Kvantumszámítógépek

Kórádi Zoltán Informatikai eszközök fizikai alapjai

előadás, ELTE, 2016

Tartalom

1. (Bevezetés) Klasszikus számítógépek 2. Qubitek 3. Kvantumos logikai kapuk 4. Algoritmusok 5. Kvantumszámítógépek egyéb típusai 6. D-wave 7. Összefoglalás

2

1. Klasszikus számítógépek

1.1 Információs egység: bit

– 0 vagy 1 értéket vehet fel

– Fizikai megvalósítás: feszültségszint, tipikusan tranzisztoron (kapuelektródán) CMOS SRAM cella [1]

4

1.2 Műveletek • logikai kapuk, pl. AND

• További műveletek: NOT, AND, OR, XOR, NAND, FANOUT, SWAP

• Bemenet: 1 bit/2 bit; Kimenet: 1 bit →nem invertálható

Q1 Q2 Q1*Q2

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

5

2. Qubitek

2.1 Információs egység: qubit

– 2 állapot szuperpozíciója: |Ψ⟩ = 𝛼|0⟩ + 𝛽|1⟩

= cos𝜃 𝑒𝑖𝑖|0⟩ + sin𝜃 |1⟩ – Klasszikus bitekhez képest

kevert állapotokkal is tudunk dolgozni, ami párhuzamos számítást tesz lehetővé, pl.:

|Ψ⟩ = 12

|0⟩ + |1⟩ 1 qbit szemléltetése az ún. Bloch-gömbön [2]

7

• n bit esetén egy klasszikus sz.gép egyszerre csak 1 n bites állapottal tud számolni, míg egy kvantumos sz. gép a szuperpozíció miatt egyszerre 2𝑛 állapottal!

• Probléma: hogy olvassuk ki az eredményt? – Méréskor a hullámfüggvény beugrik egy adott 𝜙𝑖

sajátállapotba, 𝑐𝑖 2 valószínűséggel (hullámfv. „összeomlása”)

– Megoldás: • több mérést végzünk (többször végezzük el a számolást),

ami csökkenti az időnyereséget a klasszikus sz. géphez képest (de legtöbbször még így is nyerünk időt)

• Speciális algoritmusokat dolgozunk ki, melyek kvantumosak, de eredményük egy jól meghatározott sajátállapot (l. Deutsch algoritmus)

8

2.2 Több qubit egyszerre

• Koherencia-dekoherencia: – a kvantumos hullámfv. nem csak amplitúdó, de

fázisinformációval is rendelkezik: Ψ = Ψ 𝑒𝑖𝑖 (ez a klasszikustól eltérő jelenségek -pl. interferencia- alapja)

– A dekoherencia ennek a fázisinformációnak az elvesztése külső behatásokra (pl. elektron spinek esetén spin-rács kh., magok spinjével való kh.)

– A dekoherencia miatt elveszik a qubitben tárolt információ, ezért a számítási időnek kisebbnek kell lennie, mint a dekoherencia karakterisztikus ideje

9

2.2 Több qubit egyszerre

• Összefonódott állapotok: – Bizonyos több részecske állapotok nem

bonthatóak fel független 1 részecske-állapotokra (nem írhatóak fel 1 részecske állapotok szorzatára), ezeket összefonódott állapotoknak nevezzük, pl.

– |Ψ1� = 12

|00⟩ + |01⟩ + |10⟩ + |11⟩ =12

|0⟩ + |1⟩ 1 ∗12

|0⟩ + |1⟩ 2 nem összef.

– |Ψ2� = 12

|00⟩ + |11⟩ összefonódott

10

2.2 Több qubit egyszerre • Összefonódott állapotok:

– Nélkülözhetetlenek bizonyos 2 qubites kapuk működéséhez (pl. controlled gates) és a kvantumteleportációhoz

Sikeres kvantum-teleportációs kísérlet a Kanári-szigeteken (2012) [3] 11

– Szupravezető qubitek (SQUID)

– Csapdázott ionok – NMR technikák – Optikai rácsok – Kvantum dotok – Topologikus

vezetők – …

2.3 Qubitek fizikai megvalósítása

2 kvantumdot GaAs hordozón elektronsugaras litográfiával létrehozott fém elektródák között. A „pöttyök” átmérője 180 nm és 20-40 elektront

tartalmaznak. [4] 12

– Példa: NMR technika (oldat fázisú) • Több atomos molekulák mágneses térbe helyezve • Az energiaszinteket a magspin Zeeman-felhasadásával

kapott 2 nívó jelenti (1 NMR aktív mag → 1 qubit) • A kémiai eltolódás miatt a molekulában található NMR

aktív magok Zeeman-szintjei energiában eltérnek, így az egyes qubitek külön-külön kezelhetőek

• 1 bites kapuk: gerjesztés külső térrel • 2 bites kapuk: magspin-magspin kölcsönhatás • Több molekula → nagyobb jel • Termikus „szennyezés”: az alapállapot betöltöttsége

magasabb (𝑛0 > 𝑛1), a különbséggel végezzük a számításokat (𝑛0 − 𝑛1), a többi inkoherens háttér

• IBM, 2001: működő, NMR alapú 7 qubites kvantumsz.gép!

