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Bioinformtica:AutmatasCelulares

Instituto Universitario de Sistemas Inteligentes y Aplicaciones Numricas en Ingeniera

Autmatas CelularesMario Hernndez


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Bioinformtica:

AutmatasCelulares


Autmata Celular (AC)

Introducidos por primera vez en 1940por John Von Neumann por sugerenciade Stanislav Ulam con el objetivo decrear un modelo real delcomportamiento de sistemas extensos ycomplejos

Se han concebido en numerosasocasiones con diferentes nombres y confrecuencia, diferentes conceptos se hanutilizado con el mismo nombre:

En Matemtica se les conoce como unarama de la dinmica topolgica En Ingeniera elctrica se les conoce con

frecuencia como matrices iterativas Para algunos estudiantes pueden ser

simplemente un juego de ordenador.


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AutmatasCelulares


Cada AC est determinado por:1. Un nmero de celdas.2. El radio (r) que abarca la vecindad de cada

clula.3. El nmero de estados en que puede

encontrarse cada celda.4. Una regla de transicin local, igual para

todas las celdas, cuya entrada es el estadoconjunto de las celdas que forman lavecindad.


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AutmatasCelulares


Concepto (intuitivamente)

Sistema dinmico discreto extremadamente simple

Ejemplo simplificado:

Sea una retcula espacial discreta y en cada celda tenemos un valor deestado ( por simplificar slo puede ser 0 1 ) en un mbito el tiempotambin discreto.

En cada instante de tiempo cada celda analiza el valor de las celdas de unentorno a su alrededor y el suyo propio y segn cierta regla local cambia no su valor.

Un AC es por tanto un sistema dinmico discreto.

Por tanto, sus elementos definitorios son:

Celda Retcula Vecindad Reglas de Actualizacin


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AutmatasCelulares


Los AC pues son redes de autmatas simples dispuestos sobrelos nodos de una retcula y conectados localmente. Cadaautmata simple produce una salida a partir de variasentradas, modificando en el proceso su estado segn unafuncin de transicin.

Los AC son herramientas tiles para modelar cualquier sistemanatural en el universo:

Buena alternativa a las ecuaciones diferenciales Utilizados para modelar sistemas fsicos: interacciones entre

partculas, formacin de galaxias, cintica de sistemasmoleculares y crecimiento de cristales, as como diversossistemas biolgicos a nivel celular, multicelular y poblacional.


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Las celdas

Ocupadas por autmatas que actan como elementos de memoria quealmacenan el estado

xi(t) = estado de la celda que ocupa la posicin i en el instante t.

N = el nmero total de celdas.

El conjunto {k} de posibles estados de cada celda debe ser finito,xi(t){k}

En lo que sigue consideraremos AC binarios, es decir la celda slopuede estar en el estado ``1'' (activo) o en el estado ``0''(inactivo).


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AutmatasCelulares


La retcula (lattice)

Red de organizacin espacial de autmatasTipos: Unidimensional: las celdas se organizan en una

lnea, de manera que cada celda tendr, como

mximo dos vecinos directos Bidimensional: cada celda tendr tantos vecinos

directos como corresponda a la topologa de ladiscretizacin

Multidimensional


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AutmatasCelulares


La vecindad (1D)

vi(t)= {xi-1(t), xi(t), xi+1(t),...} Es el conjunto de celdas alrededor de la celdai y la misma celda. El nmero de vecinos lo representamos por Nv.

En d=1 y tomando los vecinos como el de la izquierda y el de la derechatendramos la siguiente vecindad:

L-C-RC:celda central, L: vecino de la izquierda, R: vecino de la derecha. Eneste ejemplo estamos considerando una vecindad de radio r=1.Si extendemos el radio a r=2, tendramos una vecindad como sta:LL-L-C-R-RR En d=1 el nmero de vecinos es: 2r+1 y el nmero deposibles vecindades es k2r+1.

En un AC las N celdas se encuentra en una retcula de dimensin d.Cuando el retculo es de tamao finito siempre consideraremoscondiciones de contorno peridicas, es decir que la celda en la posicintiene como vecina a la celda de la posicin y viceversa.


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Alternativo

La vecindad (1D)

t

t+1

Alternativo

Se denomina radio r al nmero de celdas a cada lado de laactual que influyen en el clculo de su valor futuro


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Diversos tipos en funcin de la naturaleza de la retcula y la eleccinde vecinos.

