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LA COSTRUZIONE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI REALI

Non è cosa ovvia dare una definizione rigorosa per ciascuna delle funzioni elementari che si usano abitualmente in matematica: funzioni esponenziali, logaritmi, funzioni circolari. Soltanto per polinomi e funzioni razionali la definizione è (abbastanza) semplice, essendo queste funzioni computabili, vale a dire che si può descrivere un algoritmo che, assegnato un valore della variabile indipendente, consente di calcolare il corrispondente valore della funzione. Questo non è già più vero, ad esempio, per la radice quadrata: non esiste alcun algoritmo che, applicato diciamo a x = 3 , permette di calcolare la radice quadrata di 3; infatti questa si indica, in modo sostanzialmente tautologico, con 3 , definita implicitamente come “l’unico numero reale positivo il cui quadrato è 3”; naturalmente questa frase ci impegna ad avere preventivamente dimostrato che tale numero davvero esiste ed è unico. Ci sono diversi modi per definire le funzioni elementari; qui ne mostriamo alcuni; ogni volta vedremo come si deducono le diverse proprietà delle funzioni, secondo come queste sono state definite.

1. La serie esponenziale complessa per generare le funzioni esponenziali e circolari. (fonte principale: Walter Rudin, Analisi Reale e Complessa)

È senz’altro il metodo più “economico” ed elegante per definire funzioni esponenziali e circolari, quando si possiedono i prerequisiti necessari. Prerequisiti: conoscenza delle serie di potenze e loro proprietà.

Per ogni z!! poniamo

(1) exp z( ) = zn

n!n=0

!"

e, per ogni t !! ,

(2) cos t( ) = Re exp i t( )( ) = !1( )n t2n

2n( )!n=0

"#

(3) sen t( ) = Im exp i t( )( ) = !1( )n t2n+1

2n +1( )!n=0

"# .

Le definizioni sono ben poste, perché la serie (1) converge in tutto il piano complesso; la funzione così definita in (1) è analitica in ! . Nonostante ci interessi qui definire le funzioni elementari reali, potere lavorare nel più ampio ambiente complesso facilita sensibilmente il lavoro. Le definizioni (2) e (3) di coseno e seno sono corrette, anche nella rappresentazione sotto forma di serie, perché la serie (1) è assolutamente convergente, quindi la sua somma è invariante se i termini vengono riordinati in altro modo.

Teorema (proprietà della funzione exp).

p0) Per ogni z , w!! , exp z( ) " exp w( ) = exp z +w( ) . Da questa proprietà segue in particolare che, detto e = exp 1( ) , per ogni n!! è exp n( ) = en ;

conveniamo quindi di indicare per ogni z!! , exp z( ) = ez . p1) Per ogni z!! , exp z( ) " 0 . p2) La derivata (complessa) di “exp” è la stessa “exp”. p3) exp ! è strettamente crescente, > 0 e limx!+"exp x( ) = +", limx!#"exp x( ) = 0 ; exp ! è suriettiva su 0,+!] [ .

2

p4 ) Per ogni t !! , exp i t( ) = 1 ; vale a dire: cos2 t( ) + sen2 t( ) = 1;

dd tcos t( ) = sen t( ) ; d

d tsen t( ) = !cos t( ) ;

p5 ) esiste un numero reale positivo, che indicheremo con π, tale che e!2 i = i ;

“exp” è periodica di periodo 2! i , cioè !z"!, !k "", exp z + k #2$ i( ) = exp z( ) inoltre, per ogni z!! ,

ez = 1! z

2" i#! .

p5 ) “exp” è periodica di periodo 2! i , cioè !z"!, !k "", exp z + k #2$ i( ) = exp z( ) p6 ) ! ! t" ei t applica ! su ! = z"!, z = 1{ } ed è suriettiva su ! . p7 ) “exp” è suriettiva su !! 0{ } .

Dimostrazione

La dimostrazione di tutte le proprietà elencate è abbastanza semplice, come si vedrà. L’importante è tenere presente la “regola del gioco”: le proprietà in questione sono tutte ben note a chi si occupa di matematica; ebbene, qui dobbiamo convenire di non esserne ancora a conoscenza, e cercare di dedurle logicamente dalla definizione (1) di exp z( ) . p0) Per definizione di prodotto di due serie,

exp z( ) !exp w( ) = zk

k!! w

n"k

n " k( )!k=0

n#

$

%&

'

()

n=0

*# = 1n!

n!k! n " k( )!z

k !wn"kk=0

n#

$

%&

'

()

n=0

*# = 1n!

nk

$%&

'() z

k !wn"kk=0

n#

$

%&

'

()

n=0

*# =

=z +w( )nn!n=0

*# = exp z +w( ) .

p1) Per p0) risulta exp z( ) !exp "z( ) = exp 0( ) = 1 ; quindi exp z( ) ! 0 .

p2 ) Tenendo presente che per definizione il primo termine di (1), formalmente z0

0! , è uguale a 1, si ha

exp z( ) = 1+ zn

n!n=1

!" ; una serie di potenze convergente in tutto il piano complesso si può derivare termine a

termine; quindi dd zexp z( ) = n z

n!1

n!n=1

"# = z

n!1

n !1( )!n=1

"# = z

m

m!m=1

"# = exp z( ) .

p3) Se x !! , x " 0 allora exp x( ) > 0 perché tutti i termini della serie xn

n!n=0

!" sono ! 0 , e il primo è 1. Se

0 ! x1 ! x2 allora per ogni n intero positivo è x1n

n!< x2

n

n!, quindi exp x1( ) < exp x2( ) . Se x1 < x2 ! 0 allora

0 ! "x2 < "x1 e per quanto visto sopra, exp !x2( ) < exp !x1( ) , cioè, tenendo presente p1) , 1

exp x2( )< 1exp x1( )

; e quindi, essendo positivi entrambi i denominatori, exp x1( ) < exp x2( ) .

