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La démarche d'investigation et les TICE : une opportunité pour l'inventivité ?

Extrait du Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques

http://revue.sesamath.net/spip.php?article130

La démarche d'investigation et

les TICE : une opportunité

pour l'inventivité ?- N° 9 - Mars 2008 - Le dossier du numéro -

Date de mise en ligne : dimanche 30 mars 2008

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Note technique : cet article est construit autour d'environ 50 Mo de vidéo (sur 7 fichiers). Il peut être intéressantd'aller lire d'autres articles de ce numéro tout en laissant celui-ci se charger dans un onglet.

À l'occasion des 40 ans de l'INRIA (décembre 07), Michel Serres a donné une conférence intitulée « nouvellestechnologies : révolution culturelle et cognitive » dans laquelle il conclu que les nouvelles technologies nouscondamnent à l'inventivité :

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Ces quelques minutes sont la fin de sa conférence que l'on veut voir ou écouter intégralement à cette adresse

http://interstices.info/m-serres-lille

« Il ne nous reste exactement que l'inventivité, nouvelle catastrophique pour les grognons, mais nouvelleenthousiasmante pour les nouvelles générations . C'est-à-dire que, décidément, aujourd'hui, le travail intellectuel estobligé d'être un travail intelligent, et non pas un travail répétitif comme il a été jusqu'à maintenant ».

Les propos qui suivent s'inscrivent dans cette analyse, rapportée au sujet de ce dossier, l'épreuve pratiqueexpérimentale du Bac S et plus généralement la démarche expérimentale et d'investigation en mathématiques.

1.a. L'expérimentation en maths : une attitude derecherche

Comme l'a montré Henri Cohen dans sa conférence à l'université d'été de Saint-Flour, d'août2007, l'expérimentationest largement présente dans la recherche mathématique (avec des logiciels dédiés), dans les différentes étapes(exploration, conjecture, preuve) et l'a toujours été : Euler n'avait pas d'ordinateurs mais il avait des calculateurs - sesétudiants - pour explorer le comportement de la distribution des nombres premiers. L'intuition expérimentale deGauss est bien connue aussi, il en a donné un exemple saisissant.

Bien-sûr le chercheur a une liberté d'inventivité que n'a pas l'élève en apprentissage de cette démarche. Comme l'asouligné Denise Grenier dans son atelier, le chercheur peut redéfinir les objets à étudier, modifier les règles, lesdonnées, et même la question posée alors que, par exemple dans l'apprentissage à la démonstration, les élèvessont généralement habitués à une démarche inverse comme « utiliser seulement les données du problème », ouencore à « vérifier qu'on a bien utilisé toutes les hypothèses ».

Les activités de mathématiques qui s'inscrivent dans la logique de l'épreuve pratique du Bac sont alors l'occasion defaire vivre « cette nouvelle enthousiasmante pour les nouvelles générations » et pratiquer l'inventivité mathématiquehors des canons officiels de l'apprentissage.


http://www.adobe.com/go/getflashplayer

http://interstices.info/m-serres-lille

http://www3.ac-clermont.fr/pedago/maths/pages/UE2007/UE_2007_Internet.htm



1.b. Un enseignement qui prend en compte lacomplexité

En quittant la référence stricte à la pratique de la recherche scientifique, l'utilisation d'outils contemporains dans unedémarche d'expérimentation traduit aussi une volonté institutionnelle de faire rencontrer aux élèves la complexitéen général, plutôt que de développer chez eux des capacités de reproduction de tâches élémentaires. La nouvelleapproche des équations différentielles en est un exemple. Les outils de calculs utilisés en cours, qu'ils soient formelsou simplement algébrisés (tableurs) sont les outils d'anticipation contemporains, utilisés dans de nombreuxdomaines d'activité, que ce soit pour la modélisation ou l'aide à la prise de décision.

La rencontre avec la complexité, en particulier à travers les simulations, est l'occasion d'aborder des problèmes nonaccessibles à une résolution exacte.

