Kompendium samlet.pdf

Noter til Brush Up

Pil Maria Saugmann, Bjarke Takashi Røjle Christensen

29. december 2011

1

Noter til brushup matematik

Indhold

1 Forord 3

2 Potens-, eksponential- og logaritmefunktioner 4

2.1 Potensfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Eksponentialfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Logaritmefunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Vektorer 7

3.1 Vektorer generelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Vektorer i to dimensioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3 Vektorer i tre dimensioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Differentialregning 13

4.1 Regneregler for differentiaton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 Differentiation af vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Funktionsundersøgelse 16

6 Integralregning 19

6.1 Partiel integration og integration ved substitution . . . . . . . . . . . . . . 20

7 Løsning af ligningssystemer 22

8 Trigonometriske sammenhænge og enhedscirklen 26

9 Introduktion til anvendt statistik 29

9.1 Introduktion til introduktion til anvendt statistik . . . . . . . . . . . . . . 29

9.2 Middelværdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

9.3 Standardafvigelsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

9.4 Histogrammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

10 Introduktion til MatLab 32

10.1 Introduktion til introduktion til MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

10.2 MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

10.3 Elementær aritmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

10.4 Vektor/Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

10.5 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

10.6 Scripts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

10.7 HELP! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2


10.8 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

11 Appendix - Typisk MatLabskærm 38

1 Forord

Følgende kompendium bestar af fire dele. Første del (kap. 1-8) udgør et notesæt, hvis

formal er at gennemga de omrader af gymnasiematematikken, som er relevante for fysik-

studiet pa Københavns Universitet.

Anden del (kap. 9) er et notesæt, som giver en let introduktion til den statistik, som

vil blive benyttet i den første tid af studiet. Indholdet i de to første dele bør være kendt

stof efter gennemførelse af matematik pa A-niveau i gymnasiet.

Tredje del (kap. 10) i dette kompendium er udenfor gymnasiepensummet. Denne del

er en meget kort introduktion til systemet MatLab. Formalet med denne del er først og

fremmest at give den nye studerende kendskab til, at MatLab er noget, som skal læres.

Formalet er derfor ikke at gøre den studerende i stand til at benytte MatLab.

I fjerde del (bagerst i kompendiet) kan alle de opgaver, som gennemgaes i Brush Up-

kursets 10 dage findes.

Vi haber, at dette materiale sammen med selve kurset kan give de nye studerende den

bedst tænkelige start pa deres studie.

3


2 Potens-, eksponential- og logaritmefunktioner

I dette kapitel præsenteres først en oversigt over de forskellige regneregler, der gælder

for potenser og logaritmer. Derefter gennemgaes funktioner, hvori potenser og logaritmer

indgar, og der nævnes nogle typiske eksempler pa, hvor man støder pa den type funktioner

i fysikken.

2.1 Potensfunktioner

For et tal a kaldes ap for den p’te potens af a. Tallet a kaldes yderligere for grundtallet

og p for potenstallet. For udtryk bestaende af flere potensfunktioner gælder regnereglerne

vist i tabel 1. En potensfunktion er en funktion, hvor den variable x er grundtallet, der er

an · ap = an+p

an · bn = (a · b)nan

ap= an−p

an

bn=

(ab

)n1ap

= a−p

(ap)n = (a)np

Tabel 1: Potensregneregler

opløftet i en potens.

Eksempel 1

Udregn

f(x) =(x−3)9

for x = 2

f(2) =(2−3)9

= (2)6 = 64

2.2 Eksponentialfunktioner

En ekspotentialfunktion er en funktion, hvor variablen x er potenstallet. Den mest kendte

eksponentialfunktion (og ofte brugt i fysik) er den naturlige eksponentialfunktion, hvor

grundtallet er e. Potensregnereglerne gælder ogsa for eksponential funktioner. For den

naturlige eksponentialfunktion gælder det, at den er positiv for alle x.

4


Eksempel 2

Lad

f(x) = e3x · e−2x−1.

Bestem f(x) for x = 1.

f(1) = e3−2−1 = 1.

2.3 Logaritmefunktioner

Den omvendte (inverse) funktion af den naturlige eksponentialfunktion kaldes den naturlige

logaritme og skrives ln(x). Nar man kalder den for den omvendte funktion skyldes det at

ln(ex) = x.

Nar man tager den naturlige logaritme af et tal, spørger man derfor: ’hvad skal e opløftes

i for at fa dette tal?’. Hvor man for potens- og eksponentialfunktioner har potensregnere-

glerne, har man for logaritmefunktioner logaritme regnereglerne, der er vist i tabel 2.3.

ln(a · b) = ln(a) + ln(b)

ln(ab

)= ln(a)− ln(b)

ln (a)r = r ln(a)

ln(e) = 1

Tabel 2: logaritmeregneregler

Udover den naturlige logaritme bruger man ogsa ofte i fysik 10-talslogaritmen. Den

skrives som log(x), og for den gælder at log(10) = 1. Ellers gælder de samme regneregler

som for den naturlige logaritme.

5


Eksempel 3: Enheden decibel (dB)

Mange steder i fysikken, og især blandt ingeniører bruges enheden decibel (dB),

der er defineret som 10-talslogaritmen af en værdi ganget med ti. En størrelse x

i decibel udregnes altsa som følgende:

10× log(x).

Det er værd at nævne, at ingeniører gerne rask væk skriver malte størrelser med

enheder ind i en logaritme og skriver det i decibel. Det ma man jo ikke, da man

kun kan tage logaritmen af enhedsløse størrelser, men ingeniører er ligeglade. For

eksempel males effekten af en laser oftest i [dBm], der er defineret som:

[dBm] = 10× log([mW])

Figur 1: Et output spektrum for en til-

fældig fiberforstærker til lasere.

Hvorfor er det smart? Det er smart,

fordi alle eksperimentelle komponen-

ter forstærker/dæmper signaler med

en hvis brøkdel af det oprindelige sig-

nals styrke, og aldrig med en bestemt

værdi. Du finder altsa aldrig et kom-

ponent som ’forstærker signalet med

10 mW’. Vil man for eksempel finde

forholdet mellem et signal før og efter

en proces, kan man meget hurtigt

fa dette forhold ved at trække de

to værdier i decibel fra hinanden.

Tænk lige et øjeblik over hvorfor

dette gælder! Grunden til at dette

gælder er selvfølgelig, at forskellen

mellem logaritmen af to værdier er lig logaritmen af forholdet mellem de to

værdier. Se tabel 1.

log(a)− log(b) = log(ab

)

Man kan nærmest ogsa aflæse forholdet mellem to signaler med øjet, hvis vi

benytter os af en logaritmisk akse. Se figur 1, hvor forholdet er markeret med en

dobbelpil.

