12
JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PERAK KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN 2016 NEGERI PERAK

KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN NEGERI PERAK

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN NEGERI PERAK

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PERAK

KERJA PROJEK

MATEMATIK TAMBAHAN

2016

NEGERI PERAK

Page 2: KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN NEGERI PERAK

Kerja Projek Matematik Tambahan NEGERI PERAK 2016

1

Tugasan 1: Menulis sejarah melukis poster

Nombor eksponen mempunyai kuasa

Begitu menakjubkan pula logaritma

Tersergam indah seperti dua menara

Mendendang bersama pesona irama

BAHAGIAN 1 : Menulis sejarah ringkas

1. John Napier lazimnya dikaitkan dengan logaritma.

Tulis satu sejarah ringkas berkenaan dengan John Napier dan sumbangan beliau

dalam memperkembangkan konsep dan aplikasi logaritma.

BAHAGIAN 2 : Melukis poster

1. Takrifkan dengan jelas indeks dan logaritma.

Ilustrasi jawapan anda dengan contoh.

2. Huraikan secara ringkas satu aplikasi dalam kehidupan sebenar yang melibatkan

(a) fungsi eksponen,

(b) fungsi logaritma.

Seterusnya, lukis satu poster yang menunjukkan dua aplikasi fungsi eksponen dan

fungsi logaritma tersebut.

Tunjukkan dengan jelas kedua-dua fungsi tersebut dalam poster anda.

Page 3: KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN NEGERI PERAK

Kerja Projek Matematik Tambahan NEGERI PERAK 2016

2

Tugasan 2: Perspektif graf

Graf menonjolkan kecantikan suatu fungsi. Ciri-ciri suatu fungsi dapat diperoleh dengan

mudah dari suatu graf yang dilukis dengan betul.

BAHAGIAN 1 : Graf fungsi eksponen

(a) Pada paksi yang sama, lukis graf bagi

(i) y = 2 x,

(ii) y = ( ½ ) x.

(b) Berdasarkan graf yang anda telah lukis,

(i) nyatakan bagaimana dua graf itu dapat dihubungkaitkan,

(ii) nyatakan tiga ciri bagi fungsi a x, a > 0.

BAHAGIAN 2 : Graf fungsi logaritma

(a) Pada paksi yang sama, lukis graf bagi

(i) y = x2log ,

(ii) y = x

2

1log .

(b) Berdasarkan graf yang anda telah lukis,

(i) nyatakan bagaimana dua graf itu dapat dihubungkaitkan,

(ii) nyatakan tiga ciri bagi fungsi y = xalog , a > 0.

Page 4: KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN NEGERI PERAK

Kerja Projek Matematik Tambahan NEGERI PERAK 2016

3

Tugasan 3: Logaritma menyeronokkan!

BAHAGIAN 1 : Membina pembaris ajaib berdasarkan logaritma

1. Lengkapkan Jadual 1 dengan menulis nilai bagi log10 N betul kepada 3 tempat

perpuluhan.

N Log10 N N Log10 N

1 6

1.5 6.5

2 7

2.5 7.5

3 8

3.5 8.5

4 9

4.5 9.5

5 10

5.5

Jadual 1

2. Dari sekeping kertas graf berukuran 20 cm 24 cm, potong 12 jalur kertas graf setiap

satu berukuran 20 cm 2cm.

Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.1 unit, tandakan nilai log10 N pada jalur

pertama dengan menulis nilai N yang sepadan sahaja. Label jalur ini sebagai Pembaris

A [ Rujuk rajah di bawah ]

Pembaris A

Dengan cara yang sama, bina pembaris B. [ Rujuk rajah di bawah ]

Pembaris B

Bina 5 set lagi pembaris A dan pembaris B.

BAHAGIAN 2 : Marilah berseronok dengan logaritma

Dengan menampal pembaris ajaib yang anda telah bina, tunjukkan dan terangkan bagaimana anda

boleh mencari nilai-nilai yang berikut.

(a) 2 3 (b) 1.5 4 (c) 3.5 2

(d) 9 ÷ 2 (e) 10 ÷ 4 (f ) 7.5 ÷ 3

Kaitkan penerangan anda dengan hukum-hukum logaritma yang berkenaan.

2 1.5 1

2 1.5 1

Page 5: KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN NEGERI PERAK

Kerja Projek Matematik Tambahan NEGERI PERAK 2016

4

Tugasan 4: Mari mengenali nombor e

Banyak aplikasi fungsi eksponen dalam kehidupan sebenar melibatkan nombor e sebagai

asas. Nombor e dinamakan sempena ahli matematik Swiss yang hebat, iaitu Leonhard Euler.

Dalam tugasan ini, anda akan menentukan nilai e yang menakjubkan itu dengan dua kaedah.

