KATA SAMBUTAN - math.ui.ac.id · aplikasi fuzzy c-means pada prevalensi global youth ... jantung berdasarkan metode ahp dan topsis ... bit pattern based integral attack pada algoritma

ii

KATA SAMBUTAN

SEMINAR NASIONAL

MATEMATIKA 2017

WILAYAH

JABAR-DKI JAKARTA-BANTEN

iii

Dekan FMIPA Universitas Indonesia

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Salam sejahtera untuk kita semua.

Atas nama Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia,

dengan bangga saya mengucapkan selamat kepada semua peserta pada Seminar

Nasional Matematika 2017 yang diselenggarakan pada tanggal 11 Februari 2017 di

Universitas Indonesia, Depok. Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada pihak

IndoMS Pusat dan IndoMS Wilayah JABAR, Banten, dan DKI Jakarta atas

kepercayaannya kepada Universitas Indonesia dalam hal ini Departemen

Matematika FMIPA sebagai tuan rumah kegiatan sarasehan dan sosialisasi program

kerja IndoMS Pusat dan IndoMS Wilayah JABAR, Banten, dan DKI Jakarta.

Seminar Nasional ini merupakan seminar yang telah dilaksanakan secara bergantian

oleh Universitas Indonesia dan Universitas Padjadjaran sejak 20 tahun yang lalu.

Pihak Universitas Indonesia sebagai salah satu perguruan tinggi yang menjadi

pelopor perkembangan peran ilmu pengetahuan di Indonesia tidak henti-hentinya

mendorong segenap civitas akademika, termasuk di FMIPA UI untuk menghilirkan

penelitiannya agar dapat memberikan dampak nyata pada kemajuan bangsa dan

tanah air.

Saya ucapkan terima kasih kepada para pembicara utama, peserta dan tentunya

kepada panitia pelaksana SNM 2017 ini. Semoga kegiatan ini dapat memberikan

manfaat yang besar kepada kita semua dan bangsa Indonesia.

Salam hangat,

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Dekan FMIPA Universitas Indonesia

Dr. rer. nat. Abdul Haris

iv

Gubernur IndoMS JABAR, Banten, dan DKI Jakarta

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Salam sejahtera untuk kita semua.

Atas nama Indonesian Mathematical Society (IndoMS), sebuah kebanggaan yang

besar bagi saya untuk menyampaikan selamat kepada semua peserta Seminar

Nasional Matematika (SNM) 2017 yang diadakan pada tanggal 11 Februari 2017 di

Departemen Matematika FMIPA UI, Depok.

IndoMS pada tahun ini bekerjasama dengan pihak penyelenggara lokal, mengadakan

cukup banyak aktivitas temu ilmiah di berbagai daerah di Indonesia, termasuk salah

satunya pada tahun ini yaitu SNM 2017 yang dirangkaikan dengan Sarasehan

IndoMS Wilayah JABAR, Banten, dan DKI Jakarta serta sosialisasi program kerja

IndoMS Pusat. Penyelenggaraan SNM 2017 tidak hanya merupakan program

berkelanjutan dari pihak IndoMS, Universitas Indonesia dan Universitas

Padjadjaran, namun juga merupakan sebuah kegiatan yang akan membawa peluang

besar kepada seluruh pihak yang terlibat untuk menyeminarkan dan mendiskusikan

hasil penelitian di berbagai bidang matematika.

Kami mengucapkan terima kasih kepada para pembicara utama, peserta dari

berbagai daerah di Indonesia, dan panitia SNM 2017. Ucapan terima kasih

khususnya kami sampaikan kepada Departemen Matematika, FMIPA Universitas

Indonesia yang bersedia menjadi tuan rumah. Saya berharap agar SNM 2017 ini

dapat memberikan manfaat yang besar kepada kita semua.

Salam hangat,

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Gubernur IndoMS JABAR, Banten dan DKI Jakarta.

Alhadi Bustamam, Ph.D.

v

Ketua Panitia Seminar Nasional Matematika 2017

Salam sejahtera bagi kita semua.

Matematika sebagai salah satu bidang ilmu yang penerapannya

banyak digunakan di berbagai bidang, telah diterapkan pula pada

berbagai kajian dan penelitian di masalah lingkungan. Pentingnya masalah

pelestarian dan bagaimana mengatasi perubahan-perubahan fenomena lingkungan

tersebut menjadi dasar dalam penentuan tema utama pada Seminar Nasional

Matematika (SNM) 2017 ini, yakni “Peranan Matematika dalam Memahami

Fenomena Lingkungan”.

Seminar Nasional Matematika merupakan perkembangan dari Seminar Matematika

Bersama UI-UNPAD yang telah dilaksanakan sejak lebih dari 20 tahun yang lalu.

SNM merupakan salah satu forum nasional bagi para matematikawan, peminat atau

pemerhati Matematika dan para pengguna Matematika untuk saling berbagi

pengetahuan dan pengalaman terhadap hasil penelitian dan penerapan matematika di

berbagai hal. Melalui SNM 2017 diharapkan peserta yang berasal dari berbagai

perguruan tinggi dan institusi di Indonesia dapat berpartisipasi dan berkontribusi

sesuai dengan kepakaran bidang masing-masing di dalam mengatasi dan

menyelesaikan masalah lingkungan beserta berbagai fenomenanya. Makalah yang

masuk ke pihak penyelenggara meliputi berbagai bidang, seperti Analisis dan

Geometri, Aljabar, Statistika dan aplikasinya, Matematika Keuangan dan Aktuaria,

Kombinatorika, Komputasi, Pendidikan Matematika, Optimisasi, Pemodelan

Matematika dan bidang terapan lainnya.

Penyelenggara SNM 2017 memberikan apresiasi yang setinggi-tingginya kepada

berbagai pihak, antara lain Himpunan Matematika Indonesia wilayah Jabar, DKI

Jakarta, dan Banten, Program Studi Matematika Universitas Padjadjaran, serta

FMIPA UI yang telah memberikan dukungan dan bantuan dalam penyelenggaraan

seminar nasional ini. Tidak lupa kami ucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya

kepada para sponsor yang telah berkontribusi dan kepada panitia SNM 2017

sehingga SNM 2017 dapat terselenggara.

Hormat kami,

Ketua Panitia SNM 2017

Bevina D. Handari Ph.D

vi

UCAPAN TERIMA KASIH

Panitia Seminar Nasional Matematika 2017 menyampaikan ucapan terima kasih dan

penghargaan kepada Pimpinan Universitas, Pimpinan Fakultas, Pimpinan

Departemen, dan para sponsor, atas dukungannya dalam bentuk dana, fasilitas, dan

lain-lain, untuk terselenggaranya seminar ini.

Secara khusus Panitia Seminar Nasional Matematika 2017 menyampaikan ucapan

terima kasih kepada:

1. Rektor Universitas Indonesia

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

3. Ketua Departemen Matematika FMIPA Universitas Indonesia

4. Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran

5. Direktur Utama PT Reasuransi Indonesia Utama

6. Rektor Universitas Gunadarma

7. Direktur Utama PT Tokio Marine Life Insurance Indonesia

8. Direktur Utama PT AIA Financial Indonesia

9. Direktur Utama PT BNI Life Insurance

10. Direktur Utama BPJS Ketenagakerjaan

11. Ketua Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)

12. Direktur Utama PT Asuransi Cigna

Panitia Seminar Nasional Matematika 2017 juga mengucapkan terima kasih kepada

pembicara utama Prof. Dr. Jatna Supriatna, M.Sc (Ketua RCCC Universitas

Indonesia), Dr. Sri Purwani (Dosen Departemen Matematika FMIPA Universitas

Padjadjaran), Dr. Ardhasena Sopaheluwakan (Kepala Bidang Litbang Klimatologi

dan Kualitas Udara BMKG), para pemakalah pada sesi paralel, setiap tamu

undangan, dan seluruh peserta Seminar Nasional Matematika 2017.

vii

DAFTAR PANITIA SNM 2017

PELINDUNG

1. Prof. Dr. Ir. Muhammad Anis, M.Met. (Rektor Universitas Indonesia)

2. Dr. rer. nat. Abdul Haris (Dekan FMIPA Universitas Indonesia)

KOMISI PENGARAH

1. Alhadi Bustamam, Ph.D. (Gubernur IndoMS JABAR, DKI Jakarta, dan Banten,

sekaligus sebagai Ketua Departemen Matematika, FMIPA Universitas

Indonesia)

2. Prof. Dr. A.K. Supriatna (Ketua Jurusan Matematika, FMIPA Universitas

Padjadjaran)

PANITIA PELAKSANA

1. Ketua : Bevina D. Handari, Ph.D.

2. Sekretaris : Dr. Dipo Aldila

3. Bendahara : Dra. Siti Aminah, M.Kom.

4. Pendanaan : Mila Novita, S.Si., M.Si.

Dr. Titin Siswantining, DEA.

5. Acara : Nora Hariadi, S.Si., M.Si.

Dra. Ida Fithriani, M.Si.

6. Makalah dan Prosiding : Dra. Siti Nurrohmah, M.Si.

Dr. rer. nat. Hendri Murfi

7. Perlengkapan : Maulana Malik, S.Si., M.Si.

Dr. Saskya Mary Soemartojo, M.Si.

Suci Fratama Sari, S.Si., M.Si.

Gianinna Ardaneswari, S.Si., M.Si.

viii

DAFTAR ISI

KATA SAMBUTAN .......................................................................................... ii

Dekan FMIPA Universitas Indonesia .............................................................. iii

Gubernur IndoMS JABAR, Banten, dan DKI Jakarta.................................. iv

Ketua Panitia Seminar Nasional Matematika 2017 ......................................... v

UCAPAN TERIMA KASIH ............................................................................ vi

DAFTAR PANITIA SNM 2017 ...................................................................... vii

DAFTAR ISI.................................................................................................... viii

PEMBICARA UTAMA ................................................................................... xii

PERANAN MATEMATIKA DALAM MEMAHAMI FENOMENA

LINGKUNGAN................................................................................................ xiii

Prof. Dr. Jatna Supriatna, M.Sc ..................................................................... xiii

UNDERSTANDING INDONESIAN ENVIRONMENTAL PHENOMENA,

AND IMPROVING HUMAN LIVES ............................................................. xv

Dr. Sri Purwani ............................................................................................... xv

PERSPEKTIF SINGKAT IKLIM DI INDONESIA: PEMODELAN DAN

STATUS PERUBAHAN IKLIM. ................................................................... xvi

Dr. Ardhasena Sopaheluwakan ...................................................................... xvi

SESI PARALEL ............................................................................................. 614

KOMBINATORIK ........................................................................................ 614

PENGGUNAAN MATRIKS ANTIADJACENCY DALAM MENCARI

LAST COMMON NODE UNTUK MENYELESAIKAN

MASALAHTRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM ................................... 615

RESKIE A. PRATAMA, KEVIN KAMAL, SYAHRIL RAMADHAN, KIKI

A. SUGENG ................................................................................................. 615

HUBUNGAN NILAI EIGEN TERBESAR MATRIKS ANTIADJACENCY

DENGAN DERAJAT GRAF SEDERHANA TAK BERARAH ................ 623

AKANE VIEBIA AYA, NURUL MAGHFIRAH, KIKI ARIYANTI

SUGENG ...................................................................................................... 623

ix

POLINOMIAL KARAKTERISTIK DAN SPEKTRUM MATRIKS

ADJACENCY DAN ANTI-ADJACENCY DARI GRAF FRIENDSHIP

TAK BERARAH DAN BERARAH ........................................................... 628

BUDI PONIAM1,2, KIKI A. SUGENG2 ....................................................... 628

PELABELAN HARMONIS PADA GRAF TANGGA SEGITIGA VARIASI

𝒙𝑵 ..................................................................................................................... 642

KURNIAWAN ATMADJA1, KIKI A. SUGENG2 ...................................... 642

KOMPUTASI ................................................................................................. 648

ALGORITMA PARTICLE SWARM OPTIMIZATION DAN

TERAPANNYA DALAM MENYELESAIKAN MASALAH

PEMOTONGAN ROL KERTAS .................................................................. 649

HELVETIKA AMPERIANA1, Y G HARTONO2 ....................................... 649

APLIKASI METODE PENGGEROMBOLAN ALGORITMA KHUSUS

DALAM PENENTUAN ZONA BIAYA HAK PENGGUNA FREKUENSI

RADIO ............................................................................................................. 660

ERFIANI ....................................................................................................... 660

ALGORITMA GENETIK STEADY STATE BERDASARKAN FUNGSI

PEMBOBOTAN BIAYA DAN RELIABILITAS DALAM MENENTUKAN

PERAWATAN OPTIMAL MESIN .............................................................. 667

BUDHI HANDOKO1, YENY KRISTA FRANTY2, SRI WINARNI3 ......... 667

PENGELOMPOKAN DAERAH RAWAN BENCANA BANJIR DI

INDONESIA TAHUN 2013 MENGGUNAKAN FUZZY C-MEAN .......... 677

AMANDA PUTRI PERTIWI1, ROBERT KURNIAWAN2 ......................... 677

APLIKASI FUZZY C-MEANS PADA PREVALENSI GLOBAL YOUTH

TOBACCO SURVEY ..................................................................................... 688

INTAN PRIMASARI, ZUHERMAN RUSTAM, DHIAN WIDYA ............ 688

APLIKASI FUZZY MADM UNTUK DETEKSI POTENSI SERANGAN

JANTUNG BERDASARKAN METODE AHP DAN TOPSIS .................. 695

ZENIA AMARTI, NURSANTI ANGGRIANI, ASEP K. SUPRIATNA .... 695

IMPLEMENTASI TEOREMA DAERAH KAJIAN DAN TEOREMA

KOMPOSISI IRISAN HIMPUNAN PADA ETNOINFORMATIKA

PENAMAAN DESA DI LIMA WILAYAH PROVINSI JAWA BARAT 706

ATJE SETIAWAN ABDULLAH1 DAN BUDI NURANI RUCHJANA2 .. 706

ALGEBRAIC ATTACK PADA SIMPLIFIED DATA ENCRYPTION

STANDARD (S-DES) ..................................................................................... 726

x

FADILA PARADISE1, SANTI INDARJANI2 ............................................. 726

BIT PATTERN BASED INTEGRAL ATTACK PADA ALGORITMA

PRESENT ........................................................................................................ 736

RYAN SETYO PAMBUDI1, SANTI INDARJANI 2 ................................... 736

PERBANDINGAN KARAKTERISTIK S-BOX ALGORITMA PRESENT

DAN I-PRESENT............................................................................................ 745

ANNISA DEWI SALDYAN1, SARI AGUSTINI HAFMAN2 .................... 745

S-NCI: DESAIN PROTOKOL KEY ESTABLISHMENT ......................... 758

MOHAMAD ALI SADIKIN1, SUSILA WINDARTA2 ............................... 758

KLASIFIKASI MULTIKELAS KANKER OTAK DENGAN METODE

SUPPORT VECTOR MACHINE ................................................................. 768

VINEZHA PANCA1, ZUHERMAN RUSTAM2 .......................................... 768

ANALISIS AKURASI DARI METODE MACHINE LEARNING UNTUK

MENYELESAIKAN MASALAH CREDIT SCORING ............................. 778

NURUL MAGHFIRAH, ZUHERMAN RUSTAM ..................................... 778

PENGEMBANGAN MEDIA AUGMENTED REALITY BERBASIS

ANDROID UNTUK PEMBELAJARAN DIMENSI TIGA ........................ 785

FARIS FATHAN1, TITA KHALIS MARYATI2, DINDIN SOBIRUDDIN3

...................................................................................................................... 785

APLIKASI ADAPTIVE NEURO-FUZZY INFERENCE SYSTEM PADA

PENGAMBILAN KEPUTUSAN DALAM INVESTASI SAHAM ............ 797

I PUTU ADITYA WARDANA, ZUHERMAN RUSTAM ......................... 797

PEMILIHAN PERSONAL COMPUTER (PC) TERBAIK BERBASIS

ANDROID MENGGUNAKAN METODE FUZZY ANALYTICAL

HIERARCHY PROCESS (FAHP) ................................................................ 805

AKIK HIDAYAT1, EBBY SYABILAL R2, RUDI ROSYADI3, ERICK

PAULUS4 ...................................................................................................... 805

PENCARIAN IMPROBABLE DIFFERENTIAL 9 DAN 10 ROUND

PRESENT ........................................................................................................ 816

AFIFAH1, SARI AGUSTINI H.2 .................................................................. 816

PENCARIAN KARAKTERISTIK DIFERENSIAL 4 ROUND PADA

ALGORITMA MACGUFFIN ....................................................................... 830

RIDWAN IMAM SYARIF1, DAN SANTI INDARJANI2 .......................... 830

xi

PEMODELAN DAN OPTIMASI ................................................................. 839

PERBANDINGAN METODE RUNGE-KUTTA-VERNER DAN

LAPLACE ADOMIAN DECOMPOSITION METHOD DALAM SOLUSI

PERSAMAAN DIFFERENSIAL NONLINEAR PADA MASALAH

BIOMATEMATIKA ...................................................................................... 840

BETTY SUBARTINI1, RIAMAN2, DAN ALIT KARTIWA3 ..................... 840

PERMODELAN DINAMIK PADA SISTEM PROSES PENGOLAHAN

AIR LIMBAH KOLAM STABILISASI FAKULTATIF ............................ 850

SUNARSIH1, DIAN HULIYUN RAHMANIA2, NIKKEN PRIMA

PUSPITA3 ..................................................................................................... 850

SOLUSI MASALAH RELAKSASI MELALUI PERSAMAAN

DIFERENSIAL FRAKSIONAL BERORDE (,) ...................................... 858

E. RUSYAMAN1 DAN K. PARMIKANTI2 ............................................... 858

KONTROL OPTIMAL PADA MODEL EPIDEMIOLOGI DENGAN

VAKSINASI .................................................................................................... 865

JONNER NAINGGOLAN ........................................................................... 865

MODEL OPTIMISASI LINEAR INTEGER UNTUK TWO-STAGE

GUILLOTINE CUTTING STOCK PROBLEM DENGAN METODE

BRANCH AND BOUND PADA INDUSTRI GARMEN ............................ 873

EMAN LESMANA1, JULITA NAHAR2, ANNISA D.P3 ............................ 873

PENERAPAN OPTIMASI MULTI RESPON DENGAN METODE

TAGUCHI FUZZY LOGIC ........................................................................... 884

SRI WINARNI1, BUDHI HANDOKO2, YENY KRISTA FRANTY3 ......... 884

TERAPAN ...................................................................................................... 893

PENCITRAAN ARAH AKUMULASI PASIR BESI BERDASARKAN

KONTRAS KEMAGNETAN DAN FORWARD MODELLING DENGAN

MENGGUNAKAN METODE GEOFISIKA PASIF PADA DAERAH

PANTAI GOA CEMARA,YOGYAKARTA ................................................ 894

RIZKY RAMADHAN DWIYANTORO ..................................................... 894

TRANSFORMASI STRUKTURAL DAN KETIMPANGAN ANTAR

DAERAH DI PROVINSI KALIMANTAN TIMUR ................................... 901

ADI SETIAWAN1 DAN FITRI KARTIASIH2 ............................................ 901

EVALUASI TIGA MODEL PENDUGAAN EVAPORASI PANCI (EPAN)

DI WILAYAH BALI ...................................................................................... 911

TRINAH WATI1 DAN FATKHUROYAN2................................................. 911

xii

PEMBICARA UTAMA

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2017

xiii

PERANAN MATEMATIKA DALAM MEMAHAMI

FENOMENA LINGKUNGAN

Prof. Dr. Jatna Supriatna, M.Sc

Ketua RCCC Universitas Indonesia

Abstrak: Pembangunan berkelanjutan (SDG-Sustainable Development Goal) yang

dicanangkan PBB untuk menggantikan Millenium Development Goal (MDG) sudah

dimulai sejak awal 2016 dan akan berakhir 2030. Dari 17 goal dari SDG, 10 goal

adalah traditional development, satu goal adalah kerjasama antar pemangku

kepentingan (SDG 17) dan 6 goal adalah emerging issues dalam permasalahamn

lingkungan yaitu Energi terbarukan (SDG 7), Pembangunan kota dan masyarakat

(SDG 11), Konsumsi bertanggung jawab (12), Perubahan iklim (SDG 13), Laut

dan kehidupan bawah air (SDG 14), dan Kehidupan Flora dan Fauna di darat (SDG

15). Ke enam permasalahan lingkungan dalam pembangunan berkelanjutan yang

baru ini tidak ada dalam target pembangunan MDG, sehingga banyak sekali

diperlukan riset untuk dapat membuat berbagai kebijakan yang berdasarkan

evidence based decision, mengadaptasikan rencana sesuai dengan kesiapan dan

ketersediaan, pembuatan berbagai computer and mathematical model

pengembangan SDG sampai 2030, mengarusutamakan SDG ke dalam rencana

pembangunan RPJM/RPJP pemerintah pusat dan daerah dan bagaimana membuat

MRV (Measuring, Reporting, Verification) dari setiap goal yang baru. Peranan

pakar matematika sangat besar dalam membantu pelaksanaan pembangunan

berkelanjutan. Sebagai contoh adalah masalah perubahan iklim. Masalah perubahan

iklim adalah masalah terbesar dunia saat ini. Hasil survey Asahi Glass Foundation

(2013) tampak bahwa masalah dunia terbesar saat ini adalah perubahan iklim (20%)

dibanding dengan masalah lingkungan lainnya yang berkisar antara 10% (polusi) ,

keanekaragaman hayati (6%) dan yang lainya. Model-model matematika dan

komputer diperlukan untuk mengetahui dampak perubahan iklim terhadap kenaikan

permukaan laut, cuaca ekstrim, kesehatan, ekonomi, pertanian, flora dan fauna,

ketersediaan pakan, air dan lainnya dalam bentuk time series. Untuk MRV,

diperlukan pedoman Pelaksanaan Pengukuran, Pelaporan, dan Verifikasi Aksi

Mitigasi dan adaptasi dari setiap program di setiap sektor pemerintah, swasta dan

xiv

juga termasuk masyarakat. Capaian Aksi Mitigasi dan adapatasi Perubahan Iklim

yang akurat, transparan, dan dapat dipertanggungjawabkan hanya dapat dilakukan

apabila dilakukan oleh berbagai pakar terintegrasi termasuk pakar matematika dan

statistik. Pemerintah harus mengatur (i) tatacara Pengukuran Aksi Mitigasi adaptasi

dan Perubahan Iklim, (ii) tatacara pelaporan aksi mitigasi dan adaptasi perubahan

iklim (iii) tatacara verifikasi capaian aksi mitigasi dan adaptasi perubahan iklim (iv)

tatacara penilaian. Semua pengaturan tersebut memerlukan perhitungan yang pasti

dan mendalam karena dampak dari perubahan iklim dapat menghancurkan

perekonomian, membahayakan keberadaan ekosistem manusia, dalam jangka

panjang dapat mempengaruhi peradaban dunia.

xv

UNDERSTANDING INDONESIAN ENVIRONMENTAL

PHENOMENA, AND IMPROVING HUMAN LIVES

Dr. Sri Purwani

Departemen Matematika, FMIPA Universitas Padjadjaran

Abstract: The universe and the environment around us were created perfectly by

Alloh. However, we find a lot of damage and disaster everywhere (Ar-Rum 30:41).

This case, afflicting the environment and people of Indonesia, of course was through

a long process. Indonesia, the country with the largest ocean border in the world, has

experienced prosperity, well-being and peace in society. Understanding what the

cause and how the process of occurrence, can provide answers for future

improvements.

Human beings as part of the environment face the same thing. Various disease

emerges, afflicts human survival. Imaging Sciences as a branch of knowledge is

widely used in medical images analysis, range from disease detection, such as

Alzheimer's, asthma, cancer and so on, up to image-guided surgery. This field

involves many disciplines, hence providing opportunities for mathematicians to

conduct research collaboration with scientists from various disciplines.

Registration and Segmentation, two important processes in the analysis of medical

images, aims to find correspondence between two or more images, and attempts to

extract structures/tissues within images, respectively. Previously, both processes are

done separately. However, information from one process can be used to assist the

other, and vice versa. Therefore, we tried to combine both processes implemented

on database of MR brain images.

One of Petrovic et al. paper shows that adding structural information in their

registration stage improved the result significantly, compared to registration using

intensity alone. However, they only used little structural information. We attempted

to include more structural information/segmentation in our new methods, and

implemented groupwise registration to sets of images, consisting of tissue fraction

images, intensity image and images with other structural information. The results of

the registration were evaluated by using ground-truth annotation. It was found that

ensemble registration using structural information can give a consistent

improvement over registration using intensity alone of 25%-35%.

xvi

PERSPEKTIF SINGKAT IKLIM DI INDONESIA:

PEMODELAN DAN STATUS PERUBAHAN IKLIM.

Dr. Ardhasena Sopaheluwakan

Kepala Bidang Litbang Klimatologi dan Kualitas Udara

Pusat Penelitian dan Pengembangan Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika

(BMKG)

Abstrak: Iklim memiliki peranan penting dalam mendukung perikehidupan di bumi

ini. Memiliki pengetahuan mengenai evolusi iklim (lampau dan kini) akan

memberikan pemahaman untuk penggunaannya pada sektor yang penting, semisal

pertanian dan ketahanan pangan. Sedangkan memiliki kemampuan untuk prediksi

iklim yang akan datang, akan memberikan keunggulan untuk perencanaan strategis

pembangunan bangsa-bangsa agar perikehidupannya dapat berkelanjutan

(sustainable development).

Untuk mendapatkan deskripsi yang lengkap atas dinamika iklim di atmosfir,

melibatkan pemodelan dengan rentang skala ruang yang sangat besar, melibatkan

ukuran dari micrometer (butiran awan) hingga ribuan kilometer (planetary scale),

yang melingkupi rentang ukuran ruang hingga 10^{14} meter. Pada saat ini

pemodelan yang tersedia baru memenuhi sebagian dari skala rentang yang besar

tersebut, sehingga tantangan untuk melengkapinya masih terbuka lebar. Presentasi

ini akan memberikan beberapa highlight mengenai pemodelan iklim, karakter iklim

di

614

SESI PARALEL

KOMBINATORIK


615

Prosiding SNM 2017 Kombinatorik, Hal 615-622

PENGGUNAAN MATRIKS ANTIADJACENCY DALAM

MENCARI LAST COMMON NODE UNTUK

MENYELESAIKAN MASALAHTRAFFIC ASSIGNMENT

PROBLEM

RESKIE A. PRATAMA, KEVIN KAMAL, SYAHRIL

RAMADHAN, KIKI A. SUGENG

Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Indonesia,

[email protected], [email protected]


Abstrak. Matriks antiadjancency (B) didapatkan dari operasi antara matriks persegi

yang semua entrinya bernilai 1 (𝐉) dengan matriks adjacency (𝐀), yaitu 𝐁 = 𝐉 − 𝐀.

Makalah ini membahas mengenai penggunaan dari matriks antiadjacency dalam

mencari Last Common Node (LCN). Pencarian LCN dalam makalah ini bertujuan

untuk menyelesaikan masalah dalam pengaplikasian teori graf yaitu Traffic Assignment

Problem (TAP). Pada makalah yang telah diterbitkan, basis dari algoritma LCN adalah

matriks adjacency. Pada makalah ini dibahas pencarian LCN menggunakan matriks

antiadjacency. Dengan menggunakan polinomial karakteristik dari matriks

antiadjacency, didapatkan banyaknya jalan sederhana dari graf 𝐺. Untuk penelusuran

dalam pencarian LCN dari suatu pasangan origin-destination (OD), dilakukan

pencarian secara manual dengan menuliskan seluruh jalan yang mungkin. Setelah

diketahui seluruh jalan yang mungkin, dapat dilihat simpul mana saja yang dilalui oleh

jalan-jalan tersebut. Kemudian, dipilih simpul terakhir sesuai urutan topologi sebagai

LCN yang akan dicari..

Kata kunci: last common node, matriks antiadjacency, polinomial karakteristik, traffic

assignment problem.

1. Pendahuluan

Teori graf merupakan salah satu topik di bidang matematika yang

berkembang pesat dan dapat digunakan untuk menyederhanakan penyelesaian suatu

masalah [1]. Teori graf diperkenalkan pertama kali pada tahun 1736 oleh Leonhard

Euler. Dengan menggunakan representasi dalam bentuk graf, suatu permasalahan

akan lebih mudah untuk dipahami dan dicari solusi penyelesaiannya. Dalam

perkembangannya, teori graf masih perlu banyak diteliti lebih lanjut. Hal ini

dikarenakan masih banyak permasalahan dalam teori graf yang perlu dibahas.

Pada umumnya, graf hanya digambar dalam bentuk simpul (vertex) dan busur (edge).

Representasi lain dari graf dapat dibentuk melalui matriks dengan memperhatikan

hubungan antar simpul dan busur. Terdapat beberapa representasi matriks yang dapat

merepresentasikan graf. Pada makalah ini, yang akan diperhatikan adalah

representasi dalam bentuk matriks adjacency dan matriks antiadjacency. Adapun

mailto:[email protected]




616

hubungan secara umum dari kedua matriks ini yaitu matriks antiadjacency ( )

diperoleh dari 𝐁 = 𝐉 − 𝐀, dengan adalah matriks persegi dengan seluruh entrinya

bernilai 1.

Penggunaan teori graf untuk menyelesaikan suatu permasalahan sangat

banyak aplikasinya, salah satunya yaitu Traffic Assignment Problem (TAP). TAP

merupakan pembelajaran tentang jaringan lalu lintas, yang berfokus pada pemilihan

rute wisatawan dari asal (origin) ke tujuan (destination). Pada TAP, diasumsikan

bahwa semua wisatawan mencoba untuk meminimumkan biaya untuk rute yang

dipilih [2]. Banyak algoritma yang dapat digunakan untuk menyelesaikan TAP, salah

satunya yaitu algoritma yang diperkenalkan oleh Bar-Gera yang dikenal dengan

algoritma origin-based, disebut dengan konsep Last Common Node (LCN) ke dalam

algoritma dan hanya memperhatikan solusi asiklik.

Pada paper sebelumnya telah diperlihatkan penggunaan dari matriks

adjacency dalam mencari LCN. Dengan ide dari hubungan antara matriks adjacency

dan matriks antiadjacency yang sudah kami ketahui, pada makalah ini kami akan

membahas mengenai matriks antiadjacency untuk menyelesaikan pencarian LCN.

Pada makalah ini kami akan menggunakan sifat dari polinomial karakteristik dari

matriks antiadjacency dalam mencari LCN.

2. Definisi dan Notasi 2.1. Teori Graf

Definisi 2.1.1 Suatu graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) didefinisikan sebagai pasangan himpunan (𝑉,

𝐸), dengan 𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛} adalah himpunan simpul yang tak kosong dan 𝐸 =

{𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛} adalah himpunan pasangan tak terurut dari simpul-simpul yang

disebut busur [1]. Banyaknya simpul pada disebut order dan dinotasikan dengan

|𝑉| atau , dan banyaknya busur disebut size dan dinotasikan dengan |𝐸| [1].

Definisi 2.1.2 Suatu graf berarah 𝐷 = (𝑉, 𝐴) adalah pasangan terurut dari dua

himpunan 𝑉 dan 𝐴 dengan 𝑉 adalah himpunan berhingga yang tak kosong dan 𝐴

merupakan koleksi pasangan terurut anggota dari 𝑉 yang berbeda Jika 𝑢 dan 𝑣

adalah simpul pada graf berarah 𝐷, maka busur berarah 𝑢𝑣 artinya

menghubungkan simpul asal 𝑢 ke simpul ujung 𝑣. [1].

Definisi 2.1.3 Graf berarah asiklik adalah graf berarah yang tidak memuat subgraf

berupa siklus berarah. Sementara, graf berarah siklik adalah graf berarah yang

memuat subgraf beruka siklus berarah [1].

Definisi 2.1.4 Misalkan 𝑢 dan 𝑣 adalah dua simpul di . Jalan 𝑢𝑣 (didefinisikan

dengan ) di graf adalah barisan simpul di yang dimulai dari dan berakhir

di , sehingga simpul-simpul yang berurutan saling bertetangga [1].

Definisi 2.1.5 Jalan dapat ditulis sebagai 𝑊 ≔ 𝑢 = 𝑣0, 𝑣1, … , 𝑣𝑘 = 𝑣, dengan 𝑘

≥ 0, 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑖+1 bertetangga untuk 𝑖 = 0, 1, … , 𝑘 − 1. Lintasan 𝑢𝑣 adalah jalan di

mana setiap busur hanya dilalui satu kali saja. [1]

617

Definisi 2.1.6 Misalkan adalah suatu graf berarah. Barisan simpul dari

𝑊 = 𝑢 = 𝑢0, 𝑢1, … , 𝑢𝑘 = 𝑣

sedemikian sehingga 𝑢𝑖 bertetangga ke 𝑢𝑖+1 untuk semua 𝑖 = 0,1, … , 𝑘 − 1 disebut

jalan berarah 𝑢 − 𝑣 di . Jika tidak ada simpul yang berulang pada , maka

disebut lintasan berarah.

2.2. Matriks Adjacency dan Matriks Antiadjacency

Definisi 2.2.1 Matriks adjacency = (𝑎𝑖𝑗) dari suatu graf berarah adalah suatu

matriks bujur sangkar berukuran 𝑛 × 𝑛, dengan 𝑛 = |𝑉|, yang entrinya

merepresentasikan ada tidaknya busur berarah yang menghubungkan dua simpul

dengan

dengan 𝑖, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 [1].

Definisi 2.2.2 Matriks antiadjacency dari graf berarah adalah matriks 𝐁 = 𝐉 − 𝐀,

dengan adalah matriks 𝑛 × 𝑛 yang semua entrinya adalah 1 [3].

2.3. Polinomial Karakteristik

Definisi 2.3.1 Misalkan adalah matriks 𝑛 × 𝑛 yang memenuhi persamaan 𝐀𝒙 =

𝜆𝒙, maka skalar disebut nilai eigen dan vektor 𝑥𝑛 × 1 ≠ 0 disebut vektor eigen

yang bersesuaian dengan nilai eigen .

Definisi 2.3.2 Polinomial karakteristik dari matriks adalah

𝑝(𝐴) = 𝑝(𝐴, 𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐴) = 𝜆𝑛 + 𝑎1𝜆𝑛−1 + 𝑎2𝜆

𝑛−2 + ⋯ + 𝑎𝑛,

dengan adalah derajat tertinggi dari 𝑝(𝐀).

Persamaan karakteristik dari matriks 𝐀 adalah (𝐀) = det(𝜆𝐈 − 𝐀) = 0 [1]

Teorema 2.1.

Misalkan adalah suatu graf berarah yang asiklik dengan (𝐺) = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛}.

Misalkan adalah matriks antiadjacency dari graf berarah dengan polinomial

karakteristiknya adalah

(𝐁(𝐺)) = 𝜆𝑛 + 𝑏1𝜆𝑛−1 + 𝑏2𝜆𝑛−2 + ⋯ + 𝑏𝑛.

Maka |𝑏𝑖|, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛, menyatakan banyaknya lintasan berarah dari graf berarah

dengan panjang 𝑖 − 1 [4].

618

2.4. Jaringan Transportasi

Jaringan transportasi dapat direpresentasikan sebagai graf berarah 𝐺 = (𝑉, 𝐸), di

mana setiap simpul akan bersesuaian dengan intersection, dan setiap busur berarah

besesuaian dengan ruas jalan dengan suatu arah tertentu [2]. Sebuah busur berarah

akan disimbolkan dengan pasangan simpul (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐸, dengan 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 yang

mengintepretasikan bahwa dimulai dari dan menuju ke .

Representasi matriks adjacency untuk jaringan transportasi adalah.

𝐀𝑢𝑣 = 1 jika (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐸,

𝐀𝑢𝑣 = 0 jika tidak ada penghubung langsung (sebuah busur berarah) dari menuju

.

Selain itu, pada jaringan transportasi berlaku 𝐀𝑢𝑢 = 0 karena tidak terdapat self-link.

Didefinisikan sebuah lintasan sederhana atau sebuah rute sederhana dari 𝑖 ∈ 𝑉

menuju 𝑗 ∈ 𝑉 sebagai lintasan tanpa pengulangan simpul. Simpul bersama untuk

pasangan OD 𝑝𝑞 didefinisikan sebagai semua rute sederhana dari titik asal menuju

titik tujuan yang melalui , kecuali .

3. Penggunaan Matriks Antiadjacency dalam Mencari LCN

Pada bagian ini, akan dibahas matriks antiadjacency dari serta

penggunaannya dalam mencari LCN. Pertama akan dicari matriks antiadjacency ,

kemudian akan dicari persamaan polinomial karakteristik dari det(𝜆𝐈 − 𝐁). Setelah

dilihat persamaan polinomial karakteristiknya, akan diketahui banyak jalan

sederhana dari simpul 1 ke simpul 18 sebagai contoh sederhana dalam makalah ini.

Dari jalan sederhana dari simpul 1 ke simpul 18, dapat ditemukan simpul yang sering

dilalui dan dari simpul tersebut akan dicari simpul terakhir yang sering dilaluinya

(LCN).

3.1. Graf G dan Representasi Matriksnya

Untuk mengetahui sifat dari polinomial karakteristik yang diperoleh dari

det(𝜆𝐈 − 𝐁), akan digunakan graf asiklik berarah sebagai berikut.

619

Graf tersebut dapat dibuat representasi lain sebagai berikut.

Graf diatas dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks adjacency

sebagai berikut.

Dari matriks adjacency diatas, dapat diperoleh matriks

antiadjacency 𝐁 = 𝐉 − 𝐀, dimana adalah matriks persegi dengan seluruh entrinya

bernilai 1.

620

3.2. Polinomial Karakteristik dari Matriks Antiadjacency Graf

Berdasarkan teorema, polinomial karakteristik 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝑰 − 𝑩) dinyatakan

sebagai berikut.

𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐵) = 𝜆𝑛 + 𝑏1𝜆𝑛−1 + 𝑏2𝜆

𝑛−2 + ⋯ + 𝑏𝑛−1𝜆 + 𝑏𝑛

di mana |𝑏𝑖|, 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 menyatakan banyaknya jalan pada graf dengan

panjang 𝑖 − 1.

Dari graf yang diberikan, dapat dibentuk polinomial karakteristik sebagai

berikut.

𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐵) = 𝜆18 − 18𝜆17 + 19𝜆16 − 19𝜆15 + 18𝜆14 − 14𝜆13 + 11𝜆12

− 8𝜆11 + 4𝜆10

Berdasarkan teorema, didapatkan bahwa dalam graf terdapat:

• 18 jalan dengan panjang 0;






• 8 jalan dengan panjang 6; dan

• 4 jalan dengan panjang 7.

Karena graf merupakan graf asiklik berarah, maka setiap jalan dengan

panjang terbesar merupakan panjang jalan dari suatu pasangan OD. Pada graf di

atas, panjang jalan terbesar adalah 7. Ini mengartikan bahwa terdapat pasangan OD

dengan panjang 7, yang dalam kasus ini adalah pasangan OD (1,6) dan (1,18). Di

sini, akan dicari LCN dari pasangan OD (1,18).

621

3.3 Mencari Last Common Node (LCN) berdasarkan Persamaan Polinomial

Karakteristik

Dari persamaan polinomial karakteristik yang diperoleh akan dicari LCN

dari pasangan OD (1,18) dengan menyelidiki setiap rute yang mungkin.

Dari graf , dapat dilihat bahwa terdapat tiga jalan sederhana yang dapat

ditempuh dari simpul 1 ke simpul 18, antara lain:

• {1 − 2 − 3 − 4 − 10 − 11 − 12 − 18};

• {1 − 2 − 3 − 4 − 10 − 16 − 17 − 18}; dan

• {1 − 2 − 3 − 9 − 15 − 16 − 17 − 18};.

Dari tiga jalan di atas, terdapat tiga simpul yang selalu dilalui dari simpul 1

ke simpul 18, antara lain simpul 1, simpul 2, dan simpul 3. Dari tiga simpul tersebut,

sesuai dengan urutannya pada graf dapat dilihat bahwa simpul 3 adalah simpul

bersama yang terakhir dilalui dalam setiap jalan pada pasangan OD (1,18). Dengan

demikian, LCN dari pasangan OD (1,18) adalah simpul 3.

4. Kesimpulan

Dalam makalah ini, telah dikembangkan suatu cara untuk mencari Last

Common Node (LCN) dari suatu graf asiklik berarah dengan meninjau matriks

antiadjacency dari graf yang bersangkutan. Penggunaan matriks antiadjacency di

sini adalah untuk mencari persamaan polinomial karakteristik det(𝜆𝐈 − 𝐁), dengan

bentuk det(𝜆𝐈 − 𝐁) = 𝜆𝑛 + 𝑏1𝜆𝑛−1 + 𝑏2𝜆𝑛−2 + ⋯ + 𝑏𝑛−1𝜆 + 𝑏𝑛 di mana |𝑏𝑖|, 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 adalah banyaknya jalan sederhana pada graf dengan panjang 𝑖 − 1.

Adapun langkah-langkah dalam mencari LCN dari suatu pasangan OD

dengan menggunakan matriks antiadjacency dari graf adalah sebagai berikut.

1. Tentukan matriks antiadjacency berdasarkan matriks adjacency , yaitu

𝐁 = 𝐉 − 𝐀, dimana adalah matriks persegi dengan seluruh entrinya bernilai 1.

2. Tentukan persamaan polinomial karakteristik det(𝜆𝐈 − 𝐁) untuk

mengetahui banyaknya jalan sederhana pada graf .

3. Untuk mencari LCN dari suatu pasangan OD, perlu diketahui berapa

panjang dari pasangan OD tersebut, kemudian dapat dilakukan pencarian secara

manual dengan menuliskan seluruh jalan yang mungkin.

4. Setelah diketahui seluruh jalan yang mungkin, dapat dilihat simpul mana

saja yang dilalui oleh jalan-jalan tersebut. Kemudian, dipilih simpul terakhir

seseuai urutan topologi sebagai LCN yang akan dicari.

Penggunaan matriks antiadjacency , dalam hal ini adalah untuk mencari

persamaan polinomial karakteristik saja, sedangkan untuk mencari LCN masih

menggunakan cara manual. Saran dari penulis, untuk penelitian lebih lanjut dapat

dikembangkan penggunaan matriks sehingga lebih memudahkan pencarian LCN

tanpa harus dilakukan pencarian secara manual. Selain itu, metode ini disimulasikan

dalam contoh graf yang sederhana. Untuk penelitian lebih lanjut, penulis memberi

usulan untuk menggunakan kasus riil dalam melakukan simulasi metode ini.

622

Referensi

[1] Bapat, R.B., 2010, Graphs and matrices, New York (NY): Springer.

[2] Firmansyah, F., 2014, Polinomial Karakteristik Matriks Antiadjacency dari Graf

Berarah yang Acyclic, Tesis, Departemen Matematika FMIPA UI.

[3] Gao, L., Si, B., Yang, X., Sun, H., & Gao, Z., 2012, A matrix method for finding last

common nodes in an origin-based traffic assignment problem. Physica A: Statistical

Mechanics and its Applications, 391(1), 285-290.

[4] Sugeng, K.A., Slamet, S., & Silaban, D.R., 2014, Teori Graf dan Aplikasinya.

Departemen Matematika FMIPA UI.

623

Prosiding SNM 2017 Kombinatorik, Hal 623-627

HUBUNGAN NILAI EIGEN TERBESAR MATRIKS

ANTIADJACENCY DENGAN DERAJAT GRAF

SEDERHANA TAK BERARAH

AKANE VIEBIA AYA, NURUL MAGHFIRAH, KIKI ARIYANTI

SUGENG

Departemen Matematika FMIPA, Universitas Indonesia,

[email protected], [email protected], [email protected]

Abstrak. Misal 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf sederhana tak berarah dimana 𝑉 adalah

himpunan simpul dan 𝐸 adalah himpunan busur. Matriks adjacency dari graf 𝐺

adalah matriks 𝐴(𝐺) = [𝑎𝑖𝑗] berukuran 𝑛 𝑥 𝑛 dimana 𝑎𝑖𝑗=1 untuk 𝑖≠𝑗 jika terdapat

busur dari 𝑣𝑖 ke 𝑣𝑗 , dan 𝑎𝑖𝑗 =0 untuk lainnya Matriks antiadjacency dari graf 𝐺

didefinisikan sebagai matriks 𝐵(𝐺) = 𝐽 – 𝐴(𝐺) dengan 𝐽 adalah matriks

berukuran 𝑛 × 𝑛 yang semua entrinya 1. Pada makalah ini dibahas hubungan

antara nilai eigen terbesar dari matriks antiadjacency 𝐵(𝐺) dengan derajat

terbesar dan terkecilnya dari beberapa kelas graf, yaitu : graf bipartit lengkap,

graf lengkap, dan graf bintang.

Kata kunci: graf bipartit lengkap, graf lengkap, matriks antiadjacency, nilai eigen

terbesar.

1. Pendahuluan

Teori graf adalah salah satu cabang ilmu pengetahuan yang hingga saat ini

masih berkembang pesat. Teori graf dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan

berbagai permasalahan, mulai dari model permasalahan sehari – hari sampai

permasalahan matematika yang rumit seperti pada bidang kimia, ilmu komputer dan

riset operasi.

Jenis graf dapat dibagi menjadi dua, yaitu graf berarah dan graf tidak

berarah. Suatu graf berarah 𝐷 memuat himpunan berhingga 𝑉 dari simpul dan

himpunan pasangan terurut dari simpul yang berbeda. Untuk 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 pasangan (𝑢, 𝑣) disebut busur dan biasanya dinotasikan dengan 𝑢𝑣 [6]. Graf tidak berarah 𝐺 = (𝑉, 𝐸) dengan 𝑉 adalah himpunan simpul dan 𝐸 adalah himpunan busur atau

himpunan pasangan tek berurut dari dua simpul yang berbeda di 𝑉.

Suatu graf 𝐺 dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks, contohnya

sebagai matriks adjacency dan matriks antiadjacency. Matriks adjacency dari graf

𝐺 digunakan untuk menyatakan hubungan antar simpul pada suatu graf, dan

dinyatakan dalam bentuk matriks 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] berukuran 𝑛 × 𝑛 yang didefinisikan

sebagai :

𝑎𝑖𝑗 = {1, jika 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗 bertetangga

0, jika 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗 tidak bertetangga



624

Contoh lain representasi graf adalah dengan matriks antiadjacency yaitu

dimisalkan 𝐴 adalah matriks adjacency dari graf 𝐺, matriks 𝐵 = 𝐽 – 𝐴 disebut

sebagai matriks antiadjacency dari suatu graf 𝐺 dengan 𝐽 adalah suatu matriks

berukuran 𝑛 × 𝑛 yang semua entrinya adalah 1 [2].

Jika diketahui representasi suatu graf 𝐺 dalam bentuk matriks antiadjacency,

maka dapat dicari nilai karakteristik atau nilai eigen dari matriks antiadjacency

tersebut. Untuk mencari nilai eigen dari suatu matriks dapat dilakukan dengan

berbagai cara, salah satunya adalah dengan menggunakan spektrum dari graf.

Misalkan 𝜆 adalah suatu nilai eigen dari matriks A dan 𝑚(𝜆) adalah

multiplisitas aljabar dari nilai eigen. Misalkan A(G) memiliki nilai eigen yang

berbeda, yaitu 𝜆1 > 𝜆2 > ⋯ > 𝜆𝑠 dengan multiplisitas masing – masing adalah

𝑚(𝜆1),𝑚(𝜆2),… ,𝑚(𝜆𝑠). Spektrum dari graf G, dinotasikan dengan Spec A(G), dan

dituliskan dalam bentuk sebagai berikut [3].

𝑆𝑝𝑒𝑐 𝐴(𝐺) = (𝜆1 𝜆2 … 𝜆𝑠

𝑚(𝜆1) 𝑚(𝜆2) … 𝑚(𝜆𝑠))

Terdapat berbagai jenis kelas graf, seperti : graf lintasan, graf lingkaran, graf

bintang, graf bipartit, dan sebagainya. Jenis graf berbeda juga pasti akan

menghasilkan entri matriks adjacency dan matriks antiadjacency yang berbeda pula,

sehingga nilai eigen yang dihasilkan juga akan berbeda – beda.

Dari beragam perbedaan yang mungkin akan dihasilkan, sebenarnya terdapat

suatu keterhubungan. Kaitan nilai eigen terbesar matriks adjacency dengan derajat

graf G tak berarah telh diketahui yaitu 𝛿(𝐺) ≤ 𝜆1(𝐺) ≤ ∆(𝐺), dengan 𝛿(𝐺) adalah

derajat terkecil dari graf G, ∆(𝐺) adalah derajat terbesar dari graf G, dan 𝜆1(𝐺) adalah nilai eigen terbesar dari matriks adjacency. [2]. Tetapi belum diketahui

bagaimana untuk matriks antiadjacency nya.

Hasil yang sudah diketahui adalah spektrum dari beberapa kelas graf seperti

berikut [1] :

Theorem 1. Nilai Karakteristik dari matriks antiadjacency graf lengkap 𝐾𝑛 dengan

𝑛 ≥ 4 selalu bernilai 1 dan spektrum dari graf lengkap 𝐾𝑛 adalah 𝑆𝑝𝑒𝑐 𝐾𝑛 = (1𝑛).

Theorem 2. Spektrum matriks antiadjacency graf bipartit lengkap 𝐾𝑚,𝑛 dengan 𝑚 ≥

2 dan 𝑛 ≥ 2 adalah 𝑆𝑝𝑒𝑐 𝐾𝑚,𝑛 = (0

𝑚+𝑛−2𝑚1𝑛1 ).

Theorem 3. Spektrum matriks antiadjacency graf bintang 𝑆𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3 adalah

𝑆𝑝𝑒𝑐 𝑆𝑛 = (0

𝑛−211𝑛−11 ).

Dikarenakan masih minimnya penelitian mengenai matriks antiadjacency,

maka pada makalah ini akan dibahas keterhubungan antara nilai eigen dari matriks

antiadjacency dari suatu graf dengan derajat terkecil dan terbesar dari graf tersebut.

Makalah ini menggunakan tiga buah kelas graf, yaitu : graf bipartit lengkap, graf

lengkap, dan graf bintang.

Selanjutnya pada bagian II akan dijelaskan mengenai hasil – hasil penelitian

dan pada bagian III akan dijelaskan mengenai kesimpulan.

625

2. Hasil – Hasil Utama

Definisi 1. Graf lengkap adalah graf sederhana dimana setiap pasang simpulnya

merupakan simpul-simpul bertetangga [7].

Berdasarkan ide dari [5] maka diperoleh hasil berikut.

Theorem 4. Misal Kn adalah graf lengkap dengan n 4 diperoleh 𝜆1(𝐾𝑛) <𝛿(𝐾𝑛) = ∆(𝐾𝑛).

BUKTI Berdasarkan definisi, setiap simpul yang ada saling bertetangga maka

derajat setiap simpul dari graf lengkap 𝐾𝑛 adalah 𝑛 − 1. Sehingga dapat dikatakan

derajat terkecil dan terbesar dari graf 𝐾𝑛 adalah 𝑛 − 1. Oleh karena itu akan didapat

𝛿(𝐾𝑛) = ∆(𝐾𝑛). Sesuai Teorema 1 dari [1] didapat nilai eigen dari matriks antiadjacency graf lengkap

dengan n ≥ 4 adalah 𝜆1 = 𝜆2 = ⋯ = 𝜆𝑛 = 1

Jadi,

a. 𝜆1(𝐾𝑛) < 𝛿(𝐾𝑛) Diketahui 𝜆1(𝐾𝑛) = 1 < 𝑛 − 1 = 𝛿(𝐾𝑛) untuk n ≥ 4

Maka 𝜆1(𝐾𝑛) < 𝛿(𝐾𝑛).

b. 𝜆1(𝐾𝑛) < ∆(𝐾𝑛) Diketahui 𝜆1(𝐾𝑛) = 1 < 𝑛 − 1 = ∆(𝐾𝑛) untuk n ≥ 4

Maka 𝜆1(𝐾𝑛) < ∆(𝐾𝑛). Didapat 𝜆1(𝐾𝑛) < 𝛿(𝐾𝑛) dan 𝜆1(𝐾𝑛) < ∆(𝐾𝑛) dan (𝐾𝑛) = ∆(𝐾𝑛) , maka

𝜆1(𝐾𝑛) < 𝛿(𝐾𝑛) = ∆(𝐾𝑛) untuk graf lengkap 𝐾𝑛 dengan n ≥ 4.

Definisi 2. Suatu graf G adalah graf bipartit lengkap jika himpunan simpul V dapat

dipartisi menjadi dua sub-himpunan U dan W, disebut himpunan partisi, sedemikian

sehingga setiap busur dri G menghubungkan simpul di U dan simpul di W. Atau

dengan kata lain, setiap simpul di U bertengga dengan setiap simpul di W. Jika

|𝑈| = 𝑚 dan |𝑉| = 𝑛, maka graf bipartit lengkap dinotasikan dengan 𝐾𝑚,𝑛[4].

Theorem 5. Misal 𝐾𝑟,𝑠 adalah graf bipartit lengkap dimana 𝑟, 𝑠 ≥ 2 diperoleh

𝛿(𝐾𝑟,𝑠) ≤ ∆(𝐾𝑟,𝑠) = 𝜆1(𝐾𝑟,𝑠).

