1

L1. Identificarea experimentală a proceselor în domeniul timpului sau frecvenţei

1. Obiectul acestei lucrări îl constituie prezentarea unor metode practice de identificare a caracteristicilor statice şi dinamice ale proceselor automatizate sau ale unor elemente componente ale buclelor de reglare. Metodele prezentate sunt utilizate la prelucrarea datelor obţinute experimental cu ocazia efectuării unor lucrări de laborator. 2. Scopul şi etapele identificării proceselor; metode de identificare Studiul sau proiectarea unui sistem automat presupune cunoaşterea caracteristicilor funcţionale, statice şi dinamice ale elementelor componente, în primul rând ale procesului şi apoi ale traductoarelor şi elementelor de execuţie, de obicei alese din cataloage (eventual pe baza unor calcule), în funcţie de care se adoptă şi se asigură acordarea regulatorului. Determinarea acestor caracteristici se realizează prin operaţia numită de "identificare" care poate fi teoretică şi/sau experimentală. Uzual rezultatul identificării se finalizează prin precizarea modelului matematic al obiectului identificat. Identificarea poate avea ca scop: - identificarea parţială, când se urmăreşte determinarea tuturor sau numai a unei părţi din coeficienţii modelului matematic a cărui formă este principial cunoscută pe baza informaţiilor apriorice despre proces; - identificarea totală, când se urmăreşte atât stabilirea formei analitice celei mai reprezentative a modelului matematic cât şi valorile coeficienţilor ce intervin. Identificarea teoretică are ca scop elaborarea modelelor matematice ale proceselor pe baza legilor care guvernează fenomenele din procesele respective. Această identificare presupune cunoaşterea cu exactitate a fenomenelor dintr-un proces, respectiv cunoaşterea constantelor constructive, de material etc. În caz contrar se poate obţine doar un model matematic aproximativ al procesului. În general se pleacă de la ecuaţiile ce caracterizează fenomenele elementare din aceste procese şi apoi pe baza

2

ecuaţiilor de bilanţ de masă, de energie, de cantitate de mişcare, se obţine modelul matematic sub forma ecuaţiilor diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi, cu coeficienţi variabili, cu derivate parţiale, ecuaţii diferenţiale de stare, ecuaţii intrare -stare-ieşire etc. Identificarea experimentală are ca scop deducerea unui model matematic cât mai reprezentativ prin prelucrarea unor rezultate experimental obţinute în condiţii care să asigure caracterizarea cât mai exactă a procesului identificat. Această identificare este deosebit de utilă pentru verificarea valabilităţii unor ipoteze teoretice adoptate cu ocazia elaborării teoretice a modelului matematic, cât şi pentru elaborarea modelului matematic al unor procese despre care informaţia apriorică este foarte săracă. Identificarea teoretică, efectuată pe baza unei cercetări/analize teoretice a procesului îşi păstrează importanţa şi pentru identificarea experimentală deoarece cunoştinţele căpătate pe această cale pot servi la stabilirea celor mai bune procedee de exprimentare şi la interpretarea judicioasă a rezultatelor experimental obţinute. La rândul lor identificarea teoretică sau experimentală, respectiv parţială sau totală, pot avea ca scop identificarea caracteristicilor statice sau a caracteristicilor dinamice. Caracteristicile statice reprezintă (ilustrează) dependenţa mărimilor de ieşire a proceselor în funcţie de mărimile care acţionează la intrarea acestora (mărimi de execuţie sau perturbaţie), în regim staţionar, deci în regimul în care vitezele de variaţie (derivate în raport cu timpul) ale acestor mărimi sunt nule. În cazul unui proces cu o mărime de ieşire şi n mărimi intrare (figura 1), caracteristica statică este de forma:

uuu

12n

y

Fig. 1 Proces multivariabil cu o mărime de ieşire şi n mărimi intrare

sn21s )u,...,u,u(fy = (1)

deci exprimă o hipersuprafaţă.