La question de l'apprentissage de ces outils, même s'il est à aborder en terme de temps ou de programmation, ne pose en tout cas pas de vrais problèmes d'adhésion, en particulier de la part des nouveaux enseignants qui sontdésormais proches des « digital natives » que l'on voit arriver maintenant en collège. L'enseignement ne peut êtreque plus en phase, culturellement, avec le vécu des élèves, même s'il reste à faire passer un certain savoir faire surles TIC d'un univers ludique à un univers scolaire.

2.a. Les choix de cet article

Plusieurs outils ont massivement envahi les programmes : les calculatrices (éventuellement symboliques), lestableurs, les logiciels de géométrie dynamique (GD) et, peut-être plus modestement car plus lourd en temps deformation, ceux de calcul formel.

Chacun est capable de mettre en oeuvre « l'inventivité qu'il nous reste » décrite par Michel Serres, dans au moins unde ses domaines de prédilection, que ce soit le tableur, le calcul formel, la géométrie dynamique, ou même les troisensembles comme on peut le faire avec la Nspire ou le logiciel N-spire associé.

Dans cet article, nous avons choisi d'illustrer des pratiques d'expérimentation et d'investigation en mathématiquesdans un domaine où l'inventivité de l'utilisateur est directement liée à celle qui a été présente chez les auteurs deslogiciels que nous utilisons. Ceci est particulièrement le cas de la géométrie dynamique.

Lors de sa conférence inaugurale d'un séminaire DGESCO sur « le rôle et les enjeux des TICE en mathématiques »(février 2007), Michèle Artigue, dont on connaît la rigueur et la prudence, présentait la géométrie dynamique comme« le nouveau paradigme de l'enseignement de la géométrie ». Et dans son analyse des « obstacles culturels »rencontrés, elle citait l'expérience qu'ont les enseignants de la géométrie dynamique et « le rôle des enseignantspour développer une culture de la géométrie dynamique cognitivement productrice ».

Le but de cet article est donc de participer à l'enrichissement de cette culture dans le cadre du dossier deMathemaTICE.

Et une façon de participer doublement à l'enrichissement de cette culture est de proposer les exemples prévus pourcet article avec un autre logiciel de géométrie dynamique que ceux généralement proposés [1], mais jamais cité nidans les documents officiels, ni dans les actes de l'université d'été de Saint-Flour d'août 2007. Il s'agit de CaRMetal.


#nb1



Nous allons tenter cette présentation en évitant un des écueils pointés par Michèle Artigue : « la formation continuereste encore prisonnière du stade du militantisme premier ».

2.b. CaRMetal : une aventure exemplaire du monde dulogiciel libre

L'inventivité en géométrie dynamique, on la doit d'abord à la référence historique Cabri-géomètre et aux nombreusesétudes didactiques qui ont pu être mené autour, en particulier par les équipes de Grenoble (LSD2 puis EIAH). Lamanipulation directe d'abord, l'engagement direct ensuite (avec la version II), et ses nombreux raffinements - dontcertains encore inégalés depuis - sont à mettre au crédit des auteurs de Cabri, et d'abord de son concepteur, JeanMarie Laborde.

Mais l'inventivité en la matière ne s'est pas arrêtée là. D'autres logiciels significatifs sont apparus depuis, enparticulier Geogebra (largement cité pour la pratique de l'expérimentation en GD) et CaR (Compas and Rulers).

CaR est un logiciel libre développé en Allemagne par René Grothmann depuis 1989, écrit en java et donc disponiblesur toutes les plateformes. Possédant de nombreuses qualités internes (le fil à la patte pour toutes les constructions,des possibilités extraordinaires de macros), l'uteur n'a pas pris le temps de développer une interface à la hauteur dece que l'on attend d'un tel logiciel. Depuis plusieurs années, Eric Hakenholz, enseignant à Millau, s'est proposé [sansaucun moyen institutionnel comme souvent dans cet univers du libre] de développer une interface moderne :CaRMetal.

