145
KIS MÁRTA GAZDASÁGI MATEMATIKA I. ANALÍZIS OKTATÁSI SEGÉDANYAG BUDAPEST, 2009.

Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Egyetemi köny, Részletes és könnyű nyelvezetű köny,így könnyen lehet belőle tanulni

Citation preview

Page 1: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

KIS MÁRTA

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

ANALÍZIS

OKTATÁSI SEGÉDANYAG

BUDAPEST, 2009.

Page 2: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

Szerző:

KIS MÁRTA

Lektorálta:

KOVÁCS GERGELY

BRUNNER ZSUZSANNA

NAGYNÉ CSÓTI BEÁTA

ISBN 978 963 87306 3 3

Harmadik javított és bővített kiadás

Minden jog fenntartva. A jegyzet egészének vagy részének újranyomtatása, másolása, bármilyen formában történő újraelőállítása akár mechanikus úton, illetve egyéb módon, beleértve minden információtárolási és hozzáférési rendszert is, a szerzők valamint a kiadó írásbeli engedélye nélkül tilos és bün-tetőjogi felelősségre vonással járhat.

Budapest, 2009.

Kiadó: Dr.T.O.P. Kft., Budapest Felelős vezető: Dr. Sárkány Péter ügyvezető

Nyomda: ALFADAT-PRESS Kft., Tatabánya Felelős vezető: W. Csoma Éva ügyvezető igazgató

Page 3: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

3

TARTALOMJEGYZÉK

BEVEZETÉS .......................................................................................... 5

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK ............................................ 7

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK .............................................................. 35

3. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK ................................................................. 57

4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ......................................................... 67

5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ............................................................... 77

6. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA FÜGGVÉNYEK ELEMZÉSÉNÉL ................................................................................ 89

7. GAZDASÁGI ALKALMAZÁSOK ...................................................... 101

8. GÖRBE ÉRINTŐJÉNEK AZ EGYENLETE ........................................... 111

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK .................................................... 115

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS .................................................................. 129

FELHASZNÁLT IRODALOM ............................................................... 147

Page 4: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

5

BEVEZETÉS

Az oktatási segédanyag, amelyet kezében tart az olvasó, elsősorban a gazdasági főiskolák analízist tanuló hallgatóinak készült. A segédanyag nem klasszikus matematikakönyv. Az elméleti részek-nél nem kerül ismertetésre a mélyebb matematikai háttér, csupán any-nyi, amennyi a gyakorlati feladatmegoldáshoz elengedhetetlen. Ana-lízis tanulmányaink során nagy szükségünk van, a középiskolában tanult ismeretekre, ezért külön fejezetben kerültek összefoglalásra azok a középiskolai matematikai alapok, amik nélkülözhetetlenek a tananyag elsajátításánál. A fejezetek az alapfogalmak leírásával kezdődnek, melyeket általá-ban egy könnyen érthető Mintapélda követ. Az egyes témakörök végén pedig a tanult anyag megértését elősegítő Gyakorló felada-tok vannak, melyeknek a megoldásai az adott fejezet végén találha-tók. A jegyzet nem tekinthető véglegesnek, folyamatosan kívánom bőví-teni, újabb feladatokkal kiegészíteni. Amennyiben ötlete, javaslata van a könyvvel kapcsolatban, vagy valahol hibát vél felfedezni, kö-szönettel vesszem észrevételeit személyesen, vagy e-mailen keresztül ([email protected]). Végezetül köszönetet szeretnék mondani dr. Rejtő Kálmánnénak, Brunner Zsuzsannának, Nagyné Csóti Beátának és Kovács Gergely-nek, hogy támogattak munkámban, értékes tanácsokkal láttak el, és segítségemre voltak a feladatanyag kialakításában.

Budapest, 2009. szeptember

A Szerző

Page 5: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis
Page 6: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

7

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK Ebben a fejezetben, a középiskolában tanult fogalmak, algebrai átalakítá-sok, egyenlet megoldási technikák közül kívánunk néhányat felelevení-teni – a teljesség igénye nélkül – azok kedvéért, akik régebben tanultak matematikát. Ezekre az algebrai készségekre nagy szükség lesz a későbbi feladatmegoldásoknál.

1.1 NEVEZETES SZÁMHALMAZOK Természetes számok halmaza: N

(0, 1, 2, 3 ...) Egész számok halmaza: Z

( ...–2, -1, 0, 1, 2 ...) Racionális számok halmaza: Q

(Felírhatók két egész szám hányado-saként.)

Valós számok halmaza: R (Racionális és irracionális számok)

Ábrázoljuk számegyenesen a következő számhalmazokat!

1.2 MŰVELETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEKKEL

Algebrai mennyiségeknek nevezzük a számokat és a számokat jelentő betűket.1 Algebrai kifejezésnek nevezzük azt a kifejezést, amelyben algebrai mennyiségek összege, különbsége, szorzata (egész kitevőjű hatványa),

hányadosa és gyöke szerepel véges sokszor.2 Pl.: baba

23 2

1 Fekete Gy.: Matematika a felvételi vizsgára készülőknek. 49.o 2 Denkinger G.: Matematikai zseblexikon. 15. o.

Valós számok

Racionális számok Egész számok

Természetes számok

[3;1[}31|{ xRx3 1

2 3 1 }40|{ xZx

Page 7: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

8

Együtthatónak nevezzük az algebrai kifejezésben a változók számszorzóit.3 Pl.: A 23a kifejezésben az 2a együtthatója 3.

Egytagú az az algebrai kifejezés, amelyben az algebrai mennyiségeket a szorzás és az osztás végesszámú alkalmazásával kapcsoljuk össze. Pl.: yx36 A többtagú algebrai kifejezés az egytagúak összeadásával (illetve kivonásával) keletkezik. Pl.: baab 232 háromtagú. Ha algebrai kifejezésekkel műveleteket végzünk, akkor elvileg ugyanúgy járunk el, mint a számokkal végzett műveleteknél. Műveletek Egytagú kifejezés szorzása egytagúval:

babaa 32 3)(3 Egytagú kifejezés szorzása többtagúval:

ababaa 33)(3 32 Többtagú kifejezés szorzása többtagúval:

2222 31710315210)5)(32( yxyxyxyxyxyxyx

Nevezetes azonosságok

Példák nevezetes azonosságok alkalmazására:

222 44)2( yxyxyx 222 36369)63( yxyxyx

)2)(2(4 22 yxyxyx

)91)(91(811 2 aaa 222 )25(42025 yxyxyx

3 Fekete Gy.: Matematika a felvételi vizsgára készülőknek. 49.o

))((2)(2)(

22

222

222

bababababababababa

A 2xy és 15xy egynemű tagokat összevonjuk.

Page 8: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

9

Szorzattá alakítás kiemeléssel

)2(336 2 yxyyxy

)2(510522 baababba

)23)(()(2)(3 yxbabaybax

Műveletek törtekkel A törtek bővítésének és egyszerűsítésének az alapja az, hogy a tört értéke nem változik meg, ha a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a nullától kü-lönböző mennyiséggel megszorozzuk, vagy elosztjuk.

Például: ba

aba

263 2

( 0, ba )

Gyakori hiba a törtek egyszerűsítésénél, hogy nem vesszük figyelembe azt a tényt, hogy a törtet egyszerűsíteni csak szorzótényezővel, azaz szorzattá alakítás után lehet!

Hibás például a következő egyszerűsítés: 1

51

523

2

xx

xx !

Az 1

53

2

xx tört nem egyszerűsíthető.

A törteket szorzattá alakíthatjuk például kiemeléssel, vagy nevezetes azonosság alkalmazásával, mint ahogy azt az alábbi példa is mutatja.

222 )2()2(3

4436

baba

bababa

( 02 ba )

A szorzattá alakítás után pedig már egyszerűsíthetünk, jelen esetben

)2( ba -vel : baba

ba

23

)2()2(32

A törtek összeadása és kivonása csak akkor történhet meg, ha a nevező-jük egyenlő. Ha a két tört nevezője nem egyezik meg, akkor a törtek bő-vítésével közös nevezőre hozunk. Közös nevezőre hozás

22

22 43))((

)(4)(343ba

babababa

babbaaba

bba

a

Page 9: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

10

Törtek szorzása: bdac

dc

ba

( 0, db )

Törtet törttel úgy osztunk, hogy az osztó reciprokával szorzunk:

bcad

cd

ba

dc

ba

: ( 0,, dcb )

Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezést!

325:3

3261

bbb ( 2/3,032 bb )

Megoldás:

25

3232

1032

5:32

966132

5:32

)32(332

6132

5:332

61

bbbb

bbbb

bb

bbb

b

Hatványozás azonosságai ( ZmnRbaba ,,;0, )

Gyakorló feladatok A hatványozás azonosságainak felhasználásával szüntesse meg a kitevő-ben szereplő összeget, különbséget, szorzatot, hányadost!

a) 4na b) 32 na c) 51n

a d) 64 na e) 273 n

a

nn

n

nnn

nmm nn m

mn

nmm n

ba

ba

abba

aaa

aaa

n

n

n

nnn

mnnmmn

mnm

n

mnmn

ba

ba

baba

aaa

a aa

aaa

nn

aa

a1

10

Page 10: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

11

Megoldás

a) 44

aaa

nn

b) 323232 )( aaaaa nnn

c) 55 151

aaaa nnn

d) 6

4

6

464 )(

aa

aaa

nnn

e) 737373273

)( aaaaaa nnnn

1.3 EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA Példa elsőfokú egyismeretlenes egyenlet megoldására.

Oldjuk meg a következő egyenletet! 4

2x32x

Cél: Ekvivalens átalakításokkal az egyik oldalra összegyűjteni az isme-retlent tartalmazó tagokat, a másik oldalra a konstansokat. Mindkét oldalát szorozzuk 4-gyel: 2x128x , mindkét oldalból kivonunk x-et: 2127x , mindkét oldalhoz 12-t adunk: 147x , az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 7-tel: 2x .

Példák másodfokú egyismeretlenes egyenlet megoldására

A másodfokú egyenlet általános alakja:

A másodfokú egyenletek megoldására használhatjuk az ún. megoldó-képletet, vagy másnéven gyökképletet: Amennyiben hiányos másodfokú egyenlettel van dolgunk (b=0 vagy c=0), egyszerűbben is eljuthatunk a megoldáshoz.

Az itt alkalmazott átala-kításokra emlékezzünk majd vissza akkor, ami-kor a sorozatok határér-tékét vizsgáljuk!

aacbbx

242

2,.1

)0(02 acbxax

Page 11: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

12

1. Oldjuk meg a x10x2 050 egyenletet! Alakítsuk szorzattá az egyenlet bal oldalát: 0)5(10 xx . Szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Jelen esetben 010 x azaz 0x , vagy 05 x azaz 5x . Tehát az egyenletnek két megoldása van: 0x és az 5x .

2. Oldjuk meg a 2x2 08 egyenletet! Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 2-vel: 042 x . Amennyiben az egyenlet megoldását a következőképpen folytatjuk: 42 x , ügyeljünk rá, hogy nem csak a 422 , hanem a 4)2( 2 . Tehát az egyenle-tünknek két megoldása van: 21 x és 22 x .

3. Oldjuk meg a xx2 54 egyenletet! Rendezzük nullára, és megoldáshoz használjuk a másodfokú egyenlet megoldó képletét! Az egyenlet nullára rendezve: xx2 045 . A megoldó képletet felhasználva ( 1a , 5b , 4c ):

2

3512

41455 2

2,1

x . A megoldások: 41 x és 12 x .

Példa másodfokú egyismeretlenes egyenlőtlenség megoldására.

Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget! xx2 045 Másodfokú egyenlőtlenségeket grafikusan érdemes megoldani. Ábrázol-juk az 45 xxf(x) 2 másodfokú függvényt! Az előbbi feladatban az xx2 045 egyen-let megoldásakor már megkaptuk a másodfokú függvény zérushelyeit. Figyelembe véve, hogy az x2 együtthatója pozitív, a függvény képe egy egyenes állású (felfelé nyíló) parabola. Az ábráról leolvasható, hogy az [4;1]x érté-kek esetén lesz a függvényérték negatív. Az egyenlőtlenség megoldása: }41|{ xRx .

Megjegyzés: Az itt említett feladattípusokon kívül szükségünk lesz még az abszolútértékes, törtes egyenletek, illetve egyenlőtlenségek megoldá-sára is, de erre későbbi fejezetekben térünk majd ki részletesen.

_++

1 4x

Page 12: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

13

1.4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK Az itt tárgyalt fogalmak az egyváltozós valós függvényekre vonatkoz-nak. Ahol az ”egy-változó” a független változó számára utal, a „valós” jelző pedig a valós számok halmazára, melyen a függvényt értelmezzük. A fogalom természetesen kiterjeszthető több változóra is, de ezzel ké-sőbbi fejezetben foglalkozunk majd.

1.4.1 ALAPFOGALMAK Függvény A függvény mind a matematikában, mind a közgazdaságtanban fontos jelentőséggel bír. Függvényekkel tudjuk leírni a változók közötti kapcso-latot. Például a négyzet oldalhossza meghatározza a négyzet területét, az ár a kínálatot, a termelt mennyiség a költséget és így tovább. A függvény két halmaz (A és B) között létesít kapcsolatot. A függvény egy olyan hozzárendelés, mely az alaphalmaz (A halmaz) minden egyes eleméhez a B halmaz pontosan egy elemét rendeli. Ezt úgy is szokták mondani, hogy a függvény egy egyértelmű hozzárendelés. Rajzban:

Értelmezési tartomány A függvény megadásánál említett A halmaz a függvény értelmezési tar-tománya. Egy f függvény esetén jele: Df . Elemeit a matematikában füg-getlen változónak nevezzük és általában x –szel jelöljük. Közgazdaság-tanban, különböző betűket alkalmaznak a jelölésére a jelentésétől függő-en.

Értékkészlet A függvény megadásánál említett B halmaz a függvény képhalmaza. A B halmaz azon részhalmazát, melybe tartozó értékeket a függvény felvesz, a függvény értékkészletének nevezzük. Egy f függvény esetén az érték-készlet jele: Rf . Elemeit függvényértékeknek, vagy függő változónak nevezzük és y –nal vagy f(x) – szel jelölik általában a matematikusok. Formálisan: ff DxxfyyR , .

B A

Page 13: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

14

1.4.2 FÜGGVÉNYEK MEGADÁSA

Függvényeket sokféleképpen adhatjuk meg. Képlet sem feltétlenül szük-séges hozzá, néha elég egy mondat is, például „Minden számhoz (valós számhoz) rendeljük hozzá a négyzeténél eggyel nagyobb számot!”, vagy „Minden emberhez rendeljük hozzá az édesanyját!”.

Megjegyzés: „Minden emberhez rendeljük a testvérét!” hozzárendelést azonban már nem tekintjük függvénynek. Miért? (Mert nem egyértelmű a hozzárendelés. Van, akinek több testvére van; illetve akad olyan is, akinek egy sincs.)

Egy függvénymegadás akkor jó, ha minden elemhez pontosan egy ele-met rendelünk, és a megadási módból kiderül, hogy mely elemekhez mely elemeket rendeltük.

Nézzünk néhány lehetőséget függvény megadására:

Megállapodás: Amennyiben az értelmezési tartomány nincs megjelölve, akkor a függvény az összes olyan valós számra értelmezve van, amelynél a kijelölt műveletek elvégezhetők. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a függ-vény értelmezési tartománya, a valós számok ( R ) halmazának az a leg-bővebb részhalmaza ahol a függvény értelmezhető.

Például az 4253)(

2

x

xxxf függvény értelmezési tartománya: R \ 2 .

A megadás történhet Venn-diagrammal, vagy nyíldiagrammal is, de eze-ket a megadási módokat csak elvétve szokták alkalmazni. Jóval gyakrab-ban fordul elő a grafikonnal történő megadás a függvények körében. A következő fejezetben ezzel foglalkozunk.

1)(

1:

1,:

2

2

2

xxfRxxxf

xxRRf

Page 14: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

15

1.4.3 GRAFIKONOK A függvények egyenletét kielégítő (x; y) számpárokat ábrázolhatjuk ko-ordinátarendszerben. A koordináta-rendszer x tengelyét abszcisszaten-gelynek, y tengelyét ordinátatengelynek nevezzük. A koordinátasík min-den pontját egy rendezett (azaz nem felcserélhető) valós számpárral tud-juk megadni. A számpár első tagját abszcisszának, második tagját ordiná-tának nevezzük. Más szóval ezek az értékek a pont koordinátái.

A függvény grafikon felvázolásakor keressük azokat a pontokat a koor-dinátarendszerben, melyek kielégítik a függvény egyenletét. Az így ka-pott görbe (grafikon) általában jól tükrözi a függvény tulajdonságait, ami nagy segítségünkre lehet a függvény jellemzésében.

A független változót (az értelmezési tartomány elemeit) a vízszintes tenge-lyen, a függő változót (az értékkészlet elemeit) a függőleges tengelyen ábrá-zoljuk.

Például ha az 12 xy hozzárendelé-si szabály által meghatározott );( yxP pontokat a koordinátarendszerben áb-rázoljuk, akkor az itt látható grafikon-hoz jutunk.

Megjegyzés: Közgazdaságtanban, bizonyos függvényeknél (pl. kereslet, kíná-lat) a két tengely felcserélődhet, ekkor a független változó a függőleges, a füg-gő változó pedig a vízszintes tengelyen kerül ábrázolásra. Matematikában ilyen ábrázolást nem szoktunk alkalmazni, de a közgazdasági tanulmányaink során találkozhatunk vele. Figyeljünk rá!

Pont (abszcissza; ordináta)

x

y

Az egyváltozós valós függvény grafikonjának (ábrájának, görbéjének) nevezzük a kétdimenziós koordinátarendszerben az (x ; f(x)) pontok halmazát, ahol fDx .

Page 15: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

16

1.4.4 NEVEZETES FÜGGVÉNYEK

KONSTANS FÜGGVÉNY )( Rccy

x tengellyel párhuza-mos egyenes

pl.: 2y

ELSŐFOKÚ FÜGGVÉNY

bmxy 0m

egyenes pl.: 12 xy

MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNY

cbxaxy 2

( 0a )

parabola pl.: 122 xxy

Fontosabb függvények Görbe egyenlete Grafikon

Page 16: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

17

HARMADFOKÚ FÜGGVÉNY )0(

23

adcxbxaxy

pl.: 33 23 xxxy

LINEÁRIS TÖRTFÜGGVÉNY dcx

baxy

( 0 dcx )

hiperbola

pl.: 112

x

xy

A többi függvény esetében csak az alapfüggvény képletét közöljük.

ABSZOLÚTÉRTÉK FÜGGVÉNY xy

Page 17: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

18

NÉGYZETGYÖK FÜGGVÉNY

0Rxxy

EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY

xay

LOGARITMUS FÜGGVÉNY xy alog

ELŐJEL FÜGGVÉNY

01

0001

xhaxhaxha

y

0<a<1 a>1

a>1

0<a<1

Page 18: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

19

1.4.5 LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

m: megadja a függvény meredekségét b: megmutatja a függvény grafikonjának az y tengellyel vett metszés-

pontját

Lineáris függvény képe egyenes.

Amennyiben 0m , konstans függ-vényről beszélünk; ha pedig 0m , akkor elsőfokú függvénynek nevez-zük. Amennyiben 0m , akkor az elsőfokú függvény szigorú monoton növekvő; ha 0m , akkor szigorú monoton csökkenő (lásd ábra).

A függvény meredeksége megmutatja, hogy a független változó (x) egységnyi növekedésé-re, a függő változó (y) mekkora változása jut.

A tengelymetszetek ismeretéből hogyan határozható meg a függvény me-redeksége?

Amennyiben az egyenes x-tengellyel vett metszéspontját a-val, y-tengellyel vett met-széspontját b-vel jelöljük; az egyenes mere-

deksége: abm

(lásd ábra).

12

12

xxyym

b

y

m=0

x

m<0 m>0

x2-x1

y

x x1 x2

y1

y2 y2-y1

y

x

b

a

jobbra a

lefele b

Lineáris függvénynek nevezzük az Rxbmxxf )( egyváltozós valós függvényt; ahol m, b rögzített valós számok.

Page 19: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

20

Gyakorló feladatok

1. Ábrázolja a következő egyenletű egyeneseket!

a) 234

xy

b) xy21

c) 3y

d) xy231

2. Hol metszi az 35 xy egyenletű egyenes az x, illetve y tengelyt?

3. Adja meg az 74 xy egyenletű egyenes tengelyekkel vett met-széspontjainak a koordinátáit!

4. Ábrázolás nélkül határozza meg hogy, az alábbi pontok közül me-lyek vannak rajta az 12 xy egyenletű egyenesen? P1(1;0) P2(4;-9) P3(1;-1) P4(-3;-5) P5(-2;5)

5. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét mely átmegy a P1(2;1) P2(5; -6) pontokon!

6. Ábrázolás nélkül határozza meg annak az egyenesnek az egyenletét, ami az x tengelyt 4-nél, az y tengelyt 3-nál metszi!

7. Ábrázolás nélkül, határozza meg az 531

xy függvény monoto-

nitását! Válaszát indokolja!

8. A P(4; 6) pont illeszkedik az 3 mxy egyenletű egyenesre. Meny-nyi az egyenes meredeksége?

9. Az 64)( xxf képlettel megadott lineáris függvénynek mekkora a függvényértéke 5x -nél?

10. Az 123)( xxf képlettel megadott lineáris függvény hol veszi fel

a 7-es függvényértéket?

Page 20: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

21

Megoldás

1. a) b) c) d)

2. 353

yx

3.

0;

47 és )7;0(

4. P3 és P5 van rajta a megadott egyenesen

5. 3

1737

xy

6. 343

xy

7. Szigorú monoton növekvő, mert 31

m pozitív.

8. 43

m

9. 14)5( f

10. 4x -nél

x

y

x

y

x

y

x

y

Page 21: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

22

1.4.6 Függvénytranszformációk

Az f(-x) függvény grafikonja az f(x) grafikonjának y tengelyre vonat-kozó tükörképe.