3

Dacă procesul este liniar, atunci caracteristica statică apare sub forma:

nnkk22110s uc...uc...ucuccy +++++= (2) unde coeficienţii ck reprezintă valorile factorilor statici de amplificare ale canalelor de legătură între mărimea de ieşire y şi de intrare ku . În general, pentru necesităţile de reglare automată independentă a diverşilor parametri tehnologici, când nu este necesară luarea în consideraţie a interdependenţei dintre acestea, se urmăreşte determinarea caracteristicilor statice separate pentru diverse canale de legătură, situaţia în care valorile factorilor statici de amplificare se determină din relaţia:

k

sk u

yc = (3)

Caracteristicile dinamice ale proceselor exprimă dependenţa mărimilor de ieşire în raport cu mărimile de intrare, acestea din urmă variabile de timp. Pentru procesele cu o singură mărime de intrare şi de ieşire, MM al dinamicii poate fi descris printr-o ecuaţie de forma:

f(y, u, t) = 0 (4) În cazul proceselor neliniare ecuaţia (4) poate avea forme foarte variate, cel mai adesea ecuaţii integro - diferenţiale neliniare, ecuaţii cu derivate parţiale etc. În cazul proceselor liniare sau liniarizabile, relaţia (4) apare sub forma ecuaţiilor diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi, de forma:

∑∑==

=m

0jj

jj

n

0ii

ii

dt)t(udb

dt)t(yda

(5) Pentru descrierea dinamicii proceselor cu legături multiple, deci cu mai multe mărimi de intrare şi de ieşire (fig. 2) se foloseşte spaţiul stărilor.

4

uu

u

12

y

12

r

xx

xvariabile de stare

yy 1

2mn

Fig. 2 Proces multivariabil cu legături multiple Anume în cazul general, ecuaţiile diferenţiale de stare, respectiv intrare-stare ieşire au forma:

)]t(u),t(x[F)t(y)]t(u),t(x[F=(t)x

2

1=

&

(6) iar în cazul proceselor liniare:

D(t)u(t)C(t)x(t)y(t)B(t)u(t)A(t)x(t)(t)x

+=+=&

(7) în care matricile A, B, C şi D pot fi dependente de timp (variante) în cazul proceselor cu parametrii variabili în timp sau independente (invariante) în cazul proceselor cu parametrii constanţi. Caracterizarea proceselor poate avea loc şi în domeniul complex când drept MM al dinamicii se foloseşte funcţia de transfer:

( )

( )∏=

+⋅

∏=

+

=

∑=

∑=

== γα

1isiT1s

P

1jsjT1K

n

0i

isia

m

0j

jsjb

U(s)

Y(s)G(s)

(8)

Adesea, identificarea are drept scop tocmai deducerea funcţiei de transfer, deoarece (după cum se ştie) aceasta este foarte strâns legată de

5

determinările experimentale, prin intermediul funcţiei indiciale, al funcţiei pondere sau al caracteristicilor de frecvenţă. Efectuarea unor identificări experimentale presupune, în general, parcurgerea următoarelor etape:

- organizarea şi realizarea experimentărilor pe procesul de identificat; - interpretarea şi prelucrarea rezultatelor determinărilor experimentale; - stabilirea, prin deducţie, a MM folosind aproximarea matematică a

rezultatelor prelucrate. Rezultatele primei etape sunt în mare măsură influenţate de informaţia iniţială despre proces ( structura principială a acestuia, forma şi limitele de variaţie ale mărimilor care acţionează asupra procesului), de alegerea corectă a aparaturii de măsură şi înregistrare (caracteristicile statice şi mai ales dinamice ale acestora), de modul de efectuare a determinărilor experimentale (în condiţii de laborator sau în stare normală de funcţionare) precum şi de influenţa perturbaţiilor şi zgomotelor. Pentru această etapă se pot folosi următoarele procedee, numite şi metode de identificare: - cu semnale de probă (metode de identificare active); - fără semnale de probă, utilizând mărimile măsurate şi înregistrate în regimul de funcţionare normală a procesului (metode pasive). În cadrul metodelor active are loc "activarea" sau "testarea" procesului cu semnale de probă/testare de anumite forme (deterministe sau aleatoare), care declanşează variaţia mărimii de ieşire, variaţie din care se extrag proprietăţile staţionare şi dinamice ale procesului identificat. În cadrul metodelor pasive procesul nu este "activat" în mod special în vederea identificării ci se folosesc, în acest scop, variaţiile curente aleatoare ale mărimilor de intrare şi de ieşire, care prelucrate în mod corespunzător pot fi folosite în vederea deducerii caracteristicilor proceselor respective. În cadrul lucrărilor de laborator se vor experimenta metode de identificare utilizând semnale de probă deterministe, adică semnale a căror evoluţie în timp este predictibilă (cunoscută). Avantajul acestor metode de identificare constă în aceea că în urma unor experimentări relativ simple (cu aparatură simplă) conduc la obţinerea unor date utile în vederea determinării

