Univerza v LjubljaniPedagoška fakulteta

Oddelek za matematiko in računalništvoKatedra za matematiko in didaktiko matematike

Marko Razpet

KOVINSKA RAZMERJAŠtudijsko gradivo

Zgodovina matematike

Ljubljana, avgust 2016

VsebinaSeznam slik 3

Predgovor 5

1 Dogovor o zapisih 6

2 Kovinsko razmerje 6

3 Fibonaccijevi in Lucasovi polinomi 21

4 Hiperbolični sinus in kosinus 31

5 Diferencialni enačbi 37

6 Matrični zapis in nekaj enakosti 39

7 Potence kovinskih razmerij 43

8 Ekvivalenčna relacija 53

9 Kovinski pravokotniki 54

10 Srebrni trapez 58

11 Pellova enačba 64

12 Samopodobnost 67

Za konec 76

Literatura 80

Oznake 81

Seznam slik1 Evklid iz Aleksandrije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Hipatija iz Aleksandrije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Leonardo da Vinci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Johannes Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Mysterium Cosmographicum, detajl . . . . . . . . . . . . . . . 106 Pravilni ikozaeder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Pravilni dodekaeder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Delitev daljice v zlatem razmerju. . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Luca Pacioli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210 Martin Ohm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411 Pentagon in pentagram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512 Vera Martha Winitzky de Spinadel. . . . . . . . . . . . . . . . 1613 Preslikave γn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714 Pitagora s Samosa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815 Preslikave ϑn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016 Leonardo iz Pise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2217 François Édouard Anatole Lucas. . . . . . . . . . . . . . . . . 2318 François Viète. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319 Grafa karakterističnih korenov. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2420 Jacques Philippe Marie Binet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2621 Blaise Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3022 Fibonaccijeva števila in Pascalov trikotnik. . . . . . . . . . . . 3223 Fibonaccijevi polinomi in Pascalov trikotnik. . . . . . . . . . . 3224 Leonhard Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3325 Grafa funkcij sh in ch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3426 Johann Heinrich Lambert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3527 Vincenzo Riccati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3728 Delne rešitve prve enačbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3929 Delne rešitve druge enačbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3930 Giovanni Domenico Cassini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4131 Eugène Charles Catalan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3

32 Philbert Maurice d’Ocagne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4233 Kovinski pravokotnik reda n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5534 Zlati pravokotnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5535 Srebrni pravokotnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5536 Bronasti pravokotnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5637 Delitev kovinskega pravokotnika reda 4. . . . . . . . . . . . . 5638 Pravokotno sekajoči se diagonali. . . . . . . . . . . . . . . . . 5739 Še en kovinski pravokotnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5840 Delitev kvadrata s stranico ψ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5841 Srebrni trapez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5942 Kvadratni okvir, sestavljen iz srebrnih trapezov. . . . . . . . . 5943 Pravilni osemkotnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6044 Pravilni osemkotnik, včrtan kvadratu. . . . . . . . . . . . . . . 6045 Prvi prepogibi papirja do pravilnega osemkotnika. . . . . . . . 6146 Pravilni osemkotnik s prepogibanjem papirja. . . . . . . . . . 6147 Pravilni osemkotnik, razdeljen na dva kvadrata in štiri rombe. 6248 Lesen izdelek, ki ima za prečen presek pravilen osemkotnik. . . 6249 Prisekana kocka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6350 Tlakovanje ravnine s kvadrati in pravilnimi osemkotniki. . . . 6351 John Pell (1611–1685) – angleški matematik. . . . . . . . . . . 6452 Nazorna interpretacija števil T8 in Q6. . . . . . . . . . . . . . 6653 Zaporedje srebrnih pravokotnikov. . . . . . . . . . . . . . . . . 6754 Krogi v zaporedju srebrnih pravokotnikov. . . . . . . . . . . . 6855 Dvojna srebrna spirala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6856 Gaußova preslikava. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7057 Johann Carl Friedrich Gauß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7158 Joseph-Louis Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7459 Anicius Manlius Torquatus Severinus Boëthius. . . . . . . . . 7660 Platon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7861 Aristotel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4

PredgovorPojem kovinskega razmerja je posplošitev bolj znanega pojma zlatega raz-merja. Kovinskih razmerij je neskončno mnogo, vsakemu naravnemu številulahko priredimo enega. Kovinska razmerja so iracionalna števila, ki zadoščajopreprosti kvadratni enačbi. Nekatera kovinska razmerja so med seboj poveza-na, večinoma pa ne. Z njimi se matematiki intenzivneje ukvarjajo zadnjihdvajset let. Pomembno vlogo pri študiju kovinskih razmerij igrajo Fibonacci-jevi in Lusasovi polinomi, s katerimi lahko izrazimo bolj znana Fibonaccijevain Lucasova števila. Zanje velja veliko zanimivih relacij, od katerih bomoizpeljali le najnujnejše.

Pri raziskavi kovinskih razmerij pride v poštev osnovno znanje o dife-renčnih enačbah in verižnih ulomkih. Videli bomo, da veliko relacij lahkoizpeljemo že na podlagi znanja o kvadratni enačbi in pripadajočih Viètovihpravil. Gaußova preslikava pa poskrbi za imenitne povezave med verižnimiulomki in kovinskimi razmerji. V hvalevredno pomoč pri raziskavi kovinskihrazmerij nam je računalniški program Derive. Z njim udobno poenostavljamomatematične izraze in jih preverjamo.

Kovinska razmerja imajo pomembno mesto tudi v geometriji. Z njimiso povezani kovinski pravokotniki in njihove delitve na kvadrate in manjšekovinske pravokotnike. Zlato razmerje je tesno povezano s pravilnim petkot-nikom ali pentagonom, s petkrako zvezdo ali pentagramom, s katerima sepa ne bomo prav posebej ukvarjali, srebrno pa s pravilnim osemkotnikom,o katerem bomo povedali nekaj več. Z vsem dostopnim računalniškim pro-gramom GeoGebra lahko sami izdelamo slike, s katerimi laže pojasnimo mar-sikatero trditev o kovinskih razmerjih. Podobe oseb so vzete s svetovnegaspleta. Vseh izrazov grškega izvora ne bomo pojasnjevali, zlasti ne geometrij-skih. O tem je več napisanega v [6]. V razpravi bomo mimogrede rešili tudinekaj Pellovih enačb, ki imajo dolgo in zanimivo zgodovino, in odgovorili naobičajno vprašanje, kako poiskati trikotniška števila, ki so kvadratna.

Zahvaljujem se prof. dr. Milanu Hladniku za strokovni pregled. Breznjega bi ostala v besedilu še marsikatera nepotrebna napaka.Ljubljana, avgust 2016 Dr. Marko Razpet

5

1 Dogovor o zapisihV besedilu se bomo skušali držati dogovora, da cela števila označujemo sčrkami j, k,m, n, p, r, r, realna pa s t, x, y. Potence funkcij bomo pisali zeksponentom tik za simbolom funkcije, na primer fm(x) pomeni isto kot(f(x))m. Ulomkovo črto v vrstičnih matematičnih izrazih bomo označevaliz znakom /, na primer a/b, v usredinjenih pa z vodoravno črto. Znak zakompozitum funkcij bo , na primer (f g)(x) = f(g(x)). Pogosto srečujemutudi n-kratni kompozitum funkcije f same s seboj. Označevali ga bomo s f ⟨n⟩.Rekli bomo, da se številska izraza I in J izražata linearno, z racionalnimakoeficientoma, če obstajata taki racionalni števili α in β, da velja I = α +

βJ . Množice naravnih, celih in racionalnih števil bomo označevali ustreznoz N,Z,Q.

Slika 1: Evklid iz Aleksandrije (365–275 pne.) – starogrški matematik.

2 Kovinsko razmerjeZlato razmerje ϕ je eno od najbolj razvpitih razmerij že od antičnih časovnaprej. Uporablja ga Evklid – Εὐκλείδης ὁ Αλεξανδρεύς – v svojih Elemen-tih – Στοιχεῖα, le da mu reče skrajno in srednje razmerje, ἄκρος καὶ μέσος

6

λόγος (glej [2]). Najdemo ga na primer v pravilnem petkotniku ali pen-tagonu, v pravilnem ikozaedru ali dvajsetercu in pravilnem dodekaedru alidvanajstercu. To sta dva od petih pravilnih poliedrov ali platonskih teles.Nekateri starogrški filozofi so pravilnim poliedrom prirejali štiri antične el-emente. To so bili ogenj, voda, zemlja, zrak, katerim so dodali še eter alikozmos. Ikozaedru je pripadala voda, grško ὕδωρ, dodekaedru pa eter, grškoαἰθήρ. Ikozaeder in dodekaeder sta si dualni telesi: središča ploskev prvegadoločajo oglišča drugega in obratno.

Na veliko so zlato razmerje ϕ, φ, Φ ali τ uporabljali in ga še vedno uporabl-jajo tudi v umetnosti. S črko ϕ ga označujemo, ker se ime slavnega grškegakiparja, slikarja in arhitekta Fidije, grško Φειδίας, iz petega stoletja pred našoero začne s to črko. Fidija je zlato razmerje ali število zlatega reza dobropoznal in ga tudi uporabljal. Nekateri, ki ne marajo, da se stvari imenujejopo osebah, pa črko τ uporabljajo zato, ker je to začetnica besede τομή, karpomeni med drugim tudi rez. Tistim pa, ki jim grške črke ne gredo dobro,pa uporabljajo raje kar črki g in G (iz gold, zlato). Zlatega razmerja nisoprvi poznali Grki. Znano je bilo že Egipčanom, katerim je bilo to razmerjesveto.

Slika 2: Hipatija iz Aleksandrije (∼370–415) – antična matematičarka.

So pa tudi ljudje, ki menijo, da je bila oznaka ϕ uvedena zaradi Fibonac-

7

cija, katerega ime se začne s Fi. Njegovo znano zaporedje 1, 1, 2, 3, 5, . . .,v katerem je vsak člen od tretjega naprej vsota svojih predhodnikov, imalastnost, da zaporedje kvocientov členov s svojimi predhodniki, to se pravizaporedje 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, . . ., konvergira proti številu ϕ. Tako mnenje paje malo iz trte izvito, kajti ime Fibonacci se pojavi veliko kasneje, kot je živelLeonardo iz Pise, ki je omenjeno zaporedje odkril. Sam imena Fibonaccinikjer v svojih delih, od katerih je najbolj znana računica Liber abbaci, neomenja. Najbolj je Leonardova računica za razvoj evropske matematike ver-jetno pomembna zaradi predstavitve mestnega desetiškega številskega sis-tema in novih števk ter računanja z njimi.

V petem stoletju, nekako s smrtjo aleksandrijske matematičarke in neo-platonistke Hipatije – ῾Υπατία ἡ Αλεξανδρεῖα, se je končalo slavno obdobjeaktivne antične matematike in umetnosti. Seveda pa to ne pomeni, da mate-matike v vsem vmesnem obdobju niso uporabljali, le kaj bistveno noveganiso odkrili. Pridno so prepisovali in komentirali Evklida in druge antičneavtorje, tako da je znanje prehajalo iz roda v rod, zlasti v vzhodnem delunekdanjega rimskega cesarstva. V Atenah je formalno delovala PlatonovaAkademija, ustanovljena leta 387 pne. in ukinjena leta 529 ne. Najbolj lju-dem v spominu navadno ostane napis, ki je baje bil pritrjen nad vhodom vAkademijo: ΑΓΕΟΜΕΤΡΗΤΩΣ ΜΗΔΕΙΣ ΕΙΣΙΤΩ. Naj ne vstopa, kdor nezna geometrije.

Od sedmega stoletja naprej se začne razcvet arabske matematike, ki jetrajal vse do leta 1258, ko je padel Bagdad v mongolske roke. V Bagdaduje vse do zavzetja delovalo vseučilišče, imenovano Hiša modrosti, kjer soštudirali mnogi raznovrstni učenjaki tistega časa. Zbirali so tudi antičnespise in jih prevajali. Hiša modrosti je bila ustanovljena v osmem stoletjuv času vladanja kalifa Al Mamuna. Arabskim znanstvenikom se moramozahvaliti, da so s prevodi ohranili marsikatero antično delo.

Za antično matematiko in umetnost so se resno spet začeli zanimati v ob-dobju evropske renesanse. Zlato razmerje je Luca Pacioli imenoval la divinaproportione ali božansko razmerje. Seveda je za zlato razmerje vedel tudiLeonardo da Vinci, ki je Lucu Pacioliju lepo narisal pravilne poliedre.

8

Slika 3: Leonardo da Vinci (1452–1519) – vsestranski italijanski umetnik inizumitelj.

Slika 4: Johannes Kepler (1517–1630) – nemški matematik, astrolog in as-tronom.

Že Johannes Kepler (1571–1630) je nekje zapisal, da geometrija skrivav sebi dva velika zaklada: Pitagorov izrek in zlato razmerje. Prvega lahkoprimerjamo z mernikom zlata, drugega pa z dragocenim draguljem.