• Probléma: nehezen skálázható több bitre (nagyobb molekula, kül. környezetű magokkal)

13

3. Kvantumos logikai kapuk

3.1 Általános jellemzők

• Egy kvantumos logikai kapu egy állapotot egy másik állapotba visz át:

|Ψ⟩→ 𝑈𝑓|Ψ⟩ • Ennek megfelelően minden kvantumos kapu

egy lineáris, unitér (normálás miatt) operátorral jellemezhető

• A klasszikus kapukkal ellentétben egy n bemenetes kapunak csak n kimenete lehet, és a kapuk invertálhatóak

15

3.1 Általános jellemzők

• A klasszikus 2 bites kapuk (pl. AND) azonban megfeleltethetőek egy kvantumos kapunak bizonyos kiegészítéssel:

• Legyen a klasszikus kapu: 𝑥→ 𝑓 𝑥 = 𝑦

ahol x n db, y pedig m db bitből áll. • A megfelelő kvantumos kapu

|x⟩|y⟩→|x⟩|y⨁𝑓(𝑥)⟩ ahol ⨁ a mod2𝑚 szerinti összeadást jelenti

16

Legyen pl. 𝑓 𝑥 = 1

konstans függvény, és

|x⟩|y⟩ = |x⟩ 12

(|0⟩ − |1⟩),

Ekkor:

𝑈𝑓|x⟩|y⟩ = |x⟩12

|0⟩⨁|1⟩ − |1⟩⨁|1⟩

= |x⟩12

|1⟩ − |0⟩ = (−1)∗ |x⟩12

(|0⟩ − |1⟩)

17

3.2 Hadamard-kapu (1 bites)

|0⟩→ 12

(|0⟩ + |1⟩)

|1⟩→ 12

(|0⟩ − |1⟩)

• Vagy másképp a |0⟩|1⟩ bázison felírva:

𝑈𝐻 =12

1 11 −1

18

3.3 CNOT-kapu (2 bites)

• Ha a kontroll bit |0⟩, az adat bit változatlan, ha a kontroll bit |1⟩, akkor az adatbit átmegy a másik állapotba, pl.: – Kontroll bit: 1

2(|0⟩ + |1⟩)

– Adat bit: |1⟩

– Kimenet: 12

(|01⟩ + |10⟩) (az első a kontroll bit, a második a kimenő adatbit) összefonódott állapot!

• (A kontroll kapuk mindig korrelációt eredményeznek a 2 bit között!)

19

3.4. Technikai nehézségek

1. Dekoherencia megoldása 2. Skálázhatóság (több qubit megvalósítása) 3. Qubitek beállítása tetszőleges állapotba (ált.ban

|00 … 0⟩ alapállapotból indulunk ki, és megfelelő kapuk segítségével érjük el a kívánt állapotot)

4. Univerzalitás (elegendő kapu, hogy tetszőleges logikai műveletet el tudjunk végezni)

5. Qubitek állapotának megmérése

20

4. Algoritmusok

4.1 Célszámítógépek? • Ahhoz, hogy ki tudjuk használni a

kvantumsz.gépben rejlő potenciált, általában speciális algoritmusokra van szükség (úgy kell megfogalmazni matematikailag a problémát, hogy be tudjuk építeni a kevert állapotokkal való műveleteket)

→Ez legtöbbször nem triviális feladat! • Ha csak klasszikus kapukat implementálunk, nincs

időnyereség, tehát hétköznapi feladatokra valószínűleg nem fogunk egyhamar kvantumszámítógépeket használni!

22

4.2 Példa: Deutsch-algoritmus

Feladat: • van egy n bitről 1 bitre képező 𝑓(𝑥)

függvényünk, mely vagy konstans (minden n bites állapotot 0 vagy 1-re képez le), vagy kiegyensúlyozott (az n bites állapotok felét 0-ra, felét 1-re képezi le). Döntsük el, hogy melyik típusba tartozik a függvény! (A függvényt, mint egy „fekete dobozt”, megkapjuk)

23

4.2 Példa: Deutsch-algoritmus Klasszikus módszer:

• összesen 2𝑛 féle n bites állapotunk van. Elkezdjük betáplálni az állapotokat.

