Program Pasca Sarjana, Magister Teknik ElektroUniversitas Gunadarma

KULIAHFISIKA DEVAIS

SEMIKONDUKTOR

Achmad Benny MutiaraTeknik Informatik

Fakultas Teknologi IndustriUniversitas Gunadarma

Salemba Raya, Jakarta, Maret 2001

Silabus

1. Elemen-Elemen Fisika Semikonduktor2. Gejala Transport dalam Semikonduktor3. Generasi dan Rekombinasi4. p-n Junction→ Dioda5. Devais Bipolar: Transistor dan Thyristor6. Devais Unipolar: JFET, MESFET, MOS-DIODA,MOSFET

7. Devais Mikrowave: Dioda IMPATT, Dioda BARITT,Transfered-Electron Devais

8. Devais Fotonis: LED, Dioda Laser, Detektor Fotodan Solar Cell

9. Topik Lanjut: Pertumbuhan Kristal, Oksidasi dandeposisi film, difusi litografi dan IC

Referensi:• A.S. Grove, Physics and Technology of Semiconductor Devices, (Wiley, Singapore

1967)

• S.M. Sze, Semiconductor Devices, Physics and Technology, (Wiley, Singapore 1985)

• S.R. Rio dan M. Iida, Fisika dan Teknologi Semikonduktor, (Pradnya Paramita, Jakarta

1980)

Kuliah I

1 Elemen-Elemen Fisika Semikonduktor

======================================1.1 Pengantar1.2 Dasar-dasar Mekanika Kuantum1.3 Atom-atom dan Tabel Periodik1.4 Ikatan-Ikatan dan Pita Energi (bonds and bands)1.5 Konsentrasi Pembawa (Carrier concentrations)

======================================

1.1 Pengantar

1.1.1 Sejarah Semikonduktor

• 1821, ThomasSeebeckmenemukan sifat-sifat semi-konduktor PbS

• 1833,Michael Faradaymenemukan kebergantung-an konduktivitas thp temperatur untuk sebuah kelasmaterial baru→ Semikonduktor

• 1873,W. Smith menemukan sensitivitas Se thp ca-haya

• 1875,Werner von Siemensmenemukan fotometerselenium

• 1878, Alexander Graham Bell menggunakan de-vais ini untuk wireless telecomunication system

• 1947, Bardeen, Brattain, Schockley (Nobel Prizein Physcis)menemukan Bipolar Junction Transistor→ abad modern dimulai

• 1954, Chapin, Fueller, Pearson mengembangkansolar sel

• 1958, JohnKilbymenemukan integrated circuit (IC)• 1958, Leo Esaki (Nobel Prize in Physics) mene-mukan dioda terowongan (tunnel diode)

• 1960, Kahn dan Attala mendemontrasikan MOS-FET pertama

• 1962, 3 grup yangmasing dikepalai olehHall, Nathan,and Quist mendemontrasikan laser semikonduktor

• 1963, Gunn menemukan osilasi gelombang mikropada GaAs dan InP (Ridley-Watkins-Hilsum-GunnEffect)

• 1963,Wanlass andSahmemperkenalkan teknologiCMOS.

• 1963 - .....– Skala MOSFET

Sumber: Peter Singer, Trends in Ion Implanta-tion, Semicondutor International, 50, p.59, Augus-tus (1996)

– Gate poly-Si 0,06mikron ditemukan→ sebuah gatedengan kontrol dimensi kritikal yang sangat baik.

(lih. Semiconductor International, p.18, 1997)– Beyond PENTHIUM: INTELMERCEDCHIP→ 21Maret 1998: Intel memunculkan mikroporsessor-0,18mikron 64Bit baru yang disebutnyaMERCED.Mikrposessor ini diharapkan mampu memilik ke-cepatanmelebihi 600MHz. Sbelumnya pada tahun1997, Intel mengumumkan teknologi 0,25 mikron.Rencana Intel→ memperkenalkan teknologi 0,13mikron pada tahun 2000.

– Modern Teknologi akan berfungsi→ 100 nm

Sumber: The NTSR, SIA (1997)– Proyeksi Teknologi mutakhir: ukuranwafer/(ukuranfeature minimum)2 relatif thp tahun 1997

Sumber: the NTSR, SIA (1997)1.1.2 Aplikasi-Aplikasi baru yang mungkin

• Wireless video communications• Smart manufacturing• Smart transportation• Smart House (manajemen energi)• Smart Cars• Smart power controls• Global unveristies (two way video)• Medicine• Defense

1.1.3 Masalah: Power Problem

• Kerapatan→ interaksi antar atom

Sumber: the NTSR, SIA (1997)• Peningkatan panas

Sumber: the NTSR, SIA (1997)• ThinkPad Power Budget dan krisis LSI– Color AMLCD : 1 W

– CPU dan logik : 5 W– Hard drive : 1 W– Video circuitry : 1 W– DC-DC conversion loss : 1 W– TOTAL : 10 WSumber: T Ikeda, ThinkPad Low Power Evolution,1995, IEEE-Symp. on LowPower Electronics, pp.6-7

– Detail:> Kapasitas baterai umumnya pada tahun 1998:38 W-hours.> 2 - 3 jam waktu pakai baterai: kinerja bateraitidak munkin dikembangkan secara dramatis> Hal mungkin untuk pengembangan ini melaluipenggunaan Low Power Electronics

– Krisis LSI> Dissipasi daya CPU meningkat 1,33 kali setiaptahun dari tahun 1982 - 1995> Modul keramik diatas 100 W diperlukansumber: A. Matsuzawa, IEDM-95

1.1.4 Solusi:

• Material Baru:– Silikon amorp– Poly-silikon– Senyawa (compound) semikonduktor (III-IV)– Semikonduktor dgn band gap yang lebar (SiC danGaN)

• Ide devais baru• Interkoneksi baru (tembaga dan K rendah, optikal)• Tools CAD baru untuk menghasilkan desain devaisdan rangkaian yang lebih baik→ untuk ukuran sub-mikron yang lebih dalam (deep submicron size)

• Rangkain baru• Arsitektur baru• Power Supply baru: solar on board, biological heat,mircowave beams from space

• Nano-Technology

1.2 Dasar-Dasar Mekanika Kuantum

1.2.1 Dualitas Partikel-Gelombang

• 1901, Planck (physics nobel prize)menunjukkan bhwdistribusi energi dari radiasi benda hitam hanya da-pat dijelaskan dgn assumsi bhw radiasi ini (yaitu dalambentuk gelombang elektromagnetik) diemisi dan di-absorbsi dalam bentuk paket (kuanta) energi diskrit:FOTON

E = ~ω• Contoh:Puncak sensitivitas mata manusia berkiatan dgn ca-haya hijau dgn panjang gelombang λ = 0, 555 µm,frekuensi

ω =2πc

λ=2π × 3, 00× 1080, 555× 10−6 = 3, 40× 1015/s

dan energi fotonE = ~ω = 3, 58× 1019J

Momentum foton: 1.19 ×10−27NsE = 3, 58× 1019J = 2, 23 eVCatatan: 1 eV = 1,602×10−19C×1 eV= 1,602×10−19J ( energi yang diterima elektron yang dipercepatpada beda potensial 1 V)

1.2.2 Fungsi Gelombang

• 1924, deBroglie (physics nobel prize)mengusulkanbhw dualitas mekanika kuantum ini berlaku juga un-tuk partikel, seperti elektron.>DeBrogliememperkenalkan gelombang yang terkaitdengan elektron→ de Broglie wave

• Schroedinger (physics nobel prize) dan Max Born(physics nobel prize) memperkenal Fungsi Gelom-bang Φ(x, y, z, t) sedemikian bhw kemungkinan, dP ,untuk mendapatkan partikel di dalam elemen volumdxdydz akan sama dengan

|Φ(x, y, z, t)|2 dxdxydz> Fungsi gelombangΦ(x, y, z, t) dapt diinterpretasikansebagai amplitudo rapat kemungkinan untuk men-dapatkan partikel pada titik tertentu diruang danwaktutertentu

1.2.3 Fungsi Gelombang Partikel Bebas

• Untuk partikel dgnmomentum p diruang bebas, fungsigelombangnya:

Φ(x, y, z, t) ≈ ei(kxx+kyy+kzz)e−iωtdimana kx, ky, kzmerupakan komponen vektor gelom-

bang k (|k|=2π/λ) dan ω merupakan frekuensi•

λ = h/p = 2π~/pdisebut panjang gelombang de Broglie

• Contoh:– Misalkan sebuah elektron berpropagasi diruang be-bas dgn v kecepatan 106 m/s dalam arah x. Masselektron bebas 9,11 ×10−31kg. Hitung momentumelektron, vektor gelombang, panjang gelombangde broglie, dan energi

• Jawab:– px = mv = 9, 11 × 10−31 × 106 = 9, 11 × 10−25 kgm/s; py = pz = 0

– kx = px/~ = 9, 11× 10−25/1, 054× 10−34 = 1, 054×109 m−1; ky = kz = 0

– Panjang gelombang de Broglieλ = 2π/kx = 7, 27× 10−10 m = 7, 27 Å

– Energi elektron→ energi kinetik

E =mv2

2=p2

2m=~2k2

2m= 1, 55× 10−19 J = 2, 84 eV

1.2.4 Prinsip Ketidakpastian Heisenberg

• 1927,WernerHeisenbergmenyatakan ’’prinsip keti-dakpastiannya’’:Perkalian ketidakpastian,M px danM x dari momen-tum dan posisi partikel harus lebih besar dari ~/2

M px M x > ~/2• Contoh:– Menurut fisika statistik, energi rata-2 elektron dalamgas dari elektron bebas dalam keseimbangan ter-mal : 3kBT/2, dimana T : temperatur dan kB =1, 38× 1023 Js adalah konstanta Boltzman.

