Kristalna gradja

Mašinski materijali - Dr Dragan Adamovic 1

Mašinski materijali- Predavanje (AS) – 2abbb

Kristalna struktura i geometrija elementarnih

kristalnih rešetki


KRISTALOGRAFIJA (potiče od grčkih reči «krýstallos» = led, naziv upotrebljen za prozirni kvarc, gorski kristal, za koji se smatralo da je zamrznuta voda, i "gráphein" = pisati) je nauka o KRISTALNOM STANJU. Proučava spoljašnji oblik kristala i njihovuunutrašnju građu.

KRISTALIZACIJA je prelaz tečne ili gasne faze u čvrstu, i to pravilnim trodimenzionalnim raspoređivanjem materijalnih čestica u kristalnu rešetku.


Nivoi pakovanja atoma u materijalima: a) Inertni monoatomski gas sa neuređenim atomima,b,c) Neki materijali, kao što je vodena para, amorfni silicijum i

silikatna stakla imaju samo delimično uređene atome i d) Metali, legure, mnoge keramike i neki polimeri imaju uređene

atome po celoj zapremini.


ČVRSTE MATERIJE mogu biti AMORFNE i KRISTALNE.

AMORFNE MATERIJE nemaju pravilnu unutrašnju građu i ne smatraju se pravim čvrstim materijama, već jako pothlađenim tečnostima. One nemajuodređeno topljenje, već pri zagrevanju postepeno omekšavaju dok se nerastope. Primeri takvih materija su staklo i vosak.

KRISTALI, nasuprot tome, imaju pravilnu unutrašnju građu svojstvenu zavećinu čvrstih materija.

Kristalni SiO2(Kvarc)

Amorfni SiO2(Staklo)

Kristalna građa Amorfna građa


KRISTALI su pravilna geometrijska tela, omeđena površnama koje se seku uivicama, a ivice u uglovima. Kristali su pravilne unutrašnje građe. Kristal imaodređen geometrijski oblik. Uglovi između odgovarajućih površina kristala neke materije konstantni su i karakteristični za tu materiju.Geometrijski oblik kristala u vezi je s njegovom geometrijskom unutrašnjomstrukturom. Drugim rečima, spoljni geometrijski oblik kristala u vezi je s određenim rasporedom njegovih strukturnih jedinica - iona, atoma ilimolekula. Svaki kristal se sastoji, dakle, od trodimenzionalno pravilnoraspoređenih strukturnih jedinica, a njihov raspored daje karakterističnasvojstva i oblik.Kristalna struktura neke materije predstavlja celokupni poredak strukturnihjedinica u tzv. prostornoj rešetki.


Jedinična ili elementarna ćelija je najmanji deo prostornerešetke koji, ponavljan u tri dimenzije, daje celu kristalnu rešetku.Parametar rešetke je najmanja udaljenost između dva atomauzduž ivice jedinične ćelije.Jedinična ćelija kristalne strukture sadrži najmanji mogući brojstrukturnih jedinica.

Jedinična ćelijaTačka

rešetke


Jedinična ćelija je osnovna «cigla» čijim se slaganjem može izgraditičitav kristal.

Jedinična Ponavljanje Ponavljanje Ponavljanjećelija duž ose z duž ose y duž ose x

z

y

Pravljenje kristalne strukture iz jedinične ćelije uzponavljanje po kristalografskim osima

x


Kristalni sistem

Kristalni sistem se opisuje:- kristalnim osima: x, y, z- parametrima po kristalnim osima: a, b, c- uglovima između kristalnih osa: α, β, γ.


Prema odnosu veličina parametara a, b, c i uglova α, β i γ sve kristalnestrukture mogu se prikazati u 14 vrsta jediničnih ćelija razvrstanih u 7 osnovnih kristalnih sistema.

Podela kristalnihrešetki po kristalnimsistemima(Bravijis-ove rešetke)


Sistem Brojosa

Odsečci naosama

Ugloviizmedju osa Primeri

Triklinični 3 a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 90° CuSO4·5H2O (plavi kamen)

Monoklinični 3 a ≠ b ≠ c α = β = 90° ≠ γ CaSO4·2H2O (gips)

Ortorombični 3 a ≠ b ≠ c α = β = γ = 90° Fe3C, Ga

Tetragonalni 3 a = b ≠ c α = β = γ = 90° TiO2

Kubni 3 a = b = c α = β = γ = 90° Cu, Fe, Al, Ni, ...