Par "fil à la patte", on entend cette capacité du logiciel à anticiper la construction avant le dernier clic desouris. Ce nouveau raffinement de l'engagement direct, disponible à l'intérieur même de l'outil, est à comparer à lasuppression des boites à dialogue dans les premières versions des logiciels de GD : quand le tracé de laparallèle à une droite passant par un point n'est disponible qu'au second clic, l'item est vécu comme uneprocédure. Ici, on dispose d'un accompagnement du geste qui induit d'autres rapports cognitifs ...

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Nous venons de dire que cet accompagnement du geste induit d'autres rapports cognitifs : c'est aussi unaccompagnement - par exemple exploratoire - de l'idée qui se développe en nous en manipulant la figure. Envoici une brève illustration, et chacun saura faire preuve "d'inventivité" sur ce thème.

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Mais au cours des années, CaRMetal est devenu plus qu'une interface de CaR. C'est un nouveau logiciel, avec denombreuses améliorations pour mettre en valeur des fonctionnalités présentes dans CaR mais cachées (différents




types de macros, utiles pour la mise en ligne) mais aussi des fonctionnalités totalement nouvelles comme les macrosde construction en 3D. CaRMetal c'est aussi une interface conforme aux habitus actuels (inspecteur des objets avec onglets, palette d'outilstotalement réactifs à la manipulation directe, avec des aspects modifiables en cours d'action), tout en améliorantrégulièrement l'engagement direct général du logiciel.

La circulation des progrès est à double sens : par exemple Eric Hakenholz a introduit sur son site des procédures detraduction. En quelques mois, CaRMetal est passé de 4 à 11 langues qui depuis ont été intégrées à CaR.

C'est bien entendu le statut de « libre » qui a permis cette évolution extraordinaire. Mais pour certains cela nesuffisait pas : la « liberté » de CaR n'était pas entièrement conforme aux normes des distributions Linux, exigeantessur ces questions, comme la débian notamment. Grâce à un travail méticuleux de Yves Combe, CaRMetal estdésormais « libre à 100% » et depuis quelques mois incorporé aux distributions débian (donc disponible sousUbuntu).

Depuis que cet article a été écrit, une version 2.8.5 autorise plusieurs types de boutons de contrôle dans les figures. Ces nouvelles fonctionnalités ne seront pas utilisées dans ce qui suit.

2.c. Quatre exemples d'exploration, en géométrie, eten analyse

Monique Gironce, professeur de Mathématique à Toulouse (désormais à la retraite) a effectué tous les tutoriaux dusite de CaRMetal sous forme de fichiers flash. Elle a proposé de réaliser, pour cet article, des films d'animation sur lapratique de la démarche expérimentale : ainsi, pour les personnes qui ne connaissent pas le logiciel, on peut ledécouvrir en quelques minutes, se familiariser avec son environnement et apprécier ses fonctionalités. Bien entendu,les figures sont téléchargeables en fin d'article.

Nous commencerons par deux exemples, élémentaires et classiques pour les enseignants (barycentres, quelquespropriétés affines des tangentes à une parabole), mais qui permettent déjà en classe, un vrai travail d'investigation(expérimentation, conjecture, vérification de la conjecture avec de nouvelles investigation, puis preuve). C'estl'occasion de présenter l'interface et le mode de fonctionnement de CaRMetal. Pour les enseignants qui utilisent déjàla GD, ces deux premiers exemples peuvent leur permettre de comparer le logiciel avec celui ou ceux qu'ils utilisent.

Le troisième exemple porte sur les nombres complexes. Il s'agit de chercher les éléments caractéristiques d'unetransformation définie dans le plan complexe, en pratique une inversion. Ce film va être l'occasion de montrer unecertaine inventivité dans la recherche de points invariants, autorisée par les fonctionnalités du logiciel. On notera qu'il n'y a pas d'exercice de ce type dans les sujets de l'épreuve pratique puisque l'on travaille « avec lePGCD des possibilités des logiciels ».

