Embed Size (px)
Citation preview
PredmetMetodika nastave matematike II
KRATAK PREGLEDINTEGRALNOG RACUNA I
NJEGOV ISTORIJSKI RAZVOJ
Profesor: Student:dr Lucic Zoran Vuckovic Milica 304/01
1
Integralni racun
Smatra se da je Arhimed prvi proucavao probleme odredivanja povrsinegeometrijskih figura, na nacin koji je bio blizak metodu integralnog racuna.Pojam integrala u danasnjem smislu javio se u VII veku, sa Njutnovim iLajbnicovim radovima, ali je tek sa Kosijevom definicijom granicne vred-nosti bilo moguce dati i praciznu definiciju integrala kao granicne vrednostiintegralnih suma. Lajbnic je uveo simbol
∫, koji asocira na sumiranje, kao
modifikacija sova S.Integral je jedan od najvaznijih pojmova matematicke analize. Postoji
vise vrsta integrala, medu kojima su najpoznatiji neodredeni, odredeni, Stilt-jesov itd. Neodredeni integral se uvodi kao funkcija u izvesnom smislu in-verzna diferenciranju, odnosno kao skup svih primitivnih funkcija za funkcijukoja se integrali. Odredeni (ili Rimanov) integral se uvodi pomocu tzv. inte-gralnih suma. Iako je proucavanje ovih integrala u pocetku teklo nezavisno,cuvena je formula koja uspostavlja vezu izmedu njih Njutn-Lajbnicova for-mula.
1 Neodredeni integrali
1.1 Primitivna funkcija
Neka je f funkcija definisana na intervalu (a, b). Ako postoji funkcijatakva da je
F ′(x) = f(x), (a < x < b),
ili ekvivalentnodF (x) = f(x)dx,
tada kazemo da je F primitivna funkcija funkcije f na intervalu (a, b).Ako je F primitivna funkcija funkcije f , tada je i F+C primitivna funkcija
funkcije f , gde je C proizvoljna konstanta.Neodradeni integral funkcije f definisemo pomocu:∫
f(x) dx = F (x) + C (C = const, a < x < b),
gde je F jedna primitivna funkcija funkcije f na intervalu (a, b).Nalazenje integrala je postupak inverzan diferenciranju:∫
df(x) = f(x) + C, d
∫f(x)dx = f(x)dx
2
Integral ima osobinu linearnosti: Ako funkcije f i g imaju primitivnefunkcije na intervalu (a, b), tada za x ∈ (a, b) vazi
∫(αf(x) + βg(x)) dx = α
∫f(x) dx+ β
∫g(x) dx+ C (α, β ∈ R)
Svaka funkcija koja je neprekidna na (a, b) ima na tom intervalu primi-tivnu funkciju.
Primitivna funkcija i neodredeni integral na datom intervalu (a, b) suneprekidne i diferencijabilne funkcije.
1.2 Tablicni integrali
Funkcija Integral Interval za x∫xa dx a ≥ 0 xa+1
a+1+ C (−∞,∞)∫
xa dx a < 0, a 6= −1 xa+1
a+1+ C (−∞, 0) ili (0,∞)∫
dxxdx ln |x|+ C (−∞, 0) ili (0,∞)∫
dx1+x2 arctanx+ C (−∞,∞)∫dx
1−x212ln |1+x
1−x|+ C (−∞,−1) ili (−1, 1) ili (1,∞)∫
dx√1−x2 arcsinx+ C (−1, 1)∫dx√x2+1
ln(x+√x2 + 1) (−∞,∞)∫
dx√x2−1
ln |x+√x2 + 1| (−∞,−1) ili (1,∞)∫
ex dx ex + C (−∞,∞)∫ax dx a > 0, a 6= 1 ax
ln a+ C (−∞,∞)∫
cosx dx sin x+ C (−∞,∞)∫sinx dx − cosx+ C (−∞,∞)∫
dxsin2 x
ctg x+ C (kπ, (k + 1)π), k ∈ Z∫dx
cos2 xtg x+ C ( (2k−1)π
2, (2k+1)π
2)∫
sh x dx chx+ C (−∞,∞)∫chx dx sh x+ C (−∞,∞)∫
dxsh2 x
− cthx+ C (−∞, 0) ili (0,∞)∫dx
ch2 xthx+ C (−∞,∞)
3
1.3 Smena promenjive
Smena x = ϕ(t). Ako su funkcije f , ϕ i ϕ′ neprekidne, tada je∫f(x) dx =
∫f(ϕ(t))ϕ′(t) dt+ C
Smena ϕ(x) = t. Ako funkcija ϕ ima inverznu funkciju ψ = ϕ−1, i akosu funkcije ϕ, ψ i ψ′ neprekidne tada je∫
f(ϕ(x)) dx =
∫f(t)ψ′(t) dt+ C
Linearna smena.Ako je
∫f(x) dx = F (x) + C, onda je za a, b ∈ R, a 6= 0,∫
f(ax+ b) dx =1
aF (ax+ b) + C
1.4 Parcijalna integracija
Neka su u(x) i v(x) diferencijabilne funkcije i neka postoji primitivnafunkcija funkcije u′(x)v(x). Tada postoji primitivna funkcija funkcije u(x)v′(x)i pri tom vazi jednakost∫
u(x)dv(x) = u(x)v(x)−∫v(x)du(x)
Parcijalnu integraciju ima smisla primeniti ako je integral∫vdu jednostavniji
za izracunavanje od polaznog integrala∫vdv. Stoga se, po pravilu, za u bira
funkcija koja se uproscava diferenciranjem, dok se za v uzima funkcija kojase uproscava integracijom.
1.5 Neke vazne klase integrala
1.5.1 Integracija racionalnih funkcija
Neka su P i Q polinomi stepena m i n, respektivno. Racionalna funkcija
(1) f(x) =P (x)
Q(x)
naziva se prava racionalna funkcija ako je m < n; u suprotnom slicajuje neprava. Ako NZD(P,Q) = 1, racionalna funkcija se naziva nesvodljivainace je svodljiva.
4
Racionalne funkcije definisane pomocu
(2)A
(x− a)kA, a ∈ R, k ∈ N,
(3)Mx+N
(x2 + px+ q)kM,N, p, q ∈ R, p2 − 4q < 0, k ∈ N,
nazivaju se parcijalni razlomci. Pokazacemo da se integracija racionalnihfunkcija moze svesti na integraciju samo parcijalnih razlomaka tipa (2) i (3).
Svaka neprava racionalna funkcija moze se razloziti na zbir polinoma iprave racionalne funkcije. Ovo razlaganje se dobija deljenjem brojioca saimeniocem.
Svaka svodljiva racionalna funkcija se moze napisati u obliku nesvodljiveracionalne funkcije, tako sto se skrate zajednicki faktori u brojiocu i imeniocu.
Neka je sa (1) definisana prava i nesvodljiva racinalna funkcija, tj. m < ni NZD(P,Q) = 1. Neka je polinom Q sa vodecim koeficijentom an 6= 0faktofisan na sledici nacin:
Q(x) = an(x− x1)r1(x− x2)
r2 ...(x− xk)rk ·
·(x2 + p1x+ q1)s1(x2 + p2x+ q2)
s2 ...(x2 + plx+ ql)sl
gde su svi koeficijenti realni brojevi. Tada se racionalna funkcija PQ
mozerazloziti u zbir parcijalnih razlomaka:
P (x)
Q(x)=
k∑i=i
ri∑j=1
Ai,j
(x− xi)j+
l∑i=i
si∑j=1
Mi,jx+Ni,j
(x2 + pix+ qi)j
pri cemu sa realni koeficijenti Ai,j Mi,j i Ni,j dobijaju metodom neodredenihkoeficijenata.
Detaljnije, pri razlaganju na parcijalne razlomke vazi sledece pravilo:Svakom faktoru oblika odgovaraju parcijalni razlomci
(x− a) → A(x−a)
(x− a)k → A1
(x−a)+ A2
(x−a)2+ ...+ Ak
(x−a)k
(x2 + px+ q) → Mx+N(x2+px+q)
(x2 + px+ q)k → M1x+N1
(x2+px+q)+ M2x+N2
(x2+px+q)2+ ...+ Mkx+Nk
(x2+px+q)k
Primer:1. Razlozimo 5x+1
x2+x−2na proste razlomke. Napisimo
5x+ 1
x2 + x− 2=
5x+ 1
(x+ 2)(x− 1)=
A1
x+ 2+
A2
x− 1
5
Odavde ja
5x+ 1 = A1(x− 1) + A2(x+ 2) = (A1 + A2)x+ (2A2 − A1)
Iz jednacina A1 + A2 = 5 i 2A2 − A1 = 1 dobija se A1 = 3, A2 = 2.Znaci
∫5x+1
x2+x−2dx se svodi na zbir integrala
∫3
x+2dx+
∫2
x−1dx.
2. Izracunati∫
2x2+2x+13(x−2)(x2+1)2
dx Napisimo 2x2+2x+13(x−2)(x2+1)2
u obliku
2x2 + 2x+ 13
(x− 2)(x2 + 1)2=
A
x− 2+M1x+N1
x2 + 1+M2x+N2
(x2 + 1)2
Posle mnozenja sa (x− 2)(x2 + 1)2 dobija se2x2 + 2x+ 13 = (A+M1)x
4 + (−2M1 +N1)x3 + (2A+M1− 2N1 +M2)x
2 +(−2M1 +N1 − 2M2 +N2)x+ (A− 2N1 − 2N2),odakle je A = 1,M1 = −1,N1 = −2,M2 = −3,N2 = −4.
1.5.2 Integracija nekih iracionalnih funkcija
Neke klase integrala kod kojih podintegralna funkcija sadrzi korene, moguse svesti na integrale racionalnih funkcija. Navodimo ovde tri takve klase.