– Kecepatan gerak termal elektorik random vT dapatdiperoleh dengan menyamakan energi kinetik darigerak ini

mev2T

2= 3

kBT

2– Elektron bebas memilik massa 9,11 ×10−31kg, se-hingga

vT = (3kBT

me)1/2 = 1, 2× 105 m/s

p = mevT = 1, 1× 1025 kg m/sk = p/~ = 109 m−1

λ = 2π/k = 6, 3× 10−9 = 63 Å– Sehingga, λ dapat dibandingkan dgn dimensi dari

devais semikonduktor yang sangat kecil (≈ 50 Å),dan efek kuantum akan memainkan peran yangsangat penting pada devais yang demikian.

• Contoh lain:– Andaikan sebuah elektronmerambat dgn kecepatan106 m/s dalam arah x pada sebuah gap lebar 100Å. Hitung momentum dan energi elektron:

• Jawab:– px = mv = 9, 11× 10−25 kg m/s– kx = px/~ = mv = 8, 64× 109 m−1– py = 0 dan ky = 0Namun demikian, karena M x = 100 Å dan prin-sip ketidakpastian menyatakan∗

M pz M z ≥ ~/2

M pz ≥ ~2 M z

= 5, 27× 10−27 kg m/s

∗M Ez =

M p2z2m

= 1, 52× 10−23 J= 9, 52× 10−5 eV

1.2.5 Persamaan Schroedinger

• Fungsi gelombangΦ(x, y, z, t), untuk elektron bebasΦ(x, y, z, t) = Aei(kxx+kyy+kzz)e−iωt

merupakan tipe fungsi yangmenggambarkan sebuahgelombang

• Fungsi ini memenuhi persamaan gelombang berikut:−~

2∇22m

Φ = i~∂Φ

∂t• Schroedinger menunjukan hal yang lebih umum,yaitu jika partikel bergerak di dalam suatu potensialtertentu U(r), dimana rmerupkan vektor ruang, per-samaan di atas menjadi·

−~2∇22m

+ U(r)

¸Φ = i~

∂Φ

∂tpersamaan ini disebut Persamaan gelombangSchroedinge

1.2.6 Persamaan Schroedinger Time-independent

• Kita dapat mencari solusi pers. Schroedinger dalam

bentuk berikutΦ(x, y, z, t) = Ψ(r) exp(−iωt)

• Subtitusi solusi ini kepersamaanSchroedinger di atas,kemudianmembagi kedua sisi dgnΨ(r) exp(−iωt),makakita perolehPersamaanSchroedinger Time-independen·

−~2∇22m

+ U(r)

¸Ψ(r) = EΨ(r)

dimana E = ~ω• Fungsi gelombang time-independent Ψ(r) dan tu-runannya terhadap posisi harus kontinyu

1.2.7 Sumur Potensial 1 dimensi

• Ψ = A sin(kx), dimana k = (2meE)1/2/~

• Ψ = 0 untuk x = 0 dan x = a memenuhi syaratsin(ka) = 0, sehingga

ka = πn

dengan demikian

E = En =π2~2n2

2mea2

dimana n = 1,2,3, .... → bilangan kuantum• Konsanta normalisasiA dapat diperoleh dari kondisiberikut∞Z

−∞|Ψ(x)|2 dx =

aZ0

¯̄̄A sin(

πn

ax)¯̄̄2dx = 1

Kondisi ini berarti bhw partikel terlokalisasi di dalamsumu potensial, sedemikian sehingga kemungkinanuntuk mendapatkan partikel di dalam sumur poten-sial sama dengan 1. Sehingga diperoleh

Ψn(x) = (2

a)1/2 sin(

πn

ax)

• Catatan:– jumlah titik dimana fungsi gelombang adalah nol =n− 1. Titik ini biasa disebut NODES.

– Energi partikel dalam sumur potensial hanya da-pat memiliki nilai diskrit (Terkuantisasi ) → biasadisebut tingkat-2 energi (Energi levels )

Tingkat-2 energi dan fungsi-2 gelombang untuk sumurpotensial tak terhingga. Tingkat-2 energi ini dihi-tung untuk m = 9, 11× 10−31 kg dan a = 100 Å

– Contoh:Pandang elektron dalam keadaan energi dasar se-buah sumur potensial. Cari kebergantungan ke-mungkinan untuk mendapatkan sebuah elektronantara 0 dan x sebagai fungsi dari x

– Jawab:Fungsi gelombang keadaan dasar (n = 1)

Ψ(x) = (2

a)1/2 sin(

π

ax)

sehingga rapat kemungkinandP (x)

dx= |Ψ(x)|2 = (2

a) sin2(

π

ax)

dan kemungkinan, P , untuk mendapatkan sebuahelektron dalam sumur potensial tak terhingga dalamkeadaan dasar antara 0 sampai x :

P (x) =2

a

XZ0

sin2(π

ax)dx =

X

a− sin(2πX/a)

2π

Untuk X = a, P (X) = 1 seperti yang diharapkan(elektron disuatu lokasi di dalam sumur potensial)

Sumur Kuantum, quantum wire, dan quantumbox

1.2.8 Atom Hidrogen

• Inti atom 1800 kali massa elektron• Ukuran inti (≈ 10−13cm) lebih kecil dari ukuran atom(orde 1Å)

• Elektron bermuatan negatif ditarik oleh inti yang bermu-atan positif, dan interaksinya digambarkan melaluhukum Coulomb

• Coulomb Potensial:– Coulomb potensial membentuk sebuah sumur poten-sial dalam ruang tiga dimensi dan tingkat energidari elektron dalam atom hidrogen terkuantisasi

• Keadaan Energi dalam atom Hidrogen:–En = −EB

n2dimana n = 1, 2, 3, ....→ bil. kuantum utama

–

EB =q2

8πε0aBdisebut energi Bohr (EB = 13, 6 eV) dan

–

aB =4πε0~2

meq2

disebut jari-jari Bohr (aB = 0, 52917 Å)

• Potensial Coulomb & Keadaan Energi:

– Contoh:Foton dgn energi ~ωik = Ei − Ek diabsorbsi olehgas hidrogen karena mereka menyebabkan tran-sisi elektron antara tingkat Ek dan Ei. Hitung pan-jang gelombang radiasi yang terabsorbsi akibat transisi-2 antara keadaan kedua dan ketiga

– Jawab:~ω32 = E3 −E2 = EB(1/22 − 1/32) = 1, 89 eVω32 = 2, 87× 1015 s−1λ = 2πc/ω32 = 0, 657 µm

1.2.9 Fungsi Gelombang & Bil. Kuantum

• Fungsi gel., Ψ, elektron dlm atom hidrogen→ kom-pleks, karena fungsi ini bergantung pada tiga koor-dinat, yaitu mereka bergantung pada tiga variabel.

• Disamping bil. kuantum utama, n, fungsi ini bergan-tung pada tiga bil. kuantum lainnya yangmengkarak-teristikan keadaan elektronik elektron(a) Bil. kuantum orbital l(b) Bil. kuantum magnetik m; dan(c) Bil kuantum spin S• Bilangan kuantum orbital danmagnetik menentukankebergantungan orbital dari Ψ. lebih detail bil. initerkait dgn rotasi elektron mengelilingi inti

• dan spin elektron berkaitan dgn rotasi internal elek-tron

• Analysis Pers. Schroedinger u/ atom Hmenunjukan bhw ketiga bilangan kuantum tamba-han ini dapat memiliki nilai sbb:(i) l = 0, 1, 2, ...., n− 1(ii)m = −l,−l + 1, ...., l − 1, l(iii) S = ±1/2

1.3 Atom-atom dan Tabel periodik

1.3.1 Atom-2 Banyak ElektronKita masih dapat mengklasifikasikan keadaan elek-tronik dgn set bilangan kuantum n, l,m, dan S yangsama.• Namun pada atom banyak elektron, keadaan elek-tron dgn bil. kuantum orbital yang berbeda, memilikienergi yang berbeda, tidak spt pada atom H.

• Namun, spt pada atom H, keadaan dgn bil kuantumutama terkecil, memiliki energi terendah.

• Tingkat energi dgn nilai n yang sama dan nilai l yangberbeda cenderung mendekat satu sama lain

• Seluruh keadaan elektronik yang memilik bil kuan-tum utama yang sama dianggap/ dipandang seba-gai SHELL

Shell elektron paling lebih dalam memilik n = 1,shell berikutnyamemiliki n = 2. Sebuah shell terbagimenjadi ’’sub-shell’’ yang berkorespondensi dgn ni-

lai bil. kuantum orbital l yang berbeda.1.3.2 Notasi Atomik

• Sebuah shell terbagimenjadi ’’sub-shell’’ yang terkaitdgn nilai bil. kuantum orbital yang berbeda l.

