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KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Verzerrungen und Festigkeiten Vorlesung und Übungen 1. Semester BA Architektur

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  • KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg undnationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu

    Verzerrungen und FestigkeitenVorlesung und Übungen1. Semester BA Architektur

  • Fachgebiet Bautechnologie

    Tragkonstruktionen

    2 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

    Statik- und Festigkeitslehre Verzerrungen und Spannungen

    WerkstoffkennwerteNormalspannungen

  • Fachgebiet Bautechnologie

    Tragkonstruktionen

    3 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

    Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte

    Einachsiger Zugversuch

  • Fachgebiet Bautechnologie

    Tragkonstruktionen

    4 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

    Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte

    Kraft – Verformungs - Diagramm

  • Fachgebiet Bautechnologie

    Tragkonstruktionen

    5 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

    Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte

    Wie lassen sich die Ergebnisse des einachsigen Zugversuches auf die Tragfähigkeit von Bauteilen übertragen ?

  • Fachgebiet Bautechnologie

    Tragkonstruktionen

    6 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

    Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte

    F [kN]

    d

    d - ∆d

    L∆

    L

    L +

    ∆L

    0u

    0 0

    u u uu u− ∆

    ε = =

    Äußere Kraft F und Längenänderung ∆L

    u 0

    u =

    u 0+

    ∆u

    Innere Spannungen σuund Dehnung εu

    Teil heraus-geschnitten

    σu

    σu

    Beziehung in u-Richtung

    v

    u

    Das Verhältnis gedehnte Länge / ungedehnte Länge ist

  • Fachgebiet Bautechnologie

    Tragkonstruktionen

    7 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

    Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte

    Normalspannungen wirken senkrecht auf eine beliebige Schnittfläche

    Normalspannungen sind Flächen bezogene Größen [MN/m², N/mm²]

    Normalspannungen in u-Richtung sind konstant über die

    Länge L und

    Querschnittsfläche mit A = d · t

    L

    d

    1 1

    F

    t

    Querschnitt Schnitt 1 - 1 senkrecht zur Mittelachse

    F

    συσυ

    Gleichgewicht am unteren Teilstück

    F – σ · A = 0 uF FA d t

    ⇒ σ = =⋅

  • Fachgebiet Bautechnologie

    Tragkonstruktionen

    8 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

    Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte

    tan Eσα = =ε

    Eσ = ⋅ ε

    Spannungs-Dehnungs-Diagramm Stahl S 235

    Hooke‘sches Gesetz

    E … Elastizitätsmodul [MN/m² = N/mm²]

    Maß für die Nachgiebigkeit des Werkstoffes

    Dehnung ε [%]

    Spannung σ [N/mm²] elastischer Bereich

    plastischer Bereich

    Bruch

    Zugfestigkeit fu,k

    untere Streck-grenze fy,k

    elastischer Bereich

    Lineare Beziehung von Dehnung zu Spannung (Geradengleichung)

    Reversible Dehnungen bei Entlastung keine Restdehnungen

  • Fachgebiet Bautechnologie

    Tragkonstruktionen

    9 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

    Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte

    Spannungs-Dehnungs-Diagramm Stahl S 235

    Tragreserven

    bleibende (irreversible) Dehnungen nach der Entlastung (Umformung)

    Dehnung ε [%]

    Spannung σ [N/mm²] elastischer Bereich

    plastischer Bereich

    Bruch

    Zugfestigkeit

    Untere Streckgrenze

    plastischer Bereich

    nicht-lineare Beziehung von Dehnung zu Spannung

    Große Verformungen vor dem Bruch

  • Fachgebiet Bautechnologie

    Tragkonstruktionen

    10 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

    Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte

    0 0,1 0,2 0,3 0,4Dehnung ε [%]

    Spannung σ [N/mm²]