P.e. para rectangular:

La vecindad (2D)

Vecindad

von NeumannVecindad

Moore

Vecindad Moore

Extendida

Vecindad

Margolus

t

t+1

Alternativo


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La vecindad (2D)

Retcula hexagonal:

Vecindad Triunfante

DominioDominio Codominio


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Q*Bert:

t t+1 Alternativo

La vecindad (2D)


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Estrella de David

La vecindad (2D)

Dominio Codominio


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Tringulo-6

La vecindad (2D)

t

t+1

t+2

Alternativo

Y otros muchos ms ...


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3D-X

La vecindad (3D)

Dominio Codominio

Y otros muchos ms ...


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Tratamiento de Bordes

Qu ocurre con los bordes en las actualizaciones?.Hay tres soluciones posibles:

1. Los bordes opuestos de la retcula se pliegan yse unen, de manera que si el AC es d=1, se

convierte en un crculo a efectos de tratamientoy si d=2 se convierte en un toro2. Las celdas de borde son especulares, por lo que

se darn propiedades de simetra

3. Las celdas fuera del borde de la retcula estndesactivadasLa primera es la ms usual


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Las reglas

Definen la mecnica de interaccin y la evolucintemporal del estado de cada celda

La regla local de evolucin nos permite obtenerel valor cuando conocemos el valor de lasceldas en la vecindad en el instante anterior.

La idea fundamental es que LAS REGLAS DE

INTERACCIN LOCAL PERMITEN ALCANZAR UNADINMICA GLOBAL


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Las reglas para AC 1D

Por ejemplo en el caso de un AC binario en d=1 (es decir,unidimensional) con r=1 la vecindad de una celda tiene que ser algunade las configuraciones siguientes (primera fila) y la regla de generacinde salida, la indicada en la segunda linea:

vecindad 111 110 101 100 011 010 001 000bit de salida 0 1 0 1 1 0 1 0

Evolucin de un reticulado. Regla 90 (expresin decimal de la reglade evolucin) . Las condiciones de contorno son peridicas.

t=0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1

t=1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0


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Si-1(t-1) Si(t-1) Si+1(t-1)Si-1(t-1) Si(t-1) Si+1(t-1) Si(t)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Regla

Como hay 256 reglas posibles28, se pueden generar 256tramas de celdas (universos)distintos

En la prctica algunascoinciden


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De estos universos, aproximadamente el 25 % generanuniversos "interesantes", es decir, con una patrn.

Los dems, o tienen todas las celdas apagadas (cdigo -1),todas encendidas (cdigo +1) o no varan las filas al pasar lasgeneraciones (cdigo 2).

Otro tipo es el "fractal" (cdigo 3), ya que resulta un patrn detringulos, que se subdividen en otros tringulos, que sesubdividen en otros tringulos...

Este tipo es francamente raro, ya que solo se puede originar sihay una clula encendida lo suficientemente lejos de las otraspara no interferir.


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Ejemplo

Regla de cdigo 90. Evolucin en un diagrama espacio-tiempo dela misma regla partiendo de un estado inicial en el que slohay una celda en estado 1 y el resto 0.

El estado de las celdas se pueden representar por una lnea cambiante odibujando una lnea debajo de otra, quedando as un mosaico de clulas.Cada fila de clulas se conoce como una generacin, y todo el entramado

de clulas, universo.


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Regla 54, r=1, inicio conuna sola celda activa

Ejemplo

Regla 62, r=1, inicio conuna situacin aleatoria


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AutmatasCelulares


Ejemplo

Regla 30, r=1, inicio conuna sola celda activa

Regla 30, r=1, inicio conuna situacin aleatoria


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AutmatasCelulares


Aleatoriedad:La Regla 30 ha sidoestudiada para poner de manifiesto

como surgen procesos aleatorios apartir de reglas deterministas simples.Si por ejemplo nos fijamos en la celdacentral y vamos tomando la sucesinde valores tendremos un conjunto de0 y 1 que supera todos los test dealeatoriedad.

La regla 30 se ha usado para: Generar nmeros aleatorios CriptografaLo nico que es necesario escoger en ambos casos es la semilla inicial que hay

que poner a evolucionar.