• Subshell biasanya ditandai dgn misalkan spt 2s2 (bi-langan bulat didepan huruf s menunjukkan nilai n,superscript menunjukan jumlah total elektron di dalamsubshell, huruf kecil menunujukkan nilai l :l = 0, 1, 2, 3, .....subshell s, p, d, f, g, h,.....

• Setiap subshell memiliki 2l + 1 keadaan yang di-izinkan terkait dgn bilangan kuantumm yang berbeda,dan untuk setiap m terdapat dua nilai bil. kuantumspin S.

1.3.3 Prinsip Ekslusi Pauli

• Menurut Prinsip eksklusi Pauli, tidak boleh lebih daridua elektron menduduki suatu keadaan energi dgntiga bil. kuantum n,m, l yang sama (kedua elek-tron ini memiliki bil kuantum spin yang berbeda S =±1/2)

• Dengan demikian, subshell s hanya dapat didudukioleh dua buah elektron, subshell p hanya dapat didudukitidak lebih dari 6 elektron

• Elektron pertama-tamamenduduki tingkat energi teren-dah, dst

1.3.4 Tabel Periodik

• Unsur-unsur dgn struktur elektronik yangmirip untukelektron valensi biasanyamemiliki sifat-2 kimia yangmiripSi (struktur elektronik inti + 3s23p2)Ge (struktur elektronik inti + 4s24p2)

• Tabel periodik unsur-unsur tersusun berdasarkan kemiri-pan ini dgn mengurut unsur-unsur dgn struktur elek-tronik yangmirip untuk elektron valensi dalam kolomyang sama3 4 5B C NAl Si PGa Ge AsIn Sn Sb

1.3.5 Semikonduktor SenyawaGa (inti + 4s24p1) bandingkan dgn Si (inti + 3s23p2)As (inti + 4s24p3) bandingkan dgn Si (inti + 3s23p2)Dalam senyawa GaAs, setiap atom rata-2, memilikijumlah elektron valensi yang sama seperti Si. GaAs→ material semikonduktor, spt Si dan Ge.1.3.6 III-V dan II-VIBanyak senyawa semikonduktor yang dirancang den-gan cara yang sama spt diatas, yaitu dgnmengkombi-nasikan unsur-unsur lain golongan III ( memiliki 3 elek-tron valensi: 2 elektron s dan 1 p) dgn unsur-unsur go-longan V (memiliki 5 elektron valensi: dua elektron sdan tiga p)

Contoh: GaAs, InAs, GaP dsb. → biasa disebutsemikonduktor senyawa III-V.

Hal yang sama jika kitamengkombinasikan unsur-2 gol II dgn unsur-unsur gol VI.

Contoh: CdS, ZnS, CdSc, dsb. → biasa disebutsemikonduktor senyawa II-VI.

1.4 Ikatan dan Pita Energi

1.4.1 Senyawa Ternary dan Quarternary

• Ga dan Al memilik dimensi yang sangat mirip, se-hingga kedua dapat tercampur dgn baik

• GaAs dan AlAs dapat membentuk cairan padat, sptAlxGa1−xAs dimana xmerupkan fraksi molar dari Al.Material ini biasa disebut senyawa ternaryDengan memvariasikan x dari 0 s/d 1, kita dapatmengubah sifat-sifat AlxGa1−xAs dari sifar GaAsmenujuAlAsContoh lain: InxGa1−xAs, GaInxP1−x, AlxIn1−xAs.

• Senyawa Quarternary terdiri dari empat unsur• Contoh: InxGa1−xAsyP1−y

Dari pendekatan rekayasa material→mendesainmaterial semikonduktor dgn sifat-sifat yang diharap-kan.1.4.2 Ikatan Kimia

• Dari tabel periodik, unsur-unsur dgn subshell s danp terisi penuh→ unsur gas mulia

• Contoh:Ar : 1s22s22p63s23p6Kr : inti + 4s24p6

Xe : inti + 5s25p6

• Apabila atom-atom dikombinasi bersama dalam su-atu zat padat, mereka akan berbagi bersama elek-tron valensinya membentuk ikatan kimia.

• Pada Si, Ge, dan semikonduktor senyawa terkait,ikatan ini dibentuk sedemikian bhw atom-atom tetanggamenshared elektron valensinya sehingga memilikisubshell s dan p dari shell valensi yang penuh.

• Pada semikonduktor ini, setiap atommembentuk em-pat ikatan dgn empat atom tetangganya.

• Ikatan Tetrahedral:

• Ionisitas:Jika seluruh atom dalam suatu kristal identik, jum-lah elektron yang dishared memerlukan waktu yangsama untuk setiap atom→ Ikatan kovalen homopo-lar

Pada sebuah senyawa semikonduktor, spt GaAs, elek-tron ikatan memerlukan fraksi waktu lebih pada an-ion (yaitu atom yang dimuati negatif). Situasi ini berkai-tan dgn ikatan heteropolar parsial (ionik parsial)Ionisitas (0 < fi < 1) adalah 0 untuk ikatan kovalenhomopolarmurni, dan 1 untuk ikatan heteropolarmurni.fi = 0, 177 untuk SiC dan 0,31 u/ GaAS

1.5 Dasar-dasar Fisika Zat PadatKristalin, Polykristalin, Material amporh

1.5.1 Vektor Basis dan Sel Primitif

• Kisi kristal: array tiga dimensi titik-2 terlokalisasi se-cara periodik dalam

• Periodisitas dapat direproduksi dgn menggunakanvektor basis primitif a1, a2, a3

• Vektor basis primitif: tiga vektor terpendek yang in-dependent yang menghubungkan titik-titik kisi

Rklm = ka1 + la2 +ma3dimana k, l,m merupakan bil bulat.

• Vektor primitif membentuk suatu PARALLELPIPED

→ sel primitif.• Sebuah sel primitif tidak mengandung setiap titik-2kisi didalamnya

• Pengulangan sel primitif daparmereproduksi kisi kristalkeseluruhan.

1.5.2 Kisi Kubus

• Sel terkecil dari kisi kristal yang tetap memperta-hankan simetri rotasinya disebut Sel Satuan (unitcell)

(a) sel satuan u/ kubus sederhana, (b) sel satuan u/kubus pemuatan sisi (fcc), (c) sel satuan u/ kubuspemuatan pusat (bcc), (d) kisi-2 dan sel primitif u/kisi fcc.

• Struktur Kristal SilikonStruktur kristal dibentuk dgnmenempatkan grup iden-tik atom (biasa disebut basis) ke posisi yang dipan-

dang dari setiap titik dalam kisis kristal

• Struktur Kristal C dan Zinc Blende

Si: dua fcc-subkisi dari atom Si yang interpenetrat-ing, digeser terhadap satu sama lain 1/4 diagonalutama→ struktur Intan (C)

1.5.3 Jari-2 Atomik> Atom-atom yang sama menempati volume yangsama dalam sebuah senyawa.>Hal ini mengizinkan kita u/merepresentasikan atom-2 dalam kristal sebagai bola yangmenyentuh tetanggaterdekatnya dan memperkenalkan jari-jari atomiku/ setiap unsur.> Jarak antar ataom tetangga diperoleh sebagai jum-

lah jari-jari atomik

1.5.4 Senyawa Ternary dan Quarternary> Al dan Ga memiliki jari-jari atomik yang hampirsama→ konstanta kisi GaAs dan AlAs hampir samayaitu pada T= 300 K konstanta kisi GaAs dan AlAsmasing-2 5,6533 Å dan 5, 6605 ÅUntuk alasan yang sama, semikonduktor senyawaini dapat membentuk cairan zat padat → senyawa

ternarydan selanjut dapt jugamembentuk→ senyawaquar-ternary

1.5.5 Konstanta Kisi

• Contoh senyawa ternary InxGa1−xAs.• Denganmengubah komposisi senyawa ternary, kon-stanta kisinya dapat dicocokan dgn konstanta kisisuatu senyawa biner yang cocok.

• Konstanta kisi untuk senyawa ternary ater , misalAxC1−xB bervariasi linear dgn komposisinya

ater ≈ abin1x + abin2(1− x)dimana abin1 konstanta kisi senyawa biner AB danabin2 konstanta kisi senyawa biner CB.

1.5.6 Ringkasan Struktur Kristal

1.6 Pita Energi

1.6.1 Pita Konduksi dan Valensi

• Tingkat energi atom terisolasi terpecah menjadi pitaenergi jika atom-atom dikombinasi kedalam kristal

• Sesuai aturanPauli: hanya dua elektron (dgn spinyangberbeda) dapatmenduduki suatu tingkat energi atomik.– 2Nelektron dapatmenduduki suatu pita energi yangmengandung N tingkat energi.

– Pita energi terrendah dalam kristal dipenuhi danpita energi yang lebih tinggi kosong.