Heksagonalni 4 a1 = a2 = a3 ≠ c α1 = α2 = α3 = 120°; γ = 90°

Zn, Cd, Mg, Ti, Be, SiO2, H2O

Romboedarski 3 a = b = c α = β = γ ≠ 90° As, Sb, Bi

Kristalografski sistemi


ba

c

Primitivna (prosta, jednostavna) - elementarnoj ćeliji pripada pojedna čestica (atom); u svakomroglju (čvoru) elementarne ćelijenalazi se 1 atom koji jezajednički za svih osam ćelija ((8 ⋅ 1/8) = 1),

Bazno centrirana - elementarnaćelija ima po jedan atom nasvakom roglju i još po jedan atom u sredini donje i gornje osnove (sl. 1.10b); to znači da na elementarnućeliju dolazi 2 atoma ((8 ⋅ 1/8 + 2 ⋅1/2 ) = 2).

ba

c


Prostorno centrirana - ima pojedan atom u rogljevimaelementarne ćelije i jedan atom u njenom središtu (sl. 1.10c); to znači, da elementarnoj ćeliji pripadaju 2 atoma (8 ⋅ 1/8 + 1 ) = 2).

Površinski centrirana - ima u elementarnoj ćeliji po jedan atom na svakom roglju i po jedan atom u sredini svake strane (sl. 1.10d); elementarnoj rešetki tada pripada4-atoma ((8 ⋅ 1/8 + 6 ⋅ 1/2) = 4).

ba

c

b

c

a


Prema usvojenoj simbolici struktura hemijskih elemenata označava se slovom A (npr. A1, A2, A3, do A8). Slovo A se dopunjava odredjenimbrojem za tip strukture (1 - površinski centrirana, 2 - prostorno centrirana, 3 - gusto pakovana heksagonalna, 4 - dijamantska kubna, 5 - prostorno-centrirana tetragonalna, 6 - površinski centrirana tetragonalna, 7 - romboedarska, 8 - trigonalna (trougaona)).

Kod tehničkih metala, uglavnom se sreću tri tipa osnovnih ćelija:

o površinski centrirana kubna rešetka (A1),

o prostorno centrirana kubna rešetka (A2) i

o gusto pakovana heksagonalna rešetka (A3).

Po drugim tipovima rešetke kristališu se neki za tehniku manje značajnimetali, keramike i polimeri.


Elementarne rešetke tehničkih metala

Većina inženjerskih metala kristališe se po kubnoj rešetki, a samo nekolikopo heksagonalnoj rešetki.

Razlikuju se:

• površinski centrirana kubna rešetka (A1),

• prostorno centrirana kubna rešetka (A2) i

• gusto pakovana heksagonalna rešetka (A3).

Pored tipa rešetke bitno je još poznavati broj atoma (n) koji pripadajuosnovnoj ćeliji, radijus atoma R, koordinacioni broj (K) koji predstavlja brojatoma podjednako udaljenih od centralnog atoma u elementarnoj rešetki i koeficijent ispunjenosti rešetke (KIR) koji se odredjuje iz odnosa zapremineatoma elementarne rešetke i zapremine same rešetke.

Kad bude reči o obrazovanju legura videće se značaj atomskog radijusa zalegiranje, jer se samo atomi sličnih dimenzija mogu zamenjivati. Atomskiradijus se može izračunati iz dimenzija elementarne rešetke.


• Kubna jedinična ćelija je 3D ponovljiva jedinica• Retka (samo Po (polonijum) ima ovu strukturu)• Gusto pakovani pravci (directions along which atoms touch each other)

are cube edges.• Koordinacioni broj = 6

(broj najbližih suseda)

Prosta kubna rešetka


• KIR za prostu kubnu rešetku e = 0.52

sadrži 8 x 1/8 = 1 atom/rešetki

Konstanta rešetke

pravci gustog-pakovanja

a

R=0.5a

KIR = Zapremina atoma u rešetki

Zapremina rešetke

KIR = a3

4

3π (0.5a)31

atomi

rešetkeatoma

zapremina

rešetkezapremina

KIR - Koeficijent ispunjenosti rešetke

Pravci gustog pakovanja: dužina = 2r=2R=a


Dva načina prikazivanja površinsko-centrirane kubne rešetke

Površinski centrirana kubna rešetka (A1)Atomi se nalaze na svakom uglu (ćošku) i centrima svih stranica rešetke;Cu, Al, Ag, Au su metali koji imaju ovu kristalnu rešetku.


• Koordinacioni broj = 12

• Pravci gustog pakovanja su dijagonale stranica.Napomena: Svi atomi su identični; površinski centrirani atomi su osenčeni (beli)samo da bi bili istaknuti.

