Klasicnaˇ elektrodinamika - Moodlegama.fizika.unios.hr/~zglumac/uelmag.pdf · 4 Elektriˇcna struja.....59 4.1 Elektriˇcna struja 59 4.2 Elektriˇcna vodljivost i Ohmov zakon 61

Klasicnaelektrodinamika

kratak uvod

Zvonko Glumac

Copyright c© 2015. Zvonko Glumac

PUBLISHED BY PUBLISHER

BOOK-WEBSITE.COM

Licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License (the“License”). You may not use this file except in compliance with the License. You may ob-tain a copy of the License at http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0. Unlessrequired by applicable law or agreed to in writing, software distributed under the License isdistributed on an “AS IS” BASIS, WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND,either express or implied. See the License for the specific language governing permissions andlimitations under the License.

First printing, III 2008.

http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0

Sadržaj

1 Elektricno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Osnovna svojstva elektricnog naboja 7

1.2 Coulombov zakon i elektricno polje 11

1.3 Potencijalna energija sustava elektricnih naboja 12

1.4 Elektricno polje 15

1.5 Gaußov zakon 17

2 Elektricni potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1 Potencijal i razlika potencijala 25

2.2 Izracunavanje polja iz potencijala 29

2.3 Multipolni razvoj potencijala 33

2.4 Gaußov teorem 34

2.5 Poissonova i Laplaceova jednadžba 38

2.6 Energija elektricnog polja 42

2.7 Stokesov teorem 44

3 Polje oko vodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1 Vodic u elektrostatskom polju 49

3.2 Polje u šupljini vodica 50

3.3 Metoda slika 51

3.4 Kapacitet i kondenzatori 56

3.5 Energija kondenzatora: rad uspostave elektricnog polja 57

4 Elektricna struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1 Elektricna struja 59

4.2 Elektricna vodljivost i Ohmov zakon 61

4.3 Model vodenja elektricne struje 62

5 Magnetsko polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1 Definicija magnetskog polja 65

5.2 Gibanje naelektrizirane cestice u konstantnom elektricnom i magnet-skom polju 66

5.3 Biot - Savartov zakon 69

5.4 Sila izmedu dva vodica kojima prolazi struja 73

5.5 Indukcija magnetskog polja kružne petlje na osi simetrije 75

5.6 Vektorski potencijal 76

5.7 Ampèreov zakon 79

5.8 Baždarna preobrazba 84

5.9 Polje tockastih naboja u gibanju 88

6 Vremenski promjenjivo elektromagnetsko polje . . . . . . . . . . . . . . 91

6.1 Gibanje vodica u jednolikom magnetskom polju 916.1.1 Lenzovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.1.2 Izmjenicna struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.2 Meduvodicka indukcija 976.2.1 Teorem o uzajamnoj jednakosti meduvodickih indukcija . . . . . . . . . . . . . . . 996.2.2 Samoindukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.3 Upotpunjavanje cetvrte Maxwellove jednadžbe 1036.3.1 Maxwellove jednadžbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7 Elektricno polje u tvarima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.1 Elektricni dipol 1077.1.1 Polje elektricnog dipola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.1.2 Zakretni moment dipola u homogenom vanjskom elektricnom polju . . . . . 1097.1.3 Sila na dipol u nehomogenom vanjskom elektricnom polju . . . . . . . . . . . . . 1107.1.4 Potencijalna energija dipola u vanjskom homogenom elektricnom polju . . 110

7.2 Multipolni razvoj skalarnog potencijala 111

7.3 Elektricno polje u dielektriku 1157.3.1 Elektricno polje jednoliko polarizirane tvari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.3.2 Gaußov zakon u dielektricnoj sredini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.3.3 Energija elektricnog polja u jednolikom dielektriku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.3.4 Rubni uvjeti na granici dva dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.3.5 Elektricno polje jednoliko polarizirane kugle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.3.6 Dielektricna kugla u jednolikom vanjskom elektricnom polju . . . . . . . . . . . . 1287.3.7 Vremenski promjenjiva polarizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.3.8 Metoda slika za dielektrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8 Magnetsko polje u tvari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.1 Magnetski dipol 131

8.2 Multipolni razvoj vektorskog potencijala 136

8.3 Elektricne struje u atomima 137

8.4 Magnetsko polje u tvari 1398.4.1 Rubni uvjeti na granici dva sredstva s razlicitim vrijednostima µr . . . . . . . . . . 143

8.5 Sažetak: Maxwellove jednadžbe 143

9 Elektromagnetski valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.1 Sacuvanje energije elektromagnetskog polja 145

9.2 Elektromagnetski valovi 147

9.3 Rješenja Maxwellovih jednadžba 1529.3.1 Rješenje homogene valne jednadžbe u jednoj dimenziji . . . . . . . . . . . . . . . 1529.3.2 Rješenje homogene valne jednadžbe u tri dimenzije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559.3.3 Rješenje nehomogene valne jednadžbe u tri dimenzije . . . . . . . . . . . . . . . . 157

9.4 Zracenje tockastog naboja 1599.4.1 Zracenje elektricnog dipola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1649.4.2 Zracenje atoma u klasicnoj slici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

10 Raspršenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

10.1 Maxwellova formula za indeks loma 16910.1.1 Fermatovo nacelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.2 Raspršenje svjetlosti 171

10.3 Reakcijska sila zracenja 176

10.4 Anomalno raspršenje 17610.4.1 Prirodna širina linije svjetlosti emitirane iz atoma u klasicnoj slici . . . . . . . . . . 181

11 Polarizacija elektromagnetskog vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

11.1 Stanje polarizacije elektromagnetskog vala 183

11.2 Polarizacija refleksijom - Brewsterov kut 187

11.3 Fresnelove jednadžbe za refleksiju i lom 187

Popis literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Knjige 189

Clanci 189

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

1. Elektricno polje

1.1 Osnovna svojstva elektricnog naboja

Povijest:DemokritCoulomb, (1785)OerstedAmpèreFarady, 1791 - 1867Maxwell, 1831 - 1879, (1864)HertzHelmholtzThomsonMillikanLorenzEinstein

Navedimo osnovne eksperimentalne cinjenice o elektricnom naboju:

(1) POZITIVNI I NEGATIVNI NABOJI. Elektricni se naboj u prirodi pojavljuje u dva oblika,koji se iz prakticnih razloga, nazivaju pozitivni i negativni (iako u njima nema niceg što bi semoglo nazvati pozitivnim ili negativnim - mogli bismo ih nazivati lijevi i desni, gornji i donjiili nešto slicno). Razlog zašto je odabrana notacija (pozitivni - negativni) jeste relativnojednostavna matematika koja slijedi iz takvog zapisa. Pozitivni i negativni naboji se mogukombinirati na dva nacina: jedna je mogucnost medudjelovanje istoimenih naboja, a drugaje mogucnost medudjelovanje raznoimenih naboja. Empirijska je cinjenica da se istoimeninaboji odbijaju, a raznoimeni privlace (Coulombov zakon kaže KAKO, a ne ZAŠTO senaboji privlace ili odbijaju). U cijelom svemiru postoji podjednak broj pozitivnih i negativnihelektricnih naboja. U prirodi postoje i elektricno neutralne cestice koje ne nose elektricninaboj (ili nose istu kolicinu pozitivnog i negativnog naboja).

8 Poglavlje 1. Elektricno polje

NAPOMENA o gravitacijskoj sili. Gravitacijsko privlacenje dva tijela možemo takodershvatiti kao posljedicu njihovih gravitacijskih naboja, tj. njihove mase1. Kod gravitacijskogprivlacenja, masa igra ulogu nabo ja, baš kao elektricni naboj kod elektricnog medudje-lovanja. Razlika je u tome što se elektricni naboj pojavljuje u dva oblika (pozitivnom inegativnom), dok se gravitacijski naboj, tj. masa, pojavljuje samo u jednom obliku. Poslje-dica toga je da se gravitacijskli naboj može kombinirati samo na jedan nacin i daje privlacnomedudjelovanje, dok se elektricni naboj može kombinirati na dva nacina (dva istoimena ilidva raznoimena naboja), tako da se i rezultantno medudjelovanje pojavljuje u dva oblika:privlacnom i odbojnom.

(2) SACUVANJE. Izoliranim (izdvojenim) sustavom zovemo sustav koji ni na koji nacin nemedudjeluje sa svojom okolinom (jasno da je izolirani sustav idealizacija koja ne postojiu prirodi). Ukupan elektricni naboj Q izoliranog sustava se ne mijenja (konstantan je) uvremenu,

d Qd t

= 0.

(3) RELATIVISTICKA INVARIJANTNOST. Ukupan elektricni naboj izoliranog sustava neovisi o brzini kojom se sustav giba, tj. on je i relativisticka invarijanta (a ne samo vremenska)

Q(v) = Q(0).

Primjetimo da se, za razliku od naboja, u Specijalnoj teoriji relativnosti (npr. Mehanika,Berkeley I) pokazuje da masa cestice m ovisi o njezinoj brzini v kao

m(v) =m0√

1− v2/c2,

gdje je c brzina svjetlosti u vakuumu (c = 299792456.2 ± 1.1m/s). Npr. elektronu koji segiba brzinom usporedivom s brzinom svjetlosti ce se povecati masa, ali ce njegov elektricninaboj ostati nepromjenjen.

(4) KVANTIZIRANOST ili diskretnost. Elektricni naboji se pojavljuju samo kao cjelobrojnivišekratnici elementarne kolicine (kvanta) naboja qe koji je jednak apsolutnoj vrijednostinaboja elektrona (dogovorno je naboj elektrona negativan)

Q = ±n · qe, n = 1,2,3, . . . ,

qe = −1.6021917(70) ·10−19C.

Npr. iako proton ima masu skoro 2000 puta vecu od mase elektrona, njihovi su naboji istogiznosa (i suprotnog predznaka) s tocnošcu od 1/1020 dijelova qe. U prirodi nisu otkriveneslobodne cestice ciji bi elektricni naboj iznosio 0.999999 ·qe ili 1.2 ·qe ili što slicno (kvarkovinose naboj jednak ±1/3 ili ±2/3 naboja elektrona, ali do sada nisu opažene kao slobodnecestice).

(5) FUNDAMENTALNA SVOJSTVA elementernih cestica, nosilaca elektricnog naboja, su

1Ovdje se radi o teškoj masi (za razliku od trome mase).

1.1 Osnovna svojstva elektricnog naboja 9

izvan okvira klasicnih teorija i objašnjavaju se pojmovima KVANTNE TEORIJE.

me = 9.11 · 10−31 kg,

mp = 1.672 ·10−27 kg' 1835me,

Re =35

q2e

4πε0

1m0 c2 = 1.6910−15 m,

S =12

h.

APROKSIMACIJA KONTINUIRANE RASPODJELE NABOJA

Promatrajuci makroskopska tijela u klasicnom (ne-kvantnom) pristupu na prostornoj skali punovecoj od Re, u jako dobroj aproksimaciji (1mol tvari sadrži NA = 6.025 ·1023 cestica) se možezanemariti kvantiziranost naboja i promatrati ga kao kontinuiranu velicinu rasporedenu po tijelu(dijelu prostora) s odredenom GUSTOCOM. Volumna gustoca naboja se definira, analogno

Slika 1.1: Uz definiciju volumne (A), površinske (B) i linijske (C), gustoce. naboja

( A ) ( B ) ( C )

x

y

z z z

y y

x x

dQ, dV

r

dQ, dS

r

dQ, dl

r

masenoj gustoci, kao diferencijalni omjer kolicine naboja i djela prostora u kojemu se on nalazi,slika 1.1.A.

ρ(~r) = lim∆V→0

∆Q∆V

=d QdV

,

Q =∫

ρ(~r)dV.

Gornji ∆V je mali na makroskopskoj skali (tako da gornji limes ima smisla), ali je još uvijek punoveci od R3

e i sadrži u sebi dovoljno velik broj elementarnih naboja koji omogucavaju definicijugustoce naboja.

Slicno vrijedi i za definiciju površinske σ i linijske λ gustoce naboja. Diferencijal površineje oznacen s ∆S, a linijski diferencijal sa ∆ l. Tako je površinska gustoca naboja , slika 1.1.B,

σ(~r) = lim∆S→0∆Q∆S

=d Qd S

,

Q =∫

σ(~r)dS,

a linijska gustoca, slika 1.1.C,

λ (~r) = lim∆ l→0∆Q∆ l

=d Qd l

,

Q =∫

λ (~r)dl.


Zadatak 1.1 Elektricni naboj je nejednoliko rasporeden po luku kružnice polumjera R.

Linijska gustoca naboja je dana izrazom

λ (~r) = λ0 · ϕ.

Izracunajte ukupni elektricni naboj naluku kružnice.

RR

x

y

z

Rješenje:Zbog simetrije, zadatak je najlakše riješiti u polarnom koordinatnom sustavu.

Q =∫

λ dl =∫ 2π

0λ0 · ϕ Rdϕ = λ0 R

ϕ2

2

∣∣∣∣2π

0= 2π

2λ0 R.

Zadatak 1.2 Elektricni naboj je nejednoliko rasporeden po površini beskonacno tankogkružnog diska polumjera R. Površinskagustoca naboja je dana izrazom

σ(~r) = σ0 ·ρ

R,

gdje je ρ radijalna udaljenost od središtadiska. Izracunajte ukupni elektricni nabojdiska.

RR

x

y

z

Rješenje:Zbog simetrije, zadatak je najlakše riješiti u polarnom koordinatnom sustavu.

Q =∫

σ dS =∫ R

0ρ dρ

∫ 2π

0dϕ σ0 ·

ρ

R=

23

π σ0 R2.

Zadatak 1.3 Elektricni naboj je nejednoliko rasporeden po unutrašnjosti kugle polumjera R.

Volumna gustoca naboja je dana izrazom

ρ(~r) = ρ0 ·( r

R

)2,

gdje je r radijalna udaljenost od središtakugle. Izracunajte ukupni elektricni nabojkugle.

R

Rx

y

zr

Rješenje:Zbog simetrije, zadatak je najlakše riješiti u sfernom koordinatnom sustavu.

Q =∫

ρ dV =∫ R

0r2 dr

∫π

0sinθ dθ

∫ 2π

0dϕ ρ0 ·

( rR

)2=

45

π ρ0 R3.

1.2 Coulombov zakon i elektricno polje 11

Riješite ovaj zadatak uz

ρ(~r) = ρ0 ·( r

R

)α

, α ∈ R.

1.2 Coulombov zakon i elektricno poljeCoulomb2 je eksperimentalno došao do zakljucka da se dva mirujuca tockasta naboja (q,~r)i (q ′,~r ′) privlace ili odbijaju silom koja je srazmjerna UMNOŠKU njihovih naboja, a obrnutosrazmjerna KVADRATU njihove medusobne udaljenosti.

|~F | ∼ qq ′ (1.1)

|~F | ∼ 1|~r−~r ′|2

.

Matematicki se sila kojom naboj q ′ koji se nalazi u~r ′ djeluje na q koji se nalazi u~r moženapisati u obliku

~F(~r) =1

4πε0qq ′

(~r−~r ′)|~r−~r ′|3

.

(1.2)

(1) SMJER djelovanja sile ovisi o predznaku umnoška qq ′. Sila je privlacna izmedu naboja

suprotnog predznaka, a odbojna izmedu naboja istog predznaka. Primjetimo da vrijedi treciNewtonov aksiom

~F(~r ′) =−~F(~r).

(2) KONSTANTA SRAZMJERNOSTI: U SI sustavu jedinica, konstanta koja povezuje jakostsile s iznosima naboja i njihovom medusobnom udaljenošcu je APSOLUTNA PERMITIVNOST

VAKUUMA ε0

ε0 = 8.854 ·10−12C2N−1m−2,1

4πε0= 9 ·109 Nm2C−2.

Ako se naboje ne nalaze u vakuumu nego u nekoj tvari, tada se, uslijed medudjelovanja nabojas molekulama tvari u kojoj se nalaze, sila medu njima mijenja (smanjuje), a ta je promjenaopisana jednom BEZDIMENZIONALNOM velicinom koja se zove DIELEKTRICNA FUNKCIJA

(ili konstanta) εr

~F(~r) =1

4π ε0 εrqq ′

(~r−~r ′)|~r−~r ′|3

(3) NACELO PRIDODAVANJA: Coulombova sila je aditivna, tj. sila na promatrani naboj q utocki~r koja potjece od N tockastih naboja (qn,~rn), n = 1,2, · · · ,N, je vektorski zbroj sila na

2Charles-Augustin de Coulomb (14. VI 1736. – 23. VIII 1806.), francuski fizicar.


Slika 1.2: Nacelo pridodavanja za elektrostatsku silu za skup cestica.

x y

z

q

q1

rj

r rj

r r3

r r2

r r1

q2

q3

qj

r

q od svakog pojedinog naboja (princip superpozicije ili pridodavanja), slika 1.2

~F(~r) = ~F1 +~F2 + · · ·+~FN =1

4πε0

N

∑n=1

qqn(~r−~rn)

|~r−~rn|3. (1.3)

Drugim rijecima, sila izmedu dva naboja se ne mijenja uslijed prisustva treceg naboja.

Zadatak 1.4 Usporedite jakosti gravitacijske i Coulombove sile izmedu dva elektrona najednakoj medusobnoj udaljenosti.

Rješenje:

FC

FG=

q2e

4πε0Gm2e= 2.276 ·1039

Vidi se da je elektricna sila puno jaca (oko 40 redova velicina) od gravitacijske, što znaci da se uvecini slucajeva kod medudjelovanjima naelektriziranih tijela, gravitacijska sila može u jakodobroj aproksimaciji zanemariti.

1.3 Potencijalna energija sustava elektricnih naboja

Sjetimo se pojma konzervativne sile iz mehanike: ako rad sile od neke pocetne do neke konacnetocke ne ovisi o putu koji spaja te dvije tocke, tada se sila naziva konzervativnom. Višematematicki receno, linijski integral Coulombove sile izmedu tocaka~rp i~rk ne ovisi o putu kojivodi od~rp do~rk, slika 1.3. Neka je naboj q1 u tocki~r1, a naboj q prevodimo iz tocke~rp u~rk i pritome obavimo slijedeci rad:

Wp,k =∫ ~rk

~rp

~F(~r) d~r =1

4πε0q q1

∫ ~rk

~rp

~r−~r1

|~r−~r1|3d~r.

1.3 Potencijalna energija sustava elektricnih naboja 13

Slika 1.3: Uz rad u polju elektrostatske sile jedne cestice.

q

x

y

z

r

r1

rk

rp

q1

Pod integralom je~r1 konstantno, pa je d~r = d(~r−~r1). Uvede li se nova varijabla ~R =~r−~r1,lako se pokazuje da je ~Rd~R = RdR

~R ·d~R = R~eR ·d(R~eR ) = R~eR · (dR~eR +R d~eR ).

Buduci da je d~eR okomit na sam jedinicni vektor~eR , to ce drugi clan na desnoj strani gornjegizraza biti jednak nuli. Sada za rad možemo napisati

Wp,k =1

4πε0q q1

∫ ~R k

~R p

dRRR3 =

14πε0

q q1

(1

|~rp−~r1|− 1|~rk−~r1|

). (1.4)

Vidi se da rad ovisi samo o pocetnom i konacnom položaju cestice naboja q, a NE I O PUTU

kojim se gibao taj naboj, tj. sila koja je obavila rad je konzervativna. Specijalno, ako je putanjacestice zatvorena,~rp =~rk, rad Coulombove sile po zatvorenoj krivulji je jednak nuli.∮

~F d~r = 0.

Kasnije ce se vidjeti da gornji izraz vrijedi opcenito u elektrostatici, a ne samo za tockasti naboj.S druge strane, konzervativna sila se može napisati pomocu skalarne funkcije koja se zove

potencijalna energija Ep

~F =−−→∇ Ep,

gdje je−→∇ diferencijalni vektorski operator (poznat iz Mehanike) koji je u PKS oblika

−→∇ =~ex

∂

∂ x+~ey

∂

∂ y+~ez

∂

∂ z.

Sada je lako povezati obavljeni rad i promjenu potencijalne energije

~F d~r =−∂ Ep

∂ xdx−

∂ Ep

∂ ydy−

∂ Ep

∂ zdz =−dEp(x,y,z),


tj.

Wp,k =∫ ~rk

~rp

~F d~r =−∫ ~rk

~rp

dEp = Ep(~rp)−Ep(~rk),

pa je

Ep(~rk) = Ep(~rp)+qq ′

4π ε0

(1

|~rk−~r1|− 1|~rp−~r1|

).

Vidi se da je potencijalna energija odredena samo u smislu RAZLIKE potencijalne energijeizmedu dvije tocke. Uzme li se pocetna tocka u beskonacnosti~rp = ∞, a vrijednost potencijalneenergije u beskonacnosti se uzme za nulu, tada je potencijalna energija dva tockasta naboja q i q ′

na medusobnoj udaljenosti r jednaka

Ep(~r) =qq ′

4π ε0

1r.

Zamislimo sada da imamo dva naboja (q1,~r1) i (q2,~r2) na medusobnoj udaljenosti r1,2 = |~r1−~r2|.Beskonacno daleko od njih se nalazi treci naboj q3. Ako taj treci naboj želimo dovesti u blizinuprva dva naboja u tocku~r3, moramo savladiti kulonske sile medu njima slika 1.4. Prema nacelu

Slika 1.4: Uz rad u polju gravitacijske sile dvaju cestica.

q3

x

y

z

r3

r1

rk

rp r

2

q2

q1

pridodavanja, sila na naboj q3 je vektorski zbroj sila od naboja q1 i naboja q2, pa ce i rad ukupnesile biti jednak zbroju radova pojedinih sila∫ ~r3

∞~F d~r =

∫ ~r3

∞(~F1,3 +~F2,3)d~r =− 1

4πε0

q1 q3

r1,3− 1

4πε0

q2 q3

r2,3.

Time se za potencijalnu energiju sustava tri naboja dobiva izraz

Ep =1

4πε0

(q1 q2

r1,2+

q1 q3

r1,3+

q2 q3

r2,3

),

gdje je r j,k udaljenost izmedu naboja q j i qk. Protegne li se ovaj nacin razmišljanja na sustav odN tockastih naboja q j smještenih u tocke~r j, lako se dolazi do izraza za potencijalnu energiju

1.4 Elektricno polje 15

nakupine

Ep =12

14πε0

N

∑j=1

N

∑k=1j 6=k

q j qk

|~r j−~rk|(1.5)

(množitelj 1/2 dolazi od dvostrukog brojanja istog para naboja u zbrojevima po j i po k).

1.4 Elektricno poljeU uskoj vezi s pojmom sile je i pojam POLJA sile. Specijalno, polje Coulombove sile se zoveELEKTRICNO POLJE. Promatrajmo izraz (1.3)

~F(~r) = q

[1

4πε0

N

∑n=1

qn~r−~rn

|~r−~rn|3

].

Vidimo da se sila na naboj q u tocki~r može napisati kao umnožak q i vektora koji ovisi samo o

Slika 1.5: Elektrostatsko polje kontinuirane nakupine naboja.

x y

z

rnr

r - rndq

n, d V

n

q

iznosima i prostornoj raspodjeli N tockastih naboja (nn,~rn). Taj se vektor zove vektor elektricnogpolja u tocki~r i jednak je

~E (~r) =~F(~r)

q=

14πε0

N

∑n=1

qn~r−~rn

|~r−~rn|3. (1.6)

Elektricni naboji qn su izvori tog polja. U aproksimaciji kontinuirane raspodjele naboja, umjestodiskretnog zbroja po N tockastih naboja, promatra se integral po kontinuiranoj raspodjeli naboja

N

∑n=1

qn~r−~rn

|~r−~rn|3→∫

dq(~r ′)~r−~r ′

|~r−~r ′|3=∫

ρ(~r ′)d3r ′(~r−~r ′)|~r−~r ′|3

,

pa izraz za elektricno polje u tocki~r postaje

~E (~r) =1

4πε0

∫ρ(~r ′)

~r−~r ′

|~r −~r ′|3d3r ′ . (1.7)


Integrira se po onom dijelu prostora u kome se nalaze naboji (tamo gdje je gustoca ρ razlicitaod nule - vježbati višestruke integrale). Ako se naboji nalaze u sredstvu opisanom dielektricnomkonstantom εr, tada se u gornjem izrazu umjesto ε0 pojavljuje umnožak ε0 εr.

(1) MJERNA JEDINICA za elektricno polje u SI sustavu je N/C ili, kao što ce se kasnijepokazati, V/m.

(2) SILNICE su linije s osobinom da je smjer elektricnog polja u nekoj tocki upravo dantangentom na silnicu u toj tocki, a jakost polja je srazmjerna gustoci silnica u malom dijeluprostora oko promatrane tocke. Dogovorom, silnice izlaze iz pozitivnih, a poniru u negativnimnabojima.

(3) POLJE TOCKASTOG naboja q smještenog u ishodištu je

~E (~r) =1

4πε0

qr2~er .

U vezi s gornjim izrazom postoji jedan mali problem: jakost polja postaje sve veca kako sepribližavamo naboju i trebala bi biti beskonacno velika u samom naboju. Kako se u prorodine pojavljuju beskonacnosti, zakljucujemo da gornji izraz nije u cjelosti tocan. Naime izrazje prikladan za racune na prostornoj skali vecoj od skale definirane klasicnim polumjeromelektrona (oko 10−15 m). Na manjim udaljenostima klasicna teorija nije promjenjiva (kvantnaelektrodinamika, QED).

Zadatak 1.5 Izracunajte elektricno polje beskonacno dugog i beskonacno tankog ravnogvodica (žice) naelektriziranog konstantnom linijskom gustocom naboja λ0.

Rješenje:Zbog simetrije problema, prirodno je raditi u cilindricnom koordinatnom sustavu. Vodic posta-vimo duž osi~ez , pa je

~r ′ = z ′~ez ,

d q(~r ′) = λ0 d r ′ = λ0 d z ′,

x

y

z

r

dok je

~r = ρ~eρ + z~ez .

Uvrštavanjem gornjih izraza u (1.7), dolazi se do

~E (~r) =λ0

4π ε0

∫ +∞

−∞d z ′

ρ~eρ +(z− z ′)~ez

[ρ2 +(z− z ′)2]3/2

=λ0

4π ε0ρ~eρ

∫ +∞

−∞

d z ′

[ρ2 +(z− z ′)2]3/2 +λ0

4π ε0~ez

∫ +∞

−∞

(z− z ′)d z ′

[ρ2 +(z− z ′)2]3/2 .


Drugi od gornjih integrala je jednak nui, jer se radi o integralu neparne funkcije u simetricnimgranicama. U prvom se integralu izvede zamjena varijable

z− z ′ = ρ tanα,

pa prvi integral daje 2/ρ2. Tako se dolazi do konacnog izraza za polje beskonacno duge ravnežice

~E (~r) =λ0

2π ε0

~eρ

ρ.

1.5 Gaußov zakonUvedimo pojam TOKA ili fluksa Φ vektorskog polja ~E , kao integrala polja po zatvorenoj plohi S

Φ =∮

S~E d~S . (1.8)

Diferencijal površine d~S = dS n je usmjeren prema VAN u odnosu na površinu, slika 1.6 Izvedimo

Slika 1.6: Tok polja kroz zatvorenu plohu.

E

dS = dS en

Slika 1.7: Tok polja tockastog naboja kroz sfernuplohu.

E dS = r2 d er

q

najprije jednostavni racun toka polja tockastog naboja kroz sfernu plohu polumjera r sa središtemu tocki gdje se nalazi naboj, slika 1.7.∮

S~E d~S =

∫ 14πε0

qr2~er r2 d Ω~er =

14πε0

q4π =qε0

Primjetimo da zbog toga što polje opada s kvadratom udaljenosti, a diferencijal površine raste skvadratom te iste udaljenosti, tok ne ovisi o polumjeru sfere, tj. isti je kroz svaku sferu.

Neka se sada tockasti naboj q nalazi unutar zatvorene plohe S proizvoljnog oblika (ne nužnosfernog) kao na slici 1.8 Izracunajmo tok polja tockastog naboja kroz tu plohu

Φ =∮

S

14πε0

qr2~er dS n =

=1

4πε0

∮S

qr2 dS cos(~er , n).


Slika 1.8: Tok polja tockastog naboja kroz proizvoljnu zatvorenu plohu.

dq

dS en

er

Ako se uoceni diferencijal plohe d~S = dS n nalazi na udaljenosti r od naboja i vidljiv je podprostornim kutom dΩ, tada je njegova projekcija na smjer~er s jedne strane jednaka

d~S ·~er = dS cos(~er , n),

a s druge strane to je upravo jednako diferencijalu površine kugline plohe na toj istoj udaljenostii pod istim prostornim kutom r2 dΩ

r2 dΩ = dS cos(~er , n).

Time tok polja tockastog naboja kroz proizvoljnu plohu koja ga okružuje, postaje

Φ =1

4πε0q∮

SdΩ =

14πε0

q4π =qε0. (1.9)

Tok NE OVISI niti o OBLIKU plohe S niti o POLOŽAJU naboja unutar te plohe.

Pokažimo da ukoliko zatvorena ploha ne sadrži naboj (ili je zbroj naboja unutar plohe jednakanuli), tok elektricnog polja kroz plohu je jednak nuli.Neka je tok kroz zatvorenu plohu S jednak q/ε0. Deformiramo li plohu kao na slici 1.9, dolazimodo

S = S1 +S2

Φ = Φ1 +Φ2.

Kako je sav naboj sadržan u plohi S1, to mora biti i Φ1 = q/ε0 iz cega zakljucujemo da je tokkroz zatvorenu plohu koja ne sadrži naboj, jednak nuli Φ2 = 0. Primjetimo da iako je tok krozzatvorenu plohu S2 jednak nuli, to NIPOŠTO NE ZNACI DA JE I POLJE U UNUTRAŠNJOSTI

PLOHE JEDNAKO NULI.


Slika 1.9: Tok elektricnog polja tockastog naboja kroz proizvoljnu zatvorenu plohu koja sadrži ikoja ne sadrži naboj.

q

S

q S1

S2

E E

Nadalje, prema nacelu pridodavanja sila tj. polja, tok od N tockastih naboja unutar plohe Sce biti jednak zbroju tokova pojedinih naboja, slika 1.10.

~E (q1 +q2 + · · ·) = ~E 1(q1)+~E 2(q2)+ · · ·∮S~E d~S =

∮S~E 1 d~S +

∮S~E 2 d~S + · · ·

=q1

ε0+

q2

ε0+ · · ·

ili, krace,∮S~E d~S =

1ε0

N

∑n=1

qn =QS

ε0,

gdje je QS ukupan naboj sadržan unutar zatvorene plohe S. U slucaju kontinuirane raspodjelenaboja

1ε0

N

∑n=1

qn →1ε0

∫V (S)

dq =1ε0

∫V (S)

ρ(~r)d3r,

pa je time

∮S~E d~S =

1ε0

∫V (S)

ρ(~r)d3r, (1.10)

gdje je V (S) volumen definiran zatvorenom plohom S. Gornja se relacija zove Gaußov zakon.Iz izvoda se vidi da Gaußov zakon vrijedi ne samo za kulonsku silu, nego i za svaku drugusilu cije polje opada s kvadratom udaljenosti i za koju vrijedi nacelo pridodavanja (kao npr. zagravitacijsku silu, pri cemu ρ oznacava masenu gustocu, a umjesto konstante 1/ε0 dolazi 4π G).

Gaußov zakon je posebno pogodan za izracunavanje elektricnog polja raspodjele naboja svisokim stupnjem SIMETRIJE.


Slika 1.10: Tok elektricnog polja više tockastih naboja kroz proizvoljnu zatvorenu plohu.

S

q1 q

2

qn

Zadatak 1.6 Koristeci Gaußov zakon, izracunajte elektricno polje beskonacno duge i besko-nacno tanke žice naelektrizirane konstantnom linijskom gustocom naboja λ0.

Rješenje:Zbog simetrije problema, prirodno je odabrati cilindricni koordinatni sustav

(ρ,ϕ,z). Buduci da je žica beskonacnoduga, polje ne može ovisiti o pomacima usmjeru osi z. Takoder, zbog invarijantnostina zakrete u ravnini (x,y), polje ne možeovisiti niti o koordinati ϕ . Ono, dakle, možeovisiti samo o radijalnoj udaljenosti od žiceρ i može imati

x

y

z

r

samo smjer~eρ

~E (~r) = E(ρ)~eρ .

Ako sada za plohu integracije S u izrazu (1.10) odaberemo valjak duljine h i polumjera baze ρ ,koncentricno postavljen oko žice, dobit cemo

∫Bg

E(ρ)~eρ dS~ez +∫

plE(ρ)~eρ dS~eρ +

∫Bd

E(ρ)~eρ dS (−~ez ) =λ0

ε0

∫ h+z

zdz.

Prvi i treci integral lijeve strane su jednaki nuli jer je~eρ ·~ez = 0. U bilo kojoj tocki plašta valjkaje polje istog iznosa, pa se kao konstantno može izvuci ispred integrala, tako da se drugi integrallijeve strane svodi na |~E (ρ)| puta površina plašta valjka

|~E (ρ)|2ρ π h =λ0

ε0h,


tj. dobiva se isti izraz kao i ranije, ..., izravnom integracijom

~E (ρ) =λ0

2π ε0

1ρ~eρ .

Zadatak 1.7 Koristeci Gaußov zakon izracunajte elektricno polje beskonacno velike i be-skonacno tanke ravnine naelektrizirane konstantnom površinskom gustocomnaboja σ0.

Rješenje:Buduci da je ploha beskonacna, polje može imati samo smjer okomit na plohu (neka to budesmjer~ex ).

Odaberemo li za plohu integracije valjakvisine h i polumjera R, tada je integracijapolja po plaštu valjka jednaka nuli, buducida je

~ex ·~eρ = 0,

a integracija po površini baza daje

Slika 1.11: text

z

x

y

r

R:E~ex R2

π~ex +E (−~ex )R2π (−~ex ) = 2R2

π E.

S druge strane, to je jednako ukupnom naboju obuhvacenom plohom i podijeljenom s ε0

2R2π E =

1ε0

σ0 R2π

~E = ± σ0

2ε0~ex ,

za x > 0 i x < 0 poluprostor. Primjetimo da u ovom slucaju polje NE OVISI o udaljenosti odplohe.Ako bismo umjesto beskonacno tanke plohe promatrali beskonacno debelu plohu vodica kojazauzima poluprostor x < 0, na cijoj se granici nalazi naboj rasporeden konstantnom gustocomσ0, slika 1.12.A,

Slika 1.12: Uz zadatak 1.7.

x

y

r

(A) (B) (C)

x

>>

>>

>>

>>

>>>>

<<<

<<

<

>

>>

>>>

>

>>

>>>

<<<

<<

<

postupkom kao gore, dobilo bi se

1 · R2π E =

1ε0

σ0 R2π

~E =σ0

ε0~ex .


(Kasnije cemo pokazati da je u unutrašnjosti vodica polje jednako nuli.)Ako su zadane dvije beskonacno velike i beskonacno tanke paralelno postavljene ravnine naelek-trizirane konstantnim gustocama naboja σ1 > 0 i −σ2 < 0, slika 1.12.B, tada su iznosi polja odpojedinih ploca jednaki

E1 =σ1

2ε0, E2 =

σ2

2ε0,

a smjerovi su prikazani na slici. Izvan ploca su silnice antiparalelne, pa je

Eout =σ1−σ2

2ε0.

Unutar ploca su silnice paralelne, pa je, slika 1.12.C,

Ein =σ1 +σ2

2ε0.

Specijalno, ako je σ1 = σ2 = σ0, polje izvan ploca je jednako nuli, a polje unutar ploca je

Ein =σ0

ε0.

To je upravo polje ravnog plocastog kondenzatora (o kojemu cemo govoriti kasnije).

Zadatak 1.8 Koristeci Gaußov zakon izracunajte elektricno polje kugle polumjera R, na-elektrizirane konstantnom volumnom gustocom naboja ρ0.

Rješenje:Zbog sferne simetrije odabiremo sferni koordinatni sustav (r,θ ,ϕ) s ishodištem u središtu kugle.Isto tako zbog sferne simetrije je jasno da polje ne može ovisiti o kutovima θ i ϕ , nego samo oodaljenosti r i da mora biti usmjereno samo u~er smjeru

~E (~r) = E(r)~er .

Izracunajmo najprije polje u u unutrašnjosti kugle: r < R.

Slika 1.13: Elektricno polje homogeno naelektrizirane kugle.

y

z

rout

(A) (B)

x

rin

r

E (r)

R

~r ~r-2


Za plohu integracije odabiremo koncentricnu sferu polumjera r < R, slika 1.13.A.∫Ein(r)~er r2 dΩ~er =

1ε0

∫ρ0 d3r

Ein(r)r2 4π =1ε0

43

r3π ρ0

~E in =ρ0

3ε0r~er .

Polje unutar kugle linearno RASTE s udaljenošcu od središta.Da bismo izracunali polje izvan kugle, za plohu integracije opet odabiremo koncentricnu sferu,ali je ona sada polumjera r > R.∫

Eout(r)~er r2 dΩ~er =1ε0

∫ρ0 d3r

Eout(r)r2 4π =1ε0

43

R3π ρ0 =

Qε0

~E out =1

4π ε0

Qr2~er .

Polje izvan kugle OPADA s udaljenošcu od središta, slika 1.13.B. i isto je kao polje TOCKASTOG

naboja iznosa jednakog ukupnom naboju kugle Q = ρ0(4/3)R3π .

2. Elektricni potencijal

UOVOM CE SE odjeljku

2.1 Potencijal i razlika potencijalaSlicno kao što se pojam polja, ~E izvodi iz pojma sile, ~F ,

~E =~Fq,

tako se i pojam POTENCIJALA V uvodi kao potencijalna energija naboja q koju bi on imao utocki~r. Kao i potencijalna energija, i potencijal je definiran samo u smislu razlike potencijalaizmedu dvije tocke, pa se zato može napisati

dV =1q

d Ep =−1q~F d~r =−~E d~r, (2.1)

što nakon integracije od pocetne~rp do konacne tocke~rk, daje

V (~rk)−V (~rp) =−∫ ~rk

~rp

~E d~r. (2.2)

Razlika potencijala se zove NAPON i mjeri se istim jedinicama kao i potencijal (u SI sustavu jeto volt, 1V = N mC−1 = JC−1).

U skladu s izrazom za polje tockastog naboja u ishodištu ..., potencijal koji u tocki~r stvaratockasti naboj q smješten u ishodištu je (u (2.2) uzmimo~rp = ∞ i~rk =~r, uz V (∞) = 0)

V (~r)−V (∞) = −∫ ~r

∞

14πε0

qr2 dr

V (~r) =1

4πε0

qr.

Prema nacelu pridodavanja sila, a time i polja, slijedi da je potencijal koji u tocki~r stvara mnoštvotockastih naboja q ′n koji se nalaze u tockama~r ′n jednak sumi potencijala koje stvaraju pojedininaboji

V (~r) =N

∑n=1

Vn(~r) =N

∑n=1

14πε0

q ′n|~r−~r ′n|

. (2.3)

26 Poglavlje 2. Elektricni potencijal

U granici kontinuirane raspodjele naboja

N

∑n=1

q ′n →∫

dq ′ =∫

ρ(~r ′)d3r ′ , (2.4)

pa konacni izraz za racunanje potencijala u tocki ~r, koji potjece od kontinuirane raspodjelenaboja opisane volumnom gustocom ρ(~r ′) glasi

U slucaju površinske raspodjele naboja opisane gustocom σ(~r ′), potencijal je dan sa

V (~r) =1

4πε0

∫σ(~r ′)|~r −~r ′|

d2r ′ , (2.5)

a u slucaju linijske raspodjele naboja opisane gustocom λ (~r ′), potencijal je dan sa

V (~r) =1

4πε0

∫λ (~r ′)|~r −~r ′|

dr ′ . (2.6)

Integrali se protežu po dijelu prostora u kojemu je gustoca naboja razlicita od nule.Skup tocaka u prostoru na kojima je potencijal konstantan

V (x,y,z) = const. (2.7)

se zove EKVIPOTENCIJALNA PLOHA. Npr. ako je naboj konstantnom gustocom rasporeden poosi~ez koordinatnog sustava, ekvipotencijalne plohe ce biti koncentricni valjci oko osi~ez .

Uocimo u jednadžbi (1.5)

Ep =12

14πε0

N

∑j=1

N

∑k=1j 6=k

q j qk

|~r j−~rk|=

12

N

∑j=1

q j

14πε0

N

∑k=1j 6=k

qk

|~r j−~rk|

,

izraz za potencijal u tocki~r j koji stvara preostalih N−1 naboja (2.3), pa se potencijalna energijamože napisati kao

Ep =12

N

∑j=1

q j V (~r j). (2.8)

Opet u granici kontinuirane raspodjele naboja, kao gore,

N

∑n=1

qn →∫

d q =∫

ρ(~r)d3r,

dobiva se izraz za potencijalnu energiju kontinuirane raspodjele naboja

Ep =12

∫ρ(~r)V (~r)d3r. (2.9)

2.1 Potencijal i razlika potencijala 27

Zadatak 2.1 Izracunajte potencijal na osi simetrije beskonacno tankog diska polumjera R,naelektriziranog konstantnom površinskom gustocom naboja σ0.

Rješenje:

Potencijal se racuna pomocu (2.5), a zbogsimetrije problema, prirodno je odabraticilindricni koordinatni sustav.

RR

x

y

z

Položaj naboja dan sa ~r ′ = ρ ′ ρ ′ za 0 ≤ ρ ′ ≤ R, a d2r ′ = ρ ′ d ρ ′ d ϕ ′. Tocka u kojoj trebaizracunati potencijal je na osi~ez , pa je~r = z~ez .

V (z) =σ0

4π ε0

∫ R

0ρ′ d ρ

′∫ 2π

0d ϕ′ 1√

z2 +ρ ′2

=σ0

2ε0

[√z2 +R2−|z|

].

Neka je z > 0 i naka je z >> R, tj. promatra se potencijal u tocki jako udaljenoj od diska.Ocekujemo da ce se jako daleko od diska izgubiti ucinci njegovih konacnih dimenzija i da ce setamo dobiti potencijal tockastog naboja iznosa jednakog ukupnom naboju diska Q = R2 π σ0√

z2 +R2 = z

√1+

R2

z2 = z(

1+12

R2

z2 + · · ·)

V (z) =σ0

2ε0

(z+

12

R2

z+ · · ·− z

)' σ0

2ε0

12

R2

z=

14πε0

Qz.

Kako izgleda potencijal u blizini diska?√z2 +R2 = R

√1+

z2

R2 = R(

1+12

z2

R2 + · · ·)

V =σ0

2ε0

[R+

12

z2

R+ · · ·− z

]=

σ0

2ε0(R− z+ · · ·).

Kasnije cemo vidjeti da je to upravo potencijal beskonacne ravnine nalelktrizirane konstantnompovršinskom gustocom naboja.

Zadatak 2.2 Izracunajte potencijal kugle polumjera R, naelektrizirane konstantnom gusto-com naboja ρ0.

Rješenje:Polazimo od izraza (??)

V (~r) =1

4πε0

∫ρ(~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′ , (2.10)

u kojemu je gustoca naboja konstantna, azbog simetrije problema, integraciju izvo-dimo u sfernom koordinatnom sustavu, takoda je

R

Rx

y

z


d3r ′ = r ′ 2 sinθ′ dr ′ dθ

′ dϕ′.

Zbog sferne simetrije, tocku u kojoj racunamo potencijal, možemo staviti na os~ez ,~r = r~ez .

V (~r) =1

4πε0ρ0

∫ r ′ 2 sinθ ′ dr ′ dθ ′ dϕ ′√r2 + r ′ 2−2rr ′ cosθ ′

(2.11)

Integracija po ϕ ′ daje 2π , a zamjena varijable θ ′ u t

t = r2 + r ′ 2−2rr ′ cosθ′ (2.12)

d t = 2rr ′ sinθ′ dθ

′,

vodi na

V (~r) =ρ0

2ε0 r

∫ R

0r ′ dr ′

(√r2 + r ′ 2 +2rr ′ −

√r2 + r ′ 2−2rr ′

)=

ρ0

2ε0 r

∫ R

0r ′ dr ′

(r+ r ′ −|r− r ′ |

).