    250

    200

    150

    100

    50

    0

    Stahl, schematisch, duktil

    Glas, spröd

    Beton, spröd

    Elastizitätsmodul

    Stahl2

    St

    2

    210 N/mmE0,1 %

    210 210 000 N/mm0,001

    σ= ≈

    ε

    = =

    2

    Glas

    2

    70 N/mmE0,1 %

    70 000 N/mm

    σ= ≈

    ε

    =

    E σ=ε

    Beton

    2

    30 N/mm²E0,1 %

    30 000 N/mm

    σ= ≈

    ε

    =

    Glas

    Beton

  • Fachgebiet Bautechnologie

    Tragkonstruktionen

    11 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

    Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte

    Kohlefaser E = 400 000 [MN/m²]

    Stahl E = 210 000 [MN/m²] (Eisen-Kohlenstoff-Legierung)

    E = 170 000 [MN/m²] (Chrom-Nickel-Legierng)

    Aluminium E = 70 000 [MN/m²]

    Glas E = 70 000 [MN/m²]

    Stahlbeton E = 15 000 bis 40 000 [MN/m²]

    Holz E = 10 000 bis 13 000 [MN/m²]

    Holzplatten E = 1 200 bis 8 000 [MN/m²]

    Mauerwerk E = 5 000 bis 10 000 [MN/m²]

    Kunststoff E = 1 000 bis 4 000 [MN/m²]

  • Fachgebiet Bautechnologie

    Tragkonstruktionen

    12 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

    Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte

    Räumlicher Spannungszustand

    Einschnürung durch Querdehnung bzw. Querkontraktion

    Druckspannungen senkrecht zur Zugkraft

    FZug

    FZug

    FDruck

    FDruck

    Aufweitung durch Querdehnung bzw. Querkontraktion

    Zugspannungen senkrecht zur Druckkraft

  • Fachgebiet Bautechnologie

    Tragkonstruktionen

    13 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

    Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte

    Dehnung (+)

    Zugspannung (+)

    Druckspannung (-)

    Stauchung (-) Dehnung (+)

    Zugspannung (+)

    Druckspannung (-)

    Stauchung (-)

    Stahl

    Werkstoff mit gleicher Zug- und Druckfestigkeit

    Beton

    Werkstoffe mit geringer Zugfestigkeit

    C 20/25C 30/37C 35/45

  • Fachgebiet Bautechnologie

    Tragkonstruktionen

    14 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

    Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte

    Betonstauchung ε [%]

    Druckspannung σ [N/mm²]

    Druckfestigkeit fck

    Ecm

    fck/εc1εc1 εc1u

    Nicht – lineares Spannungs-Dehnungs-Diagramm für Beton

  • Fachgebiet Bautechnologie

    Tragkonstruktionen

    15 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

    Statik- und FestigkeitslehreNormalspannungen

    Normalspannungen in einer Stütze

    Äußere Druckkraft FDQuerschnittsfläche A = b · d

    FD

    σDAnnahme:

    Druckspannung konstant über die Schnittfläche

    D DD

    F FA d b

    ⇒ σ = =⋅

    FD

    FDdb

    Gleichgewicht am unteren Teilstück

    FD – σD · A = 0

  • Fachgebiet Bautechnologie

    Tragkonstruktionen

    16 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

    Statik- und FestigkeitslehreNormalspannungen

    .l

    γ

    h

    d

    N(x) d x= −γ ⋅ ⋅ DN(x)(x)A(x)

    σ =

    N(h) d h [kN/m]= −γ ⋅ ⋅

    x

    γ Eigenlast der Wand [kN/m³]

    Normalkraft Druckspannung

    D(h) d h / d h [kN/m²]

    σ = −γ ⋅ ⋅

    = −γ ⋅

  • Fachgebiet Bautechnologie

    Tragkonstruktionen

    18 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

    Statik- und FestigkeitslehreNormalspannungen

  • Fachgebiet Bautechnologie

    Tragkonstruktionen

    19 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

    Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte

    F [kN]

    d

    d - ∆d

    L∆

    L

    L +

    ∆L

    uu

    u∆

    ε =

    Äußere Kraft F und Längenänderung ∆L

    v - ∆v

    v

    u

    u +

    ∆u

    Inneren Spannungen σuund Verzerrung εu

    Teil heraus-geschnitten

    σu

    σu

    Beziehung in u-Richtung

    v

    u