Ivan Slapniar c

MATEMATIKA 3Radna verzija

http://www.fesb.hr/mat3

Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2006.

Ova skripta nastala su na osnovi suradnje Ministarstva znanosti i tehnologije Republike Hrvatske i Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu na I-projektu Ministarstva Matematika 3 digitalni udbenik s interaktivnim z animacijama i interaktivnom provjerom znanja (http://www.fesb.hr/mat3).

Copyright c 2006, Ivan Slapniar. Sva prava pridrana. c z

Sadraj z

1 VEKTORSKA ANALIZA 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Vektorska funkcija skalarne varijable . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7

Derivacija vektorske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Integral vektorske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Skalarna i vektorska polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Gradijent, divergencija i rotacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1 Cilindrine i sferne koordinate c . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 1.7

Potencijalna i solenoidalna polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Usmjerene derivacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 KRIVULJNI INTEGRALI 2.1 2.2 2.3

25

Glatka krivulja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Krivuljni integral skalarnog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Krivuljni integral vektorskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1 Cirkulacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 2.5

Potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Greenova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1

3 PLOSNI INTEGRALI 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

43

Glatka ploha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Ploni integral skalarnog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 s Ploni integral vektorskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 s Teoremi o divergenciji, gradijentu i rotoru . . . . . . . . . . . . . . 59 Stokesova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Popis slika2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Po djelovima glatka krivulja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Neprekidne orijentacija krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Orijentacija po djelovima glatke krivulje . . . . . . . . . . . . . . . 27 Luk krivulje C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Ravninske krivulje Ca i Cb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Pozitivno orijentirana krunica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 z Pozitivno orijentirani trokut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Put integracije udzudu koordinatnih osiju . . . . . . . . . . . . . . 38 z Zatvoreni skup D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.10 Podruje s vie zatvorenih krivulja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 c s 2.11 Primjena Greenovog teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Parametrizacija plohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Ploha parametrizirana s dva sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Po dijelovima glatka ploha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Element povrine plohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 s Dio sredinje jedinine sfere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 s c Neprekidne orijentacije glatke plohe . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3

3.7 3.8 3.9

Mbiusova vrpca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 o Orijentacija po dijelovima glatke plohe . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Vanjska i unutranja orijentacija sfere . . . . . . . . . . . . . . . . 53 s

3.10 Desna orijentirana polusfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.11 Projekcije desne orijentirane polusfere na yz-ravninu i xy-ravninu . 59 3.12 Konzistentne orijentacije plohe i njenog ruba . . . . . . . . . . . . 62 3.13 Gornja polusfera i njen rub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Popis tablica

5

1. VEKTORSKA ANALIZA

Sadraj z1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Vektorska funkcija skalarne varijable Derivacija vektorske funkcije . . . . Integral vektorske funkcije . . . . . . Skalarna i vektorska polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 10 12 14

Gradijent, divergencija i rotacija . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1 Cilindrine i sferne koordinate . . . . . . . . . . . . . . 20 c 1.6 Potencijalna i solenoidalna polja . . . . . . . . . . . . 20 1.7 Usmjerene derivacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.1

Vektorska funkcija skalarne varijable

Naka V0 oznaava skup svih radijus-vektora u pravokutnom koordinatnom c sustavu (O, i, j, k) [M1, 3.4], V0 = OM | M = (x, y, z) Rn . Denicija 1.1 Vektorska funkcija skalarne varijable (krae: vektorska funkcija) c je svaka funkcija w : D V0 , D Rn . Za svaku toku t D je w(t) radijus-vektor pa ga moemo razloiti po komc z z ponentama: w(t) = wx (t) i + wy (t) j + wz (t) k. (1.1)

8

VEKTORSKA ANALIZA

Komponente vektorske funkcije su prema tome tri funkcije n varijabli, wx , wy , wz : D R. Za razliku od funkcija jedne ili vie varijabli koje smo razmatrali u kolegijima s Matematika 1 i Matematika 2, vektorske funkcije nemaju graf u klasinom smislu c te rijei. Umjesto toga deniramo hodograf ili trag vektorske funkcije w kao skup c svih toaka koje opisuju vrhovi radijus-vektora w(t) kada t poprima vrijednosti c iz domene D. Primjer 1.1 (i) Za n = 3 moemo promatrati vektorsku funkciju w(T ) koja z svakoj toki u prostoru pridruuje vektor koji opisuje smjer i iznos strujanja c z zraka (vjetra) u toj toki. c (ii) Najee e nas zanimati sluaj kada je n = 1, odnosno kada je D R. c sc c c Izrazom w(t) = cos t i + 2 sin t j + 2t k, t R, zadana je cilindrina eliptika spirala. Krivulja lei na platu eliptikog c c z s c cilindra [M2, 3.4.5] y2 = 1, x2 + 4 sastoji se od toaka (x(t), y(t), z(t)) gdje je c x(t) = cos t, y(t) = 2 sin t, z(t) = 2t. Ovo je ujedno i primjer parametarskog naina zadavanja prostorne krivulje. c Zadatak 1.1 Izraunajte vrijednsti vektorske funkcije iz primjera 1.1(ii) za t = c 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 1/2. Zadanu spiralu prvo skicirajte, a potom nacrtajte pomou c programa NetPlot. Od sada nadalje pretpostavit emo da je n = 1, odnosno D R. c Denicija 1.2 Vekor a je limes vektorske funkcije w : D V0 u toki t0 , c a = lim w(t),tt0

pri emu je t (t1 , t2 ) D, ako c ( > 0) ( > 0) tako da |t t0 | < |w(t) a| < .

1.1 Vektorska funkcija skalarne varijable

9

Ova denicija je formalno jednaka deniciji limesa funkcije jedne varijable [M1, denicija 4.5], s time to |w(t) a| oznaava duljinu vektora w(t) a s c odnosno udaljenost vektora w(t) i a: ako je w(t) zadan s (1.1) i a = ax i + ay j + az k, tada je [M1, 3.6] |w(t) a| = (wx (t) ax )2 + (wy (t) ay )2 + (wz (t) az )2 .

Iz ovog rastava po komponentama i denicija skalarnog i vektorskog produkta (vidi [M1, 3.9] i [M1, 3.10]) slijede standardne tvrdnje o limesu zbroja i produkta: ukoliko svi limesi postoje, tada vrijeditt0

Napomena 1.1 Iz denicije 1.2 takoder slijedi lim ax = tt wx (t), 0 ay = lim wy (t), a = lim w(t) tt0 tt0 az = lim wz (t).tt0

lim (w + u)(t) = lim w(t) + lim u(t),tt0 tt0 tt0

lim (w u)(t) = lim w(t) lim u(t),tt0 tt0 tt0 tt0

tt0

lim (w u)(t) = lim w(t) lim u(t).

Nakon to smo denirali limes, prirodno slijedi denicija neprekidnosti koja s je identina onoj iz [M1, 4.4]. c Denicija 1.3 Funkcija w : D V0 je neprekidna u toki t0 D ako i samo c ako je lim w(t) = w(t0 ).tt0

Funkcija w je neprekidna ako je neprekidna u svakoj toki t D. c Iz denicije neprekidnosti slijedi da je vektorska funkcija neprekidna ako i samo ako su njene komponente wx , wy i wz neprekidne funkcije. Na primjer, funkcija w iz primjera 1.1 (ii) je oito neprekidna. c Napomena 1.2 Dencije 1.2 i 1.3 vrijede i kada je n > 1, s time to u deniciji s 1.2 umjesto |t t0 | < uzimamo otvorenu kuglu oko toke t0 , odnosno piemo c s t K(t0 , ) (vidi [M2, denicija 3.4]).

10

VEKTORSKA ANALIZA

1.2

Derivacija vektorske funkcije

Denicija 1.4 Derivacija vektorske funkcije w : D V0 u toki t0 je limes c w (t0 ) = limtt0

w(t) w(t0 ) , t t0

ako taj limes postoji. Na ovaj nain denirali smo novu funkciju w (t) koju c zovemo derivacija funkcije w. Funkcija w je derivabilna ako ima derivaciju u svakoj toki t D. c Za prikaz po komponentama vrijedi w (t) = wx (t) i + wy (t) j + wz (t) k,

to se vidi uvrtavanjem prikaza 1.1 u gornji limes. Drugim rijeima, funkcija s s c qvecw ima derivaciju u toki t ako i samo ako sve njene komponente imaju deric vaciju u toki t. c z c Slino kao i u [M1, 5.1], derivaciju takoder moemo denirati pomou izraza c w (t) = lim w(t + t) w(t) . t0 t

Primjer 1.2 Neka je s(t) = cos t i + 2 sin t j + 2t k, t 0,

jednaba gibanja materijalne toke. Brzina v(t) i ubrzanje a(t) te toke u trez c c nutku t su dani s v(t) = s (t) = sin t i + 2 cos t j + 2 k,

a(t) = v (t) = s (t) = 2 cos t i 2 2 sin t j.