Criptografa:con la R30 se toma unmensaje , el mensaje

cifrado y ladescodificacin se hace .

Ejemplo


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AutmatasCe

lulares


Ejemplo

Regla 182, r=1, inicio con una sola celda activay aleatorio respectivamente (1 blanco, 0 negro)


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AutmatasCe

lulares


Ejemplo

Clase 1: r=2, k=2, regla=100100

Clase 1: r=2, k=2, regla=111100

Clase 2: r=2, k=2, regla=111000

Clase 2: r=2, k=2, regla=111010

Clase 3: r=2, k=2, regla=010010


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Universo de la regla 105

Ejemplo


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AutmatasCe

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Tipos de reglas

Legales:(Wolfram) son aquellas en que la vecindad nula dasiempre un valor nulo y adems son simtricas. Dicho de otramanera, del estado total cero no puede emerger ningndesarrollo.

Totalsticas:aquellas en que la regla de evolucin slo

depende de la suma de los estados de los vecinos. Lacodificacin de estas reglas se hace de manera ms sencilla.Pe. si la suma de las celdas adyacentes es 4, el nuevo estadode la celda actual es 1, en otro caso es 0.

Elementales:son las reglas legales con r=1 en d=1. Lascondiciones de simetra que impone el concepto de legal hace

que la vecindad 110 debe dar lo mismo que la 011 y que la100 debe dar lo mismo que la 001. Hay slo 32 reglaselementales.


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Propiedades Globales

Organizacin:partiendo de un estado inicial en el que seencuentren todas las configuraciones posibles, el ACevoluciona reduciendo el nmero de configuraciones finales.Hay una disminucin del desorden y por tanto una

disminucin de entropa. Irreversibilidad Local:En un AC diferentes situaciones

iniciales pueden dar lugar a la misma situacin final. Es decirque padres distintos dan lugar al mismo hijo. De estamanera conociendo slo al hijo es imposible saber quien es elpadre, no es posible ( en general ) volver hacia atrs en eltiempo y reconstruir la historia completa.

Jardines del Edn:Situaciones que slo se dan comoconfiguracin inicial.

Ti d AC U i lid d


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Tipos de AC. Universalidadde los AC

Segn S. Wolfram el comportamiento espacio-tiempo de los ACs se puede clasificar en 4grupos:

Clase I:(punto lmite)Estado finalhomogneo y configuracin que seestabiliza en el tiempo.

Clase II:(ciclo lmite)Estado finalformado por un conjunto de estructurasperidicas. Se pueden entender como untipo de filtro, l oque los hace interesantepara, pe, proceso de imgenes.

Clase III:(atractor extrao)Estado finalaperidico catico. Los patrones creados

por este tipo son una especie de curvasfractales autosimilares: Clase IV:Comportamiento ms complejo)

Aparecen estructuras localizadas ycomplejas que perduran a lo largo deltiempo (Juego de la Vida). Son capaces decomputacin universal (Mquina de Turing)

E. Inicial Aleatorio32 4

110 54

20 20

Regla


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AC 2D


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Ejemplos


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Juego de la Vida

El J d l Vid d


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El Juego de la Vida deConway (Life Game)

Es uno de los ejemplos ms simples de lo que seha denominado complejidad emergente, osistemas autoorganizados:

El estudio de cmo pueden emerger patrones ycomportamientos elaborados a partir de reglasmuy simples, permitiendo estudiar y simularcmo pueden aparecer.

Idea concebidas a finales de los aos sesentapor John Horton Conway y descritas enScientific American en Octubre de 1970 comoun universo y unas simples reglas que fuesencapaces de computacin.

El J d l Vid d


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El Juego de la Vida deConway (Life Game)

1. Superviviencia:Cada clulaviva con dos o tres clulasvecinas vivas sobrevive a la

siguiente generacin.2. Nacimiento:Cada clula

muerta con tres clulasvecinas vivas resucita en lasiguiente generacin.

3. Muerte:Cada clula viva conninguna, una, o ms de tresclulas vivas a su alrededorpasa a estar muerta.

Es un autmata celular bidimensional en cuadrcula con dos estados por

celda. Cada celda o clula puede estar viva o muerta y en cadageneracin se aplica un algoritmo que sigue estas tres reglas:


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Las reglas del Juego de la Vida estan especialmenteconcebidas para generar los comportamientos

El Juego de la Vida balancea las tendencias de nacimiento,crecimiento y muerte hacindose difcil predecir si un ciertopatrn morir completamente, formar una poblacin estable

o crecer indefinidamente. En el Juego de la Vida, como en la naturaleza, se observanmuchos fenmenos fascinantes. La naturaleza, sin embargo,es complicada y no estamos seguros de todas las reglas.