Katere izraze je Kepler dejansko uporabil, lahko poznavalci srednjeveškelatinščine izluščijo iz priloženega besedila. Če je verjeti prevajalcem in prepiso-

9

Slika 5: Odlomek iz Keplerjevega dela Mysterium Cosmographicum (1596),stran 47.

valcem, je Kepler očitno zlato povezal s Pitagorovim izrekom, dragulj pa zzlatim rezom.

Slika 6: Pravilni ikozaeder.

Johannes Kepler je bil dolgo prepričan, da obstaja neka povezava medplatonskimi telesi in takrat znanimi planeti. V to je vložil precej napora, skaterim pa ni prišel daleč. Šele Tycho de Brahe (1546–1601), danski astronomin astrolog, ki je natančno opazoval gibanje planetov in vestno zapisovalrezultate, je pripomogel k temu, da je Kepler sprevidel svojo zmoto in nakoncu ugotovil, da planeti krožijo okoli Sonca po elipsah. Takrat so spetzačeli študirati stožnice, s katerimi se je že davno ukvarjal Apolonij iz Perge(265–170 pne.) – Απολλώνιος ὁ Περγαῖος. Apolonij jim je dal tudi imena, ki

10

jih uporabljamo še danes: elipsa, parabola, hiperbola.

Slika 7: Pravilni dodekaeder.

Imena platonskih teles izvirajo iz grščine (več o tem v [6]). Imamosicer tudi lepa slovenska imena četverec, šesterec (kocka), osmerec, dvana-jsterec in dvajseterec, ki niso ravno prevodi iz grščine. Asociirajo pa naslahko na kaj drugega, recimo veslanje. V drugi polovici 19. stoletja sobila predlagana imena četverostenje, šesterostenje, osmerostenje, dvanajs-terostenje in dvajseterostenje, ki pa se niso uveljavila. Morda po češkemzgledu: čtyřstěn, šestistěn (krychle), osmistěn, dvanáctistěn, dvacetistěn.Tudi pri Nemcih se niso prijeli izrazi Vierflächner, Sechsflächner (Würfel),Achtflächner, Zwölfflächner, Zwanzigflächner. Rusi imajo tudi svoje izraze:qetirhgrannik, xestigrannik (kub), vos~migrannik, dvenadcati-grannik, dvadcatigrannik.

Vrnimo se k tako opevanemu zlatemu razmerju. Delitev v zlatem razmerjubi lahko opisali tudi z besedami. Nekaj razdelimo na dva neenaka dela vzlatem razmerju, če je celota proti večjemu delu v enakem razmerju kot večjidel proti manjšemu delu.

Najlaže natančno definiramo zlato razmerje z delitvijo daljice v zlatemrazmerju. Točka Z deli daljico AB v zlatem razmerju, če je |AB| : |AZ| =|AZ| : |ZB|. Označimo a = |AZ| in b = |ZB|, pri čemer vzamemo, da je

11

Slika 8: Delitev daljice v zlatem razmerju.

a > b. Potem je |AB| = a+ b in veljati mora relacija

a+ b

a=a

b. (1)

Slika 9: Luca Pacioli (1445–1514) – italijanski matematik.

Prepišimo jo v oblikoa

b= 1 +

1a

b

.

Po vpeljavi zlatega razmerja ali zlatega števila ϕ = a/b dobimo relacijo

ϕ = 1 +1

ϕ. (2)

Predelamo jo v enakovredno obliko

ϕ2 = ϕ+ 1. (3)

12

Zlato razmerje ϕ je torej pozitivna rešitev enačbe

ξ2 − ξ − 1 = 0. (4)

Rešitvi, po splošni formuli za korena kvadratne enačbe, sta

ξ1 =1 +

√5

2, ξ2 =

1−√5

2.

Drugi koren je negativen in ne pride v poštev. Našli smo

ϕ =1 +

√5

2= 1, 618033988 . . .

Število ϕ je iracionalno, kar je bilo znano že nekaterim pitagorejcem. Ker jeϕ med 1 in 2, ga imenujejo tudi zlata sredina. Enostavno pa dobimo iz (2)zanj verižni ulomek:

ϕ = 1 +1

ϕ= 1 +

1

1 +1

ϕ

= 1 +1

1 +1

1 +1

1 +1. . .

.

Krajše ga zapišemo kotϕ = [1; 1], (5)

kjer enka pred podpičjem pomeni celi del števila ϕ, črta nad 1 pa ponavljanje.Število ϕ ima v razvoju v verižni ulomek periodo dolžine 1. Iz (2) ali izverižnega ulomka (5) vidimo, da je število 1/ϕ decimalni del števila ϕ. Razvojv verižni ulomek pa je

1

ϕ= [0; 1].

Kot kaže, je šele Nemec Martin Ohm v 19. stoletju začel na velikouporabljati izraz zlato razmerje, ki se je lepo uveljavil. Martin Ohm je bil bratbolj znanega Georga Simona Ohma (1789–1854), po katerem se imenujetaznani zakon v elektrotehniki (Ohmov zakon, ki povezuje električno napetost,tok in upornost) in enota za električno upornost ohm (Ω). Nemci rečejo

13

Slika 10: Martin Ohm (1792–1872) – nemški matematik.

zlatemu razmerju goldene Zahl, Angleži golden ratio, Čehi zlatý řez, Fran-cozi nombre d’or, Rusi zolotoe seqenie.

Število ϕ je iracionalno. Nekateri pitagorejci, ki so to vedeli, verjetnoniso hoteli s tem vznemirjati Pitagoro, ki je verjel v to, da je na svetu vse vracionalnih razmerjih. Že v pentagramu, nekakšnem emblemu pitagorejcev,dobimo razmerje ϕ, ki ni racionalno število. To so nekako pometli pod pre-progo, čeprav so nekateri že znali dokazati iracionalnost zlatega razmerja,in to precej preprosto: z metodo protislovja. Če bi namreč bilo razmerje ϕracionalno, bi ga lahko zapisali kot okrajšan ulomek: ϕ = m/n, kjer sta min n tuji si števili. Iz osnovne zveze (4) bi potem dobili m/n = (m + n)/n,kjer pa je ulomek (m + n)/n spet okrajšan, kar se hiro vidi. Potemtakembi dobili m = m + n in m = n, kar bi dalo m = 2m. To pa je v naravnihštevilih nemogoče. To se pravi, da ϕ ni racionalno število.

Obravnavali bomo posplošitev znanega zlatega razmerja ali zlatega števila.Naj bo n naravno število, števili a in b pa pozitivni realni, pri čemer je a > b.Sorazmerje (1) posplošimo:

na+ b

a=a

b. (6)

14

Slika 11: Pentagon in pentagram.

Prepišimo ga v oblikoa

b= n+

1a

b

. (7)

Po vpeljavi n-tega kovinskega razmerja, n-tega kovinskega števila ali n-tekovinske sredine σ(n) = a/b, dobimo relacijo

σ(n) = n+1

σ(n). (8)

Predelamo jo v enakovredno obliko

σ2(n) = nσ(n) + 1. (9)

Torej je n-to kovinsko razmerje σ(n) pozitivna rešitev enačbe

λ2 − nλ− 1 = 0. (10)

Rešitvi sta

λ1 = λ1(n) =n+

√n2 + 4

2, λ2 = λ2(n) =

n−√n2 + 4

2.

Večji koren kvadratne enačbe bomo vselej označevali z indeksom 1, manjšegapa z indeksom 2. Manjši je vedno negativen.

15

Slika 12: Vera Martha Winitzky de Spinadel (1929 – ) – argentinska mate-matičarka.

Kovinska razmerja je konec 20. stoletja uvedla in popularizirala argentin-ska matematičarka Vera Spinadel. Več o tem je na primer v [4] in [5], patudi v drugih njenih številnih člankih in knjigah.

Enačba (8) med drugim tudi pove, da ima za vsak naraven n preslikavaγn : (0,∞) → (0,∞), dana s predpisom

γn(x) = n+1

x,

negibno točko ξn = σ(n), ki je abscisa presečišča krivulje y = γn(x) in premicey = x (slika 13).

Število ξn = σ(n) je rešitev enačbe x = γn(x) in je limita zaporedja

x(n)0 , γn(x

(n)0 ), γ⟨2⟩n (x

(n)0 ), γ⟨3⟩n (x

(n)0 ), . . . ,

kjer je x(n)0 > 0 poljubno izbrano število.Našli smo že, da je

σ(n) =n+

√D(n)

2,

kjer je D(n) = n2 + 4 diskriminanta karakteristične enačbe (10). Zaporedjediskriminant je naraščajoče. Zanjo očitno velja relacija

n2 < D(n) < (n+ 1)2,

16

Slika 13: Preslikave γn.

iz katere sledin < σ(n) < n+ 1.

Zato je σ(n) neke vrsta sredine, ker leži med n in n + 1, pravimo ji zatokovinska sredina. Ker je

limn→∞

(σ(n)− n) = limn→∞

(n+

√D(n)

2− n

)= 0,

se z rastočim n kovinske sredine približujejo spodnji meji n. Iz zveze (8)dobimo celi in ulomljeni del števila σ(n):

⌊σ(n)⌋ = n, σ(n) =1

σ(n).

Celi del realnega števila u, to je ⌊u⌋, je največje celo število, ki ne presegau. Ulomljeni del števila u pogosto označujejo z u, kar je po definicijiu = u− ⌊u⌋. Vedno velja u = ⌊u⌋+ u, 0 ≤ u < 1, u ≤ ⌊u⌋ < u+ 1.

Primeri. ⌊3⌋ = 3, ⌊3.14⌋ = 3, ⌊−4⌋ = −4, ⌊−3.14⌋ = −4.

3 = 0, 3.14 = 0.14, −4 = 0, −3.14 = 0.86.

Števila σ(n) so iracionalna. Zakaj? Za noben naraven n ni diskriminantaD(n) = n2+4 kvadrat drugega naravnega števila m. V nasprotnem primeru

17

bi imeli n2+4 = m2. Obstajal bi pitagorejski trikotnik s katetama n in 2 terhipotenuzo m. Takega pa ni, saj ima najmanjši pitagorejski trikotnik kateti3 in 4 ter hipotenuzo 5.

Slika 14: Pitagora s Samosa (570–495 pne.) – starogrški matematik in filozof.

Pitagora s Samosa, Πυθαγόρας ὁ Σάμιος, je vsem dobro znan po Pitagorovemizreku, ki pove, da je v pravokotnem trikotniku kvadrat hipotenuze c enakvsoti kvadratov katet a in b: c2 = a2 + b2. Pitagorejski pa je tak pravokotentrikotnik, ki ima stranice izražene z naravnimi števili.

Za n-to kovinsko število najdemo verižni ulomek takole:

σ(n) = n+1

σ(n)= n+

1

n+1

σ(n)

= n+1

n+1

n+1

n+1. . .

.

Krajše ga zapišemo kotσ(n) = [n;n], (11)

kjer n pred podpičjem pomeni celi del števila σ(n). Vsa kovinska številaimajo v razvoju v verižni ulomek periodo dolžine 1.

Ker na velikih tekmovanjih v določeni disciplini prvouvrščeni (1.) prejmezlato medaljo, drugouvrščeni (2.) srebrno medaljo, tretjeuvrščeni (3.) pa

18

bronasto, je res smiselno imenovati ϕ = σ(1) zlato število, ψ = σ(2) srebrnoštevilo in χ = σ(3) bronasto število. Potemtakem n-to kovinsko razmerjeustreza uvrščenemu na n-to mesto, ker ima razvoj v verižni ulomek v obliki(11) povsod samo število n.

Nekaj kovinskih razmerij in njihovih približkov kaže tabela 1.

n D(n) σ(n) približek tudi ime

1 5 1+√5

21,618033989 ϕ, τ zlato razmerje

2 8 1 +√2 2,414213562 ψ srebrno razmerje

3 13 3+√13

23,302775638 χ bronasto razmerje

4 20 2 +√5 4,236067977

5 29 5+√29

25,192582404

6 40 3 +√10 6,162277660

Tabela 1: Nekaj kovinskih razmerij

Iz relacije (9) dobimo ekvivalentno relacijo

σ(n) =√1 + nσ(n). (12)

Če jo uporabljamo korak za korakom, dobimo še razvoj z vgnezdenimi koreni

σ(n) =√1 + nσ(n) =

√1 + n

√1 + nσ(n) =

√1 + n

√1 + n

√1 + n

√1 + . . ..

Relacija (12) med drugim tudi pove, da ima za vsak naraven n preslikavaϑn : (0,∞) → (0,∞), dana s predpisom

ϑn(x) =√1 + nx,

negibno točko ξn = σ(n), ki je abscisa presečišča krivulje y = ϑn(x) inpremice y = x (slika 15).

