К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1

V o v e d

Poim i defenicija

Ako dve promenlivi veli~ini se svrzani pome|u sebe taka {to na sekoja proizvolna dadena dopu{tena vrednost na edna od niv, sekoga{ da i odgovara edna

to~no opredeleno vrednost na drugata, veleme deka me|u tie dve promenlivi

veli~ini postoi funkcionalna zavisnost. Velei~inita na koja i davame proizvolna dopu{tena vrednost se vika

nezavisna promenliva veli~ina ili argument, dodeka funkcijata ja narekuvame promenliva veli~ina u od promenliva veli~ina h opredeleno so mno`estvoto D,

odgovara, se pridru`uva po nekoj zakon (pravilo) od opredelenata vrednost na

zavisnata veli~ina y od mno`estvoto M.

M se narekuva i u{te kodomen(mno`estvo na vrednosti) na funkcijata y )(xf , a D se narekuva domen(definiciona oblast) na funkcijata.

Toa simboli~no mo`e da se zapi{e y )(xf , a go ~itame y e funkcija od h.

]e navedeme nekolku primeri od funkcii. Primer 1: Izminatiot pat s za t sekundi pri ramnomerno dvi`ewe se

opredeluva spored formulata tvs kade {to so v se ozna~uva brzinata so koe se

dvi`i teloto.

Primer 2: Plo{tinata na krug se presmetuva po formulata 2rP od kade {to se zaklu~uva deka taa zavisi od promenata na radiusot na krugot.

Od razgledanive primeri 1 i 2 kako zavisno promenlivi veli~ini ili

funkcii se s i R, a kako nezavisna promenliva veli~ina ili argument se t, r.

Obi~no nezavisnata promenliva }e ja ozna~uvam so h, a zavisnata veli~ina ili funkcija so u.

So cel da ja predo~ime funkcijalnata veska me|u promenlivite h i u obi~no }e gi upotrbuvame simbolite y )(xy ili y )(xf . Zakonskata vrska pome|u

y )(xy se vika u{te i analiti~ki izraz na funkcijata. Vo funkcionalnata vrska

mo`e e da vleguvaat dve ili pove}e promenlivi. Primer 3: Ako go zememe primerot so povr{inata na triagolnikot, }e

zabele`ime deka R e zavisna od dvete promenlivi i toa: Promenlivata a (strana)

i promenlivata h (visina). Vo ovaa funkcionalna vrska vleguvaat tri promenlivi

od koi dve nezavisni promenlivi ili argumenti a i h i funkcijata R. Za R velime daka funkcija od dve promenlivi. Postojat funkcii od pove}e

promenlivi.Funkciite se zadavaat na tri na~ini i toa: so formula ili

analiti~ki, so grafik i tabelarno.

Klasifikacija na funkciite

Da se klasificiraat funkciite zna~i da se razdelat na grupi so razli~ni karakteristiki. Op{to znaeme deka site funkcii ~ii argument h na realnoto

mno`estvo )( Rx i vrednostite se realni broevi gi vikame realni funkcii. Vo

zavisnost od operaciite koi se izvr{uvaat so argumentot h ovie funkcii gi

delime na: A. Algebarski funkcii i

B.Transcedentni funkcii.

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2

Algebarski funkcii se onie pri koi so argumentot h se izveduvaat samo

algebraski operacii (~etiri osnovi t. e. mno`ewe, delewe, sobirawe, i odzemawe i operacite stepenuvawe i korenuvawe).

Vo zavisnost od ovaa, tie se delat na: a). Iracionalni funkcii

b). Racionalni funkcii

Vo zavisnost od funkcijata, ako taa e postavena kako polinom i dropka, gi delime na celi i drobno racionalni funkcii.

Transcedentnite funkcii gi vikame finkcii {to ne se algebriski t. e.o nie

{to ne mo`eme da gi pretstavime so algebraski operacii. Ovie funkcii mo`e da gi podelime na nekolku vida:

A. Eksponencijalna funkcija B. Logaritamska funkcija i

V. Trigonometriska funkcija.

Definiciona oblast na funkcijata

Mno`estvoto D na vrednostite na argumentot na koi e opredelena funkcija se vika oblast na opredelnost ili definiciona oblast (domen) na funkcija.

Definicionata oblast simboli~ki se ozna~uva so Df ili .DO

Konstantite so koi gi zamenuvame argumentite gi vikame vrednosti na argument. Vrednostite pri koi po ovaa zamenuvawe ja dobiva funkcijata gi vikame

vrednosti na funkcija. Logi~no e deka nizata vrednosti na argumentot mu pripa|aat na edno mno`estvo. Mno`estvata na takvite vrednosti ili Df mo`e da

se pretstavat so interval. Vo slu~aj funkcijata y=f(x) da e definirana vo celo mno`estvo realni

broevi, toga{ podra~jeto na definicionata oblast e opredeleno vo intervalot

, .

Nekoi svojstva na funkciite 1. Parni funkcii

Defenicija 1. Za edna funkcija )(xy veleme deka e parna ako sekoja vrednost na

argumentot h od nejzinata oblast na opredelenost e ispolneto praviloto

).()( xfxf

Op{tata karakteristika za site parni funkcii e toa {to grafikot na site

funkcii e simetri~en vo odnos na koordinatnata oska. Ovoj fakt pretstavuva olesnuvawe za crtawe na grafik na dadena parna funkcija.

Primer 4: Ispitaj ja funkcijata .323)( 246 xxxxxf

.3233)()(3)()( 246246 xxxxxxxf

Funkcijata e parna bidej}i e ispolneto ravenstvoto za parnost na funkcijata. 2. Neparna funkcija.

Definicija. 2 Funkcijata f(x) se vika neparna, ako za sekoja vrednost na h od

nejzinata oblast na opredelenost e ispolneto ravenstvoto ).()( xfxf

Ottuka mo`emw da zakuu~ime deka to~kata )(,(1 xfxM i ))(;(2 xfxM mu

pripa|aat na grafikot.

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3

3. Nitu parni nitu neparni funkcii.

Postojat funkcii za koe neva`at ravenstvata:

a) ),()( xfxf b) ),()( xfxf odnosno )( xf e razli~no od )(xf i ).(xf

Ovie funkcii se nitu parni nitu neparni funkcii. Vakvite funkcii vo najlo{ slu~aj ne se simetri~ni po ni{to.

4. Ekstremni vrednosti na funkcija

Definicija 3: Za funkcijata f(x) velime deka ima minimum na intervalot (a,b)

vo to~kata xo ako za sekoj ),( bax )()( 0 xfxf .

Za funkcijata f(x) velime deka ima maksimum na intervalot (a,b) vo to~kata xo

ako za sekoj ),( bax )()( 0 xfxf .

5. Nuli na funkcija

Definicija 4: Brojot fDx 0 za koj va`i 0)( 0 xf se vika nula na

funkcija(geometriski toa zna~i deka funkcijata ja se~e h-oskata vo to~ka so

apcisa xo)

Poim za kvadratna funkcija

График на функцијата 2)( axxf

1. Поим за квадратна функција

So formulite RаaaP што kade,)( 2 presmetuvame plo{tina na kvadrat so

strana a , so formulata 2

2) t

gs(t go presmetuvame izminatiot pat za vreme t pri

slobodno pa|awe na telo bez po~etna brzina. Vo fizikata i matematikata se

poznati u{te mnogu vakvi formuli koi pretstavuvaat primeri za kvadratna funkcija, koja se definira na sledniov na~in:

Definicija 1: Ako 0,,, aRcba , toga{ funkcijata RRf(x :) oprerdelena

so cbxaxf(x 2) ja narekuvame kvadrana funkcija.

Primer 1: a) Dadena e funkcijata

)3()2(),1(),0(,52) 2 ffffxxf(x и presmetaj .

b) Koi od funkciite se kvadratni : )1() xxf(x , 132) 12 xxf(x i 2423) xxf(x se kvadratni?