• Ha konstans, akkor 2𝑛

2+ 1 állapot után derül ki biztosan.

• Ha kiegyensúlyozott, akkor a véletlenszerűen betáplált állapotokra 50-50% valószínűséggel kapunk 0-t vagy 1-t, emiatt véges a lépés után lesz egy különböző adatunk (vagyis nem konstans a fv.)

• Feltéve, hogy ugyanakkora valószínűségel konstans vagy kiegy. a fv., a szükséges lépések átlagos száma:

𝑂𝑎 + 2𝑛−1 + 1

2≈ 𝑂 2𝑛−2

24

4.2 Példa: Deutsch-algoritmus Kvantumos módszer:

• Kiinduló állapot: |0⟩|0⟩ (az első „regiszter” az n bites alapállapot, azaz |00 … 00⟩)

• Az eljárás vázlata:

|0⟩|0⟩ → 𝑁𝑂𝑇𝐼𝐼 → |0⟩|1⟩ → ℋ𝐼𝐻𝐼𝐼 →→12

|0⟩ + |1⟩𝑛 1

2|0⟩ − |1⟩ =

=12

𝑛

� |𝑥⟩2𝑛−1

𝑥=0

12

|0⟩ − |1⟩ → 𝑈𝑓 →

→12

𝑛

� −1 𝑓 𝑥 |𝑥�2𝑛−1

𝑥=0

12

|0⟩ − |1⟩ → ℋ𝐼 →

→ |𝑎⟩12

|0⟩ − |1⟩

25

4.2 Példa: Deutsch-algoritmus Kvantumos módszer:

• Belátható, hogy ha |𝑎⟩ = ±|0⟩, akkor f(x) konstans, ha pedig kiegyensúlyozott, akkor |𝑎⟩ ortogonális az n-bites alapállapotra, vagyis legalább az egyik bit 1

• A kapukhoz szükséges műveletek száma 𝑂 𝑛 , |𝑎⟩ vizsgálatához szükséges lépések száma szintén 𝑂 𝑛 , vagyis a teljes számításigény is 𝑂 𝑛

• A klasszikus esethez képest ez exponenciális gyorsulás! (𝑂 𝑛 vs 𝑂 2𝑛−2 )

26

4.3 Egyéb kvantumos algoritmusok

• Függvény periódusának megkeresése (Kvantumos Fourier-transzformáció)

• Grover-féle keresési algoritmus • Shor-féle faktorizációs algoritmus:

– 𝑁 = 𝑝𝑝, ahol p és q prímek. N ismeretében adjuk meg p és q-t!

– Klasszikus vs kvantumos: exponenciális gyorsulás – RSA titkosítás alapja, hogy ha N nagy, nem lehet

véges időn belül faktorizálni, kvantumsz.géppel ez már nem működik!

27

5. Kvantumszámítógépek egyéb típusai

• Az eddigiek során olyan kvantumszámítógép működési elvével ismerkedtünk meg, mely a klasszikus számítógép analógiájára logikai kapukból épült fel, vannak azonban más koncepciók is:

1. „Egyirányú” kvantumszámítógép: – Sok qubitből álló összefonódott „klaszter” állapotból

indulunk ki – A műveleteket mérések segítségével hajtjuk végre

(mérés=nemlineáris folyamat) – A logikai kapukból álló kvantumsz.géppel

megfeleltethető (ugyanazok a műveletek mindkét rendszerben definiálhatóak)

29

2. Topologikus kvantumszámítógép:

– Szintén hasonlít a kapus architektúrára, de az információt valódi vagy kvázirészecskék („anyon”) topologikus tulajdonsága hordozza (pl. véges 2D grafén szeleten az élen haladó állapotok haladási iránya)

– A műveleteket a részecskék egymás körüli spirálozása („braid”) jelenti

– Előnye a kapus architektúrával szemben, hogy a topologikus tulajdonságok sokkal kevésbé érzékenyek a külső hatásokra (dekoherencia)

30

3. Adiabatikus kvantumszámítógép:

– A működés elve a kvantumos globális minimum-keresés (quantum annealing):

• Egy sok lokális minimummal rendelkező potenciáltérben azonos valószínűséggel keverünk össze állapotokat, melyek a saját energiájuknak megfelelően fejlődnek időben

• Bekapcsolunk egy transzverz teret, mely elősegíti az állapotok átalagutazását a potenciálgátakon (időfüggő perturbációszámítás)