Sada postoje dvije mogucnosti: r < R, potencijal unutar kugle i r > R, potencijal izvan kugle.Unutar kugle je∫ R

0=∫ r

0+∫ R

r. (2.13)

U prvom integralu desne strane je r ′ < r, a u drugom integralu je r ′ > r, što vodi na izraz zapotencijal unutar kugle

Vin(~r) =ρ0

2ε0 r

[∫ r

0r ′ dr ′ 2r ′ +

∫ R

rr ′ dr ′ 2r

]=

ρ0

2ε0

(R2− 1

3r2). (2.14)

Izvan kugle je r > R i 0 < r ′ < R, pa je potencijal dan sa

Vout(~r) =ρ0

2ε0 r

∫ R

0r ′ dr ′ 2r ′ =

ρ0 R3

3ε0 r=

14πε0

Qr, (2.15)

dakle isto kao i potencijal tockastog naboja iznosa Q smještenog u središtu kugle.

Zadatak 2.3 Kugla polumjera R je jednoliko ispunjena nabojem volumne gustoce ρ0 =const.. Izracunajte potencijalnu energiju kugle, tj. rad koji treba utrošiti nasavladavanje odbojnih elektricnih sila.

Rješenje:Slika je ista kao i u zadatku 2.2.Izraz (2.9) za Ep primjenimo na zadanu raspodjelu naboja

Ep =12

∫ρ(~r)V (~r)d3r. (2.16)

Gustoca je

ρ(r) =

ρ0 0≤ r ≤ R0 r > R.

(2.17)


Ep =12

∫ R

0ρ0Vin d3r+

12

∫ ∞

R0Vout d3r. (2.18)

Potencijal unutar kugle znamo iz prethodnog primjera, pa za Ep pišemo

Ep =12

∫ R

0ρ0

ρ0

2ε0

(R2− 1

3r2)

d3r =35

14πε0

Q2

R. (2.19)

2.2 Izracunavanje polja iz potencijala

U prethodnom odlomku je pokazano, relacijom (2.2), kako se iz poznatog polja može izracunatipotencijal, a sada želimo vidjeti kako se iz poznatog potencijala može izracunati polje.

Potencijal je uveden izrazom

dV (~r) =−~E d~r.

Matematicki gledano, na lijevoj strani se nalazi diferencijal funkcije tri varijable, koji je upravokutnom koordinatnom sustavu, oblika

dV (x,y,z) =∂ V∂ x

dx+∂ V∂ y

dy+∂ V∂ z

dz,

dok je desna strana

~E d~r = (Ex~ex +Ey~ey +Ez~ez ) · (dx~ex +dy~ey +dz~ez ),

= Ex dx+Ey dy+Ez dz.

Usporedbom clanova uz iste diferencijale u gornja dva izraza, dolazi se do

Ex = −∂ V∂ x

, Ey =−∂ V∂ y

, Ez =−∂ V∂ z

,

~E = −(~ex

∂

∂ x+~ey

∂

∂ y+~ez

∂

∂ z

)V.

Izraz u gornjoj zagradi je jedan operator koji, djelujuci na potencijal, daje polje. Taj se operatorzove NABLA

−→∇ ≡~ex

∂

∂ x+~ey

∂

∂ y+~ez

∂

∂ z.

Nabla je vektorski diferencijalni operator koji najprije parcijalno derivira funkciju na koju djeluje,a zatim rezultat te derivacije množi s jedinicnim vektorom istog smjera u kojemu je i izvedenaderivacija. Nabla, dakle, ima svojstva i vektora i operatora parcijalnog deriviranja. Djelovanjeoperatora

−→∇ na skalarnu funkciju se naziva GRADIJENT te skalarne funkcije. Prema tome je i

elektricno polje (negativni) gradijent potencijala.

~E =−−→∇V ≡−gradV. (2.20)


Množenjem gornje jednadžbe nabojem q, dolazi se do relacije: sila je negativan gradijentpotencijalne energije

~F =−−→∇ Ep.

Izmedu polja i potencijala postoji jednostavna geometrijska veza: SILNICE POLJA SU OKO-MITE NA EKVIPOTENCIJALNE PLOHE. Na plohi V = c0 je nužno

dV (~r)∣∣∣c0= 0,

za sve vektore~r sa te plohe. S druge je strane

Slika 2.1: Smjer elektricnog polja je okomit na ekvipotencijalnu plohu.

xy

z

V = c0 = const.

r

dr

en

dV (~r)∣∣∣c0=

(∂ V∂ x

dx+∂ V∂ y

dy+∂ V∂ z

dz)

c0

= (−→∇V ) ·d~r

∣∣∣c0,

iz cega se zakljucuje da za svaki vektor d~r sa plohe V = c0 mora biti

(−→∇V ) ·d~r

∣∣∣c0= 0, ⇒ ~E ·d~r

∣∣∣c0= 0,

tj. vektor elektricnog polja je okomit na svaki vektor koji leži na plohi V = c0, pa je onda okomiti na cijelu tu plohu. U slici silnica se može reci da su one okomite na ekvipotencijalne plohe(slika 2.1).

Pokažimo sada i KONZERVATIVNOST elektrostatskog polja, tj. pokažimo da rad elektros-tatskog polja po bilo kojoj putanji od pocetne tocke~rp do konacne tocke~rk ne ovisi o oblikuputanje vec samo o pocetnoj i konacnoj tocki (ranije je to pokazano za tockasti naboj, a sada seto pokazuje za proizvoljnu raspodjelu naboja).

W = q∫ ~rk

~rp

~E ·d~r =−q∫ ~rk

~rp

−→∇V ·d~r =−q

∫ ~rk

~rp

dV =−q [V (~rk)−V (~rp)].


Slika 2.2: Uz konzervativnost elektricnog polja. Zelena linija je putanja, a isprekidane crne linijesu silnice elektricnog polja,

xy

z

E

rp

rk

Specijalno, ako je putanja zatvorena,~rp =~rk, rad je jednak nuli

∮~E · d~r = 0. (2.21)

Ovaj rezultat vrijedi, ne samo za elektrostatsko polje, nego i za svako vektorsko polje koje semože napisati kao gradijent skalarne funkcije (kao što je npr. gravitacijsko polje).

Zadatak 2.4 Iz polja beskonacne ravnine naelektrizirane jednolikom površinskom gustocomnaboja, izracunajte potencijal. Kako izgledaju ekvipotencijalne plohe?

Rješenje:Od ranije, ..., znamo kako izgleda polje

~E =σ0

2ε0~ex ,

pa potencijal racunamo kao

V =−∫~E d~r =− σ0

2ε0

∫~ex (dx~ex +dy~ey +dz~ez ) =−

σ0

2ε0x+ const. (2.22)

Ocito je potencijal konstantan kada je x konstantno, tj. ekvipotencijalne plohe su ravnineparalelne s ravninom (y,z).

Zadatak 2.5 Iz polja jednoliko naelektrizirane ravne žice, izracunajte potencijal. Kakoizgledaju ekvipotencijalne plohe?


Rješenje:Od ranije, ..., znamo kako izgleda polje

~E =λ0

2π ε0

~eρ

ρ.

Racunom u cilindricnom koordinatnom sustavu, gdje je

~r = ρ~eρ + z~ez ,

d~r = dρ~eρ +ρ dϕ~eϕ + zdz,

za potencijal se dobiva

V =−∫~E d~r =− λ0

2π ε0

∫~eρ

ρ(dρ~eρ +ρ dϕ~eϕ + zdz) =− λ0

2π ε0ln ρ + const.

Ocito je potencijal konstantan kada je ρ = const., pa su ekvipotencijalne plohe dane plaštomvaljka cija je os koncentricna s osi~ez .

Zadatak 2.6 Iz potencijala beskonacno tankog diska polumjera R, naelektriziranog jednoli-kom gustocom naboja σ0, izracunajte elektricno polje na osi simetrije diska.Promotrite granicne vrijednosti polja na velikoj udaljenosti od diska i vrlo blizudiska. Što opažate?

Rješenje:Za potencijal tankog diska na osi simetrije, smo dobili izraz, ...,

V (z) =σ0

2ε0

[√z2 +R2−|z|

].

Polje i potencijal su povezani operacijom gradijenta, koja se svodi (jer znamo samo z-ovisnostpotencijala) na negativnu derivaciju po z. U podrucju z > 0 je

~E =−~ez∂ V (z)

∂ z=~ez

σ0

2ε0

[−1

2(z2 +R2)−1/2 2z+1

]=~ez

σ0

2ε0

[1− z√

z2 +R2

].

U granici kada promatramo polje na velikoj udaljenosti od diska z >> R je

~E =~ezσ0

2ε0

[1− z

z√

1+R2/z2

]=~ez

σ0

2ε0

[1−(

1− 12

R2

z2 + · · ·)]

=~ez1

4πε0

Qz2 + · · ·

Kao što se moglo i ocekivati, na velikim udaljenostima od diska, vodeci clan u razvoju polja jeoblika polja tockastog naboja.U suprotnoj granici, jako blizu diska je z << R, pa je

~E =~ezσ0

2ε0

[1− z√

z2 +R2

]'~ez

σ0

2ε0[1−·· · ] =~ez

σ0

2ε0+ · · · ,

što opet prepoznajemo kao polje beskonacne ravnine naelektrizirane jednolikom površinskomgustocom naboja σ0.

Zadatak 2.7 Iz potencijala kugle polumjera R, naelektrizirane jednolikom gustocom nabojaρ0, izracunajte elektricno polje.

2.3 Multipolni razvoj potencijala 33

Rješenje:Od ranije, ..., znamo kako izgleda potencijal unutar

Vin =ρ0

2ε0

(R2− 1

3r2),

a kako izvan kugle

Vout =1

4πε0

Qr.

Takoder znam da su polje i potencijal povezani operacijom gradijenta

~E in,out =−−→∇Vin,out .

Za racun ~E in, potrebno je izracunati

∂ Vin

∂ x=

ρ0

2ε0

(0− 1

32x),

(jer je r2 = x2 + y2 + z2) i slicno za derivacije po y i z

∂ Vin

∂ y=

ρ0

2ε0

(−1

32y),

∂ Vin

∂ z=

ρ0

2ε0

(−1

32z).

~E in =ρ0

3ε0(x~ex + y~ey + z~ez ) =

14πε0

QR3~r

kao što smo dobili ranije Gaußovim zakonom.Slicno postupamo i izvan kugle

∂ Vout

∂ x=

14πε0

Q(−12)(x2 + y2 + y2)−3/2 2x =

14πε0

Q−xr3

i slicno za y i z komponente. Sve zajedno, za polje izvan kugle se dobije

~E out =−1

4πε0Q(−xr3 ~ex +

−yr3 ~ey +

−zr3 ~ez

)=

14πε0

Q~rr3 ,

što je upravo polje tockastog naboja iznosa Q smještenog u središte kugle.

2.3 Multipolni razvoj potencijalaU prvom primjeru odjeljka o potencijalu smo vidjeli da se potencijal opcenite raspodjele nabojamože razviti u red po pogodno odabranoj maloj velicini, tako da svaki slijedeci clan toga redabude manji od prethodnog. Ovaj je pristup koristan u slijedecim situacijama: ako je proracunpotencijala previše složen ili nas jednostavno ne zanima njegov egzaktan oblik, možemo potražitipogodnu malu velicinu po kojoj razvijemo podintegralnu funkciju

1|~r −~r ′|

(2.23)

u red i sukcesivno racunamo clanove toga reda. Bitan moment u svemu ovome je da su integralikoji se pojavljuju u ovom (beskonacnom) redu, puno jednostavniji za riješiti nego što je tointegral cijelog (egzaktnog) potencijala.

Najcešte se racuna potencijal na velikim udaljenostima od raspodjele naboja, tako da jeprikladna mala velicina po kojoj se razvija

rr ′

(2.24)


2.4 Gaußov teoremPromatrajmo tok Φ proizvoljnog vektorskog polja ~f kroz prostor omeden zatvorenom plohom S.

Φ =∮

S~f d~S .

Podijelimo omedeni prostor dodatnom plohom S′ na dva dijela i izracunajmo tok ~f kroz dvije

Slika 2.3: Uz izvod Gaußova teorema.

S

SS'

1

2

f

novonastale zatvorene plohe.∮S1

~f d~S 1 +∮

S2

~f d~S 2.

Buduci da je d~S uvijek usmjeren izvan plohe, to ce se doprinosi toku od plohe S′ u oba gornjaintegrala medusobno egzaktno poništiti i bit ce∮

S~f d~S =

∮S1

~f d~S 1 +∮

S2

~f d~S 2. (2.25)

Prostor unutar plohe S možemo u mislima nastaviti dijeliti na N sve manjih i manjih djelica, pricemu ce se, slicno gornjem primjeru, integrali po unutrašnjim plohama poništiti i uvijek ce biti∮

S~f d~S =

N

∑j=1

∮S j

~f d~S j. (2.26)

Jasno je da u granici N → ∞ plohe ~S j postaju išcezavajuce malene, pa ce i integrali po timmalenim plohama takoder išcezavati:

∮S j~f d~S j → 0. U istoj granici N → ∞ i mali djelici

volumena ograniceni plohama ~S j išcezavaju, ∆v j → 0. Pitanje je što se dogada s OMJEROM ovedvije išcezavajuci male velicine? Je li on konacan ili beskonacan?

limN→∞

∮S j

~f d~S j = 0,

limN→∞

∆v j = 0 .

lim∆v j→0

∮S j~f d~S j

∆v j= ? (2.27)


Da bismo odgovorili na to pitanje, promotrimo tok polja

~f (x,y,z) =~ex fx(x,y,z)+~ey fy(x,y,z)+~ez fz(x,y,z) (2.28)

kroz mali kvadar duljine stranica dx,dy,dz s vrhom u (x,y,z). Diferencijali površine na pojedinim

Slika 2.4: Tok polja ~f kroz diferencijalni volumen oblika kvadra. Isprekidanim crtama suprikazane silnice polja.

x

y

z

x

yz

d x

d y

d z

j

j

j

fff

plohama su:

dol je : d~S =−~ez dxdy,

gore : d~S =+~ez dxdy,

li jevo : d~S =−~ex dydz,

desno : d~S =+~ex dydz,

napri jed : d~S =−~ey dxdz,

natrag : d~S =+~ey dxdz. (2.29)

Buduci da su plohe diferencijano male, vrijednost polja u bilo kojoj tocki plohe je približnokonstantna i jednaka vrijednosti polja u središtu te plohe, pa ju zato možemo izvuci ispredintegrala. U toj aproksimaciji integracija polja po gornjoj i donjoj plohi daje∫

G+D~f d~S ' fz(x+dx/2,y+dy/2,z+dz)dxdy(+1)+ fz(x+dx/2,y+dy/2,z)dxdy(−1).

Razvoj u Taylorov red fz oko tocke (x,y,z) i zadržavanje na najnižem clanu razvoja daje∫G+D

~f d~S ' dxdy[

fz(x,y,z)+dx2

∂ fz

∂ x+

dy2

∂ fz

∂ y+dz

∂ fz

∂ z

]− dxdy

[fz(x,y,z)+

dx2

∂ fz

∂ x+

dy2

∂ fz

∂ y

]' dxdydz

∂ fz

∂ z.

Slicno bi se i za preostala dva para ploha dobilo∫L+D

~f d~S ' dxdydz∂ fx

∂ x,

∫N+N

~f d~S ' dxdydz∂ fy

∂ y,


pa je ukupan tok polja kroz promatrani mali kvadar jednak∮S j

~f d~S j ' dxdydz(

∂ fx

∂ x+

∂ fy

∂ y+

∂ fz

∂ z

).

Vratimo li se sada pocetnom omjeru, možemo pisati

lim∆v j→0

∮S j~f d~S j

∆v j= lim

Vj→0

1dxdydz

[dxdydz

(∂ fx

∂ x+

∂ fy

∂ y+

∂ fz

∂ z

)+ · · ·

]

=∂ fx

∂ x+

∂ fy

∂ y+

∂ fz

∂ z,

gdje su tockicama oznaceni clanovi srazmjerni umnošku cetiri i više diferencijala. U granicikada se promatrani mali voluman steže u tocku, gornji se izraz odnosi na tocku u prostoru i zovese DIVERGENCIJA vektorskog polja ~f .Upravo je izveden oblik divergencije u pravokutnom koordinatnom sustavu

div~f =−→∇ ~f =

∂ fx

∂ x+

∂ fy

∂ y+

∂ fz

∂ z. (2.30)

U gornjem zapisu smo koristili ranije uvedeni vektorski diferencijalni operator nabla, koji je upravokutnom koordinatnom sustavu oblika

−→∇ =~ex

∂

∂ x+~ey

∂

∂ y+~ez

∂

∂ z.

Sjetimo se što smo zapravo htjeli izracunati? Racunali smo tok polja ~f kroz zatvorenu plohu S idobili smo

Φ =∮

S~f d~S =

N

∑j=1

∆v j

∮S j~f d~S j

∆v j→ (N → ∞ t j.∆v j → 0) →

∫V (S)

d3r−→∇ ~f .

Buduci da nismo tražili da ~f zadovoljava nikakva posebna svojstva osim derivabilnosti, možemoreci da za proizvoljnu vektorsku funkciju ~f vrijedi GAUSSOV TEOREM

∮S~f d~S =

∫V (S)

−→∇ ~f d3r, (2.31)

gdje je V (S) volumen odreden zatvorenom plohom S.

Primjenimo sada Gaußov teorem na Gaußov zakon, tj. dajmo jednoj matematickoj relacijifizikalni sadržaj. Umjesto opceg vektorskog polja ~f , promatrajmo elektricno polje ~E , za kojevrijedi Gaußov zakon koji smo izveli u obliku jedne integralne jednadžbe∮

S~E d~S =

1ε0

∫V (S)

ρ(~r)d3r.


Primjenom Gaußova teorema, (2.31), na lijevu stranu gornje jednakosti, dolazi se do∫V (S)

−→∇~E d3r =

1ε0

∫V (S)

ρ(~r)d3r.

Ova integralna jednadžba vrijedi za proizvoljni volumen V (S), a to je moguce ako su podinte-gralne funkcije jednake

−→∇~E (~r) =

ρ(~r)ε0

. (2.32)

Ovime smo, koristeci se Gaußovim teoremom, jednu integralnu jednadžbu, Gaußov zakon,koja opisuje svojstva elektricnog polja unutar jednog dijela prostora, preveli u diferencijalnujednadžbu koja opisuje svojstva elektricnog polja u jednoj prostornoj tocki. Gornja jednadžbase zove i PRVA MAXWELLOVA JEDNADŽBA. Ona omogucava izracunavanje gustoce naboja izpoznatog polja, dok ranije, ..., dobiveni izraz,

~E (~r) =1

4πε0

∫d3r ′ ρ(~r ′)

~r−~r ′

|~r −~r ′|3(2.33)

omogucava izracunavanje polja iz poznate raspodjele naboja.

Zadatak 2.8 Od ranije, ..., nam je poznato elektricno polje jednoliko naelektrizirane kuglesa središtem u ishodištu koordinatnog sustava. Provjerite prvu Maxwellovujednadžbu.

Rješenje:Znamo da je za r ≤ R

~E < =ρ0

3ε0~r =

ρ0

3ε0(x~ex + y~ey + z~ez ),

a za r ≥ R je

~E > =1

4πε0

q~rr3 =

14πε0

q(x2 + y2 + z2)3/2 (x~ex + y~ey + z~ez ),

gdje je ρ0 = 3Q/(4R3π), konstantna gustoca naboja u kugli. Unutar kugle je gustoca nabojaρ = ρ0, dok izvan kugle nema naboja pa je tamo ρ = 0. Prema tome, prva Maxwellovoj jednadžbi,teba dobiti

−→∇~E < =

ρ0

ε0−→∇~E > = 0.

Divergencija je naprosto suma parcijalnih derivacija komponenata polja

−→∇~E =

∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂ z.

Unutar kugle, x-komponenta divergencije daje

∂Ex

∂x=

∂

∂xρ0

3ε0x =

ρ0

3ε0.


Isti rezultat daju i y i z komponenta, pa je konacno

−→∇~E < = 3

ρ0

3ε0=

ρ0

ε0.

Izvan kugle, x-komponenta divergencije daje

∂Ex

∂x=

∂

∂x1

4πε0

qx(x2 + y2 + z2)3/2 = q

14πε0

[1r3 + x(−3/2)(x2 + y2 + z2)−5/22x

]

= q1

4πε0

[1r3 −

3x2

r5

]i simetricno za y i z komponentu. Sve zajedno daje

−→∇~E > = q

14πε0

[1r3 −

3x2

r5 +1r3 −

3y2

r5 +1r3 −

3z2

r5

]= q

14πε0

(3r3 −

3r2

r5

)= 0,

kao što i treba biti, jer izvan kugle nema naboja.

2.5 Poissonova i Laplaceova jednadžba

Od ranije zanamo, ..., da se elektricno polje može prikazati gradijentom skalarnog potencijalakao

~E =−−→∇V,

tako da su komponente polja dane sa

Ex =−∂ V∂ x

, Ey =−∂ V∂ y

, Ez =−∂ V∂ z

.

S druge strane, prema prvoj Maxwellovoj jednadžbi je

−→∇~E =

∂ Ex

∂ x+

∂ Ey

∂ y+

∂ Ez

∂ z=

ρ(~r)ε0

,

Uvrste li se umjesto komponenti polja odgovarajuce parcijalne derivacije potencijala, dolazi sedo

∂ 2V∂ x2 +

∂ 2V∂ y2 +

∂ 2V∂ z2 =−ρ(~r)

ε0.

Zbroj drugih parcijalnih derivacija koja djeluje na potencijal u gornjem izrazu, se zove DIVER-GENCIJA GRADIJENTA ili LAPLASIJAN (Laplaceov operator) ∇2. U pravokutnom koordinatnomsustavu, on je oblika

∇2 =∂ 2

∂ x2 +∂ 2

∂ y2 +∂ 2

∂ z2 .

Simbolicki se može napisati

−→∇~E =

−→∇ (−

−→∇V ) =−∇2V =

ρ(~r)ε0

.


Ovime se iz prve Maxwellove jednadžbe dobiva diferencijalna jednadžba koja povezuje potencijals gustocom naboja u danoj tocki

∇2V (~r) =−ρ(~r)ε0

, (2.34)

koja se zove POISSONOVA JEDNADŽBA. To je nehomogena parcijalna diferencijalna jednadžbadrugog reda. Ova jednadžba omogucava proracun raspodjele naboja iz poznatog potencijala, dokjednadžba (??)

V (~r) =1

4πε0

∫ρ(~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′ ,

omogucava proracun potencijala iz poznate raspodjele naboja.U dijelu prostora bez naboja, potencijal zadovoljava homogenu varijantu Poissonove jed-

nadžbe ili LAPLACEOVU jednadžbu

∇2V (~r) = 0. (2.35)

Skup funkcija koje zadovoljavaju Laplaceovu jednadžbu se zovu harmonijske funkcije. Po-kažimo jednu važnu osobinu rješenja Laplaceove jednadžbe: FUNKCIJA KOJA ZADOVOLJAVA

LAPLACEOVU JEDNADŽBU NE MOŽE IMATI NI MAKSIMUM NI MINIMUM. Radi lakšeg ra-cuna, promatrat cemo dvodimenzijsku Laplaceovu jednadžbu u ravnini (x,y). Neka x i y mogupoprimati samo diskretne vrijednosti x = m ·h i y = n ·h, gdje je h konstantan razmak izmedususjednih tocaka na osi (slika 2.5). Pogledajmo slijedecu granicnu vrijednost

Slika 2.5: Uz dokaz da funkcija koja zadovoljava Laplaceovu jednadžbu ne može imati nimaksimum ni minimum.

x

y

12

3

4

m - 1 m m + 1

n + 1

n - 1

n


limh→0

1h2

V (x,y)− 1

2

[V (x−h,y)+V (x+h,y)

]= −1

2limh→0

1h2

[−2V (x,y)+V (x−h,y)+V (x+h,y)

]= −1

2limh→0

1h2

[V (x+h,y)−V (x,y)

]−[V (x,y)−V (x−h,y)

]= −1

2limh→0

1h

[V (x+h,y)−V (x,y)

h− V (x,y)−V (x−h,y)

h

]

= −12

limh→0

1h

[(∂V∂x

)x−(

∂V∂x

)x−h

]

= −12

limh→0

V ′(x,y)−V ′(x−h,y)h

= −12

limh→0

(∂ 2V∂x2

)x−h

=−12

∂ 2V∂x2

∣∣∣∣x,

jer h→ 0. Time smo konacno dobili

−12

∂ 2V∂x2

∣∣∣∣x= lim

h→0

1h2

V (x,y)− 1

2

[V (x−h,y)+V (x+h,y)

].

U slucaju kada x može poprimati samo diskretne vrijednosti x = m · h i y = n · h, gornji izrazprelazi u

∂ 2V∂x2 =

1h2

[V (m+1,n)−2V (m,n)+V (m−1,n)

]i slicno za y koordinatu

∂ 2V∂y2 =

1h2

[V (m,n+1)−2V (m,n)+V (m,n−1)

].

Diskretna verzija Laplaceove jednadžbe u dvije dimenzije sada postaje

0 =∂ 2V∂x2 +

∂ 2V∂y2

=1h2

[V (m+1,n)−2V (m,n)+V (m−1,n)

]+

1h2

[V (m,n+1)−2V (m,n)+V (m,n−1)

].

Iz gornje jednadžbe slijedi da je

V (m,n) =14

[V (m+1,n)+V (m−1,n)+V (m,n+1)+V (m,n−1)

], (2.36)

tj. potencijal u bilo kojoj tocki je aritmeticka sredina cetiri susjedne tocke, pa zato ne može bitiniti maksimum niti minimum.Ovaj pristup može poslužiti i kao polazna tocka za numericko rješavanje Laplaceove jednadžbe.

Vratimo se Poissonovoj jednadžbi i pokažimo da je

V (~r) =1

4πε0

∫ρ(~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′ (2.37)


jedno partikularno rješenje Poissonove jednadžbe. Da bismo to pokazali, potrebno je uvestipojam DIRACOVE DELTA FUNKCIJE.

Izracunajmo najprije−→∇ (1/r) uz pretpostavku da je r 6= 0

−→∇

1r

=

(~ex

∂

∂ x+~ey

∂

∂ y+~ez

∂

∂ z

)(x2 + y2 + z2)−1/2

= ~ex−12

(x2 + y2 + z2)−3/2 2x+~ey−12

(x2 + y2 + z2)−3/2 2y+~ez−12

(x2 + y2 + z2)−3/2 2z

= − ~rr3 .

Izracunajmo sada−→∇ [−→∇ (1/r)] = ∇2(1/r)

∇2 1r

= −(~ex

∂

∂ x+~ey

∂

∂ y+~ez

∂

∂ z

)~ex x+~ey y+~ez z(x2 + y2 + z2)3/2

= − ∂

∂ xx

(x2 + y2 + z2)3/2 −∂

∂ yy

(x2 + y2 + z2)3/2 −∂

∂ zz

(x2 + y2 + z2)3/2

= − r3− x(3/2)r 2x(x2 + y2 + z2)3 −

r3− y(3/2)r 2y(x2 + y2 + z2)3 −

r3− z(3/2)r 2z(x2 + y2 + z2)3

=−3r3 +3r3

r6 = 0.

Ovime smo pokazali da je

∇2 1r= 0, r 6= 0.

Pogledajmo sada cemu je jednak volumni integral od ∇2(1/r) po volumenu kugle polumjera Rsa središtem u ishodištu∫

∇2 1r

d3r = ( Gauov tm. ) =∮

R

−→∇

1r

d~S =∫

Ω

−R~er

R3 R2 sinθ dθ dϕ~er =−4π.

Dakle funkcija f (r) = ∇2(1/r) ima osobine da je jednaka nuli kada je njezin argument r 6= 0razlicit od nule, a integral po podrucju koje sadrži r = 0 je konacan. To su upravo osobine kojeima Diracova delta funkcija Ona jednaka nula svuda osim tamo gdje je njezin argument jednaknuli, a integral po prostoru koji sadrži nulu delta funkcije je jednak 1.

δ (x−a) = 0, x 6= a

∫ x2

x1

δ (x−a)dx =

1 x1 < a < x2

0 inace

Važna posljedica gornje definicije je posebno jednostavan rezultat za integral umnoškaproizvoljne funkcije f i δ -funkcije∫ x2

x1

f (x)δ (x−a)dx = f (a), x1 < a < x2.

Prema tome, može se napisati

∇2 1r=−4π δ (r).


Slika 2.6: Ilustracija Diracove delta funkcije.

x

x – a)

a

Sada smo, napokon, spremni pokazati da je

V (~r) =1

4πε0

∫ρ(~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′

rješenje Poissonove jednadžbe. Na gornju jednadžbu djelujemo sa lijeva operatorom ∇2 idobijemo

∇2V (~r) =1

4πε0

∫ρ(~r ′)∇2 1

|~r −~r ′|d3r ′ =

14πε0

∫ρ(~r ′)

[− 4π δ (|~r −~r ′|)

]= −ρ(~r)

ε0.

Ovime je dakle pokazano da je (??) partikularno rješenje Poissonove jednadžbe. Ali kako glasiopce rješenje? Opce rješenje je suma rješenja homogene (Laplaceove) i partikularnog rješenjanehomogene (Poissonove) jednadžbe.

V (~r) =VLapl.+1

4πε0

∫ρ(~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′ .

Fizikalno znacenje partikularnog rješenja je jasno: to je potencijal koji dolazi od naboja opisanihgustocom naboja ρ . Ali koje je fizikalno znacenje homogenog rješenja? Kakav je to potencijal?To je potencijal koji dolazi od naboja izvan promatranog podrucja integracije, vanjski potencijal.

Dokažimo još i JEDINSTVENOST RJEŠENJA Poissonove jednadžbe.dovršiti

2.6 Energija elektricnog poljaKao i svaki realni fizicki objekt, i elektricno polje posjeduje odredenu energiju i mi cemo sadapokazati kako se ona može izracunati. Od ranije znamo, ..., da je elektrostatska potencijalnaenergija sustava naboja opisanih gustocom ρ dana sa

Ep =12

∫ρ(~r)V (~r)d3r. (2.38)

2.6 Energija elektricnog polja 43

Želimo Ep izraziti preko jakosti elektricnog polja ~E . Preko prve Maxwellove jednadžbe, ...,možemo izraziti

ρ = ε0−→∇~E ,

pa je

Ep =ε0

2

∫(−→∇~E )V d3r

= (parci jalno) =ε0

2

[∫ −→∇ (~E V )d3r−

∫~E (−→∇ V )d3r

].

Prvi integral desne strane transformiramo Gaußovim teoremom, ..., a u drugom uvrstimo poznatu,..., vezu polja i potencijala ~E =−

−→∇V . Time se dolazi do konacnog izraza za energiju elektricnog

polja sadržanu u volumenu V (S) odredenom zatvorenom plohom S

Ep =ε0

2

∮S

V ~E d~S +ε0

2

∫V (S)

~E 2 d3r. (2.39)

U slucaju kada se racuna energija u cijelom prostoru, ploha S je u beskonacnosti i V (~r →∞) = 0,pa je i cijeli prvi clan desne strane jednak nuli, tako da samo preostaje

Ep =ε0

2

∫V (S)

~E 2 d3r.

Pogledajmo što gornji izraz daje za elektrostatsku potencijalnu energiju usamljenog elektrona.Uvrsti li se izraz za elektricno polje elektrona smještenog u ishodištu

~E (~r) =1

4πε0qe

~rr3

u gornji izraz za energiju. dobiva se

Ep =ε0

2

(qe

4π ε0

)2 ∫ r2

r6 r2 dΩdr.

Integral po prostornom kutu dΩ daje 4π , a uz pretpostavku da je elektron tockast, integral po dride od 0 do ∞

Ep =ε0

2

(qe

4π ε0

)2

4π

∫ ∞

0

drr2 =

ε0

2

(qe

4π ε0

)2

4π

(−1r

)∞

0= ∞ !!!!!

KLASICNA SLIKA ELEKTROMAGNETIZMA NE FUNKCIONIRA NA MALIM UDALJENOSTIMA

(to su udaljenosti reda velicine elementarnih cestica). Da bi se izbjegla ova beskonacnost urezultatu za energiju, uvodi se pojam KLASICNOG POLUMJERA ELEKTRONA Re, tako da seelektron zamisli kao homogeno naelektrizirana kugla polumjera Re. U tom je slucaju elektricnopolje jednako (zadatak ...)

|~E <|=qe

4π ε0

rR3

e,

za r < Re, a

|~E >|=qe

4π ε0

1r2 ,


za r > Re. Uz ovu pretpostavku, gornji se integral raspada na∫ ∞

0=∫ Re

0+∫ ∞

Re

.

U prvom integralu dolazi ~E <, a u drugom ~E >. Za vježbu pokažite da je sada

Ep =35

q2e

4π ε0

1Re

.

Promjetimo da je to upravo izraz (2.19) koji smo ranije dobili iz racuna potencijala (2.9).Izjednaci li se ova energija s relativistickim izrazom za energiju

E = m0 c2,

gdje je m0 masa mirujuceg elektrona, a c brzina svjetlosti u vakuumu, dolazi se do izraza zaklasicni polumjer elektrona

Re =35

q2e

4π ε0

1m0 c2 = 1.69 · 10−15 m.

Je li ovime riješen problem elektrona? Naravno da nije! Ovako zamišljena tvorevina bi, zbogsnažnog Coulombovog odbijanja pojedinih dijelova elektrona, bila posve nestabilna, tj. ovakavbi se elektron raspao. Ovo je samo jedan od primjera iz kojih se vidi da se mikroskopski objektine mogu zamišljati jednostavno kao proizvoljno smanjeni makroskopski objekti (elektroni nisunikakve proizvoljno smanjene kuglice). Za objašnjenje mikroskopske grade tvari, potreban jepotpuno drukciji pristup sadržan u kvantnoj teoriji.

NAPOMENA: Atomska jezgra je nakupina protona (elektropozitivnih cestica) i neutrona(elektroneutralnih cestica) na maloj medusobnoj udaljenosti (reda 10−14 m). Kako to da sejezgra ne razleti uslijed snažnog kulonskog odbijanja istoimenih elektricnih naboja na malojudaljenosti?

Osim kulonske, medu protonima i neutronima djeluje i privlacna JAKA NUKLEARNA SILA,koja je po iznosu puno jaca od elektricne sile (konstanta fine strukture je 1/137, to je mjerajakosti EM sile, dok je konst vezanja jake nuklearne sile = 10, jaka je sila dakle oko stotinu putajaca od EM sile). Druga važna razlika izmedu EM i jake nuklearne sile je u dosegu. DosegEM sile je beskonacan (što je povezano s cinjenicom da foton γ - nositelj EM sile - ima masumirovanja jednaku nuli), dok je doseg jake nuklerane sile vrlo mali i reda je 10−15 m (što je opetpovezano s cinjenicom da cestice nositelji jake sile - π mezoni - imaju konacnu masu mirovanja).Stoga na makroskopskim udaljenostima (svakako vecim od 10−15 m), medu protonima djelujeodbojna kulonska sila, dok na vrlo malim udaljenostima na protone djeluju i odbojna kulonska iprivlacna jaka nuklearna sila.

2.7 Stokesov teoremNajprije cemo izvesti jedan teorem koji povezuje dva integrala vektorskog polja, a zatim cemotaj teorem primjeniti na elektrostatsko polje i tako dobiti još jednu od Maxwellovih jednadžba.

Promatrajmo linijski integral proizvoljnog vektorskog polja ~f (~r) po zatvorenoj krivulji C .Takav se integral naziva CIRKULACIJA polja ~f (~r) i oznacava se slovom Γ

Γ =∮

C

~f (~r)d~r.


Slika 2.7: Uz definiciju cirkulacije vektorskog polja.

x

y

z

<

<

>

>

C

C 1

C 2

C '

Diferencijal d~r ima smjer obilaska krivulje, a sama krivulja ne mora ležati u ravnini. Podijeli lise zatvorena krivulja C na dvije zatvorene krivulje, kao na slici 2.7, lako se vidi da se integralipo zajednickom dijelu krivulje poništavaju zbog suprotnog smjera obilaska tog dijela krivulje, paje

Γ =∮

C

~f (~r)d~r =∮

C1

~f (~r1)d~r1 +∮

C2

~f (~r2)d~r2.

Ocito ce se nastavljanjem dijeljenja gornje dvije zatvorene krivulje na sve manje i manje dijelove,opet medusobno poništavati integrali po zajednickim dijelovima, i za podjelu pocetne zatvorenekrivulje na N manjih ce vrijediti

Γ =∮

C

~f (~r)d~r =N

∑j=1

∮C j

~f (~r j)d~r j.

Za N >> 1, tj. kada je pocetna krivulja podjeljena na puno vrlo malih zatvorenih krivulja, svakojtoj maloj krivulji C j se može pridružiti ploha ~S j = n S j ciji je iznos odreden površinom plohedefinirane krivuljom, a smjer okomicom na plohu i pravilom desne ruke. U granici N → ∞, malekrivulje C j išcezavaju, pa išcezava i integral polja po toj krivulji. Isto tako išcezava i površina S j.Ako dvije velicine svaka za sebe išcezavaju, nije nužno da išcezava i njihov omjer. Izracunajmoslijedecu granicnu vrijednost

limN→∞∮C j

~f (~r j)d~r j = 0limN→∞ S j = 0

lim

C j,S j→0

∮C j

~f (~r j)d~r j

S j

= 06= 0

,

Radi jednostavnosti, neka je mala zatvorena krivulja pravokutnog oblika i neka leži u ravniniz = const. kao na slici 2.8. Opcenito je

~f (~r) = fx(x,y,z)~ex + fy(x,y,z)~ey + fz(x,y,z)~ex .

Slicno je i

~r = x~ex + y~ey + z~ez ,


Slika 2.8: Cirkulacija polja ~f po diferencijalnoj plohi oblika pravokutnika. Isprekidanim crtamasu prikazane silnice polja.

x

y

z

x

yz

d xd y

j

j

j

>

<<

>

f

(1)(2)

(3)(4)

ff

pa je, uz konstantni z

d~r = dx~ex +dy~ey .

Izracunajmo sada cirkulaciju po malom pravokutniku imajuci u vidu da d~r ima smjer obilaskakrivulje:∮

C

~f d~r =∫ x+dx

xfx dx

∣∣∣∣y,z+∫ y+dy

yfy dy

∣∣∣∣x+dx,z

+∫ x

x+dxfx (−dx)

∣∣∣∣y+dy,z

+∫ y

y+dyfy (−dy)

∣∣∣∣x,z

' fx(x+dx2,y,z)dx+ fy(x+dx,y+

dy2,z)dy− fx(x+

dx2,y+dy,z)dx− fy(x,y+

dy2,z)dy

=

[fx(x,y,z)+

dx2

∂ fx

∂ x+ · · ·

]dx+

[fy(x,y,z)+dx

∂ fy

∂ x+

dy2

∂ fy

∂ y+ · · ·

]dy

−[

fx(x,y,z)+dx2

∂ fx

∂ x+dy

∂ fx

∂ y+ · · ·

]dx−

[fy(x,y,z)+

dy2

∂ fy

∂ y+ · · ·

]dy

=

(∂ fy

∂ x− ∂ fx

∂ y

)dxdy+O(d3)

Drugi red gornje jednakosti je dobiven tako što je integral f j po maloj stranici pravokutnikapribližno jednak vrijednosti f j na polovici te stranice pomnoženo s duljinom stranice. Treci redje dobiven razvojem f j u Taylorov red i zadržavanjem vodecih clanova.

Uvedimo pojam ROTACIJE VEKTORSKOG POLJA, slijedecom definicijom (u pravokutnomkoordinatnom sustavu)

rot ~f ≡−→∇ × ~f =~ex

(∂ fz

∂ y−

∂ fy

∂ z

)+~ey

(∂ fx

∂ z− ∂ fz

∂ x

)+~ez

(∂ fy

∂ x− ∂ fx

∂ y

).

Uocimo ciklicnost (x→ y→ z→ x→ y→ ···) u definiranju komponenata vektora rotacije,slicno kao i kod definicije vektorskog umnoška dva vektora.


Sada možemo u rezultatu za cirkulaciju, prepoznati z-komponentu vektora rotacije polja ~f

~ez · rot ~f = limdx,dy→0

(∂ fy/∂ x−∂ fx/∂ y) dxdy+O(d3)

dxdy

(rot ~f )z =∂ fy

∂ x− ∂ fx

∂ y=~ez · (

−→∇ × ~f ).

Slicni bi se izrazi dobili i za preostale komponente rotacije (gornju zatvorenu krivulju shvacamokao projekciju neke male prostorne krivulje na ravninu (x,y)). Sada se možemo vratiti pocetnomizrazu za cirkulaciju vektorskog polja, koji u granici N → ∞ postaje

∮C

~f (~r)d~r =N

∑j=1

S j

∮C j

~f (~r j)d~r j

S j→

N

∑j=1

S j n (−→∇ × ~f ) →

∫S(C )

d~S (−→∇ × ~f ).

Time su povezani linijski integral vektorskog polja po zatvorenoj krivulji C i površinski integralrotacije tog istog polja po površini definiranoj krivuljom C , a dobivena se veza zove STOKESOV

TEOREM

∮C

~f (~r)d~r =∫

S(C )d~S (−→∇ × ~f ). (2.40)

Primjeni li se gornji rezultat na elektrostatsko polje

~f ≡ ~E =−−→∇V,

tada je ocito integral ~E po zatvorenoj krivulji jedak nuli∮C

~E d~r =∮

C−−→∇V d~r =

∮C

dV = 0,

pa je, prema Stokesovu teoremu i∫S(C )

d~S (−→∇ × ~E ) = 0.

Buduci da gornja relacija vrijedi za proizvoljnu zatvorenu krivulju C i njome definiranu plohuS(C ), jednakost s nulom gornjeg integrala je moguca samo ako je sama podintegralna funkcijajednaka nuli

−→∇ × ~E = 0. (2.41)

Gornja se relacija naziva DRUGA MAXWELLOVA JEDNADŽBA.Pokažimo da je gornji rezultat konzistentan s cinjenicom da se elektricno polje može napisatikao gradijent potencijala

~E =−−→∇ V =−~ex

∂ V∂ x−~ey

∂ V∂ y−~ez

∂ V∂ z

(može se pokazati da su to ekvivalentne tvrdnje). Npr. za x-komponentu rotacije se dobije

(−→∇ ×~E )x =

∂

∂ y(−)∂ V

∂ z− ∂

∂ z(−)∂ V

∂ y= 0


i slicno za ostale komponente. Ovime smo dokazali i jednu opcenitu relaciju, koju cemo kasnijeviše puta koristiti

−→∇ × (

−→∇ f )≡ rot grad f = 0.

Zadatak 2.9 Pokažimo da polje tockastog naboja zadovoljava drugu Maxwellovu jednadžbu.

Rješenje:Polje tockastog naboja iznosa q smještenog u ishodištu je

~E (~r) =1

4πε0

qr3~r,

ili, po komponentama pravokutnog sustava

Ex =1

4πε0q

x(x2 + y2 + z2)3/2 ,

Ey =1

4πε0q

y(x2 + y2 + z2)3/2 ,

Ez =1

4πε0q

z(x2 + y2 + z2)3/2 .

−→∇ × ~E =~ex

(∂ Ez

∂ y−

∂ Ey

∂ z

)+~ey

(∂ Ex

∂ z− ∂ Ez

∂ x

)+~ez

(∂ Ey

∂ x− ∂ Ex

∂ y

).

Izravnom derivacijom se lako dobije da je svaka od okruglih zagrada jednaka nuli, pa je i njihovasuma jednaka nuli.

Zadatak 2.10 Pokažite da je−→∇ × (

−→∇ f ) = rot grad f = 0 za svako skalarno polje f (x,y,z).

