Univerza v Ljubljani

Pedagoška fakulteta

Oddelek za matematiko in računalništvo

Marko Razpet

KNJIGA KVADRATOV LEONARDA PISANSKEGA

Študijsko gradivo

Zgodovina matematike

Ljubljana, april 2019

VsebinaSeznam slik 4

Predgovor 5

Uvod 9

1 Prva trditev 11

2 Druga trditev 12

3 Tretja trditev 13

4 Četrta trditev 15

5 Peta trditev 15

6 Šesta trditev 16

7 Sedma trditev 18

8 Osma trditev 18

9 Deveta trditev 19

10 Deseta trditev 19

11 Enajsta trditev 20

12 Dvanajsta trditev 22

13 Trinajsta trditev 23

14 Štirinajsta trditev 23

15 Petnajsta trditev 29

16 Šestnajsta trditev 30

17 Sedemnajsta trditev 30

18 Osemnajsta trditev 31

19 Devetnajsta trditev 31

20 Dvajseta trditev 32

21 Enaindvajseta trditev 32

22 Dvaindvajseta trditev 32

23 Triindvajseta trditev 34

24 Štiriindvajseta trditev 34

Viri 36

3

Seznam slik

1 Leonardo Pisanski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Bedzaja v Alziriji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Cesar Friderik II. Hohenstaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Vsota zaporednih lihih števil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 K izpeljavi enakosti (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Število 24 je kongruum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Eliptična krivulja E6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4

Predgovor

Leonardo Pisanski ali Leonardo iz Pise, v italijanščini Leonardo Pisano,bolj znan kot Fibonacci, velja za najpomembnejšega evropskega srednje-veškega matematika. Njegova pomembnost je predvsem v tem, da je na-pisal knjigo Liber abbaci, v kateri opiše indijsko-arabske številke in raču-nanje z njimi. To naredi predvsem na številnih uporabnih primerih. Raču-nanje je tako postalo preprosto in so ga zlahka usvojili ne le učenjaki, am-pak tudi navadni ljudje, zlasti trgovci in obrtniki. Zato se je hitro razširilopo Italiji in od tam po celotni Evropi. Namen tega gradiva pa je pred-stavitev druge pomembne Leonardove knjige, Liber quadratorum.

Slika 1. Leonardo Pisanski.

Pridevnik Pisanski je v soglasju s Slovenskim pravopisom in tradicijo.Mesto Pisa, po svetu verjetno najbolj znano po poševnem stolpu, ki se jezačel nagibati že v Leonardovem otroštvu, leži ob izlivu toskanske rekeArno v Ligursko morje. Pisa se običajno izgovarja kot piza, po pravopisuso njeni prebivalci Pisánci, prebivalke Pisánke, stavbe v Pisi pa so pisánske.

Po naši tradiciji bi bil neki pomembnež Janez iz Pise lahko Janez Pisan-ski, tako kot je Andrej s Turjaka Andrej Turjaški, Jovan Vesel iz KosezJovan Vesel Koseski, Josipina Urbančič z gradu Turn pri Preddvoru Josi-

5

pina Turnograjska, Aleksander Veliki Aleksander Makedonski, Tomaž izAquina Tomaž Akvinski in še bi lahko naštevali.

O Leonardovem življenju v resnici vemo bore malo. Rodil se je okolileta 1170, verjetno v Pisi, pomembnem pristanišču in mestni državi, kise je pogosto z Genovo in Benetkami borila za prevlado v sredozemskitrgovini. Leonardov oče Guglielmo je bil pisanski trgovec, ki je svojeposle opravljal po nekaterih pristaniških mestih ob Sredozemskem morju.Pogosto je še rosno mladega sina jemal s seboj na potovanja. Indijsko-arabske številke in računanje z njimi se je Leonardo hitro naučil od Arab-cev, s katerimi sta z očetom pogosto trgovala v Egiptu, Siriji, Grčiji inProvansi ter na Siciliji. Verjetno se je Leonardo naučil največ matem-atike v sredozemskem mestu Bedžaja, arabsko �

éKAj. K. , v današnji Alžiriji(tudi Bougie, Bugia). Tam je namreč Leonarda njegov oče kot predstavnikpisanske države za nekaj časa zaupal neki arabski šoli.

Slika 2. Bedžaja v Alžiriji.

Računanje in geometrijo pa je Leonardo kmalu tako dobro obvladal,da je poleg Liber abbaci napisal še Liber quadratorum, Practica geome-triae, Flos in Liber minoris guise, ki je bila namenjena predvsem trgov-cem. Latinska beseda flos pomeni cvet, liber minoris guise pa dobesednoknjiga na manjši način. Pogosto omenjajo še Leonardovo pismo Epistolaad Magistrum Theodorum in traktat o deseti knjigi Evklidovih Elementov,ki obravnava nesoizmerljive količine. Leonardo je umrl okoli leta 1250,najbrž v Pisi.

Knjigo Liber abbaci je posvetil Mihaelu Skotu, ki si je zaradi svojihdejavnosti prislužil mesto v Dantejevem osmem krogu Pekla, prvem delu

6

slovite Božanske komedije. Mihaela je pahnil v četrto kotanjo, kjer so zzasukanimi glavami na večno trpljenje obsojeni vedeži in čarodeji. Pesnikje Skotu posvetil celo tercino v dvajsetem spevu:

Quell’ altro che ne’ fianchi e cosi poco,Michele Scotto fu, che veramentede le magiche frode seppe ’l gioco.

Ob njem naslednji, z mršavimi bokije Miha Skot; kakor nihče nikolije vedel on, kaj čar je, kaj uroki.

Slovensko besedilo pisatelja, esejista, pesnika, romanista, prevajalca, uni-verzitetnega profesorja, politika in diplomata Andreja Capudra (1942–2018) razlaga pomen Dantejevih verzov.

Liber abbaci so vneto prepisovali in prilagajali lokalnim posebnostim,kot so narečje, denar, mere in uteži. Včasih so v prepisih tudi pozabiliomeniti avtorja, na katerega se je z leti pozabilo. Znanje, ki je zajeto v tejknjigi, pa se je hitro razširilo. Na Leonarda se je spet z velikim spoštova-njem spomnil Luca Pacioli (1445–1517). Šele v 19. stoletju se je pojaviloime Fibonacci in prav tako pojem Fibonaccijeva števila. Ime Fibonacci najbi nastalo iz besed Filius (sin) Bonaccii (genitiv družinskega imena Bonac-cio). Zgodovinsko ni nikjer izpričano, da bi Leonarda kdorkoli v časunjegovega življenja imenoval Fibonacci. To ime je baje skoval italijansko-francoski matematik in bibliofil Guillaume Libri (1803–1869) leta 1838.Sam Leonardo se je v delu Flos imenoval Leonardo Pisano Bigollo. Besedabigollo pomeni popotnik, kar je v skladu z Leonardovim načinom živl-jenja.