Ako je podintegralna funkcija oblika
R(xp1q1 , ..., x
pkqk ) pi, qi ∈ Z, i = 1, 2, ..., k,
gde je R racionalna funkcija, tada se smenom
x1p = t, q = NZD(q1, ..., qk)
integral svodi na integral racionalne funkcije po t.Ako je podintegralna funkcija oblika
f(x) = R(x,√ax2 + bx+ c),
mogu se primeniti Ojlerove smene pomocu kojih se integral svodi na integralracionalne funkcije. Nova promenjiva t se uvodi pomocu√
ax2 + bx+ c = ±x√a+ t, ako je a > 0,√
ax2 + bx+ c = xt±√c, ako je c > 0,√
ax2 + bx+ c =√a(x− x1)(x− x2) = t(x− x1), ako akox1, x2 ∈ R,
pri cemu se u prve dve formule moze uzeti znak + ili znak - .Integral oblika∫
xm(a+ bxn)p dx m, n, p ∈ Q, m =m1
m2
, n =n1
n2
, p =p1
p2
,
6
naziva se integral binomnog diferencijala. Ovaj integral se moze izrazitipomocu elementarnih funkcija (i to svodnjem na integrale racionalnih funkcija)samo u tri slucaja:
Ako je p ceo broj: Smena x = tk, gde je k = NZS(m2, n2).Ako je m+1
nceo broj: Smena a+ bxn = tp2 .
Ako je m+1n
+ p ceo broj: Smena ax−n + b = tp2 .
1.5.3 Integracija trigonometrijckih funkcija
Integral oblika
(1)
∫R(sinx, cosx) dx,
gde je R racionalna funkcija, mogu se svesti na integrale racionalnih funkcijapo promenjivoj integracije.
Svaki integral oblika (1) moze se primenom smene
tgx
2= t, sin x =
2t
1 + t2, cosx =
1− t2
1 + t2, dx =
2dt
1 + t2
svesti na racionalnu funkciju po t. Iako je ova smena primenjiva kod svakogintegrala navedenog tipa, ona obicno dovodi do komplikovanih racionalnihfunkcija, pa se zato upotrebljava uglavnom u slucajevima kada se integral nemoze resiti na drugi nacin.
Ako jeR(− sin x, cosx) = −R(sinx, cosx),
tada se, pored navedene, moze primeniti i smena
cosx = t, sin x =√
1− t2, dx = − dt√1− t2
.
Ako jeR(sinx,− cosx) = −R(sinx, cosx),
moze se primeniti smena
sinx = t, cosx =√
1− t2, dx =dt√
1− t2.
Ako jeR(− sin x,− cosx) = R(sinx, cosx),
integral se moze resiti pomocu smene
tgx = t, sin x =t√
1 + t2, cosx =
1√1 + t2
, dx =dt
1 + t2.
7
Ako podintegralna funkcija zavisi od trigonometrijskih funkcija razlicitihargumenata, na prtmer f(sinαx, cos βx), tada se u nekim slucajevima, pri-menom raznih trigonometrijskih transformacija, ovi integrali mogu resiti.
8
2 Odredeni integrali
2.1 Definicija odredenog integrala
Neka je dat interval [a, b], a < b i neka je a = x0 < x1 < ... < xn = b.Neka su ξi, i = 1, ..., n− 1 zadate tacke na segmentima [xi, xi−1]. Tackama xi
i ξi definisana je jedna podela intervala [a, b]. Ako je d data podela, tada sevelicina
‖d‖ = max0≤i≤n−1
| xi+1 − xi |
naziva se normom podele d.Neka je funkcija f definisana na [a, b]. Za datu podelu d, integralna
suma funkcije f na [a, b] je
S(f, d, a, b) =n−1∑i=0
f(ξi)(xi+1 − xi).
Odredeni integral ili Rimanov integral funkcije f na intervalu (a, b)definise se pomocu
b∫a
f(x) dx = lim‖d‖→0
S(f, d, a, b),
ako postoji konacna granicna vrednost sa desne strane i ako je ona nezavisnaod izbora podele.Preciznije, ako za svako ε > 0 postoji δ > 0 tako da za svaku podelu d sa‖d‖ < 0 vazi da je
|S(f, d, a, b)− I| < ε,
tada se realan broj I naziva odredenim integralom funkcije f na [a, b].
9
Za nenegativnu funkciju f , odredeni integral je granicna vrednost zbirapovrsina pravougaonika koji su upisani u figuru kao na slici 1. Stoga odredeniintegral daje mogucnost izracunavanja povrsina krivolinijskih figura (tacnijepovrsina se definise pomocu integrala).
Za funkciju za koju postoji odredeni integral na [a, b] kazemo da je inte-grabilna funkcija na [a, b].
Svaka ogranicena funkcija koja je neprekidna na [a, b] ili ima konacnomnogo prekida je integrabilna na tom intervalu.
Svaka integrabilna funkcija na [a, b] je ogranicena na [a, b].Neka je
mi = infx∈[xi,xi+1]
f(x), Mi = supx∈[xi,xi+1]
f(x).
Donja i gornja integralna suma za funkciju f definisu se, respektivnopomocu
s(f, d, a, b) =n−1∑i=0
mi(xi+1 − xi), S(f, d, a, b) =n−1∑i=0
Mi(xi+1 − xi)
donja suma
gornja suma
10
Funkcija f je integrabilna na [a, b] ako i samo ako postoji zajednickagranicna vrednost donjih i gornjih integralnih suma kada norma podele tezinuli. Ta granicna vrednost jednaka je integralu funkcije f na [a, b].
Funkcija f je integrabilna na [a, b] ako i samo ako je
lim‖d‖→0
n−1∑i=0
(Mi −mi)(xi+1 − xi) = 0,
tj. ako i samo ako za svako ε > 0 postoji δ > 0 tako da za svaku podelu dcija je norma ‖d‖ manja od δ, vazi
n−1∑i=0
(Mi −mi)(xi+1 − xi) < ε
2.2 Izracunavanje odredenih integrala
Njutn-Lajbnicova formula. Neka je funkcija f neprekidna na [a, b] ineka je F njena primitivna funkcija na [a, b]. Tada je
(1)
∫ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a) = F (x)∣∣∣ba.
Primenom Njutn-lajbnicove formule, primitivna funkcija i neodredeni in-tegral mogu se izraziti preko odredenog integrala: Satavimo u (1) da je b = xi F (a) = C, cime dobijamo
(2) F (x) =
∫ x
a
f(t) dt+ C,
gde je a proizvoljan realan broj takav da je funkcija f neprekidna na nekomintervalu koji sadrzi tacke a i x.
Formula (1) vazi i ako je F primitivna funkcija za f samo na intervalu(a, b), pri cemu postoje granicne vrednosti funkcije F u tackama a i b zdesnaodnosno sleva. U tom slucaju imamo da je∫ b
a
f(x) dx = F (b−)− F (a+) = limx→b−
F (x)− limx→a+
F (x).
Ako je funkcija f integrabilna na [a, b], tada je integrabilna i na svakomintervalu koji je sadrzan u [a, b].
Ako je funkcija f integrabilna na [a, b], tada je∫ b
a
f(x) dx = −∫ a
b
f(x) dx,
∫ a
a
f(x) dx = 0
11
Aditivnost. Ako su a,b,c realni brojevi i ako je funkcija f integrabilnana nekom intervalu koji sadrzi a,b,c tada vazi∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx.
Linearnost. Ako su funkcije f i g integrabilne na [a, b], tada je∫ b
a
(αf(x) + βg(x)) dx = α
∫ b
a
f(x) dx+ β
∫ b
a
g(x) dx, (α, β) ∈ R
Ako je f integrabilna funkcija na [a, b] (a > b) i ako je f(x) > 0 za svako
x ∈ [a, b], tada je∫ b
af(x) dx > 0.
Ako je f integrabilna na [a, b] (a > b), tada je funkcija |f | takode inte-grabilna na[a, b] i vazi nejednakost trougla za integral:∣∣∣∣ ∫ b
a
f(x) dx
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|f(x)| dx
2.3 Smena promenjive
Smena x = ϕ(t): ∫ b
a
f(x) dx =
∫ β
α
f(ϕ(t))ϕ′(t) dt,
ako vazi sledece:Funkcija f je neprekidna na [a, b],ϕ(α) = a, ϕ(β) = b,funkcije ϕ i ϕ′ su neprekidne na [α, β],funkcija t→ f(ϕ(t)) je definisana za sve vrednosti t ∈ [α, β].
Smena ϕ(x) = t: ∫ b
a
f(ϕ(x)) dx =
∫ β
α
f(t)ψ′(t) dt,
ako vazi:Funkcija f je neprekidna na [a, b],ϕ(α) = a, ϕ(β) = b,funkcija ϕ je strogo monotona (rastuca ili opadajuca) na [a, b] i ima inverznufunkciju ψ = ϕ−1,funkcija ψ ima neprekidan izvod na [α, β].
12
Smena ϕ(x) = t se najcesce koristi u slucaju kada je podintegralna funkcijavec sadrzi faktor ϕ′(x); u tom slucaju vazi:∫ b
a
f(ϕ(x))ϕ′(x) dx =
∫ β
α
f(t) dt,
ako su ispunjeni navedeni uslovi.
2.3.1 Neke olaksice pri racunanju integrala
1.
∫ a
0
f(x) dx =
∫ a
0
f(a− x) dx
primer: Izracunati integral
J =
∫ π3
0
log(1 +√
3 tg x) dx
Primenimo prethodnu formulu na izracunavanje integrala J ,
J =
∫ π3
0
log(1 +√
3 tg(π
3− x)) dx =
∫ π3
0
log(1 +√
3tg π
3− tg x
1 + tg π3
tg x) dx =
=
∫ π3
0
log4
1 +√
3 tg xdx = log 4
∫ π3
0
dx−∫ π
3
0
log(1 +√
3 tg x) dx =
=2π
3log 2− J.