A –f(x) függvény grafikonja az f(x) grafikonjának x tengelyre vonatko-zó tükörképe.

Az f(x)+a függvény grafikonja az f(x) grafikonjának y tengely mentén „a” egységgel történő párhuzamos eltolásával kapható meg.

Az f(x+a) függvény grafikonja az f(x) függvény grafikonjának x ten-gely mentén „mínusz a” egységgel történő párhuzamos eltolásával kapható meg.

Az a*f(x) függvény grafikonja az f(x) grafikonjának y tengely menti nyújtásával áll elő, ha a > 1, ill. zsugorításával, ha 0 < a < 1.

Az f(ax) függvény grafikonja az f(x) grafikonjának x tengely menti nyújtásával áll elő, ha 0 < a < 1, ill. zsugorításával, ha a > 1.

Gyakorló feladatok

Ábrázoljuk függvény-transzformációval a következő egyenletű görbéket!

a) 22 xy

b) 23 xy

c) 2

21 xy

d) 312 2 xy

e) 32

1

xy

f) 13

2

xy

Page 22: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

23

Megoldás

a) b) c)

d) e) f)

1.4.7 FÜGGVÉNYELEMZÉS A függvény legfontosabb tulajdonságainak vizsgálatát függvényelem-zésnek, más néven függvénydiszkussziónak nevezzük.

ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY, ÉRTÉKKÉSZLET A függvény értelmezési tartományát általában a hozzárendelési sza-bállyal együtt megadják. Pl.: Rxxxf 12 Ha az értelmezési tartomány nincs megjelölve, akkor a függvény az ösz-szes olyan valós számra értelmezve van, amelynél a kijelölt műveletek elvégezhetők, vagyis az értelmezési tartomány a valós számok részhal-mazának az a legbővebb részhalmaza, ahol a függvény értelmezhető. Az értékkészlet tartalmazza az összes olyan elemet, amely a függvény érté-keként előállhat. A függvény érték-készlete a grafikonjának felrajzolása után az y tengelyen olvasható le (lásd ábra).

x

y

x

y

xy

x

y

x

y

x

y

Rf érték-készlet

Df értelmezési tartomány

y

x

Page 23: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

24

ZÉRUSHELYEK

Zérushelynek nevezzük azokat a helyeket, ahol a függvényérték nullával egyenlő 0xf . Ezekben a pontokban metszi

(vagy érinti) a függvény grafikonja az x tengelyt.

KORLÁTOSSÁG

A függvényt korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete korlátos. (Pontos definíciót lásd sorozatoknál.) Az értékkészlet legnagyobb alsó korlátja a függvény alsó határa - infimuma, legkisebb felső korlátja a függvény felső határa - szuprémuma. Lásd ábra.

Amennyiben az alsó. ill. felső határok maguk is függvényértékek, rendre az abszolút minimum, ill. abszolút maximum elnevezést használjuk.

SZÉLSŐÉRTÉKEK

Az f(x) függvénynek a-ban helyi (lokális) minimuma van, ha van az a-nak olyan környezete, amelyben f(a) a legkisebb függvényérték.

Az f(x) függvénynek a-ban helyi (lokális) maximuma van, ha van az a-nak olyan környezete, amelyben az f(a) a legnagyobb függvényérték.

Az f(x) függvénynek a-ban abszolút (globális) minimuma van, ha f(a) a legkisebb függ-vényérték.

Az f(x) függvénynek a-ban abszolút (globális) maximuma van, ha f(a) a legnagyobb függvényérték.

felső határ

alsó határ

y

x

zérushelyek

y

x

y

x

helyi minimum abszolút minimum

helyi maximum

Page 24: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

25

FÜGGVÉNY MONOTONITÁSA

Az f(x) függvényt az (a,b) intervallumon növekvőnek nevezzük, ha minden x1 < x2 (x1, x2(a,b)) esetén f(x1) f(x2) teljesül.

Az f(x) függvényt az (a,b) intervallumon csökkenőnek nevezzük, ha minden x1 < x2 (x1, x2(a,b)) esetén f(x1) f(x2) teljesül. Amennyiben minden x1, x2(a,b) esetén f(x1) < f(x2), illetve f(x1) > f(x2); szigorú monoton növekvőnek, illetve szigorú monoton csökkenőnek nevezzük a függvényt az (a,b) intervallumon.

FÜGGVÉNY KONVEX, KONKÁV TULAJDONSÁGA

Az f(x) függvény, az (a,b) intervallumon konvex, ha ehhez az interval-lumhoz tartozó grafikon bármely két pontját összekötő szakasz a grafi-kon felett halad. A f(x) függvény, az (a,b) intervallumon konkáv, ha ehhez az interval-lumhoz tartozó grafikon bármely két pontját összekötő szakasz a grafi-kon alatt halad. Konvex és konkáv ívek találkozási pontja az inflexiós pont.

konvex

konkáv

inflexiós pont

Page 25: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

26

PARITÁS, PERIODICITÁS Paritás szempontjából, egy függvény lehet páros, páratlan, de leggyak-rabban se nem páros se nem páratlan. Páros a függvény, ha minden x értékre teljesül, hogy f(x) = f(–x). A pá-ros függvény grafikonja szimmetrikus az y-tengelyre. Például: 2)( xxf Páratlan a függvény, ha minden x értékre teljesül, hogy f(x) = –f(–x). A páratlan függvény grafikonja az origóra szimmetrikus. Például: 3)( xxf

A periodicitás a trigonometrikus függvények jellegzetes tulajdonsága, ezért ennek vizsgálatától most eltekinthetünk, csak a teljesség kedvéért említettük meg.

Mintapélda Vizsgáljuk meg az alábbi függvény tulajdonságait! (Értelmezési tarto-mány, értékkészlet, zérushely, korlátosság, szélsőérték, monotonitás, konvexitás, paritás.)

Értelmezési tartomány 125 x -RxD f

Értékkészlet 62 y -RyR f

-2 -2 2 5 -5 7 12

3

6

y

x

Page 26: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

27

Zérushely 722 321 ; x; xx

Korlátosság

2- :(infimuma) határa alsó6 :a)(szuprémum határa felső

korlátosfüggvény a

Szélsőértékek

3 értéke van, maximuma lokális helyen 12x0 értéke van, minimuma lokális helyen 7x3 értéke van, maximuma lokális helyen 5x

2- értéke van, minimuma absz. helyen 0x

Monotonitás növekvő m. sz.7;12x

csökkenő m. . sz5,7xnövekvő m. . sz0;5xcsökkenő m. sz.5;0-x

Konvexitás A függvény ábrája alapján feltehetjük, hogy az inflexiós pontok x=3 és x=6 helyen találhatók. Ennek alapján:

konvex6;12x

konkáv3;6xkonvex5;3x

Paritás A függvény se nem páros se nem páratlan.

Page 27: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

28

Gyakorló feladatok

1. Adott az 2)(

xexf

x

függvény grafikonja.

Vizsgáljuk meg a függvény alábbi tulajdonságait:

értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték,

monotonitás, konvexitás, korlátosság, paritás.

2. Ábrázolás nélkül határozza meg, hogy az 32 xy függvény grafi-konja hol metszi az x, illetve y tengelyt?

3. Az 3212

x

xy függvény grafikonja átmegy-e az (5;2) ponton? Vá-

laszát indokolja!

4. Ábrázolás nélkül határozza meg, hogy hol metszi egymást az xxf 3)( és a 2)( xxg függvény grafikonja!

5. Ábrázolás nélkül határozza meg az alábbi két függvény metszés-pontjainak koordinátáit! 143)( 2 xxxf 102)( xxg

6. Határozza meg az 1082)( 2 xxxf függvény zérushelyeit!

7. Határozza meg az 1082)( 2 xxxf függvény szélsőértékének helyét, jellegét, értékét és hogy hol csökkenő, illetve hol növekvő a függvény; tudva, hogy a függvény zérushelyei 1x -nél és 5x -nél vannak!

2)(

xexf

x

Page 28: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

29

8. Rajzoljon az ábrán a P ponthoz egy tetszőleges szelőt, és a P ponthoz tartozó érintőt! Állapítsa meg az érintő meredekségének előjelét!

9. Az ábrán rajzolja be a megjelölt két ponthoz tartozó érintőket! Hasonlítsa össze a két érintő me-redekségének nagyságát, ameny-nyiben a P1 ponthoz tartozó érin-tő meredekségét m1-el, P2 pont-hoz tartozó érintő meredekségét m2-vel jelöljük!

Megoldások

1. Értelmezési tartomány: Df = R\{2} Értékkészlet: Rf = R\[0; 20[ Zérushely: nincs Szélsőérték: helyi minimum x = 3, y = 20 Monotonitás: ]-; 2[ szigorú monoton csökken ]2; 3] szigorú monoton csökken [3; [ szigorú monoton nő Konvexitás: ]-; 2[ konkáv ]2; [ konvex Korlátosság: nem korlátos Paritás: se nem páros, se nem páratlan

2. x-tengely metszet: 3,3 21 x x ; y-tengely metszet: 3y

3. A megadott pont koordinátái kielégítik az egyenletet 352

1522

,

ezért rajta van a függvény grafikonján.

x

P2 P1

y

x

P y

Page 29: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

30

4. 30 21 xx

5. )16;3()8;1( 21 P P

6. zérushelyek: 5,1 21 x x

7. szélsőérték helye: 2x (a két zérushely számtani közepe) jellege: maximum (mivel az 2x együtthatója negatív, így

lefele nyíló parabola a függvény képe, aminek maximuma van a csúcspontnál)

értéke: 18y (mivel 18102822)2( 2 f ) 2x szigorú monoton növekvő 2x szigorú monoton csökkenő

8.

9.

Ajánlott gyakorló feladatok: Középiskolai tankönyvek, példatárak ide vonatkozó fejezetei

x

P2 P1

y

x

P y érintő szelő

21 mm

A P ponthoz húzott érintő pozitív meredekségű.

Page 30: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

31

1.4.8 INVERZ FÜGGVÉNY Olyan függvény esetén értelmezhető csak az inverz, amely az értelmezé-si tartomány és értékkészlet elemei között kölcsönösen egyértelmű hoz-zárendelést létesít. Mivel ez egy fontos szempont az inverz függvény vizsgálatakor, először nézzük meg, hogy mit értünk kölcsönösen egyér-telmű hozzárendelés alatt.

Az Rxxy 2 egyértelmű hozzá-rendelés, de nem kölcsönösen egyér-telmű, mert ugyanazt az értéket több helyen is felveszi. Az ábrán látható, hogy például az y* függvényértéket két helyen is felveszi a függvény:

*21 )()( yxfxf .

Szemléletesen egy függvény akkor nevezhető kölcsönösen egyértelműnek, ha az x tengellyel párhuzamos egyenesekkel metszve a függvény grafikonját, minden egyenesnek legfeljebb egy közös pontja van a függvénygörbével.

Definíció: Legyen f olyan függvény, amely az értelmezési tartomány és az értékkészlet elemei között kölcsönösen egy-értelmű hozzárendelést létesít. Az f függvény inverzén értjük azt a g-vel jelölt függvényt, amelynek értelmezési tartománya az f értékkészlete, és egy y0 értékhez olyan értéket rendel, amely helyen az f függvény az y0 értéket vette fel, azaz g(y0)=x0.

Szemléletesen:

Rx 2xy

x1 x2

y*

x

y

y0

f Rg = Df Dg = Rf

x0 g

Kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, olyan speciális hozzárende-lés, ahol az egyik halmaz minden elemének pontosan egy elem felel meg a másik halmazból, és viszont.

y

x

Page 31: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

32

Egy függvényt, illetve inverz függvé-nyét vizsgálva megállapíthatjuk, hogy az értelmezési tartomány és az érték-készlet szerepet cserél, azaz fg RD és fg DR . Amennyiben egy koordi-náta rendszerben ábrázoljuk a függ-vényt és az ő inverzét; megállapíthat-juk, hogy az értelmezési tartomány, il-letve értékkészlet szerepcseréjéből adódóan a grafikonok az xy egyen-letű egyenesre vonatkozó tükörképei egymásnak.

Megjegyzés: Sok olyan függvénnyel találkozhatunk melynek nincs inver-ze, mivel nem kölcsönösen egyértelműek. Például az Rxxy 2 valós számok halmazán értelmezett függvény is ilyen. Azonban ha az említett függvény értelmezési tartományát leszűkítjük a nem negatív valós szá-mok halmazára 0Rx akkor az 2xy függvénynek már létezik inverze, méghozzá az xy

0Rx . (Ezt a két függvényt láthatjuk éppen a fenti ábrán.) ? Hogyan kaphatjuk meg az inverz függvény képletét?

Az inverz függvény definíciójára támaszkodva, a következő eljá-rást alkalmazzuk: a függvény képletében felcseréljük a független változó (x) és függő változó (y) szerepét, majd y-ra rendezzük. 2: xy f

),( 02 Ryxyx yx xyf :1

Tehát az 푦 = 푥 függvény inverze az 푦 = √푥 függvény (푥 ∈ 푅 ).

A kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést megvalósító függvényeket invertálható függvényeknek is szokás nevezni.

Az f függvény inverzét általában 1f -gyel jelöljük.

0Rx

2xy

0Rx

xy

xy

x

y

Page 32: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

33

Vizsgáljuk meg, hogy miként értelmezik az inverz függvényt a közgazdaság-tanban! A közgazdaságtanban minden változó konkrét jelentéssel bír (ár, mennyiség stb.), így az inverz függvény meghatározásakor súlyos hiba lenne a változók betűjelét átírni (felcserélni), mint ahogyan azt tettük a fenti matematikai leve-zetésnél. Közgazdaságtanban az inverz függvény képletének meghatározása-kor nincs más teendőnk, mint a kiindulási függvény képletét a másik változó-ra rendezni. Például 퐷 = 300 − 2푃 keresleti függvény esetén; az inverz keresleti függ-vény képletét, az egyenlet árra (P) történő rendezésével kapjuk meg: 푃 =150 − . Közgazdaságtanban az inverz függvény ábrázolásakor az eredeti függvény áb-rájához képest a két tengely szerepét felcserélik, ebből következik, hogy az inverz-függvény csak egy másik koordinátarendszerben szemléltethető. A fenti példánál maradva ez azt jelenti, hogy míg az eredeti (keresleti) függ-vénynél, a vízszintes tengelyen a mennyiséget (D), a függőleges tengelyen az árat (P) ábrázoljuk; addig az inverz keresleti függvény esetében ez fordítva lesz; azaz a vízszintes tengelyen az ár (P), a függőleges tengelyen a mennyi-ség (D) szerepel majd.

A fent leírt ábrázolási mód csak a közgazdaságtani alkalmazásoknál igaz. Vigyázzunk rá, hogy matematikában az x, y tengely szerepét soha ne változtassuk!

Page 33: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis
Page 34: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK

35

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK

2.1 SZÁMSOROZATOK MEGADÁSA A sorozatot többféle megadási módja közül, mi az álta-lános taggal (an) történő megadást használjuk. Például:

A sorozat első tagját megkaphatjuk, ha n helyére 1-et helyettesítünk: a1 = -1/2. A sorozat második tagját megkaphatjuk, ha n helyére 2-őt helyettesítünk: a2 = 1/3 stb.

2.2 SZÁMSOROZATOK ÁBRÁZOLÁSA A sorozat első néhány tagját ábrázol- hatjuk koordinátarendszerben vagy számegyenesen

2.3 SZÁMSOROZATOK JELLEMZÉSE A sorozatok három fő tulajdonságát szoktuk vizsgálni: monotonitás, kor-látosság, konvergencia.

2.3.1 MONOTONITÁS A sorozatnál az n-edik tagot követi az (n+1)-edik. A sorozat akkor szigo-rú monoton növekvő, ha minden tag után egy nála nagyobb tag követke-zik, azaz n1n aa . Amennyiben az egyenlőtlenséget nullára rendezzük

0aa n1n , a szigorú monoton növekedés definíciójához jutunk. Ha-sonlóan okoskodhatunk a szigorú monoton csökkenés esetében is.

A valós számsorozat olyan speciális függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza (Z+), értékkészlete pedig a valós számok halmazának (R) egy részhalmaza.

nanRZa ,:

132

nnan

-1

0

1

2

-5 5 15 25

a1

-1/2 1/3

a2

2

Page 35: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

36

Monotonitás vizsgálata A sorozat monotonitását leggyakrabban a monotonitás definíciója alap-ján vizsgáljuk.

Mintapélda

Vizsgáljuk meg az 132

nnan sorozatunk monotonitását!

Az (n+1)-dik tagot megkapjuk, ha az általános tag képletében az n he-

lyére (n+1)-et helyettesítünk: 1)1(3)1(2

1

nnan

A zárójel felbontása és összevonás után kapjuk: 212

1

nna n

A sorozat monotonitása attól függ, hogy (an+1 – an) pozitív vagy nega-tív. Vizsgáljuk meg az (n+1) –edik és az n –edik tag különbségének az előjelét!

Ha n1n aa > 0 minden „n”-re, akkor a sorozat szigorú monoton növekvő.

Ha n1n aa < 0 minden „n”-re, akkor a sorozat szigorú monoton csökkenő.

Ha n1n aa 0 minden „n”-re, akkor a sorozat monoton növekvő.

Ha n1n aa 0 minden „n”-re, akkor a sorozat monoton csökkenő.

Egyébként nem monoton a sorozat.

Page 36: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK

37

0

125

126342122

12232112

132

212

22

1

nnnnnnnnnn

nnnnnn

nn

nnaa nn

2.3.2 KORLÁTOSSÁG

Minden alulról korlátos sorozatnak végtelen sok alsó korlátja van, illetve minden felülről korlátos sorozatnak végtelen sok felső korlátja van. Ezek között azonban van egy, aminek kitüntetett szerepe van. Erre új fogalmat vezetünk be:

Közös nevező-re hozunk.

Zárójelet felbontjuk a számlálóban.

Összevonás a számlálóban.

minden n –re

A sorozat szigorú monoton növekvő! Előjel

vizsgálat.

A nevezőben nem bontjuk

fel a zárójelet!

Egy valós számsorozatot felülről korlátosnak nevezünk, ha létezik olyan K valós szám, amelynél a sorozat minden tagja kisebb vagy vele egyenlő. Egy valós számsorozatot alulról korlátosnak nevezünk, ha létezik olyan k valós szám, aminél a sorozat minden tagja nagyobb vagy ve-le egyenlő. A definícióban szereplő K-t a sorozat felső korlátjának, k-t a sorozat alsó korlátjának nevezzük. Egy sorozatot korlátosnak nevezünk, ha alulról is és felülről is kor-látos, azaz minden sorozattagra teljesül: Kak n

Az alulról korlátos sorozat legnagyobb alsó korlátját a sorozat alsó határának, infimumának nevezzük. Jele: h (inf) Felülről korlátos sorozat legkisebb felső korlátját a sorozat felső ha-tárának, szuprémumának nevezzük. Jele: H (sup)

Page 37: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

38

Mintapélda

A 132

nnan sorozat monoton növekvő (lásd 2.3.1 mintapélda), ezért

egy alsó korlátja a sorozat első tagja (a1 = –0,5).

A felső korlát megállapításához alakítsuk át a sorozatot!

21

521

5)1(2132

nn

nnnan

Mivel az 5/(n+1) tört számlálója és nevezője is pozitív minden n-re, így a sorozat minden eleme kisebb kettőnél (2-ből egy pozitív számot kivonva 2-nél kisebb számhoz jutunk). Ezért a sorozat felülről is kor-látos. Felső korlátja pl.:2. A sorozat korlátos, mivel van alsó és felső korlátja is. A sorozat minden tagjára teljesül: 25,0 na .

Megjegyzés: A sorozat jellemzésekor a korlátosság vizsgálatát a mono-tonitás és a határérték megállapítása után ajánlott elvégezni: ha szám-egyenesen ábrázoljuk a sorozatot, a korlátok – amennyiben léteznek – az ábráról könnyen leolvashatók.

2.3.3 KONVERGENCIA (HATÁRÉRTÉK VIZSGÁLAT)

Elnevezések és jelölések

Azt a tényt, hogy az an sorozat konvergál „A” valós számhoz a követke-zőképpen jelölhetjük, illetve olvashatjuk ki:

az an sorozat tart A-hoz : Aan ; az an sorozat határértéke (limesze) A: Aan lim .

Az an sorozatot konvergensnek nevezzük, ha létezik olyan „A” valós szám, hogy bármely környezetére teljesül, hogy valahonnan kezdve az összes sorozattag benne van ebben a környezetben.

A definícióban szereplő „A” valós számot a sorozat határértékének nevezzük.

Page 38: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK

39

Mintapélda

Vizsgáljuk a 132

nnan sorozat határértékét!

A sorozat határértékének vizsgálatakor azt figyeljük, hogy hova tar-tanak (konvergálnak) a sorozat tagjai, azaz ha „n tart végtelenbe”, a sorozattagok közelednek-e valamilyen valós számhoz?

Röviden: n akkor ?na

Mielőtt kimondanánk a határértékekre vonatkozó tételeket, próbáljuk meg megsejteni a fenti sorozat határértékét!

Ha n akkor 32n és 1n .

???132lim

nn

A / típusú sorozatok határértéke nem határozható meg általáno-san. További átalakítás szükséges.

Az átalakítás lényege, hogy „megszabadulunk a nevezőben lévő -től”. Mivel ennél a sorozatnál a nevezőben a határértéket az „n” okozza, ezért leosztunk vele. Természetesen ügyelnünk kell arra, hogy átalakításunkkal a tört értéke ne változzon, így a számlálót és a neve-zőt is osztanunk kell „n”-nel.

n

nnn

11

32lim

132lim

Az „n”-nel való osztás után újból vizsgáljuk a határértéket:

22 , 11 , ha n , akkor 03

n, 01

n

(Az itt látható következtetések helyességét, magunktól is könnyen be-láthatjuk, de a teljesség kedvéért később a 2.4-es fejezetben, tétel formájában is kimondjuk.)

