OPTIMASISASI MATEMATISBetyarningtyas Kusumastuti 11.6584

Clara Septyana Rahma Sulaeman 11.6594

Muh Tabrani  11.6791

Okta Merkuriana  11.6841

Syaiful Nugroho Adi Saputro 11.6920

Translated from Walter Nicholson

JakartaNovember, 2013

1

Daftar Ini

MATERI...................................................................................................................................... 3

Memaksimalkan Fungsi Satu Variabel........................................................................................ 3

Fungsi Beberapa Variabel........................................................................................................... 4

Elastisitas.................................................................................................................................... 5

Memaksimimalisasi Fungsi Dari Beberapa Variable................................................................... 6

The Envelope Theorem (Teorema Amplop)................................................................................ 9

Memaksimalkan Konstrain (Kendala)......................................................................................... 11

Teorema Amplop Masalah Maksimalisasi Dibatasi.................................................................... 12

Inequality Constraints................................................................................................................ 13

Kondisi Order Kedua................................................................................................................... 14

Homogeneous Function (Fungsi Homogen)............................................................................... 16

LATIHAN SOAL........................................................................................................................... 17

2

MEMAKSIMALKAN FUNGSI SATU VARIABEL

Titik permasalahan ekonomi adalah adanya asumsi dari agen ekonomi untuk mendapatkan nilai optimal dari suatu fungsi, di mana konsumen mencari kepuasan maksimal, sedangkan perusahaan selalu memaksimalkan keuntungan.

Turunan:Contoh kasus: suatu perusahaan ingin memaksimalkan keuntungan. Anggap keuntungan lambangkan

dengan dan jumah barang terjual (q)

Turunan dari fungsi adalah limir dari ; sehingga

; yang nilainya tergantung pada nilai q1.

Hasil dari turunan pada titik q = q1 dapat dinotasikan

yang nilainya dapat bervariasi antara:

< 0; > 0; = 0;

Turunan Orde Pertama Pada fungsi dari satu variabel, untuk mencapai nilai maksimum di beberapa titik, turunan pada titik itu harus nol

Turunan Orde KeduaTurunan Orde Kedua menunjukkan nilai maksimum local

Aturan turunan:

3

Untuk kasus tertentu, dex/dx = ex

FUNGSI BEBERAPA VARIABEL

•Sebagian besar tujuan pelaku ekonomi tergantung pada beberapa variabel(Trade-off harus dilakukan)•Ketergantungan satu variabel (y) pada serangkaian variabel lain (x1, x2, ..., xn) dinotasikan dengan

Turunan parsialParsial turunan dari y terhadap x1 dinotasikan dengan

Hal ini dimengerti bahwa dalam menghitung turunan parsial, semua x yang lain ditetapkan konstanSebuah definisi yang lebih formal dari turunan parsial adalah

Menghitung turunan parsial

4

Turunan Parsial• Turunan Parsial merupakan ekspresi matematis dari asumsi ceteris paribus-Menunjukkan bagaimana perubahan dalam satu variabel mempengaruhi beberapahasilketikapengaruhlain tetap konstan•Kita harus memperhatikan bagaimana variabel diukur-Jika q merupakan jumlah bensin yang diminta (diukur dalam miliaran galon) dan p merupakan harga dalam dolar per galon, maka q/p akan mengukur perubahan dalam permintaan (dalam billiions galon per tahun) untuk satu dolar per perubahan galon harga.

ELASTISITAS

Elastisitas adalah perbandingan perubahan proporsional dari sebuah variabel dengan perubahan variable lainnya.

Sebagai cotoh Elastisitas y terhadap x adalah

Elasticity and Functional Form

Misalkan, y = a + bx + ‘other terms’ ; maka elastisitas dalam kasus tersebut adalah

Dari penyelesaian kasus diatas terlihat bahwa elastisitasnya tidak konstan. Sehingga penting untuk dicatat titik di mana elastisitas yang harus dihitung.

Misalkan, y = axb maka elastisitas dalam kasus tersebut adalah

Misalkan, ln y = ln a + b ln x; maka elastisitas dalam kasus tersebut adalah

Elastisitas dapat dihitung melalui diferensiasi logaritmik

5

Second-Order Partial DerivativesTurunan parsial dari suatu turunan parsial disebut Second-Order Partial Derivatives. Dapat ditulis sebagai berikut

Young’s Theoremsecara umumurutan melakukan turunan pasial dalam memperoleh Second-Order Partial Derivativeskedua tidak masalah.

Penggunaan Second-Order Partial Second-Order Partial berperan penting dalam banyak teori ekonomi. Salah satu yang paling penting adalah variabel Second-Order Partial sendiri, fii. Fungsi tersebut menunjukkan bagaimana pengaruh perubahan marjinal xi terhadapy (y/xi) sebagai hasil dari peningkatan xi. Nilai fii < 0 mengindikasikan berkurangnya efektivitas marjinal.