6


3 Vektorer

3.1 Vektorer generelt

En vektor ~a er en linie med en længde og en retning. I n dimensioner skrives en vektor pa

følgende made:

~a =

a1...

an

.

I fysik arbejder vi for det meste med vektorer i 2, 3 eller 4 dimensioner. To eller tre

stedslige koordinater og den tidslige.

Addition af vektorer

For to vektorer ~a og ~b i n dimensioner

~a =

a1...

an

, ~b =

b1...

bn

gælder, at vi kan lægge de to vektorer sammen og fa en ny vektor pa følgende made:

~a+~b =

a1 + b1

...

an + bn

.

Pa tilsvarende made kan to vektorer trækkes fra hinanden.

Skalarprodukt af to vektorer

Vi kan tage skalarproduktet (prikproduktet) af to vektorer og fa en skalar (et tal). Skalarpro-

duktet er defineret som:

~a ·~b = a1b1 + · · ·+ anbn.

7


Længden af en vektor

Længden af en vektor er:

|~a| =√a21 + · · ·+ a2n

Man skal dog være opmærksom pa, at vektorene ~a og ~b skal have samme dimension.Eksempel 4

Lad

~a =

1

4

7

, og ~b =

−2

0

4

.

Sa gælder det at

~a+~b =

1− 2

4 + 0

7 + 4

=

−1

4

11

,

~a ·~b = 1 · (−2) + 4 · 0 + 7 · 4= 26,

|~a| =√

(12 + 42 + 72)

=√

66,

og |~b| =√

((−2)2 + 02 + 42)

=√

20.

3.2 Vektorer i to dimensioner

For vektorer i to dimensioner gælder desuden følgende regneregler.

Vinklen mellem to vektorer

en vigtig sammenhæng mellem skalarproduktet af to vektorer og vinklen v mellem de

samme to vektorer er:

cos(v) =~a ·~b|~a| · |~b|

.

8


Tværvektoren

Tværvektoren til en vektor ~a er defineret som

a =

(−a2a1

), for ~a defineret som ~a =

(a1a2

).

Fra de to ovenstaende sammenhænge ses det, at hvis

~a ·~b = 0 sa ~a ⊥ ~b,og ~a ·~b = 0 sa ~a||~b.

Tværvektoren er altsa en vektor med samme længde som den oprindeligevektor, som star

vinkelret pa den oprindelige vektor.

Determinanten af to vektorer

Determinanten af to 2-dimensionelle vektorer er defineret som

det(~a,~b) = ~a ·~b= a1b2 − a2b1.

Hvis ~a og ~b er vinkelrette er det(~a,~b) = 0.

Ud fra determinanten kan man ogsa finde arealet A af det parrallelogram, de to vektorer

udspænder.

A = |det(~a,~b)|

Eksempel 4: Tværvektor

Lad

~a =

(1

4

).

Sa er tværvektoren til ~a

~a =

(−4

1

).

9


Eksempel 5: Vinklen mellem to vektore

Lad

~a =

(1

4

)og ~b =

(3

2

).

Bestem vinklen mellem de to vektorer

cos(v) =

(1

4

)·(

3

2

)

∣∣∣∣(

1

4

)∣∣∣∣∣∣∣∣(

3

2

)∣∣∣∣

=3 + 8√17 ·√

13=

11√221

.

Vinklen v kan nu findes ved brug af arccos (arcus cosinus). Arccos er det inverse

af cos og svarer til ’cos−1’-knappen pa din lommeregner.

v = arccos

(11√221

)≈ 0.74 (i radianer).

3.3 Vektorer i tre dimensioner

Krydsprodukt mellem to vektorer

I tre dimensioner findes der en regneoperation mere for vektorer: krydsproduktet. Kryd-

sproduktet mellem to vektorer giver en ny vektor og er definerer pa følgende made.

For to vektorer

~a =

a1a2a3

og ~b =

b1b2b3

,

er krydsproduktet givet som

~a×~b =

a1a2a3

×

b1b2b3

=

a2b3 − a3b2a3b1 − a1b3a1b2 − a2b1

.

10


Arealet af det udspændte parallellogram

I tre dimensioner er arealet af et parallellogram udspændt af to vektorer bestemt som

længden af krydsproduktet:

A = |~a×~b|.

Vinklen mellem to vektorer

For vektorer i tre dimensioner kan vinklen mellem to vektorer bestemmes ved brug af

følgende formel.

sin(v) =|~a×~b||~a||~b|

eller ved brug af

cos(v) =~a ·~b|~a||~b|

Bemærk at det sidstnævnte udtryk er identisk med udtrykket for vinklen mellem to todi-

mensionelle vektorer. Se kapitel 3.2.

11


Eksempel 6

Bestem vinklen mellem

~a =

1

4

7

og ~b =

−2

0

4

Fra eksempel 4 har vi, at

|~a| =√

66, og at |~b| =√

20.

Ved at finde krydsproduktet mellem de to vektorer kan vi nu bestemme vinklen.

~a×~b =

16

−18

8

,

sa

|~a×~b| =√

162 + 182 + 82 = 2√

161

derved bliver

sin(v) =2√

161√66√

20

=2√

161

2√

330

=

√161

330

sa vinklen v kan findes ved

v = arccos

(√161

330

)≈ 0.80(i radianer).

12


4 Differentialregning

En af de matematiske redskaber, som oftest er benyttet i fysikken, er differentialreg-

ningen. Nar man differentierer en funktion finder man en funktionsforskrift pa, hvordan

den oprindelige funktion ændre sig. Denne funktionsforskrift kaldes for funktionens differ-

entialkvotient, og det at differentiere kaldes ogsa ofte ’at aflede’.

I tabel 3 er de mest almindelige funktioner og deres tilhørende differentialkvotienter præsen-

teret.

f(x) f’(x)

k 0

kx k

xn n·xn−11x

= x−1 − 1x2

= −x−2√x = x1/2 1

2√x

= 12· x−1/2

ax ln(a) · axsin(x) cos(x)

cos(x) −sin(x)

tan(x) 1(cos(x))2

ln(x) 1x

ex ex

ekx k · ekx

Tabel 3: Differentialkvotienter

4.1 Regneregler for differentiaton

Det fantastiske ved at differentiere er, at, har man først faet fuldstændigt styr pa det,

sa kører det bare. For at na dertil er det en rigtig god ide at fa fuldstændigt styr pa de

regneregler, der gælder nar man differentierer. Differentiation er heller ikke noget man kan

lære ved blot at læse om det. Du bliver nødt til at gøre det sa mange gange, at din hjerne

helt af sig selv differentierer de funktioner, du ser!