Primijetimo da je k komponenta ubrzanja jednaka nuli, to je logino je je koms c ponenta gibanja u smjeru k linerana pa nema promjene brzine. Teorem 1.1 Neka su w, u : D V0 derivabilne vektorske funkcije i neka je f : D R derivabilna (skalarna) funkcija. Vrijedi (i) (w + u) = w + u , (ii) (f w) = f w + f w , , R,

1.2 Derivacija vektorske funkcije

11

(iii)

w f

=

f w f w , f2

uz f = 0,

(iv) (w u) = w u + w u , (v) (w u) = w u + w u . Dokaz. Tvrdnje se dokazuju direktno pomou denicije derivacije. c (v) Vrijedi (w u) (t) = (w u)(t + t) (w u)(t) t0 t w(t + t) u(t + t) w(t) u(t) = lim t0 t w(t) u(t + t) w(t) u(t + t) + lim t0 t (w(t + t) w(t)) u(t + t) = lim t0 t w(t) (u(t + t) u(t)) + lim . t0 t lim

Zadatak 1.2 Dokaite jo barem jednu tvrdnju teorema 1.1. z s

Diferencijal deniramo slino kao kod funkcije jedne varijable [M1, 5.2]: c dw(t) = w (t)dt. Teorem 1.1 vrijedi i za dieferncijale. Formulu za derivaciju sloene funkcije daje nam sljedei teorem kojeg navoz c dimo bez dokaza.

Teorem 1.2 (Derivacija sloene funkcije) Neka je w : D V0 i : D1 z R, pri emu je [D1 ] D. Ako su funkcije w i derivabilne, tada je c dw d d(w((t))) = w () (t). dt d dt

12

VEKTORSKA ANALIZA

1.3

Integral vektorske funkcije

Denicija 1.5 Derivabilna vektorska funkcija u : D V0 je primitivna funkcija vektorske funkcije w na skupu D R ako je u (t) = w(t), t D. Integral vektorske funkcije w na segmentu [a, b] D je vektorb

a

w(t) dt = u(b) u(a).

Kaemo da je w integrabilna na segmentu [a, b]. Ako zapisujemo po komponenz tama, tada jeb b b b

w(t) dt = ia a

wx (t) dt + ja

wy (t) dt + ka

wz (t) dt.

Primitivne funkcije se medusobno razlikuju za konstantni vektor. Nadalje, slino kao u [M2, teorem 2.3], svaku primitivnu funkciju moemo dobiti pomou c z ct

u(t) =t0

w(x) dx

(1.2)

za neki t0 . Teorem 1.3 (Svojstva integrala vektorske funkcije) Neka su funkcije w, v i integrabilne na segmentu [a, b] D R. Tada vrijede S1. svojstvo lineanosti,b b b

(w(t) + v(t)) dt = a a

w(t) dt + a

v(t) dt,

S2. nejednakost trokuta1b b

a1

w(t) dt

a

|w(t)| dt,

Ovdje | | oznaava duljinu vektora. Na lijevoj strani nejednakosti se radi o integralu c vektorske funkcije, dok se na desnoj strani radi o odredenom integralu.

1.3 Integral vektorske funkcije

13

S3. i dvije formule za parcijalnu integracijub b

a

w(t) v (t) dt = w(b) v(b) w(a) v(a) b b

a

w (t) v(t) dt,

a

(t)w (t) dt = (b)v(b) (a)w(a)

(t)w(t) dt.a

Primjer 1.3 Ubrzanje materijalne toke zadano je jednadbom c z a(t) = 6 t c1 + 2 c2 , gdje su c1 i c2 konstantni vektori i t 0. Zelimo nai jednadbu gibanja te toke c z c uz poetne uvjete s(0) = 0 i v(0) = 0 (u trenutku t = 0 toka kree iz ishodita c c c s iz stanja mirovanja). Kako je brzina v(t) primitivna funkcija ubrzanja, prema formuli (1.2) za neki konstantan vektor v0 vrijedit

v(t) =0

a(x) dx + v0 .

Dakle,t

v(t) =0

(6 x c1 + 2c2 ) dx + v0 x2 c1 + 2 x c2 6 2t

=

+ v00

= 3 t2 c1 + 2 t c2 + v0 . Iz poetnog uvjeta slijedi v(0) = v0 = 0 pa je c v(t) = 3 t2 c1 + 2 t c2 . Slino, ze neki konstantan vektor s0 vrijedi ct

s(t) =0

v(x) dx + s0 ,

odnosnot

s(t) =0 3

(3 x2 c1 + 2 x c2 ) dx + s0

= t c1 + t2 c2 + s0 .

14

VEKTORSKA ANALIZA

Iz poetnog uvjeta sada slijedi s(0) = s0 = 0 pa je konano c c s(t) = t3 c1 + t2 .

1.4

Skalarna i vektorska polja

U ovom poglavlju je D R3 , dok sa VT oznaavmo skup svih radijus-vektora c u sustavu (T, i, j, k). Denicija 1.6 (i) Skalarno polje je svaka funkcija U : D R.

(ii) Vektorsko polje je svaka funkcija w : D V , gdje je V = T D VT i w(T ) VT . Ako toka T ima u koordinatnom sustavu S = (O, i, j, k) zapis T = (x, y, z), c tada je skalarno polje zadano funkcijom tri varijable U (T ) = U (x, y, z) = f (x, y, z) : DS R, pri emu je DS opis skupa D u sustavu S. Vektorsko polje zadano je s c w(T ) = wx (x, y, z) i + wy (x, y, z) j + wz (x, y, z) k, pri emu se vektor w(T ) nanosi iz toke T . c c Ako promijenimo koordinatni sustav, tada se polje naravno ne mijenja, ali se mijenja funkcija f (funkcije wx , wy i wz ) s kojima je polje opisano. Osnovna svojstva polja (neprekidnost i diferencijabilnost) ne ovise o izboru koordinatnog sustava. Radi jednostavnosti esto ne pravimo razliku izmedu polja U i funkcije f . c Takoder, esto sve prostore radijus-vektora VT identiciramo s V0 , odnosno sve c radijus-vektore w(T ) nanosimo iz ishodita. s Denicija 1.7 Skalarno polje U je neprekidno (diferencijabilno) ako je njegov predstavnik funkcija f : DS R neprekidna (diferencijabilna). Vektorsko polje w je neprekidno (diferencijabilno) ako su takve sve njegove komponente wx , wy , wz : DS R. Primjer 1.4 a) Neka je D slup svih toka visoke pei i neka je U skalarno polje c c u kojem U (T ) oznaava temperaturu tvari u toki T u danom trenutku. c c

1.4 Skalarna i vektorska polja

15

b) Izrazom U (x, y, z) = zadano je skalarno polje x2

z + y2

U : R3 \{(0, 0, z) : z R} koje je neprekidno i diferencijabilno na podruju denicije. c c) Neka je D skup svih toaka zemljine atmosfere, a w neka je vektorsko polje c koje toki T D pridruuje brzinu strujanja zraka w(T ) u toj toci u danom c z c trenutku. d) Neka je g(x, y, z) iznos gravitacije u toki T = (x, y, z) u sustavu S = (O, i, j, k), c gdje je = sredite zemlje. Iznos gravitacije se lagano mijenja s obzirom na s udaljenost od sredita zemlje pa polje g nije konstantno. Nadalje, neka je w s vektorsko polje u istom sustavu zadano s wx (x, y, z) = wy (x, y, z) = wz (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 y x2 + y 2 + z 2 z x2 + y 2 + z 2 x , , .

Tada je g(T ) w(T ) vektorsko polje gravitacije koje privlai u smjeru sredita c s zemlje za iznos g(T ) (vrijedi |w(T )| = 1). Denicija 1.8 Nivo-plohe ili ekvipotencijalne plohe skalarnog polja U su plohe za koje je U (x, y, z) = konst. vektorske linije (silnice ili strujnice) su krivulje sa svojstvom da tangenta kriulje u danoj toki ima smjer vektorskog polja u toj c toki. c Na primjer, nivo-plohe u primjeru 1.4 d) su mjesta u zemljinoj atmosferi koja imaju istu gravitaciju, dok su silnice pravci koji prolaze sreditem zemlje. s Denicija 1.9 Polje koje ne ovisi o vremenu zove se stacionarno. Polje koje ne ovisi o vremenu je nestacionarno. Na primjer, nestacionarna polja dobit emo ako u primjeru 1.4 a) i c) promac tramo temperaturu odnosno strujanje zraka kroz neki vremenski interval.

16

VEKTORSKA ANALIZA

1.5

Gradijent, divergencija i rotacija

Funkcije tri varijable imaju parcijalne derivacije i za njih pojam derivacije nije deniran. Stoga se za analizu polja uvode tri operatora koji, svaki u svom podruju primjene, imaju ulogu slinu onoj koju ima derivacija funkcije jedne c c varijable. Neka je D R3 otvoren skup, f : D R skalarno polje i w : D V0 vektorsko polje pri emu VT identiciramo s V0 za T D. c Denicija 1.10 Gradijent skalarnog polja f je vektorsko polje grad f : D V0 denirano s grad f = f f f i+ j+ k. x y z

Divergencija vektorskog polja w je skalarno polje div w : D R denirano s div w = wx wy wz + + . x y z

Rotacija vektorskog polja w je vektorsko polje rot w : D V0 denirano s i rot w = x wx = j y wy k z wz i+ wx wz z x j+ wy wx x y k.

wz wy y z

Iz denicije gradijenta slijedi da nuan uvjet ekstrema funkcije f moemo z z pisati kao grad f = 0. Za razliku od divergencije i rotacije koje imaju smisla samo u sluaju vektorc skih polja (tri varijable), gradijent je dobro deniran i za prostore proizvoljne dimenzije n.

1.5 Gradijent, divergencija i rotacija

17

Denicija 1.11 Hamiltonov diferencijalni operator (nabla) glasi =i +j +k . x y z

Laplaceov diferencijalni operator glasi = div grad = = 2 2 2 + 2 + 2. x2 y z

Dakle, istovremeno ima svojstva i vektora i derivacije. Vrijedi grad f = f, div w = w (skalarni produkt i w),

rot w = w

(vektorski produkt i w).