MEMAKSIMIMALISASI FUNGSI DARI BEBERAPA VARIABLE

Dengan menggunakan turunan parsial, kita sekarang dapat membahas bagaimana mencari nilai maximum untuk fungsi dari beberapa variable. Dalam kasus satu variable, kita dapat menggambarkan bermacam-macam perantara x dengan jumlah yang kecil, dx1 dan mengamati perubahan di y (sebut saja dy). Perubahan ini diberikan dengan dy = f ’(x) dx. … 2.17

Identitas dalam persamaan 2.17 merekam fakta bahwa perubahan y sama dengan perubahan x kali kemiringan fungsi. Rumus ini sama dengan rumus kemiringan titik yang digunakan untuk persamaan linier dalam dasar aljabar. Seperti sebelumnya, kondisi yang diperlukan untuk maximum adalah dy = 0 untuk perubahan kecil pada x sekitar titik optimum. Jika tidak, y dapat ditingkatkan dengan perubahan yang sesuai dalam x. Tetapi karena dx belum tentu sama dengan 0 dalam persamaan 2.7, dy = 0 harus menyatakan di titik yang diinginkan. f’(x) = 0. Ini adalah cara lain memperoleh kondisi orde pertama/turunan pertama untuk maximum yang sudah kita peroleh.

Menggunakan analogi ini, mari kita melihat keputusan yang dibuat oleh agent ekonomi yang harus memilih tingkat dari beberapa variable. Misalkan bahwa agent ini mengharapkan untuk menemukan satu set x yang akan memaksimalkan nilai dari y = f(x1, x2, …, xn). Agent tersebut mungkin mempertimbangkan mengubah hanya satu dari x, katakanlah x1, sementara yang lain tetap konstan.

Perubahan di y (yaitu dy) yang akan dihasilkan dari perubahan di x1 diberikan oleh =

6

Total differentialJika semua x itu bervariasi dengan jumlah yang kecil, total efek y akan berupa jumlah dari pengaruh seperti yang tertera di atas. Oleh karena itu, total perubahan y ditetapkan menjadi

… (2.18)

Pernyataan ini disebut total differential dari f dan secara langsung disamakan kepada pernyataan untuk kasus satu variable diberikan dalam persamaan 2.17. Persamaan tersebut sangat peka. Total perubahan y adalah jumlah dari perubahan oleh bermacam-macam tiap x.

Turunan pertama untuk maximumSebuah kondisi yang diperlukan untuk maksimum (atau minimum) dari fungsi f(x1, x2, …, xn) adalah bahwa dy = 0 untuk setiap kombinasi perubahan kecil dalam x. Satu-satunya cara ini bisa terjadi jika, pada titik yang dipertimbangkan f1 = f2 = … = fn = 0 … (2.19)Sebuah titik pada persamaan 2.19 disebut titik kritis.

Contoh:Misalkan y adalah fungsi dari x1 dan x2 yang diberikan oleh y = - (x1 - 1)2 - (x2 - 2)2 + 10 … (2.20)

y = - x12 + 2x1 - x2

2 + 4x2 + 5

Sebagai contoh, y mungkin mewakili kesehatan individu (diukur pada skala 0 sampai 10),dan x1 dan x2 mungkin dosis harian dari dua obat yang meningkatkan kesehatan. Kita ingin menemukan nilai untuk x1 dan x2 yang membuat y sebesar mungkin. Ambil turunan parsial dari y terhadap x1 dan x2

dan menerapkan kondisi yang diperlukan diberikan oleh Persamaan 2.19 menghasilkan

… (2.21) Atau

Oleh karena itu fungsi tersebut pada titik kritis ketika x1 = 1, x2 = 2. Pada saat itu, y = 10 adalahstatus kesehatan terbaik. Sedikit eksperimen memberikan bukti yang meyakinkan bahwa ini adalah nilai y terbesar yang dapat dimiliki. Misalnya, jika x1 = x2 = 0, maka y = 5, atau jika x1 = 1 = x2, maka y = 9. Nilai-nilai x1 dan x2 lebih besar dari 1 dan 2, masing-masing mengurangi y karena kuadrat negatif dalam Persamaan 2.20 menjadi lebih besar. Akibatnya, titik ditemukan dengan menerapkan kondisi yang diperlukan sebenarnya adalah lokal maksimum (dan global).

7

Kondisi Orde keduaSekali lagi, bagaimanapun, kondisi Persamaan 2.19 tidak cukup untuk memastikan maksimal.Orde kedua parsial harus mematuhi pembatasan tertentu (analog dengan pembatasan yang berasal dari kasus satu variabel) jika titik kritis yang ditemukan dengan menerapkan Persamaan 2.19 adalah menjadi maksimum lokal.