Differention af summen eller differensen af to funktioner er fuldstændigt lige til i det,

man blot skal differentiere hvert led for sig.

(f(x)± g(x))′ = f ′(x)± g′(x).

For differentiation af produktet eller forholdet mellem to funktioner følges følgende formler

(f(x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x),(f(x)

g(x)

)′=f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

(g(x))2,

13


og hvis man har en sammensat funktion benyttes

(f (g(x))) = g′(x)f ′ (g(x)) .

I og for sig er der ikke noget mystisk i det, men hvis man skal benytte en kompination af

de ovenstaende regler, kan det hurtigt blive kompliceret. Sa er der kun en vej, og det er at

holde tungen lige i munden og identificerer hvilke led der skal differencieres hvorledes!

Eksempel 7

Lad funktionerne f(x) og g(x) være givet ved

f(x) = e3x, og g(x) = x2 + 3x+ 2.

Bestem (f(x)g(x))′,(f(x)g(x)

)′, (f (g(x)))′ og (g (f(x)))′.

Først finder vi f ′(x) og g′(x).

f ′(x) = 3e3x , g′(x) = 2x+ 3.

Dernæst kan vi ud fra de to fundne diferentialkvotienter finde:

(f(x)g(x))′ = f ′(xg)g(x) + f(x)g′(x)

= 3e3x(x2 + 3x+ 2

)+ e3x (2x+ 3)

= e3x(3x2 + 11x+ 9

),

(f(x)

g(x)

)′=f ′(x)g(x)− f(x)g(x)

(g(x))2

=3e3x (x2 + 3x+ 2)− e3x (2x+ 3)

(x2 + 3x+ 2)2

=e3x (3x2 + 7x+ 6)

(x22 + 3x+ 2)2,

(f (g(x)))2 = g′(x)f ′ (g(x)) = 3 (2x+ 3) e3(x2+3x+2)

og

(g (f(x)))′ = f ′(x)g′ (f(x))

= 3e3x(2e3x + 3

)

= 6e6x + pe3x.

14


4.2 Differentiation af vektorer

I fysik er det ofte interessant at undersøge, hvordan forskelige størrelser ændrer sig som

funktion af hinanden. Det kan for eksempel være hvordan en stedfunktion ændrer sig som

funktion af tiden, hvordan trykket ændrer sig som funktion af volumet, eller hvordan en

partikels kvantemekaniske bølgefunktion ændrer sig med tiden! I mange situationer er den

oprindelige funktion en vektor. Eksempelvis har vi ofte en stedfunktion, der bade har en

x og y koordinat. Nar man differentierer en vektor er det lige ud ad af landevejen, da de

enkelte koordinater blot skal differentieres hver for sig. Den afledte af en vektor med x- og

y-koordinater bestar altsa af den afledte af x og den afledte af y.

Nedenfor præsenteres et eksempel pa, hvorledes vi fra en given stedfunktion i to dimen-

sioner finder bade hastigheden og accelerationen.

Eksempel 8

For en bil der kører rundt i en cirkel er stedfunktion fundet til at være

(x(t)

y(t)

)=

(R · cos(2π t

T)

R · sin(2π tT

)

)

hvor T er omløbstiden

Bestem hastigheden og accelleration som funktion af tiden.

Hastigheden som funktion af tiden findes ved at differentiere stedfunktionen med

hensyn til t

(vx(t)

vy(t)

)=

(−2πTR · sin(2π t

T)

2πTR · cos(2π t

T)

).

Acceleration som funktion af tiden bestemmes ved at differentiere hastigheds-

funktionen yderligere med hensyn til t

(ax(t)

ay(t)

)=

(−(2πT

)2R · cos(2π t

T)

−(2πT

)2R · sin(2π t

T)

).

15


5 Funktionsundersøgelse

En funktionsundersøgelse bestar af fem trin, hvis formal er at afdække, hvordan en

funktion opføre sig. Disse trin for en funktion f(x) er:

• Definitions mængden

Definitionsmængden er de værdier af x for hvilke f(x) er defineret. Hvis f(x) bestar

af flere forskellige delfunktioner, f.eks g(x) og h(x), er definitionsmængden for f(x)

fællesmængen for definitionsmængden for g(x) og h(x). Altsa de x værdier de to

definitionsmængder har til fælles.

• Nulpunkter

Nulpunkterne er de værdier af x for hvilke f(x) = 0. For at finde nulpunkterne til

f(x) løser man ligningen

f(x) = 0.

Hvis f(x) er en sum eller differens af to funktioner g(x) og h(x) findes nulpunkterne

ved at finde de x værdier hvor

g(x)± h(x) = 0.

Hvis f(x) er en sammensatfunktion saledes at f(x) = g (h(x)) findes nulpunkterne

ved at finde de x-værdier hvor

g(x′) = 0,

og derefter findes de værdier for h(x), der opfylder at

h(x) = x′.

Hvis f(x) er produktet af g(x) og h(x) findes nulpunkterne ved at finde nulpunk-

terne for funktionen g(x) og nulpunkterne for funktionen h(x). Hvis f(x) er forholdet

mellem g(x) og h(x) findes nulpunkterne ved at finde nulpunkterne for g(x).

I alle tilfælde hvor f(x) bestar af mere end en funktion gælder der dog, at nulpunkterne

skal ligge i den fælles definitionsmængde.

• Fortegn

En del af en funktionsundersøgelse er at undersøge for hvilke x, f(x) er positiv, og for

hvilke x, f(x) er negativ. Hvis en funktion skal skifte fortegn, ma funktionen enten

krydse x-aksen eller springe. I det første tilfælde vil funktionen skifte fortegn nar x

passerer et nulpunkt. I det andet tilfælde kræver det, at der er et hul i definitions-

mængden, for at der kan ske et fortegnsskifte.

Fortegnet for en funktion kan altsa bestemmes ved at finde funktionsværdien f(x)

til et x, der ligger i intervallerne mellem nulpunkter og huller i definitionsmængen.

16


• Monotoniforhold & ekstremum

Monotoniforholdene for en funktion f(x) fortæller os, hvornar f(x) er voksende, og

hvornar f(x) er aftagende. Nar f(x) er voksende, vil den afledte af f(x) være positiv.