Odavde je J = π3
log 2.2. Ako je t→ f(t) neprekidna funkcija za t ∈ [0, 1]∫ π
2
0
f(sinx) dx =
∫ π2
0
f(cosx) dx
3. Neka je f neprekidna i periodicna funkcija, sa periodom T . Tada zasvako a, b ∈ R vazi: ∫ a+T
a
f(x) dx =
∫ b+T
b
f(x) dx
tj. integrali funkcije f po svakom intervalu duzine T su jednaki.4. Neka je funkcija f neprekidna na [−a, a] i parna. Tada je∫ a
−a
f(x) dx = 2
∫ a
0
f(x) dx
13
Ako je funkcija f neprekidna na [−a, a] i neparna, tada je∫ a
−a
f(x) dx = 0
5. Ako je x→ f(sinx) neprekidna funkcija na [0, π], onda je:∫ π
0
xf(sinx) dx =π
2
∫ π
0
f(sinx) dx
2.4 Parcijalna integracija
Ako su funkcije u,v i njihovi izvodi u′,v′ neprekidne na [a, b], tada je∫ b
a
u(x)dv(x) = u(x)v(x)∣∣∣ba−∫ b
a
v(x)du(x) =
= u(a)v(a)− u(b)v(b)−∫ b
a
v(x)du(x)
2.5 Diferenciranje integrala po granici integracije
Ako je f neprekidna na [a, b], tada je funkcija F , definisana F (x) =∫ x
af(t) dt, neprekidna i diferencijabilna po x ∈ (a, b) i vazi F ′(x) = f(x).
2.6 Odredeni integral i nejednakosti
Ako je f integrabilna na [a, b] i f(x) ≥ 0 na segmentu [a, b], onda je∫ b
a
f(x) dx ≥ 0.
Neka su f i g integrabilne na [a, b]. Ako je f(x) ≤ g(x) na segmentu[a, b],onda je ∫ b
a
f(x) dx ≤∫ b
a
g(x) dx
Helderova nejednakost za integrale. Neka su f i g integrabilne na[a, b], i neka su brojevi p > 0,q > 0 takvi da je 1
p+ 1
q= 1. Tada vazi Helderova
nejednakost za integrale:∣∣∣∣ ∫ b
a
f(x)g(x) dx
∣∣∣∣ ≤ (∫ b
a
|f(x)|p dx) 1
p(∫ b
a
|g(x)|q dx) 1
q
14
U specijalnom slucaju kada je p = q = 2 nejednakost dobija oblik:∣∣∣∣ ∫ b
a
f(x)g(x) dx
∣∣∣∣ ≤ (∫ b
a
|f(x)|2 dx) 1
2(∫ b
a
|g(x)|2 dx) 1
2
Minkovskijeva nejednakost za integrale. Neka su f i g integrabilnena [a, b], i neka je p ≥ 1. Tada vazi Minkovskijeva nejednakost za integrale:(∫ b
a
|f(x) + g(x)|p dx) 1
p
≤(∫ b
a
|f(x)|p dx) 1
p
+
(∫ b
a
|g(x)|p dx) 1
p
15
3 Primena odredenih integrala
3.1 Duzina krive u ravni
3.1.1 Pojam krive u ravni
Neka su ϕ : [α, β] → R i ψ : [α, β] → R neprekidna preslikavanja segmentaI = [α, β]. Preslikavanje Γ : I → R2 koje je definisano jednakoscu
(∀t ∈ I) Γ(t) = (ϕ(t), ψ(t))
naziva se putanjom u R2. Tacke A(ϕ(a), ψ(a)), B(ϕ(b), ψ(b)) nazivaju sepocetnom tackom i krajnjom tackom putanje Γ. Ako je
A(ϕ(a), ψ(a)) = B(ϕ(b), ψ(b)),
onda se putanja Γ naziva zatvorenom putanjom. Ako je preslikavanje Γ :I → R2 injektivno, onda se putanja Γ zove prosta putanja.
Ako je putanja Γ : I → R2 prosta, onda se skup
KΓ = {ϕ(t), ψ(t) ∈ R2 | t ∈ I}
naziva elementarnom krivom u ravni R2. U tom slucaju preslikavanje Γnaziva se jos parametrizacijom krive KΓ, a jednakosti
x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ I,
zovu se parametarske jednacine krive KΓ. Ako je prosta putanja Γzatvorena , onda se kriva KΓ zove zatvorena kriva.
Preslikavanje Γ : I → R3 segmenta I = [α, β] ⊂ R, definisano pomocu
(∀t ∈ I) Γ(t) = (ϕ(t), ψ(t), φ(t)),
gde su ϕ : [α, β] → R, ψ : [α, β] → R i φ : [α, β] → R neprakidne funkcije,zove se putanja u R3, a skup
KΓ = {ϕ(t), ψ(t), φ(t) ∈ R3 | t ∈ I}
naziva se krivom u prostoru R3.
3.1.2 Duzina krive
Neka je glatka kriva KΓ definisana putanjom Γ : [α, β] → KΓ, pri cemuje Γ(t) = (ϕ(t), ψ(t)). Tada ta kriva ima duzinu i vazi jednakost
s(KΓ) =
∫ β
α
√(ϕ′(t))2 + (ψ′(t))2 dt.
16
Analogno se uvodi i pojam duzine krive KΓ u prostoru R3
s(KΓ) =
∫ β
α
√(ϕ′(t))2 + (ψ′(t))2 + (φ′(t))2 dt.
Neka je f : [a, b] → R glatka funkcija. Njen grafik Γ(f) je glatka krivacija je parametrizacija definisana funkcijama
ϕ(t) = t, ψ(t) = f(t), t ∈ [a, b].
Ta kriva ima duzinu i vaze jednakosti:
s(Γ(f)) =
∫ b
a
√(ϕ′(t))2 + (ψ′(t))2 dt =
∫ b
a
√1 + (f ′(t))2 dt.
Duzina krive zadate u polarnim koordinatama x = ρ cos θ, y = ρ sin θ,gde je ρ = ρ(θ) i α ≤ θ ≤ β:
s(K) =
∫ β
α
√(ρ′(θ))2 + (ρ(θ)2 dθ
3.2 Povrsina obrtne povrsi i zapremina obrtnog tela
Neka je f : [a, b] → R neprekidna i pozitivna funkcija. Ako se krivolinijskitrapez, cije stranice su segment [a, b], delovi pravih x = a, x = b i krivay = f(x), a ≤ x ≤ b, obrce oko x-ose, dobija se obrtno telo. Povrs kojaogranicava ovo telo sastoji se od dve ,,baze”(krugovi poluprecnika f(a) if(b)) i ,,omotaca”.
Zapremina obrtnog tela je
V = π
∫ b
a
f 2(x) dx.
Ako se kriva data jednacinama
x = ϕ(t), y = ψ(t), α ≤ t ≤ β,
obrce oko x-ose onda se zapremina V racuna po formuli
V = π
∫ β
α
ψ2(t)ϕ′(t) dt.
Velicina povrsine ,,omotaca” obrtnog tela, koji se dobija obrtanjem krivoli-nijskog trapeza oko x-ose, gde cemo pretpostaviti da je funkcija f glatka nasegmentu [a, b] je:
P = 2π
∫ b
a
f(x)√
1 + (f ′(x))2 dx.
17
Ako je povrsina koja rotira data parametarski u obliku
x = ϕ(t), y = ψ(t), α ≤ t ≤ β,
obrazac za povrsinu P glasi
P = 2π
∫ β
α
ψ(t)√
(ϕ′(t))2 + (ψ′(t))2 dt.
primer: Izracunajmo povrsinu ispod jednog luka cikloide
x = a(t− sin t), y = a(1− cos t), a > 0, t ∈ [0, 2π].
povrsina ispod jednog luka cikloide
Trazena povrsina jednaka je
P =
2π∫0
[a(1− cos t)− 0] · a(1− cos t) dt = a2
2π∫0
(1− cos t)2 dt = 3a2π.
Duzina luka cikloide jednaka je
S =
∫ 2π
0
√[a(1− cos t)]2 + (a sin t)2 dt = a
∫ 2π
0
√2− 2 cos t dt.
Koristeci poznatu vezu izmedu trigonometrijskih funkcija, 1−cos t = 2 sin2(t/2),i cinjenicu da je sin(t/2) ≥ 0 za t ∈ [0, 2π], imamo
S = 2a
∫ 2π
0
sint
2dt = −4a cos
t
2
∣∣∣∣2π
0
= 8a.
18
4 Nesvojstveni integrali
Definicija odredenog integrala odnosi se na slucaj ogranicene funkcije ikonacnog intervala. Ako je interval integracije beskonacan, ili ako je podi-ntegralna funkcija neogranicena, tada govorimo o nesvojstvenom inte-gralu. Uvodimo sledece definicije:∫ +∞
a
f(x) dx = limb→+∞
∫ b
a
f(x) dx
∫ b
−∞f(x) dx = lim
a→−∞
∫ b
a
f(x) dx∫ +∞
−∞f(x) dx = lim
a→−∞b→+∞
∫ b
a
f(x) dx
Ako je podintegralna funkcija neogranicena samo u okolini tacaka a i b,tada definisemo, redom,∫ b
a
f(x) dx = limε→0+
∫ b
a+ε
f(x) dx
∫ b
a
f(x) dx = limε→0+
∫ b−ε
a
f(x) dx
Ako je podintegralna funkcija neogranicena u okolini tacke c ∈ (a, b),definisemo ∫ b
a
f(x) dx = limε→0+η→0+
(∫ c−ε
a
f(x) dx+
∫ b
c+η
f(x) dx
)Ukoliko navedene granicne vrednosti postoje i konacne su, kazemo da je
odgovarajuci nesvojstveni integral konvergentan, u suprotnom slucaju jedivergentan.
U zadacima koristimo uobicajene oznake za izracunavanje integrala:∫ +∞
a
f(x) dx = F (x)∣∣+∞0
,
gde je F primitivna funkcija i gde se podrazumeva da je
f(+∞) = limb→+∞
F (b).