Iz svojstava mnoenja vektora skalarom i svojstava skalarnog i vektorskog proz dukta slijedi da je linearan operator, odnosno (w + u) = w + u, (f + g) = f + g, (1.3)

(w + u) = w + u, gdje su f , g, u i w diferencijabilna polja, a , R. U sljedea tri teorema dat mo najvanija svojstva gradijenta, divergencije i c c z rotacije. Teorem 1.4 (Svojstva gradijenta) Neka su f i g diferencijabilna skalarna polja i , R. Tada vrijedi: (i) grad c = 0, c = const,

(ii) grad(f + g) = grad f + grad g, (iii) grad(f g) = g grad f + f grad g, (iv) grad f g = g grad f f grad g , g2 g = 0,

(v) grad( f ) =

d grad f , gdje je : R R diferencijabilna funkcija. df

Dokaz. Sve tvrdnje se lako dokau uvrtavanjem. z s

18 Zadatak 1.3 Dokaite teorem 1.4. z

VEKTORSKA ANALIZA

Teorem 1.5 (Svojstva divergencije) Neka su f , g, u i w diferencijabilna polja, a , R. Tada vrijedi: (i) div c = 0 za svako konstantno vektorsko polje c, (ii) div(w + u) = div w + div u, (iii) div(w u) = (rot w) u w rot u, (iv) div(f w) = grad f w + f div w, (v) div(f grad g) = grad f grad g + f g, (vi) div(rot w) = 0. Dokaz. (i) Oito. c (ii) Vidi drugu jednadbu u relaciji (1.3). z (iii) Koristit emo formalni raun pomou operatora . Kako je diferencijalni c c c operator, na zadani izraz prvo primjenimo pravilo o derivaciji produkta. Pri tome potcrtavamo polja na koja operator ne djeluje. Dakle, div(w u) = (w u) = (w u) + (w u). Sada izraze treba dozvoljenim transformacijama svesti na oblik iz kojeg se jasno vidi kakvo je djelovanje operatora . U ovom sluaju se radi o c mjeovitim produktima pa emo u prvom sluaju napraviti cikliku, a u s c c c drugom acikliku zamjenum i protumaiti konaan rezultat: c c c div(w u) = u ( w) w ( u) = u rot w w rot u. (iv) Slino kao u prethodnoj toki, uz koritenje svojstava mnoenja vektora c c s z skalarom, imamo: div(f w) = (f w) = (f w) + (f w)

= (f ) w + f ( w) = grad f w + f div w.

(v) Slijedi kada u (iv) zamijenimo w sa grad g i primjenimo deniciju Laplaceovog operatora 1.11.

1.5 Gradijent, divergencija i rotacija

19

(vi) div(rot w) = ( w) = 0 jer se radi o mjeovitom produktu s dva jeds naka vektora.

Denirajmo novi diferencijalni operator u = ux + uy + uz , x y z

ije je djelovanje denirano formulom c (u ) w = wx wx wx + uy + uz i x y z wy wy wy + ux + uy + uz j x y z wz wz wz + ux + uy + uz k. x y z ux

Teorem 1.6 (Svojstva rotacije) Neka su f , g, u i w diferencijabilna polja, a , R. Tada vrijedi: (i) rot c = 0 za svako konstantno vektorsko polje c, (ii) rot(w + u) = rot w + rot u, (iii) rot(w u) = (div u) w (div w) u + (u) w (w) u, (iv) rot(f w) = (grad f ) w + f rot w, (v) rot(grad f ) = 0, (vi) rot(f grad g) = grad f grad g, (vii) rot(rot w) = grad div w w, pri emu se primjenjuje na svaku komc ponentu wx , wy i wz . Dokaz. (iii) Koristei svojstva vektorsko-vektorskog produkta [M1, 3.12] imamo: c rot(w u) = (w u) = (w u) + (w u) = w div u u div w + (u ) w (w ) u. = w ( u) u ( w) + w ( u) u ( w)

20 (iv) Vrijedi

VEKTORSKA ANALIZA

rot(f w) = (f w) = (f w) + (f w) = (f ) w + f ( w) = (grad f ) w + f rot w.

(v) rot(grad f ) = (f ) = 0 jer se radi o vektorskom produktu dva kolinearna vektora. (vi) Vrijedi rot(f grad g) = (f g) = (f g) + (f g) = (f ) (g) + f ( (g)) = grad f grad g.

1.5.1

Cilindrine i sferne koordinate c

U mnogim aplikacijama korisno je imati direktan izraz za gradijent, divergenciju i rotaciju u cilindrinim ili sfernim koordinatama. c ...

1.6

Potencijalna i solenoidalna polja

Denicija 1.12 Vektorsko polje w : D V0 je potencijalno ili konzervativno ako postoji skalarno polje f : D R takvo da je2 w = grad f. Polje f je potencijal polja w. Polje w je bezvrtlono ako je z rot w = 0, a solenoidalno ako je div w = 0.2

Ponekad se u deniciji potencijalnog polja umjesto w = grad f stavlja w = grad f .

1.6 Potencijalna i solenoidalna polja

21

1 Ako toke rotira oko vrste osi brzinom w, tada je rot w kutna brzina te c c 2 toke. Stoga rot w = 0 znai postojanje nekog vrtlonog gibanja. Na primjer, c c z gravitacijsko polje materijalne toke M mase m denirano s c G=K gdje je r = x i + y j + z k, je potencijalno polje s potencijalom U =K m . r r = |r|, m r0 , r r r0 = , r

Solenoidalno polje je ono u kojem nema divergencije niti u jednoj toki. Za c razjanjenje ovog koncepta potrebno je razmatrati ne samo pojedinu toku, ve i s c c njenu okolinu. div w = 0 znai da u svakoj maloj okolini neke toke koliina proc c c matrane vrijednosti uvijek ostaje konstanta (koliko ude u okolinu, toliko izade). Jedan vaan primjer su polja gibanja nestlaivih tekuina (voda) - ukoliko nez c c mamo sluaj da se kemijskom reakcijom negdje generira nova masa, svako polje c gibanje takve tekuine bit e solenoidalno. c c Imamo sljedei vaan teorem. c z Teorem 1.7 Neka je w : D V0 diferencijabilno vektorsko polje, neka je skup D R3 konveksan i neka je K D otvoreni kvadar. Tada vrijedi: (i) Polje w je potencijalno na D ako i samo ako je bezvrtlono na D, odnosno z (f : D R) w = grad f rot w = 0.

(ii) Polje w je solenoidalno na kvadru K ako i samo ako postoji va puta diferencijabilno polje u : K V0 takvo da je w rotacija od u, odnosno div w = 0 (u : K V0 ) w = rot u.

Dokaz. (i) Potencijalno polje je uvijek bezvrtlono prema teoremu 1.6 (v). Obrat z se dokazuje ... (ii) Dva puta diferencijabilno polje koje je nastalo kao rotacija nekog polja je uvijek solenoidalno prema teoremu 1.5 (vi). Obrat se dokazuje ...

22

VEKTORSKA ANALIZA

1.7

Usmjerene derivacije

Neka su zadani skup D R3 , toka T0 D i vektor a s hvatitem u toki T0 . c s c Neka je a a0 = |a| jedinini vektor vektora a [M1, 3.6]. Neka toka T lei na zraci odredenoj c c z vektorom a i neka je T0 T = t a, t 0. Uz ovakvu deiniciju parametra t oito vrijedi d(T0 , T ) = t. c Denicija 1.13 Derivacija skalarnog polja U : D R u toki T0 u smjeru c vektora a je broj U (T ) U (T0 ) U = lim . t0 a t Derivacija vektorskog polja w : D V0 u toki T0 u smjeru vektora a je vektor c w w(T ) w(T0 ) = lim . t0 a t Sljedei teorem daje jednostavne formule za raunanje usmjerenih derivacija. c c Teorem 1.8 Vrijedi U (T ) = a0 grad U (T ), a w(T ) = (a0 ) w(T ). a Dokaz. Dokaimo prvu tvrdnju teorema. Neka u sustavu (O, i, j, k) vrijedi z T = (x, y, z), T0 = (x0 , y0 , z0 ) i U (T ) = U (x, y, z). Tada jednakost OT = OT0 + T0 T zapisujemo kao x i + y j + z k = x0 i + y0 j + z0 k + t a0 = (x0 + t a0 i) i + (y0 + t a0 j) j + (z0 + t a0 k) k.

1.7 Usmjerene derivacije

23

Dakle, za svaku toku T na zraci odredenoj tokom T0 i vektorom a vrijedi c c x = x0 + t a0 i, y = y0 + t a0 j, z = z0 + t a0 k.

Stoga je limes iz denicije 1.13 u stvari jednak derivaciji funkcije jedne varijable g(t) = f (x0 + t a0 i, y0 + t a0 j, z0 + t a0 k) u toki t = 0. Dakle, c U (T ) dg (T0 ) = a dt =t=0

f x f y f z + + x t y t z t

t=0

=

f f f a0 i + a0 j + a0 k (T0 ) x y z f f f (T0 ) i + (T0 ) j (T0 ) k x y z

= a0

= a0 grad U (T0 ).