BUKTI. Graf Bipartit lengkap 𝐾𝑟,𝑠 memiliki 2 himpunan simpul 𝑋 dan 𝑌. Misalkan

himpunan simpul 𝑋 memiliki 𝑟 simpul dengan masing-masing simpulnya berderajat

𝑠 dan himpunan simpul 𝑌 memiliki 𝑠 simpul dengan masing-masing simpulnya

berderajat 𝑟 dan dapat dinyatakan sebagai berikut:

deg(𝑣𝑖) = {𝑠, 𝑖 = 1,2, . . , 𝑟,

𝑟, 𝑖 = 𝑟 + 1, 𝑟 + 2,… , 𝑟 + 𝑠.

Derajat terkecil dan terbesar dari graf bipartit lengkap 𝐾𝑟,𝑠 adalah 𝛿(𝐾𝑟,𝑠) =

min(𝑟, 𝑠) dan ∆(𝐾𝑟,𝑠) = 𝑚𝑎𝑘𝑠(𝑟, 𝑠). Karena untuk setiap graf berlaku 𝛿(𝐺) ≤

∆(𝐺) maka berlaku pula untuk graf bipartit lengkap 𝛿(𝐾𝑟,𝑠) ≤ ∆(𝐾𝑟,𝑠). Berdasarkan Teorema 2 dari [1], maka didapat nilai eigen dari matriks antiadjacency

graf bipartit lengkap 𝐾𝑟,𝑠 adalah 0, 𝑟, dan 𝑠.

626

Oleh karena itu, nilai eigen terbesar matriks antiadjacency graf bipartit lengkap 𝐾𝑟,𝑠 adalah

𝜆1(𝐾𝑟,𝑠) = {𝑟, 𝑟 ≥ 𝑠𝑠, 𝑟 < 𝑠

atau 𝜆1(𝐾𝑟,𝑠) = 𝑚𝑎𝑘𝑠 (𝑟, 𝑠).

Derajat terbesar dari graf bipartit lengkap 𝐾𝑟,𝑠 adalah ∆(𝐾𝑟,𝑠) = 𝑚𝑎𝑘𝑠(𝑟, 𝑠).

Karena 𝜆1(𝐾𝑟,𝑠) = 𝑚𝑎𝑘𝑠 (𝑟, 𝑠) = ∆(𝐾𝑟,𝑠) maka 𝜆1(𝐾𝑟,𝑠) = ∆(𝐾𝑟,𝑠).

Dari persamaan 𝛿(𝐾𝑟,𝑠) ≤ ∆(𝐾𝑟,𝑠) dan 𝜆1(𝐾𝑟,𝑠) = ∆(𝐾𝑟,𝑠) maka 𝛿(𝐾𝑟,𝑠) ≤

∆(𝐾𝑟,𝑠) = 𝜆1(𝐾𝑟,𝑠) untuk graf bipartit lengkap dimana 𝑟, 𝑠 2.

Definisi 3. Graf bintang, 𝑆𝑛, adalah graf dengan 𝑛 + 1 simpul, memiliki satu simpul

pusat 𝑣0 yang terhubung dengan 𝑛 simpul lainnya.[7].

Theorem 6. Misal 𝑆𝑛 adalah graf bintang dengan 𝑛 3 diperoleh 𝛿(𝑆𝑛) <𝜆1(𝑆𝑛) < ∆(𝑆𝑛).

BUKTI. Berdasarkan Definisi 3, derajat simpul pusat selalu lebih besar daripada

simpul daun graf bintang 𝑆𝑛 untuk 𝑛 3. Sehingga derajat terkecil 𝛿(𝑆𝑛) = 1 dan

derajat terbesar ∆(𝑆𝑛) = 𝑛.

Berdasarkan Teorema 3 dari [1] akan didapat nilai eigen dari matriks antiadjacency

graf bintang 𝑆𝑛 tersebut adalah 0, 1, dan 𝑛 − 1. Nilai eigen dari matriks antiadjacency graf bintang 𝑆𝑛 tersebut adalah 0, 1, dan 𝑛 −1. Karena 𝑛 − 1 ≥ 1 ≥ 0 untuk 𝑛 3 maka nilai eigen terbesarnya adalah

𝜆1(𝑆𝑛) = 𝑛 − 1.

Akan dibuktikan :

a. 𝛿(𝑆𝑛) < 𝜆1(𝑆𝑛). Diketahui 𝛿(𝑆𝑛) = 1.

Jadi 𝛿(𝑆𝑛) = 1 < 𝑛 − 1 = 𝜆1(𝑆𝑛) untuk 𝑛 3.

Maka 𝛿(𝑆𝑛) < 𝜆1(𝑆𝑛).

b. 𝜆1(𝑆𝑛) < ∆(𝑆𝑛). Diketahui ∆(𝑆𝑛) = 𝑛.

Jadi 𝜆1(𝑆𝑛) = 𝑛 − 1 < 𝑛 = ∆(𝑆𝑛) untuk 𝑛 3. Maka 𝜆1(𝑆𝑛) < ∆(𝑆𝑛).

Jadi 𝛿(𝑆𝑛) < 𝜆1(𝑆𝑛) < ∆(𝑆𝑛) untuk graf bintang 𝑆𝑛 dengan 𝑛 3.

3. Kesimpulan

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, didapatkan kesimpulan

sebagai berikut :

1. Pada graf tak berarah G dengan representasi menggunakan matriks

antiadjacency, didapat keterhubungan antara nilai eigen terbesar dari matriks

antiadjacency tersebut dengan derajat terkecil dan terbesar dari graf G adalah

𝛿(𝐺) ≤ 𝜆1(𝐺) ≤ ∆(𝐺). 2. Untuk matriks antiadjacency dari graf tidak berarah, didapatkan keterhubungan

sebagai berikut

627

Jenis Graf

Perbandingan Nilai Eigen

Terbesar, Derajat Terkecil, dan

Derajat Terbesar

Graf lengkap 𝐾𝑛 𝜆1(𝐾𝑛) < 𝛿(𝐾𝑛) = ∆(𝐾𝑛)

Graf bipartit lengkap 𝐾𝑟,𝑠 𝛿(𝐾𝑟,𝑠) ≤ ∆(𝐾𝑟,𝑠) = 𝜆1(𝐾𝑟,𝑠)

Graf bintang 𝑆𝑛 𝛿(𝑆𝑛) < 𝜆1(𝑆𝑛) < ∆(𝑆𝑛)

Referensi

[1] Alyani, F., 2014, Spektrum Matriks Antiadjacency dari Beberapa Kelas Graf Tak

Berarah, Tesis. Departemen Matematika FMIPA UI.

[2] Bapat, R.B., 2010, Graph and Matrices, Springer.

[3] Biggs, 1993, Algebraic Graph Theory. New York, Cambridge University Press.

[4] Chartrand, G dan Zhang, 2005, Introduction to Graph Theory, New York, McGraw-

Hill.

[5] Listyaningrum, R., 2015, Kaitan Nilai Eigen Terbesar Matriks Antiadjacency dengan

Derajat Graf dan Operasi Maksimum dari Dua Graf, Tesis. Departemen Matematika

FMIPA UI.

[6] Harary, 1995, Graph Theory. New York, Addison – Wesley.

[7] Sugeng, K.A., dan Slamet, S. dan Silaban, D.R.. 2014. Teori Graf dan Aplikasinya.

Depok. Departemen Matematika FMIPA UI

628

Prosiding SNM 2017 Kombinatorik , Hal 628-641

POLINOMIAL KARAKTERISTIK DAN SPEKTRUM

MATRIKS ADJACENCY DAN ANTI-ADJACENCY

DARI GRAF FRIENDSHIP TAK BERARAH DAN

BERARAH

BUDI PONIAM1,2, KIKI A. SUGENG2

1 Departemen Pendidikan Matematika, Fakultas Pendidikan, Universitas Sampoerna,

Gedung L’Avenue (Office) Lantai 5,

Jalan Raya Pasar Minggu Kav 16, Jakarta Selatan 12780,

[email protected]

2 Program Magister Matematika, Departemen Matematika FMIPA,

Universitas Indonesia, Kampus UI Depok 16424, [email protected].

Abstrak. Sebuah graf friendship (C3n), baik tak berarah maupun berarah, dapat

direpresentasikan dengan sebuah matriks adjacency maupun matriks anti-

adjacency. Pada makalah ini diberikan polinomial karakteristik dan spektrum

matriks adjacency dan anti-adjacency dari graf friendship tak berarah maupun

berarah. Graf friendship berarah meliputi graf yang siklik dan asiklik. Graf

siklik dibahas hanya untuk satu jenis yaitu graf yang semua graf segitiganya

(𝐶3) siklik searah; dan graf asiklik dibahas untuk dua jenis saja. Beberapa

kesimpulan yang menarik didapatkan dari hasil perbandingan polinomial

karakteristik dan spektrum dari matriks adjacency dan matriks anti-adjacency.

Kata kunci: Polinomial karakteristik, spektrum, adjacency, anti-adjacency, graf

friendship.

1. Pendahuluan

Kajian yang umum dilakukan pada matriks representasi graf adalah

penentuan sifat-sifat polinomial karakteristik dan spektrum matriks tersebut.

Penelitian mengenai polinomial karakteristik matriks adjacency dari suatu graf tidak

berarah dilakukan oleh Bapat [3] dan Biggs [4]. Knauer [9] meneliti hubungan nilai-

nilai karakteristik matriks adjacency dari suatu graf tidak berarah sederhana.

Penelitian mengenai matriks anti-adjacency dari suatu graf masih sangat

terbatas jumlahnya. Penelitian mengenai polinomial karakeristik matriks anti-

adjacency dari graf berarah telah dilakukan oleh Bapat [3], graf pohon berarah out-

tree oleh Nugroho [12], dan graf berarah asiklik oleh Firmansah [7], serta graf

berarah oleh Wildan [13]. Adiati [2] meneliti hubungan nilai-nilai karakteristik

matriks anti-adjacency dari suatu graf berarah sederhana.

Dalam makalah ini penulis menentukan polinomial karakteristik dan spektrum

matriks adjacency dan anti-adjacency dari graf friendship tak berarah dan berarah

dan mengkaji sifat-sifatnya. Polinomial karakteristik matriks adjacency dari graf

friendship tak berarah sudah dihitung oleh Cvetkovic, Rowlinson dan Simic [6], dan

spektrum matriks adjacencynya oleh Abdollahi, Janbaz dan Oboudi [1] namun



629

pembahasan tidak terkait dengan sifat-sifatnya.

Graf friendship berarah siklik yang dibahas dalam makalah ini dibatasi

hanya graf friendship yang setiap graf segitiganya 𝐶3 berarah siklik dan mempunyai

arah yang sama. Graf friendship berarah asiklik dibatasi hanya dua jenis yaitu graf

friendship berarah asiklik (1) dan (2).


Teorema 2.1. [8] Misalkan sebuah matriks 𝐴𝑛 𝑥 𝑛 = (𝑎𝑖𝑗), berukuran 𝑛 × 𝑛,

dengan 𝑛 ≥ 1. 𝑎1𝑗 adalah entri baris pertama dan kolom ke 𝑗 dari matriks 𝐴 dan

𝐴1𝑗 adalah submatriks berukuran (𝑛 − 1) × (𝑛 − 1) yang dibentuk dengan

menghapuskan baris pertama dan kolom ke 𝑗 dari matriks 𝐴 . Maka determinan

matriks 𝐴 (|𝐴|) dapat dihitung melalui persamaan |𝐴| = ∑ 𝑎1𝑗. (−1)1+𝑗 |𝐴1𝑗|

𝑛𝑗=1 .

Teorema 2.2. [8] Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar blok segitiga yaitu

𝐴 =

[ 𝐴1 . . ⋯ .

0 𝐴2 . ⋯ .

0 0 𝐴3 ⋯ .

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

0 0 0 ⋯ 𝐴𝑝]

dengan submatriks 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, …, 𝐴𝑝 merupakan matriks bujur sangkar maka

|𝐴| = |𝐴1|. |𝐴2|. |𝐴3| … |𝐴𝑝|.

Untuk mencari polinomial karakteristik dari graf friendship berarah siklik

dan asiklik, maka diperlukan matriks khusus yang didefinisikan berikut ini.

Definisi 2.3. Ambil sebuah matriks bujur sangkar 𝑃 = (𝑝𝑖𝑗) berukuran (2𝑛 + 1) ×(2𝑛 + 1); dengan 𝑛 ≥ 1, yang setiap entrinya didefinisikan sebagai berikut:

𝑝𝑖𝑗 =

{

𝑎, untuk 𝑖 = 𝑗

𝑏, untuk 𝑖 = {2, 4, 6, … , 2𝑛} dan 𝑗 = 𝑖 + 1

𝑐, untuk 𝑖 = {3, 5, 7, … , 2𝑛 + 1} dan 𝑗 = 𝑖 − 1

𝑒, untuk 𝑖 = 1 dan 𝑗 = {2, 4, 6, … , 2𝑛}

𝑓, untuk 𝑖 = 1 dan 𝑗 = {3, 5, 7, … , 2𝑛 + 1}

𝑔, untuk 𝑖 = {2, 4, 6,… , 2𝑛} dan 𝑗 = 1

ℎ, untuk 𝑖 = {3, 5, 7,… , 2𝑛 + 1} dan 𝑗 = 1

𝑑, untuk entri lainnya.

.

Jadi matriks P dapat ditulis sebagai berikut:

1 2 3 . 6 7 8 9 . 2𝑛 2𝑛 + 1

630

dengan 𝑛 ≥ 1; 𝑛 ∈ 𝑁 dan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ ∈ 𝑅.

Lemma 2.4. Misalkan 𝑃 adalah sebuah matriks yang didefinisikan seperti pada

Definisi 2.3. maka 𝑝1(2𝑙). (−1)1+2𝑙 |𝑃1(2𝑙)| = −𝑒. |𝑃12|, untuk 𝑙 ∈ {1, 2, 3, … , 𝑛};

dengan 𝑃1𝑗 adalah submatriks berukuran 2𝑛 × 2𝑛 yang dibentuk dengan

menghapuskan baris pertama dan kolom ke 𝑗 dari matriks 𝑃.

BUKTI. Lemma 2.4. dapat juga ditulis sebagai berikut:

𝑝12. (−1)1+2|𝑃12| = 𝑝14. (−1)

1+4 |𝑃14| = ⋯ = 𝑝1(2𝑛). (−1)1+2𝑛 |𝑃1(2𝑛)| =

−𝑒. |𝑃12|. Sesuai dengan definisi matriks 𝑃, didapatkan

𝑝12. (−1)1+2 = 𝑝14. (−1)

1+4 = ⋯ = 𝑝1(2𝑛). (−1)1+2𝑛 = −𝑒 atau

𝑝1(2𝑙). (−1)1+2𝑙 = −𝑒 , untuk 𝑙 ∈ {1, 2, 3, … , 𝑛}.

Untuk 𝑙 = 1, terbukti dengan jelas 𝑝12. (−1)1+2|𝑃12| = −𝑒. |𝑃12|.

Untuk 𝑙 = 2, perlu dibuktikan bahwa |𝑃14| = |𝑃12| . Menurut Franklin [8], jika 𝛼𝑖 adalah vektor baris ke-i dan 𝛽𝑗 adalah vektor

kolom ke-j, operasi pertukaran baris dan pertukaran kolom dapat dilakukan pada

suatu matriks yaitu vektor baris ke-r dengan vektor baris ke-s saling tukar (𝛼𝑟 ↔ 𝛼𝑠) dan vektor kolom ke-r dengan vektor kolom ke-s saling tukar (𝛽𝑟 ↔ 𝛽𝑠). Untuk

setiap pertukaran vektor baris atau kolom, determinan matriks akan berubah tanda

(negatif menjadi postif dan sebaliknya). Selain pertukaran baris dan kolom, dalam

perhitungan determinan matriks dikenal juga operasi baris 𝛼𝑟∗ = 𝛼𝑟 + 𝑡𝛼𝑠 dan

operasi kolom 𝛽𝑟∗ = 𝛽𝑟 + 𝑡𝛽𝑠 dengan 𝑡 ∈ 𝑅 dan tanda * menyatakan vektor baris

atau kolom yang baru, hasil operasi baris atau kolom. Operasi baris atau kolom ini

tidak mengubah determinan suatu matriks.

Dalam pembuktian ini, operasi pertukaran baris pada submatriks 𝑃14 akan

dilakukan yaitu (𝛼2 ↔ 𝛼4) & (𝛼1 ↔ 𝛼3), kemudian pertukaran kolom (𝛽2 ↔𝛽3) lalu (𝛽2 ↔ 𝛽4) sehingga didapatkan submatriks 𝑃12. Terbukti |𝑃14| = |𝑃12|.

Untuk 2 < 𝑙 ≤ 𝑛, akan dibuktikan|𝑃1(2(𝑙+1))| = |𝑃1(2𝑙)|. Operasi

pertukaran baris pada submatriks 𝑃1(2(𝑙+1)) akan dilakukan yaitu (𝛼2𝑙−1 ↔ 𝛼2𝑙+1)

dan (𝛼2𝑙 ↔ 𝛼2𝑙+2), kemudian pertukaran kolom (𝛽2𝑙 ↔ 𝛽2𝑙+1) lalu (𝛽2𝑙 ↔ 𝛽2𝑙+2)

sehingga didapatkan submatriks 𝑃1(2𝑙). Terbukti |𝑃1(2(𝑙+1))| = |𝑃1(2𝑙)|. Karena

𝑝14. (−1)1+4 |𝑃14| = −𝑒. |𝑃12|, maka didapatkan 𝑝1(2𝑛). (−1)

1+2𝑛|𝑃1(2𝑛)| = ⋯ =

𝑝16. (−1)1+6|𝑃16| = 𝑝14. (−1)

1+4 |𝑃14| = −𝑒. |𝑃12|.

Jadi 𝑝1(2𝑙). (−1)1+2𝑙|𝑃1(2𝑙)| = −𝑒. |𝑃12| , untuk 𝑙 ∈ {1, 2, 3, … , 𝑛}. ∎

𝑃 =

[

𝒂 𝑒 𝑓 . 𝑒 𝑓 𝑒 𝑓 . 𝑒 𝑓𝑔 𝒂 𝒃 . 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 . 𝑑 𝑑ℎ 𝒄 𝒂 . 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 . 𝑑 𝑑. . . . . . . . . . .𝑔 𝑑 𝑑 . 𝒂 𝒃 𝑑 𝑑 . 𝑑 𝑑ℎ 𝑑 𝑑 . 𝒄 𝒂 𝑑 𝑑 . 𝑑 𝑑𝑔 𝑑 𝑑 . 𝑑 𝑑 𝒂 𝒃 . 𝑑 𝑑ℎ 𝑑 𝑑 . 𝑑 𝑑 𝒄 𝒂 . 𝑑 𝑑. . . . . . . . . . .𝑔 𝑑 𝑑 . 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 . 𝒂 𝒃ℎ 𝑑 𝑑 . 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 . 𝒄 𝒂]

1

23.6789.2𝑛

2𝑛 + 1

631

Lemma 2.5. Misalkan 𝑃 adalah sebuah matriks yang didefinisikan seperti pada

Definisi 2.3. maka 𝑝1(2𝑙+1). (−1)1+2𝑙+1|𝑃1(2𝑙+1)| = 𝑓. |𝑃13|, untuk

𝑙 ∈ {1, 2, 3, … , 𝑛}; dengan 𝑃1𝑗 adalah submatriks berukuran 2𝑛 × 2𝑛 yang dibentuk

dengan menghapuskan baris pertama dan kolom ke 𝑗 dari matriks 𝑃.

BUKTI. Lemma 2.6. dapat juga ditulis sebagai berikut:

𝑝13. (−1)1+3|𝑃13| = 𝑝15. (−1)

1+5 |𝑃15| = ⋯ = 𝑝1(2𝑛+1). (−1)1+2𝑛+1 |𝑃1(2𝑛+1)| = 𝑓. |𝑃13|.

Sesuai dengan definisi matriks 𝑃, kita dapatkan

𝑝13. (−1)1+3 = 𝑝15. (−1)

1+5 = ⋯ = 𝑝1(2𝑛+1). (−1)1+2𝑛+1 = 𝑓 atau

𝑝1(2𝑙+1). (−1)1+2𝑙+1 = 𝑓 , untuk 𝑙 ∈ {1, 2, 3, … , 𝑛}.

Dengan cara pembuktian yang sama dengan cara pembuktian pada Lemma

2.5., didapatkan |𝑃1(2𝑛+1)| = ⋯ = |𝑃17| = |𝑃15| = |𝑃13| sehingga didapatkan

𝑝1(2𝑙+1). (−1)1+2𝑙+1|𝑃1(2𝑙+1)| = 𝑓. |𝑃13|, untuk 𝑙 ∈ {1, 2, 3, … , 𝑛}. ∎

Teorema 2.6. Misalkan P adalah sebuah matriks seperti yang didefinisikan seperti

pada Definisi 2.3., maka |𝑃| = 𝑎. |𝑃11| − 𝑛. 𝑒. |𝑃12| + 𝑛. 𝑓. |𝑃13|; dengan 𝑃1𝑗

adalah submatriks berukuran 2𝑛 × 2𝑛 yang dibentuk dengan menghapuskan baris

pertama dan kolom ke 𝑗 dari matriks 𝑃.

BUKTI. Berdasarkan Teorema 2.1. |𝑃| = ∑ 𝑝1𝑗. (−1)1+𝑗|𝑃1𝑗|

2𝑛+1𝑗=1 ; dengan 𝑃1𝑗

adalah submatriks berukuran 2𝑛 × 2𝑛 yang dibentuk dengan menghapuskan baris

pertama dan kolom ke 𝑗 dari matriks 𝑃, didapatkan |𝑃| = 𝑎. |𝑃11| +

∑ 𝑝1(2𝑙). (−1)1+2𝑙|𝑃1(2𝑙)| + ∑ 𝑝1(2𝑙+1). (−1)

1+2𝑙+1𝑛𝑙=1 |𝑃1(2𝑙+1)|

𝑛𝑙=1 .

Berdasarkan Lemma 2.5. dan 2.6., maka didapatkan

|𝑃| = 𝑎. 𝑃11 +∑(−𝑒.

𝑛

𝑙=1

|𝑃12|) +∑(𝑓.

𝑛

𝑙=1

|𝑃13|)

|𝑃| = 𝑎. |𝑃11| − 𝑛. 𝑒. |𝑃12| + 𝑛. 𝑓. |𝑃13| . ∎

Definisi 2.7. [8] Ambil suatu matriks A berukuran 𝑛 × 𝑛 yang memenuhi persamaan

matriks 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥, dengan skalar 𝜆 yang disebut nilai karakteristik, dan vektor 𝑥 ≠ 0

berukuran 𝑛 × 1 disebut vektor karakteristik yang bersesuaian dengan nilai

karakteristik 𝜆. Polinomial karakteristik matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 adalah

𝑃(𝐴) = 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐴) = 𝜆𝑛 + 𝑎1𝜆𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛 dengan n adalah derajat tertinggi

dari 𝑃(𝐴).

Definisi 2.8. [11] Submatriks utama dari matriks 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] berukuran 𝑛 × 𝑛

didefinisikan sebagai suatu submatriks berukuran (𝑛 − 𝑘) × (𝑛 − 𝑘) yang diperoleh

dengan menghapus secara bersamaan 𝑘 buah baris dan 𝑘 buah kolom yang

berindeks sama dari matriks 𝐴. Minor utama dari matriks 𝐴 didefinisikan sebagai

determinan submatriks utama dari matriks 𝐴.

Teorema 2.9. [11] Jika 𝜆𝑛 + 𝑐1𝜆𝑛−1 + 𝑐2𝜆

𝑛−2 +⋯+ 𝑐𝑛−1𝜆 + 𝑐𝑛 = 0 adalah

persamaan karakteristik untuk matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 maka

𝑐𝑖 = (−1)𝑖∑|𝐴𝑖

(𝑗)|

𝑤

𝑗=1

𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛

632

dengan |𝐴𝑖(𝑗)| adalah minor utama berukuran 𝑖 × 𝑖 dari matriks 𝐴 dan 𝑗 = 1, 2,… ,𝑤

dengan 𝑤 adalah banyaknya minor utama yang berukuran 𝑖 × 𝑖 dari matriks 𝐴.

Definisi 2.10. [3] Jika 𝑉(𝐺) = { 𝑣1, . . . , 𝑣𝑛} adalah himpunan tak kosong dari

simpul-simpul pada graf G maka matriks adjacency 𝐴(𝐺) = [𝑎𝑖𝑗] dari graf berarah

𝐺 adalah matriks 𝑛 𝑥 𝑛 yang didefinisikan sebagai berikut:

𝑎𝑖𝑗 = {1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≠ 𝑗 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑟𝑎ℎ 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑣𝑖 𝑘𝑒 𝑣𝑗0. 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

Definisi tersebut juga berlaku untuk graf tak berarah 𝐺 dengan 𝑎𝑖𝑗 = 1 jika untuk

𝑖 ≠ 𝑗 terdapat busur yang menghubungkan 𝒗𝒊 dan 𝒗𝒋.

Teorema 2.11. [3,4] Misalkan G adalah sebuah graf tidak berarah yang memiliki

simpul sebanyak 𝑛 dan busur sebanyak 𝑚 dengan polinomial karakteristik

𝑃(𝐴(𝐺)) = 𝜆𝑛 + 𝑎1𝜆𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛, dan 𝐴(𝐺) adalah matriks adjacency dari graf

𝐺, maka koefisien 𝑎1 = 0, 𝑎2 = −𝑚 dan 𝑎3 menyatakan negatif dari dua kali

banyaknya graf segitiga (graf yang terdiri dari tiga simpul yang saling terhubung).

Definisi 2.12. [3] Matriks anti-adjacency dari suatu graf G adalah matriks 𝐵(𝐺) =𝐽 − 𝐴(𝐺) dengan 𝐽 adalah matriks berukuran sama dengan matriks 𝐴(𝐺), yang

semua entrinya adalah 1 dan matriks 𝐴(𝐺) adalah matriks adjacency dari graf G.

Teorema 2.13 [13] Misalkan 𝐺 adalah graf berarah yang memiliki 𝑛 simpul dan 𝑚

busur, dan 𝐵(𝐺) adalah matriks anti-adjacency dari 𝐺 dengan polinomial

karakteristiknya adalah 𝑃(𝐵(𝐺)) = 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐵(𝐺)) = 𝜆𝑛 + 𝑏1𝜆𝑛−1 +⋯+

𝑏𝑛−1𝜆 + 𝑏𝑛, maka 𝑏1 = −𝑛 , 𝑏2 = 𝑚 dan 𝑏3 menunjukkan negatif dari banyaknya

subgraf terinduksi asiklik yang memiliki lintasan Hamilton dari tiga buah simpul

ditambah dua kali banyaknya lingkaran pada 𝐺. Lintasan Hamilton adalah sebuah

lintasan yang melalui semua simpul yang ada pada suatu graf tepat satu kali.

Definisi 2.14. [3,4] Spektrum matriks 𝐴𝑛×𝑛 didefinisikan sebagai

𝑆𝑝𝑒𝑐(𝐴) = (𝜆1 𝜆2 …

𝑚(𝜆1) 𝑚(𝜆2) … 𝜆𝑠

𝑚(𝜆𝑠 )) dengan nilai karakteristik matriks 𝐴,

𝜆1 > 𝜆2 > ⋯ > 𝜆𝑠 dan multiplisitas masing-masing 𝑚(𝜆1),𝑚( 𝜆2), … , 𝑚(𝜆𝑠 ). Nilai karakteristik matriks 𝐴(𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛 ) merupakan akar-akar yang didapatkan

dari persamaan karakteristik 𝑃𝐴(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐴) = ∏ (𝜆 − 𝜆𝑖) = 0𝑛𝑖=1 .

Teorema 2.15. [9] Misalkan 𝐺 adalah suatu graf tak berarah sederhana yang

memiliki 𝑛 simpul dan 𝑚 busur, dan 𝐴 adalah matriks adjacency dari graf 𝐺 serta

𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛 adalah nilai karakteristik dari matriks 𝐴, maka ∑ λini=1 =0 dan

∑ 𝜆𝑖2𝑛

𝑖=1 = 2𝑚.

Teorema 2.16. [2] Misalkan 𝐺 adalah suatu graf berarah asiklik maupun siklik yang

memiliki 𝑛 simpul dan 𝑚 busur, dan 𝐵 adalah matriks anti-adjacency dari graf 𝐺

serta 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛 adalah nilai karakteristik dari matriks 𝐵, maka ∑ 𝜆𝑖𝑛𝑖=1 = 𝑛 dan

∑ 𝜆𝑖2𝑛

𝑖=1 = 𝑛2 − 2𝑚.

Definisi 2.17. [10] Graf friendship (biasanya ditulis 𝐶3𝑛) adalah suatu graf yang

dihasilkan dengan menggabungkan sejumlah 𝑛 buah graf segitiga 𝐶3 dengan satu

633

simpul yang sama. Graf segitiga 𝐶3 merupakan graf yang memiliki tiga simpul yang

saling bertetangga.

Definisi 2.18. [5] Suatu graf berarah (directed graph/digraph) adalah graf

yang busur-busurnya berarah, sedangkan graf tak berarah adalah graf yang

busurnya tak berarah yaitu busurnya hanya menghubungkan dua simpul tanpa

ada perbedaan antara simpul asal dan simpul akhir. Graf berarah asiklik

adalah graf berarah yang tidak memuat subgraf berupa siklus berarah. Graf

berarah siklik adalah graf yang memuat subgraf berupa siklus berarah.

Dalam makalah ini, pembahasan hanya terbatas pada graf friendship yang

ditunjukkan pada Tabel 1. Pada Tabel 1 juga ditunjukkan matriks adjacency

dari graf friendship yang terkait.

Tabel 1. Gambar graf friendship (𝐶3𝑛) dan matriks adjacency yang terkait.

𝑪𝟑𝒏 Matriks Adjacency (A)

1. Tak

berarah

2. Berarah

siklik

3. Berarah

asiklik

(1)

4. Berarah

asiklik

(2)

634

Teorema 2.19. Suatu graf friendship (𝐶3𝑛) tak berarah dengan matriks

adjacency (𝐴𝐹𝑡𝑏𝑛 ) memiliki polinomial karakteristik

𝑃(𝐴𝐹𝑡𝑏𝑛 ) = (𝜆2 − 1)𝑛−1 (𝜆3 − (2𝑛 + 1)𝜆 − 2𝑛 ), dan 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝐴𝐹𝑡𝑏

𝑛 ) =

(1

2(1 + √1 + 8𝑛) 1 −1

1 𝑛 − 1 𝑛

1

2(1 − √1 + 8𝑛)

1), dengan 𝜆 adalah nilai

karakteristik matriks 𝐴𝐹𝑡𝑏𝑛 .

BUKTI. Polinomial karakteristik matriks adjacency (𝐴𝐹𝑡𝑏𝑛 ) dari suatu graf

friendship (𝐶3𝑛) tak berarah didapatkan dengan menjabarkan det(𝜆𝐼 − 𝐴𝐹𝑡𝑏

𝑛 ); dengan 𝜆 adalah nilai karakteristik matriks adjacency (𝐴𝐹𝑡𝑏

𝑛 ) dan 𝐼 adalah

matriks identitas. Sebut 𝐶 = 𝜆𝐼 − 𝐴𝐹𝑡𝑏𝑛 . Berdasarkan Teorema 2.6., dapat

dihitung

𝑃(𝐴𝐹𝑡𝑏𝑛 ) = |𝐶| = 𝜆 |𝐶11| − 𝑛(−1) |𝐶12| + 𝑛(−1) |𝐶13|

= 𝜆 |𝐶11| + 𝑛(|𝐶12| − |𝐶13|) (1)

dengan 𝐶1𝑗 adalah submatriks yang dibentuk dengan menghapuskan baris

pertama dan kolom ke 𝑗 dari matriks 𝐶. Berdasarkan Teorema 2.2., didapatkan

|𝐶11| = (𝜆2 − 1)

2𝑛

2 = (𝜆2 − 1)𝑛, (2)

|𝐶12| = −(𝜆 + 1)(𝜆2 − 1)

2𝑛−2

2 = −(𝜆 + 1)(𝜆2 − 1)𝑛−1, (3)

|𝐶13| = (𝜆 + 1)(𝜆2 − 1)

2𝑛−2

2 = (𝜆 + 1)(𝜆2 − 1)𝑛−1. (4)

Persamaan (2), (3), dan (4) disubstitusikan ke persamaan (1), sehingga

didapatkan

𝑃(𝐴𝐹𝑡𝑏𝑛 ) = |𝐶| = 𝜆|𝐶11| + 𝑛(|𝐶12| − |𝐶13|)

= 𝜆 (𝜆2 − 1)𝑛 + 𝑛(−(𝜆 + 1)(𝜆2 − 1)𝑛−1 − (𝜆 + 1)(𝜆2 − 1)𝑛−1 ) = (𝜆2 − 1)𝑛−1 (𝜆3 − (2𝑛 + 1)𝜆 − 2𝑛 ). (5)

Dengan mencari akar-akar persamaan karakteristik pada persamaan (5)

yaitu 𝑃(𝐴𝐹𝑡𝑏𝑛 ) = (𝜆2 − 1)𝑛−1(𝜆3 − (2𝑛 + 1)𝜆 − 2𝑛 ) = 0 didapatkan 𝜆1 =

1

2(1 + √1 + 8𝑛) dengan 𝑚(𝜆1) = 1, 𝜆2 = 1 dengan 𝑚(𝜆2) = 𝑛 − 1, 𝜆3 = −1

dengan 𝑚(𝜆3) = 𝑛, dan 𝜆4 =1

2(1 − √1 + 8𝑛) dengan 𝑚(𝜆4) = 1. ∎

Teorema 2.19. sesuai dengan Teorema 2.11., 𝑃(𝐴𝐹𝑡𝑏𝑛 ) = 𝜆2𝑛+1 −

3𝑛𝜆2𝑛−1 − 2𝑛𝜆2𝑛−2 +⋯ . Koefisien 𝜆2𝑛 yaitu 𝑎1 = 0, koefisien 𝜆2𝑛−1 yaitu 𝑎2 =−3𝑛 (negatif dari banyak busur) dan koefisien 𝜆2𝑛−2 yaitu 𝑎3 = −2𝑛 (negatif dari

dua kali banyaknya graf segitiga (𝐶3𝑛). Demikian juga untuk spektrumnya sesuai

dengan Teorema 2.15. yaitu

∑ λi2n+1i=1 =

1

2(1 − √1 + 8𝑛) + 𝑛 × (−1) + (𝑛 − 1) × 1 +

1

2(1 + √1 + 8𝑛) = 0 dan

∑ 𝜆𝑖22𝑛+1

𝑖=1 = (1

2(1 − √1 + 8𝑛))

2

+ 𝑛 + (𝑛 − 1) + (1

2(1 − √1 + 8𝑛))

2

= 2 × 3𝑛 = 2𝑚,

dengan 𝑚 menyatakan banyaknya busur, yaitu sebesar 3𝑛.

Teorema 2.20. Suatu graf friendship (𝐶3𝑛) berarah siklik seperti yang ditunjukkan

di Tabel 1. dengan matriks adjacency (𝐴𝐹𝑠𝑛 ) memiliki polinomial karakteristik

𝑃(𝐴𝐹𝑠𝑛 ) = 𝜆2(𝑛−1)(𝜆3 − 𝑛), dan 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝐴𝐹𝑠

𝑛 ) = (√𝑛3

03 2𝑛 − 2

), dengan 𝜆 adalah nilai

karakteristik matriks 𝐴𝐹𝑠𝑛 .

BUKTI. Sebut 𝐹 = (𝜆𝐼 − 𝐴𝐹𝑠𝑛 ) . Berdasarkan Teorema 2.6., dapat dihitung

635

𝑃(𝐴𝐹𝑠𝑛 ) = |𝜆𝐼 − 𝐴𝐹𝑠

𝑛 | = |𝐹| = 𝜆 |𝐹11| − 𝑛. (−1)|𝐹12| + 𝑛. (0)|𝐹13|

= 𝜆|𝐹11| + 𝑛|𝐹12|. (6)

Berdasarkan Teorema 2.2., didapatkan

|𝐹11| = 𝜆2𝑛, (7)

|𝐹12| = (−1)(𝜆2)

2𝑛−2

2 = − 𝜆2(𝑛−1). (8)

Substitusikan persamaan (7) dan (8) ke dalam persamaan (6) maka didapatkan

𝑃(𝐴𝐹𝑠𝑛 ) = |𝐹| = 𝜆2𝑛+1 + 𝑛(− 𝜆2(𝑛−1)) = 𝜆2(𝑛−1)(𝜆3 − 𝑛). (9)

Dengan mencari akar-akar persamaan karakteristik pada persamaan (9) yaitu

𝑃(𝐴𝐹𝑠𝑛 ) = 𝜆2(𝑛−1)(𝜆3 − 𝑛) = 0 didapatkan 𝜆1 = √𝑛

3 dengan 𝑚(𝜆1) = 3, 𝜆2 =

0 dengan 𝑚(𝜆2) = 2𝑛 − 2. ∎

Teorema 2.20. sesuai dengan Teorema 2.9., 𝑃(𝐴𝐹𝑠𝑛 ) = 𝜆2𝑛+1 − 𝑛 𝜆2𝑛−2.

Karena setiap entri diagonal matriksnya sama dengan nol maka koefisien 𝜆2𝑛 yaitu

𝑎1 = 0. Demikian juga semua minor utama berukuran 2 × 2 sama dengan nol maka

koefisien 𝜆2𝑛−1 yaitu 𝑎2 = 0. Karena ada sebanyak 𝑛 minor utama berukuran 3 × 3

yaitu [0 1 00 0 11 0 0

] (satu graf 𝐶3 siklik) maka koefisien 𝜆2𝑛−2 yaitu 𝑎3 = −𝑛

(banyaknya graf 𝐶3 siklik). Untuk koefisien dari suku berikutnya sama dengan nol

karena semua minor utama yang berukuran lebih besar dari 3 × 3 sama dengan nol.

Teorema 2.21. Suatu graf friendship (𝐶3𝑛) berarah asiklik (1) seperti yang

ditunjukkan di Tabel 1. dengan matriks adjacency (𝐴𝐹𝑎1𝑛 ) memiliki polinomial

karakteristik 𝑃(𝐴𝐹𝑎1𝑛 ) = 𝜆2𝑛+1 dan 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝐴𝐹𝑎1

𝑛 ) = (0

2𝑛 + 1), dengan 𝜆 adalah nilai

karakteristik matriks 𝐴𝐹𝑎1𝑛 .

BUKTI. Berdasarkan Teorema 2.2., dapat dihitung

𝑃(𝐴𝐹𝑎1𝑛 ) = |𝜆𝐼 − 𝐴𝐹𝑎1

𝑛 | = 𝜆2𝑛+1. (10)


𝑃(𝐴𝐹𝑎1𝑛 ) = 𝜆2𝑛+1 = 0 didapatkan 𝜆1 = 0 dengan 𝑚(𝜆1) = 2𝑛 + 1. ∎


ditunjukkan di Tabel 1. dengan matriks adjacency (𝐴𝐹𝑎2𝑛 ) memiliki polinomial

karakteristik 𝑃(𝐴𝐹𝑎2𝑛 ) = 𝜆2𝑛+1 dan 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝐴𝐹𝑎2

𝑛 ) = (0

2𝑛 + 1), dengan 𝜆 adalah nilai

karakteristik matriks 𝐴𝐹𝑎2𝑛 .

BUKTI. Sebut 𝐻 = (𝜆𝐼 − 𝐴𝐹𝑎2𝑛 ). Berdasarkan Teorema 2.6., dapat dihitung

𝑃(𝐴𝐹𝑎2𝑛 ) = |𝜆𝐼 − 𝐴𝐹𝑎2

𝑛 | = |𝐻| = 𝜆 |𝐻11| − 𝑛(−1)|𝐻12| + 𝑛(0)|𝐻13|

= 𝜆|𝐻11| + 𝑛|𝐻12|. (11)

Berdasarkan Teorema 2.1. dan Teorema 2.2., didapatkan

|𝐻11| = 𝜆2𝑛, (12)

|𝐻12| = 0. (13)

Dengan mensubstitusikan persamaan (12) dan (13) ke dalam persamaan (11) maka

didapatkan

𝑃(𝐴𝐹𝑎2𝑛 ) = |𝐻| = 𝜆2𝑛+1. (14)


𝑃(𝐴𝐹𝑎2𝑛 ) = 𝜆2𝑛+1 = 0 didapatkan 𝜆1 = 0 dengan 𝑚(𝜆1) = 2𝑛 + 1. ∎

636

Teorema 2.21. dan 2.22. sesuai dengan Teorema 2.9, 𝑃(𝐴𝐹𝑎1𝑛 ) =

𝑃(𝐴𝐹𝑎2𝑛 ) = 𝜆2𝑛+1. Semua koefisien selain 𝑎0 sama dengan nol karena semua minor

utamanya sama dengan nol.

Matriks anti-adjacency dari graf friendship yang terkait dengan

pembahasan dalam makalah ini ditunjukkan pada Tabel 2.

Tabel 2. Gambar graf friendship (𝐶3𝑛) dan matriks anti-adjacency terkait.

𝑪𝟑𝒏 Matriks Antiadjacency (B)

1. Tak

berarah

2. Berarah

siklik

3. Berarah

asiklik

(1)

4. Berarah

asiklik

(2)

Teorema 2.23. Suatu graf friendship (𝐶3𝑛) tak berarah dengan matriks anti-

adjacency (𝐵𝐹𝑡𝑏𝑛 ) memiliki polinomial 𝑃(𝐵𝐹𝑡𝑏

𝑛 ) = (𝜆2 − 1)𝑛−1(𝜆3 − (2𝑛 + 1)𝜆2 +

(4𝑛 − 1)𝜆 − (2𝑛 − 1)), dan 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝐵𝐹𝑡𝑏𝑛 ) = (

2𝑛 − 1 1 −11 𝑛 + 1 𝑛 − 1

), dengan 𝜆

adalah nilai karakteristik matriks 𝐵𝐹𝑡𝑏𝑛 .

BUKTI. Sebut 𝐷 = 𝜆𝐼 − 𝐵𝐹𝑡𝑏𝑛 . Berdasarkan Teorema 2.1., didapatkan

637

𝑃(𝐵𝐹𝑡𝑏𝑛 ) = |𝜆𝐼 − 𝐵𝐹𝑡𝑏

𝑛 | = |𝐷| = (𝜆 − 1)|𝐷11|. (15)

Secara berurutan lakukan operasi matriks pada matriks 𝐷11 yaitu: operasi baris

𝛼𝑖∗ = − 𝛼1 + 𝛼𝑖 untuk 𝑖 = 2, 3, 4, … , 2𝑛; lalu 𝛼𝑖

∗ = −1

𝜆𝛼(𝑖+1) + 𝛼𝑖 untuk 𝑖 =

3, 5, 7,… , 2𝑛 − 1; kemudian operasi kolom 𝛽𝑗∗ = −𝛽 2𝑛 + 𝛽𝑗 dilakukan dengan

𝑗 = 3, 4, … , 2𝑛 − 1 sehingga didapatkan

|𝐷11| = (𝜆 − 1)2((𝜆 − 1) (𝜆 + 1))

2𝑛−2

2 + (−1)1+2𝑛(−1) |(𝐷11)∗1(2𝑛)

|, (16)

dengan (𝐷11)∗ adalah matriks hasil akhir operasi baris dan kolom di atas. Operasi

kolom secara berurutan dilakukan pada matriks (𝐷11)∗1(2𝑛) yaitu: 𝛽2

∗ = 𝛽1 + 𝛽2,

lalu 𝛽3∗ = 𝛽2 + 𝛽3; kemudian 𝛽4

∗ = 𝛽3 + 𝛽4; dan seterusnya hingga 𝛽2𝑛−1∗ =

𝛽2𝑛−2 + 𝛽2𝑛−1. Berdasarkan Teorema 2.2., didapatkan

|(𝐷11)∗1(2𝑛)| = −(𝜆 − 1) ((𝜆 − 1) (𝜆 + 1))

(2𝑛−1)−1

2 2(𝑛 − 1).

= −2(𝑛 − 1) (𝜆 − 1)𝑛 (𝜆 + 1)𝑛−1. (17)

Dengan mensubstitusi persamaan (17) ke persamaan (16), lalu persamaan (16) ke

persamaan (15), didapatkan

𝑃(𝐵𝐹𝑡𝑏𝑛 ) = |𝜆𝐼 − 𝐵𝐹𝑡𝑏

𝑛 | = (𝜆 − 1)|𝐷11| = (𝜆2 − 1 )𝑛−1(𝜆3 − (2𝑛 + 1)𝜆2 + (4𝑛 − 1)𝜆 − (2𝑛 − 1)). (18)


𝑃(𝐵𝐹𝑡𝑏𝑛 ) = (𝜆2 − 1 )𝑛−1(𝜆3 − (2𝑛 + 1)𝜆2 + (4𝑛 − 1)𝜆 − (2𝑛 − 1)) = 0 didapatkan

𝜆1 = 2𝑛 − 1 dengan 𝑚(𝜆1) = 1, 𝜆2 = 1 dengan 𝑚(𝜆2) = 𝑛 + 1, 𝜆3 = −1 dengan

𝑚(𝜆3) = 𝑛 − 1. ∎

Teorema 2.23. sesuai dengan Teorema 2.13., 𝑃(𝐵𝐹𝑡𝑏𝑛 ) = 𝜆2𝑛+1 − (2𝑛 +

1)𝜆2𝑛 + 3𝑛𝜆2𝑛−1 + (2𝑛2 − 3𝑛)𝜆2𝑛−2 +⋯. Karena setiap entri diagonal matriksnya

sama dengan 1 maka koefisien 𝜆2𝑛 yaitu 𝑎1 = −(2𝑛 + 1) (negatif dari banyaknya

simpul). Karena ada sebanyak 3𝑛 minor utama berukuran 2 × 2 yaitu [1 00 1

] (satu

busur) maka koefisien 𝜆2𝑛−1 yaitu 𝑎2 = 3𝑛 (banyaknya busur). Demikian juga untuk

spektrumnya sesuai dengan Teorema 2.16. yaitu ∑ 𝜆𝑖2𝑛+1𝑖=1 = (𝑛 − 1) × (−1) +

(𝑛 + 1) × 1 + 1 × (2𝑛 − 1) = 2𝑛 + 1 (banyaknya simpul) dan ∑ 𝜆𝑖2𝑛

𝑖=1 = (𝑛 −1) × (−1)2 + (𝑛 + 1) × 12 + (2𝑛 − 1)2 = (2𝑛 + 1)2 − 2(3𝑛).

Walaupun Teorema 2.13. dan 2.16. sebenarnya berlaku untuk graf berarah,

ternyata ada kecocokan untuk graf friendship tak berarah karena koefisien tiga suku

pertama polinomial karakteristiknya sama dengan koefisien tiga suku pertama pada

graf friendship berarah siklik maupun asiklik.

Teorema 2.24. Suatu graf friendship (𝐶3𝑛) berarah siklik seperti yang ditunjukkan

di Tabel 2. dengan matriks anti-adjacency (𝐵𝐹𝑠𝑛 ) memiliki polinomial karakteristik

𝑃(𝐵𝐹𝑠𝑛 ) = 𝜆2(𝑛−1)(𝜆3 − (2𝑛 + 1)𝜆2 + 3𝑛𝜆 − 𝑛2 − 𝑛), dan 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝐵𝐹𝑠

𝑛 ) =

(𝜆1 𝜆21 1

𝜆31

02𝑛 − 2

), 𝜆1 𝑑𝑎𝑛 𝜆2 ∈ 𝐶, 𝜆3 ∈ 𝑅 untuk 𝑛 ≥ 2; dengan 𝜆 adalah nilai

karakteristik matriks 𝐵𝐹𝑠𝑛 .

BUKTI. Misalkan matriks (𝜆𝐼 − 𝐵𝐹𝑠𝑛 ) disebut matrik 𝐺. Berdasarkan Teorema 2.6.,

dapat dihitung

|𝐺| = (𝜆 − 1) |𝐺11| − 𝑛. (0)|𝐺12| + 𝑛. (−1)|𝐺13|. = (𝜆 − 1) |𝐺11| − 𝑛|𝐺13|. (19)

Dalam perhitungan |𝐺11|, beberapa operasi matriks dilakukan secara berurutan yaitu

operasi baris 𝛼𝑖∗ = −𝛼1 + 𝛼𝑖 untuk 𝑖 = 2, 3, 4, … , 2𝑛; lalu operasi kolom 𝛽𝑗

∗ =

638

−𝛽2𝑛 + 𝛽𝑗 untuk 𝑗 = 3, 4, … , 2𝑛 − 1; kemudian dengan menggunakan Teorema

2.1. didapatkan hasil

|𝐺11| = (𝜆 − 1)2(𝜆2)

2𝑛−2

2 + (−1)1+2𝑛. (−1) |(𝐺11)∗1(2𝑛)|

= (𝜆 − 1)2𝜆2(𝑛−1) + |(𝐺11)∗1(2𝑛)|. (20)

Dalam perhitungan |(𝐺11)∗1(2𝑛)|, beberapa operasi matriks dilakukan secara

berurutan yaitu operasi baris 𝛼𝑖∗ =

−1

𝜆𝛼𝑖+1 + 𝛼𝑖 untuk 𝑖 = 2, 4, … , 2𝑛 − 2 , lalu

operasi kolom 𝛽2∗ =

𝜆−1

𝜆𝛽1 + 𝛽2, 𝛽3

∗ =𝜆

𝜆−1 𝛽2 + 𝛽3, 𝛽4

∗ =𝜆−1

𝜆𝛽3 + 𝛽4, 𝛽5

∗ =𝜆

𝜆−1𝛽4 + 𝛽5; dan seterusnya hingga 𝛽2𝑛−1

∗ =𝜆

𝜆−1𝛽2𝑛−2 + 𝛽2𝑛−1. kemudian dengan

menggunakan Teorema 2.2. didapat hasil

|(𝐺11)∗1(2𝑛)| = −𝜆(𝜆

2)2𝑛−1−3

2 (𝑛 − 1)𝜆(2𝜆 − 1).

= −(𝑛 − 1)(2𝜆 − 1)𝜆2(𝑛−1). (21)

Persamaan (21) disubsitusikan ke persamaan (20) sehingga didapatkan

|𝐺11| = (𝜆 − 1)2𝜆2(𝑛−1) + |(𝐺11)

∗1(2𝑛)|.

= (𝜆 − 1)2𝜆2(𝑛−1) − (𝑛 − 1)(2𝜆 − 1)𝜆2(𝑛−1) = 𝜆2(𝑛−1)((𝜆 − 1)2 − (𝑛 − 1)(2𝜆 − 1)). (22)

Dalam perhitungan |𝐺13|, beberapa operasi matriks dilakukan secara berurutan yaitu


∗ =

−𝛽2𝑛 + 𝛽𝑗 untuk 𝑗 = 3, 4, … , 2𝑛 − 1; kemudian operasi baris 𝛼1∗ =

𝜆−1

𝜆𝛼2 + 𝛼1;

dengan menggunakan Teorema 2.2. didapatkan hasil

|𝐺13| = (𝜆2)

2𝑛−2

2 + (−1)1+2𝑛. (−1) |(𝐺13)∗1(2𝑛)|

= 𝜆2𝑛−2 + |(𝐺13∗)1(2𝑛)|. (23)

Dalam perhitungan |(𝐺13)∗1(2𝑛)|, beberapa operasi matriks dilakukan secara

berurutan yaitu operasi baris 𝛼𝑖∗ =

−1

𝜆𝛼𝑖+1 + 𝛼𝑖 untuk 𝑖 = 2, 4, 6, … , 2𝑛 − 2; lalu

operasi kolom 𝛽2∗ = 𝜆𝛽1 + 𝛽2; dilanjutkan dengan operasi kolom 𝛽3

∗ = 𝛽2 + 𝛽3

lalu 𝛽3 ↔ 𝛽4; 𝛽5∗ = 𝛽4 + 𝛽5 dan 𝛽5 ↔ 𝛽6; 𝛽7

∗ = 𝛽6 + 𝛽7 dan 𝛽7 ↔ 𝛽8 dan

seterusnya hingga 𝛽2𝑛−1∗ = 𝛽2𝑛−2 + 𝛽2𝑛−1. Dengan menggunakan Teorema 2.2.

didapatkan hasil

|(𝐺13)∗1(2𝑛)| = 1. (−𝜆

2)2𝑛−1−3

2 ((𝑛 − 1)𝜆2)

= (𝑛 − 1)𝜆2(𝑛−1). (24)

Persamaan (24) disubstitusikan ke persamaan (23) sehingga didapatkan

|𝐺13| = 𝜆2𝑛−2 + |(𝐺13)

∗1(2𝑛)|.

