1

ANALISA VARIAN SATU, DUA ARAH Dan

INTERAKSI

Pengajar :

MAIMUN RIZALIHADI

• Analisis variance adalah suatu metode untuk menguraikan keragaman total data kita menjadi komponen-komponen yang mengukur berbagai sumber keragaman

• Analisis variance :

1. klasifikasi berdasarkan satu kriterium disebut klasifikasi satu-arah.

2. klasifikasinya didasarkan pada dua kriteria maka disebut klasifikasi dua-arah.

PENDAHULUAN

KLASIFIKASI SATU-ARAH

Lanjutan….. Xij adalah pengamatan ke –j dari populasi ke -i Ti adalah total semua pengamatan dalam contoh dari populasi

ke-i, xi adalah rata-rata pengamatan dalam contoh dari populasi ke-i,

T adalah total semua nk dan pengamatan, dan x adalah rata-rata semua nk pengamatan.

Setiap pengamatan dapat ditulis dalam bentuk :xij = μi + єij

Dimana : xij : pengamatan ke-j dari populasi ke-i

μi : nilai tengah ke-i

єij : simpangan pengamatan ke-j dalam contoh ke-i dari nilai tengah populasi ke-i

Lanjutan….. Akan lebih memudahkan jika pada uraian selanjutnya, suku-suku

kuadrat diberi notasi berikut:

Identitas jumlah kuadrat dapat dilambangkan dengan persamaan :

JKT = JKK + JKG

k

i

n

jij xxJKT

1 1

2..)(

2

1

...)( xxnJKKk

ii

k

ii

n

iij xxJKG

1

2

1

)(

Jumlah kuadrat total

Jumlah kuadrat untuk nilai tengah kolom

Jumlah kuadrat galat

Lanjutan….. Salah satu nilai dugaan bagi σ2 yang didasarkan pada k - 1

derajat bebas adalah:

Nilai dugaan bagi σ2 yang lain, yang didasarkan pada k (n - 1) derajat bebas adalah :

Ragam seluruh data tanpa memperhatikan pengelompokkannya yang mempunyai nk – 1 derajat bebas adalah :

12

1 k

JKKs

Bila H0 benar, s1 merupakan penduga tak bias bagi σ2..akan tetapi, bila H1 benar JKKcenderung meghasilkan nilai yang lebih besar.

12

2

nk

JKGs

Nilai dugaan ini tak bias, baik hipotesis nol benar atau salah..

12

nk

JKTs Yang merupakan nilai dugaan tak bias bagi σ2

bila Ho benar.

Lanjutan…..

Untuk lebih memudahkan menghitung JKT, JKK, dan JKG kita akan memakai rumus berikut, dan kemudian dengan memanfaatkan dalil identitas jumlah kuadrat.

k

i

n

jij nk

TxJKT

1 1

22

nk

T

n

TJKK

k

ii 2

1

2

JKKJKTJKG

Lanjutan…..

Berikut tabel Analisis Ragam bagi klasifikasi satu-arah

Hipotesis ANOVA 1 Arah

Seluruh mean populasi adalah sama

Minimal ada 1 mean populasi yang berbeda

Tidak seluruh mean populasi berbeda (beberapa pasang mungkin sama)

k3210 μμμμ:H

samaadalahpopulasimeanseluruhidakH A T:

ANOVA 1 Faktor

Semua mean bernilai samaHipotesis nol adalah benar

Semua mean bernilai samaHipotesis nol adalah benar

k3210 μμμμ:H

sama μ T:H iA seluruhidak

321 μμμ

ANOVA 1 Faktor

Minimal ada 1 mean yg berbedaHipotesis nol tidak benar (Terdapat efek treatment)

Minimal ada 1 mean yg berbedaHipotesis nol tidak benar (Terdapat efek treatment)

k3210 μμμμ:H

sama μ T:H iA semuaidak

321 μμμ 321 μμμ

or

(sambungan)