Rješenje:

−→∇ f =~ex

∂ f∂x

+~ey∂ f∂y

+~ez∂ f∂ z

−→∇ × (

−→∇ f ) =~ex

(∂

∂y∂ f∂ z− ∂

∂ z∂ f∂y

)+~ey

(∂

∂ z∂ f∂x− ∂

∂x∂ f∂ z

)+~ez

(∂

∂x∂ f∂y− ∂

∂y∂ f∂x

)= 0

3. Polje oko vodica

UOVOM CE SE odjeljku izložiti ....

3.1 Vodic u elektrostatskom polju

Opcenito se tvari mogu podijeliti na dobre i loše vodice elektricnog naboja. Dobre vodicecemo jednostavno zvati VODICI, dok cemo loše vodice zvati IZOLATORI ili DIELEKTRICI. Radijednostavnosti, promatrat cemo idealizirane situacije: idealni vodic sa savršeno pokretljivimnabojima i idealni izolator sa potpuno nepokretnim nabojima.

Takoder cemo promatrati situacije u kojima su se vec dogodile sve eventualne preraspodjelenaboja, tako da u trenutku promatranja naboji tijela miruju. Ovakve cemo sustave nazivatiELEKTROSTATSKI sustavi.

Zamislimo idealni vodic kao tijelo u kojem se nalaze elektricni naboji koji se mogu slobodnogibati unutar tijela, ali ga ne mogu napustiti (osim u slucaju iznimno jakih vanjskih polja). Akose takvo tijelo postavi u vanjsko elektricno polje, ~E van j, naboji u tijelu ce se gibati pod utjecajemvanjskog polja, slika 3.1, sve dotle dok SVOJIM POLJEM ne ponište djelovanje vanjskog polja.Kada je u unutrašnjosti vodica ukupno polje jednako nuli, na naboje ne djeluje nikakva sila i onimiruju na površini vodica. Ako je unutar vodica polje jednako nuli, to znaci da je cijeli vodic na

Slika 3.1: Savršeni vodic u vanjskom elektricnom polju.

(A) (B) (C)++++++

++++++

++++++

------

-----

-----

- -> >> >> >> >> >> >

+

+

+

-

-

-

-------------

+++

+

++

++

+

>>

>>

>>

>>

>>

>>>

istom konstantnom potencijalu, tj. VODIC JE EKVIPOTENCIJALNA PLOHA.Gibanje naboja je dovelo i do pojave naboja na površini vodica. Ovi površinski naboji

50 Poglavlje 3. Polje oko vodica

stvaraju DODATNO elektricno polje, ~E pov, IZVAN vodica, tako da je ukupno polje izvan vodicajednako

~E tot = ~E van j +~E pov.

U blizini površine vodica, silnice elektricnog polja ~E tot su okomite na plohu vodica (opcenito susilnice okomite na ekvipotencijalne plohe, str. ), jer ako bi postojala komponenta polja paralelnas plohom, ona bi vodila na gibanje naboja, i situacija ne bi bila stacionarna. Gustocu naboja napovršini naboja se može izracunati primjenom Gaußova zakona, ..., slika 3.2

Slika 3.2: Uz racun polja u blizini vodica.

Et, out

= 0Et, in

= 0

Bin

Bout

Pl

∮~E totd~S =

∫Bout

~E t,outd~S︸︷︷︸= Et B

+∫

Bin

~E t,ind~S︸︷︷︸= 0 = 0B

+∫

Pl~E td~S︸︷︷︸

= 0~E t⊥d~S

EtS =QS

ε0=

Sσpov

ε0

|~E tot |n =σpov

ε0, (3.1)

gdje je s |~E tot |n oznacena okomita komponenta cijelog polja, a ne samo onog polja koje proizvodipovršinska gustoca naboja σpov.

3.2 Polje u šupljini vodicaPokažimo najprije da je riješenje Laplaceove jednadžbe

∂ 2V∂ x2 +

∂ 2V∂ y2 +

∂ 2V∂ z2 = 0 (3.2)

3.3 Metoda slika 51

JEDINSTVENO. Laplaceova jednadžba vrijedi u onim tockama prostora gdje nema naboja (daklei u šupljini vodica). Riješiti Laplaceovu jednadžbu znaci naci funkciju V koja zadovoljavajednadžbu, ali koja isto tako zadovoljava i odredene uvjete na granicnim površinama (površinamakoje ograduju prostor u kojemu je ∇2V = 0), tzv. rubne ili granicne uvjete. Npr. može bitizadana konstantna vrijednost potencijala, V0, na rubnoj plohi. Da bismo dokazali jedinstvenostrješenja, krenut cemo od suprotne pretpostavke, tj. pretpostavit cemo da postoje dva razlicitarješenja V1 i V2. Buduci da je Laplaceova jednadžba linearna, to je i svaka linearna kombinacijaova dva rješenja, takoder rješenje

c1V1 + c2V2.

Specijalno, i razlika ova dva rješenja (nazovimo ju w) je takoder rješenje (c1 = 1,c2 =−1)

w =V1−V2.

Ako rješenja V1,2 imaju konstantnu vrijednost na granicnoj plohi (V0 u vodicu i 0 na plohi ubeskonacnosti), tada je w = 0 na granicnim plohama. Treba još vidjeti je li w = 0 i u svakoj tockiunutar granicnih ploha? Pretpostavimo li da w nije svugdje nula, slijedi zakljucak da w moranegdje imati maksimum ili minimum. No, na str. ... je pokazano da funkcija koja je rješenjeLaplaceove jednadžbe, ne može imati ekstrem, iz cega slijedi da w mora biti svugdje nula, tj.rješenje Laplaceove jednadžbe je jedinstveno.

Kada jednom znamo da je rješenje Laplaceove jednadžbe jedinstveno, lako je pokazati da jeelektricno polje u unutrašnjosti vodica jednako nuli.

Promatrajmo jednu kutiju napravljenu od vodljive tvari kao na slici. Kutija se nalazi uvanjskom polju (proizvedenom vanjskim nabojima) i gibanje naboja u vodicu cini da je polje U

VODICU jednako nuli kao što smo ranije opisali. Ali što je s poljem u šupljini? U šupljini vrijediLaplaceova jednadžba, a rubna ploha je upravo ploha vodica na kojoj je potencijal konstantan.Dakle, traži se rješenje jednadžbe ∇2V = 0, uz uvjet da je V =V0 na unutrašnjoj plohi šupljine.Lako je vidjeti da pretpostavka V =V0 u unutrašnjosti šupljine zadovoljava Laplaceovu jednadžbu(derivacija konstante je nula), pa je V0 sigurno rješenje Laplaceove jednadžbe. No, buduci dasmo upravo pokazali da Laplaceova jednadžba ima samo jedno rješenje, to mora biti upravoV0. Zakljucujemo da je potencijal konstantan ne samo u unutrašnjosti vodica, nego i u šupljinivodica iz cega, relacijom ..., odmah slijedi i da je elektricno polje jednako nuli u šupljini vodica.

Primjetimo da ne možemo koristiti Gaußov zakon da bismo dokazali da je polje u šupljinivodica jednako nuli: odabirom zatvorene plohe unutar šupljine vodica, Gaußov zakon samo kažeda je tok polja kroz plohu jednak nuli iz cega ne slijedi nužno da je i samo polje jednako nuli.

3.3 Metoda slikaKao ilustraciju ponašanja vodica u vanjskom elektricnom polju navodimo dva važna primjera:(1) tockasti naboj iznad beskonacne vodljive ravnine i(2) tockasti naboj ispred vodljive sfere fiksnog potencijala.

(1) Promatrajmo tockasti naboj q koji se nalazi h iznad vodljive ravnine. Naboji ravnine cese rasporediti po površini tako da svojim poljem ponište polje naboja q u unutrašnjosti vodica.Zadatak je izracunati površinsku raspodjelu naboja vodica i njegovu ukupnu kolicinu. Ranijesmo vec pokazali Gaußovim zakonom, relacija (3.1), da je površinska gustoca naboja na površinivodica dana sa σ = Et ε0, gdje je Et okomita (na površinu vodica) komponenta ukupnog polja(dakle polja od tockastog naboja q i polja od naboja na površini vodica). Zato cemo sadaizracunati polje na površini vodica. Neka je koordinatni sustav postavljen kao na slici 3.3.


Slika 3.3: Tockasti naboj u blizini vodljive ravnine.

+q

-q

V = 0

y

z +qV = 0

> >>> >Tada je položaj naboja q dan sa (0,0,h), dok se vodic proteže dijelom prostora z≤ 0. Vodic jeekvipotencijalna ploha, pa silnice polja moraju izgledati kao na slici 3.3.

Racun želimo pojednostaviti tako što umjesto sustava: naboj q i ravninski vodic, želimorazmatrati sustav od tockastog naboja q i drugog tockastog naboja q ′, takvoga da jedna njihovaekvipotencijalna ploha bude na polovici medusobne udaljenosti, da bude na potencijalu nulai da to bude ravnina. Iz simetrije slike zakljucujemo da cemo to postici ako u tocku (0,0,−h)postavimo naboj −q. To bitno pojednostavljuje problem, zato jer je sada ukupno polje u dijeluprostora z > 0, naprosto zbroj polja dva tockasta naboja. Izracunajmo polje na samoj površinivodica, koristeci cilindricni koordinatni sustav

~r = ρ~eρ + z~ez ,

~E (~ρ ,z = 0) = ~E +(~ρ ,z = 0)+~E −(~ρ ,z = 0).

Sa slike 3.4 se jasno vidi da su iznosi polja oba naboja isti

E+ = E− =1

4πε0

qρ2 +h2 ,

dok im se smjerovi razlikuju, tako da je ukupno polje jednako

~E =(+~ey E+ cosα−~ez E+ sinα

)+(−~ey E− cosα−~ez E− sinα

).

Uvrstimo li

sinα =h√

ρ2 +h2,

dolazimo do polja na površini vodica

~E (~ρ ,z = 0) =−2~ez1

4πε0

hq(ρ2 +h2)3/2 .

Iz gornjeg izraza slijedi da je površinska gustoca naboja jednaka

σ = ε0 Ez =−hq2π

1(ρ2 +h2)3/2 . (3.3)

3.3 Metoda slika 53

Slika 3.4: Zbrajanje polja.

y

z +q, z = +h

-q, z = -h

E+

E-

(h2)1/2

Sada možemo izracunati i ukupni inducirani naboj na površini vodica, tako što cemo prointegri-rati površinsku gustocu naboja po cijeloj površini z = 0.

Qind =∫

z=0σ dS =

∫ ∞

0ρdρ

∫ 2π

0dϕ−hq2π

1(ρ2 +h2)3/2 .

Prijelazom na varijablu t = ρ2 +h2, integral je elementarno rješiv i daje

Qind =−q,

Tj. ukupan inducirani naboj je jednak negativnoj vrijednosti samog tockastog naboja q. Od ovogrezulata potjece i naziv metode, jer izlazi da naboj q stvara svoju zrcalnu sliku prema vodljivojravnini. Naglasimo još jednom da izraz za polje ~E = ~E ++~E − vrijedi samo za z > 0, dok je uunutrašnjosti vodica, u podrucju z < 0, elektricno polje jednako nuli.

(2) Slijedeci važan problem jeste odredivanje potencijala (pa time i polja) u prostoru izmeduvodljive sfere na potencijalu nula i tockastog naboja, slika 3.6. Pitanje je može li se sustav saslike 3.6 zamijeniti sustavom dva nejednaka naboja q i qs takvog iznosa i položaja da jednanjihova ekvipotencijalna ploha bude sfera polumjera R na potencijalu V = 0 i sa središtem uishodištu? Ako se to pokaže mogucim, tada je polje sustava (sfera + tockasti naboj q) isto kaoi polje sustava (tockasti naboj qs + tockasti naboj q). To, naravno, vrijedi samo IZVAN sfere,buduci da znamo, ..., da je unutar sfere potencijal konstantan, tj. polje je jednako nuli.

Tražimo iznos naboja qs i njegov položaj xs tako da potencijal V koji potjece od naboja qs iq, bude jednak nuli na svakoj tocki sfere polumjera R sa središtem u ishodištu

V (~R) = 0, R =√

x2 + y2 + z2.

Ukupan potencijal, V , je zbroj potencijala dva tockasta naboja: q u tocki d~ex i qs u tockixs~ex ,slika ??


Slika 3.5: Površinska gustoca naboja σ , (3.3), kao funkcija udaljenosti od ishodišta ρ , uzq = 2π C i h = 1m.

Slika 3.6: Sustav sastavljen od vodljive sfere na potencijalu nula i tockastog naboja iznosa q.

R x

y

d

q

14πε0

q|~rq|

+1

4πε0

qs

|~rs|,

pri cemu je

~R = d~ex +~rq,

~R = xs~ex +~rs.

Uvrštavanjem ovih izraza, za potencijal u tockama sfere se dobiva

V (~R) = 0 =1

4πε0

(q

|d~ex −~R |+

qs

|xs~ex −~R |

)=

14πε0

(q√

(d− x)2 + y2 + z2+

qs√(xs− x)2 + y2 + z2

).

Kvadriranjem i sredivanjem gornje jednadžbe, dolazi se do

(x2 + y2 + z2)+2xdq2

s − xsq2

q2−q2s

=d2q2

s − x2s q2

q2−q2s

.

3.3 Metoda slika 55

Slika 3.7: Sustav sastavljen od dva tockasta naboja.

R

x

y

qqs

rqr

s

Gornja jednadžba vrijedi u onim tockama u kojima je potencijal jednak nuli, a to je upravo sferapolumjera R, pa zato gornja jednadžba predstavlja jednadžbu sfere x2 + y2 + z2 = R2. Da bi tobilo tako, clan uz x mora išcezavati, a slobodni clan na desnoj strani mora biti jednak R2

2dq2

s − xsq2

q2−q2s

= 0

d2q2s − x2

s q2

q2−q2s

= R2.

To je sustav dvije jednažbe za dvije nepoznanice xs i qs. Iz prve jednadžbe vidimo da jeq2

s = xsq2/d, što uvršteno u drugu jednadžbu daje odmah xs = R2/d. Vratimo li se s ovimenatrag u jednadžbu za qs, dobivamo qs =±Rq/d. Naravno da je potrebno odabrati negativanpredznak, buduci da istoimeni naboji ne mogu dati nulti potencijal. Time smo došli do zakljuckada sustav naboj plus sfera na potencijalu nula, može zamijeniti sustavom naboj plus njegovaslika qs u tocki xs, pri cemu su

qs =−qRd, xs =

R2

d.

Primjetio da je po iznosu qs manje od q.Što ako potencijal sfere nije nula, nego ima neku konacnu vrijednost V0, a potrebno je naci

potencijal i/ili elektricno polje u prostoru izvan sfere? Opet možemo koristiti metodu slika naslijedeci nacin:- kao i u prethodnom primjeru, u tocku xs stavimo naboj qs, koji zajedno s vanjskim nabojem q

daje nulti potencijal na sferi polumjera R,- u ishodište koordinatnog sustava postavimo naboj q0, takav da daje potencijal V0 na sferipolumjera R

V0 =1

4πε0

q0

R. (3.4)

Sada polje i/ili potencijal u prostoru izvan sfere možemo jednostavno racunati kao polje i/ilipotencijal tri tockasta naboja cije iznose i položaje znamo

q (d,0,0)

−qRd

(R2/d,0,0)

4πε0V0R (0,0,0).


Slika 3.8: Sustav sastavljen od vodljive sfere na konacnom potencijalu V0 i tockastog nabojaiznosa q.

R x

y

d

q

V0

Tako se npr. za polje dobije izraz

~E out(~r) =1

4πε0

[q(~r−~ex d)

[(x−d)2 + y2 + z2]3/2 +−q R

d (~r−~exR2

d )

[(x− R2

d )2 + y2 + z2]3/2+

4πε0V0 Rx2 + y2 + z2~er .

]

3.4 Kapacitet i kondenzatoriPromatrajmo dvije paralelno postavljene vodljive ploce. Neka je duljina brida ploce

√S puno

veca od razmaka medu njima d.√

S >> d.

Neka je naboj gornje ploce Q, a potencijal V1, dok je naboj na donjoj ploci −Q i potencijalje V2, slika 3.9 . Zbog malog razmaka medu plocama, elektricno polje je, prema ..., približno

Slika 3.9: Sustav sastavljen od vodljive sfere na konacnom potencijalu V0 i tockastog nabojaiznosa q.

dS

+Q, V1

-Q, V2

x

y0

d

> > > > > > >

+Q, V1

-Q, V2

> >

++++++++++

-----------

jednoliko i jednako σ/ε0, gdje je σ = Q/S površinska gustoca naboja na plocama. Iz vezeizmedu potencijala i polja, ..., slijedi∫ V2

V1

dV = −∫ d

0Edx =−

∫ d

0

σ

ε0dx

V2−V1 = −σ

ε0d,

iz cega zakljucujemo da je σ = ε0(V1−V2)/d, tj. ukupni naboj je

Q = σ ·S =Sε0

d(V1−V2).

3.5 Energija kondenzatora: rad uspostave elektricnog polja 57

Gornji sustav je primjer ravnog ili plocastog kondenzatora (ili kapacitora). Opcenito, konden-zatorom nazivamo svaki sustav dva bliska i medusobno izolirana vodica. Definira se velicinaKAPACITET, C, kao omjer naboja na plocama i razlike potencijala izmedu ploca

C =Q

V1−V2. (3.5)

Jedinica za mjerenje kapaciteta je f arad, F =C/V . U gornjem primjeru,

C = ε0Sd. (3.6)

3.5 Energija kondenzatora: rad uspostave elektricnog poljaZamislimo kondenzator kao na slici 3.9. Uzmemo li sa pozitivne ploce mali negativni naboj dQi prenesemo ga na negativnu plocu, moramo obaviti rad savladavajuci silu elektricnog polja uprostoru izmedu ploca kondenzatora. Za iznos toga rada ce se povecati energija kondenzatora.

dW = ∆V dQ =QC

dQ,

gdje smo uzeli u obzir da je, prema (3.5) , C = Q/∆V . Ukupan je rad srazmjeran ukupnomprenesenom naboju

W =∫ Q

CdQ =

12

Q2

C=

12

C∆V 2.

Buduci da se ovim radom povecava potencijalna energija elektricnog polja kondenzatora, to je

W = Ep =12

C∆V 2.

Uzmemo li u obzir da je, prema (3.6), za plocasti kondenzator C = ε0S/d, a elektricno polje|~E |= ∆V/d, dolazimo do izraza za potencijalnu energiju u obliku

Ep =12

ε0Sd

~E 2d2 =12

ε0 ~E 2Sd.

Prepoznamo li u gornjem izrazu Sd kao volumen izmedu ploca kondenzatora, možemo zagustocu potencijalne energije plocastog kondenzatora napisati

Ep

Sd=

12

ε0~E 2,

što je u skladu s opcim izrazom za potencijalnu energiju elektricnog polja

Ep =ε0

2

∫~E 2 d3r.

4. Elektricna struja

U OVOM ODJELJKU koji se mo

4.1 Elektricna strujaPromatrajmo roj cestica istog naboja q i brzine~v koji pod kutom θ nalijecu na ravnu plohu ~S .U vremenu ∆ t cestica prede put v∆ t, pa je projekcija tog puta na smjer okomice na S jednakav∆ t cosθ , slika 4.1. To znaci da ce, unutar vremenskog intervala ∆ t, sve cestice iz volumena

Slika 4.1: Uz definiciju elektricne struje.

S

Sv |

t

V t cos

V = S cosθ v∆ t =~S~v∆ t

proci kroz plohu ~S . Ako s n = N/V oznacimo brojcanu volumnu gustocu cestica, onda je

N = n~S~v∆ t

ukupan broj cestica koje ce u vremenu ∆ t proci kroz plohu ~S . Ako svaka od tih cestica nosinaboj q, tada je ukupan naboj ∆Q koji u vremenu ∆ t prode kroz plohu ~S jednak

∆Q = qN = qn~S~v∆ t.

Struja naboja I je jednaka kolicini naboja koja u jedinici vremena prode kroz promatranu plohu

I =∆Q∆ t

=qn~S~v∆ t

∆ t= qn~S~v.

60 Poglavlje 4. Elektricna struja

Ukoliko se cestice medusobno razlikuju po naboju i/ili brzini (i ima ukupno M razlicitih cestica),ukupna struja I je jednostavno jednaka zbroju struja pojedinih cestica

I =~SM

∑m=1

nm qm~vm.

U gornjem je izvodu pretpostavljeno da su brzina i gustoca cestica isti u svakoj tocki plohe ~S .Ako to nije tako, tada treba promatrati gibanje cestica kroz mali dio plohe d~S na kojemu sugustoca i brzina cestica približno konstantni, pa je

d I = d~SM

∑m=1

nm qm~vm

Uvede li se pojam POVRŠINSKE GUSTOCE STRUJE

~j =M

∑m=1

nm qm~vm,

vidimo da je

d I = d~S ~j ,

tj. struja kroz cijelu plohu S je

I =∫

S~j d~S .

U slucaju da je gustoca struje konstantna na cijeloj plohi ~S , struja je jednostavno I = ~j ~S .

Promatrajmo sada zatvorenu plohu S koja omeduje odredeni volumen V (S). Ako se unutartog volumena nalazi neka kolicina naboja i ako taj naboj struji kroz plohu S van iz promatranogvolumena, slika 4.2, tada je struja naboja dana sa

Slika 4.2: Strujanje naboja kroz zatvorenu plohu.

S

q1

q2

q3

I =−∂ Q∂ t

> 0.

4.2 Elektricna vodljivost i Ohmov zakon 61

Predznak− dolazi zato jer je u svakom slijedecem trenutku (∆ t > 0) u volumenu V (S) sve manjenaboja (∆Q < 0), pa je I pozitivna velicina. Naboj je

Q =∫

V (S)ρ dV,

a struja je

I =∮

S~j d~S ,

pa gornja jednadžba prelazi u∮S~j d~S =− ∂

∂ t

∫V (S)

ρ dV.

Primjenom Gaußova teorema (2.31) na lijevu stranu gornjeg izraza, dolazi se do jednadžbe∫V (S)

−→∇~j dV =− ∂

∂ t

∫V (S)

ρ dV.

koja vrijedi za svaki volumen V (S ), a to je moguce ako su podintegralne funkcije jednake, tj.ako je

−→∇~j +

∂ ρ

∂ t= 0 (4.1)

Gornja relacija se zove ZAKON O SACUVANJU NABOJA i matematickim jezikom izražava ocitucinjenicu da ako postoji strujanje naboja, tada je smanjenje naboja u promatranom volumenujednako naboju koji je strujanjem izašao iz tog volumena. Drugim rjecima, izvor struje naboja jeu vremenskoj promjeni gustoce naboja. Ova je jednadžba i po obliku i po znacenju slicna prvojMaxwellovoj jednadžbi (2.32)

−→∇~E (~r) = ρ(~r)/ε0,

koja kaže da je izvor elektrostatskog polja u naboju (opisanom gustocom ρ).

4.2 Elektricna vodljivost i Ohmov zakon

Eksperimentalno je ustanovljena (Ohm) veza izmedu jakosti struje I kroz vodic i razlike potenci-jala (napona) na njegovim krajevima ∆V

I ∼ ∆V.

Kao konstanta srazmjernosti se pojavljuje velicina koja se zove otpor i oznacava se s R

I =∆VR

,

a mjeri se u omima

1Ω =1V1A

.

62 Poglavlje 4. Elektricna struja

Otpor vodica ima svoje podrijetlo (kao što cemo uskoro i pokazati) u gibanju naboja kroz medij,pa zato ovisi o temperaturi medija

R = R(T ).

Osim o temperaturi, otpor ovisi i o vrsti medija (metalna rešetka, fluid, itd), kao i geometriji (npr.o obliku žice, ako se radi o toku struje kroz žicu). Za dugu tanku žicu, otpor se može napisati uobliku

R = ρLS,

gdje je ρ otpornost i sadrži u sebi specificnosti grade vodica. L je duljina, a S je površinapoprecnog presijeka žice.

Ohmov se zakon može napisati i drukcije

I =1R

∆V

~j ~S =~S

ρ LL~E

~j = σ ~E .

Gornjim se izrazom kaže da ce gustoca struje u vodicu biti utoliko veca ukoliko je polje uunutrašnjosti vodica vece (primjetimo da ovdje nemamo staticku situaciju i elektricno polje nijejednako nuli u unutrašnjosti vodica). Kao konstanta srazmjernosti tu se pojavljuje vodljivost

σ =1ρ.

Vodljivost je skalar u izotropnom, a tenzor u neizotropnom mediju.

4.3 Model vodenja elektricne strujeU ovom odjeljku cemo pokušati na osnovi mikroskopske slike gibanja naboja u vodicu, odreditivrijednost vodljivosti σ .

Promatrajmo sustav koji se sastoji od pozitivnih i negativnih nosilaca naboja. Njihove mase inaboje cemo oznacavati s m± i ±qe. Smatrat cemo da je polje koje djeluje na nosioce nabojaisto u svakoj tocki prostora i da se ne mijenja u vremenu

~E (~r, t) = const.

U tom slucaju bi i sila ~F = q~E koja djeluje na naboje trebala biti konstantna, pa bi se nabojitrebali gibati s konstantnim ubrzanjem, a ne konstantnom brzinom kao što to predvida Ohmovzakon (u obliku ~j = σ ~E ).Odgovor na ovu dilemu leži u cinjenici da osim sile od elektricnog polja, na naboje djeluje i silaod sudara, i to medusobnih sudara, kao i od sudara s ostalim (nepomicnim) cesticama medija. Isa i bez vanjskog polja, a na temperaturama T > 0, naboji imaju nasumicnu (termalnu) brzinu,koju cemo oznaciti kao~vT . Oznacimo s τ prosjecno vrijeme koje prode izmedu nekoliko (jednogili dva) sudara, tako da je nakon tog vremena, smjer brzine potpuno neovisan (nekoreliran) odsmjera pocetne brzine. τ je definiran samo za ~E = 0. Izmedu dva sudara naboj dobije impuls odtermicke sile i od sile vanjskog polja

m~vT +qe~E t.

4.3 Model vodenja elektricne struje 63

Ukupna kolicina gibanja svih pozitivnih nosilaca naboja, u vremenu izmedu dva sudara je

N

∑n=1

(m+~vT,n +qe~E tn),

(vrijeme izmedu sudara, naravno, nije isto za sve cestice). Srednju vrijednost kolicine gibanja po-jedine pozitivne cestice, dobijemo tako da ukupnu kolicinu gibanja podjelimo brojem pozitivnihcestica N

m+~v+ =1N

N

∑n=1

(m+~vT,n +qe~E tn).

Zbog nasumicnosti termalnih brzina je

N

∑n=1

~vT,n = 0,

pa preostaje

m+~v+ =1N

qe~EN

∑n=1

tn = qe~E t+,

gdje je uvedena nova oznaka,

t+ =1N

N

∑n=1

tn,

kao srednja vrijeme izmedu dva sudara za pozitivne cestice (t+ je istog reda velicine kao i τ).Time smo dobili da je srednja BRZINA, a ne ubrzanje, srazmjerna vanjskom elektricnom polju

~v+ =qe t+m+

~E .

Slicnim razmatranjem za gibanje negativnih nosilaca naboja, dolazi se do

~v− =−qe t−

m−~E .

Ukupna se struja sastoji od sume struja pozitivnih i negativnih nosilaca

~j = ~j++~j−.

Za struje ~j± možemo pisati

~j± =N

∑n=1

(±qe)~vn = (±qe)N1N

N

∑n=1

~vn =±qeN~v±.

Time ukupna struja postaje

~j = qeN~v++(−qe)N~v− = qeN(~v+−~v−).

Uvrste li se ranije dobiveni izrazi za~v±, dobije se

~j = qeN(qe t+m+− −qe t−

m−)~E = q2

e N(t+m+

+t−m−

)~E = σ ~E .

gdje konstantu srazmjernosti izmedu gustoce struje i vanjskog polja prepoznajemo kao vodljivost

σ = q2e N(

t+m+

+t−m−

).

5. Magnetsko polje

PROMATRA SE SUSTAV koji se mo

5.1 Definicija magnetskog poljaPretpostvimo li da se eksperimentom mjerenja sile ~F na naboj iznosa q koji se jednoliko gibabrzinom~v, dobije rezultat koji se može prikazati kao

~FL = q~E +q~v × ~B , (5.1)

gdje su vektori ~E i ~B vektori koji ne ovise o ~v. U tom slucaju DEFINIRAMO ~E kao vektorelektricnog polja, a ~B kao vektor indukcije magnetskog polja. Gornja se sila zove Lorentzovasila1. Teorijski se podrijetlo ove sile vidi u specijalnoj teoriji relativnosti. Dio sa q~E predstavljasilu na naboj bez obzira giba li se on ili miruje, dok dio q~v × ~B djeluje samo na naboj u gibanju.Primjetimo da je taj dio sile veci ukoliko je brzina kojom se naboj giba veca

F ∼ v,

da je po smjeru sila okomita na brzinu

~F ⊥~v

i da sila išcezava ako su~v i ~B paralelni

~v ‖ ~B ⇒ ~F = 0.

Po dimenzijama je

[~E ] = [~v] · [~B ].

1Hendrick Antoon Lorentz, nizozemski fizicar, 1853 - 1928; zajedno s P. Zeemanom, 1902. god. je dobioNobelovu nagradu za fiziku za otkrice i teorijsko objašnjenje Zeemanovog ucinka. Lorentz je takoder došao i dojednadžba koje povezuju prostorne i vremenske koordinate inercijskih sustava koji se medusobno gibaju, a koje igrajuvažnu ulogu u specijalnoj teoriji relativnosti (Lorentzove preobrazbe). Povjesno gledano, izrazi za gornju silu semogu naci u papirima James Clerk Maxwella iz 1865. godine i Oliver Heavisidea iz 1889. godine. Lorentz je (??)izveo nekoliko godina poslije Heavisidea i napisao u obliku koji se i danas koristi.

66 Poglavlje 5. Magnetsko polje

U SI sustavu, jedinica za mjerenje ~B je tesla (s oznakom T), a prema definicijskoj jednadžbi jeN =C · (m/s) ·T , tj.

T =N sC m

.

5.2 Gibanje naelektrizirane cestice u konstantnom elektricnom i magnet-skom poljuOdredit cemo oblik putanje cestice mase m i naboja q koja se giba u medusobno okomitim ikonstantnim poljima ~E i ~B . U trenutku t = 0 cestica se nalazi u tocki

~r0 = (x0,y0,z0) (5.2)

i ima brzinu

~v0 = (vx,0,vy,0,vz,0). (5.3)

Takoder cemo izracunati rad obavljen nad cesticom.

Neka su elektricno i magnetsko polje medusobno okomiti, tako da je ~E = E0~ex i ~B = B0~ey

za konstantne E0,B0. Na cesticu djeluje Lorentzova sila, (5.1), pa Newtonova jednadžba gibanjaglasi (tockicom povrh velicine, oznacavamo vremensku derivaciju te velicine)

m~r = q(~E +~r×~B),

ili, po komponentama

x =qm(E0−B0 z),

y = 0, (5.4)

z =qm

B0 x.

Uzevši u obzir pocetne uvjete, riješenje za gibanje u smjeru osi y je

y(t) = y0 + vy,0 t.

Uz oznake ω0 = qB0/m i a0 = qE0/m, preostale dvije jednadžbe cine vezani sustav

x = −ω0 z+a0,

z = +ω0 x.

Uvede li se nova kompleksna varijabla η = x+ i z, gornji sustav se svodi na

η = iω0 η +a0.

Rješavanje gornje jednadžbe je oblika

x(t)+ i z(t) = η(t) =c1

iω0eiω0 t − a0

iω0t + c2.

5.2 Gibanje naelektrizirane cestice u konstantnom elektricnom i magnetskompolju 67Kompleksne konstante c1 i c2 se odreduju iz pocetnih uvijeta (položaj i brzina cestice u t = 0).

x0 + i z0 =c1

iω0+ c2,

vx,0 + i vz,0 = c1−a0

iω0.

Konstante c j su opcenito kompleksne c j = cRj + i cI

j, pa gornje dvije kompleksne jednadžbepredstavljaju 4×4 sustav za realne i imaginarne dijelove c j. Rješenje tog sustava je

cR1 = vx,0,

cI1 = vz,0−

a0

ω0,

cR2 = x0−

vz,0

ω0+

a0

ω20,

cI2 = z0 +

vx,0

ω0.

Time je u cjelosti odreden položaj cestice kao funkcija vremena

x(t) =1

ω0

[(vz,0−

a0

ω0

)cosω0t + vx,0 sinω0t

]+ x0−

vz,0

ω0+

a0

ω20,

y(t) = y0 + vy,0 t, (5.5)

z(t) =1

ω0

[−vx,0 cosω0t +

(vz,0−

a0

ω0

)sinω0t

]+ t

a0

ω0+ z0 +

vx,0

ω0.

Lako je uvjeriti se da gornja rješenja zadovoljavaju i jednadžbe (5.4) i pocetne uvjete (5.2) i(5.3).

Opišimo putanju cestice: ocito se radi o superpoziciji jednolikog pravocrtnog gibanja usmjeru osi y i gibanja u ravnini okomitoj na ~B , tj. ravnini (x,z). Uvrštavanjem rješenja iz (5.5),lako je uvjeriti se da x(t) i z(t) zadovoljavaju jednadžbu[

x(t)−(

x0−vz,0

ω0+

a0

ω20

)]2

+

[z(t)−

(z0 +

vx,0

ω0+ t

a0

ω0

)]2

=v2

x,0 +(vz,0−a0/ω0)2

ω20

,

(x− xs)2 +(y− ys)

2 = R2.

To je jednadžba kružnice u ravnini (x,z) s polumjerom

R =

√v2

x,0 +(vz,0−a0/ω0)2

ω0,

i središtem u

xs = x0−vz,0

ω0+

qE0

mω20,

zs = z0 +vx,0

ω0+ t

qE0

mω0.


Zbog djelovanja elektricne sile (od polja E0), središte kružnice se giba u smjeru osi z, stalnombrzinom

z s =qE0

mω0.

Pogledajmo kako izgleda trajektorija cestice, (5.5), kada B0→ 0

limω0→0

x(t) = x0 + vx,0 t +12

qE0

mt2,

limω0→0

y(t) = y0 + vy,0 t,

limω0→0

z(t) = z0 + vz,0 t.

To je jednoliko pravocrtno gibanje u ravnini (y,z), a jednoliko ubrzano u smjeru osi x, tj. usmjeru ~E .

U pocetnom trenutku, iznos brzine cestice je

|~v(t = 0)|=√

v2x,0 + v2

y,0 + v2y,0,

a u proizvoljnom trenutku t 6= 0 je

|~v(t)|=√

x2 + y2 + z2.

Izravnom derivacijom rješenja (5.5) za položaj cestice, dobivaju se komponente brzine cestice.Zbrajanjem kvadrata ovih komponenata, dobiva se za iznos brzine

|~v(t)|=

√~v(t = 0)2 +4

qE0

mω0sin

ω0t2

[vx,0 cos

ω0t2−(

vz,0−qE0

mω0

)sin

ω0t2

].

Primjetimo da promjena iznosa brzine dolazi iskljucivo od elektricnog polja. U slucaju da secestica giba kroz prostor u kojemu postoji samo magnetsko polje (E0 = 0), brzina nece mijenjatisvoj iznos

~v(t)2 =~v20,

nego samo svoj smjer.

Izracunajmo i rad Lorentzove sile

dW = ~F d~r = q~E d~r+q(~v×~B)d~r.

Buduci da je~v = d~r/dt, to su~v i d~r kolinearni, pa je njihov vektorski umnožak jednak nuli i savrad potjece samo od elektricnog polja

W~r0,~r =∫ ~r

~r0

dW =∫ ~r

~r0

qE0~ex (~ex dx+~ey dy+~ez dz) =∫ x

x0

qE0 dx = qE0 (x− x0),

gdje je x = x(t) iz relacije (5.5). Rad ovisi samo pocetnoj i konacnoj tocki, pa je Lorentzova silakonzervativna.

SPEKTROGRAF MASA

Primjenimo gornje rezultate na objašnjenje rada spektrografa masa. Promatramo snop cestica


Slika 5.1: Spektrograf masa - nacelo rada.

B = 0 B > 0

v0

m1

m2 > m

1

q > 0

x

z

B = 0 B > 0

v0

m1

m2 > m

1

q < 0x

z

proc

jep

razlicitih masa a iste brzine. U trenutku t = 0 one se nalaze na ulazu u spektrograf masa(x0 = y0 = z0 = 0) i imaju brzinu u smjeru osi x, ~v0 = v0~ex . Elektricno polje je nula. U tomslucaju rješenja jednadžba gibanja (5.5) glase

x(t) =v0

ω0sinω0t,

y(t) = 0,

z(t) =v0

ω0(1− cosω0t) .

Eliminacijom vremena iz gornjih jednadžba, lako se vidi da se cestice gibaju po kružnici uravnini (x,z) (dakle u ravnini okomitoj na ~B )

x2 +

(z− mv0

qB0

)2

=v2

0

ω20.

Polumjer te kružnice je

R =

∣∣∣∣ v0

ω0

∣∣∣∣= ∣∣∣∣v0mqB0

∣∣∣∣ .Vidimo da polumjer kružnice ovisi o masi cestica, pa ako se procjep spektrografa postavi kaona slici, na izlazu se mogu dobiti cestice snopa tocno odredene mase, dok ce se ostale cesticeeliminirati iz izlaznog snopa. Iz jednadžbe kružnice se takoder vidi i da smjer zakreta ovisi onaboju cestice, slika 5.1.

5.3 Biot - Savartov zakon

Eksperimentalnim putem je pronadena (Biot i Savart, 1820; Ampère, 1820 - 1825) veza izmeduindukcije magnetskog polja, ~B , i struje I koja prolazi vodicem. Strujni element duljine d~r ′,smješten u vakuumu, slika 5.2, stvara u tocki~r, magnetsko polje indukcije

d~B(~r) =µ0

4πI

d~r ′ × (~r −~r ′)|~r −~r ′|3

.

Konstanta

µ0 = 4π 10−7 T m/A


Slika 5.2: Uz Biot - Savartov zakon.

x

y

z

r

I

r'

d r'

r' -r.d B (r)

se zove PERMEABILNOST VAKUUMA.Ukupna indukcija ~B od cijelog vodica se dobije zbrajanjem indukcija od svakog pojedinogdjelica na koje je podjeljen vodic. U granici kada ova podjela postaje jako fina, zbrajanje prelaziu integraciju, i izraz za ~B postaje

~B(~r) =µ0

4πI∫ d~r ′ × (~r −~r ′)

|~r −~r ′|3.

Element vodica d~r ′ ima smjer struje I, a~r je tocka u kojoj se racuna ~B . U slucaju da struja nijekonstantna duž cijelog presijeka vodica, Umjesto ukupne struje I, treba koristiti gustocu struje ~j

I =∫

~j d~S ′.

Uzmemo li u obzir da gustoca struje ima isti smjer kao i d~r ′, možemo pisati

I∫

d~r ′ =∫

(~j ·d~S ′)d~r ′ =∫

~j (d~S ′ ·d~r ′) =∫

~j d3 r ′ .

Sada Biot-Savartov zakon možemo napisati u opcem obliku

~B(~r) =µ0

4π

∫ ~j (~r ′) × (~r −~r ′)|~r −~r ′|3

d 3 r ′ . (5.6)

U slucaju da se vodic kojim prolazi struja ne nalazi u vakuumu, nego u nekom sredstvu, tada se~B mijenja, a promjena se opisuje tako što u gornji izraz umjesto µ0 dolazi

µ = µ0 µr,

gdje je bezdimenzijska funkcija µr RELATIVNA PERMEABILNOST TVARI koja opisuje promjenuindukcije magnetskog polja uslijed medudjelovanja struje i molekula tvari.

Primjetimo formalnu slicnost izmedu izraza za ~B i izraza za ~E

~E (~r) =1

4πε0

∫ρ(~r ′) · (~r−~r ′)|~r −~r ′|3

d3r ′


~E ⇒ ~B

ρ· ⇒ ~j ×1

4πε0⇒ µ0

4π.

Primjer 5.1 Za vježbu, izracunajmo polje ~B koje stvara beskonacno duga, tanka i ravna žicekojom prolazi stalna struja I, najjednostavniji primjer magnetskog polja. Zbog simetrije žice, ~B

Slika 5.3: Uz racun indukcije magnetskog polja ravne žice.

x

y

zr

I

ce biti isto u svakoj tocki kružnice sa središtem u vodicu i okomite na vodic. Zato je za racunanjepolja, najpogodnije odabrati cilindricni koordinatni sustav. Postavimo koordinatni sustav tako davodic leži na osi z i da struja tece u +~ez smjeru, slika 5.3. Krenimo od izraza

~B(~r) =µ0

4πI∫ d~r ′ × (~r −~r ′)

|~r −~r ′|3,

gdje je ~r ′ = z ′~ez , pa je∫

d~r ′ =~ez∫ +∞−∞ d z ′ kako bi d~r ′ bio u smjeru struje. Tocka u kojoj

racunamo polje je~r = ρ~eρ + z~ez . Uvrštavanjem gornjih izraza u Biot-Savartov zakon, dolazi sedo

~B(~r) =µ0

4πI∫ +∞

−∞d z ′

~ez × (ρ~eρ + z~ez − z ′~ez )

[ρ2 +(z− z ′)2]3/2 .

Buduci da je~ez ×~ez = 0, a~ez ×~eρ =~eϕ , slijedi

~B(~r) =µ0

4πI∫ +∞

−∞d z ′

ρ~eϕ

[ρ2 +(z− z ′)2]3/2 =µ0

4πI ρ~eϕ

∫ +∞

−∞

d z ′

[ρ2 +(z− z ′)2]3/2 .

S trokuta sa slike 5.4, se vidi da je

z− z ′ = ρ tanα,

pa zamjena varijable z ′→ α , vodi na

−d z ′ = ρd α

cos2 α


Slika 5.4: Uz racun indukcije magnetskog polja ravne žice.

z

z – z'

x

y

e

i cijeli integral postaje jednak −sinα/ρ2. Sa iste slike je i

sinα =z− z ′√

ρ2 +(z− z ′)2,

pa izraz za polje postaje

~B(~r) =µ0

4πI ρ~eϕ

−1ρ2

z− z ′√ρ2 +(z− z ′)2

∣∣∣∣∣+∞

−∞

' − µ0

4πI~eϕ

−1ρ

(−z ′

|z ′|

)+∞

−∞

= − µ0

4πI~eϕ

−1ρ

(−1−1).

Tako se dolazi i do konacnog izraza za polje ravne žice

~B(~r) =µ0

2π

Iρ~eϕ . (5.7)

Primjetimo da polje linearno opada s udaljenošcu od žice, ρ , da ima konstantan iznos na kružnici,slika 5.4,

ρ =√

x2 + y2 = const.

i da je smjer polja dan tangentom na kružnicu u tocki promatranja. Gledano iz smjera osi~ez ,silnice ~B su koncentricni plaštovi valjaka sa osi valjaka na osi~ez .

Zadatak 5.1 Riješite problem iz primjera 5.1, ako je žica konacne duljine L.

Rješenje:dovršiti ..

5.4 Sila izmedu dva vodica kojima prolazi struja 73

5.4 Sila izmedu dva vodica kojima prolazi strujaHans Christian Ørsted2: pokusi s privlacenjem i odbijanjem vodica kroz koje prolazi elektricnastruja, slika 5.5. Rezultati ovih pokusa se mogu objasniti djelovanjem Lorentzove sile. Magnetski

Slika 5.5: Hans Christian Ørsted, 1777. - 1851.

I+- I +

-I+

- I +-

dio ove sile kaže da na cesticu naboja q koja se brzinom~v giba u magnetskom polju ~B , djelujesila q~v× ~B . Iz Biot-Savartova zakona znamo da struja proizvodi magnetsko polje, a istovremenostruju cine naboji u gibanju, tako da u gornjim pokusima imamo naboje u jednom vodicu, kojise gibaju u magnetskom polju koje su proizveli naboji u drugom vodicu i zato na njih djelujeLorentzova sila. Buduci da naboji ne mogu izaci van iz vodica, ova se sila prenosi na cijeli vodici rezultira privlacenjem ili odbijanjem dva ravna vodica iz pokusa.

