Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji · Problem konsorcjum (program produkcji). Konsorcjum składa się z dwóchfabryk A oraz B. Każdafabryka wykonuje dwa takie same

Katedra Inżynierii Sterowania

Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 1

Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a

Komputerowe systemy sterowania i

wspomagania decyzji- studia stacjonarne AiR, II stopień

Specjalność: Systemy sterowania i wspomagania decyzji

Wykład 14-15 - 2015/2016

Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż.

Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda

Dantzig’a – Wolfe’a dla zagadnień liniowych





Strukturalizowane zagadnienia decyzyjne programowania liniowego - przykład

Problem konsorcjum (program produkcji). Konsorcjum składa się z

dwóch fabryk A oraz B. Każda fabryka wykonuje dwa takie same wyroby,

jeden klasy Standard (S) i jeden klasy Luksusowej (L). Jednostka wyrobu S

daje zysk w wysokości 10j.p., podczas gdy jednostka wyrobu L daje zysk w

wysokości 15 j.p. Każda z fabryk wykorzystuje w produkcji dwa procesy –

szlifowanie i polerowanie. Fabryka A posiada zdolność produkcyjną

wynoszącą 80 godzin szlifowania na tydzień oraz 60 godzin polerowania na

tydzień. Dla fabryki B zdolności te wynoszą odpowiednio 60 i 75 godzin na

tydzień. Czasy szlifowania i polerowania w godzinach dla jednostki

produktu w każdej z fabryk są podane w tablicy.

Fabryka A Fabryka B

Produkt Standard

Produkt Luksusowy

Produkt Standard

Produkt Luksusowy

Szlifowanie 4 2 5 3

Polerowanie 2 5 5 6






Wiadomo ponadto, że do produkcji jednostki produktu każdej klasy zużywa

się 4 kilogramy materiału będącego surowcem, a konsorcjum ma 120

kilogramów tego surowca tygodniowo. Popyt na wyroby S oraz L jest taki,

że produkcja tygodniowa nie musi być magazynowana.

Zarząd konsorcjum chciałby maksymalizować zysk w poszczególnych

tygodniach.





Pierwsze podejście


Konsorcjum (kierując się np. zdolnościami produkcyjnymi) przydzielają

fabryce A, 75 kg surowca a fabryce B, 45 kg surowca na tydzień.

Model decyzyjny fabryki A

Opcja decyzyjna: ilość wyrobu danej klasy (S,L) z fabryki j=A konsorcjum

(A)

Aj,L,Si;xij





Zasoby na które nałożone są ograniczenia:

- zdolności produkcyjne fabryki j=A konsorcjum dla poszczególnych

procesów (s,p)

p,sk,Aj;bjk

- zasoby surowca dla produkcji obydwu wyrobów w fabryce j=A

konsorcjum


Model decyzyjny fabryki A – c.d.

Aj;a j





Zasoby na które nie są nałożone ograniczenia:

- zysk z produkcji obydwu wyrobów w fabryce j=A konsorcjum

Aj;z j








kijc

Niech

- czas realizacji procesu k dla wyrobu i w fabryce j=A

konsorcjum

wówczas ograniczenia zdolności produkcyjnych

Aj,p,skdlabxci

ijijkij


Dodatkowe oznaczenia i sformułowanie modelu:







iju

Niech

- zużycie surowca na wyrób i w fabryce j=A konsorcjum

wówczas ograniczenia na zasoby surowca

L,Si

j

Aj

ijij axu







ijz

Niech

- zysk z wyrobu i wytwarzanego w fabryce j=A

konsorcjum

wówczas kryterium oceny opcji

L,Si Aj

ijij xz





Model decyzyjny fabryki A – ostateczne sformułowanie


Zmaksymalizować

spełniając ograniczenia

Aj,L,Sidlax

Aj,p,skdlabxc

axu

xzz

ij

i

ijijkij

L,Si

j

Aj

ijij

L,Si Aj

ijijj

0





Model decyzyjny fabryki A – dla podanych wartości liczbowych


0

60

80

75

LASA

LApLASApSA

LAsLASAsSA

LALASASA

LALASASAA

xx

xcxc

xcxc

xuxu

xzxzz

,

0

6052

8024

7544

1510

LASA

LASA

LASA

LASA

LASAA

xx

xx

xx

xx

xxz

,





Model decyzyjny fabryki B – dla podanych wartości liczbowych


Podobnie można otrzymać:

0

60

80

75

LBSB

LBpLBSBpSB

LBsLBSBsSB

LBLBSBSB

LBLBSBSBB

xx

xcxc

xcxc

xuxu

xzxzz

,

0

7552

6024

4544

1510

LBSB

LBSB

LBSB

LBSB

LBSBB

xx

xx

xx

xx

xxz

,






Rozwiązanie optymalne dla fabryki A

20

57

2511

225

.x

.x

.p.jz

LA

SA

A

Pozostałe (swobodne) moce szlifowania

Rozwiązanie optymalne dla fabryki B

57

2526

2511

00

75168

.