19
Ako dvostruke granicne vrednosti ne postoje, moze (ali ne mora) posto-jati glavna vrednost nesvojstvenog integrala koja se definise na sledecinacin:
v.p.
∫ +∞
−∞f(x) dx = lim
a→+∞
∫ a
−a
f(x) dx,
v.p.
∫ b
a
f(x) dx = limε→0
(∫ c−ε
a
f(x) dx+
∫ b
c+ε
f(x) dx
)Skracenica v.p. potice od valeur principle, sto na francuskom jeziku znaci
glavna vrednost.
4.1 Neelementarne funkcije
Ako je funkcija f neprekidna na nekom intervalu, ona na tom intervaluima primitivnu funkciju F . Medutim, ako je funkcija f elementarna funkcija,funkcija F ne mora da bude elementarna.Za neke integrale je dokazano da sene mogu izraziti pomocu elementarnih funkcija, kaze se da su ovakvi integrali”neresivi”. Navodimo nekoliko takvih integrala:∫
ex
xndx,
∫xn
log xdx,
∫sin x
xndx,
∫cosx
xndx, (n = 1, 2, ...)
Ovi integrali se mogu svesti na sledece osnovne tipove:∫dx
log x= lix+ C (Integralni logaritam),
∫sin x
x= six+ C (Integralni sinus),∫
cosx
x= cix+ C (Integralni kosinus).
Funkcije lix, six i cix definisu se pomocu odredenih integrala:
lix = v.p.
∫ x
0
dt
log t, (x > 0)
six = −∫ +∞
x
sinx
tdt (x ≥ 0), cix = −
∫ +∞
x
cosx
tdt (x > 0),
pri cemu se dokazuje konvergencija ovih integrala.Neelementarna funkcija je i integral binomnog diferencijala, sem u tri
slucaja koji su navedeni na strani 6.
20
Navedimo jos nekoliko odredenih integrala koji se pojavljuju u prime-nama, a ne mogu se izraziti pomocu elementarnih funkcija:
Γ(x) =
∫ +∞
0
xp−1e−x dx, 0 < p < +∞ (Gama funkcija),
B(p, q) =
∫ 1
0
xp−1(1− x)q−1 dx, p > 0, q > 0 (Beta funkcija),
Erf(x) =2√π
∫ x
0
e−t2 dt (funkcija greske),
C(x) =
∫ x
0
cosπt2
2dt, S(x) =
∫ x
0
sinπt2
2dt (Frenselovi integrali),
Jn(x) =1
π
∫ π
0
cos(nθ − x sin θ) dθ (Beselova funkcija).
Gama i beta funkcije nazivamo i Ojlerovim integralima, dok je funkcija greskepoznatija kao Poasonov integral.
Neki nesvojstveni integrali koji su cesto u upotrebi:∫ ∞
0
√x e−x dx =
1
2
√π
∫ ∞
0
e−x2
dx =1
2
√π∫ ∞
0
x
ex − 1dx =
π2
6∫ ∞
0
x3
ex − 1dx =
π4
15∫ ∞
0
sin(x)
xdx =
π
2
21
5 Visestruki integrali
Posmatrali sno odredene integrale definisane na nekom segmentu [a, b] ⊂R, kao i niz primena odredenih integrala. Metode koje su tipicne za primenuodredenih integrala na segmentu realne prave pokazuju se vrlo korisnim zaniz problema vezanih za segmente u ravni R2, odnosno prostoru R3 ili uopsteu prostoru Rn. Naime, u cilju generalizacije Rimanovog integrala definise sesegment u prostoru Rn, zatim podela tog segmenta i mera segmenta.
5.1 Definicija visestrukih integrala
Neka su a = (a1, ...an) i b = (b1, ..., bn) dve tacke u prostoru Rn. SkupI = {x ∈ R | ak ≤ xk ≤ bk, k = 1, ...n} nazvacemo segmentom u prostoruRn.Primetimo da za slucaj n = 2, segment je pravugaonik,a za n = 3 jekvadar; segment u prostoru Rn je pravougli n-paralelopiped.
Zapremina intervala I = [a1, b1]× [a2, b2]× ...× [an, bn], n ∈ N, ak, bk ∈ R,ak ≤ bk,1 ≤ k ≤ n, je broj
(a1 − b1) · · · (an − bn) =n∏
k=1
(ak − bk).
Oznacava se sa |I|.Za interval [a, b] ⊂ R, a < b, familija intervala [x0, x1], [x1, x2], ..., [xn−1, xn]
naziva se podela intervala [a, b] ako je a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b.Cesto se sam niz krajeva intervala jedne podele naziva podelom i kazemo daje data podela P : a = x0, x1, ..., xn−1, xn = b, misleci na odgovarajucu fami-liju intervala. Tacke x0, x1, ..., xn nazivamo podeonim tackama, a intervale[x0, x1], [x1, x2], ..., [xn−1, xn] podeonim intervalima podele P .
Neka je I = [a1, b1] × [a2, b2] × ... × [an, bn], n-dimenziona interval, aP1, ..., Pn redom podele imnervala [a1, b1], [a2, b2], ..., [an, bn]. Familija svihn-dimenzionih intervala
(1) I1k(1) × I2
k(2) × · · · × Ink(n),
gde je Ijk(j) podeoni interval podele Pj naziva se podela n-dimenzionog inte-
rvala I i oznacava sa P ili sa (P1, ..., Pn). Koristicemo oznaku P = Iν , gdesu Iν n-dimenzioni intervali (1).
Ako je P = Iν podela n-dimenzionog intervala I, tada se broj λ(P ) =maxj d(Ij) zove dijametar podele P .
Ako je u svakom intervalu Iν podele P izabrana tacka ξν , onda se podela Pnaziva podelom sa istaknutim tackama. Skup {ξ1, ..., ξk}, svih istaknutihtacaka oznacavamo sa ξ, a podelu P sa istaknutim tackama simbolom (P, ξ).
22
Neka je f : I → R funkcija definisana na intervalu I ⊂ Rn i P ={I1, ..., Ik} podela toga interv sa izabranim tackama ξ = {ξ1, ..., ξk}.
Suma
σ(f, P, ξ) =k∑
ν=1
f(ξν)|Iν |
zove se integralna suma funkcije f po podeli (P, ξ).Ako postoji realan broj J takav da za svako ε > 0 postoji δ > 0 tako da
za svaku podelu (P, ξ) intervala I, iz λ(P ) < δ sledi |σ(f, P, ξ)−J | < ε, tadase kaze da postoji
limλ(P )→0
σ(f, P, ξ) i pise se limλ(P )→0
σ(f, P, ξ) = J.
Ovaj limes, ako postoji, naziva se Rimanov integral funkcije f na intervaluI i oznacava se sa
∫If(x) dx.U ovom slucaju kaze se da je funkcija f R-
integrabilna na intervalu I i pise se f ∈ R(I).Umesto oznake
∫If(x) dx koristimo oznaku
∫If(x1, ..., xn) dx1...dxn, a
u slucaju da je n = 2 ili n = 3 pisemo∫ ∫
If(x1, x2) dx1dx2, odnosno∫ ∫ ∫
If(x1, x2, x3) dx1dx2dx3. Integral
∫If(x) dx naziva se visestruki inte-
gral; ako je n = 2 dvojni integral, a ako je n = 3 trojni integral.Ako je f ∈ R(I), tada je f ogranicena funkcija na intervalu I.
5.2 Gornji i donji Rimanov integral
Neka je f : I → R ogranicena funkcija na intervalu I ⊂ R i neka je Ppodela intervala I Za podeoni interval Ik podele P , neka je
mi = infx∈Ik
f(x), Mi = supx∈Ik
f(x).
Donja, odnosno gornja Darbuova suma funkcije f po podeli P je broj
s(f, P ) =∑
j
mj|Ij|,
odnosnoS(f, P ) =
∑j
Mj|Ij|,
gde se sumiranje vrsi po svim podeonim intervalima podele P .Neka je f : I → R ogranicena funkcija na intervalu I ⊂ R. Broj
supPs(f, P ) oznacava se sa J =
∫f(x) dx
23
i naziva se donji Rimanov integral funkcije f na intervalu I, a broj
infPs(f, P ) oznacava se sa J =
∫f(x) dx
i naziva se gornji Rimanov integral funkcije f na intervalu I. Funkcija fje integrabilna na intervalu I ako je J = J .
Darbuov kriterijumR-integrabilnosti: Funkcija f : I → R jeR-integrabi-lna na intervalu I ⊂ R ako i samo ako je ogranicena i integrabilna na njemu.
5.3 Fubinijeva teorema
Neka je realna funkcija f(x, y) integrabilna na pravougaoniku I = [a, b]×[c, d] ⊂ R2. Tada vaze jednakosti∫ ∫
I
f(x, y) dx dy =
∫ b
a
dx
(∫ d
c
f(x, y) dy
)=
∫ d
c
dy
(∫ b
a
f(x, y) dx
)Pri tom,
∫ d
cf(x, y) dy je Rimanov integral za fiksirano x ako ono postoji, ili
pak neki broj izmedu∫ d
cf(x, y) dy i
∫ d
cf(x, y) dy (ne uzimajuci te granice).
Slicno se objasnjava i∫ b
af(x, y) dx.
Za integral∫
If(x, y) dx integrabilne funkcije f(x1, ..., xn) na segmentu
I = [a1, b1]× ...× [an, bn] vazi jednakost∫I
f(x, y) dx =
∫ b1
a1
dx1
∫ b2
a2
dx2 ...
∫ bn
an
f(x1, ..., xn) dxn.
5.4 Smena promenjive
Videli smo da je izracunavanje Rimanovog integrala neke funkcije nekadaje olaksano uvodenjem nove promenjive. Isti slucaj je i sa n-integralom.
Neka je oblast ∆ u prostoru Rn sa koordinatnim sistemom Oξ1...ξn, a Dje oblast u prostoru Rn sa koordinatnim sistemom O′x1...xn.
