KVALITET SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJAKod projektovanja ili ocene kvaliteta sistema automatskog upravljanja kao što je g p j j jregulisani elektromotorni pogon, bitna su tri kriterijuma:

3 kriterijuma

kriterijuma: stabilnost t tičk k kt i tik statička karakteristika dinamička karakteristika Analiza prema redosledu i važnosti:

stabilnost, zatim ponašanje u stacionarnom stanju, , p j j ,i na kraju kvalitet prelaznog režima.

1

StabilnostStabilnost

• Teorema Ljapunova o stabilnosti dinamičkih sistema

Za linearne dinamičke sistemeAl b ki k it ij i t bil ti

Алекса́ндр Миха́йлович

Ляпуно́в, 1856 1918• Algebarski kriterijumi stabilnosti

• Grafo-analitički kriterijumi stabilnosti

1856-1918

G a o a a t č te ju stab ostZa stacionarne, kontinualne, fizički ostvarive, linearne sisteme sakoncentrisanim parametrima potreban i dovoljan uslov zakoncentrisanim parametrima, potreban i dovoljan uslov zastabilnost jeste da svi koreni njegove karakteristične jednačineimaju negativne realne delove ili, što je isto, da leže u levoj

2poluravni kompleksne promenljive p. [1].

[1]. M. Stojić, Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, Naučna knjiga, Beograd

Kontinualni sistemiKontinualni sistemiSvi koreni karakteristične jednačine u levoj polovini

N pF p

Svi koreni karakteristične jednačine u levoj polovini kompleksne ravni:

1 0 1 2... ... 0

w

nn n n

F pD p

D p a p a p a a p p p p p p

1 0 1 2... ... 0Re( ) 0, 1,...,

n n n

i

p a p a p a a p p p p p pp j n

U opštem slučaju, za kompleksna rešenja, uslov je Re(pj)<0,Re(pj) 0,

U slučaju realnih rešenja karakteristične jednačine, uslov se svodi se na

pj <03

Diskretni sistemiDiskretni sistemiPotreban i dovoljan uslov za globalnu asimptotskuPotreban i dovoljan uslov za globalnu asimptotsku stabilnost linearnog digitalnog (diskretnog) sistema

( ) ( )t tAje da sve nule svojstvenog polinoma matrice A, odnosno s i koreni karakteristične jednačine

1( ) ( )k kt t x A x

odnosno svi koreni karakteristične jednačine

det( ) 0z I A

budu po modulu manji od 1 ili, što je isto, da se nalaze unutar jediničnog kruga sa centrom u koordinatnom početku z ravni [1].

4[1]. M. Stojić, Digitalni sistemi upravljanja, Nauka, Beograd

Statičke karakteristikeStatičke karakteristikePosmatrajmo sistem:

u y+ e

Posmatrajmo sistem:

u yW(p)

+_

e

1 1w

W p W pYF p p Y p U pU W p W p

1 1U W p W p

Pretpostavimo da je sistem stabilan5

Pretpostavimo da je sistem stabilan.

Greška je:1

11

E p U p Y p U pW p

0

lim lim limt t p

e e t u t y t pE p

Odnosno:

01

p

p U pe

W p

0p

Uzmimo dalje da se W(p) u opštem slučaju može predstaviti u obliku:obliku:

0

r

k P pW p

p Q p

0

00 0 1

p Q p

P Q

r - je astatizam sistema6

Astatizam sistemaAstatizam sistema

00 0 1r

k P pW p P Q

p Q p

0p Q p

ako je r = 0 (nulti astatizam),

0

lim ppW p k

0lim 0p

p W p

2

0lim 0p

p W p

ako je r = 1 (astatizam prvog reda),

li W li W k 2li 0W

k j 2 ( i d d )

0

limp

W p

0

lim vpp W p k

2

0lim 0p

p W p

ako je r = 2 (astatizam drugog reda),

0

limp

W p

0

limp

p W p

2

0lim up

p W p k

7

0p

0p 0p

Konstanta položaja Brzinska konstanta Konstanta ubrzanja

Sistem nultog astatizma- konstanta položaja

Sistem nultog astatizma

0lim pp

W p k k

Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede odskočni signal:

0uh

u

00

uu t u h t U pp

0

0

1 1

upupe

W p k

0

1 1p

W p k

ako je r = 0, kp = k greška postoji e()=u0/(1+k)

> 0 k šk t ji ( ) 0za r > 0, kp→∞ greška ne postoji e(∞)→0.8

Odziv sistema sa nultim astatizmom u vremenskom domenuu vremenskom domenu.

r > 0, kp→∞, greška ne postoji

r = 0, kp = k greška postoji

9

Sistemi sa astatizmom prvog reda

0lim vp

pW p k k

- brzinska konstanta

Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede linearna funkcija (rampa): Primer „soft start” 0( ) uu t u t U p

0u

Konstantno ubrzanje. 0 2( )u t u t U pp

0

1upe

W p k

0p

0 0vr k e Greška se povećava. v

01 /vr k k e u k

p

Greška ima konačnu vrednost.