Page 39: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

40

A határérték vizsgálatot egyszerűen így szoktuk leírni:

20102

11

32lim

n

n

Tehát az 132

nnan sorozat konvergens. Határértéke : 2.

Jel.: A=2

A határértéket többféleképpen is jelölhetjük:

2132

nn vagy 2

132lim

nn

Gyakorló feladatok

Vizsgálja a következő sorozatokat monotonitás, konvergencia és korlá-tosság szempontjából!

1. 2376

nnan

3. 2512

nnan

2. n

nan 322

4. n

nan 294

HATÁRÉRTÉKEKRE VONATKOZÓ NÉHÁNY NEVEZETES TÉTEL

A határérték unicitási tétele

Konvergens sorozat korlátosságára vonatkozó tétel

Másképpen: Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos is.

Bármely sorozatnak legfeljebb egy határértéke van.

Minden konvergens sorozat korlátos.

Page 40: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK

41

Monoton és korlátos sorozat konvergencia tétele Divergens sorozat

A többit nem valódi divergensnek hívjuk.

Példa valódi divergens sorozatra: 13 nan . Példa nem valódi divergens sorozatra: n

na 1 .

2.4 KONVERGENS SOROZATOK

Konvergens sorozatok összegére, szorzatára és hányadosára vonat-kozó tételek:

Ha Aan és Bbn ( RBA , ), akkor

,BAba nn )( RccAcan , BAba nn

BA

ba

n

n ( 0,0 Bbn )

Ha egy sorozat növekvő és korlátos, akkor konvergens is, és határértéke a sorozat felső határával egyenlő.

Ha egy sorozat csökkenő és korlátos, akkor konvergens is, és határértéke a sorozat alsó határával egyenlő.

A nem konvergens sorozatokat divergens sorozatoknak nevezzük.

A divergens sorozatok közül azokat, amelyek + -hez vagy – -hez divergálnak valódi divergens sorozatoknak nevezzük.

Page 41: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

42

Ha na és Bbn ( RB ), akkor 0n

n

ab , illetve

n

n

ba .

Ha na és Bbn ( RB ), akkor 0n

n

ab , illetve

n

n

ba .

További határértéktételek

Ha na , akkor 01

na .

Ha na , akkor 01

na .

Ha 0na és , akkor na

1.

Ha 0na és 0na , akkor na

1.

2.4.1 HATÁRÉRTÉK SZÁMÍTÁS HATÁRÉRTÉKTÉTELEK ALAPJÁN

a) Polinomok hányadosa.

Ötlet: a nevező legnagyobb fokszámú tagjával leosztunk.

Megjegyzés A hányados-sorozat határértéke:

+ vagy -, ha a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevező fok-száma.

0, ha a számláló fokszáma kisebb, mint a nevező fokszáma. a legmagasabb fokszámú tagok együtthatóinak hányadosa, ha a

számláló és a nevező fokszáma egyenlő.

Mintapélda Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét!

4n5n2nc

c)1n

5nbb)

3n2na

a)4

4

n3n

2

n

0na

Page 42: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK

43

Megoldás:

3

2lim3

2lima) 2 n

nn (Mert

3 típusú határérték.)

010

11

5

lim1

5limb)

3

2

3

n

nn

n

51

0501

45

21lim

452lim

c)

3

4

4

4

n

nnn

n

b) Gyökös kifejezést tartalmazó tört.

Ötlet: Leosztunk egy alkalmas n hatvánnyal úgy, hogy 0-tól különböző konstanst kapjunk a nevezőben.

Mintapélda Határozzuk meg az nnnnnnan

292

4

23 46

sorozat

határértékét!

A nevezőben lévő kifejezések „nagyságrendjét” vizsgálva, figyelembe véve a gyökjelet is az „n”, a „ 24 nn ”, a „ n ” közül az 2n a leg-nagyobb, így ezzel osztunk le.

(Vigyázzunk rá, hogy tagonként nem lehet gyököt vonni, azaz baba !)

2

4

2

2

2

2

3 46

4

23 46

29

2

lim29

2lim

nnn

nn

nn

nnn

nnnnnn

3 642 nnn : 2n

Page 43: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

44

32

291

121lim

29

2

lim

3

32

4

4

2

2

23

6

46

nn

n

nnn

nn

nn

nnn

A sorozat határértéke: 2/3. c) *Négyzetgyökös kifejezések különbsége.

Ötlet: a négyzetgyökös kifejezés összegével (vagy különbségével) bőví-tünk. Mintapélda

Határozzuk meg az 35 nnan sorozat határértékét!

A megoldás lényege, hogy bővítés útján visszavezetjük a feladatot az előző b) típusú sorozatra.

Ehhez a következő lépéseket kell végrehajtanunk:

Konjugálttal bővítünk:

35

3535lim35limnn

nnnnnn

Felhasználjuk az 22))(( bababa nevezetes azonosságot:

358lim

35)3()5(lim

nnnnnn

Vizsgáljuk a határértéket, mint azt tettük a b) típusnál:

0835

8lim

nn

A sorozat határértéke tehát 0.

Egyszerűsítünk Határérték téte-

lek alapján

Page 44: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK

45

d) Exponenciális kifejezést (qn –t) tartalmazó tört.

Vizsgáljuk meg a qn sorozat határértékét attól függően, hogy mekkora a hatvány alap (q)!

110111

lim

qhanincsqhaqhaqha

qn

n

A fenti tételünket felhasználva, nekiláthatunk az exponenciális kifejezést (qn) tartalmazó törtes sorozataink határértékének a vizsgálatához.

Ötlet: Megszabadulunk a kitevőben lévő összegtől, szorzattól, illetve a negatív kitevőtől (qn alakra hozzuk); majd leosztunk a nevező leg-nagyobb alapú hatványával. Ezután megállapítjuk a sorozat határ-értékét, felhasználva a fenti qn –re vonatkozó tételünket.

Figyelem! A határérték meghatározásánál elengedhetetlen a hatványo-zás azonosságainak a pontos ismerete.

Mintapélda

Határozzuk meg az

nn

nn

na 23

1

3253/1

sorozat határértékét!

n

n

n

n

n

n

n

n

nn

nn

nn

nn

99

928

955

93

lim928

553

lim3253/1lim 23

1

01000

1928

95

51

31

lim

n

nn

n9: nq alakra hozzuk

„ nq ” határérték tétel alapján

Page 45: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

46

e) Euler típusú sorozatok. Mikor beszélünk Euler típusú sorozatokról? Ezt a típust felismerni a hat-vány alapban, illetve a hatvány-kitevőben is felbukkanó „n” alapján le-het. Ebbe a csoportba tartozó sorozatoknak a határérték vizsgálatát az alábbi határértéktételek alapján végezhetjük el:

7182,211lim

e

n

n

n e

n

n

n

1lim

Mintapélda

Határozzuk meg az 45

3212

n

n nna sorozat határértékét!

101052

5

23

21

5

4

5

45

111231

211lim

3212lim

231

211

lim3212lim

eee

e

e

n

n

nn

n

nnn

n

n

n

n

Gyakorló feladatok (határérték számításra)

Vizsgálja a következő sorozatokat konvergencia szempontjából!

5.

nn

nn

na

313

23

1

2

Page 46: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK

47

6.

34

24 83

1663

nnnnnnan

7. n

n nna

4

5535

8.

10326

2

6

n

nnan

9. 7

21

n

n nna

10.

1

2

529

n

nn

na

2.4.2 KÜSZÖBSZÁMKERESÉS

Az an sorozatot konvergensnek neveztük (lásd 2.3.3), ha létezik olyan A valós szám, hogy bármely környezetére teljesül, hogy valahonnan kezd-ve az összes sorozattag benne van ebben a környezetben.

A küszöbszám keresés lényege, hogy egy adott ( sugarú) környezet ese-tén határozzunk meg egy olyan számot (ez lesz a küszöbszám), amire tel-jesül, hogy az ennél nagyobb indexű tagjai a sorozatnak mind beleesnek a határértéknek (A) sugarú környezetébe.

Gondoljuk meg, hogyan írható le matematikailag az, hogy egy sorozattag a sorozat határértékének (A-nak) sugarú környezetébe esik!

Egy sorozattag (a n ) akkor esik bele a határérték (A) sugarú környeze-tébe, ha a n -nek az A-tól vett eltérése kisebb, mint epszilon ()!

Page 47: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

48

Ezt jelekkel a következőképpen fejezhetjük ki: Rajzban: A küszöbszám kereséses feladatoknál adott a sorozat általános tagja (a n ) , illetve az értéke. A fenti abszolút értékes egyenlőtlenség megol-dásával, pedig megkaphatjuk a küszöbszámot, vagyis azt a számot, ami-nél nagyobb indexű tagjai a sorozatnak már mind bele tartoznak a határ-érték sugarú környezetébe!

MEGOLDÁS MENETE: Első lépésben megsejtjük a határértéket (A-t). Második lépés: behelyettesítünk Aan egyenlőtlenségbe és meg-oldjuk n-re. Harmadik lépés: értelmezzük a kapott eredményt és felírjuk a küszöb-számot (N).

Mintapélda

Adott az 132

nnan konvergens sorozat, adjon küszöbszámot

310 -hoz, majd értelmezze a kapott eredményt!

Határérték:

2132lim

nn

Küszöbszám: A kérdésre a választ az Aan egyenlőtlenség megoldásával kaphatjuk meg. Helyettesítsük be az an , A és értékét a fenti egyenlőtlenségbe:

an A

- +

Aan

Page 48: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK

49

100012

132

nn

A bal oldalon hozzunk közös nevezőre:

10001

1)1(232

nnn

Bontsuk fel a zárójelet a bal oldal számlálójában:

10001

12232

nnn

Vonjunk össze a számlálóban:

1000

11

5

n

Vegyük külön a számláló és a nevező abszolútértékét:

1000

11

5

n

Figyelembe véve az abszolútértéken belüli kifejezés előjelét bontsuk fel az abszolútértéket! Pozitív értéknél ez egyszerűen az abszolútérték elhagyását jelenti, negatív érték esetén pedig elhagyva az abszolútértéket a szám (kife-jezés) ellentettjét írjuk.

Mivel 55 és 11 nn ezért:

10001

15

n

adódik.

Fejezzük be az egyenlőtlenség rendezését; szabaduljunk meg a tör-tektől, a nevezőkkel történő beszorzással. Megjegyzés: Mint tudjuk, az egyenlőtlenség szorzásánál arra ügyelnünk kell, hogyha negatív számmal szorzunk, akkor az egyen-lőtlenség megfordul. Ezeknél a feladatoknál –ha a fenti megoldási utat követjük, és jól kezeljük az abszolút értéket–, akkor ez a prob-léma nem fordulhat elő; mivel mindig pozitív számmal szorzunk.

Page 49: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

50

Folytatás (beszorzás után):

4999N 499915000

nn

Értelmezés: Tehát azt kaptuk, hogy az 4999-nél nagyobb indexű tagjai a so-

rozatnak már mind benne vannak az A = 2 határérték 1000

1

sugarú környezetében.

Gyakorló feladatok (küszöbszám keresésre)

11. Adjon az 52

3

n

na n sorozathoz küszöbszámot, ha 210 , majd ér-

telmezze a kapott eredményt!

12. Az n

nan 2111

konvergens sorozatnál adjon küszöbszámot 310 -hoz, majd értelmezze a kapott eredményt!

Megoldások

1. Monotonitás:

nősorozat

0)23)(13(

9)23)(13(

)762118(212318)23)(13(

)13)(76()23)(16(2376

2)1(37)1(6

22

1

nnnnnnnnnn

nnnnnn

nn

nnaa nn

Page 50: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK

51

Konvergencia:

236

23

76lim

2376lim

n

nnn

Korlátosság: 11 a 21 na

2. Monotonitás:

csökkenő 03235

4322

353

1

nnnn

nnaa nn

Konvergencia:

31

322lim

nn

Korlátosság:

53

31

na

3.

Monotonitás:

növekvő 02575

92512

7512

1

nnnn

nnaa nn

Konvergencia:

52

2512lim

nn

Korlátosság:

52

71

na

Page 51: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

52

4. Monotonitás:

növekvő tagtól5.

5n ha 02927

17294

275

1

nnnn

nnaa nn

(Ilyenkor tágabb értelemben vett monotonitásról beszélünk.)

Konvergencia:

21

294lim

nn

Korlátosság: Mivel a sorozat csak az 5. tagtól monoton, ezért a sorozat első 5 tagját ki kell számítanunk a korlátok meghatározásához.

9837

56

75

54321 aaaaa

Tudjuk, hogy az 5. tagtól a sorozat szigorú monoton növekvő és tart a –1/2-hez.

Felhasználva a fenti informá-ciókat, könnyen elkészíthető a sorozat ábrája, mely alapján megállapíthatóak a korlátok. Alsó korlát (k) a sorozat 5. tagja (-9), felső korlát (K) a sorozat 4. tagja (8).

Röviden:

5.

181

2

091

232

91

lim333

233

lim

313

23lim2

1

2

n

nn

nn

nn

nn

89 na-10

-5

0

5

10

-5 5 15 25

Page 52: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK

53

6.

45

4610

116

6311

lim16

63lim4

7

34

24 83

n

nnnn

nnnn

7.

44

4

11

531lim

551

531

lim5535lim n

n

n

n

n

n

n

n

nnn

5324

58

4

1

53

eeee

8.

3030

103

26lim

10326lim

2

4

2

6

n

nn

nnn

9.

32

77

1121

11lim

121

11lim

21lim

21lim

21lim

eee

n

n

n

nnn

nn

nn

n

n

n

nn

Page 53: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

54

10.

05

005

54

451

lim55

491

lim5

29lim 1

2

n

n

n

nn

n

nn

11.

23

523lim nn

1001

23

523

nn

1001

10415

n

ha 3n : 100

1104

15

n

1041500 n

377N 5,377 n

Értelmezés: Az 377-nél nagyobb indexű tagjai a sorozatnak már

mind benne vannak az A = 3/2 határérték 100

1 sugarú környe-

zetében.

12.

21

2111lim

nn

10001

21

2111

nn

10001

)211(221122

n

nn

Page 54: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK

55

10001

)211(213

n

Vegyük figyelembe, hogy:

6n ha , 1126n ha , 211

211n

nn

A küszöbszám keresés szempontjából, az n<6 eset figyelmen kívül hagyható.

ha 6n : 1000

1)112(2

13

n

3255 5,325522413000

Nnn

Tehát az 3255-nél nagyobb indexű elemek már benne vannak az

A = -1/2 határérték 10001

sugarú környezetében.

Page 55: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis
Page 56: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

3. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK

57

3. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK

3.1 KAMATOS KAMAT SZÁMÍTÁSA

„Évi R %-os kamatláb esetén n év alatt mekkora összegre nő az ere-detileg k0 nagyságú tőkénk?” – kérdésre az alábbi képlet segítségével válaszolhatunk:

ahol:

kn felnövekedett érték (pénzösszeg az n. évben) k0 az alaptőke n a futamidő (évek száma) r r =R/100 (kamatláb század része) q q=1+r, a kamattényező

Például 10 000 Ft, 5% kamatláb mellett, 6 év alatt k6 = 10 000Ft· 1,056 = 13 401 Ft-ra nő.

Megjegyzés: Megfigyelhető, hogy a felnövekedett értékek mértani sorozatot alkotnak.

Gyakorló feladatok

1. Mennyi idő alatt duplázhatjuk meg pénzünket, ha az évi kamatláb a) 6%-os, b) 8%-os?

2. Egy Betéti Társaság évi 11%-os kamatra pénzt helyez el a bank-ba. Két év múlva felvesz belőle 800 eFt-ot. Hány forint volt az eredeti betét, ha a – behelyezéstől számított – 5. év végén 1350 eFt van a bankszámlájukon?

nnn qkrkk 00 )1(

Page 57: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

58

3.1.1 ÁRAJÁNLAT ÖSSZEHASONLÍTÁSA

Mintapélda Egy gépet szeretnénk vásárolni, melyre két ajánlatunk van: Az ár 220 000 Ft, melyet most kell kifizetni; Az ár 280 000 Ft, melyből 140 000 Ft most fizetendő, a fennmaradó

összegre kamatmentes haladékot kapunk, így azt két részletben 70-70 eFt-tal egyenlítjük ki kettő, illetve négy év múlva.

Melyik ajánlat a kedvezőbb, ha végig 7 %-os kamatlábbal számolunk?

Megoldás A megoldás úgy történik, hogy választunk egy közös időpontot, ami-kor összehasonlítjuk a két ajánlatot. A kiválasztott időpont lehet akár a vásárlás időpontja, akár az utolsó részlet időpontja, de ettől eltérő időpont is választható. A lényeg hogy a kiválasztott időpontra megha-tározzuk mindegyik összeg értékét, és ezeket vetjük össze.

A kiválasztott időpont legyen most a vásárlás ideje!

Az első ajánlat szerint ekkor 220 eFt-ot kell fizetni. A második ajánlat szerint most 140 eFt-ot fizetünk, továbbá kettő, illetve négy év múlva 70-70 eFt-ot.

A kérdés úgy is felvethető, mennyi pénzzel kell most rendelkeznünk, hogy 7 %-os kamatláb mellett kettő, illetve négy év múlva 70 000 Ft-unk legyen:

7000007,1 20 k 61141

07,170000

20 k

7000007,1 40 k 53403

07,170000

40 k

Vagyis a második ajánlat szerint a vételár a vásárlás időpontjában: 140000 Ft + 61141 Ft + 53403 Ft = 254544 Ft Ezért az első ajánlat a kedvezőbb.

Page 58: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

3. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK

59

Gyakorló feladatok (árajánlat összehasonlításra)

3. Gépkocsink eladására két ajánlatot kapunk. A vevő most fizet 500 eFt-ot, majd négy éven keresztül 100-

100 eFt-ot évente. A vevő most fizet 700 eFt-ot, majd négy év múlva 200 eFt-ot. Melyik ajánlat kedvezőbb számunkra, ha az elkövetkező négy év-ben évi 12%-os kamatlábbal számolunk?

4. Mosogatógépet szeretnénk vásárolni, amire két ajánlatot kapunk:

Ár: 140 eFt /szállításkor fizetjük/. Ár: 160 eFt , amelynek felét szállításkor kell fizetni, míg a

másik felére 2 év kamatmentes haladékot kapunk. Hány %-os éves kamatláb mellett azonos a két ajánlat?

3.1.2 AZ INFLÁCIÓ FIGYELEMBEVÉTELE

Mintapélda Első példánkat elővéve, eddig kamatos kamatszámítással megállapítot-tuk, hogy 10 000 Ft, 5% kamatláb mellett, 6 év alatt k6 = 10 000Ft· 1,056 = 13 401 Ft-ra nő. Azonban ha évi 7 %-os az árszínvonal emelkedés akkor mekkora lesz a 6 év múlva rendelkezésünkre álló tőkénk vásárlóértéke?

Megoldás Felnövekedett tőkénk: k6=13401 Ft Ezzel szemben, a jelenleg 10000 Ft-ba kerülő áru 6 év múlva az ár-színvonal emelkedése miatt 1500707,110000 6 Ft-ba fog kerülni. Tehát tőkénk vásárlóértéke csökkent, hiszen 13401 Ft-unk van, de a korábbi 10000 Ft-os termékért 6 év múltán 15007 Ft-ot kellene fizet-nünk. Pénzünk értéke 6 év elteltével tehát: %3,89893,0

1500713401

Vagyis 10,7 % a vásárlóérték csökkenése.

Page 59: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

60

Összefoglalva:

Gyakorló feladatok 5. Hány %-kal változik a pénz vásárlóértéke 8 éves időszakban, ha

a) az éves banki kamatláb 10%, és az éves infláció 9%, b) az éves banki kamatláb 9%, és az éves infláció 10%?

6. Legalább mekkora jövedelmezőséggel fektessük be pénzünket, ha 4 év alatt 8,5%-os infláció mellett kívánjuk megduplázni?

3.2 JÁRADÉKSZÁMÍTÁS A rendszeresen, egyenlő időközökben fizetett összegek sorozatából álló pénzügyi konstrukciók esetében járadékról beszélünk. A fizetések célja lehet, hogy a befizető valamekkora pénzösszeget gyűjtsön össze, vagy, hogy a fennálló tartozását rendezze a befizetésekkel. Az első esetben gyűjtőjáradéknak, a második esetben törlesztőjáradéknak nevezzük.1 A járadékszámításnak több lehetséges módja van, azonban az egyszerűsí-tés kedvéért mi most csak azokkal az esetekkel foglalkozunk, ahol évente fizetünk, és minden évben azonos összegeket.

3.2.1 GYŰJTŐJÁRADÉK R %-os kamatláb esetén, n éven keresztül, minden év elején elhelyezünk „a” összeget egy pénzintézetnél. Kérdés: az utolsó befizetés után egy évvel mekkora összeg áll a rendel-kezésünkre?

1 Csernyák, Analízis 243.o.

R %-os évi kamatláb, F %-os évi árszínvonal emelkedés esetén a tőke vásárlóértéke

n

F

R

1001

1001

szeresére változik n év alatt.

Page 60: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

3. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK

61

A befizetések egy n elemű mértani sorozat tagjait alkotják, melynek első tagja (az utolsó befizetés) aq, kvóciense q. Így az utolsó befizetés után egy évvel rendelkezésre álló összeget ܵ, a középiskolában tanult mérta-ni sorozat összegképletével kaphatjuk meg.2

Gyűjtőjáradék képlete:

ahol: n: a futamidő (évek száma) q: a kamattényező (q=1+R/100) ܵ az évek során összegyűlt, és felnövekedett összeg a: annuitás (évente befizetett állandó összeg)

Gyakorló feladatok (gyűjtőjáradék számításra)

7. Minden év elején 450 eFt-ot helyezünk el a bankba, éves 6,5%-os kamatra. a) Mennyi pénzünk gyűlik össze a 6. év végére? b) Hány év alatt gyűlik össze 6 millió Ft?

8. Minden év elején 980 eFt-ot helyezünk el a bankban éves 11%-os

kamatra. a) Mennyi pénzünk gyűlik össze az 7. év végére? b) Hány év alatt gyűlik össze 15 millió Ft?