Fungsi ImplisitMeskipun persamaan matematika sering ditulis dengan variable bergantung (y) sebagai fungsidari satu atau lebih variabel independen (x), ini bukan satu-satunya cara untuk menulis hubungan tersebut. Sebagai contoh sepele, persamaan

y = mx + b … (2.22)

y – mx – b = 0 … (2.23)

atau lebih umumnya sebagai f ( x, y, m, b )= 0 …(2.24)

di mana notasi fungsional ini menunjukkan hubungan antara x dan y yang juga tergantung padakemiringan (m) dan intercept (b) parameter fungsi, yang tidak berubah. Fungsi ditulis dalam bentuk ini kadang-kadang disebut fungsi implisit karena hubungan antara variabel dan parameter secara implisit hadir dalam persamaan bukannya dihitung sebagai eksplisit, misalnya, y sebagai fungsi dari x dan parameter m dan b.Seringkali itu adalah masalah sederhana untuk menerjemahkan dari fungsi implisit kepada yang eksplisit. Misalnya, fungsi implisit x + 2y – 4 = 0 … (2.25)dapat dengan mudah terselesaikan x sebagai x = -2 y + 4 …(2.26)atau y sebagai

y = - …(2.27)

Turunan dari fungsi implisitDalam banyak keadaan ini sangat berguna untuk menghitung turunan langsung dari fungsi implisit tanpa pemecahan untuk salah satu variabel secara langsung. Misalnya, fungsi implicit f(x,y) = 0 memiliki total turunan dari 0 = fxdx + fydy, sehingga

…(2.28)

Oleh karena itu, turunan implisit dapat ditemukan sebagai rasio parsial negative

turunan dari fungsi implisit, memberikan fy ≠ 0.

8

ContohDalam Contoh 1.3 kita memeriksa batas kemungkinan produksi untuk dua barang bentuk

2x2 + y2 = 225

Dapat ditulis ulang menjadi f(x,y) = 2x2 + y2 - 225 = 0

Karena fx = 4x and fy = 2y

dan, dari Persamaan 2.28, kesempatan biaya trade-off antara x dan y

yang justru hasil yang kami peroleh sebelumnya, dengan lebih sedikit kerja.

Teorema fungsi implicitIni mungkin tidak selalu memungkinkan untuk memecahkan fungsi implisit dari bentuk g(x,y) = 0 untuk fungsi eksplisit yang unik dari bentuk y = f(x). Matematikawan telah menganalisis kondisi mana fungsi implisit yang diberikan dapat diselesaikan secara eksplisit dengan satu variabel menjadi fungsi variabel lain dan berbagai parameter. Dalam banyak aplikasi ekonomi, kondisi turunan ini justru yang dibutuhkan untuk memastikan bahwa kondisi orde kedua untuk maksimum (atau minimal).

THE ENVELOPE THEOREM (Teorema Amplop)

Envelope theorem adalah suatu teorma yang membahas bagaimana nilai suatu fungsi tertentu akan berubah ketika parameter dari fungsi tersebut berubah.

Misalkan y = -x2+ax. Untuk nilai a yang berbeda-beda fungsi tersebut menunjukkan grafik parabola terbalik. Apabila nilai a ditentukan terlebih dahulu secara spesifik, maka y hanya akan menjadi fungsi x dan nilai x yang memaksimalkan nilai y dapat dihitung.

Nilai a Nilai x* Nilai y*

0 0 01 ½ ¼2 1 13 3/2 9/44 2 45 5/2 25/46 3 9

9

Anggap kita tertarik pada bagaimana y* berubah. Ada dua macam cara untuk mendapatkan perubahan tersebut.

1. Menghitung slope secara langsung

2. Menganggap x konstan pada nilai optimalnya dan menghitung secara langsung.

Untuk menghitung slope dari fungsi tersebut kita harus mencari nilai optimal dari x untuk setiap nilai a yang ada

Dengan mensubstitusi kita akan mendapat:

Maka:

Akan tetapi, kita dapat mempersingkat cara tersebut dengan menggunakan Envelope Theorem:

Untuk perubahan kecil di , dapat dihitung dengan menahan x di x* dan menghitung

langsung dari y.

Envelope Theorem menunjukkan bahwa perubahan nilai optimal dari suatu fungsi yang tergantung pada parameternya dapat dicari secara dengan menurunkan fungsinya secara parsial dan menahan x tetap pada nilai optimalnya

10

Envelpe Theorem dapat diperluas di mana y adalah fungsi dari beberapa variabel

Mencari nilai optimal untuk y akan terdiri dari penyelesaian n-orde pertama persamaan

Nilai optimal dari x akan ditentukan bahwa fungsinya

Mensubstitusikan ke fungsi aslinya maka akan didapat persamaan nilai optimal dari berdasarkan

parameter secara langsung maupun tidak langsung melalui efek dalam

Kaena kondisi orde pertama dri semua pola, kecuali sama dengan nol jika xberada di nilai

optimal, maka:

MEMAKSIMALKAN KONSTRAIN (KENDALA)

Kondisi dimana x memiliki ketentuan khusus. Untuk mendapatkan nilai maksimum, gunakan metode pengali Lagrange.