– Pita-2 keadaan energi yang diizinkan dipisahkandaerah keadaan energi terlarang (Band Gap)

– Pita kosong atau terisi sebagian disebut pita Kon-duksi

– Pita yang terisi penuh oleh elektron valensi disebutpita valensi

1.6.2 Dielektrik, Semikonduktor, logam

1.6.3 Spektrum Energi u/ elektron bebas, Si danGaAS

1.6.4 Efektif Massa

1.6.5 Fungsi Distribusi dan Rapat keadaan

• Bayangkan suatu situasi jika sejumlah keadaan jauhlebih besar dari jumlah partikel dan kemungkinanuntukmendapatkan ssuatu partikel dgn keadaan yangtelah ditentukan adalah jauh lebih kecil dari 1

• Dalam hal ini, prinsip eksklusi Pauli tidak penting !!• Kemungkinan untukmendapatkan partikel dalam keadaandgn energi Ei

P (Ei) =NiN

dimana Ni = jumlah partikel dalan keadaan ini.

• Energi partikel rata-2 diperolehhEi =

Xi

NiEiN

1.6.6 Fungsi Distribusi Boltzman

• Dalam kesetimbangan, kemungkinan untuk menda-patkan partikel dalamdua keadaan energi yang berbeda,Ek dan Ei dikaitan melalui faktor Boltzman

P (Ei)

P (Ek)= exp

µEk −EikBT

¶• Pers. ini menyatakan bhw kemungkinan untuk men-dapatkan partikel dgn keadaan energi tertentu, menu-run secara eksponensial menurut Ei

• Untuk spektrum energi kontinyu, kemungkinan un-tuk mendapatkan partikel dgn energi dE danE+dE

fdE = A exp

µ− E

kBT

¶dE

dimana f merupakan fungsi distribusi Boltzman

1.6.7 Fungsi Distribusi Fermi-Dirac

• Untuk elekron, prinsip Pauli menyatakan bhw hanyadua elektron dgn spin berbeda dapat menduduki su-atu tingkat energi/keadaan. Kencenderungan elek-tron adalah menduduki titik energi yang terrendahterlebih dahulu.

• Akibatnya: seluruh keadaan dgn energi rendah dipenuhisebuah elektron untuk setiap keadaan energi

• Pada energi yang demikian, fungsi kemungkinan elek-tron, f , akan sama dengan 1 karena seluruh keadaanterisi/diduduki.

• Namun demikian pada tingkat energi yang lebih tinggi,jika kemungkinan pendudukan suatu keadaan en-ergi jauh lebih kecil dari 1, prinsip Pauli menunjukantanpa batasan, dan fungsi distribusi akan tereduksi

menjadi fungsi distribusi Boltzman.• Analysis lanjut menunjukkan bhw fungsi distribusielektron dinyatakan dgn Fungsi Distribusi Fermi-Dirac

fn(E) =1

1 + exphE−EfkBT

i

1.7 Resume Kuliah I dan Tambahan

1.7.1 Zat Padat Struktur kristal dan Elektronkonduksi

• Kristal terdiri dari unit penyusun (atom, ion, ataumolekul)yang terletak secara teratur/periodik (percobaan ham-buran sinar-x, hamburan neutron dan hamburan par-tikel lain dimana hasilnya menunjukan pola interfer-ensi yang dapat dikaitkan dgn kedudukan partikelpenghambur pada kristal)

• Tinjauan ulang elektron dalam kristal logam, terda-pat dua tipe elektron:(a) Elektron teras(core) : elektron yang terikat kuatpada atom/ion

(b) Elektron valensi : elektron yang terikat lemah- Berada diluar kulit tertutup (kulit untuk kondisigas mulia)- Relatif mudah terlepas (dalam logam elektronini dapat berpindah/mengembara dari atom/ionyang satu ke atom/ion yang lain), karenanyaelektron ini biasa disebut nearly free electron(elektron hampir bebas) atau elektron konduksi.→ disebut elektron konsuksi, karena proseskonduksi atau hantaran listrik dalam logam dapatberlangsung dgn mudah dgn adanya elektron

ini. Medan listrik yang kecil saja sudah cukup u/menggerakkan elektron ini.→ konsep elektron konduksi ini dapat digunakanu/menerangkan logam sebagai bahan konduktoryang baik.- Jadi di dalam logam → elektron konduksiyang bergerak dalam potensial Coulomb yangditimbulkan oleh ion/atom yang tersusun secarteratur.

1.7.2 Energi Gap (Celah Energi)

• Solusi pers. Schroedinger u/ elektron bebas meru-pakan ’’gelombang datar’’:

Φ(x, t) = exp(±ik · x− iωt); ( 1-dimensi)k bilangan gelombang atau dalam gerak (dalam 3dimensi menyatakan vektor gelombang)E = ~ω = energi kinetik elektronHubungan antara k dan E (dengan mengingat p =

~k)E = p2/2m = ~2k2/(2m)

• Solusi di atas dan hubungan antara k danE berlakujuga untuk elektron konduksi tetapi massannya harusdiganti dgn massa elektron efektifm∗, karena sebe-narnya interkasi antar elektron dgn potensial peri-odik dlm kristal harus dimasukkan ke pers. Schroedinger.

• Selain itu akan timbul energi gap pada k = ±n ·(π/a). Hal ini timbul karena gelombang pantul darisatu atom dalam kisi yang linier berinterferensi dgngelombang pantul dari atom tetangga terdekatnyadgn beda fasa 2π.> berarti dalam daerah ini solusinya ialah gelom-bang berdiri.> Analisis lanjut menyatakan: ada dua gelombangberdiri yg berbeda yang dapat dibentuk dari gelom-bang berjalan exp(+iπx/a) dan exp(−iπx/a), yaitu:

Φ(+) = exp(+iπx/a) + exp(−iπx/a); danΦ(−) = exp(+iπx/a)− exp(−iπx/a)

> Dari solusi ini, kerapatan elektron dapat dicari:ρ(+) = |Φ(+)|2 ≈ cos2(πx/a); danρ(−) = |Φ(−)|2 ≈ sin2(πx/a)

>Ternyata solusi ini menumpukan elektron pada daerahyang berlainan relatif terhadap kedudukan ion-ionnyasehingga ’’energi potensialnya berbeda’’, hal inilah

1.

yang menimbulkan loncatan energi sehingga timbulenergi gap pd k = ±(π/a).>Analisis lebih teliti mengenai solusi pers. Schroedingerdalampotesial periodik telah dilakukan olehBLOCH.Iamendapatkan solusi u/ potensial periodik 1-dimensisbb:

Φ(x) = exp(ik · x)uk(x)dengan k = (2πg/(Na)); g = 0, 1, 2, ...., N − 1;N=banyaknya titik kisi;uk(x) = fungsi periodik dgn pe-riodisitas potensialnya.> Namun, hubungan E dan k tetap seperti diatasdan kesimpulan bahwa terjadi penumpukan elektronpada daerah yang berlainan relatif thp kedudukanionnya u/ harga k = ±(π/a) tetap berlaku.>Fungsi gelombang elektron dlm pita konduksi serupadgn gelombang datar pada hampir seluruh volumekristal, tetapi berosilasi dan bertambah besar dalamdaerah teras ion.

1.7.3 Fungsi Distribusi Fermi-Dirac

• Dari teori kinetik gas→ distribusi Maxwell-Boltzmann– Distribusi kecepatan molekul gas ini→ diturunkanberdasarkan terori klasik dan berlaku u/ kondisi fi-sis yang normal u/ molekul gas.

• me¿mMG (massamolekul gas) dan di dalam logam

ρe 1000× lebih besar dari ρMG pada temperatur dantekanan standar. Pada kondisi inimekanika statistikklasik tidak berlaku, yang berlaku mekanika statis-tik kuantum.– Distribusi klasik mendekati keadaan sebenarnyajika jarak rata-rata partikelnyaÀ λde−Broglie.

• Penerapan untuk gas elektron mensyaratkan:’’konsep elektron sebagai partikel identik yangtidak dapat dibedakan’’, sehingga aturan eksklusiPauli u. elektron berlaku.→ akibatnya, gas elektron tidakmemenuhi distribusiMaxwell-Boltzmann, melainkanmemenuhi distribusiFermi-Dirac.

• Pada T = 0 K, distribusi FD mengharuskan kemu-ngkinan mendapatkan elektron pada suatu keadaan→ 0 atau 1.

1 → u/ E < EF0 → u/ E > EF

• U/ temperatur T , fungsi distirbusinya:f =

1

1 + exp([E −EF ] /kBT )• Catatan:> Bergantungan f pada E dan T (lihat gambar ku-liah 1)

> Ingat: energi Fermi EF juga berubah jika tem-pratur ↑, tetapi perubahan ini sangat kecil !!

1.7.4 Massa Efektif Elektron

• Seperti telah diketahui E(k) ' k2/m∗. (m∗ massaefektif elektron)

• Hargam∗/m u/ logamalkali (hasil perhitunganBROOK):Li Na K Rb Cs1,40 0,98 0,94 0,87 0,83

• Catatan:> Hasil diatas mengisyaratkan bhw elektron dalamkristal berkelakuan seolah-olah mempunyai massayang berbeda dgn massa elektron bebas> Perlu diketahui:(A)massa efektif ini bisa lebih besar atau lebih kecil,

bahkan bisa anisotropik dan berharga negati !.Massa kristal tidak berkurang bila massa efektifelektron negatif.