Primjer 1.5 Neka je zadano f (x, y, z) = x2 + 3 y z + 5, w = y z i + z x j + x y k, T = (1, 1/2, 2). a = 2 i + j 2 k,

Derivacija skalarnog polja f u smjeru vektora a glasi f = a0 grad f = a pa u toki T imamo c f a 1 1, , 2 2 = 13 . 3 2 1 2 4 i + j k (2 x i + 3 z j + 3 y k) = x + z 2 y, 3 3 3 3

24

VEKTORSKA ANALIZA

Derivacija vektorskog polja w u smjeru vektora a glasi 2 w = (a0 ) w = (y z i + z x j + x y k) a 3 x + 1 2 (y z i + z x j + x y k) (y z i + z x j + x y k) 3 y 3 z

= pa u toki T imamo c

2 1 1 (z 2 y) i + (z x) j + (2 y x) k, 3 3 3 w a 1 1, , 2 2 =i+ 2 j. 3

Napomena 1.3 Iz teorema 1.8 zakljuujemo da funkcija (skalarno polje) U u c danoj toki najbre raste u smjeru grad U . Naime, izraz [M1, 3.9] c z a0 grad U = |a0 | | grad U | cos (a0 , grad U ), poprima najveu vrijednost | grad U | u kada je a0 = (grad U )0 jer je tada c cos (a0 , grad U ) = cos ((grad U )0 , grad U ) = 1. Analogno razmatranje pokazuje da u danoj toki skalarno polje U najbre pada c z u smjeru grad U jer je tada cos (a0 , grad U ) = 1. Napomena 1.4 Vektor normale na nivo-plohu [M2, 3.1] funkcije U (x, y, z) u toki T0 dan je s c n0 = [grad U (T0 )]0 . Naime, jednadba nivo-plohe u kojoj sve toke imaju vrijednost funkcije jednaku z c U (T0 ) je U (x, y, z) = U (T0 ). Neka je r = x i + y j + z k, dr = dx i + dy j + dz k.

Funkcije U je na nivo-plohi konstantna pa vrijedi 0 = dU (x0 , y0 , z0 ) = U U U dx + dy + dz = grad U (T0 ) dr. x y z

No, poto smo se ograniili na nivo-plohu, dr je innitezimalni pomak po tangens c cijalnoj ravnini te plohe u toki T0 . Prema prethodnoj jednakosti grad U (T0 ) je c okomit na dr pa je stoga kolinearan s vektorom normale, odnosno grad U (T0 ) = n0 , R, = 0.

2. KRIVULJNI INTEGRALI

Sadraj z2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Glatka krivulja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Krivuljni integral skalarnog polja . . . . . . . . . . . . Krivuljni integral vektorskog polja . . . . . . . . . . . 2.3.1 Potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Greenova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 27 31 36 39

Cirkulacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1

Glatka krivulja

Skup toaka C R3 je jednostavna1 glatka krivulja ako: c (i) postoji neprekidna injekcija r : [a, b] R3 , za koju vrijedi C = {r(t) : t [a, b]}, (ii) postoji neprekidna derivacija r i r (t) = 0,1

[a, b] R,

t [a, b].

Krivulja ne presijeca samu sebe.

26

KRIVULJNI INTEGRALI

Drugim rijeima, krivulja C je hodograf vektorske funkcije r(t) = OM , gdje c je r(t) = M . Par ([a, b], r) je glatka parametrizacija krivulje C. Krivulja moe imati vie z s parametrizacija. Toke A = r(a) i B = r(b) su rubovi (poetak i kraj) krivulje C. Ako je B = A c c tada je krivulja zatvorena. Injektivnost funkcije r povlai jednostavnost krivulje C ako je r injekcija, c tada C ne presijeca samu sebe. Neprekidnosti derivacije r povlai glatkou krivulje C, kao i to da u svakoj c c toki krivulja ima tangentu s vektorom smjera r(t). c Oznaimo li u sustavu (O, i, j, k) koordinate toke r(t) s c c x(t) = (t), y(t) = (t), z(t) = (t),

dobili smo parametarske jednadbe krivulje C. Jednadba z z r(t) = (t) i + (t) j + (t) k je vektorska parametarska jednadba krivulje C. z Skup C je po djelovima glatka krivulja ako se moe dobiti povezivanjem z konano mnogo jednostavnih glatkih krivulja C1 , C2 , . . . , Ck , pri emu svaki c c par tih krivulja moe imati najvie konano zajednikih toaka (vidi sliku 2.1). z s c c c

C2

C4

C1 C5

C3

C6

Slika 2.1: Po djelovima glatka krivulja Krivulja C ima dvije neprekidne orijentacije: u smislu rasta parametra t, odnosno gibamo se od toke A = r(a) do toke c c B = r(b) (slika 2.2 a)), i

2.2 Krivuljni integral skalarnog polja

27

u smislu pada parametra t, odnosno gibamo se od toke B = r(b) do toke c c A = r(a) (slika 2.2 b)).

r(b)

r(b)

r(a) a)

r(a) b)

Slika 2.2: Neprekidne orijentacija krivulje Ovdje treba biti oprezan jer orijentacija u smislu rasta parametra t moe biti z jednaka orijentaciji u smislu pada nekog drugog parametra t . Po djelovima glatku krivulju orijentiramo tako da njene sastavne djelove orijentiramo suglasno (slika 2.3).

Slika 2.3: Orijentacija po djelovima glatke krivulje Ako je C ravninska krivulja, tada je negativna orijentacija u smjeru gibanja kazaljke na satu, a pozitivna orijentacija obratno od gibanja kazaljke na satu.

2.2

Krivuljni integral skalarnog polja

Denicija 2.1 Neka je f skalarno polje, a C glatka krivulja r(t) = (t) i + (t) j + (t) k, t [a, b].

28

KRIVULJNI INTEGRALI

Ako je funkcija (f (, , )) |r | integrabilna na intervalu [a, b], tada odredeni integralb

f (x, y, z) ds =C a b

(f (, , ))(t) |r (t)| dt f ((t), (t), (t)) [ (t)]2 + [ (t)]2 + [ (t)]2 dt

=a

zovemo krivuljni integral skalarnog polja f (prve vrste) po glatkoj krivulji C. Izraz ds = |r (t)| dt = [ (t)]2 + [ (t)]2 + [ (t)]2 dt jednak je elementu duljine luka (usporedi s [M2, 2.6.2]). Krivuljni integral prve vrste po po djelovima glatkoj krivulji deniramo kao f ds =C C1

f ds +C2

f ds + +Ck

f ds.

Ako je f linearna gustoa krivulje C, tada cC

f ds daje masu krivulje. Ako

stavimo f = 1, tadaC

ds daje duljinu krivulje.

Bez dokaza navodimo sljedee tvrdnje: c (i) krivuljni integral skalarnog polja ne ovisi ni o parametrizaciji niti o orijentaciji krivulje, (ii) krivuljni integral skalarnog polja je linearan, odnosno ( f + g) ds = C C

f ds + C

g ds.

Primjer 2.1 Izraunajmo krivuljni integral skalarnog polja f (x, y, z) = x + y po c luku krivulje C zadane s x = 2 t, y = t2 , z= 1 3 t , 3 0 t 1.

Krivulja je prikazana na slici 2.4.

2.2 Krivuljni integral skalarnog polja

29

2*u, u**2, u**3/3

z 0.3 0.2 0.1 0 0 0 0.2 0.4 y 1 0.6 0.8 1.5 1 2 0.5 x

Slika 2.4: Luk krivulje C Vrijedi A = r(0) = (0, 0, 0) i B = r(1) = (2, 1, 1/3) te imamo1

f ds =C 0 1

2t +

1 3 t 3 1 3 t 3

22 + (2 t)2 + (t2 )2 dt t2 (t2 + 6)2 181 0

=0

2t + 49 . 18

(2 + t2 ) dt =

=

Ako je krivulja C zadna kao presjek dvaju ploha, G(x, y, z) = 0 i H(x, y, z) = 0, koje ispunjavaju uvjete teorema o implicitnoj funkciji [M2, teorem 3.9], tada nakon eliminacije krivulju C moemo prikazati kao presjek dvaju novih ploha, z y = g(x), z = h(x), x [a, b],

pri emu su funkcije g i h neprekidno derivabilne na intervalu [a, b]. Tada je cb

f (x, y, z) ds =C a

f (x, g(x), h(x))

1 + g2 (x) + h2 (x) dx,

odnosno, radi se o posebnoj parametrizaciji x = t, y = g(t), z = h(t), t [a, b].

30 Ako je C ravninska krivulja zadana s r(t) = (t) i + (t) j, tada jeb

KRIVULJNI INTEGRALI

t [a, b],

f (x, y) ds =C a

f ((t), (t))

[ (t)]2 + [ (t)]2 dt.

Posebno, ako je ravninska krivulja C zadana s y = g(x), tada jeb

x [a, b],

f (x, y) ds =C a

f (x, g(x))

1 + g2 (x) dx.

Primjer 2.2 Izraunajmo krivuljni integral skalarnog polja f (x, y) = x y po luku c krivulje C zadane s (slika 2.5) a) Ca . . . y = x + 1, b) Cb . . . y = x2 + 1, x [0, 1], x [0, 1].

1

x+1 x**2+1 Cb

y

Ca

x

1

Slika 2.5: Ravninske krivulje Ca i Cb

2.3 Krivuljni integral vektorskog polja

31

Za krivulju Ca imamo1

f (x, y) ds =Ca 0

x (x + 1) 1

1 + (1)2 dx

= dok za krivulju Cb imamo1

20

(x + x) dx =

2

2 , 6

f (x, y) ds =Cb 0

x (x + 1)

2

1+

(2 x)2

25 5 11 . dx = = 120

2.3

Krivuljni integral vektorskog polja

Denicija 2.2 Neka je w : D V0 vektorsko polje i C orijentirana glatka krivulja u podruju D, c r(t) = (t) i + (t) j + (t) k, t [a, b].

