KONTINUIRANAKONTINUIRANASLUČAJNA SLUČAJNA VARIJABLAVARIJABLA

OSNOVE EKONOMETRIJEOSNOVE EKONOMETRIJE44

Kontinuirana slučajna varijabla poprima neprebrojivo mnogo vrijednosti na skupu realnih brojeva. Njezina vjerojatnosna svojstva opisana su preko funkcije gustoće vjerojatnosti koja ima slijedeća svojstva:

Kontinuirana slučajna varijabla

b

a

aFbFbXaPdxxf

dxxfxf

)()()()(.3

1)(.2 0)(.1

Očekivana vrijednostOčekivana vrijednost

)( )()( XEdxxxfXE

VarijancaVarijanca

dxxfxXEXEXVar )()())(()( 22

Modeli distribucija vjerojatnosti kontinuiranih slučajnih varijabli

 ·   

Normalna distribucija    Studentova distribucija Gamma distribucija Eksponencijalna distribucija     Hi –kvadrat distribucija Beta distribucija     F-distribucija    Uniformna distribucija Weibullova distribucija Paretova distribucija Uniformna distribucija

Normalna distribucija

Slučajna varijabla X ima normalnu distribuciju ako je njena funkcija gustoće vjerojatnosti:

30

2

1 2

2

1

432

)(

Var(X) E(X)

0 - )(

x

exf

Normalna distribucija ovisi o dva parametra i . (XN(, 2))

Zvonolika je oblika, simetrična oko sredine s točkama infleksije .

4 6 8 10 12 14 16

μ=10; δ=2

-3δ -2δ -1δ μ 1δ 2δ 3δ

2 8 14 20 26 32 38

μ=20; δ=6

-3δ -2δ -1δ μ 1δ 2δ 3δ

0

0,5

1

0 10 20 30 40

0

0,5

1

0 10 20 30 40

Standardizirana normalna distribucija

-X

Z odnosnoZX

preslikava se normalno distribuirana slučajna varijabla X sa sredinom i standardnom devijacijom u standardiziranu normalnu varijablu Z koja je neovisna o mjernim jedinicama. Očekivanje i varijanca od Z su

tj ZN(01)

z- )(2

2

1

2

1 zezf

Linearnom transformacijom oblika:

)()(

XEZE )(

1

XE 0))((1

XE

)()(

XVarZVar )(

12

XVar 1)(1

2 XVar

STANDARDIZIRANA NORMALNA DISTRIBUCIJA-3 -2 -1 0 1 2 3

68%

95%

99,7%

Izračunajte 10 ZPXP 3413.0

01 ZPXP 3413.0 11 ZPXP 34134,0 34134,0 68268,0 212 ZPXP 34134,0 47725,0 81859,0 212 ZPXP 47725,0 34134,0 13591,0

Zadaci: I. Šošić; Primjenjena statistika1. Kontinuirana slučajna varijabla ravna se po normalnoj distribuciji sa

sredinom 10 i standardnom devijacijom 4. Izračunajte P(10<X<14,6); P(8<X<10); P(12<X<18)2. Čaj se pakira u vrečice nominalne težine 50 grama. Distribucija vrečica

prema težini normalna je oblika sa sredinom jednakoj nominalnoj težini i standarnoj devijaciji od 2 grama.Ako se slučajno izabere vrečica kolika je vjerojatnost da je njezina težina: a) manja od 51g, b) veća od 47 g. c) između 48 i 52 g.

3. Distribucija proizvoda prema težini normalna je oblika. 15,87% proizvoda ima težinu manju od 27 g., a 2,28% ima težinu veću od 36 g. a)kolika je aritmetička sredina te standardna devijacija. Ako na zalihama imamo 10000 proizvoda koliko je proizvoda teško između 25,5 i 31,5 grama.

STUDENTOVA DISTRIBUCIJA (t-distribucija)

t-distribucija je distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable t ,(- <t < ) Ona je usko povezana s normalnom standardiziranom distribucijom. Očekivana vrijednost distribucije E(t)=0, a varijanca Var(t)= =/(-2) (za 3)

Izračunajte: s.s.=8)397,1( tP 90,010,01

)397,1( tP 90,010,01

)397,1( tP 10,0

)860,1397,1( tP 10,0 05,005,0