3

Infine, se x1 < 0 < x2 allora, tenendo presente quanto già dimostrato, exp x1( ) < exp 0( ) < exp x2( ) , quindi ancora exp x1( ) < exp x2( ) .

La monotonia della funzione implica l’esistenza dei limiti di cui parla l’enunciato. Per x > 0 è

exp x( ) = xn

n!k=0

!" > x

1

1!= x ; ciò implica che lim

x!+"exp x( ) = +" . Se x < 0 allora quanto appena osservato

dice che exp !x( ) > !x , cioè 1exp x( ) > !x ; passando ai reciproci dei termini di questa disuguaglianza tra

numeri positivi, 0 < exp x( ) < ! 1x

per ogni x < 0 ; quindi limx!"#

exp x( ) = 0 . La suriettività di exp ! su 0,+!] [ segue ora dal Teorema dei valori intermedi, tenendo presenta la continuità e la monotonia della

funzione in esame.

p4 ) Se t !! allora ei t =i t( )nn!n=0

!" = i t( )

n

n!n=0

!" = #i t( )

n

n!n=0

!" = e#i t ; perciò ei t

2= ei t !ei t = ei t !e"i t = 1 .

Ora vediamo le derivate. Tenendo presente che le serie di (2) e (3) hanno raggio di convergenza infinito, le rispettive derivate si possono calcolare derivando termine a termine; perciò

dd tcos t( ) = d

d t!1( )n t

2n

2n( )!n=0

"#

$

%&

'

() =

dd t

1+ !1( )n t2n

2n( )!n=1

"#

$

%&

'

() = !1( )n

2nt2n!1

2n( )!n=1

"# = !1( )n t

2n!1

2n !1( )!n=1

"# =

= ! !1( )m t2m+1

2m +1( )!m=0

"# = !sen t( ) .

Analogamente si prova che dd tsen t( ) = cos t( ) .

p5 ) La dimostrazione di p5 ) (caratterizzazione di π) è meno immediata, e richiede un po’ di astuzia. È utile il seguente Lemma:

Lemma: Esiste t0 > 0 tale che cos t0( ) = 0 . Dimostrazione del Lemma. Mostriamo che cos 2( ) < 0. Per la (2), che definisce cos t( ) , si ha

cos 2( ) = 1! 22

2!+ 2

4

4!=!13

! "# $#! 2

6

6!+ 2

8

8!I( )

! "# $#! 2

10

10!+ 2

12

12!II( )

! "# $#!…

Ora I( ) = ! 26

6!+ 2

8

8!= 2

6 !7 "8 + 22( )8!

< 0 ; II( ) = ! 210

10!+ 2

12

12!= 2

10 !11"12 + 22( )12!

< 0 ; proseguendo in questo

modo si nota che anche i successivi addendi, raggruppati due a due, producono incrementi negativi; quindi cos 2( ) < ! 13 < 0 . Invece direttamente da (2) si vede che cos 0( ) = 1 . Per il Teorema dei valori intermedi, esiste almeno un t0 ! 0,2] [ tale che cos t0( ) = 0 ; ciò prova il Lemma. Svolgiamo ora la dimostrazione di p5 ) . L’insieme t ! 0 ; cos t( ) = 0{ } è chiuso, perché controimmagine

di 0{ } , sottoinsieme chiuso di ! , attraverso la funzione continua “cos”; non è vuoto, in virtù del Lemma; è inferiormente limitato; quindi ha minimo. Indichiamo con !2 tale minimo e mostriamo che

soddisfa le condizioni indicate in p5 ) . Poiché cos !2( ) = 0 e cos2 !2( ) + sen2 !2( ) = 1 , abbiamo

4

sen !2( ) = 1 . Inoltre la derivata di sen t( ) è cos t( ) , positiva in 0, !2"# $% ; quindi “sen” è crescente in 0, !2"# $%, e siccome sen 0( ) = 0 , deve essere sen !2( ) = 1 . Perciò ei

!2 = cos !2( ) + isen !2( ) = i . Da ciò segue che

e2! i = ei!2( )4 = i4 = 1 .

Se z!! è tale che

z2! i

"! , cioè z = 2! i k con k numero intero, allora ez = e2! i( )k = 1k = 1 ; segue

facilmente la periodicità, perché per ogni w!! , ew+2! i k = ew "e2! i k = ew "1= ew .

Un po’ più artificiosa è la prova del “viceversa”, cioè che se ez = 1 allora

z2! i

"! . Supponiamo ez = 1 ;

sia z = x + yi con x, y!! . Allora ez = ex !eyi = ex cos y + isen y( ) e ez = ex cos y + isen y = ex ; se

ez = 1 , quindi ez = 1, deve essere ex = 1 , quindi x = 0 (abbiamo già dimostrato che exp ! è iniettiva,

in quanto strettamente crescente). Dunque z = yi . Vogliamo mostrare che se eyi = 1 , allora y = 2 k ! per un numero intero k. A causa della già provata periodicità, è sufficiente mostrare che eyi ! 1 quando 0 < y < 2! . Supponiamo per assurdo che ci sia un y, con 0 < y < 2! , tale che eyi = 1 . Sia

ei y4 = u + vi , u , v!! . Siccome 0 < y4 <

!2 , u = cos

y4( ) e v = sen y4( ) sono entrambi positivi. Risulta:

(*) 1= eiy = u + iv( )4 = u4 ! 6u2v2 + v4 + 4iuv u2! v2( ) = 0 . L’espressione ottenuta, dovendo valere 1, in particolare è reale; quindi uv u2! v2( ) = 0 , e siccome u, v

sono positivi, segue u2 = v2 ; ma è anche u2 + v2 = 1, quindi u2 = v2 = 12 ; allora da (*) segue

1= u4 ! 6u2v2 + v4 = 14! 64+ 14= !1

in evidente contraddizione.

p6 ) Il fatto che ! ! t" ei t applica ! su ! = z"!, z = 1{ } segue da p4 ) ; rimane da provare la suriettività. Mostriamo per prima cosa che ogni u,v( )!" con u > 0, v > 0 è eit per un opportuno t ! 0, "2#$ %& .