Nar f(x) er aftagende, vil den afledte være negativ. Man finder altsa monotoniforhold-

ene for en funktion f(x) ved at gennemføre punkt 1-3 af funktionsundersøgelsen for

f ′(x).

Nar man finder nulpunkterne for f ′(x), finder man de værdier for f(x), hvor funk-

tionen skifter fra at være voksende til at være aftagende eller omvendt. Det giver

samtidigt de værdier, hvor f(x) har ekstrema. Dvs. lokale maksima eller lokale min-

ima.

• Værdimængde

Til slut bestemmer vi funktionen f(x)’s værdimængde. Det er de værdier f(x) kan

antage for x-værdierne i definitionsmængden. Man bestemmer værdimængden ud fra

de lokale ekstrema og grænseværdien af f(x) i endepunkterne af de forskellige dele

af definitionsmængden.

Eksempel 9

En rundbold bold skydes af sted fra startpositionen (x0, y0) = (0, 1 m) og med

starthastighed (v0x, v0y) = (4 m/s, 3 m/s). Vi ønsker at undersøge, hvor højt og

hvor langt bolden nar. Det gør vi ved at udføre funktionsundersøgelse pa x- og

pa y-funktionen. Værdimængden for x funktionen svarer nemlig til, hvor langt

bolden nar, mens værdimængden til y-funktionen svarer til, hvor højt bolden nar.

Sa lad os starte med at skrive vores funktioner op. Vores funktioner er i dette

eksempel stedfunktionerne for en bold i et tyngdefelt med acceleratioen g:

x(t) = v0xt+ x0 , y(t) =1

2gt2 + v0yt+ y0.

Vi starter med at bestemme definitionsmængden for vores funktioner. Da vores

variabel er tiden t, er vores definitionsmængden tidsintervallet fra bolden bliver

skudt afsted til den lander. Vores bold bliver skudt afste,d nar t = 0, og den

lander, nar y(t) = 0. Sa vi starter med at udføre funktionsanalysens punkt 1 til

5 pa y-funktionen.

y(t) = 0 ⇔ 0 =1

2gt2 + 3 m/st+ 1 m

. . .

17


Eksempel 9 (fortsat)

Vi løser andengradsligningen ved først at finde at d = (3 m)2− 4 · g2

= 28.64 m2,

derefter kan vi finde t

t =−3 m±

√28.64 m2

g.

Vi far nu, at y(t) = 0 for t = −0.24 s, og for t = 0.85 s. Da tiden t ikke kan være

negativ er vores definitionsmængde t ∈ [0; 0.85 s].

Det eneste nulpunkt for y(t) er t = 0.85 s.

Da der ikke er noget spring i definitionsmængden og y(t) ikke ktydser nul, har

funktionen samme fortegn hele tiden. I dette tilfælde er funktionen positiv hele

tiden. (Tjek selv).

For at undersøge hvor højt bolden nar, ma vi undersøge hvornar vy(t) = 0. Vi

finder vy(t) ved at differentierer y(t) sa:

vy(t) = gt+ v0y = gt+ 3 m/s.

Derefter løser vi vy(t) = 0.

0 = gt+ 3 m/s

m

t = −3 m/s

g= 0.305 s.

Maksimalhøjden

Vi kan nu finde den maksimale højde ved at sætte den funden t værdi ind i vores

oprindelige y(t)-funktion.

ymax =1

2g (0.305[s])2 + 3m/s0.305s + 1m

= 1.458m

For at bestemme hvor langt i x-retningen bolden nar, er det nok at sætte t =

0.85 s ind i udtrykket x(t)

x(t) = 4 m/s× 0.85 s

= 3.4 m

Du kan selvfølgelig ogsa vælge at udføre funktionsundersøgelsens punkt 1-5 for

x(t). Gør det evt. for at tjekke resultatet efter.

18


6 Integralregning

Ubestemte integraler

I fysik benytter man meget ofte differentialregning for at løse forskellige problemstillinger.

Vil man det modsatte af at differentiere, altsa finde ud af hvilken funktion der skulle

differentieres for at fa den givne funktion, sa benyttes et andet meget vigtigt redskab,

nemlig integrationen. Man integrerer for eksempel en hastighedsfunktion for at finde en

tilhørende stedfunktion. I integralregningen bruger man følgende notation:

F (x) =

∫f(x)dx,

hvor F (x) kaldes for stamfunktionen til f(x),∫

kaldes for integraltegnet, og f(x) for inte-

granden. Der gælder at F ′(x) = f(x).

Hvis en stamfunktion G(x) er lig en konstant k, G(x) = k, sa gælder det for inte-

granden g(x), at G′(x) = g(x) = 0. Hvis der sa gælder for en anden stamfunktion F (x),

at F (x) = f(x), sa er F (x) + G(x) ogsa en stamfunktion til f(x). Der gælder altsa, at

en funktion f(x) kun har en afledt funktion, men den har uendelig mange stamfunktioner

nemlig F(x)+k.

I tabel 4 ses en oversigt over en række vigtige funktioner og deres tilhørende stamfunk-

tion.

f(x) F (x)

0 k

k kx

xn 1n+1· xn+1

1x

= x−1 ln(x)√x = x1/2 2

3x3/2

ax 1ln(a)· ax

sin(x) −cos(x)

cos(x) sin(x)

tan(x) ln(cos(x))

ln(x) x · ln(x)− xex ex

ekx 1k· ekx

Tabel 4: Stamfunktioner

19


6.1 Partiel integration og integration ved substitution

Hvis man ikke umidelbart kan løse et integrale, findes der to metoder man kan gøre brug af,

nemlig partiel integration og integration ved substitution. I dette afsnit gennemgaes først

de to metoder. Derefter er der en kort diskussion af hvornar man bruger den ene metode,

og hvornar man bruger den anden metode.

Partiel integration

Partiel integration er metoden man benytter, hvis man har et produkt af to funktioner, hvor

stamfunktionen til den ene af funktionerne er kendt, og den anden funktion er differentiabel.

Formlen for partiel integration er:

∫f(x)g(x)dx = F (x)g(x)−

∫F (x)g′(x)dk.

Nogle gange kan det være nødvendigt at udføre partiel integration flere gange for at løse

et integrale.Eksempel 10: Partiel integration

Lad f(x) og g(x) være givet ved

f(x) = cos(x) , g(x) = x3.