3.2.2 TÖRLESZTŐJÁRADÉK R %-os kamatláb esetén felveszünk Vn összegű kölcsönt (esetleg köl-csönadunk ekkora összeget). A törlesztés a felvétel után egy évvel kez-dődik, azonos időközönként, évente egyszer, azonos nagyságú részletek-kel. Az adatok közti összefüggést a következő képlet mutatja, melyet szintén a mértani sorozat összegképletének segítségével vezethetünk le.3

2 Levezetés megtalálható Csernyák: Analízis Tk.-ben 244-245. old. 3 Levezetés megtalálható Csernyák: Analízis Tk.-ben 246-247. old.

11

qqaqS

n

n

Page 61: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

62

Törlesztőjáradék képletei: ahol:

n: a futamidő (évek száma) q: a kamattényező (q=1+R/100) v: a diszkonttényező (v=1/q) ܸ a kölcsön összege n évre

a: annuitás (évente befizetett állandó összeg)

Gyakorló feladatok (törlesztőjáradék számításra)

9. A bank évi 16%-os kamatláb mellett 1 év türelmi idővel, annui-tástörlesztéssel ad kölcsönt. Mekkora összegű kölcsönt vehetünk fel 7 éves futamidőre; ha évente 200e Ft-ot tudunk a törlesztésre fordítani?

10. Felveszünk 4 millió Ft kölcsönt éves 18%-os kamatra. A törlesz-

tést egy év múlva kezdjük el és évente 900 ezer Ft-ot fizetünk. Hány év alatt fizetjük vissza a tartozást?

11. Kétmillió Ft-ot helyezünk el évi 9,5%-os kamatra. Egy év elmúl-

tával, 10 éven át egyenlő összegeket kívánunk felvenni úgy, hogy a 10-ik év végén ne maradjon pénzünk. Mennyi az annuitás ösz-szege?

12. Egy pénzintézetből 6 millió forint kölcsönt veszünk fel 17%-os

éves kamatra. A törlesztést a felvétel után egy évvel kell megkez-deni, és évente egy összegben kell megfizetni. a) Ha 15 év alatt akarjuk törleszteni a hitelt, mennyi lesz az éves

törlesztőrészlet? b) Ha az éves törlesztőrészlet 1 millió Ft, hány év alatt tudjuk

visszafizetni a tartozásunkat?

11

qq

qaV

n

nn vvavV

n

n

11

Page 62: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

3. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK

63

3.2.3 ÖSSZEGYŰJTÖTT PÉNZ FELVÉTELE JÁRADÉK FORMÁJÁBAN

Mintapélda 8 éven át minden év elején 100 000 Ft-ot helyezünk el egy pénzintézet-nél. Évi 7 %-os kamatláb esetén mennyi pénzünk lesz a 8-adik év vé-gén? A gyűjtőjáradék képlete alapján:

FtS 1097799107,1107,107,1100000

8

8

A fenti példát folytatva, az összegyűlt összeget járadék formájában szeretnénk visszakapni. A járadék összege legyen évi 150000 Ft, köz-ben a kamatláb 6 %-ra csökkent. Hány éven keresztül vehetjük fel ezt az összeget? Megoldás: Úgy gondolkodhatunk, mintha mi adtunk volna kölcsönt a banknak, melyet 150000 Ft-os részletekben törleszt Tehát a törlesztőjáradék képlete alapján a következő egyenlethez ju-

tunk: 106,1106,1

06,11500001097799

n

n

Ezt az egyenletet kell megoldani az „n” ismeretlenre. Rendezzük az egyenletet!

n

n

06,1106,1

15000006,01097799

106,106,1439,0 nn

n06,1561,01

n06,17825,1

06,1lg7825,1lg n

Ahonnan: n = 9,9, vagyis 10 évig kapjuk a 150000Ft-os járadékot.

Page 63: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

64

eFt457,145011,11800

11,111350k 250

eFt735,80312,11100

12,11100

12,11100

12,11100500 432

Gyakorló feladat

13. Tíz éven keresztül évi 11 %-os kamatlábbal és 400eFt annuitás-sal gyűjtésbe kezdünk. A gyűjtés befejezésétől számított 1 év múl-va a tőkét 8 év alatt évjáradék formájában évi 10%-os kamat mellett feléljük. Mekkora a felélés évjáradéka?

Megoldások

1. a) k0 ·1,06n = 2· k0 n=11,9 (év)

b) k0 ·1,08n = 2· k0 n= 9,006 (év)

2. Ha a jelen idő az 5. év vége:

(k0·1,112- 800)·1,113 = 1350 k0 = 1450,47 eFt

Ha a jelen idő a betét behelyezésének ideje:

3. a)

b)

Nekünk – mint eladóknak – a második ajánlat a kedvezőbb!

4. 140 = 80 + 80 · 1/q2 q = 1,1547 R=15,47%-os kamatláb mellett azonos a két ajánlat.

eFt1036,82712,11200700 4

Page 64: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

3. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK

65

eFtS 291,3385065,0

1065,1065,14506

6

évnSn

n 45,96000065,0

1065,1065,1450

eFtV 713,80716,0

116,116,1

200 7

77

8

0 09,11,1

k

8

0 1,109,1

k

29,12085,1 04

4

0 qkqk

évnn

n 72,918,0

118,19,018,14

5. a)

b)

6.

Legalább 29%-os jövedelmezőséggel kell befektetni.

7. a)

b)

8. a)

b) év 8,84n 5168,211,1 11,0

111,111,198015000

nn

9.

10.

7,58%-kal nő a pénz vásárlóértéke

7,05%-kal csökken a pénz vásárlóértéke

eFt 246,1064211,0

111,111,19807

7

S

Page 65: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

66

17,0117,117,16

1515

a

17,0117,117,16

n

n a

millióFt,a 12691

millióFt,a,

,a, 318500950

109510951210

10

11.

12. a)

b)

17%-os kamat mellett akkorák a kamatok, hogy 1 mil-lió Ft-os éves törlesztéssel nem lehet visszafizetni a 6 millió Ft-os kölcsönt.

13.

eFt, a ,,

,a, V

V eFt,,

,,eFtS

n

nn

6921391111111

115727424

572742411111111111400

8

8

10

Nem létezik ilyen „n”!

Page 66: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE

67

4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE

4.1. VÉGTELENBEN VETT HATÁRÉRTÉK

Az alábbiakban a ∞+ –ben vett határértéket tárgyaljuk, de hasonlóan vizsgálható a ∞− –ben vett határérték is.

∞+ –ben vett határértéket úgy olvashatjuk le a függvény grafikonjáról, ha szemünkkel az x tengelyen haladunk a ∞+ felé, és közben figyeljük, hogy a függvényértékek hova tartanak.

Jelölés:

Megjegyzés: A definícióban szereplő „A” lehet valós szám, illetve a ha-tárérték tágabb értelmezése alapján ∞+ vagy ∞− , mint ahogy azt az alábbi három ábra is mutatja.

Akkor mondjuk, hogy az f(x) függvénynek végtelenben a határértéke A, ha minden xn sorozatra, melyre ∞→nx teljesül, hogy ( ) Axf n → .

−2 2 4 6 8 10

−2

2

4

−3 −2 −1 1 2 3

−5−4−3−2−1

12

−3 −2 −1 1 2 3−1

123456

( ) 3lim =∞→

xfx ( ) ∞=

→∞xf

xlim ( ) −∞=

∞→xf

xlim

( ) Axfx

=∞→

lim

Page 67: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

68

����Mintapélda

Adja meg a következő határértékeket!

xx

xxx 26

43lim

2

2

++−

∞→ 26

512lim

2

32

++−+

−∞→ xx

xxx

∞+ -ben a határérték vizsgálatának módszere megegyezik a sorozatoknál tanultakkal. Például:

6

1

06

0012

6

431

lim26

43lim

2

2

2

=+

+−=+

+−=

++−

∞→∞→

x

xxxx

xxxx

∞− -ben is hasonlóan vizsgálhatjuk a határértéket, csak az előjelre kell figyelemmel lennünk. Például:

∞=++−∞−+=

++

−+=

++−+

−∞→−∞→ 010

)(102

16

5112

lim26

512lim

2

2

2

32

xx

xx

xx

xxxx

� Gyakorló feladatok

Adja meg a következő határértékeket!

1. 3

3

31

35lim

x

x

x −+

+∞→

2. 12

63

2

lim +−−

+∞→ xx

xx

x

3. 2

3

2

4lim

xx

xx

x −+

+∞→

4. 8

22

3

lim ++−

+∞→ x

xx

x

5. 3

3

31

35lim

x

x

x −+

−∞→

6. 12

63

2

lim +−−

−∞→ xx

xx

x

7. 2

4

2

4lim xx

xx

x −+

−∞→

8. 8

22

3

lim ++−

−∞→ x

xx

x

Page 68: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE

69

4.2. VÉGES HELYEN VETT HATÁRÉRTÉK

A véges helyen vett határértéket úgy vizsgálhatjuk, hogy egy tetszőleges

nx sorozattal tartunk 0x ponthoz ( )0xxn ≠ , és vizsgáljuk, hogy )( nxf függvényértékek hova közelítenek.

Például az itt látható ábrán megfigyelhetjük, hogy bármely nx sorozattal tartunk 0x –hoz

( )0xxn ≠ , a függvény értékek 3 –hoz közelíte-nek.

Ezt az alábbi módon jelöl-jük: A függvény határértékét azokban a pontokban is vizsgálhatjuk, ahol a függvény nincs értelmezve:

Az itt látható függvénynek 0x –ban szaka-dása van, de határértéket tudunk vizsgálni a szakadási helyeken is. Ahogy bármely nx sorozattal közelítünk

0x –hoz ( )0xxn ≠ , az )( nxf függvény érté-kek tartanak 3 –hoz.

Jelölése:

Jelölés: Megjegyzés: A definícióban szereplő „A” lehet valós szám, illetve a ha-tárérték tágabb értelmezése alapján ∞+ vagy ∞− , mint ahogy azt az alábbi három ábra is mutatja.

3

x0

3

x0

( ) 3lim0

=→

xfxx

( ) 3lim0

=→

xfxx

Definíció: Akkor mondjuk, hogy az f(x) függvénynek x0 –ban a határ-értéke A, ha minden olyan nx sorozatra, melyre ( )00 xxésxx nn ≠→

teljesül, hogy ( ) Axf n → . ( Rx ∈0 )

( ) Axfxx

=→ 0

lim

Page 69: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

70

Amennyiben az ( )x

xf1= }0/{Rx∈ függvény

határértékét vizsgáljuk 0–ban, láthatjuk, hogy különböző értéket kapunk, ha jobb oldalról vagy ha bal oldalról közelítjük a 0–t. Épp ezért 0–ban nincs határértéke a függvénynek.

De azért megvizsgálhatjuk külön a jobb-, és kü-lön a bal oldali határértékét az adott pontban:

Ha jobbról (azaz 0 –nál nagyobb értékek-kel) közelítünk a 0–hoz, akkor a függvény értékek tartanak a ∞ –be.

Ha balról (azaz 0–nál kisebb értékekkel) közelítünk a 0–hoz, akkor a függvény érté-kek tartanak a ∞− –be.

( ) ∞=→

xfxx 0

lim ( ) ∞=→

xfxx 0

lim ( ) −∞=→

xfxx 0

lim

A

x0 x0

x0

Jelölés: ∞=+→ xx

1lim

0

Jelölés: −∞=−→ xx

1lim

0

Nullában az ���� � 1/� függvény jobboldali határértéke plusz vég-telen.

Nullában az ���� � 1/� függvény baloldali határértéke mínusz végtelen.

Page 70: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE

71

Definíció:

����Mintapélda Adja meg a következő határértékeket!

a) 209

122

2

4lim ++

−+−→ xx

xx

x b) 2

2 4

5lim

x

x

x −−

Törtfüggvények határértékének meghatározása véges helyen: Véges („x0”) helyen vett határérték esetén először behelyettesítéssel megpróbáljuk meghatározni a függvény határértékét. Amennyiben valós számot kapunk eredményül f(x0)∈R, és a függvény folytonos (lásd. 4.3) az adott pontban, a határérték megegyezik az így kapott helyettesítési értékkel. A behelyettesítéskor kétféle problémás esettel találkozhatunk: a) „ 0/0” alak: Ilyenkor számlálóból és nevezőből is kiemeljük (x-x0)-t,

majd ezzel az (x-x0)-val egyszerűsítünk. Az így kapott függvény kép-letébe újból behelyettesítjük az a-t, s ezzel általában már megkapjuk a keresett határértéket. (Amennyiben így még nem jutunk eredmény-re, akkor attól függően, hogy mit kapunk, az itt leírt módszerek al-kalmazásával tovább vizsgálódunk.) A szorzattá alakítás és egysze-rűsítés helyett a 0/0 típusú problémás esetekben alkalmazható a L’Hospital szabály is, melyet később a 6.1.4-es fejezetben tárgya-lunk.

b) „c/0” alak: Ebben az esetben a határérték +∞ vagy -∞ lehet, vagy ha a jobb és baloldali határérték nem egyezik meg, akkor azt mond-juk, hogy nincs határértéke a függvénynek ebben a pontban. Tehát ezt az esetet jobb- és bal oldali közelítéssel vizsgáljuk.

Ha minden olyan nx sorozatra, amelyre teljesül 0xxn → és 0xxn > , igaz, hogy ( ) Axf n → , akkor azt mondjuk, hogy az )(xf függvénynek a jobboldali határértéke x0 –ban A. Jelölés: ( ) Axf

xx=

+→ 0

lim

Ha minden olyan nx sorozatra, amelyre teljesül 0xxn → és 0xxn < ,

igaz, hogy ( ) Axf n → , akkor azt mondjuk, hogy az )(xf függvénynek a baloldali határértéke x0 –ban A. Jelölés: ( ) Axf

xx=

−→ 0

lim

Page 71: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

72

Nézzünk mindegyik esetre egy-egy példát!

a)

( )( )( )( ) 7

5x

3xlim

5x4x

3x4xlim

209xx

12xxlim

határérték típusú 0

0

0

04

4x4x2

2

4x−=

+−=

++−+=

++−+

⇒=

−→−→−→

)f(-

b)

( )( )

( )( )ben.-2 ehatárérték Nincs

xx

x

x

x

xx

x

x

x

határértéktípusú 0

c

x

x

-)f(

xx

xx

x

−∞=−=+−

−=−−

∞=−=+−

−=−−

−−

⇒=

+→→

−→→

−−

++

0

3

22

5lim

4

5lim

0

3

22

5lim

4

5lim

4

5lim

0

32

222

222

22

� Gyakorló feladatok

Adja meg a következő határértékeket!

9. xx

xx 3

9lim

2

2

3 −−

10. 86

43lim

2

2

4 ++−+

−→ xx

xxx

11. 4

252lim

2

2

2 −+−

→ x

xxx

12. 56

8lim

2

2

8 −−−

→ xx

xxx

13. 56

8 lim

2

2

7- −−−

→ xx

xxx

14. Adja meg az x

xxxf

2

4)(

2

−+= függvény határértékét a szakadási

helyeken és a ±∞ -ben!

15. Határozza meg a következő függvény értelmezési tartományát, vizsgálja a függvény határértékét x = 3-ban x = 0-ban és mínusz végtelenben!

xx

xxxf

3

158)(

2

2

−+−=

Page 72: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE

73

4.3. FÜGGVÉNY FOLYTONOSSÁGA

Definíciók:

Tétel:

� Megoldások

1. 3

5

31

353

3

lim −=−

++∞→ x

x

x

2. 012

63

2

lim =+−

−+∞→ xx

xx

x

Ha az értelmezési tartomány egy pontjában a függvény nem folytonos, akkor abban a pontban a függvénynek szakadása van.

Azt mondjuk, hogy az f(x) függvény folytonos függvény, ha az értel-mezési tartomány minden pontjában folytonos.

Legyen f az 0x pont egy környezetében értelmezett! Az f függvényt az 0x pontban akkor nevezzük folytonosnak, ha ott létezik határérté-ke, és az egyenlő az 0x -beli függvényértékkel, azaz: )()(lim 0

0

xfxfxx

=→

A polinomfüggvények, a racionális törtfüggvények, az exponenciális függvények, a logaritmus függvények az értelmezési tartományuk minden pontjában folytonosak.

Page 73: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

74

3. −∞=−

++∞→ 2

4

2

4lim

xx

xx

x

4. −∞=++−

+∞→ 8

22

3

limx

xx

x

5. 3

5

31

353

3

lim −=−

+−∞→ x

x

x

6. 012

63

2

lim =+−

−−∞→ xx

xx

x

7. −∞=−

+−∞→ 2

4

2

4lim

xx

xx

x

8. ∞=++−

−∞→ 8

22

3

limx

xx

x

9. ( )( )

( )( )

23

63lim

3

33lim

3

9lim

332

2

3==+=

−+−=

−−

→→→ x

x

xx

xx

xx

xxxx

10. ( )( )( )( ) 2

5

2

5

2

1lim

24

14lim

86

43lim

4 4 2

2

4 =

−−=

+−=

++−+=

++−+

−→−→−→ x

x

xx

xx

xx

xxxxx

11. ( )( )( )( ) 4

3

2

12lim

22

122lim

4

252lim

2 2 2

2

2 =

+−=

+−−−=

−+−

→→→ x

x

xx

xx

x

xxxxx

12. ( )

( )( ) 15

8

7lim

78

8lim

56

8lim

8 8 2

2

8 =

+=

+−−=

−−−

→→→ x

x

xx

xx

xx

xxxxx

13.

∞=+

−∞=+=

+=

−−−

→→

+

7 lim

7 lim

7 lim

56

8 lim

-7-

7-

7- 2

2

7-

x

xx

x

x

x

xx

xx

x

x

xx ⇒

⇒ Tehát –7 –ben nincs határértéke.

Page 74: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE

75

14. ( )

22

4

2

4 lim

2

4 lim

2

4 lim

0 0

2

0 −=

−=

−+=

−+=

−+

→→→

x

x

xx

x

xxxxx

15. { }3 ;0 ≠≠∈= xxRxD f

0

0)3( =f

( )( )( ) 3

25lim

3

53lim

3

158lim

332

2

3−=−=

−−−=

−+−

x

x

xx

xx

xx

xx

0

c)0( =f

+∞=−

−∞=−

=−=−

+−

+

x

xx

x

x

x

xx

xx5

lim

5lim5

lim3

158lim

0

0

02

2

0 ⇒

⇒ 0-ban nincs határértéke

13

158lim

2

2

=−

+−∞− xx

xx

Page 75: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis
Page 76: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

77

5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 5.1 DIFFERENCIÁLHÁNYADOS FOGALMA, GEOMETRIAI JELENTÉ-

SE

Egy függvény vizsgálatakor nem ele-gendő annak megállapítása, hogy a függvény növekvő vagy csökkenő. A növekedés / csökkenés mértékének a meghatározása is fontos lehet. Az ábra jól mutatja, hogy az x változó egységnyi növekedésére a függvényér-tékek különböző mértékben változnak. A kérdés az, hogy hogyan lehetne számmal kifejezni a növekedés ütemét?

Mivel a függvény meredeksége pontról pontra is változhat, ezért nem elegendő egységenként a növekedés mér-tékét vizsgálni. Olyan mutatószámra van szükségünk, mely a függvény tetszőleges pontjánál megmutatja a függvény viselkedését. Válasszunk egy tetszőleges x0 pontot, és vizsgáljuk a függvényt a pont környezeté-ben!

Vegyünk az x0 ponthoz közel eső x pontot. Ekkor a függvény „változásának mértékét” az x és x0 által meghatározott interval-lumon a következő módon szá-molhatjuk ki:

A ( )x

xf

∆∆

különbségekből képzett

hányadost, az f függvény x0 pontbeli differenciahányadosá-nak nevezzük.

A differenciahányados geometriailag az (x, f(x)) és az (x0, f(x0)) pontokon áthala-dó szelő meredekségét adja meg.

( ) ( ) ( )0

0

xx

xfxf

x

xf

−−

=∆

x-x0

x x0

f(x0)

f(x)

f(x)-f(x0)

szelő

x x0

f(x0)

f(x)

Page 77: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

78

Minél közelebb van az x pont az x0 -hoz, annál jobban jellemez-hető a függvény x0 pont körüli változása a fenti hányadossal. Ahogy az x pontot közelítjük x0 –hoz, a szelők közelednek az x0 pont érintőjéhez. Ez azt jelenti,

hogy az ( ) ( )

0

0

xx

xfxf

−−

hányado-

sok értéke (szelők meredeksége) közelítik az x0 ponthoz tartozó érintő meredekségét. Így megkaptuk az x0 ponthoz tartozó érintő meredekségét, méghozzá a szelők meredekségét leíró hányados sorozat határértékeként.

Jelekkel:

Megjegyzés: Miért fontos számunkra a derivált? A derivált segítségével a függ-vény néhány alapvető tulajdonságáról (monotonitás, szélsőértékek stb.) szerezhe-tünk információt anélkül, hogy a függvény grafikonját ismernénk. Tehát a deriválás az egyik nélkülözhetetlen eszköze a függvényvizsgálatnak. Deriválás útján olyan függvényt is képesek leszünk elemezni, fontosabb tulajdonságait megállapítani, melyről nincs különösebb tapasztalatunk, nem tartozik az alapfüggvények közé, csupán a hozzárendelési szabályát ismerjük. Erre azonban később, a 6. fejezetben térünk ki részletesen.

érintő

szelők

x0

( ) ( )0

0lim0

xx

xfxf

xx −−

Definíció: Ha létezik (és véges) a ( ) ( )

0

0lim0 xx

xfxf

xx −−

→ határérték, akkor

azt mondjuk, hogy az f függvény az x0 pontban deriválható (differen-ciálható), és a határértéket az f függvény x0 pontbeli deriváltjának nevezzük.