Ako je funkcija w(, , )) r integrabilna na intervalu [a, b], tada odredeni integralb b

C

w dr =

a

w [r ]0 ds =

a

w((t), (t), (t)) r (t) dt

zovemo krivuljni integral vektorskog polja w (druge vrste) po glatkoj krivulji C od toke A = r(a) do toke B = r(b). c c Jednakosti u prethodnoj formuli slijede iz relacije dr(t) = r (t) dt = |r (t)| [r (t)]0 dt = [r (t)]0 ds. Krivuljni integral vektorskog polja se, dakle, rauna po formuli cb

C

w dr =

[ wx ((t), (t), (t)) (t)a

+ wy ((t), (t), (t)) (t) + wz ((t), (t), (t)) (t) ] dt.

32

KRIVULJNI INTEGRALI

Krivuljni integral druge vrste po po djelovima glatkoj krivulji deniramo kao w dr = w dr + w dr + + w dr,

C

C1

C2

Ck

pri emu svi djelovi krivulje C moraju biti suglasno orijentirani. c Krivuljni integral vektorskog polja moemo interpretirati kao rad sile F = w z uzdu puta s = C od toke A do toke B. z c c Vrijede sljedee tvrdnje: c (i) krivuljni integral vektorskog polja ne ovisi o parametrizaciji krivulje, ali ovisi orijentaciji krivulje kako u jednom smjeru energiju dobivamo, a u drugom je troimo, vrijedi s w dr = w dr,

C

C

(ii) krivuljni integral vektorskog polja je linearan, odnosno ( w + u) dr = w dr + u dr.

C

C

C

Primjer 2.3 Krivuljni integral vektorskog polja w = (y z) i + (z x) j + (x y) k,

po krivulji C zadanoj s

r(t) = 2 cos t i + 2 sin t j + 3 t k, jednak je2

t [0, 2 ],

C

w dr =

0

[ (2 sin t 3 t)(2 sin t) + (3 t 2 cos t) 2 cos t

+ (2 cos t 2 sin t)(3) ] dt = = 20 . Uvedimo nove oznake, wx = P, wy = Q, wz = R, P, Q, R : D R, D R3 . (2.1)

2.3 Krivuljni integral vektorskog polja

33

Uz ove oznake je w = P i + Q j + R k. Osim toga vrijedi (t) dt = dx, (t) dt = dy, (t) dt = dz, pa moemo pisati z w dr = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz. C

C

Ukoliko s (w) = wx dx + wy dy + wz dz = P dx + Q dy + R dz oznaimo diferencijalnu formu pridruenu polju w, tada zapisujemo c z w dr = (w). C

C

Ako je krivulja C zadana ko presjek dvaju ploha (vidi 2.2), tada je w dr = = C

P dx + Q dy + R dz C

C

P (x, g(x), h(x)) dx + Q(x, g(x), h(x)) g (x) dx + R(x, g(x), h(x)) h (x) dx.

U sluaju ravninskog polja c w = wx i + wy j = P dx + Q dy i glatke krivulje C zadane s y = g(x), a x b,

34 imamo w dr = = C

KRIVULJNI INTEGRALI

P dx + Q dy C

C

P (x, g(x)) dx + Q(x, g(x)) g (x) dx.

Primjer 2.4 Izraunajmo c I= C

P dx + Q dy + R dz,

gdje je P (x, y, z) = y + z, Q(x, y, z) = z + x, R(x, y, z) = x + y,

a C orijentirana duina od ishodita do toke M = (1, 2, 3). Krivulju moemo z s c z protumaiti kao presjek ravnina c y = 2 x, pa je1

z = 3 x,

0 x 1,

I=0

(2 x + 3 x) dx + (3 x + x) 2 dx + (x + 2 x) 3 dx = 11.

2.3.1

Cirkulacija

Denicija 2.3 Krivuljni integral vektorskog polja po zatvorenoj po djelovima glatkoj krivulji C zove se cirkulacija vektorskog polja i oznaava se sa c w dr. C

Primjer 2.5 Izraunajmo cirkulaciju ravninskog vektorskog polja w = x i+ x y j c po a) sredinjoj krunici radijusa a priozvoljne orjentacije, s z b) rubu trokuta O = (0, 0), A = (2, 0), B = (1, 1) orjentiranom u pozitivnom smislu.

2.3 Krivuljni integral vektorskog polja

35

a

Slika 2.6: Pozitivno orijentirana krunica z Krunica iz toke a) prikazana je na slici 2.6. z c Jedna parametrizacija krunice glasi z C ... pa vrijedi2

x = a cos t, y = a sin t,

t [0, 2 ]

w dr = C C

x dx + x y dy =0

(a cos t a ( sin t) + a2 cos t sin t a cos t) dt

= = 0. Za krunicu orjentiranu u negativnom smislu zbog promjene orijentacije vrijedi z w dr = w dr = 0 = 0.

C

C

Trokut iz toke b) prikazan je na slici 2.7. c Glatke dijelove krivulje C parametriziramo na sljedei nain: c c C 1 . . . y = 0, x [0, 2], C 2 . . . y = x + 2, x [2, 1] (u smislu pada parametra t), C 3 . . . y = x, x [1, 0] (u smislu pada parametra t).

36

KRIVULJNI INTEGRALI

1 C3 C2

C1

2

Slika 2.7: Pozitivno orijentirani trokut Vrijedi w dr = C C1 2

w dr + C2

w dr + C3 1

w dr

=0

(x + x 0 0) dx +0

2

(x + x (x + 2) (1)) dx

+1

(x + x x 1) dx

1 = . 3

2.4

Potencijal

Teorem 2.1 Krivuljni integral vektorskog polja w : D V0 ne ovisi o putu integracije ve samo o poetnoj i krajnjoj toki ako i samo ako je w potencijalno c c c polje.

Dokaz. Dokaimo jedan smjer teorema. Neka je w potencijalno polje s potenciz jalom U , w = grad U . Uz parametrizaciju krivulje x(t) = (t), y(t) = (t), z(t) = (t), t [a, b],

2.4 Potencijal

37

krivuljni integral vektorskog polja postaje integral totalnog diferencijala, odnosno vrijedi w dr = U U U dx + dy + dz x y z

C

C

b

=a

a

U U U (t) dt + (t) dt + (t) dt x

=b

d [ U ((t), (t), (t)) ]

= U ((a), (a), (a)) U ((b), (b), (b)) = U (A) U (B) pri emu su A = ((a), (a), (a)) i B = ((b), (b), (b)) poetna i krajnja toka c c c zadane krivulje. Iz teorema 2.1 zakljuujemo da za cirkulaciju potencijalnog polja uvijek vrijedi c w dr = U (A) U A) = 0.

C

No, vrijedi i obrat koji nam daje jo jednu karakterizaciju potencijalnih polja s (pored one iz teorema 1.7): na konveksnom skupu D vrijedi w = grad f rot w = 0 w dr = 0, C.

C

Opiimo kako se nalazi potencijal potencijalnog polja. Iz dokaza teorema 2.1 s vidimo da je potencijal polja w = wx i + wy j + wz k = integral totalnog diferencijala, U (x, y, z) U (x0 , y0 , z0 ) = U U U dx + dy + dz x y z U U U i j k x y z

C

38

KRIVULJNI INTEGRALI

za svaku krivulju C = T0 T izmedu toaka T0 = (x0 , y0 , z0 ) i T = (x, y, z). Za c krivulju C biramo put uzdu koordinatnih osiju koji je najlaki za integraciju z s (vidi sliku 2.8) to daje sx y z

U (x, y, z) =

x0

wx (t, y0 , z0 ) dt

y0

wy (x, u, z0 ) du

wy (x, y, v) dv + C.z0

U prethodnoj formuli smo iskoristili injenicu da je potencijal U zadan do n c konstantu jer je grad C = 0 za svako konstantno polje C. u praktinom raunanju c c se za toku T0 najee uzima ishodite. Uoite formule za raunanje potencijala c c sc s c cx

s formulom za raunanje antiderivacije F (x) = c0

f (t) dt iz [M2, teorem 2.3].

z

y z0 x0

0

y

x

Slika 2.8: Put integracije udzudu koordinatnih osiju z

Primjer 2.6 Izraunajmo c C

w dr gdje je

w = (3 x2 y z + y + 5) i + (x3 z + x z) j + (x3 y y 7) k, i a) C je luk bilo koje parabole od ishodita do toke T = (1, 1, 1), ili s c b) C je krunica x2 + y 2 = a2 , z = b. z

2.5 Greenova formula

39

Polje w je bezvrtlono jer je z i rot w = x wx j y wy k = 0. x wz

Kako je polje w bezvrtlono na konveksnom skupu R3 , to je po teoremu 1.7 z polje w takoder i potencijalno, a po teoremu 2.1 integral polja w ne ovisi o putu integracije. Potencijal polja w jednak jex y

U (x, y, z) =

0 z

(3 t 0 0 + 0 + 5) dt (x3 y y 7) dv

2

0

(x3 0 + x 0) du

0

= 5 x x y x3 y z + y z + 7 z pa je C

w dr = U (0, 0, 0) U (1, 1, 1) = 1. w dr = 0 bez obzira

U zadatku b) radi se o cirkulaciji potencijalnog polja pa je na parametre a i b i orijentaciju krivulje. C

2.5

Greenova formula

Sljedei teorem je poopenje Newton-Leibnitzove formule [M2, 2.2] na dvoc c dimenzionalni sluaj. c Teorem 2.2 (Green) Neka su P, Q : S R dvije diferencijabilne funkcije, pri emu je S otvoren skup (bez ruba). Neka je c C D pozitivno orijentirana po djelovima glatka krivulja i neka je D unija krivulje C i unuranjeg podruja kojeg ta krivulja omeduje (vidi sliku 2.9). Tada s c je Q P dx dy = P dx + Q dy. x y D C

40

KRIVULJNI INTEGRALI

D

S

C

Slika 2.9: Zatvoreni skup D Greenov teorem vrijedi i u podruju s rupama (slika 2.10), pri emu sve c c krivulje C i moraju biti negativno orijentirane: Q P x yk

dx dy = C

P dx + Q dy +i=1 Ci

P dx + Q dy.