Re{enie: a) Za dadenite funkcii imame :

105332)315222)2,45112)1,55002)0 2222 f(f(f(f( i

b) Funkciite xxxxf(x 2)1() , 2423) xxf(x se kvadratni a funkcijata

132) 12 xxf(x ne e kvadratna.

Primer 2: Za koja vrednost na parametarot m fuinkcijata

5)1(2)52)2() 22 xmxf(xxxmf(x i se kvadratni?

Re{enie: Soglasno definicijata 1 funkcijata 52)2() 2 xxmf(x e

kvadratna ako i samo ako 2,02 mm t.e. , za funkcijata

5)1(2) 2 xmxf(x , ,02 a sleduva deka taa e kvadratna za sekoj realen broj.

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4

Definicionata oblast na kvadratnata funkcija e sekoj realen broj t.e

RD f .

Primer 3: Odredija kvadratnata funkcija cbxaxf(x 2) ako se znae deka

3)2(2)1(,6)1( fff i

Re{enie: Od uslovot na zada~ata go dobivame sistemot

324

2

6

cba

cba

cba

~ie re{enie e a=1,b=-2 i c=3 , pa zatoa baranata funkcija e

32) 2 xxf(x

2. График на функцијата 2)( axxf

Ako b=c=0 , toga{ cbxaxf(x 2) go dobiva vidot 2)( axxf . Ispituvaweto na

funkcijata 2)( axxf }e go zapo~neme so osnovnata kvadratna funkcija 2)( xxf ,

a potoa }e gi razgledame slu~aite a>0 i a<0.

Primer 1: Nacrtaj go grafikot na funkcijata 2)( xxf .

Re{enie: Prvo sostavuvame tablica na vrednosti na funkcijata zanekoi

vrednosti na h. Imame:

x …… -3 -2 -1 2

1

3

1 0

3

1

2

1 1 2 3 …….

x2 …… 9 4 1 4

1

9

1 0

9

1

4

1 1 4 9 …….

Dobienite to~ki gi crtame vo koordinatna ramnina hOu i gi svrzuvame so

neprekinata linija so {to go dobivame grafikot na funkcijata 2)( xxf . Grafikot

na funkcijata 2)( xxf e kriva koja se vika parabola. (crt. 1)

Od podatcite vo tabelata i od grafikot na

funkcijata 2)( xxf mo`e da se zaklu~i deka vo

to~kata h=0 ja dostignuva svojata najmala vrednost

ednakva na 0. To~kata O(0,0) ja narekuvame teme na parabolata.

Od h1<h2<0 sleduva deka 2

22121

2

1 xxxxxx i . Od

poslednite dve neravenstva sleduva deka

)()( 21

2

2

2

1 xfxfxx t.e. {to zna~i funkcijata 2)( xxf monotono opa|a na intervalot )0,( .

Od 0<h1<h2 sleduva deka 2

22121

2

1 xxxxxx i . Od

poslednite dve neravenstva sleduva deka

)()( 21

2

2

2

1 xfxfxx t.e. {to zna~i funkcijata 2)( xxf monotono raste na

intervalot ),0( .

Za grafikot funkcijata 2)( xxf va`i )()( xfxf zatoa taa e parna

funkcija (taa e simetri~na vo odnos na u-oskata).

Primer 2: Nacrtaj go grafikot na funkcijata a) 22)( xxf b) 2

2

1)( xxf

crt. 1

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 5

Re{enie: a) Prvo sostavuvame tablica na vrednosti na funkcijata zanekoi

vrednosti na h. Imame:

x …… -3 -2 -1 2

1

3

1 0

3

1 1 2 3 …….

f(x) …… 18 8 2 2

1

9

2 0

9

2

2

1 2 8 18 …….

Dobienite to~ki gi crtame vo koordinatna ramnina hOu i gi svrzuvame so neprekinata

linija so {to go dobivame grafikot na

funkcijata 22)( xxf . (crt. 2)

Od podatcite vo tabelata i od grafikot na

funkcijata mo`e da se zaklu~i deka vo to~kata h=0 ja dostignuva svojata najmala

vrednost ednakva na 0. Potoa, na intervalot

)0,( monotono opa|a, a na intervalot ),0(

monotono raste. Od prethodnata tabela , i od crt. 2 mo`e da se zabele`i deka grafikot na

funkcijata 22)( xxf mo`e da se dobie ako

vrednostite na funkcijata 2)( xxf se

pomno`at so 2. Isto taka mo`e da se zabele`i

deka parabolata 22)( xxf e potesna od

parabolata 2)( xxf i deka dvete se simetri~ni vo odnos na u-oskata. Temeto na

parabolata e to~kata O(0,0). Grafikot na funkcijata e parabola, koja e otvorena nagore.

b) Analogno, grafikot na funkcijata 2

2

1)( xxf vo to~kata h=0 ja dostignuva svojata

najmala vrednost, ednakva na 0. Potoa, na intervalot )0,( monotono opa|a, a na

intervalot ),0( monotono raste. Grafikot na funkcijata 2

2

1)( xxf mo`e da se

dobie ako vrednostite na funkcijata 2)( xxf se podelat so 2. Isto taka mo`e da se

zabele`i deka parabolata 2

2

1)( xxf e po{iroka parabolata 2)( xxf i deka dvete

se simetri~ni vo odnos na u-oskata. Temeto na

parabolata e to~kata O(0,0). Grafikot na funkcijata e parabola, koja e otvorena nagore. (crt. 3)

Od razgledanite primeri mo`e da se zaklu~i deka:

grafikot na funkcijata 0,)( 2 aaxxf e

parabola, koja e otvorena nagore i koja e simetri~na vo odnos na u-oskata

za a>1 parabolata e potesna , a za 0<a<1 e

po{iroka vo odnos na parabolata na funkcijata 2)( xxf .

vo to~kata ho=0 funkcijata 2)( xxf ja

crt. 2

cr

t.

3

crt. 3

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 6

dostignuva svojata najmala vrednost (minimum) f(xo)=0 t.e. to~kata O(0,0) e

teme na parabolata 2)( axxf

na intervalot )0,( monotono opa|a, a na intervalot ),0( monotono

raste.

Primer 3: Nacrtaj go grafikot na funkcijata 2)( xxf .

Re{enie: Prvo sostavuvame tablica na vrednosti na funkcijata zanekoi

vrednosti na h. Imame:

x …… -3 -2 -1 2

1

3

1 0

3

1

2

1 1 2 3 …….

f(x) …… -9 -4 -1 -4

1 -

9

1 0 -

9

1 -

4

1 -1 -4 -9 …….

Dobienite to~ki gi crtame vo koordinatna ramnina hOu i gi svrzuvame so

neprekinata linija so {to go dobivame grafikot na funkcijata 2)( xxf .

(crt. 4) Od podatcite vo tabelata i od

grafikot na funkcijata 2)( xxf mo`e

da se zaklu~i deka vo to~kata h=0 ja dostignuva svojata najgolema vrednost

ednakva na 0. Od h1<h2<0 sleduva deka 2

22121

2

1 xxxxxx - i . Od poslednite

dve neravenstva sleduva deka

)()( 21

2

2

2

1 xfxfxx t.e. {to zna~i

funkcijata 2)( xxf monotono raste na

intervalot )0,( .

Od 0<h1<h2 sleduva deka21

2

1 xxx 2

221 xxx - i . Od poslednite dve

neravenstva sleduva deka

)()( 21

2

2

2

1 xfxfxx t.e. {to zna~i

funkcijata 2)( xxf monotono opa|a na intervalot ),0( .

Za grafikot funkcijata 2)( xxf va`i )()( xfxf zatoa taa e parna

funkcija (taa e simetri~na vo odnos na u-oskata).

Primer 4: Nacrtaj go grafikot na funkcijata a) 22)( xxf b) 2

2

1)( xxf

Re{enie: a) Prvo sostavuvame tablica na vrednosti na funkcijata zanekoi

vrednosti na h. Imame:

x …… -3 -2 -1 2

1

3

1 0

3

1 1 2 3 …….

f(x) …… -18 -8 -2 -2

1 -

9

2 0 -

9

2 -

2

1 -2 -8 -18 …….

