KINEMATIKA - mp.feri.um.si · Študijsko gradivo z zbranimi nalogami 2 Predgovor: Gradivo je namenjeno študentom elektrotehnike na Fakulteti za elektrotehniko, računalništvo in

KINEMATIKA

Študijsko gradivo z matematičnim uvodom in zbranimi nalogami s področja kinematike

Vladimir Grubelnik

Marjan Logar

Maribor, 2014

Študijsko gradivo z zbranimi nalogami

2

Predgovor:

Gradivo je namenjeno študentom elektrotehnike na Fakulteti za elektrotehniko,

računalništvo in informatiko Univerze v Mariboru kot dodatno gradivo pri študiju.

Gradivo obsega področje Kinematike, ki se obravnava pri predmetu Fizika I. Zbrani so

povzetki poglavij, kjer so predstavljene posamezne fizikalne zakonitosti. Poglaviten del

gradiva pa so zbrane naloge z nekaterimi rešitvami. Zbrane so z namenom pomagati

študentom pri utrjevanju znanja za pripravo na pisni del izpita. Na začetku gradiva je

dodan še matematični uvod kot ponovitev srednješolske matematike, ki bo študentu v

pomoč pri reševanju fizikalnih problemov.

Študijsko gradivo z zbranimi nalogami

3

Vsebina

1. Matematični uvod ........................................................................................ 4

1.1 Kotne funkcije ................................................................................................................. 4 1.1.1 Definicije kotnih funkcij ....................................................................................................... 4 1.1.2 Adicijski izreki ...................................................................................................................... 4 1.1.3 Kotne funkcije dvojnih kotov ............................................................................................... 5 1.1.4 Vrednosti kotnih funkcij izbranih kotov ............................................................................... 5

1.2 Vektorji ............................................................................................................................ 6 1.2.1 Zapis vektorja v prostoru ...................................................................................................... 6 1.2.2 Seštevanje in odštevanje vektorjev ....................................................................................... 7 1.2.3 Skalarni produkt dveh vektorjev ........................................................................................... 8 1.2.4 Vektorski produkt dveh vektorjev ........................................................................................ 8

1.3 Odvod ............................................................................................................................ 10 1.3.1 Diferencialni račun.............................................................................................................. 10 1.3.2 Tabela elementarnih odvodov ............................................................................................. 11 1.3.3 Tehnika odvajanja ............................................................................................................... 11 1.3.4 Geometrijski pomen odvoda ............................................................................................... 12

1.4 Integral ........................................................................................................................... 14 1.4.1 Nedoločeni integral ............................................................................................................. 14 1.4.2 Tabela nedoločenih integralov elementarnih funkcij .......................................................... 14 1.4.3 Določeni integral, geometrijski pomen integrala ................................................................ 15

1.4 Numerično reševanje diferencialnih enačb .................................................................... 16 1.4.1 Eulerjeva metoda ................................................................................................................ 16 1.4.2 Metoda Runge-Kutta ........................................................................................................... 17

2. Kinematika ................................................................................................. 18

2.1 Opis gibanja ................................................................................................................... 18 2.1.1 Točkasto telo - masna točka ................................................................................................ 18 2.1.2 Opazovalni sistem ............................................................................................................... 18 2.1.3 Tir gibanja ........................................................................................................................... 19

2.2 Hitrost in pospešek ........................................................................................................ 19

2.3 Premo gibanje ................................................................................................................ 20 2.3.1 Enakomerno gibanje ........................................................................................................... 20 2.3.2 Enakomerno pospešeno gibanje .......................................................................................... 21 2.3.3 Nihanje ................................................................................................................................ 21 NALOGE - Premo gibanje .......................................................................................................... 22

2.4 Gibanje v ravnini ........................................................................................................... 28 2.4.1 Poševni met ......................................................................................................................... 28 NALOGE - Poševni met .............................................................................................................. 30 2.4.2 Kroženje .............................................................................................................................. 33 NALOGE - Kroženje ................................................................................................................... 35

Viri: ...................................................................................................................................... 37

Matematični uvod - Študijsko gradivo z zbranimi nalogami

4

1. Matematični uvod

Uvodoma je zbranih nekaj matematičnih poglavij kot ponovitev srednješolske matematike.

Gre za matematična znanja, ki so potrebna pri obravnavi fizikalnih vsebin. Predstavljene so

kotne funkcije, operacije z vektorji, odvodi, integrali ter prikaz metod za numerično

reševanje diferencialnih enačb.

1.1 Kotne funkcije

1.1.1 Definicije kotnih funkcij

Za pravokotni trikotnik ABC s stranicami a, b in c, ki ima v oglišču A kot , v oglišču C

pa kot 900 (slika 1.1), velja, da je razmerje poljubnih dveh stranic določeno s kotom in je

neodvisno od velikosti trikotnika (razmerje dveh istoležnih stranic je enako za vse podobne

trikotnike).

Slika 1.1: a) Pravokotni trikotnik. b) Podobni pravokotni trikotniki.

Razmerja posameznih stranic so definirana z naslednjimi funkcijami:

c

asin ,

c

bcos ,

cos

sin

b

atg ,

tga

bctg

1 .

Ob upoštevanju, da je c2=a2+b2, dobimo zvezo

1cossin 22 .

1.1.2 Adicijski izreki

Adicijski izreki za kotne funkcije:

sincoscossin)sin( ,

sinsincoscos)cos( ,


5

tgtg

tgtgtg

1

)( ,

ctgctg

ctgctgctg

1)( .

1.1.3 Kotne funkcije dvojnih kotov

Ob upoštevanju adicijskih izrekov dobimo tudi izraze za kotne funkcije dvojnih kotov:

cossin22sin ,

22 sincos2cos ,

21

22

tg

tgtg

,

ctg

ctgctg

2

12

2 .

1.1.4 Vrednosti kotnih funkcij izbranih kotov

sin cos tg ctg

0° 0 1 0 ∞

30° 1/2 3/2 3/3 3

45° 2/2 2/2 1 1

60° 3/2 1/2 3 3/3

90° 1 0 ∞ 0

Velja še:

cos)90sin( , sin)90cos( ,

sin)180sin( , cos)180cos( ,

sin)180sin( 0 , cos)180cos( 0 .