(B) Yang penting: elektron dlm potensial periodikdipercepat relatif thp kristal dlm medan listrik ataumedan magnet seakan-akan massa elektorn itusama dgn massa efektifnya.

• Konsep massa efektif(a) Tinjau gerak gel. dlm medan listrik ξ

(b) Anggap paket gel. terbentuk dari berbagaikeadaan dgn harga k tertentu→ gel. bergerakdgn kecepatan grup

v =dω

dk; atau

v = (dE

~dk)

(c) Menurut hukum Newton, pers. gerak elektrondlm medan listrik:

dp/dt = eξ; atau~dk/dt = eξ

(d) Dari pes. di atas diperoleh:

dv/dt =

·dE

~dkdt

¸=

·d2E

~dk2

¸ ·dk

dt

¸=

·d2E

~dk2

¸(eξ)/~2

= eξ/m∗

dimanam∗ = ~2

1

(d2E/dk2)

(e) Persamaan terakhir→massa efektif didefinisikandari pers. gerak. Jadim∗ ditentukan oleh turunankedua dari E(k) thp k.

1.7.5 Struktur Pita Energi dan Sifat Listrik Bahan

1. Struktur pita logam dan non-logam– Pada logam: pita energi teratas biasanyati-dak terisi penuh dgn elektron sehingga energielektron dapat berubah secara malar (kontinyu)→ elektron dapat digerakkan dgn mudah olehmedan eksternal.

– Pada non-logam: biasanya penuh, diatasnyaterdapat energi gap. Jika hal ini terjadi , makadalam bahan itu elektron tidak menerima energisecara malar → elektron sulit u/ digerakkanmedan eksternal. Bahan ini adalah isolator ataunon-konduktor.

2. Struktur pita semikonduktor– Strukturnya serupa dgn isolator, tetapi energigapnya sempit sehingga banyak elektron yangmelompat ke pita energi di atasnya.

– Elektron ini→ berlaku sebagai elektron konduksi– Konduksi juga terjadi karena perambatankekosongan (hole) pada pita energi. Hole iniberlaku sebagai partikel bermuatan positif yangmudah digerakkan oleh medan eksternal.

1.7.6 Struktur Pita Energi dari Semikonduktormurni (intrinsik)

• Si dan Ge murni pada T = 0 K, pita valensi terisipenuh dan pita konduksi kosong. Nilai Eg untuk Si1,17 eV dan Ge 0,74 eV.

• Jadi, pada suhu rendah pita valensi penuh sedan-gkan pita konduksi kosong→ semikonduktor bersi-fat Isolator.

• Keadaan ini dapat diubah dgnmengeksitasi elektrondari pita valensi ke pita konduksi. Jika hal ini ter-jadi elektron menjadi elektron konduksi, pada pitavalensi terbentuk suatu lubang (hole)

– Untuk bahan dgn celah energi langsung pemben-tukan pasangan elektron-hole memerlukan energieksitasi minimum sebesar Eg.

– Untuk bahan dgn celah energi tidak-langsung akan

diperlukan energi eksitasi minimum sebesar Eg+energi phonon dgn vektor gelombang→ berarti bahan dgn celah energi langsung meru-pakan bahan lebih efisien sebagai bahan semi-konduktor.

• Dari uraian diatas, untuk semikonduktormurni berlakupersamaan:X

n (pita konduksi) =X

p (pita valensi)

• elektron (n) maupun hole (p)→ sebagai pembawa-2muatan dalam penghantaran arus listrik

1.8 Resume Kuliah I (cont)

1.8.1 Semikonduktor Murni: Tingkat energiFermi dan Konsentrasi Pembawa

• Tingkat Energi Fermi→ paramater lain yang bergunauntuk menganalisis sifat hantaran SK

• Berdasarkan teori statistik kuantum, u/ sistem e danhole yang berspin 1/2→ berlaku hukumstatistikFermi-Dirac

fn(E) =1

1 + exp([E −EF ] /kBT )fp(E) = 1− fn(E)

– Fungsi ini menyatakan kemungkinan (probabilitas)u/ mendapatkan elektron (atau hole) pada energiE dan temperatur T.

– Dengan demikian, konsentrasi elektron atau holeyang diizinkan aturan Pauli

n =

Zgn(E)fn(E)dE

p =

Zgp(E)fp(E)dE

dengan gn(E) (gp(E)) menunjukan rapat keadaanelektron (hole) per satuan volume per satuan se-lang energi (dE − E + dE)

• Berdasarkan Teori kuantum u/ model gas elektron

dalam kotak (box) bervolume V dapat diturunkanungkapan u/ gn(E) dan gp(E)

gn(E) =1

2π2

µ√2m∗n~

¶3E1/2

gp(E) =1

2π2

Ãp2m∗p~

!3E1/2

dgnm∗n danm∗p masing-2 menyatakan massa efektifelektron dan hole.

• KONDISI: elektron di pita konduksi dan hole di pitavalensi– Persamaan-2 di atas menjadi:

gn(E) =1

2π2

µ√2m∗n~

¶3(E −Ec)1/2

gp(E) =1

2π2

Ãp2m∗p~

!3(Ev − E)1/2

– U/E > Ec berlakuE−EF À kBT , sehingga fn(E)dapat didekati dalam bentuk BOLTZMANn

fn(E) ' exp((EF −E)/kBT )– U/ E < Ev berlaku EF − E À kBT yang meng-hasilkan aproksimasi

fp(E) ' exp((E −EF )/kBT )– Dari persamaan-2 diatas, konsentrasi elektron da-

pat dihitung sbb:

n =

∞ZEc

1

2π2

µ√2m∗n~

¶3(E −Ec)1/2e(EF−E)/kBTdE

=1

2π2

Ãp2m∗nkBT~

!3e(EF−Ec)/kBT

∞Z0

rE −EckBT

×

e(E−Ec)/kBTd(E −EckBT

)

– Dengan bantuan fungsi gamma:∞Z0

xz−1e−xdx = Γ(z)

Γ(m + 1) = mΓ(m)

Γ(1/2) =√π

– Integral pers. diatas dapat diganti dgn√π,dan

n =

√π

2π2

Ãp2m∗nkBT~

!3e(EF−Ec)/kBT

atau dgn mengingat ~ = h/2π

n = 2

µ2m∗nπkBT

h2

¶3/2e(EF−Ec)/kBT (*)

= Nce(EF−Ec)/kBT

dgn rapat keadaan (rapat keadaan efektif) dalam

pita konduksi

Nc = 2

µ2m∗nπkBT

h2

¶3/2– Hal yang sama u/ konsentrasi hole diperoleh:

p = 2

µ2m∗pπkBT

h2

¶3/2e(Ev−EF )/kBT (**)

= Nve(Ev−EF )/kBT

dgn rapat keadaan (rapat keadaan efektif) dalampita valensi

Nv = 2

µ2m∗pπkBT

h2

¶3/2• PERHATIAN: rumus-rumusn dan p disini diturunkansecara umum dan ’’tidak hanya berlaku untuk semi-konduktormurni’’. Satu-satunya asumsi yang dipakaidalampernurunan ini adalah pendekatan hukumsta-tistik Fermi-Dirac dgn statistik Boltzmann.

• KHUSUS: u/ semikonduktor murni– Berlaku n = p– Akibatnya,

Nce(EF−Ec)/kBT = Nve(Ev−EF )/kBT

atauEF =

Ec +Ev2

+kBT

2ln

µNvNc

¶

– Mengingat bhw m∗n/m∗p ' 1, maka Nv/Nc ' 1 danEF ' Ec + Ev

2Ini berarti bhw tingkat energi Fermi terletak kuranglebih ditengah-tengah antara tepi bawah pita kon-duksi dan tepi atas pita valensi.

1.8.2 Semikonduktor Tak-Murni: Tingkat energiFermi dan Konsentrasi Pembawa1. Kasus SK tipe-n• Konsentrasi pembawa dalam pita konduksi

n = Nce(EF−Ec)/kBT

dgn

Nc = 2

µ2m∗nπkBT

h2

¶3/2– Andaikan semua elektron konduksi berasal dari elek-tron Donor, maka n sama dgn konsentrasi elek-tron donor (atau konsentrasi atom donor, karenasetiap atom tak-murnian hanyamenyumbang satuelektron) yang dieksitasi ke dalam pita konduksi.

– Harga ini sama dgn konsentrasi atom tak-murnianND dikurangi konsentrasi yang tersisa dalam pitaED (yaitu pita energi atom donor). Jadin = ND −NDf(ED) ' ND exp((ED −EF )/kBT )

2.– Dengan demikian

Nce(EF−Ec)/kBT = NDe(ED−EF )/kBT

sehingga kita peroleh tingkat energi Fermi sbb:

EF =1

2(Ec +ED) +

kBT

2ln

µNDNc

¶(i) Dalam tipe-n, jika Nc À ND → ln

³NDNc

´< 0,

dan EF terletak agak jauh dari dibawah ED.Namun dgn menambah ketakmurnian, EF akanbergeser ke atas.

