Kelas12 Matematika Program Linier

Embed Size (px)

DESCRIPTION

....

Citation preview

  • Program Linier 1

    PROGRAM LINIER

    Kompetensi Dasar:

    Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel

    Merancang model matematika dari masalah program linear

    Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan

    menafsirkan solusinya

    Indikator:

    Mengenal arti sistem pertidaksamaan linear dua variable

    Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel

    Mengenal masalah yang merupakan program linear

    Menentukan fungsi objektif dan kendala dari program linear

    Menggambar daerah fisibel dari program linear

    Merumuskan model matematika dari masalah program linear

    Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif

    Menafsirkan solusi dari masalah program linear

  • Program Linier 2

    PROGRAM LINIER

    A. Pertidaksamaan dan Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Peubah

    1. Pertidaksamaan Linier Dua Peubah

    Suatu pertidaksamaan linier dua peubah dapat dinyatakan sebagai :

    ax by c

    ax by c

    ax by c

    ax by c

    dengan , , , ,a b c x y suatu bilangan Real( ).

    Pertidaksamaan linier dua peubah memiliki penyelesaian yang berada di dalam

    himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian ini berupa titik-titik yang terletak

    di bidang kartesian yang apabila diambil dan dimasukkan ke dalam

    pertidaksamaan akan memenuhi persyaratan yang diinginkan.

    Ada 3 langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

    linier dua peubah :

    1. Pada bidang kartesian kita menggambar garis yang merupakan persamaan

    ax by c

    2. Pada bidang kartesian, kita ambil sebuah titik 1 1,P x y yang berada di luar

    garis ax by c dan disubsitusikan ke dalam pertidaksamaan untuk menguji

    apakah titik 1 1,P x y terletak pada daerah himpunan penyelesaian atau tidak.

    Jika 1 1ax by c maka 1 1,P x y adalah penyelesaian pertidaksamaan

    ax by c . Jika 1 1ax by c maka 1 1,P x y adalah penyelesaian

    pertidaksamaan ax by c

    3. Memberikan arsiran pada bidang kartesian dimana daerah yang diarsir

    melambangkan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier dua

    peubah.

  • Program Linier 3

    Contoh 1 :

    Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari 4 5 20x y !

    Jawab :

    Langkah 1 : Pada bidang kartesian, kita menggambar garis 4 5 20x y . Di

    bidang kartesian, garis 4 5 20x y memotong sumbu X di (5,0) dan memotong

    sumbu Y di (0,4).

    X 0 5

    Y 4 0

    Langkah 2 : Kita ambil sebuah titik, misalkan kita ambil titik 1,1P yang berada

    di luar garis 4 5 20x y .

    1,1P 4.1+5.1 = 9 20.

    Titik 1,1P memenuhi pertidaksamaan 4 5 20x y , sehingga 1,1P terletak

    di daerah himpunan penyelesaian.

    Langkah 3 : Memberikan arsiran pada bidang kartesian yang menunjukkan daerah

    himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier dua peubah 4 5 20x y . Daerah

    himpunan penyelesaian ditunjukkan oleh gambar dibawah :

    2. Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Peubah.

    Sistem pertidaksamaan linier dua peubah adalah suatu permasalahan matematis

    dimana terdapat lebih dari satu (1) pertidaksamaan linier dua peubah dengan

    X

    Y

    (5,0)

    (0,4)

    P(1,1)

  • Program Linier 4

    daerah himpunan penyelesaian merupakan gabungan dari masing-masing

    pertidaksamaan linier 2 peubah.

    Contoh 2 :

    Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier yang

    dinyatakan dengan 5x y , 2 8x y , 0x , 0y dengan ,x y .

    Jawab :

    Langkah 1 :

    Pada bidang kartesian, gambar garis 5x y , 2 8x y , 0x , 0y . Garis

    0x diwakili sumbu tegak Y dan garis 0y diwakili sumbu mendatar X.

