Lucrarea1

BAZELE STATISTICO-MATEMATICE IN HIDROLOGIE

Statistica matematica este utilizata in studiile tehnico-economice si de

stabilirea a unor parametri hidrologici necesari realizarii solutiilor optime de

amenajare, proiectare si exploatare. In acest sens este necesara existenta unui sir

de date hidrologice care va fi analizat statistic.

Ca elemente principal in calculele statistice este frecventa medie cu care se

produc elementele caracteristice ale parametrului hidrologic de interes (valori

maxime, medii, minime) cat si frecventa medie cu care ele ating sau depasesc

diferite valori.

Un element al scurgerii hidrologice cu valori de diferite frecvente induce variatii in

componentele calculelor tehnico-economice la investitii, costuri ale exploatarii etc.

Etape:

1. Utilizarea analizei statistice unidimensionale pe baza sirurilor cronologice

omogene

2. Extinderea metodelor statisticii matematice la ”cuplaje hidrologice” si ”

cuplaje hidrometeorologice” intre care exista conditionari (ex. cupluri ploaie –

scurgere, scurgere de apa – scurgere de aluviuni, viituri – topirea zapezii

etc.); aceste metode se mai numesc analize bidimensionale sau corelatii

conditionale.

3. Analiza multidimensionala - aflata in curs de dezvoltare si considerate inca

”raritati hidrologice”

Studiu de caz

In tabel sunt prezentate debitele medii anuale Qan pe raul Somes la Satu Mare

intre 1950-1986.

OBS:

- debitele se situeaza intre apr. 50 mc/s si 250 mc/s.

- marea majoritate a valorilor se situeaza intre 75 mc/s si 125 mc/s

i anulQan

(mc/s)

Q an ordonat

descrescator

(mc/s)

p%=1/(n+1)*100

1 1950 83,7 242 2,6

1.1

2 1951 88 200 5,3

3 1952 124 185 7,9

4 1953 94,2 185 10,5

5 1954 70,4 176 13,2

6 1955 169 169 15,8

7 1956 120 161 18,4

8 1957 138 159 21,1

9 1958 161 154 23,7

10 1959 76,3 147 26,3

11 1960 147 146 28,9

12 1961 53,8 138 31,6

13 1962 121 132 34,2

14 1963 78,1 129 36,8

15 1964 126 126 39,5

16 1965 129 126 42,1

17 1966 154 124 44,7

18 1967 132 124 47,4

19 1968 112 121 50,0

20 1969 112 120 52,6

21 1970 242 118 55,3

22 1971 86,2 118 57,9

23 1972 82,3 112 60,5

24 1973 91,5 112 63,2

25 1974 185 111 65,8

26 1975 118 95,2 68,4

27 1976 111 94,2 71,1

28 1977 126 91,5 73,7

29 1978 176 88 76,3

30 1979 159 86,9 78,9

31 1980 200 86,2 81,6

32 1981 185 83,7 84,2

33 1982 124 82,3 86,8

2.1

34 1983 86,9 78,1 89,5

35 1984 95,2 76,3 92,1

36 1985 146 70,4 94,7

37 1986 118 53,8 97,4

Comportarea elementului statistic analizat se poate realizat prin cateva observatii

simple asupra sirului de date si care se apropie de legea statistico-matematica

reflectata de esantionul de date.

OBS:

- sirul de date este util daca depaseste 20-25 de valori

- siruri cu un numar sub 25 de valori sunt nefolositoare in cazul in care

valorile PH au variatii mari (ecart mare; ∆ = PHmax – PHmin) si de

asemenea prezinta asimetrie mare in ceea ce priveste raspandirea

termenilor intre valorile cea mai mare si cea mai mica.

Operatiile simple care trebuie efectuate in mod sistematic si unitar sunt:

- ordonarea termenilor multimii in ordine descrescatoare;

- clasarea parametrilor analizati in trepte caracteristice (intervale de valori);

- calculul frecventei elementelor multimii pe fiecare treapta caracteristica

(interval);

- suma cazurilor in care valorile analizate se situeaza peste limitele dintre trepte

numita durata.