Izracunajmo silu izmedu dvije opcenite strujne petlje, slika 5.6, kojima prolaze struje I1 i I2 i

Slika 5.6: Medudjelovanje dvije petlje kroz koje prolaze struje.

x

z

y

> >

I1

I2

r1 r

2

dr1

dr2r

1- r

2

primjenimo taj rezultat na objašnjenje Oerstedovih pokusa. Elementom vodica d~r, giba se nabojd q, pa je sila na taj naboj jednaka

d ~F = d qd~rd t×~B = I d~r×~B ,

2Hans Christian Ørsted (Rudkøbing, 14. kolovoza 1777. – Kopenhagen, 9. ožujka 1851.) danski je fizicar ikemicar. Ørstedov rad nadahnut je razmišljanjima Immanuela Kanta. Poznat je po tome što je otkrio vezu izmeduelektriciteta i magnetizma, Otkrio je i kemijski element aluminij.


gdje je ~B polje koje stvara struja iz drugog vodica na mjestu prvog vodica. Ukupnu silu na cijelustrujnu petlju Γ1 dobijemo tako da zbrojimo sile na njezine pojedine dijelove. U granici kada tidjelovi postaju išcezavajuce mali, a njihov ukupan broj je puno veci od jedan, ta suma prelazi uintegral

~F =∮

Γ1

I1d~r1 ×~B 2(~r1).

Prema Biot-Savartovu zakonu, ..., polje ~B 2 od struje I2 u tocki~r1 je jednako

~B 2(~r1) =µ0

4πI2

∮Γ2

d~r2 × (~r1 −~r2)

|~r1 −~r2|3.

Uvrstimo li to u izraz za silu, dolazimo do

~F =∮

Γ1

I1d~r1 ×µ0

4πI2

∮Γ2

d~r2 × (~r1 −~r2)

|~r1 −~r2|3.

Preglednije zapisan, gornji izraza daje silu kojom strujna petlja Γ2 djeluje na strujnu petlju Γ1(prema trecem Newtonovu aksiomu, sila na Γ2 je istog iznosa, a suprotnog smjera).

~F =µ0

4πI1 I2

∮Γ1

d~r1 ×∮

Γ2

d~r2 ×~r1 −~r2

|~r1 −~r2|3.

Primjenimo gornji izraz na proracun sile izmedu dva beskonacno duga, ravna, paralelna vodica

Slika 5.7: Medudjelovanje dva ravna vodica koroz koje prolaze struje.

x

z

y

r2

l0

I1

I2

x

y

-e

x

+e

yI1 I

1

I2I

2

razmaknuta za l0, kojima prolaze struje I1 i I2 u naznacenim smjerovima, slika 5.7.

d ~F = I2 d~r2× ~B 1(~r2),

~r2 = l0~eρ + z~ez ,

d~r2 = l0 dϕ~eϕ +dz~ez ,

~B 1(~r2) = ± µ0 I1

2π l0~eϕ ,

gdje se gornji predznak odnosi na struju u +~ez smjeru, a donji na struju u −~ez smjeru. Izravnimuvrštavanjem slijedi

d ~F = I2 (l0 dϕ~eϕ +dz~ez )× (±) µ0 I1

2π l0~eϕ =±dz

µ0

2π

I1 I2

l0(−~eρ ),

5.5 Indukcija magnetskog polja kružne petlje na osi simetrije 75

gdje smo uvrstili~ez ×~eϕ =−~eρ . Time dobivamo konacni izraz za silu po jedinici duljine vodica,

d ~Fd z

=∓ µ0

2π

I1 I2

l0~eρ ,

gdje se predznak (−) odnosi na paralelne struje (privlacna sila), a (+) predznak se odnosi naantiparalelne struje (odbojna sila), slika 5.7.

5.5 Indukcija magnetskog polja kružne petlje na osi simetrije

Kružnom petljom od beskonacno tanke žice, tece struja konstantne jakosti I, slika 5.8. Trebaizracunati ~B na osi simetrije petlje. Racun polja izvan osi simetrije vodi na elipticke integrale,što je problem obraden na kraju ovog odjeljka. Krenimo od Biot-Savartova zakona, ..., u obliku

Slika 5.8: Kružnom petljom prolazi struja jakosti I.

RR

x

y

z

Ir

r'

~B(~r) =µ0

4πI∫ d~r ′× (~r−~r ′)

|~r−~r ′|3,

gdje je

~r = z~ez ,~r ′ = R~eρ , d~r ′ = Rdϕ~eϕ .

Time se za magnetsko polje dobiva

~B(~r) =µ0

4πI∫ 2π

0

Rdϕ~eϕ × (z~ez −R~eρ )

(z2 +R2)3/2 =µ0

4πI

R(z2 +R2)3/2

∫ 2π

0dϕ[z~eρ −R(−~ez )].

Primjetimo da je

~eρ =~ex cosϕ +~ey sinϕ,

pa integracija tog vektora po ϕ u granicama od 0 do 2π , daje nulu (za svaki doprinos u danomsmjeru postoji doprinos istog iznosa, ali u suprotnom smjeru, pa se ta dva doprinosa ukidaju


i konacan je rezultat jednak nuli). Drugi je clan konstantan u ϕ , pa njegova integracija dajejednostavno 2π . Time se za magnetsko polje na osi simetrije dobije konacan izraz

~B(z) =12

µ0IR2

(R2 + z2)3/2 ~ez .

Nazovimo r =√

R2 + z2 udaljenost od tocke na osi ~ez do strujnog elementa petlje i vedimopojam MAGNETSKOG DIPOLNOG MOMENTA

~m =12

∫~r×~j (~r)d3r.

Za struju koja prolazi tankom žicom vrijedi

~j (~r)d3r = I d~r,

pa je

~m =12

I∫~r× d~r.

Specijano, za kružnu petlju je~r = R~eρ , a d~r = Rdϕ~eϕ , što uvršteno u gornji izraz za magnetskidipolni moment daje

~m =12

I∫ 2π

0R~eρ ×Rdϕ~eϕ =

12

IR2~ez 2π = I R2π ~ez ,

ili struja puta površina.Uz gornji izraz za ~m , magnetsko polje na osi petlje možemo napisati kao

~B =µ0

2π

~mr3 . (5.8)

Na velikim udaljenostima od petlje je z >> R je r3 ' z3, pa je i

~B ' µ0

2π

~mz3 . (5.9)

Vidimo da polje opada kao treca potencija udaljenosti. U poglavlju o magnetskom polju u tvari,gdje cemo pokazati da je to karakteristika polja magnetskog dipola.

5.6 Vektorski potencijalVidjeli smo, ..., da se elektricno polje ~E može prikazati kao gradijent jedne skalarne funkcije Vkoju smo nazvali (skalarni) potencijal

~E =−−→∇ V.

Zbog slicnosti integralnih izraza za ~B (5.6) i ~E ..., prirodno je postaviti pitanje, može li se i ~Bnapisati pomocu operatora

−→∇ koji djeluje na nekakav novi potencijal? Odgovor je potvrdan i do

njega cemo doci postupno u nekoliko koraka.

(1) Primjetimo najprije da je

−→∇

1|~r −~r ′|

=− ~r−~r ′

|~r −~r ′|3,

5.6 Vektorski potencijal 77

pri cemu operator−→∇ djeluje samo na necrtkanu varijablu~r. Ovu je relaciju lako dokazati, racu-

najuci njezine komponente u pravokutnom koordinatnom sustavu. Tako se npr. za komponentu xdobije

~ex∂

∂ x

[(x− x′)2 +(y− y′)2 +(z− z ′)2]−1/2

=−~ex

2[(x− x′)2 +(y− y′)2 +(z− z ′)2]−3/2

2(x− x′)

= − x− x′

|~r −~r ′|3~ex .

I slicno za ostale komponente. Ovime Biot-Savartov zakon (5.6) postaje

~B(~r) =− µ0

4π

∫~j (~r ′) ×

−→∇

1|~r −~r ′|

d 3 r ′ . (5.10)

(2) Izracunajmo sada cemu je jednako

−→∇ ×

[~j (~r ′) · g(~r,~r ′)

],

pri cemu opet−→∇ djeluje samo na necrtkanu varijablu~r, a g(~r,~r ′) je derivabilna skalarna funkcija

u varijablama~r i~r ′. Pogledajmo samo x-komponentu gornjeg izraza

∂

∂ y

[jz(~r ′)g(~r,~r ′)

]− ∂

∂ z

[jy(~r ′)g(~r,~r ′)

]= jz(~r ′)

∂ g(~r,~r ′)∂ y

− jy(~r ′)∂ g(~r,~r ′)

∂ z

=−[

jy(~r ′)∂ g(~r,~r ′)

∂ z− jz(~r ′)

∂ g(~r,~r ′)∂ y

]= −

[~j (~r ′) ×

−→∇ g(~r,~r ′)

]x.

Slicnim se putem mogu racunati i y i z komponente, što sve zajedno daje

−→∇ ×

[~j (~r ′) · g(~r,~r ′)

]= −~j (~r ′) ×

−→∇ g(~r,~r ′). (5.11)

Ako se za funkciju g odabere

g(~r,~r ′) =1

|~r −~r ′|,

tada izraz (5.11), glasi

~j (~r ′) ×−→∇

1|~r −~r ′|

=−−→∇ ×

~j (~r ′)|~r −~r ′|

.

No, lijeva strana gornjeg izraza je upravo ono što se pojavljuje pod integralom izraza (5.10) za ~B ,tako da za Biot-Savartov zakon možemo pisati

~B(~r) =− µ0

4π

∫(−)−→∇ ×

~j (~r ′)|~r −~r ′|

d 3 r ′ =−→∇ × µ0

4π

∫ ~j (~r ′)|~r −~r ′|

d 3 r ′ .

Time smo dobili da se indukcija magnetskog polja može napisati kao rotacija jednog vektorskogpolja koje zovemo VEKTORSKI POTENCIJAL ~A .

~A(~r) =µ0

4π

∫ ~j (~r ′)|~r −~r ′|

d 3 r ′ . (5.12)


Primjetimo formalnu slicnost s izrazom za skalarni potencijal

V (~r) =1

4πε0

∫ρ(~r ′)|~r −~r ′|

d 3 r ′ .

Skalarni potencijal potjece od naboja, a vektorski od struja.

Uz ovakvu definiciju vektorskog potencijal ~A , je indukcija magnetskog polja dana sa

~B =−→∇ × ~A , (5.13)

slicno kao što je i ~E =−−→∇ V .

Prema Helmholtzovu teoremu, svako je vektorsko polje u cjelosti odredeno zadavanjemsvoje divergencije i svoje rotacije. Izracunajmo najprije divergenciju ~B .

−→∇~B =

∂ Bx

∂ x+

∂ By

∂ y+

∂ Bz

∂ z.

No, ~B =−→∇ × ~A , pa je

Bx =∂ Az

∂ y−

∂ Ay

∂ z,

By =∂ Ax

∂ z− ∂ Az

∂ x,

Bz =∂ Ay

∂ x− ∂ Ax

∂ y,

stoga je i

−→∇~B =

∂

∂ x

[∂ Az

∂ y−

∂ Ay

∂ z

]+

∂

∂ y

[∂ Ax

∂ z− ∂ Az

∂ x

]+

∂

∂ z

[∂ Ay

∂ x− ∂ Ax

∂ y

]= 0,

nakon ukidanja mješovitih derivacija. Time smo došli do TRECE MAXWELLOVE JEDNADŽBE uobliku

−→∇~B = 0. (5.14)

U usporedbi s jednadžbama ...

−→∇~E =

ρ

ε0

i ...

−→∇~j =−∂ ρ

∂ t,

u kojima se na desnoj strani pojavljuju IZVORI vektorskih polja - naboj kao izvor elektricnogpolja i vremenska promjena naboja kao izvor struje, ovdje je desna strana jednaka nuli. Stogase relacija (5.14) interpretira kao tvrdnja da NE POSTOJE MAGNETSKO MONOPOLI. Drugim


rjecima, nemoguce je razdvojiti s jeverni od južnog magnetskog pola. Za usporedbu, kada bibilo nemoguce razdvojiti pozitivne od negativnih elektricnih naboja, na desnoj strani jednadžbe−→∇~E = ρ/ε0, uvijek bi ukupna gustoca naboja bila jednaka nuli

ρ = ρ++ρ− = 0

i dobili bismo istu jednadžbu za divergenciju kao i kod magnetskog polja. Nesimetrija u jed-nadžbama za divergenciju elektricnog i magnetskog polja, odražava temeljnu razliku u podrijetluelektricnog (iz naboja) i magnetskog (iz struja) polja.

Primjenom Gaußova teorema na trecu Maxwellovu jednadžbu (5.14)∫V (S)

d3 r−→∇~B︸︷︷︸= 0

=∮

S~B d~S

0 =∮

S~B d~S ,

dolazimo do iskaza da je tok magnetskog polja kroz bilo koju zatvorenu plohu uvijek jednak nuli,tj. onoliko silnica koliko ude u plohu, toliko i izade. Sjetimo se da je u slucaju elektricnog polja,tok kroz zatvorenu plohu bio srazmjeran ukupnom elektricnom naboju sadržanom unutar plohe(Gaußov zakon). Prema tome možemo reci i da svaka zatvorena ploha sadrži jednako mnogopozitivni i negativnih (ili sjevernih i južnih) magnetskih polova, tako da se ukupan tok od jednihi drugih (jedni su izvori, a drugi su ponori polja) poništi i daje za ukupan tok nulu.

5.7 Ampèreov zakonAmpèreov zakon je magnetski ekvivalent Gaußova zakona sa strane ... .

Od ranije, (5.7), nam je poznat izraz za indukciju magnetskog polja beskonacno duge ravnežice kojom prolazi konstantna struja jakosti I

~B(~r) =µ0

2π

Iρ~eϕ .

Neka je jedna takva žica postavljena duž osi z, sa strujom koja tece u u +~ez smjeru. Izracunatcemo cirkulaciju ~B po dvije krivulje - najprije po krivulji koja ne obuhvaca struju, a zatim i pokrivulji koja obuhvaca struju.

PETLJA NE OBUHVACA STRUJU

Izracunajmo cirkulaciju ~B po krivulji sa slike 5.9.A∮c~B d~r =

∫ B

A~B d~r+

∫ C

B~B d~r+

∫ D

C~B d~r+

∫ A

D~B d~r

= −BA lAB +0+BD lCD +0.

Drugi i cetvrti od gornjih integrala, su jednaki nuli zbog okomitosti vektora ~B i d~r. Na dijelovimaAB i CD je polje konstantno, pa se može izluciti ispred integrala, dok je sam integral tada jednakduljini luka tog dijela krivulje (minus u prvom clanu dolazi od suprotnog smjera ~B i d~r).Uvrštavanjem izraza za polje i duljinu luka, dolazi se do∮

c~B d~r =−µ0 I

2π

1ρA

ρA ϕ0 +µ0 I2π

1ρB

ρB ϕ0 = 0.


Slika 5.9: Uz izvod Ampèreova zakona - petlja ne obuhvaca struju.

x

y

(A)

B

I

A

BC

D

< <

<

<

y

Ix

(B)

Opcu krivulju, na slici 5.9.B, možemo zamisliti kao da je sastavljena od mnoštva malih krivuljarazmatranog oblika, i tako zakljuciti da je∮

c~B d~r = 0

za proizvoljnu krivulju koja NE OBUHVACA ravni vodic.

PETLJA OBUHVACA STRUJU

Promatrajmo sada cirkulaciju po kružnici u ravnini (x,y) sa središtem u ishodištu, slika 5.10.A.Na kružnici je polje konstantno, pa je∮

c~B d~r = ~B

∮c

d~r =µ0 I2π ρ

· 2π ρ = µ0 I. (5.15)

Primjetimo da rezultat ne ovisi o polumjeru kružnice.Kolika je cirkulacija po nekoj opcoj krivulji c, slika 5.10.B, koja obuhvaca ravni vodic? Ako

Slika 5.10: Uz izvod Ampèreova zakona - petlja obuhvaca struju.

x

y (A) (B) (C)

I

<B

x

y

I

<c

x

y

I

<c'

d1d

2

k

umjesto krivulje c, promotrimo krivulju c′ = c+d1 +d2 + k koja ne obuhvaca struju, znamo daje ∮

c′~B d~r = 0.


No, gornji integral možemo rastaviti na slijedeci nacin∮c′=∫

c+∫

k+∫

d1

+∫

d2

U integralima po d1 i d2 su ~B i d~r medusobno okomiti, pa su ti integrali jednaki nuli. Integral pokružnici je poznat iz (5.15). Ako razmak δ odaberemo išcezavajuce malim, tada je

0 =∮

c~B d~r−µ0 I +0+0

(predznak minus dolazi od suprotnih smjerova ~B i d~r). Time smo za proizvoljnu krivulju c,dobili rezultat

∮c~B d~r = µ0 Ic. (5.16)

gdje je Ic ukupna struja obuhvacena krivuljom c. Ova se jednadžba zove AMPÈREOV ZAKON

i u odredenom smislu predstavlja magnetostatski analogon elektrostatskog Gaußovog zakona(1.10)∮

S~E d~S =

QS

ε0.

Ampèreov zakon možemo transformirati Stokesovim teoremom∮c~B d~r = µ0

∫S(c)

~j d~S

∮S(c)

(−→∇ × ~B)d~S = µ0

∫S(c)

~j d~S .

Buduci da gornja jednakost vrijedi za proizvoljne plohe definirane krivuljom c, moraju i podinte-gralne funkcije biti jednake

−→∇ × ~B = µ0~j . (5.17)

Gornja jednadžba se zove CETVRTA MAXWELLOVA JEDNADŽBA i predstavlja diferencijalnioblik Ampèreovog zakona. Ona je izvedena na primjeru polja ravnog vodica, a sada cemopokazati da vrijedi i opcenito. Zapocnimo s

−→∇ ×~B =

−→∇ × (

−→∇ ×~A) =

−→∇ (−→∇~A)−∇2~A , ~A(~r) =

µ0

4π

∫ ~j (~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′ .

=µ0

4π

[−→∇(∫

~j (~r ′)d3r ′−→∇

1|~r −~r ′|

)−∫~j (~r ′)d3r ′∇2 1

|~r −~r ′|

].

Operator−→∇ djeluje na varijablu~r, a

−→∇ ′ na~r ′, pa je Od ranije, ..., znamo da je

−→∇

1|~r −~r ′|

= −−→∇ ′

1|~r −~r ′|

,

∇2 1|~r −~r ′|

= −4πδ (|~r −~r ′|).


Uvrštavanjem gornjih izraza u rotaciju ~B , dolazimo do

−→∇ ×~B =

µ0

4π

[−−→∇(∫

~j (~r ′)d3r ′−→∇ ′

1|~r −~r ′|

)−∫~j (~r ′)d3r ′ (−)4πδ (|~r −~r ′|)

].

Parcijalnom integracijom prvog clana desne strane dobiva se

−→∇ ×~B =

µ0

4π

[−−→∇∫

d3r ′(−→∇ ′

~j (~r ′)|~r −~r ′|

−−→∇ ′~j (~r ′)|~r −~r ′|

)+4π~j (~r)

]

= µ0~j (~r)−µ0

4π

−→∇∫

d3r ′−→∇ ′

~j (~r ′)|~r −~r ′|

+−→∇∫

d3r ′−→∇ ′~j (~r ′)|~r −~r ′|

. (5.18)

Primjenom Gaußovog teorema na prvi integral desne strane, dobiva se

∫d3r ′−→∇ ′

~j (~r ′)|~r −~r ′|

=∮

S′

~j (~r ′)|~r −~r ′|

d~S ′.

Uzmemo li za S′ plohu u beskonacnosti, struja na toj plohi išcezava i cijeli je taj integral jednaknuli.Unutar volumena definiranog plohom S′ ukupan naboj se niti povecava niti smanjuje s vremenom,tj.

∂ρ

∂ t= 0,

pa je prema jednadžbi kontinuiteta, ...,

−→∇ ′~j (~r ′) =−∂ρ(~r ′)

∂ t= 0,

pa je i drugi integral desne strane (5.18) jednak nuli. Tako smo u ovom opcem slucaju, dakle zaprizvoljnu raspodjelu struja (a ne samo za ravnu žicu), dobili jednadžbu

−→∇ ×~B = µ0~j .

Zadatak 5.2 Dugacki koaksijalni kabel se sastoji od dva koncentricna vodica.Unutarnji je vodic puni valjak polumjeraR1, a vanjski je vodic šuplji valjak unu-tarnjeg polumjera R2 i vanjskog R3. Krozta dva vodica teku po iznosu iste, a posmjeru suprotne struje± I~ez (slika desno).U svakom vodicu posebno, gustoca strujeje konstantna po presjeku. Odredite ~Bsvuda u prostoru.

x

y

+I ez

-I ez

Rješenje:Zbog simetrije problema, zadatak cemo rješavati u cilindricnom koordinatnom sustavu (ρ,ϕ,z).Takoder na temelju simetrije, a bez ikakvog racuna, zakljucujemo da magnetsko polje mora bitioblika

~B = B(ρ)~eϕ .


Zadatak cemo riješiti primjenom Ampèreovog zakona, (5.16),∮c~Bd~r = µ0Ic.

Za krivulju c cemo uzimati kružnicu polumjera ρ , zato jer na kružnici polje konstantno i kaotakvo ide ispred znaka integracije, integral

∮c d~r naprosto daje opseg kružnice 2ρπ . Struja Ic je

sva struja koja prolazi plohom definiranom krivuljom c.Prije nego krenemo s izracunavanjem polja, nadimo gustoce struja u unutarnjem i vanjskomvodicu. Buduci da su gustoce konstantne, one su jednostavno dane omjerom I i površinepoprecnog presjeka vodica kojim prolaze

~j 0,u =I

R21π

~ez ,

~j 0,v =I

(R23−R2

2)π(−~ez ).

Ocito je da postoje cetiri karakteristicne situacije prikazane na slici 5.11.


x

y

+I ez

R1 x

y

+I ez

-I ez

(A) (B)

x

y

+I ez

-I ez

(D)

x

+I ez

-I ez

(C)

(A) (ρ < R1), Ic = j0,uSc:

B(ρ)2ρπ = µ0Ic = µ0 j0,uρ2π

B(ρ) =µ0

2I

R21π

ρ

~B(ρ) =µ0

2π

IR2

1ρ ~eϕ


Iznos polja linearno raste s udaljenošcu od osi z.

(B) (R1 ≤ ρ ≤ R2), Ic = j0,uSc = I:

B(ρ)2ρπ = µ0I

~B(ρ) =µ0

2π

Iρ~eϕ

Iznos polja linearno opada s udaljenošcu od osi z.

(C) (R2 ≤ ρ ≤ R3), Ic = I− j0,v(ρ2−R22)π:

B(ρ)2ρπ = µ0Ic = µ0[I− j0,v(ρ2−R22)π]

B(ρ) =µ0

2πρ

[I− I

(R23−R2

2)π(ρ2−R2

2)π

]

B(ρ) =µ0I2π

1ρ

R23−R2

2−ρ2 +R22

R23−R2

2

~B(ρ) =µ0I2π

1ρ

R23−ρ2

R23−R2

2~eϕ

Nacrtati ovisnost B = B(ρ).

(D) (ρ ≥ R3), Ic = I− I = 0:

B(ρ)2ρπ = µ0(I− I)~B(ρ) = 0

Izvan koaksijalnog vodica, indukcija mgnetskog polja je jednaka nuli.

5.8 Baždarna preobrazbaDo sada smo izveli cetiri Maxwellove jednadžbe: divergenciju i rotaciju elektricnog i magnetskogpolja. taj sustav jednadžba je nepovezan u smislu da se u jednadžbama pojavljuju ili magnetskoili elektricno polje, ali nikada oba zajedno. Kada budemo promatrali i vremenske promjene polja,to više nece biti tako.

−→∇ · ~E =

ρ

ε0,

−→∇ × ~E = 0, ~E =−

−→∇V,

−→∇ · ~B = 0,

−→∇ × ~B = µ0~j , ~B =

−→∇ ×~A .

Primjetimo sada da u zapisu ~B =−→∇ × ~A , postoji odredena sloboda u izboru vektora ~A . Naime i

vektor ~A i vektor

~A +−→∇ Ψ


daju ISTO magnetsko polje ~B za proizvoljnu skalarnu funkciju Ψ.Ovu je tvrdnju lako provjeriti: neka je

−→∇ × ~A = ~B , izracunajmo

−→∇ × (~A +

−→∇ Ψ) =

−→∇ × ~A +

−→∇ × (

−→∇ Ψ) = ~B +

−→∇ × (

−→∇ Ψ).

No, lako je uvjeriti se da je−→∇ × (

−→∇ Ψ) = 0

−→∇ × (

−→∇ Ψ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~ex ~ey ~ez

∂

∂ x∂

∂ y∂

∂ z

∂ Ψ∂ x

∂ Ψ∂ y

∂ Ψ∂ z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=~ex

(∂ 2 Ψ

∂ y ∂ z− ∂ 2 Ψ

∂ z ∂ y

)+~ey 0+~ez 0 = 0.

Preobrazba koja mijenja

~A → ~A +−→∇ Ψ,

a koja ne mijenja ~B , zove se BAŽDARNA ili gauge preobrazba. Kaže se da je ~B invarijantno nabaždarnu preobrazbu.

Kao što smo u elektrostatici našli diferencijalnu jednadžbu za skalarni potencijal (Poissonovaili Laplaceova jednadžba, ...), tako cemo sada naci koju diferencijalnu jednadžbu zadovoljavavektorski potencijal.

−→∇ × ~B =

µ0~j

−→∇ × (

−→∇ × ~A) =

−→∇ (−→∇ ·~A)−∇2~A ,

iz cega slijedi da je−→∇ (−→∇ ·~A)−∇2~A = µ0~j .

Pokažimo da baždarna invarijantnost ~B dozvoljava odabir takvog ~A da bude−→∇ ·~A = 0. Krenimo

od pretpostavke da je−→∇ ·~A = f (x,y,z) 6= 0 i izvedimo baždarnu preobrazbu

−→∇ · (~A +

−→∇ Ψ) = f (x,y,z)

−→∇ ·~A +∇2 Ψ = f (x,y,z).

No Ψ je proizvoljna funkcija, pa ju možemo odabrati tako da ona bude rješenje jednadžbe

∇2 Ψ = f (x,y,z)

(primjetimo da ova jednadžba ima oblik Poissonove jednadžbe, ...), iz cega odmah slijedi−→∇ ·~A = 0.

Odabir baždarne funkcije Ψ tako da bude−→∇ ·~A = 0, se zove COULOMBOVO BAŽDARENJE. Uz

takvo baždarenje, dolazi se, iz ..., do diferencijalne jednadžbe za ~A

∇2~A =−µ0~j , (5.19)


koja je magnetostatski analog Poissonove jednadžbe

∇2 V =− ρ

ε0.

Primjetimo da uz Coulombovo baždarenje, vektorski potencijal zadovoljava istu jednadžbu kao ipolje ~B , tj.

−→∇~A =

−→∇~B = 0,

oba polja su bezizvorna.

Pokažimo da je (5.12) jedno partikularno rješenje jednadžbe (5.19).

∇2~A(~r) =µ0

4π

∫~j (~r ′)∇2 1

|~r −~r ′|d3r ′ , ∇2 1

|~r −~r ′|=−4πδ (|~r −~r ′|)

=µ0

4π(−4π)

∫~j (~r ′)δ (|~r −~r ′|)d3r ′

= −µ0~j (~r). Q.E.D.

Zadatak 5.3 Izracunajte vektorski potencijal beskonacno dugog i beskonacno tankog ravnogvodica (žice) kojim tece stalna struja jakosti I.

Rješenje:Postavimo koordinatni sustav tako da strujatece o +~ez smjeru. Od ranije, ..., znamoizraz za magnetsko polje tankog ravnog vo-dica

~B =µ0I2π

1ρ~eϕ ,

~eϕ = −~ex sinϕ +~ey cosϕ,

ρ =√

x2 + y2x

y

zI ez

r

~B =µ0I2π

−~ex sinϕ +~ey cosϕ√x2 + y2

sinϕ =yρ, cosϕ =

xρ,

Bx = −µ0I2π

1ρ

yρ=−µ0I

2π

yx2 + y2

By =µ0I2π

xx2 + y2

Bz = 0.

Magnetsko polje i vektorski potencijal su povezani operacijom rotacije, ..., ~B =−→∇ ×~A ili po


komponentama

Bx =∂Az

∂y−

∂Ay

∂ z,

By =∂Ax

∂ z− ∂Az

∂x,

Bz =∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y.

No, kako je

~A =µ0

4π

∫ ~j (~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′ ,

a struja ima smjer osi z, to zakljucujemo da je samo z komponenta vektorskog potencijala razlicitaod nule, ~A = Az~ez .

Bx =∂Az

∂y=−µ0I

2π

yx2 + y2

By = −∂Az

∂x=

µ0I2π

xx2 + y2

Integracija gornjih jednadžba je elementarna i daje

Az = −µ0I4π

ln(x2 + y2)+ const.

~A = −~ezµ0I4π

ln(x2 + y2)+~c.

Primjetimo da vektorski potencijal raste s udaljenošcu od vodica. Konstanta~c se odabire tako dau beskonacnosti bude ~A = 0. Iz gornjeg izraza se vidi da je

−→∇~A =~ez ∂Az/∂ z = 0 i bez baždarne

transformacije. Isti se rezultat dobiva i izravnom integracijom integralnog izraza za ~A , ...,

~A =µ0

4π

∫ ~j (~r ′

|~r −~r ′|d3r ′ =

µ0

4πI∫ d~r ′

|~r −~r ′|.

U gornjem integralu je~r ′ = z ′~ez ,d~r ′ = dz ′~ez ,~r = ρ~eρ + z~ez . Buduci da je vodic beskonacnodug u smjeru osi z, to rezultat mora biti isti za svaki z, pa radi jednostavnostimožemo uzeti da jez = 0. Time za ~A dobivamo

~A(~r) =µ0

4πI∫ +∞

−∞

dz ′~ez√ρ2 + z ′2

=~ezµ0

4πI ln[z ′+

√ρ2 + z ′2].


~A(~r) =µ0

4πI∫ +∞

−∞

dz ′~ez√ρ2 + z ′2

=µ0

4πI~ez ln[z ′+

√z ′+ρ2]+∞

−∞

= ~ezµ0

4πI lim

z0→+∞ln[z ′+

√z ′2 +ρ2]+z0

−z0

= ~ezµ0

4πI lim

z0→+∞ln

z0 +√

z20 +ρ2

−z0 +√

z20 +ρ2

= ~ezµ0

4πI lim

z0→+∞ln

z0[1+√

1+ρ2/z20]

z0[−1+√

1+ρ2/z20]

Sada na korjen primjenimo Taylorov razvoj√

1+ x = 1+ x/2+ · · · , uz x = ρ2/z20 i dobijemo

~A = ~ezµ0

4πI lim

z0→+∞ln

1+1+ 12 ρ2/z2

0 + · · ·−1+1+ 1

2 ρ2/z20 + · · ·

~A = ~ezµ0

4πI ln

212 ρ2/z2

0=−~ez

µ0

4πI lnρ

2 +~c,

dakle isto kao i racunom preko ~B . Ovdje eksplicite vidimo da konstanta~c cini da je beskonacnodaleko od vodica, potencijal jednak nuli.

5.9 Polje tockastih naboja u gibanjuNeka se struja tockastih naboja iznosa q giba u oznacenom smjeru brzinom ~v, slika 5.12, pricemu je v << c, tako da se relativisticki ucinci mogu zanemariti. Izracunajmo magnetsko polje

Slika 5.12: Uz racun polja tockastog naboja u gibanju.

x

y

z

r'v

r

r – r'

ove struje naboja, krenuvši od Biot-Savartova zakona, ...,

d~B(~r) =µ0

4π

~j (~r ′)× (~r−~r ′)|~r −~r ′|3

dV ′.

5.9 Polje tockastih naboja u gibanju 89

Za tockaste naboje je gustoca struje

~j (~r ′) = nq~v(~r ′),

gdje je

n =dNdV ′

brojcana gustoca naboja, tj. broj naboja unutar volumena dV ′, pa je

d~B =µ0

4πnq~v× (~r−~r ′)|~r −~r ′|3

dV ′.

Gornje d~B je polje od dN naboja, pa je polje od jednog naboja jednako

~B =d~BdN

=µ0

4πq~v× (~r−~r ′)|~r −~r ′|3

.

Prisjetimo li se izraza za elektricno polje koje u tocki~r stvara tockasti naboj iznosa q smješten utocki~r

~E (~r) =1

4πε0q

~r−~r ′

|~r −~r ′|3,

vidimo da se magnetsko polje polje može napisti u obliku

~B = µ0ε0~v×~E .

Iz ove se relacije jasno vidi da su ~B i ~E , medusobno okomiti vektori. Kasnije, ..., ce se pokazatida je

µ0 ε0 =1c2 ,

tako da gornja jednadžba glasi i

~B =~vc2 ×~E .

Na slican nacin se može doci i do izraza za vektorski potencijal.

~A(~r) =µ0

4π

∫ ~j (~r ′)|~r−~r ′|

dV ′.

Uvrsti li se za gustocu struje izraz kao gore, dolazi se do vektorskog potencijala dN naboja

d~A(~r) =µ0

4π

nq~v(~r ′)|~r−~r ′|

dV ′,

tj. do vektorskog potencijala pojedinog naboja u gibanju

~A(~r) =d~A(~r)

dN=

µ0

4πq~v(~r ′)|~r−~r ′|

.

6. Vremenski promjenjivo elektromagnetsko polje

PROMATRA SE SUSTAV koji se može

6.1 Gibanje vodica u jednolikom magnetskom poljuPrema Biot-Savartovu zakonu, ..., naboji u gibanju, tj. struje, stvaraju oko sebe magnetsko polje.Sada se može postaviti pitanje vrijedi li i obrat ove tvrdnje: može li magnetsko polje izazvatistruju, tj. gibanje naboja. Promatrat cemo opcenito magnetsko polje opisani svojom indukcijom~B , koje može ovisiti i o prostornoj koordinati~r i o vremenu t

~B = ~B(~r, t).

Neka je, za pocetak, ~B konstantno i u~r i u t i usmjereno kao na slikama 6.1 Na slobodne naboje

Slika 6.1: Ravni vodic se giba u homogenom magnetskom polju.

x

y

z

v

B

x

y

z

v

B

FL(+q)

FL(-q)

unutar ravnog vodica koji se giba brzinom~v, djeluje Lorentzova sila, ...,

~FL = q~v× ~B = qv~ey ×B~ez = qvB~ex ,

92 Poglavlje 6. Vremenski promjenjivo elektromagnetsko polje

koja ce negativne naboje slati u −~ex smjeru i time na suprotnom kraju štapa stvarati višakpozitivnog naboja. Ovaj ce se proces odvijati sve dotle dok se kulonska sila od naboja narubovima vodica ne izjednaci po iznosu s Lorentzovom silom, nakon cega GIBANJE NABOJA

PRESTAJE.

qE = qvB.

Možemo zakljuciti da gibanje naboja u konstantnom magnetskom polju, vodi na stvaranje razlikepotencijala (napona) na rubovima vodica, ali ne i do struje kroz vodic (osim u kratkom vremenuprije uspostave ravnoteže, što je zanemarivo).

Hoce li se situacija promijeniti, ako umjesto ravnog vodica postavimo petlju oblika kao naslici 6.2? Ne bitno: Negativni naboji ce se nagomilavati na jednoj stranici vodica ( u−~ex smjeru),dok ce se na suprotnoj stranici pojaviti višak pozitivnog naboja. Nakon kraceg vremena ce seuspostaviti ravnoteža kao i u prethodnom primjeru i struja opet nece teci petljom. Faradayevo

Slika 6.2: Vodic u obliku petlje se giba u homo-genom magnetskom polju.

x

y

z

v

B

+ + + + + + +

- - - - - - - -

Slika 6.3: Michael Faraday (Newington Butts,22. IX 1791. - Hampton Court 25. VIII 1867.),britanski fizicar i kemicar

se otkrice sastoji u tome da tek gibanje vodica u NEJEDNOLIKOM magnetskom polju, vodi napojavu struje u vodicu. Svejedno je je li polje nejednoliko U PROSTORU (slabije u jednom dijelu,a jace u drugom dijelu prostora) ili U VREMENU (cas je jace cas slabije).

Za primjer promatrajmo petlju vodica koja se giba u magnetskom polju male zavojnice krozkoju prolazi stalna struja I. Buduci da se struja ne mijenja u vremenu, ni polje zavojnice se necemijenjati u vremenu, ali ce zato biti promjenjivo u prostoru - naime njegova ce jakost opadati sudaljavanjem od zavojnice (slika). Primjetimo da sada Lorentzova sila

~FL = qvB(y)~ex

na naboje u stranicama petlje oznacenim s (2) i (4) nije ista, jer ni jakost indukcije magnetskogpolja u tim tockama nije ista. Isto tako primjetimo da sada smjer djelovanja Lorentzove sile (~ex )i smjer gibanja naboja tj. vodica (~ey ) nisu isti (kao što su isti npr. kod gibanja slobodnih nabojau elektromagnetskom polju), pa ni rad magnetskog dijela Lorentzove sile sada nece biti jednaknuli. Izracunajmo rad Lorentzove sile

~FL = qvB~ex = FL~ex

6.1 Gibanje vodica u jednolikom magnetskom polju 93

Slika 6.4: Vodic u obliku petlje se giba u nehomogenom magnetskom polju.

x

y

z

v

B ( r )

I>

> > > >12

34

po kvadratnoj petlji duljine stranice l vodica sa slike, tako što cemo racunati doprinose od svakestranice posebno.

W =∮

~FL ·d~r

=∫

1FL~ex ·dy~ey +

∫2

FL~ex ·dx(−~ex )+∫

3FL~ex ·dy(−~ey )+

∫4

FL~ex ·dx~ex

= 0+qvB2 · (−l)+0+qvB4 · (+l) = qvl(B4−B2)> 0.

Time smo za rad Lorentzove sile po zatvorenoj petlji dobili pozitivnu vrijednost, ako je poljenejednoliko, a nulu ako je polje jednoliko (B2 = B4). Rad Lorentzove sile po jedinicnom nabojuse zove ELEKTROMOTORNA SILA i oznacava se s E . Iako se zove sila, po svojoj dimenziji je EPOTENCIJAL i mjeri se u voltima.

E =1q

∮~FL ·d~r = vl(B4−B2).

Povežimo gornji rezultat s promjenom toka magnetskog polja kroz petlju, tako što cemo proma-trati tok polja ~B kroz površinu definiranu petljom sa slike 6.5.

Φ =∫

~Bd~S =∫

B~ez dS~ez .

U kratkom vremenskom intervalu dt se tok na lijevoj strani smanji za B4lvdt, a na desnoj sestrani poveca za B2lvdt, pa je ukupna promjena toka jednaka: povecanje toka minus njegovosmanjenje

dΦ = (B2−B4)lvdt

dΦdt

= −(B4−B2)lv =−E .


Slika 6.5: Tok magnetskog polja kroz površinu petlje koja se giba.

B4

B2

t t + d t

ds = v dt

Time smo došli do uobicajenog zapisa FARADAYEVOG ZAKONA ELEKTROMAGNETSKE INDUK-CIJE u obliku

E =−dΦdt

. (6.1)

Promjena toka ~B kroz zatvorenu vodicku petlju, inducira u petlji struju jakosti I u skladu sOhmovim zakonom

I =E

R.

Do gornjeg izraza za elektromotornu silu smo došli promatrajuci ~B koji se mijenjao u prostoru,ali je bilo nepromjenjivo u vremenu.

No, Faraday je radio i pokuse slijedeceg tipa: pomocu promjenjivog otpornika na uredaju saslike 6.6, mijenjao je jakost struje kroz zavojnicu, a time i indukciju magnetskog polja na mjestupetlje koja sada miruje. Promjena indukcije magnetskog polja je znacila i promjenu toka poljakroz petlju koja je, u skladu s (6.1), izazvala protok struje kroz vodic.

Treca je mogucnost da se promjena toka polja izazove ne promjenom polja, nego promjenompovršine vodicke petlje. I u ovom se slucaju dobije elektromotorna sila istog oblika kao i uprethodnim primjerima.

Zakljucak je da je za pojavu struje u petlji važna PROMJENA TOKA magnetskog poljakroz petlju vodica, bez obzira dolazi li ta promjena od prostornih ili vremenskih promjena

6.1 Gibanje vodica u jednolikom magnetskom polju 95

Slika 6.6: Tok vremenski promjenjivog magnetskog polja kroz površinu petlje koja miruje.

v = 0

B ( r, t )

R

magnetskog polja ili od površine vodicke petlje. U situaciji kada petlja vodica miruje, magnetskidio Lorentzove sile je jednak nuli (jer je brzina naboja unutar vodica jednaka nuli), pa unutarpetlje mora postojati elektricno polje

~E =~Fel

q,

koje djeluje na naboje u vodicu

E =1q

∮~Fel ·d~r =

∮~E ·d~r.

S druge strane je, prema ...,

E =−dΦdt

,

iz cega slijedi∮~E ·d~r =−dΦ

dt.

Gornja jednadžba u integralnom obliku predstavlja sažetak eksperimentalnih rezultata M. Fara-daya. Koristeci Stokesov teorem, ..., tu jednadžbu možemo napisati i u diferencijalnom obliku,na slijedeci nacin∮

c~E ·d~r = −dΦ

dt∫S(c)

(−→∇ × ~E )d~S = − d

dt

∫S(c)

~B d~S .

Buduci da gornja jednadžba vrijedi za svaku plohu S(c), moraju i podintegralne funkcije bitijednake

−→∇ × ~E =−∂~B

∂ t. (6.2)


Time smo dobili DRUGU MAXWELLOVU JEDNADŽBU, ali ovaj puta za vremenski promjenjivapolja. U statickom je slucaju,

∂~B∂ t

= 0 ⇒−→∇ × ~E = 0,

dobiva se relacija ... .

6.1.1 Lenzovo praviloStruja koja indukcijom nastane u vodicu Iind , stvara oko sebe novo magnetsko polje koje cemozvati inducirano polje ~B ind . Smjer induciranog polja i smjer inducirane struje, povezani su pravi-lom desne ruke (slika 6.7). Smjer inducirane struje cemo objasniti na primjeru gibanja vodicke

Slika 6.7: Smjerovi inducirane struje Iind i ~B ind .

B4 B

2

B4 > B

2

Bind

v

Iind

Slika 6.8: Ilustracija Lenzova pravila.

B

Bind

v

> > > > >

Iind

petlje u prostorno nejednolikom magnetskom polju (slika 6.7). Buduci da je B4 > B2, gibanjempetlje tok se magnetskog polja smanjuje, pa je desna strana (6.1) pozitivna. Zakljucujemo da je ilijeva strana pozitivna, tj. da elektromotorna sila tjera struju u oznacenom smjeru (kao na slici6.7), a inducirano magnetsko polje je usmjereno prema gore.

Ovo se opažanje može sažeti u tvrdnju, LENZOVO PRAVILO, da ce elektromotorna sila uvijekinducirati takvu struju koja ce se svojim induciranim magnetskim poljem PROTIVITI pojavi kojaju je izazvala. Npr. u gornjem primjeru, indukciju izaziva smanjenje vanjskog magnetskog polja,a inducirano magnetsko polje nastoji sprijeciti to smanjenje vanjskog polja.

Lenzovo pravilo možemo ilustrirati i na slijedecem primjeru: metalni prsten pada u mag-netskom polju zavojnice, slika 6.8. Porast jakosti polja zavojnice izaziva elektromotornu silu uprstenu. Prema Lenzovu pravilu, u prstenu ce se inducirati takva struja koja ce svojim poljem nas-tojati sprijeciti porast vanjskog polja, pa ce dakle biti u smjeru suprotnom smjeru vanjskog polja(slika 6.8). Nakon što smo odredili smjer induciranog polja, smjer inducirane struje odredujemopravilom desne ruke.