6

caracteristicilor statice sau dinamice ale proceselor respective. Dezavantajul principal al acestor metode constă în aceea că perturbaţiile care acţionează asupra procesului în timpul experimentării pot altera sensibil rezultatele obţinute. În urma unei asemenea identificări şi în cazul utilizării semnalelor de probă deterministe neperiodice de tip treaptă sau impuls se pot obţine, prin prelucrarea corespunzătoare a rezultatelor experimental obţinute, funcţia pondere sau funcţia indicială care pot caracteriza regimul dinamic şi staţionar al procesului. În cazul identificării cu semnal de probă determinist periodic sinusoidal/ cosinusoidal, se obţin caracteristicile de frecvenţă. 2.1. Identificarea în domeniul timpului cu semnale de probă tip treaptă sau impuls În acest scop se folosesc fie generatoare de semnal treaptă, fie de impuls dreptunghiular (impulsul Dirac nefiind realizabil practic) împreună cu traductoare şi aparate de măsură şi/sau înregistratoare, după schema de identificare din figura 3. În cazul identificării unor procese industriale lente, semnalele de probă de tip treaptă sau impuls dreptunghiular pot fi realizate pe baza unor comenzi manuale asupra mărimii de intrare. Ca rezultat al experimentărilor efectuate în condiţii concrete se obţin, la aparatele de măsură şi/sau înregistrare, mărimile de ieşire (una sau mai multe) y (t) sub forma unor diagrame sau tabele de valori, pe baza cărora se pot construi aceste diagrame. Dacă experimentarea s-a făcut cu semnale u(t) tip treaptă, de diverse amplitudini ui0j (j = 1, 2, ....p; p fiind numărul determinărilor), atunci se obţin "p" diagrame yj(t) care permit reprezentarea a "p" funcţii indiciale hj(t), de forma:

jSi0ju

(t)jys(t)u(t)y(t)(t)jh ===

(9) unde jS este factorul de scară la înregistrarea j. Pentru obiectele (procesele) cu comportare liniară (sau care se pot aproxima ca atare), funcţia indicială este unică, deci h1(t)≅ h2(t)≅... hp(t)≅ h(t).

7

Fig. 3 Identificarea în domeniul timpului cu semnale de probă

Dacă la cele p înregistrări apar dispersii importante, se efectuează medierea:

)t(hp1)t(h

p

1jjmed ∑

==

(10)

rezultând funcţia indicială aproximată h(t)≅hmed (t). Existenţa unui eventual timp mort Tm , în expresia modelului matematic, se poate preciza, chiar determina, în această fază a identificării. Astfel, Tm se determină (fig. 4) ca fiind intervalul de timp măsurat din momentul aplicării semnalului de probă u(t) până când funcţia h(t) (sau în general y(t)) atinge o valoare ε; pentru aparatele de măsură şi înregistrare de clasa 1-2, ε = (0,01 - 0,02)h(∞), (h(∞) fiind valoarea staţionară a funcţiei indiciale). Ca urmare funcţia indicială aproximativă a procesului fără timp mort h(t) se obţine prin translaţia axei ordonatelor cu .T00 m=′

În cazul proceselor care conţin elemente integratoare, identificarea cu semnal de probă tip treaptă poate cauza depăşirea unor valori tehnologic admisibile pentru mărimea de ieşire.