Število ξn = σ(n) je rešitev enačbe x = ϑn(x) in je limita zaporedja

x(n)0 , ϑn(x

(n)0 ), ϑ⟨2⟩

n (x(n)0 ), ϑ⟨3⟩

n (x(n)0 ), . . . ,

19

Slika 15: Preslikave ϑn.

kjer je x(n)0 > 0 poljubno izbrano število.Pri danem naravnem številu n je množica

Qn = α + βσ(n);α ∈ Q, β ∈ Q

komutativen obseg, ki vsebuje obseg racionalnih števil Q. V Qn seštevamoin množimo po pravilih

(α + βσ(n)) + (α′ + β′σ(n)) = (α + α′) + (β + β′)σ(n),

(α + βσ(n)) · (α′ + β′σ(n)) = (αα′ + ββ′) + (nββ′ + αβ′ + α′β)σ(n),

ničla v Qn je 0 + 0 · σ(n) = 0, enota 1 + 0 · σ(n) = 1, obratno vrednost padobimo za α = 0 in β = 0 po pravilu

1

α + βσ(n)=

α + nβ

α2 + nαβ − β2− β

α2 + nαβ − β2σ(n).

Imenovalec α2+nαβ−β2 tedaj ne more biti enak 0, saj bi v nasprotnemprimeru imeli α/β = (−n ±

√D(n))/2, kar je nemogoče, ker je

√D(n)

iracionalno število, α/β pa racionalno.Na podoben način preverimo, da v Qn velja:

α + βσ(n) = α′ + β′σ(n) ⇐⇒ α = α′ in β = β′.

20

3 Fibonaccijevi in Lucasovi polinomiFibonaccijevi polinomi Fm(x), kjer je indeks m nenegativno celo število, soza realna števila x definirani z rekurzijo

Fm+2(x) = xFm+1(x) + Fm(x) (m = 0, 1, 2, . . .) (13)

pri začetnih pogojih F0(x) = 0, F1(x) = 1. Iz (13) postopoma zapišemo

F0(x) = 0,

F1(x) = 1,

F2(x) = x,

F3(x) = x2 + 1,

F4(x) = x3 + 2x,

F5(x) = x4 + 3x2 + 1,

F6(x) = x5 + 4x3 + 3x,

F7(x) = x6 + 5x4 + 6x2 + 1,

F8(x) = x7 + 6x5 + 10x3 + 4x,

F9(x) = x8 + 7x6 + 15x4 + 10x2 + 1,

F10(x) = x9 + 8x7 + 21x5 + 20x3 + 5x.

Polinomi Fm(x) imajo za m ≥ 1 stopnjo m− 1. Za sode m so Fm(x) lihe, zalihe m pa sode funkcije.

Lucasovi polinomi Lm(x), kjer je indeks m nenegativno celo število, so zarealna števila x definirani s prav tako rekurzijo kot Fibonaccijevi, to se pravi

Lm+2(x) = xLm+1(x) + Lm(x) (m = 0, 1, 2, . . .), (14)

toda pri začetnih pogojih L0(x) = 2, L1(x) = x. Za x = 1 očitno dobimoobičajna Fibonaccijeva in Lucasova števila:

Fm = Fm(1), Lm = Lm(1).

21

Slika 16: Leonardo iz Pise, Fibonacci (1170–1250) – italijanski matematik.

Zapišimo še nekaj Lucasovih polinomov:

L0(x) = 2,

L1(x) = x,

L2(x) = x2 + 2,

L3(x) = x3 + 3x,

L4(x) = x4 + 4x2 + 2,

L5(x) = x5 + 5x3 + 5x,

L6(x) = x6 + 6x4 + 9x2 + 2,

L7(x) = x7 + 7x5 + 14x3 + 7x,

L8(x) = x8 + 8x6 + 20x4 + 16x2 + 2,

L9(x) = x9 + 9x7 + 27x5 + 30x3 + 9x.

L10(x) = x10 + 10x8 + 35x6 + 50x4 + 25x2 + 2.

Polinomi Lm(x) imajo za m ≥ 0 stopnjo m. Za sode m so Lm(x) sode, zalihe m pa lihe funkcije.

Videli bomo, da so Fibonaccijevi in Lucasovi polinomi zelo pripravniza obravnavo kovinskih števil. Da bi našli zanje eksplicitne izraze, obrav-

22

Slika 17: François Édouard Anatole Lucas (1842–1891) – francoski mate-matik.

navamo (13) in (14) kot homogeno linearno diferenčno enačbo drugega redas parametrom x:

um+2 − xum+1 − um = 0, (m = 0, 1, 2, . . .). (15)

Slika 18: François Viète (1540–1603) – francoski matematik in pravnik.

23

Netrivialno rešitev poiščemo z nastavkom

um = λm,

s katerim dobimoλm+2 − xλm+1 − λm = 0

in po krajšanju tako imenovano karakteristično enačbo diferenčne enačbe(15)

λ2 − xλ− 1 = 0. (16)

Karakteristična enačba ima različna karakteristična korena

λ1 = λ1(x) =x+

√x2 + 4

2, λ2 = λ2(x) =

x−√x2 + 4

2.

Po Viètovih pravilih velja za vsak realen x

λ1 + λ2 = λ1(x) + λ2(x) = x, λ1λ2 = λ1(x)λ2(x) = −1. (17)

Funkcija x 7→ λ1(x) je pozitivna, funkcija x 7→ λ2(x) pa negativna. Njunagrafa sta na sliki 19.

Slika 19: Grafa karakterističnih korenov.

Splošna rešitev enačbe (15) je

um = C1λm1 + C2λ

m2 ,

24

kjer sta C1 in C2 od m neodvisni funkciji parametra x. Za Fibonaccijevepolinome dobimo iz začetnih pogojev sistem enačb za C1 in C2:

C1 + C2 = 0, C1λ1 + C2λ2 = 1.

Njegova rešitev je

C1 =1

λ1 − λ2=

1√x2 + 4

= −C2.

Nazadnje dobimo:

Fm(x) =λm1 − λm2λ1 − λ2

=1

2m√x2 + 4

((x+√x2 + 4)m − (x−

√x2 + 4)m). (18)

Za Lucasove polinome dobimo sistem enačb za C1 in C2:

C1 + C2 = 2, C1λ1 + C2λ2 = x.

Njegovo rešitev dobimo z uporabo prvega Viètovega pravila v (17):

C1 = C2 = 1.

Nazadnje dobimo:

Lm(x) = λm1 + λm2 =1

2m((x+

√x2 + 4)m + (x−

√x2 + 4)m). (19)

Formuli (18) in (19) imenujemo Binetovi formuli Fibonaccijevih oziroma Lu-casovih polinomov.

Z binomsko formulo najdemo še obliki

Fm(x) =1

2m−1

∑j≥0

(m

2j + 1

)(x2 + 4)jxm−2j−1,

Lm(x) =1

2m−1

∑j≥0

(m

2j

)(x2 + 4)jxm−2j,

iz katerih se vidi, da res gre za polinome. Rodovni funkciji zaporedja Fi-bonaccijevih in Lucasovih polinomov sta potenčni vrsti

F(x, t) =∞∑

m=0

Fm(x)tm

25

Slika 20: Jacques Philippe Marie Binet (1786–1856) – francoski matematik.

inL(x, t) =

∞∑m=0

Lm(x)tm.

Izraza zanju dobimo iz (18) in (19) ter formule za vsoto geometrijske vrste.

F(x, t) =1

λ1 − λ2

∞∑m=0

(λm1 − λm2 )tm =

1

λ1 − λ2

(1

1− λ1t− 1

1− λ2t

)=

=t

1− xt− t2.

Prav tako dobimo

L(x, t) =∞∑

m=0

(λm1 + λm2 )tm =

1

1− λ1t+

1

1− λ2t=

=2− xt

1− xt− t2.

Pri danem x konvergirata vrsti za |t| < 1/λ1 =√x2 + 4− x. Našli smo:

F(x, t) =t

1− xt− t2, L(x, t) = 2− xt

1− xt− t2.

26

Rodovne funkcije so zveza med diskretno in zvezno matematiko. Navedimole en primer uporabe. Iz razvoja

F(0, t) =t

1− t2=

∞∑m=0

t2m+1 =∞∑

m=0

Fm(0)tm

lahko preberemo: Fm(0) = 1 za lihe indekse m in Fm(0) = 0 za sode.Prav tako lahko iz zapisa

L(0, t) = 2

1− t2= 2

∞∑m=0

t2m =∞∑

m=0

Lm(0)tm,

sklepamo: Lm(0) = 0 za lihe indekse m in Lm(0) = 2 za sode.Odvajajmo:

∂L∂x

(x, t) =t(t2 + 1)

(1− xt− t2)2=

∞∑m=1

L′m(x)t

m,

∂F∂t

(x, t) =t2 + 1

(1− xt− t2)2=

∞∑m=1

mFm(x)tm−1 =

1

t

∞∑m=1

mFm(x)tm.

Iz obeh razvojev spoznamo, da velja

L′m(x) = mFm(x)

za vsak indeks m.Do istega rezultata pridemo tudi brez rodovnih funkcij. Najprej izraču-

najmo

λ′1(x) =1

2(x+

√x2 + 4)′ =

1

2

(1 +

x√x2 + 4

)=

λ1(x)√x2 + 4

inλ′2(x) =

1

2(x−

√x2 + 4)′ =

1

2

(1− x√

x2 + 4

)= − λ2(x)√

x2 + 4.

Nato pa

L′m(x) = (λm1 (x) + λm2 (x))

′ = m(λm−11 (x)λ′1(x) + λm−1

2 (x)λ′2(x)) =

27

=m√x2 + 4

(λm1 (x)− λm2 (x)) = mFm(x).

Podobno dobimo tudi enakost

(x2 + 4)F ′m(x) = mLm(x)− xFm(x).

Če jo še enkrat odvajamo na obeh straneh in preuredimo, dobimo:

(x2 + 4)F ′′m(x) + 3xF ′

m(x)− (m2 − 1)Fm(x) = 0.

Polinom Fm(x) je torej rešitev homogene linearne diferencialne enačbe

(x2 + 4)y′′ + 3xy′ − (m2 − 1)y = 0

pri začetnih pogojih y(0) = (1− (−1)m)/2 in y′(0) = m(1 + (−1)m)/2.Zaporedji Fibonaccijevih in Lucasovih polinomov lahko razširimo tudi na

negativne indekse m, če za m > 0 vzamemo

F−m(x) = (−1)m+1Fm(x), L−m(x) = (−1)mLm(x).

Rekurziji (13) in (14) potem veljata za vse cele indekse m. Usklajeno je patudi z izrazi v (18) in (19), saj je za m < 0

F−m(x) =1

λ1 − λ2

((−λ−1

2 )−m − (−λ−11 )−m

)=

=1

λ1 − λ2(−1)m(λm2 − λm1 ) = (−1)m+1Fm(x)

in podobno

L−m(x) = (−λ−12 )−m + (−λ−1

1 )−m = (−1)m(λm2 + λm1 ) = (−1)mLm(x).

Dvostranski zaporedji Fm(x)m∈Z in Lm(x)m∈Z za nekaj indeksov blizum = 0 potekata takole:

m : . . . −3 −2 −1 0 1 2 3 . . .

Fm(x) : . . . x2 + 1 −x 1 0 1 x x2 + 1 . . .

Lm(x) : . . . −x3 − 3x x2 + 2 −x 2 x x2 + 2 x3 + 3x . . .

28

Izmed številnih relacij, ki veljajo za Fibonaccijeve in Lucasove polinome,izpeljimo le še nekatere. Ena od njih je

(x2 + 4)F 2m(x) = L2

m(x) + 4(−1)m+1. (20)

Dobimo jo iz izrazov (18) in (19):

(x2 + 4)F 2m(x) = (λm1 − λm2 )

2 = λ2m1 + λ2m2 − 2(λ1λ2)m =

= λ2m1 + λ2m2 + 2(−1)m + 4(−1)m+1 = (λm1 + λm2 )2 + 4(−1)m+1.

Prav tako veljata enakosti

λm1,2(x) = Fm(x)λ1,2(x) + Fm−1(x). (21)

Preverimo jo za prvi indeks:

Fm(x)λ1(x) + Fm−1(x) =1

λ1 − λ2

((λm1 − λm2 )λ1 + λm−1

1 − λm−12

)=

=1

λ1 − λ2

(λm+11 + λm−1

2 + λm−11 − λm−1

2

)=

1

λ1 − λ2(λm+1

1 − λm1 λ2) =

=1

λ1 − λ2λm1 (λ1 − λ2) = λm1 .

S seštevanjem obeh enačb v (21) dobimo:

λm1 + λm2 = Fm(x)λ1 + Fm−1(x) + Fm(x)λ2 + Fm−1(x) =

= Fm(x)(λ1 + λ2) + Fm−1(x) + Fm−1(x) = xFm(x) + Fm−1(x) + Fm−1(x) =

= Fm−1(x) + Fm+1(x).

Velja torej enakost

Lm(x) = Fm−1(x) + Fm+1(x). (22)

S to formulo pokažemo, da je polinom Lm(x) rešitev homogene linearne difer-encialne enačbe

(x2 + 4)y′′ + xy′ −m2y = 0 (23)

29

Slika 21: Blaise Pascal (1623–1662) – francoski matematik, fizik in filozof.

pri začetnih pogojih y(0) = 1+(−1)m in y′(0) = m(1− (−1)m)/2. K diferen-cialnima enačbama Fibonaccijevih in Lucasovih polinomov se bomo še vrnili.

