


• 3) Le figure che hanno più di 2 nodi

dispari non possono essere tracciate con untratto continuo.


• Eulero stabilì che un grafo compostosoltanto da nodi pari, cioè ciascunocollegato a un numero pari di archi, èsempre percorribile e che si può ritornare alpunto di partenza senza sovrapposizioni dipercorso.


• Se un grafo contiene nodi pari e soltantodue nodi dispari è ancora percorribile, manon si può più ritornare al puntodi partenza.


• Se contiene invece più di due nodidispari, non è percorribile senzasovrapposizioni di percorso.

• La passeggiata sui ponti di Könisberg èdi quest'ultimo tipo, porta a un grafocomposto da quattro nodi dispari, equindi il problema di partenza ha rispostanegativa


• Quello che sembrava un piccolo rompicaposenza importanza, nelle mani di Eulerodiventò un grande problema matematico,punto di partenza della teoria dei grafi e diuna nuova scienza: la topologia, destinata agrandi sviluppi, un secolo più tardi.

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I ponti di I ponti di KönigsbergKönigsberg Il salto del cavalloIl salto del cavallo

Il salto del cavalloIl salto del cavallo

• Poiché esistono molte mosse diverse checonsentono al cavallo di saltare da unacasella all'altra, si può disegnare uncammino chiuso in cui tutte le possibiliMOSSE siano tracciate una ed una solavolta? (grafo euleriano)


• È possibile, per il cavallo, occupare tutte leCASELLE di una scacchiera n×n ciascunaesattamente una volta prima di ritornaresulla stessa casella da cui è partito? (grafohamiltoniano)


• TEOREMA: Il cavallo, saltando su unascacchiera n×n, può occupare tutte le caselleciascuna esattamente una volta descrivendoun cammino hamiltoniano ⇔ n ≥ 5 (G.

Zammillo, 2000).


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La lingua universale La lingua universale

logicalogica

La lingua universale logicaLa lingua universale logica

• L’idea di lingua universale ha affascinatomoltissimi filosofi, studiosi e anche personecomuni dai tempi dell’antica Grecia. Nelperiodo di cui ci stiamo occupando questaidea affascinò, tra i molti altri, Cartesio,Newton e Leibniz


• Tutti e tre andarono alla ricerca di unalingua logica “a priori”, in cui le parolefossero costruite secondo un principiologico, senza che le radici avesseronecessariamente un legame con le radicidelle lingue esistenti


• Secondo Cartesio l’insieme apparentementeinfinito di concetti poteva essere ridotto adun numero limitato di concetti base, dalquale tutti gli altri si potevano derivare,come qualsiasi numero può essere espressocon solo dieci cifre. Poche grandi specieavrebbero a loro volta poche sottospecie, lequali avrebbero sottospecie e così via


• Questo sarebbe potuto succedere solo dopouna grande riorganizzazione delle cose,inscindibile da una grande riorganizzazionedella società. La lingua era comunque vistacome un fenomeno sociale, per quantosganciata dalle lingue esistenti. Tuttavia lalingua era vista come una riorganizzazionedel pensiero prima che come un mezzo dicomunicazione

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• Questo concetto logico-filosofico dellalingua giunse in Inghilterra a metà del secXVII ed interessò la Royal Society, inparticolare il suo segretario Wilkins cheeffettivamente costruì una lingua su questoprincipio e il chimico Boyle, che pare laparlasse.


• Newton scrisse nel 1661 o 1662 un’operache non fu pubblicata e fu scoperta solo nel1936: Sulla lingua universale. I nomi deglioggetti e le idee del mondo costituivano leparole e le relazioni tra esse erano lagrammatica. Newton divideva questerelazioni fino a differenze molto piccole,che difficilmente si troverebbero nellacomunicazione tra persone.


• Leibniz scrive nel 1704 Nuove esperienze

sull’intelletto umano (pubblicata nel 1765).La logica dovrebbe scomporre le nozioni inconcetti semplici e, come i segni matematicimettono in relazioni i numeri, così nellalingua universale le nozioni elementaripotrebbero costituire l’alfabeto della lingualogica.


• Secondo Leibniz è logico avere solo duecategorie morfologiche: sostantivi e verbi.Un sistema di affissi permetterebbe dipassare da una categoria all’altra. Altriaffissi permettevano di creare parolederivate. Se la sintassi era sintetica, lagrammatica era analitica, con preposizioni,pronomi, congiunzioni.


• Leibniz vedeva anche una scritturauniversale mettendo in corrispondenza leprime 9 consonanti dell’alfabeto latino conle cifre da 1 a 9 e alle cinque vocalicorrispondevano le prime cinque potenze di10.

• Le lingue universali che verranno propostenei secoli successivi saranno più vicineall’idea di Leibniz che non a quelle diCartesio e Newton.

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