D

C

C3

C1 C2

Slika 2.10: Podruje s vie zatvorenih krivulja c s

2.5 Greenova formula

41

Primjer 2.7 Izraunajmo c 2 (x2 + y 2 ) dx + (x + y)2 dy, C

gdje je C rub trokuta s vrhovima A = (1, 1), B = (2, 2) i C = (1, 3) (slika 2.11).

3

2

1

1

2

Slika 2.11: Primjena Greenovog teorema Prema Greenovom teoremu vrijedi Q P x y2 x+4

I=D

dx dy =1 x

4 ( 2 (x + y) 4 y) dy dx = . 3

Zadatak 2.1 Izraunajte cirkulaciju iz primjera 2.7 bez primjene Greenovog tec orema.

Korolar 2.1 Ako su ispunjeni uvjeti Greenovog teorema, tada je povrina pos druja D dana s c 1 P (D) = y dx + x dy. 2 C

Dokaz. Korolar slijedi direktno iz Greenovog teorema.

42 Greenovu formulu moemo jo pisati i kao z s P dx + Q dy = C

KRIVULJNI INTEGRALI

w dr =D

rot w k dx dy.

3. PLOSNI INTEGRALI

Sadraj z3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Glatka ploha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ploni integral skalarnog polja . . . . . . . . . . . . . . s Ploni integral vektorskog polja . . . . . . . . . . . . . s Teoremi o divergenciji, gradijentu i rotoru . . . . . . Stokesova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 49 51 59 62

Integriranje po plohama je jedno od osnovnih oruda matematike zike. c

3.1

Glatka ploha

Denicija 3.1 Skup S R3 je ploha ako za svaku toku T0 S postoji otvorena c okolina te toke V , otvoreni skup U R2 , neprekidna funkcija g : U R i c (pravokutni) koordinatni sustav (O, i, j, k) u R3 takvi da je u tom sustavu z = g(x, y), jednadba skupa V S. z Ploha S je glatka u toki T0 ako je funkcija g diferencijabilna u toki (x0 , y0 ), c c pri emu je z0 = g(x0 , y0 ) i T0 = (x0 , y0 , z0 ). c Ploha S je glatka ploha ako je glatka u svakoj toki. c (x, y) U,

Parametrizacija plohe iz denicije 3.1 prikazana je na slici 3.1.

44U

PLOSNI INTEGRALIV S T0 S

V

k

j

U Oi

Slika 3.1: Parametrizacija plohe Vano je primjetiti da ne mora za svaku toku na plohi biti zadan isti sustav. z c Tako je, na primjer, na slici 3.2 za toku T0 funkcija g zadana u sustavu (O, i, j, k), c dok je za toku T1 funkcija g zadana u sustavu (O, k, i, j). c

T1 U1 T0

k

Oi

j

U0

Slika 3.2: Ploha parametrizirana s dva sustava Plohe moemo zadati na razne naine. Ako je itava ploha S zadana jednom z c c funkcijom g : D R, gdje je D R2 , kaemo da je z z = g(x, y), eksplicitna jednadba plohe. z (x, y) D,

3.1 Glatka ploha

45

Na primjer, za D = R2 i g(x, y) = x2 y 2 je z = x2 y 2 implicitna jednadba z hiperbolikog paraboloida (vidi [M2, 3.4.2]). c Ako je skup D R3 otvoren i ako je funkcija G : D R derivabilna te je grad G(T ) = 0 za svaku toku T D, tada je c G(x, y, z) = 0 implicitna jednadba plohe z S = {(x, y, z) D | G(x, y, z) = 0}. Ploha S je oito glatka, a normala tangencijalne ravnine u toki T je dana vekc c torom grad G(T ) (vidi napomenu 1.4). Na primjer, za D = R3 i G(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 1 je x2 + y 2 + z 2 = 1 implicitna jednadba plata jedinine kugle. Oito je z s c c grad G(T ) = 2 x i + 2 y j + 2 z k = 0 u svakoj toki T koja se nalazi na plohi. c Plohu moemo zadati i parametarski: z x = (u, v), y = (u, v), z = (u, v), (u, v) D R2 .

Na primjer, eksplicitno zadana ploha je specijalan sluaj parametarski zadane c plohe uz x = u, y = v, z = g(u, v). Parametarsko zadavanje ploha je najuniverzalniji nain zadavanja ploha. Tako, c je, na primjer, elipsoid zadajemo s [M2, 3.4] x = 6 cos u cos v, y = 4 sin u cos v, z = 2 sin v, torus zadajemo s x = (1 0.2 cos v) cos u, y = (1 0.2 cos v) sin u, z = 0.2 sin v, u, v [0, 2 ], u [0, 2 ], v [/2, /2],

heksagon zadajemo s x = cos3 v cos3 u, y = sin3 v cos3 u, z = sin u,3

u [1.3, 1.3], v [0, 2 ],

46 a koljku zadajemo s s x = u cos u 1 + u y = sin v, 2 z = u sin u 1 + cos v , 2 cos v . 2

PLOSNI INTEGRALI

u, v [0, 2 ],

Zadatak 3.1 Nacrtajte elipsoid, torus, heksagon i koljku pomou programa s c NetPlot koristei redom izraze c 6*cos(u)*cos(v), 4*sin(u)*cos(v), 2*sin(v) (1-0.2*cos(v))*cos(u), (1-0.2*cos(v))*sin(u), 0.2*sin(v) cos(v)**3*cos(u)**3, sin(v)**3*cos(u)**3, sin(u)**3 cos(u)*u*(1+cos(v)/2), sin(v)*u/2, sin(u)*u*(1+cos(v)/2) Pri tome za svaku plohu odaberite odgovarajue granice za parametre u i v. c Parametarsku vektorsku jednadbu plohe S dobijemo kada plohu zadamo kao z hodograf vektorske funkcije: r(u, v) = (u, v) i + (u, v) j + (u, v) k, (u, v) D R2 .

Ako se ploha S sastoji od konano glatkih ploha, a na spojnim krivuljama ne c postoje tangencijalne ravnine, kaemo da je S po dijelovima glatka ploha. Skup z svih toka u kojima ne postoji tangncijalna tavnina ima povrinu nula pa ga kod c s raunanja integrala moemo zanemariti. Na primjer, ploha na slici 3.3 sastoji se c z od etiri glatke plohe, S1 , S2 , S3 i S4 . c Sada moemo denirati povrinu plohe. z s Denicija 3.2 Neka je g : D R diferencijabilna funkcija, gdje je D R2 otvoren skup, i neka je D D skup koji je zatvoren i omeden po djelovima glatkom krivuljom. Ako se ploha S ortogonalno projicira na skup D te je pri tome zadana jednadbom z z = g(x, y), tada je povrina plohe S denirana kao s P (S) =D

(x, y) D,2 2

1+

g x

+

g y

dx dy D

dS.

3.1 Glatka ploha

47

S4 S1

S S2

S3

Slika 3.3: Po dijelovima glatka ploha

U prethodnoj deniciji izraz dS je element povrine, dakle, povrina je jednaka s s beskonanom zbroju (integral) beskonano malih elemenata povrine. Objasc c s nimo formulu ze element povrine dS pomou slike 3.4. s c Dio plohe S koji se projicira na pravokutnik

(x0 , y0 ),

(x0 + dx, y0 ),

(x0 + dx, y0 + dy),

(x0 , y0 + dy)

aproksimiramo paralelogramom koji lei u tangencijalnoj ravnini plohe S u toki z c (x0 , y0 , g(x0 , y0 )), a projicira se na taj pravokutnik. Jednadba tangencijalne z ravnine glasi [M2, 3.7] z g(x0 , y0 ) = Vrhovi paralelograma su g(x0 , y0 ) g(x0 , y0 ) (x x0 ) + (y x0 ). x y

T1 = (x0 , y0 , g(x0 , y0 ) ), T2 = T3 = T4 = x0 + dx, y0 , g(x0 , y0 ) + g(x0 , y0 ) dx x g(x0 , y0 ) g(x0 , y0 ) dx + dy x0 + dx, y0 + dy, g(x0 , y0 ) + x y g(x0 , y0 ) dy . x0 , y0 + dy, g(x0 , y0 ) + y

48

PLOSNI INTEGRALI

T1 T2 T3 T4

S

y0 x0 xdy dx

y

Slika 3.4: Element povrine plohe s Povrina paralelograma je [M1, 3.10] s i dS |T1 T2 T1 T3 | = | dx 0 j 0 dy k g(x0 , y0 ) dx | x g(x0 , y0 ) dy y g(x0 , y0 ) dx dy y2

= i

g(x0 , y0 ) dx dy x2

+j

+ k ( dx dy)

= dx dy

g(x0 , y0 ) x

+

g(x0 , y0 ) y

+ 1,

a povrina plohe je suma svih dS, odnosno s P (S) =D

dS.

Ako je funkcija g(x, y) implicitno zadana jednadbom G(x, y, z) = 0, tada iz z

3.2 Ploni integral skalarnog polja s

49

[M2, 3.11, napomena 3.12] G g = x , G x z slijedi P (S) =D 2

G g y = G y z2 2

1 G z

G x

+

G y

+

G z

dx dy.