6

1.2 Vektorji

1.2.1 Zapis vektorja v prostoru

Oglejmo si vektor a

v koordinatnem sistemu z osmi x, y in z. Zapišemo ga lahko s

komponentami kot:

),,( zyx aaaa

,

kjer je ax projekcija vektorja na x-os, ay projekcija vektorja na y-os in az projekcija vektorja

na z-os.

Dolžina vektorja a

je:

222

zyx aaaaa

.

Vektor a

lahko v prostoru zapišemo tudi z njegovo dolžino aa

ter kotoma in , kjer

je kot med x-osjo in projekcijo vektorja a

v ravnino xy (axy), pa je kot med z-osjo in

vektorjem a

. Vektor a

lahko torej zapišemo kot:

)cos,sin,cos(),,( aaaaaaa xyxyzyx

.

Če upoštevamo zvezo sinaaxy , dobimo za vektor a

:

)cos,sinsin,cos(sin aa

.

Slika 1.2: Projekcije vektorja v prostoru.


7

1.2.2 Seštevanje in odštevanje vektorjev

Vektorje v prostoru seštevamo oziroma odštevamo tako, da seštejemo oziroma odštejemo

posamezne komponente vektorja.

Za tri poljubne vektorje v x, y, z koordinatnem sistemu:

),,( zyx aaaa

,

),,( zyx bbbb

,

),,( zyx cccc

,

je vsota vektorjev cba

nov vektor ),,( zyx RRRR

, kjer je:

),,( zzzyyyxxx cbacbacbaR

.

Podobno velja tudi za odštevanje vektorjev, kjer posamezne komponente odštejemo.

Primer 1: Kot primer poglejmo tri vektorje v x, y koordinatnem sistemu:

),( yx aaa

, ),( yx bbb

in ),( yx ccc

(glej sliko).

Vsota vektorjev je cbaRRR yx

),( , kjer je:

),(),( yyyxxxyx cbacbaRRR

Slika 1.3: Prikaz seštevanja vektorjev.

Primer 2: Vektor F

leži v x, y koordinatnem sistemu. Velikost vektorja F

je F=5 (enot), z

x-osjo pa oklepa kot =300. Kolikšni sta posamezni komponenti vektorja v smeri x-osi in y-

osi?

)sin,cos(),( FFFFF yx

.


8

1.2.3 Skalarni produkt dveh vektorjev

Skalarni produkt vektorja a

z vektorjem b

zapišemo kot:

bac ,

kjer je c skalar, ki je enak produktu dolžine vektorja a

in projekcije vektorja b

na smer

vektorja a

. Skalarni produkt bac lahko torej zapišemo kot:

cosabbac

,

kjer je kot med vektorjema a

in b

, prenesenima tako, da imata skupno začetno točko.

Skalarni produkt vektorjev ),,( zyx aaaa

in ),,( zyx bbbb

zapišemo s koordinatami kot:

zzyyxx babababac

.

Slika 1.4: Skalarni produkt dveh vektorjev

Če pomnožimo vektor a

skalarno z vektorjem a

, je velikost produkta enaka kvadratu

dolžine vektorja a

, od koder dobimo velikost vektorja a

:

222

zyx aaaaaaa

.

1.2.4 Vektorski produkt dveh vektorjev

Vektorski produkt vektorjev a

in b

priredi vektorjema tretji vektor c

:

bac

,

ki je pravokoten na ravnino, določeno z vektorjema a

in b

.

Vektorji a

, b

in bac

oblikujejo v tem vrstnem redu pozitivni trirob po pravilu

desnega vijaka (glej sliko).


9

Dolžina vektorja bacc

je številsko enaka ploščini paralelograma, ki ga določata

vektorja a

in b

, ko imata skupno začetno točko. Velikost vektorskega produkta lahko

zapišemo kot:

sinabbacc

,

kjer je kot med vektorjema a

in b

.

V komponentah lahko vektorski produkt vektorjev

),,( zyx aaaa

in ),,( zyx bbbb

zapišemo kot:

xyyx

zxxz

yzzy

z

y

x

z

y

x

baba

baba

baba

b

b

b

a

a

a

a

.

Slika 1.5: Vektorski produkt dveh vektorjev


10

1.3 Odvod

1.3.1 Diferencialni račun

Za funkcijo xfy si poglejmo, za koliko se spremeni njena vrednost, če se

premaknemo iz točke 0x po x-osi za h.

Slika 1.6: Diferencialni račun.

Diferenčni količnik zapišemo kot:

h

xfhxf

xhx

xfhxf

x

y 00

00

00

Če ima diferenčni količnik v točki 0x limito, je funkcija xf v tej točki odvedljiva. Njen

odvod je y':

dx

dy

x

y

h

xfhxfxfy

xh

0

00

0limlim

xfy

0x hx 0 x

x

y hxf 0

0xf


11

1.3.2 Tabela elementarnih odvodov

f(x)

dx

xdf

bax 0a

baxn 1nanx

11 xx

2

2 11

xx

n

nx

x

1

1

1

n

n

x

nnx

2

1

xx xx

2

1

2

12

1

nn xx

1

n n

n

n

n

xnx

nx

n 1

11

1111

xea xx aeeea ln xa aax ln

xln x

1

xalog axa

e

xe

xa

ln

1

ln

ln1log

1

xsin xcos

xcos xsin

xtg x2cos

1

xctg x2sin

1

1.3.3 Tehnika odvajanja

Odvod poljubne elementarne funkcije:

Primer: xexf tg

dx

xd

xe

dx

xde

dx

xdf xx 2

tgtg

cos

1tg

xxe

dx

xdf x

2

1

cos

12

tg

xx

e

dx

xdf x

2

tg

cos2


12

Odvod produkta več funkcij:

xhxgxfy

dx

xdhxgxfxh

dx

xdgxfxhxg

dx

xdf

dx

dy

Odvod ulomka:

xg

xfy

xg

dx

xdgxfxg

dx

xdf

dx

dy2

1.3.4 Geometrijski pomen odvoda

Graf zvezne funkcije f(x) naj bo nepretrgana krivulja.

- Na krivulji izberimo točko T0(x0, y0), kjer je y0=f(x0).

- Povečajmo neodvisno spremenljivko x za h. Novi vrednosti argumenta x1=x0+h pripada

točka T1(x1, y1), kjer je y1=f(x0+h).

- Skozi točko T0 in T1 položimo sekanto, katere smerni koeficient je:

h

xfhxfks

00 .