6.1.2 Izmjenicna strujaPromatrajmo pravokutnu vodicku petlju površine S koja se vrti jednolikom kutnom brzinomω u prostorno i vremenski nepromjenjivom magnetskom polju ~B , slika 6.9. Uslijed vrtnjevodicke petlje, tok magnetskog polja kroz petlju ce se mijenjati u vremenu, što ce izazvati pojavuelektromotorne sile, tj. struje u vodicu. Kako se petlja vrti, tok kroz petlju ce se u jednoj polovici

6.2 Meduvodicka indukcija 97

perioda vrtnje, smanjivati, a u drugoj ce se polovici povecavati. Zbog toga ce i elektromotormasila i inducirana struja imati suprotne smjerove u prvoj i drugoj polovici perioda vrtnje: dobit cese izmjenicna struja. Izracunajmo elektromotornu silu i induciranu struju. Krenimo od toka

Slika 6.9: Princip generiranja izmjenicne struje.

x

y

zB

Slika 6.10: Princip generiranja izmjenicne struje- vrtnja petlje.

x

z B

en

Φ =∫

~Bd~S =∫

B~ez dSn =∫

BdScosθ .

No, kod jednolike se vrtnje kut mijenja kao θ = ωt, slika 6.10, pa je

Φ = Bcosθ

∫dS = BScosωt.

Kada jednom imamo tok, elektromotornu silu lako dobijemo iz ... kao

E =−dΦdt

=−BS(−ω)sinωt,

a struju iz Ohmova zakona

I =E

R=

BSω

Rsinωt.

6.2 Meduvodicka indukcijaPromatrajmo dvije vodicke petlje C1 i C2 kao na slici 6.11. Neka petljom C1 prolazi struja I1(t)cija se jakost može mijenjati s vremenom. Ova struja stvara magnetsko polje ~B 1(~r, t), tako da semože promatrati tok toga polja ~B 1 kroz plohu definiranu krivuljom one druge vodicke petlje C2.Taj cemo tok oznaciti kao

Φ21 =∫

S2(C2)

~B 1 d~S 2.

Buduci da je, u skladu s Biot-Savartovim zakonom, ..., polje ~B 1 srazmjerno struji I1, to ce i tokΦ21 takoder biti srazmjeran toj struji. Koeficijent srazmjernosti cemo oznaciti kao M21 i zvatcemo ga KOEFICIJENT MEÐUVODICKE INDUKCIJE.

Φ21 = M21 · I1(t).


Slika 6.11: Struja kroz petlju C1 stvara magnetsko polje u prostoru oko petlje C2.

B1

C1 C2

I1(t)

Ako se I1(t) sporo mijenja u vremenu (sporo, zato da možemo zanemariti ucinke retardacije), Φ21ce pratiti te promjene i takoder ce se mijenjati u vremenu, što ce izazvati pojavu elektromagnetskeindukcije u petlji C2, u kojoj ce se pojaviti inducirana elektromotorna sila

E21 =−dΦ21

dt=−M21

dI1

dt

i petljom C2 ce poteci inducirana struja

I2 =E21

R2=−M21

R2

dI1

dt.

Polje ~B 1 ovisi o obliku (geometriji) petlje C1, a tok kroz petlju C2 ovisi o obliku petlje C2, pazato koeficijent meduvodicke indukcije M21 ovisi o obliku obje petlje. U SI sutavu, jedinica zamjerenje meduvodicke indukcije se zove HENRI1.

H =V sA.

Zadatak 6.1 Izracunajte koeficijent meduvodicke indukcije za sustav dva koncentricnaprstena polumjera R1 >> R2, ako vanjskim prstenom tece struja I1, slika 6.12.

Rješenje:Od ranije, ..., znamo izraz za polje kružne petlje na osi simetrije z


1Prema americkom fizicaru Josephu Henryu, 1797 - 1878, koji otkrio elektromagnetsku indukciju neovisno oFaradayu.


x

y

z

R1

R2

>I1

C1C2

B1

~B 1(z, t) =µ0I1(t)

2R2

1

(z2 +R21)

3/2~ez .

U granici R2 << R1, polje je približno jednoliko na cijeloj površini unutrašnje petlje S2(c2), koja uz to i leži u ravnini z = 0, pa je

~B 1(z = 0, t,c2) =µ0I1(t)

2R1~ez .

Sada možemo izracunati tok ~B 1 kroz S2(c2)

Φ21 =∫

S2(c2)

~B 1 d~S 2 =µ0I1(t)

2R1R2

2 π ≡M21I1.

Iz gornjeg je izraza lako ocitati

M21 =µ0π

2R2

2R1

.

Prema ..., inducirana elektromotorna sila u unutrašnjoj petlji je

E21 =−M21dI1

dt=−µ0π

2R2

2R1

dI1

dt.

6.2.1 Teorem o uzajamnoj jednakosti meduvodickih indukcijaKada petljom C1 ne bi tekla struja, a petljom C2 bi tekla struja I2, tada bismo istim postupkomkao i u prethodnom odjeljku, dobili koeficijent meduvodicke indukcije M12. Ako bi struje u obaprimjera bile iste I1 = I2 = I, pokazat cemo da vrijedi

M21 = M12.

Na temelju rješenja zadatka 6.1 odmah vidimo da ta jednakost nece biti posljedica geometrijskesimetrije, jer ako u rješenju tog zadatka zamjenimo indekse 1 i 2, necemo dobiti da je M21 = M12.Krenimo zato od dvije opcenite vodicke petlje C1 i C2 kao na slici 6.13. Neka kroz C1 tece strujaI koja stvara polje ~B 1 koje opet stvara tok kroz plohu definiranu petljom C2

Φ21 =∫

S2(c2)

~B 1d~S 2 =∫

S2(c2)(−→∇ × ~A 1)d~S 2 =

∫c2

~A 1(~r2)d~r2,


Slika 6.13: Uz teorem o uzajamnoj jednakosti meduvodickih indukcija.

C1

C2I

y

z

x

<

r1

r2

r2 - r

1

dr1

dr2

pri cemu smo u gornjim izrazima iskoristili vezu izmedu magnetskog polja i vektorskog potenci-jala, ... i Stokesov teorem, ... . Izrazimo vektorski potencijal preko struje, kao u ...

~A 1(~r2) =µ0

4π

∮c1

~j (~r1)d3r1

|~r2−~r1|=

µ0

4πI∮

c1

d~r1

|~r2−~r1|

i uvrstimo to u izraz za tok

Φ21 =∫

c2

~A 1(~r2) d~r2 =µ0

4πI∮

c2

d~r2

∮c1

d~r11

|~r2−~r1|.

Ako sada pretpostavimo da petljom C2 tece ista struja I, možemo izracunati tok Φ12 magnetskogpolja ~B 2 te struje kroz plohu definiranu krivuljom C1. Racun ide istim putem kao i racun za Φ21.

Φ12 =∫

S1(c1)

~B 2d~S 1 =∫

S1(c1)(−→∇ × ~A 2)d~S 1 =

∫c1

~A 2(~r1)d~r1

~A 2(~r1) =µ0

4π

∮c2

~j (~r2)d3r2

|~r1−~r2|=

µ0

4πI∮

c2

d~r2

|~r1−~r2|

Φ12 =∫

c1

~A 2(~r1)d~r1 =µ0

4πI∮

c1

d~r1

∮c2

d~r21

|~r1−~r2|.

Usporedbom gornjih izraza, lako je vidjeti

Φ12 = Φ21,

M12I = M21I,

⇒ M12 = M21.

Buduci da su koeficijenti isti, možemo izostaviti indekse i procitati M kao sve ono što stoji poredI u izrazu za tok

M12 = M21 ≡M =µ0

4π

∮c1

d~r1

∮c2

d~r21

|~r1−~r2|.


6.2.2 SamoindukcijaKao što vremenska promjena magnetskog polja u jednoj petlji izaziva promjenu toka polja krozneku drugu petlju, isto tako dolazi i do promjene toka kroz samu tu petlju cija struja prizvodimagnetsko polje. Ova promjena toka izaziva induciranu struju u samoj toj petlji, a pojava sezove samoindukcija. Samoinducirana elektromotorna sila je jednaka

E =−dΦ11

dt.

Oznacimo li koeficijent samoindukcije strujnog kruga M11 ≡ L, tada je

Φ11 = L I(t),

pa je i

E =−LdIdt

.

Potpuno analognim izvodom poput onoga u odjeljku 6.2.1, koji je doveo do izraza za M, ikoeficijent samoindukcije se dobiva kao

L =µ0

4π

∮c1

d~r∮

c1

d~r ′1

|~r −~r ′|,

uz uvjet da je~r 6=~r ′.

Zadatak 6.2 Izracunajte struju kao funkciju vremena za strujni krug sa zavojnicom i omskimotporom, kao na slici 6.14.

Rješenje:Ukupna elektromotorna sila koja tjera struju kroz krug sa slike 6.14 je

Slika 6.14: Uz zadatak 6.2 .

R

L+-

sklopka

Slika 6.15: Uz zadatak 6.2: relacija (6.3).

R

t

I(t)

E0 +E = E0−LdIdt

,

pa Ohmov zakon za taj strujni krug glasi

E0−LdIdt

= IR.

To jedna nehomogena diferencijalna jednadžba prvog reda za nepoznatu struju I = I(t), spocetnim uvjetom da u pocetnom trenutku, dok je sklopka još otvorena, nema struje, tj. za t = 0je i I = 0.

dIdt

+RL

I =E0

L.


Opce rješenje nehomogene jednadžbe je zbroj rješenja homogene plus partikularno rješenjenehomogene jednadžbe

I = IH + INH .

(H) Riješimo najprije homogenu jednadžbu.

dIdt

= −RL

I

∫ dII

= −RL

∫dt

ln I = −RL

t + const

IH = c0e−Rt/L

(NH) Pretpostavimo da je rješenje nehomogene jednadžbe jednostavno konstanta

INH = c1,

tada je dINH/dt = 0, pa preostaje

0+RL

INH =E0

L,

odakle je

c1 =E0

R.

Ukupno je rješenje

I = IH + INH = c0e−Rt/L +E0

R.

Konstanta c0 se odredi iz pocetnog uvjeta

0 = c0 ·1+E0

R→ c0 =−

E0

R,

Pa je konacno rješenje

I =E0

R

[1− e−Rt/L

]. (6.3)

Odmah po zatvaranju sklopke struja krene kroz vodic, stvori oko sebe magnetsko polje i tapromjena magnetskog polja od nulte na neku konacnu vrijednost daje promjenu toka poljakroz plohu definiranu strujnim krugom. Zato je, neposredno nakon zatvaranja sklopke, ukupnastruja jednaka zbroju struje od elektromotorne sile E0 jednake E0/R i struje od samoinduciraneelektromotorne sile koja ide u suprotnom smjeru, a iznosa je (E0/R)e−Rt/L. Kako vrijeme prolazi,magnetsko polje poprima neku konstantnu vrijednost i promjena toka magnetskog polja krozkrug se smanjuje, da bi s vremenom potpuno nestala. Dugo nakon zatvaranja sklopke, preostajesamo struja od stalne elektromotorne sile E0/R, kao na slici 6.15.

6.3 Upotpunjavanje cetvrte Maxwellove jednadžbe 103

6.3 Upotpunjavanje cetvrte Maxwellove jednadžbeDo sada smo se upoznali, relacija ..., s jednadžbom kontinuiteta (ili zakonom o sacuvanju naboja)

−→∇~j =−∂ρ

∂ t

koji jednostavno kaže da se kolicina naboja (opisana gustocom ρ) u nekom dijelu prostoramože povecati ili smanjiti tako što ce struja tog naboja (opisana gustocom ~j ) uci ili izaci izpromatranog dijela prostora.Isto smo se tako upoznali, ..., i s cetvrtom Maxwellovom jednadžbom

−→∇ × ~B = µ0~j , (6.4)

koja je diferencijalni oblik Ampèreovog zakona, ... . Sada želimo primjetiti da su gornje dvijejednadžbe NESUGLASNE kada u sustavu postoji vremenska promjena gustoce naboja, tj. kada je

∂ρ

∂ t6= 0.

Izracunamo li divergenciju cetvrte Maxwellove jednadžbe, dobit cemo

−→∇ (−→∇ × ~B) = µ0

−→∇~j .

Lako je vidjeti (npr. raspisom po komponentama u pravokutnom koordinatnom sustavu), da jelijeva strana gornje jednadžbe jednaka nuli:

−→∇ (−→∇ × ~B) =

∂

∂x

(∂Bz

∂y−

∂By

∂ z

)+

∂

∂y

(∂Bx

∂ z− ∂Bz

∂x

)+

∂

∂ z

(∂By

∂x− ∂Bx

∂y

)= 0.

Iz ovoga zakljucujemo da bi desna strana trebala biti jednak nuli, tj.−→∇~j = 0. No, prema

jednadžbi kontinuiteta je

−→∇~j =−∂ρ

∂ t6= 0.

Iz ovoga treba zakljuciti da cetvrta Maxwellova jednadžba ne može vrijediti u sustavima u kojimaje ρ 6= 0. Može li se i kako Maxwellova jednadžba upotpuniti, pa da vrijedi i u tim sustavima?Objasnimo to na jednostavnom primjeru s kondenzatorom. Promatrajmo strujni krug koji se

Slika 6.16: Strujni krug se sastoji samo od na-elektriziranog ravnog (plocastog) kondenzatorai sklopke.

sklopka

+Q-Q

<<<<<

E

I

d Ed t

Slika 6.17: Racun cirkulacije magnetskog poljapo krivulji C .

+Q-Q

I

C

S1(C )S

2(C )

sastoji samo od naelektriziranog ravnog (plocastog) kondenzatora i sklopke kao na slici 6.16.


Površina ploca neka je A, a naboj na njima neka je ±Q. U pocetku neka je sklopka otvorena,tako da u prostoru izmedu ploca kondenzatora postoji (približno konstantno) elektricno poljeiznosa

E =σ

ε0=

Qε0A

.

Kada se sklopka zatvori, struja ce poteci od pozitivne prema negativnoj ploci kondenzatora.Pomocu Ampèreovog zakona, ..., (tj. cetvrte Maxwellove jednadžbe) izracunajmo cirkulacijumagnetskog polja po krivulji C sa slike 6.17. Prisjetimo se da svaka krivulja definira beskonacnomnogo ploha ciji je ona rub. Od tih beskonacno ploha, mi cemo odabrati dvije sa slike 6.17:S1(C ) i S2(C ). Racun po prvoj plohi daje:∮

c~B d~r = Stokes =

∫S1(c)

(−→∇ × ~B)d~S = (6.4) = µ0

∫S1(c)

~j d~S = µ0I,

gdje je I struja koja prolazi vodicem kada se zatvori petlja. Provedemo li isti racun po plohiS2(c), dobit cemo:∮

c~B d~r = Stokes =

∫S2(c)

(−→∇ × ~B)d~S = (6.4) = µ0

∫S2(c)

~j d~S = 0,

zato jer plohom S2 ne prolazi struja. Iz ovoga možemo zakljuciti da mora biti−→∇ × ~B = µ0~j + još nešto !

Pogledajmo što je to još nešto. Plohom S2 doduše ne prolazi struja I, ali prolazi jedna drugastruja koja potjece od vremenske promjene (tj. smanjenja) elektricnog polja u prostoru izmeduploca kondenzatora. Zatvaranjem sklopke, smanjuje se kolicina naboja na plocama kondenzatora,pa se smanjuje i elektricno polje u prostoru izmedu ploca, ...,

d Ed t

=1

ε0AdQdt

.

Iz gornjeg izraza vidimo da iako plohom S2(c) ne prolazi struja I, njome zato prolazi strujapomaka

I′ =dQdt

.

Buduci da se s vremenom elektricno polje smanjuje, to ce derivacija d~E /dt biti smjera suprotnogod smjera ~E , pa ce struja I′ biti istog smjera kao i struja I. Naravno da su struje I i I′ istog iznosa.Sada cetvrtu Maxwellovu jednadžbu možemo nadopuniti tako što cemo umjesto gustoce struje ~jpisati ~j +~j ′, gdje je

j′ =I′

A= ε0

d Ed t

,

−→∇ × ~B = µ0(~j +~j ′).

Time smo došli do konacnog oblika (5.17) jednadžbe (James Clerk Maxwell, 1861)

−→∇ × ~B = µ0~j +µ0ε0

∂~E∂ t

. (6.5)

6.3 Upotpunjavanje cetvrte Maxwellove jednadžbe 105

6.3.1 Maxwellove jednadžbeSumirajmo rezultate o elektricnom i magnetskom polju, do kojih smo do sada došli, u oblikuMaxwellovih jednadžba. One opisuju prostorne i vremenske promjene elektricnog i magnet-skog polja u vakuumu u prisustvu gustoce elektricnog naboja ρ(~r, t) i gustoce elektricne struje~j (~r, t). Gustoce ρ i ~j predstavljaju gustoce SLOBODNIH naboja (polarizacija) i struja (magneti-zacija), za razliku od gustoca vezanih naboja i struja koje ce se pojaviti kada budemo razmatralielektromagnetsko polje u tvari.

−→∇~E =

ρ

ε0,

−→∇ × ~E =−∂~B

∂ t,

−→∇~B = 0,

−→∇ × ~B = µ0ε0

∂~E∂ t

+µ0~j .

Prva jednadžba je diferencijalni oblik Gaussova zakona, tj. poopcenje Coulombovog zakona.Druga jednadžba opisuje Faradayev zakon elektromagnetske indukcije. Treca jednadžba kaže dau prirodi ne postoje magnetski monopoli. Cetvrta jednadžba je Ampèreov zakon plus Maxwellovdodatak od struje pomaka. Primjetimo da su jednadžbe za ~E i ~B nesimetricne, a da ta nesimetrijapotjece od prisustva slobodnih naboja i struja. Primjetimo takoder da su u jednadžbama povezanielektricno i magnetsko polje.S matematickog stanovišta, to su nehomogene vezane parcijalne diferencijalne jednadžbe prvogreda za nepoznata polja ~E (~r, t) i ~B(~r, t).

U prostoru bez tvari (vakuumu) i bez slobodnih naboja i struja, sustav Maxwellovih jednadžbaje puno simetricniji:

−→∇~E = 0,

−→∇ × ~E =−∂~B

∂ t,

−→∇~B = 0,

−→∇ × ~B = µ0ε0

∂~E∂ t

.

Dimenzijskom analizom iz druge od gornjih jednadžba proizlazi da je elektricno poljejednako nekakva brzina puta magnetsko polje

[E]=

[l]

[t][B]= [v][B].

Uvrstimo li to u cetvrtu jednadžbu,[B]

[l] = µ0ε0

[E]

[t] = µ0ε0

[v]

[t] [B],

slijedi da je dimenzija umnoška µ0ε0 jednaka inverzu kvadrata neke brzine

µ0ε0 =1v2 .

U nastavku kolegija cemo pokazati da se gornji sustav može razvezati u smislu da dobijemojednadžbe koje sadrže ili samo magnetsko ili samo elektricno polje. Cijena koja se pri tomeplaca jeste da se umjesto jednadžba prvoga reda (sa povezanim ~E i ~B ), dobiju jednadžbe drugog


reda (za same ~E ili ~B ). Te cemo jednadžbe prepoznati kao valne jednadžbe koje opisuju širenjeelektromagnetskog polja u vakuumu, a gore spomenuta brzina je brzina širenja elektromagnetskihvalova u vakuumu

c =1

√µ0ε0

.

7. Elektricno polje u tvarima


7.1 Elektricni dipol

7.1.1 Polje elektricnog dipolaElektricnim dipolom se naziva sustav dva naboja istog iznosa, a suprotnog predznaka, koji senalaze na medusobnoj udaljenosti l, maloj u usporedbi s udaljenosti ~r na kojoj se promatranjihovo polje

|~r|>> l.

Prema opcem izrazu (1.6), zajednicko polje dva tockasta naboja je jednostavno vektorski zbroj

Slika 7.1: Elektricni dipol.

q

+ q

l / 2 =

z

y

x

+ l / 2 =

r

r

polja pojedinih naboja. Tako je polje dipola sa slike 7.1 zbroj polja naboja +q smještenog u

108 Poglavlje 7. Elektricno polje u tvarima

~r+ = (l/2)~ez i naboja −q smještenog u~r− = (−l/2)~ez

~E dip.(~r) =1

4πε0(+q)

~r−~r+|~r−~r+ |3

+1

4πε0(−q)

~r−~r−|~r−~r− |3

.

|~r−~r+ | =√

(~r−~r+ )2 =

√(~r− l

2~ez

)2

= r

√1− l

rcosθ +

l2

4r2

|~r−~r− | =√

(~r−~r− )2 =

√((~r+

l2~ez

)2

= r

√1+

lr

cosθ +l2

4r2

~E dip.(~r) =1

4πε0

qr3

~r− (l/2)~ez

[1− (l/r)cosθ + l2/(4r2)]3/2 −~r+(l/2)~ez

[1+(l/r)cosθ + l2/(4r2)]3/2

.

Na udaljenostima velikim u usporedbi s dimenzijama dipola, r >> l, je

x≡ l2

4r2 ±lr

cosθ << 1

mala velicina po kojoj se može izvesti Taylorov razvoj:

f (x) = f (x0)+(x− x0)

1

1!∂ f∂ x

∣∣∣∣x0

+(x− x0)

2

2!∂ 2 f∂ x2

∣∣∣∣x0

+(x− x0)

3

3!∂ 3 f∂ x3

∣∣∣∣x0

+ · · ·

Neka je f (x) = (1+ x)−3/2 i neka je x0 = 0, tada gornji razvoj daje

1(1+ x)3/2 = 1− 3

2x+

3 ·52 ·4

x2 + · · · |x|< 1

Uvrštavanjem prva dva clana ovog razvoja u izraz za polje i zadržavanjem na vodecim clanovima,dobije se

~E dip.(~r) =1

4πε0

qr3

(~r− l

2~ez

)[1− 3

2

(l2

4r2 −lr

cosθ

)+ · · ·

]−(~r+

l2~ez

)[1− 3

2

(l2

4r2 +lr

cosθ

)+ · · ·

]=

14πε0

qr3

~r[

1− 32

(l2

4r2 −lr

cosθ

)−1+

32

(l2

4r2 +lr

cosθ

)+ · · ·

]

− l2~ez

[1− 3

2

(l2

4r2 −lr

cosθ

)+1− 3

2

(l2

4r2 +lr

cosθ

)+ · · ·

]

=1

4πε0

qr3

~r 2

32

lr

cosθ + · · ·− l2~ez

(2−2

32

l2

4r2 + · · ·)

=1

4πε0

qlr3

(3~rr

cosθ −~ez

)+ · · ·

=1

4πε0

qlr3 (3 cosθ~er −~ez )+ · · ·

Uvede li se elektricni dipolni moment

~p = ql~ez

7.1 Elektricni dipol 109

(usmjeren od negativnog prema pozitivnom naboju dipola), vodeci clan za polje dipola na velikimudaljenostima je oblika

~E dip.(~r) =1

4πε0

3(~p ·~er )~er −~pr3 .

Primjetimo da ono opada kao r−3, za razliku od polja tockastog naboja (monopola) koje opadakao r−2.

ubaciti dio s potencijalom dipola ??

7.1.2 Zakretni moment dipola u homogenom vanjskom elektricnom polju

Zakretni moment dipola potjece od momenta elektricne sile na oba naboja dipola. Moment sile~M je opcenito jednak vektorskom umnošku sile i kraka sile~r × ~F . Primjenjeno na dipol, to znaci

~Mdip. =~r+ × ~F++~r− × ~F−,

gdje su

Slika 7.2: Zakretni moment dipola.

y

x

E

+

+

+

-

-

-

+ q

- qx

+

X-

~r± =±~eρ

l2

položaji pozitivnog i negativnog naboja dipola, a sila je

~F± =±q~E ,


slika 7.2

~Mdip. = q(~r+ × ~E −~r− × ~E

)= q

(l2~eρ ×~ex E− l

2(−~eρ ) ×~ex E

)= ql~eρ ×~ex E

= ~p × ~E .

Polje ~E nastoji orjentirati dipol u smjeru polja: za ϕ = 0 je i ~Mdip. = ~p × ~E = 0.

7.1.3 Sila na dipol u nehomogenom vanjskom elektricnom poljuSila na dipol u nehomogenom vanjskom elektricnom polju je zbroj sila na pozitivni i negativninaboj dipola

~Fdip. = q~E (x+)+(−q)~E (x−) (7.1)

Vanjsko elektricno polje je nehomogeno, ali za mali razmak medu nabojima l, ono se nece jakopromijeniti od tocke x− do tocke x+, slika 7.2, pa ima smisla razviti polje u x+ oko tocke x− izadržati se na vodecem clanu Taylorova razvoja:

~E (x+) = ~E (x−)+

∣∣∣∣∣∂ ~E∂ x

∣∣∣∣∣x−

(x+− x−)~ex + · · · (7.2)

Primjetimo li da je x+− x− = l cosϕ ,

~Fdip. = q

~E (x−)+ l cosϕ~ex

∣∣∣∣∣∂ ~E∂ x

∣∣∣∣∣x−

+ · · ·−~E (x−)

= p cosϕ

∣∣∣∣∣∂ ~E∂ x

∣∣∣∣∣x−

~ex + · · · (7.3)

uz p = ql. Sila na dipol potjece od NEHOMOGENOSTI vanjskog polja.

7.1.4 Potencijalna energija dipola u vanjskom homogenom elektricnom poljuNeka je ~E = E~ex . Izracunajmo koji je rad potrebno obaviti da bi se dipol zakrenuo za kut dϕ ipri tome se pomakao za dx po osi x, slika 7.3.

dW = ~F+d~r++~F−d~r− = q~E d~r++(−q)~E d~r− = q~E d~r++(−q)~E (−d~r+) = 2qE dx

(faktor 2 dolazi od dva naboja u dipolu).

d x = x(ϕ +dϕ)− x(ϕ)

=l2

cos(ϕ +dϕ)− l2

cosϕ = Taylor =

=l2

[cosϕ +dϕ (−sinϕ)+ · · ·− cosϕ

]= − l

2sinϕ dϕ.


Slika 7.3: Uz racun potencijalne energije dipola.

y

x

E

+

+

+

-

-

-

+ q

- qx

d

X (d d r-

d r+

Sada je promjena potencijalne energije jednaka

d Ep =−dW = pE sinϕ dϕ ⇒ Ep =−pE cosϕ + const.

Konstanta se obicno odabire tako da potencijalna energija ima najmanju vrijednost Ep =−pEza ϕ = 0

Ep =−~p ~E ,

a svaki otklon od tog smjera povecava potencijalnu energiju.

7.2 Multipolni razvoj skalarnog potencijalaU prvom primjeru odjeljka o potencijalu smo vidjeli da se potencijal opcenite raspodjele nabojamože razviti u red po pogodno odabranoj maloj velicini, tako da svaki slijedeci clan toga redabude manji od prethodnog. Ovaj je pristup koristan u slijedecim situacijama: ako je proracunpotencijala previše složen ili nas jednostavno ne zanima njegov egzaktan oblik, možemo potražitipogodnu malu velicinu po kojoj razvijemo podintegralnu funkciju

1|~r −~r ′|

u red i sukcesivno racunamo clanove toga reda. Bitan moment u svemu ovome je da su integralikoji se pojavljuju u ovom (beskonacnom) redu, puno jednostavniji za riješiti nego što je tointegral cijelog (egzaktnog) potencijala.

Najcešce se racuna potencijal na velikim udaljenostima od raspodjele naboja, tako da jeprikladna mala velicina po kojoj se razvija

rr ′

U odjeljku ... smo pokazali da je izracunavanje elektricnog polja sustava dva tockasta nabojana udaljenostima velikim u usporedbi s razmakom izmedu naboja, relativno jednostavno. Noracun ce p ostajati sve složeniji i složeniji, ako umjesto polja dva naboja, hocemo izracunati polje


sustava tri, cetiri ili više naboja. Zato cemo sada razviti opci postupak koji omogucava proracunelektricnog polja proizvoljne nakupine naboja (diskretne ili kontinuirane) na udaljenostima rvelikim u usporedbi s udaljenostima medu samim nabojima r ′

r >> r ′ ,

kao što je to prikazano na slici 7.4. Buduci da su elektricno polje i potencijal povezani operacijom

Slika 7.4: Kontinuirana nakupina elektricnog naboja je opisan gustocom naboja ρ(~r ′).

z

y

x

r

r'

r' )

gradijenta,

~E =−−→∇V,

to cemo gornji postupak razviti za racun potencijala, iz kojega zatim racunanjem gradijentadobivamo polje. Potencijal V , (...),

V (~r) =1

4πε0

∫ρ(~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′

odabiremo zato jer je opcenito jednostavnije racunati skalarnu funkciju - potencijal, negovektorsku funkciju - polje.

Promatrajmo nakupinu naboja - izvora potencijala - opisanu gustocom naboja ρ . Želimoizracunati potencijal koji ti naboji stvaraju u tocki~r koja se nalazi na velikoj udaljenosti od samenakupine naboja. Zbog homogenosti prostora, ishodište koordinatnog sustava cemo postavititako da se nalazi unutar nakupine naboja, a koristeci izotropnost prostora, koordinatne osi cemopostaviti tako da tocka~r leži na osi~ez , slika 7.4. U tom je slucaju je

1|~r −~r ′|

=1√

r2 + r ′ 2−2rr ′ cosθ ′=

1r

(1+

r ′ 2

r2 −2r ′

rcosθ

′)−1/2

.

U granici r >> r ′ , na gornji korijen se može primjeniti Taylorov razvoj

(1+ x)−1/2 = 1− 12

x+1 ·32 ·4

x2 +1 ·3 ·52 ·4 ·6

x3 +O(x4),


pri cemu su male velicine razvoja dane sa

x = −2r ′

rcosθ

′+r ′ 2

r2 ,

x2 = 4r ′ 2

r2 cos2θ′−4

r ′ 3

r3 cosθ′+O

(r ′ 4

r4

),

x3 = −8r ′ 3

r3 cos3θ′+O

(r ′ 4

r4

).

Uvrsti li se Taylorov razvoj u izraz za 1/|~r −~r ′|, slijedi

1|~r −~r ′|

=1r

1− 1

2

[−2

r ′

rcosθ

′+r ′ 2

r2

]+

38

[4

r ′ 2

r2 cos2θ′−4

r ′ 3

r3 cosθ′]− 5

16(−)8r ′ 3

r3 cos3θ′+O

(r ′ 4

r4

)

=1r

[1+

r ′

rcosθ

′− 12

r ′ 2

r2 +32

r ′ 2

r2 cos2θ′− 3

2r ′ 3

r3 cosθ′+

52

r ′ 3

r3 cos3θ′+O

(r ′ 4

r4

)]

=1r

[1+

r ′

rcosθ

′+12

r ′ 2

r2 (3cos2θ′−1)+

32

r ′ 3

r3 cosθ′(

53

cos2θ′−1

)+O

(r ′ 4

r4

)].

Uvrstimo li gornji razvoj u izraz za potencijal, dobivamo

V (~r) =1

4πε0

∫ρ(~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′

=1

4πε0

1r

∫ρ(~r ′)d3r ′

+1

4πε0

1r2

∫r ′ cosθ

′ρ(~r ′)d3r ′

+1

4πε0

1r3

12

∫r ′ 2(3cos2

θ′−1)ρ(~r ′)d3r ′

+1

4πε0

1r4

32

∫r ′ 3 cosθ

′(

53

cos2θ′−1

)ρ(~r ′)d3r ′ +O

(r ′ 4

r5

)= Vm +Vd +Vk + · · · (7.4)

Prvi clan razvoja (7.4) prepoznajemo kao potencijal tockastog naboja iznosa

q =∫

ρ(~r ′)d3r ′ ,

ili potencijal MONOPOLA

Vm(~r) =1

4πε0

qr.

Ako je promatrana nakupina naboja elektricki neutralna, tada je q = 0 i cijeli prvi clan razvoja(7.4) je nula, no ostali clanovi mogu biti razliciti od nule. Slijedeci clan zovemo DIPOLNI

POTENCIJAL

Vd(~r) =1

4πε0

1r2

∫r ′ cosθ

′ρ(~r ′)d3r ′ =

14πε0

~p ·~er

r2 , ~p ·~er ≡∫

r ′ cosθ′ρ(~r ′)d3r ′ ,


a treci clan zovemo KVADRUPOLNI POTENCIJAL

Vk(~r)=1

4πε0

1r3

12

∫r ′ 2(3cos2

θ′−1)ρ(~r ′)d3r ′ =

14πε0

Qr3 , Q≡ 1

2

∫r ′ 2(3cos2

θ′−1)ρ(~r ′)d3r ′ ,

itd. za ostale clanove razvoja.

Slika 7.5: Uz definiciju dipolnog momenta (7.5).

q

+ q

z

y

x

Promatrajmo raspodjelu naboja kao sa slike 7.5. U izrazu za dipolni potencijal, ..., prepozna-jemo

r ′ cosθ′ =~er~r ′,

jer je~er u smjeru osi z

Vd(~r) =1

4πε0

~er

r2

∫~r ′ρ(~r ′)d3r ′ .

Ako nazovemo DIPOLNIM MOMENTOM integral

~p =∫~r ′ρ(~r ′)d3r ′ , (7.5)

tada dipolni potencijal postaje

Vd(~r) =1

4πε0

~er~pr2 .

Uvjerimo se da se ova definicija dipolnog momenta poklapa s definicijom ... ~p iz prethodnogodjeljka, jer je gustoca pod integralom razlicita od nule u samo dvije tocke: u prvoj je∫

ρ d3r ′ =+q, ~r ′ =l2~er ′ ,

a u drugoj je∫ρ d3r ′ =−q, ~r ′ =− l

2~er ′ ,

7.3 Elektricno polje u dielektriku 115

što sve zajedno daje

~p = (+q)(+~er ′ )l2+(−q)(−~er ′ )

l2= ql~er ′ .

Izracunajmo i dipolno polje

~E d =−−→∇Vd =−~ex

∂Vd

∂x−~ey

∂Vd

∂y−~ez

∂Vd

∂ z.

Vd =1

4πε0

~p ·~er

r2 =1

4πε0

pcosθ

x2 + y2 + z2 , cosθ =z√

x2 + y2 + z2

=p

4πε0

z(x2 + y2 + z2)3/2

∂Vd

∂x=

p4πε0

z(−3

2

)(x2 + y2 + z2)−5/22x =

p4πε0

(−)3xzr5 ,

∂Vd

∂y=

p4πε0

y(−3

2

)(x2 + y2 + z2)−5/22y =

p4πε0

(−)3yzr5 ,

∂Vd

∂ z=

p4πε0

1 · r3− z(3/2)r2zr6 =

p4πε0

(−3zz

r5 +1r3

).

Sve zajedno, za polje dipola na velikim udaljenostima od dipola, dobivamo

~E d =− p4πε0

(−3~rz

r5 +~ez

r3

).

Uvrstimo li u gornji izraz z = r cosθ dobivamo isti izraz kao i ranije izravnim racunom poljadipola

~E d =p

4πε0

(3~er cosθ

r3 −~ez

r3

)=

14πε0

3(~p ·~er )~er −~pr3 .

Na slican se nacin racuna i polje elektricnog kvadrupola (slika ...)

~E k =−−→∇Vk =−~ex

∂Vk

∂x−~ey

∂Vk

∂y−~ez

∂Vk

∂ z.

... dovršiti .. polje kvadrupola ??!!

7.3 Elektricno polje u dielektrikuDielektrikom ili izolatorom cemo nazivati cvrste, tekuce i plinovite tvari koje NE SADRŽE

SLOBODNE naboje. Tvar naravno sadrži elektricni naboj, ali je on vezan (u atom, molekulu,kristalni rešetku) i ne može se slobodno gibati kroz prostor.

Elektricna sila izmedu tockastih naboja smještenih u dielektriku je (eksperimentalno) manja,nego sila izmedu istih naboja u vakuumu. To smanjenje sile se opisuje bezdimenzijskomvelicinom koja se oznacava s εr i zove se DIELEKTRICNA KONSTANTA,

Fdiel =F0

εr, εr > 1,


gdje je F0 sila u vakuumu.

Dielektrici se opcenito dijele na nepolarne i polarne.NEPOLARNI dielektrici su oni koji nemaju permanentni elektricni dipol, ali kada se nadu u

vanjskom elektricnom polju, može se pojaviti inducirani dipol. Npr. kada se elektricno neutralanobjekt, npr. atom, nade u vanjskom elektricnom polju, dolazi do razdvajanja središta pozitivnogi negativnog naboja (kao što je prikazano na slici 7.6) i stvara se elektricni dipol, ~p usmjeren

Slika 7.6: Inducirani dipol.

-

-

-

+++

-

-

-

+++

E = 0 (+) (-)E = 0

p

od središta negativnog prema središtu pozitivnog naboja. Ova se pojava naziva polarizacijadielektrika, a dipol se naziva INDUCIRANI dipol, jer ga je induciralo vanjsko elektricno polje. Sišcezavanjem vanjskog polja, išcezava i dipol. Inducirani dipolni moment je jednak

~p = Z qe~l = q~l , q≡ Z qe.

Slovom l smo oznacili razmak izmedu središta pozitivnog i negativnog naboja. To je velicinareda atomskih dimenzija.Zbog mikroskopske nehomogenosti tvari, pogodno je uvesti srednju vrijednost induciranogdipola u nekom malom volumenu oko promatrane tocke tvari. Ta se srednja vrijednost nazivaGUSTOCA POLARIZACIJE, P, a vektor gustoce polarizacije, ~P , se definira jednostavno kaozbroj svih induciranih dipola koji se nalaze unutar malog volumena dV oko promatrane tocke,podjeljen tim istim volumenom

~P =Σ~pdV

=d~pdV

,

gdje je s d~p oznacen zbroj svih atomskih induciranih dipola unutar volumena dV . Dimenzijskaanaliza

[~P ] =[Q][L][L3]

=

[QL2

]→

(Cm2

)nam pokazuje da P ima dimenziju površinske gustoce naboja. Za relativno mala vanjska polja je~p paralelan s ~E , a po iznosu je srazmjeran iznosu |~E |, što se može sažeti u izraz

~P = αind ~E , (7.6)

gdje se α ind naziva KOEFICIJENT INDUCIRANE POLARIZACIJE DIELEKTRIKA. Dielektrici kodkojih je polarizacija srazmjerna prvoj potenciji elektricnog polja (kao u relaciji (7.6)), se zovu


linearni dielektrici. Ako su elektricna svojstva dielektrika ista u svim smjerovima (izotropandielektrik), tada je α ind skalarna velicina. U kristalnim strukturama je moguce i da se smjer~P ne poklapa sa smjerom vanjskog polja, nego da ovisi o orjentaciji vanjskog polja u odnosuna kristalografske osi (kao npr. kod kvarca) i tada je α ind tenzor, a gornja se jednadžba u npr.pravokutnim koordinatama može napisati kao

Px = αindxx Ex +α

indxy Ey +α

indxz Ez,

Py = αindyx Ex +α

indyy Ey +α

indyz Ez,

Pz = αindzx Ex +α

indzy Ey +α

indzz Ez,

ili, matricno, kao

~P =αind ~E ,

gdje je αind matrica tenzora koeficijent inducirane polarizacije dielektrika

αind =

α ind

xx α indxy α ind

xz

α indyx α ind

yy α indyz

α indzx α ind

zy α indzz .

POLARNI dielektrici su oni koji imaju permanentan dipolni moment i kada je vanjsko

elektricno polje jednako nuli. Kao primjer mogu poslužiti nesimetricne molekule kao što su

HCl,H2O,SO2,NH3

itd. Na pocetki vog poglavlja je pokazano, ..., da svaki dipol stvara svoje dipolno elektricnopolje. Uz nulto vanjsko polje i na konacnoj temperaturi T > 0 su svi ovi permanentni dipoliusmjereni nasumicno u prostoru, dakle podjednako u svim smjerovima, pa je ukupno polje odpermanentnih dipola jednako nuli (slika 7.7). Ukoliko je vanjsko elektricno polje razlicito od

Slika 7.7: Permanentni dipol.

T > 0, E = 0 T > 0, E = 0

(+) (-)

nule, ono ce izazvati dva ucinka:(1) orjentaciju permanentnih dipola tako da im energija bude što manja i


(2) inducirat ce pojavu atomskih dipola isto kao što bi to ucinilo i da nema permanentnih dipola.Opet se može napisati relacija

~P = α ~E

α = αind +α

perm,

gdje je prvi clan desne strane koeficijent inducirane plarizacije, a drugi clan opisuje orjentacijskupolarizaciju permanentnih dipola i ovisan je o temperaturi

αperm =

const.T

.

Pogledajmo sada na koji nacin polarizacija medija mijenja ukupno elektricno polje. Uzmimojednostavni primjer plocastog kondenzatora, na cijim je plohama rasporeden slobodan nabojkonstantnom površinskom gustocom naboja σ0. Neka je udaljenost medu plocama mala u

Slika 7.8: Plocasti kondenzator - ucinak dielektrika.

++++++++

--------

++++++++

--------

- + - + - + - +- + - + - + - +- + - + - + - +- + - + - + - +

vez

d l

E0

Evez

usporedbi s linearnim dimenzijama ploca. Ako je medu plocama vakuum, tada je polje izmeduploca, daleko od njihovih rubova, približno jednako (prema Gaußovu zakonu, ...)

E0 =σ0

ε0.

Neka se sada izmedu ploca postavi dielektrik. U njemu ce doci do polarizacije (slika 7.8).Ukoliko je dielektrik homogen, naboji u unutrašnjosti ce se tocno poništiti, dok ce samo nabojuz površine ploca ostati neponišten. On se ne može poništiti s nabojima na ploci (osim u slucajuiznimno jakog polja E0) jer je vezan za atome dielektrika. Izracunajmo površinsku gustocuinduciranog naboja uz plocu kondenzatora. Tu cemo gustocu oznacavati sa σvez, kako bi nasto podsjecalo da je to gustoca naboja koja potjece od naboja vezanih za atome ili molekuledielektrika. Neka je

dV = dS ·dl

mali volumen dielektrika uz same ploce. Prema relaciji ... , zbroj svih dipola u tom volumenu je

d p = PdV.


S druge strane, taj d p možemo napisati i kao

d p = dqvez ·dl,

gdje je dqvez pomaknuti vezani naboj u procesu polarizacije.

d p =

PdV = PdS ·dl,

dqvez ·dl,

dqvez = P ·dS

σvez =dqvez

dS= P.

Tako smo došli do izraza koji kaže da je površinska gustoca (uz ploce kondenzatora) induciranihvezanih naboja upravo jednaka iznosu vektora gustoce polarizacije.

Ukoliko vanjsko elektricno polje nije jednoliko ili je dielektrik nejednolik, naboji u UNU-TRAŠNJOSTI dielektrika se ne moraju egzaktno poništiti i u unutrašnjosti dielektrika se možepojaviti inducirani vezani naboj, koji se opisuje volumnom gustocom induciranog vezanognaboja ρvez (slika ....) o cemu je više receno na strani ... .

Slika 7.9: Dielektrik u nehomogenom vanjskom elektricnom polju.

- +

- +

- +

vez

= 0

- + E

Vratimo se ponovo homogenom dielektriku. Sada imamo slobodne (slobodne da se gibajupo plocama, ali ne i da ih napuste) naboje opisane površinskom gustocom naboja σ0 koji stvarajuelektricno polje ~E 0 i vezane naboje opisane površinskom gustocom naboja σvez koji stvarajusvoje polje ~E vez kao na slici ... . Zbog suprotnih smjerova ova dva polja, iznos ukupnog polja je


dan razlikom

E = E0−Evez =σ0

ε0− σvez

ε0,

σvez = = (...) = P = αE,

E =σ0−αE

ε0,

E =σ0

ε0 +α.

Uvede li se ELEKTRICNA SUSCEPTIBILNOST DIELEKTRIKA χ izrazom

α = ε0χ,

Polje postaje

E =σ0

ε0(1+χ).

Sada možemo uvesti i RELATIVNU DIELEKTRICNU KONSTANTU εr izrazom

εr = 1+χ = 1+α

ε0,

pa izraz za polje u dielektricnoj sredini poprima oblik

E =σ0

ε0εr=

E0

εr.