Pretpostavimo da je data funkcija ϕ : ∆ → D pomocu koordinetnihfunkcija
x1 = ϕ1(ξ1, ..., ξn)
(1) ....................
xn = ϕn(ξ1, ..., ξn)
Neka ϕ zadovoljava sledece uslove:
24
1. ϕ bijektivno preslikava ∆ na D;
2. funkcija ϕi i parcijalni izvodi ∂ϕi
∂ξj, i, j = 1, ..., n, neprekidni su na ∆.
Moze se pokazati da iz ovih uslova sledi da za jakiobijan
detdϕ(ξ) =D(ϕ1, ..., ϕn)
D(ξ1, ..., ξn)=
∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ1
∂ξ1· · · ∂ϕ1
∂ξn
......
...∂ϕn
∂ξ1· · · ∂ϕn
∂ξn
∣∣∣∣∣∣∣vazi ili nejednakost detdϕ(ξ) ≥ 0 ili nejednakost detdϕ(ξ) ≤ 0,za ξ ∈ ∆.
Tada u svakoj n-torci (ξ1...ξn) u oblasti ∆ odgovara tacno jedna n-torka(x1, ..., xn) u oblastiD, tako da (ξ1, ..., ξn) odreduje polozaj tackeM(x1, ..., xn)bu oblasti D. Dakle brojeve ξ1, ..., ξn mozemo smatrati koordinatama tackeM . Kaze se jos da formule (1) transformisu oblast ∆ u oblast D.
Primeri:1. Transformacija polarnih koordinata r, ϕ (r ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π) u Deka-
rtove x, y (−∞ < x <∞,−∞ < y <∞) data je jednacinama
(2) x = r cosϕ, y = r sinϕ.
Zadrzavajuci jednu od koordinata r, ϕ konstantnom dobijaju se koordi-natne linije u ravni. Tako za r = r0, koordinatna linija ima oblik x2+y2 = r2
0,a za ϕ = ϕ0 koordinatna linija je poluprava y = x tgϕ0. Kroz svaku tackuravni, sem koordinatnog pocetka, prolazi jedan par koordinatnih linija.
Sada cemo dati jos jednu interpretaciju transformacije (2). U ravni Orϕuocimo oblast
∆ = {(r, ϕ)| r > 0 , 0 < ϕ < 2π}
a u ravni O′xy oblast D kojoj pripadaju sve tacke nenegativnog dela ose O′x.Neka je f : ∆ → D preslikavanje dato jednakostima (2). Pri tom se oblast
∆ preslikava na ovlast D. Jakobijan D(x,y)D(r,ϕ)
> 0 ima vrednost r. Dakle, onda
je D(x,y)D(r,ϕ)
≥ 0 za (r, ϕ) ∈ ∆ i D(x,y)D(r,ϕ)
> 0 za (r, ϕ) ∈ ∆. Prave r = r0 i ϕ = ϕ0
se preslikavaju u krug x2 + y2 = r20, odnosno polupravu ϕ = ϕ0. Otvoreni
pravougaonik iz ∆ ogranicen pravama r = r0, r = r1, ϕ = ϕ0, ϕ = ϕ1,preslikava se u otvoreni ,,krivolinijski cetvorougao” izD, ogranicen krugovimax2 + y2 = r2
0, x2 + y2 = r2
1 i polupravama y = x tgϕ0, y = x tgϕ1.
25
preslikavanje dato jednakostima (2)
2. Transformacija cilindricnih koordinata r, ϕ, z (r ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π,−∞ <z < ∞) u Dekartove x, y, z (−∞ < x < ∞,−∞ < y < ∞,−∞ < z < ∞)data je jednacinama
(3) x = r cosϕ, y = r sinϕ, z = z.
Zadrzavajuci jednu od koordinata r, ϕ, z konstantnom dobijaju se koo-rdinatne povrsi u prostoru O′xyz. Za r = r0, koordinatna povrs ima oblikx2 + y2 = r2
0 (cilindar). Druge dve koordinatne povrsi za ϕ = ϕ0 i z = z0 suoblika y = x tgϕ0 (poluravan), odnosno z = z0 (ravan).
Preslikavanje dato jednakostima (3) mozemo interpretirati kao preslika-vanje f : ∆ → D, gde je
∆ = {(r, ϕ, z)| r > 0 , 0 < ϕ < 2π ,−∞ < z <∞}
oblast u prostoru Orϕz, a D je prostor O′xyz bez tacaka zatvorene poluravniy = 0 , x ≥). Jakobijan
D(x, y, z)
D(r, ϕ, z)=
∣∣∣∣∣∣cosϕ −r sinϕ 0sinϕ r cosϕ 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣ = r
je pozitivan u oblasti ∆ ili negativan u ∆. Otvoreni paralopiped iz ∆ogranicen ravnima r = r0, r = r1, ϕ = ϕ0, ϕ = ϕ1, z = z0, z = z1, pre-slikava se u otvoreni ,,krivi paralelopiped” iz D.
26
,,krivi paralopiped”
3. U Dekartovom koordinatnom sistemu O′xyz nekoj tacki mozemo do-deliti sferne koordinate r, θ, ϕ, (r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ < 2π), cija je vezasa Dekartovim koordinatama data jednakostima
(4) x = r sin θ cosϕ, y = r sin θ sinϕ, z = r cos θ .
Svakoj tacki, izuzev koordinatnog pocetka dodeljuje se tacno jedna trojka(r, θ, ϕ), koja odreduje polozaj tacke. Kroz svaku tacku prolaze tri koordi-natne povrsi:
za r = r0 - sfera x2 + y2 + z2 = r20
za θ = θ0 - polukonus x2 + y2 = z2 tg2 θ0
za ϕ = ϕ0 - poluravan y = x tgϕ0
S druge strane, preslikavanje (4) interpretiramo u obliku f : ∆ → D, gdeje
∆ = {(r, θ, ϕ) | r > 0 , 0 < θ < π , 0 < ϕ < 2π},
a D je prostor O′xyz bez tacaka zatvorene poluravni y = 0, , x ≥ 0. Jakobi-jan
D(x, y, z)
D(r, θ, ϕ)=
∣∣∣∣∣∣sin θ cosϕ r cos θ cosϕ −r sin θ sinϕsin θ sinϕ r cos θ sinϕ r sin θ cosϕ
cos θ −r sin θ 0
∣∣∣∣∣∣ = r2 sin θ
je pozitivan u oblasti ∆, a nenegativan u ∆. Znaci Otvoreni paralelopipediz ∆, ogranicen ravnima r = r0, r = r1, θ = θ0, θ = θ1, ϕ = ϕ0, ϕ = ϕ1,preslikava se u otvoreni ,,krivi paralelopiped”u D.
27
,,krivi paralopiped”
4. Uopsteno: Smena promenjive funkcije dve promenjive
x = x(u, v), y = y(u, v), ∆ → D∫ ∫∆
f(x, y) dx dy =
∫ ∫D
f(x(u, v), y(u, v)) |J | du dv
D(x, y)
D(u, v)=
∣∣∣∣ ∂x∂u
∂x∂v
∂y∂u
∂y∂v
∣∣∣∣5.5 Izracunavanje povrsine i zapremine
Ogranicen skup E ∈ Rn je merljiv u Zordanovom smislu ako integral∫Edx postoji.
Za skup E ∈ Rn koji je merljiv u Zordanovom smislu, broj∫
Edx se naziva
n-dimenziona Zordanova mera skupa E i oznacava se sa µ(E). Jednodi-menzionu Zordanovu meru skupa E nazivamo duzinom, dvodimenzionupovrsinom, a trodimenzionu zapreminom.
Dakle, povrsina se izracunava na osnovu:
P =
∫ ∫E
dx dy,
Neka je S dvodimenziona povrs definisana sa
D 3 (u, v) → (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ S
oznacimo sa
E =(∂x∂u
)2
+(∂y∂u
)2
+(∂z∂u
)2
G =(∂x∂v
)2
+(∂y∂v
)2
+(∂z∂v
)2
28
F =∂x
∂u· ∂x∂v
+∂y
∂u· ∂y∂v
+∂z
∂u· ∂z∂v
tada je povrsina povrsi S jednaka:
P =
∫ ∫D
√EG− F 2 du dv
Ako je povrs definisana sa z = f(x, y); (x, y) ∈ D, tada je povrsina povrsiS jedanaka
P =
∫ ∫D
√1 +
(∂f∂x
)2
+(∂f∂y
)2
dx dy
Zapremina se racuna:
V =
∫ ∫ ∫E
dx dy dz.
Zapremina tela, koje lezi u prostoru R3, moze se takode izracunati pomocudvojnog integrala:
V =
∫ ∫D
dx dy
∫ f(x,y)
0
dz =
∫ ∫D
f(x, y) dx dy,
gde je z = f(x, y) , (x, y) ∈ D ⊂ R2 , z ≥ 0, povrs u prostoru Oxyz.
5.6 Krivolinijski i povrsinski integrali
Krivolinijski integral I vrsteAko je γ = {(x, y) ∈ R2 |x = ϕ(t) , y = ψ(t) , a ≤ t ≤ b}, tada je∫
γ
f(x, y) dl =
∫ b
a
f(ϕ(t), ψ(t))√ϕ′(t)2 + ψ′(t)2 dt
Ako je γ = {(x, y, z) ∈ R3 |x = ϕ(t) , y = ψ(t) , z = φ(t) , a ≤ t ≤ b}, tadaje ∫
γ
f(x, y, z) dl =
∫ b
a
f(ϕ(t), ψ(t), φ(t))√ϕ′(t)2 + ψ′(t)2 + φ′(t)2 dt
Krivolinijski integral II vrsteAko je glatka kriva l ∈ R2 definisana sa [a, b] 3 t→ (x(t), y(t), z(t)) ∈ l i
ako je F = (P,Q,R) tada je∫l
P (x, y, z) dx+Q(x, y, z) dy +R(x, y, z) dz =
29
= ±∫ b
a
[P (x(t), y(t), z(t))x′(t)+Q(x(t), y(t), z(t))y′(t)+R(x(t), y(t), z(t))z′(t)
]dt
gde se znak + uzima ako rascenju parametra t odgovara smer kretanja nakrivoj, a − ako rascenje parametra nije saglasno sa orjentacijom krive.
