Kelas+XI SMA+IPA Matematika BAB 7 Limit Fungsi

rata pada pengambilan pertama, ke dua, sampai ke lima adalah 29 = 5,8 dan dikatakan

7

Limit Fungsi

Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga

Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak TentuFungsi Aljabar dan Trigonometri

Cobalah kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam sebuah tempatdengan genggaman sebanyak lima kali. Setelah dihitung, pengambilan pertamaterdapat 5 bungkus, pengambilan ke dua 6 bungkus, pengambilan ke tiga 5 bungkus,pengambilan ke empat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus. Jika dirata-

5

hampir mendekati 6. Dalam contoh sehari-hari, banyak sekali kamu temukan kata-kata hampir, mendekati, harga batas, dan sebagainya.Pengertian tersebut seringdianalogikan dengan pengertian limit. Limit merupakan konsep dasar atau pengantardari deferensial dan integral pada kalkulus. Untuk lebih jelasnya, dalam bab ini kamuakan mempelajari konsep limit fungsi dalam pemecahan masalah.

Limit Fungsi 197

Limit Fungsi

Menjelaskan secara intuitif arti limitfungsi di suatu titik dan di tak hingga

Menggunakan sifat limit fungsi untukmenghitung bentuk tak tentu fungsi

aljabar dan trigonometri

Arti limit fungsi di satutitik melalui perhitungannilai-nilai di sekitar titik

Arti limit fungsididitak hingga

Menghitung limitfungsi aljabar

Menghitung limitfungsi trigonometri

tersebut

·····

198

limit fungsilimit fungsi tak hinggalimit fungsi berhinggalimit fungsi aljabarlimit fungsi trigonometri

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

lim 2x− 1 5 ”. Grafiknya dapat kamu amati

x2 x− 6x− 2

x2 x− 6x− 2

A Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik dan di TakHingga

1. Limit Fungsi di Satu Titik Melalui Perhitungan Nilai-Nilai diSekitar Titik Tersebut

Diketahui fungsi f : R→ R yang ditentukan oleh f(x) = 2x – 1. Jika variabel xdiganti dengan 3, maka f(3) = 2⋅ 3 – 1 = 5. Berapakah nilai yang akan didekati f(x) jikavariabel x mendekati 3? Untuk menjawab persoalan ini diperlukan tabel sebagai berikut.

x

f(x)

1,5

2

1,75

2,5

2,5

4

2,75

4,5

2,85

4,7

2,95

4,9

2,97

4,94

2,98

5,96

2,99

4,98

….

…..

Dari tabel dapat dilihat jika x mendekati 3 dari pihak kurang dari 3, maka nilai f(x)mendekati 5. Apakah nilai f(x) akan mendekati 5 jika x lebih besar dari 3? Untukmenjawabnya kita lihat tabel berikut ini.

x

f(x)

…..

…..

3,01

5,02

3,10

5,20

3,25

5,50

3,50

6,00

3,50

6,50

3,75

6,50

4,25

7,50

….

…..

Dari tabel dapat dilihat bahwa jika xmendekati 3 dari pihak lebih dari 3 maka nilai

Y

f(x) mendekati 5, sehingga dikatakan bahwafungsi f(x) = 2x – 1 mempunyai limit 5 untuk xmendekati 3 dan ditulis “jika f(x) = 2x – 1, maka

x→3

pada gambar di samping.

Dari penjelasan di atas, kamu juga dapat

54

3

2

1

0–1–2

1 2 3X

menentukan nilai dari lim . Nilaix→2

f(x) = untuk x mendekati 2 dapat

disajikan dengan tabel sebagai berikut.

x 1,7 5 1,8 5 1,95 1,97 1,9 9 1,999 … 2 … 2,001 2,0 1 2,1 2, 2 2, 9 3,1

f(x) 3,7 5 4,8 5 4,95 4,97 4,9 9 4,999 … 0

0… 5,001 5,0 1 5,1 5, 2 5, 9 6,1

Dari tabel dapat dilihat jika variabel x = 2, maka f(2) = 00 yaitu suatu bentuk taktentu, tetapi jika x mendekati 2 dari arah kiri maka nilai f(x) mendekati 5. Demikian jugajika x mendekati 2 dari arah kanan maka nilai f(x) mendekati 5.