= 𝜆2(𝑛−1) + (𝑛 − 1)𝜆2(𝑛−1) = 𝑛 𝜆2(𝑛−1). (25)

Dengan mensubstitusikan persamaan (22) dan (25) ke persamaan (19), didapatkan

𝑃(𝐵𝐹𝑠𝑛 ) = |𝐺| = (𝜆 − 1) |𝐺11| − 𝑛|𝐺13|

= (𝜆 − 1) (𝜆2(𝑛−1)((𝜆 − 1)2 − (𝑛 − 1)(2𝜆 − 1))) − 𝑛 (𝑛 𝜆2(𝑛−1))

= 𝜆2(𝑛−1)(𝜆3 − (2𝑛 + 1)𝜆2 + 3𝑛𝜆 − 𝑛(𝑛 + 1)). (26)

Dengan mencari akar-akar persamaan (26) yaitu 𝑃(𝐵𝐹𝑠𝑛 ) = 𝜆2(𝑛−1)(𝜆3 −

(2𝑛 + 1)𝜆2 + 3𝑛𝜆 − 𝑛(𝑛 + 1)) = 0, didapatkan masing-masing 𝜆1, 𝜆2 serta 𝜆3

639

adalah akar-akar persamaan pangkat tiga, yang secara umum 𝜆1 dan 𝜆2 merupakan

bilangan kompleks dan 𝜆3 merupakan suatu bilangan riil untuk 𝑛 ≥ 2; serta 𝜆4 = 0

dengan 𝑚(𝜆4) = 2𝑛 − 2.∎

Teorema 2.24. sesuai dengan Teorema 2.13., 𝑃(𝐵𝐹𝑠𝑛 ) = 𝜆2𝑛+1 − (2𝑛 +

1)𝜆2𝑛 + 3𝑛𝜆2𝑛−1 − (𝑛 + 𝑛2) 𝜆2𝑛−2, yakni koefisien 𝜆2𝑛 yaitu 𝑎1 = −(2𝑛 + 1) (negatif dari banyaknya simpul), koefisien 𝜆2𝑛−1 yaitu 𝑎2 = 3𝑛 (banyaknya busur)

dan koefisien 𝜆2𝑛−2 yaitu 𝑎3 = −(𝑛 + 𝑛2) (negatif dari banyaknya subgraf

terinduksi asiklik yang memiliki lintasan Hamilton dari tiga buah simpul ditambah

dua kali banyaknya 𝐶3 siklik pada graf tersebut). Setiap simpul bukan simpul pusat

(simpul luar) dalam setiap graf 𝐶3 dapat membentuk lintasan Hamilton dengan

melalui simpul pusat dan hanya satu simpul dalam graf 𝐶3 lainnya sehingga

banyaknya subgraf terinduksi asiklik yang memiliki lintasan Hamilton adalah 𝑛(𝑛−1)

2

. Karena dalam setiap graf 𝐶3 terdapat dua simpul luar maka banyaknya subgraf

terinduksi asiklik yang memiliki lintasan Hamilton dari tiga buah simpul pada graf

tersebut adalah 2 ×𝑛(𝑛−1)

2= 𝑛(𝑛 − 1). Graf friendship 𝐶3

𝑛 berarah siklik yang

dibahas dalam penelitian ini memiliki 𝑛 buah 𝐶3 sehingga 𝑎3 = −(𝑛(𝑛 − 1) +2𝑛) = −(𝑛 + 𝑛2).


ditunjukkan di Tabel 2. dengan matriks anti-adjacency (𝐵𝐹𝑎1𝑛 ) memiliki polinomial

karakteristik 𝑃(𝐵𝐹𝑎1𝑛 ) = 𝜆2(𝑛−1)(𝜆 − 1)(𝜆2 − 2𝑛𝜆 + 𝑛) dan 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝐵𝐹𝑎1

𝑛 ) =

(𝑛 + √𝑛(𝑛 − 1)

1 1 𝑛 − √𝑛(𝑛 − 1) 0

1 1 2𝑛 − 2); dengan 𝜆 adalah nilai

karakteristik matriks 𝐵𝐹𝑎1𝑛 .

BUKTI. Sebut matriks (𝜆𝐼 − 𝐵𝐹𝑎1𝑛 ) sebagai matriks 𝐾. Berdasarkan Teorema 2.1.,

dapat dihitung

|𝐾| = (𝜆 − 1) |𝐾11|. (27)

Karena matriks 𝐾11 sama dengan matriks 𝐺11 maka berdasarkan persamaan (22)

didapatkan

|𝐾11| = |𝐺11| = 𝜆2(𝑛−1)((𝜆 − 1)2 − (𝑛 − 1)(2𝜆 − 1)). (28)

Persamaan (28) disubstitusikan ke persamaan (27) sehingga didapatkan

𝑃(𝐵𝐹𝑎1𝑛 ) = |𝐾| = (𝜆 − 1) |𝐾11|

= (𝜆 − 1)(𝜆2(𝑛−1)((𝜆 − 1)2 − (𝑛 − 1)(2𝜆 − 1)))

= 𝜆2(𝑛−1)(𝜆 − 1)(𝜆2 − 2𝑛𝜆 + 𝑛) (29)

Dengan mencari akar-akar persamaan (29) yaitu 𝑃(𝐵𝐹𝑎1𝑛 ) = 𝜆2(𝑛−1)(𝜆 − 1)(𝜆2 −

2𝑛𝜆 + 𝑛) = 0, didapatkan 𝜆1 = 𝑛 +√𝑛(𝑛 − 1) dengan 𝑚(𝜆1) = 1, 𝜆2 =

1 dengan 𝑚(𝜆2) = 1, 𝜆3 = 𝑛 − √𝑛(𝑛 − 1) dengan 𝑚(𝜆3) = 1, dan 𝜆4 = 0 dengan

𝑚(𝜆4) = 2𝑛 − 2. ∎


ditunjukkan di Tabel 2. dengan matriks anti-adjacency (𝐵𝐹𝑎2𝑛 ) memiliki polinomial

karakteristik 𝑃(𝐵𝐹𝑎2𝑛 ) = 𝜆2(𝑛−1)(𝜆3 − (2𝑛 + 1)𝜆2 + 3𝑛𝜆 − 𝑛2) dan

𝑆𝑝𝑒𝑐(𝐵𝐹𝑎2𝑛 ) = (

𝜆1 𝜆21 1

𝜆31 0

2𝑛 − 2), 𝜆1 𝑑𝑎𝑛 𝜆2 ∈ 𝐶, 𝜆3 ∈ 𝑅 untuk 𝑛 ≥ 2;

dengan 𝜆 adalah nilai karakteristik matriks 𝐵𝐹𝑎2𝑛 .

BUKTI. Sebut 𝑀 = (𝜆𝐼 − 𝐵𝐹𝑎2𝑛 ). Berdasarkan Teorema 2.6., dapat dihitung

640

𝑃(𝐵𝐹𝑎2𝑛 ) = |𝑀| = (𝜆 − 1) |𝑀11| − 𝑛. (0)|𝑀12| +. (−1)|𝑀13|

= (𝜆 − 1) |𝑀11| − 𝑛|𝑀13|. (30)

Submatriks 𝑀11 adalah matriks transpose dari submatriks 𝐺11 sehingga berdasarkan

sifat determinan matriks |𝐴| = |𝐴𝑇| (Franklin [8]) dan persamaan (22) didapatkan

|𝑀11| = |𝐺11| = 𝜆2(𝑛−1)((𝜆 − 1)2 − (𝑛 − 1)(2𝜆 − 1)). (31)

Dalam perhitungan |𝑀13|, beberapa operasi matriks dilakukan secara berurutan yaitu


∗ =

−𝛽2𝑛 + 𝛽𝑗 untuk 𝑗 = 3, 4, … , 2𝑛 − 1; kemudian operasi baris 𝛼1∗ = 𝛼2 + 𝛼1;

sehingga dengan menggunakan Teorema 2.1. didapatkan

|𝑀13| = (−1)1+2𝑛. (−1) |(𝑀13)

∗1(2𝑛)| = |(𝑀13)

∗1(2𝑛)|. (32)

Dalam perhitungan |(𝑀13)∗1(2𝑛)|, beberapa operasi matriks dilakukan secara

berurutan yaitu operasi kolom 𝛽2∗ = (𝜆 − 1)𝛽1 + 𝛽2; lalu 𝛽3

∗ = 𝛽2 + 𝛽3 dan

𝛽3 ↔ 𝛽4; 𝛽5∗ = 𝛽4 + 𝛽5 dan 𝛽5 ↔ 𝛽6; kemudian 𝛽7

∗ = 𝛽6 + 𝛽7 dan 𝛽7 ↔ 𝛽8

dan seterusnya hingga 𝛽2𝑛−1∗ = 𝛽2𝑛−2 + 𝛽2𝑛−1. Dengan menggunakan Teorema

2.2. dan persamaan (31) didapatkan hasil

|𝑀13| = |(𝑀13)∗1(2𝑛)| = 1. (−𝜆

2)2𝑛−1−3

2 (𝑛 − 1)𝜆2 = 𝜆2(𝑛−1) (𝑛 − 1). (33)

Persamaan (31) dan (33) disubstitusikan ke persamaan (30) sehingga didapatkan

𝑃(𝐵𝐹𝑎2𝑛 ) = |𝑀| = (𝜆 − 1) |𝑀11| − 𝑛|𝑀13|

= (𝜆 − 1) 𝜆2(𝑛−1)((𝜆 − 1)2 − (𝑛 − 1)(2𝜆 − 1)) − 𝑛𝜆2𝑛−2 (𝑛 − 1) = 𝜆2(𝑛−1)(𝜆3 − (2𝑛 + 1)𝜆2 + 3𝑛𝜆 − 𝑛2). (34)

Dengan mencari akar-akar persamaan (34) yaitu 𝑃(𝐵𝐹𝑎2𝑛 ) = 𝜆2(𝑛−1)(𝜆3 −

(2𝑛 + 1)𝜆2 + 3𝑛𝜆 − 𝑛2) = 0, didapatkan masing-masing 𝜆1, 𝜆2 serta 𝜆3 adalah

akar-akar persamaan pangkat tiga, yang secara umum 𝜆1 dan 𝜆2 merupakan

bilangan kompleks dan 𝜆3 merupakan suatu bilangan riil untuk 𝑛 ≥ 2; serta 𝜆4 = 0

dengan 𝑚(𝜆4) = 2𝑛 − 2.∎

Perbedaan polinomial karakteristik matriks anti-adjacency dari graf

friendship 𝐶3𝑛 berarah asiklik (1) dan (2) maupun dari graf friendship berarah siklik

terletak pada koefisien suku keempat yang menyatakan negatif dari banyaknya

subgraf terinduksi asiklik yang memiliki lintasan Hamilton dari tiga buah simpul

ditambah dua kali banyaknya 𝐶3 siklik pada graf tersebut (Teorema 2.13). Graf

friendship berarah asiklik (1) maupun (2) tidak memiliki subgraf 𝐶3 siklik sehingga

koefisien suku keempat (𝑎3) menyatakan negatif dari banyaknya subgraf terinduksi

asiklik yang memiliki lintasan Hamilton dari tiga buah simpul. Koefisien suku

kelima dan seterusnya sama dengan nol. Hal ini bersesuaian dengan Firmansah [7],

tidak ada lintasan berarah dari graf friendship berarah asiklik (1) maupun (2) yang

memiliki panjang lebih dari dua.

Pada graf friendship berarah asiklik (1), 𝑎3 = −𝑛. Hal ini dapat dijelaskan,

hanya ada satu lintasan Hamilton pada setiap subgraf 𝐶3 dan graf 𝐶3𝑛 memiliki 𝑛

subgraf 𝐶3 sehingga ada 𝑛 subgraf terinduksi asiklik yang memiliki lintasan

Hamilton dari tiga buah simpul. Spektrumnya sesuai dengan Teorema 2.16 yaitu

∑ 𝜆𝑖2𝑛+1𝑖=1 = 1 + 𝑛 − √𝑛(𝑛 − 1) + 𝑛 + √𝑛(𝑛 − 1) = 2𝑛 + 1 (banyaknya simpul)

dan ∑ 𝜆𝑖2𝑛

𝑖=1 = 12 + (𝑛 − √𝑛(𝑛 − 1))2+ (𝑛 + √𝑛(𝑛 − 1))

2= (2𝑛 + 1)2 −

2(3𝑛). Pada graf friendship berarah asiklik (2), 𝑎3 = −𝑛

2. Hal ini dapat dijelaskan,

hanya ada satu lintasan Hamilton pada setiap subgraf 𝐶3 dan graf 𝐶3𝑛 memiliki 𝑛

641

subgraf 𝐶3 sehingga ada 𝑛 subgraf 𝐶3 terinduksi asiklik yang memiliki lintasan

Hamilton. Selain itu setiap simpul bukan simpul pusat (simpul luar) dalam setiap

graf 𝐶3 dapat membentuk lintasan Hamilton dengan melalui simpul pusat dan hanya

satu simpul dalam graf 𝐶3 lainnya sehingga banyaknya subgraf terinduksi asiklik

yang memiliki lintasan Hamilton adalah 𝑛(𝑛−1)

2 . Karena dalam setiap graf 𝐶3

terdapat dua simpul luar maka banyaknya subgraf terinduksi asiklik yang memiliki

lintasan Hamilton dari tiga buah simpul pada graf tersebut adalah 2 ×𝑛(𝑛−1)

2=

𝑛(𝑛 − 1). Jadi 𝑎3 = −(𝑛 + 𝑛(𝑛 − 1)) = −𝑛2.

Polinomial karakteristik matriks anti-adjacency dari graf friendship (𝐶3𝑛)

lebih banyak memuat informasi dibandingkan polinomial karakteristik matriks

adjacency dari graf yang sama. Hal ini tampak pada perbedaan banyaknya suku pada

polinomial karakteristik kedua matriks tersebut.

3. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang sudah dipaparkan pada bagian 2

didapatkan kesimpulan sebagai berikut :

1. Matriks anti-adjacency dapat membedakan polinomial karakteristik dan

spektrum graf friendship (𝐶3𝑛) berarah asiklik (1) dan (2), sedangkan matriks

adjacency memberikan hasil yang sama untuk kedua graf tersebut.

2. Polinomial karakteristik matriks anti-adjacency dari graf friendship 𝐶3𝑛 lebih

banyak memuat informasi dibandingkan polinomial karakteristik matriks

adjacency dari graf yang sama.

Referensi

[1] Abdollahi A., Janbaz S., & Oboudi M. R., 2013, Graphs Cospectral with A Friendship

Graph or Its Complement, Transactions on Combinatorics, Vol. 2 No. 4, 37-52.

[2] Adiati, N. P. R., 2015, Sifat Nilai Karakteristik Matriks Anti-adjacency dari Graph

Berarah Sederhana, Tesis, Universitas Indonesia.

[3] Bapat, R., 2010, Graphs and Matrices, India, Hindustan Book Agency.

[4] Biggs, N., 1993, Algebraic Graph Theory, 2nd ed., New York, Cambridge Mathematical

Library.

[5] Chartrand, G. & Lesniak, L., 1996, Graph & Digraphs (3rd edition), California,

Chapman & Hall/CRC.

[6] Cvetkovic D., Rowlinson P.and Simic. S., 2010, An Introduction to the Theory of Graph

Spectra, London Mathematical Society Student Texts, 75, Cambridge, Cambridge

University Press.

[7] Firmansah, F., 2014, Polinomial Karakteristik Matriks Anti-adjacency dari Graf Berarah

yang Acyclic, Tesis, Universitas Indonesia.

[8] Franklin, J. N., 2000, Matrix Theory. NY, Dover Publication, Inc.

[9] Knauer, U., 2011, Algebraic Graph Theory: Morphism, Monoids, and Matrices,

Walter de Gruyter GmbH & Co.

[10] Mertzios, G.B. & Unger, W., 2008, The Friendship Problem on Graphs, ROGICS'08.

[11] Meyer, C. D., 2000, Matrix Analysis and Applied Linier Algebra, New Jersey, SIAM.

[12] Nugroho, E., 2013, Polinomial Karakteristik Matriks Anti-adjacency dari Out-Tree,

Tesis, Universitas Indonesia.

[13] Wildan, 2015, Polinomial Karakteristik Matriks Anti-adjacency dan Adjacency dari

Graf Sederhana yang diberi Orientasi, Tesis, Universitas Indonesia.

642

Prosiding SNM 2017 Kombinatorik , Hal 642-647

PELABELAN HARMONIS PADA GRAF TANGGA

SEGITIGA VARIASI 𝒙𝑵

KURNIAWAN ATMADJA1, KIKI A. SUGENG2

1Prodi Matematika Institut Sains dan Teknologi Nasional, Jakarta selatan,

[email protected]

2Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Indonesia , Kampus UI, Depok 16424,

[email protected]

Abstrak. Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf dengan himpunan tak kosong simpul

𝑉 = 𝑉(𝐺) dan himpunan busur 𝐸 = 𝐸(𝐺) dimana |𝑉(𝐺)| dan |𝐸(𝐺)| menyatakan

banyaknya simpul dan banyaknya busur pada 𝐺. Suatu

pemetaan 𝑓 dari 𝑉 𝑘𝑒 ℤ|𝐸(𝐺)| dimana |𝑉(𝐺)| ≤ |𝐸(𝐺)| disebut pelabelan harmonis

jika 𝒇 merupakan pemetaan injektif sedemikian hingga ketika setiap busur xy dilabel

dengan 𝑓∗(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)(𝑚𝑜𝑑|𝐸(𝐺)|) menghasilkan label busur yang berbeda. Graf tangga segitiga variasi 𝑋𝑛 adalah graf yang diperoleh melalui penambahan satu

simpul 𝑤𝑖 yang diletakan di antara simpul 𝑣𝑖 dan simpul 𝑣𝑖+1 pada graf tangga 𝐿𝑛. Sehingga ada tambahan 4 jenis busur antara lain : 𝑢𝑖𝑤𝑖 | 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑣𝑖𝑤𝑖 | 1 ≤ 𝑖 ≤𝑛 ; 𝑢𝑖+1𝑤𝑖 | 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑤𝑖𝑣𝑖+1 | 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1. Keempat jenis busur ini

menggantikan busur 𝑣𝑖𝑣𝑖+1 pada graf tangga semula. Sedangkan graf tangga 𝐿𝑛 adalah

graf 𝑃𝑛 × 𝑃2 dengan 𝑉(𝐿𝑛) = {𝑢𝑖𝑣𝑖|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} dan 𝐸(𝐿𝑛) = {𝑢𝑖𝑢𝑖+1, 𝑣𝑖𝑣𝑖+1} ∪{𝑢𝑖𝑣𝑖 | 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛}. Pada makalah ini diberikan konstruksi pelabelan harmonis pada

graf tangga segitiga variasi.

Kata kunci : graf tangga segitiga, pelabelan graf harmonis.

1. Pendahuluan

Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸), dapat disingkat 𝐺, adalah graf yang terdiri dari himpunan

simpul tak kosong 𝑉 dan himpunan busur 𝐸. Notasi |𝑉| dan |𝐸| menyatakan

banyak simpul 𝑉 dan banyak busur 𝐸 pada graf 𝐺. Syarat |𝐸| ≥ |𝑉| merupakan

syarat agar pada graf G dapat mempunyai pelabelan harmonis. Pelabelan harmonis

pertama kali diperkenalkan oleh Graham dan Sloane [4], berawal dari masalah error-

correcting code [4]. Pelabelan harmonis didefinisikan sebagai suatu pemetaan

injektif dari 𝑉(𝐺) ke ℤ|𝐸| sedemikian sehingga ketika setiap busur 𝑥𝑦 diberi label

𝑓∗ = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) menghasilkan label busur berbeda. Graf yang mempunyai

pelabelan harmonis disebut graf Harmonis.

Beberapa kelas graf sudah dikategorikan sebagai graf harmonis antara lain graf

firecracker, hairy cycle, korona, gabungan graf caterpillar dan gabungan graf

firecracker teratur [5], graf Tangga Segitiga [2]. Untuk hasil survey yang lengkap

dapat dilihat di Gallian survey [3].

643

2. Hasil – hasil utama

Definisi 2.1. Graf Tangga 𝐿𝑛 adalah graf tangga sederhana dengan himpunan simpul

𝑉(𝐿𝑛) = {𝑢𝑖, 𝑣𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} dan himpunan busur 𝐸(𝐿𝑛) = {𝑢𝑖𝑢𝑖+1 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 −1} ∪ {𝑣𝑖𝑣𝑖+1 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑢𝑖𝑣𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛}, dan graf ini dapat dilihat

sebagai produk kartesius 𝑃2 × 𝑃𝑛.

Pada makalah ini dikaji graf tangga 𝐿𝑛 (𝑛 ≥ 2) dengan melakukan penambahan satu

simpul 𝑤𝑖 yang diletakkan di antara simpul 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑖+1 pada lintasan 𝑣𝑖𝑣𝑖+1 untuk

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1, sehingga ada tambahan 4 jenis busur yang menggantikan busur

𝑣𝑖𝑣𝑖+1, untuk setiap 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1.

Dari kajian ini, graf tangga 𝐿𝑛 (𝑛 ≥ 2) yang mengalami penambahan busur,

berubah menjadi bentuk graf tangga baru , dan hasil modifikasinya diperoleh graf

tangga yang memuat segitiga. Grafnya disebut graf tangga segitiga variasi 𝑋𝑛.

Graf tangga segitiga variasi 𝑋𝑛 selalu mempunyai banyak busur lebih besar dari

banyak simpul, sehingga memenuhi syarat awal untuk mengkonstruksi pelabelan

harmonis.

Definisi 2.2. Graf Tangga 𝑋𝑛 adalah graf tangga segitiga variasi, dengan himpunan

simpul 𝑉(𝑋𝑛) = {𝑢𝑖, 𝑣𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑤𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} dan himpunan busur

𝐸(𝑋𝑛) = {𝑢𝑖𝑢𝑖+1 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑢𝑖𝑣𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑣𝑖𝑤𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑤𝑖𝑣𝑖+1 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑢𝑖𝑤𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑢𝑖+1𝑤𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1}.

Berikut akan dibuktikan bahwa graf tangga segitiga variasi 𝑋𝑛 adalah graf

harmonis yang terangkum dalam teorema berikut.

Teorema 2.3. Graf tangga segitiga variasi 𝑋𝑛 untuk 𝑛 ≥ 2 adalah harmonis.

BUKTI. Misalkan himpunan simpul 𝑉(𝑋𝑛) = {𝑢𝑖, 𝑣𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑤𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤𝑛 − 1} dan himpunan busur 𝐸(𝑋𝑛) = {𝑢𝑖𝑢𝑖+1 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑢𝑖𝑣𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤𝑛} ∪ {𝑣𝑖𝑤𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑤𝑖𝑣𝑖+1 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑢𝑖𝑤𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪{𝑢𝑖+1𝑤𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1}. Definisikan pelabelan simpul 𝑓 ∶ 𝑉 → 𝑍𝐼𝐸𝐼 sebagai berikut :

𝑓(𝑢𝑖) = {3𝑖 − 2, untuk 𝑖 ganjil ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ,3𝑖 − 3, untuk 𝑖 genap ; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 .

.

𝑓(𝑣𝑖) = {3𝑖 − 3, untuk 𝑖 ganjil ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,3𝑖 − 2, untuk 𝑖 genap ; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.

𝑓(𝑤𝑖) = 3𝑖 − 1, untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1.

Perhitungan label simpul di atas pada graf tangga segitiga variasi 𝑿𝒏, dapat

dikelompokan sebagai berikut :

1. Pelabelan simpul untuk 𝑖 ganjil, ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛

𝑓(𝑢𝑖) = 3𝑖 − 2 ∈ {1,7,13,… ,3𝑛 − 2} ⊂ 1 𝑚𝑜𝑑 6 = 1… .. (1)

𝑓(𝑣𝑖) = 3𝑖 − 3 ∈ {0,6,12,… ,3𝑛 − 3} ⊂ 0 𝑚𝑜𝑑 6 = 0 ….. (2)

644

2. Pelabelan simpul untuk 𝑖 genap, ; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛

𝑓(𝑢𝑖) = 3𝑖 − 3 ∈ {3,9,15,… ,3𝑛 − 3} ⊂ 3 𝑚𝑜𝑑 6 = 3….. (3)

𝑓(𝑣𝑖) = 3𝑖 − 2 ∈ {4,10,16,… ,3𝑛 − 2} ⊂ 4 𝑚𝑜𝑑 6 = 4… (4)

3. 𝑓(𝑤𝑖) = 3𝑖 − 1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ∈ {2,5,8,11,14,17,… ,3𝑛 − 4} ⊂ (2 𝑚𝑜𝑑 6) ∪(5 𝑚𝑜𝑑 6)

= 2 ∪ 5 .................................................................... (5)

Dari persamaan (1) sampai (5) dapat ditulis himpunan simpul sebagai

berikut :

𝑓(𝑉(𝑋𝑛)) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,… ,3𝑛 − 2}. Pelabelan simpul

yang berada di masing-masing pernyataan (1),(2), (3),(4) dan (5) akan

menghasilkan simpul yang berbeda karena masing-masing berada di

himpunan mod 6 yang berbeda. Sedangkan untuk masing masing pernyataan

juga akan menghasilkan label yang berbeda untuk

setiap 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 yang berbeda. Label simpul terkecil dari himpunan

simpul di atas

adalah label 𝑣1, sedangkan label simpul terbesar untuk 𝑛 bilangan ganjil

terletak pada label simpul 𝑢𝑛 , dimana 𝑓(𝑢𝑛) = 3𝑛 − 2, sedangkan untuk 𝑛 genap terletak pada label simpul 𝑣𝑛 dimana 𝑓(𝑣𝑛) = 3𝑛 − 2.

Nampak bahwa :

𝑓 (𝑉(𝑋𝑛)) ⊆ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,… ,6𝑛 − 6} = 𝐸(𝑋𝑛) dan label setiap simpul 𝑋𝑛

berbeda .

Jadi pelabelan simpul 𝑓 yang didefinisikan pada persamaan (1) sampai

persamaan (5) merupakan pemetaan injektif (𝑉(𝑋𝑛)) →{0,1,2,3,4,5,6,7,… , (|𝐸| − 1)} .

Pelabelan f akan menginduksi pelabelan busur sebagai berikut :

(1.) 𝑓∗(𝑢𝑖𝑢𝑖+1) = 3𝑖 − 2 + 3(𝑖 + 1) − 3

= 6𝑖 − 2 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ (𝑛 − 1).

(2. )𝑓∗(𝑢𝑖𝑣𝑖) = 3𝑖 − 2 + 3𝑖 − 3 = 6𝑖 − 5 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.

(3)𝑓∗(𝑣𝑖𝑤𝑖) = {3𝑖 − 3 + 3𝑖 − 1 = 6𝑖 − 4 ; 𝑖 ganjil, ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1,3𝑖 − 2 + 3𝑖 − 1 = 6𝑖 − 3 ; 𝑖 genap, ; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1.

(4)𝑓∗(𝑢𝑖𝑤𝑖) = {3𝑖 − 2 + 3𝑖 − 1 = 6𝑖 − 3 ; 𝑖 ganjil ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1,3𝑖 − 3 + 3𝑖 − 1 = 6𝑖 − 4 ; 𝑖 𝜖 genap ; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1.

(5)𝑓∗(𝑢𝑖+1𝑤𝑖) = {3(𝑖 + 1) − 3 + 3𝑖 − 1 = 6𝑖 − 1 ; 𝑖 ganjil ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1,

3(𝑖 + 1) − 2 + 3𝑖 − 1 = 6𝑖 ; 𝑖 genap ; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1.

645

(6)𝑓∗(𝑣𝑖+1𝑤𝑖)

= {3(𝑖 + 1) − 2 + 3𝑖 − 1 = 6𝑖 ; 𝑖 ganjil ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1,

3(𝑖 + 1) − 3 + 3𝑖 − 1 = 6𝑖 − 1 ; 𝑖 genap ; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1.

Perhitungan label busur di atas pada graf tangga 𝑿𝒏 dapat dikelompokan

dalam 4(empat ) kasus, yaitu :

1. Label busur pada busur 𝑢𝑖𝑢𝑖+1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1

𝑓∗(𝑢𝑖𝑢𝑖+1) = 𝑓(𝑢𝑖) + 𝑓(𝑢𝑖+1) = 3𝑖 − 2 + 3(𝑖 + 1) − 3

= 6𝑖 − 2

∈ {4,10,16,22,28,34… ,6𝑛 − 8} ⊂ (4 𝑚𝑜𝑑 12) ∪ (10 𝑚𝑜𝑑 12) = 4 ∪ 10 ..................................................... (6)

2. Label busur pada busur 𝑢𝑖𝑣𝑖 ; ≤ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛

𝑓∗(𝑢𝑖𝑣𝑖) = 𝑓(𝑢𝑖) + 𝑓(𝑣𝑖) = 3𝑖 − 2 + 3𝑖 − 3

= 6𝑖 − 5 ∈ {1,7,13,19,25,32… ,6𝑛 − 5}⊂ (1 𝑚𝑜𝑑 12) ∪ (7 𝑚𝑜𝑑 12)

= 1 ∪ 7 .......................................................... (7)

3. Label busur pada busur dengan 𝑖 ganjil terkait penambahan simpul 𝒘𝒊

𝑓∗(𝑣𝑖𝑤𝑖) = 𝑓(vi) + 𝑓(wi) = 3𝑖 − 3 + 3𝑖 − 1

= 6𝑖 − 4 ∈ {2,14,26,… ,6𝑛 − 4} ⊂ 2 𝑚𝑜𝑑 12 = 2 (8)

𝑓∗(𝑢𝑖𝑤𝑖) = 𝑓(𝑢𝑖) + 𝑓(wi) = 3𝑖 − 2 + 3𝑖 − 1

= 6𝑖 − 3 ∈ {3,15,27,…6𝑛 − 3} ⊂= 3 𝑚𝑜𝑑 12 = 3 (9)

𝑓∗(𝑢𝑖+1𝑤𝑖) = 𝑓(𝑢𝑖+1) + 𝑓(𝑤𝑖) = 3(𝑖 + 1) − 3 + 3𝑖 − 1

= 6𝑖 − 1 ∈ {5,17,29,… ,6𝑛 − 1} ⊂ 5 𝑚𝑜𝑑 12 = 5 (10)

𝑓∗(𝑣𝑖+1𝑤𝑖) = 𝑓(𝑣𝑖+1) + 𝑓(𝑤𝑖) = 3(𝑖 + 1) − 2 + 3𝑖 − 1

= 6𝑖 ∈ {6,18,30,… ,6𝑛} ⊂= 6 𝑚𝑜𝑑 12 = 6 (11)

4. Label busur pada busur dengan 𝑖 genap terkait penambahan simpul 𝒘𝒊

𝑓∗(𝑣𝑖𝑤𝑖) = 𝑓(𝑣𝑖) + 𝑓(𝑤i) = 3𝑖 − 2 + 3𝑖 − 1

= 6𝑖 − 3 ∈ {9,21,33,… ,6𝑛 − 3} ⊂ 9 𝑚𝑜𝑑 12 = 9 (12)

646

𝑓∗(𝑢𝑖𝑤𝑖) = 𝑓(𝑢𝑖) + 𝑓(𝑤𝑖) = 3𝑖 − 3 + 3𝑖 − 1

= 6𝑖 − 4 ∈ {8,20,32,… ,6𝑛 − 4} ⊂ 8 𝑚𝑜𝑑 12 = 8 (13)

𝑓∗(𝑢𝑖+1𝑤𝑖) = 𝑓(𝑢𝑖+1) + 𝑓(𝑤𝑖) = 3(𝑖 + 1) − 2 + 3𝑖 − 1

= 6𝑖 ∈ {12,24,36,… ,6𝑛} ⊂ 12 𝑚𝑜𝑑 12 = 0 (14)

𝑓∗(𝑣𝑖+1𝑤𝑖) = 𝑓(𝑣𝑖+1) + 𝑓(𝑤𝑖) = 3(𝑖 + 1) − 3 + 3𝑖 − 1

= 6𝑖 − 1 ∈ {11,23,35,… ,6𝑛 − 1} ⊂ 11 𝑚𝑜𝑑 12 = 11 (15)

Dari persamaan (6) sampai dengan (15) didapat pelabelan ini

mengakibatkan setiap busur 𝑥𝑦 diberi label(𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)) 𝑚𝑜𝑑|𝐸| menghasilkan label busur yang berbeda (dengan alasan yang serupa dengan

pelabelan simpul) dan karena banyak busur adalah |E| dan label yang

digunakan adalah 1,2,…,|E|, maka pelabelan busur menghasilkan pelabelan

yang bijektif. Jadi graf 𝑋𝑛 adalah graf harmonis.

Contoh 2.4. Sebagai contoh di bawah ini diberikan pelabelan harmonis

𝑿𝟐, 𝑿𝟑, 𝑿𝟒, 𝑿𝒏 pada beberapa graf tangga segitiga variasi seperti yang terlihat

pada pada Gambar 1.

v1

u1 u2

v2w1

v1

u3

v3

u1 u2

v2w1 w2

v1

u4u3

v3

u1 u2

v2w1 w2 w3

X2

X3

X4

v1

u4u3

v4v3

u1 u2

v2w1 w2 w3

Xn

19

7

1

10

4

10

9

8

7

5 6

4

3

2

1

0

v4

1

0

2

2

3

3

3

3

97

7

2

5

5

4

4

8

1

1

0

0 6

6 8

1

10

1

1

2

2

2

2

13

3

3

3

16

1713

13

19

10

10 16

12

17

18

12

12

7

7

7

5

8

8

11

18

5

5

5

14

11

6

9

11

9

9

4

4

4

4

6

6

6

15

15

14

UnUn-1

vn-1 vnWn-1

Gambar 1

3. Kesimpulan

Graf 𝑿𝒏 adalah perluasan dari Graf Tangga 𝑳𝒏 dan merupakan graf

harmonis.

647

Pernyataan terima kasih. Akhirnya saya ucapkan terimakasih kepada

segenap panitia penyelenggara Seminar Nasional Matematika 2017

Universitas Indonesia yang telah memberi kesempatan terpublikasinya

tulisan makalah ini.

Referensi

[1] Asih, AJ, Silaban, D. R., Sugeng, K.A. Pelabelan Harmonis pada Graf

Firecracker, Graf Hairy Cycle dan Graf Korona, Prosiding Seminar Nasional

2010, Departemen Matematika FMIPA UI, 87-90.

[2] Atmadja. K, Sugeng, K.A, Yuniarko.T, Pelabelan Harmonis pada

Graf Tangga Segitiga, Prosiding Konferensi Nasional Matematika

XVII-2014, ITS Surabaya.

[3] Gallian, J. A., Dynamic Survey of Graph Labeling, The Electronic Journal of

Combinatorics, 2013, 16, #DS6.

[4] Graham ,R.L & Sloan , N.J., On Additive Bases and Harmonius Graphs.

SIAM.J.Alg. Discrete Math..1980, Vol 1, No 3, 382 – 404.

[5] Wirnadian, P, Pelabelan Harmonis pada Kombinasi Gabungan Graf

Caterpillar dan Graf Firecracker Teratur, Tesis, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Program Studi Magister Matematika, Universitas

Indonesia, 2010.

648

KOMPUTASI


649

Prosiding SNM 2017 Komputasi , Hal 649-659

ALGORITMA PARTICLE SWARM OPTIMIZATION DAN

TERAPANNYA DALAM MENYELESAIKAN MASALAH

PEMOTONGAN ROL KERTAS

HELVETIKA AMPERIANA1, Y G HARTONO2

1,2Universitas Sanata Dharma Yogyakarta, [email protected], [email protected]

Abstrak. Algoritma Particle Swarm Optimization (PSO) merupakan salah satu algoritma

optimasi dengan teknik pendekatan heuristik. Pendekatan heuristik yaitu pendekatan komputasi untuk

mencari suatu penyelesaian optimal atau mendekati optimal dari suatu masalah optimasi dengan cara

mencoba secara iteratif untuk memperbaiki kandidat solusi dengan memperhatikan batasan kualitas

solusi yang diinginkan. Algoritma PSO terinspirasi dari perilaku sekawanan burung atau sekumpulan

ikan yang dapat menjelajah ruang solusi secara efektif sehingga mempunyai keefektifan yang baik

dalam menyelesaikan masalah.Algoritma PSO diharapkan juga mempunyai keefektifan untuk

menyelesaikan Cutting Stock Problem (CSP) atau masalah pemotongan persediaan.

Makalah ini mengimplementasikan algoritma PSO untuk menyelesaikan masalah pemotongan

persediaan kertas, yaitu pada rol kertas jumbo yang akan dipotong untuk mendapatkan rol kertas kecil.

Lebar rol kertas kecil ditentukan oleh permintaan pelanggan dan jumlah rol yang dipesan juga berbeda-

beda. Tujuannya adalah mencari dan menyusun pola pemotongan dari sebuah rol jumbo menjadi rol

kecil sedemikian hingga diperoleh hasil yang optimum. Berdasarkan hasil penelitian ini, diperoleh

solusi optimal yaitu jumlah rol jumbo dan sisa yang minimum untuk beberapa kasus pesanan yang

masuk. Selanjutnya dibuat suatu program tampilan dengan MATLAB berdasarkan algoritma PSO.

Dibandingkan dengan perhitungan software Quantitative Method (QM), yaitu software yang populer

digunakan untuk memproses data kuantitatif, hasilnya mendekati..

Kata kunci: Algoritma Particle Swarm Optimization (PSO), Cutting Stock Problem (CSP), optimasi,

heuristik,komputasi.

1. Pendahuluan

1. Pendahuluan

Ketika kita melibatkan masalah pemotongan persediaan dalam dunia industri

kertas seperti yang diulas oleh Parmar [5] dan Shen [7], tentu saja penyelesaian kasus

pada masalah ini adalah dengan menyertakan data sebagai input. Secara umum,

masalah-masalah ini sangat luas dan kompleks untuk diselesaikan sampai mendapat

solusi eksak. Oleh karena itu, metode heuristik menjadi salah satu algoritma yang

diharapakan dapat berjalan dengan baik untuk menemukan solusi yang optimal.

Salah satunya adalah algoritma Particle Swarm Optimization (PSO).

Dalam makalah ini, saya memberikan rumusan matematika untuk masalah

pemotongan persediaan yang berperan dalam mengambil keputusan pada saat

hendak melakukan proses pemotongan kertas dalam rangka untuk memenuhi semua

pesanan dari konsumen.



650

Berikut diagram alir dari pencarian solusi masalah pemotongan rol kertas

dengan algoritma PSO.

Gambar 1.1: Diagram alir pencarian solusi masalah pemotongan rol kertas dengan

algoritma PSO

Pada makalah ini masalah pemotongan rol kertas dibatasi hanya pada

pemotongan dari rol ke rol yang berarti hanya untuk pemotongan dari rol jumbo

menjadi rol-rol kecil dan dengan pola pemotongan satu dimensi.

1.1 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang, maka rumusan masalah utama yang akan dibahas

adalah menyelesaikan masalah pemotongan kertas satu dimensi dengan

menggunakan algoritma PSO agar didapat solusi yang optimal.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah mengetahui efisiensi kerja algoritma Particle

Swarm Optimization, kelebihan, serta kekurangannya pada masalah Cutting Stock

Problem yang diukur dengan beberapa parameter unjuk kerja, yaitu best function,

best variable, dan waktu perhitungan.

1.3 Sistematika Penulisan

Adapun sistematika penulisan makalah ini adalah sebagai berikut:

Bagian pertama menyatakan formulasi matematis dan menjelaskan bagaimana

mengatasi masalahnya. Bagian kedua yaitu pendekatan dengan algoritma PSO

dan fitur-fiturnya. Bagian ketiga melaporkan penyelidikan eksperimental. Bagian

keempat menyajikan penerapan algoritma PSO yang dapat digunakan secara

langsung untuk menyelesaikan masalah pemotongan kertas satu dimensi (dari rol

ke rol) menggunakan GUI yang dibuat dengan menggunakan MATLAB. Bagian

terakhir berisi kesimpulan.


Definisi 2.1. Menurut Santosa [6], algoritma Particle Swarm Optimization (PSO)

adalah algoritma optimasi dengan pendekatan heuristik yang terinspirasi dari perilaku

sekelompok kawanan burung atau sekumpulan ikan yang dapat menjelajah ruang

1. Mengurutkan lebar roll kecil dari

terbesar sampai terkecil. (data)

2. Menentukan pola pemotongan kertas.

(kendala)

3. Mengoperasikan algoritma PSO sesuai

dengan data dan kendala agar nilai

optimal dari fungsi objektif tercapai.

651

solusi secara efektif sehingga mempunyai keefektifan yang baik dalam

menyelesaikan masalah.

Definisi 2.2. Menurut Suyanto [8], metode heuristik adalah suatu teknik aproksimasi

atau pendekatan yang didesain untuk memecahkan masalah optimasi dengan cara

mencoba secara iteratif sebagai upaya memperbaiki kandidat solusi dengan

memperhatikan batasan kualitas solusi yang diinginkan dengan mengutamakan

waktu komputasi dan biasanya menghasilkan solusi yang cukup baik, dalam arti

optimal atau mendekati optimal.

Definisi 2.3. Seperti yang dijelaskan oleh Mahadika [4], misalkan terdapat n

kemungkinan pola pemotongan untuk rol jumbo dengan lebar 𝑟, rol kecil memiliki

lebar 𝑤𝑖 untuk 𝑖 = 1,… ,𝑚, dan 𝑝𝑖 adalah banyaknya rol kecil dengan lebar 𝑤𝑖 (𝑝𝑖 bilangan bulat non negatif) sehingga ∑ 𝑝𝑖𝑤𝑖

𝑚𝑖=1 ≤ 𝑟. Maka masalah pemotongan ini

dapat diselesaikan dalam program linier sebagai berikut.

Minimumkan

𝑧 =∑𝑥𝑗

𝑛

𝑗=1

(2.1)

dengan kendala

∑𝑝𝑖𝑗𝑥𝑗

𝑛

𝑗=1

≥ 𝑏𝑖

𝑥𝑗 ≥ 0

(2.2)

dan 𝑝𝑖𝑗 adalah banyaknya rol kecil dengan lebar 𝑤𝑖 dalam pola pemotongan ke-j, 𝑏𝑖

adalah banyaknya permintaan rol kecil dengan lebar 𝑤𝑖, variabel 𝑥𝑗 menunjukkan

banyaknya rol jumbo yang dipotong pada jenis pemotongan ke-𝑗, variabel 𝑚

mewakili banyaknya variasi lebar kertas potongan (rol kecil), variabel 𝑛

menunjukkan banyaknya kemungkinan pemotongan yang dapat dilakukan sesuai

dengan variasi lebar kertas sesuai pesanan (pola pemotongan).

Contoh 2.1. Sebuah industri kertas menghasilkan rol jumbo dengan lebar 3 meter.

Pelanggan menginginkan rol dengan lebar yang lebih kecil. Dari rol jumbo dapat

dipotong ke dalam 2 rol dengan lebar 93 cm, 1 rol dengan lebar 108 cm, dan

menyisakan rol dengan lebar 6 cm.

Misalkan pesanan yang diterima adalah sebagai berikut.

Tabel 2.1: Tabel pesanan yang diterima

Banyak rol Lebar rol (cm)

97 135

610 108

395 93

211 42

652

Permasalahannya menjadi bagaimana menentukan pola pemotongan rol

jumbo agar pesanan dapat dipenuhi dengan banyaknya rol jumbo yang harus

dipotong sesedikit mungkin.

Ada 12 kemungkinan cara memotong rol jumbo ke dalam rol kecil sesuai

pesanan (dengan sisa pemotongan kurang dari 42 cm) yaitu:

Tabel 2.2: Tabel pola pemotongan yang dibuat sesuai pesanan

Kemungkinan

𝑗

Lebar rol

135 108 93 42

1 2 0 0 0

2 1 1 0 1

3 1 0 1 1

4 1 0 0 3

5 0 2 0 2

6 0 1 2 0

7 0 1 1 2

8 0 1 0 4

9 0 0 3 0

10 0 0 2 2

11 0 0 1 4

12 0 0 0 7

Pola 1 dari Tabel 2.2 berarti 1 rol jumbo dengan lebar 3 meter akan dipotong

menjadi 2 rol kecil dengan lebar 135 cm. Pola 2 berarti 1 rol jumbo akan dipotong

menjadi 1 rol kecil dengan lebar 135, 1 rol kecil dengan lebar 108 dan 1 rol kecil

dengan lebar 42 cm. Demikian seterusnya berlaku cara membaca data yang sama

untuk pola-pola pemotongan yang lain.

Untuk setiap kemungkinan pola 𝑃𝑗 di atas, kita memperkenalkan variabel 𝑥𝑗 ≥

0 yang menunjukkan banyaknya rol jumbo yang harus dipotong menurut pola 𝑃𝑗. Dengan demikian, fungsi tujuan adalah meminimumkan jumlah rol jumbo yang

dipotong yaitu ∑ 𝑥𝑗12𝑗=1 . Agar pesanan terpenuhi maka untuk setiap ukuran lebar yang

dipesan ditambahkan sebuah kendala. Sebagai contoh, untuk pesanan 395 rol dengan

lebar 93 cm, maka fungsi kendala dapat dituliskan

653

𝑥3 + 2𝑥6 + 𝑥7 + 3𝑥9 + 2𝑥10 + 𝑥11 ≥ 395 yang berarti jumlah rol kecil dengan lebar 93 cm yang dihasilkan dengan memotong

rol jumbo menurut berbagai pola pemotongan tidak boleh kurang dari 395 rol

(jumlah rol pesanan). Demikian seterusnya sehingga diperoleh masalah program

linier berikut.

Minimumkan ∑ 𝑥𝑗12𝑗=1

dengan kendala

𝑥3 + 2𝑥6 + 𝑥7 + 3𝑥9 + 2𝑥10 + 𝑥11 ≥ 395

2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 ≥ 97

𝑥2 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 + 𝑥8 ≥ 610

𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 + 2𝑥5 + 2𝑥7 + 4𝑥8 + 2𝑥10 + 4𝑥11 + 7𝑥12 ≥ 211

𝑥𝑗 ≥ 0

Masalah tersebut dapat diselesaikan dengan perangkat lunak QM

(Quantitative Method) for Windows yang merupakan perangkat lunak digunakan

untuk membantu proses perhitungan secara teknis pengambilan keputusan secara

kuantitatif. Berikut adalah hasil yang didapat menggunakan QM.

Gambar 2.1: Gambar hasil perhitungan dengan menggunakan QM

Dari gambar di atas, didapatkan solusi optimal yaitu 𝑥1 = 48,5, 𝑥5 = 206,25,

𝑥6 = 197,5, dan selainnya bernilai 0. Itu berarti untuk memenuhi pesanan

diperlukan rol sebanyak 48,5 untuk pola pemotongan pertama, 206,25 rol untuk pola

pemotongan kelima, dan 197,5 rol untuk pola pemotongan keenam. Dengan

demikian, banyaknya rol jumbo yang digunakan sebanyak 452,25 rol.

Lagha [3] menjabarkan bahwa PSO menggunakan konsep populasi dan

kinerja serta penyesuaian individu sebagai berikut:

A. Pengkodean Partikel

Pengkodean untuk partikel ini didesain sebagai vektor berukuran m (setara

dengan jumlah potongan yang diminta). Posisi j pada partikel menandai persediaan

kertas di mana bagian j tersebut dipotong pada saat iterasi ke-i.

654

Potongan partikel

Contoh 2.2

Misal: 𝑋𝑗𝑖 = (1,2,2,3)

kita dapat mencatat bahwa solusi ini sesuai dengan ekstraksi 4 potongan dari 3 jenis

panjang kertas. Sesuai dengan contoh ini, solusi atau partikel diilustrasikan sebagai

berikut:

Gambar 2.2 : Ilustrasi partikel

B. Fungsi Fitness

Fungsi Fitness pada masalah pemotongan persediaan ini merupakan fungsi

obyektif yang bertujuan untuk mengevaluasi setiap partikel dan menemukan

banyaknya kertas yang digunakan. Nilai fitness dihitung sebagai penjumlahan semua

nilai fungsi obyektif dari masing-masing variabel (partikel).

C. Populasi Awal

Posisi sebuah partikel yang ditunjukkan oleh vektor menyajikan solusi

potensial dari masalah. PSO diinisialisasi dengan populasi partikel yang secara acak

diberikan dan mencari posisi terbaik (solusi) dengan nilai fitness terbaik.

D. Pergerakan Partikel

Setelah pembangkitan populasi awal, sebuah seleksi dilakukan untuk memilih

partikel pemimpin atau solusi terbaik global. Operasi perhitungan dilakukan pada

setiap iterasi untuk memilih antara Terbaik Global (Gbest) dan partikel acak untuk

membawanya lebih dekat ke solusi yang optimal. Pada saat itu, kawanan tumbuh dan

merangkak dengan optimal sampai tercapai kriteria penghentiannya.

Pada setiap iterasi dalam algoritma, setiap partikel xj memodifikasi kecepatan

𝑣𝑗𝑖-nya dan posisi 𝑥𝑗

𝑖 tergantung pada dua elemen penting, yaitu: Sebuah lokal utama

yaitu 𝑃𝑏𝑒𝑠𝑡𝑗𝑖 dan yang kedua yang mewakili perilaku sosial dari kawanan yaitu

𝐺𝑏𝑒𝑠𝑡𝑗𝑖. Kecepatan yang mengontrol pergerakan partikel ini dirancang sebagai

berikut:

𝑣𝑗𝑖 = 𝑣𝑗

𝑖−1 + (𝑐1𝑟1 × (𝑃𝑏𝑒𝑠𝑡𝑗𝑖 − 𝑥𝑗

𝑖−1)) + (𝑐2𝑟2 × (𝐺𝑏𝑒𝑠𝑡𝑗𝑖 − 𝑥𝑗

𝑖−1))

𝑥𝑗𝑖 = 𝑥𝑗

𝑖−1 + 𝑣𝑗𝑖

dengan 𝑐1 dan 𝑐2 masing-masing adalah learning rates untuk kemampuan individu

(cognitive) dan pengaruh sosial (group), dan 𝑟1dan 𝑟2bilangan acak (random) yang

berdistribusi seragam (uniform) dalam interval 0 dan 1. Jadi parameter 𝑐1 dan 𝑐2

menunjukkan bobot dari memori (position) sebuah partikel terhadap memori

(position) dari kelompok (swarm). Nilai dari 𝑐1 dan 𝑐2 adalah 2 sehingga partikel-

partikel akan mendekati target sekitar setengah selisihnya.

Berikut adalah hasil penyelesaian masalah pemotongan persediaan kertas

sesuai contoh yang dapat ditampilkan setelah dieksekusi dengan algoritma PSO

menggunakan bantuan MATLAB berdasarkan pengembangan dari program yang

dibuat oleh Alam [1,2]:

Final Results--------------------------------------------

655

bestfun = 452.2747

bestrun = 5

best_variables =

Columns 1 through 9

48.5080 0 0 0 206.2667 197.5001 0 0 0

Columns 10 through 12

0 0 0

>> Elapsed time is 15.217224 seconds.

Gambar 2.3: Gambar grafik konvergensi PSO pada run ke 5

Hasil perhitungan dengan algoritma PSO yang dijalankan pada program

MATLAB tidak berbeda jauh dengan hasil perhitungan yang dilakukan oleh

software QM, didapatkan solusi optimal yaitu 𝑥1 = 48.5080, 𝑥5 = 206.2667, 𝑥6 =197.5001, dan selainnya bernilai 0. Itu berarti untuk memenuhi pesanan diperlukan

rol sebanyak 48.5080 untuk pola pemotongan pertama, 206.2667 rol untuk pola

pemotongan kelima, dan 197.5001 rol untuk pola pemotongan keenam. Dengan

demikian, banyaknya rol jumbo yang digunakan sebanyak 452.2747 rol.

Dari data yang sudah didapat menghasilkan jumlah rol bukan berupa bilangan

bulat. Oleh karena itu, diperlukan suatu metode untuk memberikan solusi berupa

bilangan bulat. Metode yang digunakan adalah first-fit decreasing.

Definisi 2.4. Metode First-Fit Decreasing (FFD) seperti dikutip dari Mahadika [4]

adalah metode heuristik dimana pada iterasi ke-j dari metode ini yaitu menemukan

pola pemotongan rol jumbo ke-j. Iterasi dimulai dengan sisa permintaan setelah

jumlah rol dibulatkan ke bawah yaitu 𝑏1′ , 𝑏2

′ , … , 𝑏𝑚′ . Pola pemotongan yang

dihasilkan untuk setiap iterasi yaitu

𝑎𝑖 = 𝑚𝑖𝑛

{

𝑏𝑖

′

⌊(𝑟 −∑𝑤𝑘𝑎𝑘

𝑖−1

𝑘=1

) 𝑤𝑖⁄ ⌋

(2.3)

656

Untuk 𝑖 = 1,2, … ,𝑚, kemudian ganti setiap nilai 𝑏𝑖′ dengan 𝑏𝑖

′ − 𝑎𝑖 dan lanjutkan

proses iterasi ke-j+1.

Contoh 2.3

Mencari solusi bilangan bulat untuk Contoh 2.1 didapatkan hasil

Tabel 2.3: Tabel hasil yang diperoleh dengan menggunakan algoritma PSO

Pola

pemotongan

ke-

Lebar rol

Banyak rol

135 108 93 42

1 2 0 0 0 48,5

2 0 2 0 2 206,27

3 0 1 2 0 197,5

Karena solusi belum bernilai bilangan bulat, maka dengan menggunakan

metode first-fit decreasing solusi diubah menjadi bilangan bulat.

Pertama, semua solusi yang diperoleh dibulatkan ke bawah. Sehingga untuk

pola 1 memerlukan 48 rol, pola 2 memerlukan 206 rol, dan pola 3 memerlukan 197

rol. Karena semua solusi dibulatkan ke bawah, maka jumlah produksi rol pesanan

kurang atau sama dengan permintaan rol.

Tabel 2.4: Tabel nilai solusi yang sudah dibulatkan ke bawah dan sisa produksinya

Lebar Rol (𝑤𝑖) Permintaan (𝑏𝑖) Produksi (⌊𝑥𝐵∗ ⌋) Sisa (𝑏𝑖

′)

135 cm 97 rol 96 rol 1 rol

108 cm 610 rol 609 rol 1 rol



Iterasi 1

Diketahui 𝑏1′ = 1, 𝑏2

′ = 1, 𝑏3′ = 1, 𝑏4

′ = 0.