Poiché cos 0( ) = 1 , cos !2( ) = 0 , esiste t ! 0, "2#$ %& tale che cos t = u . Sappiamo che cos2 t + sen2 t = 1 , e anche u2 + v2 = 1 (perché u + iv!" ) e cos2 t = u2 ; quindi sen2 t = v2 ; inoltre “sen” è crescente in 0, !2"# $% perché la sua derivata è positiva, e sen 0( ) = 0 ; quindi sen t = v , ossia e

it = u + iv .

Gli altri casi (riguardo al segno di u e v) si riconducono facilmente al caso ora trattato. Per esempio, sia u < 0, v > 0 . Per quanto già visto, esiste t ! 0, "2#$ %& tale che e

it = v ! ui . Allora

ei t+ !2( ) = eit "ei !2 = v # ui( ) " i = u + vi .

In modo analogo ci si comporta se u + iv si trova nel terzo o quarto quadrante.

p7 ) Sia w!!" 0{ } ; allora w = w ! ww , e ww !" . Per p6 ) esiste t !! tale che e

it = ww

; poi, per p3)

esiste x !! tale che ex = w ; allora ex+it = w .

5

Le formule della trigonometria e gli “archi notevoli”.

Nonostante che questo approccio alle funzioni circolari non abbia mai un riferimento esplicito ad “angoli”, è molto semplice dedurre le note formule della trigonometria, come pure ricavare le espressioni di cos! , sen! per valori particolari di ! . Innanzitutto, la relazione

cos ! +"( ) + i sen ! +"( ) = ei !+"( ) = ei! #ei" = cos! + isen!( ) # cos" + isen"( ) =

= cos! cos" $ sen! sen" + i cos! sen" + sen! cos"( )

dà le formule di addizione

cos ! +"( ) = cos! cos" # sen! sen"sen ! +"( ) = cos! sen" + sen! cos"

e come loro conseguenza, le formule di duplicazione

cos 2!( ) = cos2! + sen2!sen 2!( ) = 2 cos! sen! .

Dalle formule di addizione e dal fatto che ei!2 = i si deduce che cos !2 "#( ) = sen# e sen !2 "#( ) = cos# ; in

particolare cos !3( ) = sen !6( ) , sen !3( ) = cos !6( ) e allora

0 = cos !3 +

!6( ) = cos !3( ) cos !6( )" sen !3( ) sen !6( ) = cos !3( ) sen !3( )" cos !6( ) sen !6( ) =

= cos !3( ) sen !3( )" 12 sen !3( ) = sen !3( ) cos !3( )" 12( )

e siccome sen !3( ) " 0 , segue cos !3( ) = 12 ; poi da cos2 !3( ) + sen2 !3( ) = 1 e sen !3( ) > 0 segue sen !3( ) = 12 3 . Poi, da cos !4( ) = sen !4( ) > 0 ( !4 è complementare di sé stesso) e dalla relazione fondamentale si calcola facilmente cos !4( ) = sen !4( ) = 12 2 . La funzione logaritmo naturale; le funzioni esponenziali e logaritmi con base reale positiva qualunque; le funzioni potenza con esponente qualunque

La proprietà p3) implica l’esistenza della funzione inversa di exp ! , che indicheremo con “ln”, biunivoca e strettamente crescente da 0,+!] [ a ! . Le proprietà di questa funzione discendono in modo semplice da quelle di exp ! . La funzione logaritmo naturale consente di definire le funzioni esponenziali reali con base positiva a qualunque: finora, infatti, era definita soltanto la funzione esponenziale con base e ( e = exp 1( ) ). Se a > 0 e x !! definiamo

ax = ex lna .

Questa funzione è biunivoca da ! a 0,+!] [ per ogni a positivo e diverso da 1; la sua inversa si chiama logaritmo in base a, indicata loga . Tutte le proprietà di funzioni esponenziale e logaritmo in base a si

deducono facilmente da quelle di “exp” e “ln”. Per esempio, mostriamo che se x , y!! allora ax( )y = axy .

ax( )y = ey ln ax( ) = ey ln ex lna( ) = ey!x lna = ax!y .

6

Nel terzo passaggio si è tenuto conto del fatto che per ogni N, ln eN( ) = N perché si compone una funzione con la sua inversa.

Per a ! 1 la funzione è strettamente monotona, biunivoca da ! a 0,+!] [ ; quindi esiste la funzione inversa, biunivoca e strettamente monotona da 0,+!] [ a ! ; questa si chiama logaritmo in base a e si indica come noto loga . È facile esprimere il logaritmo in base a attraverso il logaritmo naturale, risolvendo rispetto a x

l’equazione ax = y , dove y rappresenta un numero reale positivo.

ax = y! ex lna = y! x lna = ln y! x = ln ylna

quindi abbiamo

loga y =ln ylna

.

È facile dimostrare che anche le funzioni logaritmo con base a qualunque soddisfano le “note” proprietà.

Ancora, fissato b!! , per ogni x > 0 definiamo

xb = eb ln x

Questa si chiama funzione potenza con esponente b. Essa è definita per x ! 0,+"] [ ; se b > 0 ha limite 0 per x! 0 , quindi si può estendere con continuità in x = 0 assegnandole valore 0.