Dobienite to~ki gi crtame vo koordinatna ramnina hOu i gi svrzuvame so

neprekinata linija so {to go dobivame grafikot na funkcijata 22)( xxf . (crt. 5)

crt. 4

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 7

Od podatcite vo tabelata i od grafikot na

funkcijata mo`e da se zaklu~i deka vo to~kata h=0 ja dostignuva svojata najgolema

vrednost ednakva na 0. Potoa, na intervalot

)0,( monotono raste, a na intervalot ),0(

monotono opa|a. Od prethodnata tabela , i od crt. 5 mo`e da se zabele`i deka grafikot na

funkcijata 22)( xxf mo`e da se dobie ako

vrednostite na funkcijata 2)( xxf se

pomno`at so 2. Isto taka mo`e da se zabele`i

deka parabolata 22)( xxf e potesna od

parabolata 2)( xxf i deka dvete se simetri~ni vo odnos na u-oskata. Temeto na

parabolata e to~kata O(0,0). Grafikot na funkcijata e parabola, koja e otvorena

nadolu.

b) Analogno, grafikot na funkcijata 2

2

1)( xxf vo to~kata h=0 ja

dostignuva svojata najgolema vrednost, ednakva na 0. Potoa, na intervalot )0,(

monotono raste, a na intervalot ),0( monotono opa|a. Grafikot na funkcijata

2

2

1)( xxf mo`e da se dobie ako vrednostite na funkcijata 2)( xxf se podelat

so 2. Isto taka mo`e da se zabele`i deka parabolata 2

2

1)( xxf e po{iroka

parabolata 2)( xxf i deka dvete se simetri~ni vo odnos na u-oskata. Temeto na

parabolata e to~kata O(0,0). Grafikot na funkcijata e parabola, koja e otvorena

nadolu. (crt. 6)

Od razgledanite primeri mo`e da se zaklu~i

deka:

grafikot na funkcijata

0,)( 2 aaxxf e parabola, koja e

otvorena nadolu i koja e simetri~na vo odnos na u-oskata

za a<-1 parabolata e potesna , a za -

1<a<0 e po{iroka vo odnos na parabolata

na funkcijata 2)( xxf .

vo to~kata ho=0 funkcijata 2)( xxf ja dostignuva svojata najgolema

vrednost (maksimum) f(xo)=0 t.e. to~kata

O(0,0) e teme na parabolata 2)( axxf

na intervalot )0,( monotono raste, a na intervalot ),0( monotono

opa|a.

3.Grafik na funkcijata caxxf 2)( i 2

0 )()( xxaxf

Sega }e konstruirame graficite funkciite caxxf 2)( i 2

0 )()( xxaxf koi

ednostavno se konstruiraat so pomo{ na funkcijata 2)( axxf .

Prvo da vidime kako se konstruira grafikot na funkcijata caxxf 2)(

crt. 6

crt. 5

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 8

Primer 1: Vo ist koordinaten sistem nacrtaj gi graficite na funkciite:

a) 2

4

1)( xxf b) 2

4

1)( 2 xxf ,v) 2

4

1)( 2 xxf

Re{enie: a) Prvo sostavuvame tablica na vrednosti na daenite funkciii za

nekoi vrednosti na h. Imame:

x 0 1 2 3 4 …….

2

4

1)( xxf 0

4

1 1

4

9 4 …….

24

1)( 2 xxf 2

4

9 3

4

17 6 …….

24

1)( 2 xxf -2

4

7 -1

4

1 2 …….

Dobienite to~ki gi crtame vo koordinatna ramnina hOu i gi svrzuvame so

neprekinata linija so {to go dobivame grafikot na funkciite 22)( xxf . (crt. 7)

Od formulata za na razgleduvanite funkcii zabele`uvame deka oddelenite

vrednosti na funkcijata 24

1)( 2 xxf ,

odnosno na funkcijata 24

1)( 2 xxf gi

dobivame taka {to na soodvetnite vrednosti

na funkcijata 2

4

1)( xxf im go dodavame brojot

2, odnosno brojot -2, t. e. odzemame 2. Ottuka sleduva deka parabolata

24

1,2

4

1 22 xyxy odnosno ja dobivame so

translacija na parabolata 2

4

1xy za vektor OT koj e so dol`ina 2 i e vo nasoka na

y- oskata, odnosno za vektorot 1OT koj e so dol`ina 2 i vo sprotivnata nasoka od nasokata y- oskata.

Ponatamu, zabele`uvame deka deka site tri funkcii se parni, opa|aat na

intervalot )0,( i rastat na intervalot ),0( ,Temeto na parabolata 2

4

1xy e

to~kata O(0,0), a dodeka na parabolite 24

1)( 2 xxf i 2

4

1)( 2 xxf se to~kite

ovie i soodvetno i ),2,0()2,0( 1 TT to~ki se to~ki na minimum za razgledanite

funkcii.

Od crt.7 mo`eme da zabele`ime deka graficite na site tri funkcii se otvoreni nagore.

Funkcijata 2

4

1xy ima nula vo to~kata .00 x Pomatamu, ravenkata 02

4

1 2 x

nema realni re{enija, pa zatoa funkcijata 24

1)( 2 xxf nema nuli. Me|u toa

crt.7

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9

ravenkata 024

1)( 2 xxf ima re{enie i nejzini koreni se 222\1 x i toa se

nuli na funkcijata .24

1)( 2 xxf Grafikot na ovaa funkcija, t. e. parabolata

24

1)( 2 xxf ja se~e h- oskata vo to~kite )0,22( i )0,22(

Primer 2: Na crt. 8 se nacrtani graficite na funkciite 2

4

3)( xxf ,

2

4

3)( xxf +3 i 2

4

3)( xxf -2.

x 0 1 2 3 4 …….

2

4

3x 0

4

1 -3

4

27 -12 …….

34

3 2 x 3 4

9 0

4

15 -9 …….

24

3 2 x -2 4

11 -5

4

35 -14 …….

Pritoa e koristena slednata tablica za

vrednostite na funkciiite vo odelni to~ki.

Od formulite na razgleduvanite funkcii

zabele`uvme deka oddelnite vrednosti na

funkcijata ,34

3)( 2 xxf odnosno na

funkcijata ,24

3)( 2 xxf gi dobivame

taka {to na soodvetnite vrednosti na

funkcijata 2

4

3)( xxf im go dodavame

brojot 3, odnosno brojot -2, t. e. odzemame 2. Ottuka sleduva deka parabolata

,34

3 2 xy odnosno 24

3 2 xy ja dobivasme so translacija na parabolata

2

4

3xy za 3 i e vo nasoka na y-oskata, odnosno za vektor 2 vo sprotivna nasoka

od nasokata na y-oskata.

Ponatamu, zabele`uvame deka site tri funkcii se parni, rastat na intervalot

)0,( i opa|aat na intervalot ),0( Temeto na parabolata 2

4

3xy e to~kata

O (0,0), a dodeka na parabolite ,34

3 2 xy i 24

3 2 xy se to~kite (0,3) i

(0,-2), soodvetno i ovie to~ki se to~ki na maksimum za razgleduvanite funkcii.

Od crt.8 mo`eme da zabele`ime graficite na site tri funkcii se otvoreni

nadolu. Funkcijata 2

4

3)( xxf ima nula vo to~kata ,00 x funkcijata

crt. 8

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 10

,34

3 2 xy vo to~kite (-2,0) i (2,0), a dodeka funkcijata nema nuli , bidej}i ne

ja se~e h-oskata.