Buduci da je εr > 1, to je polje u dielektriku uvijek manje od polja u vakuumu.

7.3.1 Elektricno polje jednoliko polarizirane tvariGornje su relacije izvedene na jednostavnom primjeru plocastog kondenzatora, i možemo sezapitati: vrijede li one i opcenito?

Iz tocke A se promatra valjak jednoliko polarizirane tvari kao na slici 7.10. Element valjka

Slika 7.10: Valjak jednoliko polarizirane tvari.

A

r + dr =

r - | d

r|

r

S

z1

z2

d z

x y

z

r

|dr|

r + dr =

r - | d

r|

d z


debljine dz odgovara dipolu iznosa

d~p = ~PdV = ~Pdz∆S,

i na velikim udaljenostima od valjka stvara dipolni potencijal, (...),

Vd =1

4πε0

~p ·~rr3 → dVd =

14πε0

d~p ·~rr3 .

Prema nacelu pridodavanja, ukupni potencijal u udaljenoj tocki A, koji potjece od cijelog valjka,dobije se tako da se zbroje doprinosi od svih elemenata debljine dz

Vd(A) =1

4πε0

∫ z2

z1

~Pdz∆S ·~rr3 =

14πε0

P∆S∫ z2

z1

dzr cosθ

r3 .

Buduci da je, prema slici ...,

cosθ =|d~r|dz

=−drdz

,

pod integralom se dobije potpuni diferencijal

Vd(A) =1

4πε0P∆S

∫ r2

r1

−drr2 =

14πε0

P∆S(

1r

)r2

r1

=1

4πε0P∆S

(1r2− 1

r1

),

što lako prepoznajemo kao zbroj potencijala dva TOCKASTA naboja: jednog iznosa q2 =+P∆Ssmještenog u tocki r2 i drugog iznosa q1 = −P∆S smještenog u tocki r1. Dakle potencijaljednoliko polariziranog valjka je isti kao da umjesto valjka imamo dva tockasta naboja napovršini valjka. Iz izvoda se vidi da doprinos površinskom naboju dolazi samo od komponente~P okomite na površinu

σpov = σvez = Pn = ~P · n ,

gdje je n jedinicni vektor okomit na element površine i usmjeren prema van u odnosu napromatrani valjak.

Opcenito, dielektricnu tvar možemo u mislima razdijeliti na mnoštvo valjaka kao u prethod-nom primjeru i na svaki valjak primjeniti gornji postupak.

Ukoliko polarizacija nije konstantna, nego se mijenja unutar tvari, u unutrašnjosti tvari cese takoder pojaviti naboj polarizacije koji se opisuje volumnom gustocom vezanih naboja ρvez.Može se pokazati (strana ...) da je

ρvez =−−→∇~P(~r).

Ocito, ako je ~P homogen,−→∇~P(~r)=−ρvez = 0 i naboj polarizacije se pojavljuje samo na površini.

Prema nacelu pridodavanja, ukupan potencijal u tocki~r koji potjece od slobodnih nabojaσ0,ρ0 i od vezanih naboja σvez,ρvez je zbroj pojedinih potencijala

V (~r) =1

4πε0

∫V

ρ0(~r ′)+ρvez(~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′ +1

4πε0

∫S

σ0(~r ′)+σvez(~r ′)|~r −~r ′|

d2r ′ . (7.7)

Izvedimo opcenitije izraze za gornje σvez,ρvez.dovršiti


7.3.2 Gaußov zakon u dielektricnoj srediniUkoliko se slobodni naboji nalaze u dielektricnoj sredini, rezultantno elektricno polje potjece iod slobodnih i od induciranih naboja (vezanih naboja), tj slobodni i inducirani (vezani) naboj jeizvor elektricnog polja. Uzmemo li to u obzir, u prvoj Maxwellovoj jednadžbi (diferencijalnioblik Gaußova zakona, ...), ρ oznacava zbroj volumnih gustoca i slobodnog ρ0 i induciranog(vezanog) naboja ρvez

−→∇~E =

ρ

ε0=

ρ0 +ρvez

ε0=

ρ0−−→∇~P

ε0,

−→∇ (~E ε0 +~P) = ρ0.

Definira li se vektor ELEKTRICNOG POMAKA−→D izrazom

−→D = ~E ε0 +~P ,

prva Maxwellova jednadžba u dielektricnoj sredini je oblika−→∇−→D = ρ0.

Primjetimo da za razliku od polja ~E , polje−→D ima izvore SAMO U SLOBODNIM nabojima

opisanim gustocom ρ0. Volumnom integracijom gornje jednadžbe i primjenom Gaußova teorema,..., dolazi se do integralnog oblika jednadžbe∫

V (S)

−→∇−→D d3r =

∫V (S)

ρ0 d3r = Q0(S),

Gaußov teorem

↓

∮S

−→D d~S = Q0(S),

gdje Q0(S) ukupan slobodni naboj sadržan unutar zatvorene plohe S. Primjetimo da rezultat neovisi o tome je li dielektrik homogen ili nije.

Vratimo se definicijskoj jednadžbi za−→D i izrazimo polarizaciju preko elektricnog polja

~P = α~E = ε0χ~E

−→D = ~E ε0 + ε0χ~E = ~E ε0(1+χ)

−→D = ~E ε0εr.

Iz definicije−→D = ~E ε0 +~P se vidi da su vektori

−→D i ~P iste dimenzije, a ta je površinska gustoca

naboja. Isto se vidi i dimenzijskom analizom gornje jednadžbe

[−→D ] = [ε0][εr] ·

1[ε0]

[Q]

[L2]=

[Q]

[L2]= [~P ].

Polje elektricnog pomaka je iste dimenzije kao i vektor polarizacije, a to je površinska gustocanaboja.

Ponovimo još jednom da polje ~E ima svoje izvore i ponore i u slobodnim i u vezanimnabojima, dok polje

−→D ima izvore i ponore samo u slobodnim nabojima. To znaci da ce silnice

polja−→D biti kontinuirane pri prolazu kroz dielektrik i ici ce od slobodnih pozitivnih prema

slobodnim negativnim nabojima.


7.3.3 Energija elektricnog polja u jednolikom dielektrikuPromatrat cemo jednoliki dielektrik opisan dielektricnom konstantom εr, koja ima istu vrijednostu svim tockama dielektrika

εr = const,−→∇ εr = 0.

Uz konstantni εr vrijedi

−→∇−→D =

−→∇ (ε0εr~E ) = ρ0 ⇒

−→∇~E =

ρ0

ε0εr,

gdje ρ0 gustoca slobodnih naboja. Iz veze polja i potencijala ~E =−−→∇V , dolazi se do Poissonove

jednadžbe u homogenom dielektriku

∇2V =− ρ0

ε0εr, (7.8)

s partikularnim rješenjem

V (~r) =1

4π ε0 εr

∫V

ρ0(~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′ .

Izvedimo i integralni izraz za−→D

−→D = ε0εr~E = ε0εr

14π ε0 εr

∫ρ0(~r ′)

~r−~r ′

|~r −~r ′|3d3r ′ =

14π

∫ρ0(~r ′)

~r−~r ′

|~r −~r ′|3d3r ′ .

Primjetimo da−→D ne ovisi o dielektricnoj konstanti εr.

Izvedimo i izraz za energiju elektricnog polja, ..., u dielektriku

Ep =12

∫ρ0(~r)V (~r) d3r,

=12

∫[−→∇−→D (~r)]V (~r) d3r,

=12

∫ −→∇ [−→D (~r)V (~r)] d3r− 1

2

∫[−→∇V ]−→D (~r) d3r,

=12

∮S

−→D (~r)V (~r) d~S +

12

∫V (S)

~E (~r)−→D (~r) d3r,

pri cemu smo u gornjem izvodu primjenili parcijalnu derivaciju i Gaußov teorem. Energija sesastoji od dva dijela: energije na površini promatrane plohe (prvi clan desne strane) i energijeunutar volumena promatrane zatvorene plohe (drugi clan desne strane). U slucaju integracije pocijelom prostoru, ploha S je u beskonacnosti gdje i potencijal V i pomak polja

−→D išcezavaju, pa

išcezava i cijeli plošni integral. U tom je slucaju

Ep =12

∫V (S)

~E (~r)−→D (~r) d3r.

Podintegralnu funkciju prepoznajemo kao volumnu gustocu energije

dEp

dV=

12~E (~r)−→D (~r).


Zadatak 7.1 Dva beskonacno duga šuplja koncentricna valjka polumjera Ru i Rv, naelek-trizirana su konstantnom površinskom gustocom naboja +σ0 i −σ0. Prostorizmedu njih je ispunjen dielektrikom relativne dielektricne konstante εr,u zaRu ≤ ρ ≤ R0, dielektrikom relativne dielektricne konstante εr,v za R0 ≤ ρ ≤ Rv,gdje je Ru ≤ R0 ≤ Rv. Izracunajte razliku potencijala medu valjcima.

Rješenje:Zbog simetrije, zadatka je

−→D = D(ρ)~eρ ,

pa primjenom Gaußova zakona, ...,

∮S

−→D d~S = Q0(S),


x

y

Ru

R0

Rv

r, v

r, u

uz odabir plohe S oblika valjka koncentricnog sa zadanim valjcima i visine h, dobivamo uprostoru izmedu valjaka Ru ≤ ρ ≤ Rv

∮S

−→D d~S = D2ρπh = Q(S) = +σ02Ruπh

−→D = σ0

Ru

ρ~eρ ,

gdje je sada ρ radijalna varijabla polarnog koordinatnog sustava. Polje−→D je kontinuirana

funkcija u prostoru izmedu valjaka, dana gornjim izrazom. To nije istina i za polje ~E koje se,


sukladno vezama,

−→D =

ε0εr,u~E u, Ru ≤ ρ ≤ R0,

ε0εr,v~E v, R0 ≤ ρ ≤ Rv.

⇒ ~E u =σ0

ε0εr,u

Ru

ρ~eρ Ru ≤ ρ ≤ R0,

~E v =σ0

ε0εr,v

Ru

ρ~eρ R0 ≤ ρ ≤ Rv

skokovito mijenja na granici dva dielektrika. Kada znamo polje ~E , potencijal je lako dobitivezom, ...,

dV =−~E d~r =−E~eρ d(ρ~eρ + z~ez ) =−Edρ

−∫ Rv

Ru

dV =∫ Rv

Ru

Edρ =∫ R0

Ru

Eudρ +∫ Rv

R0

Evdρ

−[V (Rv)−V (Ru)] =∫ R0

Ru

σ0

ε0εr,u

Ru

ρdρ +

∫ Rv

R0

σ0

ε0εr,v

Ru

ρdρ

∆V =σ0Ru

ε0

[1

εr,u

∫ R0

Ru

dρ

ρ+

1εr,v

∫ Rv

R0

dρ

ρ

]

=σ0Ru

ε0

[1

εr,uln

R0

Ru+

1εr,v

lnRv

R0

].

7.3.4 Rubni uvjeti na granici dva dielektrikadovršiti

7.3.5 Elektricno polje jednoliko polarizirane kugleZadana je kugla jednoliko polarizirana gustocom polarizacije iznosa P. Potrebno je izracunatielektricno polje unutar i izvan kugle.

Prisjetimo se, najprije, izraza koji smo ranije izveli, ..., za elektricno polje unutar homogenonaelektrizirane kugle polumjera R i ukupnog naboja Q

~E in(~r) =1

4πε0

QR3~r.

Sada želimo izracunati elektricno polje jednoliko polarizirane kugle (slika 7.12) Možemo zamis-liti da je jednoliko polarizirana kugla nastala tako što smo u pocetku imali dvije koncentricnekugle polumjera R, naelektrizirane nabojima +Q i −Q. Zatim smo središta tih kugli pomakli zamale iznose ±l/2 kao na slici ... . Pomak l/2 je mali, pa je rezultantno tijelo opet slicno kugli,ali je sada jednoliko ispunjeno dipolima, tj. dobili smo kuglu jednolike gustoce polarizacije ~P .

Prema definiciji vektora gustoce polarizacije (tj. gustoce dipolnih momenata)

~P =d~pdV


Slika 7.12: Uz elektricno polje jednoliko polarizirane kugle.

+ +

+ +

- -

- -= l

je

d~p = ∑ dq~l = ~PdV/∫

kugla,

∫d~p = Q~l = ~PVkugle,

~P =Q~l

(4/3)R3π.

Oznacimo s~r± udaljenosti tocke u kojoj racunamo polje od središta pozitivne, tj. negativnekugle (slika 7.13)

Slika 7.13: Elektricno polje izvan jednoliko po-larizirane kugle, kao zbroj .... .

r+

r-

r

x

y

z

Slika 7.14: Elektricno polje unutar i izvan jed-noliko polarizirane kugle.

P

Eout

Ein

> > > >

12~l +~r+ =~r − 1

2~l +~r− =~r.

Polje unutar kugle racunamo kao zbroj polja koja potjecu od obje kugle

~E in =1

4πε0

QR3 (~r+−~r−) =

14πε0

QR3

(~r− 1

2~l −~r− 1

2~l)

= − 14πε0

Q~lR3 =− 1

4πε0

43

π~P =−13

~Pε0.

Primjetimo da je ~E in konstantno i da su ~E in i ~P antiparalelni vektori (sjetimo se da je ~E usmjerenod pozitivnih prema negativnim nabojima, a ~P od negativnih prema pozitivnim). Kugla s


pozitivnim/negativnim nabojem u prostoru izvan kugle stvara elekticno polje jednako poljutockastog naboja iznosa ±Q smještenog u tocki ±(l/2)~ez . Zato je polje izvan kugle jednakopolju dipola, ..., iznosa ~p = Q~l smještenog u središtu kugle

~E out = ~E dip =1

4πε0

3(~p~r)~r− (~r~r)~pr5 .

Izracunajmo skok elektricnog polja na površini kugle r = z = R za npr. z komponentu polja.

Eout,z =1

4πε0

3(pz)z− pr2

r5 =p

4πε0

2R3 =

14πε0

P43

R3π

2R3 = 2

P3ε0

Unutar kugle je polje konstantno

Ein,z =−P

3ε0,

pa je skok u iznosu z komponente elektricnog polja (slika 7.14)

∆Ez = Eout,z−Ein,z = 2P

3ε0−(− P

3ε0

)=

Pε0.

Sjetimo li se, ..., da je P = σvez, gornju relaciju možemo napisati u opcenitom obliku

∆E =σvez

ε0,

iz kojega se vidi da skok elektricnog polja potjece od površinske gustoce naboja na granici dvasredstva.

Primjetimo još, na kraju, da nam gornji rezultati omogucavaju izracunati elektricno polje uunutrašnjosti sferne šupljine unutar beskonacnog dielektrika (slika 7.15) U skladu s nacelom

Slika 7.15: Elektricno polje u unutrašnjosti sferne šupljine unutar beskonacnog dielektrika.

= -r

r

r

pridodavanja polja, polje u šupljini je jednako polju u dielektriku bez šupljine minus poljedielektrika oblika kugle

~E = ~E jedn−~E kugle. (7.9)

No, ~E kugle smo upravo izracunali, to je polje ~E in =−~P/(3ε0) unutar dielektricne kugle, pa je

~E = ~E jedn +~P

3ε0. (7.10)


Polarizaciju možemo izraziti preko ~E jedn

−→D jedn = ε0~E jedn +~P = ε0εr~E jedn

~P = ε0~E jedn(εr−1)

~E = ~E jedn +1

3ε0ε0~E jedn(εr−1)

= ~E jedn

[1+

εr

3− 1

3

]= ~E jedn

2+ εr

3.

Buduci da je εr > 1, zakljucujemo da je polje u šupljini jednoliko i veceg iznosa nego u okolnomdielektriku.

7.3.6 Dielektricna kugla u jednolikom vanjskom elektricnom polju

Slika 7.16: Rezultantno elektricno polje od dielektricne kugle konstantne polarizacije ~P ijednolikog vanjskog elektricnog polja ~E 0.

> > > >

+ + + +

- - - -

E0

+ P = > > >>

>

>>> >

> >

U jednolikom vanjskom elektricnom polju, dielektricna kugla ce se polarizirati. Ukupnopolje ce biti zbroj vanjskog polja ~E 0 i polja koje ce stvoriti naboj polarizacije na površini kugle(slika 7.16)

~E tot,in = ~E 0 +~E in

~E tot,out = ~E 0 +~E out ,

gdje ~E tot,in/out oznacava ukupno polje u i izvan kugle, a ~E in/out polje u i izvan kugle koje stvarasama kugla.

Izracunajmo najprije polje u kugli. Vektor gustoce polarizacije ~P je srazmjeran ukupnompolju

~P = χε0~E tot,in = (εr−1)ε0~E tot,in.


Polje unutar jednoliko polarizirane kugle smo vec izracunali, (...),

~E in =−~P

3ε0,

pa možemo uvrštavati

~E tot,in = ~E 0−~P

3ε0= ~E 0−

(εr−1)ε0~E tot,in

3ε0

⇒ ~E tot,in =3

2+ εr~E 0.

Buduci da je εr > 1, polje u kugli je konstantno, paralelno s vanjskim poljem i manjeg je iznosaod vanjskog polja. Sada se možemo vratiti izrazu za polarizaciju

~P = (εr−1)ε0~E tot,in = (εr−1)ε03

2+ εr~E 0,

cime se opravdava pretpostavka o jednolikoj polarizaciji unutar kugle (?!).Ukupno polje izvan kugle je jednako zbroju vanjskog polja ~E 0 i polja dipola iznosa

~p = ~P43

R3π.

~E tot,out = ~E 0 +1

4πε0

3(~p ·~er )~er −~pr3 .

7.3.7 Vremenski promjenjiva polarizacijaAko se dielektrik nalazi u vremenski promjenjivom elektricnom polju ~E (t), u njemu ce seinducirati vremenski promjenjivi dipoli, koje opet možemo opisati vektorom gustoce polarizacije

~P(t) =d~p(t)

dV=

dNqd~rdV

= nqd~r(t),

gdje je

d~p = ∑~p = dNqd~r

zbroj elementarnih dipola u malom volumenu dV , a

n =dNdV

je koncentracija ili brojcana gustoca vezanih naboja. Gibanje vezanog naboja ce proizvestivezanu struju ~j vez

∂~P∂ t

= nqd~rdt

= nq~v = ~j vez.

U cetvrtoj Maxwellovoj jednadžbi

−→∇ × ~B = µ0~j +µ0ε0

∂~E∂ t

,


ovu struju treba pribrojiti struji slobodnih naboja ~j 0

~j = ~j 0 +~j vez = ~j 0 +∂~P∂ t

.

Time ce se u jednadžbi umjesto polja ~E , pojaviti−→D

−→∇ × ~B = µ0

(~j +

∂~P∂ t

)+µ0ε0

∂~E∂ t

,

= µ0~j +µ0∂

∂ t

(~E ε0 +~P

),

−→D = ε0~E +~P ,

= µ0~j +µ0∂−→D

∂ t.

7.3.8 Metoda slika za dielektrikedovršiti

8. Magnetsko polje u tvari


8.1 Magnetski dipolU odjeljaku ... smo racunali magnetsko polje na osi simetrije kružne petlje polumjera R kojomtece stalna struja jakosti I. Sada cemo racunati vektorski potencijal ~A i indukciju magnetskogpolja ~B IZVAN OSI SIMETRIJE, ali na udaljenostima puno vecim od polumjera petlje (slika 8.1)

Slika 8.1: Kružna petlja kroz koju prolazi struja jakosti I, stvara magnetsko polje u tocki~r.

RR

x

y

z

I

r

d r'

r'

r >> R.

Ovaj je racun, u odredenom smislu, magnetski analogon racuna dipolnog skalarnog potencijalai polja elektricnog dipola iz poglavlja ... . Najprije cemo izracunati ~A , a zatim cemo iz njega,

132 Poglavlje 8. Magnetsko polje u tvari

operacijom rotacije, dobiti ~B .

Vektorski potencijal racunamo prema, ...,

~A(~r) =µ0

4π

∫ ~j (~r ′)d3r ′

|~r −~r ′|=

µ0

4πI∫ d~r ′

|~r −~r ′|.

Prema slici 8.1 je

~r = r~er = r(~ex sinθ cosϕ +~ey sinθ sinϕ +~ez cosϕ)

~r ′ = Rρ′ = R(~ex cosϕ

′+~ey sinϕ′)

d~r ′ = Rdϕ′ = Rdϕ

′ (−~ex sinϕ′+~ey cosϕ

′)

|~r −~r ′| = [r2 +R2−2rRsinθ(cosϕ cosϕ′+ sinϕ sinϕ

′)]1/2 = [r2 +R2−2rRsinθ cos(ϕ−ϕ′)]1/2,

što, uvršteno u ~A , daje

~A(~r)=µ0

4πI∫ 2π

0

Rdϕ ′(−~ex sinϕ ′+~ey cosϕ ′)√r2 +R2−2rRsinθ cos(ϕ−ϕ ′)

=µ0

4π

IRr

∫ 2π

0

dϕ ′(−~ex sinϕ ′+~ey cosϕ ′)√1+ R2

r2 −2 Rr sinθ cos(ϕ−ϕ ′)

.

Daleko od petlje je R/r << 1, pa se može izvesti Taylorov razvoj po maloj velicini R/r upodintegralnoj funkciji

(1+ x)−1/2 = 1− 12

x+O(x2).

U našem je primjeru

x =−2Rr

sinθ cos(ϕ−ϕ′)+O

(R2

r2

).

Uvrštavanjem dobivamo dva najveca clana (jer smo ostale clanove zanemarili kao manje od ovihkoje smo zadržali) u razvoju vektorskog potencijala

~A(~r) =µ0I4π

Rr

∫ 2π

0dϕ′(−~ex sinϕ

′+~ey cosϕ′)

[1− 1

2

(−2

Rr

sinθ cos(ϕ−ϕ′)

)+O

(R2

r2

)]

=µ0I4π

Rr

∫ 2π


′+~ey cosϕ′)

[1+

Rr

sinθ cos(ϕ−ϕ′)+O

(R2

r2

)].

Buduci da je

∫ 2π

0dxsinx =

∫ 2π

0dxcosx = 0,

ocito je da clan s 1 iz uglate zagrade, nakon integracije daje nulu, tako da nam preostaje još


izracunati

~A(~r) =µ0I4π

R2

r2 sinθ

∫ 2π


′+~ey cosϕ′)cos(ϕ−ϕ

′)+O

(R3

r3

)

=µ0I4π

R2

r2 sinθ

(−~ex I1 +~ey I2

)+O

(R3

r3

)

I1 =∫ 2π

0dϕ′ sinϕ

′ cos(ϕ−ϕ′),

I2 =∫ 2π

0dϕ′ cosϕ

′ cos(ϕ−ϕ′).

Izracunajmo integrale I j

I1 =∫ 2π

0dϕ′ sinϕ

′ cos(ϕ−ϕ′)

=∫ 2π

0dϕ′ sinϕ

′(cosϕ cosϕ′+ sinϕ sinϕ

′)

= cosϕ

∫ 2π

0dϕ′ sinϕ

′ cosϕ′+ sinϕ

∫ 2π

0dϕ′ sin2

ϕ′

= 0+ sinϕ

(ϕ ′

2− 1

4sin2ϕ

′)2π

0= π sinϕ.

I2 =∫ 2π

0dϕ′ cosϕ

′ cos(ϕ−ϕ′)

=∫ 2π

0dϕ′ cosϕ

′(cosϕ cosϕ′+ sinϕ sinϕ

′)

= cosϕ

∫ 2π

0dϕ′ cos2

ϕ′+ sinϕ

∫ 2π

0dϕ′ sinϕ

′ cosϕ′

= sinϕ

(ϕ ′

2+

14

sin2ϕ′)2π

0+0 = π cosϕ.

Sve zajedno, za vodeci clan u razvoju vektorskog potencijala dobivamo

~A(~r)' µ0I4π

R2

r2 sinθ π(−~ex sinϕ +~ey cosϕ).

Izraz u okrugloj zagradi prepoznajemo kao~eϕ =−~ex sinϕ +~ey cosϕ , pa konacno dobivamo

~A(~r)' µ0I4

R2

r2 sinθ ~eϕ . (8.1)

Ovo možemo napisati preglednije prisjetimo li se izraza za magnetski dipolni moment kružnepetlje, ...,

~m = IR2π~ez .


Tada je

~m ×~r = IR2π~ez × (ρ~eρ + z~ez ) = IR2

π r sinθ︸︷︷︸= ρ

~eϕ

(gdje smo uvrstili ρ = r sinθ ). Usporedbom s izrazom za vektorski potencijal, (8.1), vidimo dase on može napisati kao

~A(~r) =µ0

4π

~m ×~rr3 .

Gornji izraz vrijedi samo na velikim udaljenostima od petlje, r >> R. Prisjetimo li se izraza zaskalarni potencijal dipola, ..., iz poglavlja ...,

Vd(~r) =1

4πε0

~p ·~rr3 ,

vidimo da su oba potencijala istog oblika, tj kružna petlja kojom tece stalna struja je magnetos-tatski analog elektrostatskog dipola.Kada imamo vektorski potencijal, onda izrazom ~B =

−→∇ × ~A , možemo izracunati i magnetsko

polje kružne petlje na velikim udaljenostima od petlje:

~A(~r) =µ0I4

R2

r2 sinθ(−~ex sinϕ +~ey cosϕ),

cosθ =zr=

z√x2 + y2 + z2

, cosϕ =x√

x2 + y2,

sinθ =ρ

r=

√x2 + y2√

x2 + y2 + z2, sinϕ =

y√x2 + y2

,

~A(~r) =µ0I4π

R2

r2

√x2 + y2

r

(−~ex

y√x2 + y2

+~eyx√

x2 + y2− µ0I4 R2 y

r3

),

=µ0I4

R2

r3 (−~ex y+~ey x) =~ex Ax +~ey Ay +~ez 0.

Ax = −µ0I4

R2 yr3 =−µ0I

4R2 y

(x2 + y2 + z2)3/2 ,

Ay =µ0I4

R2 xr3 =

µ0I4

R2 x(x2 + y2 + z2)3/2 ,

Az = 0.


Kada imamo vektorski potencijal, indukciju magnetskog polja dobivamo njegovom rotacijom

Bx =∂Az

∂y−

∂Ay

∂ z, By =

∂Ax

∂ z− ∂Az

∂x, Bz =

∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y,

Bx = − ∂

∂ zµ0I4

R2 x(x2 + y2 + z2)3/2 =−µ0I

4R2x

∂

∂ z(x2 + y2 + z2)−3/2

= −µ0I4

R2x(−)32

r−52z =µ0I4

R2 3xzr5

By =∂Ax

∂ z=−µ0I

4R2y

∂

∂ z(x2 + y2 + z2)−3/2 =−µ0I

4R2y(−)3

2r−52z

=µ0I4

R2 3yzr5

Bz =∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y=

µ0I4

R2(

∂

∂xxr3 −

∂

∂y−yr3

)

=µ0I4

R2(

1r3 + x

−32

r−52x+1r3 + y

−32

r−52y)=

µ0I4

R2[

2r3 −

3(x2 + y2)

r5

]

=µ0I4

R2 2r2−3(r2− z2)

r5 =µ0I4

R2 3z2− r2

r5 .

Uvedemo li magnetski dipolni moment kružne petlje, ...,

m = IR2π,

možemo pregledno napisati

Bx =µ0

4πm

3xzr5 , By =

µ0

4πm

3yzr5 , Bz =

µ0

4πm

3z2− r2

r5 ,

~B =µ0

4πm

3xz~ex +3yz~ey +(3z2− r2)~ez

r5 .

Prijelazom iz pravokutnog u sferni koordinatni sustav

x = r sinθ cosϕ,

y = r sinθ sinϕ,

z = r cosθ ,

izraz za ~B postaje puno pregledniji

~B =µ0

4πm

3r2 sinθ cosϕ cosθ~ex +3r2 sinθ sinϕ cosθ~ey + r2(3cos2 θ −1)~ez

r5

=µ0

4π

mr3

[3cosθ(sinθ cosϕ~ex + sinθ sinϕ~ey + cosθ~ez )−~ez

].

Prisjetimo li se izraza za jedinicni vektor~er , sfernog koordinatnog sustava, ...,

~er = sinθ cosϕ ~ex + sinθ sinϕ ~ey + cosθ ~ez ,


gornji izraz postaje jednak

~B =µ0

4π

mr3 (3cosθ~er −~ez ).

Uvede li se i vektor magnetskog dipolnog momenta

~m = m~ez ,

tada je

~m ·~er = mcosθ ,

pa dolazimo do konacnog izraza za indukciju magnetskog polje kružne petlje na velikim udalje-nostima od petlje

~B =µ0

4π

3(~m ·~er )~er −~mr3 .

To je polje potpuno istog oblika kao i polje elektricnog dipola na velikim udaljenostima oddipola, ..., koje smo izveli u poglavlju ....,

~E d =1

4πε0

3(~p ·~er )~er −~pr3 .

8.2 Multipolni razvoj vektorskog potencijala

Slicno multipolnom razvoju skalarnog potencijala, može se provesti i multipolni razvoj vektor-skog potencijala ~A(~r)

~A(~r) =µ0

4π

∫ ~j (~r ′)|~r −~r ′|

d3~r ′.

Promatra se raspodjela struja opisan gustocom struje ~j i proracunava vektorski potencijal navelikim udaljenostima od struja

r >> r ′ .

Zbog izotropnosti prostora, koordinatni sustav se postavi tako da tocka ~r u kojoj racunamopotencijal leži na osi z. Nazivnik podintegralne funkcije je isti kao i kod skalarnog potencijala,..., pa se njegovim razvojem po maloj velicini r ′ /r dolazi i do istog rezultata

1|~r −~r ′|

=1r

[1+

r ′

rcosθ

′+12

r ′ 2

r2 (3cos2θ′−1)+

32

r ′ 3

r3 cosθ′(

53

cos2θ′−1

)+O

(r ′ 4

r4

)].

8.3 Elektricne struje u atomima 137

Uvrštavanjem gornjeg razvoja, dobivamo vektorski potencijal kao red potencija, ciji je svakislijedeci clan manji od prethodnog

~A(~r) =µ0

4π

1r

[ ∫~j (~r ′)d3r ′

+1r

∫r ′ cosθ

′~j (~r ′)d3r ′

+1

2r2

∫r ′ 2(3cos2

θ′−1)~j (~r ′)d3r ′

+3

2r3

∫r ′ 3 cosθ

′(

53

cos2θ′−1

)~j (~r ′)d3r ′

+ O

(r ′ 4

r4

) ].

dovršiti

8.3 Elektricne struje u atomimaU vrlo pojednostavljenom, Bohrovom, cesticnom modelu atoma, vodikov se atom sastoji odpozitivnog protona (jezgra) i negativnog elektrona koji se giba oko nepomicnog protona pokružnoj putanji1 polumjera a0. Na elektron pri tome djeluju privlacna kulonska i odbojnacentrifugalna sila (slika 8.2). Stabilno stanje atoma se ostvaruje kada su te dvije sile istog iznosa,

Slika 8.2: Uz Bohrov model vodikova atoma.

+

-

Fcf

FCoul

-

>

>

>

<qe

a suprotnog smjera. Ovaj uvjet omogucava izracunavanje brzine kruženja

Fc f =mev2

a0=

14πε0

q2e

a20= FCoul,

⇒ v =

√1

4πε0

q2e

mea0.

1Kvantnomehanicki gledano, elektron ima istovremeno i valna i cesticna svojstva, pa pojam putan je ektrona nijedobro definiran.


Elektron nosi naboj iznosa qe, pa njegovo kruženje predstavlja jednu mikroskopsku strujnukružnu petlju. Izracunajmo struju koju stvara elektron pri svom kruženju oko jezgre

I =dQdt

.

Oznakom dQ smo oznacili naboj koji u vremenu dt prode oznacenom površinom. Zbogkvantiziranosti naboja elektrona, taj je naboj nužno jednak

dQ = n qe, n = 0,1,2, · · · ,

gdje je n broj prolazaka elektrona kroz oznacenu površinu na slici 8.2, u vremenu dt. Taj brojse može izracunati ovako: neka je ds = vdt prijedeni put elektrona u vremenu dt. Buduci daelektron kruži oko jezgre, ds je oblika n puta opseg kružnice. Odatle je lako izracunati n, a zatimi struju

ds =

vdt,

n2a0 π , .

⇒ n =vdt

2a0π

I =nqe

dt=

vdtqe

2a0πdt=

vqe

2a0π.

Nadalje, možemo izracunati i magnetski dipolni moment, ..., ovog elektrona

~m = I ~S =vqe

2a0πa2

0π~ez =12

qe v a0.

To je magnetski dipolni moment vodikova atoma u Bohrovoj slici atoma.Još možemo izracunati i koliko je magnetsko polje koje stvara struja elektrona na mjestu

jezgre. Od ranije, ..., znamo izraz za indukciju magnetskog polja na osi simetrije strujne petljepolumjera R kojom prolazi struja jakosti I

~B(z) =µ0I2

R2

(z2 +R2)3/2~ez .

U ovom primjeru je z = 0 i R = a0,

B(z = 0) =µ0

2vqe

2a0π

a20

a30=

µ0

4π

vqe

a20.

Za atome složenije od vodikovog, gornji racun vrijedi samo približno. Opcento cemo smatratida atom posjeduje magnetski dipolni moment iznosa

m' 12

qe va0.

Promatramo li tvar kao sustav sastavljen od atoma na nekoj konacnoj temperaturi T > 0, once sadržavati velik broj (reda Avogadrovog broja, 1023) atoma od kojih ce svaki imati dipolnimoment gornjeg iznosa orjentiran nasumicno u prostoru. Promatra li se izdvojeni mali volumentvari dV , tada cemo s d~m oznaciti njegov ukupni magnetski dipolni moment

d~m = ∑j∈dV

~m j,

gdje gornja suma ide po svim atomima iz promatranog volumena dV .

8.4 Magnetsko polje u tvari 139

8.4 Magnetsko polje u tvariAko neki dio tvari u svim dijelovima svoga volumena sadrži jednoliko i gusto raspodijeljen velikbroj atomskih magnetskih dipola, koji su svi JEDNAKO usmjereni, kaže se da je tvar jednolikomagnetizirana.

Sada postupamo kao kod polarizacije dielektrika, ..., i uvodimo vektor gustoce magnetizacije~M kao omjer ukupnog broja magnetskih dipola d~m sadržanih u volumenu dV i samog togvolumena dV

~M =d~mdV

.

Dimenziju i mjernu jedinicu, u SI sustavu, gustoce magnetizacije možemo naci pomocu gornjejednadžbe

[~M] =[d~m ]

[dV ]=

[I][L2]

[L3]=

[I][L]

=Am.

Promatrajmo jednoliko magentiziranu tvar kao sa slike 8.3 i izdvojimo jedan njegov djelicvolumena dV = dSdz. Magnetski dipolni moment tog djelica možemo napisati na dva nacina:

Slika 8.3: Dio jednoliko magnetizirane tvari.

d z

M

d S

Slika 8.4: Dva nacina shvacanja magnetskogdipolnog momenta djelica tvari.

d Sd z

d Sd z

=

M

I

d m = d M d S d z d m = d S I

preko gustoce magnetizacije

d~m = ~MdV = ~MdSdz,

a možemo ga zamisliti i kao rezultat struje I koja tece po rubu promatranog dijela volumena

d~m = Id~S ,

kao što je to prikazano na slici 8.4. Dakle, umjesto da govorimo o gustoci magnetizacije M,možemo govoriti o struji jakosti

I = Mdz,

jer u oba slucaja dobivamo isti magnetski dipolni moment d~m . Prednost opisa preko struje I je uslijedecem. Ako želimo izracunati magnetski dipolni moment cijelog komada tvari, možemo gau mislima podijeliti na male kvadre. Struje po unutarnjim stranama kvadara se poništavaju (slika8.5), i preostaje samo vanjska rezultantna struja I po plohi debljine dz, takva da je

I = Mdz.

Promatrajmo pojedine komponente vektora ~M. Neka komponenta Mz nije konstantna, nego sepovecava u nekom smjeru koji cemo nazvati smjer osi y (slika 8.6, gore) Neka su kvadri dovoljno


Slika 8.5: Poništavanje struja na unutrašnjim stranicama kvadara.

rezultantna struja

mali, tako da je magnetizacija približno konstantna unutar svakog pojedinog kvadra. Iz gornjegrazmatranja slijedi da se magnetizacija Mz može zamijeniti strujom Iz = Mzdz, kao na slici 8.6,dolje. Kao rezultat medusobnog poništavanja struja na dodirnim plohama, dobije se rezultantnastruja u +~ex smjeru u iznosu

dI = dMzdz.

Buduci da se Mz mijenja u smjeru osi y, to je Mz = Mz(y), pa je

dMz =∂Mz

∂ydy

dI =∂Mz

∂ydydz (8.2)

u smjeru osi +~ex . Struju dI možemo napisati kao umnožak gustoce struje i diferencijala površineokomite na smjer struje

dI = jxdydz. (8.3)

Usporedbom (8.2) i (8.3), zakljucuje se da je

jx =∂Mz

∂y.

No, ovo nije i jedini doprinos struji u smjeru osi x. Drugi doprinos struji jx dolazi od komponentemagnetizacije usmjerene u~ey smjeru, a koja se povecava u smjeru osi z (slika 8.7, lijevo). Slicnimrazmatranjem kao u ovom primjeru, dolazimo do

dI = dMydy

dMy =∂My

∂ zdz ⇒ dI =

∂My

∂ zdzdy

dI = jxdydz ⇒ jx =∂My

∂ z,

8.4 Magnetsko polje u tvari 141

Slika 8.6: Gore: nejednoliko magnetizirana tvar cija se magnetizacija povecava u smjeru osi y.Dolje: magnetizacija Mz može se zamijeniti strujom Iz = Mzdz

Mz

Mz+d M

zM

z+2 d M

z

d z

d yx

y

z

I = M

z dz

I + d

I =

(Mz+

d M

z) d

z

x

yI +

2 d

I =

(Mz+

2 d

Mz)

dz

I I + d I I + 2 d I

ali je sada struja usmjerena u −~ex smjeru (slika 8.7, desno). Ukupna gustoca struje u smjeru osix je zbroj oba doprinosa

jx =∂Mz

∂y−

∂My

∂ z= (−→∇ × ~M)x,

što lako prepoznajemo kao x komponentu rotacije gustoce magnetizacije. Slicnim postupkomse mogu dobiti i jy i jz komponente gustoce struje, tako da se konacno za cijelu gustocu strujemagnetizacije dobije

~j mgn =−→∇ × ~M. (8.4)

Sada možemo zakljuciti da se ukupna gustoca struje sastoji od doprinosa slobodnih naboja ~j ,doprinosa od gustoce polarizacije veznog naboja ∂~P/∂ t, ..., i od doprinosa gustoce magnetizacije(8.4)

~j uk = ~j +∂~P∂ t

+−→∇ × ~M.


Slika 8.7: Gore: nejednoliko magnetizirana tvar cija se magnetizacija povecava u smjeru osi z.Dolje: magnetizacija My može se zamijeniti strujom Iy = Mydy

My

My+d M

y

My+2 d M

y

d y

x

y

z

x

z

I

I + dI

I + 2 dI

d I

d I

Cetvrta Maxwellova jednadžba sada glasi

−→∇ × ~B = µ0~j uk +µ0ε0

∂~E∂ t

−→∇ × ~B = µ0

(~j +

∂~P∂ t

+−→∇ × ~M

)+µ0ε0

∂~E∂ t

−→∇ × (~B −µ0 ~M) = µ0~j +µ0ε0

∂

∂ t

(~E +

~Pε0

)−→∇ ×

(~Bµ0− ~M

)= ~j + ε0

∂

∂ t

(~E +

~Pε0

).

Kao što smo u elektrostatici uveli polje elektricnog pomaka−→D relacijom, ...,

−→D = ε0~E +~P ,

tako sada uvodimo jakost magnetskog polja−→H izrazom

−→H =

1µ0

~B − ~M

(primjetimo da su−→H i ~M iste dimenzije i mjere se u A/m). U terminima polja

−→H i−→D , cetvrta

Maxwellova jednadžba poprima svoj konacni oblik

−→∇ × −→H = ~j +

∂−→D

∂ t.

Prema tome vrtlozi magnetskog polja potjecu od struja slobodnih naboja, dok vrtlozi indukcijemagnetskog polja potjecu od struja i slobodnih i vezanih naboja. U odsustvu elektricnog polja

8.5 Sažetak: Maxwellove jednadžbe 143

−→D = 0, gornju jednadžbu možemo transformirati u integralni oblik

−→∇ × −→H = ~j

/ ∫S

d~S

∫S

d~S−→∇ × −→H =

∫S

d~S~j = I

↓Stokes tm.

↓∮c(S)

−→H d~r = I,

gdje I struja slobodnih naboja koja prolazi plohom S ciji je rub petlja c. Primjetimo da jakostmagnetskog polja nije nužno bezizvorno polje kao ~B , nego da ono ima izvor u prostornimnejednolikostima gustoce magnetizacije

−→H =

1µ0

~B − ~M,

−→∇−→H =

1µ0

−→∇~B︸︷︷︸

= 0

−−→∇ ~M,

−→∇−→H = −

−→∇ ~M.

Kao što je polarizacija tvari izazvana vanjskim elektricnim poljem, tako je i magnetizacija tvariizazvana vanjskim magnetskim poljem. Za vanjska polja polja male jakosti, postojat ce linearnaveza medu njima

~M = χm−→H ,

gdje se konstanta srazmjernosti χm zove magnetska susceptibilnost. Sada se može pisati

~B = µ0(−→H + ~M) = µ0(1+χm)

−→H .

Nazovemo li konstantu

1+χm = µr

relativnom magnetskom permeabilnošcu, dolazimo do izravne veze izmedu ~B i−→H

~B = µ0µr−→H .

8.4.1 Rubni uvjeti na granici dva sredstva s razlicitim vrijednostima µr

dovršiti

8.5 Sažetak: Maxwellove jednadžbeNapišimo Maxwellove jednadžbe elektromagnetskog polja u sredstvu opisanom konstantama εr

i µr u prisustvu slobodnih naboja i struja opisanih gustocama ρ i ~j .−→∇−→D = ρ,

−→∇~B = 0,

−→∇ × ~E = −∂~B

∂ t,

−→∇ × −→H = ~j +

∂−→D

∂ t.


Ove jednadžbe još treba dopuniti vezama izmedu polja koja se u njima pojavljuju−→D = ε0~E +~P = ε0εr~E ,

−→H =

1µ0

~B − ~M =1

µ0µr~B

i Lorentzovom silom

~F = q(~E +~v×~B).

SACUVANJE NABOJA -JEDNADŽBA KONTINUITETA

Pokažimo još da Maxwellove jednadžbe sadrže u sebi i zakon o sacuvanju naboja (jednadžbukontinuiteta). Za homogeno sredstvo su εr = const i µr = const.

−→∇~E =

ρ

ε0εr

/∂

∂ t

∂

∂ t−→∇~E =

1ε0εr

∂ ρ

∂ t.

S druge strane, jednadžba za rotaciju ~B daje

−→∇ × ~B = µ0µr~j +µ0µrε0εr

∂ ~E∂ t

/−→∇ ·

−→∇ (−→∇ × ~B) = 0 = µ0µr

−→∇~j +µ0µrε0εr

∂

∂ t−→∇~E = µ0µr

−→∇~j +µ0µrε0εr

1ε0εr

∂ ρ

∂ t,

što je upravo zakon o sacuvanju naboja

−→∇~j +

∂ ρ

∂ t= 0. (8.5)

9. Elektromagnetski valovi


9.1 Sacuvanje energije elektromagnetskog polja

Promatrajmo skup naelektriziranih cestica koje se gibaju u elektromagnetskom polju. Neka jenaboj pojedine cestice d q i neka se giba brzinom~v. Elektromagnetsko polje djeluje na pojedinucesticu Lorentzovom silom, ...

d~FL = d q (~E +~v× ~B).