El Juego de la VidaThe Game ofLifenos permite observar unsistema donde conocemos todas las reglas. De forma anlogaa como el estudio de animales simples permite descubrircosas sobre animales ms complejos, la gente puede estudiarel Juego de la Vida para aprender , sobre los patrones ycomportamientos de sistemas ms complejos.


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AutmatasCe

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El juego presenta configuraciones finales estables, peridicas o no ypresenta (segn Langton) propiedades:

Catlisis (acciones de construccin arbitrarias), De transporte (borrando estructuras y reconstruyndolas en otro

lugar del espacio celular),

Estructurales (como elementos estticos, barreras, etc.), De regulacin, De defensa E incluso informativas,

Y que por tanto estos autmatas virtuales tienen capacidades

computacionales suficientes para cumplir los papeles funcionales quejuegan las macromolculas en la lgica molecular de la vida. En definitiva, que funcionalmente, los autmatas son equiparables a

los componentes bsicos de la vida en nuestro planeta.


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These simple rules can produce various behavioural states, ranging from stable to chaotic,depending on the initial pattern of cells. The number of living cells may be ever increasing,oscillating between a finite number of values, static, or always decaying. A stable systemmay involve cells which always remain alive in future generations, or may contain groups ofcells which oscillate between two shapes periodically, known as blinkers, which willcontinue indefinitely unless distant cells approach and interfere. Chaotic and unstable statesquickly die out, just as they do in nature. Complex states can also occur, and these statesare not periodic and do not die out. There are several interesting shapes that seemingly

produce new shapes, or appear to be alive. An example of one of these complex states iscalled aglider,a period-4 oscillating pattern that moves diagonally across the grid. Thereare many Lifeenthusiasts who experiment with Lifesimply to discover new and interestingshapes, or interactions between shapes.

Conway's prediction that the system was capable of computation has been confirmed. Byusing "gliders" to represent bit streams, researchers at MIT have been able to build AND-and OR-gates and even a whole adding unit, which adds the digital values two streams ofgliders represent and sends out the result of the addition as a new stream.

A Turing Machine has also been implemented in Life, which is extendable to a UniversalTuring Machine, capable of computing any computable function. The pattern is shown inAppendix B, and requires 11,000 generations just to advance one cycle of computation.


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Propagacin de Incendios

Forestales


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Clulas


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La Sopa Primordial


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Autorreproduccin


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L-Systems


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Aplicaciones en Proceso de

Imgenes


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Redes de Autmatas

Celulares


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"Clulas" de Peter Donnelly

Es en esencia una curiosidad cientfica propuesta por primera

vez por Peter Donnelly del University College de Swansea,

Gales, y Dominic Welsh, de la universidad de Oxford.

El programa fue descrito en detalle por A. K. Dewdney en suartculo "Cinco piezas sencillas" para Scientific American.

En este artculo se bautiza al programa con el nombre de

Votacin", ya que segn el autor pretende simular una

votacin poltica algo particular.


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"Las casillas de una cuadricula rectangular estn coloreadas deblanco o negro, aleatoriamente. Se supone que cada color refleja

la opinin poltica de una persona residente en esa casilla. Un

color podra representar 'demcrata' y el otro 'republicano'. [...]

A cada seal de reloj, se selecciona al azar uno de los votantes ysu opinin poltica se somete a cambio: se selecciona al azar uno

de sus ocho vecinos y la conviccin poltica del elector se

transforma en la de este vecino, independientemente de cul

fuera su opinin anterior. [...]


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Al hacer funcionar este modelo, confesadamentesimplista, del proceso poltico, ocurren cosas llamativasy extraas. Primero se desarrollan grandes bloques devoto homogneo. Estos bloques son zonas geogrficas

donde todo el mundo es de la misma opinin poltica.Seguidamente tales bloques van migrando en torno alcuadriculado y, durante cierto tiempo luchan, como

buscando su predominancia. Finalmente, el sistema

bipartidista se viene abajo, por acabar todo el mundovotando de igual manera".