Površinski centrirana kubna rešetka


a

• KIR za površinski centriranu kubnu rešetku = π/(3√2) = 0.74(najbolje moguće pakovanje je sa identičnim sferama)

Koeficijent ispunjenosti rešetke

KIR = a3

4

3π ( 2a/4)34

atomi

rešetke atomazapremina

rešetke

zapremina

Pravci gustog pakovanja: dužina = 4r

= 2 a

Rešetka sadrži:6 x 1/2 + 8 x 1/8

= 4 atoma/rešetki


Atomi se nalaze na svakom uglu (ćošku) i u centru rešetke;Cr, α-Fe, Mo su metali koji imaju ovu kristalnu rešetku.

Zapreminski centrirana kubna rešetka (A2)



• Pravci gustog pakovanja su dijagonale rešetke.Napomena: Svi atomi su identični; centralni atom je osenčen (beo) samo da bi se razlikovao od ostalih atoma.

Zapreminski centrirana kubna rešetka


aR

• KIR za zapreminski centriranu kubnu rešetku = π√3/8 = 0.68

Pravci gustog pakovanja: dužina = 4r

= 3 a


KIR = a3

4

3π ( 3a/4)32

atomi


rešetke

zapremina

Rešetka sadrži:1 + 8 x 1/8

= 2 atoma/rešetki


Rešetka ima dva parametra a i c. Njihov idealan odnos za gusto pakovanje je c/a = 1.633Koordinacioni broj = 12 (kao i za A1)Broj atoma u rešetki, n = 6.Koeficijent ispunjenosti rešetke, KIR = 0.74 (kao i za A1)Svi atomi su identični

Tehnički važni metali, koji se kristališu po ovom tipu rešetkejesu npr. Be, Mg, Zn, Cd, i dr.

Gusto pakovana heksagonalna rešetka (A3)

odnosi se na jedan od tri centralna atoma u srednjojravni prizme


KIR za heksagonalnu centriranu kubnu rešetku (c=1.6333a) = 0.74(najbolje moguće pakovanje je sa identičnim sferama)

Rešetka sadrži:

atoma/rešetki = 6


KIR = 6a2

4

3π ( a/2 )

36

atomi


rešetke

zapremina3 c

4

3×1+12×1/6+2×1/2

a

R R

Ravni najgušćeposednute atomimajesu ravni osnova.



Pravci i ravni u kristaluAnaliza strukture i osobina kristala nije moguća bez definisanja pojedinihpravaca i ravni u kristalu ili u prostornoj rešetki. Često je potrebno pozivati se na određene pravce u kristalnim rešetkama. Ovo je naročito važno za metale i legure čija se svojstva menjaju promenom orijentacije kistala.

[100][100]

[001][001]

[010][010]

[110][110]

[101][101]

[011][011][111][111]Radi uprošćenja dalje ćemo se ograničiti na kubnu rešetku, po kojojse kristališe većina tehničkih metala.Za kubne kristalne rešetke kristalografski indeksi pravaca su komponente vektora pravca razložene duž svake koordinatne ose i svedene na najmanji ceo broj.

Kristalografski pravci


Ako u nekom čvoru datog kristala postavimopravougli koordinatni sistem sa osama x, y, z, možemo položaj svakog čvora rešetke opisatipomoću tri koordinate. Npr. čvoru O odgovarajukoordinate: 0, 0, 0; a čvoru D: a, b, c, gde su a, b, c parametri rešetke u pravcu triju kristalografskihosa x, y, z (za kubnu elementarnu rešetkua=b=c).

z

x

y

(1,0,0)

(0,0,1)

(0,1,0)

(1,1,0)

(1,1,1)

(0,1,1)

(1,0,1)

z

(0,0,0)

O

D

a

b

c

Parametar rešetke predstavlja jediničnu dužinu, to znači da koordinate čvoramožemo izraziti takodje pomoću umnožaka parametara rešetke. Koordinatečvora stoga će biti: čvor O: 0, 0, 0; čvor D: 1, 1, 1; to u zadnjem slučaju znači: jedan parametar u pravcu "x", jedan parametar u pravcu "y" i jedan parametar u pravcu "z".