Povrsinski integral I vrste1. Ako je D 3 (x, y) → z = z(x, y) ∈ S parametrizacija glatke dvodime-
nzione povrsi S u R3 i f : S → R, tada je∫S
f(x, y, z) dS =
∫D
f(x, y, z(x, y))
√1 +
(∂z∂x
)2
+(∂z∂y
)2
dx dy
2. Ako je glatka povrs S definisana sa
D 3 (u, v) → (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ S i f : S → R
tada je∫S
f(x, y, z)dS =
∫D
f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))√A2 +B2 + C2 du dv,
gde je
A =D(y, z)
D(u, v), B =
D(z, x)
D(u, v), C =
D(x, y)
D(u, v)
Povrsinski integral II vrsteAko je glatka elementarna povrs S ∈ R3 orjentisana svojom parametrizaci-
jomD 3 (u, v) → Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ S
tada je jedinicni vektor normale povrsi S, jednak
−→n (x, y, z) =A√
A2 +B2 + C2e1 +
B√A2 +B2 + C2
e2 +C√
A2 +B2 + C2e3 =
= cosαe1 + cos βe2 + cos γe3
gde su α, β, γ uglovi koje vektor n gradi sa pozitivnim delom x, y, z ose re-spektivno. U tom slucaju dobijamo∫
S
P dy dz +Qdz dx+Rdx dy =
∫S
(P cosα+Q cos β +R cos γ)dS =
=
∫D
(P (Φ(u, v))A+Q(Φ(u, v))B +R(Φ(u, v))C
)du dv
30
U specijalnom slucaju kada je povrs S definisana sa D 3 (x, y) → z =z(x, y) ∈ S imamo ∫
S
P dy dz +Qdz dx+Rdx dy =
∫D
[−∂z(x, y)
∂xP (x, y, z(x, y))−∂z(x, y)
∂yQ(x, y, z(x, y))+R(x, y, z(x, y))
]dx dy
5.7 Osnovne integralne formule
Grinova formula. Neka je D ⊂ R2 ogranicena oblast takva da je ∂Ddeo po deo glatka kriva. Ako su funkcije P i Q glatke funkcije u D, tada je∫
∂D
P dx+Qdy =
∫D
(∂Q
∂x− ∂P
∂y
)dx dy,
pri cemu je kriva ∂D pozitivno orjentisana.Gaus-Ostrogradski formula. Neka je D ⊂ R3 ograni”ena oblast takva
da je ∂D deo po deo glatka povrs, i neka su P,Q,R glatke funkcije u D, tadaje ∫
D
(∂P
∂x+∂Q
∂y+∂R
∂z
)dx dy dz =
∫∂D
P dy dz +Qdz dx+Rdx dy,
gde je povrs ∂D orjentisana poljem spoljasnjih jedinicnih vektora normala.Stoksova formula. Neka je SR3 orjentisana ogranicena povrs klase C(2)
sa krajem ∂S orjentisanim saglasno orjentaciji povrsi S. Ako su P,Q,Rglatke funkcije na S, tada je
∫∂S
P dx+Qdy +Rdz =
∫S
∣∣∣∣∣∣dy dz dz dx dx dy
∂∂x
∂∂y
∂∂z
P Q R
∣∣∣∣∣∣ =
=
∫S
(∂R
∂y− ∂Q
∂z
)dy dz +
(∂P
∂z− ∂R
∂x
)dz dx+
(∂Q
∂x− ∂P
∂y
)dx dy
31
6 Istorija nastanka integrala i matematicari
koji su se bavili proucavanjem integralnog
racuna
Jedan od problema koje je praksa nametnula matematici je bilo izracuna-vanje povrsina ravnih figura. Opste je poznato da se povrsina pravougaonikamoze izracunati kao proizvod njegove duzine i visine. Na osnovu toga se moguizracunati povrsine trouglova i trapeza. Kako se svaki poligon moze rastavitina konacan zbir pomenutih figura mozemo bez problema odrediti povrsinepoligona. Nasuprot tome veliki problem predstavljalo je izracunavanje povrsi-na krivolinijskih figura.
Jos u III veku pre nove ere Arhimed je izracunavao povrsine segmentaparabole i kruga upisujuci u ove figure poligone sa sve vecim brojrm stranica,iscrpljujuci na taj nacin povrsinu segmenta povrsinama poligona. Metoda jepoznata pod nazivom iscrpljivanje ili eshaustija. Ovu metodu koristili sukasnije i mnogi drugi matematicari, resavajuci probleme za neke konkretnefamilije krivih ne dovodeci u pitanje samu definiciju povrsine. Ova je metodau sustini dovela do definicije odredenog integrala.
U XIII veku Njutn i Lajbnic definisu odredeni integral i na taj nacinuspevaju da rese problem povrsine za bilo koju krivu. Definisanje odredenogintegrala omogucilo je resavanje najrazlicitijih problema kao sto su povrsinai zaprenina tela u prostoru, duzine lukova krivih, duzine puta ako je poznatabrzina, rada sile, momenta inercije, kolicine naelektrisanja i mnogih drugihproblema.
Jedan od znacajnih doprinosa Euklida matematici je metod koji je uXVII dobio naziv ekshaustije (lat. exhaustio) ili metoda iscrpljivanja. ZaArhimeda je ova metoda bila jedna strogo naucna metoda odredivanja povrsi-na i zapremina krivolinijskih povrsi i tela. Povrsina pravolinijskih povrsi,kruga i njegovih delova odredene su jos u V veku pre nove ere, a kas-nije su ti zakljucci potvrdeni strogom metodom ekshaustije. Po recimaArhimeda, jos Demokrit je znao da su piramida i kupa, redom treci deoprizme i valjka sa jednakom osnovom i jednakom visinom. Medutim, tekje Eudoks nasao u metodi ekshaustije nacin da to strogo logocki dokaze.Demoktitovo rasudivanje se sastoji u integraljenju, koje u to vreme jos nemalogicki ispravnu formu. Telo ciju zapreminu posmatramo zamislja se rasecenimna bezbroj beskrajno tankih plocica (listica). Pomeranjem se oblik tela mozestalno menjati - zapremina ostaje ista. Ovakav nacin za uporedivanje i za-premine raznih tela potice verovatno jos iz predgrcke matematike i slicanje eksperimentu. Tek u pojmu odredenog integrala, koji se javlja pred krajXVII veka takva rarmatranja dobijaju logicki ispravan oblik. Anticka metoda
32
integraljenja, koja jedva da se mogla naslutiti iz objavljenih dela stare grckegeometrije koja su dosla do nas, ponovo se javljaju tek u XVII veku, u jed-nom delu Johana Keplera. Prvi deo ,,Stereometrije vinskih bacvi”Kepler jenazvao ,,Arhimedova stereomertija”. U njemu navodi niz teorema iz Arhime-dovog spisa ,,O sferi i cilindru”, ali u daleko jednostavnijem obliku. Keplernije bio pristalica Arhimedove strogosti. Kod njega se povrsina kruga sas-toji od beskonacno velikog broja trouglova sa zajednickim vrhom u centru,a sfera od beskonacno velikog broja sitnih piramida. On odbacuje metoduekshaustije i zamenjuje je malim velicinama.
Geometrija nedeljivih (1635) Bonaventura Kavaljerija, profesora Bolo-njskog univerziteta, dala je nove principe integraljenja na osnovu Arhome-dovih radova. Kavaljeri je dopunijo odredene dokaze, pokusavajuci da dokazeArhimeda zameni jednostavnijima. Radeci nad ,,Sferom i cilindrom”on dolazido novih dokaza za nalazenje zapremine kupe, jednako strogih kao i kodArhimeda, ali znatno jednostavnijih. Kavaljeri je shvatio, za razliku odsvojih predhodnika, da metoda ekshaustije daje apsolutno dokazane i neko-ntradiktorne rezultate, sto on svojom ,,metodom nedeljivih”(tj. beskonacnomalih velicina) nije mogao da postigne. Sa druge strane on je osecao da jeArhimedova metoda neplodotvorna, vestacka, neocigledna, i zbog toga nedo-voljno ubedljiva. Pokusavao je gde god je to moguce da, Arhimedove dokazezameni direktnim dokazima, i smatrao je velikim nedostatkom svog sistemakada mu u jednom slucaju (pri odredivanju zapremine piramide) to nije posloza rukom.
Kavaljieri je izlozio uproscenu varijantu racuna beskonacno malih velicina,koja se zasniva na predstavama po kojima tacka tri kretanju daje liniju, alinija povrs. Ploazeci od toga, on je spajao duzi da bi dobio povrs, a deloveravni da bi dobio telo. Kavaljerijev drug i savremenik Toriceli je pokazao dase, polazeci od takvih predstava, moze dokazati da se svaki trougao jednomvisinom moze podeliti na dva jednaka dela. Tada je Kavaljeri duzi zamenio,,nitima”, tj delovima povrsi veoma male sirine i na taj nacin stao na poziciju,,atomisticne”metode. U istoriji razvitka matematike postoje jos mnogobro-jna razmisnjanja na ovu temu, koja je intrigirala mnoge matematicare.
