Kauzalna struktura

7/25/2019 Kauzalna struktura

1/47

Kauzalna struktura prostor-vremena i

naruenja kronalnosti

Mateo Paulii

University of Zagreb

Faculty of Science

Department of Physics

Zagreb, 3. Veljae 2016

Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://goforward/http://find/http://goback/


2/47

Sadraj

1 Uvod - prostor-vrijeme, kauzalnost i kauzalna struktura

2

Kongruencija geodezika i njeno ponaanje3 Teoremi o singularitetima

Singularnost u globalno hiperbolnom prostoru

Singularnost na rubu skupa naruene kronalnosti

http://find/http://goback/


3/47

Uvod

Kauzalnost

Kauzalna struktura prostor-vremenaMateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/


4/47

Definicije

Definicija prostor-vremena

Prostor-vrijemeje vremenski orijentabilna povezanaHausdorfova C mnogostrukost sa prebrojivom bazom (M, g),dimenzije m 2, sa Lorentzovom metrikom (metrikimtenzorom) g predznaka (, +,...,+)

TMoznaava prostor svih tangentnih vektora namnogostrukosti M. Vektorsko polje X TMmoe biti:

Prostornog tipa ("space-like"), ako jeg(X(p), X(p))> 0,p M

Vremenskog tipa ("time-like"), ako jeg(X(p), X(p))< 0,p M

Svjetlosnog tipa ("lightlike"), ako jeg(X(p), X(p)) =0,p M

http://find/


5/47

Definicije

Kronoloka budunost:I+(p) =q M :p q

Kronoloka prolost:

I(p) =q M :q pKauzalna budunost:J+ =q M :p q

Kauzalna prolost:

J(p) =q M :q p

http://find/


6/47

DefinicijeUvjeti kauzalnosti

Kronoloko prostor-vrijemeNe sadri nijednu zatvorenu krivulju vremenskog tipa

http://find/


7/47



Figure:Prostor-vrijeme sa povredom kronolokog uvjeta



8/47



Figure:Prostor-vrijeme sa povredom kronolokog uvjeta

Kauzalno prostor-vrijeme

Ne sadri nijednu zatvorenu krivulju kauzalnogtipa

http://find/


9/47


Jako kauzalno prostor-vrijemeSvaka toka prostor-vremena ima proizvoljno male kauzalnokonveksne okoline

Figure: Primjer gdje U nije kauzalnokonveksanskup



10/47


S

D+(S)

Figure: Budua domena ovisnosti od S

Ukupna domena ovisnosti je D(S) =D+(S) D(S)

Cauchyjeva ploha

je Cauchyjeva ploha ako vrijedi D() =M

http://find/


11/47


Globalna hiperbolnostProstorvrijeme je globalno hiperbolno ako posjedujeCauchyjevu plohu

(t)

p

Figure: Svaku Cauchyjevu plohu svaka ne-prostorna krivulja

presjeca samo jednom

http://find/


12/47

DefinicijeEinsteinova jednadba

Rab1

2

Rgab=8Tab

Uzimajui trag, i prebacivanjem lanova

Rab=8(Tab1

2gabT)

http://find/


13/47

Energijski uvjetiSlabi, svjetlosni i jaki energijski uvjet i naruenja

Slabi energijski uvjet

Tabvavb 0, za va vremenski vektor

http://find/


14/47




Pr. Savreni fluidTab = (p+)ea0 eb0 +pgab 0, +p>0

http://find/


15/47




Pr. Savreni fluid

Tab = (p+)ea0 eb0 +pgab 0, +p>0

Svjetlosni energijski uvjet

Tabkakb 0, za ka vremenski vektor

http://find/


16/47




Pr. Savreni fluid

Tab = (p+)ea0 eb0 +pgab 0, +p>0

Svjetlosni energijski uvjet

Tabkakb 0, za ka vremenski vektor

Jaki energijski uvjet

(Tab 12

gabT)vavb 0

http://find/


17/47

Kongruencije geodezika

Figure:Kongruencija geodezika

Tangentni vektor ua

Vektor devijacije a

Nai ponaanje vektoradevijacije uzdu geodezika

http://find/


18/47

Kongruencije geodezika


d

da =ubb

a =bbua

=Ba

bb

Bab= 1

3hab+ab+ab

- skalar ekspanzijeab- tenzor smicanja

ab- tenzor rotacije

http://find/


19/47

Sk l k ij


20/47

Skalar ekspanzije

1

2


= 1V

ddV

V =

det[hij]


Sk l k ij


21/47

Skalar ekspanzije

1

2


= 1V

ddV

V =

det[hij]1V

ddV = 1

2hij

dhijd


Sk l k ij
http://find/


22/47

Skalar ekspanzije

1

2


= 1V

ddV

V =

det[hij]1V

ddV = 1

2hij

dhijd

hijdhijd

=2Babgab =2


R h dh ij j d db
http://find/


23/47

Raychaudhurijeva jednadbaEvolucija skalara ekspanzije

dd

Bab=...= BacBcb Radbcu

duc


R h dh ij j d db
http://find/


24/47


dd


duc

Raychaudhurijeva jednadba

d

d = 132 + abab

abab

Vano je primijetiti da su abab 0 i ab

ab 0.


http://find/


25/47


dd


duc


d

d = 132 + abab

abab

Vano je primijetiti da su abab 0 i ab

ab 0.

