Un especto fundamental en la teoría de kriging estudiada es la estacionaridad débil o de orden 2.

A continuación estudiaremos algunas técnicas propuestas para obtener estimaciones cuando no se cumple la estacionaridad. Es decir, cuando

umuZE

Entre estas están:

Kriging Universal

Kriging con deriva externa (external drift)

UK

KRIGING UNIVERSAL

El kriging universal asume que la función aleatoria Z se puede descomponer en la forma:

umuRuZ

Donde R es una función aleatoria estacionaria de orden 2 con E(R(u))=0 y m es una función no aleatoria dependiente de la localización u.Bajo estas hipótesis se tiene que:

umuREuZE

um

UK

+ =

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 1 2 3 4 5 6

Z

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6

m

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6

R

UK

Si se asume la descomposición anterior se presentan 2 casos:

1°) La función de tendencia m es conocida en cada punto u del mallado o espacio donde se quiere estimar la propiedad.

2°) La función de tendencia m no es conocida y hay que proceder a estimarla a partir de los datos.

Es importante observar que en cualesquiera de los casos se asume que

umuZuR

es una función aleatoria estacionaria de orden 2 con media cero y por lo tanto se pueden utilizar las técnicas de kriging estudiadas anteriormente. Los valores R(u) se denominan los valores residuales.

UK

Caso 1

Como la función de tendencia es conocida entonces se puede calcular

umuZuR

Luego, se pueden estimar los residuales utilizando kriging simple y obtener como estimación de la propiedad

umuRuZ sk **

Es importante observar que la estimación se realiza utilizando los residuales y no los valores originales de la propiedad. Así por ejemplo, el cálculo del variograma se debe hacer utilizando los residuales.

UK

Caso 1 Pasos para la estimación

1. Conocer la función de tendencia en cada uno de los puntos del mallado o espacio donde se quiere estimar

2. Calcular en cada punto donde se tiene informacion el valor de los residuales

NjumuZuR ,,2,1

3. Validar la hipótesis de estacionaridad de la función residual. Si esta se cumple, realizar la estimación de la función residual mediante kriging simple.

4. Obtener la estimación de la propiedad como:

umuRuZ sk **

UK

Presencia de una tendencia

Identificación de la función de tendencia

bayyxm ,

Obtención de los residuales

yxmyxTOPEyxR ,,,

Obtención de la estimación

yxmyxRyxTOPE sk ,,, **

UK

Caso 2

Cuando la función de tendencia es desconocida, es usual asumir que esta se puede escribir como:

100

fufaumL

jjj

Donde las funciones f son conocidas, llamadas funciones de base, y los parámetros a son desconocidos, lo cual hace que la función de tendencia sea desconocida.

Las funciones de base deben ser escogidas según la naturaleza del problema y no arbitrariamente.

La idea ahora es proceder como en el kriging ordinario. Es decir, imponer condiciones para filtrar el valor desconocido de la media.

UK

El estimador que se propone es

N

uZuZ1

*

y por lo tanto

N

j

L

jj

NufaumuZE

101

*

De esta forma, si se impone la condición

jufuf j

N

j 1

Se obtiene que el estimador es insesgado

uZEuZE *

UK

En cuanto a la varianza del error hay que observar primero que

umuRuZuZNN

11

*

Con lo cual,

N

uRuRuZuZ1

*

Y por lo tanto

N

iiiji

N

jiji uRuRCuRuRCuRuRCuZuZ

11,

* ,2,,var

UK

Para incluir las restricciones se consideran L+1 parámetros de Lagrange j

Y la función a minimizar es:

L

jj

N

jjLN ufufuZuZ0 1

*01 2var,,,

Para ello se deriva la función respecto a cada uno de los parámetros y se igualan a cero cada una de estas derivadas

N,10

Ljj

,00

Sistema de ecuaciones de N+L+1 incógnitas con N+L+1 ecuaciones

L

N

NLLL

N

N

NLNNNN

LN

LN

ufufuf

ufufuf

ufufuf

ufufufCCC

ufufufCCC

ufufufCCC

1

0

2

1

21

12111

02010

1021

22120221

11110112

000

000

000

0

0

0

uf

uf

uf

C

C

C

L

N

1

0

0

20

10

UK

0

0

0 F

C

F

Ft

La unicidad de la solución depende de la matriz F, la cual depende de la configuración de los puntos de observación.

