Kratka Mathematica radionica

Jelena Hadži-PurićMatematički fakultet, Beograd

Šta je Wolfram Alpha? Šta je Mathematica?

Wolphram Alpha (www.wolframalpha.com) je on-line servis koji daje odgovore na Vaša pitanja, za razliku od recimo Google-a, koji će izbaciti listu Web stranica na kojima se pojavljuje uneta frazaProjekat je razvijen od strane Stivena Wolframa,

poznatog matematičara koji je za ovaj projekat dobio niz priznanja. Ovaj answer-engine, kako ga mnogi definišu, za proračune koristi raniji Wolframov proizvod koji se zove

Mathematica (1986-...)

Šta je pretraga znanja? Šta je računanje znanja?

• Pretraga znanja na Wolfram mašini se odvija zapravo putem kompleksnog računanja znanja.

• Unesite pojam orange unutar Google pretraživača i unutar Wolfram Alpha mašine

Pokretanje Mathematica-e

• Mi ćemo koristiti Mathematica Browser Plugin i imaćemo mogućnost da koristimo i Wolfram mašinu koja računa znanje i da koristimo Matehematica notebooks i Mathematika CDF (Computable Document Format).

Mathematica komponente i moduli

• Front End (=user interface) • Kernel (=programska pozadina)• Front End šalje podatke na obradu Kernelu samo ako mu se kaže

da tako učini: <Shift>+<Enter>Mathematica beležnica (notebook) je datoteka (uobičajena ekstenzija imena datoteke je .nb) koja se sastoji od niza ćelija (cell). Ćelije sadrže raznovrsne tipove informacija (matematičke izraze, grafiku, tekst) koje je ili uneo korisnik ili ih je proizvela Mathematica kao rezultat nekog računa. Svaka ćelija je označena uglatom zagradom na desnoj strani beležnice. Tri vrste ćelija koje ćemo najčešće susretati su:Input (koja sadrži izvršne Mathematica komande), Output (koja sadrži rezultate izvršavanja tih komandi), Text (koja obično sadrži komentare računa)Case-sensitive!!! Imena ugrađenih funkcija, konstanti i slično počinju

velikim slovom i nikad ne sadrže blank-ove.

Osnovne računske operacije

• aritmetičke operacije: +, -, *, /, ^, !• Oprez: množenje možete pisati kao * ili

stavljanjem praznog mesta (blank) između faktora.

• Za grupisanje operacija tj. određivanje redosleda izvođenja koriste se obične zagrade.

2 × 3 − 2 ∗∗∗∗ 36^10022!(2 − 3) ∗∗∗∗ (6 / 7 − 1 / 3!)^2

2 / 3

Dodatne napomene

• Mathematica pokušava računati egzaktno. Budući da 2/3 nije isto što i 0,66667 (ili koja druga numerička aproksimacija), rezultat deljenja 2 sa 3 daće kao 2/3. S druge strane, ako je neki od operanada decimalan broj, Mathematica podrazumeva da nije egzaktan te računa s decimalnim aproksimacijama.

2. / 3

Šta je rezultat rada? Zašto?

(−3)^1 / 3

(−3.)^1 / 3

(−3)^(1. / 3)

3.2*^4

5.^(1/7.) in base 2

Broj decimala u rezultatu

• Želimo li rezultat nekog izraza dobiti kao decimalan broj koristimo funkciju N[izraz], s tim da je rezultat izračunat na tačnost računarskog sistema. Ukoliko je izraz egzaktan broj tj. nije već računat aproksimacijama unutar računarskog sistema, možemo ga dobiti na tačnost od n cifara naredbom N[izraz, n].

N[4 / 6]

4. / 6

N[4 / 6, 16]

N[4. / 6, 50]

(−5)^121

N[%]

Help

Želimo li dobiti kratak opis funkcije, koristimo naredbu ?

?N

Želimo li popis svih funkcija koje u imenu sadrže neki niz znakova, možemo ga dobiti naredbom ?.Ako iza ? unesemo tačno ime funkcije, dobićemo kratko uputstvo za njeno korištenje.? ∗∗∗∗Sin∗∗∗∗

Upotreba konstanti

Baza prirodnog logaritma je E, imaginarnajedinica je I, π je Pi.E^(−5)

Pi/2

E^(−0.5)

N[E, 30]

Exp[−5.]