𝑎1 = 𝑚𝑖𝑛 {𝑏1′

⌊𝑟 𝑤1⁄ ⌋= 𝑚𝑖𝑛 {

1⌊300 135⁄ ⌋

= 𝑚𝑖𝑛 {12= 1

𝑎2 = 𝑚𝑖𝑛{

𝑏2′


1

𝑘=1

) 𝑤2⁄ ⌋= 𝑚𝑖𝑛 {

1⌊(300 − 135.1) 108⁄ ⌋

= 𝑚𝑖𝑛 {11= 1

657


𝑏3′


2

𝑘=1

) 𝑤3⁄ ⌋= 𝑚𝑖𝑛 {

1⌊(300 − (135.1 + 108.1) 93⁄ ⌋

= 𝑚𝑖𝑛 {10= 0


𝑏4′


3

𝑘=1

) 𝑤4⁄ ⌋

= 𝑚𝑖𝑛 {0

⌊(300 − (135.1 + 108.1 + 93.0) 42⁄ ⌋ = 𝑚𝑖𝑛 {01= 0

Sehingga didapatkan 𝑏1′ = 0, 𝑏2

′ = 0, 𝑏3′ = 1, 𝑏4

′ = 0.

Iterasi 2

𝑎1 = 𝑚𝑖𝑛 {𝑏1′

⌊𝑟 𝑤1⁄ ⌋= 𝑚𝑖𝑛 {

0⌊300 135⁄ ⌋

= 𝑚𝑖𝑛 {02= 0


𝑏2′


1

𝑘=1

) 𝑤2⁄ ⌋= 𝑚𝑖𝑛 {

0⌊(300 − 135.0) 108⁄ ⌋

= 𝑚𝑖𝑛 {02= 0


𝑏3′


2

𝑘=1

) 𝑤3⁄ ⌋= 𝑚𝑖𝑛 {

1⌊(300 − (135.0 + 108.0) 93⁄ ⌋

= 𝑚𝑖𝑛 {13= 1


𝑏4′


3

𝑘=1

) 𝑤4⁄ ⌋

= 𝑚𝑖𝑛 {0

⌊(300 − (135.0 + 108.0 + 93.1) 42⁄ ⌋ = 𝑚𝑖𝑛 {04= 0

Sehingga didapatkan 𝑏1′ = 0, 𝑏2

′ = 0, 𝑏3′ = 0, 𝑏4

′ = 0. Proses iterasi diberhentikan

karena semua pesanan sudah terpenuhi. Jadi, didapatkan 2 rol tambahan dengan 2

pola yang berbeda.

Tabel 2.5: Tabel jumlah rol sesuai pola dari algoritma PSO dan algoritma FFD

Pola

Lebar rol pesanan

Jumlah rol 135 108 93 42

1 2 0 0 0 48

2 0 2 0 2 206

3 0 1 2 0 197

4 1 1 0 0 1

658

5 0 0 1 0 1

TOTAL 453

Berikut ini adalah hasil penyelesaian optimal yang diproses dengan GUI MATLAB:

Gambar 2.4: Gambar hasil perhitungan dengan menggunakan GUI MATLAB

Dari gambar di atas, dapat diketahui bahwa semua pesananan sudah

terpenuhi. Hasil dari best fun adalah 452.2502 dan nilainya masih belum bulat karena

nilai tersebut hanya merupakan suatu output dari pendekatan algoritma PSO yang

akan berguna untuk mencari best variable yang akan digunakan sebagai input untuk

diproses menggunakan algoritma First-fit decreasing (FFD) agar bernilai bulat.

Tabel 2.6: Tabel jumlah rol sesuai pola dari algoritma PSO dan algoritma FFD

Pola Lebar rol pesanan

Jumlah rol 135 108 93 42

1 1 1 0 1 97

2 0 2 0 2 157

3 0 1 2 0 197

4 0 2 0 0 1

5 0 0 1 0 1

TOTAL 453

659

3. Kesimpulan

Hasil perhitungan dengan PSO sudah cukup optimal, hal ini dikonfirmasi

dengan hasil yang kurang lebih sama dengan hasil yang diperoleh dari QM

(perangkat lunak standar untuk menyelesaikan masalah program linear yang ada di

pasaran), sehingga dapat dipergunakan untuk menyelesaikan masalah pemotongan

persediaan kertas. Namun dari penyelesaian yang didapat, terlihat bahwa solusi

masih berupa bilangan desimal sehingga diperlukan metode FFD untuk mengubah

solusi ke dalam bentuk bilangan bulat.

Referensi

[1] Alam, M.N., 2016, Codes in MATLAB for Particle Swarm Optimization,

ResearchGate. (2016), 1 - 4.

[2] Alam, M.N., 2016, Particle Swarm Optimization: Algorithm and It’s Codes in

MATLAB, ResearchGate. (2016), 1 - 11.

[3] Lagha, G.B. et.al., 2014, Particle Swarm Optimization Approach for Resolving Cutting

Stock Problem, International Conference on Advanced Logistic and Transport. (2014),

1 - 11.

[4] Mahadika, R.A., 2016, Penyelesaian Masalah Pemotongan Rol Kertas dengan Metode

Penghasil Kolom, Dept. Matematika Universitas Sanata Dharma.

[5] Parmar, K. B., Cutting Stock Problem: A Survey of Evolutionary Computing Based

Solution, International Conference on Green Computing Communication and Electrical

Engineering. (2014)

[6] Santosa, B. and Willy P., 2011, Metoda Metaheuristik Konsep dan Implementasi, Guna

Widya.

[7] Shen, X. et.al., A Heuristic Particle Swarm Optimization for Cutting Stock Problem,

ICCS. (2007)

[8] Suyanto, 2010, Algoritma Optimasi Deterministik atau Probabilistik, Graha Ilmu

660


APLIKASI METODE PENGGEROMBOLAN

ALGORITMA KHUSUS DALAM PENENTUAN ZONA

BIAYA HAK PENGGUNA FREKUENSI RADIO

ERFIANI

Departemen Statistika FMIPA-IPB, [email protected]

Abstrak. Perkembangan teknologi telekomunikasi beriringan dengan

perkembangan spektrum fruekuensi radio. Spektrum frekuensi radio merupakan

sumber daya alam yang bersifat strategis, ekonomis, dan terbatas ( limited

natural resources), sehingga dalam penggunaan pelayanan frekuensi radio

haruslah efisien, rasional, dan optimal. Salah satu upaya pemerintah dalam

mengatur penggunaan frekuensi radio adalah melalui Peraturan Pemerintah

Republik Indonesia nomor 28 tahun 2005 tentang biaya hak pengguna (BHP)

frekuensi radio. Besaran BHP frekuensi disuatu daerah dipengaruhi beberapa

peubah indikator. Pada penelitian ini dilakukan kajian jumlah zona BHP

menggunakan data yang lebih terkini. Metode pembentukan zona dalam data

mining dikenal dengan istilah analisis gerombol (clustering analysis). Pada data

Kota/Kabupaten yang digunakan terdapat banyak Kota/Kabupaten hasil

pemekaran, sehingga terdapat data yang tidak lengkap. Oleh karena itu dalam

penentuan zona atau pembentukan gerombol diperlukan metode yang dapat

menanggulangi kondisi data tidak lengkap. Metode penggerombolan standar

yang ada kurang tepat dalam menganalisis data dengan kondisi data yang tidak

lengkap. Pada penelitian ini digunakan pendekatan metode penggerombolan

algoritma khusus untuk data tidak lengkap pada kasus penentuan zona BHP.

Hasil akhir jumlah zona BHP di Indonesia yang optimal sebanyak lima zona.

Kata kunci : biaya hak pengguna, clustering analysis, data tidak lengkap, zona

1. Pendahuluan

Frekuensi radio merupakan sumber daya alam yang terbatas yang

mempunyai nilai strategis dan ekonomis dalam penyelenggaraan telekomunikasi.

Oleh karena itu perlu dilakukan pengaturan secara efektif dan optimal guna

mewujudkan penggunaan frekuensi radio yang adil dan merata serta membuka

peluang usaha dan meningkatkan kesejahteraan masyarakat. Manfaat yang didapat

dalam penggunaan frekuensi radio ini dapat kita rasakan dalam kehidupan sehari-

hari seperti penggunaan siaran radio, televisi, seluler, dan lainnya.

661

Melalui lembaga Kementerian Komunikasi dan Informatika (Kominfo)

pemerintah mengatur segala hal dalam penggunaan frekuensi radio di Indonesia.

Hasil laporan akhir tahun 2013 mengenai Penerimaan Negara Bukan Pajak (PNBP)

Indonesia, Kominfo berhasil menjadi penyumbang terbesar kedua PNBP setelah

Kementrian Energi dan Sumber Daya Mineral (ESDM). Penghasilan PNBP

Kominfo yang terbesar berasal dari Biaya Hak Pengguna (BHP) frekuensi radio yang

merupakan sumber pendapatan yang diperoleh dari pengguna frekuensi radio.

Penetapan BHP tertuang pada Peraturan Pemerintah Republik Indonesia nomor 28

tahun 2005 tentang tarif atas jenis PNBP yang berlaku pada Departemen Kominfo

[1]. Dalam peraturan tersebut diatur rumusan perhitungan harga BHP. Pemerintah

melakukan pengelompokan BHP wilayah indonesia menjadi 5 (lima) kelompok atau

disebut dengan 5 (lima) zona. Zona ini berpengaruh terhadap penetapan harga

lainnya dalam rumusan BHP. Setiap zona mempunyai harga BHP yang berbeda.

Tingkatan zona mencerminkan keadaan ekonomi suatu wilayah. Evaluasi penentuan

zona BHP terakhir dilakukan pada tahun 2010 dengan berdasarkan 7 (tujuh) peubah

indikator.

Pada pendekatan analisis statistika, penggerombolan data umumnya

dilakukan dengan metode penggerombolan (clustering methode). Prinsip dari

penggerombolan adalah mengelompokkan objek berdasarkan kemiripan

karakteristik tertentu ke dalam gerombol-gerombol sehingga objek-objek memiliki

homogenitas yang tinggi di dalam gerombolnya dan mempunyai heteroginitas yang

tinggi antar gerombol. Metode Gerombol yang banyak digunakan berlaku pada kasus

data lengkap. Permasalahan akan muncul saat akan melakukan penggerombolan

pada kasus data tak lengkap.

Pada sekitar tahun 2012 terjadi banyak pemekaran kota/kabupaten, sehingga

akan muncul permasalahan bila akan menyusun gerombol/zona BHP. Hal ini akan

terjadi karena ada kota/kabupaten baru yang tidak memiliki data indikator yang

digunakan sebagai penyusun zona. Pada kajian ini akan dilakukan pembentukan

zona BHP kota/kabupaten penggunakan algoritma khusus.


Penanganan penggerombolan data tidak lengkap dapat dilakukan dengan dua pendekatan, yaitu preprocessing dan penerapan algoritma khusus. Preprocessing adalah teknik umum untuk menangani data yang tidak lengkap dengan dua pendekatan. Pertama mengabaikan data yang tidak lengkap (marginalisasi), pendekatan ini akan mengakibatkan kehilangan banyak informasi. Kedua menduga data yang tidak lengkap sehingga diperoleh data lengkap dengan imputasi dan bersifat tetap. Kelemahan metode imputasi dikemukakan oleh Wagstaff dan Laidler [4] yang menyatakan bahwa hasil pendugaan dari metode imputasi tidak efisien karena memberikan informasi yang tidak berarti. Matyja dan Simiński [2] melakukan penelitian penggerombolan untuk data tidak lengkap menggunakan metode algortima khusus dan membandingkannya dengan metode imputasi dan

662

marginalisasi. Beberapa metode algoritma khusus yang digunakan adalah partial distance strategy (PDS), optimal completion strategy (OCS), nearest prototype strategy (NPS). Hasil perbandingan tersebut memperoleh kesimpulan bahwa metode algoritma khusus lebih unggul dalam menggerombolkan data tidak lengkap. Safitri [3] melakukan kajian perbandingan metode gerombol murni tanpa mputasi antara metode k-means soft contraints (KSC) dan metode partial distance strategy (PDS) pada data tidak lengkap. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa metode PDS lebih unggul dari metode KSC.

Pada penelitian ini akan dilakukan penyusunan zona BHP frekuensi radio dengan menggunakan algoritma khusus PDS. Data yang digunakan pada penelitian ini merupakan data sekunder yang berasal dari Kementerian Komunikasi dan Informasi RI dan Badan Pusat Statistik tahun 2014. Penelitian ini dilakukan terhadap seluruh kota/kabupaten di Indonesia sebanyak 514 daerah pada tahun 2014 dengan menggunakan peubah-peubah berdasarkan Peraturan Kementerian Komunikasi dan Informasi RI. Peubah yang menjadi atribut amatan merupakan peubah numerik. Peubah yang digunakan disajikan pada Tabel 1.

Tabel 1. Daftar peubah dalam penentuan zona BHP frekuensi radio

Peubah Keterangan

X1 Produk Domestik Regional Bruto (PDRB) 2014 (Miliar Rupiah)

X2 Kepadatan Penduduk 2014 (Jiwa / Km2)

X3 Jumlah Angkatan Kerja 2014 (Ribuan Jiwa)

X4 Persentase Pertumbuhan Ekonomi 2014 (%)

X5 Pendapatan BHP 2014 (Juta Rupiah)

X6 Jumlah Base Transceiver Station (BTS) 2014 (Unit)

X7 Indeks Harga Konsumen 2014

Tahapan awal yang dilakukan dalam penelitian ini adalah melakukan pembakuan data peubah amatan. Selanjutnya dilakukan penentuan banyaknya gerombol yang akan digunakan dalam simulasi (pada penelitian ini dicobakan antara dua sampai sembilan gerombol). Pada setiap banyaknya gerombol yang ditetapkan dilakukan penggerombolan kota dan kabupaten menggunakan metode PDS.

Metode PDS merupakan suatu algoritma pengelompokan untuk data tidak lengkap dengan menghitung jarak objek ke pusat gerombol berdasarkan data yang ada (Matyja dan Simiński [2]). Tahapan awal pada proses penggerombolan data dengan menggunakan metode PDS ialah membentuk titik awal pusat gerombol. Pembentukan awal pusat gerombol umumnya dibangkitkan secara acak. Jumlah pusat gerombol yang dibangkitkan sesuai dengan jumlah gerombol yang ditentukan pada awal proses. Total jarak yang digunakan dimodifikasi oleh jumlah dimensi. Berikut algoritma metode PDS :

i. Menentukan pusat gerombol ke-c.

ii. Mencari jarak dari suatu objek ke-k ke pusat gerombol ke-c dengan metode

PDS menggunakan formula sebagai berikut:

D

d

kd

D

d

kdcdkd

ck

I

IcxD

t

1

1

2)(

663

K

k

kdck

K

k

kdkdck

cd

Iu

Ixu

c

1

2

1

2

)(

)(

Keterangan :

𝐼𝑘𝑑 = {1, Jika peubah ke − 𝑑 ada pada objek ke − 𝑘

0, selainnya

ckt = jarak objek ke-k terhadap gerombol ke-c

D = total dimensi peubah

kdx = nilai objek ke-k pada peubah ke-d

cdc = pusat gerombol ke-c berdasarkan peubah ke-d

cku = nilai keanggotan objek ke-k terhadap gerombol ke-c

iii. Mengalokasikan objek ke dalam suatu gerombol berdasarkan jarak minimal

iv. Ulangi langkah 1 hingga 3 dan berhenti sampai 4)1()(

,

10||max r

cd

r

cddc

cc ,

dengan r merupakan total dari iterasi.

Langkah selanjutnya dilakukan penggantian nilai data hilang pada setiap jumlah gerombol dengan centeroid masing-masing gerombol berdasarkan peubahnya untuk setiap jumlah gerombol. Hal ini bertujuan agar dapat menggunakan algoritma penentuan optimasi gerombol, karena keterbatasan informasi dan literatur untuk algoritma penentuan jumlah gerombol optimal dengan kondisi data tidak lengkap. Tahap akhir analisis dilakukan pemilihan jumlah gerombol optimal berdasarkan nilai IDB minimal.

Indeks Davies Bouldin (IDB) digunakan untuk menentukan jumlah gerombol yang optimal pada analisis gerombol untuk data lengkap. Pengukuran IDB memaksimalkan jarak antar gerombol Ci dan Cj dan pada waktu yang sama mencoba untuk meminimalkan jarak antar titik dalam gerombol. Jika jarak antar gerombol maksimal maka ragam antar gerombol akan tinggi, sehingga perbedaan antar gerombol terlihat jelas. Jika jarak dalam gerombol minimal maka ragam objek dalam gerombol kecil, sehingga objek dalam setiap gerombol memiliki karakteristik yang sama. Rumusan perhitungan IDB adalah sebagai berikut:

IDBnc =1

𝑛𝑐∑ max

𝑗≠𝑘{𝑆𝑐(𝑄𝑘) + 𝑆𝑐(𝑄𝑗)

𝑑𝑘𝑗(𝑄𝑘 , 𝑄𝑗)}

𝑛𝑐

𝑘=1

𝑆𝑐(𝑄𝑘) =∑ ‖𝑂𝑖 − 𝐶𝑘‖𝑖

𝑁𝑘

𝑑𝑘𝑙 = ‖𝐶𝑘 − 𝐶𝑙‖

664

nc adalah banyak gerombol, Oi adalah objek amatan dalam gerombol Qk, Nkadalah banyak observasi dalam gerombol Qk, Ck dan Cl secara berturut-turut adalah centroid gerombol ke-k dan gerombol ke-l. Skema gerombol yang optimal ialah yang memiliki nilai IDB yang minimal (Yatkiv dan Gusarova [5]).

Penelitian ini menggunakan metode PDS yang merupakan perkembangan dari

penggerombolan dengan metode k-means. Tahapan pertama dalam metode k-means

menentukan jumlah gerombol yang akan dibuat. Oleh sebab itu, pada tahapan

penggerombolan dengan metode PDS ditentukan jumlah gerombol yang akan dibuat

dari jumlah gerombol sebanyak dua hingga jumlah gerombol sebanyak sembilan.

Jumlah gerombol yang optimal adalah yang memiliki nilai IDB terkecil. Hasil dari

perhitungan nilai IDB disajikan pada Tabel 2. Ada 3 (tiga) kemungkinan jumlah

gerombol yang memiliki nilai IDB terkecil, secara berurutan dari yang terkecil, yaitu

jumlah gerombol 2, 6 dan 5.

Tabel 2. Nilai IDB pada setiap kemungkinan jumlah gerombol

Nilai IDB Jumlah gerombol

0.6803 2

0.93094 6

0.98952 5

1.01751 8

1.02205 9

1.05401 4

1.18429 3

1.22613 7

Berdasarkan Tabel 2, jumlah gerombol optimal dengan nilai IDB terkecil

adalah jumlah gerombol sebanyak dua dengan nilai IDB sebesar 0.6803.

Penggerombolan atau pembentukan zona BHP wilayah Indonesia yang sangat luas

dengan 514 kota/kabupaten hanya dalam 2 (dua) gerombol/zona, menurut peneliti

akan kurang tepat. Oleh karena itu peneliti mengusulkan jumlah gerombol/zona

BHP Indonesia sebanyak 5 atau 6 zona. Gambar-1 menyajikan sebaran wilayah zona

665

BHP untuk jumlah zona sebanyak 5 (lima). Gambar 2. menyajikan sebaran wilayah

zona BHP untuk jumlah zona sebanyak 6 (enam). Pada jumlah zona sebanyak enam

masih ditemukan zona dengan sebaran wilayah yang saling terputus. Sebagai contoh

pada gerombol 2 meliputi wilayah yang tersebar pada pulau Jawa dan Sumatera.

Sedangkan pada jumlah gerombol sebanyak lima, relatif memiliki hasil yang lebih

baik dibandingkan pada jumlah gerombol sebanyak enam.

Gambar 1. Sebaran wilayah zona BHP untuk jumlah zona sebanyak lima

Gambar 2. Sebaran wilayah zona BHP untuk jumlah zona sebanyak enam

666

3. Kesimpulan

Hasil penentuan jumlah gerombol/zona BHP menggunakan pendekatan

metode PDS, diperoleh jumlah gerombol/zona BHP sebanyak lima atau enam

gerombol/zona BHP Bila mempertimbangkan juga sebaran wilayah dalam setiap

gerombol/zona BHP jumlah gerombol/zona BHP, peneliti merekomendasikan

jumlah gerombol/zona BHP sebanyak lima.

Referensi

[1] Kementrian Komunikasi dan Informatika. 2005. Peraturan Menteri Komunikasi

dan Informatika Nomor :19/PER.KOMINFO/10/2005 tentang Petunjuk

Pelaksanaan Tarif Atas Penerimaan Negara Bukan Pajak Dari Biaya

Penggunaan Spektrum Frekuensi Radio. Jakarta (ID): Kominfo.

[2] Matyja A. and Simiński, K. 2014. Comparison of algorithms for clustering

incomplete data. Journal Foundations of Computing and Decision Sciences 39

: 107–127.

[3] Safitri, W.D. 2015. Kajian Penggerombolan Data Tidak Lengkap Dengan

Algoritma Khusus Tanpa Imputasi [Thesis].Bogor:IPB

[4] Wagstaff, K. and Laidler V. 2005. Making the most of missing values: Object

clustering with partial data in astronomy. Proceedings of Astronomical Data

Analysis Software and Systems XIV 347: 172–176. California,USA.

[5] Yatkiv, I. and Gusarova, L. 2004. The Method of Cluster Analysis Result

Validation. Proceedings of International Conference RelStat’04part 1: 75-80.

.

667


ALGORITMA GENETIK STEADY STATE

BERDASARKAN FUNGSI PEMBOBOTAN BIAYA DAN

RELIABILITAS DALAM MENENTUKAN PERAWATAN

OPTIMAL MESIN

BUDHI HANDOKO1, YENY KRISTA FRANTY2, SRI WINARNI3

1 Departemen Statistika Jln Bandung-Sumedang km 21Jatinangor, Email:

[email protected] 2 Departemen Statistika Jln Bandung-Sumedang km 21Jatinangor, Email :

[email protected] 3 Departemen Statistika Jln Bandung-Sumedang km 21Jatinangor, Email :

sri.winarni @unpad.ac.id

Abstrak. Kegiatan Preventive Maintainance pada suatu perusahaan manufaktur adalah suatu

hal yang sangat penting guna mempertahankan masa hidup komponen/mesin dan meningkatkan

perfomansinya. Penelitian ini membahas mengenai penentuan penjadwalan pemeliharaan

preventif yang meminimumkan biaya total sekaligus memaksimumkan reliabilitas dari

komponen/mesin. Metode yang diusulkan sebelumnya menggunakan metode eksak mengalami

kendala pada proses optimasinya yaitu kompleksitas model, lamanya proses komputasi, dan

solusi yang dihasilkan bisa tidak layak diterapkan. Oleh karena itu, untuk mengatasi kelemahan

metode eksak, penelitian ini menggunakan metode optimasi Algoritma Metaheursitik yaitu

Algoritma Genetik dan Algoritma Genetik Steady State. Penelitian ini membatasi

menggunakan fungsi fitness 1 untuk analisisnya.

Untuk menyelesaikan permasalahan optimasi penjadwalan menggunakan AGSS untuk

komponen mesin freeze drying digunakan ukuran populasi 2000 karena menghasilkan nilai

variasi solusi yang cukup kecil dan siklus genetik 500 karena menghasilkan nilai konvergensi

pada biaya maupun nilai reliabilitas. Kisaran nilai reliabilitas mesin yang dihasilkan dari hasil

optimasi ini adalah antara 88% - 90% dengan kisaran biaya antara Rp. 607.130 – Rp. 1.173.000.

Apabila perusahaan menginginkan biaya perawatan yang minimum maka menggunakan bobot

w1 = 0,1 dan w2 = 0,9 dengan nilai relibilitas yang dihasilkan 88,04%, dengan tindakan

perawatan pada bulan ke-1,2,3,5,7,dan 8 serta tindakan penggantian komponen pada bulan ke-

4,6,9,dan 11. Setelah bulan ke 11, tidak ada tindakan apapun untuk semua kombinasi bobot.

Kata Kunci : Pemeliharaan Preventif, Algoritma Genetik, Optimasi Fungsi Multiobjektif

668

1. Pendahuluan

Aktivitas produksi pada perusahaan manufaktur berjalan terus menerus setiap saat

karena tuntutan dari jumlah produksi yang menjadi target perusahaan yang sangat terkait

dengan kebutuhan pasar. Mesin yang memproduksi barang pun menjadi tumpuan utama

dalam proses produksi tersebut dan bekerja 24 jam setiap hari. Masa hidup mesin pun

semakin lama akan semakin mengalami penurunan yang apabila tidak dilakukan kegiatan

pemeliharaan preventif maka bisa menyebabkan mesin mengalami kerusakan dan

mati/berhenti berproduksi. Selama mesin mati (downtime) perusahan akan mengalami

kerugian akibat tidak memproduksi barang.

Kegiatan pemeliharaan preventif menjadi sangat penting dilakukan oleh perusahaan

dalam rangka tetap mempertahankan kinerja dan masa hidup dari mesin. Kegiatan

pemeliharaan preventif ini pun biasanya dilakukan perusahaan sesuai dengan kebutuhan dan

karakteristik kerusakan dari mesin. Namun demikian, pemeliharaan preventif ataupun

penggantian komponen menjadi suatu hal yang dipertimbangkan matang-matang oleh

perusahaan terkait dengan pembiayaan yang diperlukan. Apabila pelaksanaanya tidak

dijadwalkan dengan optimal, maka biaya total yang dikeluarkan akan membengkak dan

mempengaruhi anggaran perusahaan tersebut.

Berbagai pendekatan statistik telah diusulkan untuk meminimumkan biaya total

dalam melaksanakan penjadwalan optimum mesin. Konsep optimasi yang lazim dilakukan

adalah berdasarkan fungsi tujuan yaitu meminimumkan biaya total tanpa ada fungsi kendala

yang lain. Pendekatan optimasi multiobjektif telah diusulkan oleh [1] yang mengusulkan dua

model, yaitu model optimasi yang memiliki fungsi tujuan meminimumkan biaya total dengan

nilai reliabilitas yang telah ditetapkan. Model yang lain adalah optimasi yang memiliki fungsi

tujuan memaksimumkan reliabilitas mesin dengan biaya/anggaran yang telah ditetapkan oleh

perusahaan.

Perkembangan mengenai penelitian metode optimasi dalam reliabilitas di antaranya

metode analitik, algoritma eksak, dan algoritma metahueristik.

Beberapa penelitian mengenai metode analitik yaitu [2] meneliti tentang model optimasi

pemeliharaan preventif yang memfokuskan pada beberapa fungsi kegagalan dalam

reliabilitas sistem. Hasil penelitiannya menyatakan bahwa tindakan pemeliharaan preventif

tidak mengubah atau mempengaruhi perilaku laju kerusakan. Referensi [3] membentuk

model optimasi untuk menentukan jadwal pemeliharaan preventif untuk sistem manufaktur

multi-station. Penelitian tersebut menggunakan pendekatan simulasi untuk menyelesaikan

optimasi model. Hasilnya penelitiannya bahwa fitur operasi dari stasiun produksi saling

terkait satu sama lain. Referensi [4] memaparkan dua jenis model penjadwalan pemeliharaan

preventif yang meminimumkan biaya total. Model dibentuk berdasarkan konsep Mean Time

to Failure (MTTF) dari mesin. Model pertama berdasarkan fungsi kegagalan distribusi

Weibull, sedangkan model yang kedua mengasumsikan bahwa pemeliharaan preventif dapat

mengurangi umur efektif sistem. Referensi [5] meneliti dan melakukan review terhadap

aplikasi dari beberapa proses stokastik diantaranya homogenous poisson process (HPP) dan

non-homogenous poisson process (NHPP) dalam permasalahan penjadwalan pemeliharaan

preventif. Keduanya menyarankan agar menggunakan NHPP untuk model laju kerusakan

dari sistem perbaikan. Referensi [6] membangun model optimasi nonlinier berbasis-usia

sistem untuk menentukan jadwal pemeliharaan preventif optimum untuk sistem dengan

komponen tunggal.

Penelitan mengenai algoritma eksak dilakukan oleh beberapa peneliti berikut ini. Referensi [7] memformulasikan sebuah model matematika untuk mendapatkan jadwal

produksi optimal dengan menggunakan fungsi Gaussian Poisson dengan Proses Poisson

dependen. Dalam penelitian ini, biaya total produksi dan jadwal perawatan sebagai fungsi

objektif dan menggunakan pendekatan pemrograman dinamis. Referensi [8] mengenai model

optimasi nonlinier untuk meminimumkan biaya total dari tindakan pemeliharaan dan

penggantian dengan kendala reliabilitas mesin. Dalam studi ini, fungsi kegagalan dari mesin

yang berdistribusi Weibull dapat digunakan sebagai decision support system untuk

669

penjadwalan pekerjaan. Referensi [9] menyajikan model pemrograman linier untuk

melakukan optimasi kebijakan pemeliharaan komponen dengan laju kerusakan yang bersifat

acak. Penelitian ini memberikan hasil waktu rata-rata optimal dari tindakan pemeliharaan

preventif yang memaksimumkan ketersediaan komponen. Referensi [10] membangun tiga

buah model optimasi nonlinier, yaitu model pertama meminimumkan biaya total berdasarkan

reliabilitas yang diinginkan, model kedua memaksimumkan reliabilitas dengan anggaran

yang diberikan, dan model ketiga meminimumkan ekspektasi biaya total, biaya kerusakan,

dan biaya pemeliharaan.

Algoritma Genetik sebagai pendekatan optimasi utama telah banyak disajikan dalam

jurnal-jurnal optimasi. Referensi [11] meneliti tentang sistem multi-state dengan komponen

yang memiliki tingkat performansi yang berbeda. Model tersebut meminimumkan biaya

dengan reliabilitas yang ditetapkan. Untuk melakukan analisis tersebut, mereka menerapkan

teknik fungsi pembangkit universal dan menggunakan algoritma genetik untuk menentukan

strategi pemeliharaan terbaik. Referensi [12] membangun algoritma genetik baru dengan

memodifikasi operator dasar, operator crossover dan operator mutasi pada algoritma genetik

standar. Dengan menggunakan algoritma baru ini, konvergensi akan tercapai lebih cepat dan

mencegah solusi hasil menjadi tidak layak/sesuai dengan kondisi sebenarnya. Referensi [13]

menyajikan algoritma heuristik untuk penjadwalan pemeliharaan dari sebuah sistem yang

memiliki sekumpulan komponen. Dalam penelitian ini, semua komponen diasumsikan

memiliki laju kerusakan yang meningkat dengan nilai factor peningkatan yang konstan.

Referensi [14] mengusulkan beberapa teknik untuk merepresentasikan variable-variabel

dalam model penjadwalan pemeliharaan preventif yang menggunakan algoritma optimasi

heuristic dan metaheuristik. Pendekatan ini secara empiric lebih efektif dibandingkan

pendekatan yang lain karena dapat meningkatkan akurasi dan mengurangi waktu komputasi.

Metode optimasi yang digunakan pada pendekatan yang diusulkan oleh [1] adalah

menggunakan Algoritma Eksak atau yang dikenal dengan Mixed Integer Non-Linear

Programming (MINLP). Algoritma Eksak sendiri memiliki tingkat kompleksitas yang sangat

tinggi yang menyebabkan proses pengerjaan secara komputasi menjadi lebih lama, dan bisa

jadi tidak mendapatkan solusi yang layak dan tepat.

Penelitian ini melakukan kajian metode optimasi alternatif yang bisa mengatasi

kelemahan yang muncul pada metode eksak. Metode tersebut adalah Metaheuristik yang

memiliki fungsi yang sama yaitu melakukan optimasi fungsi multiobjektif, yaitu

meminimumkan biaya total dan memaksimumkan relibilitas.

Berdasarkan latar belakang tersebut, penelitian ini memiliki tujuan yaitu melakukan

optimasi multiobjektif yang dapat meminimumkan biaya total dan dapat memaksimumkan

fungsi reliabilitas dalam rangka melakukan pemeliharaan preventif mesin menggunakan

algoritma metaheuristik.

Penelitian ini memiliki peranan dalam pengembangan keilmuan yaitu memberikan

suatu metode yang lebih mampu memberikan jaminan solusi optimasi pada model dengan

fungsi tujuan lebih dari satu. Selain itu, secara aplikasi metode ini mampu memberikan suatu

rekomendasi yang lebih lengkap kepada perusahaan manufaktur agar dapat melakukan

kegiatan pemeliharaan preventif yang lebih optimal.

670

2. Metode Penelitian

Parameter Ekonomi Teknik

Apabila diasumsikan bahwa inflasi akan meningkatkan biaya kerusakan seiring berjalannya

waktu pada tingkat inffailure persen per periode, maka dapat didefinisikan biaya kerusakan

menurut [1] komponen ke-i pada periode ke-j adalah sebagai berikut:

,' '

. 1, , ,ji i

F F X X inffailurei j i i i j i j

(1)

dengan i = 1,2,…,N ; j = 1,2,…,T.

Selanjutnya menurut [1] dimisalkan tingkat inflasi untuk pemeliharaan (infm), tingkat inflasi

untuk penggantian (infr), dan tingkat inflasi untuk biaya tetap (infz). Sehingga diperoleh

biaya dari tindakan pemeliharaan komponen ke-i pada period ke-j, sebagai berikut:

,(1 ),j

M M infmi j

(2)

,(1 ),j

R R infri j i

(3)

,1 1 1 , ,1

NjZ Z infz m rj i j i j

i

(4)

Dengan i = 1,2,…,N ; j = 1,2,…,T; mi,j dan ri,j adalah variabel biner dari tindakan

pemeliharaan dan penggantian komponen ke-i pada periode ke-j. Untuk penambahan

komponen model adalah tingkat suku bunga pada saat ini disimbolkan sebagai int.

Model Optimasi Multiobjektif

Dengan mempertimbangkan parameter ekonomi teknik pada bagian A, dapat dibentuk fungsi

objektif biaya total yang akan diminimumkan. Model optimasi multiobjektif merupakan

optimasi yang memiliki dua fungsi tujuan yang harus dilakukan optimasi secara bersamaan

yaitu meminimumkan fungsi total biaya dan memaksimumkan fungsi reliabilitas. Bentuk dari

kedua fungsi objektif menurut [1] adalah sebagai berikut:

671

,

'. 1, ,

11 (5)(1 ) . 1 ., ,1

1 1 1 , ,1

ji iF X X inffailureN i i i j i j

T ji jMin Total Cost intM infm m R infr ri i j i i jjNj

Z infz m ri j i ji

'Re exp , (6), ,

1 1

N T i iMax liability X Xi i j i j

i j

dengan:

NiiX ,...,.1;01,

)'

1,.(1,'

1,)1,1)(1,1(, jiXijimjiXjirjimjiX ; TjNi ,...,2,...,1

J

T

jiXjiX ,',

; TjNi ,...,1,...,1

1,, jirjim ; TjNi ,...,1,...,1

10,,, ataujirjim ; TjNi ,...,1,...,1

0',,, jiXjiX ; TjNi ,...,1,...,1

Algoritma Genetik

Algoritma Genetik (AG) diusulkan oleh John Holland (1975). Algoritma ini merupakan

teknik pencarian dengan menggunakan komputasi untuk mendapatkan solusi optimasi baik

eksak maupun aproksimasi. Algoritma ini dikategorikan sebagai pencarian global

metaheuristik.

Kelebihan AG adalah dapat secara simultan menemukan wilayah pada ruang solusi yang

memungkinkan dapat menemukan solusi untuk masalah yang sulit dengan ruang solusi yang

non-konveks, diskontinu, dan multimodal.

Langkah-langkah:

1. Membentuk encoding dari solusi

2. Pemeliharaan dan Penggantan Preventif Berperan Sebagai “kromosom”.

3. Kromosom berupa array berukuran N x T, dengan N = banyak komponen, T = periode.

4. Array akan berisi nilai 0 (tanpa tindakan), 1 (tindakan perawatan), atau 2 (tindakan

perbaikan) bergantung kepada tiga macam tindakan tersebut.

5. Menentukan fungsi kecocokan (Fitness function)

𝐹𝑖𝑡𝑛𝑒𝑠𝑠1 = 𝑤1(𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐶𝑜𝑠𝑡

𝐶𝑜𝑠𝑡max) + 𝑤2(−𝑟𝑒𝑙𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦) (7)

Fungsi kecocokan digunakan untuk menentukan jenis optimasi yang dilakukan.

Dengan menggunakaan Fitness 1, maka optimasi dilakukan dengan

mempertimbangkan bobot antara biaya dan reliabilitas.

6. Melakukan prosedur mutasi.

672

7. Mendapatkan solusi optimasi.

Prosedur Mutasi

Prosedur mutasi diterapkan pada solusi dari “keturunan”. Dengan langkah sebagai berikut:

1. Bangkitkan bilangan acak antara 1 s.d. N x T.

2. Kemudian tandai “gen” yang berubah menjadi 1 atau 2 jika sama dengan 0, atau

berubah ke 0 jika sama dengan 1 atau 2.

3. Lakukan langkah yang sama pada periode yang sama untuk komponen yang lain.

Algoritma Genetik Steady State

Generalisasi dari AG adalah Algoritma Genetik Steady State (AGSS) yang mengganti

keseluruhan populasi pada setiap generasi. AGSS menggunakan dua populasi pada tahap

“reproduksi”. Menurut [15] dan [11] bentuk algoritma AGSS adalah sebagai berikut:

1. Hasilkan nilai awal P.

2. Tentukan nilai kecocokan keanggotaan P.

3. Lakukan iterasi dengan algoritma GA jika kondisi belum terpenuhi dan kondisi

penghentian siklus genetik belum terpenuhi:

i. Buat “keturunannya” dari “orang tua” terpilih.

ii. Mutasikan keturunan yang terbentuk dengan peluang pmutasi.

iii. Tentukan nilai kecocokan dari solusi baru yang dihasilkan.

iv. Gantikan solusi baru yang dihasilkan dengan solusi terburuk dalam P jika nilai

kecocokannya lebih baik daripada nilai kecocokan dari solusi terburuk.

v. Buang solusi yang indentik dalam P.

4. Perbarui nilai P dengan solusi baru yang dihasilkan.

3. Hasil dan Pembahasan

Algoritma Genetik Steady State diimplementasikan dalam suatu pemeliharaan

komponen mesin Freeze Drying sub Mesin A. Mesin ini digunakan untuk membuat vaksin.

Data kerusakan komponen mesin Freeze Drying dari Juni 2010 sampai Januari 2015 seperti

diperoleh oleh [16].

Setelah diuji distribusinya, waktu kerusakan berdistribusi Weibull dengan parameter

= 1,8283 dan =3202,143. Sedangkan waktu perbaikan berdistribusi eksponensial

dengan 0037,0ˆ . Nilai biaya yang diperoleh dari perusahaan pengguna mesin tersebut

yaitu biaya kerusakan Rp. 11.390.000, biaya perawatan Rp. 3.171.000, biaya penggantian

komponen Rp. 4.393.000, dan biaya tetap sebesar Rp. 4.050.000. Menurut [16], parameter

ekonomi teknik untuk inflasi dari tahun 2010 -2015 rata-rata 6,31% dan tingkat inflasi rata-

rata 6,72%.

Algoritma Genetik Steady State menggunakan nilai parameter yaitu siklus genetik

500, ukuran populasi 2000, dan peluang mutasi 0,5. Nilai gen dikodekan 0 (mencerminkan

tanpa tindakan), 1 (tindakan perawatan), dan 2 (tindakan penggantian komponen). Analisis

menggunakan fungsi fitness 1 yaitu menggunakan pembobotan antara biaya dengan

reliabilitas.

Hasil perhitungan secara komputasi menggunakan software. Diperoleh nilai

konvergensi biaya tercapai pada jumlah generasi 130 dengan nilai total biaya yang diperlukan

berkisar pada nilai Rp. 690.000 seperti tampak pada Gambar 1.

673

Gambar 1. konvergensi biaya berdasarkan jumlah iterasi

GAMBAR 2. konvergensi reliabilitas berdasarkan jumlah iterasi

Berdasarkan Gambar 2, terlihat bahwa nilai reliabilitas mulai stabil pada jumlah iterasi

ke 130 dengan nilai reliabilitas berkisar pada nilai 89%. Hal ini berarti jumlah iterasi dalam

AGSS bisa digunakan mulai pada jumlah iterasi 130 untuk menghitung nilai biaya dan

reliabilitas yang dihasilkan berdasarkan RR yang diinginkan.

Tabel 1. Solusi Optimal Penjadwalan Pemeliharaan Preventif Dengan

Menggunakan Fungsi Fitness 1

W

1

W

2

Biaya (dalam Reliabilit

as

Jadwal Preventif Maintainance (Bulan ke-)

ribuan

rupiah) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

0

1

1

1

2

1

3

1

4

1

5

0,

0

1,

0 735,89 0,8841 - R M R R M R R M - R - - - -

0,

1

0,

9 607,13 0,8804 M M M R M R M M R - R - - - -

674

0,

2

0,

8 761,27 0,8886 M R - R M R R M - R R - - - -

0,

3

0,

7 955,14 0,9003 R M R R M R - R - M R - - - -

0,

4

0,

6 740,61 0,9013 R M - R R - R M R M R - - - -

0,

5

0,

5 1001,00 0,8973 M - R M R R - R R M R - - - -

0,

6

0,

4 1126,10 0,9018 M R M M M M R M R - R - - - -

0,

7

0,

3 1173,00 0,9096 M - R R - R M R M R R - - - -

0,

8

0,

2 898,20 0,8790 R - R R M M M

R - R R - - - -

0,

9

0,

1 1101,60 0,8918 M R M M M M R M R -

R - - - -

1,

0

0,

0 898,52 0,8928 R M R M R R -

M R -

R - - - -

Keterangan : M = Tindakan perawatan ; R =Tindakan penggantian ; ‘ – ‘ : Tidak ada tindakan

Tabel 1 merupakan solusi optimal penjadwalan yang bisa dilakukan untuk melakukan

pemeliharaan preventif untuk komponen freeze drying. Untuk RR = 60% belum ada tindakan

preventive maintainace yang perlu dilakukan. Pembobotan W1 = 0,7 dan W2 = 0,3

menghasilkan nilai reliabilitas paling tinggi. Sedangkan nilai cost terendah diperoleh pada

saat W1 = 0,1 dan W2 = 0,9, yaitu Rp. 607.130. Tindakan yang dilakukan pada bulan ke-11

untuk semua pembobotan adalah tindakan penggantian komponen. Sedangkan setelah itu

tidak perlu dilakukan tindakan apapun.

4. Simpulan dan Saran

Berdasarkan hasil analisis, dapat disimpulkan dan saran yang dapat disampaikan

beberapa hal sebagai berikut:

Simpulan

1. Permasalahan optimasi penjadwalan diselesaikan dengan menggunakan AGSS untuk

komponen mesin freeze drying. Digunakan ukuran populasi 500, siklus genetik 100

karena menghasilkan nilai variasi solusi yang cukup kecil dan jumlah iterasi 130

karena menghasilkan nilai konvergensi pada biaya maupun nilai reliabilitas.

2. Variasi pembobotan menghasilkan nilai total cost berkisar pada total biaya Rp.

900.000 dan nilai reliabilitas 89,5%.

3. Kecenderungan penjadwalan bervariasi dengan adanya tindakan perawatan dan

penggantian komponen mesin. Namun pada bulan ke-11 dilakukan penggantian

komponen dan setelah itu tidak ada tindakan perawatan sampai bulan ke-15.

Saran

Penelitian lanjutan yang bisa dilakukan adalah melakukan analisis sensitivitas

terhadap hasil yang telah diperoleh untuk mengetahui sejauh mana penjadwalan yang

dibentuk dapat tetap bertahan pada batasan-batasan tertentu.

Pernyataan terima kasih. Ucapan terima kasih kami sampaikan kepada Fakultas

MIPA Unpad yang telah memberikan pendanaan untuk pelaksanaan seminar ini.

675

Referensi

[1] Moghaddam, Preventive maintenance and replacement scheduling : models

and algorithms. Electronic Theses and Dissertations, 2010 ,University of

Louisville

[2] Canfield, R.V., Cost optimization of periodic preventive maintenance, IEEE

Transactions on Reliability, v R-35, n 1, April 1986, p 78-81.

[3] Hsu, L.F., Optimal preventive maintenance policies in a serial production

system, International Journal of Production Research, v 29, n 12,

December1991, p 2543-2555.

[4] Jayabalan, V., Chaudhuri, D., Cost optimization of maintenance scheduling for

a system with assured reliability, IEEE Transactions on Reliability, v 41, n 1,

March 1992, p 21-25.

[5] Fard, N.S., Nukala, S., Preventive maintenance scheduling for repairable

systems, IIE Annual Conference and Exhibition 2004, 15-19 May 2004,

Houston,TX, USA, p 145-150.

[6] Shirmohammadi, A.H., Zhang, Z.G., Love, E., A computational model for

determining the optimal preventive maintenance policy with random

breakdowns and imperfect repairs, IEEE Transactions on Reliability, v 56, n 2,

June 2007, p 332-339.

[7] Westman, J.J., Hanson, F.B., Boukas, E.K., Optimal production scheduling for

manufacturing systems with preventive maintenance in an uncertain

environment, Proceedings of American Control Conference, 25-27 June 2001,

Arlington, VA, USA, p 1375-1380 vo1.2.

[8] Han, B.J., Fan, X.M., Ma, D.Z., Optimization of preventive maintenance policy

of manufacturing equipment based on simulation, Computer Integrated

Manufacturing Systems, v 10, n 7, July 2004, p 853-857.

[9] Jayakumar, A, Asagarpoor, S., Maintenance optimization of equipment by

linear programming, International Conference on Probabilistic Methods

Applied to Power Systems, 12-16 September 2004, p 145-149.

[10] Tam, AS.B., Chan, W.M., Price, J.W.H., Optimal maintenance intervals for

multi-component system, Production Planning and Control, v 17, n

8.December 2006, p 769-779.

[11] Levitin, G., Lisnianski, A., Optimal replacement scheduling in multistate series-

parallel systems, Quality and Reliability Engineering International,v 16, n 2,

March 2000, p 157-162.

[12] Wang, Y., Handschin, E., A new genetic algorithm for preventive unit

maintenance scheduling of power systems, International Journal of Electrical

Power and Energy Systems, v 22, n 5, June 2000, p 343-348.

[13] Duarte, J.A.C., Craveiro, J.C.T.A., Trigo, T.P., Optimization of the preventive

maintenance plan of a series components system, International Journal of

Pressure Vessels and Piping, v 83, n 4, April 2006, p 244-248.

[14] Limbourg, P., Kochs, H.D., Preventive maintenance scheduling by variable

dimension evolutionary algorithms, International Journal of Pressure Vessels

and Piping, v 83, n 4, April 2006, p 262-269.

[15] Goldberg, D., (1989) Genetic Algorithms in Search, Optimization, and

Machine Learning, Addison-Wesley Publishing, Reading, MA, USA

[16] Aprilia, N., (2015) Menentukan Jadwal Preventive Maintainance Mesin

Freeze Drying yang Meminimumkan Biaya Total atau Memaksimalkan

Reliabilitas Menggunakan Model Kamran, Departemen Statistika FMIPA

676

Unpad.

[17] Bank Indonesia (2015), Laporan Tahunan Pertumbuhan Ekonomi Indonesia.

Jakarta.

677


PENGELOMPOKAN DAERAH RAWAN BENCANA

BANJIR DI INDONESIA TAHUN 2013 MENGGUNAKAN

FUZZY C-MEAN

AMANDA PUTRI PERTIWI1, ROBERT KURNIAWAN2

1,2 Jurusan Komputasi Statistik, Sekolah Tinggi Ilmu Statistik (STIS) - Jakarta,

[email protected]

Abstrak. Penelitian ini menggunakan analisis fuzzy c-means clustering yang

merupakan pengembangan dari fuzzy clustering dengan c partisi untuk

menganalisis bencana banjir di 33 provinsi di Indonesia pada tahun 2013.

Jumlah kejadian banjir, jumlah korban meninggal, dan jumlah bangunan tempat

tinggal serta luas lahan yang rusak akibat banjir digunakan sebagai variabel

dalam mengelompokkan wilayah berdasarkan tingkat risikonya terhadap banjir.

Dilakukan perbandingan index validitas antar hasil pengelompokkan dengan

berbagai nilai fuzzifier (m=1,5; 2,0; 2,5; dan 3) dan jumlah kelompok (c= 2 dan

3). Hasil pengelompokkan terbaik didapatkan dengan menetapkan nilai m=1,5

dan c=3 (Rawan Bencana Tinggi, Sedang, dan Rendah). Provinsi yang masuk

ke dalam kelompok Rawan Bencana Tinggi adalah Aceh, Jawa Barat, Jawa

Tengah, Jawa Timur, Banten, dan Sulawesi Selatan. Provinsi yang masuk ke

dalam kelompok Rawan Bencana Sedang adalah Riau, Nusa Tenggara Barat,

Kalimantan Tengah, dan Sulawesi Tenggara. Dua puluh tiga provinsi lainnya

masuk ke dalam kelompok Rawan Bencana Rendah.

Kata kunci : Fuzzy C-Means; Banjir; Pengelompokan; Clustering.

1. Pendahuluan

Indonesia merupakan negara kepulauan yang terletak di sekitar garis

khatulistiwa. Secara geografis, Indonesia terletak pada pertemuan empat lempeng

tektonik. Wilayah Indonesia juga terletak di daerah iklim tropis dengan dua musim

yaitu panas dan hujan dengan ciri-ciri adanya perubahan cuaca, suhu dan arah angin

yang cukup ekstrim. Kondisi iklim tersebut digabungkan dengan kondisi topografi

permukaan dan batuan yang relatif beragam, baik secara fisik maupun kimiawi,

menghasilkan kondisi tanah yang subur. Sebaliknya, kondisi itu dapat menimbulkan

beberapa akibat buruk bagi manusia seperti terjadinya bencana hidrometeorologi

seperti banjir, tanah longsor, kebakaran hutan dan kekeringan. Seiring dengan

berkembangnya waktu dan meningkatnya aktivitas manusia, kerusakan lingkungan

hidup semakin parah dan memicu meningkatnya jumlah kejadian dan intensitas

bencana hidrometeorologi yang terjadi secara silih berganti di Indonesia [1].

Di samping potensi sumber daya alam yang kaya karena kondisi

geografisnya, Indonesia juga menjadi rentan akan bencana alam. Dalam World Risk

Report 2016 yang diterbitkan oleh United Nation University, Indonesia masuk dalam

kategori high risk dengan menduduki peringkat ke 36 dari 171 negara berdasarkan

indeks risiko terhadap bencana [2]. Jika ditelurusi beberapa tahun ke belakang,

perkembangan jumlah kejadian bencana alam yang terjadi di Indonesia sejak tahun


678

2000 hingga 2013 secara umum menunjukkan tren yang cenderung meningkat.

Meskipun terdapat penurunan yang cukup besar di tahun 2013, namun jumlah

kejadian tersebut masih tergolong tinggi jika dibandingkan dengan awal abad 21,

yakni mencapai sepuluh kali lipatnya. Seiring dengan jumlah kejadian terssebut,

perkembangan jumlah korban jiwa serta kerusakan bangunan dan lahan akibat

bencana alam cenderung fluktuatif namun menunjukkan jumlah yang cukup tinggi.

Secara keseluruhan, tidak kurang dari 300 jiwa menjadi korban bencana alam hampir

di setiap tahunnya. Tidak hanya itu, pada tahun 2008 hingga 2013, lebih dari 47.000

unit bangunan rumah, 800 unit fasilitas umum, serta 60.000 Ha lahan rusak akibat

bencana alam setiap tahunnya [3].

Di antara berbagai bencana alam yang terjadi sejak tahun 2000

hingga 2015, data BNPB menunjukkan bahwa banjir menjadi bencana alam yang

paling banyak terjadi dan mengakibatkan kerusakan cukup besar. Bahkan dalam

kurun waktu 2011 hingga 2015, data BNPB juga menunjukkan bahwa banjir

berkontribusi menghasilkan sebesar 66 persen kerusakan lahan dan 42 persen

kerusakan fasilitas umum dari total kerusakan akibat bencana alam. Dari rentang

waktu tersebut, tahun 2013 merupakan tahun dengan frekuensi kejadian banjir

tertinggi dan satu-satunya tahun dimana banjir terjadi di seluruh provinsi di

Indonesia [3].

Jika ditelurusi kejadian banjir di tahun 2013, beberapa

diantaranya memakan korban jiwa dan menyebabkan kerugian yang tidak sedikit.

Salah satunya adalah banjir yang melanda Provinsi DKI Jakarta pada Januari 2013

lalu yang menyebabkan 14 orang meninggal [4], 14.300 warga terpaksa mengungsi

[5] dan kerugian ekonomi mencapai 1 triliun rupiah [6]. Tingginya risiko bencana

alam menuntut pemerintah untuk dapat memberikan perlindungan kepada

masyarakat dari ancaman bencana. Hal ini sesuai dengan tujuan adanya

penanggulangan bencana menurut Undang-Undang Nomor 24 Tahun 2007 tentang

Penanggulangan Bencana [7]. Beberapa bentuk kegiatan perencanaan

penanggulangan bencana menurut PP Nomor 21 Tahun 2008 tentang

Penyelenggaraan Penanggulangan Bencana Pasal 6 ayat (3) di antaranya adalah

kegiatan analisis kemungkinan dampak bencana dan pilihan tindakan pengurangan

risiko bencana [8].