Rad Lorentzove sile nad cesticom u kratkom vremenskom intervalu d t (snaga) je jednak

d~FL d~rd t

= d~FL~v = d q(~E +~v× ~B) ·~v = d q~v~E ,

tj. sav rad potjece od elektricnog polja. Ukupan rad nad svim cesticama se dobije zbrajanjem(ako se radi o diskretnom skupu cestica) tj. integracijom (ako smatramo da su cestice opisanegustocom naboja ρ) d q = ρ d3 r

dWd t

=∫

ρ(~r)~v(~r)~E (~r)d3r, ~j = ρ~v

dWd t

=∫

~j (~r)~E (~r)d3r (9.1)

Gornji izraz daje snagu koju gubi elektromagnetsko polje (opisano samo s ~E , jer ~B ne obavljarad) vršeci rad nad elektricnim nabojem tj. strujom naboja opisanom s ~j , unutar volumena V =∫

d3r. Na taj se nacin elektromagnetska energija pretvara u mehanicku energiju (povecavajucibrzinu naboja) i/ili u toplinsku energiju (sudarima - medusobnim ili sa okolnim cesticama - semehanicka energija pretvara u toplinsku).

Koristeci Maxwellovu jednadžbu, ...,

~j =−→∇ × −→H − ∂

−→D

∂ t

146 Poglavlje 9. Elektromagnetski valovi

može se gornji izraz napisati kao

dWd t

=∫ [−→

∇ × −→H − ∂−→D

∂ t

]~E d3r =

∫~E (−→∇ × −→H )d3r−

∫~E

∂−→D

∂ td3r.

Uz vektorski identitet−→∇ (~E × −→H ) =

−→H (−→∇ × ~E )−~E (

−→∇ × −→H ),

može se dalje pisati

dWd t

=∫ [−→

H (−→∇ × ~E )−

−→∇ (~E × −→H )

]−∫

~E∂−→D

∂ td3r.

Maxwell ⇒−→∇ × ~E = − ∂ ~B

∂ t,

dWd t

= −∫

d3r

[−→H

∂ ~B∂ t

+ ~E∂−→D

∂ t

]−∫

d3r−→∇ (~E × −→H ).

Sjetimo li se da je

~B = µ0µr−→H ,

za konstantne µ0 i µr, prvi clan uglate zagrade možemo napisati kao

−→H

∂ ~B∂ t

= µ0µr−→H

∂−→H

∂ t= µ0µr

12

∂−→H 2

∂ t=

12

∂

∂ t(µ0µr

−→H−→H ) =

12

∂

∂ t(~B−→H ).

Slicnim postupkom, a pomocu veze

−→D = ε0 εr~E ,

dolazi se i do

~E∂−→D

∂ t=

12

∂

∂ t(~E−→D ),

što sve zajedno daje

−dWd t

=∫

d3r∂

∂ t

−→H ~B +~E

−→D

2+∫

d3r−→∇ (~E × −→H ).

Oznacimo li volumnu gustocu elektromagnetske energije s

d EEM

dV≡ w =

12(−→H ~B +~E

−→D ),

i uvedemo li POYNTINGov vektor

P = ~E × −→H ,

(ne smije se brkati s vektorom gustoce polarizacije), gornja jednadžba glasi

−dWd t

=∫

d3r∂ w∂ t

+∫

d3r−→∇P. (9.2)


Posljednji se clan može transformirati Gaussovim teoremom, tako da se dobije

−dWd t−∫

d3r∂

∂ td EEM

dV=

∮S(V )

P d~S

∂

∂ t(W +EEM) = −

∮S(V )

P d~S .

Gornja jednadžba kaže da je vremenska promjena mehanicke i elektromagnetske energije unutarpromatranog volumena V , jednaka toku energije kroz zatvorenu plohu S(V ) koja omeduje tajvolumen. Pri tome se vidi da Poyntingov vektor opisuje tok elektromagnetske energije. Ako suP i d~S istog smjera (d~S je usmjeren prema van u odnosu na volumen plohe), tada je integral nadesnoj strani pozitivan i cijela je desna strana negativna, tj. ukupna energija sustava se smanjujejer elektromagnetska energija (nošena Poyntingovim vektorom) izlazi iz sustava (promatranogvolumena).

Gornjoj integralna jednadžba daje bilancu energije u jednom konacnom dijelu prostora, ome-denom zatvorenom plohom S. Ta ista jednadžba se može transformirati i u diferencijalni oblik, pricemu cemo dobiti jednadžbu koja se odnosi na jednu odredenu tocku prostora. Kombiniranjemrelacija (9.1) i (9.2), dobiva se

−∫

~j ·~E d3r =∫ (

∂ w∂ t

+−→∇P

)d3r.

Buduci da ova jednadžba vrijedi za proizvoljni volumen, podintegralne funkcije moraju bitijednake

∂ w∂ t

+−→∇P =−~j ·~E . (9.3)

Ova jednadžba jeste zakon o sacuvanju elektromagnetske energije. Istog je oblika kao ijednadžba sacuvanja naboja (jednadžba kontinuiteta) koju smo izveli ranije, (8.5),

∂ ρ

∂ t+−→∇~j = 0,

s tom razlikom da sada na desnoj strani imamo clan koji predstavlja gubitak elektromagnetskeenergije uslijed obavljanja rada nad nabojem u gibanju. Ako naboj miruje, ~j = 0, i taj rad jenula.

9.2 Elektromagnetski valoviMaxwellove jednadžbe, ..., su vezani sustav parcijalnih diferencijalnih jednadžba prvog reda zaelektricno i magnetsko polje. Te se jednadžbe mogu razvezati tako da se dobiju jednadžbe ukojima se pojavljuje samo elektricno ili samo megnetsko polje. Ove nove jednadžbe više nisuprvog nego drugog reda i prepoznat cemo ih kao VALNE jednadžbe.

Krenimo od Maxwellovih jednadžba u homogenom sredstvu opisanom s µr = const. iεr = const. i u prisustvu slobodnih naboja ρ i struja ~j

−→∇−→D = ρ,

−→∇~B = 0,

−→∇ × ~E = −∂~B

∂ t,

−→∇ × −→H = ~j +

∂−→D

∂ t.


Ove jednadžbe još treba dopuniti vezama izmedu polja koja se u njima pojavljuju−→D = ε0~E +~P = ε0εr~E ,

−→H =

1µ0

~B − ~M =1

µ0µr~B

Svedimo Maxwellove jednadžbe na polja ~E i ~B−→∇~E =

ρ

ε0εr,

−→∇~B = 0,

−→∇ × ~E = −∂~B

∂ t,

−→∇ × ~B = µ0µr~j +µ0ε0µrεr

∂~E∂ t

.

Ako na jednadžbu za rotaciju elektricnog polja djelujemo operatorom rotacije, dobiva se

−→∇ × (

−→∇ × ~E ) = − ∂

∂ t(−→∇ × ~B),

−→∇ (−→∇~E )−∇2~E = − ∂

∂ t

(µ0µr~j +µ0ε0µrεr

∂~E∂ t

),

/(−)

−−→∇ ρ

ε0εr+∇2~E = µ0µr

∂~j∂ t

+µ0ε0µrεr∂ 2~E∂ t2 ,

∇2~E −µ0ε0µrεr∂ 2~E∂ t2 =

−→∇ ρ

ε0εr+µ0µr

∂~j∂ t

. (9.4)

Gornju jednadžbu prepoznajemo kao nehomogenu valnu jednadžbu1 za polje ~E . Val se gibabrzinom iznosa v, gdje je

v2 =1

µ0ε0µrεr,

a izvor vala s (kao source) su naboji i struje

−~s E =

−→∇ ρ

ε0εr+µ0µr

∂~j∂ t

.

U vakuumu, µr = εr = 1, se brzina elektromagnetskog vala oznacava s c i ona je jednaka

c =1

√µ0ε0

.

Brzina u sredstvu se tada može napisati kao

v =c

√µrεr

.

Kako je µrεr > 1, to je brzina elektromagnetskog vala u sredstvu kojim se širi, uvijek MANJA odbrzine u vakuumu.

1Vidjeti npr. [Glua]


Slicnim postupkom kao za polje ~E , dobiva se i valna jednadžba za polje ~B

−→∇ × (

−→∇ × ~B) = µ0µr(

−→∇ × ~j )+µ0ε0µrεr

∂

∂ t(−→∇ × ~E ),

−→∇ (−→∇~B)︸︷︷︸

= 0

−∇2~B = µ0µr(−→∇ × ~j )+µ0ε0µrεr

∂

∂ t

(−∂ ~B

∂ t,

)

∇2~B −µ0ε0µrεr∂ 2~B∂ t2 =−µ0µr(

−→∇ × ~j ). (9.5)

To je opet jednadžba vala koji se giba brzinom v, a izvor vala su strujni vrtlozi opisani s

~s B = µ0µr(−→∇ × ~j ).

Pokažimo da i skalarni, V , i vektorski, ~A , potencijali takoder zadovoljavaju valne jednadžbe.Uvrsti li se ~B =

−→∇ × ~A u maxwellovu jednadžbu za rotaciju elektricnog polja, dolazi se do

−→∇ × ~E +

∂ ~B∂ t

= 0

−→∇ × ~E +

∂

∂ t(−→∇ × ~A) = 0

−→∇ ×

(~E +

∂ ~A∂ t

)= 0.

Ako je rotacija necega jednaka nuli, onda to nešto mora biti oblika gradijenta skalarne funkcije.No, ako se vektorski potencijal ne mijenja s vremenom, elektricno polje je jednako negativnomgradijentu skalarnog potencijala, pa zakljucujemo da je

~E +∂ ~A∂ t

=−−→∇V ⇒ ~E =−

−→∇V − ∂ ~A

∂ t.

~B =−→∇ × ~A , ~E =−

−→∇V − ∂ ~A

∂ t. (9.6)

Za indukciju magnetskog polja ~B znamo, ..., da je invarijantno na baždarnu preobrazbu vektor-skog potencijala oblika, ...,

~A → ~A ′ = ~A +−→∇ Φ,

u smislu da i ~A i ~A ′ daju isto polje ~B (kao što smo ranije i pokazali). Pogledajmo na koju jetransformaciju potencijala invarijantno elektricno polje. Neka potencijali V i ~A daju polje ~E , a


potencijali V ′ i ~A ′ daju polje−→E ′

~E = −−→∇V − ∂ ~A

∂ t,

−→E ′ = −

−→∇V ′− ∂ ~A ′

∂ t=−−→∇V ′− ∂

∂ t(~A +

−→∇ Φ) =−

−→∇(

V ′+∂ Φ∂ t

)− ∂ ~A

∂ t.

Iz gornjih jednadžba i zahtjeva da bude ~E =−→E ′ slijedi da mora biti

V =V ′+∂ Φ∂ t

,

tj. preobrazbe potencijala

~A → ~A +−→∇ Φ, V →V − ∂ Φ

∂ t, (9.7)

daju ISTO elektricno i magnetsko polje.

Polazeci od Maxwellovih jednadžba i gornjih veza polja i potencijala, ..., izvedimo (valne)jednadžbe za skalarni i vektorski potencijal. Zapocnimo s vektorskim potencijalom

−→∇ × ~B = µ0µr~j +µ0ε0µrεr

∂ ~E∂ t

−→∇ × (

−→∇ × ~A) = µ0µr~j +µ0ε0µrεr

∂

∂ t

(−−→∇V − ∂ ~A

∂ t

),

−−→∇ (−→∇~A)+∇2~A = −µ0µr~j +µ0ε0µrεr

∂

∂ t−→∇V +µ0ε0µrεr

∂ 2~A∂ t2 ,

∇2~A −µ0ε0µrεr∂ 2~A∂ t2 −

−→∇[−→∇~A +µ0ε0µrεr

∂ V∂ t

]=−µ0µr~j .

Sada cemo pokazati da se uvijek može odabrati par potencijala (V,~A), takav da bude

−→∇~A +µ0ε0µrεr

∂ V∂ t

= 0.

Koristit cemo invarijantnost elektromagnetskog polja na preobrazbe potencijala, ...,

~A → ~A ′ = ~A +−→∇ Φ, V →V ′ =V − ∂ Φ

∂ t.

Izracunajmo

−→∇~A ′+µ0ε0µrεr

∂ V ′

∂ t=−→∇ (~A +

−→∇ Φ)+µ0ε0µrεr

∂

∂ t

(V − ∂ Φ

∂ t

)

=−→∇~A +µ0ε0µrεr

∂ V∂ t

+∇2Φ−µ0ε0µrεr∂ 2 Φ∂ t2 .

Ako je sada

−→∇~A +µ0ε0µrεr

∂ V∂ t

= f 6= 0,


gdje je f neka funkcija razlicita od nule, koristimo slobodu u odabiru baždarne funkcije Φ kojuodabiremo tako da je ona upravo rješenje jednadžbe

∇2Φ−µ0ε0µrεr∂ 2 Φ∂ t2 =− f ,

pa za potencijale vrijedi

−→∇~A ′+µ0ε0µrεr

∂ V ′

∂ t= 0. (9.8)

Ovakav izbor potencijala se zove LORENTZOVO BAŽDARENJE i u statickom slucaju

∂ V ′

∂ t= 0,

se svodi na COULOMBOVO BAŽDARENJE−→∇~A = 0,

koje smo ranije, ..., spominjali. Uz ovakav odabir potencijala, diferencijalna jednadžba zavektorski potencijal postaje

∇2~A −µ0ε0µrεr∂ 2~A∂ t2 =−µ0µr~j , (9.9)

koju prepoznajemo kao valnu jednadžbu s izvorom

~s A = µ0µr~j .

Vidimo, kao i ranije, ..., da je struja izvor vektorskog potencijala.

Slicnim postupkom se dobiva i diferencijalna jednadžbu za skalarni potencijal−→∇~E =

ρ

ε0εr,

−→∇

(−−→∇V − ∂ ~A

∂ t

)=

ρ

ε0εr,

−∇2V − ∂

∂ t−→∇~A) =

ρ

ε0εr,

Lorentz−→∇~A = −µ0ε0µrεr

∂ V∂ t

,

∇2V −µ0ε0µrεr∂ 2V∂ t2 =− ρ

ε0εr. (9.10)

Opet smo dobili valnu jednadžbu s elektricnim nabojem kao izvorom skalarnog potencijala

sV =ρ

ε0εr.


9.3 Rješenja Maxwellovih jednadžbaValne jednadžbe dobivene u prethodnom odjeljku cemo rješavati postupno:

(1) Najprije cemo, odjeljak 9.3.1, tražiti rješenje daleko od izvora, gdje jedesna strana jednadžbe jednaka nuli, a amplituda vala približno konstantna.Takvo cemo rješenje nazivati ravni val.

(2) Zatim cemo se malo približiti izvoru vala, ali još uvijek cemo tražitirješenje izvan podrucja gdje se nalazi izvor vala.Ovdje cemo kao rješenje dobiti kuglasti val, odjeljak 9.3.2.

(3) Na kraju cemo riješiti valnu jednadžbu i u onom dijelu prostora gdje se nalaziizvor vala, odjeljak 9.3.3.

9.3.1 Rješenje homogene valne jednadžbe u jednoj dimenzijiValne jednadžbe za polja i potencijale, ..., su nehomogene i opcenito su oblika

∇2Ψ− 1v2

∂ 2 Ψ∂ t2 =−sΨ,

gdje Ψ predstavlja bilo koju komponentu vektora ~E ,~B ,~A ili V .Radi jednostavnosti, najprije cemo rješavati homogene varijante valnih jednadžba, tj. tražit cemonjihova rješenja u dijelu prostora bez slobodnih naboja i struja. U tom slucaju, jednadžbe zaelektricno i magnetsko polje glase

∇2~E − 1v2

∂ 2~E∂ t2 = 0

∇2~B − 1v2

∂ 2~B∂ t2 = 0,

gdje je

v−2 = µ0ε0µrεr.

To je sustav od 6 skalarnih jednadžba za svaku od po tri komponente elektricnog i magnetskogpolja: Ex,Ey,Ez,Bx,By,Bz. Oba polja ovise o prostornim i vremenskoj varijabli

~E = ~E (t,x,y,z), (9.11)~B = ~B(t,x,y,z).

(9.12)

Takoder radi jednostavnosti, pretpostavimo i da se nalazimo daleko od izvora, tako da val udobroj približnosti možemo smatrati ravnim valom. Postavimo koordinatni sustav tako da se valširi u pozitivnom smjeru osi z. U tom ce slucaju sve komponente polja prostorno ovisiti samo okoordinati z, a ne i transverzalnim koordinatama x i y

~E = ~ex Ex(t,z)+~ey Ey(t,z)+~ez Ez(t,z),

~B = ~ex Bx(t,z)+~ey By(t,z)+~ez Bz(t,z),

9.3 Rješenja Maxwellovih jednadžba 153

Pokažimo sada da su u elektromagnetskom polju, vektori ~E i ~B medusobno okomiti.U skladu s Maxwellovom jednadžbom, ..., u prostoru bez slobodnih naboja, ρ = 0, je

−→∇~E = 0. Buduci da elektricno polje ovisi samo o koordinati z, to je

−→∇~E =

∂ Ez(t,z)∂ z

= 0,

tj, z komponenta elektricnog polja ne ovisi o koordinati z. Iz z komponente Maxwellovejednadžbe, ...,

−→∇ × ~B =

1v2

∂ ~E∂ t

⇒ 1v2

∂ Ez

∂ t=

∂ By

∂ x− ∂ Bx

∂ y= 0,

buduci da Bx i By ovise samo o koordinati z, a ne i o koordinatama x i y, tj, Ez ne ovisi o vremenu,a od ranije smo dobili da ne ovisi ni o prostornim koordinatama, pa je

Ez = const.= E0z .

Potpuno analognom argumentacijom, iz Maxwellove jednadžbe, ...,−→∇~B = 0, zakljucimo da Bz

ne ovisi o z, a iz Maxwellove jednadžbe, ...,−→∇ × ~E =−(∂ ~B/∂ t) zakljucimo da Bz ne ovisi ni

o vremenu, tj. da je i

Bz = const.= B0z .

Iz cinjenica da su Ez i Bz konstantni, zakljucujemo da elektromagnetski val titra u ravnini (x,y),tj. u ravnini okomitoj na smjer širenja z, a takvi se valovi nazivaju TRANSVERZALNI valovi.Dakle, u proucavanju valnih svojstava elektromagnetskog vala, možemo se ograniciti na x i ykomponente

~E = ~ex Ex(t,z)+~ey Ey(t,z)+~ez E0z ,

~B = ~ex Bx(t,z)+~ey By(t,z)+~ez B0z .

Pogledajmo sada x i y komponente valne jednadžbe za ~E , ...,

1v2

∂ ~E∂ t

=−→∇ × ~B ,

1v2

∂ Ex

∂ t=

∂ Bz

∂ y−

∂ By

∂ z=−

∂ By

∂ z,

1v2

∂ Ey

∂ t=

∂ Bx

∂ z− ∂ Bz

∂ x=

∂ Bx

∂ z.

I slicno za jednadžbu za ~B , ...,

−∂ ~B∂ t

=−→∇ × ~E ,

−∂ Bx

∂ t=

∂ Ez

∂ y−

∂ Ey

∂ z=−

∂ Ey

∂ z,

−∂ By

∂ t=

∂ Ex

∂ z− ∂ Ez

∂ x=

∂ Ex

∂ z.


Time smo došli do cetiri jednadžbe

∂ Ex

∂ t= −v2 ∂ By

∂ z,

∂ Ex

∂ z=−

∂ By

∂ t,

∂ Bx

∂ t=

∂ Ey

∂ z,

∂ Bx

∂ z=

1v2

∂ Ey

∂ t.

Prema dvije jednadžbe iz prvog reda, Ex i By nisu nezavisni, a iz jednadžba drugog reda, Ey

i Bx nisu nezavisni. Ovim cemo se jednadžbama još vratiti kasnije kada budemo govorili opolarizaciji elektromagnetskog vala, a sada cemo se ograniciti pretpostavkom da je mogucepostaviti koordinatni sustav tako da koordinatna os x leži u smjeru elektricnog polja, tj. da jesamo Ex komponenta razlicita od nule (linearna polarizacija), dok su preostale dvije komponente(Ey i Ez konstantne). U tom slucaju je

∂ Bx

∂ z=

∂ Bx

∂ t= 0,

pa je jedina dinamicka komponenta magnetskog polja, By. Od ranije znamo da je elektromag-netski val transverzalan, dakle njegove komponente titraju u ravnini okomitoj na smjer širenja,a sada smo još i zakljucili da su vektori ~E i ~B medusobno okomiti, slika 9.1. Dakle je širenje

Slika 9.1: Elektromagnetski val je transverzalan, a vektori ~E i ~B su medusobno okomiti.

elektromagnetskog vala opisano s tri karakteristicna i medusobno okomita smjera: smjer širenjavala, smjer titranja elektricnog i smjer titranja magnetskog polja. U dijelu prostora daleko odizvora, elektromagnetski je val opisan jednadžbama

∂ 2 Ex

∂ z2 =1v2

∂ 2 Ex

∂ t2 ,

∂ 2 By

∂ z2 =1v2

∂ 2 By

∂ t2 ,

ili, opcenito

∂ 2 Ψ∂ z2 =

1v2

∂ 2 Ψ∂ t2 , (9.13)


gdje je Ψ = Ex ili By. Napomenimo i da su rješenja parcijalnih diferencijalnih jednadžba ucjelosti odredena tek i zadavanjem pocetnih i rubnih uvjeta na nepoznate funkcje.

Pokažimo da je rješenje gornje jednadžbe svaka dvostruko derivabilna funkcija s argumentomt− z/v i nazovimo ju

Ψ−(t− z/v).

Sada je

∂ 2 Ψ−∂ z2 = Ψ′ ′− ·

(−1

v

)2

,

∂ 2 Ψ−∂ t2 = Ψ′ ′− ·1,

gdje Ψ′ ′− oznacava derivaciju po argumentu funkcije. Ocito je valna jednadžba, (9.13), zadovo-ljena. Primjetimo da i dvostruko derivabilna funkcija s argumentom t + z/v, takoder zadovoljavaistu valnu jednadžbu. Nazovimo ovo rješenje

Ψ+(t + z/v).

Sada je

∂ 2 Ψ+

∂ z2 = Ψ′ ′+ ·(+

1v

)2

,

∂ 2 Ψ+

∂ t2 = Ψ′ ′+ ·1,

gdje Ψ′ ′+ oznacava derivaciju po argumentu funkcije. Zbog linearnosti i homogenosti valnejednadžbe (9.13), svaka linearna kombinacija ova dva rješenja je takoder rješenje jednadžbe

Ψ = a+ Ψ+(t + z/v)+a−Ψ−(t− z/v), a± = const.

Pogledajmo koje je fizikalno znacenje ova dva rješenja. Neka se u t = 0 val nalazi u tocki z0.Tada je vrijednost polja Ψ+ = Ψ+(z0/v). Istu tu vrijednost polja imamo u tocki z za koju je

z0

v= t +

zv

/· v ⇒ z = z0− vt.

Rješenje Ψ+ opisuje val koji se brzinom v širi u negativnom smjeru osi z, slika 9.2. Slicno i zaΨ−: iz zahtjeva da opisuje isto stanje titranja u tocki z kao i u tocki z0

−z0

v= t− z

v

/· v ⇒ z = z0 + vt.

zakljucujemo da Ψ− opisuje val koji se brzinom v širi u pozitivnom smjeru osi z, slika 9.2.Rješenja valne jednadžbe opisana funkcijama Ψ± imaju konstantnu amplitudu, a titraju u ravniniokomitoj na smjer širenja, zovu se RAVNI VALOVI.

9.3.2 Rješenje homogene valne jednadžbe u tri dimenzijeRiješimo sada valnu jednadžbu u blizini izvora vala, gdje ne možemo val aproksimirati ravnimvalom, tj ne možemo se ograniciti na samo jednu koordinatu. Puna, trodimenzijska homogenavalna jednadžba u pravokutnim koordinatama, glasi

∇2Ψ =∂ 2 Ψ∂ x2 +

∂ 2 Ψ∂ y2 +

∂ 2 Ψ∂ z2 =

1v2

∂ 2 Ψ∂ t2 .


Slika 9.2: Ravni valovi Ψ±.

x

y

z

E

B

x

y

z

E

B

Radi jednostavnosti, pretpostavimo da je val sferno simetrican, tj. ako iz pravokutnih koordinata(x,y,z) prijedemo u sferne koordinate (r,θ ,ϕ), rješenje ce biti neovisno o θ i ϕ

Ψ(~r) = Ψ(r).

Onaj dio Laplaceovog operatora, napisanog u sfernim koordiantama, koji ovisi samo o koordinatir je oblika2

∇2r Ψ(r) =

1r

∂ 2

∂ r2

[r ·Ψ(r)

],

pa valna jednadžba glasi

1r

∂ 2

∂ r2 (r ·Ψ) =1v2

∂ 2 Ψ∂ t2

/· r,

∂ 2

∂ r2 (r ·Ψ) =1v2

∂ 2

∂ t2 (r ·Ψ), nazovimo g≡ r Ψ,

∂ 2 g∂ r2 =

1v2

∂ 2 g∂ t2 .

Gornja jednadžba je istog oblika kao i jednodimenzijska jednadžba iz prethodnog odjeljka, ..., stime da umjesto varijable z imamo varijablu r, a umjesto funkcije Ψ imamo funkciju g = r ·Ψ.Iste jednadžbe imaju ista rješenja

g+(t + r/v), g−(t− r/v),

tj. imamo dva rješenja za valnu funkciju Ψ± = g±(t± r/t)/r

Ψ(r, t) = a+Ψ++a−Ψ− = a+g+(t + r/v)

r+a−

g−(t− r/v)r

.

Rješenja Ψ± nazivamo KUGLASTIM VALOVIMA zato jer su sferno simetricna (ne ovise o θ i ϕ)i jer im amplituda opada s udaljenošcu od izvora kao 1/r.Pogledajmo fizikalno znacenje rješenja Ψ−. Neka je u trenutku t = 0, stanje titranja opisano

2Vidjeti npr. [Glub].


funkcijom g−(r0) i amplitudom 1/r0. To isto stanje titranja nalazimo u kasnijem trenutku t utocki r ako su argumenti funkcije g− isti, tj. ako je

−r0

v= t− r

v⇒ r = r0 + vt,

a amplituda je 1/r. Ovo rješenje dakle, opisuje kuglasti val koji se iz ishodišta prema besko-nacnosti širi brzinom v, slika 9.3. Na sferi ciji polumjer raste brzinom vt, vlada isto stanjetitranja. Zbog toga što titranje u udaljenoj tocki r > r0 KASNI za titranjem u bližoj tocki r0 ovorješenje nazivamo RETARDIRANIM ili zakašnjelim rješenjem. Analognom argumentacijom, Ψ+

predstavlja kuglasti val koji se iz beskonacnosti, gibajuci se brzinom v, sažima u ishodište, slika9.3. U tom rješenju titranje na sferi polumjera r > r0 PRETHODI titranju na sferi polumjera r0,pa se ovo rješenje naziva AVANSIRANO rješenje. Nacelo uzrocnosti (uzrok prethodi posljedici)

Slika 9.3: Kuglasti valovi Ψ±.

x

y

z

x

y

zretardirano avansirano

r0

r0 + v t

y

r0

r0 - v t

zadovoljava samo retardirano rješenje, pa cemo zadržati samo njega

Ψ(r, t) = a−g−(t− r/v)

r.

Iz ovoga rješenja vidimo da se na velikim udaljenostima od izvora, amplituda 1/r sporo mijenja,tj. približno je konstantna i rješenje je opet oblika ravnog vala kao i u odjeljku 9.3.1.

9.3.3 Rješenje nehomogene valne jednadžbe u tri dimenzijeRiješimo sada valnu jednadžbu uzevši u obzir i izvor vala. Za polja i potencijale smo dobili, ...,slijedece valne jednadžbe

∇2~E − 1v2

∂ 2~E∂ t2 =

−→∇ ρ

ε0εr+µ0µr

∂~j∂ t

,

∇2~B − 1v2

∂ 2~B∂ t2 = −µ0µr(

−→∇ × ~j ),

∇2~A − 1v2

∂ 2~A∂ t2 = −µ0µr~j ,

∇2V − 1v2

∂ 2V∂ t2 = − ρ

ε0εr.


Sve cetiri gornje jednadžbe su oblika

∇2Ψ− 1v2

∂ 2 Ψ∂ t2 =−sΨ,

gdje je sΨ izvor polja. U rješenju cemo sada razlikovati koordinatu kojom opisujemo tocku ukojoj racunamo polje~r i koordinatu kojom opisujemo položaj izvora polja~r ′. Varijabla r izrješenja homogene jednadžbe, ..., koja je opisivala udaljenost od izvora u ishodištu do tocke ukojoj racunamo polje, sada postaje

r → |~r −~r ′|.

Vrijednost polja Ψ u trenutku t u tocki~r je odredena vrijednošcu izvora u tocki~r ′ u RANIJEM

trenutku (retardirano vrijeme)

t ′ = t− |~r −~r′|

v,

gdje je

|~r −~r ′|v

, (9.14)

vrijeme potrebno valu da iz tocke~r ′ stigne u tocku~r, gibajuci se brzinom v.Buduci da se val širi brzinom svjetlosti, to ce u BLIZINI izvora polja, ucinak retardacije

ili kašnjenja biti zanemariv i polje ce biti odredeno raspodjelom naboja i struja u tom ISTOM

trenutku t ' t ′ .Npr. ako znamo staticko rješenje za skalarni potencijal

∇2V = − ρ

ε0εr,

V (~r) =1

4πε0εr

∫ρ(~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′ ,

tada u slucaju kada se izvor, tj. gustoca naboja, mijenja u vremenu ρ = ρ(t,~r ′) i potencijal ce semijenjati s vremenom,

V (t,~r) =1

4πε0εr

∫ρ(t,~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′ .

Naglasimo još jednom da ovo vrijedi samo blizu izvora polja, i da polju V u trenutku t odgovarastanje izvora u približno istom trenutku t ′ ' t.

DALEKO od izvora polja, treba uzeti u obzir ucinak retardacije, tj. konacni vremenski intervalpotreban valu da iz izvora stigne u tocku promatranja. To znaci da ce polje u tocki~r i u trenutkut biti odredeno izvorom u tocki~r ′, ali ne u trentku t nego u RANIJEM trenutku

t ′ = t− |~r −~r′|

v,

V (t,~r) =1

4πε0εr

∫ρ(t− |~r−~r

′|v ,~r ′)

|~r −~r ′|d3r ′ . (9.15)

9.4 Zracenje tockastog naboja 159

Avansirano rješenje bi znacilo da stanje polja u trenutku t ovisi o stanju izvora u nekomBUDUCEM trenutku

t ′ = t +|~r −~r ′|

v,

a to je fizikalno neprihvatljivo i zato avansirano rješenje odbacujemo.Cijela argumentacije provedena za Ψ≡V skalarni potencijal i njegov izvor sV = ρ/(ε0εr)

vrijedi i za ostale komponente polja i njihove izvore, tako da partikularno rješenje valne jednadžbeopcenito glasi

Ψ(t,~r) =1

4π

∫ sΨ(t− |~r−~r′|

v ,~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′ .

Tako je npr. rješenje za vektorski potencijal

~A(t,~r) =µ0µr

4π

∫ ~j (t− |~r−~r′|

v ,~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′ .

Iz poznatog skalarnog i vektorskog potencijala, polja ~E i ~B se racunaju pomocu

~E =−−→∇V − ∂ ~A

∂ t, ~B =

−→∇ × ~A .

9.4 Zracenje tockastog nabojaU poglavlju ... smo pokazali da se elektromagnetski val sastoji od medusobno okomitih polja~E i ~B , koja titraju u ravnini okomitoj na smjer širenja vala. Ako znamo da je elektricno poljemirujuceg naboja usmjereno u radijalnom smjeru, možemo se zapitati što se mora dogoditi snabojem, pa da on proizvede elektricno polje s komponentom okomitom na radijalan smjer?Ako k tome još želimo imati i magnetsko polje, jasno je da se naboj mora gibati. O tome kakose naboj treba gibati da bi proizveo elektromagnetsko polje (zracenje), govorit cemo u ovomodjeljku.

Postavimo problem na slijedeci nacin:(1) Neka tockasti naboj iznosa q MIRUJE u ishodištu koordinatnog sustava u vremenu t < 0. Tadaje njegovo elektricno polje u tocki~r jednako, ...,

~E (~r) =1

4πε0

qr2 ~er .

(2) U vremenskom intervalu 0 < t < ∆t, neka se naboj giba JEDNOLIKO UBRZANO po osi z,KONSTANTNIM UBRZANJEM z = a0 = const. U tom vremenskom intervalu ne znamo izracunatielektricno polje, ali znamo da je naboj relativisticka invarijanta, pa bez obzira na gibanje naboja,mora vrijediti Gaussov zakon∮

S~E d~S =

qS

ε0,

tj. tok polja je takoder relativisticka invarijanta, a silnice su kontinuirane.

(3) Nakon isteka vremena ∆t, tj. za t > ∆t, naboj se giba KONSTANTNOM BRZINOM koju jezadobio za vrijeme ubrzavanja v = a0 ∆t = const.. U Specijalnoj teoriji relativnosti se pokazuje,


Slika 9.4: Uz elektricno polje naboja koji se giba stalnom brzinom.

y

z

x

vqq

E( r )

r

r'

r – r'

da je elektricno polje u tocki~r koje potjece od naboja u tocki~r ′ koji se giba konstantnom brzinomv, (slika 9.4), dano izrazom

~E (~r) =1

4πε0q

~r−~r ′

|~r −~r ′|31−β 2[

1−β 2 sin2θ

]3/2 ,

gdje je β = v/c, a θ je kut izmedu smjera brzine naboja i smjera spojnice~r−~r ′ koja spaja položajnaboja s tockom u kojoj se racuna polje. U granici kada je β = v/c << 1, clanovi srazmjerni sβ 2 su zanemarivi u usporedbi s jedinicom, i polje je približno jednako polju mirujuceg tockastognaboja, ..., i giba se zajedno s nabojem.

Promatramo li jednu od silnica elektricnog polja u trenutku t >> ∆t (dakle nakon što senaboj prestao gibati ubrzano), vidjet cemo ono što je prikazano slikom 9.5. Na udaljenostima

Slika 9.5: Uz zracenje tockastog naboja.

x

y

z

q

s ~

v t

v t

v t

v t

c t

r = c t

er

er

r'>

>>

>>

>>

v

vecim od r = ct silnice su iste kao i silnice tockastog naboja koji miruje u ishodištu. Zašto, kadase naboj giba? Tocno je da se naboj giba, ali informaciji o tom gibanju treba t = r/c vremena da


dode do tocke udaljene za r od ishodišta. Zato se u svim tockama udaljenijim od r = ct opažapolje mirujuceg naboja.

Gibajuci se duž osi z tijekom vremena t >> ∆t, naboj ce prijeci put

s =12

a0∆t2 + v(t−∆t)' vt.

Kao što smo spomenuli, elektricno polje je približno jednako polju mirujuceg naboja, a njegovesu silnice došle do udaljenosti

r ′ ' r− v‖t− c∆t ' r− v‖t.

Onaj prvi znak ' dolazi zato jer je put koji je prešao naboj samo približno jednak vt, pa je iv‖t samo približan izraz. Clan s c∆t predstavlja put koji je elektricno polje prešlo za vrijemeubrzanog gibanja naboja. Kako izgleda polje u tom vremenskom intervalu? To ne znamo, aliznamo da su, zbog sacuvanja toka, silnice polja kontinuirane i da stoga izgledaju kao na slici 9.5.Sa slike 9.6.A se lako vidi da je

Slika 9.6: Uz analizu polja u intervalu vremena kada se naboj giba ubrzano.

v t

c t

>>

>>

E

E >>

>>

E

EE

r1

2

3

4

( A ) ( B )

tanα =c∆tv⊥t

=E‖E⊥

⇒E‖E⊥

=c∆tv⊥t

,

gdje smo sa E‖ oznacili komponentu polja paralelnu s~er , a s E⊥ komponentu polja okomitu na~er . Iz v = a0∆t slijedi i v⊥ = a0

⊥∆t, a umjesto t se može pisati t = r/c, pa je

E⊥E‖

=a0⊥∆t(r/c)

c∆t= a0

⊥rc2 . (9.16)

Primjenom Gaussova zakona (slika 9.6.B) slijedi da je∮S~E d~S = 0,

jer u skiciranoj plohi nema naboja. Kroz plohe 2 i 4 ulazi i izlazi isto polje ~E ⊥, pa je zato∫S2

~E ⊥ d~S 2 +∫

S4

~E ⊥ d~S 4 = 0.

Drukcije je s plohama 1 i 3: kroz plohu 1 ulazi polje ~E ‖, a kroz plohu 3 izlazi cijelo poljemirujuceg tockastog naboja ~E koje ima samo radijalnu komponnetu |~E |= Er.∫

S1

~E ‖ d~S 1 +∫

S3

~E d~S 3 = 0 ⇒ −E‖ S+Er S = 0 ⇒ E‖ = Er =1

4πε0

qr2 . (9.17)


Sada možemo, iz 9.16, izracunati i okomitu komponentu polja

E⊥ = a0⊥

rc2 E‖ = a0

⊥rc2

14πε0

qr2 .

Gledane kao vektorske velicine, sa slike 9.6.A se vidi da su ~E ⊥ i a0⊥ suprotnog smjera (jer

ubrzanje ima isti smjer kao i brzina). Vremenska ovisnost polja, prati vremensku ovisnostubrzanja uz ucinak retardacije, tj. polje u trenutku t je odredeno ubrzanjem u ranijem trenutkut ′ = t− r/c = t−|~r −~r ′|/c, gdje je r/c vrijeme potrebno signalu (informaciji, elektromagnet-skom valu) da od naboja dode do tocke u kojoj racunamo vrijednost polja. Uz ove napomenemožemo napisati izraz za polje zracenja

~E zr(t,~r) =−q~a 0⊥

4πε0 |~r −~r ′|c2 . (9.18)

Tako smo dobili komponentu polja okomitu na smjer~er (smjer širenja elektromagnetskog polja)o kojoj smo govorili kada smo u prethodnom odjeljku izveli valne jednadžbe iz Maxwellovihjednadžba. Osim okomite komponente polja, tamo smo dobili i KONSTANTNU komponentuu smjeru širenja koju ovdje prepoznajemo kao E‖ i za koju smo zaista dobili da je konstantnai jednak polju mirujuceg tockastog naboja, (9.17). U nastavku cemo pod elektricnim poljemsmatrati samo ~E zr, pa cemo indeks zr izostavljati.

O magnetskom polju znamo, ..., da je po iznosu c puta manje od elektricnog polja, a posmjeru je okomito i na smjer širenja vala~er i na smjer elektricnog polja. Zato možemo napisati

~B(t,~r) =~er × ~E (t,~r)1c.

Energija koju u jedinici vremena po jedinici površine u smjeru okomitom na površinu, emitiratockasti naboj, je dana Poyntingovim vektorom, ...,

P(t,~r) =1µ0

~E ×~B =1µ0

~E ×[~er × ~E (t,~r)

1c

]

=1µ0

~er~E 2

c−

~Ec(~E ~er )︸︷︷︸= 0

, c =1

√µ0ε0

=

√ε0

µ0~E 2~er , ~E =−

q~a 0⊥

4πε0 |~r −~r ′|c2

=

√ε0

µ0

q2

16π2ε20 c4

(~a 0⊥)

2

|~r −~r ′|2~er .

Snagu, dP, emitiranu kroz površinu d~S , dobijemo kao skalarni umnožak

dP = P d~S =

√ε0

µ0

q2

16π2ε20 c4

(~a 0⊥)

2

|~r −~r ′|2dS.

Sa slike 9.7 vidimo da je

cos(

π

2−θ

)=

a0⊥

a0 ⇒ a0⊥ = a0 sinθ .


Slika 9.7: Uz izvod snage EM zracenja emitirane kroz površinu d~S .

a0

a0

x

y

z

r

dS

Uvrstimo li za diferencijal površine

dS = |~r −~r ′|2 sinθdθ dϕ,

dobivamo emitiranu snagu u prostorni kut

dΩ = sinθdθ dϕ

u obliku

dP =

√ε0

µ0

q2(~a 0)2

16π2ε20 |~r −~r ′|2 c4 |~r −~r

′|2 sin3θdθ dϕ.

No, prema ... je c−2 = µ0ε0, pa u gornjem izrazu možemo staviti√ε0

µ0

1ε2

0

1c2

1c

1c=

√ε0

µ0

1ε2

0ε0µ0√

ε0µ01c=

µ0

c,

pa za dP dobivamo

dP(t,~r) =µ0

16π2 cq2(~a 0)2 sin3

θdθ dϕ.

Ukupnu snagu emitiranu u cijeli prostor, dobijemo integracijom gornjeg izraza po punomprostornom kutu

P(t) =∫

ΩdP(t,~r) =

µ0

16π2 cq2(~a 0)2

∫π

0sin3

θdθ

∫ 2π

0dϕ.

Integracija po θ daje 4/3, a integracija po ϕ daje 2π .

P(t) =µ0

16π2 cq2(~a 0)2 4

32π =

µ0

6π

q2(~a 0)2

c.

Time smo dobili ukupnu emitiranu snagu u trenutku t u svim prostornim smjerovima

P(t) =d EEM(t)

d t=

16π

µ0 q2

c(~a 0)2, (9.19)


gdje je t ′ = t−|~r −~r ′|/c retardirano vrijeme. Primjetimo da izraz ne ovisi eksplicitno o |~r −~r ′|jer se udaljenosti krate pri integraciji po sferi polumjera |~r −~r ′| (postoji samo implicitna ovisnostkroz retardirano vrijeme). Ova neovisnost znaci da ce ista energija proci kroz sferu polumjera|~r1−~r ′| u trenutku t1, kao i kroz sferu polumjera |~r2−~r ′| u trenutku t2, ukoliko vremena t1 i t2odgovaraju istom retardiranom vremenu

t ′ = t1−|~r1−~r ′|

c= t2−

|~r2−~r ′|c

.

Primjetimo takoder da emitirana snaga ovisi o ubrzanju srazmjerno (~a 0)2. Ako se naboj ne gibaubrzano nema ni zracenja. Ubrzanje se pojavljuje zajedno s nabojem u obliku elektricnog dipolap

p = qz

p = q z = qa

p2 = q2 a2

(9.19) ⇒ d EEM(t)d t

=1

6π

µ0

cp2(t ′ ).

Primjenimo gornje razmatranje na atom vodika u Bohrovoj slici atoma, odjeljak ... . Tu atomzamišljamo kao mikroskopski Suncev sustav u kojemu pozitivni proton igra ulogu Sunca okokojega kruži mali planet - elektron. Gibanje elektrona po kružnici je ubrzano gibanje jer postojiubrzanje usmjereno prema središtu3. Zbog tog bi ubrzanja, prema (9.19), elektron trebao zracitielektromagnetske valove i time gubiti energiju. Ovo smanjenje energije bi trebalo uzrokovatinjegovo postupno približavanje jezgri, a zatim i pad ne jezgru, slika 9.8.Dakle prema klasicnom zakonu zracenja koji smo upravo izveli, ATOM NIJE STABILNA TVORE-VINA. Znaci li to da je gornji zakon zracenja pogrešan? Ne, to samo znaci da on nije primjenjivna mikroskopskoj skali. Na prostornoj skali reda atomskih dimenzija vrijede zakoni kvantne, ane klasicne fizike i potrebanje kvalitativno drukciji pristup teoriji zracenja. Gore izvedeni zakonzracenja vrijedi na makroskopskoj skali.

9.4.1 Zracenje elektricnog dipolaPrimjenimo izraze za zracenje iz odjeljka 9.4 na naboj iznosa q koji se harmonijski4 giba (titra)po osi z kao na slici 9.9. Ovakvo je gibanje ubrzano, pa ce naboj zraciti elektromagnetske valove,a rezultirajuce zracenje se zove zracenje elektricnog dipola. Primjetimo da u ovom primjeru NIJE

zadovoljen uvjet konstantnog ubrzanja, iz izvoda izraza (9.19) za zracenje iz odjeljka 9.4. Zatopostupamo ovako: neka je titranje naboja opisano funkcijom

z(t) = A cosωt.