(ii) Khususnya, pada Nc = ND (atau T = 0 K), EFterletak ditengah-tengah antara Ec dan ED

(i) Catatan: Pergeseran tingkat Fermi tampak

pada gambar di atas. Jadi untuk operasi padasuhu tertentu (suhu ruang misalkan tingkatenergi Fermi dapat dikendalikan dgn mengaturkonsentrasi takmurnian yang dimasukkan kedalam SK yang bersangkutan)

• PERHATIKAN juga,– Meskipun konsentrasi pembawa dlm pita konduksimasih ditentukan oleh rumus n yang serupa dgnkasus SK-murni, namun harganya akan berbedatergantung pada tingkat energi Fermi yang diten-tukan dalam desain bahannya. Jelas bhw

nn ↑ jika EF mendekati Ec2. Kasus SK tipe-p• U. tipe ini berlaku hal yang sama.• JikaNA adalah konsentrasi atomakseptor, maka diper-oleh hasil

EF =1

2(Ev +EA) +

kBT

2ln

µNvNA

¶• HargaEF inilah yg harus digunakan dalam rumus u/konsentrasi pembawa di pita valensi:

p = Nve(Ev−EF )/kBT

CATATAN:

1. Dari uraian diatas jelas bhw tingkat energi Fermi

merupakan faktor yang menentukan bagi perhi-tungan konsentrasi pembawa SK, baik yang murnimaupun yang ekstrinsik.

2. Namun dipihak lain, anatara konsentrasi elektrondan hole berlaku hubungan umum yang tidakbergantung pada EF maupun konsentrasi ketidak-murnian !!!

3. Dari rumus-rumus umum (*) dan (**) diperolehkesimpulan:

np = 4

µ2πkBT

h2

¶3(m∗nm

∗p)3/2e−Eg/kBT

ataunp = n2i

dgn ni sebagai konsentrasi pembawa intrinsik yangdiberikan oleh rumus berikut:

ni =pNcNve

(Ev−Ec)/kBT

=pNcNve

−Eg/kBT

– Dari rumus di atas jelas bhw hasil kali np hanyabergantung pd Eg = Ec −Ev

4. Jadi, baik SK-murni, SK tipe-n, dan SK tipe-p,diperoleh persamaan

np = nnpn = nppp = n2i

Hubungan ini disebut sebagai HUKUM AKSIMASSA (Hukum Guldberg-Waage)

1.8.3 Efek Hall dan PenerapannyaA. Efek Hall

• Keterangan:(a) Medan listrik ξ dan medan magnet B diletakkansaling tegak lurus

(b) Akibat pengaruh medan listrik, elektron-2 bebasdalam batang akan mengalami gaya −eξ, danbergerak ke arah -x dgn kecepatan tertentu v

(c) Bersamaa ini, hadir B mepengaruhi elektrondgn gaya dorong −evB dalam arah -y. Se-bagai akibatnya, elektron-2 akan terdorong kebawah dan terkumpul di sisi bawah batang, danmenimbulkan medan listrik ξH dalam arah +y

(d) Proses ini akan berlangsung terus menerus sam-pai tercapai medan listrik sanggupmenyeimbangi

gaya magneteξH = evB atauξH = vB

(e) Tegangan Hall yang bersangkutanVH = ξd

= vBd

(f) Kemudian, dgn meningat bhw pada keadaanaliran stationer tsb berlaku

j = env = I/(ld)

makaVH =

BI

enl

=BI

lRH

dgnRH =

1

enKonstant ini disebut koefisien Hall

(g) Asumsi yang digunakan u/ penurunan rumusdi atas: bhw kecepatan hanyut elektron vn = vsama untuk setiap elektron.

(h) Keadaan Riil: kecepatan pembawa-2 tsbmempunyai latar belakang distribusi termal yangkontinyuJika distribusi ini diperhitungkan, maka VH dan

RH termodifikasi menjadi

VH =8

3π

µBI

lRH

¶dgn

RH =3π

8

µ1

en

¶Persamaan di atas berlaku juga untuk pembawa-2 bermuatan positif. Hanya polaritas VH -nyaberlawanan dgn kasus elektron, dan RH menjadi

RH =3π

8

µ1

ep

¶B. Penerapan Efek Hall u/ Penentuan ParameterKonduksi

Efek Hall dapat digunakan u/ menentukan 3 para-meter secara langsung

1. Penentuan jenis SK ekstrinsik2. Penentuan konsentrasi pembawa3. Penentuan mobilitas Hall

1. Penentuan jenis SK ekstrinsik– Efek Hall dlm SK tipe-n → VH yang berlawananpolaritas dgn VH SK tipe-p dalam medan ξ dan Byang sama.Hal ini mudah dipahami:hole bermuatan positif dan bergerak dalam arahberlawanan akan mengalami gaya magnet yang

sama dan terkumpul di sisi yang sama pula padabatang SK.Dengan demikian akan tejafi medan ξH dgn po-laritas yang berlawanan dgn kasus SK tipe-n

2. Penentuan konsentrasi pembawa– Dilakukan dgn rangkaian listrik yangmengalirkan arussepanjang arah sumbu x.

– Dengan penentuan besaran-2 l, B, VH,dan I, n danp dapat dihitung dari VH atau RH yang bersangku-tan:

n =8e

3π(RH)n; p =

8e

3π(RH)p

3. Penentuan Mobilitas– Tinjau persamaan konduktivitas

σ = e(µnn + µpp)

– U/ SK tipe-n:σ = enµn

– U/ SK tipe-p:σ = epµp

– Nilai σ dapat ditentukan dgn cara lain melalui pen-gukuran resistivitas (σ = 1/ρ)

– Setelah ρ ditentukan, maka mobiltas Hall dapat di-tentukan berdasarkan rumus

µ =1

ρRH

C. Penentuan Energi Gap– Efek Hall dapat digunakan u/ penentuan energi gapEg secara tidak langsung, yaitu dgn mengukur koe-fisien Hall sebagai fungsi dari temperatur

– Prinsip kerjanya:(i) Andai digunakan SK tipe-n. Jika bahan ini diberitemp. yg tinggi, maka eksitasi termal akanmengahsilkan elektron bebas yang berjumlahbesar dari pita valensi, dan pembawa-2 intrinsikberperan dominan pada temp. tinggi tsb.> Daerah suhu tinggi ini disebut daerah intrinsik.

(ii) Jika temp. diturunkan, konsentrasi elektronbebas akan menurun, dan pada titik tertentuhanya elektron donor yang masih tertinggaldalam pita konduksi. Selama temperatur tidakcukup tinggi sehingga semua elektron donormasih tereksitasi ke dalam pita konduksi, makakonsentrasi pembawa akan bertahan konstanterhadap perubahan temperatur.> Daerah ini disebut daerah aus (Exhausion)

(iii) Penurunan lebih lanjut akan menyebabkanperalihan kembali dari sebagian elektron ketingkat energi donor> Daerah ini disebut daerah tak-murnian (ekstrin-sik)

(iv) Konsentrasi pembawa menurun dgn cepat bilatemp. diturunkan.

– Khusus penentuan Eg perlu ditinjau hubungan yangberlaku dalam daerah tak-murnian.∗ Untuk daerah ini, n = p∗ Dan berdasarkan uraian sebelumnya

n =pNcNve

−Eg/kBT

dgn mengambil logaritma dari kedua sisi

ln(n) = −µEg2kB

¶1

T+1

2ln(NcNv)

∗ Jadi jelas bhw Eg dapat diperoleh dari kemiringan(slope) kurva ln(n) vs 1/T di atas di dalam daerahtak-murnian

2 Resume Kuliah II dan TambahanGejala transport pembawa terkait dgn gejala peng-hantaran listrik• Gejala penghantaran listrik berwujud→ arus listrik• Arus listrik timbul baik dalam logam maupun semi-konduktor, karena tersedianya pembawa-pembawalistrik yang bebas:– Logam: elektron bebas pada pita konduksi– Semikonduktor: elektron dan hole, yang diciptakanmelalui proses eksitasi.

• Catatan: mekanisme hantaran u/ kedua bahan berbeda• Berdasarkanmekanisme aliran pembawa bebas duajenis aliran:(a) Arus hanyut (drift current)(b) Arus difusi• Dalam Logam, mekanisme pertama yang berperandgn elektron sebagai pembawanya.

• DalamSK, kedua-duanya berperan, danmasing-masingjenis arus akan melibatkan elektron maupun hole

2.1 Arus Hanyut

• Andaikan elektron mengalir dgn kecepatan rata-rataatau kecepatan hanyut vn mempunyai konsentrasiatau kerapatan n dalam arah alirannya→maka darigambar jelas bhw rapat arus per satuan luas penam-pang

jn = −envn (A/m2)Ini berarti sama dengan jumlah muatan negatif yangmengalir per detik melalui penampang A.

• U/ arus hole, analog,jp = epvp (A/m2)

• Jika gerak ini diakibat oleh medan listrik ξ, maka re-spon pembawa terhadap ξ:

vn = −µnξ; u/ elektronvp = µpξ; u/ hole

• Besaran-besaran pembanding µndanµp disebutmo-bilitas elektron dan hole, dinyatakan dalam m2/(Voltdetik).