Kompleksitas penyelenggaran penanggulangan bencana

memerlukan suatu penataan dan perencanaan yang matang, terarah dan

terpadu.Pemaduan dan penyelarasan arah penyelenggaraan penanggulangan

bencana pada suatu kawasan membutuhkan dasar yang kuat dalam pelaksanaannya.

Hal ini dapat dilakukan melalui kajian risiko bencana [9].

Waluyo Yogo Utomo dkk [10] melakukan analisis potensi

rawan dan risiko bencana banjir dan longsor dengan memetakan kota/kabupaten di

Jawa Barat ke dalam lima tingkatan rawan dan risiko banjir dan longsor

menggunakan data BNPB tahun 2011 hingga 2012. Bambang Budi Utomo dan Rima

Dewi Supriharjo [11] melakukan pemetaan zona risiko banjir bandang di wilayah

kawasan Kali Sampean, Kabupaten Bondowoso, Jawa Timur ke dalam lima

tingkatan kelas. Sergii Skakun dkk [12] dalam penelitiannya memetakan daerah

risiko banjir menggunakan citra satelit frekuensi relatif genangan selama kurun

waktu tahun 1989 hingga 2012.

Berbeda dengan penelitian yang dilakukan oleh Junei Chen dkk [13] yang

menganalisis risiko bencana banjir di Cina tahun 2008. Metode fuzzy clustering

digunakan untuk memetakan 30 provinsi di Cina ke dalam lima tingkatan

berdasarkan risikonya terhadap banjir. Variabel yang digunakan dalam penelitiannya

679

antara lain luas area terpapar, jumlah korban meninggal, jumlah rumah yang rusak,

dan kerugian ekonomi yang diakibatkan oleh banjir.

Penelitian Utomo & Rima D. S.[11], Skakun dkk [12], serta Chen dkk [13]

tersebut menunjukkan bahwa analisis mengenai risiko bencana umumnya

berkaitanan dengan pemetaan suatu wilayah berdasarkan kerentanan atau risikonya

terhadap bencana. Soleman dkk [14] dalam penelitiannya menyebutkan bahwa peta

merupakan sarana yang paling tepat untuk menyajikan informasi-informasi yang

berkaitan dengan lokasi dan sebaran terhadap bencana alam sehingga dapat

dilakukan tindakan penanggulangan bencana alam secara komprehensif. Selain itu,

dalam RPJP 2005-2025, disebutkan bahwa identifikasi dan pemetaan daerah-daerah

rawan bencana perlu ditingkatkan agar bencana dapat diantisipasi secara dini [15].

Kajian risiko bencana menjadi perangkat untuk menilai

kemungkinan dan besaran kerugian akibat ancaman yang ada. Dengan mengetahui

hal tersebut, fokus perencanaan dan keterpaduan penyelenggaraan penanggulangan

bencana menjadi lebih efektif [9]. Pada tatanan pemerintah, hasil dari pengkajian

risiko bencana digunakan sebagai dasar untuk menyusun kebijakan penanggulangan

bencana [16]. Dengan demikian, diperlukan kajian risiko bencana di Indonesia untuk

mendukung upaya-upaya pemerintah dalam hal perencanaan penanggulangan

bencana. Oleh karena itu, dengan mengacu pada penelitian terdahulu, penelitian ini

bertujuan untuk mengelompokkan 33 provinsi di Indonesia dengan metode FCM

serta menginvestigasi pola pengelompokannya berdasarkan variabel pembentuknya.

2. Metodologi

2.1 Sumber Data dan Variabel Penelitian

Data yang digunakan merupakan data sekunder yang bersumber dari Badan

Nasional Penanggulangan Bencana (BNPB) tahun 2013. Variabel yang digunakan

dalam penelitian ini merupakan variabel yang mewakili kerugian materiel dan

nonmateriel yang diakibatkan oleh bencana banjir. Variabel-variabel tersebut adalah:

V1: Jumlah Kejadian Banjir

V2: Jumlah Korban Meninggal

V3: Luas Lahan Rusak

V4: Jumlah Rumah Rusak

2.2 Fuzzy C-Means (FCM)

Metode fuzzy clustering, telah banyak diaplikasikan untuk mengelompokkan

suatu data berdasarkan kesamaan/kemiripan yang dimiliki oleh suatu wilayah. FCM,

sebagai salah satu jenis fuzzy clustering yang paling umum digunakan, merupakan

suatu teknik pengkelompokan yang didasarkan pada logika fuzzy. Hal ini berarti

keberadaan tiap-tiap titik data dalam suatu kelompok ditentukan oleh derajat

keanggotaannya. Banyak peneliti terdahulu yang telah menerapkan FCM ke dalam

berbagai bidang permasalahan, beberapa diantaranya adalah Balafar (2014) [26]; Yu

et.al (2014) [27]; dan Ozer (2005) [28]. FCM merupakan metode pengelompokkan

yang pertama kali ditemukan oleh Dunn [17] dan dikembangkan oleh Bezdek [18].

Berikut adalah algoritma FCM:

1. Menentukan nilai dari banyak kelompok (c), fuzzifier (m), maksimum iterasi

(MaxIter), perubahan nilai fungsi objektif terkecil yang diharapkan (ε),

fungsi objektif awal (P0=0), dan iterasi awal (t=1). Maksimum iterasi

ditetapkan untuk membatasi jumlah pengulangan dalam proses

pengelompokkan sehingga terhindar dari pengulangan yang tidak terhingga.

Jumlah iterasi menentukan lama proses pengelompokkan;

680

2. Membangkitkan bilangan acak 𝑢𝑖𝑘 sebagai elemen-elemen awal matriks

keanggotaan awal U, dimana i adalah banyak data dan k adalah banyak

kelompok;

3. Menghitung pusat kelompok ke-i dengan persamaan

𝑝𝑖 =∑ (𝑢𝑖𝑘)

𝑚𝑋𝑘𝑁𝑘=1

∑ (𝑢𝑖𝑘)𝑚𝑁

𝑘=1

(1)

dimana 𝑢𝑖𝑘 adalah nilai keanggotaan objek ke-k pada kelompok ke-i, 𝑋𝑘

adalah objek data ke-k, N adalah banyak objek penelitian, dan m adalah

fuzzifier;

4. Menghitung fungsi objektif pada iterasi ke-t dengan persamaan

𝐽(𝑃, 𝑈, 𝑋, 𝑐,𝑚) = ∑ ∑ (𝑢𝑖𝑘)𝑚𝑑𝑖𝑘

2 (𝑋𝑘, 𝑝𝑖)𝑁𝑘=1

𝑐𝑖=1

(2)

dimana 𝑑𝑖𝑘2 (𝑋𝑘 , 𝑝𝑖) adalah jarak kuadrat antara vektor pengamatan ke-k

dengan pusat kelompok ke-i;

5. Menghitung perubahan matriks keanggotaan dengan persamaan

𝑢𝑖𝑘 =1

∑ (𝑑𝑖𝑘2

𝑑𝑗𝑘2 )

1𝑚−1

𝑐𝑗=1

(3)

dimana 𝑑𝑖𝑘2 adalah jarak kuadrat antara objek ke-k dengan pusat kelompok

ke-i, 𝑑𝑗𝑘2 adalah jarak kuadrat antara objek ke-k dengan pusat kelompok ke-

j;

6. Cek kondisi berhenti

Jika |𝐽𝑡 − 𝐽𝑡−1| < 휀 atau 𝑡 > 𝑀𝑎𝑥𝐼𝑡𝑒𝑟, maka berhenti;

Jika tidak t=t+1, ulangi langkah ke-3.

2.3 Indeks Validitas

Beberapa indeks validitas yang sering digunakan dalam penelitian-penelitian adalah:

1. Partition Coefficient (PC)

Indeks ini mengukur jumlah tumpang tindih antarkelompok dan dirumuskan

oleh Bezdek sebagai berikut [19]:

𝑃𝐶(𝑐) =1

𝑁∑ ∑ 𝑢𝑖𝑘

2𝑁𝑘=1

𝑐𝑖=1

(4)

dimana N adalah banyak objek penelitian, c adalah banyak kelompok, dan

𝑢𝑖𝑘 adalah nilai keanggotaan objek ke-k dengan pusat kelompok ke-i. Indeks

ini memiliki rentang 1/c sampai 1. Jumlah kelompok yang optimal

ditunjukkan oleh nilai PC yang paling besar.

681

2. Classification Entropy (CE)

CE hanya mengukur kekaburan (fuzziness) dari partisi kelompok. Indeks ini

dirumuskan sebagai berikut [20]:

𝐶𝐸(𝑐) = −1

𝑁∑ ∑ 𝑢𝑖𝑘 ln (𝑢𝑖𝑘)

𝑁𝑘=1

𝑐𝑖=1

(5)

dimana N adalah banyak objek penelitian, c adalah banyak kelompok, dan

𝑢𝑖𝑘 adalah nilai keanggotaan objek ke-k dengan pusat kelompok ke-i. Indeks

ini memiliki rentang 0 sampai ln(c). Indeks CE yang semakin kecil

menunjukkan pengelompokan yang lebih baik.

3. Partition Index (PI)/Separation and Compactness (SC)

PI merupakan rasio antara jumlah kepadatan dan pemisahan kelompok-

kelompok. Indeks ini dihitung sebagai berikut [21]:

𝑃𝐼(𝑐) = ∑∑ (𝑢𝑖𝑘)

𝑚‖𝑥𝑘−𝑣𝑖‖2𝑁

𝑘=1

𝑁𝑖∑ ‖𝑣𝑗−𝑣𝑖‖2𝑐

𝑗=1

𝑐𝑖=1

(6)

dimana N adalah banyak objek penelitian, 𝑁𝑖 adalah banyak objek penelitian

kelompok ke-i, c adalah banyak kelompok, 𝑢𝑖𝑘 adalah nilai keanggotaan

objek ke-k densgan pusat kelompok ke-i, m adalah fuzzifier, ‖𝑥𝑘 − 𝑣𝑖‖

adalah jarak euclidean titik data (𝑥𝑘) dengan pusat kelompok 𝑣𝑖, dan

‖𝑣𝑗 − 𝑣𝑖‖ jarak euclidean antar pusat kelompok. Nilai SC yang rendah

mengindikasikan partisi kelompok yang lebih baik.

4. Fukuyama Sugeno Index (FS)

Fukuyama dan Sugeno merumuskan indeks ini sebagai berikut [22]:

𝐹𝑆(𝑐) = ∑ ∑ (𝑢𝑖𝑘)𝑚‖𝑥𝑘 − 𝑣𝑖‖

2𝑁𝑘=1

𝑐𝑖=1 − ∑ ∑ (𝑢𝑖𝑘)

𝑚‖𝑣𝑖 − ��‖2𝑁

𝑘=1𝑐𝑖=1 (7)

dimana N adalah banyak objek penelitian, c adalah banyak kelompok, 𝑢𝑖𝑘

adalah nilai keanggotaan objek ke-k dengan pusat kelompok ke-i, m adalah

fuzzifier, ‖𝑥𝑘 − 𝑣𝑖‖ adalah jarak euclidean titik data (𝑥𝑘) dengan pusat

kelompok 𝑣𝑖, ‖𝑣𝑗 − 𝑣𝑖‖ adalah jarak euclidean pusat kelompok 𝑣𝑖 dengan

ratarata pusat kelompok. Nilai FS yang rendah mengindikasikan partisi

kelompok yang lebih baik.

5. Xie and Beni’s Index (XB)

XB bertujuan untuk menghitung rasio total variasi di dalam kelompok dan

pemisahan kelompok yang dirumuskan sebagai berikut [23]:

𝑋𝐵(𝑐) =∑ ∑ (𝑢𝑖𝑘)

𝑚‖𝑥𝑘−𝑣𝑖‖2𝑁

𝑘=1𝑐𝑖=1

𝑁𝑚𝑖𝑛𝑖,𝑘‖𝑣𝑘−𝑣𝑖‖2

(8)

dimana N adalah banyak objek penelitian, c banyak kelompok, 𝑢𝑖𝑘 adalah

nilai keanggotaan objek ke-k dengan pusat kelompok ke-i. m adalah

fuzzifier, ‖𝑥𝑘 − 𝑣𝑖‖ adalah jarak euclidean titik data (𝑥𝑘) dengan pusat

kelompok 𝑣𝑖, dan ‖𝑣𝑘 − 𝑣𝑖‖ adalah jarak euclidean antar pusat kelompok.

Nilai XB yang rendah mengindikasikan partisi kelompok yang lebih baik.

682

6. Modified Partition Coefficient (MPC)

Indeks ini diajukan oleh Dave (1996) untuk mengatasi kekurangan PC dan

CE. Nilai PC dan CE memiliki kecenderungan berubah secara monoton

seiring dengan berubahnya nilai c (Wang dan Zhang, 2007). Indeks ini

dirumuskan sebagai berikut [24]:

𝑀𝑃𝐶(𝑐) = 1 −𝑐

𝑐−1(1 − 𝑃𝐶)

(9)

dimana c adalah banyak kelompok dan PC adalah indeks PC. Pengolahan

data menggunakan aplikasi yang dibangun oleh peneliti dengan aplikasi R

dan berbagai modifikasi.

7. Kwon’s Index (Kwon)

Indeks ini dikembangkan oleh S. H. Kwon [25] untuk mengatasi nilai indeks

validitas yang monoton turun ketika jumlah klaster semakin besar dan

semakin mendekati jumlah elemen data. Indeks Kwon juga efektif untuk

mengatasi nilai indeks yang menurun seiring dengan meningkatnya nilai

fuzzifier. Indeks ini merupakan modifikasi dari XB dengan

mempertimbangkan nilai data. Serupa dengan XB, semakin kecil nilai

indeks Kwon maka semakin baik pula partisi klaster yang dihasilkan. Indeks

Kwon dirumuskan sebagai berikut:

𝐾𝑤𝑜𝑛(𝑐) =∑ ∑ (𝑢𝑖𝑘)

𝑚‖𝑋𝑘−𝑣𝑖‖2𝑁

𝑘=1𝑐𝑖=1 +

1

𝑐∑ ‖𝑣𝑖−��‖

2𝑐𝑖=1

𝑚𝑖𝑛𝑖≠𝑘‖𝑣𝑘−𝑣𝑖‖2

(10)

dimana N adalah banyak objek penelitian, c adalah banyak klaster, 𝑢𝑖𝑘

adalah nilai keanggotaan objek ke-k dengan pusat klaster ke-i, m adalah

fuzzifier, ‖𝑋𝑘 − 𝑣𝑖‖ adalah jarak euclidean titik data (𝑋𝑘) dengan pusat

klaster 𝑣𝑖, ‖𝑣𝑗 − ��‖ adalah jarak euclidean pusat klaster 𝑣𝑖 dengan rata-rata

pusat klaster, dan ‖𝑣𝑘 − 𝑣𝑖‖ adalah jarak euclidean antar pusat klaster.


3.1 Analisis Deskriptif

Peta dibawah ini adalah gambaran dari variabel jumlah kejadian banjir yang

ada di Indonesia pada tahun 2013.

Gambar 1. Peta Indonesia Jumlah Kejadian Banjir Tahun 2013

Berdasarkan gambar 1 diatas dapat dilihat bahwa kejadian banjir yang paling

683

sering terjadi ada di pulau Jawa. Dan di tahun 2013 banjir paling banyak terjadi di

Provinsi Jawa Timur dan Jawa Barat

Gambar 2. Peta Indonesia tentang Jumlah Kematian yang terjadi akibat Banjir Tahun

2013.

Berdasarkan gambar 2 dijelaskan bahwa kejadian banjir mengakibatkan

korban yang tidak sedikit. Korban banjir yang mengalami kematian paling banyak

pada tahun 2013 terjadi pada provinsi Jawa Timur.

Gambar 3. Peta Indonesia Terkait Krusakan Lahan Akibat Banjir Tahun 2013.

Gambar 3 menggambarkan bahwa banjir tidak hanya mengakibatkan

kehilangan nyawa manusia, tetapi juga mengakibatkan kerusakan lahan. Kerusakan

lahan disini adalah kerusakan lahan pertanian dan non pertanian. Provinsi yang

paling banyak mengalami kerusakan lahan yang diakibatkan banjir yaitu Provinsi

Sulawesi Selatan. Kerusakan lahan juga terjadi di Provinsi Aceh dan beberapa

provinsi di Pulau Jawa.

Gambar 4. Peta Indonesia tentang Kerusakan Rumah yang diakibatkan Bencana Banjir

tahun 2013.

684

Berdasarkan gambar 4 diatas, dapat dilihat bahwa kerusakan rumah akibat

bencana banjir. Provinsi yang paling banyak mengalami kerusakan rumah dan

bangunan adalah Provinsi Riau, Provinsi Jawa Timur dan Provinsi Nusa Tenggara

Barat.

3.2 Clustering

Pengolahan dengan metode FCM membutuhkan nilai parameter jumlah

kelompok (c), fuzzifier (m), expected objective function improvement (e), seed, dan

maximum iteration (MaxIter) yang sudah ditetapkan sebelumnya. Untuk

mendapatkan hasil pengelompokkan terbaik, pada penelitian ini akan dilakukan

percobaan pengolahan dengan berbagai jumlah kelompok dan fuzzifier. Jumlah

kelompok yang umum digunakan pada berbagai penelitian adalah 2 dan 3 kelompok.

Sementara itu, Bezdek (1984) dalam [18] mengatakan bahwa nilai fuzzifier pada

rentang 1.5 ≤ 𝑚 ≤ 3.0 memberikan hasil yang baik pada mayoritas data. Sehingga

pada penelitian ini digunakan nilai fuzzifier 1,5; 2,0; 2,5; dan 3,0. Sementara itu, pada

parameter lain digunakan nilai yang sama, yaitu e= 0.00001, seed= 1, dan MaxIter=

100. Hasil berbagai percobaan pengelompokkan tersebut kemudian dibandingkan

indeks validitasnya seperti pada tabel 1.

Tabel 1. Indeks validitas FCM dua dan tiga klaster

c M PC MPC CE FS PI XB Kwon

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

2

1.5 0.890039 0.780077 0.177496 1.12058 1.61E+08 0.310604 8.676742

2 0.773577 0.547155 0.360748 1.193975 1.29E+08 0.296236 10.08721

2.5 0.680632 0.361263 0.487115 1.125323 1.07E+08 0.266073 12.5311

3 0.622819 0.245639 0.558863 0.923614 81787478 0.220284 14.81599

3

1.5 0.894681 0.842021 0.196044 -1.77961 1.32E+08 0.223068 5.965678

2 0.750988 0.626482 0.4638 -1.58787 1.07E+08 0.16801 6.099755

2.5 0.623411 0.435116 0.675249 -1.11692 69503626 0.119455 7.153915

3 0.534427 0.301641 0.811915 -0.67046 33447815 0.080639 8.526859

Sumber: Hasil Pengolahan Data

Hasil tabel 1 menunjukkan bahwa empat dari tujuh indeks menunjukkan

pengelompokkan terbaik pada nilai fuzzifier 1.5 dan jumlah kelompok 3. Didapatkan

hasil seperti pada tabel 2.

Tabel 2. Hasil Pengelompokan Provinsi di Indonesia Berdasarkan Kelompok

yang dihasilkan. Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3

Riau

NTB

Kalteng

Sultra

Aceh

Jawa Barat

Jawa Tengah

Jawa Timur

Banten

Sulsel

Sumut

Sumbar

Jambi

Sumsel

Bengkulu

Lampung

Babel

Kep. Riau

DKI Jakarta

DIY

Bali

NTT

Kalbar

Kalsel

Kaltim

Sultra

Sulteng

Gorontalo

Sulbar

Maluku

Maluku Utara

Papua Barat

Papua

Sumber: Hasil Pengolahan Data

685

Berdasarkan hasil pengolahan dengan menggunakan FCM, terbentuk tiga

kelompok dengan kelompok satu terdiri dari 4 provinsi, kelompok dua terdiri dari 6

provinsi, dan kelompok tiga terdiri dari 23 provinsi. Selanjutnya, dilakukan

penghitungan rata-rata dan standar deviasi keempat variabel penelitian untuk

masing-masing kelompok yang terbentuk dan didapatkan hasil seperti pada Tabel 3.

Nilai rata-rata yang semakin tinggi mengindikasikan potensi kerugian akibat banjir

yang lebih besar, sedangkan standar deviasi menggambarkan keragaman nilai

variabel antarprovinsi di dalam kelompok yang sama.

Tabel 3. Rata-rata dan Standart Deviasi Masing-masing Kelompok dirinci

berdasarkan Variabel.

Variabel

Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3

Rata-

Rata

Std

Dev

Rata-

Rata

Std

Dev

Rata-

Rata

Std

Dev

Jumlah Kejadian Banjir

Jumlah Korban Jiwa

Luas Lahan Rusak

Jumlah Rumah Rusak

15

2

757,75

4053

3,24

1,22

108,53

832,29

53

9

11066

1266

35,57

9,22

4368,98

1742,31

13

4

708,17

315

9,44

7,97

1346,3

430,61

Sumber: Pengolahan Data.

Berdasarkan tabel 3 terlihat bahwa rata-rata dan standart deviasi untuk

kelompok dua lebih besar dibandingkan dengan kelompok 1 dan 3. Sementara itu,

rata-rata kelompok 1 lebih besar dibandingkan dengan kelompok 3 kecuali pada

variabel jumlah korban jiwa yang memiliki sedikit perbedaan. Sedangkan standar

deviasi kelompok 3 lebih tinggi dibandingkan kelompok 1. Hal ini menunjukkan

bahwa kelompok 2 memiliki potensi kerugian akibat banjir yang lebih besar diikuti

dengan kelompok 1 lalu kelompok 3. Dengan demikian, kelompok 2 disebut sebagai

kelompok Provinsi Rawan Bencana Tinggi, kelompok 1 disebut sebagai Provinsi

Rawan Bencana Sedang, dan kelompok 3 disebut sebagai Provinsi Rawan Bencana

Rendah.

4. Kesimpulan

Penelitian ini menyimpulkan bahwa berdasarkan analisis cluster yang

digunakan, maka terbentuk menjadi 3 kelompok besar. Kelompok ini terbentuk dari

interaksi antara 4 variabel yang digunakan. Kelompok kedua dalam penelitian ini

disebut sebagai kelompok Provinsi Rawan Bencana Tinggi, kelompok satu disebut

sebagai Provinsi Rawan Bencana Sedang, dan kelompok 3 disebut sebagai Provinsi

Rawan Bencana Rendah..

Implikasi kebijakan yang disaranakan dari penelitian ini adalah, dengan data

yang bersumber dari BNPB, kita bisa mengetahui Provinsi berdasarkan tingkat

kerawanannya terhadap bencana, sehingga bantuan atau lebih tepatnya

pembangunan infrastruktur yang hancur atau rusak akibat bencana banjir bisa

difokuskan kepada provinsi-provinsi yang terkelompok di kelompok rawan bencana

tinggi. Berdasarkan temuan pada penelitian ini, maka penelitian lanjutan, bisa

dilakukan dengan menggunakan metode analisis biclustering sebagai alternatif

pengelompokan selain berdasarkan wilayah, juga pengelompokkan berdasarkan

variabel yang terbentuk. Sehingga lebih tepat dalam pengelompokan. Kemudian

untuk periode waktu penelitian lebih baik menggunakan angka komulatif dari kurun

waktu 5 tahun terakhir. Sehingga akan lebih up to date dalam menganalisis hasil

temuan.

686

Referensi

[1] Badan Nasional Penanggulangan Bencana. (2016). Potensi dan Ancaman

Bencana. http://www.bnpb.go.id/home/potensi. (Diakses tanggal 13 Januari

2017).

[2] United Nation University. (2016). World Risk Report 2016. Berlin: Bündnis

Entwicklung Hilft.

[3] Badan Nasional Penanggulangan Bencana. (2017). Data Bencana.

http://dibi.bnpb.go.id/data-bencana. (Diakses tanggal 5 Januari 2017).

[4] Kistyarini, ed. (2013).

http://tekno.kompas.com/read/2013/01/19/09402451/bnpb.banjir. jakarta.

tewaskan.14.orang. (Diakses pada 17 Januari 2017 pukul 05.54 WIB).

[5] Maharani, Dian. (2013).

http://megapolitan.kompas.com/read/2013/01/23/21100024/14.300. Korban.

Banjir.Jakarta.Masih.Mengungsi. (Diakses pada 17 Januari 2017 pukul 05.53

WIB).

[6] Djumena, Erlangga, ed. (2013).

http://bisniskeuangan.kompas.com/read/2013/01 /21/0755459/ Banjir.

Jakarta.Kerugian.Ekonomi.Capai.Rp.1.Triliun. (Diakses pada 17 Januari

2017 pukul 05.53 WIB).

[7] Badan Nasional Penanggulangan Bencana. (2017). Undang-Undang Nomor

24 Tahun 2007 Tentang Penanggulangan Bencana. Disahkan oleh: Presiden

Republik Indonesia. (Diakses tanggal 5 Januari 2017).

[8] Badan Nasional Penanggulangan Bencana. (2017). Peraturan Pemerintah

Nomor 21 Tahun 2008 Tentang Penyelenggaraan Penanggulangan Bencana.

Disahkan oleh: Presiden Republik Indonesia. (Diakses tanggal 5 Januari

2017).

[9] Badan Perencanaan Pembangunan Nasional. (2014). Materi Teknis Revisi

Pedoman Penyusunan Rencana Tata Ruang Berdasarkan Perspektif Risiko

Bencana. Jakarta: Badan Perencanaan Pembangunan Nasional.

[10] Utomo, Waluyo Yogo, ,dkk. (2012). Analisis Potensi Rawan (Hazard) dan

Risiko (Risk) Bencana Banjir dan Longsor (Studi Kasus Provinsi Jawa

Barat). [Tesis]. Jakarta: Kementerian Lingkungan Hidup.

[11] Utomo, Bambang Budi & Rima Dewi S. (2012). Pemintakatan Risiko

Bencana Banjir Bandang di Kawasan Sepanjang Kali Sampean, Kabupaten

Bondowoso. Jurnal Teknik ITS 1(1) September 2012. Surabaya: Institut

Teknologi Sepuluh November.

[12] Skakun, Sergii et.al. (2014). Flood Hazard and Flood Risk Assessment Using

a Time Series of Satellite Image: A Case Study in Namibia. Risk Analysis

34(8) 2014. Ukraine: Space Research Institute NASU-SSAU.

[13] Chen, Junfei, et.al. (2011). Risk Analysis of Flood Disaster Based on Fuzzy

Clustering Method. Energy Procedia 5 2011: 1915-1919. China: Elsevier Ltd.

[14] Soleman, M. Khifni, dkk. (2012). Pemetaan Multirawan Bencana di Provinsi

Banten. Globe 14(1) Juni 2012: 46-59. Bogor: Badan Koordinasi Survei dan

Pemetaan Nasional.

[15] Badan Perencanaan Pembangunan Nasional. (2005). Rencana Pembangunan

Jangka Panjang Tahun 2005-2025. Jakarta: Badan Perencanaan

Pembangunan Nasional.

[16] Badan Nasional Penanggulangan Bencana. (2017). Peraturan Kepala Badan

Nasional Penanggulangan Bencana Nomor 2 Tahun 2012 Tentang Pedoman

687

Umum Pengkajian Risiko Bencana. Disahkan oleh: Kepala Badan Nasional

Penanggulangan Bencana. (Diakses tanggal 7 November 2016).

[17] Dunn, J.C., (1974). A Fuzzy Relative of the ISODATA Process and Its Use in

Detecting Compact, Well-Separated Clusters. Journal of. Cybernetics 3, 32–

57. UK: Taylor & Francis.

[18] Bezdek J. C., R. Ehrlich, dan W. Full. (1984). FCM: The Fuzzy c-Means

Clustering Algorithm. Computers & Geosciences 10(2-3), 1984: 191-203.

USA: Pergamon Press Ltd.

[19] Bezdek, J.C. (1974). Cluster validity with fuzzy sets. Journal of Cybernetics

3(3), 58-73.

[20] Bezdek, J.C. (1981). Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function

Algoritms. Plenum, New York.

[21] Zahid, N., Limouri, M., Essaid, A., 1999. A new cluster-validity for fuzzy

clustering. Pattern Recognition 32, 1089–1097.

[22] Fukuyama, Y., Sugeno, M., (1989). A new method of choosing the number of

clusters for the fuzzy c-mean method. In: Proc. 5th Fuzzy Syst. Symp., pp.

247–250.

[23] Xie, X.L., Beni, G.A., (1991). A validity measure for fuzzy clustering. IEEE

Trans. Pattern Anal. Machine Intell. 13 (8), 841–847.

[24] Dave, R. N. (1996). Validating fuzzy partitions obtained through c-shells

clustering. Pattern Recognition Letters 17 (1996), 613-623.

[25] Kwon, S.H. (1998). Cluster validity index for fuzzy clustering. Electronics

Letters 34 (22), 2176-2177.

[26] Balafar, M.A. (2014). Fuzzy C-mean based brain MRI segmentation

algorithms. Artif. Intell. Rev. 41(3), 441–449.

[27] Yu, X.C., He, H., Hu, D., Zhou, W. (2014). Land cover classification of

remote sensing imagery based on interval-valued data fuzzy c-means

algorithm. Sci. China Earth Sci. 57(6), 1306–1313.

[28] Ozer, M. (2005). Fuzzy c-means clustering and Internet portals: a case study.

Eur. J. Oper. Res. 164, 696–714.

688

Prosiding SNM 2017 Komputasi, Hal 688-694

APLIKASI FUZZY C-MEANS PADA PREVALENSI

GLOBAL YOUTH TOBACCO SURVEY

INTAN PRIMASARI, ZUHERMAN RUSTAM, DHIAN WIDYA

Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Indonesia, DEPOK, INDONESIA

[email protected], [email protected], [email protected]

Abstrak. Peningkatan prevalensi merokok merupakan masalah yang sangat

serius. Indonesia merupakan negara dengan tingkat penggunaan rokok yang

cukup tinggi. Rokok dikonsumsi di berbagai lapisan masyarakat, mulai dari

anak-anak, remaja, dan dewasa. Kecenderungan merokok terus meningkat dari

tahun ke tahun. Makalah ini akan membahas tentang metode Fuzzy C-Means

pada data sikap remaja terhadap rokok. Akurasi dari proses klasifikasinya akan

dibandingkan. Hasil analisis dalam makalah ini didapatkan tingkat akurasi

paling besar untuk data sikap remaja terhadap rokok adalah dengan

menggunakam 80% data training dengan akurasi sebesar 98,734% akan

didapatkan bahwa beberapa remaja memiliki kecenderungan untuk merokok.

Kata kunci: Prevalensi, kecenderungan merokok, Fuzzy C-Means, tingkat akurasi.

1. Pendahuluan

Rokok merupakan salah satu penyebab kematian terbesar di hampir setiap

negara. Peningkatan prevalensi perokok menjadi masalah yang serius. Indonesia

merupakan negara dengan tingkat penggunaan rokok yang cukup tinggi. Rokok

dikonsumsi mulai dari anak-anak, remaja, dan dewasa khususnya remaja.

Berdasarkan data Global Youth Tobbaco Survey (GYTS) 2014, terdapat data sikap

remaja terhadap produk rokok [1].

Dari data-data yang ada pada data sikap remaja terhadap produk rokok dapat

digali informasi-informasi baru yang berguna. Data tersebut digali dengan metode

data mining. Data mining merupakan suatu proses pengekstrakan informasi baru

yang diambil dari bongkahan data besar yang membantu dalam pengambilan

keputusan [2]. Oleh karena itu, penulis membuat sebuah sistem aplikasi data mining

untuk membantu proses analisa data yang diperoleh dari data.

Pada penelitian ini digunakan metode fuzzy cluster, yaitu dengan algoritma

fuzzy c-means (FCM). Algoritma ini dipilih karena data-data beserta parameternya

dapat dikelompokkan dengan kecenderungannya. Selain itu, dengan metode ini bisa

ditentukan jumlah cluster yang akan dibentuk. Dengan penentuan jumlah cluster

diawal, bisa diatur keragaman nilai akhir sesuai dengan cluster -nya. Kelebihan

algoritma ini adalah penempatan pusat cluster yang lebih tepat dibandingkan dengan




689

metode cluster lain. Selain itu, FCM juga memiliki tingkat akurasi yang tinggi dan

waktu komputasi yang cepat. Dengan algoritma FCM akan dilakukan penggalian

informasi mengenai sikap remaja terhadap produk rokok pada data GYTS 2014 [3].

Pada [4] telah dilakukan menerapkan metode Fuzzy C-Means pada data.

Tujuan dari makalah ini akan dilakukan klasifikasi menggunakan Fuzzy C-Means

pada data sikap remaja terhadap produk rokok dan diharapkan menghasilkan akurasi

terbaik dengan menggunakan metode Fuzzy C-Means pada klasifikasi data sikap

remaja terhadap produk rokok di Global Youth Tobacco Survey (GYTS) 2014.

Terdapat lima bagian pada makalah ini. Bagian 2 adalah metodologi, menjelaskan

konsep dasar dari FCM. Bagian 3 adalah analisis data. Bagian 4, hasil percobaan dan

evaluasi model. Bagian 5 adalah kesimpulan.

2. Metodologi

Pada penelitian ini, metode analisis data yang digunakan adalah fuzzy c-

means (FCM). Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Dunn pada tahun 1973

dan kemudian dikembangkan oleh Bezdek pada tahun 1981. FCM adalah suatu

teknik pengelompokkan atau pengclusteran data yang keberadaan tiap-tiap titik data

dalam suatu kelompok ditentukan oleh nilai/derajat keanggotaan [5].

FCM adalah salah satu teknik optimizing partitioned cluster. Kelebihan

metode ini adalah penempatan pusat cluster yang lebih tepat dibandingkan dengan

metode cluster yang lain. Caranya adalah memperbaiki pusat cluster secara

berulang, maka akan dapat dilihat bahwa pusat cluster akan bergerak menuju lokasi

yang tepat [5].

Secara umum, teknik FCM adalah meminimumkan fungsi objektif dati

FCM. Model matematis dari FCM adalah :

𝑀𝑖𝑛 𝐽𝐹𝐶𝑀(𝑉, 𝑈, 𝑋, 𝑐, 𝑚) =∑ ∑ 𝑢𝑖𝑗𝑚||𝑥𝑗 − 𝑣𝑖 ||

2𝑛

𝑘=1

𝑐

𝑖=1

(1)

dengan fungsi kendala

∑ 𝑢𝑖𝑗

𝑐

𝑖=1

(2)

dimana,

n adalah banyaknya data

c adalah banyaknya cluster

V adalah pusat cluster

𝑉 = [[

𝑣11 ⋯ 𝑣1𝑛⋮ ⋱ ⋮

𝑣𝑐1 ⋯ 𝑣𝑐𝑛]]

U adalah fungsi keanggotaan

690

𝑈 = [[

𝑢11 ⋯ 𝑢1𝑗⋮ ⋱ ⋮

𝑢𝑐1 ⋯ 𝑢𝑐𝑗]]

X adalah data yang akan di cluster

𝑋 = [[

𝑥11 ⋯ 𝑥1𝑗⋮ ⋱ ⋮

𝑥𝑛1 ⋯ 𝑥𝑛𝑗]]

m adalah derajat fuzzyness (m > 1 )

||𝑥𝑗 − 𝑣𝑖 || adalah jarak antara titik dara dengan pusat cluster

Metode FCM akan meminimumkan jarak antara setiap data dengan pusat

cluster. Setiap data dalam FCM mempunyai derajat keanggotaan untuk setiap

cluster. Derajat keanggotaan menunjukkan kecenderungan atau peluang suatu data

untuk masuk ke dalam satu cluster. Berdasarkan konsep peluang, maka jumlah dari

derajat keanggotaan suatu data untuk setiap cluster adalah 1.

Algoritma dari FCM adalah sebagai berikut [6] :

Langkah 1 : Tentukan

a. Banyaknya data training yang akan digunakan

b. Banyaknya cluster

c. Derajat fuzzyness (m >1)

d. Kriteria berhenti (ξ = nilai positif yang sangat kecil)

e. Pusat cluster awal

Langkah 2 : Bangkitkan bilangan random 𝑢𝑖𝑘, i = 1,2, ..., n; k = 1,2, ..., c sebagai

elemen matriks partisi awal U dimana

𝑢𝑖𝑘 =[∑ (𝑋𝑖𝑗 − 𝑉𝑘𝑗)

2]𝑚𝑖=1

1𝑤−1

∑ [∑ (𝑋𝑖𝑗 − 𝑉𝑘𝑗)2]𝑚

𝑖=1𝑐𝑘=1

1𝑤−1

(3)

dengan :

𝑉𝑘𝑗 = pusat cluster ke-k untuk atribut ke-j

𝜇𝑖𝑘 = derajat keanggotaan untuk data sampel ke-i pada cluster ke-k

𝑋𝑖𝑗 = data ke-i, atribut ke-j

Langkah 3 : Hitung pusat cluster ke-k, dimana

𝑉𝑘𝑗 =∑ ((𝜇

𝑖𝑘)𝑤𝑋𝑖𝑗)

𝑛𝑖=1

∑ (𝜇𝑖𝑘)𝑤𝑛

𝑖=1

(4)

691

dengan :




Langkah 4 : Hitung fungsi objektif pada iterasi ke-t menggunakan persamaan

𝑃𝑡 = ∑∑([∑(

𝑚

𝑗=1

𝑐

𝑘=1

𝑛

𝑖=1

𝑋𝑖𝑗 − 𝑉𝑘𝑗)2](𝜇

𝑖𝑘)𝑤)

(5)

dengan :




𝑃𝑡 = fungsi objektif pada iterasi ke-t

Langkah 5 : Hitung perubahan matriks partisi menggunakan persamaan (3).

Langkah 6 : Cek kondisi berhenti jika

(|𝑃𝑡 − 𝑃𝑡−1| < ξ) atau (t > Maxlter) maka berhenti. Jika tidak, ulangi langkah

ke-4.

3. Analisis Data

Sumber penelitian ini diambil dari data Global Youth Tobacco Survey (GYTS)

2014 di Indonesia. Data tersebut merupakan kuisoner skala dengan 62 pertanyaan

dan 5986 peserta. Mereka diantaranya berumur diantara 13 hingga 15 tahun yang

terdiri dari 51 % laki-laki dan 49 % perempuan.

Pada penelitian ini, penulis mengambil 524 sampel dan 7 variabel yang

digunakan untuk menuji keakuratan metode FCM.

Variabel yang digunakan yaitu :

1. Apakah Anda pernah mencoba merokok, satu atau dua batang?

2. Apakah Anfda berpikir merokok dari rokok orang lain berbahaya untuk

Anda?

3. Jika teman baik Anda menawarkan Anda sebuah rokok, akankah Anda

menggunakan itu?

4. Selama 12 bulan kedepan, apakah Anda akan menggunakan apapun jenis

rokok?

5. Ketika seseorang mulai merokok, apakah Anda berpikir sulit untuk mereka

berhenti merokok?

6. Apakah Anda berpikir merokok itu berbahaya?

7. Apakah Anda berpikir aman untuk merokok hanya satu tahun selama Anda

berhenti setelah itu?

692

4. Hasil Percobaan dan Evaluasi Model

Dalam hasil aplikasi ini, penulis tidak dapat menggunakan lebih dari 2 cluster.

Jika menggunakan lebih dari 2 cluster akan didapatkan tingkat akurasi yang lebih

rendah, jadi akan didapatkan nilai maksimum tingkat akurasi pada 2 cluster.

Pada tahap ini, dilakukan klasifikasi data yang terbagi atas dua kelas. Kelas

merupakan kumpulan sampel dengan kecenderungan merokok tinggi dan kelas II

merupakan kumpulan sampel dengan kecenderungan merokok rendah.

Sesuai input data, data training yang digunakan yaitu 10%-90% pada data.

Data yang bukan training atau sisamya akan menjadi data testing.

Berikut adalah hasil klasifikasi untuk data dengan menggunakan variabel:

Tabel 1. Hasil akurasi menggunakan Fuzzy C-Means

Dari tabel 1, bisa dilihat bahwa akurasi terbesar didapat berturut-turut dengan

menggunakan 80% data training dengan akurasi sebesar 98,734%.

Untuk lebih jelas, hasil pada tabel 1 akan ditampilkan pada Gambar 1.

Karena grafik pada Gambar 1 fluktuatif, maka tidak ada hubungan khusus antara

banyaknya data training yang digunakan dengan akurasi yang didapatkan. Semakin

banyak data training yang digunakan, tidak menjamin hasil akurasinya akan semakin

baik atau buruk.

Persentase Data

Training

Akurasi (%)

10 90,566

20 96,734

30 97,468

40 92,366

50 95,886

60 95,886

70 96,296

80 98,734

90 97,619

693

Gambar 1. Hasil akurasi menggunakan Fuzzy C- Means

5. Kesimpulan

Kesimpulan yang bisa diambil dari makalah ini adalah metode Fuzzy C-

Means dapat diterapkan untuk melakukan klasifikasi data sikap remaja terhadap

rokok.

Dari pengujian yang dilakukan, tanpa menggunakan seluruh variabel, kita

tetap bisa melakukan klasifikasi kecenderungan merokok. Berdasarkan cluster yang

didapatkan, pada cluster I didapatkan remaja dengan kecenderungan merokok

rendah mencapai 78%. Sedangkan cluster II didapatkan remaja dengan

kecenderungan merokok tinggi mencapai 22 %.

Dari tabel 4.1 diperoleh tingkat akurasi paling besar untuk data sikap remaja

terhadap rokok adalah dengan menggunakan 80% data training dengan akurasi

sebesar 98,734%. Tidak ada hubungan khusus antara banyaknya data training yang

digunakan dengan akurasi yang didapatkan. Semakin banyak data training yang

digunakan, tidak menjamin hasil akurasinya akan semakin baik atau buruk.

Saran dari penulis untuk pengembangan kedepannya yaitu dapat dibahas

metode klasifikasi yang lain selain metode Fuzzy C-Means. Selain itu, dapat

diterapkan juga metode pemilihan fitur-fitur informatif dari data.

Referensi [1] Ramadhana, C., Dewi Lulu, Y., dan Kartina Diah, K. W. (2013). Data Mining dengan

Algoritma Fuzzy C-Means Clustering Dalam Kasus Penjualan di PT Sepatu Bata.

Seminar Nasional Teknologi Informasi & Komunikasi Terapan 2013 (SEMANTIK

2013).

[2] Denecke, Hazel and Gülhayat, GÖLBAŞI ŞİMŞEK. (2016). An Application of Fuzzy

Clustering on Prevalence of Youth Tobacco Survey.

[3] Bezdek and James C. (1981). Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function

Algorithms.

[4] Eko Prasetyo. (2012). Data Mining-Konsep dan Aplikasi Menggunakan Matlab.

Yogyakarta, Indonesia: C.V Andi Offset.

86

88

90

92

94

96

98

100

10 20 30 40 50 60 70 80 90

Aku

rasi

Persentase Data Training

Hasil Akurasi

Hasil Akurasi

694

[5] Eriksen, M., Hana, R., dan Judith, M. (2012). The Tobacco Atlas 4th Edition, Atlanta-

Georgia.

[6] Tan, P., N., Michael, S., and Vipin, K. (2005). Introduction to Data Mining, 1st ed.

Boston, USA: Addison-Wesley Longman Publising Co.

[7] Nugraheni, Y. (2011). Data Mining dengan Metode Fuzzy untuk Customer Relationship

Managment (CRM) pada Perusahaan Ritel. Universitas Udayana, Denpasar.

695

Prosiding SNM 2017

Komputasi , Hal 695-705

APLIKASI FUZZY MADM UNTUK DETEKSI POTENSI

SERANGAN JANTUNG BERDASARKAN METODE AHP

DAN TOPSIS

ZENIA AMARTI, NURSANTI ANGGRIANI, ASEP K.

SUPRIATNA

Departemen Matematika, FMIPA Universitas Padjadjaran

Jl. Raya Bandung-Sumedang Km 21 Jatinangor 45363 1 email: [email protected]

Abstrak. Jantung merupakan salah satu organ terpenting dalam tubuh. Jantung

berfungsi memompa dan mengalirkan darah yang mengandung oksigen ke seluruh

tubuh. Seseorang mengalami serangan jantung jika aliran darah ke jantungnya

terhambat oleh timbunan lemak ataupun kolesterol. Seringkali sekelompok orang tidak

menyadari bahwa dirinya berpotensi terkena serangan jantung. Untuk menangani

permasalahan tersebut diperlukan suatu metode yang dapat mendeteksi potensi

seseorang terkena serangan jantung lebih tinggi dari orang lainnya dalam suatu

kelompok. Masalah deteksi potensi serangan jantung ini dapat diselesaikan dengan

model fuzzy MADM (Multiple Attribute Decision Making) metode AHP (Analytic

Hierarchy Process) dan TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to

Ideal Solution). Metode AHP dalam hal ini digunakan untuk menentukan bobot relatif

dari setiap kriteria, sedangkan metode TOPSIS digunakan untuk mengurutkan nilai

preferensi dari beberapa alternatif berdasarkan kedekatan dengan solusi ideal. Kriteria

yang digunakan dalam proses pengurutan adalah usia, status perokok atau bukan,

indeks massa tubuh, hipertensi dan kadar kolesterol darah. Hasil pengurutan mendeteksi

alternatif yang berpotensi paling tinggi terkena serangan jantung adalah alternatif

dengan jarak solusi ideal positif terpendek, jarak solusi ideal negatif terpanjang dan

nilai preferensi tertinggi.

Kata kunci: potensi serangan jantung, fuzzy MADM, AHP, TOPSIS.

1. Pendahuluan

Jantung adalah sebuah organ tubuh pada manusia yang memompa darah lewat

pembuluh darah oleh kontraksi berirama yang berulang. Darah menyuplai oksigen

dan nutrisi pada tubuh serta membantu menghilangkan sisa-sisa metabolisme.

Serangan jantung adalah sebuah kondisi yang menyebabkan jantung sama sekali

tidak berfungsi. Kondisi ini biasanya terjadi mendadak dan sering disebut gagal

jantung. Penyebab terjadinya serangan jantung biasanya adalah karena terhambatnya

suplai darah ke otot-otot jantung dikarenakan pembuluh-pembuluh darah yang

biasanya mengalirkan darah ke otot-otot jantung tersebut tersumbat oleh lemak dan

kolesterol ataupun oleh karena zat-zat kimia. Seringkali seseorang dalam suatu

kelompok tidak menyadari bahwa dirinya berpotensi terkena serangan jantung. Oleh

karena itu, penelitian ini bertujuan untuk melakukan pengurutan terhadap potensi

https://id.wikipedia.org/wiki/Darah

696

seseorang terkena serangan jantung dari orang yang berpotensi paling tinggi ke yang

paling rendah dalam suatu kelompok. Berdasarkan penyebab terjadinya serangan

jantung, maka kriteria yang menjadi dasar penilaian dalam mendeteksi serangan

jantung ini adalah usia, status perokok atau bukan, indeks massa tubuh, hipertensi

dan kadar kolesterol darah.

Masalah deteksi potensi serangan jantung ini merupakan masalah pengambilan

keputusan yang memiliki ketidakjelasan dan kekaburan dalam masalah data atau

bersifat fuzzy. Oleh karena itu, masalah pembobotan kriteria dan pengurutan dapat

diselesaikan dengan menerapkan fuzzy MADM (Multiple Attribute Decision

Making). Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah

fuzzy MADM adalah metode AHP (Analytic Hierarchy Process) dan metode

TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution).

Berdasarkan Koohpayehzadeh dan Sadegh [1], metode AHP merupakan salah satu

metode pengambilan keputusan yang digunakan untuk menguraikan masalah

hirarkis dan dapat diterapkan untuk memecahkan masalah pengambilan keputusan

multi-kriteria yang kompleks. Metode AHP telah diterapkan dalam berbagai bidang.

Koohpayehzadeh dan Sadegh [1] menerapkan metode AHP dalam optimisasi seleksi

situs bendungan dalam gambaran cekungan di pusat Iran. Tuysuz dan Kahraman [2]

menerapkan metode AHP dalam proyek teknologi informasi. Selain itu, AHP juga

telah diterapkan oleh Kong dan Liu [3] untuk evaluasi faktor keberhasilan e-

commerce.

Berdasarkan Opricovic dan Tzeng [4] jika dihubungkan dengan masalah

deteksi potensi serangan jantung, prinsip dasar metode TOPSIS adalah alternatif

yang berada di urutan paling tinggi harus memiliki jarak terpendek dari solusi ideal

positif dan jarak terpanjang dari solusi ideal negatif. Metode TOPSIS juga telah

banyak diterapkan dalam berbagai kasus, diantaranya untuk seleksi beasiswa yang

telah diterapkan dalam Ayu dkk [5] dan ‘Uyun dan Riadi [6]. Dalam contoh kasus

lain Nuraini dkk [7] menggabungkan metode AHP dan metode TOPSIS dalam

pemilihan campuran biodiesel terbaik. Selain itu, Soyler dan Pirim [8] menggunakan

fuzzy AHP dan fuzzy TOPSIS untuk menganalisis kriteria evaluasi pengembangan

lembaga proyek. Oleh karena itu, metode AHP dan metode TOPSIS untuk

selanjutnya digunakan dalam melakukan pengurutan terhadap potensi seseorang

terkena serangan jantung dari yang berpotensi paling tinggi ke yang berpotensi

paling rendah dalam suatu kelompok.


Teori himpunan fuzzy berdasarkan Ayu dkk [5] dirancang untuk

merepresentasikan ketidakpastian, ketidakjelasan dan ketidaktepatan dari banyaknya

informasi yang ada. Pada teori himpunan fuzzy, komponen utama yang sangat

berpengaruh adalah fungsi keanggotaan. Fungsi keanggotaan merepresentasikan

derajat kedekatan suatu obyek terhadap kriteria tertentu. Penentuan keputusan dalam

kasus Multiple Attribute Decision Making (MADM) diselesaikan dengan memilih

alternatif terbaik dari beberapa alternatif. Namun, karena data yang digunakan tidak

jelas atau bersifat fuzzy, maka diterapkan fuzzy MADM. Inti dari fuzzy MADM

adalah menentukan bobot untuk setiap kriteria, diikuti dengan proses pengurutan

alternatif yang telah diberikan.

697

Metode AHP

Prosedur AHP dalam Nuraini dkk [7] terdiri dari langkah-langkah berikut.

1. Penyusunan hirarki

Struktur hirarki pada AHP ini terdiri dari tiga level atau tingkatan. Tujuan dari

keputusan ditempatkan paling atas, diikuti oleh level kedua dengan kriteria dan

level ketiga dengan alternatif.

2. Pembuatan matriks pasangan perbandingan Saaty atau Pairwise Comparasion

0,1

,1dengan ,

21

22221

11211

ij

ij

jiii

mnmm

n

n

aa

aa

aaa

aaa

aaa

A

Skala preferensi antara dua elemen berdasarkan Kong dan Liu [3] adalah seperti

pada tabel berikut.

Tabel 1. Skala Saaty untuk perbandingan berpasangan

Skala Saaty Kepentingan relatif dari dua sub-elemen

1 Kedua elemen sama pentingnya

3 Elemen yang satu sedikit lebih penting dari pada yang

lainnya

5 Elemen yang satu sangat penting dari pada elemen yang

lainnya

7 Elemen yang satu jelas lebih penting dari elemen yang

lainnya

9 Elemen yang satu mutlak lebih penting dari pada

elemen yang lainnya

2, 4, 6, 8 Nilai-nilai tengah di antara dua pertimbangan yang

berdekatan

3. Penentuan prioritas atau bobot untuk setiap kriteria

Menghitung matriks normalisasi

m

i

ij

ij

ijnorm

a

aa

1

(1)

Penentuan bobot setiap kriteria

n

a

w

n

j

ij

j

1

(2)

4. Pemeriksaan konsistensi

Menghitung perkalian matriks dengan bobot transpos t

j Aww *

(3)

Menghitung rata-rata rasio konsistensi

698

n

j j

j

w

w

nt

1

*1

(4)

Menghitung indeks konsistensi

1

n

ntCI

(5)

Memeriksa konsistensi bobot

RI

CI

(6)

dimana RI merupakan random index untuk nilai n yang berlaku dengan

syarat sebagai berikut.

a. Jika 10.0RI

CI, maka pembuat keputusan konsisten. Artinya proses analisis

dan pengolahan data dapat dilanjutkan.

b. Jika 10.0RI

CI, maka pembuat keputusan inkonsisten dan penilaian

interpretasi harus diulang. Nilai-nilai random index (RI) ditunjukkan oleh

Tabel 2.

Tabel 2. Nilai-nilai random index (RI)

N 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RI 0 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,51

Metode TOPSIS

Prosedur TOPSIS dalam Nuraini dkk [7] mengikuti langkah-langkah

berikut.

1. Menghitung matriks keputusan ternormalisasi

Matriks keputusan ternormalisasi, R = [rij] berukuran nm dengan rij sebagai

kinerja dari setiap alternatif yang harus dinilai dengan persamaan berikut.

m

i ij

ij

x

x

1

2ijr

(7)

dengan x merupakan matriks keputusan; mi ,...,2,1 dan nj ,...,2,1 . Matriks

keputusan ternormalisasi dapat direpresentasikan sebagai berikut.

nkkk 21

mnmm

n

n

m rrr

rrr

rrr

a

a

a

R

21

22221

11211

2

1

dengan ai merupakan alternatif ke-i dan kj merupakan kriteria ke-j.