Opstu metodu diferenciranja i integrljenja, zasnovanu na potpunom shva-tanju inverznosti ova dva procesa, mogli su pronaci tek ljudi koji su ovladalikako geometrijskim metodama Grka i Kavaljerija tako i algebarskim meto-dama Dekarta i Valisa. Ti ljudi su se mogli pojaviti tek posle 1660. godine,i oni su se stvarno pojaviji u licnostima Njutna i Lajbnica. Veoma mnogoje napisano o prioritetu tog otkrica. Ustanovljeno je da su oni do svojihmetoda dosli nezavisno jedan od drugog. Njutn je prvi otkrio analizu (1665-1666. godine, a Lajbnic 1673-1676. godine), ali je Lajbnic prvi stampao svojeradove (Lajbnic ih je stampao u vremenu od 1684-1686. godine, a Njutnovi
33
radovi iz ove oblasti objavljeni su tek posle njegove smrti, tj izmedu 1704-1736. godine). Lajbnicova skola bila je blistavija u poredenju sa Njutnovomskolom.
Isak Njutn je ucio u Kembridzu kod Isaka Baroa, koji je 1669. godinepredao svoju profesorsku katedru svome uceniku, sto je veoma znacajna po-java u akademskom zivotu, i time je javno priznao Njutnovu prednost. Njegovizuzetan autoritet uglavnom su stvorili njegovi Marematicki principi prirodnefilozofije. Tesko je sgledati geometrijsku formu njegovih dokaza zato sto jeon potpuno vladao analizom, koju je nazivao teorija fluksija.
Gotfrid Vilhelm Lajbnic je jedan on najplodnijih pronalazaca matemati-ckih simbola. Bilo je veoma malo naucnika koji su tako dobro shvatali jedin-stvenost forme i sadrzaja. Ako se ima u vidu filozofska pozadina, ona se mozeshvatiti kako je Lajbnic pronasao analizu. To je bio rezultat njegovih trazenjauniverzalnog jezika, konkretno jezika koji ce izrazavati promene i kretanje.Lajbnic je svoj novi racun pronasao u periodu izmedu 1673. godine i 1667.godine, i to pod neposrednim uticajem Hajgenca, a tokom izracunavanjaDekarta i Paskala. Narocito ga je podsticalo to sto je znao da je Njutn ovladaoslicnom metodom. Njutnov prilaz je bio u osnovi kinematicki, Lajbnicov ge-ometrijski. On je mislio u terminima ,,karakteristicnog trougla”(dx, dy, ds),koji se vec pojavljivao u nekim drugim radovima, konkretno kod Paskala iu predavanjima iz geometrije Baroa. Analiza, na nacin na koji je postavioLajbnic, prvi put se pojavila 1684. godine u clanku koji je imao sest strana(matematicki casopis Acta Eruditorum). Taj casopis je osnovao Lajbnic 1682godine. Karakteristican je naslov toga clanka: Nova metoda za maksimumei minimume, kao i za tangente, gde razlomljene i iracionalne velicine nisuprepreka, i narocit vid izracunavanja toga. Nacin izlaganja je tezak i nejasan,ali clanak sadrzi nase simbole dx i dy i pravila diferenciranja, ukljucujuci idiferenciranje razlomaka, kao i uslove dy = 0 za ekstremne vrednosti i d2y = 0za prevojne tacke. Posle tog clanka 1686. godine pojavio se drugi clanak,koji je sadrzao pravila integralnog racuna i simbol
∫. Jednacina cikloide bila
je data u obliku
y =√
2x− x2 +
∫dx√
2x− x2.
Pojavom tih clanaka poceo je izuzetno plodan period matematicke delatnosti.Posle 1687. godine Lajbnicu su se pridruzila braca Jakob i Johan Bernuli, kojisu odusevljeno prihvatili njegove metode. Jos u periodu pre 1700. godine njihtrojca su otkriji znacajan deo naseg osnovnog kursa analize. U 1696. godinipojavio se prvi udzbenik iz oblasti analize. Njega je napisao markiz Lopital,ucenik Johana Bernulija. Lopital je u Analizi beskonacno malih objavio pre-davanja svoga ucitelja iz diferencijalnog racuna. U toj knjizi nalazimo tzv.
34
Lopitalovo pravilo za nalazenje granicne vrednosti razlomka kada oba clanateze nuli.
Nase oznake u analizi, kao i nazivi ,,diferencijalni racun”i ,,integralniracun”, poticu od Lajbnica. Lajbnic je najpre predlozio naziv ,,sumarniracun”, ali su se 1696. godine Lajbnic i Johan dogovorili da upotrebljavalunaziv ,,integralni racun”. Trgovacka porodica Bernuli, je porodica koja je usvakoj generaciji ostavila po nekog naucnika. Neosporno je istina da je u celojistoriji nauke tesko pronaci porodicu koja je postavila impozantniji rekord.Osnivaci te dinastije su svakako Jakob i Johan Bernuli, Jakob je studiraoteologiju, a Johan medicinu, ali kada su se u lajpciskom Acata Eruditorumpojavili Lajbnicovi clanci, odlucili su da se bave matematikom. Jakob jepoceo da se dopisuje sa Lajbnicom 1687. godine. Otada su braca Bernulistalno razmenjivali misli sa Lajbnicom i medu sobom. Vise puta su stupaliu zestoku prepirku i tako su poceli da otkrivaju dragocene tekovine u pio-nirskim dostignucima Lajbnica. Spisak njegovih rezultata je ogroman i sadrziveoma mnogo onoga sto danas ulazi u elementarne udzbenike diferencijalnogi integralnog racuna, kao i niz resenja obicnih diferencijalnih jednacina. Odostalih Bernulija koji su uticali na razvoj matematike poznata su dva Jo-hanova sina: Nikolaj i narocito Danijel, dok su njegov otac i stric izgradivaliteoriju obicnih diferencijalnih jednacina, Danijel je bio pionir u oblasti pa-rcijalnih diferencijalnih jednacina.
Jedan od najplodnijih matematicara XVIII veka, a verovatno i svih vre-mena je Leonard Ojler. Njegovog oca je uveo u matematiku Jakob Bernuli,a Leonarda Johan. Kada je 1725. godine Johanov sin Nikolaj otputovao uPetrograd, mladi Ojler je posao za njim i ostao na Petrogradskoj akademijido 1741. godine. Od 1741. do 1766. godine Ojler se nalazi u Berlinskojakademiji pod posebnim pokroviteljstvom Fridriha Velikog, a od 1766. do1783. godine ponovo je u Petrogradu, ali sada pod zastitom carice Katarine.Zivot ovog akademika iz XVIII veka potpuno je ispunjen radom u razlicitimoblastima ciste i primenjene matematike. Mada je 1735. godine izgubiojedno oko, a i 1766. i drugo, nista nije moglo da umanji njegovu ogromnuproduktivnost. Slepi Ojler, koristeci fenomenalno pamcenje, nastavio je dadiktira svoja otkrica. Tokom zivota objavljeno je 530 njegovih clanaka, anakon njegove smrti broj njegovih radova popeo se na 886.
Ogromni autoritet njegovih prirucnika je ucinio da se u algebri i analiziucvrste njegove oznake. Lagranz, Laplas i Gaus poznavali su Ojlera i sledilisu ga u svome radu.
Jedan od velikih i sadrzajno bogatih njegovih prirucnika je Diferencijalniracun. Posle tog prirucnika pojavila su se tri toma Integralnog racuna. Tunalazimo ne samo nas diferencijalni i integralni racun vec i tepriju diferencija-lnih jednacina, Tejlorovu teoremu sa mnogim primenama, Ojlerovu teoremu
35
za sumiranje i Ojlerove integrale Γ i B. Deo o diferencijalnim jednacinamasa njegovim razdvalanjem ,,linearnih”, ,,egzaktnih”i ,,homogenih”jednacina.
Ogromna Ojlerova produktivnost bila je i ostaje povod za zbunjivanje iodusevljavanje svakoga ko je pokusao da prouci njegove radove. Moze se sas-taviti dugacak spisak poznatih otkrica, uglavnom Ojlerovih, kao i popis onihnjegovih ideja koje jos uvek cekaju razradu. Veliki matematicari su priznavalida mu mnogo duguju. ,,Citajte Ojlera”, obicno je mladim matematicarimagovorio Laplas. A Gaus se jos odredenije izrazavao: ,,Proucavanje Ojlerovihradova je najbolja skola u raznim oblastima matematike i nista drugo nemoze to zameniti”. Riman je dobro poznavao Ojlerove radove, pa se u nekimnjegovim radovima otktiva Ojlerov uticaj.
Najistaknutiji, matematicari koji su bili povezani sa Politehnickom skolomu njenom ranom periodu, bili su Simeon Poason, Zozef Furije i OgustinKosi. Njih trojcu je veoma zainteresovala primena matematike u mehanicii fizici i tako su dosli do znacajnih otkrica u cistoj matematici. Najvecidokaz Poasonove produktivnosti je cesto pominjanje njegovog imena u nasinudzbenicima. Za nas je interesantan Poasonov integral
∫∞0e−x2
dx =√
π2
Furijeovi redovi su danas veoma dobro prouceno sredstvo u teoriji parci-jalnih jednacina za resavanje zadataka sa datim granicnim uslovima. Radinekih svojih osobina, ti redovi sami po sebi privlace paznju. Proucavanjemovih redova eksplicitno je postavljeno pitanje sta treba podrazumevati podpojmom funkcije. To je bio i jedan od razloga sto su matematicari XIXveka istakli potrebu temeljnog proucavanja problema strogosti matematickihdokaza i opstih osnova matematickih pojmova. Tim problemom, specijalnou odnosu na Furijeove redove, bavili su se Dirihle i Riman.
Kosijevi uspesi u oblasti matematicke analize bacili su u zasenak njegovemnogobrojne radove. Medutim ne smemo zaboraviti da je on zajedno saNevjeom bio osnivac matematicke teorije elasticnosti. Slavu mu je, u prvomredu, donela teorija funkcije kompleksne promenjive i njegovo uporno insi-stiranje na strogosti matematicke analize. Funkcije kompleksne promenjiveubedene su jos ranije. Uveo ih je Dalamber u jednom radu o rezistencijitecnosti (1752) i tom prilikom je dobio jednacinu koja se danas naziva ,,Kosi- Rimanova jednacina”. Teorija funkcija kompleksne promenjive, koja jedotle bila korisno orude za hidrodinamiku i aerodinamiku, postala je, za-hvaljujuci Kosiju, samostelna oblast matematickih istrazivanja. Pocev od1814. godine, Kosijevi radovi iz te oblasti pojavljivali su se neprekidno, ajedan od najznacajnijih je Memoar o odredenim intergalima sa imaginarnimgranicama intervala.