(3 + I) / (4 − I)

Rad sa kompleksnim brojevima

((3+4i)/5)^10

Re((1/5 (3+4 i))^10) vs Im((1/5 (3+4 i))^10)

Funkcije

• Argumenti realnih funkcija moraju biti decimalni brojevi, ako želimo dobiti rezultat u obliku decimalnog broja.

• Vrste brojeva u Mathematica-i su Integer (celi brojevi), Real (decimalni brojevi), Rational (razlomci), Complex (kompleksni brojevi oblika x + I y)

• Ime funkcije počinje velikim početnim slovom i često je slično uobičajenom matematičkom imenu funkcije. (Ipak, treba paziti. Npr. Log je prirodni logaritam (ln=loge), a dekadni logaritam (log10) se dobije kao Log [10, <arg> ]

• Argument funkcije se navodi u uglastim zagradama. Upotreba zagrada u Mathematici je vrlo stroga.

Šta je rezultat rada? Zašto?

Sin[2]Sin[2.]N[Sin[2], 20]Cos[Pi / 4]Sqrt[−16]1+ArcTan[1] FactorInteger[1234567890] N[Log[Sinh[Pi − E] / 2, 10]]Ako želimo logaritam od nečega s bazom apišemo Log[izraz ,a ]

Poruke o grešci

• Ako se ogrešimo o matematička ili sintaksna pravila, Mathematica će nam uzvratiti porukom o grešci

1/0sin[2.3]

• Ovo drugo strogo gledano nije greška (jer možda mislimo na neku funkciju koja se zove sin(x), a koja nema veze sa sinusom Sin), ali Mathematica nas upozorava da smo možda hteli sinus koji, kao i sve ugrađene funkcije treba pisati s velikim početnim slovom.

Malo zabave

PSY curve

Malo zabave

bulldog curve

Malo zabave

internet users all countries per capita

Malo zabave

area of an ovalcardioidcardioid vs limaçonmethane vs ethanecompare area of Russia and Plutocompare 7^7/4^9 and pi7^2 days vs 6 weekssummary of decay modes of Higgs particle

Simbolički račun

• Imena koje dajemo varijablama i funkcijama ne smeju počinjati brojem i ne smeju biti rezervisana imena. a = 1.5

b = 3.5a / baba b

Primer upita: a = 1.5 b = 3.5 a/b• Moguće je ne samo numeričke vrednosti, nego i čitave

izraze cuvati u varijablama.izraz1 = (x + y)^2izraz2 = (a + b)^2

Malo zabave

solve a/b = 0

a/b > 0

4th digit of abs((3+i)/(4-i))minimize x^4-xminimize sin(2*x) -3

Mathematica resava domace zadatke

4x^2-5xy+2y^2=4

Iskazni račun

“&&” označava logičku operaciju “i”“||” logičku operaciju “ili”“=>” označava implikaciju, “<=>” ekvivalencijup&&(q||r)NOT c||(a&&b)xor (a, xor (b,c)) vs nand (a, nand (b,c))

Skupovi i Veneovi dijagrami

“complement” je komplement skupa, “intersect” presek skupova, “union” unija skupova

(complement c) intersect (a union b)

Malo zabave: astrofizika

1 billion years after the big bang4am in Serbia in Jerusalem42nd day of winterconvert 10! seconds to weeksblack hole 10 solar masses1 joule second500m asteroid impact 20 km/s

Algebarski izrazi

• Mathematica algebarske izraze pokušava zadržati u faktorizovanom obliku, smatrajući ga najjednostavnijim.

(3 x + 2 y)^8

Expand[(3 x + 2 y)^8]

Na primer, Expand[(x+y)^2(3x-y)^3] daje

Funkcije za manipulacijualgebarskih formula

Simplify, Expand, Factor,Cancel, Together, Apart ...

Simplify[(x^2-1)/(x^2-2x+1)]

Sta je rezultat rada? Zasto?

(x^2-1)/(x-1)>=0asymptotes of x^3/(x^2-1)

Funkcije za manipulacijualgebarskih formula

Derivacija, integracija

Tangentne prave

tangent line to (x^2-1)/(x^2-2 x+1) at x = 1/pi

Resavanje domaceg tj. step by step analiza resenja

Sumiranje, limesi

Limit[Sum[1/k,{k,1,n}]-Log[n], n->Infinity]Sum[Cos[j],{j,1,10}]

Sum[k,{k,1,100}]limit (1/n) as n->infinitylimit (1/n) as n->0limit (1+1/n)^n as n->infinitylimit ((exp(x)-1)/x) as x->0

Zadatak za samostalan rad

Proučite upotrebu funkcije Sum za sumiranje matematičkih redova i izračunajte:

Zadatak za samostalan rad

Nađite prve izvode funkcija:

Određeni integral

Odredimo određeni integral funkcije (4x^2-9)^(1/2) /x^3 na [4,10].