    Langkah 2 :

    Ambil satu titik di luar garis, misalkan kita mabil titik 2,1P . Jika titik 2,1P

    memenuhi pertidaksamaan 5x y , 2 8x y , 0x , 0y , maka titik

    2,1P merupakan salah satu anggota himpunan penyelesaian.

    2,1P

    2 1 3 5

    2.2 1 5 8

    2 0

    1 0

    Karena titik 2,1P memenuhi semua pertidaksamaan linier dua peubah, maka

    titik 2,1P merupakan salah satu anggota himpunan penyelesaian.

    Langkah 3 :

    Memberikan arsiran pada bidang kartesian yang menunjukkan himpunan

    penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dua peubah yaitu daerah dimana titik

    2,1P berada.. Daerah himpunan penyelesaian ditunjukkan gambar dibawah :

  • Program Linier 5

    3. Latihan 1 :

    1. Tentukan gambar himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linier 2 peubah :

    a. 1 24 2 8x x

    b. 1 2 6x x

    c. 1 22 18x x

    2. Tentukan pertidaksamaan linier 2 peubah yang membentuk daerah yang diarsir

    berikut ini :

    a.

    .

    b.

    X

    Y

    4 5

    5

    8

    (3,2)

    P(2,1)

    5

    3

    X

    Y

  • Program Linier 6

    c.

    3. Gambarlah daerah pada bidang kartesian yang ditetntukan oleh sistem

    pertidaksamaan :

    a.

    1 2

    1 2

    1 2

    4 2 8

    2 4 8

    0, 0

    x x

    x x

    x x

    b. 1 2

    1 2

    8

    2 2

    x x

    x x c.

    3 2 36

    3 4 12

    0, 8

    x y

    x y

    x y

    2

    -3

    X

    Y

    c

    b

    c

    a

    X

    Y

  • Program Linier 7

    4. Tentukan sistem pertidaksamaan linier 2 peubah yang membentuk daerah

    arsiran :

    a.

    b.

    B. Model Matematika, Program Linier dan Nilai Optimal Program Linier

    1. Model Matematika

    Model matematika adalah suatu penulisan permasalahan sehari-hari dalam bentuk

    matematika, yaitu dengan menggunakan variabel-variabel dalam persamaan-

    persamaan atau pertidaksamaan-pertidaksamaan.

    Cara mudah untuk menentukan model matematika adalah dengan

    membuat tabel untuk menuliskan permasalahan tersebut. Model matematika ini

    nantinya akan disebut kendala sistem pertidaksamaan linier.

    3

    5

    4

    Y

    X

    2

    6 5

    3

    -2

    Y

    X

  • Program Linier 8

    Contoh 3 :

    Sebuah pesawat terbang mempunyai 48 tempat duduk yang terbagi ke dalam kelas

    eksekutif dan kelas ekonomi.Setiap penumpang kelas eksekutif diperbolehkan

    membawa barang 60 kg dan penumpang kelas ekonomi 20 kg. Tempat bagasi

    pesawat maksimal dapat membawa 1440 kg barang. Bila banyak penumpang

    kelas eksekutif adalah x orang dan kelas ekonomi adalah y orang. Tentukan

    model matematikanya !

    Jawab :

    Dibuat tabel dari permasalahan

    Kelas Eksekutif Kelas Ekonomi

    Penumpang x y

    Bagasi 60x 20y

    Nilai x dan y tidak mungkin negatif, maka 0x , 0y . Jumlah penumpang

    maksimal 48 jadi jumlah penumpang eksekutif dan kelas ekonomi maksimal 48

    atau 48x y . Jumlah total barang yang dapat dimuat bagasi dapat dinyatakan

    dengan 60 20 1440x y . Jadi model matematika dari permasalahan diatas dapat

    dinyatakan dengan :

    48

    60 20 1440

    0, 0.

    x y

    x y

    x y

    2. Program Linier

    Program linier adalah metode untuk menyelesaikan permasalahan yang

    menggunakan sistem persamaan atau pertidaksamaan linier. Program linier dapat

    dinyatakan sebagai model matematika yang memiliki tujuan yang hendak dicapai.