V Leonardovem času je pisanska mestna država pripadala Svetemurimskemu cesarstvu, ki ji je vladal zelo izobražen cesar Friderik II. Ho-henstaufen (1194–1250). Zanimali so ga jeziki, filozofija, medicina, na-ravoslovje in matematika. S svojim dvorom, vključno s pesniki, glas-beniki, učenjaki in filozofi, je pogosto potoval po Italiji. Okoli leta 1225je magister Dominik Leonarda predstavil dvoru. Takrat so organiziralimatematično tekmovanje, v katerem je Leonardo med drugim dejanskopokazal, da je 5 tako imenovano kongruentno število. Problem je bil znanmagistru Janezu iz Palerma, ki ga je verjetno našel v nekem arabskem

7

Slika 3. Cesar Friderik II. Hohenstaufen

viru in posredoval Leonardu. Več o tem problemu pride na vrsto kas-neje, ko bomo natančneje pregledali vsebino njegovega dela Liber quadra-torum, kar pomeni knjiga kvadratov. Čeprav daje naslov občutek, da greza geometrijske probleme, v resnici ni tako. Knjiga se ukvarja s kvadrat-nimi števili, ki so kvadrati naravnih ali pozitivnih racionalnih števil, to jeulomkov z naravnimi števci in imenovalci.

Leonardovo knjigo Liber quadratorum, ki jo je avtor posvetil samemucesarju, je iz pozabe obudil sredi 19. stoletja zgodovinar matematike Bal-dassarre Boncompagni (1821–1894). V milanski knjižnici Biblioteca Am-brosiana je med drugim našel rokopis dela Liber quadratorum.

Našli so se tudi kritiki, ki so Leonardu očitali preveliko prepisovanjeiz Diofantove Aritmetike in del nekaterih arabskih matematikov. Res jedobro poznal dela Evklida, Herona iz Aleksandrije, Diofanta in Platonaiz Tivolija, ki je veliko prevajal arabska astronomska in matematična dela.Tudi Evklidovo delo O delitvi (likov),Περὶ διαιρέσεων βιβλίον, je bilo Leonar-du znano. Deloma ga poznamo samo prek arabskih prevodov. V branje Leonarda vzel Ettore Picutti, ki je dokazoval v njegovih delih veliko

8

izvirnost. Zato imamo Leonarda lahko za velikega naslednika tradicional-ne grške in arabske matematike.

Uvod

Leonardova Knjiga kvadratov je razdeljena na petindvajset delov: na uvodin štiriindvajset trditev. Matematično besedilo še ne pozna današnjih sim-bolov, opira se na grško tradicijo. Števila pogosto obravnava kot dolžinedaljic, na primer .ab., .bc.. Take interpretacije v pričujočem gradivu nebomo uporabljali. Število je za Leonarda naravno število ali pozitivnoracionalno število, ulomek z naravnim števcem in imenovalcem. Če ještevilo n = k2 kvadratno število, je število k njegov koren. Leonardo v stro-gem matematičnem izražanju ni posebno dosleden. Kvadratnemu številupogosto reče kar kvadrat.

Leonardo ne uporablja črk za števila. Seveda tudi ne v zaporedju, zatonašteje nekaj njegovih prvih členov in pravilo zanje posploši. Ne pozna šematematične indukcije. Svoj uvod se začne nekako tako (prevod iz [3]):

Razmišljal sem o izvoru kvadratnih števil in odkril, da sepojavljajo pri naraščajočem zaporedju lihih števil; enica je kvad-rat, ki da prvi kvadrat, namreč 1; če tej enici dodamo 3, do-bimo drugi kvadrat, namreč 4 s korenom 2; če tej vsoti dodamotretje liho število, namreč 5, naredimo tretji kvadrat, namreč 9s korenom 3; in te vsote zaporednih lihih števil in zaporedjekvadratov se skupno pojavljajo urejeno.

Dandanes bi zgornje izjave zapisali takole:

1 = 12,

1 + 3 = 22

1 + 3 + 5 = 32,

1 + 3 + 5 + 7 = 42.

9

Iz tega sledi splošna enakost

1 + 3 + 5 + 7 + . . .+ (2n− 1) = n2. (1)

Da dobimo kvadrat števila 5, vanjo postavimo n = 5:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52.

Rezultat je poznal že Pitagora okoli leta 500 p.n.š.Zgornjo enakost lahko izpeljemo zelo preprosto:

1 + 3 + 5 + 7 + . . .+ (2n− 1)

=12

(1 + 3 + 5 + 7 + . . .+ (2n− 1)

+1 + 3 + 5 + 7 + . . .+ (2n− 1)) =

=12

(1 + (2n− 1) + 3 + (2n− 3) + . . .

+(2n− 3) + 3 + (2n− 1) + 1)

=12

(2n+ 2n+ 2n+ . . .+ 2n)

=12n · 2n

= n2.

Včasih bomo v tem gradivu kakšno trditev dokazali tudi na nam bolj znaninačin. Za primer dokažimo (1) z metodo matematične indukcije. Enakostdokažimo najprej za n = 1. Dobimo 1 = 12 = 1. Torej za n = 1 res velja. Čepa velja za n, potem imamo

(1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1)) + (2n+ 1) = n2 + (2n+ 1) = (n+ 1)2.

Zato je1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1) + (2n+ 1) = (n+ 1)2.

Enakost je zato pravilna za vsako naravno število n.Enakost ima tudi grafično razlago. Načrtamo kvadrat s stranico n in

ga razdelimo na n kotnikov, kot kaže slika 4. Kvadrat razdelimo na n2

enotskih kvadratov. V vsakem kotniku je liho število enotskih kvadra-tov. Primerjamo vsoto ploščin vseh kotnikov s ploščino kvadrata. Dobimoiskano enakost.

10

Slika 4. Vsota zaporednih lihih števil.

1 Prva trditev

Obstajata kvadratni števili, katerih vsota je tudi kvadratno število.

Leonardo trditev utemeljuje z zapisoma:

(1 + 3 + 5 + 7) + 9 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9,

42 + 32 = 52.

V splošnem je treba upoštevati, da je kvadrat lihega števila tudi lihoštevilo:

(2n− 1)2 = 4n2 − 4n+ 1.

Predhodno liho število je

4n2 − 4n− 1 = 2(2n2 − 2n)− 1.

Po enakosti (1) je vsota zaporednih 2n2 − 2n lihih števil

1 + 3 + . . .+ (2(2n2 − 2n)− 1) = (2n2 − 2n)2,

vsota zaporednih 2n2 − 2n+ 1 lihih števil pa

(1 + 3 + . . .+ 2(2n2 − 2n)− 1) + (2(2n2 − 2n) + 1) = (2n2 − 2n)2 + (2n− 1)2,

11

kar je enako

1 + 3 + . . .+ (2n2 − 2n)− 1) + (2(2n2 − 2n+ 1)− 1) = (2n2 − 2n+ 1)2.

Torej velja za vsako naravno število n enakost

(2n2 − 2n)2 + (2n− 1)2 = (2n2 − 2n+ 1)2.

S tem dobimo nešteto pitagorejskih trojk (A,B,C), za katere velja: A,B,Cso naravna števila, za katera je A2 +B2 = C2. Trikotnik s stranicami A, B inC je pravokoten. Njegovi kateti sta A in B, hipotenuza pa C. Pitagorejskatrojka (A,B,C) je primitivna, če A, B in C nimajo skupnega delitelja.