È vero (per fortuna!) ma non è completamente ovvio, che se b = n!! , allora la funzione x! xn definita

come sopra coincide per x > 0 con la potenza n-esima definita con la più elementare regola di ricorrenza:

x0 = 1;

xn+1 = xn ! x

La dimostrazione dell’uguaglianza si può svolgere per induzione su n; dobbiamo nel corso della dimostrazione tenere distinti i simboli per xn definito per ricorrenza come qui sopra, e en ln x , che solo dopo avere concluso la dimostrazione potremo scrivere xn . Dunque, vogliamo dimostrare che per ogni n!! e per ogni x > 0 èen ln x = xn . Per n = 0 la formula da dimostrare dice e0 = x0 , uguaglianza vera, perché entrambi i membri valgono per definizione 1. Ora supponiamo che per un n sia vero che en ln x = xn e cerchiamo di dimostrare

che e n+1( )ln x = xn+1 . Abbiamo

e n+1( )ln x = en ln x+ln x = en ln x

=xn(ip.ind.)

! ! eln x

=x(def.di ln)

! = xn ! x = xn+1

ed è quindi provato quanto si voleva.

2. La generazione “differenziale” di seno e coseno. (fonte principale: Serge Lang, Undergraduate Analysis)

Le funzioni seno e coseno vengono introdotte come soluzione di un problema di Cauchy per un sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine, omogeneo con coefficienti costanti. Successivamente si deducono tutte le proprietà di queste funzioni. Un argomento che viene applicato molto spesso consiste nel mostrare che la derivata di un’espressione è identicamente nulla, traendo da ciò la conseguenza che l’espressione in oggetto è costante nel suo dominio. Il ragionamento è corretto perché tutte le volte che

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applicheremo questo metodo, il dominio sarà un intervallo (in genere l’intero asse reale). Se manca questo requisito, la nullità della derivata non implica che la funzione che si deriva sia costante; basta pensare a f x( ) = arctan x + arctan 1x( ) . Un calcolo diretto mostra che !f x( ) " 0 ; ma f non è costante, perché ad esempio f 1( ) = !2 , f !1( ) = ! "2 . Questo si spiega perché il dominio naturale di f, ! ! 0{ } , non è un intervallo. f è

costante in ciascuna componente connessa del dominio, ma non in tutto il dominio. Il fatto è che per dimostrare che ( !f " 0 # f costante ) si applica il Teorema di Lagrange del valor medio: sianoa , b!I (I indica il dominio di f, che si suppone essere un intervallo). Allora a,b[ ]! I , e f soddisfa in a,b[ ] le ipotesi del Teorema del valor medio; quindi per un c! a,b[ ] è f b( )! f a( ) = "f c( ) # b ! a( ) ; se !f " 0 questo implica f a( ) = f b( ) , e poiché ciò vale per ogni a , b!I , segue che f è costante in I. La proprietà di I di essere un intervallo è essenziale nella dimostrazione, e la proprietà enunciata non è vera se I non è un intervallo, come mostra il controesempio fornito sopra. Per teoremi noti su questi argomenti, il problema di Cauchy

!f = g!g = " f

#$%

con le condizioni iniziali f 0( ) = 0g 0( ) = 1

!"#

$#

ha una una unica soluzione f ,g( ) di classe C! , definita in tutto ! . Le funzioni f e g che risultano caratterizzate in questo modo saranno chiamate rispettivamente seno e coseno. Per ora continuiamo a indicarle con f e g. Scopriamo le proprietà di tali funzioni.

1) f è dispari; g è pari

Dimostrazione. Siano f1 x( ) = ! f !x( ) , g1 x( ) = g !x( ) . Allora f1 0( ) = ! f 0( ) = 0 e g1 0( ) = g 0( ) = 1 ; poi

ddx

f1 x( ) =ddx

! f !x( )( ) = "f !x( ) = g !x( ) = g1 x( ) ;

ddxg1 x( ) =

ddx

g !x( )( ) = ! "g !x( ) = f !x( ) = ! f1 x( ) . Allora la coppia f1,g1( ) è anch’essa soluzione del problema di Cauchy soddisfatto da f ,g( ) ; poiché la soluzione del problema di Cauchy è unica, f1 = f e g1 = g , vale a dire f x( ) = ! f !x( ) e g x( ) = g !x( ) . 2) Le serie di Taylor (con punto iniziale 0) per f e g.

Poiché f è dispari, la sua serie di Taylor contiene soltanto le potenze dispari di x, cioè ha la forma

(1) f x( ) = an x2n+1n=0

!" .

Da !f = g e !g = " f si ottiene !!f = " f ; derivando per due volte (1) termine a termine si ottiene

(2) ! f x( ) = ""f x( ) = 2n +1( ) 2n an x2n!1n=1

#$ = 2n + 3( ) 2n + 2( ) an+1 x2n+1

n=0

#$ ;

dal confronto tra (1) e (2) si trae

(3) 2n + 3( ) 2n + 2( ) an+1 = !an , cioè an+1 =!an

2n + 3( ) 2n + 2( ) .

Poi, a0 è in (1) il coefficiente di x, quindi a0 = !f 0( ) = g 0( ) = 1 , e allora da (3) si ricava

a1 =!13"2

= !13!

; a2 =!a15 "4

= 15!

e così via: in generale

8

an =!1( )n2n +1( )! , n = 0,1,… ; perciò

(4) f x( ) = !1( )n

2n +1( )!x2n+1

n=0

"#

Si può condurre un ragionamento analogo per ricavare la serie di Taylor per g; a questo punto è però più rapido derivare la serie (4), tenendo presente che !f = g ; allora:

(5) g x( ) = !1( )n

2n( )! x2n

n=0

"# .

3) Relazione fondamentale: per ogni x !! è f x( )2 + g x( )2 = 1

Dimostrazione. Si ha ddx

f 2 + g2( ) = 2 f !f + 2g !g = 2 f g " 2g f = 0 ; quindi f 2 + g2 è una funzione costante; poiché il suo valore per x = 0 è 1, così è per ogni x !! .