    Tujuan yang hendak dicapai ini disebut dengan fungsi objektif atau fungsi tujuan.

    Dapat ditarik kesimpulan bahwa program linier terdiri dari dua (2) bagian :

  • Program Linier 9

    1) Sistem pertidaksamaan linier dua peubah, merupakan kendala yang harus

    dipenuhi peubah x dan y .

    2) Fungsi tujuan yang merupakan nilai yang akan dioptimalkan.

    Contoh 4 :

    Dari contoh 3, jika harga tiket dari kelas eksekutif adalah Rp. 200.000,00 dan

    harga tiket kelas ekonomi Rp.100.000,00 maka buatlah model matematika dari

    program linier !

    Jawab :

    Jika penumpang kelas eksekutif adalah x orang dan kelas ekonomi adalah y

    orang, maka uang hasil penjualan tiket dapat dinyatakan dengan

    200000 100000x y . Fungsi ini adalah fungsi tujuan dari model matematika

    program linier.

    Jadi model matematika dari program linier contoh 3 dapat dinyatakan sebagai :

    48

    60 20 1440

    0, 0.

    x y

    x y

    x y

    dengan fungsi tujuan : , 200000 100000f x y x y .

    3. Nilai Optimal Program Linier

    Nilai optimal adalah nilai yang didapat dengan mengganti peubah x dan y yang

    akan mengakibatkan fungsi tujuan ,f x y menjadi nilai maksimal atau nilai

    minimal. Ada 2 metode untuk menentukan nilai optimal fungsi tujuan :

    a. Metode uji titik pojok

    b. Metode garis selidik

  • Program Linier 10

    a. Menentukan nilai optimal fungsi tujuan dengan metode uji titik pojok

    Untuk menentukan nilai optimal fungsi tujuan dengan menggunakan

    metode uji titik pojok terdiri dari beberapa langkah :

    1) Menentukan model matematika

    2) Menentukan daerah himpunan penyelesaian model matematika yang berupa

    daerah yang diarsir.

    3) Menentukan nilai pasangan atau nilai koordinat kartesian ,x y pada titik

    pojok atau titik sudut daerah himpunan penyelesaian.

    4) Mensubsitusikan masing-masing nilai pasangan ,x y pada fungsi tujuan.

    5) Nilai optimal fungsi tujuan adalah nilai terbesar jika permasalahan adalah

    maksimalisasi dan nilai optimal fungsi tujuan adalah nilai terkecil jika

    permasalahan adalah minimalisasi.

    Contoh 5 :

    Dari contoh 4, berapakah uang maksimal yang diperoleh dari hasil penjualan

    tiket!

    Jawab :

    1) Model matematika dari program linier dari contoh 4 adalah :

    Maksimal , 200000 100000f x y x y

    model matematika :

    48

    60 20 1440

    0, 0.

    x y

    x y

    x y

  • Program Linier 11

    2) Menentukan daerah himpunan penyelesaian dari program linier yang

    ditunjukkan oleh gambar dibawah ;

    3) Menentukan titik pojok daerah himpunan penyelesaian di A 0,0 , B 24,0 ,

    C 12,36 , D 0,48 .

    4) Menentukan nilai dari masing-masing titik pojok daerah himpunan

    penyelesaian.

    Titik , 200000 100000f x y x y

    A 0

    B 4.800.000

    C 6.000.000

    D 4.800.000

    5) Nilai maksimal diperoleh dari titik C 12,36 dengan nilai 6.000.000

    Jadi maksimal uang yang diperoleh dari hasil penjualan tiket sebesar

    Rp.6.000.000,00.

    X

    Y

    (0,0) (24,0)

    (12,36)

    (0,48)

  • Program Linier 12

    b. Menentukan nilai optimal fungsi tujuan dengan metode garis selidik

    Cara lain untuk menentukan nilai maksimal atau nilai minimal dari

    fungsi tujuan yang dinyatakan dengan ,f x y ax by adalah dengan

    menggunakan garis selidik ax by k , k suatu bilangan bulat.