Če je indeks Lucasovega polinoma liho število, recimo 2m+1, je y(0) = 0

in y′(0) = 2m + 1. Rešitev diferencialne enačbe (??) je polinom stopnje2m+ 1. Lahko ga poiščemo kar z neskončno vrsto

y =∞∑k=0

ak(m)xk,

za katero se bo izkazalo, da je končna. Očitno je a0(m) = 0 in a1(m) =

2m+1. Odvajajmo, vstavimo in primerjajmo koeficiente pri enakih potencah.Za k > 0 dobimo rekurzijo:

ak+2(m) =(2m+ 1)2 − k2

4(k + 1)(k + 2)ak(m).

Iz nje vidimo, da je a2k = 0 za vse k in a2k+1 = 0 za vse k > m ter

a3(m) =(2m+ 1)m(m+ 1)

3 · 2!, a5(m) =

(2m+ 1)(m− 1)m(m+ 1)(m+ 2)

5 · 4!.

Iz teh dveh koeficientov uganemo splošno obliko

a2k+1(m) =2m+ 1

2k + 1

(m+ k

2k

).

30

Lucasov polinom ima zato obliko

L2m+1(x) =m∑k=0

2m+ 1

2k + 1

(m+ k

2k

)x2k+1.

Prav tako najdemo za sode indekse razvoj

L2m(x) = 2 +m∑k=1

m

k

(m+ k − 1

2k − 1

)x2k.

S spremembo smeri seštevanja in z upoštevanjem simetričnosti binomskihkoeficientov lahko zapišemo z enotnim izrazom:

Lm(x) =

⌊m−12

⌋∑k=0

m

m− 2k

(m− k − 1

k

)xm−2k + 1 + (−1)m.

Iz enakosti Fm(x) = L′m(x)/m za m > 0 dobimo še izraz

Fm(x) =

⌊m−12

⌋∑k=0

(m− k − 1

k

)xm−2k−1.

Iz teh izrazov vidimo, da se Fibonaccijeva števila da izraziti z vsoto binomskihkoeficientov:

Fm =

⌊m−12

⌋∑k=0

(m− k − 1

k

).

To pomeni, da so Fibonaccijeva števila vsote števil po premicah s tretjinskimnaklonom v Pascalovem trikotniku (slika 22).

Če Pascalov trikotnik popravimo tako, da zapišemo vanj člene v razvojubinoma (x + 1)m, lahko s seštevanjem po premicah v istih smereh kot prejdobimo Fibonaccijeve polinome (slika 23).

4 Hiperbolični sinus in kosinusZa vsak realen x definiramo hiperbolični sinus sh in hiperbolični kosinus chz izrazoma

shx =ex − e−x

2, chx =

ex + e−x

2.

31

Slika 22: Fibonaccijeva števila in Pascalov trikotnik.

Slika 23: Fibonaccijevi polinomi in Pascalov trikotnik.

Osnovna zveza med tema dvema funkcijama je

ch2 x− sh2 x = 1.

32

Veljata tudi formuli

shx+ ch x = ex, shx− chx = −e−x.

Funkcija sh je liha in povratno enolična, funkcija ch pa je soda in je povratnoenolična njena zožitev na poltrak [0,∞). Funkcija sh zavzame vse realnevrednosti, funkcija ch pa samo tiste na poltraku [1,∞) (slika 25). Obratnafunkcija funkcije sh je funkcija arsh (area hiperbolični sinus), ki se izraža zlogaritmom:

arsh x = ln(x+√x2 + 1).

Slika 24: Leonhard Euler (1707–1783) – švicarski matematik, fizik in as-tronom.

Hiperbolične funkcije je po svoje srečal že vsestranski in veliki matematikLeonhard Euler, vendar jih ni formalno vpeljal. To sta neodviosno eden oddrugega naredila Johann Heinrich Lambert in Vincenzo Riccati. Lambert jeprvi dokazal, da je število π, to je razmerje med obsegom in premerom kroga,iracionalno število. Riccati se je veliko ukvarjal z diferencialnimi enačbamiin odkril, da se z enačbo

y′ = a(x)y2 + b(x)y + c(x)

33

do takrat še ni spopadel nihče. Danes taki enačbi pravimo Riccatijeva dife-rencialna enačba.

Kotne funkcije so povezane s krožnico x2 + y2 = 1, hiperbolične pa shiperbolo x2 − y2 = 1. Formule, ki veljajo za hiperbolične funkcije, so zelopodobne formulam za kotne funkcije. Ena od glavnih razlik med obemadružinama funkcij je, da hiperbolične funkcije nimajo realne periode, krožnepa jo imajo.

Slika 25: Grafa funkcij sh in ch.

S hiperboličnima funkcijama lahko izrazimo korena karakteristične enačbe(16). Realno število x v njih lahko na en sam način zapišemo kot x = 2 sh toziroma t = arsh(x/2), kjer je t realno število, in nato

λ1 = sh t+ ch t = et, λ2 = sh t− ch t = −e−t.

S tem lahko izrazimo Lucasove polinome:

Lm(x) = λm1 + λm2 = emt + (−1)me−mt.

Posebej jeL2k(x) = 2 ch(2kt) = 2 ch(2k arsh(x/2)),

L2k+1(x) = 2 sh((2k + 1)t) = 2 sh((2k + 1) arsh(x/2)).

34

Za sode indekse m je torej

Lm(x) = 2 ch(m arsh(x/2)),

za lihe m paLm(x) = 2 sh(m arsh(x/2)),

Zanimiv je kompozitum Lucasovih polinomov. Če je m liho število, n panenegativno celo število, velja

(Ln Lm)(x) = Ln(Lm(x)) = Lmn(x).

Vlogi števil m in n ne moremo v tej formuli zamenjati.

Slika 26: Johann Heinrich Lambert (1728–1777) – švicarski matematik, fizikin astronom.

Vzemimo, da je n sodo in m liho število. Produkt mn je tedaj sodoštevilo. Potem je

Ln(Lm(x)) = 2 ch(n arsh(Lm(x)/2)) = 2 ch(n arsh(sh(m arsh(x/2)))) =

= 2 ch(nm arsh(x/2)) = Lmn(x).

Vzemimo, da sta n in m lihi števili. Lih je tedaj tudi produkt mn. Dobimo

Ln(Lm(x)) = 2 sh(n arsh(Lm(x)/2)) = 2 sh(n arsh(sh(m arsh(x/2)))) =

35

= 2 sh(nm arsh(x/2)) = Lmn(x).

Za liha m in n velja:

Ln(Lm(x)) = Lm(Ln(x)) = Lmn(x).

Korena λ1 in λ2 enačbe (16) imata še eno lastnost. Če ju potenciramo z lihimeksponentom m in seštejemo, dobimo

λm1 + λm2 = Lm(x), λm1 λ

m2 = −1.

to pomeni, da sta µ1 = λm1 in µ2 = λm2 rešitvi enačbe

µ2 − Lm(x)µ− 1 = 0.

Če je n tudi liho število, potem sta ν1 = µn1 = λmn

1 in ν2 = µn2 = λmn

2 rešitvienačbe

ν2 − Lmn(x)ν − 1 = 0

oziromaν2 − Ln(Lm(x))ν − 1 = 0.

Ugotovitev lahko posplošimo na več lihih števil. Če so m1,m2, . . . ,mr lihaštevila in λ1 pozitiven koren kvadratne enačbe

λ2 − L1(x)λ− 1 = 0,

potem jeµ1 = λm1m2···mr

1

pozitiven koren kvadratne enačbe

µ2 − Lm1m2···mr(x)µ− 1 = 0.

Pri tem lahko zapišemo

Lm1m2···mr(x) = (Lm1 Lm1 . . . Lmr)(x).

36

Slika 27: Vincenzo Riccati (1707–1775) – italijanski matematik in fizik.

5 Diferencialni enačbiVideli smo, da Lucasovi polinomi Lm(x) zadoščajo homogeni linearni difer-encialni enačbi

(x2 + 4)y′′ + xy′ −m2y = 0. (24)Pozabimo, kako smo jo dobili. Obravnavajmo jo kot diferencialno enačbodrugega reda in jo rešimo. Število m je naravna konstanta. Poiskati moramodve linearno neodvisni rešitvi y1 in y2 ter nato z njima sestaviti splošno rešitevy = C1y1 + C2y2.

Enačba (24) nima konstantnih koeficientov. Toda z zamenjavo neodvisnespremenljivke x z novo t po formuli x = 2 sh t jo poenostavimo v enačbo skonstantnimi koeficienti. Najprej je x2 + 4 = 4 sh2 t + 4 = 4 ch2 t, potem papripravimo še odvoda

y′ =dy

dx=dy

dt· dtdx

= y · 1

2 ch t , y′′ =

dy′

dx= y · 1

4 ch2 t− y · sh t

4 ch3 t.

Pika označuje odvod po spremenljivki t. Enačba (24) se poenostavi v

y −m2y = 0.

Njena splošna rešitev je

y = C1 ch(mt) + C2 sh(mt),

37

splošna rešitev enačbe (24) pa

y = C1 ch(m arsh(x/2)) + C2 sh(m arsh(x/2)).

Fibonaccijevi polinomi Fm(x) zadoščajo homogeni linearni diferencialni enačbi

(x2 + 4)y′′ + 3xy′ − (m2 − 1)y = 0. (25)

Tudi enačba (25) nima konstantnih koeficientov. Z njo se ni treba posebejmučiti, ker jo lahko povežemo z enačbo (24). Če slednjo odvajamo, dobimo:

(x2 + 4)y′′′ + 2xy′′ + xy′′ + y′ −m2y′ = (x2 + 4)y′′′ + 3xy′′ − (m2 − 1)y′ = 0.

Torej je z = y′ rešitev enačbe

(x2 + 4)z′′ + 3xz′ − (m2 − 1)z = 0.

To pa je ravno enačba (25). Njeno splošno rešitev dobimo, če odvajamosplošno rešitev enačbe (24). Upoštevamo osnovne odvode

(ch x)′ = shx, (shx)′ = ch x, (arshx)′ = 1√x2 + 1

,

verižno pravilo za odvajanje in dobimo, da je

z =1√

x2 + 4(C1 ch(m arsh(x/2)) + C2 sh(m arsh(x/2))).

splošna rešitev enačbe (25). Konstanti C1 in C2 smo mimogrede med sebojzamenjali. Da dobimo za rešitve enačbe (24) y = Lm(x), to je Lucasovepolinome, moramo upoštevati naslednje začetne pogoje: y(0) = 1 + (−1)m)

in y′(0) = m(1 − (−1)m)/2. Da pa dobimo za rešitve enačbe (25) z =

Fm(x), to je Fibonaccijeve polinome, moramo upoštevati tudi začetne pogojez(0) = (1 − (−1)m)/2 in z′(0) = m(1 + (−1)m)/2. Velja pa seveda zvezamFm(x) = L′

m(x).Grafi delnih rešitev

y1,m(x) = ch(n arsh(x/2)), y2,m(x) = sh(m arsh(x/2)),

z1,m(x) =1√

x2 + 4ch(m arsh(x/2)), z2,m(x) =

1√x2 + 4

sh(m arsh(x/2))

niso posebno zanimivi. Tiste z indeksom 1 so sode funkcije in imajo pri 0vrednost 1, tiste z indeksom 2 pa so lihe funkcije (sliki 28 in 29).

38

Slika 28: Delne rešitve prve enačbe.

Slika 29: Delne rešitve druge enačbe.

6 Matrični zapis in nekaj enakostiOglejmo si matriko

M(x) =

0 1

1 x

,39

v kateri je x realno število. Matrika M(x) je obrnljiva z determinanto −1.Njen karakteristični polinom je∣∣∣∣∣∣ −λ 1

1 x− λ

∣∣∣∣∣∣ = λ2 − λx− 1.

Potence matrike M(x) z eksponentom m so oblike

Mm(x) =

0 1

1 x

m

=

am(x) bm(x)

cm(x) dm(x)

,kjer so očitno am(x), bm(x), cm(x), dm(x) polinomi spremenljivke x. Nekajpolinomov imamo takoj:

a0(x) = 1, b0(x) = 0, c0(x) = 0, d0(x) = 1,

a1(x) = 0, b1(x) = 1, c1(x) = 1, d1(x) = x.

Iz enakostiMm+1(x) =Mm(x)M(x)

sledi matrični zapis am+1(x) bm+1(x)

cm+1(x) dm+1(x)

=

am(x) bm(x)

cm(x) dm(x)

0 1

1 x

.S primerjavo matričnih elementov dobimo sistem rekurzij:

am+1(x) = bm(x), bm+1(x) = am(x) + xbm(x),

cm+1(x) = dm(x), dm+1(x) = cm(x) + xdm(x).

Iz druge dobimobm+2(x) = xbm+1(x) + bm(x),

iz zadnje padm+2(x) = xdm+1(x) + dm(x).

40

Rešitve so očitno:

am = Fm−1(x), bm(x) = Fm(x), cm(x) = Fm(x), dm(x) = Fm+1(x).

S tem smo našli: 0 1

1 x

m

=

Fm−1(x) Fm(x)

Fm(x) Fm+1(x)

.S primerjavo determinant obeh strani dobimo Cassinijevo enakost:

Fm−1(x)Fm+1(x)− F 2m(x) = (−1)m.