Viliam Halou Miler (Villiam Hallowes Miller) (1801-1880). Engleski kristalograf koji je objavio “Treatise on Crystallography” (Naučna rasprava o kristalografiji) u 1839, koristeći koordinatne ose koje su bile paralelne ivicama kristala i koristeći recipročne indekse


Odrediti Miller-ove indekse zapravce A, B, i C na slici dole

Određivanje Miller-ovih indeksa pravaca

Kristalografski pravci i koordinate


Primeri

Pravac A

1. Koordinate krajnje tačke vektora A su (1, 0, 0) a koordinate početne tačke vektora A su (0, 0, 0)

2. Oduzimanjem početnih od krajnjih tačaka dobija se(1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1-0, 0-0, 0-0) = [100]

3. Pa je pravac A - [100]


Pravac B1. Koordinate krajnje i početne tačke su:

(1, 1, 1) i (0, 0, 0)2. (1, 1, 1) - (0, 0, 0) = [111]3. Pravac B je: [111]

Pravac C1. Koordinate krajnje i početne tačke su:

(0, 0, 1) i (1/2, 1, 0)2. (0, 0, 1) - (1/2, 1, 0) = (-1/2, -1, 1)3. 2(-1/2, -1, 1) = [-1 -2 2] ili

2]21[ .4


• [100] • [110] • [111] • [021]

• [011]• [200]• [210]

Zadatak:Ucrtati Miller-oveindekse pravca

Neki rešeni primeri


Odrediti Miller-ove indekse pravca!


Rešenja prethodnog zadatka


Primeri zavežbu


Određivanje Milerovih indeksa ravni

Pri utvrdjivanju Milerovih indeksa (h k l) za ravan postupase na sledeći način:

• odredjuju se odsečci (x, y, z) koje gradi razmatranaravan na kristalografskim osama x, y, z;

• nalaze se njihove recipročne vrednosti 1/x, 1/y, 1/z;

• dobijeni razlomci svode se na zajednički imenilac, pa ćebrojioci razlomaka predstavljati Milerove indekse ravni


Odrediti Milerove indekse za ravni A, B i C

Ravan A

1. x = 1, y = 1, z = 12.1/x = 1, 1/y = 1, 1 /z = 13.1/1 = 1, 1/1 = 1, 1/1 = 14. (111)

Primeri:


Ravan B

1. Ravan nikad ne seče z osu - z = , i x = 1, y = 22. 1/x = 1, 1/y =1/2, 1/z = 03. 1/1 = 1, 1/2 =1/2, 1/ = 04. Pretvaranje razlomaka u cele brojeve (množenje sa 2):

1/x = 2, 1/y = 1, 1/z = 05. (210)

∞

∞


Tako je: x = , y = -1, i z =

2.1/x = 0, 1/y = -1, 1/z = 0

∞

1. Nije teško uočiti da se Mileroviindeksi ne mogu direktno odreditiza ravni koje prolaze krozkoordinatni početak (npr. ravan C). Zato se, radi prikaza ravni kojeprolaze kroz 0, 0, 0, uzimaju ravnikoje su paralelne traženim ravnima(y= -1).

Ravan C

)010(.3

∞Ako je zadatak obrnut, da se naosnovu datih Milerovih indeksakonstruiše ravan, postupa se ovako: nadju se recipročne vrednostiMilerovih indeksa 1/h, 1/k, 1/l i teveličine nanesu na ose x, y, z;

tako se dobiju tri tačke tražene ravni.


Rešeni primeri


Primeri za vežbu

Za označene ravni odrediti Milerove indekse!


Teoretska gustina, ρ

Gustina = masa/zapremina

masa = broj atoma u rešetki × masa svakog atoma

masa svakog atoma = atomska težina/Avogadrov broj

ρ = n AVcNA

Broj atoma/rešetkiAtomska težina (g/mol)

Zapremina/rešetki(cm3/rešetki)

Avogadrov broj(6.023 x 1023 atoma/mol)


Primer: Bakar

• kristalna struktura = A1: 4 atoma/rešetki• atomska težina = 63.55 g/mol (1 amu = 1 g/mol)• atomski radijus R = 0.128 nm (1 nm = 10 cm)-7

Teoretska gustina - primer

ρ = n AVcNA

Broj atoma/rešetkiAtomska težina (g/mol)

Zapremina/rešetki(cm3/rešetki)

Avogadrov broj(6.023 x 1023 atoma/mol)

Vc = a3 ; za A1, a = 4R/ 2 ; Vc = 4.75 x 10-23cm3

Rezultat: teoretska ρCu = 8.89 g/cm3

stvarna: ρCu = 8.94 g/cm3


ρ (g

/cm

3)

Graphite/ Ceramics/ Semicond

Metals/ Alloys

Composites/ fibersPolymers

1

2

20

30Based on data in Table B1, Callister

*GFRE, CFRE, & AFRE are Glass, Carbon, & Aramid Fiber-Reinforced Epoxy composites (values based on 60% volume fraction of aligned fibers

in an epoxy matrix). 10

3 4 5

0.3 0.4 0.5

Magnesium

Aluminum

Steels

Titanium

Cu,Ni

Tin, Zinc

Silver, Mo

Tantalum Gold, W Platinum

Graphite Silicon

Glass-soda Concrete

Si nitride Diamond Al oxide

Zirconia

HDPE, PS PP, LDPE

PC

PTFE

PET PVC Silicone

Wood

AFRE*

CFRE*

GFRE*

Glass fibers

Carbon fibers

Aramid fibers

Zašto?Metali imaju...