Kondisi dimana kita akan memaksimumkan suatu fungsi dari y=f(x1, x2, …, xn) = 0, dimana terdapat kendala atas nilai dari X yang digunakan g(x1, x2, …, xn) = 0

Bentuk umum pesamaan Lagrange:

L = f(x1, x2,…, xn ) + lg(x1, x2,…, xn)

11

Dimana l = pengali Lagrange

L/x1 = f1 + lg1 = 0

L/x2 = f2 + lg2 = 0

…

L/xn = fn + lgn = 0

L/l = g(x1, x2,…, xn) = 0

Turunan pertama secara umum dapat diselesaikan untuk x1, x2, …, xn

Hasilnya akan berkarakteristik:- Nilai x akan mengikuti konstrain- Nilai x akan membuat nilai L (dan f) menjadi besar

Pengali Lagrange (l) memiliki interprestasi yang penting dalam ekonomi.

Bentuk turunan pertamanya ialah

-pembilang di atas mengukur keuntungan marginal - penyebut menunjukkan tambahan beban pada kontrain dengan penggunaan x bertambah.Pada pilihan optimal untuk x itu, rasio keuntungan marjinal dari peningkatan xi dengan biaya marjinal meningkatkan xi harus sama untuk setiap x

adalah rasio biaya- keuntungan umum untuk semua x itu

Jika kendala adalah santai sedikit, itu tidak masalah apabila x diubah.Lagrangian multiplier memberikan ukuran bagaimana relaksasi dalam kendala akan mempengaruhi nilai y

menyediakan "harga bayangan" untuk kendala.

Sebuah nilai menunjukkan bahwa y dapat ditingkatkan secara substansial. Tiap x memiliki

rasio biaya-manfaat tinggi

Sebuah nilai yang rendah, menunjukkan bahwa tidak ada banyak yang bisa diperoleh.

= 0 menunjukkan bahwa kendala tidak mengikat.

Duality

12

Setiap masalah memaksimumkan terkendala pada keterkaitan dengan masalah ganda dalam minimisasi terbatas yang memfokuskan perhatian pada kendala dalam masalah asli.Individu memaksimalkan utilitas dengan kendala anggaran. Masalah ganda: individu meminimalkan biaya yang diperlukan untuk mencapai suatu tingkat utilitasPerusahaan meminimalkan biaya input untuk menghasilkan tingkat output tertentu. Masalah ganda: perusahaan memaksimalkan output denga biaya tertentu input yang dibeli

TEOREMA AMPLOP MASALAH MAKSIMALISASI DIBATASI

•Misalkan kita ingin memaksimalkany = f(x1,…,xn;a)

tunduk pada kendalag(x1,…,xn;a) = 0

•Salah satu cara untuk memecahkan akan mengatur ekspresi Lagrangian dan memecahkan kondisi orde pertama• Atau, dapat ditunjukkan bahwa

dy*/da = L/a(x1*,…,xn*;a)

•Perubahan nilai maksimal y yang terjadi ketika perubahan dapat ditemukan dengan sebagian membedakan L dan mengevaluasi derivatif parsial pada titik optimal.

INEQUALITY CONSTRAINTS

Dalam beberapa masalah ekonomi constraints tidak selalu sama. Seperti dapat kita lihat pada contoh berikut.

Misalkan kita berusaha untuk memaksimalkan y = f(x1,x2)yang tergantung pada:g(x1,x2) 0,x1 0, and

x2 0

Salah satu cara untuk memecahkan masalah ini adalah untuk menggunakan tiga variabel baru (a, b, dan c) yang mengkonversi ketidaksamaan menjadi persamaan. Untuk menjaga agar tetap pada bentuk pertidaksamaan maka kita mengkuadratkan variabel-variabel baru tersebut agar nilainya selalu positif.

g(x1,x2) - a2 = 0;x1 - b2 = 0; and

x2 - c2 = 0

kita dapat memasukkan ke dalam persamaan Lagrang seperti berikutL = f(x1,x2) + l1[g(x1,x2) - a2] + l2[x1 - b2] + l3[x2 - c2]

13

Ini akan mengakibatkan delapan kondisi orde pertama sebagai berikut:

L/x1 = f1 + l1g1 + l2 = 0

L/x2 = f1 + l1g2 + l3 = 0

L/a = -2al1 = 0

L/b = -2bl2 = 0

L/c = -2cl3 = 0

L/l1 = g(x1,x2) - a2= 0

L/l2 = x1 - b2= 0

L/l3 = x2 - c2= 0

Menurut kondisi ketiga, baikaataul1 = 0

Jika a = 0, kendala g(x1,x2) berlaku benar Jika l1 = 0, adanya slacknessdari kendala tersebut menunjukkan bahwa nilaibagi fungsi

objektifnya adalah 0

Hubungan complemetary slackness serupa juga berlaku untuk x1 dan x2. Hal tersebut biasanya disebut dengan Kuhn-Tucker conditions.

menunjukkan bahwa solusi untuk masalah optimisasi yang melibatkan kendala ketimpangan akan berbeda dari masalah yang sama yang melibatkan kendala kesetaraan dalam cara yang agak sederhana.

kita tidak boleh salah cara mengerjakan terutama dengan kendala yang melibatkan persamaan.