Našli smo torej pitagorejske trojke (A,B,C), kjer je

A = 2n(n− 1), B = 2n− 1, C = 2n(n− 1) + 1.

Niso pa to vse pitagorejske trojke. Te določajo tiste pravokotne trikot-nike, pri katerih je hipotenuza za 1 večja od katete. Pitagorejske trojke(20,21,29) ni med njimi. Vse dobimo po formulah

A = k(m2 −n2), B = 2kmn, C = k(m2 +n2),

pri čemer sta si m in n tuji naravni števili različnih parnosti, m > n ink naravno število. Zgornje formule, nekoliko modificirane, je poznal tudiLeonardo, saj navaja v svoji tretji trditvi deseto knjigo Evklidovih Elemen-tov, ki obravnava to tematiko. Sicer so jih poznali že babilonski matem-atiki za reševanje kvadratnih enačb.

2 Druga trditev

Vsako kvadratno število presega predhodno kvadratno število za vsoto ko-renov obeh.

To trditev je dandanes enostavno dokazati:

(n+ 1)2 −n2 = n2 + 2n+ 1−n2 = 2n+ 1 = (n+ 1) +n.

12

Velja tudi za n = 0, česar pa Leonardo ne omenja.Trditev uporabi za sestavljanje pitagorejskih trojk. Če je namreč vsota

(n + 1) + n = y2 kvadratno število, velja (n + 1)2 − n2 = y2, torej n2 + y2 =(n + 1)2. S tem imamo pitagorejsko trojko (n,y,n + 1). Za n = 12 je vsota(n+ 1) +n = 25 = 52, kar nam da y = 5 in relacijo 122 + 52 = 132. Našli smocelo primitivno pitagorejsko trojko (12,5,13).

Leonardo navaja tudi trditev: Če se korena razlikujeta za dve, potem senjuna kvadrata razločujeta za štirikratnik vmesnega korena. To dejanskopomeni, da velja za naravne n relacija

(n+ 2)2 −n2 = 4(n+ 1).

Če je n+ 1 = y2 kvadratno število, potem je

(n+ 2)2 −n2 = (2y)2,

kar pomeni, da je trojka (n,2y,n + 2) pitagorejska. Na koncu Leonardoutemeljuje še enakost

m2 −n2 = (m−n)(m+n).

Vse trditve dokazuje geometrijsko.

3 Tretja trditev

Obstaja še drugačen način, kako najti dva kvadrata, katerih vsota je tudikvadrat.

Leonardova trditev temelji na peti trditvi v drugi knjigi EvklidovihElementov. Evklid z metodo tako imenovane geometrijske algebre dokažeenakost (x+ y

2

)2=

(x − y2

)2+ xy. (2)

Znana je bila že babilonskim matematikom.

13

Slika 5. K izpeljavi enakosti (2).

Dokaz poteka nekako takole. Vzamemo pravokotnik ABCD (slika 5),pri katerem je |AB| = 2|BC|. Daljica EF deli pravokotnik na skladna kva-drata AFED in FBCE. Med F in B izberemo točko I , nato pa pravokotnikABCD razširimo v pravokotnik KLCD, pri čemer je |KA| = |FI |. DaljicoEF podaljšamo do točke G, daljico HI pa do točke J . Štirikotnik GJIF jekvadrat. Očitno sta pravokotnika GLBF in FIHE skladna. Zato je ploščinakotnika GLCHIF enaka ploščini kvadrata AFED.

Označimo x = |AI | in y = |IB|. Velja x > y. Kvadrat AFED ima stranico(x + y)/2, kvadrat GJIF pa (x + y)/2− y = (x − y)/2. Daljica LC ima dolžino(x + y)/2 + (x − y)/2 = x. Ploščina kotnika GLCHIF je zato ((x − y)/2)2 + xy,ploščina kvadrata AFED pa ((x + y)/2)2. S tem pridemo do zaključka, davelja relacija: ((x+y)/2)2 = ((x−y)/2)2+xy. Očitno sta x in y lahko poljubna,saj jima lahko stranici pravokotnika v vsakem primeru prilagodimo.

Drugačen način v tretji Leonardovi trditvi pomeni, da v enakost (2)postavimo x =m2 in y = n2 za m > n. Dobimo(

m2 +n2

2

)2

=(m2 −n2

2

)2

+ (mn)2.

14

Pitagorejske trojke (A,B,C) potem dobimo po formulah

A =m2 −n2, B = 2mn, C =m2 +n2.

Leonardo tukaj dopušča tudi neprimitivne pitagorejske trojke.

4 Četrta trditev

Obstaja še en način, kako dobimo zaporedje kvadratov iz urejenih vsotlihih števil od ena do neskončno.

Način poteka z večkratno uporabo druge trditve, to se pravi z enakostjok2 − (k − 1)2 = k + (k − 1) = 2k − 1. Zapišimo jo za k = 1,2,3, . . . ,n− 1,n:

1 = 12,

3 = 22 − 12,

5 = 32 − 22,...

...

2n− 3 = (n− 1)2 − (n− 2)2,

2n− 1 = n2 − (n− 1)2.

Ko vse zgornje enakosti seštejemo, dobimo znano enakost

1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) + (2n− 1) = n2.

5 Peta trditev

Obstajata števili, katerih vsota kvadratov je kvadrat, ki ga dobimo kotvsoto kvadratov dveh drugih števil.

Leonardo začne z neodvisnima relacijama

A2 +B2 = C2, p2 + q2 = r2

15

z naravnimi števili. Drugo deli z r2, da dobi relacijo(pr

)2+(qr

)2= 1,

ki jo nato pomnoži s C2: (pCr

)2+(qCr

)2= C2.

S tem je C2 vsota kvadratov racionalnih števil, ki sta sorazmerni številomap in q.

6 Šesta trditev

Dana so štiri števila, ki niso v sorazmerju, od katerih je prvo manjše kotdrugo, tretje pa manjše kot četrto. Če vsota kvadratov prvih dveh in vsotakvadratov zadnjih dveh nista kvadrata, potem je produkt teh dveh vsotenak vsoti dveh kvadratov na dva načina. Če je ena od vsot kvadrat, je pro-dukt vsot enak vsoti kvadratov na tri načine. Če pa sta obe vsoti kvadratovkvadrata, je produkt vsot enak vsoti kvadratov na štiri načine. To je možnobrez ulomkov.

Dana naravna števila naj bodo a,b,c,d, pri čemer je a < b in c < d. Topomeni, da je ac < bd. Da niso v sorazmerju, pomeni, da a/b , c/d oziromaad , bc. V Leonardovem času sta bili že znani enakosti

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac+ bd)2 + (bc − ad)2, (3)

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ad + bc)2 + (bd − ac)2. (4)

Formalno drugo enakost dobimo iz prve, če med seboj zamenjamo c in d.Uporabljal ju je že Diofant v svoji Aritmetiki, pa islamski matematik in as-tronom Al-Khazin (900–971), v arabščini

à PA

jË@. V sodobni matematiki juimenujemo Lagrangeevi enakosti in veljata za poljubna realna števila. In-dijski matematik in astronom Brahmagupta (598–668), v sanskrtu b}�g� Ø,

16

je poznal splošnejši enakosti:

(a2 +Nb2)(c2 +Nd2) = (ac+Nbd)2 +N (bc−ad)2 = (ac−Nbd)2 +N (bc+ad)2.