Limit Fungsi 199

lim f ( x) L artinya jika x mendekati a (tetapi x≠ a ) maka

lim f (x) f (a)

lim k⋅ f (x) k⋅ lim f (x)

lim { f ( x) g ( x)} lim f ( x) lim g ( x)

f ( x)⋅ lim g ( x)x→a

f ( x) x→a , untuk lim g ( x)≠ 0

f ( x)n lim f ( x)

1. lim f ( x) lim g ( x)

2. lim { f ( x) g ( x)}

lim f ( x) lim g ( x) = lim (2x− 5) lim (3x 4x)

Oleh karena itu dapat ditulis:

limx→2

x2 x − 6 x− 2

=5

Dari uraian di atas, secara intuitif limit dapat didefinisikan sebagai berikut.

x→ a

f(x) mendekati nilai L.

2. Sifat-Sifat Limit Fungsi

Apabila k suatu konstanta, f dan g merupakan fungsi-fungsi yang mempunyai limituntuk x→ a, a∈ R maka berlaku:

a.

b.

c.

d.

lim k = kx→a

x→a

x→a x→a

x→a x→a x→a

e. limx→a

f ( x)⋅ g (x) limx→a

f.

g.

limx→a

limx→a

lim f ( x)

g (x) lim g (x) x→a

x→a

x→a

n

Untuk lebih memahami tentang sifat-sifat limit fungsi, pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh soal

Diketahui f(x) = 2x – 5 dan g(x) = 3x2 + 4x . Tentukan:

x→3 x→3

x→3

Penyelesaian

200

1. 2

x→3 x→3 x→3 x→3

= 2⋅ 3 – 5 + 3⋅ 32 + 4⋅ 3= 6 – 5 + 3⋅ 9 + 12= 1 + 27 + 12 = 40


x 1 2 3 …. 10 …. 100 …. 1.000 …

2xx 1 1 …. …. …. …4

332

2011

200101

2.0001.001

x 1 2 3 4

12

…. 10 …. 100

1…. 50

…. 200

11.000

…

23

15f(x) 2 1 …. …. …

lim { f ( x) g ( x)} = lim3 {(2x− 5) (3x 4x)}x→3

= lim3 (3x 6x− 5)

x→∞ x

x→∞

Apabila x menjadi semakin besar, maka nilai 2x akan mendekati 2. Dikatakan

bahwa L = lim 2xx 1

2.x→

2

2

x→

= 3⋅ 32 + 6⋅ 3 – 5= 3⋅ 9 + 18 – 5= 27 + 18 – 5 = 40

3. Limit Fungsi di Tak Berhingga

Diketahui f(x) = 2x . Jika dibuat tabel untuk x bilangan sebagai berikut.

Apabila nilai x makin besar, ternyata nilai f(x) makin lama makin kecil. Apabila x

besar sekali atau x mendekati tak berhingga, ditulis x→∞ , maka nilai 2x akan

mendekati nol, dikatakan limit dari 2x untuk x mendekati tak berhingga adalah nol danditulis:

lim 2 = 0

Sekarang perhatikan contoh berikut ini.

Hitunglah lim 2xx 1

.

Untuk menjawab limit tersebut, dapat dicoba dengan tabel berikut ini.

x 1

= 2.x→∞

Limit fungsi yang berbentuk limx→∞

f ( x)

g ( x)dapat diselesaikan dengan cara membagi bagian

pembilang f(x) dan bagian penyebut g(x) dengan xn, n adalah pangkat tertinggi dari f(x)atau g(x) untuk setiap n bilangan positip dan a bilangan real, maka:

limx→∞

a

x n 0

Limit Fungsi 201

xx1

lim 1 0x→∞

x 5x− 3

x 5x− 3 x 5x− 3

= x→∞ x2

3x− 1

5− 3

3− 1

1 5− 3x→∞

2 x2− 5x x x2

x2− 2x x x2

x→∞

x→∞

x x2

x x

Dari contoh itu dapat ditulis:

limx→∞

2x

x 1= lim

x→∞

= lim

2x

x2

1 1x

(pembilang, penyebut dibagi x)

x→∞ x

= 21 0

= 21

=2

Contoh soal

Hitunglah limit dari:

1. limx→∞

2

3x− 13. lim

x→∞

4 x 2 2 x 1 5x− 4

2. limx→∞

2 x 2− x 5

x 2− 3x 2

Penyelesaian

1. limx→∞

2

3x− 1 = limx→∞

2

3x− 1x2

x2

(pembilang dan penyebut dibagi x2)

lim

x2

x2 x2

x x= lim

x2

x2

=0− 0 0

1 0− 0 1= 0

2. limx→∞

2 x 2− x 5 x2− 3x 2

= limx→∞

2x2− x 5x2

x2− 3x 2x2


= lim

= lim

x2 2

3x2 2

2− 1 5

1− 3 2

= 2− 0 0 21− 0 0 1

=2

202 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

4x2 1x x x2

5x− 4x x25− 4

x→∞

x→∞

x x2

x→∞

Bentuk 0 adalah bentuk tak terdefinisi, tetapi karena angka 0 pada 0 bukan

lim

nilai lim∞ g ( x) = 0.

lim

−

x

lim x− 1 x

1

= lim∞

lim x2− 1

3. limx→∞

4 x 2 2 x 1 5x− 4

= lim

= lim

4x2 2x 1x2

5x− 4x2

2x2 2

2


4 2 1= lim

x2

= 4 0 0 40− 0 0

=∞

4 4

angka nol tetapi angka yang kecil sekali sehingga suatu bilangan dibagi kecil sekalihasilnya besar sekali atau∞ .

Dari contoh-contoh diatas dapat diambil kesimpulan nilai dari limx→∞

sebagai berikut.

f ( x)g ( x)

adalah

1. Jika derajat dari pembilang f(x) lebih besar daripada derajat penyebut g(x), maka

nilai limx→∞

f ( x)g ( x) =∞ .

2. Jika derajat dari pembilang f(x) sama dengan derajat penyebut g(x), maka nilai

f ( x)x→∞ g ( x) = real.

3. Jika derajat dari pembilang f(x) lebih kecil daripada derajat penyebut g(x), maka

f ( x)x→

Untuk lebih memahami, pelajarilah contoh berikut.

Contoh soal

Hitunglah limit berikut.

1.

2.

x→∞

limx→∞

3x 2xx− 1

x2 2x− x2− 4x Penyelesaian

1.x→∞

3x− 2x 3 x ( x 1) − 2 x ( x − 1)

x→ ( x− 1)( x 1)

3 x 2 3 x − 2 x 2 2 x = x→∞

Limit Fungsi 203

x→∞

= lim∞ xx2

x2 5xx

2− 1− 12x→∞

x 2x− x

− 4xx→∞

x→∞

x x

x→∞x x

x x

= lim x2 5 x x2− 1

= limx→∞

x2 5xx2

x2− 1x2


2 2

x→ 1x x2

= lim1 5x

x

=1 0 1− 0

1

2. limx→∞ x2 2x− x2− 4x

= lim 2 2

− 4x⋅

x 2 2x x 2− 4x

x 2 2x x 2

= limx→∞

= lim

= limx→∞

( x2 2x )2− ( x2− 4x )2

x 2 2x x 2− 4x

x 2 2x− (x 2− 4x )

x 2 2x x 2− 4x

x2 2x− x2 4x

x 2 (1 2 ) x 2 (1− 4 )

= limx

6x

1 2 1− 4 = lim

x→∞

6

1 2 1− 4

=6

1 0 1− 0

=6

1 1=

62 =3


x 1,0 1,1 ….

1,9 1,999 2 2,001 2,002 ….

2,1 2,2 2,3 2,4 2,52x− 4 f(x) = x

x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 … 0,99 1 1,001 … 1,01 1,2 1,3

f(x) = 3x – 5

x 0 1,5 1,7 2 2,5 2,6 2,75 2,85 2,95 2,98 2,999 …. 3

f(x) = 2x 1 3 3,5 4 5 5,2 5,5 5,70 5,90 5,96 5,998 … 6

7.1

Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan benar.

1. a. Gambarlah grafik f(x) = 3x – 5.

b. Lengkapilah tabel berikut.

x→1

2. Lengkapilah tabel berikut.

3. Carilah limit-limit berikut.

x→∞ x− 1x 2

x→∞ x x− 1


c. limx→∞

x2− 2 x 1 x 3

x

x→∞ 3 5b. lim

x→∞

5x2− 2x


x→∞ x→∞

BSifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk TakTentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri

1. Menghitung Limit Fungsi Aljabar

Perhatikan fungsi f(x) = 2x pada tabel di bawah ini.