8

Fig. 4 Răspuns indicial cu timp mort Cu cât efectul integrator este mai accentuat cu atât acest pericol devine mai mare. În vederea eliminării acestui pericol identificarea unor asemenea instalaţii se realizează cu semnal de probă tip impuls dreptunghiular. Semnalul de probă tip impuls dreptunghiular poate fi realizat utilizând două semnale tip treaptă, unul pozitiv, altul negativ, decalate între ele cu un interval T (figura 5.a); deci u(t) şi -u(t-T).

Fig.5 Construirea funcţiei indiciale

9

În aceste condiţii, şi în cazul proceselor liniare, răspunsul y(t) va fi diferenţa răspunsurilor indiciale la cele două funcţii treaptă (figura 5.b), anume:

y(t) = h(t) - h(t-T) (11)

Din (11) rezultă că pentru 0 < t ≤ T, h(t-T) = 0 şi deci h(t) = y(t), iar

pentru t > T se obţine:

h(t) = y(t) + h(t-T) (12) Relaţia (12) permite construi-rea succesivă a funcţiei indiciale pe baza răspunsului y(t) la impuls dreptunghiular (figura 5.b), anume: h(T) = y(T) = y1 h(2T) = y(2T) + h(T) = y2 +y1 -------------------------------------- etc. În vederea deducerii MM, din funcţia indicială obţinută h(t), se adoptă procedee de aproximare matematică avându-se în vedere modul concret în care se cere exprimarea MM: - o funcţie de transfer, - o ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi.

2.1.1. Aproximarea proceselor prin funcţii de transfer simplificate Din practica studierii dinamicii proceselor industriale s-a constatat că, foarte adesea, în calcule de proiectare şi de analiză, acestea pot fi caracterizate prin următoarele tipuri de funcţii de transfer:

smTe

Ts1K)s(G −+

= (13)

smT

n e)Ts1(

K)s(G −

+=

(14)

10

)sT1)(sT1(K)s(G

21 ++=

(15)

smT

21e

)sT1)(sT1(K)s(G −

++=

(16)

Evident, odată adoptat modelul, problema identificării se reduce la evaluarea parametrilor modelului respectiv: K, T, Tm, n, T1, T2. Identificarea parametrilor, în asemenea situaţii, se bazează pe curba funcţiei indiciale obţinută pe cale experimentală. Dacă din informaţia iniţială rezultă că procesul poate fi aproximat printr-o funcţie de transfer de forma (13), atunci funcţia indicială de aproximare are forma:

( )mTmTt

Tte1K)t(h~ −⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

−−

σ

(17)

Evident, pentru t ≤ Tm, ~( )h t = 0 , iar pentru t >Tm

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

−−

TmTt

e1K)t(h~

(18)

Relaţia (18) reprezintă o curbă exponenţială, translată faţă de originea axelor de coordonate, în dreapta, cu Tm. În vederea identificării, funcţia indicială experimentală se reprezintă sub forma normată:

)(h)t(h)t(h~*

∞=

(19) pentru a face să dispară influenţa parametrului K≅ h(∞).

11

Pe curba experimentală astfel trasată (figura 6) se marchează două puncte: punctul care corespunde punctului de inflexiune al curbei, cu coordonatele h*(tA) şi tA şi respectiv punctul B, având coordonatele h*(tB) = 0,9 şi tB .

Fig. 6 Funcţie indicială normată Ţinând seama de funcţia indicială normată:

TmT1

e1)t(h~−

−−= (20)

şi de coordonatele punctelor A şi B, rezultă un sistem de două ecuaţii cu două necunoscute cu soluţiile:

)]t(*h1ln[)]t(*h1ln[ttT

BA

AB−−−

−=

(21)

)]t(*h1ln[)]t(*h1ln[)]t(*h1ln[t)]t(*h1ln[tT

BA

BAABm −−−

−−−=

(22) Ca urmare curba funcţiei indiciale de aproximare trece prin punctele A şi B, fiind o exponenţială translată (figura 6 curba întreruptă).

12

Metoda este simplă dar de precizie scăzută deoarece din totalitatea informaţiei purtate de curba funcţiei indiciale experimental obţinute, pentru determinarea parametrilor procesului se foloseşte doar o foarte mică parte, respectiv punctele A şi B. Se consideră că aproximarea este acceptabilă dacă 0,594 h(∞) ≤ h(T) ≤ 0,632 h(∞).