Če teži h0, se točka T1 po krivulji približuje točki T0, sekanta pa se bliža končni legi, ki

ustreza tangenti na krivuljo f(x) v točki T0. Pri tem smerni koeficient sekante preide v

smerni koeficient tangente:

dx

xdf

h

xfhxfk

ht

)(00

0lim

.

Slika 1.7: Geometrijski pomen odvoda.

Vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0 je smerni koeficient tangente na graf funkcije f(x)

v točki T(x0, f(x0)), ki je dotikališče tangente.


13

Primer 1: Funkcija f(x) zavzema pri vrednosti x1 maksimalno vrednost (glej sliko 1.8). Tangenta

v točki T1(x1, f(x1)) je vodoravna premica s smernim koeficientom kt=0. V točki T1 je

torej:

0)(

dx

xdf.

Slika 1.8: Maksimum funkcije.

Primer 2: V kateri točki ima funkcija 342 xxy ekstremno vrednost?

Funkcija y ima ekstremno vrednost, ko je 0dx

dy.

042 xdx

dy 2x .

Za vrednosti 2x velja, da je 0dx

dy, kar pomeni, da vrednost funkcije z

naraščanjem spremenljivke x narašča.

Za vrednosti 2x pa je 0dx

dy, kar pomeni, da z manjšanjem spremenljivke x

vrednost funkcije y narašča.

Pri vrednosti x=2 je torej minimum funkcije 342 xxy .

Primer 3: Če vržemo kamen pod kotom z začetno hitrostjo v0, ta leti po paraboli:

2

22

0 cos2tg x

v

gxxy

.

Pri katerem x doseže kamen največjo višino?

Kamen doseže največjo višino pri maksimumu funkcije y(x).

Za maksimalno vrednost funkcije velja:

0)(

dx

xdy.

V tem primeru je torej:

0cos2

2tg

22

0

xv

g

dx

dy

g

vx

2

2sin2

0 .


14

1.4 Integral

1.4.1 Nedoločeni integral

Integral dane funkcije f(x) je taka funkcija F(x), katere odvod dx

xdF )( je enak dani funkciji

f(x).

)(xfdx

xFdxxfxF

Primer 1: Naj bo dana funkcija xxxf 32)( 2 . Poišči funkcijo dxxfxF .

dxxxxF 32 2,

.2

3

3

2 23 konstxxxF

Če dobljeno funkcijo F(x) odvajamo, dobimo:

xxxfdx

xdF32)(

)( 2 .

1.4.2 Tabela nedoločenih integralov elementarnih funkcij

Nedoločeni integrali

elementarnih funkcij primeri

1

1

n

xdxx

nn 3

32

3

33 t

tdtt

xdxx

ln1

tdtt

ln1

xxdx cossin

tdtt

cossin

xxdx sincos

tdtt

sincos

xx edxe

t

t edte

xdxx

tgcos

12

tdt

t

tg

cos

12


15

1.4.3 Določeni integral, geometrijski pomen integrala

V koordinatnem sistemu si poglejmo lik, ki je omejen z abscisno osjo, premicama x=a in

x=b in grafom zvezne funkcije y=f(x).

Slika 1.9: Geometrijski pomen določenega integrala.

- Razdelimo interval [a,b] z n+1 točkami na n podintervalov.

- Na vsakem podintervalu izberemo po eno točko ti.

- produkt f(ti)∙xi je ploščina na sliki označenega pravokotnika.

- Vsota vseh pravokotnikov i

n

i

i xtf 1

je približno enaka ploščini prej omenjenega lika in

se ji tem bolj približa, čim ožji so vsi pravokotniki. Natančna ploščina lika je torej vrednost

limite: i

n

i

i

xn

xtf

i

10

lim , ki jo imenujemo določeni integral.

Določeni integral zvezne funkcije f(x) na intervalu [a, b] je enak:

i

n

i

i

xn

b

a

xtfdxxf

i

10

lim

Določeni integral dxxf

b

a

pozitivne zvezne funkcije f(x) podaja ploščino lika med

krivuljo, abscisno osjo in pravokotnicama na os-x, ki gresta skozi začetno in končno točko

danega intervala [a, b].

Primer 1: Hitrost avtomobila se spreminja kot:

atvtv 0)( , kjer sta v0 in a konstanti.

Kolikšno pot s opravi avtomobil v časovnem intervalu [0, t1]?

Slika 1.10: Hitrost pri enakomerno pospešenem gibanju.


16

Pot, ki jo opravi avtomobil v časovnem intervalu [0, t1], je:

1

0

)(

t

dttvs .

1

0

0

t

dtatvs 2

2

110

attvs .

Vrednost s je enaka ploščini pod krivuljo atvtv 0)( na intervalu [0, t1].

1.4 Numerično reševanje diferencialnih enačb

Imamo sistem N linearnih diferencialnih enačb z N začetnimi pogoji:

1 2 3 N( , , ,... , )idxf x x x x t

dt ,

,0(0)i ix x , i=1,2,3…N.

1.4.1 Eulerjeva metoda

Pri Eulerjevi metodi rešitev aproksimiramo s tangento.

, 1 N, 1 2 3 N( , , ,... , ) tN i ix x f x x x x t ,

1 ti it t

Slika 1.11: Numerično reševanje diferencialnih enačb – Eulerjeva metoda.


17

Primer:

dhv

dt , (0) 0h

1 ti i ih h v

2dvg kv

dt , (0) 0v

2

1 ( ) ti i iv v g kv

t=0,1, g=10, k=1

i t v h

0 0,0 0,0 0,0

1 0,1 1,0 0,1

2 0,2 1,9 0,2

3 0,3 2,5 0,4

4 0,4 2,9 0,6

5 0,5 3,1 0,9

6 0,6 3,1 1,2

7 0,7 3,1 1,6

8 0,8 3,2 1,9

9 0,9 3,2 2,2

10 1,0 3,2 2,5

11 1,1 3,2 2,8

12 1,2 3,2 3,1

13 1,3 3,2 3,4

14 1,4 3,2 3,8

1.4.2 Metoda Runge-Kutta

Za numerično reševanje diferencialnih enačb običajno uporabljamo Runge-Kutta metodo

4. reda, kjer vrednost funkcije v naslednjem koraku (t) izračunamo s pomočjo vmesnih

korakov:

( , )dx

f x tdt

, 0(0)x x

1 ( , )i ik t f x t

2 1( k / 2, t/ 2)i ik t f x t

3 2( k / 2, t/ 2)i ik t f x t

4 3( , t)i ik t f x k t

1 1 2 3 4

12 2

6i ix x k k k k

Kinematika - Študijsko gradivo z zbranimi nalogami

18

2. Kinematika

2.1 Opis gibanja

2.1.1 Točkasto telo - masna točka

Proučevali bomo gibanje točkastega telesa. Telo lahko obravnavamo kot točkasto

- če je telo je majhno v primeri z opazovanimi premiki (ptič pri letu čez travnik),

- pri translaciji (vse točke telesa se gibljejo v enaki smeri in enako hitro).