Limit Fungsi 205

c. Carilah nilai lim f ( x) 3x− 5.

a. lim 2x 5

b. lim 2

a. lim 3x− 1

a. lim x2 4x− x b. lim x2 6x− ( x− 4)

lim 2x 6

0 x→ a 0

0 x→ a 0

x→ a

lim (5x 7)

lim (5x 7) = 5 (–2) + 7 = –10 + 7 = –3

x2 5(−1) 1

32− 2⋅ 3 9− 6 33− 3 0 0

Dari tabel terlihat jika nilai x diperbesar hingga mendekati 3, maka nilai f(x) men-dekati 6, dikatakan bahwa limit dari 2x untuk x mendekati 3 adalah 6 ditulis:

x→3

Menentukan limit dengan cara di atas ternyata lambat dan tidak efisien. Misalkan

untuk menyelesaikan lim f (x) , maka dapat dilakukan dengan cara yang lebih cepatx→ a

dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

1.

2.

3.

4.

Jika f(a) = C, maka nilai lim f ( x) = f(a) = Cx→ a

Jika f(a) = C , maka nilai lim f ( x) = C =∞

Jika f(a) = C , maka nilai lim f (x) = C = 0

Jika f(a) = 0 , maka nilai lim f ( x) , maka sederhanakan atau ubahlah lebih dahulu

bentuk f(x) hingga menjadi bentuk (1), (2), atau (3).

Untuk lebih memahami, perhatikan contoh berikut.

Contoh soal

1. Hitunglah nilai limit-limit berikut ini.

a.

b.

x→−2

lim (2x2− 3)x→1

d.

e.

limx→3

limx→5

x2− 2 x x− 3

x− 52x 1

c. limx→−1

x2 5 x2 1

f. limx→3

x2− 8 x 15 x− 3

Penyelesaian

a.x→−2

b. lim ( 2x2− 3)x→1

= 2⋅ 12 – 3 = 2 – 3 = –1

c. limx→−1 x2 1

=(−1)2 5

2

1 5 61 1 2

=3

d. limx→3

x 2− 2 x x− 3

= ∞

e. limx→5

x− 52x 1

=5− 5 0 0

2⋅ 5 1 10 1 11=0


32− 8⋅ 3 15 9− 24 15 03− 3 0 0

x→3 x→3

⋅x→1

x→1

x→1

⋅( x 2 2)

x→0

x→0

f. limx→3

x2− 8 x 15 x− 3

=

Karena nilai limit =00 , maka perlu diubah lebih dahulu dengan jalan difaktorkan.

limx→3

x2− 8 x 15 x− 3

= lim( x − 5)( x −

3)( x− 3)

= lim x− 5 = 3 – 5 = –2

2. Hitunglah limit-limit berikut.

a. limx→1

b. limx→0

x− 1

x− 1

x 2− 2x

c. limx→0

1 − x 1

x2− x

Penyelesaian

a. limx→1

x− 1x− 1

=1− 1 1− 1 0

1− 1 1− 1 0

Jadi harus diubah lebih dahulu dengan jalan dikalikan dengan sekawannya.

limx→1

x− 1x− 1

= lim

= lim

= limx→1

( x− 1) ( x 1)

( x− 1) ( x 1)

( x − 1)( x 1)

( x )2− 12

( x − 1)( x 1) x− 1

= lim x 1 = 1 +1 = 1+1=2

b. limx→0

x 2− 2x

= 0 2− 2 2− 2 00 0 0


limx→0

x 2− 2x

= limx→0

= lim

= lim

( x 2 − 2) ( x 2 2) x

( x 2)2− ( 2)2

x( x 2 2)

x 2− 2

x( x 2 2)

Limit Fungsi 207

x→0 x→0

02− 0

⋅

( x− x)(1 x 1)

x→0

x→0

x→0

x→0

x→0

x→0

= limx

x( x 2 2)= lim

1

x 2 2

=

=

1

0 2 2

2 12

2⋅ 2 4

=1 1 2

2 2 2 2 2

c. limx→0

1 − x 1 x2− x

= 1 − 0 1 1− 1 1− 1 00 0 0


limx→0

1 − x 1 x2− x

= lim

= lim

= lim

= lim

= lim

(1 − x 1) (1 x 1)

