UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SURABAYA DEFINISI TURUNAN

Definisi TurunanPada definisi turunan, akan dijelaskan dari konsep gradien garis singgung, bagaimana cara menentukan gradien garis singgung pada kurva y=f(x) dititik (x1,f(x1)) dititik A (x1,f(x1)) dan B (x2,f(x2)) dimana garis AB adalah garis yang menghubungkan kedua titik tersebut ?

Penyelesaian : Gradien garis AB adalah

(x1, f(x1)B (x2,f (x2)) A y = f(x) x2-x1 f(x) f(x1)

0 x1 x2 x

Misalkan, x2 - x1 ditetapkan sebagai h , sehingga x2 = x1 + h. Nilai h 0 sebab jika h=0 maka x2=x1 Dengan demikian,

Ketika A tetap dan B digerakkan sepanjang kurva mendekati A, maka x2 mendekati x1 (ditulis x2 x1) atau (x2 - x1) 0 atau h 0 (dibaca h mendekati nol). Akibatnya, garis AB mendekati garis 1 yang merupakan garis singgung kurva di A. Dengan demikian, gradien garis AB mendekati gradien garis singgung kurva di A (x1,f(x1)) .

m disebut gradien garis singgung kurva y=f(x) dititik (x1 , f(x1)).

Contoh soal :Tentukan gradien garis singgung pada kurva y=2x3 dititik (-1,-2)! Penyelesaian :

Diketahui (x1 , f(x1) = (-1,-2) sehingga x1 = -1 f(x) = 2x3

Sehingga :f(x1+ h) = f(-1+h) = 2 (-1+h)3 = 2 (-1+3h-3h2 + h3)f(x1)= f(-1)= 2 (-1)3 = -2 f(-1+h) f(-1)= 2 (3h-3h2 + h3)Dengan demikian :

Turunan (differential) dari sebuah fungsi f dan fungsi yang diberi lambang f (dibaca f aksen) dan difenisikan sebagai :

Dengan menganggap limit ini ada. Jika f(x) bisa diperoleh, f dikatakan dapat diturunkan (differentiable). Jika f(x) disebut turunan dari f terhadap x. Proses mencari turunan disebut penurunan (differentiation).Contoh soal : Tentukan turunan daria.b.

Penyelesaian :a.

b.

ATURAN PENCARIAN TURUNANAturan Turunan Fungsi Konstantajika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka f(x) = 0 atau d/dx (k) = 0bukti :

y (x,k) (x+h,k)y (x+h,x+h) (x,x)

x x+h x x x+h x f(x) = k f(x) = xContoh soal : Tentukan turunan dari fungsi berikut :

Penyelesaian :f(x) = 0 , sebab adalah konstanta

2.Aturan Turunan Fungsi IdentitasJika f(x) = x , maka f(x) = 1 atau d/dx (x) = 1Bukti :

3. Aturan Turunan Fungsi Eksponen (Pangkat)Jika f(x) = xn dengan n adalah bilangan real, maka : f(x) = nxn-1 atau d/dx = xn = nxn-1

Contoh soal : Tentukan turunan dari fungsi berikut :a.F(x) = x5 + 3x4 2x3b. F(x) = 5x4 2x2 + 3

Penyelesaian : F(x) = x5 f(x) = 5x5-1 f(x) = 5x4 F(x) = x7 f(x) = 7x7-1 = 7x6

Aturan Turunan Hasil Kali Konstanta dengan FungsiJika f adalah fungsi yang dapat diturunkan dan k adalah suatu konstanta maka fungsi g(x) = k f(x) dapat diturunkan dengan g(x) = k f (x) atau d/dx [k (f(x))] = k fx)

Bukti :

Dimana g(x) = k f(x) sehingga g(x+h) = k f(x+h). Jika hasil ini dimasukkan ke dalam g(x) diperoleh :

Contoh soal : K (x) = 3x3 + 2x2F(x) =

Penyelesaian :

F(x) = 3x3 + 2x3f(x) = 3.3x3-1 + 2.2x2-1f(x) = 9x2 + 4x

b. F(x) = = x f(x) = . 1. x -1 f(x) = . X - f(x) = .f(x) =

Aturan Turunan Jumlah FungsiJika u dan v adalah fungsi fungsi dari variabel x yang dapat diturunkan, maka u+v juga dapat diturunkan.Misal : f(x) u (x) + v(x)maka f (x) = u(x) + v(x)atau d/dx [u(x) + v (x)] = u(x) + v(x)

Dengan demikian, turunan dari jumlah dari dua fungsi sama dengan jumlah dari turunan turunannya.