Od dosega iznesenoto za grafikot na funkcijata od vidot caxxf 2)( mo`eme

da zaklu~ime:

- grfikot na funkcijata caxxf 2)( e parabolta caxy 2 i se dobiva so

translacija na parabolata 2axy za c vo nasoka na y-oskata ako s>0, a vo

sprotivna nasoka od nasokata na y-oskata ako s<0,

-parabolata caxy 2 e simetri~na vo odnos na y-oskata, a nejzinoto teme e

T(0,s),

-ako a>0, toga{ parabolata e otvorena nagore, funkcijata f opa|a na intervalot

)0,( , raste na intervalot ),0( i za ,00 x ima minimum koj iznesuva f(0)=c ,

-ako a<0, toga{ parabolata e otvorena nadolu funkcijata f расте na intervalot

)0,( , opa|a na intervalot ),0( i za ,00 x ima mаксиум koj iznesuva f(0)=c и

-ако коефициентите а и с се со исти знаци, тогаш функцијата f нема нули, а ако се со спротивни знаци таа има две нули кои се решение на квадратната равенка

.02 cax

4. Grafik na funkcijata 2

0 )()( xxaxf

Во овој дел ќе покажеме како графикот на функцијата 2

0 )()( xxaxf се добива

со транслација по х-оската од графикот на функцијата .)( 2axxf За таа цел прво ќе

разгледаме еден пример.

Пример1: Нацартај го графикот на функцијата

а) ,)1()( 2 xxf б) 2)2()( xxf и в) .)1(2)( 2 xxf

Решение: а) Ја формираме следната таблица за вредностите на функцијата за некои

вредности на аргументот х:

х … -2 -1 0 1 2 3 4 … 2)1( x … 9 4 1 0 1 4 9 …

х 2 … 4 1 0 1 4 9 16 …

Ако ги нанесеме точките во координатен

систем и ги поврземе со непрекината линија ќе

забележиме дека граfикот на функцијата

,)1()( 2 xxf е парабола отворена нагоре, која се

добива од графикот на функцијата 2)( xxf ,

ако параболата 2xy ја транслатираме за еден во

насока на х-оската (црт. 9).Темето на параболата 2)1( xy е точката (1,0), а правата х=1 е нејзина

оска на симетрија. Понатаму, на интервалот

)1,( функцијата монотоно опаѓа, а на

интервалот ),1( таа монотоно расте и во

точката 10 x има минимум .0)1( f

б) Ја составуваме таблицата:

х … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …

cрт. 9

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 11

2)2( x … 4 1 0 1 4 9 16 …

х 2 … 16 9 4 1 0 1 4 …

Како и во задачата под а) заклучуваме дека

графикот на функцијата 2)2()( xxf е

парабола отворена нагоре, која се добива од

графикот на функцијата 2)( xxf , ако параболата 2xy ја транслатираме за 2 спротивно од насоката

на х-оската (црт. 10). Темето на параболата 2)2( xy е точката (-2,0), а правата х= -2 е

нејзина оска на симетрија. Понатаму, на интервалот

)2,( функцијата монотоно опаѓа, а на

интервалот ),2( таа монотоно расте и во

точката 20 x има минимум .0)2( f

в) За да го нацртаме графикот на функцијата

.)1(2)( 2 xxf доволно е да го нацртаме графикот

на функцијата 22)( xxf и истиот да го

трансластираме за еден спротивно од насоката на х-

оската (црт. 11).

Значи, графикот е парабола отворена надолу и

со теме во точката (-1,0). Правата х= -1е нејзина

оска на симетрија. Понатаму, на интервалот

)1,( функцијата монотоно расте, а на

интервалот ),1( таа монотоно опаѓа и во точката

10 x има максимум .0)1( f Од досега изнесеното за графикот на функцијата од

видот 2

0 )()( xxaxf можеме да заклучиме:

-графикот на функцијата 2

0 )()( xxaxf е параболата 2

0 )( xxay и се добива

со транслација на параболата 2axy за 0x во насока на х-оската ако 0x >0, а во

спротивна насока од насоката на х-оската ако 0x < 0,

-параболата 2

0 )( xxay е симетрична во однос на правата ,0xx а нејзиното

теме

е ),0,( 0xT

-ако а>0, тогаш параболата е отворена нагоре, функцијата f и опаѓа на

интервалот, ),,( 0x расте на интервалот ),( 0 x и во 0x има минимум која изнесува

0)( 0 xf и

-ако а< 0, тогаш параболата е отворена нодолу, функцијата f расте на интервалот

),,( 0x опаѓа на интервалот ),( 0 x и за 0x има максимум кој изнесува 0)( 0 xf .

5.Grafik na funkcijata cbxaxxf 2)(

Vo predhodnite razgleduvawa nau~ivme da gi konstruirame graficite na

funkciite od vidovite 2)( axxf , caxxf 2)( i .)()( 2

0xxaxf Vo ovoj del }e se

osvrneme na konstrukcijata na grafikot na funkcijata cbxaxxf 2)( . Za taa cel

crt. 10

crt. 11

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 12

prvo }e razgledame kako se konstruira grafikot na funkcija od vidot

.)()( 0

2

0 yxxaxf

Ako funkcijata .)()( 0

2

0 yxxaxf ja sporedime so funkcijata 2

0 )()( xxaxg

zabele`uvame deka tie se razlikuvaat za konstanta 0y . Toa, pak, zna~i deka grafikot

na funkcijata f }e go dobieme od grafikot na funkcijata g so translacija po y-

oskata za 0y edinici i toa vo nasoka na y-oskata ako

0y >0 i vo nasoka sprotivna od

nasokata na y-oskata ako 0y <0. Da razgledame dva primeri.

Primer 1: Nacartaj go grafikot na funkcijata .2)1(3)( 2 xxf

Re{enie: Prvo go crtame grafikot na funkcijata .3)( 2

0 xxf So translacija za 1

vo nasoka na h-oskata go dbivame grafikot na funkcijata 2

1 )1(3)( xxf (crt. 12).

Sega so u{te edna translacija za 2 vo nasoka na y-oskata, no na grafikot na

funkcijata 1f go dobivame grafikot na funkcijata f . Zna~i, grafikot na

funkcijata f go dobivame od parabolata ,3 2xy so dve nejzini translacii: vo nasoka

na h-oskata za 1 i vo nasoka na y-oskata za 2.

Temeto na parabolata 2)1(3 2 xy e vo to~kata (1,2), a pravata h=1 e nejzina

oska na simetrija . Funkcijata ima minimum za h=1 i toj e .2)1( f Primer 2: Nacartaj go grafikot na

funkcijata .2)12()( 2 xxf

Re{enie: Prvo dadenata vikcija }e ja

zapi{eme vo vidot .)()( 0

2

0 yxxaxf Imame

.2)2

1(42)

2

1(22)12()( 2

2

2

xxxxf

Sega analogno kako vo primerot 14 grafikot na

funkcijata go dobivame so translacija na

parabolata 4 2xy za 2

1vo nasoka sprotivna od

nasokata na h-oskata, a potoa so translacija za 2 vo nasoka sprotivna od nasokata na y-

oskata. Temeto na parabolata 2)2

1(4 2 xy e vo to~kata ),2,

2

1( a pravata

2

1x e nejzina oska na simetrija (crt.13)

Funkcijata ima nuli 2

212/1

x i toa se

korenite na ravenkata

.02)12( 2 x Funkcijata ima minimum za

2

1x i toj e .2)

2

1( f

Od dosega iznesenoto za grafikot na

funkcijata od vidot .)()( 0

2

0 yxxaxf

Mo`eme da zaklu~ime:

-grafik na funkcijata .)()( 0

2

0 yxxaxf e

parabolata 0

2

0 )( yxxay i toj se dobiva,

prvo so transilacija na parabolata 2axy

crt. 12

crt. 13

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 13

za 0x vo nasoka na h-oskata ako

0x >0, a vo sprotivna nasoka od nasokata na h-oskata

ako 0x <0, a potoa dobienata parabola 2

0 )( xxay se translatira za 0y vo

nasokata na y-oskata ako 0y >0, a vo sprotivna nasoka od nasokata na y-oskata ako

0y <0,

-parabolata 0

2

0 )( yxxay e simetri~na vo odnos na pravata ,0xx a nejzinoto

teme e ),,( 00 yxT

-ako a>0, toga{ parabolata e otvorena nagore, funkcijata f opa|a na intervalot

),,( 0x raste na intervalot ),,( 0 x i vo 0x ima minimum koj iznesuva ,)( 00 yxf

-ako a<0, toga{ parabolata e otvorena nadolu, , funkcijata f raste na intervalot

),,( 0x opa|a na intervalot ),,( 0 x i za 0x ima maksimum koj iznesuva

,)( 00 yxf i

-ako a i 0y se so isti znaci, toga{ funkcijata nema nuli,

- ako a i 0y se so sprotivni znaci, toga{ taa ima nuli 1x i

2x I toa se korenit na

ravenkata ,0)( 2

0 xxa {to zna~i deka parabolata 0

2

0 )( yxxay ja se~e h-

oskata vo to~kite )0,( 1x i ).0,( 2x Predhodnite razgleduvawa ni ovozmo`uvaat da go

nacrtame grafikot na kvadratnata funkcija cbxaxxf 2)( . ]e razgledame dva primera.