( x2− x) (1 x 1)

12− ( x 1)2

( x2− x)(1 x 1)

1− ( x 1)2

1− x− 1x( x− 1)(1 x 1)

− x

x( x− 1)(1 x 1)

= lim−1

( x− 1)(1 x 1)=

−1

(0− 1)(1 0 1)

=−1

(−1)(1 1)=

−1 1−2 2

3. Carilah limh→0

f ( x h ) − f ( x ) h

, jika diketahui fungsi f(x) di bawah ini.

a.

b.

f(x) = 2x + 3

f(x) = 3x2 – x

Penyelesaian

a. f(x) = 2x + 3f(x + h) = 2 (x + h) + 3

= 2x + 2h + 3


h→0

h→0

f(x) = 3x – x

6xh 3h− h

6xh 3h h= lim0 h h h

−

= lim (6x 3h− 1)

− 23 1 2

x− 2 2x2− x− 3 x x

1 2 3 .... x

limh→0

f ( x h ) − f ( x ) h

= limh→0

= lim

= lim

2 x 2 h 3 − (2 x 3) h

2 x 2 h 3 − 2 x − 3 h

2 h h

= lim 2 = 2h→0

b. 2

f(x + h) = 3(x + h)2 – (x + h)

= 3(x2 + 2xh + h2) – x – h= 3x2 + 6xh + 3h2 – x – h

limh→0

f ( x h ) − f ( x ) h

= limh→0

= limh→0

= limh→0

3 x 2 6 xh 3 h 2− x − h − (3 x 2− x ) h

3 x 2 6 xh 3 h 2− x − h − 3 x 2 x h

2

h2

h→

h→0

= 6x + 3⋅ 0 – 1 = 6x – 1

Buatlah kelasmu menjadi beberapakelompok, lalu kerjakan soal-soal berikutsecara berkelompok.

1. limx→2

2. limx→∞ x2

Cocokkan dengan kelompok lain adakandiskusi kelas.

Ingat!!

Sn = 12 n {2a + (n – 1)b}

di mana:Sn = jumlah n sukua = suku pertamab = beda (selisih suku-suku

yang berurutan)n = banyaknya suku

Limit Fungsi 209

a. lim (2x 7) b. lim ( x2 4x− 9)

2. Diketahui f(x) = x− 2, untuk x 4 x x− 7, untuk x≥ 4

a. lim x− 9

a. lim{ f (x)− g (x)}

7.2

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.

1. Tentukan nilai limit berikut.

x→−2 x→1c. lim

x→5

2x− 3

x2− 4x 1

2

Hitunglah nilai limit berikut.

a. lim f ( x)x→1

b. lim f ( x)x→5

3. Hitunglah nilai limit berikut ini.

2

x→−3 x 3b. lim

x→2

2 x 2− 5 x 2 x− 2

c. limx→3

x2− x 2− 6 x x− 3

4. Carilah limh→0

f ( x h ) − f ( x ) h

, jika diketahui fungsi di bawah ini.

a. f(x) = 3x + 2 b. f(x) = x2 + 3x – 1

5. Tentukan nilai limit berikut ini.

a. lim 2x→1

− 5− xx− 1

b. limx→0

x x

x

6. Jika diketahui f(x) = 3x – 2 dan g(x) = x2 + x – 3, tentukan:

x→2b. lim { f ( x)}2

x→1c. lim

x→0

g ( x ) f ( x)

2. Menghitung Limit Fungsi Trigonometri

r

BD Perhatikan gambar di samping. Dari gambar

di samping diketahui panjang jari-jari lingkaran = r,besar sudut AOB adalah x radian, BC dan AD tegak

Ox

r C Alurus OA untuk 0 < x < 12

BCOB

= sin x⇒ BC = OB sin x

BC = r sin x


2

⋅

< 1 x r2 < 2

⋅2

⋅

1 r 2

OC sin x

2⋅

x⋅ r

1 r 2

2

⋅

1 r 2

< OA tan x

: r

2 2

lim

lim

lim

< cos x

< lim0

1cos 0

11

r 2

x r 2

lim

= 1 atau lim sin x = 1

1

⋅ cos x⋅ sin x 1

ADOA = tan x⇒ AD = OA tan x

= r tan x

L∆ OBC

1 OC⋅ BC

< L juring OAB <

2

L OAD

1 OA⋅ AD

1 OC⋅ r sin x

1 OC⋅ r⋅ sin x

2

r

<

<

<

1 x r2

12

2

x

< 1 OA⋅ r⋅ tan x

1 OA⋅ r⋅ tan x

2

r

1 2

2

Ingat!!