Bestem integralet

∫ 2π

0

f(x)g(x)dx =

∫ 2π

0

cos(x)x3dx

=[x3sin(x)

]02π−∫ 2π

0

3x2sin(x)dx

= 0 +[3x2cos(x)

]2π0−∫ 2π

0

6xcos(x)dx

= 12π2 − [6xsin(x)]2π0 −∫ 2π

0

6sin(x)dx

= 12π2 [6cos(x)]2π0 = 12π2

Integration ved substitution

Integration ved substitution benyttes i tilfælde af, at man har en sammensat funktion, eller i

tilfælde af man har et produkt af to funktioner, hvor den ene funktion er differentialkvotient

til den anden. Ideen bag integration ved substitution er, at at man skifter variable. Nar

man skifter variable i et bestemt integral, er det vigtigt at husk at ændre grænserne, sa de

20


passer til det variableskift man har fortaget sig. Formlen for integration ved substitution

ses nedenfor: ∫f((g(x)))g′(x)dx =

∫f(t)dt.

Eksempel 11: Integration ved substitution

Lad f(x) være givet ved

f(x) = x ln(x2).

Bestem integralet

∫ e2

1

f(x)dx =

∫ e2

1

x ln(x2)dx.

For at løse integralet substituerer vi pa følgende made:

t = x2

mdt

dx= 2x

m

dx =dt

2x

og vi finder de ny grænser

t(1) = 12 = 1,

t(e2) =(e2)2

= e4.

Det vil sige, at vi skal udregne følgende integrale

∫ e2

1

x ln(x2) =

∫ e4

1

x ln(t)

2xdt

=

∫ e4

1

ln(t)

2dt

=1

2

∫ e4

1

ln(t)dt

=1

2[x · ln(x)− x]e

4

1

=1

2

(4e4 − e4 + 1

)= 3e4 + 1

21


7 Løsning af ligningssystemer

I dettte afsnit er der gennemregnet en række eksempler pa forskellige typer af lign-

ingssystemer. Først er der gennemregnet et eksempel pa et et ligningssystem med to

ligninger og to ubekendte. Derefter er der gennemregnet to eksempler pa ligningssyste-

mer med en ubekendt, men hvor der indgar numeriske tegn.

For at løse ligninger skal man oveholde følgende fem regler

1. Lægge det samme tal til pa hver sin side af lighedstegnet

2. Trække det samme tal fra pa hver sin side af lighedstegnet

3. Gange med det samme tal pa hver side af lighedstegnet- dog ikke med nul

4. Dividere med det samme tal pa hver side af lighedstegnet- dog ikke nul

5. Tage den samme funktion pa begge sider af lighedstegnet

For at forsta de gennemregnede eksempler fuldt ud er det en god ide at tjekke, at man

forstar hvilken regel, der bruges i de forskellige led af mellemregningerne.

Ligningssystem med to ubekendte

Lad

2x+ 5y = 3

−7x+ 2y = −1

For at løse ligningssystemet starter vi med at isolere x i den ene af ligningerne. Vi vælger i

dette eksempel at gøre det i den første ligning, men man kunne lige sa godt have valgt at

isolere x i den anden ligning.

2x+ 5y = 3 ⇔ x =3− 5y

2.

Derefter indsætter vi det ovenstaende udtryk for x i den anden ligning

−7x+ 2y = −1 ⇔ −7

(3− 5y

2

)+ 2y = −1.

22


Vi isolerer nu y i den anden ligning

−7

(3− 5y

2

)+ 2y = −1

m2y +

35y

2=

21

2− 1

m39y

2=

19

2m

y =19

39

Vi har nu fundet y og kan nu finde x ved at indsætte y i det udtryk, hvor vi isolerede x

x =3− 519

39

2=

11

39

Ved at indsætte værdierne for x og y i de to oprindelige ligninger kan vi tjekke, om vi har

fundet løsningen ved at se om de to udtryk giver det samme.

Ligningssytem med en ubekendt og numeriske tegn

I de næste to eksempler arbejder vi med ligningssystemer, hvor der optræder numeriske

tegn. For at kunne løse sadan ligningssystemer skal vi vide, hvordan vi ophæver de nu-

meriske dele af ligningssystemet.

23


Eksempel 12

Lad

|3x− 4| = 5x

for at løse denne ligning er det nødvendigt at splitte det op i to tilfælde, nemlig

3x− 4 ≥ 0 og 3x− 4 ≤ 0. For det første tilfælde kan vi uden problemer ophæve

de numeriske tegn, da det, der star imellem dem, er positivt. Sa i det tilfælde far

vi, at

3x− 4 = 5x

m−4 = 2x

mx = −2

For at være sikker pa at −2 er en løsning, er vi dog nødt til at tjekke værdien af

udtrykket for x = −2

3 · (−2)− 4 = −10 ≤ 0.

Da x = −2 ikke opfylder betingelsen om at 3x − 4 ≥ 0, kan −2 ikke være en

løsning. For det andet tilfælde hvor 3x−4 ≤ 0, ophæves de numeriske tegn ved at

gange med −1 pa den ene side af lighedstegnet. Det medfører, at vi far følgende

udtryk:

−3x+ 4 = 5x

m4 = 8x

mx =

1

2.

Vi tjekker igen, om løsningen passer med vores begyndelsesbetingelse:

3 · 1

2− 4 = −1

2≤ 0. (Det gør den!)

Da −12

opfylder begyndelsesbetingelserne om, at 3x− 4 ≤ 0, er det en løsning.

24


Eksempel 13

Betragt ligningssystemet

|2x− 4| = | − x+ 3|.

For at kunne løse dette ligningssystem ma vi først undersøge, hvordan vi ophæver

de numeriske tegn. Der er fire mulige scenarier.

• 2x− 4 ≥ 0 og −x+ 3 ≥ 0: De numeriske tegn kan ophæves pa begge sider

uden problemer.

• 2x − 4 ≤ 0 og −x + 3 ≤ 0: De numeriske tegn kan ophæves ved at gange

med −1 pa begge sider. Det giver reelt set den samme ligning, der skal

løses, som i det foregaende tilfælde.

• 2x − 4 ≥ 0 og −x + 3 ≤ 0: De numeriske tegn kan ophæves ved at gange

med −1 pa den ene side af lighedstegnet.

• 2x−4 ≤ 0 og −x+3 ≥ 0: De numeriske tegn kan ophæves ved at gange med

−1 pa den ene side af lighedstegnet. Samme tilfælde som sidste tilfælde.

Det vil sige, at vi kan splitte løsningen af dette ligningssystem op i to tilfælde.

Et hvor vi kan ophæve de to numeriske tegn uden videre, og et hvor vi skal gange

med −1 pa den ene side af lighedstegnet, nar vi ophæver de numeriske tegn.