    Langkah langkah untuk menentukan nilai optimal fungsi tujuan adalah :

    1. Gambar garis ax by k yang memotong sumbu x di ,0k

    a dan memotong

    sumbu y di 0,k

    b.

    2. Jika garis 1ax by k yang sejajar garis ax by k adalah garis yang berada

    di paling atas atau paling kanan, tetapi masih memotong atau menyinggung

    daerah yang diarsir maka nilai maksimum fungsi tujuan ,f x y ax by

    sama dengan 1k . Akan tetapi jika garis 2ax by k adalah garis yang paling

    bawah atau paling kiri, maka nilai minimum ,f x y ax by sama dengan

    2k .

    Contoh 6 :

    Dari contoh 4, tentukan penyelesaian program linier dengan metode garis selidik!

    Jawab :

    Pertama dibentuk garis selidik 200.000 100.000x y k . Untuk 1 0k maka

    garis selidik 200.000 100.000x y k melewati titik 0,0O dengan nilai fungsi

    tujuan , 200000 100000f x y x y sama dengan nol (0). Jika kita ambil nilai

    2 4.800.000k maka garis selidik 200.000 100.000 4.800.000x y yang sejajar

    memotong daerah himpunan penyelesaian di titik 24,0 dan 0,48 dengan nilai

    fungsi tujuan , 200000 100000f x y x y sama dengan 4.800.000. Untuk nilai

    3 6.000.000k maka terbentuk garis selidik 200.000 100.000 6.000.000x y

  • Program Linier 13

    yang masih menyinggung daerah himpunan penyelesaian. Karena garis selidik ini

    merupakan garis selidik yang paling kanan, maka menurut langkah 2 nilai

    3 6.000.000k merupakan nilai optimal fungsi tujuan. Ilustrasi terlihat dari

    gambar di bawah .

    Tidak seperti metode uji titik pojok, menentukan nilai optimal dengan

    metode garis selidik memiliki kelemahan yang sangat mendasar, mengingat kita

    diharuskan menentukan nilai k secara berulang kali sampai kita dapat

    menemukan nilai k yang dimaksud.

    4. Menginterprestasikan Penyelesaian Optimal Program Linier

    Ketika menghadapi permasalahan program linier, sering kali kita hanya

    terpaku pada penyelesaian nilai optiomal fungsi tujuan. Padahal sering kali selain

    mencari nilai optimal fungsi tujuan, kita juga diminta untuk menafsirkan nilai dari

    variabel pembentuk persamaan atau pertidaksamaan dari model matematika

    program linier ( x dan y ). Nilai x dan y pada awalnya adalah variabel yang kita

    gunakan sebagai pengganti indikator permasalahan. Sebagai contoh, dari

    permasalahan program linier diatas diperoleh nilai 12x dan nilai 36y

    X

    Y

    (0,0) (24,0)

    (12,36)

    (0,48)

    k1 = 0

    k2 = 4.800.000

    k3 = 6.000.000

  • Program Linier 14

    dengan nilai fungsi tujuan , 6.000.000f x y . Dari nilai-nilai diatas dapat kita

    tafirkan bahwa pada permasalahan pesawat terbang terdapat 12 penumpang kelas

    eksekutif, 36 penumpang kelas ekonomi dengan uang hasil penjualan tiket senilai

    Rp. 6.000.000,00.

    5. Latihan 2 :

    1. Tentukan koordinat titik pojok daerah himpunan penyelesaian sistem

    pertidaksamaan : 0x , 0y , 2 5 100x y , 5 2 100x y !

    2. Tentukan maksimal 2 3z x y

    Dengan kendala :

    6

    2 6

    0, 0 .

    x y

    x y

    x y

    3. Seorang petani merencanakan untuk menanam jagung dan kacang tanah. Lahan

    yang dimilikinya seluas 9 hektar. Ia memiliki modal untuk membeli benih dan

    pupuk sebesar Rp.24 juta. Untuk mengolah 1 ha tanaman jagung dibutuhkan

    biaya Rp.3 juta dan 1 ha tanaman kacang tanah sebesar Rp. 2 juta. Tentukan

    model matematika permasalahan di atas!