cos x sin x

cos x sin x

cos x

lim cos xx→0

cos 0

1

<

<

<

<

<

<

x

x

xsin x

xx→0 sin x

xx→0 sin x

xx→0 sin x

< r tan x

< tan x

1

1x→ cos x

<

<

: sin xr

O x

Luas juring =

=

A

x

2

12

B

1 <x

x→0 sin x < 1

Maka limx→0

xsin x x→0 x

Dari persamaan:

cos x sin x < x < tan x: tan x

cos x sin xtan x

xtan x

tan xtan x

cos x sin x

sin x x

tan xcos x

cos x xsin x tan x

cos2x <x

tan x <1

Limit Fungsi 211

= 13⋅ 1⋅ 3 = 9

⋅= lim0 3 sin 3x⋅ 3x

= lim0 3 sin 3x⋅ 3x

3 3

x→0⋅

x→0⋅

x→0

x→0

x→0x→0

x→0

lim cos2 x limx→0 x→0

1 < lim

xtan x

xtan x

1

1

Maka limx

tan x= 1 atau lim

tan x x =1

Dengan cara yang sama didapat rumus:

limx→0

limx→0

xsin x

sin x x

1⇒

1⇒

limx→0

limx→0

axsin ax

sin ax ax

1

1

limx→0

limx→0

xtan x

tan x x

1

1

⇒

⇒

limx→0

limx→0

axtan ax

tan ax ax

1

1

Untuk lebih memahami tentang limit fungsi trigonometri, perhatikan contoh berikut.

Contoh soal

1. Carilah nilai limit berikut.

a.

b.

limx→0

limx→0

sin 2 x 3x

5x3sin 3x

c. lim

d. lim

4 tan 5 x 3x

2xtan 4x

Penyelesaian

a. limx→0

sin 2 x 3x

= limsin 2x 2x

3x 2x

= limsin 2x 2x

2x 3x

= 1⋅ 2 = 2

b. limx→0

5x3sin 3x =

limx→0

5x3 sin 3x ⋅

3x3x

3x 5xx→

1 3x 5xx→

5 5


⋅

⋅x→0

3 3 3

⋅ ⋅x→0 x→0

lim 2x⋅ cot x

b. lim 3tan 4x

⋅

⋅⋅x→0

2

⋅

⋅⋅

x→0

x→0

x→0x→0

x→0

x→

c. limx→0

4 tan 5 x 3x

= limx→0

4 tan 5x 5x3x 5x

= lim 4 tan 5x 5x5x 3x

= 4⋅ 1⋅ 5 = 20 = 6 2

d. limx→0

2xtan 4x

= lim2x 4x

tan 4x 4x= lim

4x 2xtan 4x 4x

= 1⋅ 24 = 12

2. Carilah limit berikut.

a. limx→0

2sin 5 x tan 2x

c.x→0

x→0 sin 6xPenyelesaian

a. limx→0

2sin 5 x =tan 2x

limx→0

2sin 5x 2x 5xtan 2x 2x 5x

= lim 2sin 5x5x

2x 5xtan 2x 2x

= 2⋅ 1⋅ 1⋅ 5 = 5

b. limx→0

3tan 4 x sin 6x

= lim

= lim

3tan 4x 4x 6xsin 6x 4x 6x

3tan 4x6x 4x

4xsin 6x 6x

= 3⋅ 1⋅ 1⋅ 46 = 2

c. lim 2x⋅ cot x = lim2x

tan x Ingat!!

3.