3.2

Ploni integral skalarnog polja s

Denicija 3.3 Neka je f : D R skalarno polje, gdje je D R3 otvoren skup. Neka je S ploha sadrana u D zadana funkcijom z z = g(x, y), (x, y) D R2 ,

s gdje je D zatvoren skup omeden s po djelovima glatkom krivuljom. Ploni integral skalarnog polja f po plohi S je broj f (x, y, z) dS =S D

f (x, y, g(x, y))

1+

g x

2

+

g y

2

dx dy.

Ploni integral skalarnog polja jo zovemo i integral po projekciji i ploni ins s s tegral prve vrste. Ploni integral skalarnog polja po po djelovima glatkoj plohi S sastavljenoj s od ploha S1 , . . . , Sk deniramo kao f dS =S S1

f dS +S2

f dS + +Sk

f dS.

Ako je f povrinska gustoa plohe S, tada s cS

f dS daje masu plohe. Ako

stavimo f = 1, tadaS

dS daje povrinu plohe kao to smo ve vidjeli. s s c

Bez dokaza navodimo sljedee tvrdnje: c

50

PLOSNI INTEGRALI

(i) ploni integral skalarnog polja ne ovisi ni o parametrizaciji plohe niti o njenoj s orijentaciji (vidi 3.3), (ii) ploni integral skalarnog polja je linearan, odnosno s ( f + g) dS = S S

f dS + S

g dS.

Primjer 3.1 Izraunajmo c I=S

(x + y + z) dS,

gdje je S dio sredinje jedinine sfere u prvom kvadrantu. Ploha S prikazana je s c na slici 3.5.1 S

1 y D 1 x

Slika 3.5: Dio sredinje jedinine sfere s c Plohu moemo opisati s z S = {(x, y, z) | 0 x 1, 0 y Dakle, podruje D R2 opisano je s c D = {(x, y) | 0 x 1, 0 y dok je g(x, y) = 1 x2 y 2 . Iz x 1 x2 2

1 x2 , z =

1 x2 y 2 }.

1 x2 }, y 1 x2 y 2

g(x, y) = x slijedi 1+

y2

,

g(x, y) = y g y2

g x

+

=

1 1 x2 y 2

3.3 Ploni integral vektorskog polja s

51

pa je1 1x2

I=0 0

(x + y +

1 x2 y 2 )

1 1 x2 y 2

dy dx

=

/2 1

x = r cos , [0, /2] y = r sin , r [0, 1] (r cos + r sin + 1 r2 ) r dr d 1 r2/2 1

=0 /2 0

1

=0

(cos + sin ) d

0

r2 dr + 1 r2

d0 0

r dr =

3 = . 4

3.3

Ploni integral vektorskog polja s

Orijentaciju plohe u danoj toki deniramo kao orijentaciju normale tangenc cijalne ravnine u toj toki svaka toka ima dvije mogue orijentacije. Zanimaju c c c nas samo dvostrane plohe, odnosno plohe koje imaju dvije neprekidne orijentacije (vidi sliku 3.6).

Slika 3.6: Neprekidne orijentacije glatke plohe Primjer jednostrane plohe koja nema dvije ve samo jednu neprekidnu orijenc taciju je Mbiusova vrpca prikazana na slici 3.7. o Parametarska jednadba Mbiusove vrpce poluirine a i sredinje krunice z o s s z

52

PLOSNI INTEGRALI

(5+u*cos(v/2))*cos(v), (5+u*cos(v/2))*sin(v), u*sin(v/2)

Slika 3.7: Mbiusova vrpca o radijusa r je x = (r + u cos(v/2)) cos v, y = (r + u cos(v/2)) sin v, z = u sin(v/2). u [a, a], v [0, 2 ],

Mbiusova vrpca se koristi kod konvejerskih traka kako bi se obje strane o podjednako troile i kod vrpca za beskonano snimanje pri emu se ujedno udvoss c c truuje kapacitet snimanja. c Kod po dijelovima glatkih ploha sve dijelove moramo orijentirati suglasno kako je prikazano na slici 3.8. Kod zatvorenih ploha (na primjer, sfera) imamo vanjsku i unutranju orijens taciju (vidi sliku 3.9). Jedna od neprekidnih orijentacija dvostrane plohe S zadane jednadbom z z = g(x, y), (x, y) D R2 , g g i j+k x y g x2

je dana poljem jedininih vektora normale, c

n0 =

1+

+

g y

2

.

(3.1)

3.3 Ploni integral vektorskog polja s

53

Slika 3.8: Orijentacija po dijelovima glatke plohe

Slika 3.9: Vanjska i unutranja orijentacija sfere s

54

PLOSNI INTEGRALI

Plohu orijentiranu u smislu polja n0 oznaavamo s S . Druga neprekdina orijenc tacija plohe S je n0 , a plohu orijentiranu pomou te orijentacije oznaavamo s c c S. Denicija 3.4 Neka je w : D V0 , D R3 , neprekidno vektorsko polje. Neka je glatka ploha S D zadana funkcijom z = g(x, y), (x, y) D,

gdje je D otvoren skup s rubom koji je po dijelovima glatka zatvorena krivulja. Ploni integral vektorskog polja w po orijentiranoj plohi D je broj s wx D

g x

wy

g y

+ wz

dx dy.

Koristei denicije polja jedininih normala n0 i elementa povrine dS, uz c c s oznaku d S = n0 dS, moemo pisati z wdS = S S

w n0 dS.

(3.2)

Ploni integral vektorskog polja po po djelovima glatkoj plohi S sastavljenoj s od suglasno orijentiranih ploha S 1 , . . . , S k deniramo kao wdS = S S1

Ovaj izraz nam ujedno daje i vezu plonog integrala prve i druge vrste ploni s s integral vektorskog polja w po orijentiranoj plohi S jednak je plonom integralu s skalarnog polja w n0 po neorijentiranoj plohi S.1

wdS + S2

wdS + +

wdS . Sk

U zici se S

w d S zove tok ili uks vektorskog polja w kroz plohu S .

Bez dokaza navodimo sljedee tvrdnje: cOrijentacija plohe ukljuena je kroz izbor polja jedininih normala, odnosno o orijentaciji c c ovisi da li emo uzeti polje n0 ili polje n0 . c1

3.3 Ploni integral vektorskog polja s

55

(i) ploni integral vektorskog polja ne ovisi o parametrizaciji plohe, ali promjes nom orijentacije mijenja predznak, wdS = wdS . S

S

(ii) ploni integral vektorskog polja je linearan, odnosno s ( w + u) d S = S S

wdS + S

udS .

Polje jedininih normala n0 moemo izraziti i pomou kosinusa smjerova [M1, c z c 3.6], n0 = cos i + cos j + cos k, pri emu su cos , cos i cos funkcije od x, y i z. Tada izraz (3.2) moemo c z zapisati kao wdS = S S

(wx cos + wy cos + wz cos ) dS.

Koristei formulu (3.1) za n0 imamo c cos = 1+ pa je wz cos dS =S S

1 g x2

+

g y

2

,

wz dx dy.

No, ako plohu S opiemo pomou projekcije na yz-ravninu funkcijom s c x = g1 (y, z), tada je g1 g1 j k+i y z g1 y2

(y, z) D1 ,

n0 =

1+ pa je

+

g1 z

2

,

cos = 1+ g1 y

12

+

g1 z

2

,

wx cos dS =S S

wx dy dz.

56

PLOSNI INTEGRALI

Slino, ako plohu S opiemo pomou projekcije na xz-ravninu funkcijom c s c y = g2 (x, z), tada je wy cos dS =S S

(x, z) D2 , wy dx dz

pa imamo S

wdS =S

wx dy dz + wy dx dz + wz dx dy.

Kod primjene ove formule joe treba ispravno odrediti predznak integrala: s kod prvog integrala, S wx dy dz, predznak e biti + ako je kut izmedu c traene normale i vektora i manji ili jednak /2, z (n0 , i) a u protivnom e predznak biti ; c kod drugog integrala, S wy dx dz, predznak e biti + ako je kut izmedu c traene normale i vektora j manji ili jednak /2, a u protivnom e predznak z c biti ; i kod treeg integrala, S wz dx dy, predznak e biti + ako je kut izmedu c c traene normale i vektora k manji ili jednak /2, a u protivnom e predznak z c biti (vidi primjer 3.1). Kako smo u izvodu prethodne formule zadanu plohu projicirali na tri koordinatne ravnine, ploni integral vekorskog polja jo zovemo i integral po projekcis s jama. Uz oznake (2.1) iz prethodnih formula slijedi P dy dz + Q dx dz + R dx dy = S S

, 2

(P cos + Q cos + R cos ) dS.

Primjer 3.2 Izraunajmo c I=S+

x2 dy dz + y 2 dx dz + z 2 dx dy,

gdje je S + vanjska strana desne polusfere x2 + y 2 + z 2 = a2 .

3.3 Ploni integral vektorskog polja sz

57

a S1

n

(1) 0

D

y

nx

S2

(2) 0

Slika 3.10: Desna orijentirana polusfera s a) Integral emo prvo rijeiti svodenjem na ploni integral skalarnog polja prema c s deniciji 3.4. Ploha je prikazana na slici 3.10. Vidimo da se oba dijela plohe, S1 i S2 projiciraju na isti skup D u xy-ravnini vrijedi D = {(x, y) | a x a, S1 S2 ... ... z= 0y a2 x2 },

z = a2 x2 y 2 , x

a2 x2 y 2 ,

(x, y) D, (x, y) D. y

Za plohu S1 vrijedi (uz a > 0) z = x i(1) n0

a2

x2 x

y2

,

z = y y

a2

x2 y 2 j+k

,

=

a2 x2 y 2 1+ a2

i+

x2 y2 + 2 2 y2 x a x2 y 2 a2 x2 y 2 k. a

a2 x2 y 2

=

y x i+ j+ a a

58 Dakle, I1 =+ S1

PLOSNI INTEGRALI

wdS x a2 x2 y2 x a2 x2 y2 y a2 x2 y2

=D

x2

+ y2

+ a x2 y 2

dx dy.