2.1.2 Opazovalni sistem

Za opis gibanja telesa si izberimo točko, glede na katero podajemo lego telesa. V to točko

postavimo izhodišče koordinatnega sistema (opazovalni sistem), trenutno lego telesa pa

določa krajevni vektor ( ) ( ( ) ( ) ( ))r t x t , y t ,z t .

Če opazovalni sistem ni pospešen, govorimo o inercialnem opazovalnem sistemu, če pa je

opazovalni sistem pospešen, pa o neinercialnem opazovalnem sistemu.

Naj bo S inercialni sistem, sistem S' pa se giblje pospešeno glede na sistem S, tako da

ostajajo osi koordinatnih sistemov vzporedne.

Slika 2.1: S – inercialni sistem. S' – neinercialni (pospešen) sistem.

Izhodišče sistema S' je za 0r

izmaknjeno iz izhodišča sistema S. Točka T je za )(tr

izmaknjena iz izhodišča sistema S in za )(tr

iz izhodišča sistema S'. Med radijvektorjema

in odvodi veljajo naslednje zveze:

rrr

0 , vvv

0 , aaa

0 .


19

Sile na telo niso odvisne od izbire koordinatnega sistema. 2. Newtonov zakon v sistemu S

zapišemo kot Fam

, kjer je F

rezultanta vseh sil na telo. Zapis istega zakona v sistemu

S' je

sistFFamFaamam

00 )( ,

kjer je sistF

t.i. sistemska sila, ki jo moramo v pospešenem sistemu S' dodati k rezultanti

vseh sil F

pri zapisu 2. Newtonovega zakona in je enaka 0amFsist

.

Če je pospešek 00 a

, je sistem S' tudi nepospešen (inercialen) in zveze med

radijvektorjema ter odvodi predstavljajo Galilejeve transformacije: V takem primeru je

zapis 2. Newtonovega zakona enak v sistemu S in S'.

2.1.3 Tir gibanja

Telo, ki se giblje, spreminja lego v prostoru. Spreminjanje lege v prostoru opiše tir

gibanja:

( ) ( ( ) ( ) ( ))r t x t , y t ,z t .

Kadar je tir gibanja poljubna krivulja v prostoru, govorimo o krivem gibanju. Kadar pa se

telo giblje po premici, govorimo o premem gibanju. Pri premem gibanju običajno

koordinatni sistem postavimo tako, da se telo giblje vzdolž osi x. Spreminjanje lege v tem

primeru zapišemo kot x(t).

Slika 2.2: a) Krivo gibanje. b) Premo gibanje.

2.2 Hitrost in pospešek

Telo, ki se giblje, spreminja lego v prostoru:

( ) ( ( ) ( ) ( ))r t x t , y t ,z t .

Hitrost definiramo kot spremembo lege v časovni enoti:

0limt

r drv

t dt

, ( )x y zv v ,v ,v


20

in pospešek kot spremembo hitrosti v časovni enoti:

0limt

v dva

t dt

, ( )x y za a ,a ,a

Slika 2.3: a) Hitrost. b) Smer pospeška.

2.3 Premo gibanje

Koordinatni sistem postavimo tako, da se telo giblje vzdolž osi x.

( , , ) ( ,0,0)dr d x y z d x dxv

dt dt dt dt

( , , ) ( ,0,0)x y zd v v ydv d v dva

dt dt dt dt

2.3.1 Enakomerno gibanje

0dv

adt

0 0

v t

v

dv adt 0 0v v v=konst.

.dx

v konstdt

0 0

x t

x

dx vdt 0x x vt


21

Grafična predstavitev premo enakomernega gibanja:

Slika 2.4: Premo enakomerno gibanje. a) Hitrost v(t). b) Lega x(t).

2.3.2 Enakomerno pospešeno gibanje

.dv

a konstdt

0 0

v t

v

dv adt 0v v at

0v v at

0

dxv v at

dt 0

0 0

( )

x t

x

dx v at dt 2

0 02

atx x v t

Grafična predstavitev enakomerno pospešenega premega gibanja:

Slika 2.5: Enakomerno pospešeno gibanje. a) Pospešek a(t). b) Hitrost v(t).

2.3.3 Nihanje

Premo harmonično nihanje vzdolž osi x okoli točke x=0 opišemo s funkcijo:

)sin( 00 txx .

Tu pomeni x odmik od ravnovesne lege, x0 največji odmik ali amplitudo, ω0 krožno

frekvenco in δ fazni premik ali začetno fazo. Velja še ω0 = 2πν = 2π/T, kjer je ν frekvenca

nihanja in T nihajni čas. Za odvajanjem po času dobimo hitrost in pospešek:

)cos( 000 txdt

dxv ,

xtxdt

dva

2

000

2

0 )sin( .

000 xv in 0

2

00 xa sta največji vrednosti (amplitudi) hitrosti in pospeška.


22

NALOGE - Premo gibanje

1. Kraja A in B sta 250 km narazen. Iz kraja A odpelje avtomobil s hitrostjo 60 km/h, iz

kraja B pa istočasno avtomobil s hitrostjo 40 km/h. Kje in po kolikšnem času se

avtomobila srečata? Nalogo reši računsko in grafično.

2. Mopedist odpelje iz kraja A proti kraju B s hitrostjo 40 km/h. Pol ure kasneje odpelje za

njim avtomobilist s hitrostjo 70 km/h. Kdaj in kje ga dohiti? Nalogo reši računsko in

grafično prikaži potek reševanja.