• Ha a transzverz tér megfelelően kicsi, az eredeti Hamiltoni alapállapotának közelében maradunk

• Megfelelő idő múlva kikapcsoljuk a transzverz teret, és a rendszer az eredeti Hamilton alapállapotában (globális minimum) lesz

– Speciális problémák megoldására alkalmazható, pl. spinüvegek alapállapotának megkeresése

31

3. Adiabatikus kvantumszámítógép:

– Hasonló módszer: „simulated annealing”, itt a hőmérséklet paraméterrel játszunk. Megfelelő körülmények között a kvantumos változat gyorsabb

A kvantumos és szimulált „hűtés” sematikus rajza [5]

32

3. Adiabatikus kvantumszámítógép:

– Mindkét módszer szimulálható klasszikus sz.géppel, de kvantumsz.gépben a rendszer fizikailag járja be a lehetséges megoldásokat. Ez elvileg számítási előnyt jelent, de a jelenlegi kvantumrendszerekben a számítási idők legtöbbször összemérhetőek (l. D-wave).

33

6. D-wave

Forrás: [6]

6.1 Egy kis történelem…

• 1999: megalapítják a D-Wave Systems nevű céget, mely kezdetben a kanadai UBC (University of British Columbia) egyetemmel együttműködésben dolgozott

• 2007: elkészül az első prototípus, a 16 qubites Orion rendszer

• 2011: megjelenik az első kereskedelmi forgalomban kapható kvantumszámítógép, a 128 bites D-Wave One (ára kb. 10M USD)

35

6.1 Egy kis történelem…

• 2011: a Lockheed Martin nevű hadiipari óriáscég vásárol a D-Wave One-ból

• 2012: bejelentik a második modellt, az 512 qubites D-Wave Two-t, melyet 2013-ban kezdenek gyártani

• 2013: a NASA, Google és az USRA együttműködésben vásárol egy D-Wave Two-t

• 2015: elindul az 1152 qubites D-Wave 2X

36

6.2. D-Wave One

• Hardver: – Si hordozón

Nióbium vezetékekből kialakított szupravezető hurkok (SQUID)

– A biteket az elektronok kétféle haladási iránya jelenti (fluxuskvantálás)

A szupravezető qubit szemléltetése [6]

37

8 szupravezető qubit hálózata. A kék pöttyök szintén szupravezető hurkok, a

qubitek (nyilak) kölcsönhatását biztosítják[6]

38

39

6.2. D-Wave One • Hardver:

– Működési hőmérséklet: 0,015 K – Nyomás: 10-4 Pa – Felvett teljesítmény: 25kW

• Működési elv: adiabatikus kvantumszámítógép • Fogadtatás:

– Kezdetben kételkedtek abban is, hogy egyáltalán kvantumos elven működik-e a gép

– A kvantumosságot mára igazolták, de az, hogy rendelkezik-e számítási nyereséggel a klasszikus szuperszámítógépekhez képest, még ma is vita tárgyát képezi (az eredmények egyelőre egymásnak ellentmondóak)

40

7. Összefoglalás • Qubit > bit a szuperpozíció miatt → párhuzamosság • Sokféle fizikai megvalósítás, különböző működési elvek • Problémák:

– Dekoherencia – Eredmény kiolvasása – Skálázás (több qubit) – Speciális algoritmusok kellenek

• Első kereskedelmi forgalomban kapható kv.sz.gép: D-Wave One (2011),

• Számos egyéb próbálkozás (kevesebb qubit, de kapus architektúra → univerzális működés)

41

Források, ajánlott irodalom

1. Q. Ho-Kim, N. Kumar, C. S. Lam: Invitation to Contemporary Physics (2nd edition), World Scientific Publishing, 2008

2. https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_computing 3. http://www.dwavesys.com/tutorials/background-

reading-series/introduction-d-wave-quantum-hardware

4. Index.hu: A kvantumszámítógép a legélesebb szike a világon (2014)

5. Pályi András: Kvantumbitek szilárdtestekben előadás

42

Képek forrása 1. https://en.wikipedia.org/wiki/Static_random-

access_memory 2. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb

/6/6b/Bloch_sphere.svg/963px-Bloch_sphere.svg.png 3. http://www.extremetech.com/extreme/135561-new-

quantum-teleportation-record-paves-the-way-towards-a-worldwide-quantum-network

4. http://www.purdue.edu/uns/images/chang.quantum.jpeg 5. https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_annealing 6. http://www.dwavesys.com/tutorials/background-reading-

series/introduction-d-wave-quantum-hardware

43

Köszönöm a figyelmet!

44