Le dernier exercice traite de l'optimisation. Nous avons choisi un exemple de fonction à deux variables pouroptimiser une construction. Bien entendu nous nous éloignons là d'un travail directement lié à l'épreuve pratique duBac, Le début de l'activité est bien dans l'esprit de l'épreuve pratique du Bac (une modélisation, qui aboutit à l'étuded'une famille de fonctions dépendant d'un paramètre, avec recherche des maxima)

L'activité se termine par une troisième phase avec un prolongement assez original en nous plaçant dans la partie duprogramme « Sections planes de surfaces » qui précise :




« L'objectif est de montrer qu'une fonction de deux variables peut être représentée par une surface et quedes études de coupes par des plans permettent leur étude à l'aide des outils déjà vus pour les fonctions àune variable. [...] On visualisera sur écran les surfaces étudiées. On entraînera à la reconnaissance des surfaces à partir de coupes parallèles à un plan et on associera lesvisions géométriques et analytiques. »




Conformément aux programmes, on part d'une situation simple qui aboutit à une surface dont les coupes sont lesparaboles étudiées dans une première partie. Nous verrons que CaRMetal permet d'avoir dans le même écran unefigure 2D qui agit sur une figure 3D manipulable.

3.a. Barycentre - transformation cachée

On étudie un transformation du plan définie par une égalité vectorielle dépendant d'un paramètre a. Comme lasomme des masses est égale à 2+a, il va y avoir des cas particuliers pour a=-2, a =-1. Ce film est aussi l'occasion demontrer l'interface du logiciel.

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L'investigation en utilisant le cercle est une manière originale de voir le cas a=-2. Clairement le cas a=-1 est plusculturel d'un point de vue graphique : le parallélisme des droites peut ne pas être une information pertinente pour lesélèves dans une phase d'exploration. Il peut être nécessaire d'engager une réflexion ou un calcul pour revenirinterpréter ensuite les manipulations.

Cette première illustration est l'occasion d'aborder le statut des macros dans CaRMetal. Bien entendu c'est un micromonde au sens que les équipes de développement de Cabri nous l'ont enseigné : chacun peut ajouter des macrosau logiciel. Mais CaRMetal a choisi l'option d'offrir une bibliothèque standard de macro assez riche, appelée library.fr,qui correspond assez bien à nos besoins dans l'enseignement français.

On consultera les tutoriels de Monique Gironce pour approfondir les possibilités d'enrichir la bibliothèque, d'en créerd'autres, voir les macros de figure pour une exportation web, etc.

3.b. Propriétés affines des tangentes à une paraboleissues d'un point

De nombreuses propriétés - généralement affines - sur les tangentes à une parabole sont souvent l'occasion decalculs divers. En voici une, étudiée récemment sur CaRzine par l'auteur de CaR lui-même, René Grothmann, enréponse à une question sur le forum de CaR. La présentation est faite dans une démarche d'exploration et deconjecture.


Dans ces deux premiers exemples on voit que CaRMetal fait ce qu'on attend de lui, sans grande surprise en fait. Ceque l'on a vu jusque là ne mérite pas qu'on envisage de « s'investir encore dans un nouveau logiciel de géométriedynamique » comme on l'entend parfois en formation. Poursuivons ....

3.c. Inversion définie par les complexes




En fait c'est un exercice, là encore « classique » sur les nombres complexes. L'intérêt ici est dans la diversité desdémarches d'exploration que permet le logiciel, et de quelques « plus » dévoilés ici où là.