    4. Dari soal nomer 1, setelah 3 bulan ternyata setiap ha tanaman jagung

    menghasilkan 10 kuintal jagung dan setiap ha tanaman kacang tanah

    menghasilkan 8 kuintal kacang tanah. Tentukan luas tanah masing-masing

    tanaman (ha) sehingga jumlah total hasil tanaman akan maksimal dan

    berapakah total produksi tanaman (kuintal) yang dihasilkan!

    5. Jika tiap hektar tanaman jagung menghasilkan uang Rp. 4 juta dan tiap hektar

    tanaman kacang tanah menghasilkan Rp.3 juta tentukan model matematika

    permasalahan program linier dan total uang yang diperoleh dari hasil penjualan

    produksi pertanian!

  • Program Linier 15

    C. Latihan Pemantapan

    1. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!

    1. Diketahui titik 0,0 , 4,3O A dan 1,2B . Daerah OAB memenuhi

    sistem pertidaksamaan :

    a. 4 3 , 2 , 5 11y x y x x y

    b. 3 4 , 2 , 5 11y x y x x y

    c. 3 4 , 2 , 5 11y x y x x y

    d. 4 3 , 2 , 5 11y x y x x y

    e. 4 3 , 2 , 5 11y x y x x y

    2. Pada gambar di bawah, daerah yang diarsir memenuhi sistem

    pertidaksamaan :

    a. 1

    , 10 , 102

    y x y x y x

    b. 1

    , 10 , 102

    y x y x y x

    c. 1

    , 10 , 102

    y x y x y x

    y =1

    2x + 10

    y = x

    y =10-x

  • Program Linier 16

    d. 1

    , 10 , 102

    y x y x y x

    e. 1

    , 10 , 102

    y x y x y x

    3. Diketahui titik-titik A(40,0), B(80,0), C(0,480

    11) dan D(0,80). Koordinat

    titik potong antara AD dan BC adalah :

    a. (20,35) b. (25,30) c. (30,25)

    d. (35,40) e. (25,25)

    4. Nilai maksimal 2 3T x y , dengan ,x y adalah titik pada daerah

    himpunan penyelesaian sistempertidaksamaan

    0, 0, 6 11 480, 2 80x y x y x y adalah :.

    a. 80 b. 120 c. 140

    d. 160 e. 180

    5.

    a. 20 b. 24 c. 28

    d. 30 e. 32

    11

    10 5,5

    5

    X

    Y Daerah yang diarsir

    pada gambar di

    samping merupakan

    himpunan

    penyelesaian dari

    suatu program linier.

    Nilai maksimum

    dari 3 4x y adalah

    :

  • Program Linier 17

    6. Berikut ini adalah koordinat titik pada daerah penyelesaian sistem

    pertidaksamaan linier : 0, 0, 2 8, 8 5 40x y x y x y , kecuali

    a. (8,0) b. (0.8) c. (4,3)

    d. (8,4) e. (3,3)

    7. Diketahui sistem pertidaksamaan linier 0x , 0y , 20x y ,

    3 30x y , 3 30x y . Titik yang tidak terdapat dalam daerah

    himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah :

    a. (35,0) b. (30,0) c. (15,5)

    d. (5,15) e. (0,20)

    8. Sebuah perusahaan membuat 2 jenis lemari yaitu tipe A dan B. Lemari tipa

    A memerlukan 3 m2 kayu dan tipe B memerlukan 4 m

    2 kayu. Perusahaan

    memiliki 1700 m2 kayu/minggu. Tiap lemari tipe A membutuhkan waktu 1

    jam untuk merakitnya dan 2,5 jam untuk lemari tipe B. Dalam 1 minggu

    terdapat 800 jam untuk total produksi. Jika keuntungan dari lemari tipe A

    sebesar Rp.20.000,00 dan Rp.40.000,00 untuk tipe B dan banyaknya tipe

    A dan B yang diproduksi adalah x dan y , maka sistem pertidaksamaan

    yang sesuai adalah .