UK

Cómo se obtienen los residuales para el cálculo de la covarianza si se desconoce la media ?

En general, la respuesta no es sencilla. Debido a este tipo de inconveniente, producto de la descomposición asumida, Matheron desarrolló la teoría de funciones aleatorias intrínsecas de orden k y covarianzas generalizadas.

Según las condiciones del problema pudieran existir regiones en las cuales la tendencia no influye. En este caso, se puede utilizar directamente la información de la variable Z para inferir la función de covarianza de los residuales.

ED

KRIGING CON DERIVA EXTERNA

Puede ocurrir que dos variables medidas en diferentes maneras aportan información sobre el mismo fenómeno. Por ejemplo, el tope medido en los pozos y el tiempo de tránsito en la sísmica.

Cuando una de las variables es precisa pero poco muestreada (tope medido en los pozos) y la otra es más imprecisa pero densamente muestreada (sísmica) es de interés poder utilizar ambas fuentes de información para el estudio del fenómeno en cuestión.

Como en ambas se encuentra información del fenómeno en estudio es razonable asumir que:

uSbauZE

Precisa y poco muestreada

Imprecisa y densamente muestreada

ED

Información directa: Información de pozos.

Alta resolución vertical

Baja resolución areal

Información indirecta: Información sísmica

Baja resolución vertical

Alta resolución areal

ED

uSbauZE

Para hallar los valores óptimos de los pesos basta observar que la condición

es un caso particular del sistema de ecuaciones del kriging universal al considerar tan solo dos términos en la expresión de la función de tendencia

uSufaa 10 ,

El estimador que se propone es

Lo importante a observar ahora es que el estimador de kriging con deriva externa no asume a priori la descomposición en un término de tendencia más uno aleatorio y estacionario.

N

uZuZ1

*

ED

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones a resolver es

uSuS

iuuCuSuuC

N

jjj

N

jj

N

jiiijj N

1

1

110

1

,,2,1

uS

C

C

C

uSuSuS

uSCCC

uSCCC

uSCCC

NN

N

NNN

N

N

1

00

00111

10

10

10

0

20

10

1

0

2

1

21

21

2212

1112

Sistema de ecuaciones de N+2 incógnitas con N+2 ecuaciones

ED

Es importante considerar que:

1) Si la función S no varía suave el sistema de ecuaciones puede ser inestable.

2) Las estimaciones realizadas utilizando kriging con deriva externa producen resultados que reflejan la tendencia dada por la función S. Esto es producto de la decisión de asumir que E(Z(u))=a+bS(u) y no demuestra que los datos siguen la tendencia obtenida.

3) Es necesario conocer el valor de S en todos los puntos donde se tiene información y en todos los puntos donde se requiere realizar la estimación.

4) Como generalmente el método se aplica utilizando una vecindad móvil, una notación mas adecuada de la relación entre la variable primaria y la variable secundaria sería:

uSubuauZE

ED

Esto permite estimar el parámetro b en cada punto u y medir la influencia de la variable de tendencia en dicho punto. Esto se logra resolviendo básicamente el mismo sistema de ecuaciones:

1

0

0

1

1

110 ,,2,1

N

jjj

N

jj

N

jiijj

uS

iuSuuC N

1

0

0

0

0

00

00111

10

10

10

1

0

2

1

21

21

2212

1112

N

N

NNN

N

N

uSuSuS

uSCCC

uSCCC

uSCCC

Se requiere entonces invertir la matriz sólo una vez para obtener la estimación de la propiedad y del parámetro b.

ED

En el caso general, es decir, cuando se asume que

uSbuSbuSbauZE kk 2211

Se procede como antes pero incorporando k+1 parámetros de Lagrange al sistema de ecuaciones. De esta forma, el sistema de ecuaciones sería

Ni

N

jjij

N

jj

N

ji

N

pippijj

iuSuS

iuuCuSuuC N

,,2,1

1

1

1 10

1

,,2,1

Y la forma matricial es idéntica a la obtenida para el kriging universal considerando las funciones S en lugar de las f

ED

La estimación de cada uno de los parámetros b en el punto u se obtiene también como antes.Por ejemplo, el sistema a resolver para estimar es:

Nii

N

jjij

N

jj

N

j

N

pippijj

iuS

iuSuuC N

,,2,1

1

1

1 10

0

0

0 ,,2,1

Donde

nosi

jisiji

0

1

ubi0

(Función Delta de Kronecker)