Az x0 pontbeli deriváltat röviden -al jelöljük. )( 0xf ′

Az x0 pontbeli derivált )( 0xf ′ megadja, a függvény x0 pontjához húzott érintő meredekségét

Page 78: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

79

����Mintapélda

Határozzuk meg az 2)( xxf = függvény x0=2 pontbeli deriváltját!

Általánosan, a pontbeli deriváltat a következő képlettel számíthatjuk ki: ( ) ( )

0

00 lim

0

)(xx

xfxfxf

xx −−

=′→

A fenti képletbe kell behelyettesítenünk, a példának megfelelően 2)( xxf = és x0=2 :

422

)2)(2(

2

2)2( limlimlim

22

22

2=+=

−+−=

−−=′

→→→x

x

xx

x

xf

xxx

Tehát azt kaptuk, hogy az 2)( xxf = függ-vény deriváltja az x=2 pontban 4, ami szem-léletesen azt jelenti hogy a vizsgált parabolá-nak az x=2 pontjához húzott érintő meredek-sége 4.

Ha az 2)( xxf = függvény más pontjában is kíváncsiak vagyunk a derivált értékére, akkor célszerű egy olyan képletet megadni, amelybe

tetszőleges értéket helyettesítve megkaphatjuk az adott pontbeli derivált értékét. Ezt a függvényt nevezzük a derivált függvénynek.

A derivált függvény meghatározását nevezzük deriválásnak. A deriválás műveletet a közgazdaságtan is széles körben alkalmazza.

m=4

2

Definíció: Az f függvény derivált függvényének nevezzük azt az )(xf ′ függvényt, ami azokban a pontokban van értelmezve, ahol a

függvény deriválható, és ezekben a pontokban a függvény értéke a pontbeli derivált értéke.

A derivált függvény jelölése: )(xf ′ vagy dx

xdf )(

Page 79: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

80

A VÁLTOZÁS MÉRTÉKE ÉS JELENTŐSÉGE A KÖZGAZDASÁGTAN-

BAN

Matematikában a deriváltat a függvény grafikonjához, az adott pontban rajzolt érintő meredekségeként értelmeztük. A közgazdaságtanban más értelmezések fontosabbak1.

A függvény deriváltjának előjeléből megállapíthatjuk a változás irányát; de hogyan mutatja meg a derivált, a változás mértéke? Tegyük fel, hogy valamely y mennyiség függ az x mennyiségtől, és ezt a kapcsolatot az alábbi ���� � � függvény írja le. Adott � � � esetén � � ����. Ha az � változó értéke �-ról � � -ra változik, � értéke ����-ról ��� � �-ra változik. Ez alapján mondhatjuk, hogy a függvény értékének megválto-zása: ��� � � ����.

Amennyiben ��, � � intervallum hosszát csökkentjük, azaz � 0, akkor � függvény pillanatnyi változását kapjuk az � pontban; ami meg-felel � deriváltjának az � pontban.

A közgazdaságtudomány a derivált elnevezés helyett a határ (Margin) terminológiát használja. Nevezetes határfüggvények a közgazdaságtan-ban a határköltség MC(q), a határbevétel MR(q), a határhaszon MU(x), és a határprofit MΠ(q).2

A folytatásban nézzük meg hogyan kapható meg néhány elemi alapfügg-vény derivált függvénye.

1 Sydsæter-Hammond: Matematika közgazdászoknak 107.o. 2 A jegyzet 101. oldalán részletesebben olvashatunk ezekről a függvényekről.

��� � � ����

�� � � ���� � � ����

Az � mennyiség átlagos megváltozása az �-tól � � -ig terjedő intervallumon:

Ami valójában nem más, mint az � különbségi hányadosa.

����� megadja az � pillanatnyi változását az � pontban

Page 80: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

81

5.2 ELEMI ALAPFÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJAI3

konstans függvény:

����Pl.: 05 =′

hatvány függvény:

����Pl.: ( ) 34 4xx =′

( )2

21 11

1

xxx

x

−=−=′

=′

−−

( )x

xxx2

121 2

121

==′

=

′ −

( )3

31

32

3 2

3

2

3

2

xxxx ==

=

′ −

exponenciális függvény:

����Pl.: ( ) 2ln22 xx =′

2

1ln

2

1

2

1xx

=′

logaritmus függvény:

����Pl.: ( )3ln

1log3 ⋅

=′x

x

3 A bizonyítások megtalálhatóak Csernyák L.: Analízis Tk.-ben (129.o.)

( ) 0=′c

1)( −⋅=′ αα α xx

( ) aaa xx ln⋅=′

( ) xx ee =′

( )x

x1

ln =′ ( )

axxa ln

1log

⋅=′

Page 81: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

82

5.3 DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK

1. Függvény konstans-szorosának deriválása:

����Pl.: ( ) 667 35755 xxx =⋅=′

( ) ( )4

433

18366

6

xxx

x

−=−⋅=′

=′

−−

2. Összeg és különbség függvény deriváltja:

�Pl:: ( )x

xxx xx 18ln8

43

0ln810 41

4 3 −+−=′

−+−−

3. Szorzat függvény deriváltja:

����Pl.: ( ) xxx exexex ⋅+⋅=′

⋅ 323 3 4. Hányados függvény deriváltja:

����Pl.: x

x

xx

xx

x

x22 ln

1ln

ln

1ln1

ln−=

⋅−⋅=

( ) fcfc ′⋅=′⋅ (c: konstans)

( ) gfgf ′±′=′±

( ) gfgfgf ′⋅+⋅′=′⋅

2g

gfgf

g

f ′⋅−⋅′=′

Page 82: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

83

5. Összetett függvény deriváltja:

Szavakkal egyszerűen úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a külső függvény deriváltját szorozni kell a belső függvény deriváltjával. Ahol a fenti példában az � jelöli a külső függvényt, � a belső függvényt.

Vizsgáljuk meg, hogy a külső függvény típusától függően milyen ese-tekkel találkozhatunk, és ezeknél hogyan végezzük el a deriválás mű-veletét!

( ) fff ′⋅⋅=′ −1αα α , R∈α

( ) fee ff ′⋅=′

( ) faaa ff ′⋅⋅=′

ln

( ) ff

f ′⋅=′ 1ln

( ) faf

fa ′⋅⋅

=′ln

1log

����Pl.:

( )( ) ( ) ( )xxx exexex +⋅+=′

+ 54656 65

( ) )83( 21818 33

+⋅=′

++++ xee xxxx

( ) )310(3ln33 3535 22

+⋅⋅=′

++ xxxxx

( )( ) ( ) 626

126ln ⋅

+=′+

xx

( )( ) )1810(7ln)182(

1182log 4

5

57 +⋅

⋅+=′+ x

xxxx

( )( ) ( ) ggfgf ′⋅′=′

Page 83: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

84

� Gyakorló feladatok

1. Határozza meg az ( ) 142

3 6ln5 −+−⋅= xe

xxxxxf függvény

deriváltfüggvényét!

2. Deriválja az xxxex

xxxf x ⋅−++

−+−= + 362

2

2ln6

13)( függvényt!

3. Adja meg az ( ) ] [ ;0 ,ln

3∞∈= x

x

xxf első és második deriváltját!

Deriváljuk a következő függvényeket!

4. 21

)(x

xxf

+=

5. xxxf 8)( 8=

6. x

xf21

1ln)(

+=

7. ( )pp eepf ++= 1)(

8. 3

123)(

aaf

a+

=

9. 3 4)( xxxxf =

10. ( )

x

xxxf

ln

28)(

32 +=

11. p

ppf

4ln)( =

12. ( )52 3)(3

xxexf x +=

13. a

aaf

a 22)(

+=

14. x

xxf2

)( 3 2 −=

15. ( )22)( 2 +−= xxexf x

16. x

x

x

exf

2

1)(

3 ++=

17. 462

3)( −+−= xxexf

18. x

xxf

2ln)( =

Page 84: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

85

� Megoldás

1.

( )

143

55

1432

7

2

5

412

5ln235

4261

5ln235

−−

+++⋅⋅=

=⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=′

x

x

ex

xxx

exx

xxxxf

2.

( ) ( )( ) ( )( )

2

562

2

2

2

72

12

6

13632x

xe

x

xxxxxf x ⋅⋅−+⋅+

−+−−−−=′ +

3.

( )46

23

ln313ln1

x

x

x

xxxxxf

−=⋅⋅−⋅

=′

( )( )

58

333

8

34

7ln12ln1243

4ln311

3

x

x

x

xxxx

x

xxxxxf

−=⋅+−−=

=⋅−−⋅−

=′′

4.

22

2

22

2

)1(

1

)1(

2)1(1)(

x

x

x

xxxxf

+−=

+⋅−+⋅=′

5. 8ln888)( 87 xx xxxf ⋅+⋅=′

6. xx

xx

x

xf21

2

)21(

2)21(

)21(

2

21

11

)(22 +

−=+−⋅+=

+−⋅

+

=′

Page 85: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

86

7. p

eepeepf

pppp

22

1)( 2

1

+=⋅+=′−

8.

9. 24

172

1

3

1

4

13 4)( xxxxxxxxf =

⋅==

24 724

7

24

172417

)(x

xxf ==′−

10. ( ) ( )

( )2

3222

ln

128ln)216(283

)(x

xxxxxxx

xf⋅+−⋅+⋅+

=′

11. 2

43

2

43

lnln41ln

1ln4

)(p

pp

p

ppp

ppf

−=⋅−⋅⋅

=′

12. ( ) ( )4522 15233)(33

xxexxxexf xx +⋅++⋅=′

13. ( ) ( )

a

aaaaaf

aa 2

12

2

1222ln2

)(

−+−+

=′

6

2123122

1

3

122

1

3

12 3323ln33

2

13)(

a

aa

aaaf

aaaa ++−++ −⋅⋅⋅

=

=′

Page 86: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

87

14. 2

1

3

23 2 2

2)(

−−=−= xx

xxxf

332

3

3

1 1

3

2

3

2)(

xxxxxf +=+=′

−−

15. ( ) ( ) 22 2222)( xexexxexf xxx =−++−=′

16. ( )

( )23

323

2

)2ln231)(1(2)(

x

xxxx

x

xexexf

+⋅++−+=′

17. ( )623)( 462

+−⋅=′ −+− xexf xx

18. 2

2

2

22 ln21ln2

1

)(x

x

x

xxxxxf

−=⋅−⋅⋅

=′

Page 87: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis
Page 88: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT

89

6. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA FÜGGVÉNYEK ELEMZÉSÉNÉL

6.1 A FÜGGVÉNYDISZKUSSZIÓ ALAPSÉMÁJA

A függvény elemzésekor a különböző tulajdonságok vizsgálatát bizonyos esetekben egymástól függetlenül végezhetjük, de a teljes vizsgálat során érdemes az alábbi sorrendet követni.

6.1.1 ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY MEGHATÁROZÁSA (HA NEM JELZIK)

A valós számok lehető legbővebb részhalmazát kell megadni, ahol a függvény értelmezve van. (Például törteknél a nevező nem lehet nulla.) Értelmezési tartomány jele: Df

6.1.2 TENGELYMETSZETEK, JELTARTÁS

x-tengelymetszet: Abban a pontban metszi a függvény grafikonja az x-tengelyt, ahol a függvényérték 0. f(x)=0 Ezt hívjuk zérushelynek.

y-tengelymetszet: Abban a pontban metszi a függvény grafikonja az y-tengelyt, ahol az x = 0.

6.1.3 PARITÁS

A páros illetve a páratlan függvények esetében elegendő az értelmezési tartomány nemnegatív értékein az elemzést elvégezni – ezzel időt taka-rítva meg –, mivel a többi tulajdonság a szimmetria miatt már kikövet-keztethető.

6.1.4 HATÁRÉRTÉK

Határértékeket ±∞-ben, vagy az értelmezési tartomány végpontjaiban, valamint a szakadási helyeken szoktuk vizsgálni.

A 4. fejezetben láthattunk példákat a határérték vizsgálatára, azonban létezik egyéb módszer is a határérték meghatározására. Például bizonyos esetekben alkalmazható a L’Hospital szabály, ami sok esetben lényege-sen leegyszerűsíti a határérték vizsgálatát.

Page 89: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

90

L’H OSPITAL SZABÁLY ÉS ALKALMAZÁSA

Függvény-határértékszámításnál gyakran találkozunk olyan törtfüggvény határértékének a kiszámításával, ahol a számláló és a nevező határértéke

is 0, vagy mindkettő ∞. Az ilyen határértékeket �� vagy

�� típusú, ún. ha-

tározatlan alakú határértékeknek nevezzük. Ezzel azt is jelezzük, hogy még bizonyos átalakítások meggondolások szükségesek a határérték ki-számításához. Ezekben az esetekben segít nekünk a L’Hospital szabály.

�é���: Ha az és � függvények az � � � pont környezetében differenciálhatók és itt �()�* + 0, továbbá lim/01 )�* � lim/01 �)�* � 0, vagy lim/01| )�*| � lim/01|�)�*| � ∞, és lim/01

()�*�()�* határérték létezik, akkor amit L’Hospital szabálynak nevezünk.

Megjegyzés:

1. A tétel akkor is érvényes, ha a +∞ vagy a –∞ -ben vett határértéket számítjuk ki.

2. A tétel –a feltételek módosítása mellett– egyoldali határérték ki-számítására is alkalmas.

3. Ha a L’Hospital szabály alkalmazása után is �� vagy

�� típusú hatá-

rozatlan alakot kapunk, akkor a szabály természetesen újból alkal-mazható, feltéve, ha f és g többször differenciálható.

lim/01 )�*�)�* � lim/01

()�*�()�*

Page 90: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT

91

6.1.5 MONOTONITÁS, HELYI SZÉLSŐÉRTÉK

Monotonitás

Az (a,b)-on differenciálható f(x) függvény akkor és csak akkor növekvő az (a,b)-on, ha minden x∈(a,b)-re f’(x)≥ 0. („Első derivált pozitív.”)

Az (a,b)-on differenciálható f(x) függvény akkor és csak akkor csökke-nő az (a,b)-on, ha minden x∈(a,b)-re f’(x)≤ 0. („Első derivált negatív.”)

Szélsőérték

Egy f(x) függvénynek egy adott (a) pontban csak akkor lehet szélsőérté-ke, ha f’(a)= 0. Azokat a pontokat, ahol f’(a)= 0 stacionárius pontok-nak nevezzük.

Ha meghatároztuk, hogy mely értékek esetén lesz f’(x)= 0 (azaz megke-restük a stacionárius pontjait), akkor megvizsgáljuk, hogy a kapott pon-tokban valóban szélsőértéke van-e a függvénynek illetve, hogy milyen a jellegük (minimum vagy maximum).

Erre két módszer kínálkozik (melyek közül mindenki szabadon választ-hat). Egyik lehetőség:

Monotonitás alapján, az első derivált előjelváltásának vizsgálatával ál-lapítjuk meg a szélsőértékeket. Ilyenkor egy táblázatot készítünk, amely-ben felvesszük azokat a pontokat, ahol az első derivált nulla (stacionári-us pontok), illetve a stacionárius pontok által meghatározott intervallu-mokat. Majd vizsgáljuk az így keletkezett intervallumokban a derivált előjelét. Azoknál a stacionárius pontoknál, ahol az első derivált előjelet vált ott vannak a függvény szélsőértékei. Ha az első derivált előjele pozi-tívból megy át negatívba akkor maximuma, ha negatívból pozitívba, ak-kor minimuma van a függvénynek.

Másik lehetőség a szélsőérték meghatározására: Második derivált előjelének vizsgálatával is következtethetünk a szélső-értékekre. Ha f’’(a) > 0 akkor f(x)-nek a-ban helyi minimuma, f’’(a) < 0 esetén f(x)-nek a-ban helyi maximuma van.

Megjegyzés: Az itt megállapított szélsőértékek, helyi szélsőértékek.

Page 91: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

92

6.1.6 KONVEXITÁS, INFLEXIÓS PONT

Míg az f(x) függvény monotonitást az első derivált, addig a konvexitást a második derivált f”(x) előjelének vizsgálatával dönthetjük el.

Egy (a,b)-on kétszer differenciálható f(x) függvény az (a,b)-on akkor és csak akkor konvex, ha minden x∈(a,b) esetén f’’(x) ≥ 0 .

Egy (a,b)-on kétszer differenciálható f(x) függvény az (a,b)-on akkor és csak akkor konkáv, ha minden x∈(a,b) esetén f’’(x) ≤ 0 .

Inflexiós pont

Egy f(x) függvénynek egy adott (a) pontban csak akkor lehet inflexiós pontja, ha f’’(a)= 0.

Ha meghatároztuk, hogy mely értékek esetén lesz f’’(x)= 0, akkor meg-vizsgáljuk, hogy a kapott pont valóban inflexiós pont-e. Ezt legegysze-rűbben a második derivált előjelváltása alapján tudjuk eldönteni. Ha a vizsgált pontban megváltozik a második derivált előjele, akkor ott infle-xiós pontja van a függvényünknek.

6.1.7 GRAFIKON FELVÁZOLÁSA

Az előző pontokban megállapított függvény tulajdonságok figyelembe vételével felvázolható a függvény grafikonja. /Ha kigyönyörködtük ma-gunkat, jöhet az utolsó két lépés. ☺/

6.1.8 ABSZOLÚT (GLOBÁLIS) SZÉLSŐÉRTÉKEK

Abszolút minimum, illetve abszolút maximum megadása (amennyiben léteznek). A 6.1.5 pontban kapott helyi szélsőértékek közül kerülhetnek ki az abszolút, más néven globális szélsőértékek. Az abszolút szélsőérté-keket legkönnyebben a függvény grafikonjáról olvashatjuk le. (Csak a fe-lülről korlátos függvénynek lehet abszolút maximuma, és csak az alulról korlátos függvénynek lehet abszolút minimuma.)

6.1.9 ÉRTÉKKÉSZLET

Az értékkészletet – az f(x) függvényértékek halmazát –, szintén a függ-vény grafikonján állapíthatjuk meg legegyszerűbben. (A függvényérté-keket az y-tengelyről olvashatjuk le.) A függvény értékkészletének a jele: Rf

Page 92: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT

93

� Gyakorló feladatok

1. Határozza meg az ( ) Rxxxxf ∈+−= ,126 23 függvény szélsőér-tékeinek helyét, jellegét és értékét!

2. Határozza meg az xexxf −⋅=)( függvény monotonitási interval-

lumait, lokális szélsőérték helyeit, konvex/konkáv intervallumait, illetve inflexiós pontjának koordinátáit!

3. Határozza meg az ( ) Rxxxxf ∈−⋅= )24(5 22 függvény konvex-,

konkáv intervallumait, inflexiós pontjait!

4. Adott a következő függvény:

( ) { }0:1

52 ∪=

+= +RD

x

xxf f

A függvény vizsgálatánál a következő táblázathoz jutunk:

x =0 0<x<1 x =1 1<x< 3 x = 3 ] [∞,3

f' + + 0 – – – f" 0 – – – 0 +

f

a) A függvénygrafikon felrajzolásához szükséges helyeken vizsgál-ja a függvény határértékét, vázolja a függvény grafikonját, majd adja meg a függvény értékkészletét!

b) Mely intervallum(ok)on növekvő, illetve csökkenő a függvény?

c) Hol, milyen értelmű és mekkora helyi szélsőértéke(i) van(nak) a függvénynek?

d) Hol van a függvénynek inflexiós pontja?

Page 93: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

94

5. Adott a következő függvény:

( ) Rxxx

xf ∈++

=52

12

A függvény vizsgálatánál a következő táblázathoz jutunk ahol a meg-

adásnál a 41 4 6√88 9 42,15 é< 4 1 = 6√88 9 0,15 közelítő értéke-

ket használtuk:

x<-2,15 x= -2,15 -2,15<x<-1 x= -1 -1<x<0,15 x=0,15 0,15<x

f' + + + 0 – – – f" + 0 – – – 0 + f

a) Vizsgálja meg a függvény határértékét a függvénygrafikon felraj-zolásához szükséges helyeken!

b) Mely intervallum(ok)on növekvő, ill. csökkenő a függvény?

c) Hol, milyen értelmű és mekkora helyi szélsőértéke(i) van(nak) a függvénynek?

d) Hol konvex és hol konkáv a függvény? Van-e inflexiós pontja a függvénynek?

e) Vázolja a függvény grafikonját!

f) Adja meg a függvény értékkészletét!

6. Adott a következő függvény:

( ) Rxx

xxf ∈

+−=

1

12

2

A függvény vizsgálatánál a következő táblázathoz jutunk:

� > 4?13 � � 4?13 4?13 > � > 0 � � 0 0 > � > ?13 � � ?13 ?13 > �

f' – – – 0 + + + f" – 0 + + + 0 – f

Page 94: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT

95

a) Vizsgálja meg a függvény határértékét a függvénygrafikon felraj-zolásához szükséges helyeken!

b) Mely intervallum(ok)on növekvő, ill. csökkenő a függvény?

c) Hol, milyen értelmű és mekkora helyi szélsőértéke(i) van(nak) a függvénynek?

d) Hol konvex és hol konkáv a függvény? Van-e inflexiós pontja a függvénynek?

e) Vázolja a függvény grafikonját!

f) Adja meg a függvény értékkészletét! 7. Adott a következő függvény:

( ) }1/{1

2

Rxx

xxf ∈

−=

A függvény vizsgálatánál a következő táblázathoz jutunk:

� > 0 � � 0 0<x<1 � � 1 1<x<2 x=2 2<x

f' + 0 – – 0 + f" – – – + + + f

a) Vizsgálja meg a függvény határértékét a függvénygrafikon felraj-

zolásához szükséges helyeken!

b) Mely intervallum(ok)on növekvő, ill. csökkenő a függvény?

c) Hol, milyen értelmű és mekkora helyi szélsőértéke(i) van(nak) a függvénynek?

d) Hol konvex és hol konkáv a függvény? Van-e inflexiós pontja a függvénynek?

e) Vázolja a függvény grafikonját!

f) Adja meg a függvény értékkészletét!