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Adems de esta interpretacin, hay otra ms aproximada, y muchoms sugerente para los interesados en la vida artificial y temas

afines.

Podemos llegar a apreciar comportamientos "cuasi-biolgicos" si

observamos la evolucin de los votantes como un ejemplo de lacoexistencia-competitividad de dos especies similares en un

mismo medio con abundancia de alimento, como podra ser el

caso de dos especies de bacterias en un fluido rico en nutrientes.


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La interpretacin es la siguiente: Cada posicin dela matriz representa una clula de una especiedeterminada. En cada ciclo se elige aleatoriamente

una de las clulas de la matriz. Esa clula muere,dejando un espacio libre. Ese espacio es ocupadoinmediatamente de la siguiente forma: Se elige auna de las ocho clulas contiguas a ese espacio

vaco para reproducirse, y el lugar dejado por laclula muerta lo ocupa una nueva clula, hija de laescogida, y por lo tanto de su misma especie.


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A partir de este comportamiento tan simple podremosobservar como el caos inicial, en el que las clulas deambas especies se hallan mezcladas, da paso a unaforma de organizacin en la que las clulas de una

misma especie forman amplios grupos. que sedesplazan, se estiran y se contraen mientras tratan desobrevivir.

Si se deja el programa funcionando durante un tiempo

una de las especies pasa a ser dominante, pudiendollegar a hacer desaparecer a la otra especie.


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Finalmente, y como curiosidad, podramos pensar en

realizar en cada ciclo la reproduccin de las clulas de un

modo algo ms inusual...

Qu ocurrira si al reproducirse una clula para ocupar el

espacio vaco dejado por otra clula muerta, tuviera una

hija de la otra especie, y no de la suya propia? Seguira

producindose la homogeneidad, o el caos inicial se

extendera hasta el infinito? A partir del cdigo fuente del

programa, y realizando una pequea modificacin se puederesolver esta trascendental duda.

H i Pl


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Hormigas y Plantas

En el programa "Hormigas y Plantas", cada una de las celdas de la rejilla en 2dimensiones es un autmata simple con los siguientes estados posibles:

- Vaco

- Ocupado por una hormiga

- Ocupado por una planta

- Ocupado por un obstculo

Cada celda cambia de estado en funcin del estado de las celdas vecinas. Por

ejemplo, una celda en estado "planta" pasa a estado "vaco" si hay una hormiga

prxima a la planta: la hormiga se come la planta. Otros cambios de estado

estn supeditados adems al resultado de una funcin pseudoaleatoria uniforme,

y se producen, si se cumplen las otras condiciones, segn una cierta

probabilidad.

Por ejemplo, una celda en estado "vaco" pasa a estado "hormiga" slo si hay

una hormiga prxima a la planta y adems con una cierta probabilidad (solo si

la hormiga "decide" tomar esa direccin).


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AutmatasCe

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El estado de cada celda puede estar definido por distintas variables: las

hormigas, as como las plantas, poseen una cierta cantidad de energa.

Pero adems, las hormigas poseen una inercia en cuanto a la direccin

del movimiento, que provoca una tendencia a moverse en la misma

direccin, y un "tipo", ya que hay hormigas "rojas", "rosas","naranjas", "amarillas" y "verdes" que corresponden con distintas

probabilidades de moverse, regar, pelearse o reproducirse.


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AutmatasCe

lulares

En este autmata, los cambios de estado estn dirigidos nicamentepor las "hormigas", de forma que la "ejecucin" de una hormiga

provoca un cambio de estado en s misma y en otras posibles celdas de

tipo "planta". Este ltimo punto lleva a la posibilidad de contemplar el

programa desde otro punto de vista: como un conjunto de autmatas

simples mviles cuyo estado se define, entre otros, por su posicin en

los ejes X e Y. Es decir, en vez de ver una rejilla cuyas celdas cambian

de estado, vemos un conjunto de hormigas que se mueven por unos

ejes cartesianos. Efectivamente, el autmata no se ha programado

como un conjunto de celdas con distintas propiedades, sino como

varios conjuntos (o varios autmatas superpuestos): un conjunto de

hormigas, otro de plantas y otro de obstculos, controlando que

cualquiera de ellos no exista en la misma posicin que otro.

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