Titranje atoma se odvija u retardiranom vremenu

t ′ = t− |~r −~r′|

c,

ali zbog vremenskog usrednjavanja koje ce uslijediti, to nije potrebno posebno oznacavati. Tadaje

~a(t) = z~ez =−ω2 z(t)~ez , ⇒ a2(t) = ω

4 z2(t). (9.20)3Vidjeti npr, odjeljak ... u [Glua]4O gibanju harmonijskog oscilatora vidjeti npr. odjeljak ... u [Glua]


Slika 9.8: Primjena klasicnog zakona zracenjana planetrani model atoma vodika.

+

-

Slika 9.9: Elektricni dipol usmjeren duž osi z.

x

y

z

q

+A

-A

Ovo ubrzanje ovisi o vremenu, ali je ta ovisnost periodicka, pa se može promatrati vremenskasrednja vrijednost ubrzanja po jednom periodu i to uvrstiti u izraze za zracenje (9.19) umjestokonstantnog ubrzanja. Srednja vrijednost periodicne funkcije f (t) se racuna kao

〈 f 〉= 1T

∫ t+T

tf (t)dt,

gdje je T period. Za funkciju z2(t) = A2 cos2 ωt se lako dobije

〈 z2 〉= 1T

∫ t+T

tA2 cos2

ωt dt =12

A2.

Sada umjesto, ...,

dP(t,~r) =µ0

16π2 cq2(~a 0)2 sin3

θdθ dϕ,

prema (9.20) dolazi

dP(t,~r) =µ0

16π2 cq2

ω4z2(t)sin3

θdθ dϕ.

Promatramo vremenski usrednjenu (dakle neovisnu o vremenu) vrijednost

dP(~r) = 〈 dP(t,~r) 〉= µ0

16π2 cq2

ω4〈 z2 〉sin3

θdθ dϕ,

koja, nakon integracije po cijelom prostornom kutu, daje

P =∫

ΩdP(~r) =

µ0

6π cq2

ω4〈 z2 〉= µ0

12π cq2

ω4 A2,

što predstavlja ukupnu emitiranu snagu u cijeli prostor, usrednjenu po jednom periodu titranjaizvora.

9.4.2 Zracenje atoma u klasicnoj sliciBohrov planetarni model atoma koji smo ranije spominjali, je jedan od pocetaka kvantne fizike.U klasicnoj slici, atom se zamišlja kao jedan mali harmonijski oscilator5: teška jezgra i laganielektron su vezani oprugom. Zbog svoje velike mase, jezgra je gotovo nepomicna, pa elektron


Slika 9.10: Zracenje atoma u klasicnoj slici.

y

z

x

p+ e-

periodicki titra oko svog položaja ravnoteže, slika 9.10. Pogledajmo što se dogada s elektronomkada ga se osvjetli elektromagnetskim valom cije je elektricno polje opisano s

Ez = E0 cosωt,

a magnetsko polje se racuna iz elektricnog, onako kako je to pokazano u ... . Ovo elektromagnet-sko polje unosi energiju u sustav (atom), dok je zracenje proces kojim energija izlazi iz sustava(atoma). U jednom od slijedecih poglavlja se pokazuje sacuvanje energije na razini atomskogsustava. Na elektron djeluje elasticna sila od opruge i elektricna sila od vanjskog elektricnogpolja, pa drugi Newtonov aksiom daje za jednadžbu gibanja (gubitak energije zracenjem, u ovomtrenu zanemarujemo)

mz =−mω20 z+qEz,

gdje prvi clan desne strane opisuje silu od opruge kojom je elektron vezan za jezgru (ω0 jeprirodna frekvencija titranja elektrona), a drugi je clan sila od vanjskog polja. Tu smo pretpostavilida je valna duljina vanjskog polja puno veca od dimenzije atoma, tako da je polje prostornokonstantno u svim tockama gibanja elektrona. Riješimo gornju jednadžbu uz pretpostavku dace se ravnoteža izmedu atoma i elektrona uspostaviti kada elektron bude titrao frekvencijomvanjskog polja, tj. pretpostavimo rješenje u obliku

z = A cosωt, ⇒ z =−ω2 z,

gdje je A amplituda neovisna o vremenu, a ω je kružna frekvencija vanjskog polja. Uz gornji z,jednadžba gibanja postaje

− mω2 z+mω

20 z = qEz,

z =qEz

m(ω20 −ω2)

=qE0

m(ω20 −ω2)

cosωt,

⇒ A =qE0

m(ω20 −ω2)

.

5O gibanju harmonijskog oscilatora vidjeti npr. odjeljak ... u [Glua]


Naboj (u ovom primjeru je to elektron) koji periodicki titra, emitira dipolno zracenje, cija jeukupna emitirana snaga, usrednjena po jednom vremenskom periodu, prema ..., jednaka

P =µ0

6π cq2

ω4〈 z2 〉= µ0

6π cq2

ω4 q2E2

0

m2(ω20 −ω2)2 〈 cos2

ωt 〉= µ0

12π cq2

ω4 q2E2

0

m2(ω20 −ω2)2 .

Ako je ω reda frekvencija vidljive svjetlosti (... - ...), tada je zadovoljena nejednakost ω0 >> ω ,pa je u nazivniku gornjeg izraza približno ω2

0 −ω2 ' ω20 , tj.

P' µ0

12π cq2

ω4 q2E2

0

m2ω40∼ ω

4 ∼ 1λ 4 .

Elektron emitira svjetlost iste valne duljine kolika je i valna duljina elektricnog polja kojim jepobuden.Ukupno zracenje atoma dakle opada s cetvrtom potencijom valne duljine emitirane svjetlosti. Zavidljivu svjetlost je približno (1 = 10−10 m)

λcrveno = 6500 ,

λplavo = 4500 .

Napravi li se omjer emitirane snage u plavom i crvenom dijelu vidljivog spektra elektromagnet-skog zracenja, dobije se

Ppl.

Pcr.'

const/λ 4pl

const/λ 4cr

=

(λcr

λpl

)4

=

(6545

)4

' 4.3

Ovaj, vrlo grubi, racun pokazuje da atomi atmosfere emitiraju cetiri puta vecu snagu u plavomnego u crvenom dijelu spektra, i to je razlog zašto je vedro nebo plave boje. Rano ujutro i naveceru zalazak Sunca, kada je Sunce nisko nad horizontom, velik se dio sunceve svjetlosti reflektira.Koeficijenti refleksije takoder ovise o valnoj duljini svjetlosti, pa gornji racun nije primjenjiv nato doba dana (tj. tada nebo ne mora biti plavo).

10. Raspršenje

UOVOM POGLAVLJU želimo objasniti pojave vezane za lom svjetlosti. Potopimo li ravništap u vodu, on ce nam se ciniti slomljen. Razlog tomu leži u cinjenici da se svjetlost

širi pravocrtno samo dok se krece kroz homogeni opticki medij. U nehomogenom mediju ilina granici dva homogena medija ona se ne giba po pravcu. Tako je slikom 10.1 ilustriran lomsvjetlosti na granici zrak-voda, dok je slikom 10.2 ilustrirano drugo zanimljivo svojstvo svjetlostivezano za lom, a to je da kut loma ovisi o frekvenciji tj. boji svjetlosti (ako se ogranicimona vidljivi dio elektromagnetskog spektra). Naime, propustili se bijela sunceva svjetlost krozstaklenu (ili vodenu) prizmu na izlazu ce se pojaviti dugin spektar boja. Bijela je svjetlost

Slika 10.1: Elektromagnetski val s lomi na gra-nici dva sredstva.

(1)

(2)

Slika 10.2: Lom svjetlosti ovisi o frekvencijiEM vala tj. o boji svjetlosti.

sastavljena od raznih boja koje se lome pod raznim kutovima, što onda rezultira spektrom naizlazu prizme.

10.1 Maxwellova formula za indeks loma

Sama emisija i apsorpcija svjetlosti u atomima su kvantne pojave i zato leže izvan okvira klasicnefizike. No, širenje svjetlosti kroz prostor u vremenu izmedu emisije i apsorpcije se može dobroopisati pojmovima klasicne fizike.

Vec smo ranije, ..., pokazali da je brzina elektromagnetskog vala u homogenom sredstvu

170 Poglavlje 10. Raspršenje

opisanom konstantama εr i µr, dana izrazom

v =c

√µr εr

,

gdje je c brzina elektromagnetskog vala u vakuumu. Povežimo taj izraz s indeksom loma, tj.brojem koji opisuje lom elektromagnetskog vala (svjetlosti) na granici dva homogena sredstva.Za vecinu je tvari µr ' 1, pa cemo ga u nastavku izostaviti. Sa slike 10.3 se vidi da je

Slika 10.3: Uz indeks loma EM vala.

(1)

(2)

>

>

>

>

A

B

C

D v1

v2

u

l

∆(ABD) : cos(π/2−ϕu) =BDAD

,

∆(ACD) : cos(π/2−ϕl) =ACAD

.

Gibajuci se brzinom v1 u sredstvu (1), elektromagnetski val ce, u vremenu t prijeci put BD. Zaisto to vrijeme ce u sredstvu (2), gibajuci se brzinom v2 prijeci put AC

v1 =BDt, v2 =

ACt

⇒ BDv1

=ACv2

,

v1

v2=

BDAC

=cos(π/2−ϕu)

cos(π/2−ϕl)=

sinϕu

sinϕl.

Upadni i lomljeni kut su mjerive velicine, pa se njihovim mjerenjem može izracunati omjerbrzina elektromagnetskog vala u razlicitim sredstvima. Taj se omjer naziva (relativni) INDEKS


LOMA n1,2 i prvi ga je izracunao Snell oko 1618. godine.

n1,2 =sinϕu

sinϕl=

v1

v2.

Pogledajmo što za indeks loma daje Maxwelova teorija

n1,2 =v1

v2=

c/√

εr,1

c/√

εr,2=

√εr,2√εr,1

.

Eksperimentalne vrijednosti (u odnosu na vakuum: εr,1 = 1) su slijedece Vidimo da je Maxwel-

tvar n√

εr

zrak 1.00029 1.00029H2 1.00014 1.00015

C O2 1.00045 1.00049benzol 1.51 1.51

C S2 1.63 1.62H2 O 1.33 9

lova formula za indeks loma tocna za plemenite plinove, metalne pare i plinove sa simetricnimmolekulama kao što su H2 i O2. Kako razumjeti odstupanje kod vode? Voda je polarna molekula,tj. posjeduje permanentan elektrican dipol (slika 10.4). Dielektricna konstanta se mjeri statickimelektricnim poljem, pa se javljaju dva ucinka:(1) dolazi do induciranja dipolnih momenata u molekulama i(2) do orjentacije permanentnih dipola u smjeru vanjskog polja.

S druge strane, elektromagnetski val se sastoji od brzo promjenjivog elektricnog poljakoje izazove polarizaciju molekule (elektroni su lagani - male su mase - i mogu pratiti brzepromjene vanjskog polja), ali, uslijed svoje velike mase (puno vece - nekoliko tisuca puta -od mase elektrona), molekule su trome i ne uspjevaju usmjeriti svoje permanentne dipole usmjeru vanjskog polja. Zato u mjerenjima indeksa loma nedosta je doprinos od orjentacijskepolarizacije, koji se vidi u mjerenjima statickim poljem (kada molekula ima dovoljno vremenada usmjeri svoj permanentni dipol u smjeru vanjskog polja).

10.1.1 Fermatovo naceloSnellov se zakon može izvesti i iz Fermatova nacela koje kaže da se elektromagnetski val odtocke A do tocke B giba tako da mu treba najmanje vremena.

... dovršiti ...

10.2 Raspršenje svjetlostiProlaskom sunceve svjetlosti kroz staklenu prizmu, ona se lomi i rastavlja na spektar (Newton1672), slika 10.2. Zakljucujemo da se svaka boja spektra drukcije lomi, tj. da indeks loma ovisi


Slika 10.4: Simbolicki prikaz molekule vode.

H2O

O

H H

1020

o frekvenciji (ili valnoj duljini) upadne svjetlosti. Ova se pojava zove raspršenje ili disperzijasvjetlosti. Želimo naci ovisnost indeksa loma o frekvenciji upadne svjetlosti koristeci klasicanpristup, tj. zamišljajuci atom kao jedan mali klasicni harmonijski oscilator (slika 10.5). Neka seelektromagnetski val širi u smjeru osi z. U dijelu prostora z < 0 neka je vakuum, a dio prostorasa z > 0 neka zauzima sredstvo indeks loma

n =√

εr.

U dijelu prostora z < 0, val se giba brzinom c, a u dijelu prostora z > 0 brzinom

v =c√εr.

Elektricno i magnetsko polje titraju u ravnini okomitoj na smjer širenja vala, tj. u ravnini (x,y).U poglavlju ... o zracenju smo dobili izraz ... za elektricno polje naboja koji se ubrzano giba, analazi se na udaljenosti r = z od tocke u kojoj promatramo polje

~E =− q~a⊥(t ′ )4πε0 zc2 ,

gdje je t ′ = t− z/v retardirano vrijeme, tj. vrijeme potrebno valu da od izvora stigne u tockuudaljenu za z. Buduci da se val širi u smjeru osi z, mora elektricno polje, a prema gornjemizrazu i okomita komponenta ubrzanje naboja, ležati u ravnini (x,y). U jednostavnom primjeru


Slika 10.5: Harmonijski oscilator - atom u klasicnoj slici.

p+ e-

x

y

z

harmonijskog gibanja frekvencijom ω , naboja u ravnini (x,y), može se napisati

~a⊥ = ~r =~ex x+~ey y

~r = ~ex x0 cos(ωt ′ +ϕx)+~ey y0 cos(ωt ′ +ϕy)

~r = −ω2~r(t ′ )

~E (t,z) =qω2~r(t ′ )4πε0 zc2 .

Vidimo da polje u trenutku t titra u onom smjeru u kome je naboj titrao u trenutku t ′ . Radijednostavnosti, pretpostavimo da izvor vala, a time i sam val titra po nekom pravcu u ravnini(x,y), tako da je ~E oblika

~E (t,z) = E0~eρ cos[ω(t− z√

εr/c)] = E0~eρ Re eiω(t−z√

εr/c),

gdje je ~eρ radijalni jedinicni vektor u ravnini (x,y). Gornji oblik vala je primjer linearnopolariziranog vala. O polarizaciji elektromagnetskog vala ce više biti rijeci u odjeljku ... .Kompleksan zapis elektricnog polja korisitimo radi jednostavnijeg rješavanja jednadžbe gibanja.Magnetsko se može izracunati iz ...

~B(~r, t) =~er × ~E (~r, t)1c.

Kada val elektricnog polja ude u dio prostora u kome se nalaze atomi (vezani u molekule)sredstva, on djeluje silom qE na elektrone iz atoma sredstva (npr atome iz molekula stakla uprizmi) i pobuduje ih na titranje. Titranje je jedan oblik ubrzanog gibanja, pa ce takvi elektronizraciti elektromagnetske valove (svjetlost). Atome cemo zamisliti kao harmonijske oscilatore(klasicna slika: elektroni su oprugama vezani za jezgru). Kada na njih padne val svjetlosti, onise gibaju u skladu s Newtonovom jednadžbom gibanja

m ρ =−mω20 ρ +qE.

U gornjoj jednadžbi je vrijednost z koordinate fiksna (na onu vrijednost gdje se po osi z nalazipromatrani atom), a ishodište koordinatnog sustava je postavljeno u promatrani atom. Vanjsko


polje pobuduje elektron na titranje u ravnini (x,y). S

~ρ =~ex x+~ey y = ρ~eρ

je oznacen otklon elektrona od ravnotežnog položaja. Prvi clan desne strane opisuje silu odopruge kojom je elektron vezan za jezgru (ω0 je prirodna frekvencija titranja elektrona), a drugije clan sila od vanjskog polja. Tu smo pretpostavili da je valna duljina vanjskog polja puno vecaod dimenzije atoma

λ >> rat ,

tako da je polje prostorno konstantno u svim tockama gibanja elektrona. Riješimo gornjujednadžbu uz pretpostavku da ce se ravnoteža izmedu atoma i elektrona uspostaviti kada elektronbude titrao frekvencijom vanjskog polja, tj. pretpostavimo rješenje u obliku

ρ = ReAeiωt , ⇒ ρ =−ω2

ρ,

gdje je A amplituda neovisna o vremenu, a ω je kružna frekvencija vanjskog polja. Uz gornji ρ ,jednadžba gibanja postaje

− mω2

ρ +mω20 ρ = qE,

ρ =qE

m(ω20 −ω2)

=qE0

m(ω20 −ω2)

eiω(t−z√

εr/c),

⇒ A =qE0

m(ω20 −ω2)

e−iωz√

εr/c.

Otklon elektrona iz položaja ravnoteže (u ρ = 0) stvara elektricni dipolni moment

p(t) = qρ(t) =q2E0

m(ω20 −ω2)

eiω(t−z√

εr/c).

Neka N broj dipola u jedinici volumena tvari. Tada je iznos vektora gustoce polarizacije

P = N p(t) =Nq2E0

m(ω20 −ω2)

eiω(t−z√

εr/c).

Opcenito je

~P = ε0χ~E = ε0(εr−1)~E ,

pa se može pisati

Nq2E0

m(ω20 −ω2)

eiω(t−z√

εr/c) = ε0(εr−1)E0eiω(t−z√

εr/c).

Uz n =√

εr, gornje jednadžbe daju

n2−1 =Nq2

ε0m(ω20 −ω2)

(n−1)(n+1) ' (n−1)2 =Nq2

ε0m(ω20 −ω2)

,


n(ω)' 1+Nq2

2ε0m(ω20 −ω2)

, (10.1)

gdje smo pretpostavili da je n' 1, pa je n+1' 2. Analizirajmo gornji izraz za indeks loma.

(1) U granici malih frekvencija upadne svjetlosti ω << ω0, tj velikih valnih duljina λ >> rat ,u nazivniku možemo zanemariti ω2 prema ω2

0 i dobiti

n' 1+Nq2

2ε0mω20.

U ovoj aproksimaciji, indeks loma ne ovisi o frekvenciji upadne svjetlosti ω , nego ovisi samo osvojstvima sredstva koja ulaze u gornji izraz kroz N i ω0.

(2) Porastom ω → ω0, nazivnik se smanjuje pa indeks loma raste. Ako n raste, iz ...

n =sinϕu

sinϕl

zakljucujemo da se sinϕl smanjuje tj. da se i sam kut loma smanjuje s porastom frekvencije.Kako je ωcr < ωpl , to ce i kut loma za crvenu svjetlost biti veci od kuta loma za plavu svjetlost(slika 10.6)

npl < ncr,

ωcr < ωpl,

ϕl(crveno) > ϕl(plavo).

(3) Što ako je ω = ω0? Hoce li zaista amplituda titranja elektrona postati beskonacno velika?Naravno da nece. Svojim titranjem, elektron zraci odredenu kolicinu elektromagnetske energije itako on sam gubi tu istu kolicinu energije, slika 10.7. Taj cemo ucinak uracunati kasnije i vidjetida tada amplituda titranja ostaje konstantna.

(4) U podrucju frekvencija ω > ω0 je indeks loma manji od jedan, pa je brzina v = c/n > cveca od brzine svjetlosti u vakuumu. Primjetimo da ovaj rezultat nije u suprotnosti sa STR, jer seovdje radi o faznoj brzini, a ne o grupnoj brzini. Grupna je brzina ona kojom se prenosi energijaili informacija, i grupna je brzina uvijek manja od brzine svjetlosti u vakuumu. Uvjet ω > ω0 jeispunjen za npr. rendgenske zrake, za koje je tvar opticki manje gusta nego vakuum

n' 1− Nq2

2ε0mω2 .

Od karakteristika tvari, u gornjoj je jednadžbi preostao jedino N, broj gradivnih atoma ilimolekula u jedinici volumena, a ne i ω0 koji opisuje vezanje elektrona za jezgru atoma ili ostatakmolekule. To znaci da elekroni medudjeluju s poljem kao da su slobodni, a ucinak vezanja naatom ili molekuku je zanemariv.


Slika 10.6: Upadna bijela svjetlost pada na granicu dva opticka sredstva pod kutpm ϕu. Kut lomaza crvenu svjetlost je veci od kuta loma za plavu svjetlost (vece valne duljine se manje lome).

u

l, cr

l, pl

10.3 Reakcijska sila zracenja

... dovršiti ...

10.4 Anomalno raspršenje

Vratimo se problemu rezonancije u slucaju kada je frekvencija vanjskog polja jednaka vlastitojfrekvenciji atoma - harmonijskog oscilatora. Titrajuci, elektron gubi energiju zracenjem i uslijedtog gubitka, njegova vlastita energija se smanjuje i nakon nekog vremena on bi trebao prestatititrati. To se nece dogoditi ako postoji vanjska sila koja ce ga pobudivati na titranje, tj. koja ceobavljati rad nad elektronom i tako mu nadoknadivati energiju koju on izgubi zracenjem. Tavanjska sila je elektromagnetsko zracenje (svjetlost) od drugih izvora koje pada na promatranielektron.

Želimo li ovaj proces primanja (apsorpcije) i zracenja (emisije) energije od strane elektrona,napisati u obliku jednadžbe gibanja elektrona, moramo jednadžbu gibanja slobodnog harmonij-skog oscilatora proširiti s dva clana: jednim koji opisuje gubitak energije i drugim koji opisujeulazak energije u sustav (sustav je u ovom slucaju atom tj. harmonijski oscilator). Buduci dasmo jedan kvantni sustav kao što je atom, zamijenili jednim mehanickim sustavom kao štoje harmonijski oscilator, moramo i zracenje elektromagnetskih valova opisati u mehanickim

10.4 Anomalno raspršenje 177

Slika 10.7: Približna ovisnost indeksa loma n o frekvenciji EM vala ω . Numericke vrijednostisu (Nq2/(2mε0) = 2,ω0 = 3,γ = 0.25).

terminima. Zracenje predstavlja gubitak energije za sustav, a u mehanici, sustav gubi energijuuslijed trenja s okolinom. Takav je clan u jednadžbi gibanja harmonijskog oscilatora obicnosrazmjeran nekoj potenciji brzine kojom se giba cestica. Radi jednostavnosti, pretpostavit cemoovisnost o prvoj potenciji brzine

Fzr =−mγ ρ.

Vanjsko elektromagnetsko polje cemo opet opisati realnim dijelom od

~E (t,z) = E0~eρ Re eiω(t−z√

εr/c).

U gornjoj je jednadžbi z = const i ima vrijednost z-koordinate elektrona na koji pada elektro-magnetski val. Jednadžba gibanja elektrona u atomu - harmonjskom oscilatoru je

mρ =−mω20 ρ−mγρ +qE0 eiω(t−z

√εr/c).

Prvi clan desne strane opisuje vezanje elektrona za jezgru atoma, drugi clan opisuje IZLAZ

energije iz atoma uslijed zracenja, a treci clan opisuje ULAZ energije u atom posredstvomvanjskog polja. Potražimo rješenje gornje jednadžbe.

Rješenje nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe je zbroj rješenja homogene i partiku-larnog rješenja nehomogene jednadžbe. Rješenje homogene jednadžbe sadrži prijelazne pojave,tj. prijelazni režim u vremenu neposredno nakon što je vanjska sila (nehomogeni clan) poceladjelovati na elektron. Kako vrijeme prolazi, taj dio rješenja postupno išcezava. Buduci da naszanima stacionarno stanje koje ce se uspostaviti nakon pocetka djelovanja vanjske sile (polja), ucjelosti cemo ispustiti rješenje homogene jednadžbe.Potražimo (partikularno) rješenje u obliku

ρ = Aeiωt ,

ρ = iωAeiωt = iωρ,

ρ = −ω2Aeiωt =−ω

2ρ,


i na kraju cemo za pomak uzeti realni dio od ρ . Riješimo li jednadžbu gibanja po amplitudi

0 = eiωt[

A(ω20 −ω

2 + iωγ)− qE0

me−iωz

√εr/c]

A =qE0

me−iωz

√εr/c

ω20 −ω2 + iωγ

=qE0

m(ω2

0 −ω2)− iωγ

(ω20 −ω2)2 +ω2γ2 e−iωz

√εr/c

= (Ael− iAaps)e−iωz√

εr/c = |A|eiϕ e−iωz√

εr/c

ρ = |A|ei[ω(t−z√

εr/c)+ϕ].

Vidimo da ce harmonijski oscilator, zbog trenja (tj. zracenja), kasniti u fazi u odnosu na fazuvanjskog polja. Realni dio amplitude se zove ELASTICNA AMPLITUDA, a imaginarnio dio jeAMPLITUDA APSORPCIJE.

Ael =qE0

mω2

0 −ω2

(ω20 −ω2)2 +ω2γ2 ,

Aaps =qE0

mωγ

(ω20 −ω2)2 +ω2γ2 ,

|A|2 =

(qE0

m

)2 1(ω2

0 −ω2)2 +ω2γ2 ,

tanϕ =−Aaps

Ael=−ωγ

ω20 −ω2 .

Sada se možemo vratiti izrazu za gustocu polarizacije, ...,

Slika 10.8: Elasticna amplituda ... i amplituda apsorpcije ... . Numericke vrijednosti su(qE0/m = 2,ω0 = 3,γ = 0.25).


P = Nqρ(t) = NqqE0

m(ω2

0 −ω2)− iωγ

(ω20 −ω2)2 +ω2γ2 eiω(t−z

√εr/c)

P =Nq2

m(ω2

0 −ω2)− iωγ

(ω20 −ω2)2 +ω2γ2 |~E |= ...= ε0(εr−1)|~E |,

⇒ ε0(εr−1) =Nq2

m(ω2

0 −ω2)− iωγ

(ω20 −ω2)2 +ω2γ2 ,

εr = 1+Nq2

mε0

(ω20 −ω2)− iωγ

(ω20 −ω2)2 +ω2γ2 ,

√εr ' 1+

12

Nq2

mε0

(ω20 −ω2)− iωγ

(ω20 −ω2)2 +ω2γ2 = n− iκ.

Tako smo došli do realnog n i imaginarnog κ dijela korjena iz dielektricne konstante

n(ω) = 1+12

Nq2

mε0

ω20 −ω2

(ω20 −ω2)2 +ω2γ2 = ...= 1+

12

NqE0ε0

Ael,

κ(ω) =12

Nq2

mε0

ωγ

(ω20 −ω2)2 +ω2γ2 = ...=

12

NqE0ε0

Aaps.

Time je pokazano da indeks loma ostaje konacan za sve vrijednosti frekvencije vanjskog polja.Na ω = ω0 nema divergencije, nego je n = 0.

Objasnimo i fizikalno znacenje κ , imaginarnog dijela√

εr. Vratimo se izrazu za ulaznoelektricno polje i uvrstimo u njega

√εr = n− iκ

~E (t,z) =~eρ E0 eiω(t−z√

εr/c) =~eρ E0 eiω[t−z(n−iκ)/c] =~eρ E0 e−ωzκ/c eiω(t−zn/c).

Vidimo da uz κ ∼ Aaps 6= 0 amplituda ulaznog elektromagnetskog vala

E0 e−ωzκ/c

eksponencijalno opada s ulaskom u sredstvo, z > 0, tj. val postupno biva apsorbiran od straneatoma sredstva, a put koji val prijede u sredstvu prije potpune apsorpcije je po redu velicinejednak

cω κ

.

Pokažimo da je κ tj. Aaps povezano s apsorpcijom energije koja ulazi u sustav (atom).Primjetimo, ..., da je ta apsorpcija najveca upravo na rezonantnoj frekvenciji ω = ω0. Kao štosmo rekli, za pomak elektrona cemo uzimati realni dio gornjeg izraza za z

Reρ ≡ ρ = Re |A|ei(ω(t−z/v)+ϕ) = |A|cos(ω(t− z/v)+ϕ)

= |A|cosϕ cosω(t− z/v)−|A|sinϕ sinω(t− z/v)

= Ael cosω(t− z/v)+Aaps sinω(t− z/v).


Izracunajmo snagu PIN koja, posredstvom vanjskog elektromagnetskog polja, ulazi u atom (svevremenski usrednjeno po jednom periodu titranja polja)

PIN =

⟨~Fd~rdt

⟩= 〈qEρ〉

= qE0 〈cosω(t− z/v)ω(−Ael sinω(t− z/v)+Aaps cosω(t− z/v))〉

= qE0ω(Aaps

⟨cos2

ω(t− z/v)⟩−Ael 〈sinω(t− z/v) cosω(t− z/v)〉

).

Gornje srednje vrijednosti je jednostavno izracunati

〈 cos2ω(t− z/v) 〉 =

1T

∫ t+T

tdt cos2

ω(t− z/v) =12,

〈 sinω(t− z/v) cosω(t− z/v) 〉 =1T

∫ t+T

tdt sinω(t− z/v) cosω(t− z/v) = 0.

Ovime za ulaznu snagu dobivamo

PIN = qE0ω

(Aaps ·

12−Ael ·0

)=

12

q2E20

mω2γ

(ω20 −ω2)2 +ω2γ2 .

Slicno racunu snage koja ulazi u atom, možemo izracuneti i snagu POUT koja zracenjemizlazi iz atoma

POUT =

⟨~Fd~rdt

⟩= 〈Fzrρ〉= 〈mγ ρ ρ〉= mγ

⟨ρ

2⟩= mγ

⟨[ω(−Ael sinω(t− z/v)+Aaps cosω(t− z/v))]2

⟩= mγ ω

2[A2el⟨sin2

ω(t− z/v)⟩−2AelAaps 〈sinω(t− z/v) cosω(t− z/v)〉+A2

aps⟨cos2

ω(t− z/v)⟩]

= mγ ω2[A2

el ·12−2AelAaps ·0+A2

aps ·12] =

12

mγ ω2(A2

el +A2aps)

=12

mγ ω2(

qE0

m

)2 (ω20 −ω2)2 +ω2γ2

[(ω20 −ω2)2 +ω2γ2]2

=12

q2E20

mγ ω2

(ω20 −ω2)2 +ω2γ2 .

Dobili smo da je u stacionarnom stanju (a sjetimo se da smo i krenuli s pretpostavkom da sesustav nalazi u stacionarnom stanju), energija koja ulazi u sustav, ..., tocno jednaka energiji kojaiz sustava izlazi, ...,

PIN = POUT ,

kao što i mora biti da bi stanje uopce i bilo stacionarno.


10.4.1 Prirodna širina linije svjetlosti emitirane iz atoma u klasicnoj sliciBuduci da su i ulazna i izlazna snaga jednake, ne moramo ih posebno ni oznacavati

PIN = POUT = P =12

q2E20

mγ ω2

(ω20 −ω2)2 +ω2γ2 .

Iz gornjrg se izraza vidi da ce do maksimalne apsorpcije/emisije snage doci na rezonantnojfrekvenciji

ω = ω0,

tj. kada su frekvencija upadne svjetlosti (elektromagnetskog zracenja) i prirodna atomskafrekvencija jednake. Oznacimo tu snagu s P0

P0 =12

q2E20

m1γ.

Sada snagu emitiranu/apsorbiranu na frekvenciji ω , možemo napisati kao

P(ω) = P0γ2 ω2

(ω20 −ω2)2 +ω2γ2 . (10.2)

Nadimo frekvencije ω na kojima se apsorbira/emitira POLOVICA maksimalne snage, tj. nadimofrekvencije za koje vrijedi

12

P0 = P(ω)

12

P0 = P0γ2 ω2

(ω20 −ω2)2 +ω2γ2

0 = ω4−ω

2(2ω20 + γ

2)+ω40

(ω2)± =12

[2ω

20 + γ

2±√

(2ω20 + γ2)2−4ω4

0

]

ω± =

√ω2

0 +γ2

4± γ

2.

Za male vrijednosti γ << ω0, te su frekvencije približno jednake

ω± ' ω0±γ

2,

pa ovisnost P = P(ω) izgleda kao na slici 10.9. Faktor prigušenja γ tj. velicina koja opisujezracenje atoma, odreduje i širinu spektralne linije. To je prirodna širina spektralne linije.


Slika 10.9: Prirodna širina spektralne linije, (10.2). Numericke vrijednosti su (P0 = 2,ω0 =3,γ = 2).

11. Polarizacija elektromagnetskog vala

VJEROJATNOST DA SE u trenutku t,

11.1 Stanje polarizacije elektromagnetskog valaPodsjetimo se da je elektromagnetski val transverzalan val i da se sastoji od elektricnog imagnetskog polja koji su okomiti medusobno i još su okomiti na smjer širenja vala (odjeljak...). Ako koordinatni sustav postavimo tako da se val širi u smjeru osi z, tada elektricno imagnetsko polje titraju u ravnini (x,y). Iz poznatog elektricnog polja, magnetsko se polje možeizracunati pomocu Maxwellovih jednadžba, ..., pa cemo se zato u nastavku ograniciti samo naopis elektricnog polja. Promatrat cemo polje na velikim udaljenostima od izvora, tako da udobroj aproksimaciji, val možemo promatrati kao ravni val (odjeljak ...). On se može širiti u ±~ez

smjeru, pa cemo i odgovarajuce komponente elektricnog polja oznaciti s ±

~E = ~E +(z, t)+~E −(z, t).

Zbog nacela kauzalnosti, odbacit cemo avansirana rješenja ~E +(z, t) koja opisuju valove koji seiz beskonacnosti približavaju izvoru, a zadržat cemo kauzalni ili retardirani dio ~E −(z, t) rješenjakoji opisuje valove koji se iz izvora šire prema promatracu. U nastavku cemo, radi jednostavnostinotacije, izostavljati oznaku −. Ovaj se val prikazuje vektorom u transverzalnoj (x,y) ravnini

~E (z, t) =~ex Ex(z, t)+~ey Ey(z, t).

U poglavlju o zracenju smo dobili izraz, ..., za elektricno polje od naboja koji se ubrzano giba, analazi se na udaljenosti r = z od tocke u kojoj promatramo polje

~E (z, t)c =−q~a⊥(t ′ )4πε0 zc2 ,

gdje je

t ′ = t− zc

retardirano vrijeme, tj. vrijeme potrebno valu da od izvora stigne u tocku udaljenu za z. Buducida se val širi u smjeru osi z, mora elektricno polje, a prema gornjem izrazu i okomita kompo-nenta ubrzanje naboja, ležati u ravnini (x,y). U jednostavnom primjeru harmonijskog gibanja

184 Poglavlje 11. Polarizacija elektromagnetskog vala

frekvencijom ω , naboja u ravnini (x,y), može se napisati

~a⊥ = ~r =~ex x+~ey y

~r = ~ex x0 cos(ωt ′ +ϕx)+~ey y0 cos(ωt ′ +ϕy)

~r = −ω2~r(t ′ )

~E (z, t) =qω2~r(t ′ )4πε0 zc2 =

qω2

4πε0 zc2

[~ex x0 cos(ωt ′ +ϕx)+~ey y0 cos(ωt ′ +ϕy)

]≡ ~ex E0,x(z)cos(ωt ′ +ϕx)+~ey E0,y(z)cos(ωt ′ +ϕy),

gdje su amplitude dane sa

E0,x(z) =qω2x0

4πε0 zc2 , E0,y(z) =qω2y0

4πε0 zc2 .

Vidimo da polje u trenutku t titra u onom smjeru u kome je naboj titrao u trenutku t ′ . Akonaboj ne titra harmonijski, nego po nekoj drugoj funkcijskoj ovisnosti, ta se druga funkcija, uskladu s Fourierovim teoremom1, može napisati kao red (ako je periodicka ili kao integral, akoje neperiodicka) po trigonometrijskim funkcijama, pa tada opet možemo odvojeno analiziratisvaki clan toga reda, koji je oblika kao gornji izrazi.Analizirajmo detaljnije gornje izraze:

LINEARNA POLARIZACIJA

Neka su fazni pomaci medusobno jednaki

Slika 11.1: Linearna polarizacija EM vala.

Ex

Ey

(A) (B)

E0, x

E0, y

Ey

E0, x

E0, y

Ex

ϕx = ϕy = ϕ,

ili neka se razlikuju za π

ϕx = ϕ, ϕy = ϕ±π.

1Vidjeti npr. odjeljak ... u [ZGummf ]

11.1 Stanje polarizacije elektromagnetskog vala 185

Ako je ϕx = ϕy = ϕ (slika 11.1.A),

~E =~ex E0,x cos(ωt ′ +ϕ)+~ey E0,y cos(ωt ′ +ϕ) = (~ex E0,x +~ey E0,y)cos(ωt ′ +ϕ).

Ako je ϕx = ϕ, ϕy = ϕ±π (slika 11.1.B),

~E =~ex E0,x cos(ωt ′ +ϕ)+~ey E0,y cos(ωt ′ +ϕ±π) = (~ex E0,x−~ey E0,y)cos(ωt ′ +ϕ).

S obzirom da je −1≤ cosα ≤+1, to se vektor elektricnog polja giba u ravnini (x,y) po pravcuizmedu tocaka ±(~ex E0,x +~ey E0,y) ili izmedu tocaka ±(~ex E0,x−~ey E0,y). Vektor magnetskogpolja se giba po okomitom pravcu u odnosu na opisane pravce. Ovakvo stanje titranja elektro-magnetskog polja nazivamo linearno polarizirani elektromagnetski ravni val. Primjetimo daiznos elektricnog (pa time i magnetskog) polja u ovom slucaju može biti jednak nuli (kada jekosinus jednak nuli).

KRUŽNA POLARIZACIJA

Neka su amplitude titranja izvora, u smjerovima x i y, medusobno jednake x0 = y0 = a0, tj.

Slika 11.2: Kružna polarizacija EM vala.

Ex

Ey

(A) (B)

E0

E0

Ey

E0

Ex

Lijevo k.p. val Desno k.p. val

t' = 0

t' =

E0

t' = 0

t' =

E0,x = E0,y = E0, a faza titranja u smjeru osi y neka kasni za π/2 u odnosu na titranje u smjeruosi x

ϕx = ϕ, ϕy = ϕ− π

2.

~E =~ex E0 cos(ωt ′ +ϕ)+~ey E0 cos(ωt ′ +ϕ−π/2) =~ex E0 cos(ωt ′ +ϕ)+~ey E0 sin(ωt ′ +ϕ).

Primjetimo da vrh vektora ~E opisuje kružnicu (E2x +E2

y = E20 ) koja se vrti ulijevo, suprotno od

kazaljke na satu, slika 11.2.A. Npr. u nekoj fiksnoj tocki na osi z, vrijedi

ωt ′ +ϕ = 0, ⇒ ~E =~ex E0

ωt ′ +ϕ =π

2, ⇒ ~E =~ey E0

Ovakav val nazivamo lijevo kružno polarizirani elektromagnetski val. Magnetsko polje slijedivrtnju elektricnog polja i stalno je okomito na njega. Ako faza titranje u smjeru osi y prednjaciza π/2 u odnosu na titranje u smjeru osi x,

ϕx = ϕ, ϕy = ϕ +π

2.

186 Poglavlje 11. Polarizacija elektromagnetskog vala

~E =~ex E0 cos(ωt ′ +ϕ)+~ey E0 cos(ωt ′ +ϕ+π/2) =~ex E0 cos(ωt ′ +ϕ)−~ey E0 sin(ωt ′ +ϕ).

Primjetimo da vrh vektora ~E opisuje kružnicu koja se vrti udesno, u smjeru kazaljke na satu,slika 11.2.B. U nekoj fiksnoj tocki na osi z, vrijedi

ωt ′ +ϕ = 0, ⇒ ~E =~ex E0

ωt ′ +ϕ =π

2, ⇒ ~E =−~ey E0

Ovakav val nazivamo desno kružno polarizirani elektromagnetski val.

Primjetimo da, u oba slucaja, iznos polja nije nikada jednak nuli, nego u svakom trenutkuima konstantnu vrijednost

|~E |=√

E2x +E2

y = E0.

ELIPTICKA POLARIZACIJA

Ako se amplitude titranja naboja u ravnini (x,y) razlikuju x0 6= y0 i ako se fazni pomaci razlikuju

Slika 11.3: Elipticka polarizacija EM vala.

Ex

Ey

(A) (B)

E0, x

E0, y

Ey

Lijevo e.p. val Desno e.p. val

X'

y'

E0, x

E0, y

y'

Ex

ϕx 6= ϕy, tada vrh vektora elektricnog polja opisuje elipsu u ravnini (x,y)

~E =~ex E0,x cos(ωt ′ +ϕx)+~ey E0,y cos(ωt ′ +ϕy).

Iz gornje jednadžbe se lako dolazi do jednadžbe elipse(Ex

E0,x

)2

−2ExEy

E0,xE0,ycos(ϕx−ϕy)+

(Ey

E0,y

)2

= sin2(ϕx−ϕy),

iz koje se vidi da vrh vektora ~E opisuje elipsu sa središtem u ishodištu i zakrenutom glavnomosi za kut Φ u odnosu na pozitivni smjer osi x. Kut Φ je odreden jednadžbom

tanΦ1− tan2 Φ

=E0,xE0,y

E20,x−E2

0,ycos(ϕx−ϕy)

I u slucaju elipticke, kao i u slucaju kružne polarizacije, |~E | je uvijek razlicit od nule.

11.2 Polarizacija refleksijom - Brewsterov kut 187

PRINCIP RADA POLARIZATORA:Neka kružno polarizirani elektromagnetski val prolazi kroz sredstvo cije se cestice mogu gibatisamo u smjeru osi~ex . Komponenta elektricnog polja Ex ce obaviti rad nad cesticama sredstva(zatitrat ce ih svojom frekvencijom) i zbog toga ce najveci dio x-komponente polja išceznutiiz elektromagnetskog vala. Na izlazu iz sredstva ce se dobiti elipticki polariziran val s vecompoluosom elipse u smjeru osi y, tj. približno linearno polarizirani val.

11.2 Polarizacija refleksijom - Brewsterov kutPromatra se zraka svjetlosti koja prolazi zrakom i pada na površinu ravnog stakla. Dijelom seodbija (reflektira) od površine (granice dva opticka medija), a dijelom se lomi (refraktira) ustaklo. Upadna svjetlost pobuduje atome stakla na zracenje. Svjetlost u odbijenoj i lomljenojzraci potjece od atoma stakla.Ocito je da u slucaju kada odbijena i lomljena zraka zatvaraju pravi kut, tada odbijena zraka nematransverzalnu komponentu ~E koja bi ležala u ravnini crtnje, tj. odbijena zraka je LINEARNO

POLARIZIRANA.

θ1 +π

2+θ2 = π ⇒ θ1 +θ2 =

π

2.

Kut θ1 koji zadovoljava gornju relaciju, naziva se Brewsterov kut

θ1 ≡ θB.

Iz Snellova zakona, ..., se dolazi do relacije kojom se racuna Brewsterov kut

n1 sinθB = n2 sinθ(π/2−θB) = n2

[sin

π

2cosθB− cos

π

2sinθB

]

tanθB =n2

n1.

dovršiti

11.3 Fresnelove jednadžbe za refleksiju i lom

Promatramo ravni elektromagnetski val koji iz sredstva (1) dolazi na granicu sredstava (1) i(2). Koordinatni sustav je postavljen tako da se granica nalazi u ravnini x = 0. Sredstvo (1) senalazi u poluprostoru x < 0 i opisano je relativnom dielektricnom konstantom εr,1. Sredstvo (2)se nalazi u poluprostoru x > 0 i opisano je relativnom dielektricnom konstantom εr,2.

Popis literature

Knjige[Glua] Zvonko Glumac. Klasicna mehanika - kratak uvod. http://www.fizika.unios.hr/ zglu-

mac/utm.pdf (cited on pages 148, 164, 166).

[Glub] Zvonko Glumac. Matematicke metode fizike - kratak uvod. http://www.fizika.unios.hr/ zglu-mac/ummf.pdf (citirano na stranci 156).

Clanci

Indeks

R

radelektrostatske sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Documents

Klasicnaˇ elektrodinamika - Moodlegama.fizika.unios.hr/~zglumac/uelmag.pdf · 4 Elektriˇcna struja.....59 4.1 Elektriˇcna struja 59 4.2 Elektriˇcna vodljivost i Ohmov zakon 61