KONDISI ORDER KEDUA

Fungsi dari Satu Variable Misalkan y = f(x) Sebuah kondisi yang diperlukan untuk maksimum adalah bahwa dy/dx = f ’(x) = 0 Untuk memastikan bahwa titiknya adalah maksimal, y harus menurun

Total differential y : dy = f ’(x) dx Untuk di maksimal, dy harus menurun untuk peningkatan kecil di x

Untuk melihat perubahan dy, kita harus menggunakan turunan kedua dari y

Perhatikan bahwa d 2y < 0 menyiratkan bahwa f ’’(x)dx2 < 0Karena dx2 harus positif , f ’’(x) < 0

Ini berarti bahwa fungsi f harus memiliki bentuk cekung pada titik kritis

Fungsi dari Dua Variabel Misalkan y = f(x1, x2)

14

Kondisi order pertama agar maksimum adalah o y/x1 = f1 = 0o y/x2 = f2 = 0

Untuk memastikan bahwa titiknya adalah maksimal, y harus berkurang untuk gerakan ke segala arah jauh dari titik kritis

Kemiringan ke arah x1, (f1) harus berkurang pada titik kritis Kemiringan ke arah x2, (f2) harus berkurang pada titik kritis

Tapi, kondisinya juga harus ditempatkan pada derivatif lintas parsial (f12 = f21) untuk memastikan dy menurun untuk semua gerakan melalui titik kritis

Total differential dari y yakni dy = f1 dx1 + f2 dx2 Turunan dari fungsi tersebut yakni

o d 2y = (f11dx1 + f12dx2)dx1 + (f21dx1 + f22dx2)dx2

o d 2y = f11dx12 + f12dx2dx1 + f21dx1 dx2 + f22dx2

2

Dengan teorema Young, f12 = f21 dan o d 2y = f11dx1

2 + 2f12dx1dx2 + f22dx22

o d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2

2

Untuk persamaan ini menjadi jelas negatif untuk setiap perubahan dalam x itu , f11 dan f22 harus negative.

Jika dx2 = 0, maka d 2y = f11 dx12

o untuk d 2y < 0, f11 < 0

Jika dx1 = 0, maka d 2y = f22 dx22

o untuk d 2y < 0, f22 < 0

o d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2

2

Jika dx1 dan dx2 tidak nol, maka d 2y akan jelas negative hanya jika o f11 f22 - f12

2 > 0o turunan parsial kedua (f11 dan f22) harus cukup negatif sehingga mereka lebih besar daripada

kemungkinan efek yang merugikan dari derivatif parsial lintas (f12 = f21)

Constrained maximizationMisalkan kita ingin memilih x1 dan x2 untuk memaksimalkan y = f(x1, x2) dengan kendala linier constant c - b1x1 - b2x2 = 0Kita dapat menggunakan Lagrangian

o L = f(x1, x2) + l(c - b1x1 - b2x2)

Kondisi orde pertama adalaho f1 - lb1 = 0o f2 - lb2 = 0o c - b1x1 - b2x2 = 0

Untuk memastikan kita memiliki maksimal , kita harus menggunakan turunan total keduao d 2y = f11dx1

2 + 2f12dx1dx2 + f22dx22

15

Hanya nilai-nilai x1 dan x2 yang memenuhi kendala dapat dianggap alternatif yang valid ke titik kritis.

Dengan demikian , kita harus menghitung diferensial total kendalao -b1 dx1 - b2 dx2 = 0o dx2 = -(b1/b2)dx1

Ini adalah perubahan relatif dalam x1 and x2

Karena kondisi orde pertama menyiratkan bahwa f1/f2 = b1/b2, kita dapat menggantikan dan mendapat dx2 = -(f1/f2) dx1

Karena d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2

2 kita dapat mengganti dx2 dan mendapatkan

o d 2y = f11dx12 - 2f12(f1/f2)dx1

2 + f22(f12/f2

2)dx12

Menggabungkan syarat dan menata ulang d 2y = f11 f22

- 2f12f1f2 + f22f12 [dx1

2/ f22]

Oleh karena itu, untuk d 2y < 0, itu harus benar bahwa f11 f22

- 2f12f1f2 + f22f12 < 0

Persamaan ini mencirikan satu set fungsi disebut fungsi kuasi – cekung

dua titik dalam himpunan dapat bergabung dengan garis yang terkandung sepenuhnya di himpunan

Fungsi cekung dan Quasi – cekungPerbedaan antara fungsi cekung dan quasi - cekung dapat digambarkan dengan fungsi

y = f(x1,x2) = (x1×x2)k dimana x diambil hanya nilai-nilai positif dan k dapat diambil dari berbagai nilai-nilai positif