1 0vr k e 10

Greška ne postoji.

r = 0kp = k, greška postoji

kv = 0, e(∞) → ∞v , ( )

Vremenski odziv sistema sa astatizmom nultog reda k d l d d “ ” f k ijkada se na ulaz dovede “rampa” funkcija.

11

r = 1

kp

k ≠0kv≠0kv=kv

Vremenski odziv sistema sa astatizmom prvog redakada se na ulaz dovede “rampa” funkcijakada se na ulaz dovede rampa funkcija

12

r = 2

kp

kv

Vremenski odziv sistema sa astatizmom drugog redakada se na ulaz dovede “rampa” funkcijakada se na ulaz dovede rampa funkcija

13

Sistemi sa astatizmom drugog reda 2

0lim up

p W p k k

- konstanta ubrzanja

Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede polinomijalna funkcija (na pr. kvadratna):

2 0( ) uu t u t U p

0u

0 3( )u t u t U pp

Primer: zadavanje ciljne (referentne)

02

0

1upe

W p k

j ( )pozicije kod sistema za pozicioniranje.

0p

2 0ur k e Greška se povećava. u

02 /ur k k e u k

p

Greška ima konstantnu vrednost.

2 0ur k e 14

Greška ne postoji.

r = 1kp

r=1 kv=kGreška je konstantna

1r=1ku=0

Greška se povećava

Odziv sistema kada se na ulaz dovede signal sa kvadratnom zavisnosti od vremena 15

r = 2kp

r=2 kv

r=2 ku=k

Odziv sistema kada se na ulaz dovede signal sa kvadratnom zavisnosti od vremena 16

Statička greška kod sistema sa dva ulaza

up

uuyx+

–

+F1(p) F2(p)

–

uu – Upravljački ulaz

up – Poremećaj

17

Statička greška kod sistema sa dva ulaza

0

lim limut pe u t y t p E p

E p U p Y p

1( )

u

u

E p U p Y p

X p F p U p Y p

2 ( ) pY p F p X p U p

211 u p

Fy p F U p U pF F

1 2

2

11

1 1u p

F FFE p U p U p

F F F F

181 2 1 21 1F F F F

Uprošćeni primer regulisanog pogona

*

uU p

g g g

mp

mU p u pp

p p

uu(t)*

up(t)

t

ω*

t

mm

mm

1p T

ω* ωme+–

+kmp T– +

19

Odloženo dejstvo poremećaja

*

uU p

j j

0p tmp

mU p e u pp

uu(t)*

p pp

up(t)

t

ω*

t

mm

t0

mm

1p T

ω* ωme+–

+kmp T– +

20

Uprošćeni primer regulisanog pogonaa) Proporcionalni regulator brzine, veoma brz odziv momenta,

Njutnova jednačina

g g g

Njutnova jednačina

1( )F p k 21( )F pT

2

1 2 1 2

11 1u p

FE p U p U pF F F F

2

mp T*

p

1 2 1 2

0mm 0

lim 01

p

ppe kT

* 1mmpp

mp T

0

lim1 1

m m

p

ppp p T mpe k k k

0mm 1 1

m mp T p T 21

Uprošćeni primer regulisanog pogonab) Proporcionalno-Integralni regulator brzine,

veoma brz odziv momenta Njutnova jednačina

g g g

veoma brz odziv momenta, Njutnova jednačina

11 1( ) i

p ip TF p k K KT

2

1( )F pT

1 p iip T p 2

mp T

1

mm–

Kp+ 1

mp Tω* ωme+

– +1K

+

+iK

p

22

Uprošćeni primer regulisanog pogonab) Proporcionalno-Integralni regulator brzine,

veoma brz odziv momenta Njutnova jednačina

g g g

veoma brz odziv momenta, Njutnova jednačina

11( ) ip TF p k

T

21( )F pT

1ip T 2

mp T*

p

0mm 0

lim 01 11p i

ppe p Tk

T T

* 1mmpp

0mm

i mp T p T

0

lim 01 11 11 1

m

p i i

ppp p Tpe p T p Tk k

1 1

i m i m

k kp T p T p T p T

23

Dinamičke karakteristikeDinamičke karakteristike

• Posmatramo sisteme drugog reda• Promena upravljačkog ulaza kao “stepPromena upravljačkog ulaza kao step

funkcija”D ličit l č j• Dva različita slučaja:– Sa konjugovano kompleksnim polovima.j g p p– Sa realnim polovima (koji u opštem slučaju

nisu jednaki, ali bi mogli biti).nisu jednaki, ali bi mogli biti).