KAEDAH 1 : Menggunakan takrif

Nombor e ditakrifkan seperti berikut: n

n ne had )

11(

Dengan memilih 10 nilai n yang sesuai dari 1 hingga 1 000 000, tentukan nilai e betul kepada

3 tempat perpuluhan. Bentangkan jawapan anda dengan jelas dan kemas dalam bentuk jadual.

Anda digalakkan menggunakan ICT.

KAEDAH 2 : Menggunakan satu siri

Nombor e boleh ditulis dalam bentuk siri seperti berikut:

e = 1 + ..............)4)(3)(2(1

1

)3)(2(1

1

)2(1

1

1

1

Dengan menjumlahkan bilangan sebutan yang mencukupi, tentukan nilai e betul kepada 3

tempat perpuluhan. Bentangkan jawapan anda dengan sistematik.

Page 6: KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN NEGERI PERAK

Kerja Projek Matematik Tambahan NEGERI PERAK 2016

5

Tugasan 5: Cabaran eksponen

Cabaran 1 : Kesan rumah hijau

Pembebasan gas seperti karbon dioksida, metana dan klorofluorokarbon (CFCs) mempunyai

potensi untuk mengubah iklim bumi di samping merosakkan lapisan ozon. Kepekatan CFCs,

dalam bahagian per bilion (ppb), boleh dimodelkan dengan fungsi eksponen kepada asas e

f(x) = 0.5e 0.06x

di mana x = 0 mewakili tahun 2000, x = 1 mewakili tahun 2001, x = 2 mewakili tahun 2002

dan sebagainya.

(a) Gunakan fungsi eksponen ini untuk menganggar kepekatan CFCs pada tahun 2015.

(b) Anggarkan peratus peningkatan CFCs daripada tahun 2015 kepada tahun 2020.

Cabaran 2 : Menganggar populasi dunia

Populasi dunia lazimnya dimodelkan dengan suatu fungsi eksponen. Andaikan populasi

dunia, P bilion orang, diberi oleh

P = 6.8 ( 1.012) T

di mana T ialah bilangan tahun selepas tahun 2000.

Berdasarkan formula ini, anggarkan

(a) populasi dunia pada tahun 2000,

(b) populasi dunia pada tahun 2020,

(c) pada tahun berapakah populasi dunia akan dua kali ganda populasi dunia pada tahun

2000.

Page 7: KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN NEGERI PERAK

Kerja Projek Matematik Tambahan NEGERI PERAK 2016

6

Tugasan 6: Cabaran logaritma

Cabaran 1 : Bencana alam – gempar bumi

Pada awal tahun, suatu gempar bumi yang berlaku di Bandar X telah mencatat magnitud 7.5

pada skala Richter.

(a) Pada pertengahan tahun, satu lagi gempar bumi dengan kekuatan 5 kali ganda telah

berlaku.

Hitung mangnitud bagi gempar bumi ini.

(b) Pada hujung tahun, satu lagi gempar bumi mencatat magnitud 6.8 pada skala Richter.

Bandingkan kekuatan gempa bumi yang berlaku pada awal tahun dengan kekuatan

gempar bumi ini.

Cabaran 2 : pH cecair

Suatu fungsi logaritma yang digunakan untuk menyukat keasidan cecair ialah nilai pH bagi

cecair tersebut. Rumus bagi pH adalah seperti berikut:

(a) Jadual 2 menunjukkan kepekatan ion hidrogen bagi 4 jenis cecair.

Jadual 2

Klasifikasikan cecair itu kepada asid dan alkali. Beri justifikasi.

(b) Satu gelas Coca Cola dan satu gelas jus oren masing-masing mempunyai pH 2.5 dan

3.5.

Apakah beza, dalam mol cm – 3, kepekatan ion hidrogen dalam kedua-dua minuman

tersebut?

Cecair Kepekatan ion hidrogen ( mol cm – 3 )

P 7.95 10 – 9

Q 3.16 10 – 6

R 5.01 10 – 8

S 3.98 10 – 3

MS

I10log

M = magnitud gempa bumi,

I = kekuatan gempar bumi

S = kekuatan suatu gempar bumi piawai

pH = – 10log [ H + ]

[ H + ] = kepekatan ion hidrogen dalam mol cm – 3

Fungsi logaritma yang digunakan untuk menyukat

magnitud gempar bumi dikenali sebagai skala

Richter. Skala itu ditakrifkan seperti berikut:

Page 8: KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN NEGERI PERAK

Kerja Projek Matematik Tambahan NEGERI PERAK 2016

7

Tugasan 7: Bakteria melawan Antibiotik

Jadual 3

(a) Plot log10 N melawan t .

Oleh yang demikian,

(b) cari

(i) populasi awal bakteria,

(ii) julat nilai t apabila populasi bakteria adalah kurang daripada 80,

(iii) peratusan pengurangan dalam populasi bakteria daripada t = 4.5 hingga

t = 16.5,

(c) ungkapkan N dalam sebutan t.