Zadatak za samostalan rad

Odredite određene integrale sledecih funkcija:

Zadatak za samostalan rad

Nađite limese sledećih funkcija kad x->

Jednostrani limes

Zadatak za samostalan rad

Molarni toplinski kapacitet dvoatomnog idealnog plina konstantnog volumena opisan je formulom

Odredite molarni toplinski kapacitet pri jako visokim i pri jako niskim temperaturama.

Rešenje

Crtanje grafova realnih funkcija jedne promenljive

Plot[Abs[Exp[-x*x]-0.5],{x,-2,2}]

Crtanje grafova realnih funkcija jedne promenljive

Složeniji primer crtanja grafika funkcije

Primer upotrebe grafičkog poljahttp://reference.wolfram.com/mathe

matica/ref/GraphicsGrid.html

Zadatak za samostalan radNacrtajte grafove sledećih funkcija koristeći bar po jednu opciju. Sami procenite razumne domene

Apsolutna vrednost broja x se dobija naredbom Abs[x]

Primer crtanja grafika funkcije koja je zadata tabelarno

plot table (-5^k mod 12) for k = 1 to 100

Primer crtanja grafika periodicnefunkcije

Clear[g]g[x_]:= x /; 0<=x<1g[x_]:= 1 /; 1<=x<2g[x_]:= 3-x /; 2<=x<3g[x_]:=g[x-3] /; x>=3

Plot[g[x],{x,0,12},PlotRange->{0,2},Ticks->{{{1,""},{2,""},3,

{4,""},{5,""},6,{7,""},{8,""},9,

{10,""},{11,""},12},{1}}]

Primer crtanja grafika periodicnefunkcije

Clear[f]f[x_]:=-x^2+2 /; x<=-0.2f[x_]:=-20x^2 /; -0.2<x<0.2f[x_]:=-x^2+2 /; x>=0.2Plot[f[x],{x,-2,2.2}]

Argumenti funkcija u matematici

Funkcije u Mathematici mogu imati bilo koji broj argumenata Petnica[x_,xmax_]:=(x-xmax)^2/xmaxSada možete koristiti funkciju “Petnica" kao bilo koju funkciju u matematici! 2+Petnica[x,3.5]Redefinišimo funkciju Petnica sa argumentom x_maxPetnica[x_,x_max]:=(x-xmax)^4

Provera definicije funkcije

?PetnicaOdziv sistema jeGlobal`Petnica

Time smo prebrisali staru funkciju Petnica i pripisali joj novu vrednost!

Clear[Petnica]

Definicije funkcija koje učestvuju u algebarskim izrazima

Pri izračunavanju i programiranju, mnoge delove složenih izraza pišemo više puta, što može postati zamorno - stoga možemo definisati funkcije koje skraćuju posao!

Umesto da pišemo(x+1)(x+2)(x+3) uradimo

Odziv sistema je

Nastavak

Odziv sistema je:

Definišimo funkciju

Upotrebimo funkciju za računanje proizvoda

Rezultat je izraz

Višelinijske definicije funkcijaMožete imati više linija u svojim funkcijama u Mathematici, ali ih odvojajte tačka-zarezima Uvedimo naredbu za dobijanje koeficijenta polinoma

Pogledajmo definiciju funkcije kucanjem naredbe

Odziv sistema je

Rezultat koji dobijate od je koeficijent koji se nalazi uz clan x^i u proizvodu(x + 1) (x + 2) ... (x + n). Primer je naredba:

Odziv sistema je

Presek funkcije sa osama Ox, Oy

intercepts (x^2-1)/(x^2-2 x+1)

Malo zabave

continuum hypothesis

F=5 Newtons, t=8 seconds

momentum m=12kg, v=30m/s

a 2.1kg block slides down an inclined plane

ball on incline for 10 seconds

Arhimedova spirala

U Arhimedovoj spirali, svaki okret spirale jena istoj udaljenosti od prethodnog okreta. Kriva je zapravo deo tačke koja se kreće odcentralne tačke duž spoljašnjeg zrakajednoličnom brzinom, dok zrak rotira okopola konstantnom ugaonom brzinom.

Vaši primeri

Pitanja?