ST. DE CAZ

Intervale de

valori

Qan (mc/s)

Numar de cazuri Domenii de

valori

Qan (mc/s)

Numar de cazuri

Nr. % din total Nr. % din total

225-250 1 2,7 > 250 0

200-225 1 2,7 > 225 1

175-200 3 8,11 > 200 2

150-175 4 10,81 > 175 5

125-150 7 18,92 > 150 9

100-125 9 24,32 > 125 16

75-100 10 27,03 > 100 25

50-75 2 5,41 > 75 35

∑ 37 100 > 50 37

3.1

a)b)

In figurile 1 a si b se prezinta graficul de frecventa pentru debitele

anuale medii si graficul de durata a acestor debite

Figura 1 Repartitia de trepte de debite a frecventelor a) si pe domenii a duratelor

b)

Probabilitatea se defineste ca raport intre numarul cazurilor favorabile m si numarul

total al cazurilor adica (daca n este suficient de mare), P = m/n.

In acest caz diagrama repartitiei pe intervale a frecventelor devine curba de

repartitie a probabilitatilor sau curba densitatii probabilitatilor (fig 2 a) iar diagrama

duratei devine curba probabilitatilor de depasire sau asigurare (fig 2 b). Procentele de

pe abscisa (fig 2 b) se mai numesc probabilitati de depasire (in cazul debitelor

maxime) sau de asigurare (asigurari) (incazul debitelor minime).

Fig. 2 Curbe de repartitie a probabilitatilor a) si de asigurare - depasire b)

Obs:

- curbele de depasire/asigurare au un rol important pt determinarea

parametrilor hidrologici folositi ca intrare in calculele tehnico-economice in

activitatea de proiectare si de gospodarirea apelor;

4.1

- curbele prezinta cateva puncte importante: debitul cu probabilitatea de

depasire sau asigurare de 50% (orizontala din curba de repartitie a

probabilitatilor ce imparte suprafata acesteia in doua parti egale, fig 2 a,b)

- debitul cel mai frecvent corespunde abscisei maxime a curbei probabilitatilor

(punctul 2) deci punctului de inflexiune din curbele de probabilitate/asigurare;

- punctul 3 din grafice corespunde debitului mediu;

- curbele in care punctele 1, 2 si 3 sunt pozitionate conform fig 2 sunt curbe

asimetrice;

- curbele in care punctele 2 si 3 apar invers fata de punctul 1 sunt curbe de

asimetrie negativa;

- curbele in care cele trei puncte coincid se numesc curbe simetrice.

Probabilitatea de depasire/asigurare empirica a parametrului

hidrometeorologic ce detine in sirul ordonat descrescator de n termeni pozitia i se

poate defini prin raportul (%) dar nu este satisfacator pentru ca intotdeauna

ultima valoare din oricare sir ar avea asigurarea de 100% ceea ce nu se poate realiza

(pe masura acumularii de noi date si completarii sirului de date pot aparea valori mai

mici).

In acest sens formula ce elimina acest neajuns are forma:

formula lui Weibull propusa in 1939 cu mare utilitate in hidrologie si gospodarirea

apelor.

Astfel se pot elabora cu sirurile ordonate descrescator si procentele de

depasire/asigurare empirice corespunzatoare curbe de asigurare/probabilitate (figura

3).

Exista si cazuri in care trasarea acestor curbe este dificila mai ales la curbele

sensibil variabile si asimetrice in care apar termeni cu procente de depasire/asigurare

empirice in neconcordanta cu frecventa medie de revenire in timp a acestor termeni.

De ex. un sir de 39 de debite max. anuale.

5.1

Figura 3 Curba de asigurare-depasire empirica a debitelor de apa

medii anuale ale raului Somes la Satu Mare

Primul termen are probabilitatea adica se poate intampla ca acel

debit sa reapara odata la 40 de ani. Se poate intampla ca cel mai mare debit maxim

din cei 39 de ani sa aiba o frecventa mai rara si sa revina in timp odata la 200 de ani

sau ca acel debit sa apara mai devreme (la 10-20 de ani). Explicatia este data de

faptul ca nu se poate controla 100% fenomenul hidrologic si nici cauzele genetice

ale fenomenelor hidro-meteorologice in timp si spatiu cat si din cauza datelor

disponibile din esantioane relativ redus ca numar.

De aceeea aceste curbe se pot folosi pe ecarte de probabilitate/asigurare de

3-97% iar problemele legate de valori ale probabilitatii rare cum ar fi 0,1%, 0,01%

si 99% sa se extrapoleze acele curbe.

6.1

7.1