Primer 2: Nacartaj go grafikot na

funkcijata .163)( 2 xxxf Re{enie: So dopolnuvawe do poln

kvadrat imame:

1)2(3163)( 22 xxxxxf

2)1(313)1(31)112(3 222 xxxx

t. e. 2)1(3)( 2 xxf .

Spored toa, grafikot na funkcijata f se

dobiva od parabolata 23xy so translacija

vo nasoka na h-oskata za 1 i vo nasoka

sprotivna od nasokata na y-oskata za 2.

Parabolata 163 2 xxy e otvorena nagore, nejzino teme e to~kata (1,2), taa e

simetri~na vo odnos na pravata h=1 i f ima minimum za h=1 itoa f(1)=-2. Bidej}i vo

funkcijata koeficientite 3 i -2 se so sprotiven znak funkcijata f ima nuli i toa

se korenite na ravenkata .02)1(3 2 x Spored toa, nuli na funkcijata se

,3

632/1

x {to zna~i deka grafikot na funkcijata f ja se~e h-oskata vo to~kite

)0,3

63(

i )0,3

63(

(crt. 14).

Primer 3: Nacartaj go grafikot na funkcijata .542

1)( 2 xxxf

Re{enie: So dopolnuvawe do poln kvadrat imame:

3)4(2

13)168(

2

15)8(

2

154

2

1)( 2222 xxxxxxxxf t. e.

3)4(2

1)( 2 xxf

crt. 14

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 14

Spored toa, grafikot na funkcijata f se dobiva od parabolata 2

2

1xy so

translacija vo nasoka na h-oskata za 4 i vo nasoka na y-oskata za 3. Parabolata

542

1 2 xxy e otvoreno nadolu, nejzino teme e to~kata (4,3), taa e simetri~na

vo odnos na pravata h=4 i f ima minimum za h=4 i

toa f(4)=3. Bidej}i vo funkcijata koeficientite

2

1 i 3 se so sprotiven znak funkcijata f ima

nuli i toa se korenite na ravenkata

.03)4(2

1 2 x Spored toa, nuli na funkcijata

se ,642/1 x {to zna~i deka grafikot na

funkcijata f ja se~e h-oskata vo to~kite )0,64(

i )0,64( (crt. 15).

Da se vratime na op{tiot slu~aj. ]e go koristime spomenatiot metod na dopolnuvawe do poln kvadrat. Pri izu~uvaweto na kvadratnata ravenka vidovme

deka

.4

4)

2(

4

4)

2()()(

22

2

2222

a

bac

a

bxa

a

acb

a

bxa

a

cx

a

bxacbxaxxf

Ako poslednoto ravenstvo go sporedime so ravenstvoto 0

2

0 )()( yxxaxf od

prethodnite razgleduvawa zaklu~uvame deka:

-grafikot na kvadratnata funkcija e parabola koja se dobiva so translacija

na parbolata ,2axy

-teme na parabolata e to~kata ),4

4,

2(

2

a

bac

a

bT

-oska na simetrija e pravata a

bx

2 i

-parabolata cbxaxy 2 e otvorena nagore ako a>0, odnosno nadolu ako a<0.

SVOJSTVO NA KVADRATNATA FUNKCIJA cbxaxxf 2)(

Vo predhodnite razgleduvawa so pomo{ na frafikot na osnovnata kvadratna

funkcija 2)( xxf go konstruiravme grafikot na funkcijata od vidot 2)( axxf , a

potoa na translacija i elementarni algebarski transformaciki go

konstruiravme grafikot na kvadranata funkcija cbxaxxf 2)( .

Vo ovaa to~ka da se navratime na svojstvoto na kvadratnata funkcija i istite }e gi izvedeme na na~in na koj ~esto se prou~uvaat i drugite funkciite. Pritoa

crt. 15

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 15

}e poka`ime kako grafikot na kvadratnata funkcija mo`e da se nacrta so pomo{ na nejzinite karakteristi~ni to~ki.

A) EKSTREM, OSKA NA SIMETRIJA I MNO@ESTVO VREDNOSTI NA KVADRATNATA FUNKCIJA

Da ja razgledame kvadratnata funkcija cbxaxxf 2)( .Vo prethodnata to~ka

poka`avme deka istata mo`e da se zapi{e vo vidot ,4

4)

2()(

22

a

bac

a

bxaxf

koj go

narekuvame kanoni~en vid na kvadratnata funkcija cbxaxxf 2)( .

Vo razgledanite primeri vidovme deka nekoi kvadratni funkcii imaat

najmala vrednost (minimum), a nekoi imaat najgolema vrednost (maksimum). Minimum i maksimum na edna funkcija so zaedni~ko ime }e gi narekuvame ekstremi ili

ekstremni vrednosti na funkcijata.

Во врска со екстремните вредности на квадратната функција

cbxaxxf 2)( ќе ја докажеме следната теорема.

Теорема: Нека е дадена квадратната функција cbxaxxf 2)( .

а) Ако ,0a тогаш f во точкатаa

bx

20 има минимум .

4

4)(

2

0a

bacxf

б) Ако ,0a тогаш f во точкатаa

bx

20 има минимум .

4

4)(

2

0a

bacxf

Доказ: a) Neka a>0. Bidej}и kvadrat na realen broj e negativen realen broj i

znakot na neravenstvoto ne se menuva ako go pomno`ime so pozitiven broj ili ako

dvete strani dodademe proizvolen realen broj posledovatelno dobivame:

,0)2

( 2 a

bx за секој Rx ;

,0)2

( 2 a

bxa за секој Rx и

,4

4

4

4)

2(

222

a

bac

a

bac

a

bxa

за секој Rx .

Понатаму, ако се искористи канони~niot вид на квадратната равенка

добиваме дека ,4

4

2

2

a

bac

a

bf

па од последнот неравенство следува ),(

2xf

a

bf

за секој Rx , што значи функцијата f во точката a

bx

20 има минимум еднакво на

.4

4 2

a

bac

Тврдењето под б) се докажува аналогно. Обиди се самостојно да го докажеш,

користејќи го знакот на неравенството се менува, ако тоа се помножи со негативен

број.

Пример 1: Најди ги екстремните вредности на квадратната функција:

а) 542

1)( 2 xxxf и б) .2

2

3)( 2 xxxf

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 16

Решение: а) Бидејќи 02

1a од теорема (1) следува дека за 4

20

a

bx

функцијата има минимум .82

16

2

14

4)5(2

24

)4()(

21

0

fxf

б) Бидејќи 02

3a од теорема (1) следува дека за 4

20

a

bx функцијата

има минимум .6

11

)2

3(4

4)5()2

3(4

)3

1()(

2

0

fxf

Пример 2: Од парче лим кој има форма на остроаголен триаголник АВС (црт

16), треба да се исече правоаголник така, што едната страна да лежи на страната АВ

на триаголникот и да има најголема можна површина. Најди ги должините на страните на

триаголникот.

Решение: Нека DEFG е правоаголник

впишан во триаголникот АВС така што една

негова страна лежи на страната АВ и нека

должините на неговите страни се х и y .