Velja za vsa cela števila m.

Slika 30: Giovanni Domenico Cassini, Jean-Dominique Cassini (1625–1712)– italijansko-francoski matematik in astronom.

Cassinijevo enakost lahko dokažemo tudi brez matrik, zgolj z Binetovoformulo in Viètovima praviloma. Prav tako Catalanovo enakost

Fm−r(x)Fm+r(x)− F 2m(x) = (−1)m+1−rFr(x),

ki je poslošitev Cassinijeve, velja pa za vsa cela števila m in r.

41

Slika 31: Eugène Charles Catalan (1814–1894) – belgijsko-francoski mate-matik.

Slika 32: Philbert Maurice d’Ocagne (1862–1938) – francoski matematik.

Tudi d’Ocagnejeva enakost,

Fm(x)Fr+1(x)− Fm+1(x)Fr(x) = (−1)mFm−r(x),

ki jo dokažemo podobno kot Catalanovo, je posplošitev Cassinijeve.Iz matrične enakosti Mp(x)M q(x) = Mp+q(x), kjer sta p in q celi števili,

42

dobimo Fp−1(x) Fp(x)

Fp(x) Fp+1(x)

Fq−1(x) Fq(x)

Fq(x) Fq+1(x)

=

Fp+q−1(x) Fp+q(x)

Fp+q(x) Fp+q+1(x)

.S primerjavo matričnih elementov pridemo do enakosti

Fp+q(x) = Fp−1(x)Fq(x) + Fp(x)Fq+1(x).

Za p = q = m dobimo zvezo

F2m(x) = Fm(x)Lm(x),

za p = m+ 1 in q = m pa

F2m+1(x) = F 2m(x) + F 2

m+1(x).

V posebnih primerih dobimo za x = 1 enakosti s Fibonaccijevimi in Lucaso-vimi števili:

F2m = FmLm, F2m+1 = F 2m + F 2

m+1.

Vsota kvadratov dveh zaporednih Fibonaccijevih polinomov je Fibonaccijevpolinom. Vsota kvadratov dveh zaporednih Fibonaccijevih števil je Fibonac-cijevo število. Če je m pozitivno sodo število, je polinom Fm(x) deljiv spolinomom Fm/2(x). Kvocient je Lucasov polinom. Če je m pozitivno sodoštevilo, je število Fm deljivo s številom Fm/2. Kvocient je Lucasovo število.

7 Potence kovinskih razmerijKovinsko razmerje σ(n) je torej pozitivna ničla enačbe λ2 − nλ − 1 = 0.Lahko ga zapišemo kot

σ(n) = λ1(n),

kjer je λ1(x) pozitivni koren enačbe (16). To pomeni, da kovinska razmerjalahko povežemo s Fibonaccijevimi in Lucasovimi polinomi.

Zanimive so potence σm(n), kjer je m celo in n naravno število. Vse takepotence so v obsegu Qn.

43

Iz relacije (21) dobimo enoličen zapis

σm(n) = Fm−1(n) + Fm(n)σ(n). (26)

V posebnih primerih velja

σ0(n) = 1, σ1(n) = σ(n), σ2(n) = 1 + nσ(n), σ−1(n) = −n+ σ(n).

S tem lahko potence števila σ(n) razširimo na vse cele eksponente m. Zam > 0 je σ−m(n) = (σ−1(n))m.

Iz osnovne relacije σ2(n) = nσ(n)+1 dobimo rekurzivno zvezo za potence:

σm+2(n) = nσm+1(n) + σm(n). (27)

n \m … –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 …

1 … 5 –3 2 –1 1 0 1 1 2 3 5 …2 … 29 –12 5 –2 1 0 1 2 5 12 29 …3 … 109 –33 10 –3 1 0 1 3 10 33 109 …4 … 305 –72 17 –4 1 0 1 4 17 72 305 …5 … 701 –135 26 –5 1 0 1 5 26 135 701 …6 … 1405 –228 37 –6 1 0 1 6 37 228 1405 …

Tabela 2: Nekaj števil Fm(n).

Za n = 1 je D(1) = 5, λ1 = (1 +√5)/2 in λ2 = (1 −

√5)/2. V tem

primeru jeFm(1) =

1

2m√5

((1 +

√5)m − (1−

√5)m),

kar pa ni nič drugega kot m-to Fibonaccijevo število Fm. Zato je smiselnoFm(n) imenovati m-to Fibonaccijevo število reda n. Rekurzija zanje jeFm+2(n) = nFm+1(n)+Fm(n) z začetnima vrednostma F0(n) = 0, F1(n) = 1.

Za n = 2 je D(2) = 8, λ1 = 1 +√2 in λ2 = 1−

√2. V tem primeru je

Fm(2) =1

2√2

((1 +

√2)m

−(1−

√2)m)

,

44

kar pa ni nič drugega kot m-to Pellovo število Pm. Zato je smiselno reči,da je Pellovo število Pm = Fm(2) ravno m-to Fibonaccijevo število reda2. Rekurzija zanje je tedaj Pm+2 = 2Pm+1 + Pm z začetnima vrednostmaP0 = 0, P1 = 1.

Za n = 3 je D(3) = 13, λ1 = (3 +√13)/2 in λ2 = (3 −

√13)/2. V tem

primeru je

Fm(3) =1

2m√13

((3 +

√13)m

−(3−

√13)m)

,

kar pa ni nič drugega kot m-to Anonymusovo število Hm. Zato je smiselnoreči, da je Anonymusovo število Hm = Fm(3) ravno m-to Fibonaccijevoštevilo reda 3. Rekurzija zanje je tedaj Hm+2 = 3Hm+1 + Hm z začetnimavrednostma H0 = 0, H1 = 1.

Prav tako je smiselno Lm(n) imenovati m-to Lucasovo število reda n.Rekurzija zanje je Lm+2(n) = nLm+1(n) + Lm(n) z začetnima vrednostmaL0(n) = 2, L1(n) = n.

Za n = 1 imamo Lucasova števila reda 1, kar so običajna Lucasova števila

Lm(1) =1

2m

((1 +

√5)m + (1−

√5)m).

Lucasova števila reda 2 so

Lm(2) =((

1 +√2)m

+(1−

√2)m)

.

Lucasova števila reda 3 so

Lm(3) =1

2m

((3 +

√13)m

+(3−

√13)m)

.

V tabeli 1 opazimo, da imata kovinski števili σ1 in σ4 skupno število√D(1) =

√5. Zato lahko σ(4) linearno, z racionalnima koeficientoma, izra-

zimo s σ(1):σ(4) = 1 + 2σ(1) = ϕ3.

Zato se lahko vprašamo, kdaj je potenca kovinskega števila σm(n) kovinskoštevilo σ(M) za neki M ≥ n. Na primeru smo videli, da za n = 1 in m = 3

45

lahko izberemo M = 4. Poglejmo diskriminanti D(1) = 5, D(4) = 20 =

4 · 5 = 4D(1). Razločujeta se za kvadratni faktor, kar pomeni, da σ(1) inσ(4) pripadata istemu obsegu Q1. Samo tedaj je možno σ(4) izraziti linearno,z racionalnima koeficientoma, s ϕ = σ(1) in v posebnem primeru s potencoσ(1):

σ(4) = (4 +√20)/2 = 2 +

√5 = 2 + (2ϕ− 1) = 1 + 2ϕ = ϕ3.

Seveda je trivialen primer n = M = 1. V primeru, ko D(M)/D(n) > 1

ni kvadratno število, to ni mogoče. Za n = 1 in M = 11 je D(11)/D(1) =

125/5 = 25 kvadratno število in

σ(11) = (11+√125)/2 = (11+ 5

√5)/2 = (11+ 5(2ϕ− 1))/2 = 3+ 5ϕ = ϕ5.

Splošen odgovor se nam ponuja na podlagi enakosti (20), ki se za liheindekse in naravne x = n glasi:

(n2 + 4)F 22m+1(n) = L2

2m+1(n) + 4.

Za M = L2m+1(n) je

σ(M) = (M +√M2 + 4)/2 = (M + F2m+1(n)

√n2 + 4)/2 =

= (M + F2m+1(n)(2σ(n)− n))/2 = (M − nF2m+1(n))/2 + F2m+1(n)σ(n).

Izraz M − nF2m+1(n) = L2m+1(n)− nF2m+1(n) pa lahko z enakostjo (22) šepoenostavimo:

M − nF2m+1(n) = F2m + F2m+2 − nF2m+1(n) = 2F2m(n).

Nazadnje imamo enakost

σ(L2m+1(n)) = F2m(n) + F2m+1(n)σ(n) = σ2m+1(n).

Liha potenca kovinskega števila je kovinsko število.Do tega rezultata pridemo še hitreje, če upoštevamo, da je µ1 = λ2m+1

1 (n) =

σ2m+1(n) pozitivna rešitev enačbe

µ2 − L2n+1(n)λ− 1 = 0,

46

če je le λ1(n) = σ(n) pozitivna rešitev enačbe

λ2 − nλ− 1 = 0.

Tedaj je namrečσ(L2n+1(n)) = σ2m+1(n).

Naraven koeficient M v katerikoli kvadratni enačbi

ξ2 −Mξ − 1 = 0

pove, da je njena pozitivna rešitev M -to kovinsko število. Sode potencekovinskih števil ne morejo biti kovinska števila, ker zadoščajo enačbi oblike

ξ2 −Mξ + 1 = 0.

Z verižnimi ulomki bi lahko še zapisali:

[n;n]2m+1 = [L2n+1(n);L2n+1(n)].

m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Fm(1) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89Lm(1) 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199

Fm(2) 0 1 2 5 12 29 70 169 408 985 2378 5741Lm(2) 2 2 6 14 34 82 198 478 1154 2786 6726 16238

Fm(3) 0 1 3 10 33 109 360 1189 3927 12970 42837 141481Lm(3) 2 3 11 36 119 393 1298 4287 14159 46764 154451 510117

Fm(4) 0 1 4 17 72 305 1292 5473 23184 98209 416020 1762289Lm(4) 2 4 18 76 322 1364 5778 24476 103682 439204 1860498 7881196

Tabela 3: Nekaj števil Fm(n) in Lm(n).

Iz tabele 3 lahko na primer preberemo:

σ(4) = 1 + 2ϕ = ϕ3,

47

σ(11) = 3 + 5ϕ = ϕ5,

σ(29) = 8 + 13ϕ = ϕ7,

σ(76) = 21 + 34ϕ = ϕ9,

σ(199) = 55 + 89ϕ = ϕ11,

σ(14) = 2 + 5ψ = ψ3,

σ(82) = 12 + 29ψ = ψ5,

σ(478) = 70 + 169ψ = ψ7,

σ(2786) = 408 + 985ψ = ψ9,

σ(16258) = 2378 + 5741ψ = ψ11,

σ(36) = 3 + 10χ = χ3,

σ(393) = 33 + 109χ = χ5,

σ(4287) = 360 + 1189χ = χ7,

σ(46764) = 3927 + 12970χ = χ9,

σ(510117) = 42837 + 141481χ = χ11.

Bodita n in M naravni števili in M ≥ n. Kdaj lahko izrazimo σ(M) sσ(n) v obliki

σ(M) = a+ bσ(n),

kjer sta a in b racionalni števili? Očitno mora biti σ(M) v obsegu Qn. Torejmora za neko pozitivno racionalno število k veljati D(M) = k2D(n), to sepravi

M2 + 4 = k2(n2 + 4).

Takrat bo veljalo

σ(M) =M +

√D(M)

2=M + k

√D(n)

2=

=M + k(2σ(n)− n)

2=M − nk

2+ kσ(n).

48

Tako smo našli koeficienta

a =M − nk

2, b = k.

Glavni problem je sedaj, kako najti pri danem naravnem n rešitve enačbeM2 + 4 = k2(n2 + 4). Števili M2 + 4 in n2 + 4 nista kvadratni, kot smospoznali že ob uvedbi kovinskih števil. Pri tem je M2 + 4 > n2 + 4 in zatok > 1. Vedno pa je na razpolago enakost

L22m+1(n) + 4 = (n2 + 4)F 2

2m+1(n),

iz katere vidimo, da lahko za primerna cela števila p, q, r vzamemo M =

L2p+1(r) in n = L2q+1(r) in dobimo

M2 + 4

n2 + 4=L22p+1(r) + 4

L22q+1(r) + 4

=(r2 + 4)F 2

2p+1(r)

(r2 + 4)F 22q+1(r)

=

(F2p+1(r)

F2q+1(r)

)2

.

Če vzamemo k = F2p+1(r)/F2q+1(r), imamo potem

σ(M) =M − nk

2+ kσ(n).

Linearno, z racionalnima koeficientoma, torej lahko povežemo kovinski številiσ(M) in σ(n), če obstaja tak naraven r in lihi števili 2p+1, 2q+1, za katereje M = L2p+1(r) in n = L2q+1(r).