Când se urmăreşte deducerea aproximativă a parametrilor K, T şi Tm se poate aplica o metodă mai expeditivă. În acest scop se trasează experimental răspunsul procesului la o variaţie în treaptă (nu neapărat unitară) a mărimii de intrare (figura 7).

Fig. 7 Deducerea aproximativă a parametrilor Constanta de timp T şi timpul mort Tm, se determină în urma construirii tangentei la curba experimental obţinută. Factorul de amplificare K, în jurul unui punct nominal de funcţionare se poate aproxima prin:

12

12

nuu uuyy

uy

dudyK

−−

=≅== Δ

Δ (23)

În cazul aproximării procesului de identificat prin funcţia de transfer (14) se cer determinate K, T, n şi Tm. Metoda (Strejc) necesită efectuarea unor construcţii grafice asupra curbei experimental obţinute, ca în figura 8.

13

Fig. 8 Metoda Strejc de identificare

Anume, se găseşte punctul de inflexiune al curbei, apoi se duce o

tangentă la curbă în acest punct, care va delimita segmentele: Ta, Tn, TI şi Tr. Parametrii caracteristici se determină utilizând tabelul I.

Tabelul 1

n

T

Ta

T

Tn

T

Tn

a

T

TI

hI

T

Tr

T

Tr

a

1 2 3 4 5 6 7 1 1 0 0 0 0 1 1 2 2,7 0,28 0,104 1 0,26 2 0,74 3 3,7 0,80 0,22 2 0,32 2,5 0,68 4 4,46 1,42 0,32 3 0,35 2,9 0,65 5 5,12 2,10 0,41 4 0,37 3,22 0,63 6 5,7 2,8 0,49 5 0,38 3,5 0,68 7 6,2 3,55 0,57 6 0,39 3,77 0,61 8 6,7 4,3 0,64 7 0,40 4,02 0,60 9 7,6 5,08 0,71 8 0,407 4,24 0,59 10 7,6 5,87 0,77 9 0,413 0,446 0,587

14

Anume, parametrul n se deternimă pe baza coloanei 3, deci pe baza segmentelor Tn şi Ta. Pe baza raportului Tn/Ta se adoptă pentru n valoarea întreagă corespunză-toare imediat inferioară. Ordinul n fiind astfel determinat pe baza coloanelor 1 şi 2, se determină constanta de timp T. Dacă timpul mort Tm este nul, constanta de timp T astfel determinată are o singură valoare. Dacă pentru parametrul T se obţin două valori distincte, se dă curbei o translaţie către stânga, până când se obţine o singură valoare pentru T. Translaţia necesară reprezintă tocmai timpul mort Tm. Coloanele 4 - 7 pot fi utilizate pentru verificarea rezultatelor obţinute. Foarte frecvent, procesele industriale pot fi aproximate prin funcţii de transfer corespunzătoare elementelor de ordinul doi, cu sau fără timp mort; relaţiile (15) sau (16). Funcţia indicială de aproximare, în cazul relaţiei (15) este de forma:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

−−=

−−2Tt

21

21Tt

21

1 eTT

TeTT

T1K)t(h (24)

iar în cazul relaţiei (1.16) în loc de t apare (t -Tm.). Determianarea constantelor de timp T1 şi T2 (celelalte mărimi pot fi determinate asemănător cu cazurile precedente), necesită reprezentatrea normată a funcţiei indiciale experimen-tal obţinute.

Fig. 9 Identificarea unui proces de ordinul doi

15

Pe această curbă experimental obţinută (figura 9), se determină, mai întâi punctul de inflexiune I, apoi se duce o tangentă la curbă care determină punctele M şi N. Verticalele duse prin punctele M, N şi I delimitează segmentele Tf, Tc, Ta şi ha. Cu ordonata ha se calculează hp:

( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++=

−3a

aph1501

53,073,2hh (25)

Prin punctul P astfel obţinut se duce o paralelă la dreapta NM, care delimitează segmentele Tn şi Tb. Constantele de timp T1 şi T2 se determină astfel:

- pentru ha ≤ 0,005:

( )[ ]22aab1 30h1,7310h1TT ++= ; (26)

- pentru ha > 0,005:

( ) ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++−−+=

−− 11

aafb1 h0,0032

0,00150,0861h0,0322001TTT (27)

iar 1c2 TTT −= (28)

Constantele de timp T1 şi T2 pot fi determinate şi pe baza curbei experimentale, reprezentată în figura 7.