Le fait de disposer d'outils pour les opérations simples avec les nombres complexes permet d'abord de tester lajustesse des calculs, sans passer par un logiciel de calcul formel. Il permet aussi de bien visualiser les ensembles de points. C'est aussi une activité relativement ouverte, même si l'obtention de certaines preuves est hors programme : l'imaged'un cercle est-elle toujours un cercle ? L'exploration de l'image d'un cercle (droite ou cercle) permet d'affiner lestechniques de validation de conjectures sur un logiciel, même si la preuve elle-même de la conjecture peut resterhors de portée : les élèves se retrouvent dans la même situation :que les mathématiciens quand ils sont "convaincu"de la véracité d'un théorème des années avant d'en proposer une preuve. Généralement un mathématicien saitévaluer le temps de recherche de la preuve, ce qui reste généralement inaccessible à un élève (qui n'est pas nonplus un professionnel des mathématiques).

3.d. Fonction à deux variables

On commence par un exercice d'optimisation d'une gouttière à une variable mais dépendant d'un paramètre. Puis oncherche un maximum, et on s'intéresse ensuite à ce maximum qui dépend encore d'un paramètre, tout cela en 2D.Dans une dernière phase, on regarde en 3D ce que cela donne ...


Rappelons que cette activité n'est pas proposée comme sujet d'épreuve pratique mais comme un exemple de ce quipeut se faire en classe, avec par exemple des travaux intermédiaires à la maison. L'approche ici est plus riche quel'approche papier-crayon, et "le max du max" en 2D est largement plus parlant qu'un traitement par le calcul formel(qui lui, donnerait une solution exacte dans ce cas).

La dernière partie, le maillage 3D sur lequel on dessine des coupes montre bien que cette partie du programme,souvent négligée :

d'abord est facilement contextualisable dans une problématique élémentaire, peut être traitée de manière visuelle, dynamique, non nécessairement technique tout en restant conforme aux

exigences du programme.

Pour terminer

Dans ces présentations de possibilités d'expérimentation et d'investigation avec la géométrie dynamique, engéométrie comme en analyse, on aura compris qu'on ne cherche pas à développer la technicité , mais au contrairedévelopper cette culture de la géométrie dynamique dont parlait Michèle Artigue, avec un traitement de l'information"en acte", par la manipulation directe, sans syntaxe à apprendre, sans script à écrire [2] : peut-être d'une certainefaçon, l'ultime de l'inventivité proposée par Michel Serres dans le domaine qui nous occupe ici.


#nb2



Mais cet ultime là n'est envisageable qu'en développant cette culture de l'investigation, et en affinant régulièrementles outils utilisés comme le fait si merveilleusement Eric Hakenholz, le développeur de CaRMetal

Site de téléchargement du logiciel et des tutoriels

http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/

Ne pas hésiter à aller voir les diaporamas du site (ils sont dynamiques) , et à visiter CARZine, magazine en ligne - dumême auteur - dédié à CaR et CaRMetal.

On trouvera ci-après, un fichier contenant les trois figures de l'activité précédente.

[1] Dans le numéro de ce mois (Mars 2008) de la revue "A vos Mac" (numéro 82, p. 44) on peut lire cette phrase, à propos de Geogebra, "Ce

logiciel est recommandé par les Inspecteurs de Mathématiques, car les futurs bacheliers S doivent dès à présent le prendre en main en vue de

l'épreuve informatique". Que Geogebra soit un logiciel libre recommandé par l'institution est bien, qu'il soit le seul ... donne envie d'en faire

connaître un autre, largement aussi performant.

[2] Durant toutes ces vidéos, aucune boîte à dialogue n'est apparue, il n'a pas été nécessaire de cliquer sur "ok" ou "appliquer", et les transformations géométriques, numériques, conditionnelles ou esthétiques ont toujours été appliquées directement sur l'objet en cours d'utilisation. C'est de cette façon-là que toute construction se fait dans CaRMetal, l'action voulue s'exécutant naturellement, sans que des intermédiaires, bloquants autant qu'inutiles, vienne s'interposer entre l'utilisateur et son objectif.


http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/

#nh1

#nh2

Documents

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