Nilai F kritik

Nilai F-kritik terkait dengan 2 derajad bebas yang terpisah. Derajad bebas pembilang (v1) setara dengan

banyaknya perlakuan – 1 atau (k-1) Serajad bebas penyebut (v2) sama dengan

jumlah data (N) – perlakuan (k) atau N-k

KESIMPULAN

Bila F hitung < F tabel Keputusannya: hipotesis nol diterima berarti rata-

rata pengukuran adalah sama Bila Fhitung > F tabel

Keputusannya: hipotesis nol ditolak berarti rata-rata pengukuran adalah berbeda

KLASIFIKASI DUA ARAHANOVA

KLASIFIKASI DUA-ARAH

Lanjutan….. Rata-rata nilai tengah populasi pada baris ke-i didefinisikan

sebagai :

Rata-rata nilai tengah populasi bagi kolom ke-j adalah :

Rata-rata rc nilai tengah populasi :

c

c

jij

i

1

r

r

iij

j

1

rc

r

i

c

jij

1 1

Lanjutan….. Untuk menentukan apakah sebagian keragaman disebabkan

oleh perbedaan antar baris. Kita lakukan uji hipotesis

H’0: μ1 = μ2 = ……= μr = μ

H’1: tidak semua μi sama

Untuk menentukan apakah sebagian keragaman disebabkan oleh perbedaan antar kolom. Kita lakukan uji hipotesis

H’’0: μ.1 = μ.2 = ……= μ.c = μ,

H’’1: tidak semua μ.j sama

Setiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentukxij = μij + єij

єij mengukur simpangan nilai pengamatan xij dari nilai tengah populasi μij

Lanjutan….. Identitas jumlah-kuadrat ini secara ringkas dapat dituliskan

sebagai : JKT = JKB + JKK + JKG

sedangkan dalam hal ini

galatkuadrat jumlah ...

kolom tengah nilai bagikuadrat jumlah ...

baris tengah nilai bagikuadrat jumlah ...

totalkuadrat jumlah ...

2

1 1

2

1

2

1

2

1 1

r

i

c

jjij

c

jj

r

ii

r

i

c

jij

xxxJKG

xxrJKK

xxcJKB

xxJKT

Salah satu penduga bagi σ2, yang didasarkan pada r - 1 derajat bebas adalah :

Nilai dugaan kedua bagi σ2, yang didasarkan pada c - 1 derajat bebas adalah :

Nilai dugaan ketiga bagi σ2, yang didasarkan pada (r - 1) (c – 1) derajat bebas dan bersifat bebas dari s1

2 dan s22 adalah

:

Lanjutan…..

12

1

rJKB

s

12

2

cJKK

s

112

3

crJKG

s Yang bersifat tak bias bagaimanapun kebenaran hipotesis nolnya

Lanjutan….. Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh baris

semuanya sama dengan nol. Kita hitung rasio :

Hipotesis nol ditolak pada taraf nyata α bila :

Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh kolom semuanya sama dengan nol, kita menghitung rasio :

Hipotesis nol ditolak pada taraf nyata α bila :

23

21

1s

sf

11,11 crrff

23

22

2s

sf

11,12 crcff

Lanjutan….. Dalam prakteknya pertama-tama dihitung JKT, JKB, JKK dan

baru dengan menggunakan dalil identitas jumlah kuadrat diperoleh JKG melalui pengurangan. Derajat bebas galat juga diperoleh melalui pengurangan

(r – 1)(c – 1) = (rc – 1) – (r – 1) – (c – 1)

Rumus hitung bagi keempat jumlah kuadrat diberikan di bawah ini:

JKKJKBJKTJKGrcT

r

T

JKK

rcT

c

TJKB

rcT

xJKT

c

jj

r

ii

r

i

c

jij

,

21

2.

,

21

2.

1 1,

22

..

..

..