– Mobilitas pembawa: ukuran ketanggapannya ter-hadap pengaruh medan listrik luar ξ (nilainya ter-gantung jenis bahan SK yg bersangkutan)

• Dari persamaan-2 diatas, maka rapat arus:jn = enµnξ

jp = epµpξ

– Catatan: Jika n, p, µn, µp tidak bergantung padamedan listrik ξ, maka arus yang bersangkutan dise-but arus Ohmik dan memenuhi ’’hukum Ohm’’

j = σξ

dengan konstanta pembanding σ→ dikenal seba-gai konduktivitas bahan.∗ U/ elektron berlaku σn = eµnn

∗ U/ hole berlaku σp = eµpp

∗ dan konduktivitas total :σ = σn + σp = e(µnn + µpp)

2.1.1 Konduktivitas dan MobilitasKonduktivitas danmobilitas→ parameter fenomenologi(yg berkaitan dgn pengukuran langsung.Besaran ini dapat juga dikaitkan dgn → mekanismepenghantaran yg lebih terinci, dalam hal ini perlu tin-jauanmodel klasik Drude-Lorentz (yg lebih mendekatikedaan konduksi elektron dalam logam)

• Model klasik Drude-Lorentz– Menurut model ini:(i) Elektron-2 bebas yg bergerak akibat pengaruhmedan listrik luar ξ akan mengalami tumbukanacak dgn ion positif dari kisi kristal logam dalamfrekuensi tinggi sepanjang jalan.

(ii) Akibatnya, kecepatan gerak elektron mempun-yai harga rata-2 konstan.

(iii) Karena proses tumbukan tsb bersifat acak,dan keadaan elektron sebelum dan sesudahtumbukan bersifat bebas satu dgn lainnya,maka proses gerak elektron secara rata-ratadapat ditinjau dalam kurun waktu antara duatumbukan yang berturut-turut.

(iv) Andaikan selang waktu rata-rata antara duatumbukan adalah t, maka percepatan yangdialami elektron dalam selang waktu itu secararata-rata dapat dihubungkan dgn kecepatanrata-rata yang dicapai pada akhir selang waktut:

vn =1

2at

dgn vn = 0 ketika t = 0,yaitu pada akhirtumbukan sebelumnya. Tetapi percepatan a

ditentukan oleh ξ menurut pers.:

a =F

me=−eξme

Jadi,vn = − eξt

2me(v) Dengan demikian, rapat arus yg terjadi:

j = −envn= −ne

2t

2meξ

konduktivitas dan mobilitasσ =

ne2t

2me

µ =et

2me

(vi) Dengan τ = t/2 sebagai waktu relaksasiproses tumbukan, kita peroleh rumus DRUDE-LORENTZ:

σ =ne2τ

me

µ =eτ

me(vii) Berdasarkan rumus ini, karena n, e,me

besaran-2 konstan, maka σ hanya bergan-tung pada τ .

(viii) Jika l jarak rata-2 antara dua ion yangberdampingan dan vthnkecepatan termal elek-

tron, maka τ dianggap kurang lebih sebandingdgn l/vthn.

(ix)Menurut model gas elektron bebas

vthn =

r3kBT

m2(x) Ini berarti:

τ ≈ 1/√T dan σ ≈ 1/

√T

dengan kata lain, konduktivitas logam akanmenurun nilai temperaturnya menurun.

– Ramalan model ini sesuai dgn hasil eksperimen,terutama u/ temperatur yg tidak terlalu rendah ter-hadap suhu kamar. Pada suhu yang lebih rendahternyata σ ≈ 1/T. (model gagal u/ suhu sangatrendah)∗ Perbaikan teori:(A) perlu penafsiran me sebagai massa efektif

dan(B) perumusan mekanika kuantum untuk proses

tumbukan !!• Untuk Semikonduktor– Bentuk umum rumus konduktivitas tetap diperta-hankan:

σn =ne2τ

m∗eatau σn = neµn

σp =pe2τ

m∗patau σp = peµp

denganµn =

eσnm∗e, µp =

eσpm∗p

Harga mobilitas tergantung pada jenis kristal SK.– Perbedaan pokok dgn logam:(i) konsentrasi pembawa pada logam konstan,sedangkan pada SK bergantung pada suhusecara eksponensial, yaitu

n = Nc exp((EF −Ec)/kBT )= Nc exp(−|EF −Ec|/kBT )

p = Nv exp((Ev −EF )/kBT )= Nv exp(−|Ev −EF |/kBT )

(ii)Waktu relaksasi dan tentunya mobilitasnya,hanya bergantung pada temperatur menurut’’hukum pangkat’’

µ ≈ T−αdgn α > 0, tetapi tidak jauh dari 1.> Dengan demikian pertambahan hambatandisebabkan oleh meningkatnya hamburan dgnphonon akibat kenaikan temp. akan dikalahkandgn peningkatan σ yang disebabkan olehpertambahan konsentrasi pembawa.>Singkatnya: jika σ logam berkurang dgn

kenaikan temp., maka hal sebaliknya yangterjadi pada SK.

2.2 Arus Difusi

• Karena elektron di pita konduksi dan hole di pita valensibergerak bebas, maka dlaam keadaan setimbangpembawa-pembawa ini akan tersebar secara mer-ata.

• Jika pada daerah tertentu terjadi konsentrasi yanglebih tinggi, maka pembawa daerag tersebut ’’dengansendirinya ’’ akan mengalir ke daerah dgn berkon-sentrasi lebih rendah. (Proses ini akan terus berlang-sung sampai terjadi kembali konsentrasi yang mer-ata u/ seluruh daerah !!)

• Arus listrik yg terjadi karena aliran pembawa ini dise-but arus difusi.

Hubungan distribusi pembawa dan arus difusi tampak

pada gambar di atas.(Gbr. kiri) Distribusi elektron dan arus difusi elektron(Gbr. kanan) Distribusi hole dan arus difusi hole.• Secara matematis: hubungan antara rapat arus dangradient konsentrasi:

jn = eDndn

dx

jp = −eDpdpdx

Besaran-besaran Dn dan Dp → koefisien difusidari e dan hole (satuan m2/dtk)• Prinsip: Arus Total =P seluruh arus diatas– Namun u/ SK tipe-n dan tipe -p hanya ditekankanarus berikut:

jn = eµnnξ + eDndn

dx

jp = eµppξ − eDpdp

dxHargaD tidak hanya berbeda u/ e dan hole, tetapi

juga bergantung pada jenis bahan !!. Hal ini dapatdilihat dalam Hubungan Einstein:

Dnµn=Dpµp=kBT

esehingga

jn = eµn

·nξ +

kBT

e

dn

dx

¸; jp = eµp

·pξ − kBT

e

dp

dx

¸

Kuliah III

3 Generasi dan Rekombinasi Pembawa

3.1 Konsep Quasi-Fermi

• Berdasarkan kuliah sebelumnya:– Diasumsikan: konsentrasi elektron dan hole dalamkeadaan kesetimbangan termal jika distribusi pen-dudukan keadaan elektronik dinyatakan dgn fungsidistribusi Fermi-Dirac

• Fungsi distribusi akan berubah secara dramatis, jikamedah listrik tinggi (high electric field) diberikan kesampel SK> pada kondisi ini, yaitu kondisi tidak setimbang (non-equilibrium):(i) konsentrasi elektron dan hole tidak lagi diny-atakan dgn np = n2i

(ii) dan konsep Fermi-level yang ada tidak lagi dapatdigunakan

• Kondisi non-equlibrium juga dapat dibentuk melaluigenerasi pasangan e & p ekstra dalamSK dgn ab-sorbsi cahaya.Foton dgn energi lebih besar dari energi gap, akanmengeksitasi elektron di pita valensi ke pita konduksi

→ menggenerasi pasangan e & h.

• Dalam kondisi non-eq., penting merepresentasikanfungsi distribusi u/ elektron dan hole sbb:

fn =1

1 + exp((E −EFn)/kBT ); (3.1)

fp =1

1 + exp((EFp −E)/kBT ); (3.2)> Dari pers. diatas, didefinisikan EFn & EFp dandisebut Tingkat quasi-Fermi elektron dan hole (kadangdisebur IMREF, kebalikan penyebutan fermi)> Pada kondisi equilibrium: EFn = EFp = EF> Pada kondisn non-eq: EFn 6= EFp dan keduanyadapat merupakan fungsi koordinatRealita: perbedaan EFn - EFp dapat digunakan u/mengukur deviasi (penyimpangan) dari keadaan se-timbang.

• Pada kasusSKnondegenerate, pers. (3.1) dan (3.2):fn ' exp((EFn − E)/kBT )fp ' exp((E −EFp)/kBT )

Substitusi persamaan-2 ini ke persaman n dan p (ku-liah II)

n = Nc exp((EFn −E)/kBT ); (3.5)p = Nv exp((E −EFp)/kBT ); (3.6)

3.2 Perluasan Konsep quasi-Fermi

– yaitu u/ kondisi dimanamedan yang diberikanmenye-babkan peningkatan yang substansial dalam en-ergi rata-2 gerak random elektron atau hole dgnmemperkenalkan konsep temperatur elektorn atauhole efektif, Te & Tp

– Temperatur efektif elektronTe =

2

3E/kBT

dimana E adalah energi elektron– Persamaan (3.1) dan (3.2) menjadi

fn =1

1 + exp((E −EFn)/kBTe)fp =

1

1 + exp((EFp −E)/kBT )catatan: hasil perhitungan dan simulasi konseptemp efektif sangat tidak akurat (detail M. Schursection 1.14)

• Konsep quasi-Fermi sangat bermanfaat, karena kon-sentrasi pembawa pada devais SK dapat bervariasisebagai fungsi dari posisi atau bias dgn orde besaryang banyak, sedangkan quasi-Fermi berubah di-dalam energi gap atau dekat ke dasar pita konduksiatau ke puncak pita valensi. Variasi ini mudah divi-sualisasikan !!