Rešitev:

s = v1 t = v2 (t - to) t = v2 to/( v2 -v1) = 7/6 h = 1 h 10 min

s = v1 t = 47 km

3. Po ravni cesti se enakomerno gibljejo avtomobil, motorist in tekač. Avtomobil je

najhitrejši, tekač pa najpočasnejši. Graf prikazuje spreminjanje poti v odvisnosti od

časa. Iz grafa razberi:

a) S kakšnim časovnim zamikom so startali?

b) Kolikšne so njihove hitrosti?

c) Po kolikšnem času motorist prehiti tekača?

č) Kolikšna je razdalja med tekačem in avtomobilom 5 minut po tem, ko je tekač začel

teči?

4. Kolikšna je povprečna hitrost avtomobila?

a) Avtomobil prevozi polovico poti s hitrostjo v1=80 km/h, polovico poti pa s hitrostjo

v2=40 km/h.

Rešitev:

Povprečna hitrost je:

t

sv , (1)

kjer je s celotna pot, ki jo prevozi avtomobil in t celoten čas potreben za to pot.

Celotna pot je:

21 sss , kjer je 21 ss . (2)

Celoten čas je:


23

21 ttt , kjer je 1

11

v

st in

2

22

v

st . (3)

Če enačbi 2 in 3 vstavimo v enačbo 1, dobimo:

hkmvv

vvv /3,53

2

21

21

.

b) Avtomobil vozi polovico časa s hitrostjo v1=80 km/h, polovico časa pa s hitrostjo

v2=40 km/h. Kolikšna je njegova povprečna hitrost?

Rešitev:

Povprečna hitrost je:

t

sv , (1)

kjer je s celotna pot, ki jo prevozi avtomobil in t čas, ki je potreben za celotno pot.

Celotna pot je:

21 sss , kjer je 111 tvs in 222 tvs . (2)

Celoten čas je:

21 ttt , kjer je 21 tt . (3)

Če enačbi 2 in 3 vstavimo v enačbo 1, dobimo:

hkmvv

v /602

21

.

c) Zakaj smo v prvem primeru dobili manjšo povprečno hitrost kot v drugem primeru?

5. Avtomobil začne voziti enakomerno pospešeno s stalnim pospeškom 3 m/s2, dokler ne

doseže hitrosti 108 km/h. Nato 10 s vozi s stalno hitrostjo, nakar začne enakomerno

zavirati in se ustavi v 5 s.

a) Koliko časa je pospeševal avtomobil? (10 s)

b) Kolikšno pot je prevozil, ko je vozil s stalno hitrostjo? (300 m)

c) S kolikšnim pojemkom je zaviral avtomobil? (6 m/s2)

č) Kolikšno celotno pot je prevozil? (525 m)

6. Avtomobila se gibljeta drug proti drugemu. V trenutku, ko sta oddaljena s=100 m, ima

prvi avtomobil hitrost v1=15 m/s, drugi pa hitrost v2=20 m/s. Prvi avtomobil se giblje

enakomerno, drugi pa zavira s pojemkom a=2 m/s2.

a) Po kolikšnem času t avtomobila trčita?

b) S kolikšno relativno hitrostjo vr se avtomobila zaletita?

7. Motorist vozi 6 m za tovornjakom s hitrostjo 72 km/h. Tovornjak vozi z enako hitrostjo

kot motorist. Motorist se odloči prehiteti tovornjak in začne pospeševati s stalnim

pospeškom 2 m/s2.

a) Po kolikšnem času bo motorist prehitel tovornjak, če je dolžina tovornjaka 10 m? (4 s)

b) Kolikšna je hitrost motorista, ko prehiti tovornjak? (100.8 km/h)


24

8. Po ozki ravni cesti vozi avto s hitrostjo 100 km/h. Voznik opazi v razdalji 100 m pred

seboj tovornjak, ki vozi v isti smeri s stalno hitrostjo 40 km/h. S kolikšnim najmanjšim

pojemkom mora voznik zavirati, da vozili ne trčita?

Rešitev:

Spreminjanje lege avtomobila: s1(t) = v01 t – at2/2

Spreminjanje lege tovornjaka: s2(t) = s0 + v2 t

Ko avtomobil dohiti tovornjak, velja: s1 = s2 ; v01 t – at2/2 = s0 + v2 t

Upoštevajmo še:

v1(t) = v01 – at = v2

in dobimo

a = (v01 – v2)2/2 s0 = 1,4 m/s2

9. Študent stoji ob cesti v bližini avtobusne postaje. Mimo njega pripelje avtobus, ki zavira

s stalnim pojemkom a=1 m/s2, dokler se na postaji ne ustavi. V trenutku, ko avtobus

pelje mimo študenta, ima hitrost v=54 km/h. Najmanj kako dolgo mora avtobus stati na

postaji, da študent ujame avtobus, če je študent v trenutku, ko je avtobus zapeljal mimo

njega, stekel proti postaji s stalno hitrostjo v0=10 km/h? (25,5 s)

10. Tekač preteče s=100 m v t=10 s. Pri tem doseže ob stalnem pospešku po s1=20 m

največjo hitrost, s katero se giblje do cilja. Kolikšen bi bil čas, če bi tekač največjo

hitrost dosegel že po s2=18 m?

11. Telo, ki miruje v izhodišču, se prične gibati.

Pospešek se mu spreminja, kot kaže slika.

a) Nariši spreminjanje hitrosti telesa s časom.

b) Kolikšna je največja hitrost telesa? (2 m/s)

c) Kolikšno pot opravi telo po t=6 s? (7 m)

č) Kolikšna je povprečna hitrost telesa po t=6 s? (1,17 m/s)

12. Žogo vržemo navpično navzgor, ki pade nazaj na tla. Kateri graf

pravilno prikazuje spreminjanje hitrosti v odvisnosti od časa?


25

13. Z višine 50 m spustimo dve žogi z zamikom 0,5 s. Kako visoko se nahaja druga žoga,

ko prva pade na tla? (14,4 m)

14. Balon se dviga navpično s stalnim pospeškom 2 m/s2.

Po 5 s od začetka dviganja z njega pade predmet. Po

kolikšnem času pade predmet na tla?