Masa t ( j) Populasi N

3 1 372

6 941

9 646

12 443

15 304

18 208

21 143

24 98

27 67

30 46

Antibiotik lazimnya diambil untuk membunuh

bakteria. Seorang pesakit mengambil satu dos suatu

antibiotik setiap 3 jam. Jadual 3 menunjukkan populasi

bakteria, N, untuk selang 3 jam selepas pesakit itu

diubati dengan antibiotik tersebut.

Page 9: KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN NEGERI PERAK

Kerja Projek Matematik Tambahan NEGERI PERAK 2016

8

Tugasan 8: Cabaran SPM – Saya sudah bersedia!

1. Diberi bahawa 8x = h dan 2y = k.

(a) Jika y = x – 1 , tentukan hubungan di antara h dan k.

(b) Ungkapkan 2k

h8log 4 dalam sebutan x dan y.

2. (a) Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi

(i) 5.0log 4 , (ii) 27log 9 .

(b) Cari nilai tepat bagi

(i) 7log 5 + 7log 49 – 7log 35,

(ii) 3log 5 9

1log 25 .

3. Diberi bahawa xk 3log dan yk 4log .

Ungkapkan dalam sebutan x dan y,

(a) 22 9log

4

1k ,

(b) kk 75.012 loglog .

4. Diberi 2log x = p dan 4log y = q, ungkapkan 2 q + 3 (8 p – 1 ) dalam sebutan x dan y.

5. Diberi janjang: 3log 2 , 9log 2 , 27log 2 , 81log 2 , ……………..........................

cari hasil tambah 10 sebutan yang pertama.

Page 10: KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN NEGERI PERAK

Kerja Projek Matematik Tambahan NEGERI PERAK 2016

9

Tugasan 9: Cabaran SPM – Saya boleh buat!

1. Selesaikan persamaan berikut:

(a) 16(4 3x – 1 ) = 2

1,

(b) 3( 2x ) – 2 x + 1 = 8,

(c) 2 ( 4x ) – 5 ( 2x ) = 3.

2. Selesaikan

(a) 3log1)12(log 44 x ,

(b) 2

1log)32(log 24 xx .

3. Ungkapkan xx 93 log4)52(log sebagai satu logaritma tunggal dalam asas 3.

Oleh yang demikian, selesaikan,

(a) xx 93 log4)52(log = )2(log2log 33 x ,

(b) xx 93 log4)52(log = 1.

4. Selesaikan persamaan serentak

yxxy 333 log2log43log ,

32

yx

xy.

5. Selesaikan persamaan serentak

1log2log 9327 mnnm .

Page 11: KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN NEGERI PERAK

Kerja Projek Matematik Tambahan NEGERI PERAK 2016

10

Tugasan 10: Mana silapnya……….

Empat penyelesaian yang dibuat oleh seorang pelajar dalam satu latihan Matematik

Tambahan bagi topik ‘Indeks dan Logaritma’ ditunjukkan di bawah.

(a) Kenal pasti setiap kesilapan yang dilakukan dengan menyatakan nombor baris dan

nyatakan kesilapan yang sepadan.

(b) Seterusnya, selesaikan setiap masalah itu dengan betul.

Baris Masalah 1 : Permudahkan ( 3m 3 n ) 2 ÷ mn – 4 .

Penyelesaian : ( 3m 3 n ) 2 ÷ mn – 4

1 = 3m 6 n 2 ÷ mn – 4

2 = 3m 6 – 1 n 2 – 4

3 = 3m 5 n – 2

Baris Masalah 2 : Selesaikan persamaan eksponen 2 ( 3 x ) = 36.

Penyelesaian : 2 ( 3 x ) = 36

1 6 x = 36

2 6 x = 6 2

3 x = 2

Baris Masalah 3 : Selesaikan 2)1(3log 3 x .

Penyelesaian : 2)1(3log 3 x

1 233log 3 x

2 13log 3 x

3 3x = 3

4 x = 1

Baris

Masalah 4 : Selesaikan .2log

)127(log

2

2

x

x

Penyelesaian : .2log

)127(log

2

2

x

x

1 2)127(log 2 xx

2 2)126(log 2 x

3 6x – 12 = 4

4 6x = 16

5 3

8x

Page 12: KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN NEGERI PERAK

Kerja Projek Matematik Tambahan NEGERI PERAK 2016

11

Tugasan 11: Refleksi

Selepas melaksanakan kerja projek ini, anda sepatutnya telah menyedari bahawa fungsi

eksponen dan logaritma mempunyai banyak aplikasi dalam kehidupan sebenar yang anda

mungkin tidak terfikir sebelum ini.

Buat refleksi terhadap aplikasi tersebut dan tunjukkan secara kreatif aspek yang menakjubkan

Matematik Tambahan ini.