Бидејќи GFCABC ~ имаме ),(:: yhxhc а

отука следува .hxc

hy Sега плоштината на

правоаголникот е xyP и ако заменеме за y добиваме ,)( 2 hxc

hxP и тоа е

квадратната функција по х. Од ,0c

h според теорема (1), следува дека ова функција

за 22

c

a

hx има максимум .

4)(4

)2

(2 hc

c

h

hcP

Втората страна на правоаголникот

има должина .22

hh

c

c

hy

Во предходните разгледувања видовме дека графикот на квадратната функција

е парабола и истата има оска на симетрија. Во следната теорема ќе го докажеме оваа

тврдење, без притоа да ја користеме транслацијата.

Теорема 2: Правата a

bx

2 е оска на симетрија на графикот на квадратната

функција cbxaxxf 2)( .

Доказ:Доволно е да докажеме дека за секој Rt е исполнето равенството

)2

()2

( ta

bft

a

bf .

Ако го искористеме каночниот вид на квадратната функција добиваме

),2

(4

4)

22(

4

4

4

4)

22()

2(

22

22

22 t

a

bf

a

bac

a

bt

a

ba

a

bacat

a

bac

a

bt

a

bat

a

bf

што и требаше да се докаже.

A D E B

C

GF

h

x

y

c

crt.16

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 17

Пример 3: Најди ја оската на симетрија на фрагикот на квадратната функција:

а) 542

1)( 2 xxxf i b) .2

2

3)( 2 xxxf

Re{enie: a) Koeficientite na funkcijata se 4,2

1 ba i ,5c pa od

teorema (2) sleduva deka oskata na simetrijata na nejziniot grafik e pravata

.42

)( a

bxf

b) Analogno kako vo zada~ata pod a) nao|ame deka oskata na simetrijata e

pravata .3

1

2

a

bx

Teorema 3: Za kvadratnata funkcija cbxaxxf 2)( mno`estvo vrednosti e:

a) ,,4

4)(

2

a

bacDfV f ako a>0.

b)

a

bacDfV f

4

4,)(

2

ako a0.

Пример 4: Определи го множеството вредности на функцијата:

а) 52)( 2 xxxf и б) .34)( 2 xxxf

Решение: а) Бидејќи ,01a од теорема (1) следува за 12

0 a

bx

функцијата има минимум .44

4 2

0

a

bacy Сега, од теорема (3) под б) следува дека

множеството вредности на функција е .,4 fV

б) Бидејќи 01a и ,14

1612

4

4 2

a

bac од теорема (3) под б) следува дека

множеството вредности на функцијата е .1,fV

Б) РАСТЕЊЕ И ОПАЃАЊЕ, НУЛИ И ЗНАК НА КВАДРАТНА

ФУНКЦИЈА

Во теорема (1) докажавме:

-ако ,0a тогаш квадратната функција cbxaxxf 2)( има минимум кој се

достигнува во точката a

bx

20 и

- ако ,0a тогаш квадратната функција cbxaxxf 2)( има макцимум кој се

достигнува во точката a

bx

20 .

Логично е да се запрашаме како функцијата се однесува за вредности на

аргумент помали, односно поголеми од a

bx

20 . Во следната теорема ќе докажеме

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 18

дека интервалот )2

,(a

b и ),

2(

a

b квадратната функција cbxaxxf 2)( расте

или опаѓа, во зависност од знакот на коефициентот а. За таа цел прво попрецизно ќе

кажеме што значи функцијата монотоно да расте, односно монотоно да опаѓа.

Дефениција 4: Нека .: RRf За функцијата f ќе велеме дека:

а) монотоно расте во интервалот (а, b ) ако од 1x 2x следува ),()( 21 xfxf за

секои ),(, 21 baxx и

б) монотоно опаѓа во интервалот (а, b ) ако од 1x

2x следува ),()( 21 xfxf за

секои ),(, 21 baxx .

Како што знаеме, линеарната функција baxxf )( монотоно расте на велиот

интервалот ако ,0a а опѓа на овој интервал ако .0a

Теорема 4: а) Ако ,0a тогаш квадратната функција cbxaxxf 2)( е

монотоно опаѓа на интервалот )2

,(a

b и монотоно расте на интервалот ).,

2(

a

b

б) Ако ,0a тогаш квадратната функција cbxaxxf 2)( е монотоно расте на

интервалот )2

,(a

b и монотоно опаѓа на интервалот ).,

2(

a

b

Пример 5:Определи ги интервалите на монотоност на функцијата:

а) 587)( 2 xxxf б) .342)( 2 xxxf

Re{enie: a) Bidej}i 07 a i ,7

4

72

8

2

a

b od teoremata (4) pod a)

sleduva deka intervalot )7

4,( funkcijata monotono opa|a, a na intervalot ),

7

4(

taa monotono raste.

b) Bidej}i 02 a i ,1)2(2

4

2

a

b od teoremata (4) pod a) sleduva deka

intervalot )1,( funkcijata monotono raste, a na intervalot ),1( taa monotono

opa|a.

Vo definicijata 2 nulite na funkcijata f gi definiravme kako realni re{enija na ravenkata .0)( xf Spored toa, nuli na kvadratnata funkcija

cbxaxxf 2)( se realni koreni na kvadratnata ravenka

.02 cbxax So D povtorno ja ozna~uvame diskriminantata na ravenkata . Imame:

-ako ,0D toga{ korenite na ravenkata se kowugira kompleksi broevi, {to

zna~i grafikot na funkcijata nema zaedni~ki to~ki so h-oskata,

- ako ,0D toga{ ravenkata ima realni i ednakvi koreni, t. e. ,21 xx {to

zna~i grafikot na funkcijata ja dopira h-oskata i

- ako ,0D toga{ ravenkata ima realni i razli~ni koreni 1x i 2x , {to zna~i

grafikot na funkcijata ja se~e vo dve to~ki so h-oskata. Primer 6: Opredeli gi nulite na funkcijata:

a) 587)( 2 xxxf , b) 342)( 2 xxxf i v) .4

63637)( 2 xxxf

Re{enie: a) Bidej}i 014064 D funkcijata nema nuli.

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 19

b) 02416 D sleduva deka funkcijata ima dve nuli i toa

.2

101

4

1024

4

4042/1

x

v) Od 0763632 D sleduva deka funkcijata ima dve nuli i toa

.2

269

14

24263

14

7636363 2

2/1

x

Primer 7: Neka e dadena familijata kvadratni funkcii

.0\ ,22)( 2 Rfkxkxxf Doka`i deka sekoja od ovie funkcii ima realni

nuli.

Re{enie: Za diskriminantata D na sekoja funkcija od familijata imame

,0)22(484)2(4)2( 222 kkkkxD {to zna~i deka nejzinite nuli se

realni. Jasno, za 1k nulite se realni i ednakvi, a za 1k tie se realni i razli~ni.

Da se potsetime, pri prou~uvawe na kvadratnite ravenki go razgleduvame

pra{aweto na znakot na kvadratniot trinom cbxax 2 . Pritoa poka`avme deka:

1. Ako ,0D t. e. trinomot nema realni koreni, toga{

a) za ,0a va`i R(h)>0, za sekoj Rx i

b) za ,0a va`i R(h)<0, za sekoj Rx .

2. Ako ,0D trinomot ima dvoen koren ,21 xx toga{

a) za ,0a va`i R(h)>0, za sekoj 1\ xRx i

b) za ,0a va`i R(h)<0, za sekoj 1\ xRx .