Lanjutan….. Perhitungan dalam masalah analisis ragam untuk klasifikasi

dua arah dengan satu pengamatan per sel, dapat diringkaskan seperti tabel di bawah ini:

KLASIFIKASI DUA RAH DENGAN INTERAKSI

ANOVA

KLASIFIKASI DUA-ARAH DENGAN INTERAKSI

Lanjutan…. Tiga hipotesis yang akan diuji adalah :

1. H’0; α1 = α2 = ….= αr = 0

H’1; sekurang-kurangnya satu αi tidak sama dengan

nol2. H’’

0; β1 = β 2 = ….= βc = 0 H’’

1; sekurang-kurangnya satu βj tidak sama dengan nol3. H’’

0; (αβ)11 = (αβ)12 = ….= (αβ)rc = 0 H’’’

1; sekurang-kurangnya satu (αβ)ij tidak sama dengan nol

Masing-masing uji tersebut akan didasarkan pada pembandingan nilai dugaan yang bebas bagi σ2, yaitu dengan cara menguraikan jumlah kuadrat total menjadi empat komponen melalui identitas :

JKT = JKB + JKK + JK(BK) + JKG

Lanjutan….

galatkuadrat jumlah ...

kolom dan baris interaksi bagikuadrat jumlah...)(

kolom tengah nilai bagikuadrat jumlah ...

garis tengah nilai bagikuadrat jumlah ...

totalkuadrat jumlah ...

2

1 1 1

2

1 1.

2

1

2

1

2

1 1 1

r

i

c

j

n

kjij

r

i

c

jjiij

c

jj

r

ii

r

i

c

j

n

kij

xxxJKG

xxxxnBKJK

xxrnJKK

xxcnJKB

xxJKT

Banyaknya derajat bebas juga diuraikan menurut identitas :

111111 nrccrcrrcn

Lanjutan…. Dengan membagi setiap jumlah kuadrat pada ruas kanan dari

identitas jumlah kuadrat di atas dengan derajat bebasnya masing-masing, maka diperoleh empat nilai dugaan bagi σ2, yang semuanya merupakan penduga tak bias bila hipotesis nolnya besar.

Untuk menguji hipotesis H’0 bahwa pengaruh baris

semuanya sama, kita menghitung rasio:

yang merupakan nilai peubah acak f1 yang mempunyai sebaran f dengan (r – 1) dan rc(n – 1) derajat bebas bila H’

0 benar.

12

1

rJKB

s1

22

cJKK

s )1(1)(2

3

crBKJK

s)1(

24

nrc

JKGs

24

21

1s

sf

Lanjutan…. Hipotesis Nol itu ditolak pada taraf nyata α bila :

Untuk menguji hipotesis H’’0 bahwa pengaruh kolom

semuanya sama, kita menghitung rasio :

yang merupakan nilai peubah acak f2 yang mempunyai sebaran f dengan (c – 1) dan rc(n – 1) derajat bebas bila H’’

0 benar.

Hipotesis ini ditolak pada taraf nyata α bila :

1,11 nrcrff

24

22

2s

sf

1,12 nrccff

Lanjutan…. Untuk menguji hipotesis H’’

0 bahwa pengaruh interaksi semuanya sama, kita menghitung rasio :

yang merupakan nilai peubah acak f3 yang mempunyai sebaran f dengan (r – 1)(c – 1) dan rc(n – 1) derajat bebas.

Adanya interaksi dalam suatu percobaan dapat menyembunyikan atau menutupi beda yang nyata antarpengaruh baris atau pengaruh kolom.

Karena alasan inilah maka setiap uji yang menghasilkan penerimaan hipotesis tersebut dianggap tida sah bila interaksi nyata.

24

23

3s

sf

Dimana : r = jumlah baris c = jumlah kolom n = jumlah pengulangan

percobaan

Jumlah-jumlah kuadrat di atas biasanya diperoleh melalui rumus hitung berikut :

)(

....

)(

..

..

..

21

2

1

2...

1 1

2

,

21

2.

,

21

2..

1 1 1,

22

BKJKJKKJKBJKTJKGrcn

Trn

T

cn

T

n

T

BKJK

rcnT

rn

T

JKK

rcnT

cn

TJKB

rcnT

xJKT

c

jj

r

ii

r

i

c

jij

c

jj

r

ii

r

i

c

j

n

kijk

Lanjutan….