Raychaudhurijeva jednadba za svjetlosne geodezike

dd =

12

2 +abab abab


Teorem o fokusiranju
http://find/


26/47


Neka je kongruencija vremenskih geodezika okomita na familijuprostornih povrina (ab=0) i neka vrijedi jaki energijski uvjet

Rabuaub 0

. Tada Raychaudhurijeva jednadba povlai:

d

d =

1

32 abab Rabu

aub 0

"Gravitacija je privlana sila"




27/47


Figure: Kaustik u kongruenciji

Jaki energijski uvjet, ab=0

http://find/


28/47



29/47


Figure: Kaustik u kongruenciji

Jaki energijski uvjet, ab=0

d

d

1

32

1() 10 +

3

(0


30/47

Teoremi o singularitetimaPotpunost geodezika

Neka postoji barem jedan geodezik koji je beskrajan barem ujednom smjeru. Ako je njegova afina duljina konana,prostor-vrijeme je singularno


Teoremi o singularitetima
http://find/


31/47

Teoremi o singularitetimaKonjugirane toke

p

q

c

Figure: Par konjugiranih

toaka

d2

d2c =uaa(u

bbc)


http://find/


32/47


p

q

c


toaka

d2

d2c =uaa(u

bbc)

c

nuno isezava u p iq p i qsu konjugirane


http://find/


33/47


p

q

c


toaka

d2

d2c =uaa(u

bbc)

c


Geodezik nijemaksimalne duljine




34/47


p

q

c


toaka

d2

d2c =uaa(u

bbc)

c


Geodezik nijemaksimalne duljine

Kongruencija razvijakaustik (vrijedi i obrat)

http://find/


35/47



36/47

g

Dokaz:

C(p, q)(skup kauzalnih krivulja izmeu p i q jekompaktan)

p

q

n

f :C(kompaktan) IR je omeeno, postie min. i maks.vrijednosti


http://find/


37/47

gTeorem o singularnosti globalno hiperbolnog prostor-vremena

Teorem o singularnosti globalno hiperbolnog prostor-vremena

(M, gab) globalno hiperbolno (1)

vrijedi jaki energijski uvjet (Rabuaub 0 ua vremenskog

tipa). (2) glatka (ili barem C2) prostorna Cauchyjeva ploha td.za ortogonalnu prolosno orjentiranu kongruenciju od vrijedi K C


38/47


39/47


40/47


41/47



42/47

Teorem o singularnosti globalno hiperbolnog prostor-vremena

Dokaz:

pp. duljine >3/|C| od do p.

Neka je p . (po (1)) krivulja maksimalne duljine (>3/|C|)Nuan uvjet - nema konjugiranih toaka izmeu p i .Teorem o fokusiranju -> Za 0


43/47

Teorem o singularnosti na rubu kompaktnog skupa naruene kronalnosti

Figure: Skup narusene kronalnosti vI


http://find/


44/47


Teorem o generinosti

(M, g) - potpuno po svjetlosnim geodezicima

vrijedi svjetlosni energijski uvjet Rabkakb 0

vrijedi uvjet svjetlosne generinosti kckdk[aRb]cd[ekf]

Tada svaki geodezik posjeduje konjugirane toke


http://find/


45/47


Teorem o singularnosti na rubu kompaktnog skupa naruenekronalnosti

(M, g) posjeduje kompaktni skup naruene kronalnostivrijedi svjetlosni energijski uvjet Rabk

akb 0

vrijedi uvjet svjetlosne generinosti kckdk[aRb]cd[ekf]

Tada je (M, gab) singularno


http://find/


46/47


Dokaz:


Literatura
http://find/


47/47

S.W. Hawking, G.F.R. Ellis The large scale structure of space-time1973: Cambridge University Press

J.K. Beeem, P.E. Erlich, K.L. Easly Global LorentzGeometrySecond edition, 1996: Marcel Dekker, Inc., NewYork

Robert M. Wald General Relativity1984: The Universityof Chicago Press

Loring W. Tu An introduction to ManifoldsSecondedition, 2011: Springer

http://find/

Documents

Kauzalna struktura