Tidak peduli nilai k, fungsi ini adalah kuasi – cekung

Apakah fungsi cekung atau tidak tergantung pada nilai k

o jika k < 0,5 , fungsi cekung

o jika k > 0,5 , fungsi ini cembung

HOMOGENEOUS FUNCTION (Fungsi Homogen)

Sebuah fungsi f(x2, x2, ....xn) dikatakan homogen denga derajat k jika

Ketika fungsi homogen berderajat satu, penggandaan dari semua argumennya akan menggandakan nilai dari fungsi itu sendiri

Ketika fungsi homogen berderajat nol, penggandaan dari semua argumennya tidak akan mengubah nilai fungsinya

Jika fungsi homogen berderajat k, maka turunan parsial dari fungsinya akan berupa fungsi homogen dengan derajat k-1

EULER’S THEOREM

16

Kegunaan lain dari fungsi homogen dapat ditunjukkan dengan menurunkan definisi homogenitas

terhadap faktor proporsional . Dala kasus ini kita akan menurunkan sisi kanan dari persamaan

. Saat persamaan tersebut akan

menjadi . Persamaan inilah yang diseut Euler’s

Theoremuntuk fungsi yang homogen. Ini menunjukkan bahwa untuk fugsi homogen ada hubungan yang pasti antara nilai dari fungsi dan nilai dari turunan parsialnya.

HOMOTHETIC FUNCTIONS

Homothetic Function adalah fungsi yang terbentuk dengan mengambil transformasi monotonic dari fungsi homogen. Transformasi monotonik, berdasarkan definisinya menjaga hubungan antara argumen dai fungsi dan nilai dari fungsinya. Dalam beberapa kasus spesial homothetic function tidak memiliki properti dari fungsi pokoknya.

Jika kita mengasumsikan adalah homogen dengan derajat , turunan parsialnya akan homogen

dengan derajat

Apabila maka

Yang menunjukkan pertukaran hanya pada rasio x ke y. Jika kita mengaplikasikan monotonic

transformation, ke fungsi homogen aslinya maka

Hal ini menunjukkan bahwa pertukaran tidak dikarenakan transformasi monotonik dan menunjukkan bahwa fungsi hanya rasio x ke y.

17

Latihan Soal

Soal 2.1 Andaikan U(x,y) = 4x2 + 3y2

a. Hitung , ?

b. Hitung turunan parsial saat x = 1, y = 2 c. Tuliskan total diferensial untuk U

d. Hitunglah untuk dU = 0,

e. Tunjukkan U = 16, ketika x = 1, y = 2f. Berapakah rasio x dan y sehingga U bernilai konstan, 16 untuk pergerakan dari x = 1, y = 2.g. Secara umum, berbentuk apakah garis kontur dari U = 16 pada fungsi ini? Bagaimana slope garis

tersebut?

Jawab:

2.1

a) = 8x dan = 6y

b) saat x = 1, maka = 8x = 8(1) = 8

saat y = 2, maka = 6y = 6(2) = 12

c) total diferensial

= 8x + 6y

d) fungsi implicit (trade-off)

e) saat x = 1, y = 2, maka U = 4x2 + 3y2 = 4.(1)2 + 3.(2)2 = 4 + 12 = 16

18

f) saat x = 1, y = 2, maka

g) elips

Soal 2.2Andaikan total pendapatan suatu perusahaan tergantung pada jumlah produksi (q) menurut fugsi

Biaya total juga tergantung pada q

a. Berarpa banyak output yang harus diproduksi suatu perusahaan agar memenuhi keuntungan maksimum?

b. Tunjukkan bahwa keadaan turunan kedua untuk menunjukkan maksimum kepuasan yang diperoleh dari tingkat output yang ditemukan pada poin a

c. Apakah solusi yang telah dihitung mematuhi hukum “pemasukan marginal memaksimumkan kepuasan marginal”? Terangkan

Jawab :

a) Keuntungan maksimum

Turunan pertama

Jadi output maksimal yang dapat memenuhi keuntungan maksimum adalah 10 unit.

b) Turunan kedua

19

Karena nilai turunan kedua -4 maka terbukti bahwa maksimum output yang dapat memaksimum keuntungan adalah 10 unit

c) .....

Soal 2.3Misalkan f (x, y) = xy. cari nilai maksimum untuk f jika x dan y terkendala x+y=1. slove masalah ini dalam dua cara: dengan substitusi dan dengan menggunakan metode pengali Lagrangian.