.

.x

.x

.p.j.z

LB

SB

B


Pozostałe (swobodne) moce polerowania






Rozwiązanie dla konsorcjum

57

2546

7518

2511

75393

.

.

.x

.x

.p.j.z

L

S







Drugie podejście


Zarząd konsorcjum postanowił nie przydzielać apriorycznie ilości surowca

fabryce A i N, Postanowiono zestawić model całego konsorcjum i w oparciu

o ten model wyznaczyć podział surowca pomiędzy fabryki

Model decyzyjny konsorcjum

B,Aj,L,Sidlax

B,Aj,p,skdlabxc

axu

xzz

ij

i

ijijkij

L,Si B,Aj

ijij

L,Si B,Aj

ijij

0

Zmaksymalizować







Model decyzyjny konsorcjum - dla podanych wartości liczbowych

0

7565

6035

6052

8024

1204444

15101510

22122111

2212

2212

2111

2111

22122111

22122111

x,x,x,x

xx

xx

xx

xx

xxxx

xxxxz






Rozwiązanie optymalne - dla konsorcjum i dla fabryk

1205070

000000

17495226726

8320512338

17900179

15404518765216

...

...

.x.x.x

.x.x.x

.p.j.z.p.j.z.p.j.z

LLBLA

SSBSA

BA



Podział surowca





Liniowe modele decyzyjne – zagadnienia programowania liniowego

Postać matematyczna zagadnień programowania liniowego

I. Postać mieszana

(1) Funkcja celu

nnjj xc...xc...xcz 11

Zmaksymalizować lub zminimalizować

(2) Warunki ograniczające

a x a x a x b i k i Ni ij j in n i1 1 11 ... ... , , ,

a x a x a x b i k k i Ni ij j in n i1 1 1 21 ... ... , , ,

a x a x a x b i k m i Ni ij j in n i1 1 2 1 ... ... , , ,

(3) Warunki nieujemności

ns,s,1j,0x j





Przy rozwiązywaniu zadań programowania liniowego metodą simpleks, należy je zapisać w

postaci standardowej


II. Postać standardowa

(1) zasadnicze warunki ograniczające są dane w postaci równań

(2) elementy prawej strony ograniczeń są nieujemne

(3) warunki nieujemności są pełne





Sprowadzanie zagadnień programowania liniowego do postaci standardowej

Zasada 1:

0bi Jeżeli , to i-te ograniczenie należy pomnożyć przez -1

Zasada 2:

jx

x x xj j j 0

Jeżeli zmienna ma być ujemna, to dokonujemy podstawienia:

Zasada 3:

jx

0x,0x,xxx jjjjj

Jeżeli zmienna nie ma ograniczenia na znak, to dokonujemy

podstawienia





Sprowadzanie zagadnień programowania liniowego do postaci standardowej

Zasada 4:

ininjij11i bxa...xa...xa

a x a x a x x b xi ij j in n n i i n i1 1 0 ... ... ,

Każda nierówność:

jest równoważna układowi warunków:

Zasada 5

Każda nierówność:

jest równoważna układowi warunków:

a x a x a x bi ij j in n i1 1 ... ...

a x a x a x x b xi ij j in n n i i n i1 1 0 ... ... ,

xn i - zmienne swobodne lub uzupełniające

xn i - zmienne swobodne lub uzupełniające





Postać standardowa – Zapis I


0

0

0

11

11

1111111

mmnmnjmjm

iininjiji

nnjj

b,bxa...xa...xa

....................................................

b,bxa...xa...xa

....................................................

b,bxa...xa...xa

n,1j,0x j


Zmaksymalizować lub zminimalizować liniową funkcję celu







Postać standardowa – Zapis II

n

j

jj xcz1

n

j

iijij m,i,b,bxa1

10

n,1j,0x j








Postać standardowa – Zapis III

xcTz

0bbxA ,

x 0

m

i

1

n

j

1

n

j

1

mnmj1m

inij1i

n1j111

b

b

b

,

c

c

c

,

x

x

x

,

aaa

aaa

aaa

bcxA

gdzie:








Postać standardowa – Zapis IV

n

j

jj xcz1

0bba

,xn

j

jj

1

n,1j,0x j

m

i

1

mj

ij

j1

j

b

b

b

,

a

a

a

ba

gdzie:







Zagadnienia programowania liniowego - prawa równoważności



zminzmax

Twierdzenie 1:

Zadanie programowania liniowego z funkcją celu:

jest równoważne zadaniu programowania liniowego z funkcją celu:

Spełniona jest przy tym zależność:

Zminimalizować

Zminimalizować





Zagadnienia programowania liniowego - prawa równoważności

Jeżeli w zadaniu programowania liniowego zastąpimy funkcję celu

postaci:

z c x c x c xj j n n 1 1 ... ...

0p,dxc...xc...xcpz nnjj11

Twierdzenie 2:

funkcją celu postaci:

to rozwiązanie optymalne, o ile ono istnieje, dla obu zadań będzie

identyczne





Geometria i algebra programowania liniowego

Rozwiązania zagadnienia programowania liniowego są wektorami,

kolumny macierzy współczynników ograniczeń są wektorami,

współczynniki funkcji celu tworzą wektor, prawa strona ograniczeń tworzy

wektor ……






Przestrzeń liniowa

Definicja 1.






Definicja 1. – c.d.






Definicja 2.

Definicja 3.






Definicja 4.






Twierdzenie 1.





Zbiory wypukłe


Definicja 5.

Definicja 6






Definicja 7






Definicja 8.

Twierdzenie 2.






Rozwiązywanie układu równań liniowych algebraicznych






Definicja 9.






Definicja 10.






Właściwości rozwiązań zadania programowwania liniowego

(a)

(b)

(c)






Definicja 11.

(a) – (c)

(b) – (c)

Definicja 12.

(b)

(b)

Definicja 13.

(c)






Definicja 14.

Definicja 15.






Twierdzenie 3.

x1

x2






Twierdzenie 4.

(a)

maksymalną





Twierdzenie 4. - c.d.







Twierdzenie 5.

Wnioski






Definicja 16.

Weźmy dowolny zbiór punktów S przestrzeni liniowej. Powłoką wypukłą P(S)

danego zbioru S punktów przestrzeni liniowej nazywamy zbiór wszystkich

kombinacji wypukłych punktów należących do S

Twierdzenie 6.

Powłoka P(S) jest najmniejszym zbiorem wypukłym zawierającym S

Wniosek

Dysponując wszystkimi rozwiązaniami wierzchołkowymi (wszystkimi rozwiązaniami

bazowymi) możemy wygenerować dowolne rozwiązanie dopuszczalne

zagadnienia programowania liniowego





Idea dekompozycyjnego rozwiązywania zagadnieniaprogramowania liniowego o strukturze blokowej

Metoda Dantzig’a – Wolfe’a - idee

Podzagadnienia

POZIOM I

Zagadnienie główne

POZIOM II

Centrala systemu (Centrum)

Zakład 1

(Podsystem 1)

Zakład 2

(Podsystem 2)…

Zakład k

(Podsystem k)





Metoda Dantzig’a – Wolfe’a - idee

Sformułowanie zagadnienia dekompozycji Dantzig’a – Wolfe’a

• Istnieją zbiory ograniczeń związane tylko i wyłącznie z działalnością

poszczególnych zakładów/podsystemów; nazwiemy je

ograniczeniami podzagadnień; ograniczenia jednego

podzagadnienia nie są powiązane z ograniczeniami innego

podzagadnienia (B1, B2, …, Bk)

• Istnieją ograniczenia, które wiążą wszystkie podzagadnienia (A1, A2,

…, Ak);

• Należy znaleźć optimum funkcji Z zależnej od wektorów x1, x2, …,

xk oraz wektorów c1, c2, …, ck.