4) Formule di addizione: per ogni x , y!! risulta

f x + y( ) = f x( )g y( ) + g x( ) f y( )g x + y( ) = g x( )g y( )! f x( ) f y( )

Dimostrazione. Pensiamo y fissato, x come variabile; chiamiamo f1 x( ) = f x + y( ) , g1 x( ) = g x + y( ) . Facilmente si verifica che !f1 = g1 , !g1 = " f1 (non sono invece soddisfatte le condizioni iniziali del problena di Cauchy che definisce f e g). La derivazione rispetto a x delle espressioni f g1 ! f1g e f f1 + gg1 dà 0 in entrambi i casi; quindi tali funzioni sono costanti (rispetto a x); siano a, b tali costanti (a, b sono costanti rispetto a x, ma dipendono da y; il loro valore si rivela ponendo x = 0 , che dà a = ! f y( ) , b = g y( ) ; ma per ora manteniamo i simboli a, b). Dunque (6) f g1 ! f1g = a

(7) f f1 + gg1 = b

Moltiplichiamo per f la (6), per g la (7) e sommiamo membro a membro.

f 2g1 ! f f1g = a ff f1g + g

2g1 = bgg1 f

2+ g2( ) = a f + bg

e siccome f 2+ g2 = 1 , concludiamo che

(8) g1 = a f + bg

la quale, sostituendo g1, a, b con le loro espressioni, dà

g x + y( ) = g x( )g y( )! f x( ) f y( ) che è la seconda delle due formule nella tesi. Ora moltiplichiamo per g la (6), per f la (7) e sottraiamo la prima dalla seconda:

9

f g1g ! f1g

2 = agf 2 f1 + f gg1 = b ff1 f

2+ g2( ) = b f ! ag

e siccome f 2+ g2 = 1 , concludiamo che

(9) f1 = b f ! ag

la quale, sostituendo f1, a, b con le loro espressioni, dà

f x + y( ) = f x( )g y( ) + g x( ) f y( ) che è l’altra identità che si voleva dimostrare.

5) L’immagine di ciascuna delle due funzioni f, g è l’intervallo !1,1[ ] .

Dimostrazione. La relazione f x( )2 + g x( )2 = 1 prova che le immagini di f e g sono contenute in !1,1[ ] . Ora vogliamo provare che esiste un x > 0 in cui f x( ) = 1 (e di conseguenza g x( ) = 0 ). In realtà si potrebbe riprodurre senza variazioni la dimostrazione di p5 ) della precedente trattazione. Lang propone una dimostrazione un po’ diversa, che riportiamo perché la tecnica è elegante.

Supponiamo per assurdo che !x > 0, f x( ) 0 , ne consegue g x( ) > 0 per ogni x > 0 , e siccome !f = g , f sarà strettamente crescente in 0,+![ [ , quindi a sua volta positiva per x > 0 , perché f 0( ) = 0 . Ma allora !g = " f < 0 , quindi g è strettamente decrescente in 0,+![ [ . Fissato a piacere a > 0 sarà allora 0 < g a( ) 1516 . Allora per 5), che qui applichiamo come formula di

duplicazione, risulta:

g 2b( ) = g b( )2 ! f b( )2 < 116 ! 1516 = ! 1416 < 0 che contraddice quanto dimostrato sopra, cioè che g x( ) > 0 per ogni x > 0 . Esiste dunque qualche x > 0 in cui f x( ) = 1; sia c il minimo di tali x. Allora c è anche il minimo x positivo in cui g c( ) = 0 ; tra 0 e c, g è positiva, quindi f è crescente; quindi f c( ) = 1 . Indichiamo 2c con π, cosicché c = !2.

10

Per il Teorema dei valori intermedi, tra 0 e !2 f assume tutti i valori reali tra 0 e 1. Essendo una funzione

dispari, essa assume tra ! "2 e 0 tutti i valori tra –1 e 0; quindi l’immagine di f è !1,1[ ] .

Dalle 5) si deduce che per ogni x, g x( ) = f !2 " x( ) ; quindi anche l’immagine di g è !1,1[ ] .

6) L’immagine di E : 0,2![ [" !2, E t( ) = g t( ), f t( )( ) è l’intera circonferenza ! = x, y( )"!

2 ; x2 + y2 = 1{ } . La dimostrazione si svolge come nella precedente trattazione, applicando il Teorema dei valori intermedi e la relazione fondamentale.

3. La generazione “differenziale” della funzione esponenziale e del logaritmo naturale. (fonte principale: Serge Lang, Undergraduate Analysis)

Anche la funzione esponenziale con base e si può definire con la tecnica “differenziale” usata sopra per definire le funzioni circolari. Definiamo la funzione esponenziale reale “exp” come la soluzione del problema di Cauchy

(1) !f = f ; f 0( ) = 1 Da queste relazioni, in modo simile a come abbiamo fatto per le funzioni circolari, si dedicono tutte le proprieà di “exp”.

1) Per ogni x !! , f x( ) > 0 ; inoltre f x( ) ! f "x( ) = 1 .

Dimostrazione. ddx

f x( ) ! f "x( )( ) = #f x( ) ! f "x( )" f x( ) ! #f "x( ) = f x( ) ! f "x( )" f x( ) ! f "x( ) = 0 ; quindi il prodotto f x( ) ! f "x( ) è costante in ! ; la costante è 1, valore assunto per x = 0 . Perciò f x( ) non è mai uguale a 0, e siccome f 0( ) = 1> 0 , f assume sempre valore positivo. Questo è utile nel seguito, per potere liberamente dividere per f x( ) , avendo la certezza che il suo valore è diverso da 0. La positività di f e la prima di (1) comportano che anche !f è sempre positiva; quindi f e strettamente crescente.

2) Per ogni x , y!! , f x + y( ) = f x( ) " f y( ) .

Dimostrazione. Fissato y, sia g x( ) = f x + y( )f y( ) ; la definizione è lecita perché sappiamo che f y( ) ! 0 . Ora si

calcola facilmente che !g x( ) = g x( ) e g 0( ) = 1 ; quindi g soddisfa il problema di Cauchy (1), quindi coincide con

f perché la soluzione è unica. Dunque, per ogni x !! , f x + y( )f y( ) = f x( ) , che equivale alla tesi.