Za N = 1 dobimo Lagrangeevo. Brahmaguptova enakost je pomembna prireševanju Pellove enačbe x2 −Dy2 = 1. Pri tem D ni kvadrat. Dandanesenakost (3) izpeljemo mimogrede s kompleksnimi števili. Naj bo z = a−biin w = c + di. Njun produkt je zw = (ac + bd) + (ad − bc)i. Za kvadrateabsolutnih vrednosti velja enakost |z|2|w|2 = |zw|2. Upoštevamo relacije|z|2 = a2 +b2, |w|2 = c2 +d2 in |zw|2 = (ac+bd)2 +(bc−ad)2, ki nam takoj dajoenakost (3). Leonardo pa dokaže enakosti (3) in (4) geometrijsko.

V (3) in (4) ne moreta biti pri pogojih trditve kvadrata (ac + bd)2 in(ad +bc)2 enaka. V nasprotnem primeru bi dobili relacijo ac+bd = ad +bc,iz katere sledi a(c − d) = b(c − d). Iz pogoja c < d sledi a = b, kar nasprotujepogoju a < b. Torej (ac + bd)2 in (ad + bc)2 nista enaka. Posledično tudikvadrata (bc − ad)2 in (bd − ac)2 nista enaka. Pogoj a/b , c/d pa zagotavlja,da je (bc− ad)2 > 0. Ker je ac < bd, je tudi (bd − ac)2 > 0. Pri pogojih trditveje zato res produkt (a2 + b2)(c2 + d2) na dva načina vsota dveh kvadratov.

Če je vsota a2 + b2 kvadrat, denimo a2 + b2 = k2, vsota c2 + d2 pa ne, ševedno veljata zapisa (3) in (4), poleg tega pa je

(a2 + b2)(c2 + d2) = k2(c2 + d2) = (kc)2 + (kd)2,

kar je tudi vsota dveh kvadratov. Enak sklep velja tudi, če vsota a2 + b2 nikvadrat, vsota c2 + d2 pa je kvadrat.

Če sta obe vsoti kvadrata, denimo a2 + b2 = k2 in c2 + d2 = h2, lahkorazen zapisov (3) in (4) zapišemo še

(a2 + b2)(c2 + d2) = (kc)2 + (kd)2 = (ha)2 + (hb)2.

Hitro se vidi, da kc , ha in kc , hb, kar pomeni, da sta zapisa različna.Leonardo ni preveč natančen. Ni znano, ali je vrstni red zapisa vsote

kvadratov pomemben ali ne. Tudi ne drži, da so zapisi trije. Primer a =1,b = 2, c = 3,d = 4:

(12 + 22)(32 + 52) = (1 · 3 + 2 · 4)2 + (2 · 3− 1 · 4)2 = 112 + 22 = 125,

17

(12 + 22)(32 + 52) = (1 · 4 + 2 · 3)2 + (2 · 4− 1 · 3)2 = 102 + 52 = 125,

(12 + 22)(32 + 52) = (12 + 22)52 = 52 + 102 = 125.

Različna zapisa z vsoto kvadratov sta le dva. Verjetno bi morali popravitidel besedila v trditvi v: "Če je ena od vsot kvadrat, je produkt vsot enakvsoti kvadratov na kvečjemu tri načine."

Leonardo tudi ni natančen v tipu števil. Kdaj gre za naravno in kdaj zaracionalno, mora ugotavljati bralec sam.

7 Sedma trditev

Obstaja še en način, kako poiskati kvadrata, katerih vsota je kvadrat.

V enakostih (3) in (4) izberemo števila a,b,c,d tako, da je bc = ad inbd , ac. Potem dobimo

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac+ bd)2 = (ad + bc)2 + (bd − ac)2.

Primer: a = 3,b = 4, c = 6,d = 8, ac+ bd = 50, ad + bc = 48, bd − ac = 14,

502 = 482 + 142.

Trojka (48,14,50) je pitagorejska, če jo delimo z 2, dobimo primitivnopitagorejsko trojko (24,7,25). Res je 242 + 72 = 576 + 49 = 625 = 252.

8 Osma trditev

Obstajata taka kvadrata, za katera je njuna vsota enaka kvadratu vsotekvadratov dveh danih števil.

V sedmi trditvi izberimo a = c, b = d pri pogoju a < b. S tem je bc = adin bd , ac. Dobimo:

(a2 + b2)2 = (2ab)2 + (b2 − a2)2.

To je pravzaprav splošen način iskanja pitagorejskih trojk.

18

9 Deveta trditev

Obstajata števili, katerih vsota kvadratov je nekvadrat, ki je vsota kvadra-tov dveh danih števil.

Denimo, da sta c in d taki dani števili, za kateri je z = c2 + d2 in z nikvadrat. Bodita a in b števili, za kateri je k2 = a2 + b2 kvadrat in ad , bc.Sestavimo število y = k2z = (a2+b2)(c2+d2). Po šesti trditvi obstajata številip in q, za kateri je y = p2 + q2. S tem imamo relacijo p2 + q2 = k2z, iz kateredobimo z = (p/k)2 + (q/k)2. Torej je z vsota kvadratov dveh racionalnihštevil.

Za primer vzemimo z = 41 = 42 + 52, k2 = 32 + 42. Po šesti trditvi lahkoza k2z = (32 + 42)(42 + 52) zapišemo

k2z = 12 + 322 = 82 + 312.

Pri tem je seveda k = 5. Našli smo celo dva zapisa:

41 = (1/5)2 + (32/5)2 = (8/5)2 + (31/5)2.

Leonardo še ni poznal izreka, da se liho praštevilo, ki pri deljenju s 4 daostanek 1, da zapisati kot vsoto dveh kvadratov. Preostala liha praštevilapa niso vsota dveh kvadratov. Praštevilo 2 je vsota dveh kvadratov: 2 =12 + 12. Praštevilo 19 ni vsota dveh kvadratov, praštevilo 29 pa je: 29 =52 + 22.

10 Deseta trditev

Produkt dveh zaporednih števil, začenši z ena, in njune vsote je enakšestkratniku vsote kvadratov vseh števil od ena do najmanjšega v pro-duktu.

To pomeni, v naših oznakah, da je za vsako naravno število n pravilnaenakost

n(n+ 1)((n+ 1) + 1) = n(n+ 1)(2n+ 1) = 6(12 + 22 + 32 + . . .+ (n− 1)2 +n2).

19

Leonardo jo izpelje potem, ko dokaže pomožno enakost

k(k + 1)(2k + 1)− (k − 1)k(2k − 1) = 6k2.

Če na levi strani izpostavimo k, dobimo

k((k + 1)(2k + 1)− (k − 1)(2k − 1)) = k(2k2 + 3k + 1− 2k2 + 3k − 1) = 6k2.