    a. 0, 0, 3 4 1600, 2 5 1700x y x y x y

    b. 0, 0, 3 4 1700, 2 5 1600x y x y x y

    c. 0, 0, 3 2 1700, 4 5 1600x y x y x y

    d. 0, 0, 3 2 1600, 4 5 1700x y x y x y

    e. 0, 0, 3 5 1700, 4 2 1600x y x y x y

    9. Fungsi tujuan yang menyatakan keuntungan yang diperoleh perusahaan

    pada soal no.8 adalah .

    a. 2 4x y d. 20000 40000x y

    b. 4 2x y e. 40000 20000x y

    c. 2 4x y C

  • Program Linier 18

    10. Nilai maksimal 6 2z x y dengan daerah penyelesaian : 0x , 0y ,

    4 5 20x y , 3 16x y adalah : .

    a.8 b. 9 c. 10

    d. 12 e. 30

    11. Nilai maksimal 4 4z x y dengan daerah penyelesaian : 0x , 0y ,

    3 4 12x y , 7 2 14x y adalah : .

    a. 8 b. 9 c. 148

    11

    d. 16 e. 143

    7

    12. Seorang pedagang menerima 2 jenis permen. Dalam tiap jenis memuat

    coklat, susu dan gula dengan komposisi sebagai berikut : .

    Jenis Coklat Susu Gula

    A(%)

    B(%)

    20

    20

    20

    60

    60

    20

    Kedua permen ini kemudian dicampur dan dibuat permen jenis baru yang

    akan lebih laku jika memuat paling sedikit 4 kg coklat, paling 6 kg susu

    dan paling sedikit 6 kg gula. Harga perman A adalah Rp. 100.000,00 per

    kg dan Rp. 150.000,00 untuk permen B. Jika permen yang dicampur

    sebanyak x kg perman A dan y kg permen B, maka sistem pertidaksamaan

    yang sesuai adalah : .

    a. 0, 0, 20, 3 30, 3 30x y x y x y x y

    b. 0, 0, 30, 3 20, 3 30x y x y x y x y

    c. 0, 0, 30, 3 20, 3 20x y x y x y x y

    d. 0, 0, 20, 3 30, 3 20x y x y x y x y

    e. 0, 0, 20, 3 20, 3 20x y x y x y x y

  • Program Linier 19

    13. Fungsi tujuan yang menyatakan total biaya yang dikeluarkan pedagang

    pada soal nomor 12 adalah .

    a. 150000 100000x y

    b. 100000 150000x y

    c. 2 3x y

    d. 3 2x y B

    e. 3 2x y

    14. Sebuah pabrik perakitan sepeda dan motor dapat merakit sepeda paling

    banyak 120 unit tiap bulan dan motor paling sedikit 10 dan paling banyak

    60 unit. Keuntungan dari tiap unit sepeda Rp. 50.000,00 dan

    Rp.300.000,00 untuk motor. Total produksi dalam sebulan sebanyak 160

    unit. Bila banyak sepeda dan motor yang dirakit perbulan x buah dan y

    buah, maka sistem pertidaksamaan yang sesuai adalah .

    a. 0, 0, 60, 120, 160x y y x x y

    b. 0 120, 0 60, 160x y x y

    c. 0 120, 0 60, 160y x x y

    d. 0 120, 10 60, 160x y x y

    e. 0 120, 10 60, 160y x x y

    15. Berikut ini merupakan koordinat titik sudut daerah jimpunan penyelesaian

    sistem pertidaksamaan pada nomor 14, kecuali .

    a. (0,10) b. (150,0) c. (0,60)

    d. (120,0) e. (120,40)

    16. Pendapatan maksimum yang diperoleh pabrik perakitan adalah .

    a. Rp. 9.000.000,00

    b. Rp. 10.500.000,00

    c. Rp. 18.000.000,00

    d. Rp. 23.000.000,00

  • Program Linier 20

    e. Rp. 48.000.000,00

    17. Seorang pembuat roti mempunyai bahan A, B, dan C yang banyaknya

    berturut-turut 300 kg, 180 kg, dan 300 kg. Dengan bahan yang tersedia,

    pembuat roti membuat 2 macam roti sesuai pesanan. Komposisi bahan

    dinyatakan lewat tabel berikut :