2. Menghitung matriks keputusan ternormalisasi terbobot

Matriks keputusan ternormalisasi terbobot, Y = [yij] berukuran nm dengan yij

699

merupakan penilaian bobot ternormalisasi yang dapat dinyatakan dengan

persamaan berikut.

ijjij rwy

(8)

Dimana wj merupakan bobot dari kriteria ke-j dengan batasan

n

j jj ww1

.0;1

3. Menentukan matriks solusi ideal positif (A+) dan ideal negatif (A-)

Matriks solusi ideal positif (A+) dihitung berdasarkan persamaan berikut.

miyyA ijjj ,...,2,1|max

(9)

Matriks solusi ideal negatif (A-) dihitung berdasarkan persamaan berikut.

miyyA ijjj ,...,2,1|min

(10)

4. Menghitung jarak antara nilai setiap alternatif

Jarak antara alternatif Ai dengan solusi ideal positif (Di+) dapat dirumuskan

dengan persamaan berikut.

miyyDn

j jiji ,...,2,1 ; 1

2

(11)

Jarak antara alternatif Ai dengan solusi ideal negatif (Di-) dapat dirumuskan

dengan persamaan berikut.

miyyDn

j jiji ,...,2,1 ; 1

2

(12)

5. Menghitung nilai preferensi untuk setiap alternatif

Nilai preferensi untuk setiap alternatif (Vi) diberikan sebagai berikut.

miDD

DV

ii

i

i ,...,2,1;

(13)


Berdasarkan langkah-langkah MADM di atas, maka dipilih beberapa

alternatif yang akan dideteksi potensi dirinya terkena serangan jantung. Dalam

masalah ini diberikan beberapa data alternatif dengan kriteria-kriteria sebagai

berikut.

1. Kadar kolesterol darah (KKD)

Untuk kriteria kadar kolesterol darah, diasumsikan bahwa seseorang dengan

kadar kolesterol total dalam tubuh dengan ukuran > 200 mg/dl berpotensi

terkena serangan jantung.

2. Status perokok atau bukan (SPB)

Untuk kriteria status perokok atau bukan, diasumsikan bahwa semakin banyak

jumlah rokok yang dihisap per hari oleh seorang perokok, maka semakin besar

700

potensinya terkena serangan jantung. Data menunjukkan jumlah rokok (per

batang) yang dihisap per hari.

3. Hipertensi (HIP)

Untuk kriteria hipertensi, diasumsikan bahwa seseorang dengan tekanan darah

sistolik > 120 mm Hg berpotensi terkena serangan jantung (tekanan darah

diastolik diabaikan).

4. Indeks massa tubuh (IMT)

Kriteria indeks massa tubuh dalam hal ini digunakan sebagai ukuran apakah

seseorang dikatakan obesitas atau tidak. Untuk kriteria ini, diasumsikan bahwa

seseorang yang memiliki nilai IMT > 23 berpotensi terkena serangan jantung.

5. Usia (US)

Untuk kriteria usia, diasumsikan bahwa seseorang dengan usia > 45 tahun

berpotensi terkena serangan jantung.

Untuk mengurangi kompleksitas, data diambil dari 5 orang responden. Data

diperoleh dari hasil pengamatan peneliti langsung terhadap responden. Berikut

diberikan data-data dari setiap alternatif.

Tabel 3. Data alternatif

Alternatif Kriteria

KKD SPB HIP IMT US

1 155 5 140 23.5304 52

2 240 0 140 25.8065 59

3 230 12 90 32.0390 46

4 210 3 140 21.8750 62

5 230 0 145 28.8889 51

Proses pembobotan dilakukan mengikuti prosedur metode AHP.

Berdasarkan langkah pertama dalam prosedur AHP, maka disusunlah struktur hirarki

seperti pada Gambar 1.

Gambar 1. Struktur Hirarki

Selanjutnya dibuat matriks perbandingan berpasangan untuk masing-masing

kriteria seperti ditunjukkan pada Tabel 4.

701

Tabel 4. Perbandingan pasangan kriteria

Kriteria KKD SPB HIP IMT US

KKD 1 2 3 5 7

SPB 1/2 1 2 4 6

HIP 1/3 1/2 1 3 5

IMT 1/5 1/4 1/3 1 3

US 1/7 1/6 1/5 1/3 1

Elemen-elemen dalam matriks perbandingan berpasangan ditentukan secara

subyektif oleh peneliti dengan berdasarkan pada Tabel 1. Berdasarkan penilaian

peneliti dan hasil uji statistik oleh Zahrawardani dkk [9], ditentukan kriteria-kriteria

penyebab terjadinya serangan jantung dengan kepentingannya secara berturut-turut

dari yang paling tinggi ke kriteria dengan kepentingan paling rendah adalah KKD,

SPB, HIP, IMT dan US.

Untuk memperoleh matriks keputusan ternormalisasi, maka sebelumnya

elemen-elemen di dalam tabel dinormalisasi berdasarkan persamaan (1) sehingga

diperoleh matriks keputusan ternormalisasi (anorm)ij sebagai berikut.

0455.00250.00306.00426.00656.0

1364.00750.00510.00638.00919.0

2273.02250.01531.01277.01532.0

2727.03000.03061.02553.02298.0

3182.03750.04592.05106.04595.0

ijnorma

Setelah memperoleh matriks keputusan ternormalisasi, maka selanjutnya dihitung

nilai bobot setiap kriteria berdasarkan persamaan (2) sehingga diperoleh hasil

berikut. 0419.0 ; 0836.0 ; 1772.0 ; 2728.0 ; 4245.0 54321 wwwww

Matriks bobot setiap kriteria wj dinyatakan sebagai berikut.

0419.0

0836.0

1772.0

2728.0

4245.0

jw

Ada beberapa langkah dalam proses pemeriksaan konsistensi untuk setiap

kriteria. Langkah pertama adalah menghitung perkalian matriks dengan bobot

transpos mengikuti persamaan (3) sehingga diperoleh hasil berikut. 2113.0* ; 4215.0* ; 9154.0* ; 4253.1* ; 2130.2* 54321 wwwww

Matriks bobot setiap kriteria *jw dinyatakan sebagai berikut.

702

2113.0

4215.0

9154.0

4253.1

2130.2

*jw

Selanjutnya, diperoleh nilai rata-rata rasio konsistensi berdasarkan persamaan (4)

sebagai berikut.

1377.5t

Kemudian berdasarkan persamaan (5) diperoleh nilai indeks konsistensi berikut.

0344.0CI

Berdasarkan random index pada Tabel 2 dengan nilai 5n , maka diperoleh nilai

indeks konsistensi bobot berdasarkan persamaan (6) sebagai berikut.

0307.0RI

CI

Proses analisis dan pengolahan data dapat dilanjutkan karena nilai indeks konsistensi

bobot < 0.1, yaitu sebesar 0.0307. Diketahui bahwa nilai bobot untuk masing-masing

kriteria ditunjukkan pada Tabel 5.

Tabel 5. Bobot kriteria

Kriteria Bobot

KKD 0.4245

SPB 0.2728

HIP 0.1772

IMT 0.0836

US 0.0419

Proses pengurutan dilakukan berdasarkan prosedur TOPSIS. Sebelum

menghitung matriks keputusan ternormalisasi, maka dicari terlebih dahulu nilai

keanggotaan yang dicapai untuk setiap kriteria dari setiap alternatif untuk

menunjukkan seberapa besar tingkat keanggotaan elemen tersebut dalam himpunan

kriterianya seperti tampak pada Tabel 6.

Tabel 6. Nilai keanggotaan

Alternatif Kriteria

KKD SPB HIP IMT US

1 0 0.42 0.50 0.08 0.28

2 1 0 0.50 0.40 0.56

3 0.75 1 0 1 0.04

4 0.25 0.25 0.50 0 0.68

5 0.75 0 0.63 0.84 0.24

Matriks keputusan ternormalisasi disusun dari ranking kinerja tiap alternatif

terhadap suatu kriteria, maka selanjutnya dilakukan perhitungan ranking kinerja tiap

alternatif terhadap suatu kriteria berdasarkan persamaan (7) sehingga diperoleh hasil

berikut.

a. Ranking tiap alternatif KKD

703

11r 0 ; 21r

0.6761

; 31r

0.5071

; 41r

0.1690 ; 51r 0.5071

b. Ranking tiap alternatif SPB

12r

0.3773 ; 22r 0 ; 32r

0.8984

; 42r

0.2246 ; 52r 0

c. Ranking tiap alternatif HIP

13r 0.4669 ; 23r

0.4669 ; 33r 0

; 43r

0.4669 ; 53r 0.5883

d. Ranking tiap alternatif IMT

14r

0.0585

; 24r

0.2924

; 34r

0.7309

; 44r 0 ; 54r 0.6139

e. Ranking tiap alternatif US

15r 0.2929 ; 25r

0.5859

; 35r

0.0418

; 45r

0.7114 ; 55r 0.2511

Matriks keputusan ternormalisasi ijr dinyatakan sebagai berikut.

2511.06139.05883.005071.0

7114.004669.02246.01690.0

0418.07309.008984.05071.0

5859.02924.04669.006761.0

2929.00585.04669.03773.00

ijr

Selanjutnya dengan mengikuti persamaan (8), maka diperoleh matriks

keputusan ternormalisasi terbobot ijy sebagai berikut.

0105.00513.01042.002153.0

0298.000827.00613.00718.0

0018.00611.002451.02153.0

0245.00244.00827.002870.0

0123.00049.00827.01029.00

ijy

Solusi ideal positif dicari berdasarkan persamaan (9) sehingga diperoleh hasil

berikut.

0298.00611.01042.02451.02870.0A

Kemudian dicari solusi ideal negatif berdasarkan persamaan (10) sehingga diperoleh

hasil berikut.

0018.00000A

Jarak antara alternatif Ai dengan solusi ideal positif dihitung berdasarkan

persamaan (11) sehingga diperoleh hasil berikut.

704

0.2563 ; 0.2904 ; 0.1296 ; 0.2488 ; 3264.0 54321

DDDDD

Jarak antara alternatif Ai dengan solusi ideal negatif dihitung berdasarkan persamaan

(12) sehingga diperoleh hasil berikut.

0.2448 ; 0.1286 ; 0.3319 ; 0.3006 ; 0.1326 54321

DDDDD

Nilai preferensi merupakan nilai yang menjadi ukuran kedekatan setiap

alternatif terhadap solusi ideal. Setelah dilakukan perhitungan berdasarkan

persamaan (13), maka diperoleh nilai preferensi untuk masing-masing alternatif

sebagai berikut.

0.4885 ; 0.3069 ; 0.7191 ; 0.5471 ; 0.2889 54321 VVVVV

Berdasarkan perhitungan di atas, diperoleh hasil pengurutan seperti pada

Tabel 7.

Tabel 7. Nilai preferensi dan ranking tiap alternatif

No. Urut Alternatif Nilai Preferensi

1 3 0.7191

2 2 0.5471

3 5 0.4885

4 4 0.3069

5 1 0.2889

4. Kesimpulan

Dari hasil diperoleh bahwa dengan menggunakan metode AHP, diketahui

bobot untuk kriteria KKD sebesar 0.4245, kriteria SPB sebesar 0.2728, kriteria HIP

sebesar 0.1772, kriteria IMT sebesar 0.0836 dan kriteria US sebesar 0.0419.

Pengurutan dengan menggunakan metode TOPSIS memberikan hasil bahwa

alternatif yang memiliki potensi paling tinggi terkena serangan jantung adalah

alternatif 3 dengan jarak solusi ideal positif sebesar 0.1296 dan jarak solusi ideal

negatif sebesar 0.3319 dengan nilai preferensi sebesar 0.7191. Alternatif ini diikuti

oleh alternatif 2 dengan jarak solusi ideal positif sebesar 0.2488 dan jarak solusi

ideal negatif sebesar 0.3006 dengan nilai preferensi sebesar 0.5471. Kemudian

alternatif 5 dengan jarak solusi ideal positif sebesar 0.2563 dan jarak solusi ideal

negatif sebesar 0.2448 dengan nilai preferensi sebesar 0.4885. Alternatif 4 dengan

jarak solusi ideal positif sebesar 0.2904 dan jarak solusi ideal negatif sebesar 0.1286

dengan nilai preferensi sebesar 0.3069. Sedangkan alternatif 1 dengan jarak solusi

ideal positif sebesar 0.3264 dan jarak solusi ideal negatif sebesar 0.1326 dengan nilai

preferensi sebesar 0.2889 menempati urutan terakhir. Itu berarti bahwa alternatif 1

memiliki potensi paling rendah terkena serangan jantung di antara alternatif-

alternatif lainnya.

705

Referensi

[1] Koohpayehzadeh, H.E. and Sadegh, M.A.N., 2015, Using the AHP and Fuzzy-AHP

Decision Making Methods to Optimize the Dam Site Selection in illustrative basin in

the center of Iran, International Journal of Advanced Research (2015), Volume 3, Issue

9, 31 – 41.

[2] Tuysuz, F. and Kahraman, C., 2006, Project Risk Evaluation Using a Fuzzy Analytic

Hierarchy Process: An Application to Information Technology Projects, International

Journal of Intelligent Systems, Vol. 21, 559–584.

[3] Kong, F. and Liu, H., 2005, Applying Fuzzy Analytic Hierarchy Process to Evaluate

Success Factors of E-Commerce, International Journal of Information and Systems

Sciences, Vol 1, No. 3-4, 406–412.

[4] Opricovic, S. and Tzeng, G.H., 2004, Compromise solution by MCDM methods: A

comparative analysis of VIKOR and TOPSIS. European Journal of Operation

Research, 156, 445-455.

[5] Ayu, G.M.S.W., Ketut, I.G.D.P. and Wira, P.B., 2013, Multi-Attribute Decision Making

Scholarship Selection Using A Modified Fuzzy TOPSIS, International Journal of

Computer Science Issues, Vol. 10, Issue 1, No. 2, 309-317.

[6] ‘Uyun, S. dan Riadi, I., 2011, A Fuzzy Topsis Multiple-Attribute Decision Making for

Scholarship Selection. Jurnal Telkomnika, Vol. 9(1), 37-46.

[7] Nuraini, J., Yusuf, M.F. dan Harahap, E.H., 2016, Pemilihan Campuran Biodiesel

Terbaik Berdasarkan Penggabungan Analytic Hierarchy Process (AHP) dan Technique

for Order Preference by Similarity to Ideal Solution (TOPSIS), Prosiding SPeSIA 2016

Fakultas MIPA Unisba, 11 Agustus 2016.

[8] Soyler, H. and Pirim, L., 2014, Using Fuzzy AHP and Fuzzy TOPSIS Methods for the

Analysis of Development Agencies Project Evaluation Criteria, NWSA-Social Sciences,

3C0124, 9, (4), 105-117.

[9] Zahrawardani, D., Sri, K.H. dan Dewi, H.A., 2013, Analisis Faktor Risiko Kejadian

Penyakit Jantung Koroner di RSUP Dr. Kariadi Semarang, Jurnal Kedokteran

Muhammadiyah, Vol. 1, No. 2, 13-20.

.

706


IMPLEMENTASI TEOREMA DAERAH KAJIAN

DAN TEOREMA KOMPOSISI IRISAN HIMPUNAN

PADA ETNOINFORMATIKA PENAMAAN DESA DI

LIMA WILAYAH PROVINSI JAWA BARAT

ATJE SETIAWAN ABDULLAH1 DAN BUDI NURANI

RUCHJANA2

1Departemen Ilmu Komputer, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

Padjadjaran, Bandung, [email protected] 2Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Padjadjaran, Bandung, [email protected]

Abstrak. Etnoinformatika merupakan peran ilmu informatika dalam budaya masyarakat di lokasi

tertentu, salah satu budaya yang ada di masyarakat adalah penamaan tempat yang menggambarkan ciri

dari suatu tempat yang diberikan oleh kelompok masyarakat di lokasi tersebut. Ilmu informatika yang

digunakan dalam penelitian ini adalah data mining, yaitu proses untuk mengekstrak pengetahuan secara

otomatis dari database yang besar, untuk mendapatkan pola-pola yang menarik sehingga diperoleh

suatu knowledge. Pada penelitian ini dikaji bagaimana para leluhur zaman dahulu memberikan

penamaan tempat tinggalnya, serta meneliti makna dari penamaan tempat tersebut. Pengelompokan

dilakukan berdasarkan struktur kata penamaan desa, meliputi awalan, suku kata yang terkandung, dan

kata lengkap penamaan desa, sedangkan pengelompokan makna penamaan desa berdasarkan duabelas

kategori. Database yang digunakan dalam penelitian ini memanfaatkan database desa wilayah-wilayah

di provinsi Jawa Barat, didapat dari Badan Informasi Strategis (BIG) Indonesia tahun 2014, yang

tersusun dalam hirarki provinsi, kabupaten, kecamatan dan desa. Metodologi penelitian yang digunakan

dalam penelitian ini adalah mengikuti proses knowledge discovery in database (KDD), pada data

mining. Proses tersebut terdiri dari, proses preprocessing, data mining, dan post processing. Untuk

memudahkan pencarian penamaan desa, dikembangkan aplikasi pencarian berbasis Java, yang terdiri

dari menu pemilihan lokasi, menu pencarian desa, menu rekapitulasi, dan menu irisan himpunan

penamaan desa.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa penamaan desa di lima wilayah Jawa Barat melambangkan

karakter sendiri budaya masyarakat di masing-masing wilayahnya. Pada masyarakat di wilayah-

wilayah pegunungan, penggunaan awalan Ci, awalan Pa, dan awalan Su, dalam penamaan desa relatif

tinggi, sedangkan di wilayah-wilayah pantai penggunaan awalan tersebut relatif redah. Makna dari

penamaan desa menggambarkan karakter budaya masyarakat di wilayah masing-masing. Secara umum

makna penamaan desa menjadi karakter masyarakat di lima wilayah Jawa Barat mengutamakan

kebaikan dalam menjalankan hidupnya, selalu bekerja keras untuk mencapai kehidupan yang lebih

sejahtera, dan mencintai serta memelihara kelestarian air dan lingkungannya. Pada penelitian ini juga

dikembangkan dua teorema dan implementasinya, pertama teorema lokasi kajian, digunakan untuk

menentukan jumlah lokasi dan prioritas penelitian, dan kedua teorema komposisi irisan himpunan,

digunakan untuk menentukan kemiripan dan kekhasan di masing-masing lokasi wilayah.

Kata kunci: Data Mining, Etnoinformatika, Clustering, LokasiKajian, Komposisi Irisan

Himpunan



707

1. Pendahuluan

Nama-nama tempat tinggal sudah ada semenjak ratusan tahun yang lalu,

digunakan untuk menandai daerah tertentu. Semenjak manusia dilahirkan di dunia,

penamaan tempat sudah digunakan, hal ini tergambar pada akte kelahiran, meliputi

tempat lahir, tanggal lahir dan tahun lahir. Lalu timbul pertanyaan bagaimana para

leluhur di daerah tertentu memberikan penamaan tempat tinggalnya? Pada saat ini

sering didengar ungkapan pertanyaan dari generasi muda tentang apalah artinya

sebuah penamaan? Hal ini memberikan kesan penamaan itu tidak ada artinya.

Penelitian ini mengkaji bagaimana para leluhur bangsa memberikan penamaan pada

tempat tinggalnya, khususnya mengkaji penamaan desa, hal ini dipilih mengingat

tersedianya database yang besar penamaan desa, sumber data diambil dari Badan

Informasi Geospasial (BIG) di Indonesia tahun 2014. Selain itu pengambilan

penamaan desa didasarkan pada kenyataan sampai saat ini desa merupakan elemen

terkecil yang sudah dilengkapi dengan koordinat lokasi masing-masing, sehingga

mudah digambarkan pada peta lokasi. Database yang digunakan dibatasi dengan

hanya meneliti database penamaan desa di lokasi wilayah-wilayah yang berada di

provinsi Jawa Barat. Wilayah di provinsi Jawa Barat mengacu pada [7] terdiri dari

5 wilayah, meliputi wilayah I, terdiri dari kabupaten Bogor, kota Bogor, kota Depok,

kabupaten Sukabumi, kota Sukabumi, dan kabupaten Cianjur. Wilayah II meliputi

kabupaten Purwakarta, kabupaten Karawang, kota Bekasi, kabupaten Bekasi, dan

kabupaten Subang. Wilayah III, meliputi kabupaten Cirebon, kota Cirebon,

kabupaten Indramayu, kabupaten Kuningan, dan kabupaten Majalengka. Wilayah IV

meliputi, kabupaten Tasikmalaya, kota Tasikmalaya, kabupaten Ciamis, kota Banjar,

kabupaten Garut, kabupaten Sumedang, dan kabupaten Pangandaran. Wilayah V

terdiri dari kabupaten Bandung, kota Bandung, kota Cimahi dan kabupaten Bandung

Barat. Penelitian ini juga mengkaji tentang makna penamaan desa, baik secara

deskriptif maupun menggunakan pengelompokkan makna arti kata penamaan desa,

dengan membandingkan penamaan desa di lima wilayah yang ada di provinsi Jawa

Barat.

Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji beberapa hal yang berkaitan dengan

etnomatematika penamaan desa di wilayah-wilayah yang ada di provinsi Jawa Barat,

sebagai berikut:

1. Mendeskripsikan nama-nama desa yang banyak digunakan di lima wilayah

provinsi Jawa Barat, serta mendeskripsikan makna penamaan desa

berdasarkan awalan penamaan desa, suku kata yang terkandung dalam

penamaan desa dan kata lengkap penamaan desa.

2. Menggambarkan deskripsi penamaan desa dalam peta lokasi, untuk melihat

kemiripan dan kekhasan di setiap lokasi yang ada di wilayah-wilayah

provinsi Jawa Barat.

3. Mengembangkan dan mengimplementasikan teorema irisan himpunan untuk

mencari daerah kajian dan komposisi irisan himpunan untuk melihat

kemiripanan dan kekhasan penamaan desa yang ada di wilayah-wilayah


708

2. Tinjauan Pustaka

2.1 Etnomatematika dan Etnoinformatika

Etnomatematika pertama kali diperkenalkan oleh pendidik dan

matematikawan dari Brazil yaitu Ubiratan D’Ambrioso pada tahun 1997 dalam

sebuah presentasi untuk American Association for the Advancement of Science,

matematikawan tersebut menamakan program ini dengan menggunakan

etimologi akar Yunani, etno, mathema, dan tics untuk menjelaskan tentang

ethnomathematics. “Etnomatematika adalah Matematika yang dipraktekkan

diantara kelompok budaya diidentifikasi seperti masyarakat nasional, suku,

kelompok buruh, anak-anak dari kelompok usia tertentu dan kelas profesional"

[4]. “Etnomatematika sebagai mode, gaya dan teknik menjelaskan, memahami,

dan menghadapi lingkungan alam dan budaya dalam sistem budaya yang

berbeda“ [5]. Dengan menggunakan logika yang sama dengan etnomatematika,

pada penelitian ini penulis mendefinisikan etnoinformatika merupakan

penerapan ilmu informatika di dalam budaya [1, 2]. Pada penelitian ini ilmu

informatika yang digunakan adalah penambangan data atau data mining dengan

memanfaatkan database penamaan desa di lima wilayah yang terletak di


2.2 Makna

Makna adalah arti atau maksud yang tersimpul dari suatu kata, jadi makna

dengan bendanya sangat bertautan dan saling menyatu. Jika suatu kata tidak bisa

dihubungkan dengan bendanya, peristiwa atau keadaan tertentu maka kita tidak

bisa memperoleh makna dari kata itu [11]. Terdapat beberapa istilah yang

berhubungan dengan pengertian makna kata, yakni makna donatif, makna

konotatif, makna leksikal, makna gramatikal. Makna denotatif ialah makna

dasar, umum, apa adanya, netral tidak mencampuri nilai rasa, dan tidak berupa

kiasan. Makna konotatif adalah makna yang berupa kiasan atau yang disertai

nilai rasa, tambahan-tambahan sikap sosial, sikap pribadi sikap dari suatu zaman,

dan kriteria-kriteria tambahan yang dikenakan pada sebuah makna konseptual.

Makna Leksikal ialah makna kata seperti yang terdapat dalam kamus, istilah

leksikal berasal dari leksikon yang berarti kamus. Makna kata yang sesuai

dengan kamus inilah kata yang bermakna leksikal. Contoh: Batin (hati), Belai

(usap), Cela (cacat). Makna gramatikal adalah makna kata yang diperoleh dari

hasil perstiwa tata bahasa, istilah gramatikal dari kata grammar yang artinya tata

bahasa. Makna gramatikal sebagai hasil peristiwa tata bahasa ini sering disebut

juga nosi. Contoh: Nosi-an pada kata gantungan adalah alat.

2.3 Toponimi

Pengetahuan tentang penamaan disebut onomastic, terdiri atas dua cabang.

Pertama antroponimi, yaitu pengetahuan yang mengkaji riwayat atau asal-usul

penamaan orang. Kedua adalah toponimi, yaitu pengetahuan yang mengkaji

riwayat atau asal-usul penamaan tempat [3]. Toponim atau toponym berasal dari

“topos” dan “nym”. Topos berarti “tempat” merupakan gambaran tentang

permukaan atau tempat-tempat di bumi. “Nym” berasal dari “onyma” yang

berarti “nama”. Secara harfiah, toponim diartikan penamaan tempat di muka

bumi. Kajian toponimi dengan penelusuran nama-nama unsur geografis di suatu

709

wilayah, digunakan untuk menelusuri suatu kelompok etnik yang mendiami

suatu wilayah di masa lalu, berhubungan dengan sejarah permukiman manusia

[8]. Penamaan tempat atau toponimi memiliki tiga kategori utama yang sangat

berpengaruh terhadap pemberian nama tempat. (1) Aspek perwujudan berkaitan

dengan tempat kehidupan manusia yang cenderung menyatu dengan bumi dan

lingkungan alam. Penamaan kampung, berdasarkan aspek lingkungan alam yang

dapat dilihat. (2) Aspek kemasyarakatan berkaitan dengan interaksi sosial,

termasuk kedudukan seseorang, pekerjaan dan profesinya. Keadaan masyarakat

menentukan penamaan tempat, misal tempat yang masyarakatnya mayoritas

bertani, maka diberi penamaan yang tidak jauh dari pertanian. (3) Aspek

kebudayaan berkaitan dengan penamaan tempat banyak sekali yang dikaitkan

dengan unsur kebudayaan seperti masalah mitologis, folklor, dan sistem

kepercayaan, pemberian penamaan tempat jenis ini sering pula dikaitkan dengan

cerita rakyat yang disebut legenda.

Untuk melihat kaitan antara suatu objek dengan objek lainnya, digunakan hukum

pertama dari geografi yang menyatakan sesuatu objek pasti berhubungan dengan

objek lainnya, akan tetapi sesuatu objek yang berdekatan akan memiliki tingkat

hubungan yang lebih tinggi [12]. Konsep tersebut dikombinasikan dengan

konsep irisan himpunan, yang menyatakan anggota dari hasil irisan himpunan,

sekaligus merupakan anggota bagi himpunan yang diiriskan. Konsep-konsep

tersebut diperlihatkan pada penamaan desa di wilayah-wilayah yang terletak

pada provinsi Jawa Barat.

2.4 Data Mining

Data mining, merupakan suatu proses mengekstrak pengetahuan secara

otomatis dari database yang besar, untuk memperoleh pola-pola yang menarik

yang sebelumnya tidak diketahui, sehingga terbentuk suatu knowledge [6].

Proses data mining meliputi tiga tahapan, tahapan pertama adalah data

preprocessing, meliputi pembersihan data, transformasi, penggabungan dan

seleksi data, tahapan kedua proses data mining, meliputi penggunaan model-

model matematika dan statistika untuk memproses dan mengolah data, dan

ketiga postprocessing terdiri dari visualisasi, serta interpretasi hasil pengolahan

data, untuk menghasilkan suatu knowledge. Fungsi dari data mining meliputi

deskriptif dan prediktif. Penelitian ini mendeskripsikan penamaan desa di

wilayah-wilayah yang berada di provinsi Jawa Barat, berdasarkan struktur kata

penamaan desa, meliputi awalan penamaan desa, suku kata yang terkandung

dalam penamaan desa, dan kata lengkap penamaan desa [1].

2.5 Clustering

Cluster merupakan kumpulan dari objek-objek data yang memiliki sifat

similar di dalam kluster yang sama dan dissimilar pada objek-objek kluster yang

berlainan, analisis kluster merupakan pengelompokkan beberapa objek data

menjadi cluster-cluster, sedangkan klustering merupakan proses

pengelompokkan himpunan data menjadi himpunan bagian-himpunan bagian,

atau menjadi kelas-kelas atau kluster-kluster, supaya objek-objek dalam kluster

tersebut memiliki tingkat kesamaan tinggi pada saat dibandingkan, tetapi sangat

berbeda jika dibandingkan dengan kluster yang berbeda [6]. Pada penelitian ini,

penamaan desa dikategorikan berdasarkan struktur kata, meliputi awalan kata

710

penamaan desa, suku kata yang dikandung dalam penamaan desa, dan kata

lengkap yang digunakan pada penamaan desa. Sedangkan klustering makna

penamaan desa menggunakan dua belas kategori, meliputi kategori alam,

kategori tumbuhan, kategori bunga, kategori perasaan, kategori penghormatan,

kategori buah-buahan, kategori warna, kategori arah, kategori peralatan,

kategori usaha, kategori keadaan, kategori tempat, kategori binatang, kategori

karakter dan kategori seni. Setiap kategori atau kelas-kelas divisualisasikan

dengan menggunakan distribusi penamaan desa terbanyak di masing-masing

lokasi.

3. Metodologi Penelitian

3.1 Metodologi

Metodologi penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah mengikuti

tahapan process discovery in database pada data mining [6]. Tahapan-tahapan

tersebut terdiri dari: tahapan preprocessing, meliputi penyiapan database desa di

wilayah-wilayah provinsi Jawa Barat, kemudian proses pembersihan data

dengan tujuan untuk menghilangkan duplikasi data, menghilangkan eror dan

ketidak konsistennan data. Proses penggabungan data merupakan proses

penggabungan data internal yang diteliti yaitu penamaan desa dengan data

eksternal berupa koordinat masing-masing desa, hal ini untuk bisa divisualisasi

dalam bentuk peta lokasi. Data warehouse menampilkan data agregat yang dapat

diakses secara online, menentukan data yang relevan dalam hal ini yang diteliti

hanya data penamaan desa di wilayah-wilayah yang ada di provinsi Jawa Barat.

Tahapan Proses Data Mining yaitu penggunaan metode untuk mengolah data

tersebut, dalam hal ini digunakan klustering penamaan desa dengan tiga kluster,

kluster pertama penamaan desa berdasarkan awalan nama pada penamaan desa

di pulau Jawa, kluster kedua penamaan desa berdasarkan kata lengkap pada

penamaan desa di wilayah-wilayah yang ada di provinsi pulau Jawa, dan kluster

ketiga makna penamaan desa berdasarkan makna suku kata yang terkandung

pada penamaan desa di wilayah-wilayah yang ada di provinsi Jawa Barat.

Tahapan post processing, meliputi proses pencarian pola dengan memvisualisasi

hasil pengolahan data kluster menggunakan tabel, diagram dan peta lokasi.

Proses perolehan knowledge, diperoleh dengan meresume hasil interpretasi dari

table, diagram dan peta lokasi yang diperoleh pada tahap visualisasi pencarian

pola. Selain itu dikembangkan teorema yang berkaitan dengan irisan himpunan,

yaitu teorema untuk menjelaskan banyaknya lokasi kajian, dan teorema yang

berkaitan dengan komposisi hasil irisan pada penamaan desa di wilayah-wilayah

yang ada di provinsi Jawa Barat. Secara lengkap tahapan dari proses knowledge

discovery in database pada data mining dapat dilihat pada Gambar1 berikut ini.

711

Gambar 1. Tahapan Proses Knowledge Discovery in Data Mining

3.2 Database Penamaan Desa

Pada penelitian ini data yang digunakan adalah database penamaan desa di

lima wilayah provinsi Jawa Barat, terdiri dari 5760 desa, merupakan data

skunder yang didapat dari Badan Informasi Geographi (BIG), Indonesia pada

tahun 2014. Database desa tersebut kemudian disusun ke dalam hirarki wilayah

yang ada di provinsi Jawa Barat, terdiri dari 5 wilayah meliputi; wilayah 1,

terdiri dari 1269 desa, wilayah 2, terdiri dari 992 desa, wilayah 3 terdiri dari 1455

desa, wilayah 4, terdiri dari 1447 desa, serta wilayah 5, terdiri dari 597 desa.

Masing-masing penamaan desa tersebut digabungkan dengan data eksternal

berupa koordinat lokasi desa masing-masing, digunakan untuk memudahkan

menggambarkannya di peta lokasi. Secara lengkap rekapitulasi jumlah

penamaan desa di pulau Jawa dapat dilihat pada Tabel 1.

Tabel 1. Rekapitulasi Jumlah Desa Di Lima Wilayah

Provinsi Jabar

No Wilayah Jumlah Persentase

1 Wil-1 1269 22.03

2 Wil-2 992 17.22

3 Wil-3 1455 25.26

4 Wil-4 1447 25.12

5 Wil-5 597 10.36

Total

Jabar 5760 100.00

Untuk mempercepat proses pencarian pada penamaan desa di lima wilayah Jawa

Barat, dikembangkan aplikasi pencarian berbasis Java, terdiri dari tiga menu,

menu pertama terdiri dari menu pencarian penamaan desa berdasarkan awalan,

712

berdasarkan suku kata yang terkandung, dan berdasarkan kata lengkap, menu

kedua untuk rekapitulasi jumlah nama desa dan jumlah desa di wilayah tertentu,

dan menu ketiga merupakan irisan dari himpunan penamaan desa yang ada di

wilayah-wilayah provinsi Jawa Barat. Contoh penggunaan aplikasi untuk

pencarian kata lengkap dalam penamaan desa di wilayah Jawa Barat dapat

dilihat pada Gambar 2 berikut ini.

Gambar 2. Pencarian Kata Lengkap Penamaan Desa

Gambar 2 menjelaskan contoh penggunaan aplikasi pencarian nama desa

berdasarkan kata lengkap, pada menu pilih pencarian desa dan pilih kata lengkap

dan pilih provinsi tujuan, kemudian ketikkan nama desa yang akan dicari, pada

contoh di atas akan dicari nama-nama desa yang mengandung kata sidorejo,

maka akan muncul list dari desa-desa yang dimaksud, serta jumlah desanya dan

persentasenya terhadap seluruh data pada provinsi tersebut.


4.1 Clustering Berdasarkan Awalan Kata pada Penamaan Desa

Berdasarkan Tabel 2 awalan pada penamaan desa di wilayah-wilayah yang

berada di provinsi Jawa Barat, menunjukan bahwa awalan CI, merupakan awalan

yang paling banyak digunakan, yaitu sebanyak 5760 (5.98%), kemudian awalan PA

sebanyak 1432 (5.76%), dan disusul awalan CI sebanyak 1047 (18,18%). Hal ini

menunjukkan bahwa masyarakat di wilayah-wilayah yang ada di provinsi Jawa Barat

mengutamakan kebaikan dalam menjalankan hidupnya, selalu bekerja keras untuk

mencapai kehidupan yang lebih sejahtera, dan mencintai serta memelihara

kelestarian air dan lingkungannya. Secara lengkap dapat dilihat pada Tabel 2.

Tabel 2. Rekapitulasi Awalan Ci, Pa dan Su di 5 Wilayah Jabar

No Awalan

Wil-

1 Persen

Wil-

2 Persen

Wil-

3 Persen

Wil-

4 Persen

Wil-

5 Persen Jabar Persen

1 CI 280 22.06 155 15.63 177 12.16 285 19.70 150 25.13 1047 18.18

2 PA 96 7.57 77 7.76 111 7.63 123 8.50 52 8.71 459 7.97

3 SU 145 11.43 92 9.27 86 5.91 175 12.09 47 7.87 545 9.46

TOTAL

WILAYAH 1269 992 1455 1447 597 5760

713

Berdasarkan Tabel 2 dapat dinyatakan beberapa hal tentang awalan kata penamaan

desa sebagi berikut: Awalan Ci, yang berarti air atau sungai, menunjukkan kecintaan

dan ketergantungan masyarakat di wilayah-wilayah provinsi Jawa Barat terhadap air

atau sungai dalam menjalankan kehidupannya. Hampir 20% penamaan desa di Jawa

Barat dimulai dengan awalan Ci, wilayah terbanyak penggunaan awalan Ci adalah

wilayah-5, wilayah-1, dan wilayah-3, masing-masing di atas 20%, sedangkan di

wilayah-2, dan wilayah-3, penggunaan awalan Ci relatif kecil yaitu di bawah 15%.

Dilihat dari peta lokasi menunjukkan di daerah dataran tinggi atau pegunungan

penggunaan awalan Ci relative tinggi, sedangkan di daerah dataran rendah, atau

pantai utara dan selatan penggunaan awalan Ci relative kecil. Awalan Pa, yang

berarti fungsinya untuk, menunjukkan budaya masyarakat di wilayah-wilayah

provinsi Jawa Barat mengutamakan bekerja keras dalam menjalankan

kehidupannya. Hampir 8% penamaan desa di Jawa Barat dimulai dengan awalan Pa,

wilayah terbanyak penggunaan awalan Pa adalah wilayah-5, dan wilayah-4, masing-

masing di atas 8%, sedangkan di wilayah-2, wilayah-3 dan wilayah-1, penggunaan

awalan Pa relatif kecil yaitu di bawah 15%. Dilihat dari peta lokasi menunjukan

bahwa di daerah dataran tinggi atau pegunungan penggunaan awalan Pa relative

tinggi, sedangkan di daerah dataran rendah, atau pantai utara dan selatan penggunaan

awalan Pa relative kecil. Awalan Su, yang berarti baik, menunjukan budaya

masyarakat di wilayah-wilayah provinsi Jawa Barat mengutamakan kebaikan dalam

menjalankan kehidupannya. Hampir 10% penamaan desa di Jawa Barat dimulai

dengan awalan Su, wilayah terbanyak penggunaan awalan Su adalah wilayah-1, dan

wilayah-4, masing-masing di atas 11,5%, sedangkan di wilayah-2, wilayah-3 dan

wilayah-5, penggunaan awalan Su relatif kecil yaitu di bawah 9%. Dilihat dari peta

lokasi menunjukan bahwa di daerah dataran tinggi atau pegunungan penggunaan

awalan Su relative tinggi, sedangkan di daerah dataran rendah, atau pantai utara dan

selatan, serta di daerah perkotaan penggunaan awalan Su relative kecil.

4.2 Clustering Makna Penamaan Desa berdasarkan Suku Kata Terkandung

Tabel 3. Persentase Kemiripan Terbanyak Suku Kata yang Terkandung

Dalam Penamaan Desa Di 5 Wilayah Jabar Terhadap Jabar

No Wilayah 5 Suku Kata Terbanyak Prosen

1 WIL-1 SUKA, BOJONG, MEKAR, PASIR, GUNUNG 60%

2 WIL-2 SUKA, JATI, KARANG, TANJUNG, KUTA 40%

3 WIL-3 SUKA, KARANG, KALI, SINDANG, JATI 40%

4 WIL-4 SUKA, MEKAR, KARANG, SINDANG, TANJUNG 80%

5 WIL-5 SUKA, MEKAR, BOJONG, MARGA, PASIR 60%

JABAR SUKA, KARANG, MEKAR, SINDANG, BOJONG

Tabel 3 menunjukkan persentase kemiripan terbanyak suku kata yang terkandung

dalam penamaan desa di setiap wilayah terhadap suku kata terkandung terbanyak di

provinsi Jawa Barat. Kemiripan tertinggi ada di wilayah-4 (80%), dikikuti wilayah-

1 dan wilayah-5 (60%), sedangkan kemiripan terkecil ada di wilayah-2 dan wilayah-

3 (40%). Hal ini menunjukkan penamaan desa di wilayah priangan yang memiliki

kontur pegunungan memiliki kemiripan tinggi, sedangkan di wilayah pantura yang

memiliki kontur pantai memiliki kemiripan yang rendah dibandingkan desa-desa di

wilayah Jawa Barat secara keseluruhan.

714

Tabel 4. Persentase Makna Penamaan Desa Terbanyak Di 5 Wilayah Provinsi Jabar

No Wilayah

Wil-1

(Bogor)

Wil-2

(Purwakarta)

Wil-3

(Cirebon)

Wil-4

(Tasikmalaya)

Wil-5

(Bandung)

1 ALAM 24.92 37.09 38.12 25.39 20.96

2 PERASAAN 25.74 15.73 9.20 26.79 14.09

3 KONDISI 14.03 9.71 16.28 15.99 21.99

4 TUMBUHAN 3.96 8.74 10.34 2.24 4.81

5 TEMPAT 11.39 4.85 10.15 4.77 13.40

6 USAHA 15.18 16.70 11.88 17.25 19.24

7 PENGHORMATAN 0.83 4.85 3.07 4.77 1.37

Dari Tabel 4 dapat disimpulkan: Masyarakat di wilayah-1, mencintai alam dan

lingkungannya, mempertimbangkan perasaan dalam menjalankan perilaku

kehidupan, giat berusaha, dan dapat menyesuaikan dengan keadaan. Masyarakat

yang ada di wilayah-2, mencintai alam dan lingkungannya, giat berusaha,

mempertimbangkan perasaan dalam menjalankan perilaku kehidupan dan dapat

menyesuaikan dengan keadaan. Masyarakat yang ada di wilayah-3, mencintai alam

dan lingkungannya, dapat menyesuaikan dengan keadaan, giat berusaha, dan

memanfaatkan tumbuhan dan tempat tinggalnya dalam kehidupan. Masyarakat yang

ada di wilayah-4, mencintai alam dan lingkungannya, mempertimbangkan perasaan

dalam menjalankan perilaku kehidupan, giat berusaha, dan dapat menyesuaikan

dengan keadaan. Masyarakat di wilayah-5, dapat menyesuaikan dengan keadaan,

mencintai alam dan lingkungannya, giat berusaha, dan mempertimbangkan perasaan

dalam menjalankan perilaku kehidupan.

4.3 Clustering Berdasarkan Kata Lengkap pada Penamaan Desa

Berdasarkan penamaan desa lengkap terbanyak di Jawa Barat, paling banyak

digunakan adalah Mekarsari, Mekarjaya, Sukamaju, Sukamulya dan Neglasari. Hal

ini menunjukkan masyarakat di Jawa Barat memiliki visi sejahtera, selalu bekerja

keras untuk kemajuan, mengerjakan pekerjaan dengan senang hati, dan menjalankan

kewajiban agamis masing-masing dalam kehidupannya.

Tabel 5. Kemiripan Berdasarkan Kata Lengkap Di 5 Wilayah Jabar

No Wilayah 5 Kata Lengkap Terbanyak Prosen

1 WIL-1 MEKARJAYA, SUKAMAJU, MEKARSARI, NEGLASARI, SUKAMULYA 100%

2 WIL-2 SINDANGSARI, SUKASARI, MEKARJAYA, MEKARSARI, SUKAMULYA 60%

3 WIL-3 KARANGANYAR, KERTAWINANGUN, MEKARJAYA, MEKARSARI, SUKAMULYA 60%

4 WIL-4 MEKARSARI, SUKAMULYA, NEGLASARI, MEKARJAYA, SUKAMAJU 100%

5 WIL-5 MEKARSARI, NEGLASARI, SUKAMULYA, SUKAMAJU, CIBODAS 80%

715

Tabel-5, menunjukkan persentase kemiripan terbanyak kata lengkap dalam

penamaan desa di setiap wilayah terhadap kata lengkap terbanyak di provinsi Jawa

Barat. Kemiripan tertinggi ada di wilayah-1 dan wilayah-4, dikikuti wilayah-5.

Kemiripan terkecil ada di wilayah-2 dan wilayah-3. Hal ini menunjukkan penamaan

desa di wilayah priangan yang memiliki kontur pegunungan memiliki kemiripan

tinggi, sedangkan di wilayah pantura yang memiliki kontur pantai memiliki

kemiripan yang rendah dibandingkan desa-desa di wilayah Jawa Barat secara

keseluruhan.

Tabel 6 menunjukkan makna penamaan desa berdasarkan kata lengkap yang

menunjukkan arti Keadaan, persentase terbanyak ada di wilayah-3 (22.90%),

persentase terkecil di wilayah-2 (12%). Makna penamaan desa berdasarkan kata

lengkap yang menunjukkan arti Alam, persentase terbanyak ada di wilayah-

2(24.36%), persentase terkecil di wilayah-4 (14.72%). Makna penamaan desa

berdasarkan kata lengkap yang menunjukkan arti Usaha, persentase terbanyak ada

di wilayah-5(24.33%), persentase terkecil di wilayah-2 (13.92%).

Makna penamaan desa berdasarkan kata lengkap yang menunjukkan arti Tempat,

persentase terbanyak ada di wilayah-5(23.67%), persentase terkecil di wilayah-

3(10.00%). Makna penamaan desa berdasarkan kata lengkap yang menunjukan arti

Penghormatan, persentase terbanyak ada di wilayah-3 (13.37%), sedangkan

persentase terkecil di wilayah-1(6.46%). Makna penamaan desa berdasarkan kata

lengkap yang menunjukkan arti Tumbuhan, persentase terbanyak ada di wilayah-

2(9.71%), persentase terkecil di wilayah-5(5.33%).

Makna penamaan desa berdasarkan kata lengkap yang menunjukan arti Perasaan,

persentase terbanyak ada di wilayah-4 (8.35%), persentase terkecil di wilayah-5

(5,00%). Makna penamaan desa berdasarkan kata lengkap yang menunjukkan arti

Binatang, persentase terbanyak ada di wilayah-1 (3.48%), persentase terkecil di

wilayah-5 (1.00%). Makna penamaan desa berdasarkan kata lengkap yang

menunjukkan arti Buah, persentase terbanyak ada di wilayah-1 (3,31%), persentase

terkecil ada di wilayah-5, yaitu sebesar 0,67%.

Tabel 6 Rekapitulasi Makna Penamaan Desa di Lima Wilayah Jawa Barat

NO KATEGORI WIL-

1 PERSEN

WIL-

2 PERSEN

WIL-

3 PERSEN

WIL-

4 PERSEN

WIL-

5 PERSEN JABAR

%

1 KEADAAN 125 20.70 65 11.90 226 22.90 130 19.73 44 14.67 590 19.06

2 ALAM 134 22.19 133 24.36 170 17.22 97 14.72 50 16.67 584 18.86

3 USAHA 95 15.73 76 13.92 179 18.14 139 21.09 73 24.33 562 18.15

4 TEMPAT 88 14.57 84 15.38 90 9.12 81 12.29 71 23.67 414 13.37

5

PENGHORMATA

N 39 6.46 71 13.00 132 13.37 88 13.35 26 8.67 356 11.50

6 TUMBUHAN 44 7.28 53 9.71 93 9.42 41 6.22 16 5.33 247 7.98

7 PERASAAN 38 6.29 35 6.41 50 5.07 55 8.35 15 5.00 193 6.23

8 BINATANG 21 3.48 14 2.56 23 2.33 14 2.12 3 1.00 75 2.42

9 BUAH 20 3.31 15 2.75 24 2.43 14 2.12 2 0.67 75 2.42

TOTAL 604 100.00 546 100.00 987 100.00 659 100.00 300 100.00 3096 100.00

716

4.4 Visualisasi peta lokasi wilayah-wilayah Jawa Barat

4.4.1 Visualisasi berdasarkan kata lengkap Karanganyar dan Kertawinangun

Gambar 3. Visualisasi Penamaaan Desa, Karanganyar dan Kertawinangun

Gambar 3, menunjukkan penamaan desa berdasarkan kata lengkap, Karanganyar dan

Kertawinangun, terbanyak berada di wilayah-3.

4.4.2 Visualisasi penamaan desa berdasarkan kata lengkap, Mekarsari dan

Neglasari

Gambar 4. Visualisasi Penamaaan Desa, Mekarsari dan Neglasari

Gambar 4, menunjukkan penamaan desa berdasarkan kata lengkap, Mekarsari

merupakan kata lengkap terbanyak berada di wilayah-4 dan wilayah-5. Sedangkan

Neglasari merupakan kata lengkap terbanyak di wilayah-1, wilayah-5, dan wilayah-

4.

717

4.4.3 Visualisasi berdasarkan kata lengkap Mekarjaya dan Sukamaju

Gambar 5. Visualisasi Penamaaan Desa Berdasarkan Kata Mekarjaya dan

Sukamaju

Gambar 5, menunjukan penamaan desa berdasarkan kata lengkap, penamaan desa

Mekarjaya terbanyak berada di wilayah-1, wilayah-2, dan wilayah-3. Sedangkan

penamaan desa Sukamaju terbanyak di wilayah-1.

4.4.4 Visualisasi berdasarkan kata lengkap Mekarsari dan Sukamulya

Gambar 6. Visualisasi Penamaaan Desa Berdasarkan Kata Lengkap, Mekarsari

dan Sukamulya

Gambar 6, menunjukkan penamaan desa berdasarkan kata lengkap, penamaan desa

Sukamulya, terbanyak berada di wilayah-5. Sedangkan Mekarsari terbanyak berada

di wilayah-4 dan wilayah-5.

718

4.4.5 Visualisasi berdasarkan kata lengkap Sindangsari dan Sukasari

Gambar 7. Visualisasi Penamaaan Desa, Sindangsari dan Sukasari

Gambar 7, menunjukkan penamaan desa berdasarkan kata lengkap, penamaan desa

Sindangsari terbanyak berada di wilayah-4, wilayah-1, dan wilayah-2. Sedangkan

penamaan desa Sukasari terbanyak berada di wilayah-2.

4.4 Teorema Jumlah Lokasi Kajian dan Komposisi Irisan Himpunan

4.4.1 Teorema Jumlah Lokasi Kajian

Jika banyak himpunan adalah 1 maka jumlah daerah hasil irisannya ada 1 daerah,

jika banyak himpunan 2 maka jumlah daerah hasil irisannya ada 3 daerah, jika

banyak himpunan 3 maka jumlah daerah hasil irisannya ada 7 daerah, …, jika banyak

himpunan 6 maka daerah hasil irisannya ada 31. Banyaknya daerah kajian hasil irisan

himpunan tersebut dapat dituliskan dengan rumus deret berikut ini: 1, 3, 7, 13, 21,

31, … , secara umum jika banyaknya himpunan sama dengan n maka jumlah daerah

kajiannya ada n(n-1)+1, formula tersebut dapat dibuktikan dengan menggunakan

induksi matematika.

Teorema-1. Jika n adalah banyaknya himpunan dan n>= 1, dengan n bilangan

bulat, maka jumlah daerah yang dibentuk oleh hasil irisan himpunan tersebut

adalah (n(n-1)+1) [2].

4.4.2 Teorema Komposisi Irisan Himpunan

Jika jumlah himpunan 1, maka jumlah komposisi irisan himpunan ada 1 = 1.1, Jika

jumlah himpunan 2, maka jumlah komposisi irisan himpunan ada 2 = 2.1, Jika

jumlah himpunan 3, maka jumlah komposisi irisan himpunan ada 6 = 3.2.1, Jika

jumlah himpunan 4, maka jumlah komposisi irisan himpunan ada 24 = 4.3.2.1, Jika

jumlah himpunan 5, maka jumlah komposisi irisan himpunan ada 120 = 5.4.3.2.1,

Jika jumlah himpunan n, maka jumlah komposisi irisan himpunan ada n! = n(n-1)(n-

2)…2.1. Secara umum dapat ditulis jika banyaknya himpunan n maka jumlah daerah

kajiannya ada n! , formula tersebut dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi

matematika.

719

Teorema-2. Jika n adalah banyaknya himpunan dengan n bilangan asli, dan n

saling beririsan, maka jumlah dari komposisi atau susunan urutan (Variasi)

irisan himpunan adalah ada sama dengan n! , setiap susunan urutan (komposisi)

irisan himpunan yang berbeda memiliki jumlah anggota himpunan yang berbeda

[2].

4.5 Implementasi Teorema berdasarkan suku kata Terkandung

Teorema-1 digunakan untuk mencari jumlah lokasi yang dikaji pada saat penelitian,

sedangkan teorema-2 digunakan untuk mencari komposisi himpunan yang mana

yang diteliti. Pada kasus yang diteliti himpunan wilayah-wilayah di provinsi Jawa

Barat, karena terdapat 5 wilayah, maka jumlah lokasi yang harus dikaji menerapkan

teorema-1 yaitu daerah kajian= 5(5-1)+1= 21 lokasi. Sedangkan jumlah komposisi

irisan wilayah yang dipilih dapat menerapkan teorema-2, karena ada 5 wilayah maka

banyaknya komposisi yang diteliti = 5! = 5.4.3.2.1 =120 komposisi. Dalam

menentukan komposisi himpunan yang diteliti biasanya disesuaikan dengan kondisi

nyata lokasi yang ada. Dalam hal ini wilayah-wilayah yang berdekatan, sesuai

dengan prinsip Tobler, bahwa lokasi yang berdekatan memiliki kemiripan yang

tinggi. Contoh implementasi dapat dilihat pada Diagram berikut.

Gambar 8. Jumlah Nama Desa Komposisi Irisan Himpunan (wil-1, wil-2, wil-3,

wil-4, wil-5)

4.5.1 Ciri Khas 5 Wilayah

n(5 wilayah) = Wil-1 ⋂ wil-2 ⋂ wil-3 ⋂ wil-4 ⋂ wil-5 = 10 ={suka, karang, mekar,

sindang, bojong, kerta, pasir, tanjung, marga, gunung}.

