-
1
1
Kon$nuirana sluajna varijabla i normalna distribucija
Prof. dr. Mugdim Pai
2
Kon$nuirana sluajna varijabla
Za razliku od diskretne sluajne varijable kon$nuirana sluajna
varijabla moe ima$ bilo koju vrijednost u intervalu
Stoga distribucija vjerovatnoe je kon$nuirana
Probability Density Func$on PDF f(x) ! ! = 1! 2! !!! !!! !!!!
!
3
Probability Density Func2on
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
f(x)
x
Probability Density Func2on
4
5 5.06 5.12 5.18 5.24 5.3 5.36 5.42
f(x)
x
5
Kada koris$mo PDF...
Nije korisno razmatra$ vjerovatnou kada kon$nuirana sluajna
varijabla ima posebnu vrijednost a jer je P(x=a) = 0
Ali, moemo razmatra$ povrinu ispod krive kao o reeksiji
vjerovatnoe P(a < x < b) npr. P(10< x< 20) Ili
vjerovatnou do neke vrijednos$ ili iza neke vrijednos$
Ovo je kljuni koncept! 6
Normalna distribucija
Normalna distribucija u obliku zvona, simetrina
Denirana je sa dva parametra aritme$ka sredina standardna
devijacija
2]/))[(2/1(
21)(
= xexf
-
2
7
Normalna distribucija Za svaku distribuciju sa aritme$kom
sredinom () i
standardnom devijacijom () postoji razliita normalna kriva
Stoga postoji beskonaan broj normalnih krivih Ako je x
distribuirana kao normalna varijabla, onda je
ona odreena sa: x ~ N(, )
Normalna distribucija sa aritmetikom sredinom i standardnom
devijacijom
8
Normalna distribucija za razne vrijednos$
030 40 50 60 70
=50 =60 =40
9
Normalna distribucija za razne vrijednos$
0 0,5 1 1,5 2
=10
=20
=30
= 1
10
Osobine normalne distribucije
Simetrina, u obliku zvona kriva Denirana aritme$kom sredinom i
standardnom devijacijom
Ari$me$ka sredina = Medijana = Modus
Osobine normalne distribucije
Grak je simetrian u odnosu na liniju Ima maksimum u Aritme$ka
sredina je Taka ineksije (prevojna taka) je u Standardna devijacija
je
11
1! 2! !!! !!! !!!! = 1!!!! ! ! = !!!! ! = ! !!
!!! = !!12
Standardna normalna distribucija
Postoji beskonano mnogo normalnih distribucija za svaki par (,
)
Normalna distribucija sa =0 i =1 ili N(0,1) naziva se Standardna
normalna distribucija
Ako prebacimo nau normalno distribuiranu varijablu x u z-score,
onda smo u mogunos$ da koris$mo jednu tabelu za sve normalne
pdf
Ovaj postupak prebacivanja u z-score se naziva
standardiziranje
-
3
13
Standardna normalna distribucija =0 =1 Ako x ~ N (, ) onda je
takodjer ~ N
z = broj standardnih devijacija lijevo ili desno od
aritme$ke
sredine.
Ako je z >0 onda je originalna vrijednost desno od aritme$ke
sredine Ako je z
-
4
19
Traenje povrine ispod krive
Koraci 1. Nacrtaj krivu i povrinu za koju smo zainteresirani 2.
Prebaci vrijednos$ u z-scores 3. Proitaj proporciju u tabeli. 4.
Izraunaj to potrebno.
20
Standardna normalna tabela
Tabela gdje je samo krive prezen$rana Poto je distribucija
simetrina Svaka polovina predstavlja p = 0,5
Tabela omoguava dva decimalna mjesta z-scora Ver$kalna osa prvo
decimalno mjesto Horizontalna osa drugo decimalno mjesto
21
Standardna normalna tabela
Vjerovatnoa u tabeli predstavlja vjerovatnou od z=0, centra, do
z vrijednos$ koju odaberemo
Stoga vjerovatnoa koja pripada z = 1 je povrina ispod krive od
z=0 (ari$me$ka sredina) do z=1
Ili jedna standardna devijacija od aritme$ke sredine
Ova vjerovatnoa je 0,3413
22
Standardna normalna tabela
Standard Normal Curve Probability Distribution
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,091,0 0,3413
0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,36211,1
0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810
0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980
0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131
0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265
0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382
0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484
0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573
0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649
0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713
0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,47672,0
0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812
0,4817
=15; =3
23
z =-1 z =1 P(-1< z
-
5
=15; =3
25
0,9974
! = ! !! = 24 153 = 3!! = ! !! = 6 153 = 3!z =-3 z =3
P(-3< z
-
6
31
Uoi$
Z = 2 je dvije standardne devijacije od aritme$ke sredine p =
0,4772 2,0 e bi$ 2*(0,4772) = 0,9544 ili 95,44%
32
Uoi$
Z = 3 je tri standardne devijacije od aritme$ke sredine p =
0,4987 3,0 e bi$ 2*(0,4987) = 0,9974 or 99,74%
33
Primjer
Nai povrinu ispod standardne normalne krive za z-score izmeu 0 i
1,5 koristei tabelu.