Nato zapišemo pomožno enakost za k = 1,2,3, . . . ,n− 1,n:

1 · 2 · 3 = 6 · 12,

2 · 3 · 5− 1 · 2 · 3 = 6 · 22,

3 · 4 · 7− 2 · 3 · 5 = 6 · 32,...

...

(n− 1)n(2n− 1)− (n− 2)(n− 1)(2n− 3) = 6 · (n− 1)2,

n(n+ 1)(2n+ 1)− (n− 1)n(2n− 1) = 6 ·n2.

Ko vse te enakosti seštejemo, dobimo

n(n+ 1)(2n+ 1) = 6 · 12 + 6 · 22 + 6 · 32 + . . .+ 6 · (n− 1)2 + 6 ·n2

= 6(12 + 22 + 32 + . . .+ (n− 1)2 +n2),

kar je bilo treba dokazati.

11 Enajsta trditev

Produkt zaporednih lihih števil, začenši z ena, in njune vsote je enakdvanajstkratniku vsote kvadratov vseh lihih števil od ena do najmanjšegav produktu.

To pomeni, v naših oznakah, da je za vsako naravno število n pravilnaenakost

(2n− 1)(2n+ 1)((2n− 1) + (2n+ 1)) = 4n(2n− 1)(2n+ 1)

20

= 12(12 + 32 + 52 + . . .+ (2n− 3)2 + (2n− 1)2).

Leonardo jo izpelje potem, ko dokaže pomožno enakost

4(2k − 1)(2k + 1)k − 4(2k − 3)(2k − 1)(k − 1) = 12(2k − 1)2.

Če na levi strani izpostavimo 4(2k − 1), dobimo

4(2k − 1)((2k + 1)k − (2k − 3)(k − 1) = 4(2k − 1)(2k2 + k − 2k2 + 5k − 3)

= 4(2k − 1)(6k − 3) = 12(2k − 1)2.

Nato zapišemo pomožno enakost za k = 1,2,3, . . . ,n− 1,n:

4 · 1 · 3 · 1 = 12 · 12,

4 · 3 · 5 · 2− 4 · 1 · 3 · 1 = 12 · 32,

4 · 5 · 7 · 3− 4 · 3 · 5 · 2 = 12 · 52,...

...

4(2n− 3)(2n− 1)(n− 1)− 4(2n− 5)(2n− 3)(n− 2) = 12(2n− 3)2

4(2n− 1)(2n+ 1)n− 4(2n− 3)(2n− 1)(n− 1) = 12(2n− 1)2.

Ko vse te enakosti seštejemo, dobimo

4(2n−1)(2n+ 1)n = 12 ·12 + 12 ·32 + 12 ·52 + . . .+ 12 · (2n−3)2 + 12 · (2n−1)2

= 12(12 + 32 + 52 + . . .+ (2n− 3)2 + (2n− 1)2),

kar je bilo treba dokazati.

Na koncu Leonardo še opiše, kako se izpelje enakosti

12(22 + 42 + 62 + . . .+ (2n)2) = 2n(2n+ 2)(4n+ 2),

18(32 + 62 + 92 + . . .+ (3n)2) = 3n(3n+ 3)(6n+ 3),

24(42 + 82 + 122 + . . .+ (4n)2) = 4n(4n+ 4)(8n+ 4).

21

12 Dvanajsta trditev

Če sta si dve števili tuji in dasta sodo vsoto, potem je produkt teh dvehštevil z njuno vsoto in razliko med večjim in manjšim številom deljiv sštiriindvajset.

Sodi številim in n sicer dasta sodo vsoto, toda si nista tuji. Vsota lihegain sodega pa tudi ne pride v poštev, ker je njuna vsota liho število. Zatolahko vzamemo, da stam in n lihi tuji si števili. Vsotam+n in razlikam−nsta torej sodi števili. Dokazati je treba, da je pri opisanih pogojih produktN =mn(m+n)(m−n) deljiv s 24.

Če je (m − n)/2 liho število, potem je število n + (m − n)/2 = (m + n)/2sodo število, kar pomeni , da je (m+n)(m−n)/4 sodo število. Zato je število(m+n)(m−n) deljivo z 8, prav tako N .

Če je (m−n)/2 = 2k sodo število, potem je število n+(m−n)/2 = (m+n)/2liho število. To pomeni, da je m− n = 4k in m+ n = 2h za naravni števili kin h. Zato je (m+ n)(m − n) = 8kh, kar pomeni spet, da je N deljivo z 8. Vvsakem primeru je število N deljivo z 8.

Ker sta si m in n tuji, nista deljivi s 3. Torej dasta pri deljenju s 3ostanek 1 ali 2. Če je m = 3k + 1 in n = 3h+ 1, je m−n = 3(k − h), torej je Ndeljiv s 3. Če je m = 3k + 2 in n = 3h+ 2, je m− n = 3(k − h), torej je N pravtako deljiv s 3. Če je m = 3k + 1 in m = 3h+ 2 ali m = 3k + 2 in m = 3h+ 1, jem+ n = 3(k + h+ 1), kar pomeni, da je N v vsakem primeru deljiv s 3. Kerje N deljiv z 8 in s 3, je pri danih pogojih res deljivo s 24.

Leonardo ni dokazal, da je število N = mn(m + n)(m − n) za nekaterenetuje pare števil m in n, m > n, tudi lahko deljivo s 24. V takem primeruje treba poiskati največji skupni delitelj d števil m in n, ki ju potem lahkozapišemo kot m = dm1 in n = dn1, pri čemer sta si n1 in n2 tuji števili.Če sta n1 in n2 lihi števili, je po zgoraj dokazani trditvi tudi število N1 =m1n1(m1 +n1)(m1 −n1) deljivo s 24. Potem je tudi število

N = (dn1)(dn2)(d1m+ dn1)(dm1 − dn1) = d4m1n1(m1 +n1)(m1 −n1) = d4N1

deljivo s 24.

22

13 Trinajsta trditev

Če so okoli danega števila razporejena manjša in večja števila, pri čemerje število manjših števil enako številu večjih števil in če vsako večje številopresega dano število za prav toliko kot presega dano število neko manjšeštevilo, potem je vsota vseh manjših in vseh večjih števil enako produktuštevila razporejenih števil in danega števila.

Dano število naj bo s. Večja kot s naj bodo v1,v2, . . . , vn, manjša kot s pam1,m2, . . . ,mn. Pri tem naj veljajo relacije:

v1 − s = s −m1,v2 − s = s −m2, . . . , vn − s = s −mn.

Prepišimo jih v enakovredno obliko

m1 + v1 = 2s,m2 + v2 = 2s, . . . ,mn + vn = 2s

in nato seštejemo. Dobimo:

m1 +m2 + . . .+mn + v1 + v2 + . . .+ vn = n · 2s = 2n · s.

Vsota okoli s razporejenih števil je res 2n · s. Povprečje na opisani načinokoli števila s razporejenih števil je s.

Posledica. Če sestavljajo števila a1, a2, . . . , an aritmetično zaporedje, po-tem je njihova vsota enaka n(a1 + an)/2.