Anume, în acest caz, constantele de timp se determină pe baza relaţiilor:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=−

=+

70

30703021

7021

tt45,0

6,0ttTT

2,1tTT

(29)

16

unde t30 şi t70 reprezintă timpii necesari ca mărimea de ieşire să atingă 30%, respectiv 70% din valoarea staţionară, rezultată în urma aplicării treptei de variaţie a mărimii de intrare.

2.1.2. Aproximarea funcţiei indiciale experimental obţinute prin expresii de forma soluţiilor unor ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi

a. Cazul funcţiilor indiciale monotone În aceste situaţii aproximarea se poaste face printr-o expresie de forma:

∑=

−−=n

1i

tii0 eCC)t(h~ α

(30)

unde: ( ) ( )s0 thhC ≅∞= este valoarea stabilizată a funcţiei indiciale; Ci - coeficienţi reali; αi - exponenţii reali, corespunzători polilor simpli ai funcţiei de transfer, respectiv curbei monotone a funcţiei indiciale, care determină viteza de atenuare a componentelor exponenţiale. În vederea determinării relaţiei de aproximare se cer determinate Ci, αi, şi n, anume printr-o metodă de logaritmare succesivă. În cadrul acestei metode se aproximează, mai întâi, curba experimental obţinută prin soluţia unei ecuaţii diferenţiale de ordinul unu:

t21t110 eC)(h~eCC)t(h~ αα −− −∞=−= (31)

Din (31) rezultă:

)t(h~eC)t(h~)(h~ 1t11 ==−∞ −α (32)

Relaţia (32) este valabilă sigur pentru valori mari ale timpului. Într-adevăr presupunând că exponenţii α1 îndeplinesc condiţia

17

α1 < α2 <...<αn, rezultă că, în acest caz, influienţa celorlalţi termeni devine neglijabilă. Logaritmând relaţia (32) rezultă:

tCln)]t(h~ln[ 111 α−= (33)

care în coordonate semilogaritmice reprezintă o dreaptă, având ordonata 1Cln , la t = 0, iar coeficentul unghiular -α1.

Construcţia acestei drepte este exemplificată în figura 10.

Fig. 10 Metoda logaritmării succesive În urma construcţiei dreptei din figura 10, ca dreaptă de cea mai bună aproximare a punctelor obţinute, rezultă că:

[ ] .OAOBtg,iareC)0(hlnClnOB 1

OB111 ===⇒== βα (34)

Semnul constantei C1este dat de semnul pe care îl are funcţia h1(t). Eroarea de aproximare se apreciază prin trasarea diagramei răspunsului indicial cu valorile C1 şi α1 astfel determinate şi compararea ei cu diagrama )t(h~ , obţinută pe cale experimentală, respectiv prin calculul diferenţei:

18

t1112 eC)t(h~)t(h~ α−−= (35)

Dacă aproximarea este bună, atunci cele două diagrame coincid pentru orice valoare a timpului, nu numai pentru timpi mari. În caz contrar se continuă aproximarea:

t222 eC)t(h~ α−= (36)

din care, prin logaritmare se obţine:

tCln)]t(h~ln[ 222 α−= (37)

unde C2 şi α2 se determină în mod analog ca şi constantele C1 şi α1. Aproximarea continuă până când diferenţele de forma (32), (35) devin nule, sau aproximativ nule pentru orice valoare a timpului. Expresia modelului matematic rezultă pe baza relaţiei cunoscute:

)]t(h[Ls)s(G = (38)

care, aplicată, de exemplu, pentru cazul unei aproximări de tipul (31) satisfăcătoare, ne conduce la:

[ ]Ts1

Ks

1)(h~e)(h~)(h~Ls)s(G1

1+

=+

∞=∞−∞= −α

α

(39)

unde:

.1T iar )(h~K1α

=∞=

În domeniul timpului se obţine modelul:

)t(Ku)t(ydt

)t(dyT =+ (40)

19

Dacă procesul a fost aproximat cu un model matematic a cărei soluţie este de forma (30), cu condiţiile iniţiale:

∑=

≅−n

1ii0 0CC (41)

atunci funcţia de transfer a procesului poate fi exprimată prin relaţia:

∏

∏

=

=

+

= n

1ii

n

1ii0

)s(

C)s(G

α

α (42)

b. Cazul funcţiilor indiciale cu componente oscilatorii Relaţia generală de aproximare pentru o funcţie indicială cu componente oscilatorii (figura 11) este de forma:

∑=

− +−=2/n

1iii

tii0 )tsin(eCC)t(h~ ϕωα

(43)

Fig. 11 Funcţie indicială cu componente oscilatorii Se porneşte şi în acest caz cu o primă aproximare de formă simplă:

20

)tsin(eCC)t(h~ 11t110 ϕωα +−= −

(44)

de unde: )tsin(eC)t(h~C)t(h~ 11

t1101 ϕωα +=−= − (45)

Evident, în vederea găsirii for-mei modelului se cer determinate C1, α1, ω1 şi ϕ1. Pulsaţia ω1 rezultă imediat din curba experimental obţinută:

pT

21

πω =

(46)

Din condiţia ,0)tsin( 1K01 =+ϕω deci punctele t01, t02, rezultă

,tK K011 ωπϕ −= (47)

iar din condiţia ,...,1 ,0k ;)1()tsin( k

1mk1 =−=+ϕω (48)

deci punctele tm1, tm2,..., rezultă:

)t(h~CeC)t(h~ mk0mkt11mk1 −≅= −α (49)

În urma logaritmării relaţiei (48) se obţine:

[ ] [ ] ,mkt11Cln)mkt(h~0Cln)mkt(1h~ln α−=−= (50) relaţia care permite determinarea constantei C1 şi a exponentului α1 în mod asemănător cu metoda precedentă. În urma dererminării parametrulor C1, α1, ω1, şi ϕ1 se calculează diferenţa:

)tsin(eC)tsin(eC)t(h~)t(h~ 22t2211

t1112 ϕωϕω αα +=+−= −− (51)

21

Operaţia de apoximare succesivă are loc până ce aceste diferenţe devin aproximativ nule pentru orice valoare a timpului. Practica arată că, în multe situaţii de identificare, procedeul de aproximare se termină pentru n = 2÷4.

2.2 Identificarea în domeniul frecvenţei Schema de identificare corespunde cu schema din fig. 3 cu precizarea că în locul generatorului de semnal neperiodic se foloseşte un generator de semnal sinusoidal. Ca urmare se obţin înregistrări ale mărimilor de intrare şi de ieşire care, pentru diferite pulsaţii, permit trasarea caracteristcicilor de frecvenţă: atenuare - frecvenţă A(ω) sau caracteristica logaritmică atenuare - frecvenţă L(ω) = 20log A(ω) şi caracteristica fază - frecvenţă ϕ(ω). Identificarea experimentală în domeniul frecvenţei oferă o serie de avantaje faţă de metodele care utilizează semnale de probă neperiodice: - permite stabilirea directă a caracteristicilor de frecvenţă utile în calculele de proiectare; - regimul de oscilaţii forţate, în care este adusă instalaţia, permite discriminarea mai uşoară a zgomotelor şi perturbaţiilor faţă de semnalul util; - semnalul de probă poate avea amplitudini mai mari, deoarece media pe o perioadă este nulă şi ca urmare şi media pe o perioadă a mărimii de ieşire va fi limitată. Apar însă şi complicaţii care constau în necesitatea efectuării unui număr mai mare de încercări experimentale (încercări cu semnale de probă de diverse pulsaţii), în necesitatea unui aparaturi de generare a semnalului de probă şi de măsurarea/înregistrarea mai complicată şi în creşterea volumului de calcule necesare în vederea identificării. Este indicat ca, în vederea obţinerii unor date concludente, precum şi în vederea reducerii efortului de identificare prin eliminarea benzilor de ferecvenţă care nu sunt propii procesului, să se determine în prealabil banda de trecere a procesului, precum şi o serie de pulsaţii caracteristice ale acestuia.