= lim 2⋅

Carilah limit berikut.

xtan x = 2⋅ 1 = 2

tan x cot x = 1

a. limx→0

2 − 2cos 2 x x2

c. limh→0

sin( x h ) − sin x h

b. lim4

cos 2 x

x−4

Limit Fungsi 213

x x→0 x→0

= x→0

x→0

= 4 lim0 x= 4⋅ 1 = 4

lim

misal y = x – 4

x = y + 4

untuk x→ 4 , maka y = 0

cos 2( y4 )y

4

⋅

⋅

2 2

2 2

2 2

Penyelesaian

a. limx→0

2 − 2cos 2 x 2 = lim

2(1 − cos 2 x )

x 2= lim

2{1 − (1 − 2sin 2 x )}

x2

= limx→0

lim

= lim

2(1 − 1 2sin 2 x ) x2

2(2sin 2 x )

x2

4sin 2 xx2

Ingat!!

cot 2x = 1 – 2 sin2x

x→

2

sin x 2

b.

lim = limy→0 y→0

cos 2 x

x→ 4 x−

Ingat!!

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin Bcos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

cos (2 y 2 ) y

=

=

=

=

=

limy→0

limy→0

limy→0

limy→0

limy→0

(cos 2 y ⋅ cos − sin 2 y ⋅ sin )

y

(cos 2 y ⋅ 0 − sin 2 y ⋅ 1) y

(0 − sin 2 y ) y

− sin 2 y 2 yy 2 y

− sin 2 y 2 y2 y y

= –1⋅ 2 = –2

c. limh→0

sin ( x h ) − sin x h

= limh→0

2 cos 1 {( x h ) x } ⋅ sin 1 {( x h ) − x }

h

= limh→0

2 cos ( x 1 h ) ⋅ sin 1 h

h


x→x→ cos xa. lim 1 cos 2x

h→0

(A + B)⋅

21

21

lim cos ( x 12 h)⋅

2⋅ 12 h

2cos ( x 12 21 hh) sin= lim

sin 12 h

= h→0 1 h2

= cos (x + 12⋅ 0)⋅ 1= cos x

7.3

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.


sin A + sin B = 2 sin

sin A – sin B = 2 cos

sin

Ingat!!

(A + B)

12

(A – B)

a. limx→0

sin 3 x 5x

c. limx→0

6 tan x 4x

b. limx→0

4x2sin x

d. limx→0

7 x5sin 5x


a. limx→0

2sin 5 x 3sin 2x

c. limx→0

tan 8x4sin 4x

b. limx→0

4sin 2 x tan 4x

d. limx→0

3tan 2 x 2 tan 3x

3. Tentukan nilai dari:

a. limx→0

x sin 3 x tan 2 x

b. limx→0

sin 43 x

3x

4. Hitunglah nilai dari:

12

b. lim14

tan x − 1 cos 2x

5. Hitunglah nilai dari:

a. limx→0

1 − cos 2 x x2

b. limx→0

tan 3 x sin x

x 2

Limit Fungsi 215

sebagai berikut.

maka nilai lim

, maka nilai lim f ( x) =∞ .C0

0 , maka nilai lim f ( x) harus diubah lebih dahulu supaya

lim f (x) f (a)

lim k⋅ f ( x) k⋅ lim f ( x)

lim { f ( x) g ( x)} lim f ( x) lim g ( x)

1.

2.

Pengertian limit

Limit sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.

Limit tak berhingga

Untuk mengerjakan limit menuju tak berhingga berbentuk limx→∞

f ( x)

g ( x)berlaku

a. Jika derajat dari pembilang f(x) lebih besar daripada derajat penyebut g(x),

f ( x)x→∞ g ( x) adalah∞ .

b. Jika derajat dari pembilang f(x) sama dengan derajat penyebut g(x), maka

nilai limx→∞

f ( x)g ( x)

adalah real.

c. Jika derajat dari pembilang f(x) lebih kecil daripada derajat penyebut g(x),

3.

maka nilai limx→∞

Limit berhingga

f ( x)g ( x)

adalah 0.

Untuk mengerjakan limit menuju berhingga berbentuk lim f ( x) berlaku sebagaix→a

berikut.

a.

b.

Jika f(a) = C, maka nilai lim f ( x) = C.x→a

Jika f(a) =x→a

c. Jika f(a) = 0C

, maka nilai lim f ( x) = 0.x→a

d. Jika f(a) = 0 x→a

berbentuk a, b, atau c.