Za plohu S2 vrijedi z = x pa je , z = y y a2 x2 y 2 ,

y a2 x2 y 2 x (2) k. n0 = i j + a a a No, kako nam je potrebna vanjska normala plohe S2 , umjesto polja vanjskih (2) (2) normala n0 uzet emo polje n0 , to daje c s I2 =+ S2

wdS x a2 x2 y2 y a2 x2 y2

=D

x2

+ y2

a + x2 + y 2

dx dy.

Konano, c I = I 1 + I2 = 2D

x3 + y 3 a23

x2

y2a

dx dy =

x = r cos , [0, ] y = r sin , r [0, a]

=20

(cos + sin ) d

3

0

r3 r a4 . dr = = 2 a2 r 2

b) Sada emo itegral rijeiti direktno po projekcijama, c s I=S+

x2 dy dz + y 2 dx dz + z 2 dx dy I1 + I2 + I3 .

Za integral I1 , ploha S se projicira na polukrunici prikazanu na slici 3.11. z Za polovicu polusfere za koju je x 0 uzimamo predznak + jer je ku vanjske normale s vektorom i manji ili jednak /2, a za polovicu plosfere za koju je x 0 uzimamo predznak (vidi sliku 3.10) pa uz x2 = a2 y 2 z 2 vrijedi I1 =+D1 n

(a2 y 2 z 2 ) dy dz D1

n

(a2 y 2 z 2 ) dy dz = 0.

3.4 Teoremi o divergenciji, gradijentu i rotoru

59y a

z a

D1

y

D3

x

a

a

Slika 3.11: Projekcije desne orijentirane polusfere na yz-ravninu i xy-ravninu Analogno, za I3 imamo I3 =+D3 n

(a2 x2 y 2 ) dx dy D3

n

(a2 x2 y 2 ) dx dy = 0,

gdje je D3 prikazan na slici 3.11. Za I3 se cijela ploha S projicira na sredinji krug radijusa a u xz-ravnini. s Predznak integrala je + jer vanjska normala zatvara s vektorom j kut manji ili jednak /2 (vidi sliku 3.10). Iz y 2 = a2 x2 z 2 konano imamo c I = I2 = +D2 2 a n

(a2 x2 z 2 ) dx dz =

x = r cos , [0, 2 ] z = r sin , r [0, a]a

=0 0

(a2 r 2 ) r dr d = 2 a2

r2 r4 2 4

=0

a4 . 2

Zadatak 3.2 Rijeite integral iz primjera 3.1 svodenjem na ploni integral skalars s nog polja ali tako da plohu ne treba rastavljati na dva dijela. Objasnite zikalno rjeenje primjera 3.1 na nain b). s c

3.4

Teoremi o divergenciji, gradijentu i rotoru

Cirkulaciju vektorskog polja w kroz zatvorenu orijentiranu plohu S oznaavamo c s S

wdS .

60

PLOSNI INTEGRALI

Zatvorenu plohu koja omeduje zatvoreno podruje V R3 (rub podruja V ) c c oznaavamo s V odnosno s V ukoliko je ploha orijentirana. c Teorem 3.1 (Teorem o divergenciji, Gauss-Ostrogradski formula) Neka je w : V V0 neprekidno diferencijabilno vektorsko polje i neka je V V R3 zatvoreno podruje omedeno sa po dijelovima glatkom plohom V (koja ne presic jeca samu sebe). Neka je ploha V orijentirana poljem vanjskih normala. Tada vrijedi div w dV =V V

w n0 dS.

Teorem 3.1 daje jedno poopenje Greenovog teorema na trodimenzionalni c sluaj. Naime, u dvodimenzionalnom prostoru Greenovu formulu iz teorema 2.2, c Q P x y dx dy = C

P dx + Q dy

D

moemo neformalno interpretirati kao: z integral derivacije po plohi omedenoj zatvorenom krivuljom = cirkulacije po orijentiranoj krivulji koja omeduje plohu

Analogno, Gauss-Ostrogradski formulu moemo interpretirati kao z integral derivacije po volumenu omedenom zatvorenom plohom Uz oznake w = P i + Q j + R k, n0 = cos i + cos j + cos k, = cirkulacija po orijentiranoj plohi koja omeduje volumen

teorem 3.1 moemo pisati u skalarnoj formi: z P Q R + + x y zV

dx dy dz = V

(P cos + Q cos + R cos ) dS.

Primjer 3.3 Izraunajmo c I= S

x3 dy dz + y 3 dx dz + z 3 dx dy,

3.4 Teoremi o divergenciji, gradijentu i rotoru

61

gdje je S sfera x2 + y 2 + z 2 = a2 orijentirana poljem vanjskih normala. Iz w = x3 i + y 3 j + z 3 k, div w = 3 x2 + 3 y 2 + 3 z 2 ,

primjenom Gauss-Ostrogradski formule i prelaskom na sferne koordinate imamo x = r cos sin , [0, 2 ] y = r sin sin , [0, ] 2 2 2 I= (3 x + 3 y + 3 z ) dx dy dz = r [0, a] z = r cos V J = r 2 sin 2 a

=3

d

sin d

0

0

0

r 2 r 2 dr =

12 a5 . 5

Primjer 3.4 Izraunajmo c I= S

x dy dz + y dx dz + z dx dy,

gdje je S proizvoljna po djelovima glatka zatvorena ploha koja omeduje podruje c V R3 , a orijentirana je poljem vanjskih normala. Vrijedi I=V

(1 + 1 + 1) dx dy dz = 3V

dx dy dz = 3V

dV.

Dakle, volumen podruja V jednak je c V (V ) = 1 3 x dy dz + y dx dz + z dx dy. S

Ova formula je poopenje korolara 2.1 za n = 3. c Kao to smo ve kazali, Teorem o divergenciji daje vezu dvostrukog integrala s c po plohi i trostrukog integrala derivacije po podruju omedenom tom plohom. c Imamo jo dvije sline veze. Denirajmo intregrale s c w dV = iV V

wx dV + jV

wy dV + kV

wz dV, wz dS.

w dS = iS S

wx dS + jS

wy dS + kS

U iskazima sljedea dva teorema V je podruje omedeno s po dijelovima glatc c kom plohom V , a n0 je polje vanjskih normala.

62 Teorem 3.2 (Teorem o gradijentu) Vrijedi grad f dV =V V

PLOSNI INTEGRALI

f n0 dS f cos dS + jV V

=i

f cos dS + kV

f cos dS.

Teorem 3.3 (Teorem o rotaciji) Vrijedi rot w dV =V V

(n0 w) dS.

3.5

Stokesova formula

Stokesova formula je poopenje Greenove formule iz poglavlja 2.5 na plohe i c krivulje u prostoru. Konzistentna orijentacija plohe i njenog ruba je kda orijentacija ruba zajedno s normalom u svakoj toki plohe ine desni koordinatni sustav. Moemo se izraziti c c z i drukije: plohu i njen rub orijentiramo tako da gledano iz vrha bilo koje normale c rub bude pozitivno orijentiran. Konzistentne orijentacije plohe prikazane su na slici 3.12.

Slika 3.12: Konzistentne orijentacije plohe i njenog ruba

Teorem 3.4 (Stokes) Neka je w : D V0 neprekidno diferencijabilno vek torsko polje, pri emu je D R3 otvoren skup. Neka je S po dijelovima glatka c ploha orijentirana poljem jedininih vektora normale n0 i neka je S konzistentno c

3.5 Stokesova formula

63

orijentiran tub plohe S (S je po dijelovima glatka krivulja). Tada vrijedi rot w d S = S S

w dr =S

w t0 ds.

U skalarnom obliku Stokesova formula glasi P dx + Q dy + R dz = S S

R Q y z + R P z x

cos + Q P x y

cos +

cos dS.

Primjer 3.5 Izraunajmo cirkulaciju vektorskog polja c w = x2 y 3 i + j + z k du ruba plohe z z= orijentiranog u negativnom smislu gledano iz vrha vektora k. Ploha S je gornja polusfera rdaijusa 2. Iz slike 3.13 zakljuujemo da je c 2 + y 2 + z 2 = 2 te da je rub plohe ploha S orijentirana vanjskom normalom sfere x krunica K koja omeduje krug D. z 2 x2 y 2

z

n S

11111111111111 00000000000000 D 11111111111111 000000000000002 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 K kxSlika 3.13: Gornja polusfera i njen rub

y

Izraunajmo cos , cos i cos (odnosno n0 ) kako bi primijenili skalarni oblik c Stokesove formule. Vrijedi y x n0 = i + j + 2 2 2 x2 y 2 k 2

64 pa je I= K

PLOSNI INTEGRALI

(x2 y 2 dx + dy + zq, dz) y x (0 0) + (0 0) + (0 3 x2 y 2 ) 2 2 2 x2 y 2 2

=S

dS.

Ovo je ploni integral skalarnog polja kojeg emo rijeiti projiciranjem plohe S s c s na xy-ravninu projekcija je sredinji krug D radijusa 2. Dakle, s 2 x2 y 2 2 2 2 I= (3 x y ) dx dy 2 2 x2 y 2D

= 3D 2

x2 y 2 dx dy = 2

x = r cos , [0,] 2 y = r sin , r [0, 2]

= 3

0

0

r 2 cos2 r 2 sin2 r dr d = = .