Tilfælde 1: 2x− 4 ≥ 0 og −x+ 3 ≥ 0 eller 2x− 4 ≤ 0 og −x+ 3 ≤ 0

2x− 4 = −x+ 3

⇔ 3x = 7

⇔ x =7

3

vi tjekker, at løsningen opfylder begyndelsesbetingelserne

2x− 4 = 227

3− 4

3

3

=14− 12

3=

2

3≥ 0,

og

−x+ 3 = −7

3+ 3

3

3=

2

3≥ 0.

Vi ser at begyndelsesbetingelsen er opfyldt.

. . .

25


Eksempel 13 (fortsat)

Tilfælde 2: 2x− 4 ≥ 0 og −x+ 3 ≤ 0 eller 2x− 4 ≤ 0 og −x+ 3 ≥ 0

2x− 4 = x− 3

mx = 1.

Vi tjekker begyndelsesbetingelsen

2x− 4 = 2− 4 = −2 ≤ 0,

og

−x+ 3 = −1 + 3 = 2. ≥ 0

Vi ser at begydelsesbetingelsen er opfyldt.

8 Trigonometriske sammenhænge og enhedscirklen

I dette afsnit bliver de mest almindelige trigonometriske sammenhænge og enhedscirklen

gennemgaet.

Trigonometriske sammenhænge

For en vilkarlig trekant har vi følgende to vigtige relationer

Cosinus-relationen

c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)

Sinusrelationen

a

sin(A)=

b

sin(B)=

c

sin(C)

Enhedscirklen

For at have en ide om størelsen af vinklerne i en trekant er det en god ide at genopfriske

enhedscirklen.

Bemærk, at den vej vi bevæger os rundt i enhedscirklen er modsat den vej, viserne bevæger

sig rundt i et ur. Den vej vi bevæger os rundt i enhedscirklen kaldes positiv omløbsretning.

Skemaet nedenfor giver de vigtigste værdier af vinklerne i den første kvadrant af enhed-

scirklen i grader og radianer og værdien af cosinus og sinus til de samme værdier. Ud fra de

26


værdier og de efterfølgende formler for cosinus- og sinusfunktioner er det muligt at regne

sig frem til værdierne i de resterende kvadranter af enhedscirklen.

Grader 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

Radiantal 0 π6

π4

π3

π2

sin 0 12

√22

√32

1

cos 1√32

√22

12

0

Tabel 5: Enhedscirklen

Desuden gælder der at

cos(v + 2π) = cos(v),

sin(v + 2π) = sin(v),

cos(−v) = cos(v),

sin(−v) = − sin(v),

sin2(x) + cos2(x) = 1.

Den sidste af sammenhængene er kendt under navnet ’Idiotformlen’.

27


Eksempel 14: Ligningssystem med trigonometriske funktioner

Betragt funktionen f(x):

f(x) = 2− sin2(x) + 2 cos(x).

Bestem x-værdierne for hvilke

f(x) = 0

Lad

y = cos(x),

da far man følgende andengradsligning:

y2 + 2y + 1 = 0.

Vi finder diskriminanten

d = 22 − 4 · 1 · 1 = 0,

Da d = 0, er der kun en løsning:

y =−2 +

√0

2= −1.

Det vil sige at

cos(x) = −1

mx = π + 2π

Hvor n er alle heltal.

28


9 Introduktion til anvendt statistik

9.1 Introduktion til introduktion til anvendt statistik

Indenfor fysik kan vi ikke undga at skulle beskæftige os med data. Eksperimentalisterne

skal pa mest nøjagtig vis male pa fænomener, som teoretikerne forudser, og teoretikerne

skal udarbejde deres teori, sa den er i overensstemmelse med eksisterende data. Kunsten

at udvinde meningsfuld information af maleresultater er noget, man kan arbejde med hele

livet, og der er ofte ikke en bestemt metode, som er den korrekte. Ofte er denne meningsfulde

information gemt dybt under ondsindet støj og systematiske fejl, og det kræver hardt

arbejde at udføre dette detektivarbejde og blive fysikverdenens Sherlock Holmes.

’Data! Data! Data!’, he cried impatiently.

’I can’t make bricks without clay’.

- Sir Arthur Conan Doyle (Forfatter af Sherlock Holmes)

Pa de næste par sider vil de allermest grundlæggende begreber indenfor den statistiske

databehandling blive præsenteret. I har formentlig mødt dem alle før i gymnasiet. Dengang

syntes I maske, at disse begreber var noget, som nogle matematikere havde fundet pa. Mest

sa I kunne have flere begreber og beviser at lære udenad. I er fysikere nu, sa her skal vi

kun anvende statistikken. Formalet med de næste afsnit er derfor at overbevise jer om, at

disse simple begreber spiller uhyre vigtige roller i den videnskabelige arbejdsmetode, og at

disse begreber er noget, som I vil komme til at møde uafbrudt i de kommende ar.

9.2 Middelværdi

Ofte kan resultatet af et eksperiment koges ned til et tal, og ofte er dette tal en middelværdi

af en række malinger. Om det er faldtiden for et lod, et atoms radius eller Higgspartiklens

masse man vil male, sa udfører man altid en række malinger og finder middelværdien af

disse. Hvis vi udfører N malinger, hvor vi kalder resultatet af den i’te maling for xi, sa er

middelværdien 〈x〉 defineret som:

〈x〉 =1

N

N∑

i=1︸︷︷︸’sum’

xi =1

N(x1 + x2 + x3...xN)

Skal de malte værdier [x1, x2, x3...xN ] bruges til at udregne værdien af en funktion f(x)

(Det kunne være at I maler længden af en fjeder for at udregne fjederkraften, forudsat at

I kender fjederkonstanten), sa er middelværdien af funktionen selvfølgelig:

〈f(x)〉 =1

N

N∑

i=1

f(xi) =1

N(f(x1) + f(x2) + f(x3)...f(xN))

29


Grunden til at vi overhovedet udregner middelværdier er, at det aldrig er nok kun at male

en størrelse en gang! Lad os se hvorfor det forholder sig sadan.

9.3 Standardafvigelsen

ALLE maleinstrumenter og eksperimenter har en usikkerhed, og far man kun præsenteret

en middelværdi, sa mister man en meget vigtig information: Nemlig, hvordan malingerne

var fordelt omkring middelværdien. For at sætte tal pa dette har vi begrebet varians V ,

som er defineret som gennemsnittet af malingernes afvigelse fra middelværdien opløftet i

anden!.