4. Sifat-sifat limit

Apabila k suatu konstanta, f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limituntuk x mendekati a, maka berlaku:

a.

b.

c.

d.

x→a

lim k = kx→a

x→a x→a

x→a x→a x→a


f ( x)⋅ lim g ( x)x→a

f ( x) x→a , lim g ( x)≠ 0

f ( x) lim f ( x)

Nilai lim x2− 9 adalah ….

6− 4x4

e. limx→a

f ( x)⋅ g (x) limx→a

f. limx→a

lim f ( x)

g ( x) lim g ( x)x→a

x→a

g. limx→a

n

x→a

n

I.

1.

Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.

x→5

a. 2

b. 3

c. 4

d. 5

e. 6

2. Nilai limx→2

a. 3

x − 4 3− x

adalah .…

d. 13

b. 1

c. 0e. – 13

3. Nilai limx→1

a. 0

2 x 2− 2 x− 1

= ….

d. 4b. 1c. 2

e. 6

4. Nilai limx→∞

a. –2

b. –1

2 x − 1 3− x

adalah ….

d. 23e. 2

c. 0

5. Nilai limx→∞ 2 x4

a. –6

b. –4

c. 3

adalah ….

d. 4e. 6

Limit Fungsi 217

Nilai lim x2 2x− x2 x adalah ….

a. – 3

e. 3

x2− 9x→−3 x 3

2 x 3

x→8

lim f ( x) 3 , lim g ( x)−5 , dan 1 , maka nilai dari

x2− 8 x2− 12. Nilai lim = ….x− 2 2x− 4

6.x→∞

2d. 1

b. – 12 2

c. 12

7. Nilai lim

a. 6

b. 4

c. –4

adalah ….

d. –2

e. –6

8. Nilai limx→−2

x2− x −

6x 2

adalah ….

a. –5 d. 5

b. –2 e. 2

c. –1

9. Nilai limx→∞ 2 x− 1

a. 2

b. 1

c. –1

adalah ….

d. 0

e. –3

10. Nilai lim 3

a. 12

b. 10

c. 6

x− 8

x− 2adalah ….

d. 8e. 4

11. Jikax→0 x→0

lim h( x)x→0

=2

limx→0

(2 f ( x) g ( x))2

h( x)adalah ….

a. 12

b. 2

d. 4

e. 16

c. 8

x→2

a. 3 d. 8

b. 5 e.∞c. 9


21

13. Nilai limx→2

a. 3

b. 4

c. 5

4− x2

3− x2 5= ….

d. 6

e. 7

14. Nilai limx→0

a. 2

b. 1

c. 0

4x

1 2x− 1− 2x= ….

d. –1

e. –2

15. Nilai limx→1

a. 1

b.

c. – 12

x− 2x− 1x− 1

= ….

d. –1

e. 0

16. Nilai limx→0

3 sin 5 x sin 3x

= ….

a.

b.

5352

d. 3

e. 5

c. 4

17. Nilai limx→0

1 − cos x x sin x

= ….

a.

b.

2312

d. 13

e. –1

c. 0

18. Nilai limx→0

a. 14

b. 12

c. 32

1 − cos 2 x x 2

= ….

d. 1

e. 2

19. Nilai limx→0

a. 12

b. 1

tan x − sin x x3

= ….

d. 2

e. 6

c. 4

Limit Fungsi 219

20. Nilai lim12

a. –2

b. –1

1 − sin x

x−

21

= ….

d. 0e. 2

c. 1

II. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.


x→∞

x→∞

2 x

x→∞ 2− 3


a. lim

x→3

x− 3

x2 9

2

x→−1 x− x 4

b. lim


a. lim x− 4x→4

2

x→0 2x

b. limx2− 4

x2− 3x 2

4. Hitunglah limit limh→0

f ( x h ) − f ( x ) h

untuk f(x) berikut ini.

a. f(x) = 3x

b. f(x) = x2

c. f(x) = 2x2 – 3


a. limy→0

2 tan 3 y

sin 2 yd. lim

y→0

1 − cos y

y 2

b. limx→45

cos 2x

cos x− sin xe. lim x sin

x→∞

1x

c. lim12

1 cos 2 x cos x

220

x→

a. lim x2 x 3x− 5

c. lim 2 x 5

b. lim x2 3x− x

c. lim x2 x− 5

3x 2x→−2 x 2

x− 2c. lim x− x

x→2

x→


Documents

Kelas+XI SMA+IPA Matematika BAB 7 Limit Fungsi