Aceste pulsaţii sunt: ω0 - pulsaţia iniţială a benzii de trecere; ωπ- pulsaţia la care defazajul dintre mărimea de intrare şi cea de

ieşire este de 180° şi ωt - pulsaţia relativă de tăiere, anume pulsaţia la care aparatele de

22

măsură/înregistrare nu mai deviază, chiar dacă amplitudinea semnalului de probă are valoarea maximă admisibilă. Se ştie că, teoretic, în cadrul răspunsului la frecvenţă, amplitudinea mărimii de intrare se menţine la o valoare constantă în timp ce frecvenţa acestuia creşte. Ca urmare, datorită caracterului atenuator al proceselor industriale, în cazul identificării experimentale a acestora cu semnale de probă periodice, de amplitudine constantă, apar erori la frecvenţe medii şi înalte. De aceea se recomandă ca, semnalul de probă utilizat, să aibă atât frecvenţa cât şi amplitudinea crescătoare astfel încât, la diverse frecvenţe, să rezulte oscilaţii ale mărimilor de ieşire în jurul unor valori de regim. Pulsaţiile caracteristice ω0, şi ωt pot fi determinate relativ simplu, utilizând un astfel de semnal de probă, mai ales în cazul proceselor lente, când mărimea de intrare a procesului se poate modifica pe seama unor comenzi manuale asupra elementelor de execuţie. Anume, în acest scop se stabilesc mai întâi limitele extreme (maxime yM şi minime ym) de variaţie a mărimii de ieşire şi apoi, se alege amplitudinea mărimii de intrare care asigură limitele de variaţie stabilite.

Apoi, pe seama unor manevre manuale corespunzătoare, se realizează creşterea frecvenţei şi amplitudinii semnalului de probă (a mărimii de intrare), figura 12.

În cazul figurii 12.a se realizează comenzi manuale de modificare a valorii mărimii de intrare în momentele în care mărimea de ieşire trece peste

Fig. 12 Identificarea în domeniul frecvenţei

23

limitele extreme, părăsind zona stabilită de variaţie. Se obţin în acest fel pulsaţia ω1 = 2π/T1 şi respectiv defazajul ϕ1 <180°. În cazul figurii 12.b manevrele de modificare a valorii mărimii de intrare au loc în momentele în care mărimea de ieşire trece peste valoarea medie a zonei stabilite, rezultând pulsaţia

.11802si12T/2 ϕϕωππωω >°=>==2 (52) În cazul figurii 12.c manevrele se realizează în momentul în care mărimea de ieşire pătrunde în zona stabilită rezultând

πωωπω >= 333 ,T/2 şi 23 ϕϕ > . (53)

Prin urmare încercarea, corespunzătoare figurii 12.b, permite tocmai determinarea valorii pulsaţiei caracteristice ωπ. În scopul determinării valorii pulsaţiei tω , se creşte în continuare amplitudinea şi frecvenţa semnalului de intrare până când aparatele de măsură/înregistrare rămân insensibile; rezultă în acest caz (figura 12.d)

nt T/2πω = . (54)

Se recomandă ca procesele industriale în circuit închis să fie testate cu pulsaţii cuprinse între (0,5 ÷2)ωπ. În urma acestor determinări experimentale se obţin caracteristicile A(ω) şi ϕ(ω).

Trasând caracteristicile de frecvenţă logarirmice şi construind apoi asimptotele cu pante standard, corespunzătoare, se pot determina foarte comod funcţiile de transfer ale proceselor identificate. Bibliografie 1. C. Penescu., G. Ionescu, M. Tertis, E. Ceanga. Identificarea

experimentală a proceselor automatizate, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1971. 2. T. Ganciu, V. Horga. Identificarea sistemelor, curs online,

http://www.ac.tuiasi.ro/ro/library /IS_Book/index.html