24

Dominantni konjugovano-kompleksni polovi

2

( ) nF p

y(t)u(t)Y( )2 2( )

2wn n

F pp p

0( ) ( ) ( ) uh U

Fw(p)U(p) Y(p)

00( ) ( ) ( ) uu t u h t U p

p

20u 0

2 2( ) ( ) ( )2

nw

n n

uY p U p F pp p p

1( ) £ ( ) ( )U F

1

2

( ) £ ( ) ( )

11 cos 1n

w

t

y t U p F p

t

20 2

2

1 cos 11

1

n tnu e t

25 2arccos 1

Dominantni konjugovano-kompleksni poloviKorišćene oznake:

ωn – prirodna (neprigušena) učestanostζ – faktor relativnog prigušenjaζ g p g jπ – preskok [%]T – vreme smirivanjaTs vreme smirivanjaTk – vreme kašnjenja

period oscilacija – period oscilacijaTu – vreme usponaTd – dominantna vremenska konstantaTr – vreme reagovanja

26

r g j

Dominantni konjugovano-kompleksni polovi

1 4

1.6

ymax

Td Ts

1.2

1.4

Ts1

y(t)

±5%(±2%)

Ts

0.6

0.8

u(t),

0.63 u0

Td0.4

Td

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

27

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Vreme, t [s]

Dominantni konjugovano-kompleksni polovi

1 4

1.6

ymax

T10 T90

1.2

1.4

1

y(t) Tr

0.6

0.8

u(t),

Tk

0.4

0.5 u0k

0 1 2 3 4 50

0.2 Tu

0 1 2 3 4 5

Vreme, t [s] 28

Dominantni konjugovano-kompleksni polovi

1.4

1.6

ymax

t t τ

1.2

1.4

π

0 8

1

y(t)

0.6

0.8

u(t),

0.4

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0 2 4 6 8 10 12

Vreme, t [s] 29

Dominantni realni polovi (dva realna pola)

1 2

1 2 1 2

1( )1 1w

p pF pp p p p T p T p

1 2 1 2p p p p p p

00( ) ( ) ( ) uu t u h t U p 1 2

1 1T T 0( ) ( ) ( )pp

( ) ( ) ( )wY p U p F p y(t)u(t)

1 21 2p p

( ) ( ) ( )wp U p p y(t)

Fw(p)

u(t)U(p) Y(p)

1( ) £ ( ) ( )y t U p F p

2 11 20

( ) £ ( ) ( )

1

w

p t p t

y t U p F p

p pu e e

1 2

01 2 1 2

/ /1 21 t T t T

p p p p

T Tu e e

30

1 20

1 2 1 2

1u e eT T T T

Dominantni realni polovi (dva realna pola)Korišćene oznake:

Ts – vreme smirivanjaTk – vreme kašnjenjak j jTu – vreme usponaTd – dominantna vremenska konstantaTd dominantna vremenska konstanta

Ne mogu se definisati:Ne mogu se definisati:ωn – prirodna (neprigušena) učestanostζ – faktor relativnog prigušenjag g jπ – preskok [%]τ – period oscilacijaT j

31Tr – vreme reagovanja

Dominantni realni polovi (dva realna pola)

1 4

1.6 Td Ts

1.2

1.4

1

y(t)

±5%(±2%)Ts

0.6

0.8

u(t),

0.63 u0

Td

s

0.4

Td

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

32

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vreme, t [s]

Dominantni realni polovi (dva realna pola)

1.4

1.6 T10 T90

1.2

0 8

1

), y(

t)

0.6

0.8

u(t)

0 5 u0Tk

0 2

0.4

0.5 u0

T

0 1 2 3 4 50

0.2 Tu

33Vreme, t [s]

Matlab/Simulnik modelMatlab/Simulnik model

11

s +0.5s+12

Transfer FcnStep Scope

1 1

s+0.64147Transfer Fcn1

s+1.55826Transfer Fcn2

Scope11 Scope11

s +2.2s+12

Transfer Fcn3

34

2 1,558262,2 2.2 4 1 10,641472