• Andaikan:(a) Cahaya menyinari GaAs tipe-n dgn rapat dopingNd

(b) Cahaya secar uniform terabsorbsi dan mempro-duksi pasangan e & p dgn kerapatan P

(c) Kerapatan elektron menjadin ' P +Nd; (3.9)

(d) Kerapatan hole menjadip ' P + n2i /Nd; (3.10)

(e) Tingkat quasi-Fermi elektron dan hole dihitungmelalui pers. (3.5), (3.6), (3.9) dan (3.10)

• Pasangan elektron-hole yang tergenerasi dalam SK→merekombinasi

• Proses rekombinasi akan lebih intensif apabila kon-sentras ipasangan elektron-hole bertambahNilai konsentrasi pembawa steady state tercapai, jika

laju generasi G diimbangi laju rekombinasi RG = R

3.3 Mekanisme RekombinasiTerdapat 4 tipe mekanisme:

1. Rekombinasi radiatif langsung (pita-ke pita)2. Rekombinasi pita-ke impuriti radiatif3. Rekombinasi non-radiatif melalui tingkat impu-rity (trap)

4. Rekombinasi Permukaan

3.3.1 Rekombinasi radiatif langsung (pita-kepita)

• Laju rekombinasi sebanding dgn perkalian np• U/ SK non-degenerate

R = Gthnp/n2i ; (3.12)

dimana Gth laju generasi termal• Ungkapan u/ Gth (Roosbroeck & Schockley (1954))Gth = 32π

2(kBT/h)4

Zξ(v)n3rx

3 dx

[exp(x)− 1]; (3.13)dimana v frekuensi, nr indeks refraksi, x = hv/kBT,ξ(x) = hcα(x)/(4πkBTnrx), c kecepatan cahaya dalamvakum dan α koefisien absorbsi.

• Persamaan (3.12) menjadi:R = Crnp

• Pada steady state,G = Crnp = Cr(n0 +4n)(p0 +4p)

dimana4n &4p konsentrasi elektron dan hole ek-stra dan n0 & p0 konsentrasi elktron dan hole setim-bang (n0p0 = n2i )

• Jika generasi pasangan e & h disebabkan cahaya,laju generasi G sebanding dgn intensitas cahaya IContoh:Andaikan sebuah SK tipe-n dalam keadaan setim-bang: n0 = Nd dan p0 = n2i /NdPada intensitas cahaya yang rendah jika4n¿ Nd,tetapi4p ' 4nÀ n2i /Nd, diperoleh

4n = Gτ rdimana τ r = 1/(CrNd) disebut radiative band-to-band recombination lifetimeJika intensitas cahaya kecil, 4n sebanding dgn G,dan tentunya juga dgn I.Pada intensitas tinggi, jika4nÀ n0, p0,4p '4n,G ≈Cr4n4p = Cr4n2, dan 4n sebanding dgn

√G,

dan tentunya juga dgn√I

3.3.2 Rekombinasi pita-ke impuriti radiatif

• Rekombinasi ini secara praktis lebih penting ketim-bangmekanisme sebelumnya, terumta u/ devais SKpengemisi cahaya (light-emiting)

• Radiative bandto-impurity recombination lifetime:τ r = 1/(BrNA)

dimanaBr koefisien rekombinasi radiatif danNA kon-sentrasi impurity yang terkait dalam proses rekom-binasi ini

3.3.3 Rekombinasi non-radiatif via trap

• Dalam banyak hal, mekanisme ini dominan.• Teori dari mekanisme dikembangkan oleh Schock-ley & Read (1952)

• Empat transisi elektron dan hole terlibat dalam rekom-

binasi ini

• Keterangan:(a) Ketika e ditangkap oleh trap yang kosong dankemudian hole ditangkap oelh trap yang terisioleh elektron→ rekombinasi pasangan e & h

(b) Proses sebaliknya: elektron diemisi oleh trapterisi ke pita konduksi, dan emisi hole dari trapyang kosong ke pita valensi

• Laju penangkapan elektron,Rnc, sebanding dgn jum-lah elektron dan jumlah trap yang kosong

Rnc = Cnn(1− ft)Ntdimana ft fungsi pendudukan tingkat trap.– Koefisien

Cn = σnvthndimana σn penampang lintang penangkapan u/ elek-

tron,vthn = (3kBT/m

∗n)1/2

adalah kecepatan termal elektron dan m∗n massaefektif elektron.

• Laju emisi elektron dari trap, Rne,Rne = enftNt

• Dalam kondisi setimbangRnc = Rne

sehingga,Cnn0 = enft0/(1− ft0); (3.23)

dimanan0 = Nc exp((EF −Ec)/kBT )

adalah konstrasi elektron setimbang, ft0 pendudukantingkat trap setimbang.Ratio ft0/(1−ft0) diperoleh dgnmenggunakan fungsipendudukan Fermi-Dirac:

ft0/(1− ft0) = exp [−(Et −EF )/kBT ]Et energi tingkat trapSehingga darri pers.(3.23), diperoleh bhw

en = ntCndimana

nt = Nc exp [−(Et −Ec)/kBT ]• Perbedaan antara laju penangkapan dan pememisian

elektronRn = Rnc −Rne = CnNt [(1− ft)n− ftnt] ; (3.28)

• Penurunan yang sama u/ perbedaan laju panangka-pan dan pengemisian hole

Rp = Rpc −Rpe = CpNt [ftp− (1− ft)pt]dimana

Cp = σpvthp

• Pada kondisi setimbang: tidak terdapat akumulasinetto muatan, sehingga e & h harus merekombinasidalam pasangan. Jadi,

Rp = Rn = R

dimana R laju rekombinasi• Fungsi pendudukan ft dapat diperoleh dari kondisiRp = Rn,

ft =nCn + ptCp

Cn(n+ nt) + Cp(p + pt)

• Substitusi pers. ini ke pers.(3.28):R =

pn− n2iτ pl(n + ni) + τnl(p + pi)

; (3.34)ni konsentrasi intrinsik, τ pl dan τnl lifetiem elektrondan hole

τnl = 1/(vthnσnNt)

τ pl = 1/(vthpσpNt)

– Khususnya, jika elektron adalah muatan minoritas

(n ¿ p ≈ NA, p À pt, p À nt), pers.(3.34) tere-duksi menjadi

R =n− n0τnl

dimana n0 = n2i /ND.– Jika hole minoritas (p¿ n ≈ ND, nÀ pt, nÀ nt)

R =p− p0τ pl

dimana p0 = n2i /NA.– Konsentrasi pembawa ditentukan oleh doping. Penu-runan lifetime thp doping pada tingkat doping yangrendah dapt dijelaskan melalui konsentrasi trap disampel terdoped.∗ Jika konsentrasi trap sebanding dgn konsentrasidopant, diharapkan

τ ' 1/ND∗ Hasil eksperimen (M.S Tyagi &R. vanOverstraaten)menunjukan lain: pada tingkat doping yang re-latif tinggi, τ pl menurun thp konsentrasi dopinglebih cepat daripada 1/ND.∗ Alasan: mekanisme rekombinasi yang berbeda(disebut rekombinasi Auger ) menjadi penting un-tuk tingkat doping yang tinggi∗ Pada mekanisme ini:(A) rekombinasi e & h tanpa tingkat trap

(B) dan energi yang dikeluarkan (dlm orde energigap) ditransfer ke pembawa yang lain ( holepada tipe-n dan elektron pada tipe-p)

(C) Proses demikian adalah kebalikan dari prosesmekanisme impact ionization yang dgnnyapembawa energetik menyebabkan generasipasangan e & h

(D) Karena terdapat dua elektron dan dua holedalam rekombinasi Auger, lifetime rekombi-nasinya adalah berbanding terbalik kuadratkonsentrasi mayoritas

τnl = 1/(GpN2A); tipe-p

τ pl = 1/(GnN2D); tipe-n

Untuk Si Gp = 9, 9 × 10−32 cm6/s danGn = 2, 28× 10−31 cm6/s

3.3.4 Rekombinasi Permukaan (surface)

• Pada kebanyak devais SK, laju rekombinasi sangattinggi dekat permukaan, dimana defects dan traptambahan meningkatan laju rekombinasi

• Konsekuensinya: fluks difusi pembawaminoritas padpermukaan ditentukan oleh proses rekombinasi per-mukaan.– Contoh: jika pembawaminoritas adalah hole, rekom-

inasi permukaan dapat dideskripsikan sbb:Dp∂p/∂x|x=0 = −Sp [pn(x = 0)− pn0]

dimanaDp koefisien difusi hole, pn konsentrasi hole,pn0 = n2i /ND konsentrasi hole setimbang, x = 0menyatakan permukaan sampel,

Sp = σpvthpNstmerupaka laju rekombinasi permukaan, dan Nstadalah kerapatan permukaan dari permukaan trap