Oglejmo si primer M = 11 = L5(1), n = 4 = L3(1). Tedaj je k =

F5(1)/F3(1) = 5/2 in

σ(11) =11− 4 · (5/2)

2+

5

2σ(4) =

1

2+

5

2σ(4).

Rezultat preverimo še neposredno:

σ(11) =11 +

√121 + 4

2=

11

2+

5√5

2, σ(4) =

4 +√16 + 4

2= 2 +

√5.

Torejσ(11) =

11

2+

5(σ(4)− 2)

2=

1

2+

5

2σ(4).

49

Lahko pa delamo tudi takole. Naj bosta M in N taki različni naravni števili,za kateri sta σ(M) in σ(N) linearno, z racionalnima koeficientoma, izrazljivis σ(n). Potem se tudi σ(M) in σ(N) linearno, z racionalnima koeficienta,izražata med seboj. To vidimo iz zapisov

σ(M) = α + βσ(n), σ(N) = α′ + β′σ(n).

Z izločitvijo σ(n) dobimo

σ(M) = α′′ + β′′σ(N),

pri čemer so α, β, α′, β′, α′′, β′′ racionalna števila.Primer. Vemo, da je σ(76) = 21 + 34ϕ, σ(11) = 3 + 5ϕ. Prvo enakost

pomnožimo s 5, drugo s 34 in dobimo: 5σ(76) − 34σ(11) = 105 − 102 = 3.Tako dobimo

σ(76) =3

5+

34

5σ(11).

Linearno, z racionalnima koeficientoma, sta povezani katerikoli potenciistega kovinskega števila. Bodita p in q različni naravni števili. Za katerikolinaravni r potem veljata enakosti

1

2p(r +

√r2 + 4)p +

1

2p(r −

√r2 + 4)p = Lp(r),

1

2p(r +

√r2 + 4)p − 1

2p(r −

√r2 + 4)p =

√r2 + 4Fp(r).

Če enakosti seštejemo, dobimo

2σp(r) = Lp(r) +√r2 + 4Fp(r).

Prav tako velja2σq(r) = Lq(r) +

√r2 + 4Fq(r).

Iz obeh enakosti sledi√r2 + 4 =

2σp(r)− Lp(r)

Fp(r)=

2σq(r)− Lq(r)

Fq(r).

Od tod lahko izrazimo

σp(r) =Fq(r)Lp(r)− Fp(r)Lq(r)

2Fq(r)+Fp(r)

Fq(r)σq(r).

50

Primer. Z uporabo tabele 3 najdemo

σ3(3) = − 1

33+

10

33σ4(3), σ4(3) =

1

10+

33

10σ3(3).

Izračunajmo vsoto geometrijske vrste∞∑k=0

(n

σ(n)

)k

.

Njen kvocient je q = n/σ(n) < 1, zato konvergira:∞∑k=0

(n

σ(n)

)k

=1

1− n

σ(n)

=σ2(n)

σ2(n)− nσ(n)= σ2(n).

Brez začetnega člena imamo potem še∞∑k=1

(n

σ(n)

)k

= σ2(n)− 1 = nσ(n).

Našli smo:∞∑k=0

(n

σ(n)

)k

= σ2(n),∞∑k=1

(n

σ(n)

)k

= nσ(n).

Videli smo, kako se izražajo potence kovinskih števil za lihe eksponente zverižnimi ulomki. Tako kovinsko število kot njegova liha potenca se izražajoz verižnima ulomkoma s periodo dolžine 1. Kaj pa za sode potence? Tedajdobimo verižne ulomke s periodo dolžine 2 razen za ϕ2 = 1+ϕ, ko je periodadolga 1. Poglejmo, kako pridemo do tega.

Kovinsko število σ(n) je pozitivna rešitev enačbe λ2 − nλ− 1 = 0. Njenakorena sta σ(n) = λ1(n) in λ2(n). Naj bo m naravno število in

µ1 = λ2m1 (n)− 1, µ2 = λ2m2 (n)− 1.

Potem jeµ1 + µ2 = λ2m1 (n) + λ2m2 (n)− 2 = L2m(n)− 2

51

inµ1µ2 = (λ2m1 (n)− 1)(λ2m2 (n)− 1) =

= (λ1(n)λ2(n))2m − (λ2m1 (n) + λ2m2 (n)) + 1 = 2− L2m(n).

Viètovi pravili povesta, da sta µ1 in µ2 rešitvi kvadratne enačbe

µ2 − (L2m(n)− 2)µ− (L2m(n)− 2)) = 0

in da je µ1 njen večji koren. Označimo K2m(n) = L2m(n)−2, kar je za m > 0

pozitivno število, tako da dobimo lepšo enačbo:

µ2 −K2m(n)µ−K2m(n) = 0. (28)

Iz nje izrazimo:µ1 = K2m(n) +

K2m(n)

µ1

.

Ker je K2m(n) < µ1, lahko nadaljujemo

µ1 = K2m(n)+1µ1

K2m(n)

= K2m(n)+1

K2m(n) +K2m(n)

µ1

K2m(n)

= K2m(n)+1

1 +1

µ1

.

Iz te oblike že vidimo verižni ulomek s periodo dolžine 2, če je le L2m(n)−2 =1:

µ1 = σ2m(n)− 1 = [K2m(n); 1, K2m(n)] = [L2m(n)− 2; 1, L2m(n)− 2].

Nazadnje imamo za m > 1:

σ2m(n) = [L2m(n)− 1; 1, L2m(n)− 2].

Za n = 1, ko imamo opravka z zlatim razmerjem ϕ, in m = 1 dobimo

ϕ2 = [3− 1; 1, 3− 2] = [2; 1] = 1 + [1; 1] = 1 + φ,

kar je seveda pravilno. Za m > 1 je L2m(n) − 2 > 1 in perioda se ne moreskrajšati.

52

S tabelo 3 imamo takoj za zlato razmerje ϕ:

ϕ2 = [2; 1], ϕ4 = [6; 1, 5], ϕ6 = [17; 1, 16], ϕ8 = [46; 1, 45].

Za srebrno razmerje ψ je:

ψ2 = [5; 1, 4], ψ4 = [33; 1, 32], ψ6 = [197; 1, 196], ψ8 = [1153; 1, 1152].

Prav tako za bronasto razmerje χ:

χ2 = [10; 1, 9], χ4 = [118; 1, 116], χ6 = [1297; 1, 1296], χ8 = [14158; 1, 14157].

Za negativne eksponente ni težav, ker se lahko skličemo na splošno enakost,ki velja za verižne ulomke:

[a0; a1, a2, . . .]−1 = [0; a0, a2, a3, . . .].

Primeri:

ϕ−4 = [0; 6, 1, 5], ψ−6 = [0; 197, 1, 196], χ−2 = [0; 10, 1, 9].

8 Ekvivalenčna relacijaV množico naravnih števil N lahko s kovinskimi števili vpeljemo ekvivalenčnorelacijo ∼. Naravni števili m in n sta ekvivalentni, v znakih m ∼ n natankotedaj, ko obstajata taki racionalni števili α in β, za kateri je

σ(m) = α + βσ(n).

Pri tem β = 0, saj bi v nasprotnem primeru imeli σ(m) = α, kar pa prinobenem naravnem m ni res, ker je σ(m) iracionalno število.

Relacija ∼ je refleksivna v N, saj za α = 0 in β = 1 velja σ(n) = σ(n),torej je n ∼ n za vsak naraven n.

Relacija ∼ je simetrična v N, saj iz m ∼ n, kar pomeni σ(m) = α+βσ(m)

pri racionalnih številih α in β sledi σ(n) = α′ + β′σ(n) za racionalni številiα′ = −α, β′ = 1/β, kar pomeni n ∼ m. Pri tem sta m in n naravni števili

53

Relacija ∼ je tranzitivna v N, saj iz m ∼ n in n ∼ r pri naravnih m,n, r,kar pomeni σ(m) = α+ βσ(n) in σ(n) = α′ + β′σ(r) pri racionalnih številihα, β, α′, β′, sledi

σ(m) = α+ β(α′ + β′σ(r)) = α′′ + β′′σ(r)

za α′′ = α + βα′, β′′ = ββ′. Števili α′′ in β′′ sta tudi racionalni. Torej jem ∼ r.

Po relaciji ∼ razpade množica N na ekvivalenčne razrede

[n]∼ = m ∈ N : m ∼ n.

Iz tabele 3 lahko naštejemo nekaj ekvivalenčnih razredov (zlatega, srebrnegain bronastega):

[1]∼ = 1, 4, 11, 29, 76, 199, . . .,[2]∼ = 2, 14, 82, 478, 2786, 16238, . . .,[3]∼ = 3, 36, 393, 4287, 46764, 510117, . . ..

Samo v okviru razreda [n]∼ lahko potence σm(n) s celimi eksponenti m izra-zimo linearno, z racionalnima koeficientoma, s σ(n).

9 Kovinski pravokotnikiPravokotnik, ki ima eno stranico σ(n)-krat daljšo od druge, bomo imenovalikovinski pravokotnik reda n. Za n = 1, 2, 3 govorimo ustrezno o zlatem,srebrnem in bronastem pravokotniku (slike 34, 35, 36). Vsi kovinski pra-vokotniki reda n so si podobni.

Brez škode za splošnost je lahko krajša stranica kovinskega pravokotnikaenota 1, daljša pa σ(n) (slika 33). Če od takega kovinskega pravokotnikareda n odrežemo zaporedno n enotskih kvadratov, ostane še pravokotnik sstranicama 1 in σ(n)−n, kar je manj kot 1. Ta je prav tako kovinski reda n:

1

σ(n)− n=

σ(n)

σ2(n)− nσ(n)=σ(n)

1.

54

Slika 33: Kovinski pravokotnik reda n.

Slika 34: Zlati pravokotnik.

Slika 35: Srebrni pravokotnik.

55

Slika 36: Bronasti pravokotnik.

Relacijaσ(L2m+1(n)) = F2m(n) + F2m+1(n)σ(n)

pove, da kovinski pravokotnik reda L2m+1(n) lahko razdelimo na F2m(n)

enotskih kvadratov in F2m+1(n) kovinskih pravokotnikov reda n. Slika 37kaže delitev kovinskega pravokotnika reda 4 na enotski kvadrat in dva zlatapravokotnika v skladu z enakostjo σ(4) = 1 + 2ϕ = ϕ3.

Slika 37: Delitev kovinskega pravokotnika reda 4.

Če od kovinskega pravokotnika reda n odrežemo po vrsti n enotskihkvadratov, nam ostane še manjši kovinski pravokotnik rena n. Slika 38 kažeprimer za n = 4. Če včrtamo obema diagonali, tako da se sekata v notran-josti manjšega pravokotnika, ni težko dognati, da se sekata pravokotno. Če

56

po spodnji stranici postavimo os x pravokotnega kartezičnega koordinatnegasistema, po levi stranici pa os y, potem ima premica nosilka daljše diagonaleenačbo y = 1 − x/σ(n) in smerni koeficient k1 = −1/σ(n), premica nosilkakrajše diagonale pa enačbo y = σ(n)(x − n) in smerni koeficient k2 = σ(n).Zmnožimo: k1k2 = (−1/σ(n))σ(n) = −1. To pa pomeni pravokotnost diag-onal.

Slika 38: Kovinski pravokotnik reda 4. V oba pravokotnika sta vrisani pra-vokotno sekajoči se diagonali.

Presečišče obeh diagonal imenujemo kovinsko oko. Od krajše stranice jeoddaljeno za σ(n)/(σ2(n) + 1), od daljše pa za 1/(σ2(n) + 1).

Vsak kovinski pravokotnik reda n ima 4 kovinska očesa (slika 38). Določajopravokotnik s stranicama

a(n) = σ(n)σ2(n)− 1

σ2(n) + 1, b(n) =

σ2(n)− 1

σ2(n) + 1.

Ker je a(n)/b(n) = σ(n), je ta pravokotnik tudi kovinski pravokotnik reda n.Kvadrat s stranico ψ = σ(2) lahko razdelimo na 4 enotske kvadrate, 4

srebrne pravokotnike s stranicama 1 in ψ − 2 ter na sredinski kvadrat sstranico ψ − 2 (slika 40). To je v skladu z enakostjo

ψ2 = ((ψ − 2) + 2)2 = 4 + 4(ψ − 2) + (ψ − 2)2.

Delitev nastalih kvadratov na tak način, kot smo razdelili osnovni kvadrat,lahko nadaljujemo v nedogled in dobimo zanimivo fraktalno strukturo.

57

Slika 39: Še en kovinski pravokotnik.

Slika 40: Delitev kvadrata s stranico ψ.

10 Srebrni trapezSrebrni trapez je enakokraki trapez, v katerem imajo kraka in krajša os-novnica enako dolžino, kraka pa oklepata z daljšo osnovnico kot 45 = π/4.Brez škode za splošnost sta kraka in krajša osnovnica lahko kar 1. Daljša

58

osnovnica ima potem dolžino ψ (slika 41). Zakaj? Projekciji krakov na daljšoosnovnico sta očitno dolgi 1/

√2. zato je daljša osnovnica dolga

2 · 1√2+ 1 =

√2 + 1 = ψ.