Rešitev:

Hitrost in višina balona po 5s:

v1 = at1= 10m/s h1= at12/2 = 25m

Spreminjanje lege predmeta:

h = h1 + v1t - gt2/2 = 0

at12/2 + at1 t - gt2/2 = 0 t = 3,4 s

15. Balon na topli zrak se dviga s stalno hitrostjo v0. Ko je H1=50 m visoko, spustimo

kamen, ki pade na tla po t=4 s. Za koliko se je med tem dvignil balon? (28,5 m)

16. Graf prikazuje oddaljenost avtomobila v

odvisnosti od časa.

a) Opišite gibanje avtomobila na

posameznih odsekih: (miruje,

pospešuje, se giblje enakomerno)

b) Kolikšna je največja hitrost

avtomobila? (1,5 km/min)

c) Kolikšna je hitrost avtomobila v točki

G? (1 km/min)

17. Opiši gibanje avtomobila med posameznimi točkami (ah), ki ga prikazuje graf

spreminjanja hitrosti v odvisnosti od časa v=v(t).

a) V kateri točki doseže avtomobil največjo hitrost?

b) Na katerih odsekih vozi avtomobil s stalno hitrostjo?

c) V kateri točki ima avtomobil največji pospešek?


26

18. Opiši gibanje avtomobila med posameznimi točkami (ag), ki ga prikazuje graf

spreminjanja hitrosti v odvisnosti od časa v=v(t).

a) V kateri točki doseže avtomobil

največjo hitrost?

b) Med katerimi točkami vozi avtomobil

vzvratno?

c) V katerih točkah avtomobil miruje?

č) V kateri točki je največji pospešek

oziroma pojemek?

19. Opiši gibanje avtomobila med

posameznimi točkami (ag), ki ga

prikazuje graf oddaljenosti od začetne

lege v odvisnosti od časa x=x(t).

a) V kateri točki doseže avtomobil

največjo hitrost?

b) Med katerimi točkami vozi avtomobil

vzvratno?

c) V katerih točkah avtomobil miruje?

20. Hitrost avtomobila se spreminja s časom: btattv 2)( , kjer je:

a=1/2 m/s3 in b=2 m/s2.

a) S kolikšnim pospeškom je speljal avtomobil? (2 m/s2)

b) Kolikšno pot opravi avtomobil po t=5 s vožnje? (45,8 m)

21. Pospešek telesa, ki se giblje vzdolž x-osi, se spreminja s časom kot:

ts

m

s

mta

32 2

1

2

1)( . Kolikšno pot opravi telo po t=8 s, če se začne gibati iz izhodišča

z začetno hitrostjo v0=1m/s?

22. Hitrost točke se spreminja s časom kot:

0

0

0)(tt

et

tvtv

, kjer je t0=30 s in v0=5 m/s.

a) Kako se spreminja pospešek v odvisnosti od časa?

b) Kdaj doseže največjo hitrost?

23. Telo se giblje s hitrostjo v0= 4 m/s, ko začne zavirati s pojemkom a=−kv,

kjer je k=0,2 s-1.

a) Kdaj ima telo največji pojemek?

b) Kolikšno hitrost ima telo t= 5 s po tem, ko je začelo zavirati?

c) Kolikšno pot opravi telo v t= 5 s po tem, ko je začelo zavirati?

č) Kolikšno pot opravi telo med tem, ko mu je hitrost padla na polovico (v=v0/2)?


27

24. Telo z maso m=20 g niha harmonično s frekvenco 2 Hz in amplitudo s0=5 cm.

a) Kolikšna je največja hitrost telesa?

b) Kolikšna največja sila deluje na telo?

c) Kolikšen je nihajni čas nihala?

d) Koliko časa potrebuje telo, da pride od ravnovesne lege do odmika s=3 cm?

e) Kolikšna je hitrost telesa, ko je telo izmaknjeno iz ravnovesne lege za s=3 cm?

f) Kolikšna sta kinetična energija telesa in prožnostna energija vzmeti, ko je nihalo

izmaknjeno za 3 cm iz ravnovesne lege?

25. Telo niha harmonično. Ko gre skozi ravnovesno lego, ima hitrost 40 cm/s, največji

pospešek telesa pa meri 2 m/s2.

a) Kolikšna je krožna frekvenca in nihajni čas nihala? (ω=5 s-1, T=1,6 s)

b) Kolikšna sta hitrost in pospešek, ko je nihalo za polovico amplitude od ravnovesne

lege? (v=0,35 m/s, a=2,5 m/s2)

26. Graf prikazuje odmik nihala v odvisnosti od časa. Zapiši ustrezno harmonično

funkcijo s(t), določi ali izračunaj oznake v zapisu s(t), določi frekvenco nihanja in

hitrost, s katero gre nihalo skozi ravnovesno lego.


28

2.4 Gibanje v ravnini

Predpostavimo, da se telo giblje v ravnini (x, y).

Hitrost telesa v tem primeru zapišemo kot:

( , y,0),

dr d x dx dyv

dt dt dt dt

, x

dxv

dt , y

dyv

dt ,

pospešek pa kot:

y( , ,0),

x yxd v v dvdvdv

adt dt dt dt

, x

x

dva

dt ,

y

y

dva

dt

2.4.1 Poševni met

Telo se začne gibati poševno navzgor z začetno hitrostjo v0 pod kotom glede na

vodoravna tla.

Slika 2.5: Poševni met.

Če zanemarimo upor zraka, je gibanje v vodoravni smeri enakomerno.

V navpični smeri navzdol pa deluje težni pospešek g=9,81 m/s2.

Ob določenem času t je velikost hitrosti:

22

yx vvv , kjer je cos0vvx in gtvv sin0y .

Telo je tedaj v točki (x, y), kjer je cos0 tvx in 2

sin2

00

tgtvyy .

Če iz prve enačbe izrazimo čas in vstavimo v drugo enačbo, dobimo enačbo tira v

eksplicitni obliki:

2

22

0

0cos2

tg xv

gxyy

.


29

Domet

Čas leta t0 lahko izrazimo iz enačbe 2

sin2

00

tgtvyy za

00)( yty . Z njim dobimo

za domet cos00 tvD

Primer 1: Met na začetno višino

2sin0

2

000

tgtv

g

vt

sin2 00

g

vtvD

2sincos

2

000

Primer 2: Vodoravni met

2

002

ty g 0

0

2yt

g 0

0 0 0

2yD v t v

g


30

NALOGE - Poševni met

1. Deček izstreli s fračo tri

kamne. Za tri mete, katerih

tire kaže slika, primerjaj med

sabo:

a) začetno komponento hitrosti v navpični smeri,

b) začetno komponento hitrosti v vodoravni smeri,

c) navpično komponento hitrosti, ko pade kamen na tla,

d) čas leta.