34
Rjeenje
z-score je jednako nula u aritme$koj sredini, P(z=0)=0
z-score jednako 1.5 1.5 standardnih devijacija iznad aritme$ke
sredine,
P(0
-
7
37
Vie od dvije standardne devijacije je dio u repovima
= 300 240 360
Dvije standardne devijacije 2*=2*30=60
2*=300 2*30=240 i 360 38
Problem vie od 2 X ~ N = 300 = 30 Startujmo sa z-score = 2 U
tabeli z-score=2 predstavlja vjerovatnou do te take i iznosi 0,4772
0,5 0,4772 = 0,0228 (jedna strana krive) 2 x 0,0228 = 0,0456
(obadvije strane krive)
39
Problem: Problem vie od 3
X ~ N = 300 = 30 Vie od tri standardne devijacije z = 3.00
Kada je z = 3.00 iz tabele vidimo da je vjerovatnoa do te take
sa jedne strane krive 0,4987
0,5 0,4987 = 0,0013 (jedna strana krive) 2 x 0,0013 = 0,0026
(obadvije strane krive)
40
Problem: Vjerovatnoa da je x izmeu 260 and 360
X ~ N = 300 = 30 Vjerovatnoa da je x izmeu 260 and 360?
KORACI:
Nacrtaj dijagram! Izraunaj z vrijednost (z-score) Uzmi podatke
iz tabele Ako treba uradi zavrni raun
41
Grafiki prikaz
= 300 260 360
42
Izraunaj z vrijednos$ (z-scores)
X ~ N = 300 = 30 Vjerovatnoa da je x izmeu 260 and 360?
X =260 z = (260 300)/30 = -1,33 X = 360 z = (360 300)/30 =
2,00
-
8
43
Vjerovatnoa da je x izmeu 260 and 360
Poto tabela pokazuje samo jednu stranu, koris$$ apsolutnu
vrijednost
z za 1,33 = 0,4082 z za 2,00 = 0,4772
0,4082 + 0,4772 = 0,8854
44
Grafiki prikaz
= 300
260 z = - 1,33
360 z = 2
0,4082 + 0,4772 = 0,8854
45
Koja je vrijednost x na 80tom percen$lu?
Dato X ~ N = 300 = 30 Traim vrijednost x koja korespondira 80tom
percen$lu
80ti percen$l reek$ra sve do aritme$ke sredine (50ti percen$l)
PLUS 0,30 vie.
46
Koja je vrijednost x na 80tom percen$lu?
Pogleda$ u tabeli za 0,30 To je izmeu 0,84 (p=0,2995) i 0,85
(p=0,3023) Moemo ekstrapolira$, ali vidimo da je blie 0,84.
0,842 je dobra aproksimacija Sada mogu dobi$ vrijednost x koja
odgovara z-vrijednos$ 0,842
47
Raun
Izrauna$ x 0,842 = (x 300)/30 30 * 0,842 = x 300 300 + (30 *
0,842) = x 325,26 = x
80ti percen$l je na x=325,26
48
Problem uradi$ sam
Garancija jedne marke automobilskih guma je sluajna varijabla
najbolje opisana kao normalna distribucija sa = 60.000 km i =8.300
km.
Koliki procenat guma moe traja$ due nego preenih 53.775 km?
-
9
49
Grafiki prikaz
= 60.000 53.775
50
Problem uradi$ sam!
Koliki procenat guma traje due nego preenih 53,775 km?
Z= (53.775 60.000)/8.300 = -0,75 Iz tabele vidimo da je za
z=0,75 vjerovatnoa 0,2734 Ovo je dio na lijevoj strani do aritme$ke
sredine
P = 0,2734 + 0,5 = 0,7734
51
Grafiki prikaz nacrtaj grafik!