V =1

N

N∑

i=1

(〈x〉 − xi)2

Tænk lige over denne definition for en stund (Vi opløfter i anden, sa vi ikke behøver at

tænke pa fortegnet af afvigelsen). Der er ogsa en ret smart omskrivning af denne definition,

sa variansen kan skrives som V = 〈x2〉 − 〈x〉2. Begge definitioner er hyppigt brugt.

Da variansens enhed ud fra definitionen ma være enheden af den malte størrelse opløftet

i anden, benytter vi i praksis oftere standardafvigelsen σ:

σ =√V =

√√√√ 1

N

N∑

i=1

(〈x〉 − xi)2

Denne standardafvigelse bruges oftest som usikkerheden pa middelværdien. Det vil sige,

at standardafvigelsen angiver i hvilket interval, vi kan forvente, at middelværdien ligger,

hvis vi gentager malerækken. Vi ser nu, at standardafvigelsen er proportional med√

1/N ,

og vi kan som en tommelfingerregel antage, at standardafvigelsen aftager, hvis N stiger.

Det er derfor altid godt at have meget data!

Forestil jer, at I far til opgave at male stralingsdosen for en given radioaktiv kilde til

brug i kræftbehandling, eller at I skal male præcisionen af raketter til militært brug. De

usikkerheder I angiver kan afgøre liv og død! Man ma aldrig angive en middelværdi, uden

at angive usikkerheden ,〈x〉 ± σ. Har man kun en maling, far vi en standardafvigelse pa 0,

hvilket er meget ufysisk!1

Endnu en tommelfingerregel er, at alle malinger bør ligge indenfor et interval af ±2σ

omkring middelværdien. Datapunkter udenfor dette interval bør give jer rynker pa næsen,

og I bør undersøge, om der var noget særligt anderledes ved de malinger.

1Nogen gange er standardafvigelsen defineret som√

1N−1

∑Ni=1(〈x〉 − xi)2. Denne definition tager hen-

syn til, at man først skal bruge noget information for at udregne en middelværdi, og tillader heller ikke en

standardafvigelse for N = 1. For store N er begge definitioner dog ækvivalente.

30


9.4 Histogrammer

Grafisk præsentation af data er ogsa en disciplin helt for sig selv. En meget benyttet dia-

gramform er et histogram. I histogrammet er antallet af malinger i et givent omrade propor-

tionalt med arealet under histogrammet i samme omrade. Er histogrammet normaliseret,

altsa hvis det samlede areal under histogrammet giver 1, sa kan der være tale om en

sandsynlighedsfordeling. Arealet under sandsynlighedesfordelingen beskriver sandsynlighe-

den for at male en værdi i et givent interval. Den fordeling vi oftest møder er Normal-

fordelingen2, og ud fra definitionen af normalfordelingen, som vi ikke skal ga dybere ind i,

kan vi regne os frem til, at sandsynligheden for at male en værdi i intervallet ±2σ omkring

fordelingens middelværdi er ∼ 95% (se figur 2)! Det er derfor, at vi skal forholde os kritiske

til alle punkter udenfor dette interval.

Vi har set pa nogle fa men meget essentielle begreber indenfor databehandling. Oftest

er selv en middelværdi eller en standardafvigelse omstændig at udregne, da vi foretrækker

at have store datamængder. Vi far altsa brug for en computer til at regne disse ting ud.

Til dette kan man benytte sig af forskellige programmer, og et program I alle kommer til

at stifte bekendskab med er systemet MatLab, som de næste sider vil handle om.

Figur 2: Eksempel pa et histogram for en formodet normalfordeling. Ca. 95% af arealet er

indenfor 2 standardafvigelser omkring middelværdien.

2Normalfordelingen kaldes ogsa for Gauss-fordelingen.

31


10 Introduktion til MatLab

10.1 Introduktion til introduktion til MatLab

Denne tekst er en yderst kort introduktion til et meget stort emne, nemlig brug af systemet

MatLab til behandling af data. I ma ikke tro, at I kan Matlab, nar I har læst denne tekst

og gennemført de tilhørende øvelser, da der findes flere hyldemeter bøger om MatLab blot

pa Niels Bohr Institutet. De fleste af jer har formentlig aldrig prøvet at programmere,

sa hovedformalet med denne tekst er at fortælle jer, at brugen af computerprogrammer er

noget, som I uundgaelig kommer til at møde i jeres karriere som fysikere, teoretisk savel som

eksperimentelt. I skal ikke fortvivle, hvis I synes, at det er uoverskueligt og frustrerende,

for sadan er det for alle i starten. Et godt rad er, at I skal kaste jer ud i det, for man lærer

det simpelthen kun ved at bruge det!

10.2 MatLab

MatLab er et system til numerisk analyse af tal. I kan tænke pa MatLab som en lom-

meregner, der kan noget ud over det sædvanlige. For at fa Matlab til at udføre forskellige

opgaver, skal man enten skrive kommandoer i dens Command Window, eller skrive i et

script i vores Editor. Se figur 4 bagerst i denne tekst.

I modsætning til andre programmer I maske kender fra gymnasiet eller kommer til at

kende som Maple, Mathcad eller TI-interactive, sa kan MatLab ikke regne med symboler.

Den kan kun regne nummerisk, altsa med tal.

Alle tal i MatLab behandles i sakaldte vektorer. Vi kan definere en tredimensionel vektor

x bestaende kun af 1-taller og en vektor y bestaende af 2-taller ved at skrive følgende i

vores Command Window :

x=[1 1 1]

y=[2 2 2]

Hvorefter vektorerne vil kunne findes i vores

Workspace. Behandler man data fra et forsøg med

1024 datapunkter, sa behandler man dem i en vek-

tor med 1024 elementer!

10.3 Elementær aritmetik

Vil vi lægge vores to vektorer sammen kan man blot skrive:

x + y og vi farans=

3 3 3

32


Vil vi gange alle tal i vektoren med et tal, skal vi skal vi blot skrive:

y*2 og vi farans=

4 4 4

Division fungerer pa tilsvarende vis.

Vil man til gengæld gange elementerne fra to vektorer sammen, altsa gange tal nr. 1 i

en vektor sammen med tal nr 1 i en anden vektor og tal nr. 2 fra den første vektor med tal

nr. 2 med den anden vektor o.s.v., sa skal man skrive et gangetegn med et punktum foran

i mellem de to vektorer:

A=[1 2 3];

B=[4 5 6];

A.*B

Taster vi ovenstaende ind, far vi

ans=

4 10 18

Læg mærke til, at vi far en vektor ud. Det er altsa ikke et prikprodukt (som er et tal),

selvom regnemetoderne minder om hinanden.