Evarist Gaul je dao nove ideje o integralima algebarskih funkcija jednepromenjive, koje danas nazivamo Abelovi integrali. To znaci da je tok nje-govih misli bio veoma blizak Rimanovom. Evarist Gaul je mladi genije koji
36
je kratko ziveo, jer je u dvadeset prvoj godini ubijen u dvoboju.Jos jedan mladi genije Nil Henrik Abel, je tragicno preminuo kao i Gaul,
mucen bedom i tuberkulozom. Abel je za vreme putovanja napisao neko-liko radova, u kojima je izneo rezultate svojih proucavanja konvergencije re-dova, ,,Abelovih” integrala i eliptickih funkcija. Abel je proucavao eliptickefunkcije kroz kratkotrajno, ali interesantno takmicenje sa Jakobijem. Gausje u licnim beleskama vec utvrdio da inverzija eliptickih integrala dovodido jednoznacnih dvostruko periodicnih funkcija, ali nikada nije objavio tasvoja zapazanja. Lezandar, koji je veoma mnogo truda posvetio eliptickimintegralima, izgubio je iz vida ovu okolnost, kao i Abelova otkrica, koja jeupoznao tek u starosti i koja su na njega ostavila duboki utisak. Abelu jeposlo za rukom da novi casopis rado prihvati objavljivanje njegovih radova.U prvoj svesci casopisa za cistu i primenjenu matematiku, koji je izdavaoKrel, objavljeno je pet Abelovih clanaka. U drugoj svesci (1827) pojavio seprvi deo Abelovih Ispitivanje eliptickih funkcija, sto oznacava pocetak teorijeDvostruko periodicnih funkcija.
August Leopold Krel je osnivac Casopisa za cistu i primenjenu matem-atiku, prvi cisto matematicki casopis koji jos i danas izlazi. Taj casopis jedanas poznat pod imenom Zergonov casopis.
Mi govorimo o Abelovoj integralnoj jednacini i o Abelovoj teoremi o zbiruintegrala algebarskih funkcija, sto dovodi do Abelovih funkcija. Abelovo imenam pokazuje da postoji tesna veza izmedu njega i Gaula.
Jedan od vodecih savremenika ruske matematike je Mihail Vasiljevic Ostro-gradski. Koji je u analizi poznat po formuli koju nazivamo ,,formula Ostro-gradskog” za transformaciju zapreminskog integrala u povrsinski, ta se fo-rmula naziva i Gausovom formulom, sto nije tacno. Ostrogradski je uopstiotu formulu i za visedimenzionalne prostore. Otprilike u isto vreme kad iJakobi i Katalin, i Ostrogradski je prvi izveo pravilo smene promenjivih uvisestrukim integralima. Njegov postupak izdvajanja racionalnog dela inte-grala od racionalne funkcije, takode je usao u kurseve analize, ponekad podimenom Ermita, koji je ga je izlozio nekoliko decenija kasnije.
Bernhard Riman je Dirisleov naslednik. On je kao i Dalamber i Kosipolazio od prestava iz oblasti hidrodinamike. On je komforno preslikavaoravan (x, y) na ravan (u, v) i utvrdio egzistenciju funkcije koja transformisema koju prosto povezanu oblast jedne ravni na ma koju prosto povezanuoblast druge ravni. To je dovelo do pojma Rimanove povrsi, koji je u analizuuveo topoloska preslikavanja. Riman je ukazao na stvarni znacaj topologije zateoriju funkcija kompleksne promenjive. U svojoj doktorskoj disertaciju dajeobjasnjenja definicije kompleksne funkcije: realni i imaginarni deo treba dazadovoljavaju ,,Kosi-Rimanove jednacine”: ux = vy i uy = vx u datoj oblasti,a osim toga treba da zadovoljavaju izvesne uslove na granici te oblasti i u si-
37
ngularnim tackama. Riman je 1854. godine postao privatni docent i odmah jenapisao dva rada - jedan iz trigonometrijskih redova i osnova analize, a drugiiz osnove geometrije. U prvom radu razmatraju se Dirisleovi uslovi razvijanjafunkcije u furireov red. Jedan od tih uslova bio je da funkcija mora da budeintegrabilna. On je dao definiciju poznatu danas kao Rimanov integral, kojije tek u XX veku zamenjen Lebegovim integralom. Riman je pokazao dafunkcije definisane na Furijeovim redovima mogu posedovati osobine kao stosu beskonacan broj maksimuma ili minimuma, sto matematicari pre njega,definisuci pojam funkcije nisu dozvoljavali. U svojim predavanjima Rimanje naveo primer neprekidne funkcije koja nema izvod.
U toku nekoliko prvih decenija XIX veka dekani Kembridza i Oksfordatretirali su bilo koji pokusaj usavrsavanja teorije fluksija kao necasni buntprotiv svete Njutnove uspomene. Kao rezultat toga, Njutnova skola u Engle-skoj i Lajbnicova skola na Kontinentu toliko su se razisle da je Ojler u svomIntegralnom racunu (1768) objedinjenje ova dva nacina zapisivanja sma-trao nekorisnim. Taj zid je srusila 1812. godine mlada grupa kembridzkihmatematicara koji su osnovali Analiticko drustvo da bi propagirali simbolikudiferencijalnog racuna. Na celu su se nalazili Dzordz Pikok, Carls Bebidz iDzon Xersel. Taj projekat je u pocetku bio podvrgnut ostroj kritici, kojaje kasnije nestala zahvaljujuci takvim aktivnostima kao sto je bilo izdanjeprevoda Lakroove knjige Elementarni traktat iz diferencijalnog i integralnogracuna.
Medutim, do prvih znacijnih rezulta nije dosla kembridzka grupa, vecmatematicari koji su samostalno prihvatili kontinentalnu nauku. Medu njimasu najistaknutije mesto zauzeli Hamilton i Dzordz Grin. Ispostavilo se dasu Gaus i Grin toliko bliski da kada je Grin izabrao termin ,,potencijalnafunkcija”, i Gaus je izabrao skoro isti termin ,,potencijal”, da bi nazvaonjime resenja Laplasove jednacine. Dva tesno povezana identiteta izmedupovrsinskih i krivolinijskih integrala nazivaju se Grinova i Gausova formula.
Uticaj drustveno ekonomskih faktora na razvoj matematike dolazi krozfiziku, geografiju, navigaciju, pa cak i kroz arhitekturu, slikarstvo, religijui filozofiju. Znacajna matematicka istrazivanja retko su neposredan rezu-ltat drustvenog uticaja. Hardi je jednom primetio da je ,,prava”matematika,,pravih”matematicara, matematika Ferme i Ojlera, matematika Gausa, Abelai Rimana skoro potpuno ,,nekorisna” sa tacke prakticne primene. Medutimzadivljujue je to sto je mnogo toga iz te ,,nekorisne”matematicke proslostipostalo prakticno ,,korisno”u nasem veku numericke tehnike, kosmickih letova,automatizacije i uopste naucne tehnologije.
38
Sadrzaj
1 Neodredeni integrali 21.1 Primitivna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Tablicni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Smena promenjive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Parcijalna integracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Neke vazne klase integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.1 Integracija racionalnih funkcija . . . . . . . . . . . . . 41.5.2 Integracija nekih iracionalnih funkcija . . . . . . . . . . 61.5.3 Integracija trigonometrijckih funkcija . . . . . . . . . . 7
2 Odredeni integrali 92.1 Definicija odredenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Izracunavanje odredenih integrala . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Smena promenjive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1 Neke olaksice pri racunanju integrala . . . . . . . . . . 132.4 Parcijalna integracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Diferenciranje integrala po granici integracije . . . . . . . . . . 142.6 Odredeni integral i nejednakosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Primena odredenih integrala 163.1 Duzina krive u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.1 Pojam krive u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.1.2 Duzina krive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Povrsina obrtne povrsi i zapremina obrtnog tela . . . . . . . . 17
4 Nesvojstveni integrali 194.1 Neelementarne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Visestruki integrali 225.1 Definicija visestrukih integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2 Gornji i donji Rimanov integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3 Fubinijeva teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.4 Smena promenjive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.5 Izracunavanje povrsine i zapremine . . . . . . . . . . . . . . . 285.6 Krivolinijski i povrsinski integrali . . . . . . . . . . . . . . . . 295.7 Osnovne integralne formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 Istorija nastanka integrala i matematicari koji su se baviliproucavanjem integralnog racuna 32
39
Literatura
[1] Dusan Adnadevic, Zoran Kadelburg, Matematicka analiza I,Nauka, Beograd 1998.
[2] Dusan Adnadevic, Zoran Kadelburg, Matematicka analiza II ,Beograd, 2002.
[3] Milan Merkle, Matematicka analiza , Akademska misao, Beograd,2001.
[4] Nebojsa Lazetic, Matematicka analiza I/3 , Matematicki fakultet,Beograd, 2001.
[5] Nebojsa Lazetic, Matematicka analiza II/1 , Matematicki fakultet,Beograd, 2000.
[6] Nebojsa Lazetic, Matematicka analiza II/2 , Matematicki fakultet,Beograd, 2000.
[7] Dzordz B. Tomas, Tomasova matematicka biblija , Gradevinska knji-ga, Beograd, 2007.
[8] Dirk J. Strojk, Kratak pregled istorije matematike , Zavod za izda-vanje udzbenika, Beograd, 1968.
[9] http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/predavanja.html
[10] http://lavica.fesb.hr/mat2/predavanja/predavanja.html
40