Jawab:f(x,y) = xy dengan kendala x+y = 1

subtitusix = 1 – y masukkan ke f(x,y), sehinggaf(x,y) = (1–y)y = -y2+yf(x,y)/y = -2y + 1 = 0

y = ½x = 1 - y = 1 – ½ = ½

setelah memperoleh nilai x dan y masukkan ke f(x,y)

f(x,y) = xy

f(x,y) = 0,5 x 0,5 = 0,25

metode lagrangL = f(x,y) + l[x+y-1]L = xy + l[x+y-1]

L/x = y + l = 0 (1) L/y = x + l = 0 (2) L/l= x+y-1 = 0 (3)

Persamaan 1 dan 2l = -yl = -x

x = y (4)

subtiusi pesamaan 4 ke 3

x+y-1 = 0

x+x-1 = 0

2x = 1 x = 0,5 = y

jadi f(x,y) maksimum adalah

20

f(x,y) = xy

f(x,y)= 0,5 x 0,5 = 0,25

Soal 2.4Masalah ganda yang dijelaskan dalam masalah 2.3 adalah memperkecil x + y dengan kendala xy = 0.25Selesaikan masalah ini menggunakan tehnik Lagrange. Kemudian bandingkan nilai yang dapat dari perkalian Lagrange dengan nilai yang kamu dapat pada soal 2.3. Jelaskan hubungan diantara dua jawaban tersebut.Jawab :

= f(x) + .g(x)

= x + y + (xy – 0.25)

= x + y + xy – 0.25

1 + y = 0

= … (1)

1 + x = 0

= … (2)

xy – 0.25 = 0xy = 0.25 … (3)

Dari pers (1) & (2)

(4)

Dari pers (3) & (4)xy = 0.25x(x) = 0.25x2 = 0.25x = 0.5y = 0.5

Pada kedua jawaban yang didapat dari soal 2.3 dan 2.4 menghasilkan nilai yang sama. Dimana nilai x sama dengan nilai y pada angka 0.5.

Soal 2.5

Tinggi bola yang dilemparkan dari atas yang ditunjukkan dalam (di mana g

adalah nlai gravitasi yang konstan)

a. Bagaimana nilai t saat h maksimum bergantung pada parameter

b. Gunakan jawaban a untuk menjelaskan bagaimana h max berubah karena perubahan parameter

c. Gunakan Envelope Theorem untuk menjawab b

d. Nilai . Jika dua lokasi memiliki perbedaan gaya gravitasi sebesar 0,1 bagaimana tinggi bola

yang dijatuhkan dari dua tempat yang berbeda

21

Jawab:

a.

b.

Maka

c.

d.

22

Soal 2.6Sebuah cara sederhana untuk memodelkan konstruksi d ari sebuah tangki minyak adalah dengan memulai dengan lembar baja sebesar berbentuk persegi panjang, dimana lebar sebesar x kaki dan panjang sebesar 3x kaki. Sekarang , potong kotak yang lebih kecil dengan panjang sisi t kaki di setiap pojok lembar baja besar. Lipat dan tekuk setiap sisi lembar baja, sehingga berbentuk baki (tanpa tutup)

a. Tunjukkan volume maksimum dari minyak yang dapat ditampung wadah tersebut adalah V = t(x-2t)(3x-2t) = 3tx2-8t2x-4t3.

b. Berapakah nilai t yang dapat memaksimalkan V untuk setiap nilai x yang ditentukan.c. Adakah nilai x yang dapat memaksimalkan volume minyak yang dapat ditampung wadah tersebut.d. Andaikata seorang pembuat kapal ditentukan untuk hanya menggunakan 1,000,000 “kaki kuadrat”

dari lembar baja untuk membuat tangki minyak. Ketentuan ini dinyatakan dengan persamaan 3x2 - 4t2 = 1,000,000 (karena pembuatnya dapat mengembalikan sisa potongan kotak). Bagaimana solusi untuk kendala maksimum dibandingkan dengan soal pada poin b d an c.

Jawab:

a) Ilustrasi

volume = p.l.tDimana, p = (3x-2t); l = (x-2t); dan t = t, maka=volume = p.l.t

= (3x-2t). (x-2t).t

b) V = 3x2t-8xt2-4t3 nilai t yang dapat memaksimalkan V, maka

23

Sehingga kemungkinan nilai t yang dapat memaksimalkan V (volume) adalah atau .

Karena nilai negative tidak mungkin, maka nilai t yang dapat memaksimalkan V (volume) adalah

.

c) nilai x yang dapat memaksimalkan V, maka

Sehingga nilai x yang dapat memaksimalkan V (volume) adalah

d) 3x2 - 4t2 = 1,000,000

…… (i)

…… (ii)

f11=6t+ =t+

f22 = 8 -24t-16x = 1 -3t-2x

f12 =

bentuk maximum constrain:

d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2

2

= t+ +2( + 1 -3t-2x

= t+ +6 + 1 -3t-2x

= +4

24

= +2

Soal 2.7Mempertimbangkan masalah pemaksimalan yang dibatasi

Dimana k adalah konstanta yang dapat ditentukan pada semua nilai tertentu

a. Tunjukkan bahwa jika k=10,masalah ini dapat diselesaikan hanya dengan satu persamaan kendala

b. Tunjukkan bahwa penyelesaian soal ini untuk k=4 memerlukan x1=-1c. Jika x harus positif, apakah solusi yang paling optimal ketika k=4d. Apa solusi penyelesaian ketika k=20? Apa yang dapat kamu simpulkan dari membandingkan

penyelesaian ini dengan penyelesaian pada part a?(catatan : penyelesaian ini melibatkan yang disebut “fungsi kuasi linear”. Fungsi itu menyediakan contoh penting dari beberapa tipe reaksi dalam teori konsumen seperti yang dapat kita lihat)

Jawab :

a.