Jumlah nama desa yang mengandung suku kata yang sama yang digunakan di 5

wilayah di provinsi Jawa Barat ada 10, Hal ini menunjukkan bahwa ke sepuluh suku

kata tersebut merupakan suku kata yang paling disukai oleh para leluhur untuk

digunakan dalam penamaan desa di ke 5 wilayah di Jawa Barat. Selain itu kesepuluh

suku kata tersebut menjadi ciri khas di 5 wilayah-wilayah Jawa Barat, yang memiliki

arti bahwa masyarakat di ke lima wilayah di Jawa Barat memiliki karakter-karakter

berikut: Memiliki motivasi untuk maju dan sejahtera, pekerja keras, teguh dan tegar,

bermasyarakat, serta mencintai tempat kelahirannya dan mencintai lingkungan alam

sekitarnya.

720


n(tanpa wilayah-5) = wil-1 ⋂ wil-2 ⋂ wil-3 ⋂ wil-4 = 3={kali, jati, kuta}, n(tanpa

wilayah-4) = wil-1 ⋂ wil-2 ⋂ wil-3 ⋂ wil-5 = 0={ }, n(tanpa wilayah-3) = wil-1

⋂ wil-2 ⋂ wil-4 ⋂ wil-5 = 3={batu, karya, sirna}, n(tanpa wilayah-2) = wil-1 ⋂

wil-3 ⋂ wil-4 ⋂ wil-5 = 3={banjar, giri, pada}, n(tanpa wilayah-1) = wil-2 ⋂ wil-

3 ⋂ wil-4 ⋂ wil-5 = 1={ranca},

Ciri khas 4 wilayah tanpa wil-5(Bandung) adalah penamaan desa yang mengandung

suku kata; kali, jati, dan kuta. Tidak ada penamaan desa yang menjadi ciri khas 4

wilayah tanpa wil-4 (Tasik). Ciri khas 4 wilayah tanpa wil-3(Cirebon) adalah

penamaan desa yang mengandung suku kata; batu, karya, dan sirna. Ciri khas 4

wilayah tanpa wil-2(Purwakarta) adalah penamaan desa yang mengandung suku

kata; banjar, giri, dan pada. Ciri khas 4 wilayah tanpa wil-1(Bogor) adalah penamaan

desa yang mengandung suku kata; ranca.


n(tanpa wil-1 dan wil-2) = wil-3 ⋂ wil-4 ⋂ wil-5 = 0 = { }, n(tanpa wil-2 dan wil-

3) = wil-1 ⋂ wil-4 ⋂ wil-5 = 1 = {beureum}, n(tanpa wil-3 dan wil-4) = wil-1 ⋂

wil-2 ⋂ wil-5 = 0 = { }, n(tanpa wil-4 dan wil-5) = wil-1 ⋂ wil-2 ⋂ wil-3 = 3 =

{curug, kedung, tegal}, n(tanpa wil-5 dan wil-1) = wil-2 ⋂ wil-3 ⋂ wil-4 = 2 =

{bantar, lingga}. Tidak ada ciri khas 3 wilayah tanpa wil-1(Bogor) dan wil-

2(Purwakarta). Ciri khas 3 wilayah tanpa wil-2(Purwakarta) dan wil-3(Cirebon)

adalah nama desa yang mengandung suku kata; beureum.Tidak ada ciri khas 3

wilayah tanpa wil-3(Cirebon) dan wil-4(Tasikmalaya).Ciri khas 3 wilayah tanpa wil-

4(Tasikmalaya) dan wil-5 (Bandung) adalah nama desa yang mengandung suku kata;

curug, kedung, dan tegal. Ciri khas 4 wilayah tanpa wil-5(Bandung) dan wil-

1(Bogor) adalah penamaan desa yang mengandung suku kata; bantar, dan lingga.


n(wil-1 dan wil-2) = wil-1 ⋂ wil-2 = 1 = {parakan}. n(wil-2 dan wil-3) = wil-2 ⋂

wil-3 =2 = {lemah, sumber}. n(wil-3 dan wil-4) = wil-3 ⋂ wil-4 = 2 = {kadu,

sida}. n(wil-4 dan wil-5) = wil-4 ⋂ wil-5 = 1 = {mandala}. n(wil-5 dan wil-1) =

wil-5 ⋂ wil-1 = 4 = {bodas, kebon, negla, wangun}. Ciri khas wil-1(Bogor) dan

wil-2(Purwakarta) adalah penamaan desa yang mengandung suku kata parakan. Ciri

khas wil-2(Purwakarta) dan wil-3(Cirebon) adalah penamaan desa yang

mengandung suku kata; lemah, sumber. Ciri khas wil-3(Cirebon) dan wil-

4(Tasikmalaya) adalah penamaan desa yang mengandung suku kata; kadu dan sida.

Ciri khas wil-4(Tasikmalaya) dan wil-5 (Bandung) adalah penamaan desa yang

mengandung suku kata; mandala. Ciri wil-5(Bandung) dan wil-1(Bogor) adalah

penamaan desa yang mengandung suku kata; bodas, kebon, negla, wangun.

721


n(wil-1) = 12. n(wil-2) =18. n(wil-3) = 18. n(wil-4) = 12 . n(wil-5) = 22

Ciri khas wil-1(Bogor) adalah penamaan desa yang mengandung suku kata; badak,

pondok, caringin, nagrak, sarua, pabuaran, bitung, manggu, tugu, warga, herang dan

hurip. Ciri khas wil-2 (Purwakarta) adalah nama desa yang mengandung suku kata;

rawa, sumur, pantai, kampek, pusaka, sri, tambak, teluk, dawuan, ganda, gempol,

asem, bogo, Kiara, muara, naga, parung, dan pulo. Ciri khas wil-3(Cirebon) adalah

penamaan desa yang mengandung suku kata; dukuh, wana, raja, jaga, windu, gara,

sura, ujung, awi, gebang, haur, arga, astana, gegesik, gintung, junti, sugeng, dan

ledug. Ciri khas wil-4(Tasikmalaya) adalah penamaan desa yang mengandung suku

kata; negla, naga, kersa, puspa, darma, kota, singa, bangun, bunar, lengkong, pager,

dan pamalayan. Ciri wil-5(Bandung) adalah nama desa yang mengandung suku kata;

padung, cangkuang, gondewah, saranten, tenjo, leunyi, antapani, baduyut, calengka,

pangauban, ancol, baros, cadas, campaka, hanjuang, hapit, jagra, jaura, kalong,

kawao, koneng, dan lame.

4.6 Implementasi Teorema berdasarkan Suku Kata Lengkap

4.6.1 Komposisi (WIL-1, WIL-5, WIL-3, WIL-4 DAN WIL-2)

a. Kemiripan jumlah penamaan desa di 5 wilayah pada komposisi 1-5-3-4-2 ada

28 penamaan Desa, dengan jumlah desa 457 desa.

b. Kemiripan 4 wilayah tanpa wil-1 ada 11 nama desa, dengan jumlah desa 74,

kemiripan tanpa wil-2 ada 12 nama desa dengan jumlah desa 75, kemiripan

tanpa wil-3 ada 24 nama desa dengan jumlah desa 227, kemiripan tanpa wil-

4 ada 7 nama desa dengan jumlah desa 40, dan kemiripan tanpa wil-5 ada

23 nama desa dengan jumlah desa 169.

c. Kemiripan 3 wilayah tanpa wil-1 dan wil-2 ada 8 nama desa, dengan jumlah

desa 8, kemiripan tanpa wil-1 dan wil-5 ada 17 nama desa dengan jumlah

desa 74, kemiripan tanpa wil-5 dan wil-3 ada 34 nama desa, desa 172,

kemiripan tanpa wil-3 dan wil-4 ada 4 nama desa dengan jumlah desa 14,

dan kemiripan tanpa wil-4 dan wil-2 ada 3 nama desa dengan jumlah desa

10.

d. Kemiripan 2 wilayah wil-1 dan wil-5 ada 21 nama desa, dengan jumlah desa

44, kemiripan wil-5 dan wil-3 ada 8 nama desa dengan jumlah desa 19,

kemiripan wil-3 dan wil-4 ada 53 nama desa dengan jumlah desa 128,

kemiripan wil-4 dan wil-2 ada 43 nama desa dengan jumlah desa 116, dan

kemiripan wil-2 dan wil-1 ada 37 nama desa dengan jumlah desa 97.

e. Kekhasan 1 wilayah adalah sebagai berikut, wil-1 ada 604 nama desa dan 656

jumlah desa, kekhasan wil-2 ada 546 nama desa dan 575 jumlah desa,

kekhasan wil-3 ada 987 nama desa dengan 1082 jumlah desa, kekhasan wil-

4 ada 659 nama desa dengan 719 jumlah desa, dan kekhasan wilayah-5 ada


722

Komposisi wilayah 1-5-3-4-2, secara lebih lengkap dapat dilihat pada Gambar 9.

Gambar 9. Jumlah penamaan desa untuk Komposisi (WIL-1,WIL-5,WIL-3,WIL-4

DAN WIL-2)

Gambar-9, menunjukan komposisi irisan penamaan desa di 5 wilayah Jawa Barat,

dapat disimpulkan beberapa hal berikut;

a. Banyaknya penamaan desa lengkap yang menunjukan kekhasan di lima

wilayah dengan komposisi tersebut sebanyak 28 nama desa, sedangkan

jumlah desanya ada 457 desa.

b. Makna dari 28 desa tersebut terbanyak 42,45% menunjukkan arti Perasaan,

25,60% menunjukkan arti Usaha, 11,82% menunjukkan arti Alam.

Sedangkan makna lainnya di bawah 10%. Hal ini menunjukkan bahwa

masyarakat di 5 wilayah Jawa Barat selalu menggunakan perasaan dalam

menjalani kehidupan, pekerja keras untuk mencapai sejahtera, dan mencintai

dan memelihara lingkungannya.

c. Kekhasan di masing-wilayah adalah; WIL-1 (604 Nama Desa, 656 Dessa),

WIL-2 (546 Nama Desa, 575 Desa ), WIL-3 (987 Nama Desa, 1082 Desa),

WIL-4 (659 Nama Desa, 719 Desa), Wil-5 (300 Nama Desa, 314 Desa).

Dengan desa terbanyak adalah di Wil-3, Wil-4, Wil-1, Wil-2, dan Wil-5.

d. Jumlah penamaan desa dengan komposisi (WIL-1, WIL-5, WIL-3, WIL-4

DAN WIL-5) adalah 3420 dengan jumlah desa 5024. Sedangkan perbedaan

jumlah terjadi pada 4 wilayah, 3 wilayah, dan 2 wilayah.

4.6.2 Komposisi (WIL-1, WIL-2, WIL-3, WIL-4 DAN WIL-5)

a. Kemiripan jumlah penamaan desa di 5 wilayah pada komposisi 1-2-3-4-5 ada

28 nama Desa, dengan jumlah desa 457 desa.

b. Kemiripan 4 wilayah tanpa wil-1 ada 11 nama desa, dengan jumlah desa 74,

kemiripan tanpa wil-2 ada 12 nama desa dengan jumlah desa 75, kemiripan

tanpa wil-3 ada 24 nama desa dengan jumlah desa 227, kemiripan tanpa wil-

4 ada 7 nama desa dengan jumlah desa 40, dan kemiripan tanpa wil-5 ada


c. Kemiripan 3 wilayah tanpa wil-1 dan wil-2 ada 8 nama desa, dengan jumlah



723


desa 24, dan kemiripan tanpa wil-5 dan wil-1 ada 17 nama desa dengan

jumlah desa 17.

d. Kemiripan 2 wilayah wil-1 dan wil-2 ada 37 nama desa, dengan jumlah desa

97, kemiripan wil-2 dan wil-3 ada 37 nama desa dengan jumlah desa 89,

kemiripan wil-3 dan wil-4 ada 53 nama desa dengan jumlah desa 128,

kemiripan wil-4 dan wil-5 ada 38 nama desa dengan jumlah desa 87, dan

kemiripan wil-5 dan wil-1 ada 21 nama desa dengan jumlah desa 44.

e. Kekhasan 1 wilayah adalah sebagai berikut, wil-1 ada 604 nama desa dan 656

jumlah desa, kekhasan wil-2 ada 546 nama desa dan 575 jumlah desa,

kekhasan wil-3 ada 987 nama desa dengan 1082 jumlah desa, kekhasan wil-

4 ada 659 nama desa dengan 719 jumlah desa, dan kekhasan wilayah-5 ada


Komposisi wilayah 1-2-3-4-5, secara lebih jelas dapat dilihat pada Gambar 10.

Gambar 10. Jumlah Penamaan Desa Komposisi (WIL-1,WIL-2,WIL-3,WIL-4

DAN WIL-5)

Gambar-10, menunjukkan komposisi irisan penamaan desa di 5 wilayah Jawa Barat,

dapat disimpulkan beberapa hal berikut;

a. Banyaknya penamaan desa lengkap yang menunjukkan kekhasan di lima

wilayah dengan komposisi tersebut sebanyak 28 nama desa, sedangkan

jumlah desanya ada 457 desa.

b. Dari Tabel 6 maka, Makna dari 28 desa tersebut terbanyak 42,45%

menunjukkan arti Perasaan, 25,60% menunjukkan arti Usaha, 11,82%

menunjukkan arti Alam. Sedangkan makna lainnya di bawah 10%. Hal ini

menunjukkan bahwa masyarakat di 5 wilayah Jawa Barat, menggunakan

perasaan dalam menjalani kehidupan, pekerja keras untuk mencapai

sejahtera, dan mencintai dan memelihara lingkungannya.

c. Kekhasan di masing-wilayah adalah; WIL-1 (604 Nama Desa, 656 DESA),

WIL-2 (546 Nama Desa, 575 Desa), WIL-3 (987 Nama Desa, 1082 Desa),

WIL-4 (659 Nama Desa, 719 Desa), Wil-5 (300 NAMA DESA, 314 DESA).

Dengan desa terbanyak adalah di Wil-3, Wil-4, Wil-1, Wil-2, dan Wil-5.

724

d. Jumlah penamaan desa dengan komposisi (WIL-1, WIL-2, WIL-3, WIL-4

DAN WIL-5) adalah 3524 dengan jumlah desa 5070. Sedangkan perbedaan

jumlah terjadi pada 4 wilayah, 3 wilayah, dan 2 wilayah.

5. Kesimpulan

1. Berdasarkan pengelompokan menggunakan struktur kata, awalan Ci

merupakan awalan yang yang paling banyak di gunakan, suku kata Suka

merupakan suku kata paling banyak terkandung dalam penamaan desa,

sedangkan kata lengkap yang paling banyak digunakan adalah Mekarsari.

Hal ini menunjukkan bahwa masyarakat di wilayah-wilayah Jawa Barat

mengutamakan kebaikan dalam menjalankan hidupnya, selalu bekerja keras

untuk mencapai kehidupan lebih sejahtera, mencintai serta memelihara

kelestarian air dan lingkungannya, dan memiliki visi sejahtera, mengerjakan

pekerjaan dengan senang hati, dan religious.

2. Persentase kemiripan terbanyak suku kata yang terkandung dalam penamaan

desa di setiap wilayah terhadap terbanyak di Jawa Barat, kemiripan tertinggi

ada di wilayah-4 (80%), dikikuti wilayah-1 dan wilayah-5 (60%), sedangkan

kemiripan terkecil ada di wilayah-2 dan wilayah-3 (40%). Prosentase

kemiripan terbanyak kata lengkap, kemiripan tertinggi ada di wilayah-1 dan

wilayah-4 (100%), dikikuti wilayah-5 (80%), dan kemiripan terkecil ada di

wilayah-2 dan wilayah-3 (60%). Hal ini menunjukkan penamaan desa di

wilayah priangan yang memiliki kontur pegunungan memiliki kemiripan

tinggi, sedangkan di wilayah pantura yang memiliki kontur pantai memiliki

kemiripan rendah.

3. Wilayah-wilayah di provinsi Jawa Barat yang memiliki tingkat kemiripan

tinggi, adalah Wilayah-1, wilayah-4, dan wilayah-5, umumnya nama-nama

desa pada wilayah tersebut berkaitan dengan lingkungan pegunungan dan

alam sekitarnya, hal ini sesuai dengan kontur ketiga wilayah tersebut yang

umumnya merupakan pegunungan dan dataran tinggi. Sesuai dengan prinsip

Tobler, bahwa lokasi yang berdekatan memiliki tingkat kemiripan tinggi.

4. Wilayah-wilayah lain yang memiliki tingkat kemiripan relative tinggi adalah

wilayah-2 dan wilayah-3, umumnya nama-nama desa pada wilayah tersebut

berkaitan dengan lingkungan pantai, hal ini sesuai dengan kontur kedua

wilayah tersebut yang umumnya merupakan dataran rendah dan pesisir

pantai. Hal ini sesuai dengan prinsip Tobler, bahwa lokasi yang berdekatan

memiliki tingkat kemiripan yang tinggi.

5. Secara umum masyarakat yang ada di lima wilayah provinsi Jawa Barat

memiliki karakter yang sama yaitu, mencintai alam dan lingkungannya,

mempertimbangkan perasaan dalam menjalankan perilaku kehidupan, giat

berusaha, dan dapat menyesuaikan dengan keadaan, sedangkan

perbedaannya adalah dalam komposisi dan jumlah desa di masing-masing

wilayah.

6. Pada penelitian ini dikembangkan dan diimplementasikan teorema jumlah

lokasi kajian, untuk memilih prioritas kajian penelitian, dan teorema

komposisi irisan himpunan, untuk menentukan kekhasan dan kemiripan di

masing-masing lokasi kajian. Kemudian diterapkan dalam penamaan desa

di wilayah-wilayah provinsi Jawa Barat. Hasil implementasi menunjukkan

bahwa teorema-teorema tersebut layak untuk digunakan.

725

Pernyataan Terima Kasih. Paper ini didanai oleh Hibah Internal Universitas

Padjadjaran Tahun 2017 dan Academic Leadership Grant Universitas Padjadjaran

Tahun 2017 dengan Nomor Kontrak: 872/UN6.3.1/LT/2017.

Referensi

[1] Abdullah, A.S. Ethnomathematics in Perspective Sundanese Culture, Journal of

Mathematics Education , Vol 8 (1), ISSN 2087-8885, (2017), 1-15.

[2] Abdullah, A.S., Ruchjana, B.N., Jaya, I.G.N.M, and Hermawan, E. Clustering Ethno-

informatics of Naming Village in Java Island using Data Mining, World Academy of

Science, Engineering, and Technology Conference Proceedings, International

Conference on Computer and Information Technologies, Innovationas and Applications

(18th ICCITIA), ISSN 2010-3778. Part II, p. 337-342, Amsterdam, (2016).

[3] Ayatrohaédi, Kata, Nama, Dan Makna. Pidato Pengukuhan Diucapkan pada Upacara

Penerimaan Jabatan Gurubesar Madya Tetap. Depok: Fakultas Sastra Universitas

Indonesia, (1993).

[4] D’Ambrosio, U., Ethnomathematics and its place in the history and pedagogy of

mathematics, For the Learning of Mathematics, (1985).

[5] D'Ambrosio, U., Literacy, Matheracy, and Technoracy: A Trivium for Today

Mathematical Thinking and Learning, (1999).

[6] Han, J, Kamber, M., and Jian, P., Data Mining Concepts and Techniques, Morgan

Kaufman Publishers, USA, (2012).

[7] Ingold, T., The Perception of The Environment: Essays on livelihood, dwelling and skill.

London, UK: Routledge, (2000).

[8] Rais, J., et al. Toponimi: Sejarah Budaya yang Panjang dari Pemukiman Manusia dan

Tertib Administrasi, Jakarta: Pradnya Paramita, (2008).

[9] Rosidi, A. dkk., Ensiklopedi Sunda, Pustaka Jaya, Jakarta, (2000).

[10] Teeuwen, D., Goverment of the Netherlands East-Indies, Political division of territories

in N.E.Indies, (2007).

[11] Tjiptadi, B., Tata Bahasa Indonesia. Cetakan II. Jakarta: Yudistira, (1984).

[12] Tobler W., A Computer Movie Simulating urban Growth in the Detroit Region,

Economyc Geography, 46(2), (1970), 234-240.

726


ALGEBRAIC ATTACK PADA SIMPLIFIED DATA

ENCRYPTION STANDARD (S-DES)

FADILA PARADISE1, SANTI INDARJANI2

1 [email protected]

2 [email protected]

Abstrak. Data Encryption Standard (DES) merupakan algoritma yang

ditetapkan sebagai standar dalam Federal Information Processing Standards

(FIPS) pada tahun 1999, yang digunakan untuk melindungi data rahasia hingga

tahun 2001. Beberapa serangan terhadap DES sudah dilakukan, seperti linear

attack, differential attack, dan algebraic attack. Dalam makalah ini, penulis

menerapkan algebraic attack pada Simplified DES (S-DES) yang merupakan

penyederhanaan dari DES untuk mengetahui apakah algoritma S-DES rentan

terhadap algebraic attack. Sesuai struktur S-DES, maka dalam penerapan

algebraic attack pada S-DES akan dicari delapan persamaan linier yang

merepresentasikan ciphertext. Dalam penelitian ini, penulis telah berhasil

menemukan lima persamaan dari delapan persamaan yang ditargetkan.

Penelitian akan dilanjutkan untuk menentukan ketiga persamaan lainnya.

Dengan diperolehnya bentuk persamaan aljabar linier tersebut, maka pada

tahap selanjutnya dapat dilakukan pencarian solusi persamaan linier yang

berpotensi ditemukannnya kunci input yang benar pada algoritma S-DES.

Kata kunci: algebraic attack, S-DES.

1. Pendahuluan

Data Encryption Standard (DES) merupakan algoritma yang ditetapkan

sebagai standar dalam Federal Information Processing Standards (FIPS) pada tahun

1999, yang digunakan untuk melindungi data rahasia hingga tahun 2001 [2].

Beberapa serangan terhadap DES sudah dilakukan, seperti linear attack, differential

attack, dan lainnya. Serangan-serangan tersebut merupakan serangan yang

menggunakan pendekatan statistik untuk mencari nilai kunci yang tepat. Namun

dalam praktiknya, ada beberapa faktor yang menyebabkan kunci yang didapat dari

pendekatan statistik tersebut tidak sesuai dengan kunci yang sesungguhnya. Seiring

berkembangnya ilmu dalam melakukan kriptanalisis, ditemukan metode untuk

menyerang suatu algoritma melalui pendekatan linier dengan mengubah algoritma

tersebut ke dalam bentuk persamaan linier, yaitu algebraic attack. Penelitian ini

membahas penerapan algebraic attack pada Simplified DES (S-DES) yang

merupakan penyederhanaan dari algoritma DES untuk mengetahui penerapan

algebraic attack pada algoritma S-DES dan ketahanan algoritma S-DES terhadap

serangan algebraic attack.

727


2.1 Algebraic Attack

Dalam tesis yang ditulis oleh Martin Voros (2007) tertulis bahwa algebraic

attack pertama kali diperkenalkan oleh Kipnis dan Shamir dalam paper yang

berjudul ”Cryptanalysis of The HFE Public Key Cryptosystem by Relinearization”.

Prinsip utama dari algebraic attack yaitu mengubah permasalahan dalam menyerang

sistem kriptografi menjadi penyelesaian sistem persamaan polinomial. Secara

mendasar, terdapat dua tahapan dalam algebraic attack, yaitu mencari sebuah

persamaan dan mencari solusi dari persamaan [6].

2.2 S-DES

Algoritma enkripsi S-DES terdiri dari lima fungsi, yaitu Initial Permutation

(IP), fungsi permutasi dan substitusi yang berada dalam 𝑓𝐾, sebuah fungsi permutasi

sederhana yang menukar dua buah data yang telah dibagi menjadi dua bagian (SW),

dan fungsi permutasi yang merupakan invers dari Intial Permutation (IP-1) [4].

Fungsi-fungsi tersebut dapat dituliskan menjadi persamaan berikut:

𝑐𝑖𝑝ℎ𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥𝑡 = 𝐼𝑃−1(𝑓𝐾2(𝑆𝑊(𝑓𝐾1(𝐼𝑃(𝑝𝑙𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒𝑥𝑡)))))) (1)

𝑝𝑙𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒𝑥𝑡 = 𝐼𝑃−1(𝑓𝐾1(𝑆𝑊(𝑓𝐾2(𝐼𝑃(𝑐𝑖𝑝ℎ𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥𝑡))))) (2)

dengan kunci:

𝐾1 = 𝑃8(𝑆ℎ𝑖𝑓𝑡(𝑃10(𝑘𝑒𝑦))) (3)

𝐾2 = 𝑃8(𝑆ℎ𝑖𝑓𝑡(𝑆ℎ𝑖𝑓𝑡(𝑃10(𝑘𝑒𝑦))))). (4)

Skema S-DES dapat dilihat pada Gambar 1.

Gambar 1. Skema S-DES

Pada algoritma S-DES terdapat dua buah s-box berukuran 4x2. Input dari s-

box berupa plaintext yang telah di XOR dengan kunci. Berikut adalah s-box 0 dan s-

box 1 pada S-DES:

P10

Shift

10 bit kunci

P8

IP

𝑓𝐾

8 bit plaintext

SW

𝑓𝐾

IP-1

8 bit ciphertext

IP

𝑓𝐾

8 bit plaintext

SW

𝑓𝐾

IP-1

8 bit ciphertext

Shift

P8

𝐾1 𝐾1

𝐾2 𝐾2

ENKRIPSI DEKRIPSI

728

Tabel 1. S-Box 0 Tabel 2. S-Box 1

0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 2 0 1 3

2 3 0 1 0

3 2 1 0 3

2.3 Algebraic Attack pada S-DES

Berikut adalah penerapan algebraic attack pada S-DES, dengan input

plaintext 01101101 dan output ciphertext 01000110. Nilai pasangan plaintext dan

ciphertext ini diambil dari simulasi yang dibuat oleh David Morgan dan di-publish

pada http://homepage.smc.edu/ [1].

2.3.1 Subkey Generation

Pertama-tama dilakukan proses key generation. Dalam proses key

generation, kunci diinisialisasi menjadi 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3, 𝑘4, 𝑘5, 𝑘6, 𝑘7, 𝑘8, 𝑘9, 𝑘10. Berikut

perubahan posisi bit kunci dalam proses key generation.

Tabel 3. Permutation 10 (P10)

Sebelum 𝑘1 𝑘2 𝑘3 𝑘4 𝑘5 𝑘6 𝑘7 𝑘8 𝑘9 𝑘10

Sesudah 𝑘3 𝑘5 𝑘2 𝑘7 𝑘4 𝑘10 𝑘1 𝑘9 𝑘8 𝑘6

Tabel 4. Split

Sebelum 𝑘3 𝑘5 𝑘2 𝑘7 𝑘4 𝑘10 𝑘1 𝑘9 𝑘8 𝑘6

Sesudah 𝑘3 𝑘5 𝑘2 𝑘7 𝑘4 Split 𝑘10 𝑘1 𝑘9 𝑘8 𝑘6

Tabel 5. LS-1

Sebelum 𝑘5 𝑘2 𝑘7 𝑘4 𝑘10 split 𝑘1 𝑘9 𝑘8 𝑘6 𝑘3

Sesudah 𝑘2 𝑘7 𝑘4 𝑘10 𝑘5 split 𝑘9 𝑘8 𝑘6 𝑘3 𝑘1

Tabel 6. Permutation 8 (P8) Untuk 𝐾1


Sesudah 𝑘9 𝑘4 𝑘8 𝑘10 split 𝑘6 𝑘5 𝑘1 𝑘3

Tabel 7. LS-2


0 1 2 3

0 1 0 3 2

1 3 2 1 0

2 0 2 1 3

3 3 1 3 2

729

Sesudah 𝑘10 𝑘5 𝑘2 𝑘7 split 𝑘6 𝑘3 𝑘1 𝑘9 𝑘8

Tabel 8. Permutation 8 (P8) Untuk 𝐾2


Sesudah 𝑘6 𝑘5 𝑘3 𝑘2 split 𝑘1 𝑘7 𝑘8 𝑘9

Output dari P8 yang pertama diambil sebagai nilai 𝐾1. Output dari P8 yang kedua diambil sebagai nilai 𝐾2. Dengan demikian didapat kunci 𝐾1 ={𝑘9, 𝑘4, 𝑘8, 𝑘10, 𝑘6, 𝑘5, 𝑘1, 𝑘3} dan 𝐾2 = {𝑘6, 𝑘5, 𝑘3, 𝑘2, 𝑘1, 𝑘7, 𝑘8, 𝑘9}.

2.3.2 Proses Enkripsi Round 1

Sebelum memasuki proses enkripsi pada round ke-1, dicari persamaan dari

s-box S-DES. Untuk dapat menemukan persamaan dari keseluruhan algoritma S-

DES, s-box harus diubah terlebih dahulu menjadi persamaan linier dengan mencari

kombinasi dari tabel kebenaran yang dapat menghasilkan output sesuai dengan bit

output pada s-box 0 dan s-box 1. Didapat persamaan linier bit pertama pada s-box 0:

𝑆10 = 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥1𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4, (5)

persamaan linier bit kedua pada s-box 0:

𝑆20 = 𝑥1 + 𝑥4 + 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥1𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4, (6)

persamaan linier bit pertama pada s-box 1:

𝑆11 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥4 + 𝑥2𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥4 + 𝑥1𝑥3𝑥4

+𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4, (7)

dan persamaan`linier bit kedua pada s-box 1:

𝑆21 = 𝑥1 + 𝑥4 + 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥2𝑥4 + 𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥4

+𝑥1𝑥3𝑥4 + 𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4. (8)

Selanjutnya dilakukan proses enkripsi. Tahap pertama dalam algoritma S-

DES yaitu Initial Permutation (IP). Input pada IP berupa 8 bit plaintext. Pada

Gambar 2. Skema Enkripsi Round 1 Algoritma S-DES

8

4 4

4

4

2 2

IP

E/P

S0 S1

P4

𝐾1

𝐶1

730

percobaan ini digunakan plaintext 01101101.

0 1 1 0 1 1 0 1

1 1 1 0 0 1 1 0

Gambar 3. Initial Permutation (IP)

Setelah dipermutasi, plaintext dibagi menjadi dua bagian, yaitu 𝑃𝐻 dan 𝑃𝐿.

Didapatkan 𝑃𝐻 = 1110 dan 𝑃𝐿 = 0110. Selanjutnya masuk ke fungsi

Expansion/Permutation (E/P), key addition (𝑓𝐾1), dan s-box dengan input 𝑃𝐿.

0 1 1 0

0 0 1 1 1 1 0 0

Gambar 4. Expansion/Permutation (E/P) 1

Tabel 9. Key Addition Dengan 𝐾1

𝐾1 Plain Plain ⨁ 𝐾1

𝑘9 0 𝑘9

𝑘4 0 𝑘4

𝑘8 1 𝑘8⨁1

𝑘10 1 𝑘10⨁1

𝑘6 1 𝑘6⨁1

𝑘5 1 𝑘5⨁1

𝑘1 0 𝑘1

𝑘3 0 𝑘3

Pada bagian ini, persamaan linier dari s-box disubstitusi dengan

𝑃𝐿. Bit pertama dan bit kedua dari output s-box 0 dan 1 pada round 1 diberi simbol

𝑆10, 𝑆2

0, 𝑆11, 𝑆2

1. Didapat empat persamaan berikut.

Persamaan bit pertama dari output s-box 0 pada round 1:

𝑆10 = 𝑘4⨁𝑘8⨁𝑘4𝑘9⨁𝑘8𝑘9⨁𝑘9𝑘10⨁𝑘4𝑘8𝑘9𝑘10⨁𝑘4𝑘9𝑘10⨁𝑘4𝑘8𝑘9⨁1. (9)

Persamaan bit kedua dari output s-box 0 pada round 1:

𝑆20 = 𝑘9⨁𝑘10⨁𝑘4𝑘9⨁𝑘8𝑘9⨁𝑘9𝑘10⨁𝑘4𝑘9𝑘10 ⨁𝑘4𝑘8𝑘9𝑘10⨁1. (10)

731


𝑆11 = 𝑘3⨁𝑘5⨁𝑘1𝑘6⨁𝑘3𝑘5⨁𝑘1𝑘3𝑘5⨁𝑘1𝑘3𝑘6⨁𝑘3𝑘5𝑘6

⨁𝑘1𝑘3𝑘5𝑘6⨁1. (11)


𝑆21 = 𝑘3⨁𝑘5⨁𝑘1𝑘6⨁𝑘3𝑘6⨁𝑘5𝑘6⨁𝑘1𝑘5𝑘6⨁𝑘3𝑘5𝑘6⨁𝑘1𝑘3𝑘5𝑘6. (12)

Setelah masuk ke fungsi s-box, 𝑃𝐿 memasuki fungsi P4. Pada fungsi P4, 4

bit output s-box pada round 1 dipermutasi.

𝑆10 𝑆2

0 𝑆11 𝑆2

1

𝑆20 𝑆2

1 𝑆11 𝑆1

0

Gambar 5. Permutation 4 (P4) - 1

Berdasarkan gambar di atas, didapat 𝐶1 = 𝑆20 𝑆2

1 𝑆11 𝑆1

0, dengan 𝐶1 merupakan output

dari algoritma S-DES pada round 1.

Selanjutnya dihitung 𝑃𝐻 = 𝐶1⨁𝑃𝐻 . Setelah itu, 𝐶1 dan 𝑃𝐻 di-swap,

kemudian 𝑃𝐻 memasuki fungsi E/P, key addition (𝑓𝐾2), dan s-box dengan input 𝑃𝐻.

𝐶1 : 𝑆20 𝑆2

1 𝑆11 𝑆1

0

𝑃𝐻 : 1 1 1 0 ⨁

𝑃𝐻 : 𝑆20⨁1 𝑆2

1⨁1 𝑆11⨁1 𝑆1

0

Gambar 6. 𝐶1⨁𝑃𝐻 2.3.3 Proses Enkripsi Round 2

Gambar 7. Skema Enkripsi Round 2 Algoritma S-DES

Pada round 2, pertama-tama 𝑃𝐻 memasuki fungsi Expansion Permutation

(E/P).

𝑆20⨁1 𝑆2

1⨁1 𝑆11⨁1 𝑆1

0

𝑆10 𝑆2

0⨁1 𝑆21⨁1 𝑆1

1⨁1 𝑆21⨁1 𝑆1

1⨁1 𝑆10 𝑆2

0⨁1

Gambar 8. Expansion Permutation (E/P) 2

𝑃𝐿 𝑃𝐻

𝑃𝐻 𝐶2 F

732

Setelah memasuki fungsi E/P, 𝑃𝐻 di-XOR dengan 𝐾2.

Tabel 10. Key Addition Dengan 𝐾2

𝐾2 Plain Plain ⨁ 𝐾2

𝑘6 𝑆10 𝑆1

0. 𝑘6

𝑘5 𝑆20⨁1 𝑆2

0. 𝑘5⨁𝑘5

𝑘3 𝑆21⨁1 𝑆2

1. 𝑘3⨁𝑘3

𝑘2 𝑆11⨁1 𝑆1

1. 𝑘2⨁𝑘2

𝑘1 𝑆21⨁1 𝑆2

1. 𝑘1⨁𝑘1

𝑘7 𝑆11⨁1 𝑆1

1. 𝑘7⨁𝑘7

𝑘8 𝑆10 𝑆1

0.𝑘8

𝑘9 𝑆20⨁1 𝑆2

0. 𝑘9⨁𝑘9

Selanjutnya persamaan linier dari s-box disubstitusi dengan 𝑃𝐻. Bit

pertama output s-box 0, bit kedua output s-box 0, bit pertama output s-box 1, dan bit

kedua output s-box 1 pada round 2 secara berturut-urut diberi simbol 𝑃10, 𝑃2

0, 𝑃11,

𝑃21. Didapat empat persamaan berikut.


𝑃10 = (𝑆2

0. 𝑘5)⨁𝑘5⨁(𝑆21. 𝑘3)⨁𝑘3⨁(𝑆1

0. 𝑆21. 𝑘3. 𝑘6)⨁(𝑆1

0. 𝑘3. 𝑘6)⨁

(𝑆10. 𝑆1

1. 𝑘2. 𝑘6)⨁(𝑆10. 𝑘2. 𝑘6)⨁(𝑆1

0. 𝑆20. 𝑆1

1. 𝑆21. 𝑘2. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6)⨁

(𝑆10. 𝑆1

1. 𝑆21. 𝑘2. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6) ⨁(𝑆1

0. 𝑆11. 𝑘2. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6)⨁

(𝑆10. 𝑆2

0. 𝑆11. 𝑘2. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6)⨁(𝑆1

0. 𝑆20. 𝑆2

1. 𝑘2. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6)⨁

(𝑆10. 𝑆2

1. 𝑘2. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6)⨁(𝑆10. 𝑘2. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6)⨁

(𝑆10. 𝑆2

0. 𝑘2. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6). (13) Persamaan bit kedua dari output s-box 0 pada round 2:

𝑃20 = (𝑆1

0. 𝑘6)⨁(𝑆11. 𝑘2)⨁𝑘2⨁(𝑆1

0. 𝑆20. 𝑘5. 𝑘6)⨁(𝑆1

0. 𝑘5. 𝑘6)⨁

(𝑆10. 𝑆2

1. 𝑘3. 𝑘6)⨁(𝑆10. 𝑘3. 𝑘6)⨁(𝑆1

0. 𝑆11. 𝑘2. 𝑘6)⨁(𝑆1

0. 𝑘2. 𝑘6)⨁

(𝑆10. 𝑆2

0. 𝑆21. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6)⨁(𝑆1

0. 𝑆21. 𝑘3𝑘5. 𝑘6)⨁(𝑆1

0. 𝑆20. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6)⨁

(𝑆10. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6)⨁(𝑆1

0. 𝑆20. 𝑆1

1. 𝑆21. 𝑘2. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6)⨁

(𝑆10. 𝑆1

1. 𝑆21. 𝑘2. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6)⨁(𝑆1

0. 𝑆11. 𝑘2. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6)⨁

(𝑆10. 𝑆2

0. 𝑆11. 𝑘2. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6)⨁(𝑆1

0. 𝑆20. 𝑆2

1. 𝑘2. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6)⨁

(𝑆10. 𝑆2

1. 𝑘2. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6)⨁ (𝑆10. 𝑘2. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6)⨁

(𝑆10. 𝑆2

0. 𝑘2. 𝑘3. 𝑘5. 𝑘6). (14)


𝑃11 = (𝑆2

1. 𝑘1⨁𝑘1)⨁(𝑆11. 𝑘7⨁𝑘7)⨁(𝑆1

0.𝑘8)⨁(𝑆11. 𝑆2

1. 𝑘1. 𝑘7⨁𝑆11. 𝑘1. 𝑘7⨁

𝑆21. 𝑘1. 𝑘7⨁𝑘1. 𝑘7)(𝑆2

0. 𝑆21. 𝑘1. 𝑘9⨁𝑆2

0. 𝑘1. 𝑘9⨁𝑆21. 𝑘1. 𝑘9⨁𝑘1. 𝑘9) ⨁

(𝑆20. 𝑆1

1. 𝑘7. 𝑘9⨁𝑆20. 𝑘7. 𝑘9⨁𝑆1

1. 𝑘7. 𝑘9⨁𝑘7. 𝑘9) ⨁

(𝑆20. 𝑆1

1. 𝑆21. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘9⨁𝑆2

0. 𝑆11. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘9⨁𝑆2

0. 𝑆21. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘9⨁

𝑆20. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘9⨁𝑆1

1. 𝑆21. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘9⨁𝑆1

1. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘9⨁𝑆21. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘9⨁

733

𝑘1. 𝑘7. 𝑘9)⨁(𝑆20. 𝑆2

1. 𝑘1. 𝑘8. 𝑘9⨁𝑆20. 𝑘1. 𝑘8. 𝑘9)⨁

(𝑆10. 𝑆2

0. 𝑆11. 𝑆2

1. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9⨁𝑆10. 𝑆2

0. 𝑆11. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9⨁

𝑆10. 𝑆2

0. 𝑆21. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9⨁𝑆1

0. 𝑆20. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9⨁𝑆1

0. 𝑆11. 𝑆2

1. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9⨁𝑆1

0. 𝑆11. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9⨁𝑆1

0. 𝑆21. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9⨁𝑆1

0. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9). (15)


𝑃21 = (𝑆2

1. 𝑘1⨁𝑘1)⨁(𝑆20. 𝑘9⨁𝑘9)⨁(𝑆1

1. 𝑆21. 𝑘1. 𝑘7⨁𝑆1

1. 𝑘1. 𝑘7⨁𝑆21. 𝑘1⨁

𝑘1. 𝑘7)⨁(𝑆11. 𝑘7. 𝑘8⨁𝑘7. 𝑘8)⨁(𝑆2

0. 𝑆11. 𝑘7. 𝑘9⨁𝑆2

0. 𝑘7. 𝑘9⨁

𝑆11. 𝑘7. 𝑘9⨁𝑘7. 𝑘9)⨁(𝑆1

0. 𝑆20. 𝑘8. 𝑘9⨁𝑆1

0. 𝑘8. 𝑘9)⨁(𝑆10. 𝑆1

1. 𝑆21. 𝑘1.

𝑘7. 𝑘8⨁𝑆11. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘8⨁𝑆1

0. 𝑆21. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘8⨁𝑘1. 𝑘7. 𝑘8)⨁(𝑆2

0. 𝑆11.

𝑆21. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘9⨁𝑆2

0. 𝑆11. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘9⨁𝑆2

0. 𝑆21. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘9⨁𝑆2

0. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘9⨁

𝑆11. 𝑆2

1. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘9⨁𝑆11. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘9⨁𝑆2

1. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘9⨁𝑘1. 𝑘7. 𝑘9)⨁

(𝑆20. 𝑆2

1. 𝑘1. 𝑘8. 𝑘9⨁𝑆20. 𝑘1. 𝑘8. 𝑘9)⨁(𝑆1

0. 𝑆20. 𝑆1

1. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9⨁𝑆10. 𝑆2

0. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9⨁𝑆1

0. 𝑆11. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9⨁𝑆1

0. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9)⨁(𝑆10. 𝑆2

0. 𝑆11. 𝑆2

1. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9⨁𝑆1

0. 𝑆20. 𝑆1

1. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9⨁𝑆10. 𝑆2

0. 𝑆21. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9⨁𝑆1

0. 𝑆20. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9⨁𝑆1

0. 𝑆11. 𝑆2

1. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9⨁𝑆10. 𝑆1

1. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9⨁

𝑆10. 𝑆2

1. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9⨁𝑆10. 𝑘1. 𝑘7. 𝑘8. 𝑘9). (16)

Selanjutnya, jika 𝑆10, 𝑆2

0, 𝑆11, dan 𝑆2

1 diuraikan kembali menjadi variabel 𝑘, maka

didapat persamaan bit pertama dari output s-box 0 pada round 2:

𝑃10 = 𝑘3𝑘5⨁𝑘1𝑘3𝑘5⨁𝑘1𝑘5𝑘6𝑘1𝑘3𝑘4𝑘6⨁𝑘1𝑘3𝑘5𝑘6⨁𝑘1𝑘3𝑘6𝑘8⨁

𝑘1𝑘3𝑘4𝑘6𝑘9⨁𝑘1𝑘3𝑘6𝑘8𝑘9⨁𝑘1𝑘3𝑘6𝑘9𝑘10⨁𝑘1𝑘3𝑘4𝑘6𝑘8𝑘9⨁

𝑘1𝑘3𝑘4𝑘6𝑘9𝑘10⨁𝑘1𝑘3𝑘4𝑘6𝑘8𝑘9𝑘10⨁𝑘3𝑘4𝑘5𝑘6𝑘8𝑘9𝑘10⨁

𝑘3𝑘4𝑘6⨁𝑘3𝑘4𝑘6𝑘9⨁𝑘3𝑘4𝑘5𝑘6𝑘8𝑘9𝑘10⨁𝑘3𝑘5𝑘6⨁𝑘3𝑘6𝑘8⨁

𝑘3𝑘6𝑘8𝑘9⨁𝑘3𝑘6𝑘9𝑘10⨁𝑘3𝑘4𝑘6𝑘8𝑘9𝑘10⨁𝑘3𝑘4𝑘6𝑘9𝑘10⨁

𝑘3𝑘4𝑘6𝑘8𝑘9⨁𝑘2𝑘3𝑘4𝑘6⨁𝑘2𝑘4𝑘5𝑘6⨁𝑘1𝑘2𝑘4𝑘6⨁𝑘1𝑘2𝑘3𝑘4𝑘6⨁ 𝑘2𝑘3𝑘6𝑘8⨁𝑘2𝑘5𝑘6𝑘8⨁𝑘1𝑘2𝑘6𝑘8⨁𝑘1𝑘2𝑘3𝑘6𝑘8⨁ 𝑘2𝑘3𝑘4𝑘6𝑘9⨁𝑘2𝑘4𝑘5𝑘6𝑘9⨁𝑘1𝑘2𝑘4𝑘6𝑘9⨁𝑘1𝑘2𝑘3𝑘4𝑘6𝑘9⨁ 𝑘2𝑘3𝑘6𝑘8𝑘9⨁𝑘2𝑘5𝑘6𝑘8𝑘9⨁𝑘1𝑘2𝑘6𝑘8𝑘9⨁𝑘1𝑘2𝑘3𝑘6𝑘8𝑘9⨁ 𝑘2𝑘3𝑘6𝑘9𝑘10⨁𝑘2𝑘5𝑘6𝑘9𝑘10⨁𝑘1𝑘2𝑘6𝑘9𝑘10⨁𝑘1𝑘2𝑘3𝑘6𝑘9𝑘10⨁ 𝑘2𝑘3𝑘4𝑘6𝑘8𝑘9⨁𝑘2𝑘4𝑘5𝑘6𝑘8𝑘9⨁𝑘1𝑘2𝑘4𝑘6𝑘8𝑘9⨁𝑘1𝑘2𝑘3 𝑘4𝑘6⨁𝑘2𝑘3𝑘4𝑘6𝑘9𝑘10⨁𝑘2𝑘4𝑘5𝑘6𝑘9𝑘10⨁𝑘1𝑘2𝑘4𝑘6𝑘9𝑘10⨁ 𝑘1𝑘2𝑘3𝑘4𝑘6𝑘9𝑘10⨁𝑘2𝑘3𝑘4𝑘6𝑘8𝑘9𝑘10⨁𝑘2𝑘4𝑘5𝑘6𝑘8𝑘9𝑘10⨁ 𝑘1𝑘2𝑘4𝑘6𝑘8𝑘9𝑘10⨁𝑘1𝑘2𝑘3𝑘4𝑘6𝑘8𝑘9𝑘10𝑘2𝑘3𝑘6⨁𝑘2𝑘5𝑘6 𝑘1𝑘2𝑘6⨁𝑘1𝑘2𝑘3𝑘6⨁𝑘2𝑘3𝑘4𝑘5𝑘6𝑘9⨁𝑘1𝑘3𝑘4𝑘5𝑘6⨁𝑘1𝑘3𝑘5𝑘6

𝑘8⨁𝑘1𝑘3𝑘4𝑘5𝑘6𝑘9⨁𝑘1𝑘3𝑘5𝑘6𝑘8𝑘9⨁𝑘1𝑘3𝑘5𝑘6𝑘9𝑘10⨁

𝑘1𝑘3𝑘4𝑘5𝑘6𝑘8𝑘9𝑘10⨁𝑘1𝑘3𝑘4𝑘5𝑘6𝑘9𝑘10⨁𝑘1𝑘3𝑘4𝑘5𝑘6𝑘8𝑘9⨁ 𝑘2𝑘3𝑘4𝑘5𝑘6𝑘8𝑘9⨁𝑘1𝑘2𝑘3𝑘5𝑘6⨁𝑘1𝑘2𝑘3𝑘4𝑘5𝑘6⨁𝑘1𝑘2𝑘3𝑘5 𝑘6𝑘8⨁𝑘1𝑘2𝑘3𝑘5𝑘6𝑘9⨁𝑘1𝑘2𝑘3𝑘4𝑘5𝑘6𝑘8⨁𝑘1𝑘2𝑘3𝑘4𝑘5𝑘6𝑘9⨁ 𝑘1𝑘2𝑘3𝑘4𝑘5𝑘6𝑘9𝑘10⨁𝑘1𝑘2𝑘3𝑘5𝑘6𝑘8𝑘9⨁𝑘1𝑘2𝑘3𝑘5𝑘6𝑘9𝑘10⨁ 𝑘1𝑘2𝑘3𝑘5𝑘6𝑘10⨁𝑘1𝑘2𝑘3𝑘4𝑘5𝑘6𝑘10⨁𝑘1𝑘2𝑘3𝑘5𝑘6𝑘8𝑘10⨁

𝑘1𝑘2𝑘3𝑘4𝑘5𝑘6𝑘8𝑘9⨁𝑘1𝑘2𝑘3𝑘4𝑘5𝑘6𝑘8𝑘9𝑘10. (17)

Proses yang sama dilakukan terhadap tiga persamaan lainnya, yaitu persamaan (14),

(15), dan (16).

Setelah masuk ke fungsi s-box, 𝑃𝐻 memasuki fungsi P4. Pada fungsi P4, 4

bit output s-box pada round 2 dipermutasi.Selanjutnya masuk ke fungsi P4.

734

𝑃10 𝑃2

0 𝑃11 𝑃2

1

𝑃20 𝑃2

1 𝑃11 𝑃1

0

Gambar 9. Permutation 4 (P4) - 2

Berdasarkan gambar 7, didapat ciphertext pada round 2, yaitu

𝐶2 = 𝑃20 𝑃2

1 𝑃11 𝑃1

0. Tahap terakhir dalam proses enkripsi yaitu masuk ke fungsi IP-

1. Sebelum memasuki IP-1, 𝑃10, 𝑃2

0, 𝑃11, 𝑃2

1 di-XOR terlebih dahulu dengan nilai 𝑃𝐿

awal.

𝑃10 𝑃2

0 𝑃11 𝑃2

1

0 1 1 0 ⨁

𝑃10 𝑃2

0⨁1 𝑃11⨁1 𝑃2

1

Gambar 10 𝐶2⨁𝑃𝐿

Output dari IP-1 merupakan output dari enkripsi algoritma S-DES yang

diambil sebagai nilai ciphertext.

𝑃10 𝑃2

0⨁1 𝑃11⨁1 𝑃2

1 𝑆20⨁1 𝑆2

1⨁1 𝑆11⨁1 𝑆1

0

𝑃20⨁1 𝑆2

1⨁1 𝑃11⨁1 𝑃1

0 𝑃21 𝑆1

0 𝑆20⨁1 𝑆1

1⨁1

Gambar 11 Initial Permutation (IP-1)

Setiap persamaan merepresentasikan bit output S-DES. Kemudian nilai

ciphertext dijadikan hasil dari persamaan yang berkorespondensi. Contohnya, bit

output yang ke 6 direpresentasikan sebagai 𝑆10, ciphertext yang digunakan yaitu

01000110, kemudian dibuat persamaan 𝑆10 = 𝑐6, sehingga didapat

𝑘3⨁𝑘5⨁𝑘1𝑘6⨁𝑘3𝑘5⨁𝑘1𝑘3𝑘5⨁𝑘1𝑘3𝑘6⨁𝑘3𝑘5𝑘6⨁𝑘1𝑘3𝑘5𝑘6⨁1 = 1 (18)

Dalam penelitian ini, telah ditemukan lima persamaan yang merepresentasikan lima

bit ciphertext, yaitu 𝑆10, 𝑆2

0⨁1, 𝑆11⨁1, 𝑆2

1⨁1, dan 𝑃10.

3. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan di atas, persamaan linier dari 8 bit output S-DES

dapat ditemukan. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa algoritma S-DES

rentan terhadap algebraic attack, karena dengan didapatnya persamaan-persamaan

tersebut, penyerang dapat mencari solusi dari persamaan yang ditemukan

berdasarkan metode-metode yang sudah ada, seperti Grobner Basis, Linearization,

Extended Linearization (XL) Algorithm, dan Extended Sparse Linearization (XSL)

Algorithm [5].

735

Pernyataan terima kasih. Pernyataan terima kasih disampaikan saudari

Sundari Tianingrum, dan Sekolah Tinggi Sandi Negara yang telah memberikan

sumbangsih dan dukungan dalam segala hal kepada penulis.

Referensi

[1] David, M. S-DES Encryption Sample, (online). (http://homepage.smc.edu/morgan_

david/vpn/assignments/assgt-sdes-encrypt-sample.htm. diakses pada 17 Januari 2017).

[2] FIPS 46-3. (Oktober 1999). FIPS 46-3, Data Encryption Standard (DES) (withdrawn

May 19, 2005), (online). (http://csrc.nist.gov/publications/fips/fips46-3/fips46-3.pdf.

diakses 18 Januari 2017).

[3] Menezes, A.J., Oorschot, P.C. Van, Vanstone, S.A., 1997. Handbook of Applied

Cryptography. Electr. Eng. doi:10.1.1.99.2838.

[4] Stallings, W. 2014. Cryptography and Network Security, Sixth Edition. Pearson

Education, Inc. USA.

[5] Tianingrum, S. 2015. Algebraic Attack pada Algoritma Mini AES. Sekolah Tinggi Sandi

Negara. Bogor.

[6] Voros M. 2007. Algebraic Attack on Stream Cipher. Comenius University, Department

of Computer Science. Bratislava.