    Macam roti Bahan A Bahan B Bahan C

    I (kg)

    II(kg)

    2

    6

    2

    4

    4

    2

    Bila banyak roti I dan II adalah x buah dan y buah, maka sistem

    pertidaksamaan yang sesuai adalah .

    a. 0, 0, 3 300, 2 180, 2 300x y x y x y x y

    b. 0, 0, 2 6 150, 2 4 90, 4 2 150x y x y x y x y

    c. 0, 0, 3 150, 2 90, 2 150x y x y x y x y

    d. 0, 0, 3 150, 2 90, 2 150x y x y x y x y

    e. 0, 0, 3 75, 2 45, 2 75x y x y x y x y

    18. Bila harga roti I adalah Rp. 350,00 dan roti II adalah Rp. 800,00, maka

    jumlah roti yang diproduksi sebesar .

    a. 45 b. 70 c.75

    d. 80 e. 90

    19. Nilai maksimal 5 4z x y dengan sistem pertidaksamaan 0x , 0y ,

    4 5 20x y , 3 6x y tercapai di titik .

    a. (0,6) b. (5,0) c. (0,12)

    d. (0,4) e. (2,0)

  • Program Linier 21

    20. Titik yang terdapat dalam daerah himpunan penyelesaian sistem

    pertidaksamaan 0, 7, 7 4 28, 3, 3 8 16x y x y x y x y

    adalah .

    a. 40 7

    ,11 11

    b. (4,0) c. (0,2)

    d. 7 40

    ,11 11

    e. (0,8)

    21. Nilai minimal bentuk objektif 400000 300000x y dengan sistem

    pertidaksamaan 4000, 5000, 10000x y x y adalah .

    a. 3.100.000 b. 3.400.000 c. 3.500.000

    d. 3.100.000.000 e. 3.400.000.000

    22. Nilai maksimal bentuk objektif 2 3x y yang memenuhi sistem

    pertidaksamaan 2 6, 1, 4x y x y x adalah .

    a. 9 b. 18 c. 23

    d. 25 e. 31

    23. Seorang pedagang hendak membeli 2 jenis perhiasan, jenis I seharga

    Rp.90.000,00 dan jenis II seharga Rp.120.000,00. Modal yang dimiliki

    sebesar Rp. 5.040.000,00 dan dia hanya mampu membeli sebanyak 50

    buah perhiasan.. Bila perhiasan I sebanyak x buah dan memberi laba

    Rp.12.500,00 dan perhiasan II sebanyak y buah memberi laba

    Rp.13.000,00, maka berapa jumlah perhiasan I dan II yang harus dibeli

    agar didapat laba maksimal adalah .

    a. 9 dan 16 buah

    b. 18 dan 30 buah

    c. 26 dan 24 buah

    d. 20 dan 30 buah

    e. 32 dan 18 buah

  • Program Linier 22

    24. Sebuah pabrik memiliki persediaan 2400 kg kayu, 3600 kg plastik, dan

    1800 kg baja. Pabrik itu akan membuat dua macam produk yaitu A dan B

    yang memerlukan bahan-bahan (dalam kg) sepeti dalam daftar berikut :