Rozważany problem decyzyjny można sformułować jako zagadnienie

programowania liniowego o następujących własnościach:





Metoda Dantzig’a – Wolfe’a - struktura zagadnienia

c0 c1 c2 … ck z

A0 A1 A2 … Ak = b0

B1 = b1

B2 = b2

… = …

Bk = bk

Struktura zagadnienia programowania liniowego rozważana w

metodzie dekompozycji Dantzig’a – Wolfe’a





Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – struktura zagadnienia

Zasada dekompozycji Dantzig’a – Wolfe’a

Rozważamy zagadnienie programowania liniowego o strukturze:

Znaleźć wektory

K,p,p 0x

które maksymalizują

p

T

p

Kp

p

z xc

0


Kp

p

pp

0

0bxA K,p,ppp 1 bxB K,p;p 0 0x

(i)

(ii)

(iii) (iv) (v)





Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – pełne zagadnienie główne

Załóżmy:

1. znamy wszystkie rozwiązania wierzchołkowe – bazowe spełniające

zbiory ograniczeń

0x

bxB

p

pppp :LK,p 1

2. jest zbiorem ograniczonymK,p,Lp 1

Wniosek:

Dowolne rozwiązanie dopuszczalne można

przedstawić jako kombinację wypukłą rozwiązań wierzchołkowych –

bazowych zbioru

K,p,Lpp 1x

K,p,Lp 1

K,p,Lp 1






Oznaczmy rozwiązania wierzchołkowepL

K,p;,,,,,ppNpjpp 121 xxxx

Dowolne rozwiązanie spełniające ograniczenia

można przedstawić jako wypukłą kombinację rozwiązań

wierzchołkowych:

K,p,Lp 1K,p;p 1x

ppj

N

j

pj

N

j

pjpjp

N,j,K,p;

K,p;

K,p;

p

p

110

11

1

1

1

xx





Podstawmy tak skonstruowane rozwiązanie spełniające ograniczenia

(iv) – (v), czyli do równań określających ograniczenia (iii)


K,p,Lp 1

Kp

p

pp

0

0bxA

Kp

p

N

j

pjpjp

p

1

0

1

00 bxAxA

oraz do funkcji kryterialnej (ii) zagadnienia

p

T

p

Kp

p

z xc

0

Kp

p

N

j

pjpj

T

p

Tp

z1 1

00 xcxc





Po uwzględnieniu warunków wypukłej kombinacji możemy rozwiązywanie

zagadnienia (i) – (v) zastąpić rozwiązywaniem zagadnienia:


Znaleźć wektory

K,p;p 1

0

λ

x



0x 0

(vi)

(vii)

(viii)

(ix)

(x)

Kp

p

N

j

pjpj

T

p

Tp

z1 1

00 xcxc

Kp

p

N

j

pjpjp

p

1

0

1

00 bxAxA

K,p;p 1 0λ

p

N

j

pj N,p;p

111






Zdefiniujmy transformacje

ppjppj N,j,K,p; 11 xAp

ppj

T

ppj N,j,K,p;f 11 xc






Zagadnienie (vi) – (x) można sformułować:

Znaleźć wektory

K,p;p 1

0

λ

x

(xi)



0x 0

(xii)

(xiii)

(xiv)

(xv)

Kp

p

N

j

pjpj

Tp

fz1 1

00 xc

Kp

p

N

j

pjpj

p

1

0

1

00 bpxA

K,p;p 1 0λ

p

N

j

pj N,p;p

111






Struktura pełnego zagadnienia ekstremalnego

Terminologia:

zagadnienie (xi) – (xv) - pełne zagadnienie ekstremalne

00001 Nj aaa 11111 Nj ppp ppNpjp ppp 1 KKNKjK ppp 1

111

111

111

00001 Nj ccc 11111 Nj fff

ppNpjp fff 1 KKNKjK fff 11

m0

K

z

0b

1

1

1






Oznaczmy optymalne rozwiązanie pełnego zagadnienia ekstremalnego

jako:

K,p;p 1

0

λ

x

gdzie,

00

0

01

0

N

j

x

x

x

x K,p;

ppN

pj

p

p 1

1

λ






Rozwiązanie optymalne pełnego zagadnienia ekstremalnego pozwala

określić optymalne rozwiązanie dla podzagadnień :K,p,Lp 1

K,p,pN

j

pjpjp 11

0

xx






Terminologia:

pierwsze m wierszy zagadnienia ekstremalnego – wiersze przerzutów

ostatnich k wierszy zagadnienia ekstremalnego – wiersze wypukłości

- kolumna naturalna zagadnienia ektremalnego

- kolumna ekstremalna zagadnienia ekstremalnego

0

a j0

p

pj

e

p





Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – ograniczone zagadnienie główne