Page 95: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

96

� Megoldások

1. ( ) 126 23 +−= xxxf

( )( )

40

0

0123 2

====−=′

21 x x

4-x3x

xxxf

x<0 x=0 0<x<4 x=4 x>4 f' + 0 – 0 + f ↑ Max. ↓ Min. ↑

( ) ( ) 204 120 −== ff

A függvénynek az x=0 helyen lokális maximuma van, értéke 12, x=4 helyen abszolút minimuma van, értéke -20.

2. xexxf −⋅=)(

( ) ( ) ( )1

011

==−=−⋅⋅+=′ −−−

x

xeexexf xxx

x<1 x=1 x>1 f ′ + 0 - f ↑ max. ↓

Ha x<1, akkor a függvény szig. mon. nő, ha x>1, akkor szig. mon. csökken.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

02111

==−=−⋅+−⋅−⋅=′′ −−−

x

xeexexf xxx

x<2 x=2 x>2 f ′′ - 0 + f konkáv Infl. pont konvex

( )2

22

ef =

Page 96: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT

97

Ha x<2, a függvény konkáv.

Ha x>2, a függvény konvex.

Inflexiós pont: (2; 2

2

e)

3. ( ) 24 1205 xxxf −=

( )( ) 2 2 024060

24020

212

3

=−=⇒=−=′′−=′

xxxxf

xxxf

] [ ] [ ] [ konvex ;2 konkáv; 2;2- konvex; 2; +∞−∞−

( ) ( )400;2INFL 2;-400-INFL 21 −

4.

a)

==++

01

0

1

5lim 20 x

x

0

1

5lim 2 =

+∞ x

x

5,2)1( =f Rf = [0; 2,5]

b) [0;1] növekvő , [1;∞ [ csökkenő

c) ABSZ.MIN(0;0) , ABSZ.MAX(1; 2,5)

d) ABCD E√3; G√8H I ~ ABCD)1,73; 2,16*

x

y

2,16

1,731

2,5

Page 97: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

98

5.

a)

lim� 1�6 = 2� = 5 � 0 limM�1�6 = 2� = 5 � 0

b) N 4 ∞; 41N OöP�QPő S41; ∞S T<öQQ�Oő

c) UVWX. ZU[)41; 0,25*

d) N 4 ∞; 42,15N Q\OP�� S42,15; 0,15N Q\OQáP S 0,15 ; ∞ S Q\OP�� ABCD)42,15; 0,19* é< ABCD)0,15; 0,19*

e)

f)

_̂ �N0; 0,25N

x

y

0,19

0,25

0,15-1-2,15

Page 98: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT

99

6.

a)

lim� �6 4 1�6 = 1 � 1 limM��6 4 1�6 = 1 � 1

b) N 4 ∞; 0N T<öQQ�Oő, S 0; ∞ S OöP�QPő

c) UVWX. ZAB)0; 41*

d)

`4∞; 4ab8` Q\OQáP, c4ab8; ab8` Q\OP��, cab8 ; ∞c Q\OQáP ABCD d4ab8; 40,5e é< ABCD dab8; 40,5e

e)

f)

_̂ � S41; 1S

x

y

-0,58 0,58

-0,5-0,5

-1

1

Page 99: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

100

7.

a)

lim� �6� 4 1 � ∞ limM�

�6� 4 1 � 4∞

U ü��PéOfO�Q � � 1 4 g�O T0 �íij<ú <l�Q�má<n o��f� P�O. p\gg\�m��n o��áqéq�éQ� 1 4 g�O: lim/0br

�6� 4 1 � ∞

g��\�m��n o��áqéq�éQ� 1 4 g�O: lim/0bs�6

� 4 1 � 4∞

b) N 4 ∞; 0N OöP�QPő, S0; 1S T<öQQ�Oő N1; 2N T<öQQ�Oő, S2; ∞S OöP�QPő

c) tuDvA. ZU[)0; 0* tuDvA. ZAB)2; 4*

d) N 4 ∞; 1 S Q\OQáP N 1 ; ∞ S Q\OP�� OnOT< nO ���nó< i\O�

e)

f)

_̂ �N 4 ∞; 0N x S4; ∞S

x

y

2

4

1

Page 100: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

7. GAZDASÁGI ALKALMAZÁSOK

101

7. GAZDASÁGI ALKALMAZÁSOK

7.1 SZÉLSŐÉRTÉK SZÁMÍTÁS A gazdasági életben gyakran kerülünk szembe olyan problémákkal, ami-kor különböző a közgazdaságban használt függvényeknél kell megkeres-nünk azokat a pontokat, amikor a legkisebb az összköltség, vagy legna-gyobb az árbevétel, stb. Az ilyen és ehhez hasonló feladatokat, – amikor valamit úgy kell megterveznünk, hogy bizonyos mennyiség minimális vagy maximális legyen, – szélsőérték feladatoknak nevezzük. A közgazdaságtudomány a derivált elnevezés helyett a határ (Margin) terminológiát használja. A közgazdaságtanban a tanulmányaink során ta-lálkozni fogunk az alábbi függvényekkel, mint például: határköltség MC(q): a q mennyiségű áru előállításának költségét

meghatározó TC(q) költségfüggvény deriváltja, határbevétel MR(q): a q mennyiségű áru eladási értékét meghatáro-

zó TR(q) árbevétel függvény deriváltja, határhaszon MU(x): az x terméknek a fogyasztó által megállapított

értékét meghatározó TU(x) hasznossági függvény deriváltja, határprofit MΠ(q): az árbevétel és a költség függvények különbsé-

geként adódó Π(q) profit függvény deriváltja.

Gyakorló feladatok 1. Egy vállalkozás éves nyereségét (profitját) a )(q függvény adja

meg (euróban), ahol q a legyártott és értékesített termékek darab-számát jelenti: 2500072002402 23 qqqq ]35;0[q Milyen intervallumban pozitív, illetve negatív a határprofit értéke? Adja meg a nyereség (profit) maximumát!

2. Egy vállalat termelésének összköltségét a

400001001,0 2 qqqTC függvény adja meg, ahol q a legyártott termékek darabszámát je-lenti. Határozza meg a minimális átlagköltséget abban az esetben, ha legfeljebb a) 5000 darabot; illetve b) 1500 darabot tudnak gyártani!

Page 101: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

102

3. Egy vállalat éves nyereségét (profitját) a )(q függvény adja meg, ahol q a legyártott és értékesített termékek darabszámát jelenti:

800001620q144qqq 23 Milyen intervallumban pozitív, illetve negatív a határprofit értéke? Adja meg a nyereség (profit) maximumát!

4. Ha egy cég x millió forintot költ reklámra, akkor a bevétele:

50050000108002702 23 xxxxxB mFt lesz. Keresse meg azokat az intervallumokat, amelyeken a bevétel csök-ken, illetve növekszik, ha növeljük a reklámköltségeket! Hány millió Ft-os reklámköltség esetén lesz a bevétel maximális és ez hány mil-lió Ft-ot jelent?

5. Egy cég termeléséhez tartozó átlagköltség-függvény az

11800020 qq

qqAC

képlettel fejezhető ki, ahol q a legyártott darabszámot jelenti. Adja meg azokat az intervallumokat, amelyeken az átlagköltség csökken, illetve növekszik, és keresse meg az átlagköltség minimumát!

6. Egy vállalat nyereségét a

7000108003302 23 qqqq függvény adja meg (euróban), ahol q a legyártott és értékesített mennyiséget jelenti (ezer db-ban). Adja meg a vállalat nyereségé-nek maximumát, ha a) legfeljebb 120.000 db legyártására van lehetőség! b) legfeljebb 80.000 db legyártására van lehetőség!

7. Egy cég nyereségfüggvénye

2500050403513 23 qqqq (dollárban), ahol q a legyártott és értékesített termékek számát je-lenti. Mennyi a nyereség maximuma, ha a cég termelése legfeljebb a) 80 darab? b) 60 darab?

Page 102: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

7. GAZDASÁGI ALKALMAZÁSOK

103

8. Egy vállalat termelésének összköltségét a 7500003005,0 2 qqqTC

függvény adja meg, ahol q a legyártott termékek darabszámát je-lenti. Határozza meg a minimális átlagköltséget abban az esetben, ha legfeljebb a) 6000 darabot; illetve b) 2000 darabot tudnak gyártani!

9. Egy cég összköltség-függvénye 5ln 2 qqTC , összbevétel-

függvénye 2200ln qqTR , ahol q a termelés során legyártott mennyiséget jelöli. Határozza meg a cég nyereségének ( )(q ) ma-ximumát amennyiben az összköltség és összbevétel millió euróban vannak megadva!

10. Valamely termék nyereségfüggvénye: 1203007 2 qqq ,

költségfüggvénye: 16120 qqTC , ahol q a termelés során legyártott mennyiséget jelöli. Határozzuk meg, milyen q mellett vesz fel maximális értéket az árbevétel függvény ( )(qTR ), és mennyi a maximális bevétel, amennyiben az összköltség és a nyereség millió euróban vannak megadva!

Page 103: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

104

7.2 ELASZTICITÁS

Vizsgáljuk meg, hogy hogyan hat valamely termék árának megváltozása a termék iránti keresletre. Kérdezhetjük, hogy hány darabbal változik meg a termék iránti kereslet, ha az ára 10 Ft-tal nő. Az így kapott szám több szempontból sem megfelelő az ár keresletre gyakorolt hatásának a mérésére. Például egy kifli 10 Ft-os árnövekedése jelentős, míg egy tele-vízió 10 Ft-os árnövekedése jelentéktelen. A problémát kiküszöbölhetjük, ha relatív változásokat használunk. Azt vizsgáljuk, hogy hány százalékkal változik a kereslet, ha az ár 1%-kal nő. Az így kapott szám, amelyet a kereslet ár-elaszticitásának vagy árru-galmasságnak nevezünk, független lesz attól, hogy milyen mértékkel mértük a kereslet mennyiségét és a termék árát. Adott ponthoz tartozó elaszticitást (rugalmasságot) tetszőleges f(x) függvény esetében vizsgál-hatunk.

A pontbeli elaszticitás (rugalmasság) megadja, hogy az x-nek x0-ról tör-ténő 1 %-os növekedéséhez az f(x) hány %-os változása tartozik. Ezt képlettel a következőképpen fejezhetjük ki:

0

0

0

0

0

0

0

lim0

0: xf

xfx

xxx

xfxfxf

Exx

x

Egy xf függvény 0x ponthoz tartozó elaszticitása tehát az alábbi képlettel számolható:

Az így kapott szám megadja, egy f(x) függvény esetében, hogy az x vál-tozó x0-ról történő egy százalékos növekedése a függvényérték hány szá-zalékos változását eredményezi. Pozitív érték esetén növekedésről, nega-tív esetén pedig csökkenésről beszélünk.

00

00

xfxf

xEx

Page 104: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

7. GAZDASÁGI ALKALMAZÁSOK

105

Mintapélda Valamely árucikk iránti keresletet az x egységártól függően az

011

160

x

xxf függvény írja le. Állapítsuk meg, hogy hány

%-kal csökken a kereslet, ha a cikk árát x = 5-ről 1%-kal megnövel-jük! Megoldás menete: Deriváljuk a függvényt, kiszámítjuk az f(x) és az f’(x) függvényeknek az x0 pontban vett helyettesítési értékét. Az adott x0-t, és a számított f(x0) és f’(x0) értékeket behelyettesítjük az elaszticitás képletébe:

00

00

xfxf

xEx .

Az 11

160

x

xf deriváltja: 211

160

x

xf .

Adott: x0 = 5

Behelyettesítés: 10115

160)5(0

fxf

625,0115

160)5( 20

fxf

Elaszticitás: 3125,0625,0105)(

)( 00

0 xfxf

xE

Tehát 0,3125%-kal csökken a kereslet, ha az árat 5-ről 1%-kal meg-növeljük. (1%-nál kisebb elaszticitás esetén a kereslet változását rugalmatlan-nak nevezzük.)

Page 105: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

106

Gyakorló feladatok 11. Adott a 5,17000 ppD keresleti függvény. Határozza meg a

függvény pontelaszticitását a 30 p pontban, majd értelmezze a kapott eredményt! (p az eladási egységárat jelenti)

12. Adja meg az 12)( pepS kínálati függvény pontelaszticitását a

50 p pontban, majd értelmezze a kapott eredményt! (p az eladási egységárat jelenti)

13. Adott a pepD 05,058 keresleti függvény. Hány %-kal csökken

a kereslet, ha az egységárat 60-ról 1 %-kal megnöveljük?

Adja meg a következő függvények az adott ponthoz tartozó elaszticitá-sának értékét, és értelmezze az eredményt!

14. 5423)( xxf x0 = 3

15. 3

14)( 2 x

xf x0=2

16. 56

51)(

x

xf x0=2

17. )532ln(3)( xxf x0=3

18. xxf 275,2)( x0=1

19. 423)( xexf x0=5

20. 34

5)(

x

xf x0=3

21. 105,0)( xexf x0=1

22. 3

2)( 2

xxxf x0=2

Page 106: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

7. GAZDASÁGI ALKALMAZÁSOK

107

Megoldások

1. 2500072002402 23 qqqq ( ]35;0[q ) 72004806 2 qqq

602012

24048012

720064480480

072004806

21

2

2,1

2

q q q

qq

]35;0[q

0<q<20 q=20 0<q<35 Π’(q) + 0 – Π(q) nő helyi max csökken

A határprofit [0; 20] intervallumon pozitív, és a [20; 35] interval-lumon negatív. Π(20) = 39000 Nyereség (profit) maximuma: 39000 euró

2. 400001001,0 2 qqqTC

Átlagköltség:

q

qqAC

qqTCqAC

400001001,0

04000001,0 2 q

qCA

2000q 0q q 2

4000000

0<q<2000 q=2000 q>2000 qCA - 0 + qAC csökken min. nő

Page 107: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

108

Ha maximum 5000 db-t tudunk gyártani, akkor q=2000 db esetén minimális az átlagköltség. 502000 AC Ha 1500 db-t tudnak gyártani, akkor q=1500 esetén minimális az átlagköltség. 67,511500 AC

3. határprofit negatív: (0;6) és (90;); határprofit pozitív: (6;90); max: Π(90)=211600

4. nő: (0;30); csökken: (30;50); max: x=30 mFt, B(30)=185000 mFt

5. csökken: (0;30); nő: (30;); min: q=30 db AC(30)=1200 Ft

6. a) max: 90 edb; Π(90)=236000 b) max: 80 edb; Π(80)=217000

7. a) max: 70 db; Π(70)=313100 b) max: 60 db; Π(60)=288200

8. a) min. átlagköltség 3873 db-nál: 417,3 Ft b) min. átlagköltség 2000 db-nál: 505 Ft

9. nyereség maximuma: q=500; Π (500)=5,298 m euró 10. )()()( qTCqqTR

1044207 2 qqqTR

30042014)(' qqqTR

)6196;30([;30[]30;0[ MAX

Page 108: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

7. GAZDASÁGI ALKALMAZÁSOK

109

Elaszticitás megoldások

11. 30 p

5,25,2 10500)5,1(7000 pppD

5,2)3(105003 D

5,1)3(70003 D

5,1)3)(10500()3(7000

3)()(

5,25,10

0

03

pDpD

pE

A kereslet 1,5%-kal csökken, ha az egységárat 3-ról 1%-kal meg-növeljük.

12.

1025)5()(

22)5()(

2)(

995

90

91520

12

ee

E

efpS

eefpS

epS p

Értelmezés: Amennyiben az eladási egységárat 5-ről 1%-kal nö-veljük, a kínálat 10%-kal nő.

13. 600 p

05,08 05,05 pepD

)05,0(805,0860 26005,05 eeD

26005,05 8860 eeD

3)05,0(8860)(

)(2

200

060 e

epD

pDp

E

Page 109: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

110

A kereslet 3%-kal csökken, ha az egységárat 60-ról 1%-kal megnövel-jük.

14. -8,318

15. -8/7

16. 19,313

17. 0,147

18. 2,023

19. 10

20. -1,609

21. -0,5

22. -7

Page 110: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

8. GÖRBE ÉRINTŐJÉNEK AZ EGYENLETE

111

8. GÖRBE ÉRINTŐJÉNEK AZ EGYENLETE

Határozzuk meg egy f(x) függvény P(x0 , y0 ) pontjához húzott érintő egyenletét!

Geometriai tanulmányainkból tudhatjuk, hogy a koordinátarendszerben egy P(x0 , y0 ) ponton átmenő m meredekségű egyenes egyenlete:

)( 00 xxmyy −=− .

Amennyiben y-ra rendezzük az egyenletet a következő alakhoz jutunk:

00 )( yxxmy +−= .

Az egyenletben a m paraméter értéke (érintő meredeksége) megegyezik az f(x) függvény x0 pontban vett differenciálhányadosával (deriváltjával):

)( 0xfm ′=

Mivel a P(x0 , y0 ) pont rajta van az f(x) függvény grafikonján, ezért a második koordinátáját a következőképpen is felírhatjuk:

)( 00 xfy =

A fenti összefüggések alapján egy f(x) függvény grafikonjának az x0

pontjába húzott érintő egyenes egyenlete:

A fenti képletben az érintő felírásához három adatra van szükségünk: � az érintési pont első koordinátájára (abszcissza): x0 , � az érintési pont második koordinátájára (ordináta): y0 azaz f(x0), � az érintő meredekségére: m azaz f’(x 0).

Az itt felsorolt adatok közül azonban elegendő az egyik ismerete, a többi az f(x) függvény képlete alapján kiszámolható.

Nézzünk mindegyik lehetőségre egy-egy példát!

f(x) P(x0;y0)

)())(( 000 xfxxxfy +−′=

Page 111: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

112

����Mintapélda a) Adott az 12)( 2 −+= xxxf függvény. Határozza meg az 50 =x

abszcisszájú pontjához húzott érintő egyenletét!

Megoldás: Adott az x0, kiszámítjuk az )( 0xf -t és az )( 0xf ′ -t, majd behelyette-sítünk az érintő egyenletébe.

12252)5()(

22)(

341525)5()(

0

20

=+⋅=′=′+=′

=−⋅+==

fxf

xxf

fxf

Érintő egyenlete: )())(( 000 xfxxxfy +−′= .

Behelyettesítve: 34)5(12 +−= xy .

Zárójel felbontása után kapjuk: 2612 −= xy .

b) Adott az 35)( 2 −−= xxxf függvény. Határozza meg az 30 −=y ordinátájú pontjaihoz húzott érintők egyenletét!

Megoldás: Keressük meg először hogy az 35)( 2 −−= xxxf függvény hol ve-szi fel az 3−=y függvényértéket!

50

)5(0

50

353

21

2

2

==−=

−=

−−=−

xx

xx

xx

xx

Két helyen is felveszi az 3−=y értéket. Az 01 =x és az 52 =x helyen.

Írjuk fel mindkét ponthoz az érintő egyenle-tét!

Derivált: 52)( −=′ xxf

Érintők meredekség: 5)0( −=′f 5)5( =′f

35:)3;0( 11 −−=− xyeP

285:)3;5( 22 −=− xyeP

(0;3) (5;3)(0;-3) (5;-3)

Page 112: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

8. GÖRBE ÉRINTŐJÉNEK AZ EGYENLETE

113

c) Határozza meg az 13)( 2 +−= xxxf függvény 35 −−= xy egyen-letű egyenessel párhuzamos érintőjének egyenletét!

Megoldás:

Két egyenes akkor párhuzamos, ha azonos a meredekségük. Az 35 −−= xy egyenes meredeksége: –5, tehát a keresett érintőnek a

meredeksége –5.

Mivel az f(x) függvény deriváltja: ( ) 32 −=′ xxf

és ( ) mxf =′

ezért 532 −=−x

tehát 1−=x .

Ez azt jelenti, hogy az 10 −=x pontban keressük az érintőt.

( )

( ) ( ) ( )( )

xy

xy

xfxxxfy

m(xf

fxf

0

5

515

5)

51)(

000

0

−=++⋅−=

+−⋅′=−==′

=−=

� Gyakorló feladatok

1. Adja meg az 4)( 4 +−= xxf függvény P(1;3) pontjához tartozó érintőjének egyenletét!

2. Adja meg az )82ln(2)( += xxf függvény x0 = -3 pontjához tarto-

zó érintőjének egyenletét!

3. Adja meg az 5)32()( xxf −= függvény y0 = 32 ordinátájú pontjá-hoz tartozó érintőjének egyenletét!

4. Adja meg az 13)( 2 +−= xxxf függvény x0 = 1 abszcisszájú pont-jához tartozó érintőjének egyenletét!

Page 113: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

114

5. Adja meg az 2

2 12)(

x

xxxf

+−= függvény y0 = 4 ordinátájú pont-

jához tartozó érintőjének egyenletét!

6. Adja meg az 52)( += xxf függvény x0 = 2 abszcisszájú pontjá-hoz tartozó érintőjének egyenletét!

7. Adja meg az xxxf

4)( += függvény 53 +−= xy egyenessel pár-

huzamos érintőjének egyenletét!

8. Adja meg az 63)( += xexf függvény 23 += xy egyenessel párhu-

zamos érintőjének egyenletét!

� Megoldások

1. 74 +−= xy

2. y = 2x + 6 + 2ln2

3. y = -240x + 32

4. y = -x

5. y = -36x + 16 és y = 4x + 8

6. 3

7

3

1 += xy

7. 83 +−= xy és 83 −−= xy

8. 73 += xy

Page 114: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

115

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

Az előző fejezetekben egyváltozós függvényekkel foglalkoztunk. A mindennapi gyakorlatban azonban legtöbbször olyan esetekkel találko-zunk, amikor valamely mennyiséget több egymástól független tényező határoz meg. Például egy dolgozó munkabére függ az alapbér és a pót-lékok nagyságától:

Itt valójában két nem negatív valós számhoz (alapbér, pótlékok) egy nem negatív valós számot (munkabér) rendeltünk. Úgy is mondhatjuk, hogy a munkabér két változónak (alapbér, pótlékok) a függvénye, azaz egy két-változós függvény, ahol x az alapbért, y a pótlékokat jelenti.