3. Ako ,0D t. e. trinomot ima dva realni i razli~ni koreni 1x i

,2x ,21 xx koi go razbivaat mno`estvoto na realni brojevi na tri disjuktni

intervali: 211 ,),,( xxx i ),,( 2 x toga{

a) za ,0a va`i R(h)>0, za sekoj ,0)(),,( 1 xPxx za sekoj 21, xxx i

,0)( xP za sekoj ).,( 2 xx

b) za ,0a va`i R(h)<0, za sekoj ,0)(),,( 1 xPxx za sekoj 21, xxx i

,0)( xP za sekoj ).,( 2 xx

Bidej}i pra{aweto na kvadratnata trinom cbxax 2 e ekvivalentno na

pra{aweto za znakot na kvadratnata funkcija cbxaxxf 2)( , tvrdewata 1, 2, i 3

va`i za znakot na kvadratnata funkcija i istite se ilustracii na crte` 17,18,19

crt. 17 crt. 18 crt. 19

Primer 8: Opredeli go znakot na funkcijata:

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 20

a) 587)( 2 xxxf , b) 342)( 2 xxxf i v) .4

63217)( 2 xxxf

Re{enie: a) od 014064 D i 07 a sleduva ,0)( xf za sekoj Rx .

b) Od 02416 D sleduva deka funkcijata ima dve nuli i

toa .2

101

4

1024

4

4042/1

x

Ponatamu, ,02 a pa zatoa:

- ,0)( xf za sekoj ),2

101,( x - ,0)( xf za sekoj )

2

121,

2

101( x i

- ,0)( xf za sekoj ).,2

101( x

v) Od 0763212 D i 07 a sleduva deka ,0)( xf za sekoj .3

2\

Rx

Primer 9: Za koja vrednost na h dropkata 22

12 xx

ima najgolema vrednost.

Re{enie: Broitelot na dropkata e pozitivna konstanta, a imenitelot e

kvadratna funkcija so 01a i ,04214)2( 2 D t. e. koga kvadratnata

funkcija 22)( 2 xxxf dostignuva maksimum, a toa e za h=1 i pritoa vrednosta na

dropkata 1.

Na krajot od ovoj del da doka`eme kako so pomo{ na svojstvata na kvadratnata funkcija mo`e da se konstruira grafikot na kvadratnata funkcija.

Peimer 10: Konstruiraj go grafikot na

funkcijata .642

1)( 2 xxxf

Re{enie: Za dadenata funkcija imame

4,2

1 ba i s=6.

a) a)Oskata na simetrijata na grafikot na

funkcijata (parabolata) e pravata .42

a

bx

b) Bidej}i ,0a funkcijata ima minumum

42

0 a

bx i toa ,2

4

4)(

2

0

a

bacxf pa zatoa temeto

na parabolata )2,4(' O и parabolata e otvorena nagore.

v) Od 442 acbD sleduva deka funkcijata ima dve nuli i toa ,1

242/1

x

{to zna~i parabolata ja se~e h-oskata vo to~kite R(2,0) i ).0,6('P

g) Za х=0 добиваме дека y =6, што зна~и дека параболта ја сече y -оската во

то~ката Q(0,6) а исто така и то~ката R(8,6) е то~ка од параболата . д) Функцијата монотоно опаѓа на интервалот )2,( и ),,6( а 0)( xf на

интервалот ),,4( потоа 0)( xf на интервалите )2,( и ),,6( а 0)( xf на

интервалот ).6,2(

Сега, во координатниот систем ги нанесуваме најдените елементи и го

конструираме графикот на функцијата, водејќи сметка за D)(crt.20)

crt. 20

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 21

КВАДРАТНИ НЕРАВЕНКИ

Дефениција: Неравенката од видот 02 cbxax или ,02 cbxax односно

02 cbxax или 02 cbxax каде што 0,,, aRcba ја нарекуваме квадратна

неравенка со една непозната.

Забелешка Ако ставиме ,)( 2 cbxaxxf тогаш соодветните неравенки од

дефиницијата можеме да ги запишиме во облик 0)( xf или ,0)( xf односно

0)( xf или

Пред да преминеме на разгледување на примери за забележиме дека ако )(xf и

)(xg се квадратни триноми со различни коефициенти пред квадратниот член,

тогаш неарвенакта од облик )()( xgxf е квадратна неравенка. Последната

неравенка е еквивилентна на неравенката ,0)()( xgxf т. е. на неравенката

,0)()( xgxf за кои }е велеме дека се запишани во нормален вид.

Во нашите разгледувања квадратните неравенки }е ги рашиме со помош на знакот на квадратната функција, но важно е да се знае дека истите можеме да ги

решаваме и со разложување на квадратниот трином cbxaxxf 2)( , при што

треба да ги користиме тврдењета:

а) 0)()( xgxf ако и само ако

0)(

0)(

xg

xf или

0)(

0)(

xg

xf и

б) 0)()( xgxf ако и само ако

0)(

0)(

xg

xf или

0)(

0)(

xg

xf

при што во случај кога во неравенките фигура еден од знаците или , тогаш

истите знаци соодветно се појавуваат и во системите во тврдењета а) и б).

Пример 1:Реши ја квадратната неравенка .0322 xx Решение: Ја разгледуваме функцијата

.32)( 2 xxxf Нулите на функцијата се

решенијана квадратната равенка 0322 xx и тоа

се 11 x и .32 x Графикот на функцијата е

парабола отворена нагоре која ја сечи х-оската во

точките (-1,0) и (3,0). Ова ни е доволно да ја

скицираме параболата 322 xxy (црт. 21) и од

графикот за заклучиме за кои реални броеви х

функцијата f прима негативни вредности,

односно за кои вредности на х параболата е под х-

оската. Тоа се точките чии апциси се меѓу -1 и 3.

Според тоа, 0)( xf ако и само ако ),3,1(x па

затоа ),3,1(x е решение на равенката

.0322 xx Пример2: Реши ја квадратната неравенка

.01522 xx Решение: графикот на функцијата

152)( 2 xxxf е параболата отворена нагоре која

ја сечи х-оската во точките (-5,0) и (3,0).На црт. 22 е

crt. 21

crt. 22

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 22

даден графикот на ова функција од кој се гледа 0)( xf ако и само ако )5,( x

и ).,3( x Според тоа, решение на неравенката 01522 xx е множеството

),,3()5,( т. е. множеството .3,5\ R

Ќе покажеме како дадена равенка може да се реши и без kористење на

графикот на функцијата 152)( 2 xxxf . Го разгледуваме квадратниот трином

1522 xx чии нули се 51 x и .32 x Според тоа, ),3)(5(1522 xxxx па

дадената разлика го добива обликот .0)3)(5( xx

Ако се искористи тврдењето под а) ги добиваме

дека неравенката е еквилентна на севкупноста

систем неравенки

03

05

x

x и

.

03

05

x

x

Според тоа,

3

3

5x

x

x или

3

3

5x

x

x т.

е. множеството .3,5\),3()5,( R

Пример 3: Реши ја квадратната неравенка

.522 xx

Решение: По средувањето на неравенката го добиваме видот .022 xx

Графикот на функцијата 2)( 2 xxxf ја сече х-оската во апциси 21 x и

.12 x Гледаме дека 0)( xf за .1,2x Според

тоа, решение на неравенката 532 xx е

множество 1,2 (црт.23)

Пример 4: реши ја квадратната неравенка

.122 2 xxx Решение: По средувањето на неравенката го

добиваме видот .012 2 xx Графикот на

функцијата 1)( 2 xxxf ја сече х-оската во

апциси 2

11 x и .12 x Гледаме дека 0)( xf за

.,12

1,

x Според тоа, решение на

неравенката 532 xx е множество

.,12

1,

x , т. е. множеството

)1,2

1(\ R (црт.24).

Пример 5: Реши ги квадратните неравенки

а) ,0122 xx б) 0144 2 xx и в)

.0169 2 xx Решение: а) Дадената неравенка е

еквивалента на неравенката 0)1( 2 x која

нема решение бидејќи квадрат на реаллен број

crt. 23

crt. 24

crt. 25

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 23

не може да биде негативен број

. б) Дадена е неравенката е е еквивалентна на

неравенката 0)12( 2 x чие решение е 2

1x .

в) Неравенката е еквивалентна на неравенката

0)13( 2 x тие решени е множеството

3

1\R (crt. 26)

СИСТЕМ КВАДРАТНИ НЕРАВЕНКИ

Defenicija : Sistemot od vidot

0) ili 0,ili0, ili (

0) ili 0,ili0, ili (

0

0

22

2

2

11

2

1

cxbxa

cxbxa.go narekuvame sistem od dve

kvadratni neravenki so edna nepoznata.