Dla efektywnego znalezienia rozwiązania optymalnego zagadnienia

ekstremalnego przy korzystaniu ze zmodyfikowanej metody simpleksowej

nie jest potrzebna znajomość pełnej struktury zagadnienia ekstremalnego

!!!








jest potrzebna znajomość

zestawu kolumn naturalnych i kolumn ekstremalnych

tworzących aktualną macierz kolumn bazowych i odpowiadających im

wartości i

zestawu kolumn naturalnych i kolumn ekstremalnych oraz

odpowiadających im wartości i które wchodząc do kolejnej

bazy mogą poprawić aktualną wartość funkcji celu

0

a j0

p

pj

e

p

j0cpjf

0

a j0

p

pj

e

p

j0cpjf








potrzeba posiadać metodę generowania kolumn ekstremalnych mogących

poprawić aktualną wartość funkcji celu pełnego zagadnienia






Metoda Dantzig’a – Wolfe’a do wyboru kolumn – kandydatów do

wprowadzenia do bazy, wykorzystuje kryterium stosowane w metodzie

simpleksowej





Oznaczmy macierz utworzoną z bazowych kolumn zagadnienia głownego

przez B

Wektor mnożników simpleksowych odpowiadający aktualnemu

rozwiązaniu zagadnienia ekstremalnego

1 BfπT

B

T


gdzie, - wektor składający się z współczynników oraz , które

odpowiadają kolumnom aktualnej bazy, wymiar tego wektora

Bf jc0 pjf

Km 0

TTT 21πππ

gdzie, - podwektor związany z wierszami przerzutów, a ,

podwektor związany z wierszami wypukłości zagadnienia ekstremalnego

T1π T2

π





Wycena kolumn – kandydatów do wprowadzenia do bazy


Kolumny naturalne

oj

T

j

ojT

j cc Aπ0

Aπ

1

00

Kolumny ekstremalne

21

21

21

ppjp

TT

p

ppjp

T

pj

T

p

ppj

T

pj

T

p

p

pjT

pjf

xAπc

xAπxc

pπxce

pπ






Kryterium optymalności rozwiązania ekstremalnego

Kolumny naturalne

01

0

oj

T

jBj

cmax Aπ

Kolumny ekstremalne

021

ppjp

TT

pBj

max xAπc






Poszukiwania kolumn – kandydatów do bazy zagadnienia ekstremalnego

Kolumny naturalne

Dla znanych kolumn niebazowych obliczamyojA

oj

T

jc Aπ1

0

Kandydaci

01

0 oj

T

jc Aπ






Poszukiwania kolumn – kandydatów do bazy zagadnienia ekstremalnego – c.d.

Kolumny ekstremalne

21

ppp

TT

pp

max xAπcx

0x

bxB

p

pppp :LK,p 1


Kandydaci

021 ppp

TT

p xAπc

Dla znalezienia nowych kolumn ekstremalnych rozwiązujemy K

podzagadnień K,p,Lop 1





Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – struktura kooperacji

Centrum systemu

Rozwiązuje ograniczone zagadnienie ekstremalne/główne

Poziom II

Podsystem 1

Rozwiązuje

podzagadnienie Lo1

Podsystem p

Rozwiązuje

podzagadnienie Lop

Podsystem K

Rozwiązuje

podzagadnienie LoK

T

TT

π 1

1

1

1

11 Aπcγ

j1x

Tp

p

TT

pp

π 1

1Aπcγ

pjx Kjx

TK

K

TT

KK

π 1

1Aπcγ





Bibliografia

• George B. Dantzig, Linear Programming and Extensions, Princeton

University press, Princeton, 1963

• George B. Dantzig, Mukund N. Thapa. Linear programming 1:

Introduction. 2: Theory and Extensions. Springer, 2003.

• Saul I. Gass, Programowanie liniowe, PWN, Warszawa, 1973.

• Kazimierz Duzinkiewicz, Analiza wybranych metod wielopoziomowej

optymalizacji produkcji w kombinacie rafineryjno – petrochemicznym.

Część II: Metoda Dantzig’a – Wolfe’ dekompozycji programu liniowego.

Badania i analiza możliwości wykorzystania do dwupoziomowej

optymalizacji produkcji w kombinacie rafineryjno – petrochemicznym. Praca dyplomowa magisterska – Politechnika Gdańska, 1973.





Dziękuję

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu

Documents

Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji · Problem konsorcjum (program produkcji). Konsorcjum składa się z dwóchfabryk A oraz B. Każdafabryka wykonuje dwa takie same