Bukti :

Contoh soal : Tentukan turunan dari fungsi berikut.

Penyelesaian :

Aturan Turunan Selisih FungsiJika u dan v adalah fungsi fungsi dari variabel x yang dapat diturunkan, maka u-v juga dapat diturunkan, seperti aturan turunan jumlah fungsi.Misal : g (x) = u(x) v(x)maka, g(x) = u(x) v(x)atau d/dx [u(x) v(x)] = u(x) v(x)

Bukti untuk penurunan selisih dari dua fungsi, sama seperti proses penurunan jumlah dari dua fungsi.

Contoh soal : F(x) = 3x4 5x2F(x) = 4.3x4-1 5.2x2-1F(x) = 12x3 10x

7.Aturan Turunan Hasil KaliJika u dan v adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka hasil kali u.v juga dapat diturunkan. Misalkan f9x) = u(x).v((x) maka : f(x) = u(x).v(x) + v(x).u(x) Tampak bahwa turunan dari perkalian dua fungsi adalah fungsi pertama dikali dengan turunan fungsi pertama. d/dx (perkalian) = (pertama) (turunan dari kedua) + (kedua) (turunan dari pertama).

Bukti : Jika f(x) = u(x).v(x)

Contoh soal : Tentukan turunan dariF(x) = (x+2) (3x+6)F(x) = (2x3 - 3x2) (5x2 7)

Penyelesaian :a.F(x) = (x+2) (3x+6)u(x) = (x+2) u(x)=1v(x) = (3x+6) v(x) = 3f(x) = u(x).v(x) + v(x) + u(x)= (x+2) (3) + (3x+6) (1)= 3x + 6 + 3x + 6= 6x + 12

F(x) = (2x3 - 3x2) (5x2 7)u(x)= (2x3 - 3x2) u(x) = 6x2 - 6xv(x) = (5x2 7) v(x) = 10xf(x) = u(x).v(x) + v(x) + u(x)

= (2x3 - 3x2) (10x) + (5x2 7) (6x2 - 6x)= (20x4 30x3) + (30x4 30x3 42x2 + 42x)= 20x4 30x3 + 30x4 30x3 42x2 + 42x= 50x4 - 60x3 - 42x2 + 42x

Aturan Hasil Bagi FungsiJika u dan v adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka pembagian u/v juga dapat diturunkan., maka pembagian u/v juga dapat diturunkan. Misal : , u(x) disebut juga fungsi pembilang dan v(x) disebut fungsi penyebut, maka :

Turunan dari pembagian dua fungsi adalah penyebut dikali dengan pembilang dikurangi dengan pembilang dikali dengan turunan penyebut. Kemudian, hasilnya dibagi dengan kuadrat penyebut. Bukti : Jika maka : u(x) = f(x).v(x) u(x) = f(x).v(x) + f(x).v(x) f(x).v(x) = u(x) f(x).v(x)

f(x).v(x) = u (x) . f(x) . (x)

Soal : Tentukan turunan fungsi dari : a.

b.

Penyelesaian :

a.

b.

Sehingga dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan yang dirangkum sebagai berikut :

1. Jika f (x)=k, maka 2.3.

4.

5. dengan g(x) 0.

3.Tentukan turunan pertama dari Soal!1. Tentukan turunan pertama dari 2. Tentukan turunan pertama dari

Soal LatihanTentukan fungsi turunan pertama dari1.2.3.4.5.

Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus

Bukti:

a. Misal f(x) = sin x maka

b. Misal f(x) = cos x maka

Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v

Aturan RantaiAndaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada , maka

Contoh : Tentukan dariJawab :Misal sehingga bentuk diatas menjadi Karena

dan maka

Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), danAda, makaContoh : Tentukan dariJawab :Misal u = Sin v sehingga

Contoh : Tentukan

jawab :

Tentukan fungsi turunan pertama dari y = sin x tan [ x2 + 1 ]Soal Latihan1.2.3.4.5.6.

*****************