Naka 1M i

2M se mno`estva re{enija na prvata i neravenka na sistemot

soodvetno. Realniot broj h e re{enie na sistemot ako i samo ako toj e re{enie i na

dvete negovi neravenki, t. e. ako i samo ako .21 MMx Spored toa, mno`estvoto

re{enija na sistemot e .21 MMM

Primer 1: Re{igo sistemot kvadratni neravenki

.

02

023x-2

2

xx

x

Решение: Прво да ја решиме неравенката 023 x2h- ,nулите на

функцијата 23)( 2 xxxf се 11 x и 22 x и нејзиниот график параболта е

отворена надолу (24). Според тоа, нејзиното решение е множеството 3,11 M .

Аналогно, нулите на функцијата 2)( 2 xxxg се 11 x и 22 x и нејзиниот

график е патаболата отворена нагоре . Според тоа, нејзиното решение е множеството

)2,1(2 M (црт. 27).

Конечно решение на дадениот систем е

множеството ).2,1[)2,1(2,121 MMM

При решавање на многу задачи често пати се

користат следните тврдења:

а) 0)(

)(

xg

xf ако и само ако

0)(

0)(

xg

xf или

0)(

0)(

xg

xf и

б) 0)(

)(

xg

xf ако и само ако

0)(

0)(

xg

xf или

.

0)(

0)(

xg

xf

crt. 27

crt. 26

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 24

при што во случај кога во нервенките фигура еден од знаците или , тогаш истите

знаци соодветно се појавуваат и во неравенките за броител во системот во тврдењета

а) и б).

Пример 2: Реши ја неравенкта 02

22

2

xx

xx

Решение: Согалсно тврдењето а) дадена неравенка е еквивалентна на

вкупноста од системите неравенки

02

022

2

xx

xx или

.02

022

2

xx

xx Ги разгледуваме функциите

xxxf 2)( 2 и xxxg 2)( 2 , чии графици се параболи отворени нагоре.

Нулите на f se 21 x и 02 x , a na g se 21 x и 02 x (црт. 28). Решение на

неравенкта 022 xx е множеството ),2,0(\1 RM а неравенката 022 xx е

множеството .0,2\2 RM Според тоа, решение на системот

02

022

2

xx

xx е множеството .2,2\21 RMMM

Понатаму, решение на неравенката

022 xx е множеството ,2,01 N а на

неравенката 022 xx е множеството ).0,2(2 N

Според тоа, решението на системот

02

022

2

xx

xx е множеството

2.0)0,2(21 NNN , што значи дека тој

нема решенија. Конечно решеније на неравенкта

02

22

2

xx

xxе множеството .2,2\ RNMA

Пример 3: Реши ја квадратната неравенка .11

522

2

xx

xx

Решение: Имаме 0112

521

1

522

2

2

2

xx

xx

xx

xx

.01

60

1

12522

2

2

22

xx

xx

xx

xxxx

Согласно тврдењето под б) дадената неравенка е еквивалнтна на вкупноста од

системите неравенки

012

062

2

xx

xx или

.

012

062

2

xx

xxРешението на неравенката 062 xx е

множеството ),2,3(1 M а неравенката 012 xx е множеството

).,1()2

1,(2 M Според тоа, решение на системот

012

062

2

xx

xx е

множеството ).2,1()2

1,3(21 MMM

crt. 28

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 25

Понатаму, решение на неравенката 062 xx е ),,2()3,(1 N а

неравенката 012 2 xx е множеството ).1,2

1(2 N

Според тоа, решение на системот

012

062

2

xx

xx е множеството .21 NNN

Конечно решение на неравенката .11

522

2

xx

xxе

множеството ).2,1()2

1,3( NMA (crt.29)

ПРИМЕНА НА КВАДРАТНИТЕ НЕРАВЕНКИ И НА СИСТЕМИТЕ КВАДРАТНИ НЕРАВЕНКИ

На крајот на оваа тема ќе се осврнеме на примената на квадратните наравенки.

За таа цел ќе разгледаме неколку примери. Пример 1: Определи ја дефиниционата област на функцијата

.32)( 2 xxxf

Решение: Како што знаеме квадратниот корен има смисла za sekoj pozitiven

реален број i nulata t.e. , ако и само ако поткоренoviot израз е neнегативен, добиваме дека dефинационата област

на функцијата f ја наоѓаме од условот .0322 xx

Корените на равенката .0322 xx се 11 x и

,32 x што значи решение на неравенката (1) е

множеството .,31,

Соодветно, доменот на функцијата f е

множеството ).3,1(\ RD f (crt.30)

Пример 2: определи го параметарот m така што корените

на равенката

02)5()1( 2 kxkxk да бидат различни и реални.

функцијата f ја наоѓаме од условот

Решение: Kорените на квадратната равенка се различни и реални ако и само

ако нејзината дискриминатнта е позитивана. За дадената равенка ја добиваме

неравенката

0)2)(1(4)5( 2 kkkD која е евивалентна неравенка na

033143 2 kk

Корените на равенката 033143 2 kk се

,3

37272/1

k што значи дека решение на

неравенката е множеството

.3

3727,

3

3727

Конечно, дадената равенка има

реални и различни решенија за секој

crt. 29

crt. 30

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 26

).3

3727,

3

3727(

m (crt.31)

Пример 3: Во равенката 02)5()1( 2 kxkxk

определи го параметарот k така да ,22

12

2

21 xxxxx каде 1x и

2x се корените на

равенката.

Решение: Од Виетовите формули добиваме 1

521

k

kxx и .

1

221

k

kxx

Понатаму, ,12

103

1

25

1

5)(

2

2

2121

2

12

2

21

kk

kk

k

k

k

kxxxxxxxxx па од условот на

задачата ја добиваме неравенката 0212

1032

12

1032

2

2

2

kk

kk

kk

kk

.012

120

12

122

2

2

2

kk

kk

kk

kkk

Дискриминантата на броителот на дропката на левата страна на неравенката е

047 D бидејќи коефициентите пред квадратниот член е позитивeн добиваме дека

0122 kk за секој .Rk Од другата страна, именителот на дропката е полн

квадрат, т. е. 22 )1(12 kkk и тој е позитивен ако и само ако .1k

Конечно, ,22

12

2

21 xxxxx ако и само ако .1\Rk

Пример 4: За кои вредности на параметарот функцијата

4)1()2()( 2 xkxkxf е позитивна за секој .Rk

Решение: Квадратната функциаја cbxaxxf 2)( е позитивна за секој .Rk ако и

само ако 0a и .0D За дадената функција го добиваме системот неравенки

0)2(16)1(

022 kk

k кој е еквивллентен на системот .

03314

22

kk

k

Решението на неравенката на системот е множеството ),,2(1 M а на

втората е множеството ),11,3(2 M па затоа решението на последиот систем е

множеството ).11,3(21 MMM

Конечно, функцијата f е позитивна за секој .Rk ако и само ако ).11,3(k

Пример 5: Во равенката 0322)2( 2 kkxxk

определи го параметарот k така што нејзините решенија де се со спротивни знаци.

Решение: За корените 1x и 2x на дадената равенка да се спротивни знаци потребно

е нејзината дискриминанта да е позитивен и .021 xx Според тоа, бараните вредности

на параметарот k е множеството решенија на системот неравенки

.02

32

0)32)(2(4)2( 2

k

k

kkkкој е еквивжалентен на системот

.02

32062

k

kkk

Решение на правата неравенка од системот е множеството ),,2(1 M а на

втората неравенка е множествот ),2,2

3(2 M па затоа решението на системот е

множеството ).2,2

3(21 MMM

Конечно, решенијата на дадената равенка се со спротивни знаци ако и само ако

).2,2

3(k

crt. 31

К в а д р а т н а ф у н к ц и ј а _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 27