= 60.000 53.775 z = - 0,75
0,2734 + 0,5 =
0,7734
52
Problem uradi$ sam!
Garancija jedne marke automobilskih guma je sluajna varijabla
najbolje opisana kao normalna distribucija sa = 60.000 km i =8.300
km.
Koliki procenat guma traje izmeu 40.000 i 45.000 km?
53
Grafiki prikaz
= 60.000 40.000 45.000
54
Problem uradi$ sam!
Koliki procenat guma traje izmeu 40.000 i 45.000 km?
(40.000 60.000)/8.300 = -2,41 (45.000 60.000)/8.300 = -1,81 P za
2,41 = 0,4920 P za 1,81 = 0,4649 P = 0,4920 0,4649 = 0,0271
-
10
55
Grafiki prikaz
= 60.000 40.000 45.000
z = -2,41 z = -1,81
0,4920 0,4649 = 0,0271
56
Problem uradi$ sam!
Garancija jedne marke automobilskih guma je sluajna varijabla
najbolje opisana kao normalna distribucija sa = 60.000 km i =8.300
km.
Koliki vijek trajanja bi kompanija trebala da odabare ako eli da
96% guma traje due od vijeka trajanja?
57
Grafiki prikaz
= 60.000 x=?
96%
58
Problem 96% guma da traje due od naznaenog vijeka trajanja
0,5+0,46=0,96 Iz tabele za p=0,46 slijedi z=1,75 Poto razmatramo
lijevo od tada z ima nega$vnu
vrijednost. Tako da je z=-1,75 -1.75 = (x- 60.000)/8.300 8.300*
(-1,75) = (x 60.000) 60.000 14.525 = x 45.475 km = x
Desno od Lijevo od
= 60.000 x = 45.475 z = - 1,75
59
Grafiki prikaz
0,46 + 0,50 = 0,96
60
Problem uradi$ sam!
Fizika kondicija pacijenta se mjeri maksimalnom apsorbcijom
kisika (mjereno u mililitrima po kilogramu, ml/kg)
Maksimalna apsorbcija kisika za kardio pacijente koji redovno
par$cipiraju u sportu ili programu vjebanja je: ~N(24,1; 6,3)
-
11
61
Problem uradi$ sam!
Koja je vjerovatnoa da kardio pacijent koji redovno par$cipira u
sportu ili programu vjebanja ima maksimalnu apsorbciju kisika
najmanje 20 ml/kg?
62
Odgovor
Najmanje 20 znai: 20 i vie
od 20 do aritme$ke sredine 24,1 i sve vie od aritme$ke sredine
24,1
z = (20 24,1)/6,3 = -0,65 P = 0,2422
P = 0,2422 + 0,5 = 0,7422
63
Problem uradi$ sam!
Koja je vjerovatnoa da kardio pacijent koji redovno par$cipira u
sportu ili programu vjebanja ima maksimalnu apsorbciju kisika 10,5
ml/kg ili manju ?
64
Odgovor
10,5 ml/kg ili manju Z = (10,5 24,1)/6,3 = -2,16 P od do te take
je 0,4846 P poslije te take je: P = 0,5 0,4846 = 0,0154
65
Problem uradi$ sam!
Promatraj kardio pacijenta sa maksimalnom apsorbcijom kisika od
10,5 ml/kg. Da li je vjerovatno da ovaj pacijent par$cipira redovno
u sportu ili programu vjebanja?
66
Normalna distribucija kao aproksimacija binomne distribucije
Normalna distribucija moe bi$ koritena kao aproksimacija Binomne
distribucije x success-a u n testova
Moe se koris$$ normalna aproksimacija kad god je obadvoje np 5 i
nq 5
Primjer: n = 50 p = 0,2 50*0,2 = 10 i q = 0,8 50*0,8 = 40
-
12
67
Normalna distribucija kao aproksimacija binomne distribucije
Uoimo da kada je n dovoljno veliko (> 50), i p nije ekstremno
malo (> 0,10), generalno, moemo koris$$ ovaj pristup, jer je:
50*0,10 = 5
U nekim knjigama se sugerira Con$nuity Correc$on. Ovo je zbog
toga to se binomna distribucija odnosi na diskretnu sluajnu
varijablu, a normalna distribucija je kon$nuirana
Korekcija ukluuje dodavanje ili oduzimanje 0,5 na vrijednost
x