• gusto pakovanje(metalnu vezu)

• veliku atomsku masuKeramike imaju...• manju gustinu pakovanja

(kovalentnu vezu)• nešto lakši elementi

Polimeri imaju...• loše pakovanje

(često amorfni)• lakši elementi (C,H,O)

Kompoziti imaju...• srednje vrednosti

Gustina različitih materijalaρmetala> ρkeramika> ρpolimera


• ABCABC... Način pakovanja

• Površinski centriranakubna rešetka

AB

C

Najgušći način pakovanja za površinski centriranu kubnu rešetku

• 2D projekcija

A sloj

B sloj

C slojB B

B

BB

B BC C

CA

A



• ABAB... Način pakovanja

• KIR = 0.74, za idealan odnos c/a = 1.633

• 3D Projekcija• 2D Projekcija

Heksagonalna gusto pakovana rešetka

Donji sloj

Srednji sloj

Gornji slojA sloj

B sloj

A sloj


Gusto pakovani kristali

A ravan

B ravan

C ravan

A ravan

…ABCABCABC… pakovanje[Povr. centr. kubna (A1)]

…ABABAB… pakovanje[Heksagonalna gusto pakovana (A3)]


ABAB slojevi slaganja Heksagonalna rešetka

ABAB slojevi slaganja Kubna rešetka


Gusto pakovani slojevi


Gusto pakovanje atomaZa kubnu i heksagonalnuRešetku - animacija


Poređenje kristalnih struktura

Kristalna struktura koordinacioni KIRpravac gustog pakovanja broj

Prosta kubna 6 0.52ivica

Prostorno centrirana kubna (A2) 8 0.68dijagonala kocke

Površinski centrirana kubna (A1) 12 0.74dijagonala stranice

Heksagonalna gusto pakovana (A3) 12 0.74šestougaona strana


Struktura a0 od rAtoma

po rešetki

Koordinacioni broj KIR Primeri

Prosta kubna a0=2r 1 6 0.52 Polonijum (Po), α-Mn

Prostorno centrirana kubna

a0=4r/√3 2 8 0.68Fe, Ti, W, Mo, Nb, Ta, K, Na, V, Zr, Cr

Površinski centrirana kubna

a0=4r/√24 12 0.74

Fe, Cu, Au, Pt, Ag, Pb, Ni

Heksagonalna gusto pakovana

a0=2rc0≈1.633a0

2 12 0.74Ti, Mg, Zn, Be, Co, Zr, Cd

Kristalna struktura nekih karakterističnih metala


Za opis heksagonalne strukture koriste

se modifikovani Milerovi indeksi poznati

kao Miler-Braveovi indeksi. Umesto osa

x, y, z uzimaju se četiri ose a1, a2, a3 i c,

pri čemu važi relacija .

Pomoću ovog izraza odredjuju se indeksi

ravni, dok se indeksi pravca odredjuju na

isti način kao kod kubne rešetke. .

1 2 3a a a

Određivanje Miller-Bravais-ovih indeksa za ravni i pravce heksagonalne gusto pakovane rešetke

+ = −


Primeri

Ravan A1. a1 = a2 = a3 = , c = 12. 1/a1 = 1/a2 = 1/a3 = 0, 1/c = 13. (0001)

Ravan B1. a1 = 1, a2 = 1, a3 = -1/2, c = 12. 1/a1 = 1, 1/a2 = 1, 1/a3 = -2, 1/c = 13.

Pravac C1. Dve tačke su 0, 0, 1 i 1, 0, 0.2. (0, 0, 1) –(1, 0, 0) = -1, 0, 1

3.

∞

)1211(

113]2[ ili ]011[

Pravac D1. Dve tačke su 0, 1, 0 i 1, 0, 0.2. (0, 1, 0) –(1, 0, 0) = -1, 1, 0

3. 100]1[or ]101[


Primeri za vežbu


Primeri za vežbu

Documents

Kristalna gradja