14 Štirinajsta trditev

Obstaja število, ki prišteto in odšteto kvadratnemu številu da spet kvadrat-no število.

Poiskati je treba števila x,y,z in c, za katera veljata relaciji

x2 + c = y2, y2 + c = z2.

23

Tako število c je Leonardo imenoval numerus congruus. Lahko se zgodi,da so x, y in z naravna števila. V takem primeru je Leonardo število cimenoval congruum, v slovenščini kongruum. V splošnem, ko so x, y in zracionalna števila, uporabljamo za c izraz kongruentno število. Vsak kon-gruum je kongruentno število. Vsako kongruentno število je neki kon-gruum, deljen s kvadratom naravnega števila. Latinska beseda congruuspomeni soglasen, skladen, primeren, prikladen, priležen.

Leonardo se je problema lotil z vsotami lihih števil:

(1 + 3 + . . .+ (2x − 1)) + c = (1 + 3 + . . .+ (2y − 1)),

(1 + 3 + . . .+ (2y − 1)) + c = (1 + 3 + . . .+ (2z − 1)).

Pri tem je x < y < z. Nato je zapisal

c = (2x+ 1) + (2x+ 3) + . . .+ (2y − 1),

c = (2y + 1) + (2y + 3) + . . .+ (2z − 1).

V prvem izrazu za c je y − x lihih števil. Njihova vsota je po posledicitrinajste trditve c = (y − x)((2x + 1) + (2y − 1))/2 = (y − x)(y + x) = y2 − x2. Vdrugem izrazu za c je z − y lihih števil. Njihova vsota je c = z2 − y2. Ničnovega. Toda relacijo

z2 − y2

y2 − x2 = r,

kjer je r dano racionalno število, v našem primeru r = 1, je obravnaval žeDiofant in našel rešitve. Leonardo jo študira v dvaindvajseti trditvi.

Preprost primer. Število 24 je kongruentno, ker velja:

12 + 24 = 52, 52 + 24 = 72.

Slika 6 ponazarja kongruentnost števila 24.Leonardo po dolgem postopku pride do splošnega pravila za iskanje

kongruentnih števil. Vendar odgovora na vprašanje, kdaj je c kongru-entno število, ne pozna. V resnici na to vprašanje še danes ne poznamopopolnega odgovora.

24

Slika 6. Število 24 je kongruum.

Najlaže pridemo do neskončno mnogo kongruentnih števil s pitagorej-skimi trojkami (A,B,C). Vzamemo, da je A > B. Iz osnovne zveze A2 +B2 =C2 dobimo :

(A−B)2 + 2AB = C2, C2 + 2AB = (A+B)2.

Torej je c = 2AB kongruentno število. Po znanih formulah

A =m2 −n2, B = 2mn, C =m2 +n2

lahko za m > n zgornji relaciji za kongruentnost zapišemo v obliki

(m2 −n2 − 2mn)2 + 4mn(m2 −n2) = (m2 +n2)2,

(m2 +n2)2 + 4mn(m2 −n2) = (m2 −n2 + 2mn)2.

Števili m in n, za kateri vzamemo m > n, sta v teh zvezah naravni. Torej ještevilo 4mn(m2 −n2) = 4mn(m+n)(m−n) kongruentno.

Tako kot pri pitagorejskih trojkah zadoščajo primitivne, tudi pri kon-gruentnih številih iščemo primitivne. Primitivno kongruentno število jebrezkvadratno, kar pomeni, da ni deljivo z nobenim kvadratnim številomrazen z 1. Kvadratne faktorje pospravimo k x,y,z v relacijah x2 + c = y2

in y2 + c = z2, ko dovolimo, da so x,y,z lahko tudi pozitivna racionalnaštevila, kongruentno število c pa mora v vsakem primeru biti naravno

25

število. Če je namreč c = k2c′ in c′ nima kvadratnega faktorja, potem izzvez x2 + c = y2 in y2 + c = z2 sledita zvezi x2 + k2c′ = y2 in y2 + k2c′ = z2,od tod pa (x/k)2 + c′ = (y/k)2 in (y/k)2 + c′ = (z/k)2, kar pomeni, da je c′

primitivno kongruentno število.Števila 1,2,3,4 niso kongruentna. Najmanjše kongruentno število je 5.

Leonardo navede nekaj primerov. Za m = 5 in n = 3 dobimo

142 + 960 = 342, 342 + 960 = 462.

Ker je 960 = 22 · 240, sledi po deljenju s 4

72 + 240 = 172, 172 + 240 = 232.

Račun se izide v naravnih številih. Števili 960 = 22 · 240 in 240 = 42 · 15sta kongruentni, toda ne primitivno kongruentni, ker vsebujeta kvadratnifaktor. Primitivno kongruentno število je 15, ker je:

(7/4)2 + 15 = (17/4)2, (17/4)2 + 15 = (23/4)2.

Za m = 3 in n = 1 dobimo

22 + 96 = 102, 102 + 96 = 142.

Število 96 je kongruentno, toda ne primitivno kongruentno, ker je 96 =22 · 24 in 24 = 22 · 6. Zato veljajo tudi relacije

12 + 24 = 52, 52 + 24 = 72,

(1/2)2 + 6 = (5/2)2, (5/2)2 + 6 = (7/2)2.

To pomeni, da je 6 primitivno kongruentno število.Za m = 5 in n = 2 dobimo

12 + 840 = 292, 292 + 840 = 412.

Število 840 je kongruentno, toda ne primitivno kongruentno, ker je 840 =22 · 210. Zato veljata relaciji

(1/2)2 + 210 = (29/2)2, (29/2)2 + 210 = (41/2)2.

26

Število 210 je primitivno kongruentno.Za m = 5 in n = 4 dobimo

312 + 720 = 412, 412 + 720 = 492.

Število 720 je kongruentno, toda ne primitivno kongruentno, ker je 720 =122 · 5. Zato veljata relaciji

(31/12)2 + 5 = (41/12)2, (41/12)2 + 5 = (49/12)2.

Število 5 je primitivno kongruentno.

Zadnji primer je znana naloga z matematičnega tekmovanja med obis-kom cesarja Svetega rimskega cesarstva Friderika II. okoli leta 1225 v Pisi.Poiskati je bilo treba število, katerega kvadrat, povečan in zmanjšan za 5da spet kvadrat. To število je Leonardo hitro našel: 41/12

Kongruentna števila so povezana tudi z eliptičnimi krivuljami, o čemerobstaja bogata matematična literatura, na primer [5]. Če je naravno številoc kongruentno, obstaja tako racionalno število x, za katero so x, x−c in x+ckvadrati racionalnih števil, recimo

x = u2, x − c = v2, x+ c = w2.

Za produkt dobimo

x(x − c)(x+ c) = x3 − c2x = (uvw)2.