-

-

-

25

Persamaan 1 dan 2

Pesamaan 3 dan 4, dengan k=10

Jadi.............................

b. Jika k=4, maka

c. X positiveDimana

...karena x harus positif maka didekati dengan

d. Jika k=20 maka

-

-

26

-

Persamaan 1 dan 2

Pesamaan 3 dan 4, dengan k=20

Tidak dapat diselesaikan dengan satu persamaan kendala

d) MR=

Soal 2.8Tunjukkan bahwa jika f (x1, x2) adalah fungsi concave, juga merupakan fungsi quasi-concave. Lakukanlah dengan membandingkan persamaan 2.114 (defining quasi-concavity) dengan persamaan 2.98 (defining concavity). Dapatkah kamu memberikan sebuah yang intuisi untuk hasil ini? Apakah kebalikan dari statmen itu benar? adalah fungsi quasi-concaveselalu concave?

Jawab :

( 2.114)

(2.98)

2.9 Salah satu fungsi terpenting yang akan kita temui di dalam buku ini adalah fungsi Cobb Douglas: y=(x1)α(x2)β dimana α dan β merupakan bilangan konstant positif yang salah satunya lebih sedikit dari yang lain.

27

a. Tunjukkan bahwa fungsi ini “quasi cekung” menggunakan metode “tenaga kasar” dengan menerapkan persamaan 2.114

b. Tunjukkan fungsi Cobb Douglas adalah “quasi cekung” dengan menunjukkan bahwa garis kontur dari bentuk y = c (dimana c merupakan constant positif) adalah cembung dan oleh karena itu himpunan titik-titik y > c adalah cembung.

c. Tunjukkan jika α + β > 1 maka fungsi Cobb Douglas tidak cekung ( di sana mengilustrasi bahwa tidak semua fungsi “quasi cekung” adalah cekung). (Catatan: Fungsi Cobb Douglas dibahas lebih lanjut dalam bab ini)

Penyelesaian

a. y = f(x1,x2)=(x1)α(x2)β

f1 = αx1α-1x2

β

f11 = α(α -1).x1α-2x2

β

f12 = α β.x1α-1x2

β -1

f2 = βx1 α x2

β -1

f22 = β (β-1).x1 α x2

β -2

persamaan 2.114

f11f22

– 2f12f1f2 + f22 f12 < 0

α(α -1).x1 α -2x2

β [βx1 α x2

β -1]2 - 2 α β.x1 α -1x2

β -1. α x1 α -1x2

β.βx1 α x2

β -1 + β (β-1).x1 α x2

β -2[α x1 α -1x2

β]2

α (α -1).x1 α -2x2

β.β2x12 α x2

2 β -2 - 2 α 2β2.x13 α -2x2

3 β -2+ β (β-1).x1 α x2

β -2 α 2x12 α -2x2

2 β

α ( α -1). β2.x13 α -2x2

3 β -2 - 2 α 2β2.x13 α -2x2

3 β -2+ β (β-1). α 2.x13 α -2x2

3 β -2

α (α -1).β2.x13 α -2x2

3 β -2 - 2 α 2β2.x13 α -2x2

3 β -2+ β (β-1). α 2.x13 α -2x2

3 β -2

[α (α -1). β2 - 2 α 2β2 + β (β-1). α 2] x13 α -2x2

3 β -2

[α 2β2 - α β2 - 2 α 2β2 + α 2β2 - α 2β] x13 α -2x2

3 β -2

[- α β2 - α 2β ] x13 α -2x2

3 β -2

Bernilai negative, sehingga [-α β2 - α 2β ] x13 α -2x2

3 β -2 < 0 “quasi concave”

b. y = f(x1,x2)=(x1) α (x2) β

28

y = c

(x1) α (x2) β = c

c. α + β > 1

f11 = α (α -1).x1 α -2x2

β

f22 = β (β-1).x1 α x2

β -2

f12 = α β.x1 α -1x2

β -1

f11f22 - f122 < 0 max (convex)

f11f22 - f122 > 0 min (concave)

f11f22 - f122

[α (α -1).x1 α -2x2

β][β (β-1).x1 α x2

β -2] – [α β.x1 α -1x2

β -1]2

(α 2- α).x12 α -2x2

2 β -2(β2-β) – [α 2.x12 α -2β2x2

2 β -2]

[(α 2- α)( β2-β) - α 2β2] x12 α -2x2

2 β -2

[α 2β2- α 2β - α β2 + α β - α 2β2] x12 α -2x2

2 β -2

[α β (1- α - β)] x12 α -2x2

2 β -2

[α β (1- { α + β}] x12 α -2x2

2 β -2

Bernilai negative karena α + β > 1

sehingga [α β (1- { α + β}] x12 α 2x2

2 β -2 < 0 max (convex)

29