2. Kamen vržemo v vodoravni smeri s hitrostjo 20 m/s s 50 m visokega stolpa.

a) Kolikšno hitrost ima po 1 s in v kateri smeri leti? (22,4 m/s; 26,60)

b) Čez koliko časa in v kateri smeri pade na tla? (3,2 s; 57,70)

Rešitev:

a) 22

0

222 )( gtvvvv yx v = 22,4m/s

2

1

0

v

gt

v

vtg

x

y = -26,6o

b) 2

2gth

g

ht

2 =3,2 s

0

2

v

gh

v

vtg

x

y = -57,7o

3. Z vlaka, ki se giblje premo s stalno hitrostjo vv= 72 km/h, vržemo kamen v vodoravni

smeri s hitrostjo vk= 10 m/s, pravokotno na smer gibanja vlaka. Kamen vržemo z višine

h=2 m od tal.

a) Kako daleč od tira pade kamen na tla? (6,3 m)

b) S kolikšno hitrostjo pade kamen na tla? (23 m/s)

Rešitev:

a) Ker se kamen od tira oddaljuje enakomerno s stalno hitrostjo, velja:

ptvx k , (1)

kjer je tp čas padanja kamna z višine h=2 m.

Zaradi enakomerno pospešenega gibanja s pospeškom a=g dobimo čas padanja:

g

ht p

2 . (2)

Če vstavimo enačbo 2 v enačbo 1, dobimo razdaljo od tira, kjer je kamen padel na tla:

mg

hvtvx kpk 3,6

2 . (3)


31

b) Posamezne hitrosti predstavljajo komponente vektorja hitrosti, s katero pade kamen na tla.

Komponente so hitrost v smeri gibanja vlaka (vv), hitrost v smeri meta (pravokotno na smer

gibanja vlaka) (vk), hitrost v navpični smeri (vz), ki je posledica enakomerno pospešenega

padanja (s pospeškom g) v navpični smeri. Ker kamen v navpični smeri prepotuje pot h, je

hitrost:

ghvz 2 . (4)

Ker so komponente med sabo pravokotne, velja:

smghvvvvvv kvzkv /23222222 . (5)

4. Istočasno vržemo z istega mesta dva kamna z začetno hitrostjo 20 m/s. Prvi kamen

vržemo pod kotom 300, drugega pa pod kotom 600 glede na vodoravnico.

a) Kako daleč narazen sta kamna po 1 s? (10,3 m)

b) Kako daleč narazen padeta kamna nazaj na vodoravna tla? (0 m)

5. Pod kolikšnim kotom moramo vreči kamen, da bo domet kamna največji? (450)

Rešitev:

g

vD

2sin2

0 . Domet je največji, ko je 12sin 045

6. Fant lahko vrže žogico največ 50 m daleč. Kako visoko lahko največ vrže fant žogico?

Predpostavi, da je v obeh primerih vrgel žogico z enako začetno hitrostjo. (25 m)

7. Pod kolikšnim kotom moramo vreči kamen, da bo domet kamna, ki pade nazaj na

vodoravna tla, enak najvišji višini leta? (760)

Rešitev:

g

vD

2sin2

0 ; g

vH

2

sin22

0 ; H=D 4tg

076

8. Na razdalji 60 m od topa stoji sovražno vozilo. V trenutku, ko top izstreli granato pod

kotom 600, začne vozilo pospeševati proti topu s stalnim pospeškom 4 m/s2. S kolikšno

hitrostjo moramo izstreliti granato? (20 m/s)

Rešitev:

s=s1+s2, pri čemer je:

g

vDs

2sin2

01 in

2

2

2

aTs . Čas leta granate je:

g

vT

sin2 0 .

smag

sgv /20

sin22sin 20

.


32

9. S pomola, z višine h=5 m nad vodo, vržemo kamen v vodo. Vržemo ga z začetno

hitrostjo v0=20 m/s pod kotom =400 poševno navzgor. Kako daleč od pomola pade

kamen v vodo? (45,3 m)

Rešitev:

2

sin2

0

gttvh

Čas padanja kamna:

g

hg

vv

t

2

4sinsin2

00 =2,96 s (rešitev kvadratne enačbe)

cos0tvD =45,3 m.

10. S topom, ki izstreli granato s hitrostjo

v0 = 100 m/s, streljamo preko hriba.

Granata, ki smo jo izstrelili pod kotom

=400 glede na vodoravna tla, doseže

najvišjo lego leta ravno nad vrhom

hriba.

a) Kolikšna je višina hriba h1? (210 m)

b) Kolikšna je hitrost granate v najvišji točki? (76,6 m/s)

c) Kako daleč od hriba (d1) je postavljen top? (502 m)

č) Kako daleč od hriba (d2) pade granata na vodoravna tla, ki so za h2=100 m nižje od

izstrelišča? (609 m)

11. Kamen spustimo z balona na višini H=50 m. S kolikšno hitrostjo pade kamen na tla, če

a) se balon dviga s hitrostjo vB=5 m/s, (31,7 m/s)

b) se balon spušča s hitrostjo vB=5 m/s, (31,7 m/s)

c) se balon giblje v vodoravni smeri s hitrostjo vB=5 m/s, (31,7 m/s)

d) balon miruje? (31,3 m/s)

12. Reševalni helikopter leti s hitrostjo 72 km/h v višini 100 m nad gladino proti

brodolomcu. Pilot želi odvreči reševalno kapsulo čim bliže brodolomca. Kakšen kot z

navpičnico mora oklepati smer, v kateri vidi pilot brodolomca, ko bo sprostil reševalno

kapsulo? V kakšni smeri prileti kapsula na gladino in s kolikšno hitrostjo? (1=42o,

2=24,3o, v=175 km/h)


33

2.4.2 Kroženje

Kroženje je gibanje po krožnici. V koordinatno

izhodišče postavimo središče kroga s polmerom r. Lego

točke določa radijvektor r

, ki s pozitivno x-osjo oklepa

kot φ:

)sin,cos( rrr

Kot φ se lahko poljubno spreminja = (t). Njegovo

spreminjanje s časom imenujemo kotna hitrost:

dt

d .