Če označimo y = uvw, potem x zadošča enačbi y2 = x3 − c2x. V pravokot-nem kartezičnem koordinatnem sistemu Oxy predstavlja enačba y2 = x3−c2x implicitno dano krivuljo, ki jo imenujemo eliptična krivulja. Označimojo z Ec. Na njej so vsaj tri točke z racionalnimi koordinatami: (−c,0), (c,0)in (0,0). To so trivialne točke. Problem pri eliptični krivulji je obstojnetrivialnih točk z racionalnimi koordinatami na njej. Če najdemo dvetaki točki, od katerih je vsaj ena netrivialna, potem premica skoznju pre-seka eliptično krivuljo še v eni točki, ki ima racionalni koordinati. Točkista lahko tudi enaki. V tem primeru namesto sekante vzamemo tangenti.

27

V primeru štirinajste trditve smo videli, da je c = 24 kongruentnoštevilo, ker je 12 + 24 = 52 in 52 + 24 = 72. Ker ima 24 kvadratni faktor4, enakosti delimo s 4 in dobimo

(5/2)2 − 6 = (1/2)2, (5/2)2 + 6 = (7/2)2.

Število 6 je torej primitivno kongruentno. Ustrezna eliptična krivulja jeE6, ki ima enačbo y2 = x3 − 36x. Na njej je točka T (25/4,35/8). Pre-mica skozi to točko in skozi točko (6,0) preseka krivuljo E6 še v točki(294,5040). Premica skozi točki T in (−6,0) preseka krivuljo E6 tudi vtočki (−6/49,720/343).

Slika 7. Eliptična krivulja E6.

Vsaka racionalna točka (x,y) na eliptični krivulji Ec, kjer je y , 0, namda racionalen pravokotni trikotnik s stranicami

A =

∣∣∣∣∣∣x2 − c2

y

∣∣∣∣∣∣ , B =∣∣∣∣∣2cxy

∣∣∣∣∣ , C =

∣∣∣∣∣∣x2 + c2

y

∣∣∣∣∣∣ .in ploščino c. Preizkus:

A2 +B2 =(x2 − c2)2 + 4c2x2

c2 =(x2 + c2)2

y2 = C2.

28

Ploščina tega trikotnika pa je

p =12AB =

∣∣∣∣∣∣(x2 − c2)cxy2

∣∣∣∣∣∣ =(x3 − c2x)c

y2 = c.

Iz znanih enačb

(A−B)2 + 2AB = C2, C2 + 2AB = (A+B)2

dobimo po deljenju s 4 enačbi(A−B2

)2+ c =

(C2

)2,(C

2

)2+ c =

(A+B2

)2,

kar pomeni da je c kongruentno število. Z najdenima točkama (294,5040)in (−6/49,720/343) na eliptični krivulji E6 dobimo pravokotni trikotnik sstranicami

A =120

7, B =

710, C =

120170

in ploščino 6.Iz (A − B)/2 = 1151/140, C/2 = 1201/140 in (A + B)/2 = 1259/140 do-

bimo relaciji

(1151/140)2 + 6 = (1201/140)2, (1201/140)2 + 6 = (1259/140)2,

ki tudi izpričujeta, da je 6 kongruentno število. Takih relacij je nešteto.

15 Petnajsta trditev

Če je neko število kongruentno, ostane kongruentno tudi, če ga pom-nožimo s kvadratnim številom.

Če je c kongruentno število, obstajajo taki kvadrati x2, y2, z2, da veljatarelaciji x2 + c = y2 in y2 + c = z2. Za kvadratno število k2 potem očitnoveljata relaciji X2 + c′ = Y 2 in Y 2 + c′ = Z2 za X = kx,Y = ky,Z = kz inc′ = k2c. Pri tem je lahko k tudi racionalno število.

29

Pierre de Fermat (1601–1665) je dokazal, da število 1 ni kongruentno.Zato tudi k2 = k2 · 1 ni kongruentno za nobeno naravno število k. Topomeni, da ne obstajajo taka racionalna števila x,y,z, za katera bi bili raz-liki z2 − y2 in y2 − x2 enaka naravna kvadrata.

Če bi bilo z2−y2 = y2−x2 = k2, kjer je k naravno število, bi veljali relacijix2 + k2 = y2 in y2 + k2 = z2. To bi pomenilo, da je k2 kongruentno število.Potem bi bilo števio 1 tudi kongruentno, ker bi veljali relaciji (x/k)2 + 1 =(y/k)2 in (y/k)2 + 1 = (z/k)2. To nasprotuje trditvi, da 1 ni kongruentnoštevilo.

16 Šestnajsta trditev

Obstaja kongruentno število, ki je petkratnik kvadratnega števila.

Kot smo že videli v primerih štirinajste trditve, za m = 5 in n = 4 do-bimo

312 + 720 = 412, 412 + 720 = 492.

Število 720 = 5 · 122, ki je petkratnik kvadrata, je res kongruentno.

17 Sedemnajsta trditev

Obstaja kvadrat, ki povečan in zmanjšan za 5 da kvadrat.

Po prejšnji trditvi veljata relaciji

312 + 5 · 122 = 412, 412 + 5 · 122 = 492,

iz katerih sledita relaciji

(31/12)2 + 5 = (41/12)2, (41/12)2 + 5 = (49/12)2

oziroma(41/12)2 + 5 = (49/12)2, (41/12)2 − 5 = (31/12)2

Število 5 je primitivno kongruentno.

30

18 Osemnajsta trditev

Če imata števili sodo vsoto, potem razmerje te vsote z razliko večjega inmanjšega števila ni enako razmerju večjega in manjšega števila.

Števili naj bosta m in n, pri čemer je m > n. Trdimo, da je

m+nm−n

,mn.

Leonardo je trditev dokazal na precej zapleten način, s kongruentnimištevili. V resnici sta m in n lahko racionalni števili. Tudi ni razvidno,zakaj naj bi bila vsota m+ n sodo število. Če bi trditev ne veljala, bi imelirelacijo

m+nm−n

=mn,

iz katere dobimo n(m + n) = m(m − n), iz te pa n2 + 2nm +m2 = 2m2. Topomeni (m+n)2 = 2m2 oziroma (m+n)2/m2 = 2. Potemtakem bi bilo število2 kvadrat racionalnega števila, kar ni mogoče, saj je dobro znano, da je

√2

iracionalno število. V začetni relaciji torej ne velja enačaj.

19 Devetnajsta trditev

Obstaja kvadrat, ki povečan in zmanjšan za svoj koren da spet kvadrat.

Za dokaz je treba vzeti kongruentno število c ter števila x,y,z, za kateraje x2 + c = y2 in y2 + c = z2. Prvo enačbo delimo s c: x2/c+ 1 = y2/c. Nastalorelacijo pomnožimo z y2/c. Dobimo (xy/c)2 +y2/c = (y2/c)2. Število (y2/c)2

je kvadrat, ki zmanjšan za svoj koren da kvadrat. Drugo enačbo delimo s c:y2/c+1 = z2/c. Dobljeno relacijo pomnožimo z y2/c: (y2/c)2+y2/c = (yz/c)2.Število (y2/c)2 je kvadrat, ki povečan za svoj koren tudi da kvadrat.

Primer:

(25/24)2 − 25/24 = (5/24)2, (25/24)2 + 25/24 = (35/24)2.

31

20 Dvajseta trditev

Obstaja kvadrat, ki povečan in zmanjšan za dvakratnik svojega korena daspet kvadrat.