Višina trapeza je prav tako 1/√2 = (ψ−1)/2, srednjica pa (ψ+1)/2. Ploščina

trapeza je potem (ψ + 1)(ψ − 1)/4 = (ψ2 − 1)/4 = ψ/2.

Slika 41: Srebrni trapez.

Štiri skladne srebrne trapeze lahko zložimo v kvadratni okvir (slika 42).Ploščina okvira je 2ψ.

Slika 42: Kvadratni okvir, sestavljen iz srebrnih trapezov.

Srebrni pravokotnik s krajšo stranico 1 lahko dopolnimo z dvema sklad-nima srebrnima trapezoma s krajšo osnovnico 1 do pravilnega osemkotnika(slika 43).

59

Slika 43: Pravilni osemkotnik, sestavljen iz dveh srebrnih trapezov in sre-brnega pravokotnika.

V pravilnem osemkotniku je diagonala ψ-krat daljša od njej vzporednestranice. Njegova ploščina je 2ψ. Če pa ima pravilni osemkotnik stranicoa, je njegova ploščina 2a2ψ. Slika 44 kaže, kako danemu kvadratu včrtamopravilni osemkotnik. Kvadratu včrtamo četrtine krogov s središči v ogliščihs krajišči v ogliščih. Premice, vzporedne s stranicami danega kvadrata, skozipresečišča teh lokov z diagonalama sekajo stranice tega kvadrata v ogliščihiskanega pravilnega osemkotnika. Konstrukcijo lahko utemeljimo s prejšn-jimi dognanji. Do pravilnega osemkotnika lahko na podlagi te konstrukcijepridemo tudi s prepogibanjem kvadratnega lista papirja.

Slika 44: Pravilni osemkotnik, včrtan kvadratu.

60

Papirji formata A so pravokotne oblike, stranici pa sta v razmerju√2 : 1.

Če ga prepognemo po krajši srednjici, dobimo manjša pravokotnika, ki stapodobna začetnemu. Vzamemo list papirja formata A4 in mu odrežemonajvečji možni kvadrat. Ostane srebrni pravokotnik (slika 45). Kvadratprepognemo po diagonali, nato s prepogibom razpolovimo kot med stranico indiagonalo. Vogal, nasproti vrha kota med stranico in diagonalo prepognemotako, da se stakneta vrhova pravih kotov na diagonali. S tem smo dobili stra-nico pravilnega osemkotnika in dve njegovi oglišči. Prepogibanje ponovimoše trikrat, da dobimo preostale stranice in oglišča (slika 46).

Slika 45: Prvi prepogibi papirja do pravilnega osemkotnika.

Slika 46: Pravilni osemkotnik s prepogibanjem papirja.

61

Pravilen osemkotnik lahko brez težav razdelimo na dva kvadrata in štirirombe (slika 47).

Slika 47: Pravilni osemkotnik, razdeljen na dva kvadrata in štiri rombe.

Pravilni osemkotnik najdemo tudi v umetnosti in oblikovanju: tlorisizgradb, podstavki, kelihi, prometni znak STOP, mize.

Slika 48: Lesen izdelek, ki ima za prečen presek pravilen osemkotnik.

Prisekana kocka (slika 49) je omejena s šestimi skladnimi pravilnimiosemkotniki in osmimi skladnimi enakostraničnimi trikotniki. Nastane izkocke, ki ji prisekamo oglišča v taki razdalji, da nastanejo iz kvadratov, kiomejujejo kocko, pravilni osemkotniki.

62

Slika 49: Prisekana kocka.

Obstajajo še druga telesa, ki so deloma omejena s pravilnimi osemkotniki,na primer: prizma, antiprizma, piramida, prisekana piramida in prisekanikubooktaeder. Ravnino lahko tlakujemo s skladnimi pravilnimi osemkotnikiin kvadrati (slika 50).

Slika 50: Tlakovanje ravnine s kvadrati in pravilnimi osemkotniki.

63

11 Pellova enačbaEnačba

x2 −Dy2 = 1

je običajna Pellova enačba. Število D v njej je naravno in ni kvadrat nekeganaravnega števila. Zanimajo nas naravne rešitve Pellove enačbe. Več o njih jena primer v [3], sicer pa je o tej temi na razpolago ogromno druge literature.

Slika 51: John Pell (1611–1685) – angleški matematik.

Enakost (20) nam bo tu v veliko pomoč, ampak le za D posebne oblike:Dn = n2 + 4. Za x vanjo vstavimo naravno število n

L2m(n)− (n2 + 4)F 2

m(n) = 4(−1)m. (29)

Opravka imamo z enačbo, ki je sorodna Pellovi:

x2 −Dny2 = 4(−1)m.

Ima nešteto rešitev v naravnih številih

xm = Lm(n), ym = Fm(n).

Prav tako ima enačba

x2 −∆ny2 = (−1)m,

64

ki jo dobimo iz prejšnje z zamenjavo n → 2n in z deljenjem s 4, neštetorešitev

xm = Lm(2n)/2, ym = Fm(2n).

Pri tem je ∆n = n2 + 1.Za n = 1 imamo opravka z enačbo

x2 − 2y2 = ±1.

Za m = 2, 4, 6, 8 dobimo

x2 = L2(2)/2 = 3, y2 = F2(2) = 2,

x4 = L4(2)/2 = 17, y4 = F4(2) = 12,

x6 = L6(2)/2 = 99, y6 = F6(2) = 70,

x8 = L8(2)/2 = 577, y8 = F8(2) = 408.

To so začetne rešitve Pellove enačbe

x2 − 2y2 = 1.

Za m = 1, 3, 5, 7 dobimo

x1 = L1(2)/2 = 1, y1 = F1(2) = 1,

x3 = L3(2)/2 = 7, y3 = F3(2) = 5,

x5 = L5(2)/2 = 41, y5 = F5(2) = 29,

x7 = L7(2)/2 = 239, y7 = F7(2) = 169.

To so začetne rešitve sorodne Pellove enačbe

x2 − 2y2 = −1.

Problem, kdaj je p-to trikotniško število kvadratno, nas vodi do Pelloveenačbe. Nastavimo enačbo

Tp =p(p+ 1)

2= q2 = Qq.

65

Obe strani enačbe pomnožimo z 8, nato na obeh straneh prištejemo 1 indobimo:

4p2 + 4p+ 1 = 8q2 + 1.

Preuredimo v(2p+ 1)2 − 2(2q)2 = 1.

Vpeljemo x = 2p + 1 in y = 2q, pa imamo Pellovo enačbo x2 − 2y2 = 1,ki ima nešteto rešitev, kot smo videli zgoraj. Izražajo se z Lucasovimi inFibonaccijevimi polinomi s sodim indeksom. Rešitev lahko izrazimo takole:

pm =L2m(2)− 2

4, qm =

F2m(2)

2.

Pri tem je m naravno število. Z že izračunanimi vrednostmi dobimo nekajzačetnih primerov:

(p1, q1) = (1, 1), (p2, q2) = (8, 6), (p3, q3) = (49, 35), (p4, q4) = (288, 204).

Drugi primer je nazorno upodobljen na sliki 52.

Slika 52: Nazorna interpretacija števil T8 in Q6.

Trikotniška in kvadratna števila, Tp in Qq, so posebni primeri mnogokot-niških števil. To so tudi figurativna števila, ker enake krožce lahko zložimov skladovnico pravilne geometrijske oblike.

66

12 SamopodobnostSamopodobnost zaradi enostavnosti pokažimo za srebrne pravokotnike. Vpravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu Oxy narišemo pravokotnikz oglišči (±ψ,±1). Pravokotnik ima stranici dolžin 2ψ in 2 in je zato srebrn.Nato konstruiramo zaporedje srebrnih pravokotnikov z oglišči

(±1/ψn−1,±1/ψn)

za n = 0, 2, 4, . . . in zaporedje srebrnih pravokotnikov z oglišči

(±1/ψn,±1/ψn−1)

za n = 1, 3, 5, . . .. Vsak pravokotnik druge skupine je v pravokotniku prveskupine, kot kaže slika 53, in odreže od njega dva kvadrata.

Slika 53: Zaporedje srebrnih pravokotnikov.

Če v te kvadrate včrtamo kroge, dobimo še bolj pestro sliko in opazimo, dase slike znova in znova ponavljajo, le da v pomanjšani kopiji. Prav tako lahkov kvadrate včrtamo četrtine krožnic, kot kaže slika 55, in dobimo dvojnosrebrno spiralo.

Krogi imajo naslednja središča in polmere:

(±(ψ − 1)/ψn, 0), rn = 1/ψn

67

Slika 54: Krogi v zaporedju srebrnih pravokotnikov.

za n = 0, 2, 4, . . . in

(0,±(ψ − 1)/ψn), rn = 1/ψn

za n = 1, 3, 5, . . ..

Slika 55: Dvojna srebrna spirala.

Razpravo o kovinskih številih bi lahko začeli tudi kako drugače, ne pakot posplošitev pojma zlatega razmerja. Ena od možnosti je z Gaußovopreslikavo.

68

Gaußova preslikava f : [0, 1) → [0, 1) je definirana s predpisom

f(x) =

1x

, za 0 < x < 1,

0 za x = 0.

Graf Gaußove preslikave f je na sliki 56. Njegov dobršen del blizu 0 jeizpuščen, ker postaja za majhne x vedno bolj gost. Preslikava je nezveznana množici 1/n, n = 1, 2, 3, . . .. V teh točkah je sicer f zvezna z leve, nepa z desne. Velja:

limx→1/n−0

f(x) = f(1/n) = 0, limx→1/n+0

f(x) = 1.

Vrednosti 1 preslikava f nikjer ne doseže.Zakaj smo postavili f(0) = 0? Brez tega bi f ne bi bila definirana za

x = 0, preslikala pa bi interval (0, 1) na interval [0, 1) in ne bi obstajalikompoziti preslikave f same s seboj. Te kompozite označimo z f ⟨m⟩ in sodefinirani za poljubno nenegativno celo število m takole:

f ⟨0⟩(x) = x, f ⟨1⟩(x) = f(x), f ⟨2⟩(x) = (f f)(x) = f(f(x)),

f ⟨3⟩(x) = (f f f)(x) = f(f(f(x))), . . .

Za nas so zanimive netrivialne negibne točke Gaussove preslikave, to jetake točke ξ ∈ (0, 1), za katere je f(ξ) = ξ. Na sliki so to abscise presečiščkrivulje y = f(x) in premice y = x. Negibnih točk ima preslikava f očitnonešteto. Označimo jih s ξn.

Poiščimo negibne točke ξn Gaußove preslikave f . Kot bomo videli vpostopku, nobeno racionalno število med 0 in 1 ne more biti negibna točkaGaußove preslikave. Racionalno število lahko namreč zapišemo kot verižniulomek končne dolžine. Tako lahko iščemo negibne točke le med iracionalnimištevili, ki imajo verižne ulomke neskončne dolžine.

Naj bo ξ ena od negibnih točk preslikave f . Ker je 0 < ξ < 1, lahko ξ

zapišemo na en sam način kot verižni ulomek

ξ = [0; a1, a2, a3, . . .].

69

Slika 56: Gaußova preslikava.

Pri tem so a1, a2, a3, . . . pozitivna cela števila. Potem je1

ξ= [a1; a2, a3, . . .]

in ⌊1/ξ⌋ = a1. To pomeni, da je

f(ξ) = [0; a2, a3, . . .].

Na verižni ulomek deluje f zelo enostavno: zaporedje (a1, a2, a3, . . .) pomakneza 1 v levo, potem pa na začetno mesto postavi 0.

70

Slika 57: Johann Carl Friedrich Gauß (1777–1855) – nemški matematik, fizik,astronom in geodet.

Ko izenačimof(ξ) = ξ

oziroma[0; a2, a3, . . .] = [0; a1, a2, a3, . . .],

zaradi enoličnosti razvoja v verižni ulomek sledijo relacije:

a1 = a2 = a3 = . . .

Ker pa ne more biti a1 enak 0, pomeni, da je lahko poljubno naravno številon: S tem imamo

ξn = [0;n, n, n, . . .] = [0;n].

Ta števila smo pa že srečali na začetku:

ξn = σ(n)− n =1

σ(n)=

√n2 + 4− n

2.

Negibne točke Gaußove preslikave so torej obratne vrednosti kovinskih številσ(n). To so vse negibne točke Gaußove preslikave. Posledično so negibnetočke Gaußove preslikave tudi lihe obratne potence

1

σ2m+1(n)=

1

[L2m+1(n);L2m+1(n)]= [0;L2m+1(n)].

71

Ker f ohranja zadnji izraz, ohranja tudi prvega v zadnji relaciji. Za sodeeksponente pa to očitno ne velja.

Pač pa velja za sode eksponente nekaj drugega. Spoznali smo, da veljaza m > 1 relacija.

σ2m(n) = [L2m(n)− 1; 1, L2m(n)− 2].

Torej je1

σ2m(n)= [0;L2m(n)− 1, 1, L2m(n)− 2]

in zatof

(1

σ2m(n)

)= [0; 1, L2m(n)− 2].