Odvod radijvektorja r

po času dá vektor hitrosti:

)cos,sin()cos,sin(

rdt

dr

dt

dr

dt

rdv

,

ki kaže v smeri tangente na krog oziroma pravokotno na radijvektor r

. Imenujemo jo

obodna hitrost, njena velikost je v = r.

Vektorju hitrosti se ves čas spreminja smer, lahko pa tudi velikost.

Spreminjanje velikosti hitrosti podaje tangentni pospešek at:

rdt

dr

dt

dvat , kjer je kotni pospešek.

Spreminjanje smeri hitrosti pa podaje radialni (ali centripetalni) pospešek ar, ki kaže

proti središču kroženja:

r

vrv

dt

dv

dt

dva r

r

22

,

kjer je dvr sprememba komponente hitrosti v smeri radija.

Celoten pospešek je vektorska vsota tangentnega in radialnega pospeška

),( rt aaa

,

velikost pospeška pa 4222

raaaaa rt

.

Enakomerno kroženje je kroženje s stalno kotno hitrostjo (kotni pospešek je ves čas enak

0), enakomerno pospešeno kroženje pa je kroženje s stalnim kotnim pospeškom:


34

Primerjava enačb za premo gibanje in kroženje:

-enakomerno premo gibanje -enakomerno kroženje

a = 0 = 0

v = konst. = konst.

x = x0 + vt = 0 + t

-enakomerno premo gibanje -enakomerno pospešeno kroženje

a = konst. = konst.

v = vo + at = o + t

x = x0 + vot + at2/2 = 0 + ot + t2/2

v2 = vo2 + 2ax 2 = o

2 + 2


35

NALOGE - Kroženje

1. Neko telo se zavrti 1500 krat v eni minuti. Pri zaviranju se zaustavi v 30 s. Zaviranje je

enakomerno pojemajoče.

a) Kolikšen je kotni pojemek? (5,2 s-2)

b) Kolikokrat se zavrti v tem času? (375)

Rešitev:

a) tt

20 =5,2 s-2

b) 22

0

2 tt2

2

22

0

2

0

=2356 rad

2N =375

2. Graf kaže spreminjanje kotne hitrosti vrtiljaka v odvisnosti od časa. Deček na vrtiljaku

sedi r = 4 m od osi vrtenja.

a) S kolikšnim kotnim pospeškom se vrti vrtiljak med 4 s in 10 s? (0,33 s-2)

b) Kolikokrat se zavrti vrtiljak med 14 s in 26 s? (5,7)

c) S kolikšno hitrostjo se giblje deček na vrtiljaku med 14 s in 26 s? (12 m/s)

d) Kolikšen je celotni pospešek, ki deluje na dečka v točki G? (4,1 m/s2)

3. Vztrajnik, ki ga nehamo poganjati, se ustavi po 35 s in opravi pri tem še 800 obratov.

a) Kolikšna je bila njegova frekvenca, ko smo ga nehali poganjati? (45,7 s-1)

b) Kolikšen je tangentni pospešek točke, ki je 8 cm oddaljena od osi? (-0,66 ms-2)

4. Elektromotor doseže maksimalno frekvenco t1=8 s po vklopu. Nato se vrti s to

frekvenco t2=20 s, ko ga izklopimo. Od vklopa do izklopa je opravil N1+N2=340

vrtljajev, po izklopu pa še nadaljnjih N3=825 obratov. Koliko časa je trajalo ustavljanje?

(116,5 s)

Rešitev:

2010

212

tt

21

21

21

210

2/

)(2

2/ tt

NN

tt

= 89 s-1


36

0

3

0

33

)2(22

Nt =116,5 s

5. Telo, ki je v začetku mirovalo, začne krožiti s stalnim kotnim pospeškom 2 s-2 v razdalji

0,5 m od osi. Kolikšna sta radialni in celotni pospešek v trenutku, ko je telo napravilo

pol obrata? Kolikšen kot oklepata tedaj radialni in celotni pospešek?

6. Telo miruje na robu plošče s polmerom r=20 cm. Plošča se začne vrteti enakomerno

pospešeno in v prvih t1=6 s opravi N=70 vrtljajev.

a) S kolikšno hitrostjo odleti telo s plošče, če zdrsne z nje t2=10 s po začetku vrtenja?

(4,9m/s)

b) Kako daleč od plošče pade telo na tla, če je plošča h=0,5 m nad tlemi? (1,6m)

7. Francoski hitri vlak vozi s povprečno hitrostjo 216 km/h. Če pelje vlak s tolikšno

hitrostjo skozi ovinek, radialni pospešek ne sme preseči 0,05 g.

a) Kolikšen še sme biti najmanjši krivinski radij ovinka? (7,3 km)

b) S kolikšno hitrostjo sme vlak peljati skozi ovinek s krivinskim radijem 1 km, da

radialni pospešek ne bo večji od predpisanega? (80 km/h)

Kinematika - Viri

37

Viri:

Naloge so izbrane in prirejene iz številnih virov. V njih lahko študentje najdejo še mnogo

drugih primerov.

V. Kumperščak: Izpitne naloge iz fizike z rešitvami, VTŠ, Maribor 1976.

R. Kladnik, H. Šolinc: Zbirka fizikalnih nalog z rešitvami 1, DZS, Ljubljana 1988.

L. Črepinšek: Zbirka fizikalnih problemov. 1. del. - Maribor: Tehniška fakulteta, 1986.

L. Črepinšek: Zbirka fizikalnih problemov. 2. del. - Maribor: Tehniška fakulteta, 1992.

J. Padežnik Gomilšek, L. Črepinšek: Naloge iz tehniške fizike, zbirka nalog, Univerza v

Mariboru, Fakulteta za strojništvo 2001.

A. Stanovnik: Fizika I, Zapiski predavanj, Ljubljana, Fakulteta za elektrotehniko, 2009.

D. Halliday, R. Resnick, J. Walker: Fundamentals of Physics, John Wiley and Sons, New

York, 1997.

A. Giambattista, B. McCarthy Richardson, R. C. Richardson, College Physics, McGraw-

Hill, New York, 2007.

Documents

KINEMATIKA - mp.feri.um.si · Študijsko gradivo z zbranimi nalogami 2 Predgovor: Gradivo je namenjeno študentom elektrotehnike na Fakulteti za elektrotehniko, računalništvo in