    Produk Kayu Plastik Baja

    A

    B

    10

    30

    30

    40

    20

    10

    Keuntungan tiap produk A adalah Rp.40.000,00 dan B adalah

    Rp.60.000,00. Bila banyak produk A dan B adalah x dan y buah maka

    didtem pertidaksamaan yang sesuai adalah

    a. 0, 0, 3 240, 4 3 360, 2 180x y x y x y x y

    b. 0, 0, 3 240, 4 3 360, 2 180x y x y x y x y

    c. 0, 0, 3 240, 3 4 360, 2 180x y x y x y x y

    d. 0, 0, 3 240, 3 4 360, 2 180x y x y x y x y

    e. 0, 0, 3 240, 3 4 360, 2 180x y x y x y x y

    25. Dari soal nomor 24, laba maksimal yang dapat diperoleh pabrik adalah

    a. Rp.3.600.000,00

    b. Rp.4.600.000,00

    c. Rp.4.800.000,00

    d. Rp.5.280.000,00

    e. Rp.5.400.000,00

    2. Tentukan penyelesaian permasalahan program linier dibawah ini!

    1. Sebuah penerbitan buku yang memproduksi buku matematika dan buku

    fisika sebanyak 450 buku. Dari penjualan buku matematika mendapat

    untung Rp.1500,00 dan buku fisika Rp.1250,00 tiap bukunya. Untuk

    memproduksi buku matematika dibutuhkan biaya Rp.20.000,00 dan

  • Program Linier 23

    Rp.16.000,00 untuk buku fisika. Modal yang dimiliki penerbitan sebesar

    Rp.8.000.000,00.

    a. Tentukan model matematika program linier di atas!

    b. Berapakah jumlah masing-masing buku matematika dan fisika yang

    harus diproduksi sehingga didapat keuntungan maksimal ?

    c. Berapa besar keuntungan yang diperoleh ?

    2. Suatu perusahaan real estate berencana membangun rumah bagi 1080

    orang. Karena terbatasnya lahan, banyaknya rumah yang dibangun tidak

    lebih dari 240 buah yang terdiri dari 2 tipe. Tipe I untuk 4 orang dengan

    harga jual Rp.16 juta dan tipe II untuk 6 orang seharga Rp.20 juta.

    a. Tentukan model matematika program linier di atas!

    b. Berapakah jumlah masing-masing tipa yang dibangun?

    c. Tentukan jumlah uang hasil penjualan rumah!

    3. Sebuah perusahaan mebel ingin membuat 2 jenis mebel yaitu meja dan

    lemari. Untuk membuatnya diperlukan 3 tahap (pemasangan, penghalusan

    dan pengecatan). Lamanya tiap tahap dinyatakan dalam jam dan

    dinyatakan lewat tabel di bawah ini :

    Mebel Pemasangan (jam) Penghalusan (jam) Pengecatan (jam)

    Meja

    Lemari

    2

    1

    1

    2

    1

    1

    Dalam 1 minggu, waktu yang tersedia untuk pemasangan 18 jam,

    penghalusan 16 jam dan pengecatan 10 jam. Keuntungan dari penjualan

    adalah Rp.18.000,00 tiap meja dan Rp.12.000,00 tiap lemari.

    a. Tentukan jumlah meja dan lemari yang harus dibuat agar keuntungan

    maksimal!

    b. Berapa besar keuntungan yang diperoleh?

  • Program Linier 24

    4. Sebuah toko roti akan membuat 2 jenis roti. Jenis I memerlukan 3 ons

    gandum dan 4 ons mentega. Jenis II memerlukan 4 ons gandum dan 2 ons

    mentega. Tersedia 4,8 kg gandum dan 4 kg mentega. Keuntungan jenis I

    Rp.100,00 dan jenis II Rp.200,00.

    a. Tentukan model program linier!

    b. Gambarlah daerah himpunan penyelesaian !

    c. Tentukan jumlah masing-masing jenis roti dan berapa keuntungan

    maksimalnya?

    5. Seorang pedagang beras ingin membeli beras Rojolele dan beras ketan.

    Harga 1 kg beras Rojolele Rp.4000,00 dan beras ketan Rp.2500,00 tiap kg.

    Dengan modal Rp.300.000,00 ia memperkirakan hanya mampu membeli 1

    kuintal saja. Jika ia ingin mengambil untung Rp.500,00 tiap kg beras

    rojolele dan Rp.300,00 tiap kg beras ketan, maka tentukan :

    a. Model matematika program liniernya

    b. Komposisi jumlah beras Rojolel dan beras ketan yang harus dibeli.

    c. Keuntungan maksimal yang diperoleh!