3) Per ogni a!! e n!! , f na( ) = f a( )n . Dimostrazione. Si svolge per induzione, applicando 2). La formula da provare è un’identità per n = 1 ; se è valida per un n!! , allora

f n +1( )a( ) = f na + a( ) = f na( ) ! f a( ) = f a( )n ! f a( ) = f a( )n+1 . Ora definiamo e = f 1( ) ; allora per ogni n!! , f n( ) = en . Conveniamo di indicare per ogni x !! f x( ) = ex .

4) limx!+"

ex = +" , limx!#"

ex = 0 .

11

Dimostrazione. Poiché f è strettamente crescente, i limiti in oggetto esistono certamente, e possiamo valutarli considerando opportune restrizioni di f. Ancora per la crescenza di f, e = f 1( ) >1= f 0( ) . Sia e = 1+ b , con b > 0 . Per la disuguaglianza di Bernoulli, en = 1+ b( )n !1+ nb per ogni numero naturale n. Ciò prova che limn!+"

en = +" , e anche limx!+"

ex = +" , senza più il vincolo di x numero naturale. Poi,

limx!"#

ex = limx!"#

1e"x

= 0

perché il denominatore ha limite +∞ per quanto dimostrato sopra.

Il Teorema dei valori intermedi assicura, grazie a 4) e alla continuità di f, che f è biunivoca da ! a 0,+!] [ ; la sua inversa g : 0,+!] [" ! si chiama logaritmo naturale e si indica “ln”; per ora manterremo il simbolo g. Le proprietà di g si possono dedurre da quelle di f di cui g è l’inversa, oppure direttamente; in tal caso è utile osservare che

5) Per ogni y! 0,+"] [ , #g y( ) = 1y .

Dimostrazione. Per il Teorema sulla derivata della funzione inversa, g è derivabile in ogni y! 0,+"] [ , perché è l’inversa di f, derivabile in ! con derivata mai nulla (e sempre > 0 ). Per detto Teorema, per ogni y! 0,+"] [ risulta:

!g y( ) = 1!f g y( )( ) =

1f g y( )( ) =

1y

.

Ora possiamo dimostrare per esempio che

6) Per ogni x , y! 0,+"] [ , g x # y( ) = g x( ) + g y( ) e g xy$%&

'()= g x( )* g y( ) .

Dimostrazione. Pensiamo y fissato e x variabile, e poniamo h x( ) = g x ! y( )" g x( )" g y( ) . Allora

!h x( ) = 1x y

" y # 1x= 0

e quindi h è costante; il valore della costante è h 1( ) = 0 , e la prima tesi è provata; la seconda si prova

analogamente, ragionando su h x( ) = g xy

!"#

$%&' g x( ) + g y( ) e tenendo presente che per la prima tesi,

g x( ) + g 1x( ) = g 1( ) = 0 , quindi g 1x( ) = !g x( ) . Mostriamo pure che

7) Per ogni a! 0,+"] [ e per ogni n!! , g an( ) = ng a( ) . Dimostrazione. Per n positivo, 7) si prova facilmente per induzione tenendo presente 6). Poi, ancora per 6), g a( ) + g a!1( ) = g a "a!1( ) = g 1( ) = 0 , quindi se m è un intero positivo,

g a!m( ) = g a!1( )m( ) = m "g a!1( ) = !mg a( ) . Vediamo ora una costruzione delle funzioni esponenziali e circolari che segue un criterio diverso, fondato essenzialmente sull’applicazione del Teorema fondamentale del Calcolo integrale

12

4. La generazione “integrale” del logaritmo naturale e della funzione esponenziale.

In questo approccio nasce prima la funzione “logaritmo naturale”; la funzione esponenziale in base e viene definita come l’inversa del logaritmo.

Per ogni x ! 0,+"] [ definiamo

(1) ln x = 1tdt

1

x!"#

Le (ben note) proprietà di questa funzione si provano piuttosto facilmente:

1) Per ogni x ! 0,+"] [ , ddx ln x =1x

.

È una conseguenza immediata della definizione di “ln” e del Teorema fondamentale del Calcolo Integrale

2) Per ogni x , y! 0,+"] [ , ln x # y( ) = ln x + ln y e ln xy$%&

'()= ln x * ln y .

Dimostrazione. Si può ripetere la dimostrazione di 6) del paragrafo precedente, oppure ragionare direttamente sulla definizione, nel modo seguente:

ln x ! y( ) = 1tdt

1

xy"#$

+ 1tdt

1

x"#$

+ 1tdt

x

xy"#$

Nel secondo integrale facciamo la sostituzione: t = s x , cosicché per ottenere t = x e t = xy s deve variare tra gli estremi 1 e y; allora

1tdt

x

xy!"#

= 1s x

x ds1

y!"#

= 1sds

1

y!"#

= ln y

e la prima tesi è provata. Analogamente si prova la seconda.

La stretta crescenza di “ln” (in quinto la derivata 1x è strettamente positiva) implica l’invertibilità; serve conoscere l’immagine di “ln”, che diventa il dominio dell’inversa. Per questa ragione è utile la seguente osservazione:

3) limx!+"

ln x = +" ; limx!0

ln x = #" .

Dimostrazione. Mostriamo la prima di 3). Poiché “ln” è strettamente crescente e ln1= 0 , è ln2 > 0 . Dalla prima di 2) segue che per ogni n!! , ln 2

n( ) = n ln2 ; quindi, tenendo ancora presente la monotonia,limx!+"

ln x = +" come si voleva dimostrare.

La seconda: limx!0

ln x = limx!0

" ln 1x( ) = " limx!0 ln 1x = "# , tenendo presente la seconda di 2) e quanto appena dimostrato.