A hozzárendelést többféleképpen is jelölhetjük:

�: � � � � � ��, � � � , vagy röviden

�: ��, � � � , � � � , de leggyakrabban az

jelölési módot alkalmazzuk. A közgazdaságtani gyakorlatban sokszor fordulnak elő két- vagy többváltozós függvények. Például egy termék önköltsége függ az anyagköltségtől, energia-költségtől, bértől stb. A termelési függvény értéke függ a tőke és a munka nagy-ságától. Ezért e többváltozós függvények vizsgálatának kiemelt jelentősége van.

Ebben a fejezetben az egyszerűség kedvéért kétváltozós függvényekkel foglalkozunk részletesen, azonban néhány megállapításunk, könnyen ál-talánosítható többváltozós függvényekre is.

9.1 KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK SZEMLÉLTETÉSE

����Mintapélda

Először vizsgáljuk a fenti egyszerűsített munkabér függvényt:

yxyxf +=),( .

Bármely (x, y)∈Df ponthoz egyértelműen hozzárendelődik egy függ-vényérték a fenti szabálynak megfelelően.

���, � � �

MUNKABÉR = ALAPBÉR + PÓTLÉKOK � � �

Page 115: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

Például: 30000 ,65000(f

Ezt a hozzárendelést úponthoz tartozik egy pontok, egy háromdimenziós koordináta Ha a függvény "elég jó tulajdonságú", akkor a függvény grafikonja egy felület. Jelen esetbenhozzárendelés egy félsíkot határoz meg, melyet az alábbi ábrán láthtunk:

A kétváltozós függvényeún. szintvonalas ábrázolás (x, y) sík azon görbéit nevezzük, ahol

( ) cyxf =, .

����Mintapélda

Határozzuk meg a xz=lait, illetve szemléltessüktával! A szintvonalak: 2xc +=Az (y, z) síkkal párhuzamos metszetek: állású parabolák.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20

x (alapbér)

116

95000)30000 =

Ezt a hozzárendelést úgy is tekinthetjük, hogy bármely ponthoz tartozik egy (x, y, f (x,y)) koordinátájú pont.

, egy háromdimenziós koordináta rendszerben ábrázolhatHa a függvény "elég jó tulajdonságú", akkor a függvény grafikonja

elen esetben az egy félsíkot határoz meg, melyet az alábbi ábrán láth

A kétváltozós függvények vizsgálatakor szokásos ábrázolásn. szintvonalas ábrázolás is (lásd: térképek). Szintvonalak

) sík azon görbéit nevezzük, ahol a függvényérték konstans

22 yx + egyenlettel megadott függvény szintvonszemléltessük a felületet különböző metszetei

2y+ egyenletű körök. ( Rc∈ )

) síkkal párhuzamos metszetek: 22 ycz += egyenlet

0

30

30 40 50 60 70 80 90

y (pótlékok)

x (alapbér)

f(x,y) = x+y sík

gy is tekinthetjük, hogy bármely (x, y)∈Df koordinátájú pont. Az így kapott

rendszerben ábrázolhatók. Ha a függvény "elég jó tulajdonságú", akkor a függvény grafikonja

egy félsíkot határoz meg, melyet az alábbi ábrán látha-

zokásos ábrázolási mód az Szintvonalaknak az

a függvényérték konstans

egyenlettel megadott függvény szintvona-metszeteinek a vizsgála-

egyenletű egyenes

y (pótlékok)

Page 116: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

Az (x, z) síkkal párhuzamos metszetek: állású parabolák.

A felület egy egyenes állású góban van, szimmetriatengekell a z-tengely körül megforgatni, hogy az grafikonját megkapjuk.

����Mintapélda Határozzuk meg a xz =lait, illetve szemléltessük a felületet különböztával! A szintvonalak: 2xc −=zamos metszetek: cz =(x, z) síkkal párhuzamos metszetek: parabolák.

100

120

0

10

20

30

40

50

-5 -

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY

117

) síkkal párhuzamos metszetek: 22 cxz += egyenlet

A felület egy egyenes állású forgási paraboloid, aminek a csúcsa az orgóban van, szimmetriatengelye a z-tengely. A 2xz = egyenlet

tengely körül megforgatni, hogy az 2),( xyxf =

22 yx − egyenlettel megadott függvény szintvonlait, illetve szemléltessük a felületet különböző metszeteinek a vizsgál

2y− egyenletű hiperbolák. Az (y, 22 yc − egyenletű fordított állású parabolák.

l párhuzamos metszetek: 22 cxz −= egyenletű

0

20

40

60

80

100

120

-10 -6 -2 2 6 10

-5

-2

1

4

4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Forgási paraboloid

ÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

egyenletű egyenes

, aminek a csúcsa az ori-egyenletű parabolát

22 y+ függvény

egyenlettel megadott függvény szintvona- metszeteinek a vizsgála-

z) síkkal párhu-

fordított állású parabolák. Az egyenletű egyenes állású

Page 117: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

Ezt a felületet nyeregfelüle

9.2 PARCIÁLIS DERIVÁLÁS

A függvény alaposabb vizsgálatához szükségünk lesz a parciális derivátak meghatározására. Egy n-változós függvény valamely változója szerinti parciális deriváltnak meghatározásakor szerint differenciálni akarunkjük a differenciálás során.A fentiekből következik, hogy a parciális deriváltak kiszámítására minazon differenciálási szabályok alkalmazhatók, amelyeket az egyváltozós függvények differenciálásával kapcsolatban megismertünk.

x szerinti elsőrendű parciális deriváltfüggvény jelölése:

y szerinti elsőrendű parciális deriváltfüggvény jelölése:

-25-20-15-10-5

0

5

10

15

20

25

-5 -4 -3

( )yxf x ,′ f

( )yxf y ,′ f

118

nyeregfelületnek nevezzük.

ARCIÁLIS DERIVÁLÁS

A függvény alaposabb vizsgálatához szükségünk lesz a parciális derivá

változós függvény valamely változója szerinti parciális derivált csak azt tekintjük változónak, am

szerint differenciálni akarunk; a többi változót pedig konstansként kezea differenciálás során.

ezik, hogy a parciális deriváltak kiszámítására minazon differenciálási szabályok alkalmazhatók, amelyeket az egyváltozós függvények differenciálásával kapcsolatban megismertünk.

parciális deriváltfüggvény jelölése:

parciális deriváltfüggvény jelölése:

-5

-2

1

4

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Nyeregfelület

xf ′ x

f

∂∂

yf ′ y

f

∂∂

A függvény alaposabb vizsgálatához szükségünk lesz a parciális derivál-

változós függvény valamely változója szerinti parciális deriváltjá-csak azt tekintjük változónak, amelyik változó

pedig konstansként kezel-

ezik, hogy a parciális deriváltak kiszámítására mind-azon differenciálási szabályok alkalmazhatók, amelyeket az egyváltozós függvények differenciálásával kapcsolatban megismertünk.

Page 118: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

119

Amennyiben a parciális deriváltfüggvényt deriváljuk valamely változója szerint, a másodrendű parciális deriválthoz jutunk. A másodrendű parciá-lis derivált függvényeknek az alábbi két csoportját különböztetjük meg:

Tiszta másodrendű parciális derivált függvények: ( )yxf xx ,′′ ( )yxf yy ,′′

Vegyes másodrendű parciális derivált függvények: ( )′′f x yxy , ( )′′f x yyx ,

�Mintapélda

Adja meg a következő kétváltozós függvény elsőrendű parciális deri-váltjait!

( ) ( ) yxeyxyxyxf 32245 4152ln, +−++−+=

Megoldás:

( ) ( )2810152

1, 324

45 −⋅++⋅−+

=′ +− yxx exyx

yxyxf

( ) 3420152

1, 3223

45 ⋅++⋅−+

=′ +− yxy exy

yxyxf

� Gyakorló feladatok

1. Számítsuk ki az ( ) ( )yeyxf x −= ln, függvény elsőrendű és má-

sodrendű parciális deriváltjait!

2. Adja meg a következő kétváltozós függvény elsőrendű parciális

deriváltjait! ( ) ( )536ln2, 62232 −+−−= + yxxyyxf yx

3. Számítsuk ki az ( ) ( )yexyxf += ln, függvény elsőrendű és másod-

rendű parciális deriváltjait!

( )yxfxy ,′′ = ( )yxf yx ,′′ mindazon pontokban, ahol a vegyes másod-rendű parciális deriváltak folytonosak.

Tehát

Tétel: Ha az ( )f x y, függvény vegyes másodrendű parciális deriváltjai,

vagyis az ( )′′f x yxy , és ( )′′f x yyx , függvények egy ( )P x y0 0 0, pontban folytonosak, akkor e pontban egyenlők is egymással.

Page 119: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

120

Számítsuk ki az alábbi függvények elsőrendű parciális deriváltjait!

4. ( ) xyyxyxf 32, 33 −+=

5. ( ) 2255 3, yxyxyxf −+=

6. ( ) 1934, 32 ++−= yxyxyxf

7. ( ) yxyxf =,

8. ( )22

,yx

xyyxf

+=

9. ( ) xy exyxf −⋅=,

10. ( )y

xxyyxf +=,

11. ( )2

,y

xyxf =

12. ( ) xyexyxf ⋅=,

9.3 KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY HELYI SZÉLSŐÉRTÉKÉNEK VIZS-

GÁLATA

Megjegyzés: Ha ( ) ( ) ( )′′ ′′ − ′′ =f x y f x y f x yxx yy xy0 0 0 02

0 0 0, , , , akkor a helyi szél-sőérték létezéséről semmi biztosat nem tudunk mondani. Ilyen esetben más eljárással dönthető el a kérdés.

Tétel: Ha a ( )P x y0 0 0, pontban az ( )f x y, függvény elsőrendű parciális deriváltjai nullával egyenlők, és a másodrendű parciális deriváltjai foly-tonosak, akkor

(1) ( ) ( ) ( )′′ ′′ − ′′ >f x y f x y f x yxx yy xy0 0 0 02

0 0 0, , ,

esetén ( )f x y, -nak a ( )P x y0 0 0, pontban helyi szélsőértéke van,

( )′′ <f x yxx 0 0 0, esetén helyi maximuma,

( )′′ >f x yxx 0 0 0, esetén helyi minimuma,

míg ha (1) negatív, akkor ( )f x y, -nak ( )P x y0 0 0, -ban nincs helyi szélső-értéke.

Page 120: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

121

����Mintapélda

Az alábbi kétváltozós függvénynek hol van szélsőértéke? Adja meg a szélsőérték jellegét (minimum vagy maximum)!

1286188),( 22 +−++−= yxyxyxyxf

1. lépés: Mivel a szélsőérték vizsgálatához szükségünk lesz az első-rendű és a másodrendű deriváltakra, ezért először szá-mítsuk mindezeket.

682),( +−=′ yxyxf x

28368),( −+−=′ yxyxf y

8),(2),( −=″=″ yxfyxf xyxx

8),(36),( −=″=″ yxfyxf yxyy

2. lépés: Lehetséges szélsőérték helyek meghatározása. Hol lehet a függvényünknek szélsőértéke? (A szélsőérték létezésének szükséges feltétele, hogy a függ-vény elsőrendű parciális deriváltjai nullával legyenek egyenlők.)

=′=′

0),(

0),(

yxf

yxf

y

x

1

1792

682

4:/28368

682

028368

0682

=

=⊕

=+−−=−

=+−−=−

=−+−=+−

x

yyx

yx

yx

yx

yx

yx

P(1;1) pontban lehet szélsőérték. /A P(1;1) stacionárius pont./

Egyenletrendszer megoldásával kapjuk meg a lehetséges szélsőérték helyeket.

Page 121: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

122

3. lépés: Szélsőérték létezésének eldöntése.

Valóban szélsőértéke van a függvénynek P(1,1) pontban?

A szélsőérték létezését a ),( 00 yxD előjele dönti el.

( ) ( ) ( )002

000000 ,,,),( yxfyxfyxfyxD xyyyxx ′′−′′′′=

� Ha 0),( 00 >yxD , akkor van szélsőértéke a vizsgált ),( 00 yxP pontban.

� Ha 0),( 00 <yxD , akkor nincs szélsőértéke a vizsgált pontban.

� (A 0),( 00 =yxD esetén további vizsgálatra lenne szük-ség, de ezzel az esettel nem fogunk foglalkozni.)

Most vizsgáljuk meg a ),( 00 yxD értékét a P(1,1) pontunk esetében:

( ) ( ) ( )1,11,11,1)1,1( 2xyyyxx fffD ′′−′′′′=

08)8(362)1,1( 2 >=−−⋅=D

ezért P(1,1)-ben van szélsőértéke a függvénynek. 4. lépés: Szélsőérték jellegének eldöntése.

Milyen jellegű szélsőérték van P(1;1) pontban?

A szélsőérték jellegét (minimum vagy maximum), az x sze-rinti másodrendű parciális derivált xxf ′′ előjele határozza meg a vizsgált pontban.

( )′′ <f x yxx 0 0 0, esetén helyi maximuma,

( )′′ >f x yxx 0 0 0, esetén helyi minimuma,

van a függvénynek ( )000 , yxP pontban.

Vizsgáljuk meg a szélsőérték jellegét a P(1,1) pontunk ese-tében:

⇒>=″ 02),( yxfxx minimuma van P(1;1)-ben.

Page 122: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

123

� Gyakorló feladatok

Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények helyi szélsőértékeinek helyét, jellegét (minimum vagy maximum), értékét!

13. ( ) ( ) 8243),( 22 −++−= yxyxf 14. ���, � � �� � 3� � � 3� 7 15. ���, � � 2�� 2� � 6� 10 16. ���, � � 8�� � 24� � 2 17. ���, � � 2�� � 6� 10� � 6 5

Állapítsuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e a megadott pontokban szélsőértéke! 18. ���, � � 2�� 2� � 3�

����1; 0� �� �� �� ; � �

�� ���2; 3�

19. ���, � � 2�� � 9�� 2� � 24 10

���0; 2� ���1; 1� ���3; 2�

20. ���, � � 2�" � " � �� � 2�

���0; 0� �� ��� ; 1 ���1; 2�

21. ���, � � 2� 4 � �� � � � 3

���1; 2� ���1; 1�

Page 123: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

124

� Megoldások

1.

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )22

2

2

22

1

11

111

11

1

ye

eyeeff

yeyef

ye

ye

ye

eeyeef

yeye

f

ye

ee

yef

x

xxx

yxxy

x

xyy

x

x

x

xxxx

xx

xxy

x

xx

xx

−=−⋅−⋅−⋅=′′=′′

−−=−⋅−⋅−⋅−=′′

−⋅−=

−⋅−−=′′

−−=−⋅−

=′

−=⋅

−=′

2. ( )536

1222ln2, 62

232

−+−−⋅=′ +

yx

xyyxf yx

x

( )536

18232ln2, 62

532

−+−−⋅=′ +

yx

yxyyxf yx

y

3. yx ex

f+

=′ 1 ( )2

1yxx

exf

+−=″ ( )2y

y

xyex

ef

+−=″

yyy e

exf ⋅

+=′ 1

( )2y

y

yyex

xef

+=″ ( )2y

y

yxex

ef

+−=″

4. ( ) yxyxfx 36, 2 −=′ ( ) xyyxf y 33, 2 −=′

5. ( ) 24 65, xyxyxf x −=′ ( ) yxyyxf y24 65, −=′

6. ( ) yxyxf x 38, −=′ ( ) 233, yxyxf y +−=′

Page 124: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

125

7. ( ) 1, −=′ yx yxyxf ( ) xxyxf y

y ln, ⋅=′

8. ( ) ( ) ( )( ) ( )222

23

222

22 2,

yx

yxy

yx

xxyyxyyxf x

+

−=+

−+=′

( ) ( ) ( )( ) ( )222

23

222

22 2,

yx

xyx

yx

yxyyxxyxf y

+

−=+

−+=′

9. ( ) )1(, 1 −⋅⋅+⋅=′ −−− xyxyx exeyxyxf

( ) xyy exxyxf −⋅=′ ln,

10. ( )y

yy

yyyxf x

1,

2+=+=′ ( )

2,

y

xxyxf y −=′

11. ( )24

2 1,

yy

yyxf x ==′ ( )

34

22,

y

x

y

xyyxf y

−=−=′

12. ( ) yexeyxf xyxyx ⋅⋅+⋅=′ 1,

( ) xyxyy exxexyxf ⋅=⋅⋅=′ 2,

13. 3026 =⇒=+−=′ x xfx

y yf y 20816 −=⇒=+=′

( ) pont stac.P 2,3−

2=′′xxf 8=′′yyf 0=′′xyf

D ⇒>= 016 ( )8;2;3 −−MIN

Page 125: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

126

14. Első- és másodrendű parciális deriváltak:

f ’x (x,y) =3x2-3 f ’y (x,y) =3y2-6y f ’’ xx (x,y) =6x f ’’yy (x,y) =6y-6 f ’’ xy (x,y) =0 f ’’yx (x,y) =0

Csak ott lehet szélsőérték, ahol az elsőrendű deriváltak 0-val egyenlők. Ezért a következő egyenletrendszert kell megoldani:

3x2-3=0

3y2-6y=0

Az egyenletrendszer megoldásai: P1( -1; 0 ) P2( -1; 2 ) P3( 1; 0 ) P4( 1; 2 )

A fenti pontok közül azokban van szélsőérték, amelyekre

D(x0 ; y0 )= f’’ xx(x0 ; y0 ) · f ’’yy(x0 ; y0 ) - f’’ 2xy (x0 ; y0 )> 0

teljesül.

A feladat megoldását folytatva a következőket látjuk:

D( -1; 0 ) = - 6·(-6)= 36 >0 ⇒ P1( -1; 0 )-ben van szélsőérték

D( -1; 2 ) = - 6 · 6 = -36<0 ⇒ P2( -1; 2 )-ben nincs szélsőérték

D( 1; 0 ) = 6·(-6) = -36<0 ⇒ P3( 1; 0 )-ben nincs szélsőérték

D( 1; 2) = 6 · 6 = 36 >0 ⇒ P4( 1; 2 )-ben van szélsőérték

Mivel P1(-1; 0 )-ben f ’’xx (x,y) = - 6 ⇒P1-ben maximum hely van.

Mivel P4( 1 ; 2 )-ben f’’xx (x,y) = 6 ⇒ P4-ben minimum hely van.

Maximum értéke: f ( -1 ; 0 ) = 9,

Minimum értéke: f ( 1 ; 2 ) = 1

15. Első deriváltak nullával egyenlők a következő pontokban:

P1( 0 ; 0 ) P2(1;1)

Lokális minimumhely: P2(1;1) minimumérték: f(1;1)=8

Page 126: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

127

16. Első deriváltak nullával egyenlők a következő pontokban:

P1( 0 ; 0 ) P2(2;4)

Lokális minimumhely: P2(2;4) minimumérték: f(1;1)= - 62

17. Első deriváltak nullával egyenlők a következő pontban:

P1( 2 ; -3)

P1-ben nincs szélsőérték.

18. Első- és másodrendű parciális deriváltak:

f ’x (x,y) = 4xy+2y f ’y (x,y) = 2x2+2x-6y f ’’ xx (x,y) = 4y f ’’yy (x,y) = - 6 f ’’ xy (x,y) = 4x+2 f ’’yx (x,y) = 4x+2

I. Vizsgáljuk meg, hogy hol lehet a függvénynek szélsőértéke! (Csak-is azokban a pontokban lehet a függvénynek szélsőértéke, ahol az elsőrendű parciális deriváltak nullák.) Tehát szépen sorba behelyettesítjük a megadott pontokat az első-rendű parciális deriváltakba, és vizsgáljuk, hogy nullát kapunk e.

Kezdjük a P1 pont vizsgálatával!

f ’x (-1;0) =4·(-1)·0+2·0=0

f ’y (-1,0)=2 · (-1)2 + 2 · (-1) – 6 · 0 = 0

Mindkét esetben nullát kaptunk, tehát P1-ben lehet szélsőérték. (Tovább kell majd vizsgálni ezt a pontot.)

Lássuk a P2 pontot!

f ’x�� �� ; � �

��� = 012

12

12

1

2

14 =

−⋅+

−⋅

−⋅

f ’y �� �� ; � �

���= 012

16

2

12

2

12

2

=

−⋅−

−⋅+

−⋅

Mindkét esetben nullát kaptunk, tehát P2-ben lehet szélsőérték. (Tovább kell majd vizsgálni ezt a pontot.)

Page 127: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

128

Vizsgáljuk meg a P3 pontot!

f ’x (2; 3) =4 ·2 ·3 + 2 ·3 ≠0

f ’y (2; 3) =2 · 22 + 2 · 2 - 6·3 ≠0

Elegendő lett volna P3-ban egyik helyettesítést meghatározni, mert ha már valamelyik elsőrendű parciális derivált nem egyenlő nul-lával a vizsgált helyen, akkor biztosan nincs szélsőérték abban a pontban. (P3-at nem kell tovább vizsgálni, mert itt biztosan nincs a függvénynek szélsőértéke.)

II. Ha f’x (x0 ; y0 ) = 0 , f ’y (x0 ; y0 ) = 0 és D(x0;; y0) > 0 teljesül a kérdéses pontokban, akkor mondhatjuk, hogy van szélsőérték a vizsgált helyen. Vizsgáljuk tehát meg a D(x0;; y0) előjelét a kérdé-ses P1 , P2 pontokban!

P1 esetében: D( -1; 0 ) = 0 · (-6) –( - 2)2 = -4<0

⇒ P1(-1; 0 )-ben nincs szélsőérték.

P2 esetében: D(12

1;

2

1 −− ) = 212

362

2

4)6(

12

42

==

+

−−−⋅

− > 0

⇒ P2

−−12

1;

2

1 -ben van szélsőérték.

III. Már csak azt kell eldöntenünk, hogy milyen jellegű szélsőértéke van a függvénynek a P2 pontban. Ehhez az x szerinti másodrendű deriváltat hívjuk segítségül:

Mivel f ’’ xx

−−12

1;

2

1 =12

4− < 0 ⇒ P2-ben maximum hely van.