Za dokaz je treba spet vzeti kongruentno število c ter števila x,y,z, zakatera je x2 + c = y2 in y2 + c = z2. Prvo enačbo delimo s c: x2/c + 1 =y2/c. Nastalo relacijo pomnožimo z 4y2/c. Dobimo (2xy/c)2 + 2(2y2/c) =(2y2/c)2. Število (2y2/c)2 je kvadrat, ki zmanjšan za dvakratnik svojegakorena da kvadrat. Drugo enačbo delimo s c: y2/c + 1 = z2/c. Dobljenorelacijo pomnožimo s 4y2/c: (2y2/c)2 + 2(2y2/c) = (2yz/c)2. Število (2y2/c)2

je kvadrat, ki povečan za dvakratnik svojega korena tudi da kvadrat.Primer:

(25/12)2 − 2 · 25/12 = (5/12)2, (25/12)2 + 2 · 25/12 = (35/12)2.

21 Enaindvajseta trditev

Za katerekoli tri zaporedne lihe kvadrate največji presega srednjega zaosem bolj kot srednji najmanjšega.

Lihi zaporedni kvadrati naj bodo

(2n+ 1)2, (2n+ 3)2, (2n+ 5)2.

Razlike so

D2 = (2n+ 5)2 − (2n+ 3)2 = 2(4n+ 8) = 8(n+ 2),

D1 = (2n+ 3)2 − (2n+ 1)2 = 2(4n+ 4) = 8(n+ 1).

Vidimo, da je res D2 −D1 = 8.

22 Dvaindvajseta trditev

Obstajajo trije kvadrati, za katere sta razliki v danem razmerju.

32

Iskani kvadrati pozitivnih števil naj bodo x2, y2 in z2, urejeni po ve-likosti takole: x2 < y2 < z2. Velja naj

y2 − x2

z2 − y2 = r,

kjer je r dano pozitivno racionalno število. Ker za vsak racionalen α > 0velja tudi

(αy)2 − (αx)2

(αz)2 − (αy)2 = r,

lahko α izberemo tako, da bo αy −αx = α(y − x)1. To pomeni, da lahko žeod vsega začetka vzamemo, da je y = x + 1 in z = x + e, kjer je e racionalnoštevilo. Začetna enačba je potem

(x+ 1)2 − x2

(x+ e)2 − (x+ 1)2 =2x+ 1

2xe+ e2 − 2x − 1= r.

Če iz dobljene enačbe izrazimo x, dobimo:

x =e2 − (1 + r)/r

2((1 + r)/r − e).

Da bo x > 0, mora biti izpolnjen pogoj√

1 + 1/r < e < 1 + 1/r.

Za r = 1 mora veljati√

2 < e < 2. Za e = 9/5 dobimo x = 31/10, y =41/10, z = 49/10. Seveda velja

(49/10)2 − (41/10)2 = (41/10)2 − (31/10)2 = 36/5.

Če obe dobljeni relaciji pomnožimo s 100, dobimo

492 − 412 = 720, 412 − 312 = 720

oziroma312 + 720 = 412, 412 + 720 = 492,

kar smo že srečali v primerih štirinajste in šestnajste trditve.Leonardo si je nalogo izposodil iz Diofantove Aritmetike (druga knjiga,

naloga 19).

33

23 Triindvajseta trditev

Obstajajo taki trije kvadrati, za katere je vsota prvih dveh kvadrat in vsotavseh treh tudi kvadrat.

Uporabimo preprosto enakost

a+(a− 1

2

)2=

(a+ 12

)2,

katere veljavnost je očitna. Vanjo vstavimo najprej a = 9 = 32 in nato šea = 25 = 52 in dobimo

32 + 42 = 52, 52 + 122 = 132.

Ker je 32 + 42 + 122 = 132, kvadrati 9,16,144 ustrezajo trditvi.

24 Štiriindvajseta trditev

Obstajajo taka tri števila, za katera je njihova vsota skupaj s kvadratomprvega kvadrat. Vsota tega kvadrata in kvadrata drugega števila je spetkvadrat. Če slednjemu prištejemo kvadrat tretjega števila, pa tudi dobimospet kvadrat.

To je bila naloga, ki jo je Leonardo dal v reševanju Magistru Teodorju,cesarjevemu filozofu. Iščemo racionalna števila a, b in c, za katera je

a+ a2 + b+ c = x2, x2 + b2 = y2, y2 + c2 = z2,

kjer so x,y,z racionalna števila.Leonardo je postavil x = 3k,b = 4k,c = 12k, tako da je dobil enačbe

a+ a2 + 16k = (3k)2, (3k)2 + (4k)2 = (5k)2, (5k)2 + (12k)2 = (13k)2.

To pomeni y = 5k,z = 13k. Koeficiente je izbral tako zato, ker se pitagorej-ski trojki (3,4,5) in (5,12,13) stikata s 5. Nato je postavil a = 3k − t in

34

dobil k = t(t − 1)/(6t − 19). Za t = 4 imamo k = 12/5, a = 16/5, b = 48/5,c = 144/5, x = 36/5, y = 12 in z = 156/5. To je racionalna rešitev naloge.Leonardo si je tudi tukaj pomagal z Diofantovo Aritmetiko (druga knjiga,naloga 20), pa morda tudi z Al-Karkhijevim delom Fakhri, ki uporabljatapodobne prijeme, Al-Karkhi (953–1029), tudi Al-Karadži, arabskoù

kQºË@

oziroma ùk. QºË@, je bil islamski matematik, ki je deloval v Bagdadu.

Leonardo je našel tudi celoštevilsko rešitev naloge. Uporabil je pitago-rejski trojki (7,24,25) in (25,60,65), ki se stikata s 25. Če postavimo x =7k,b = 24k,c = 60k, dobimo enačbo a + a2 + 84k = 49k2. Vanjo vstavimoa = 7k− t in dobimo k = t(t−1)/(14t−91). Za t = 7 dobimo k = 6, a = 35,b =144, c = 360,x = 42, y = 150, z = 390.

Leonardo je nalogo tudi posplošil na več števil, na primer: Iščemoracionalna števila a, b, c in d, za katera je

a+ a2 + b+ c+ d = x2, x2 + b2 = y2, y2 + c2 = z2, z2 + d2 = w2,

kjer so x,y,z,w racionalna števila.

35

Viri

[1] K. Devlin, Finding Fibonacci – The Quest to Rediscover the Forgotten

Mathematical Genius Who Changed the World, Princeton University Press,

Princeton and Oxford 2017.

[2] The Man of Numbers: Fibonacci’s Arithmetic Revolution, Bloomsbury Pub-

lishing, London in drugje 2011.

[3] Leonardo Pisano Fibonacci, The Book of Squares, prevod L. E. Siglerja, Aca-

demic Press, Orlando, Florida 1987.

[4] M. Razpet, Nekoliko drugačna obravnava kubičnih enačb,

http://www.pef.uni-lj.si/matwww/kubicna01.pdf

(dosegljivo 5. aprila 2019)

[5] I. Vidav, Eliptične krivulje in eliptične funkcije, DMFA, Ljubljana 1991.

36