L’immagine della funzione “ln” è allora !",+"] [ = ! , perché deve essere un intervallo, ed è inferiormente e superiormente illimitato. In conclusione è

ln : 0,+!] [ 1"1su# $## "!,+!] [ quindi esiste la funzione inversa, che chiamiamo “exp”, ed è

13

exp : !",+"] [ 1!1su# $## 0,+"] [ La funzione “exp” è strettamente crescente; exp 0( ) = 1 ; “exp” è derivabile e

4) Per ogni x ! "#,+#] [ , ddx exp x( ) = exp x( ) .

Infatti, per il teorema sulla derivata della funzione inversa,

ddxexp x( ) = 1d

dy ln y( ) y=exp x( )= 11y y=exp x( )

= exp x( ) .

Poi si prova che

5) Per ogni x , y!!, exp x + y( ) = exp x( ) "exp y( ) e exp x # y( ) = exp x( )

exp y( ) "

La dimostrazione di ciò può essere ricondotta alle proprietà di “ln”, oppure si può svolgere come nella trattazione della funzione esponenziale con “generazione differenziale” della funzione esponenziale, perché 4) mostra che ci siamo ricondotti a quelle premesse.

3. La generazione “integrale” delle funzioni circolari. (B.Pini, Primo Corso di Analisi Matematica)

Similmente a quanto abbiamo fatto definendo ln x = 1t dt1x! , definiamo per prima una

funzione che tradizionalmente è vista come “inversa” di un’altra, nata prima di lei: l’arco seno.

La funzione t! g t( ) = 1

1! t2 è continua nell’intervallo !1,1] [ , ed è sommabile in

tale intervallo. Possiamo allora definire

! =1

1" t2dt

"1

1#$%

= 2 1

1" t2dt

0

1#$%

.

e, per ogni y! "1,1[ ] (estremi compresi),

a y( ) ovvero, arcsen y( ) = 11! t2

dt0

y"#$

.

La funzione a è strettamente crescente in !1,1[ ] , essendo !a y( ) = 11"y2

per !1< y

14

!s x( ) = 1!a s x( )( ) =

1!a s x( )( ) =

11

1"s(x)2) = 1" s(x)2 .

s è derivabile anche in ! "2 e !2 ; ma ciò non si può provare applicando il teorema di derivazione della funzione

inversa perché in y = ±1 a y( ) non è derivabile; però s è continua in ! "2 e !2 e

limx!"2

#s x( ) = limx!"2

1$ s(x)2 = 0 ; limx!$"2

#s x( ) = limx!$"2

1$ s(x)2 = 0

perché s ± !2( )2 = 1. Allora !s ± "2( ) = 0 . Ora definiamo la funzione seno in tutta la retta reale ponendo:

se k !Z e x ! " #2 ,

#2

$% &' , sen x + k#( ) = "1( )k s x( ) .

La funzione così definita è continua; inoltre è anche derivabile perché nei punti di “saldatura” x = !2 + k! la derivata sia destra sia sinistra vale 0. Definiamo coseno la derivata della funzione seno:

cos x = ddxsen x

Abbiamo visto prima che se x ! " #2 ,#2

$% &' la derivata di sen x è 1! sen2 x , cioè cos x = 1! sen2 x ; sempre

per x ! " #2 ,#2

$% &' e k numero intero avremo allora

cos x + k!( ) = ddxsen x + k!( ) = d

dx"1( )k sen x( ) = "1( )k cos x = "1( )k 1" sen2 x

Ora verifichiamo che, per ogni x reale,

ddxcos x = !sen x

Se x ! " #2 ,#2

$% &' allora cos x = 1! sen2 x ; allora

ddxcos x = d

dx1! sen2 x = !2sen xcos x

2 1! sen2 x= !sen x

perché se x ! " #2 ,#2

$% &' allora cos x = 1! sen2 x . Poi, sempre per x ! " #2 ,

#2

$% &' e k intero, è

ddxcos x + k!( ) = d

dx"1( )k cos x( ) = "1( )k ddx cos x = "1( )k "sen x( ) = "sen x + k!( ) .

Nei punti x = !2 + k! si osserva direttamente che il limite della derivata di cos x vale 1 oppure –1, e coincide con il valore di !sen x .

A questo punto abbiamo provato che la coppia di funzioni f ,g( ) = sen,cos( ) soddisfa il sistema differenziale

!f = g!g = " f

#$%

e le condizioni iniziali f 0( ) = 0g 0( ) = 1!"#

$#

15

quindi tutte le altre proprietà di queste funzioni possono essere dedotte nel modo già esposto quando tale relazione era servita per definire seno e coseno. Mostriamo tuttavia il metodo ingegnoso che Pini adopera per provare le formule di addizione per seno e coseno. Per x, y!! , pensata x come variabile e y come valore fissato, poniamo

F x( ) = sen x + y( )! sen xcos y ! cos xsen y Allora

!F x( ) = cos x + y( )" cos xcos y + sen xsen y e

!!F x( ) = "sen x + y( ) + sen xcos y + cos xsen y .

Allora !!F + F " 0 . Ora vediamo che questa relazione implica F2 + !F 2 = 0 . Infatti

ddx

F2 + !F 2( ) = 2F !F + 2 !F !!F = 2 !F F + !!F( )= 0 e allora F2 + !F 2 è una funzione costante; la costante è 0, perché questo è il valore di F2 + !F 2 quando x = 0 , Allora, sia F, sia !F sono identicamente nulle; e questo è proprio ciò che si voleva dimostrare.

4. La costruzione “geometrica” delle funzioni circolari. Il metodo più consueto con cui vengono introdotte le funzioni circolari, specie a livello elementare è il seguente: Si considera la circonferenza ! con centro (0,0) e raggio 1; su di essa si stabilisce il verso di percorrenza antiorario, detto “positivo”, e l’origine degli archi nel punto A = 1,0( ) . 2π è la lunghezza della circonferenza; se ! è un numero reale positivo, ad ! si associa il punto P !" ottenuto percorrendo ! in verso positivo a partire da A, per una lunghezza ! , eventualmente girando più volte, se ! > 2" . Se ! < 0 , il punto P associato ad ! si individua analogamente, ma la rotazione avviene in verso negativo (orario) per una lunghezza ! . Si definiscono cos! , sen! rispettivamente come l’ascissa e l’ordinata di P. Segue subito la periodicità di seno e coseno di periodo 2π; abbastanza facilmente si dimostrano le formule di addizione e sottrazione con tecniche elementari di geometria. Allora, dove sta la difficoltà?