Nadaljujmo:f ⟨2⟩

(1

σ2m(n)

)= [0;L2m(n)− 2, 1],

f ⟨3⟩(

1

σ2m(n)

)= [0; 1, L2m(n)− 2].

Torej za število

L = f

(1

σ2m(n)

)= [0; 1, L2m(n)− 2]

veljajo relacije

f ⟨2⟩(L) = L, f(L) = L, L = f

(1

σ2m(n)

).

Število L je za f periodična točka reda 2 in s predperiodo dolžine 1. Lagrangeje dokazal, da so neskončni periodični verižni ulomki s predperiodo pozitivnikoreni neke kvadratne enačbe z racionalnimi koeficienti.

Posebej moramo pogledati primer m = n = 1, ko je σ(1) = ϕ zlatorazmerje. Tedaj je

f(1/ϕ) = 1/ϕ, f(1/ϕ2) = 1/ϕ, f ⟨2⟩(1/ϕ2) = 1/ϕ = f(1/ϕ2).

Za L = f(1/ϕ2) = 1/ϕ je torej f(L) = L, kar pomeni, da je L negibna točkapreslikave f .

72

Primeri. Naj bodo a, b, c, b = c, naravna števila in

ξ = [a; b, c]

verižni ulomek s periodo dolžine 2 ter predperiodo dolžine 1. Kateri kvadratnienačbi ustreza ξ in kako se izraža? Zapišimo:

ξ = a+1

b+1

c+1

b+1. . .

= a+1

b+1

c+ ξ − a

= a+c+ ξ − a

bc+ bξ − ab+ 1.

Za ξ potem dobimo kvadratno enačbo

bξ2 − b(2a− c)ξ + a2b− abc− c = 0,

ki ima pozitiven koren

ξ =2ab− bc+

√bc(bc+ 4)

2b.

Diskriminanta (bc)2 + 4bc = (bc + 2)2 − 4 je pri naravnih b in c pozitivnain ne more biti kvadrat nekega naravnega števila. V nasprotnem primeru binamreč imeli relacijo (bc + 2)2 − 4 = d2 za neki naraven d. Potemtakem biimeli relacijo d2 + 22 = (bc + 2)2, kar bi pomenilo, da imamo pitagorejskitrikotnik s katetama d, 2, bc+ 2, ki pa, kot vemo, ne obstaja.

Za a = 1, b = 2, c = 3 dobimo na primer

ξ =

√15− 1

2= [1; 2, 3], η =

1

ξ=

√15 + 1

7= [0; 1, 2, 3].

Gaußova preslikava f dela naslednje:

f(η) =

√15− 3

2, f ⟨2⟩(η) =

√15− 3

3, f ⟨3⟩(η) =

√15− 3

2= f(η),

Torej je število ξ za f predperiodična točka reda 2, ker za ζ = f(η) veljaf ⟨2⟩(ζ) = ζ.

73

Slika 58: Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) – francoski matematik,mehanik, astronom.

Za naslednji primer vzemimo število

ξ =

√17− 1

4= [0; 1, 3, 1].

Dobimo:

f(ξ) =

√17− 3

4, f ⟨2⟩(ξ) =

√17− 3

2, f ⟨3⟩(ξ) =

√17− 1

4= ξ.

Število ξ je za f periodična točka reda 3.Vzemimo naravna števila a, b, c in verižni ulomek

ξ = [0; a, b, c].

Kateri kvadratni enačbi ustreza in kako lahko ξ zapišemo kot njen koren?Najprej je

ξ =1

a+1

b+1

c+1

a+. . .

=1

a+1

b+1

c+ ξ

=bc+ bξ + 1

abc+ abξ + a+ c+ ξ.

74

Iskana kvadratna enačba je

(ab+ 1)ξ2 + (abc+ a− b+ c)ξ − (bc+ 1) = 0,

ki ima pozitiven koren

ξ =b− a− c− abc+

√(abc+ a+ b+ c)2 + 4

2(ab+ 1).

Diskriminanta je tudi v tem primeru pozitivna in ni kvadrat nobenega na-ravnega števila. Za a = 1, b = 2, c = 3 dobimo enačbo 3ξ2 + 8ξ − 7 = 0 spozitivnim korenom

ξ =

√37− 4

3= [0; 1, 2, 3].

S funkcijo f dobimo:

f(ξ) =

√37− 4

3, f ⟨2⟩(ξ) =

√37− 5

4, f ⟨3⟩(ξ) =

√37− 4

3= ξ.

Število ξ je za f tudi periodična točka reda 3.Kaj se zgodi, če namesto naravnega števila n v enačbo (10) za kovin-

sko število postavimo kak ulomek? Vzemimo namesto n na primer 3/4.Kvadratna enačba je

λ2 − 3

4λ− 1 = 0,

ki ima pozitiven koren in obratno vrednost

ξ =3 +

√73

8, η =

1

ξ=

−3 +√73

8.

Zaporedne potence Gaußove preslikave f števila η nam dajo:

−5 +√73

8,−7 +

√73

6,−5 +

√73

4,−7 +

√73

12,−7 +

√73

2,−5 +

√73

4,

−7 +√73

8,−5 +

√73

6,−3 +

√73

8= η.

Število η je za f periodična točka reda 9.

75

Gaussova preslikava f ima neskončno mnogo periodičnih točk s poljubnodolgo periodo in predperiodo. Če je

ξ = [0; p1, p2, . . . , pr, q1, q2, . . . , qs],

kjer je p1, p2, . . . , pr predperioda, q1, q2, . . . , qs pa perioda v razvoju števila ξv verižni ulomek, potem je ξ za f predperiodična točka reda s.

Za konecBoetij, tudi Boecij, Anicius Manlius Torquatus Severinus Boëthius, ni bilsamo rimski politik in filozof, štejejo ga tudi za matematika, ki je povezalantično in srednjeveško matematiko. Je avtor dela De institutione arith-metica, O matematični izobrazbi, ki so ga radi prebirali še cel srednji vek.

Slika 59: Anicius Manlius Severinus Boëthius (480–524) – rimski politik infilozof.

Od starih filozofov sta mu bila pri srcu zlasti Platon (grško Πλάτων),po katerem imenujemo pravilne poliedre tudi platonska telesa, in Aristotel(grško ΄Αριστοτέλης). Boetij je bil eden zadnjih na Zahodu, ki je znal grško.Veliko je prevajal Aristotela. Pomembno Boetijevo delo, ki ga je napisal vzaporu, je O utehi filozofije, latinsko De consolatione philosophiae, je imelo

76

precejšen vpliv na srednjeveško filozofijo. Izposodimo si iz nje naslednja verza[1]:

Aureo laevam gravior metallo,Cerberum traxit triplici catena.

Levico si z zlato je kovino obtežilin Cérberja odvlekel na trojni je verigi.

Boetij je pri tem mislil na polboga Herakleja (grško ῾Ηρακλῆς, latinsko Her-cules) iz grške mitologije. Heraklej je bil sin boga Zevsa (grško Ζεύς) insmrtnice Alkmene (grško Αλκμήνη). Boginja Hera (grško ῞Ηρα), Zevsovažena, je Herakleja sovražila, večkrat je povzročila, da je pobesnel in pri temnaredil več zločinov. Zato je moral za kazen 12 let služiti argoškemu kraljuEvristeju (grško Εὐρισθεύς), ki mu je dal za nalogo, da opravi 12 slavnih del,da bi na koncu smel med nesmrtne na Olimp (grško ῎Ολυμπος) za vratarjabogovom. Eno od teh del je bilo, da iz Hada (grško ῞Αιδης) pripelje troglavegapsa Kerberja, tudi Cerberja, (grško Κέρβερος), ki je stražil vhod v Had, takoda noben mrtev ni mogel ven, noben živ pa ne noter.

Eno od slavnih del, ki jih je moral opraviti Heraklej in je veliko ljudi žeslišalo zanj, je bilo očistiti v enem dnevu Avgijeve (grško Αὐγείας) hleve, kjerje bilo veliko živine, očiščeni pa niso bili že 30 let. Heraklej je hitro naredilred, tako da je skoznje preusmeril tok rek Alfej in Penej (grško Αλϕειός,Πηνειός).

Nekaj besed iz citiranih Boetijevih verzov je povezanih z matematiko,čeprav samo delo ni matematično.

Beseda zlat, latinsko aureus – v pojmih zlatega razmerja, zlatega pra-vokotnika, zlatega trikotnika;

kovina, latinsko metallum – v pojmih kovinskega razmerja, kovinskegapravokotnika;

veriga, latinsko catena – v pojmu verižnica, matematična krivulja z enačboy = a ch(x/a), v angleščini catenary;

trojen, latinsko triplus – na primer v pojmih trojna ničla polinoma, trojnatočka krivulje;

77

vleči, latinsko trahere, traxit (3. os. ednine v perfektu) – v pojmutraktrisa, matematična krivulja, evolventa verižnice. Odsek tangente meddotikališčem na traktrisi in njeno asimptoto je stalna. Traktriso so začelištudirati na koncu 17. stoletja.

Boetij in Hipatija imata nekaj skupnega: oba sta občudovala grško filo-zofijo, bila matematika in premlada umrla nenaravne in strašne smrti. Boeti-jevo življenje in smrt sta opisana na primer v [1], več o Hipatiji pa na primerv [7]. O njej je bil posnet tudi film z naslovom Agora.

Platon je imel precej pestro življenje, preden se je ustalil v Atenah, kjer jeustanovil Akademijo. Člani Akademije so bili tudi nekateri še danes uglednistari matematiki, na primer Evdoks iz Knida (410–347), Εὔδοξος ὁ Κνίδιος,ki je bil svoje čase še najbliže odkritju realnih števil.

Slika 60: Platon (427–347 pne.) – veliki starogrški filozof, ustanoviteljAkademije v Atenah.

Kar se matematike tiče, ni bil ravno med najboljšimi. Je pa imel radgeometrijo in očital matematikom, da jo premalo spoštujejo. Živel je vprepričanju, da je treba vse geometrijske konstrukcije opraviti z neoznačenimravnilom in šestilom. Tri znamenite probleme, podvojitve kocke, tretjinjenjakota in kvadrature kroga se z njegovo zahtevo ne da rešiti, kar so matem-atiki korektno dokazali šele v 19. stoletju. Problem podvojitve kocke zahteva

78

konstrukcijo kocke, ki ima dvakrat večjo prostornino od dane kocke. Prob-lem tretjinjenja kota se ukvarja s tem, kako dani kot razdeliti na tri enakekote. Problem kvadrature kroga pa, kako konstruirati kvadrat, ki ima enakoploščino kot dani krog. Platonovo delo je zelo obsežno. V enem od svojihdel Platon obravnava pravilna telesa, a bolj s filozofskega kot matematičnegavidika. Ni čudno, če imenujemo pravilna telesa tudi platonska telesa. Platonje bil velik idealist in je menil, da se matematične probleme da vedno rešiti.

Kljub temu, da treh znamenitih problemov niso rešili v antiki, saj jihv resnici tudi niso mogli, pa trud matematikov le ni bil zaman. Spotomaso namreč pri tem odkrili razne približne metode in nove krivulje, ki so sepridružile premicam in krožnicam.

Slika 61: Aristotel (384–322 pne.), Platonov učenec – veliki starogrški filozof,ustanovitelj Likeja v Atenah.

Aristotel je bil vzgojitelj Aleksandra Velikega in Platonov učenec, nekajčasa član Akademije. Ustanovil je svojo šolo, Likej. V matematiki se niodlikoval, je pa povzdignil na zavidljiv nivo logiko, ki je temelj matematike.Bolj je bil Aristotel doma v filozofiji, zgodovini, politiki, fiziki, biologiji, as-tronomiji, poetiki, glasbi in retoriki.

79

Literatura[1] A. M. S. Boëthius, Tolažba filozofije, NUK (Textus recepti), Ljubljana

2012 (prevod: Gorazd Kocijančič).[2] A. Dokler, Šolski grško–slovenski slovar, Založba ZRC, ZRC SAZU,

Ljubljana 2015.[3] J. Grasselli, Diofantske enačbe, Knjižnica Sigma DMFA, Ljubljana 1984.[4] V. W. de Spinadel, The metallic means family and renormalization group

techniques, Trudy Instituta matematiki i mehaniki UrO RAN, 6(2000), št. 1, str. 173–189.[5] V. W. de Spinadel, From the Golden Mean to Chaos, Nueva Libreria,

Buenos Aires 1998.[6] http://www.pef.uni-lj.si/matwww/Slovarcek.pdf (8. 8. 2016)[7] https://sl.wikipedia.org/wiki/Hipatija (2. 9. 2016)

80

Oznakefn(x) = (f(x))n – potenca vrednosti funkcije pri xf ⟨n⟩(x) – n-kratni kompozitum funkcije f same s seboj pri xFm – m-to Fibonaccijevo številoFm(x) – m-ti Fibonaccijev polinomLm – m-to Lucasovo številoLm(x) – m-ti Lucasov polinomσ(n) – n-to kovinsko številoϕ = σ(1) – zlato razmerjeχ = σ(3) – bronasto razmerjeψ = σ(2) – srebrno razmerje

© Dr. Marko Razpet, Ljubljana 2016

81