Megjegyzés: A 13-17-es feladatokhoz képest tehát itt annyival volt egyszerűbb a dolgunk, hogy nem volt szükség a f ’x=0, f ’y=0 egyenlet-rendszer megoldására, mivel nem nekünk kellett a szélsőértéket meg-keresni; csak ellenőrizni kellett, hogy mely pontokra teljesülnek az f ’x = 0, illetve az f ’y = 0 egyenlőségek.

19. Csak a P3-ban van szélsőérték, mégpedig minimumhely.

20. P1-ben maximumhely, P2-ben minimumhely van.

21. Csak a P1-ben van szélsőérték, mégpedig maximumhely.

Page 128: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS

129

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Korábban megismertük, hogyan lehet adott intervallumon az f függvény deriváltját meghatározni. Ebben a fejezetben egy fordított irányú műve-lettel foglalkozunk: azt keressük, hogy egy adott függvény mely függ-vénynek / függvényeknek a deriváltja.

10.1 HATÁROZATLAN INTEGRÁL

Ha F a f függvénynek primitív függvénye, akkor bármely C valós szám esetén F+C is primitív függvénye f -nek. Egy függvény primitív függvényei csak konstansban különbözhetnek egymástól.

A határozatlan integrál jelölése:

10.1.1 NÉHÁNY ALAPINTEGRÁL

10.1.2 INTEGRÁLÁSI SZABÁLYOK:

Egy F függvényt a f függvény primitív függvényének nevezünk vala-mely (véges vagy végtelen) intervallumon, ha ennek az intervallumnak minden x0 pontjában )()( 00 xfxF =′ teljesül.

∫ += Cxdx 1 )1(1

1

−≠++

=+

∫ αα

αα C

xdxx

e dx e Cx x= +∫ a dxa

aCx

x

= +∫ ln

1

xdx x C= +∫ ln

Egy f függvény primitív függvényeinek halmazát, az f függvényhatározatlan integráljának hívjuk.

∫ dxxf )(

Ha az f és g függvénynek létezik primitív függvénye, akkor összegük-

nek is létezik: ( )∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()( .

Page 129: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

130

* Parciális integrálás módszere:

����Mintapélda

Adja meg a következő függvények primitív függvényeinek a halmazát (határozatlan integrálját)!

a) dxx

xx∫

−+4

3 2 12

b) dxxx

x∫ −−

−1193

27182

c) ( ) dxxx∫ +632 732

d) ∫ +⋅+ dxxe xx )22(105 2

Ha f -nek létezik primitív függvénye, akkor bármely ( )Rc∈ -re cf -nek is

létezik: ∫ ∫= dxxfcdxxcf )()( .

Ha f differenciálható függvény és nem 0, akkor ∫ +=′

Cxfdxxf

xf)(ln

)(

)(.

Ha f differenciálható függvény, akkor

{ }( )0)(1\1

)()()(

1

>−∈++

=′∫+

xfRCxf

dxxfxf esetlegαα

αα

Ha f differenciálható függvény, akkor Cedxxfe xfxf +=′∫)()( )( .

Ha f és g valamely intervallumon differenciálhatók és ′f g-nek létezik primitív függvénye, akkor fg′ -nek is létezik, és

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx∫ ∫′ = − ′ .

Page 130: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS

131

Megoldás:

a) Ebben a formában egyik integrálási szabály sem alkalmazható, ezért bontsuk fel a törtet tagonkénti leosztással. Hozzuk egysze-

rűbb alakra, majd az )1(1

1

−≠++

=+

∫ αα

αα C

xdxx alapintegrál

alapján integráljunk.

=−+=−+=−+∫∫∫ dx

xx

x

x

xdx

x

xxdx

x

xx

4

1

4

1

3

2

4

1

2

1

4

1

3

2

2

1

4

3 2 12

1212

=+−+=−+=−

∫ Cxxx

dxxxx

4

3

12

172

4

52

4

3

12

17

4

5

4

1

12

5

4

1

CxxxCxxx +−+=+−+= 4 312 174 54

3

12

17

4

5

3

4

17

24

5

4

3

4

17

24

5

4

b) dxxx

x∫ −−

−1193

27182

Alkalmazzuk az ∫ +=′

Cxfdxxf

xf)(ln

)(

)( szabályt!

96)(1193)( 2 −=′−−= xxfxxxf

Mivel a számlálóban a derivált helyett annak 3-szorosa áll, ezért kiemeljük a 3-at. (Konstans mindig kihozható az integrál elé.) Az így kapott függvényre már alkalmazható a fenti szabály:

∫ ∫ +−−=−−

−=−−

−Cxxdx

xx

xdx

xx

x1193ln3

1193

963

1193

2718 222

Page 131: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

132

c) ( )632 732)( += xxxf

Alkalmazzuk az Cxf

dxxfxf ++

=′∫+

1

)()()(

1

α

αα szabályt!

73)( 3 += xxf 29)(' xxf = (α = 6)

2x2 helyett 9x2 kellene nekünk, hogy a szabály alkalmazható legyen. A 2-est kiemeljük az integrál elé (mert nincs rá szükségünk).

∫ ∫ +=+ dxxxdxxx 632632 )73(2)73(2

9x2-et úgy tudjuk kialakítani, hogy az integrál jel mögött 9-cel, az integrál jel előtt 1/9-del bővítünk. (Tehát 9-cel osztottunk is szoroztunk is, így az értéken nem változtattunk.)

∫ ∫ +=+ dxxxdxxx 632632 )73(99

2)73(2

Most már alkalmazható a fenti integrálási szabály.

73)( 3 += xxf 29)(' xxf = α = 6

CxCx

dxxx ++=++=+∫73

73632 )73(

63

2

7

)73(

9

2)73(9

9

2

d) ∫ +⋅+ dxxe xx )22(105 2

Alkalmazzuk az Cedxxfe xfxf +=′∫)()( )( szabályt!

1010x(x)f 10x5xf(x) 2 +=′+=

Cedxxedxxe xxxxxx +⋅=+⋅=+⋅ +++∫∫

105105105 222

5

1)1010(

5

1)22(

Page 132: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS

133

� Gyakorló feladatok

Számítsa ki az alábbi integrálokat!

1. ( ) ( )∫ ++ dxxxx 2427 253

2. ∫+−

dxx

xx

3

421 4

3. dxxx

xx∫ −

−23

2

34

2

4. dxxx

xx∫ −

−52

4

23

159

Integrálja a következő függvényeket!

5. ( )3

6 2 38

x

xxxf

+−=

6. ( )775

501523

2

+−−=xx

xxxf

7. ( ) ( )92 196 += xxxf

8. ( ) ( )52 723 −= xxxf

9. ( ) ( )4 32 85 +⋅= xxxf

10. ( )5

73

2

+=

x

xxf

11. ( )7

54

3

+=

x

xxf

12. ( )( )3 22 15

7

+=

x

xxf

13. ( )( )33

2

5

4

+=

x

xxf

Page 133: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

134

10.2 HATÁROZOTT INTEGRÁL

Jelölés:

Definíció szerint: ( )∫ =a

a

dxxf 0: és ( ) ( )∫ ∫−=a

b

b

a

dxxfdxxf :

Tétel: Ha f függvény integrálható egy intervallumon, akkor ezen inter-vallum bármely részintervallumán is integrálható. Tétel: Ha f integrálható az [a,b]-on és a<c<b, akkor

( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dxa

b

a

c

c

b

= +∫ ∫ ∫ .

Tétel: Az [a,b]-on integrálható f függvény c konstans szorosa is integ-

rálható ezen az intervallumon, és ( ) ( )cf x dx c f x dxa

b

a

b

=∫ ∫ .

Tétel: Az [a,b]-on integrálható f és g függvények összege is integrálha-

tó ezen az intervallumon, és ( ) ( )( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dxa

b

a

b

a

b

+ = +∫ ∫ ∫ .

10.2.1 NEWTON-LEIBNIZ FORMULA

( )∫b

a

dxxf

Ha f folytonos az [a,b] intervallumon és F a f függvény egy primitív függvénye ezen az intervallumon, akkor

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ −==b

a

ba aFbFxFdxxf .

Page 134: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS

135

Határozott integrál geometriai jelentése:

Ha ( ) 0≥xf , akkor ( )∫b

a

dxxf értéke

annak a tartománynak a területe, ame-

lyet az ( )y f x= egyenletű görbe, az x tengely, az x = a és x = b egyenletű egyenesek határolnak.

Ha ( ) 0≤xf , akkor ( )∫b

a

dxxf értéke,

az ( )y f x= egyenletű görbe, az x tengely, az x = a és x = b egyenletű egyenesek által határolt tartomány területének a –1-szerese.

Tehát az ( )∫b

a

dxxf értéke az ( )xfy = egyenletű görbe, az x tengely, az

x = a és x = b egyenletű egyenes által határolt tartomány előjeles terüle-te. (Ha a tartomány az x tengely fölött van, akkor pozitív az értéke, ha alatta, akkor negatív.) Ne feledjük, a határozott integrál mindig egy valós szám.

����Mintapélda

a) A határozott integrál kiszámításánál mindig a Newton-Leibniz szabályt használjuk:

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ −==b

a

ba aFbFxFdxxf

Feladat: Számítsa ki az alábbi határozott integrál értékét, és értel-mezze a kapott eredményt!

dxxe x∫ ⋅+1

0

254 23

b a

a b

Page 135: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

136

Megoldás:

23 12x(x)f 54xf(x) =′+=

[ ] 78,1325)(6

1

6

112

6

12 59

1

054

1

0

2541

0

254 333

=−==⋅=⋅ +++∫∫ eeedxxedxxe xxx

b) Két függvény által közrezárt síkidom területének meghatározása-kor először megkeressük a függvények metszéspontjait. (f(x)=g(x)). Majd metszéspontot kapunk, metszésponttól metszéspontig kiszámít-juk a két függvény különbségének határozott integráljának az abszolútértékét.

)(xf és )(xg által közrezárt síkidom területe:

Feladat: Határozza meg az alábbi két függvény által közrezárt sík-idom területét! xxgxxxf −=−= )(2)( 2

Megoldás:

Metszéspontok meghatározása:

30

)3(0

30

2

)()(

21

2

2

==−=

−=

−=−

=

xx

xx

xx

xxx

xgxf

5,43)(23

0

23

0

2 ==+−=−−−= ∫∫ …xxxxxT

A két görbe által közrezárt síkidom területe 4,5 terület egység.

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−4

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

∫ −=2

1

)()(x

x

xgxfT ahol 1x és 2x a két görbe metszéspontja.

Page 136: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS

137

c) A függvény és az x tengely által közrezárt síkidom területének meghatározásához először megkeressük az x tengellyel vett metszés-pontokat, azaz a függvény zérushelyeit (x1, x2). Majd kiszámítjuk a függvény határozott integrálját x1-től x2-ig (ahol x1<x2). A kérdéses terület, az így kapott szám abszolútértéke.

(Ez az eset tekinthető az előző (b, típusú) feladat speciális esetének is, nevezetesen annak, amikor g(x)=0, az x-tengely.)

Feladat: Határozza meg az 15,05,0)( 2 −−= xxxf függvény és az x tengely által közrezárt síkidom területét!

Megoldás:

A fentiek értelmében először meghatá-rozzuk az x tengellyel vett metszéspon-tokat (zérushelyeket)

0)( =xf

21

015,05,0

21

2

=−==−−

xx

xx

Az 15,05,0)( 2 −−= xxxf függvény és az x tengely által közrezárt síkidom területe: 2,25.

d) A függvénygörbe és a tengelyek által közrezárt síkidom területé-

nek a meghatározásakor az x tengelyen a zérushelyek és az x = 0 ér-tékek által meghatározott intervallumokon kell a függvényt integrál-ni, és az így kapott értékek abszolútértékeinek az összege adja a ke-resett területet.

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

25,2)15,05,0(2

1

2 =−−= ∫−

dxxxT

∫=2

1

)(x

x

xfT , ahol x1 és x2 a függvény zérushelyei.

Page 137: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

138

−2 −1 1 2 3 4 5 6

−2−1

12345

x

y

Feladat: Határozza meg az 34)( 2 +−= xxxf függvény és a tenge-lyek által bezárt síkrész területét!

Megoldás:

x-tengely metszet (zérushely) meghatározása: 0)( =xf

31

034

21

2

===+−xx

xx

Külön kiszámítjuk a [0,1] inter-vallumon, és külön az [1,3] in-tervallumon a függvény és az x tengely által közrezárt síkrész területét, majd a kapott értéke-ket összegezzük.

66,233,133,1

32

43

32

43

34343

1

231

0

233

1

21

0

2

=−+==

=

+−+

+−=+−++−= ∫∫

xxx

xxx

xxxxT

A függvénygörbének a tengelyekkel közrezárt síkrész területe: 2,66 területegység.

� Gyakorló feladatok

Számítsa ki az alábbi határozott integrálok értékét! Mit ad geometriai-lag a kapott számérték?

14. dxxe x∫ ⋅+1

0

254 23

15. ( )∫

+

6

1 3 234

1dx

x

16. ∫ ⋅+1

0

52 36

dxxex

17. ( )

dxx

∫−

2

1 4 52

3

18. dxx

xxx∫

++2

1

3

3

236

Page 138: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS

139

19. Határozza meg mekkora területű síkidomot zár közre a következő függvény grafikonja az x tengellyel!

( ) 872 +−−= xxxf

20. Határozza meg mekkora területű síkidomot zár közre a következő két függvény grafikonja!

( ) 542 +−= xxxf ( ) 53 −= xxg

Számítsa ki az alábbi határozott integrálok értékét!

21. ∫ +−2

1

)2

3( dxx

xex

22. dxxe x 21

0

32 43

⋅∫+

23. ∫2

1

4

3

ln2dx

x

x

24. ∫ ++e

dxxx

xx

125

4

53

69

25. ∫+e

dxx

x

1

2)1ln3(

26. ∫ +

1

03

3

54dx

e

ex

x

27. dxx

xx

∫−− +1

0

31

15

53

28. ∫+

+2

12 186

2114dx

x

x

29. ∫−

+9

3

5)72( dxx

30. dxex xx

∫+⋅+

1

0

23 2

)39(

31. dxx

xx∫

+−2

1

2

4

531

Page 139: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

140

� Megoldások

1. ( ) ( ) =++=++ ∫∫ dxxxxdxxxx )121()7(22427 22

53253

( )C

xxC

xx ++

⋅=++⋅=7

)7(4

2

77

2732

73

2. ∫∫ =

+−=+−−

dxxx

xdx

x

xx

3

4

3

2

3

1

3

421 2

134

cxxx

++−=3

8

63

ln 4

3. Cxxdxxx

xxdx

xx

xx +−=−−=

−−

∫∫23

23

2

23

2

34ln61

34

61261

34

2

4. =−

−=−

−=−

−∫∫∫ dx

xx

xxdx

xx

xxdx

xx

xx52

4

52

4

52

4

23

106

2

3

23

533

23

159

Cxx +−= 52 23ln2

3

5. =

⋅+−⋅=+−

∫∫−−

dxxxdxx

xx 3

1

3

1

2

1

3

6 2

31838

=+⋅+−⋅=

⋅+−⋅∫

−C

xx

xdxxx

3

23

6

78

3183

2

6

7

3

1

6

1

Page 140: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS

141

Cx

xx

Cx

xx +⋅+−⋅=+⋅+−⋅=

2

9

7

48

2

9

7

48 3 26 73

2

6

7

6. Cxxdxxx

xx ++−⋅=+−

−∫ 775ln5

775

5015 2323

2

7. ( ) ( )C

xdxxx ++⋅=+∫

10

193196

10292

8.

( ) ( ) ( )

( ) ( )C

xC

x

Cx

dxxxdxxx

+−=+−=

=+−=−=− ∫∫

8

72

24

723

6

72

4

3724

4

3723

6262

625252

9.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) CxCx

Cx

dxxxdxxx

++=++=

=++=+=+⋅ ∫∫

4 724

72

4

72

4

324 32

814

20

4

78

2

5

4

78

2

582

2

585

10. Cxdxx

xdx

x

x ++=+

=+ ∫∫ 5ln

3

7

5

3

3

7

5

7 33

2

3

2

11. Cxdxx

xdx

x

x ++=+

=+ ∫∫ 7ln

4

5

7

4

4

5

7

5 44

3

4

3

Page 141: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

142

12.

( )( ) ( )

( ) ( ) CxCx

dxxxdxxxdxx

x

++=++=

=+=+=+

∫∫∫−−

3 23

12

3

223

22

3 22

152

21

3

115

2

7

1522

7157

15

7

13.

( )( ) ( )

( )C

xC

x

dxxxdxxxdxx

x

++

−=+−

+=

=+=+=+

−−∫∫∫

53

8

2

15

3

4

533

454

5

4

3

2

13

2

3322

332

33

2

14. =⋅=⋅=⋅ ∫∫∫+++ dxxedxxedxxe xxx

1

0

2541

0

2541

0

254 126

112

12

22

333

[ ] ( ) ( ) 78,13256

1

6

1

6

1 595045141

054 333

=−=−== +⋅+⋅+ eeeee x

Az 254 23

xe x + függvény, az x-tengely, az 0=x és az 1=x egyenletű egyenesek által határolt síkidom előjeles területe 1325,78 területegység.

15.

( )( ) ( ) =

+=+=+=+

∫∫∫−−

6

1

3

16

1

3

26

1

3

26

1 3 24

3

134

)34(44

134

34

1 xdxxdxxdx

x

[ ] ( ) te81,07274

334

4

3 336

13 =−⋅=+⋅= x

Page 142: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS

143

Ez azt jelenti, hogy a függvény görbéje, az x tengely, az x=1 egye-nes és az x=6 egyenes által közrezárt terület 0,81 területegység.

16. 34,6222

323

1

0

21

0

52

6

6

=−=

=⋅

++

∫eee

dxxex

x te

Ez azt jelenti, hogy a függvény, az x tengely, az x=0 egyenes és az x=1 egyenes által közrezárt terület 6,34 területegység.

17. ∫ ∫ ∫∫ =−=−=−

=−

−−2

1

2

1

2

1

4

5

4

52

14

54 5)2(13)2(3

)2(

3

)2(

3dxxdxxdx

x

dxx

=

−−=

−−=

−=−

− 2

14

2

1

4

1

2

1

4

1

2

112)2(12

4

1)2(

3x

xx

−−

−−=

44 21

1

22

112 nincs értelmezve!

Értelmezési tartomány: ] [∞= ;2fD

18. =

⋅++=++∫

2

1

2

1

32

1

3

2

13

2

3

2

3

236 xxxdx

x

xxx

22,63

4

3

22

1

3 =

++= x

xx

Page 143: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

ANALÍZIS

144

19. ( ) 18087 212 =−=⇒=+−−= x x xxxf

( )∫− −

=⇒=

+−−=+−−

1

8

1

8

232 te121,5T 5,1218

2

7

387 x

xxdxxx

20. 53542 −=+− xxx

5 2 0107 212 ==⇒=+− xxxx

( )∫ =⇒−=

+−=+−

5

2

5

2

232 5,410

2

7

3107 te 4,5T x

xxdxxx

21. =

+−=+−∫

2

1

22

1

||ln22

3)2

3( xx

edxx

xe xx

56,1)1ln22

3()2ln26( 2 =+−−+−= ee

22. 85,554 21

0

32 3

=⋅∫+ dxxe x

23. 02,03

ln22

1

4

=∫ dxx

x

24. 46,253

69

125

4

=++

∫e

dxxx

xx

25. 7)1ln3(

1

2

=+∫e

dxx

x

Page 144: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS

145

26. 16,054

1

03

3

=+∫ dx

e

ex

x

27. 17,015

531

0

31

=+∫

+−

dxx

xx

28. 64,6186

21142

12

=+

+∫ dx

x

x

29. 6,11160)72(9

3

5 =+∫−

dxx

30. 12,221)39(1

0

23 2

=⋅+∫+ dxex xx

31. 08,04

5312

1

2

=+−∫ dx

x

xx

Page 145: Kis Márta- Gazdasági Matematika I Analízis

IRODALOMJEGYZÉK

[1] CSERNYÁK L. (szerk.): Analízis. Matematika üzemgazdászoknak sorozat, Tankönyvkiadó, Budapest, 1998.

[2] BÁRCZY B.: Differenciálszámítás. Bolyai-könyvek sorozat, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1999.

[3] BÁRCZY B.: Integrálszámítás. Bolyai-könyvek sorozat, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1992.

[4] BALÁZSNÉ M. A.: Kvantitatív technikák I., Zsigmond Király Főisko-la, Budapest, 2002.

[5] BEKE M.: Bevezetés a differenciál és integrálszámításba. Gondolat, Budapest, 1965.

[6] BRUNNER ZS. - KIS M. - NAGYNÉ CS.B.: Analízis gyakorló. Dr. T.O.P Kft. Tatabánya 2002.

[7] BRUNNER ZS. - KIS M: Analízis oktatási segédletek levelező tagoza-tosoknak, Tatabánya, 2002.

[8] CZÉTÉNYI CS. – FELBER M. – REJTŐ K. – ZIMÁNYI K.: Feladat-gyűjtemény a gazdasági matematikához I. Szerk.: Albeker I., BGF KVIF, Budapest (2001-es javított kiadás).

[9] DENKINGER - GYURKÓ: Matematikai analízis: Feladatgyűjte-mény. Tankönyvkiadó, Budapest.

[10] DENKINGER – SCHARNITZKY – TAKÁCS - TAKÁCS: Matematikai zseblexikon. Akadámiai Kiadó, 1992.

[11] FEKETE GY. (szerk.): Matematika a felvételi vizsgára készülőknek. Tankönyvkiadó, Budapest, 1989.

[12] FEKETE Z. – ZALAY M.: Többváltozós függvények analízise. Bolyai-könyvek sorozat, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 2000.

[13] NAGYNÉ CS. B.: Matematika példatár, TRI-MESTER, Tatabánya 1998.

[14] SZABÓ I. – TÓTH A.: Analízis példatár. Kodolányi J. Főiskola, Szé-kesfehérvár, 2005.

[15] SYDSÆTER - HAMMOND: Matematika közgazdászoknak. Aula, 1998.