Analizzando più attentamente la descrizione data sopra ci si rende conto che tanti aspetti vengono dati per scontati; il fatto che appaiano intuitivamente ragionevoli nasconde le difficoltà. Vediamole, dunque.

• La relazione “antioraria” di percorrenza di ! va definita in termini più espliciti; questo non è difficile: basta stabilire una relazione di ordine tra i punti di ! , che per due punti scriveremo B ! C e leggeremo “B precede C”. Precisamente: se B = xB, yB( ) e C = xC , yC( ) diremo che B ! C se: yB ! 0 , yC ! 0 e xB > xC

oppure yB ! 0 e yC < 0

oppure yB < 0 , yC < 0 e xB < xC

• La lunghezza di un arco di ! . Questo è un punto assai più delicato. Una definizione rigorosa di curva e di lunghezza di una curva chiama in causa concetti avanzati di Analisi Matematica, in particolare quello di “funzione a variazione limitata”. Ricordiamo che si chiama curva continua di !2 ogni funzione continua

! : a,b[ ]" ! con a,b[ ] intervallo compatto di ! . Questa definizione comprende purtroppo anche molte “cose” assai lontane dall’idea intuitiva di curva, fino alle curve di Peano, che si possono definire in vari modi, ma hanno in comune la proprietà che ! a,b[ ]( ) = 0,1[ ]" 0,1[ ] .

16

La nozione di lunghezza di una curva ! è legata a quella di variazione di una funzione. Se ! = t0, t1,… , tn{ } è una scomposizione di a,b[ ] , cioè a = t0 < t1

17

Una parametrizzazione della semicirconferenza situata nel semipiano y ! 0 si ottiene intersecando ! con le rette passanti per (0,–1), di equazione x = !t y +1( ) , !1" t "1 (il segno meno davanti a t serve per fare in modo che il valore di x sia crescente al crescere di t). Risolvendo rispetto a x e y il sistema

x2 + y2 = 1x = !t y +1( )"#$

%$

si ottiene, oltre al punto 0,!1( ) ,

x = !2t1+t2

y = 1!t2

1+t2

"

#$

%$

con t & !1,1[ ]

Queste sono equazioni parametriche C1 della semicirconferenza superiore. Con qualche calcolo si ricava

!x t( )( )2 + !y t( )( )2 = 21+ t2

; perciò la lunghezza delle semicirconferenza è

! =def .

2 11+ t2

dt"1

1#$%

.

Si noti che nella fase attuale non disponiamo dell’espressione di una primitiva di 11+t2

, perché le funzioni

circolari non sono ancora state costruite!

Chiamiamo !0 = !" x, y( ); y # 0{ } . Se P = a,b( )!"0 possiamo definire la lunghezza dell’arco AP; possiamo anzi dare una espressione esplicita di questa lunghezza: dalla relazione !2t

1+t2= a si ha

at2 + 2 t + a = 0 ; t = !1± 1! a2

ase a " 0 ; t = 0 se a = 0 .

Il prodotto delle radici è uguale a 1, siccome ci serve un t ! "1,1[ ] , sceglieremo t = !1+ 1!a2

a ; per eliminare la singolarità per a = 0 basta razionalizzare il numeratore:

t = !1+ 1! a2( ) !1! 1! a2( )

a !1! 1! a2( )= a

2

a !1! 1! a2( )= !a

1+ 1! a2.

Con questo valore di t la parametrizzazione di !0 dà le coordinate di P; il punto A = 1,0( ) si ottiene per t = !1, quindi la lunghezza dell’arco AP è

! P( ) = 2 1

1+ t2dt

!1

!a1+ 1!a2"

#$.

Se P sta nel semipiano y < 0 , cioè P = a,b( ) con b < 0 , per la simmetria della figura rispetto all’asse x sarà

! P( ) = 2! " 2 1

1+ t2dt

"1

"a1+ 1"a2#

$%= 2! " ! &P( )

in cui !P = a,"b( ) è il punto simmetrico di P rispetto all’asse x.

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In questo modo abbiamo definito la funzione ! " P = a,b( )! " P( ) = " a,b( )# 0,2$[ [ . La funzione ! è continua in ! " A{ } , ed è strettamente crescente rispetto alla relazione d’ordine “antioraria” definita su ! , vale a dire, per ogni P,Q!" , se P !Q allora ! P( ) < ! Q( ) . Inoltre ! " A{ } è connesso; quindi ! ! " A{ }( ) è un intervallo di ! i cui estremi (non compresi) sono 0 e 2π, corrispondenti a ! " A{ } # P$ A rispettivamente “da sopra” e “da sotto”; quindi ! ! " A

{ }( ) = 0,2#] [ , e ! !( ) = 0,2"[ [ perché ! A( ) = 0 . Esiste quindi la funzione inversa di ! , a sua volta strettamente crescente, da 0,2![ [ a ! . Questa funzione, che denotiamo con ! , associa a ciascun numero ! " 0,2#[ [ il punto P =! "( )#$ tale che l’arco antiorario AP ha lunghezza ! . Infine estendiamo la funzione ! a tutto ! , rendendola periodica di periodo 2π:

se x ! 0,2"[ [ e k !Z, # x + 2k"( ) =def .

# x( ) . Finalmente, definiamo le funzioni “coseno” e “seno” come la prima e la seconda componente di ! . Abbiamo così recuperato la definizione tradizionale di coseno e seno, chiarendo però gli aspetti tecnici che spesso vengono trascurati