10.4 Vektor/Matrix

En vektor kan ogsa sagtens have flere rækker og søjler. Vektorer med flere søjler kalder vi

en Matrix 3. For eksempel kan vi have en 2× 3 matrix som:

X =

[1 2 3

4 5 6

]

Vil man finde tallet i række 2, søjle 3, sa kan man skrive

3Vektorerne og matricerne kaldes generelt ogsa med et fælles begreb for arrays. Ordet matrix bøjes

forresten: En matrix, matricen, flere matricer og alle matricerne.

33


X(2,3) og vi farans=

6

Vi kan ogsa udvælge hele første række ved at skrive

X(1,:) og vi farans=

1 2 3

Tilsvarende kan 3 søjle udvælges ved at skrive:

X(:,3)og vi far

ans=

3

6

Kolon betyder altsa her ’alle’.

34


10.5 Funktioner

Ud over den elementære aritmetik har MatLab et væld af funktioner, som er nyttige til

behandling af data. Her er nogle fa af dem:

• MEAN - udregner middelværdien af alle elementer i en vektor. Skriver du dine samlede

karakterer i en vektor z, kan du finde middelværdien ved at skrive:

mean(z)og vi far

ans=

8.3333 (Flot!)

• STD - udregner standardafvigelsen af elementerne i en vektor, og standardafvigelsen

af dine karakterer i vektor z kan udregnes ved at skrive:

std(z)og ud kommer

ans=

2.8752

• HIST - Tegner et histogram over de tal, som optræder i en vektor.

hist(x,20) % tallet 20 angiver her antallet af ’bins’ (søjler)

(Hov! Hvad var det der %-tegn? % Betyder i Matlab, at Matlab skal undlade den

tekst, som kommer efter. Teksten siges at være ’udkommenteret’.)

10.6 Scripts

Figur 3: Eksempel pa et meget simpelt

script.

Har man forstaet, hvordan tal behandles i Mat-

Lab, kunne man spørge, hvad der gør Mat-

Lab smartere end en almindelig lommeregner?

I MatLabs Editor kan man skrive et sakaldt

script. Et script er en lang række komman-

doer, som man beder MatLab om at udføre i

den rækkefølge man skriver dem. Altsa behøver

man ikke at skrive alle kommandoerne igen i

sit Command Window, nar man en gang har

skrevet dem i scriptet. Man kan for eksempel

bede MatLab om at finde forskellen pa to vek-

torer, regne middelværdien af denne forskel og

35


til sidst lave et histogram af forskellen. Se fig. 3. Det vi gør, nar vi laver sadan et script

er faktisk, at vi skriver et program! Nogle af jer har maske prøvet at programmere før,

men er dette dit første script, sa stort tillykke med det. Det kan maske være svært at se

det smarte i at lave sadan et script, hvis man bare skal lave simple udregninger med nogle

vektorer. Vi kan dog love jer for, at I kan se det smarte, hvis I skal bede MatLab om at

udføre 400 linjers kommandoer pa flere forskellige datasæt!

10.7 HELP!

Matlab udmærker sig ved at have en uhyre brugervenlig help-funktion. Hvis du kigger i et

script, som en anden har skrevet, og hvori der er en kommando du ikke kender, sa skal du

blot skrive:

help ’kommandonavn’

I dit Command Window (se figur 4), og Matlab vil fortælle dig, hvad kommandoen gør,

og hvilken syntaks, der hører til kommandoen.

Derudover skal du vide, at hvis du har et problem i MatLab, sa er du ikke den første,

der har haft det pagældende problem. Søg løsninger pa dit problem pa Google, og der vil

med garanti være en, som har fundet løsningen for dig.

10.8 Opgaver

Nu har I en lille ide, om hvad MatLab er, sa lad os bruge det til noget! Det er blevet nævnt

før, men det kan ikke nævnes nok: MatLab læres ved at bruge det og fa det under neglene.

I skal aldrig ga i gang med at læse en hel bog om MatLab uden at taste tingene ind selv.

Derudover er det altid sjovest at se pa noget rigtig data, sa i Tabel 6 er dataen for, hvor

mange point Danmark har faet af henholdsvis Sverige, Island, Norge, Tyrkiet, Kroatien,

letland og Litauen siden 2001.

Lad os sa komme i gang!

1. Begynd først med at indtaste vores data i jeres Work Space, og giv denne 7×7-vektor

(Matrix) et navn efter eget valg (eksempelvis x, y, dkpoint eller dkmgp). (Normalt

ville man aldrig indtaste data manuelt pa den made. Man vil hente data fra data-filer,

men det ma I lige vente med at lære!)

2. Prøv at lave en vektor, som beskriver, hvor mange point Danmark i alt fik af landene

Sverige, Norge og Island. I skal altsa addere de tre første søjler, og det kan godt være

en god ide, at kalde denne nye vektor for noget nyt.

36


Ar Sverige Norge Island Tyrkiet Kroatien Letland Litauen

2001 10 12 12 4 12 10 6

2005 10 12 10 0 0 4 4

2006 8 6 8 0 0 0 0

2008 5 12 12 0 0 7 2

2009 0 8 4 0 0 3 2

2010 8 8 12 0 0 10 3

2011 10 7 12 0 0 6 0

Tabel 6: I 2002 formaede hverken Norge eller Island at kvalificere sig, og aret er udeladt,

fordi der derfor er ufuldkommen data (Sverige gav os 0 point det ar). 2002 var dog ogsa

aret, hvor Danmark endte pa sidstepladsen og derfor ikke kvalificerede sig til 2003. I 2004

og 2007 gik det ikke bedre end, at Danmark røg ud i semifinalen. 2002, 2003, 2004 og 2007

mangler derfor.

3. Prøv sa at lave et histogram over summen af point fra Sverige, Norge og Island.

4. Hvad er det gennemsnitlige antal point, Danmark far af Island? Hvad er standard-

afvigelsen? Er det realistisk, at Island giver Danmark 2 point til næste ars Grand

Prix?

5. Find gennemnittet og standardafvigelsen af point fra Tyrkiet og Kroatien? Hvad

fortæller forskellen pa de to landes standardafvigelser? Kan vi nogensinde forvente

at fa 10 point af nogle af dem?

6. Hvad synes du? Er der noget om snakken, at Østeuropa kun stemmer pa hinanden?

Er vi meget bedre selv?

37

Documents

Kompendium samlet.pdf