736


BIT PATTERN BASED INTEGRAL ATTACK PADA

ALGORITMA PRESENT

RYAN SETYO PAMBUDI1, SANTI INDARJANI 2

1Sekolah Tinggi Sandi Negara, [email protected]

2 Sekolah Tinggi Sandi Negara, santi.indarjani@ stsn-nci.ac.id

Abstrak. PRESENT merupakan salah satu algoritma penyandian lightweght

block cipher dengan struktur SPN (Substitution Permutation Network) dengan

ukuran blok sebesar 64-bit dan menerima input kunci dengan variasi 80 bit dan

128 bit. Bit pattern based integral attack merupakan salah satu serangan pada

suatu algoritma block cipher. Output bit pada suatu s-box diperlakukan secara

independen, yaitu tidak digabungkan/dicampurkan dengan bit-bit lain dan

sesuai dengan batas-batas s-box. Pencarian karakteristik integral attack

tersebut berdasarkan pengamatan pada perubahan bit-bit yang terjadi pada

suatu algoritma. Pada penelitian ini dilakukan penerapan bit pattern based

integral attack pada algoritma PRESENT. Serangan dilakukan dengan

membangkitkan 24 chosen-plaintext yang bersifat balance dimasukkan dalam

algoritma PRESENT. Hasil yang didapatkan ialah plainteks secara umum

menjadi tidak balance setelah melewati empat round PRESENT, sehingga

proses recovery kunci dapat dilakukan pada round kelima PRESENT.

Algoritma PRESENT dengan iterasi sebanyak 5 round tidak tahan terhadap bit

pattern based integral attack.

Kata kunci: bit pattern based integral attack , PRESENT

1. Pendahuluan

Kriptanalisis adalah studi tentang cara atau metode untuk

mendapatkan/mengetahui pesan dalam informasi yang terenkripsi (ciphertext) tanpa

mempunyai akses terhadap ciphertext tersebut. Metode ini biasanya hanya berkaitan

dengan cara menemukan kunci rahasia yang digunakan, namun dalam

perkembangannya diartikan juga sebagai usaha untuk mengeksploitasi kelemahan

dari suatu algoritma [4].

PRESENT merupakan salah satu algoritma lightweight block cipher dengan

struktur SPN (Substitution Permutation Network) dengan ukuran blok sebesar 64-bit

dan menerima input kunci dengan variasi 64 bit dan 128 bit. PRESENT memiliki

iterasi sebanyak 32 round. PRESENT-80 adalah algoritma PRESENT dengan input

kunci sepanjang 80-bit. Sedangkan PRESENT-128 adalah algoritma PRESENT

dengan input kunci sepanjang 128 bit [2]. PRESENT merupakan algoritma

lightweight standard yang ditetapkan oleh International Standard Organization

(ISO) berdasarkan ISO/IEC 29192 pada tahun 2012.

Munculnya algoritma PRESENT menarik perhatian dan penelitian oleh

737

berbagai ilmuwan kriptografi. Sejak munculnya PRESENT kriptanalis telah

melakukan berbagai serangan terhadap PRESENT untuk menguji kekuatan dan

ketahanan algoritma PRESENT terhadap berbagai serangan.

Bit pattern based integral attack merupakan salah satu teknik serangan baru

yang diperkenalkan oleh Z’aba, dkk [3] pada tahun 2008. Konsep serangan integral

attack merupakan ide dasar dari munculnya serangan ini. Integral attack bertujuan

mencari karakteristik pada suatu algoritma dengan menggunakan n buah teks terang

𝑃𝑖 yang bersifat balance (hasil XOR nya sama dengan nol). n buah teks terang

tersebut kemudian dienkripsi dan diproses sesuai fungsi pada suatu algoritma. Hasil

enkripsi menghasilkan teks sandi 𝐶𝑖 kemudian dianalisis keseimbangannya dan

dibandingkan dengan kondisi sebelum proses enkripsi. Apabila diketahui 𝐶𝑖 bersifat

tidak balance, maka penyerang dapat melakukan recovery kunci, yaitu proses

menebak kemungkinan kunci yang digunakan.

Serangan berbasis bit pattern based integral attack yaitu output bit pada

suatu s-box diperlakukan secara independen, yaitu tidak digabungkan/dicampurkan

dengan bit-bit lain dan sesuai dengan batas-batas s-box [3] . Pencarian karakteristik

integral attack tersebut berdasarkan pengamatan pada perubahan bit-bit yang terjadi

pada suatu algoritma. Serangan ini merupakan salah satu jenis serangan choosen

plaintext attack.

Pada penelitian ini akan dilakukan penerapan bit pattern based integral

attack pada algoritma PRESENT. Penelitian bertujuan untuk mengetahui ketahanan

algoritma PRESENT dari serangan bit pattern based integral attack. Algoritma

PRESENT yang dipilih ialah PRESENT-80 dengan ukuran kunci 80 bit. Serangan

dilakukan pada reduced round PRESENT-80, yaitu sebanyak lima round.


2.1. Algoritma PRESENT

Algoritma PRESENT merupakan ultra-lightweight block cipher yang

diajukan oleh Bogdanov dkk [2] yang digunakan pada tag RFID dan sensor

networks. Algoritma PRESENT merupakan algoritma lightweight block cipher yang

memiliki struktur Subtitution Permutation Network (SPN) dan terdiri dari 31 round.

Panjang bloknya adalah 64-bit dengan variasi input kunci 80-bit dan 128-bit. Untuk

aplikasi direkomendasikan menggunakan input kunci 80-bit, karena dengan panjang

input kunci 80-bit sudah memenuhi keamanan yang dibutuhkan untuk aplikasi

berbasis RFID [2]. Berikut merupakan struktur algoritma PRESENT.

2.1.1 Key Addition Layer Pada algoritma PRESENT, tahap pertama adalah proses Key Addition Layer

atau Add Round Key Layer yakni setiap bit pada plaintext atau pun bit-bit hasil

akhir dari P-Layer dari tiap round akan di-xor dengan bit-bit sub kunci (round

key) yang merupakan hasil key schedule.

𝐾𝑖 merupakan sub kunci, dimana 𝐾𝑖 = 𝑘63𝑖 … 𝑘0

𝑖 untuk 0 ≤ 𝑖 ≤ 31 dan

posisi bit dinotasikan 𝑏63… 𝑏0. Add round key merupakan operasi yang

dilakukan untuk 0 ≤ 𝑗 ≤ 63,

𝑏𝑗 = 𝑏𝑗⨁ 𝑘𝑗𝑖 (1)

2.1.2 Substitution Layer

738

Plainteks yang telah melewati key addition layer selanjutnya diproses

memasuki s-box (substitution box). S-box yang digunakan pada algoritma

PRESENT adalah s-box 𝑆 berukuran 4×4, 𝑆 = 𝔽24 → 𝔽24. Tabel 2.1

merupakan tabel Sbox pada algoritma PRESENT.

Tabel 1 Substitution box algoritma PRESENT

Dari Tabel 1 pada Sbox layer state pesan 𝑏63, … , 𝑏0 dikelompokkan menjadi

16 bagian dengan 4-bit words 𝑤63, … , 𝑤0 dimana 𝑤𝑖 = 𝑏4∗𝑖+3 ∥ 𝑏4∗𝑖+2 ∥𝑏4∗𝑖+1 ∥ 𝑏4∗𝑖 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 15. Nilai dari 𝑆[𝑤𝑖] merupakan output dari sbox

layer dan state untuk proses selanjutnya.

2.1.3 Permutation Layer

Selanjutnya bit-bit yang telah diproses pada substitution layer diproses pada

permutation layer, yaitu proses perpindahan posisi bit pada algoritma

PRESENT. Tabel 2 menunjukkan permutasi pada algoritma PRESENT.

Tabel 2 Permutasi Algoritma PRESENT

2.1.4 Key Schedule

Input kunci sepanjang 80-bit akan melalui proses key schedule sehingga

menghasilkan kunci sepanjang 64-bit yang selalu diperbarui setiap roundnya.

Kunci disimpan dalam register kunci 𝐾 dan direpresentasikan sebagai

𝑘79𝑘78𝑘77…𝑘0. Pada round ke 𝑖, kunci round sepanjang 64-bit yaitu 𝐾𝑖 =𝑘63𝑘62𝑘61…𝑘0 adalah 64-bit paling kiri dari kunci yang ada pada register

kunci 𝐾. Dengan demikian kunci round ke 𝑖 adalah 𝐾𝑖 = 𝑘63𝑘62𝑘61…𝑘0 =𝑘78𝑘77𝑘76…𝑘16. Pada round selanjutnya register kunci 𝐾𝑖 =𝑘79𝑘78𝑘77…𝑘16harus diperbarui dengan cara berikut:

[𝑘78𝑘77…𝑘1𝑘0] = [𝑘18𝑘17…𝑘20𝑘19] (2)

[𝑘79𝑘78𝑘77𝑘76] = 𝑆[𝑘79𝑘78𝑘77𝑘76] (3)

[𝑘19𝑘18𝑘17𝑘16𝑘15] = [𝑘19𝑘18𝑘17𝑘16𝑘15] ⊕ 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑_𝑐𝑜𝑢𝑛𝑡𝑒𝑟 (4)

2.2. Integral Attack

Integral attack merupakan basis dari serangan terbaik pada AES, dan telah

menjadi standar ketika mengembangkan kriptanalisis. Ide dasar attack ini adalah

untuk menganalisis bagaimana menetapkan sifat yang spesifik pada sejumlah

plainteks yang melewati proes enkripsi pada algoritma dan menggunakan

keberadaan sifat tersebut untuk memverifikasi kunci yang ditebak [3]. Pada skema

739

serangan ini, bit-bit dipilih konstan dengan tujuan agar tidak terpengaruh oleh

subtitution bytes pada s-box bijektif. Dengan menggunakan pendekatan pada bit

oriented cipher, output bit dari suatu s-box tidak dipandang sebagai suatu blok. Hal

ini pada umumnya menyatakan bahwa semua nilai pada output s-box setelah itu akan

dikaburkan oleh linear layer.

Algoritma yang berbasis bit, dapat diterapkan integral attack. Output bit

pada suatu s-box diperlakukan secara independen, yaitu tidak

digabungkan/dicampurkan dengan bit-bit lain dan sesuai dengan batas-batas s-box

[3]. Pencarian karakteristik integral attack tersebut berdasarkan pengamatan pada

perubahan bit-bit yang terjadi pada suatu algoritma. Input pada s-box di round

selanjutnya akan memiliki beberapa bit yang konstan dan beberapa lainnya tidak

konstan. Struktur tersebut akan hilang pada round kedua. Oleh karena itu, penamaan

pada serangan ini ialah bit pattern based integral attack.

2.3. Bit Pattern Attack pada Algoritma PRESENT

Dalam proses serangan pada algoritma ini digunakan suatu himpunan

pasangan 𝑃𝑖 dan 𝐶𝑖 yang berkorespondensi. 𝑃𝑖 merupakan himpunan teks

terang/plainteks dan 𝐶𝑖 merupakan himpunan teks sandi/cipherteks. Plainteks terdiri

dari 16 teks terang dengan 0 ≤ 𝑖 ≤ 15. Setiap teks berukuran 64 bit yang terdiri dari

16 sbox, yang dikelompokkan menjadi empat blok. Empat buah sbox diaktifkan pada

blok terakhir 𝑥3. Sbox yang memiliki nilai tetap disebut sbox pasif, sedagkan sbox

yang memiliki bit-bit aktif disebut sbox aktif.

Langkah awal yaitu dengan membangkitkan suatu himpunan teks terang 𝑃𝑖. Gambar 1 menunjukkan teks terang yang digunakan sebanyak 16 buah.

𝑃0 = 8𝑎8𝑎 1212 𝑐3𝑐3 888816 𝑃1 = 8𝑎8𝑎 1212 𝑐3𝑐3 888916

𝑃2 = 8𝑎8𝑎 1212 𝑐3𝑐3 889816

𝑃3 = 8𝑎8𝑎 1212 𝑐3𝑐3 889916

𝑃4 = 8𝑎8𝑎 1212 𝑐3𝑐3 898816

𝑃5 = 8𝑎8𝑎 1212 𝑐3𝑐3 898916

𝑃6 = 8𝑎8𝑎 1212 𝑐3𝑐3 899816

𝑃7 = 8𝑎8𝑎 1212 𝑐3𝑐3 899916

𝑃8 = 8𝑎8𝑎 1212 𝑐3𝑐3 988816

𝑃9 = 8𝑎8𝑎 1212 𝑐3𝑐3 988916

𝑃10 = 8𝑎8𝑎 1212 𝑐3𝑐3 989816

𝑃11 = 8𝑎8𝑎 1212 𝑐3𝑐3 989916

𝑃12 = 8𝑎8𝑎 1212 𝑐3𝑐3 998816

𝑃13 = 8𝑎8𝑎 1212 𝑐3𝑐3 998916

𝑃14 = 8𝑎8𝑎 1212 𝑐3𝑐3 999816

𝑃15 = 8𝑎8𝑎 1212 𝑐3𝑐3 999916

Gambar 1 Teks Terang yang Digunakan

Blok 𝑥0,𝑥1,𝑥2 memiliki sbox pasif, sedangkan pada blok 𝑥3 memiliki empat

sbox aktif. Keempat sbox aktif tersebut masing-masing memiliki tiga buah bit

konstan pada inputannya, yaitu 100_ , dimana blank tersebut yang nantinya akan

diisi oleh bit-bit teks terang yang dipilih. Apabila seluruh 16 teks terang di-XOR-

kan, maka XOR dari masing-masing sbox baik sbox aktif maupun pasif adalah

740

bernilai 000016. Dalam proses enkripsi, dipilih kunci yang digunakan untuk proses

enkripsi. Kunci berukuran 80 bit dengan subkunci yang dihasilkan masing-masing

berukuran 64 bit. Berikut kunci yang digunakan :

𝐾 = 7𝑑7𝑑7𝑑7𝑑7𝑑7𝑑7𝑑7𝑑7𝑑7𝑑16

2.3.1 Bit Pattern Based Integral Attack pada 1 round PRESENT

Langkah pertama yang dilakukan untuk melakukan serangan pada satu

round PRESENT ialah membangkitkan 16 buah plainteks 𝑃𝑖 pada Gambar 1

kemudian lakukan enkripsi 1 round. Enkripsi 1 round menghasilkan teks sandi

𝐶𝑖1 sejumlah 16 buah. Berikut merupakan 𝐶𝑖

1.

𝐶01 = 5𝑎𝑎05000𝑎𝑓0𝑎5050 16

𝐶11 = 5𝑎𝑎15000𝑎𝑓0𝑎5051 16

𝐶21 = 5𝑎𝑎05000𝑎𝑓085052 16

𝐶31 = 5𝑎𝑎15000𝑎𝑓085053 16

𝐶41 = 5𝑎𝑎45000𝑎𝑓0𝑎5054 16 𝐶51 = 5𝑎𝑎55000𝑎𝑓0𝑎5055 16 𝐶61 = 5𝑎𝑎45000𝑎𝑓085056 16 𝐶71 = 5𝑎𝑎55000𝑎𝑓085057 16 𝐶81 = 5𝑎𝑎05000𝑎𝑓025058 16 𝐶91 = 5𝑎𝑎15000𝑎𝑓025059 16 𝐶101 = 5𝑎𝑎05000𝑎𝑓00505𝑎 16 𝐶111 = 5𝑎𝑎15000𝑎𝑓00505𝑏 16 𝐶121 = 5𝑎𝑎45000𝑎𝑓02505𝑐 16 𝐶131 = 5𝑎𝑎55000𝑎𝑓02505𝑑 16 𝐶141 = 5𝑎𝑎45000𝑎𝑓00505𝑒 16

𝐶151 = 5𝑎𝑎55000𝑎𝑓00505𝑓 16

Gambar 2 Hasil Enkripsi 1 Round

Dari hasil enkripsi didapat bahwa terdapat satu sbox aktif dengan pola

𝑑3, 𝑑2, 𝑑1, 𝑎0 pada blok 𝑥3. Hal ini ditunjukkan oleh perubahan nilai bit hasil

enkripsi yang menghasilkan semua kemungkinan nilai pada 𝑠0. Kondisi ini

disebabkan karena variabel bit yang diubah pada himpunan plainteks 𝑃𝑖 pada

round pertama masing-masing dipetakan pada 𝑠0.

Sbox aktif juga terdapat pada blok 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2 yang terletak pada posisi

sbox 4, 8, dan 12. Hasil enkripsi menunjukkan bahwa teks sandi hasil enkripsi

pesan masih bersifat balance. Karena hasil XOR antara seluruh blok pada 16

buah teks sandi sama dengan nol.

741


Enkripsi pada round kedua menggunakan output dari round pertama,

kemudian diproses sesuai fungsi iterasi pada PRESENT. Hasil enkripsi 2 round

menghasilkan teks sandi 𝐶𝑖2.

𝐶02 = 𝑎2𝑒0𝑎2𝑒09𝑓2𝑓8220 16

𝐶12 = 𝑎2𝑒0𝑎2𝑒08𝑓2𝑒9221 16

𝐶22 = 𝑎2𝑓0𝑎2𝑓19𝑓2𝑓8231 16

𝐶32 = 𝑎2𝑓0𝑎2𝑓18𝑓2𝑒9230 16

𝐶42 = 𝑏2𝑒1𝑎2𝑒08𝑓2𝑒8220 16 𝐶52 = 𝑏2𝑒1𝑏2𝑒19𝑓2𝑓9221 16

𝐶62 = 𝑏2𝑓1𝑎2𝑓18𝑓2𝑓8230 16 𝐶72 = 𝑏2𝑓0𝑏2𝑓09𝑓2𝑓9231 16 𝐶82 = 𝑎2𝑒1𝑎2𝑓19𝑓3𝑒8231 16

𝐶92 = 𝑎2𝑒1𝑎2𝑓08𝑓3𝑓9230 16 𝐶102 = 𝑎2𝑒0𝑎2𝑒09𝑓3𝑒8220 16 𝐶112 = 𝑎2𝑒1𝑎2𝑒08𝑓3𝑒9221 16

𝐶122 = 𝑏2𝑒1𝑎2𝑓08𝑓3𝑓8231 16 𝐶132 = 𝑏2𝑒0𝑏2𝑓19𝑓3𝑓9230 16

𝐶142 = 𝑏2𝑒0𝑎2𝑒18𝑓3𝑒8221 16 𝐶152 = 𝑏2𝑒1𝑏2𝑒19𝑓3𝑒9220 16


Pada teks sandi 𝐶𝑖2 telah terdapat pengaruh permutasi bit yang

mengakibatkan sebagian besar sbox pada tiap blok teraktifkan, kecuali pada

sbox kedua dari masing-masing blok, yaitu 𝑠2, 𝑠6, 𝑠10, dan 𝑠14, karena masih

menunjukkan pola yang tetap yaitu 𝑎3, 𝑎2, 𝑑1, 𝑎0 untuk semua plainteks. Hasil

enkripsi menunjukkan bahwa teks sandi hasil enkripsi pesan masih bersifat

balance. Karena hasil XOR antara seluruh blok pada 16 buah teks sandi sama

dengan nol.


Hasil enkripsi round ketiga menghasilkan 𝐶𝑖3 sebanyak 16 buah.

𝐶03 = 𝑐0𝑑𝑑667𝑒04𝑓2667𝑓 16

𝐶13 = 𝑐0𝑑𝑐66𝑒6046𝑎66𝑒6 16

𝐶23 = 𝑒3𝑑𝑐667𝑒04𝑓0457𝑐 16

𝐶33 = 𝑒3𝑑𝑑66𝑒6046845𝑒5 16

𝐶43 = 𝑑0𝑑𝑑𝑒6𝑒𝑒8462𝑓6𝑒𝑓 16 𝐶53 = 𝑑9𝑑𝑐𝑒67684𝑓𝑎𝑓𝑓76 16 𝐶63 = 𝑓3𝑑𝑑𝑒6𝑓𝑒8470𝑑5𝑓𝑑 16 𝐶73 = 𝑒𝑎𝑑𝑐𝑒67684𝑓8𝑐𝑐74 16

𝐶83 = 𝑑3𝑑𝑐666𝑒04𝑐0754𝑐 16

𝐶93 = 𝑑2𝑑𝑑66𝑓6045874𝑑5 16 𝐶103 = 𝑐0𝑑𝑑666𝑒04𝑐2664𝑓 16 𝐶113 = 𝑑0𝑑𝑐66𝑒6044𝑎76𝑐6 16

742

𝐶123 = 𝑑2𝑑𝑐𝑒6𝑓𝑒8450𝑓4𝑑𝑐 16 𝐶133 = 𝑐𝑏𝑑𝑑𝑒67684𝑑8𝑒𝑑5516 𝐶143 = 𝑐1𝑑𝑐𝑒6𝑒𝑒8442𝑒7𝑐𝑒 16

𝐶153 = 𝑑9𝑑𝑑𝑒66684𝑐𝑎𝑓𝑓47 16


Hasil enkripsi menunjukkan bahwa sbox aktif tersebar dan hampir

mengaktifkan semua sbox pada tiap blok, kecuali sbox 𝑠13 pada blok 𝑥0, sbox

𝑠10 pada blok 𝑥1, dan sbox 𝑠6 pada blok 𝑥2. Hal ini berarti bahwa active bit

telah tersebar pada masing-masing sbox, kecuali ketiga sbox pasif tersebut.

Meskipun active bit telah tersebar pada hampir semua sbox, namun teks sandi

masih mempertahankan keseimbangannya. Dari hasil percobaan didapat bahwa

hasil XOR dari 16 buah 𝐶𝑖3 yang dihasilkan adalah bernilai nol.


Enkripsi pada round keempat menghasilkan teks sandi 𝐶𝑖4. Setelah

melewati round keempat, teks sandi telah kehilangan keseimbangannya.

Berikut merupakan hasil enkripsi 4 round PRESENT.

𝐶04 = 35𝑒18𝑏3𝑏𝑏00𝑐540𝑐 16

𝐶14 = 24𝑓19829𝑏12𝑑451𝑐 16

𝐶24 = 𝑎5𝑒5𝑑𝑏2270094411 16

𝐶34 = 𝑏4𝑓5𝑐82171395501 16

𝐶44 = 𝑏𝑑𝑒90131𝑏0𝑎4𝑑𝑐8𝑐 16 𝐶54 = 𝑒𝑐𝑓95227𝑏181𝑐𝑑9𝑐 16

𝐶64 = 3𝑓𝑐𝑒𝑐10170𝑎9𝑑𝑒𝑏2 16 𝐶74 = 𝑒𝑐𝑓9922𝑒31944𝑑88 16

𝐶84 = 𝑎5𝑒55𝑏08𝑓223𝑐631 16

𝐶94 = 𝑏6𝑓7482𝑑𝑏1379725 16 𝐶103 = 35𝑒18𝑏19𝑏22𝑒562𝑐 16 𝐶114 = 𝑎4𝑓3180𝑏𝑏105𝑐516 16 𝐶124 = 𝑎𝑓𝑒𝑓5124𝑏0𝑎78𝑒𝑏𝑑 16 𝐶134 = 3𝑐𝑑58221𝑏1𝑏51𝑑87 16 𝐶144 = 2𝑑𝑒69117𝑓0840𝑐83 16

𝐶154 = 𝑓𝑐𝑓84204𝑏3𝑎3𝑑𝑓𝑏𝑑 16


Dari gambar 5 dapat dilihat bahwa pada round keempat, semua bit pada

tiap-tiap blok telah terpengaruh. Semua sbox menjadi aktif. Tidak ada lagi

nibble yang konstan. Teks sandi telah kehilangan keseimbangannya, hal ini

ditunjukkan dengan hasil XOR nilai pada tiap-tiap blok 𝐶𝑖4 sudah tidak

menghasilkan nilai nol.

Ketika teks sandi yang dihasilkan bersifat unbalance, sesuai konsep

integral attack maka dapat dilakukan recovery kunci untuk menebak subkunci

yang digunakan. Berdasarkan struktur algoritma PRESENT diketahui bahwa

proses XOR kunci pada round keempat terletak di awal fungsi round dan masih

bersifat balance. Teks sandi mulai bersifat tidak balance setelah melewati

proses substitution layer dan permutation layer pada round keempat. Oleh

743

karena itu dibutuhkan satu round tambahan, yaitu pada round kelima untuk

dapat menebak kunci yang digunakan. Fungsi round yang digunakan pada

round kelima hanya proses XOR kunci 2.4. Recovery Kunci

Proses recovery kunci dilakukan sebagai berikut:

1) Lakukan enkripsi 16 buah plainteks 𝑃𝑖 menggunakan kunci yang dipilih sebanyak

empat round.

2) Hasil enkripsi 5-round tersebut kemudian dilakukan dekripsi parsial satu round

menggunakan kandidat kunci yang dipilih. Kandidat kunci dapat dipilih pada

posisi nibble ke-k pada blok pesan ke-i, yaitu mulai blok pertama hingga blok

keempat.

3) Lakukan XOR semua nilai pada hasil dekripsi tersebut terhadap hasil enkripsi

pada round sebelumnya.

4) Apabila hasil 𝑋𝑂𝑅 = 0, maka kandidat kunci yang ditebak pada nibble ke-k

adalah benar. Jika hasil 𝑋𝑂𝑅 ≠ 0, maka coret kandidat kunci dari daftar daftar

nibble-k.

Proses di atas dilakukan untuk semua kemungkinan kunci, sehingga didapat

kunci pada round kelima.

2.5. Analisis Keamanan Algoritma PRESENT

Algoritma PRESENT 5 round tidak tahan terhadap bit pattern based integral

attack. Hal ini disebabkan penyerang dapat melakukan eksploitasi pada kunci

dengan memanfaatkan ketidakseimbangan plainteks setelah melewati round

keempat.

Penyerang dapat melakukan recovery kunci yang dapat dilakukan pada

round kelima untuk menebak subkunci pada round kelima PRESENT. Hal ini

dikarenakan setelah melewati round keempat plainteks masih balance, namun

setelah melewati substitution dan permutaton layer pada round keempat menjadi

tidak balance. Namun pada round keempat belum dapat dilakukan recovery kunci,

karena proses XOR kunci berada di awal fungsi iterasi dan teks sandi masih bersifat

balance. Oleh karenanya proses tambahan pada round kelima harus dilakukan untuk

dapat menebak kunci pada round kelima. Sbox yang dapat dipilih ialah pada sbox

yang tidak seimbang setelah pada round keempat. Apabila penyerang mampu

menebak kunci pada round kelima, maka penyerang dapat mengkesploitasi subkunci

pada round-round sebelumnya dengan metode yang sama.

3. Kesimpulan Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa Bit

Pattern Based Integral Attack dapat diterapkan pada reduced round PRESENT-80,

yaitu sebanyak 5 round. Algoritma PRESENT 5 round tidak tahan terhadap Bit

Pattern Based Integral Attack, karena terdapat ketidakseimbangan teks sandi mulai

round keempat yang memungkinkan penyerang dapat melakukan recovery kunci

Pernyataan terima kasih. Pernyataan terimakasih disampaikan kepada kedua

orang tua penulis, Dr. Santi Indarjani, S.Si.,M.MSI. dan institusi pendidikan Sekolah

Tinggi Sandi Negara yang telah memberikan sumbangsih dan dukungannya dalam

segala hal kepada penulis.

744

Referensi

[1] A. J. Menezes, P. C. v. Oorschot and S. A. Vanstone, "Handbook of Applied

Cryptography," Massachusetts Institute of Technology, 1997.

[2] Bogdanov, L.R.Knudsen, G.Lender, C.Paar, A.Pochmann, M. Robshaw, Y. Seurin and

C. Vikkelsoe, "PRESENT : An Ultra-Lightweight Block Cipher," CHES 2007, pp. 450-

466, 2007.

[3] M. R. Z'aba, H. Raddum, M. Henricksen and E. Dawson, "Bit-Pattern Based Integral

Attack. In: Neyberg K.(eds) Fast Software Encryption 15th," Berlin, Heidelberg, 2008.

[4] Sumarkidjo, P. Prasetyaningtyas, Y. Susilo, S. Indarjani, A. Setiawan and Y.

Adikusuma, Jelajah Kriptologi, Jakarta, 2007.

745


PERBANDINGAN KARAKTERISTIK S-BOX

ALGORITMA PRESENT DAN I-PRESENT

ANNISA DEWI SALDYAN1, SARI AGUSTINI HAFMAN2

1 Lembaga Sandi Negara, [email protected]


Abstrak. Algoritma I-PRESENT merupakan algoritma modifikasi dari

algoritma PRESENT dan dinyatakan lebih aman dibandingkan algoritma

PRESENT. Perbedaan kedua algoritma tersebut terletak pada S-box yang

digunakannya. Meskipun demikian, karakteristik S-box algoritma I-PRESENT

sama dengan karakteristik S-box algoritma PRESENT dari segi ketahanan

terhadap differential cryptanalysis dan linear cryptanalysis. Akibatnya ketika

Tezcan menemukan bahwa S-box algoritma PRESENT mempunyai 6

undisturbed bit serta 6 struktur linear, maka kemungkinan S-box algoritma I-

PRESENT akan memiliki undisturbed bit dan struktur linear seperti S-box

algoritma PRESENT. Undisturbed bit pada suatu S-box dapat diamati dengan

menggunakan 3 tools, yaitu DDT, LAT dan ACT. Hasil penelitian menunjukkan

bahwa meskipun ke-16 S-box I-PRESENT memiliki karakteristik yang sama

dengan S-box PRESENT tetapi hanya 4 buah S-box yang mempunyai jumlah

undisturbed bit dan struktur linear sama dengan S-box algoritma PRESENT.

Empat buah S-box I-PRESENT lain, mempunyai jumlah undisturbed bit dan

struktur linear yang lebih sedikit dari S-box algoritma PRESENT yaitu 3

undisturbed bit dan 2 struktur linear, sedangkan 8 buah S-box tidak memiliki

undisturbed bit tetapi memiliki 2 struktur linear.

Kata kunci: Algoritma PRESENT, algoritma I-PRESENT, S-box, undisturbed bit,

truncated differential.

1. Pendahuluan

Fungsi nonlinear dalam block cipher biasanya menggunakan operasi

substitusi dan implementasinya menggunakan lookup table yang disebut substitution

box atau S-box [12]. Menurut Dawson & Tavares [5] kualitas S-box yang digunakan

menentukan kekuatan sistem kriptografi algoritma berstruktur substitution

permutation network (SPN). Salah satu algoritma block cipher berstruktur SPN yang

mengandalkan S-box sebagai komponen non-linear untuk meningkatkan kekuatan

sistem kriptografinya adalah algoritma PRESENT. Algoritma PRESENT [3]

merupakan salah satu algoritma standar lightweight block cipher berdasarkan

ISO/IEC 29192-2:2012 [7] yang dipublikasikan Bogdanov pada tahun 2007.

Terdapat beberapa penelitian terkait kriptanalisis terhadap algoritma

PRESENT diantaranya adalah Differential Cryptanalysis [14], Linear Cryptanalysis

[4] dan Improbable Differential Attack using Undisturbed Bits [13]. Tezcan [13]

melakukan improbable differential attack menggunakan Differential Distribution

746

Table (DDT) S-box algoritma PRESENT dengan memanfaatkan adanya undisturbed

bit. Undisturbed bit dapat dijadikan parameter dalam menentukan resistensi suatu

algoritma block cipher karena undisturbed bit merupakan struktur linear dalam

fungsi koordinat [14]. Menurut Tezcan [13] undisturbed bit bermanfaat untuk

mengkonstruksi truncated, impossible dan improbable differential yang lebih

panjang dan lebih baik. Makarim dan Tezcan juga menyatakan bahwa keberadaan

undisturbed bit berguna untuk mengkonstruksi karakteristik truncated suatu block

cipher [12].

Pencarian undisturbed bit dilakukan dengan mengamati input dan output

difference yang memiliki pola dari Least Significant Bit (LSB) pada persebaran

probabilitasnya. Pada tahun 2014, Makarim dan Tezcan [12] melanjutkan penelitian

Tezcan [13] dengan mengamati hubungan antara undisturbed bit dan sifat S-box

melalui pembuktian matematis terhadap sifat S-box yang memiliki undisturbed bit.

Undisturbed bit tersebut dihasilkan dari tiga tools yaitu DDT, Linear Approximation

Table (LAT) dan Autocorrelation Table (ACT).

Untuk meningkatkan keamanan PRESENT, Aldabbagh dan Fakhri [1]

memodifikasi algoritma PRESENT menjadi Improved PRESENT (I-PRESENT)

dengan mengubah komponen S-box tetap menjadi S-box yang pemilihannya

bergantung pada kunci. Menurut Aldabbagh dan Fakhri, keamanan PRESENT

meningkat karena S-box yang digunakan tiap round berbeda dan bersifat rahasia

serta memiliki karakteristik S-box yang sama dengan S-box algoritma PRESENT

berkaitan dengan ketahanan terhadap linear cryptanalysis dan differential

cryptanalysis.

Mengingat S-box algoritma I-PRESENT memiliki karakteristik yang sama

dengan S-box PRESENT yaitu dari segi ketahanan terhadap linear cryptanalysis dan

differential cryptanalysis, serta belum dilakukan penelitian mengenai ada atau

tidaknya undisturbed bit pada ke-16 S-box algoritma I-PRESENT maka pada

penelitian ini dilakukan pencarian undisturbed bit berdasarkan DDT, LAT, ACT

pada S-box algoritma PRESENT dan I- PRESENT dengan menggunakan metode

yang diajukan Makarim dan Tezcan[12].

2. Landasan Teori

Berikut adalah konsep dan teori yang berkaitan dengan penelitian yang dilakukan yaitu S-box yang digunakan pada algoritma PRESENT dan algoritma I-PRESENT, DDT, LAT, ACT dan undisturbed bit.

2.1 S-box Algoritma PRESENT

Algoritma PRESENT merupakan salah satu algoritma lightweight block cipher berstruktur SPN yang memiliki ukuran blok input sebesar 64-bit dan memiliki dua jenis ukuran kunci, yaitu 80 dan 128-bit. Algoritma PRESENT terdiri dari 31-round dengan komponen yang terdapat dalam algoritma PRESENT adalah AddRoundKey, sBoxLayer dan pLayer. S-box pada algoritma PRESENT (dinotasikan dengan 𝑆: 𝔽2

4 → 𝔽24) digunakan pada sBoxLayer . Representasi S-box

PRESENT dalam bilangan heksadesimal dapat dilihat pada Tabel 1.

747

Tabel 1. S-box PRESENT [3]

2.2 S-box algoritma I-PRESENT

Algoritma I-PRESENT merupakan algoritma PRESENT yang dimodifikasi oleh Aldabbagh dengan mengubah penggunaan S-box menjadi S-box yang pemilihannya bergantung pada kunci. Algoritma I-PRESENT mempunyai 16 S-box yang memiliki karakteristik sama dengan S-box PRESENT, dengan rincian 8 S-box merupakan S-box algoritma Serpent [2], 4 S-box [11], dan 4 S-box merupakan S-box algoritma Hummingbird [6]. S-box yang digunakan pada algoritma I-PRESENT, yaitu:

𝑆0 = [3, 8, 15, 1, 10, 6, 5, 11, 14, 13, 4 ,2, 7, 0, 9, 12] 𝑆1 = [15, 12, 2, 7, 9, 0, 5, 10, 1, 11, 14, 8, 6, 13, 3, 4] 𝑆2 = [8, 6, 7, 9, 3, 12, 10, 15, 13, 1, 14, 4, 0, 11, 5, 2] 𝑆3 = [0, 15, 11, 8, 12, 9, 6, 3, 13, 1, 2, 4, 10, 7, 5, 14] 𝑆4 = [1, 15, 8, 3, 12, 0, 11, 6, 2, 5, 4, 10, 9, 14, 7, 13] 𝑆5 = [15, 5, 2, 11, 4, 10, 9, 12, 0, 3, 14, 8, 13, 6, 7, 1]; 𝑆6 = [7, 2, 12, 5, 8, 4, 6, 11, 14, 9, 1, 15, 13, 3, 10, 0] 𝑆7 = [1, 13, 15, 0, 14, 8, 2, 11, 7, 4, 12, 10, 9, 3, 5, 6] 𝑆8 = [0, 3, 5, 8, 6, 9, 12, 7, 13, 10, 14, 4, 1, 15, 11, 2]; 𝑆9 = [0, 3, 5, 8, 6, 12, 11, 7, 9, 14, 10, 13, 15, 2, 1, 4] 𝑆10 = [0, 3, 5, 8, 6, 10, 15, 4, 14, 13, 9, 2, 1, 7, 12, 11] 𝑆11 = [0, 3, 5, 8, 6, 12, 11, 7, 10, 4, 9, 14, 15, 1, 2, 13] 𝑆12 = [7, 12, 14, 9, 2, 1, 5, 15, 11, 6, 13, 0, 4, 8, 10, 3] 𝑆13 = [4, 10, 1, 6, 8, 15, 7, 12, 3, 0, 14, 13, 5, 9, 11, 2] 𝑆14 = [2, 15, 12, 1, 5, 6, 10, 13, 14, 8, 3, 4, 0, 11, 9, 7] 𝑆15 = [15, 4, 5, 8, 9, 7, 2, 1, 10, 3, 0, 14, 6, 12, 13, 11]

Pemilihan S-box pada algoritma I-PRESENT ditentukan oleh algoritma pemilihan

S-box berikut ini.

Algoritma Pemilihan S-box pada I-PRESENT.

INPUT: Mkey 80-bit dan plaintext 64-bit.

OUTPUT: ciphertext 80-bit

Key = Left most 64-bit from Mkey

S-boxes_Array = 𝑆0, 𝑆1, 𝑆2, … , 𝑆15

State = plaintext

For 𝑖= 1 to 31

In_key = Key[0. .3] ⊕… ⊕ Key[60. .63]. New_Sbox= S-boxes_Array[In_key].

State = State XOR Key.

New_Sbox(State).

P-box(State).

Key update.

End

Cipher = State XOR Key.

Key update

Proses key update yang digunakan pada algoritma I-PRESENT sama dengan proses

748

key update yang terdapat pada algoritma PRESENT, yaitu:

[𝑘79𝑘78… 𝑘1𝑘0] = [𝑘18𝑘17… 𝑘20𝑘19][𝑘79𝑘78 𝑘77𝑘76] = 𝑆[𝑘79𝑘78𝑘77𝑘76] [𝑘19𝑘18𝑘17𝑘16𝑘15] = [𝑘19𝑘18𝑘17𝑘16𝑘15] ⊕ 𝑟𝑐𝑜𝑛,

dengan 𝑟𝑐𝑜𝑛 adalah round counter.

2.3 DDT

DDT merupakan suatu tabel yang dibentuk dari S-box untuk mengecek berapa banyak output difference tertentu dari S-box yang terjadi untuk suatu input difference. Misal 𝑥, 𝑥′ ∈ 𝐹2

𝑛 adalah dua input S-box dan 𝑦 = 𝑆(𝑥), 𝑦′= 𝑆(𝑥′)

adalah output yang berkorespondensi. Input difference adalah 𝑥 ⊕ 𝑥′= 𝛼. 𝑦 ⊕

𝑦′= 𝛽 adalah sebagai difference dari output 𝑆 yang berkorespondensi terhadap input

difference 𝛼.

Definisi 2.1. [12] (DDT) Untuk suatu S-box 𝑆 berukuran 𝑛 ×𝑚, isi dari baris 𝛼 ∈

𝐹2𝑛 dan kolom 𝛽 ∈ 𝐹2

𝑚 (direpresentasikan dalam nilai integer) dari DDT S-box 𝑆

didefinisikan dengan

𝐷𝐷𝑇 (𝛼, 𝛽) = |{𝑥 ∈ 𝐹2𝑛 |𝑆(𝑥)⊕ 𝑆(𝑥 ⊕ 𝛼) = 𝛽}| (1)

Contoh 2.2. Tabel DDT S-box 𝑆0 I-PRESENT dapat dilihat pada Tabel 2.

Tabel 2. DDT S-box 𝑺𝟎 I-PRESENT

2.4 LAT

LAT merupakan suatu tabel yang digunakan untuk menemukan persamaan linear terbaik dari suatu S-box dengan melibatkan bit-bit yang sama dari input dan output.

Definisi 2.3. [12] (LAT) LAT dari S-box 𝑆 berukuran 𝑛 ×𝑚 pada baris 𝛼 ∈ 𝐹2𝑛 dan

kolom 𝛽 ∈ 𝐹2𝑛 (representasi nilai integer) didefinisikan dengan

𝐿𝐴𝑇 (𝛼, 𝛽) = |{𝑥 ∈ 𝐹2𝑛 | 𝛼 ∙ 𝑥 = 𝑆(𝑥) ∙ 𝛽}| − 2𝑛−1 (2)

Contoh 2.4. LAT S-box 𝑆0 I-PRESENT dapat dilihat pada Tabel 3.

Tabel 3. LAT S-box 𝑆0 I-PRESENT

749

2.5 ACT

Autocorrelation table adalah suatu tabel yang terbentuk dengan mengamati DDT dari suatu S-box.

Definisi 2.5. [12] (ACT) Autocorrelation table S-box 𝑆 berukuran 𝑛 ×𝑚

(dinotasikan dengan 𝐴𝐶𝑇) adalah tabel dengan entri dari baris 𝑎 dan kolom 𝑏 serta

𝑎, 𝑏 ∈ 𝐹2𝑛 didefinisikan sebagai

𝐴𝐶𝑇(𝑎, 𝑏) = 𝑟𝑏.𝑆(𝑎) = ∑ 𝐷𝐷𝑇(𝑎, 𝑣) (−1)𝑏∙𝑣𝑣𝜖𝐹2𝑚 (3)

Contoh 2.6. ACT S-box 𝑆0 I-PRESENT dapat dilihat pada Tabel 4.

Tabel 4. ACT S-box 𝑆0 I-PRESENT

2.6 Undisturbed bit

Keberadaan dari undisturbed bit yang merupakan suatu bit tetap ternyata menjadi sesuatu yang dapat dimanfaatkan dalam melakukan serangan terhadap improbable differential attack.

Definisi 2.7. [12] (Undisturbed Bit) 𝑥 ∈ 𝐹2𝑛 adalah input difference tidak nol pada

S-box S (untuk S-box berukuran 𝑛 ×𝑚 yang dinotasikan dengan 𝑆: 𝐹2𝑛 → 𝐹2

𝑚) dan

𝛺𝛼 = {𝛽 = (𝛽𝑚−1, … , 𝛽0)𝜖𝐹2𝑚|𝑷𝒓𝑆[𝛼 → 𝛽] > 0} adalah himpunan dari semua

kemungkinan output difference dari S yang berkorespondensi dengan 𝛼. Jika 𝛽𝑖 = 𝑐

untuk 𝑐 ∈ 𝐹2 tetap dan untuk semua 𝛽 ∈ 𝛺𝛼, dengan 𝑖 ∈ {0,… ,𝑚 − 1}, maka S-box

𝑆 memiliki undisturbed bit, sehingga dapat dinyatakan untuk input difference 𝛼, bit

ke-𝑖 pada output difference 𝑆 adalah undisturbed yang bernilai 𝑐.

Hasil penelitian Tezcan [13] menunjukkan bahwa S-box pada algoritma PRESENT

memiliki 6 undisturbed bit, yaitu:

1. Jika input difference dari S-box bernilai 9, maka LSB dari output difference

adalah undisturbed yang bernilai 0.

2. Jika input difference dari S-box bernilai 1 atau 8, maka LSB dari output

difference adalah undisturbed yang bernilai 1.

3. Jika output difference dari S-box bernilai 1 atau 4, maka LSB dari input

difference adalah undisturbed yang bernilai 1.

4. Jika output difference dari S-box bernilai 5, maka LSB dari input difference

adalah undisturbed yang bernilai 0.

Menurut Makarim dan Tezcan [12], pencarian undisturbed bit dapat dilakukan

dengan mengamati DDT, LAT dan ACT. Berikut adalah lemma, teorema, corollary,

750

proposisi dan remark yang berkaitan dengan pencarian undisturbed bit.

Corollary 2.8. [12] (DDT dan undisturbed bit) Untuk suatu nonzero input difference

�� ∈ 𝐹2𝑛, bit ke-𝑖 dari output difference 𝑆 itu undisturbed jika dan hanya jika

∑ 𝐷𝐷𝑇(𝛼, 𝑣) (−1)𝑒𝑖∙𝑣𝑣𝜖𝐹2𝑚 = ±2𝑛 (4)

untuk 𝑖 ∈ {0,… ,𝑚 − 1} dan 𝑒�� adalah basis standar ke- 𝑖 dari 𝐹2𝑚.

Teorema 2.9. [12] (LAT dan Undisturbed bit) Untuk suatu nonzero input difference

�� ∈ 𝐹2𝑛, bit ke-𝑖 dari output difference 𝑆 itu undisturbed jika dan hanya jika

22−𝑛∑ 𝐿𝐴𝑇(𝑎, 2𝑖)2(−1) ��∙ �� = ±2𝑛 ��∈𝐹2

𝑛 (5)

untuk 𝑖 ∈ {0,… ,𝑚 − 1} dan 𝑎 ∈ 𝐹2𝑛.

Corollary 2.10. [12] (ACT dan Undisturbed bit) Untuk suatu input difference tidak

nol ��, bit ke-𝑖 dari output difference 𝑆 itu undisturbed jika dan hanya jika

𝐴𝐶𝑇(𝛼, 2𝑖) = ±2𝑛 (6)

untuk 𝑖 ∈ {0,… ,𝑚 − 1}.


3.1 Pencarian Undisturbed Bit Menggunakan DDT

Pencarian undisturbed bit menggunakan DDT meliputi dua tahap. Tahap pertama menghitung DDT dan tahap kedua mencari undisturbed bit dari DDT yang telah diperoleh. a. Proses perhitungan DDT

Pada proses pehitungan DDT, terdapat dua langkah yang dilakukan, yaitu

menentukan nilai 𝛼 yang akan digunakan dan menghitung seluruh kemungkinan

nilai 𝛽 yang dihasilkan. Perhitungan DDT S-box PRESENT dilakukan

menggunakan persamaan 1.

b. Pencarian Undisturbed Bit berdasarkan DDT

Pencarian undisturbed bit berdasarkan DDT pada S-box dilakukan melalui dua

cara, yaitu menggunakan S-box 𝑆 untuk melihat undisturbed bit dari sisi input

difference dan menggunakan S-box invers 𝑆−1 untuk melihat undisturbed bit

dari sisi output difference. Berdasarkan persamaan 4, variabel yang ditentukan

terlebih dahulu adalah 𝛼 dan 𝑒𝑖 dengan �� ∈ 𝐹24 merupakan nonzero input

difference yang nilainya berkisar antara 0001 s.d.1111 dan 𝑒𝑖 merupakan basis

standar (basis yang memiliki hamming weight 1, karena menggunakan basis

yang memiliki hamming weight 1 bertujuan untuk mengecek undisturbed bit di

setiap posisi bit dari mulai bit ke-0 s.d ke-3) dari 𝐹24 sehingga nilai 𝑒𝑖 adalah

0001, 0010, 0100 dan 1000.Undisturbed bit dapat diperoleh apabila

∑ 𝐷𝐷𝑇(𝛼, 𝑣) (−1)𝑒𝑖∙𝑣𝑣𝜖𝐹2𝑚 menghasilkan nilai ±2𝑛.

Contoh 3.1. Pencarian undisturbed bit berdasarkan input dan output difference pada S-box 𝑆0 I-PRESENT dengan menggunakan seluruh variasi nilai 𝛼 dan 𝑒𝑖, ditunjukkan pada Tabel 5 dan Tabel 6.

751

Tabel 5. Undisturbed bit S-box 𝑆0 I-PRESENT berdasarkan input difference

DDT

Input Difference

1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Bit

ke-

i

0 0 0 -8 0 8 -8 0 -8 0 0 0 0 -8 8 0

1 -8 0 0 0 0 -8 8 0 0 -8 0 8 -8 0 0

2 -8 -8 8 0 0 0 0 -8 0 8 -8 0 0 0 0

3 0 -

16 0

-

16 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Tabel 6. Undisturbed bit S-box S-box 𝑆0 I-PRESENT berdasarkan output

difference DDT

Output Difference

1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Bit

ke-

i

0 0 -8 0 0 -8 0 0 -8 0 8 0 0 8 0 -8

1 -8 -8 0 0 0 0 0 0 0 -8 0 -8 8 8 -8

2 0 0 0 -

16 0 0 0

-

16 0 0 0 16 0 0 0

3 -8 0 0 0 0 -8 0 -8 8 0 0 0 0 8 -8

Berdasarkan Tabel 5 dan Tabel 6 terlihat bahwa S-box 𝑆0 I-PRESENT memiliki 3

buah undisturbed bit jika dilihat dari sisi input difference, yaitu terletak pada bit ke-

3 dengan nilai input difference sebesar 2,4 dan 6 serta memiliki 3 buah undisturbed

bit jika dilihat dari output difference, yaitu pada output difference 4, 8 dan C pada

posisi bit ke-2. Ke-6 undisturbed bit pada S-box 𝑆0 I-PRESENT dapat dinyatakan

sebagai berikut :

a. Jika input difference dari S-box adalah 6 maka most significant bit dari output

difference adalah undisturbed dan bernilai 0.

b. Jika input difference dari S-box adalah 2 atau 4 maka most significant bit dari

output difference adalah undisturbed dan bernilai 1.

c. Jika output difference dari S-box adalah 4 atau 8 maka bit ke-2 dari input


d. Jika output difference dari S-box adalah 12 maka bit ke-2 dari input difference

adalah undisturbed dan bernilai 0.

3.2 Pencarian Undisturbed Bit Berdasarkan LAT

Terdapat dua langkah untuk mencari undisturbed bit menggunakan LAT, yaitu menghitung LAT lalu mencari undisturbed bit dari LAT yang telah diperoleh. a. Proses Perhitungan LAT

752

Pada proses perhitungan LAT, terdapat dua langkah yang dilakukan, yaitu

menentukan nilai 𝛼 dan 𝛽 yang akan digunakan kemudian menghitung

𝐿𝐴𝑇 (𝛼, 𝛽) menggunakan persamaan 2.

b. Pencarian Undisturbed bit berdasarkan LAT.

Pencarian undisturbed bit berdasarkan LAT pada S-box dilakukan melalui dua



dari sisi output difference. Berdasarkan persamaan 5, variabel yang ditentukan

terlebih dahulu adalah 𝛼 dan 𝑖 dengan 𝛼 ∈ 𝐹24 adalah nonzero 𝛼 yang nilainya

berkisar antara 0001 s.d 1111 dan 𝑖 ∈ {0,… , 3} merupakan bit ke-i dari 𝛽 𝑆. Berdasarkan persamaan 2.5, undisturbed bit dapat diperoleh apabila

22−𝑛∑ 𝐿𝐴𝑇(𝑎, 2𝑖)2(−1) ��∙ �� ∈𝐹2

𝑛 menghasilkan nilai ±2𝑛.

Contoh 3.2. Pencarian undisturbed bit pada salah satu S-box I-PRESENT yaitu 𝑆0 dengan menggunakan seluruh variasi nilai 𝛼 dan 𝑖 ditunjukkan pada Tabel 7 sedangkan dengan menggunakan seluruh variasi 𝛽 dan 𝑖 ditunjukkan pada Tabel 8.

Tabel 7 Undisturbed bit S-box 𝑆0 I-PRESENT berdasarkan seluruh variasi nilai 𝛼 dan 𝑖

Tabel 8 Undisturbed bit S-box 𝑆0 I-PRESENT berdasarkan seluruh variasi nilai 𝛽 dan 𝑖

Berdasarkan Tabel 7 dan Tabel 8 diketahui bahwa S-box 𝑆0 I-PRESENT memiliki 6 buah undisturbed bit dengan rincian 3 buah undisturbed bit pada 𝛼=2,4,6 saat bit ke-3 dan 3 buah undisturbed bit pada 𝛽=4,8 dan 12 saat bit ke-2. Ke-6 undisturbed bit pada S-box 𝑆0 I-PRESENT dapat dinyatakan sebagai berikut: a. Jika 𝛼 dari S-box adalah 6 maka most significant bit dari 𝛽 adalah undisturbed

dan bernilai 0. b. Jika 𝛼 dari S-box adalah 2 atau 4 maka most significant bit dari 𝛽 adalah

undisturbed dan bernilai 1. c. Jika 𝛽 dari S-box adalah 4 atau 8 maka bit ke-2 dari 𝛼 adalah undisturbed dan

bernilai 1. d. Jika 𝛽 dari S-box adalah 12 maka bit ke-2 dari 𝛼 adalah undisturbed dan bernilai 0.

3.3 Pencarian Undisturbed Bit Berdasarkan ACT

Terdapat dua langkah untuk mencari undisturbed bit dengan menggunakan ACT. Langkah pertama menghitung ACT kemudian langkah kedua mencari undisturbed bit dari ACT yang telah diperoleh pada langkah pertama. a. Proses Perhitungan ACT

753

Terdapat dua langkah yang dilakukan untuk menghitung ACT, yaitu

menentukan nilai 𝑎 dan 𝑏 yang nilainya berkisar dari 0000 -1111 dimana

masing-masing merepresentasikan baris dan kolom dari ACT. Kemudian

menghitung nilai 𝐴𝐶𝑇(𝑎, 𝑏) berdasarkan nilai 𝑎 dan 𝑏 yang sudah ditentukan.

Proses perhitungan ACT S-box 𝑆2 I-PRESENT menggunakan persamaan 3.

b. Pencarian Undisturbed bit berdasarkan ACT

Pencarian undisturbed bit berdasarkan ACT pada S-box dilakukan melalui dua



dari sisi output difference. Berdasarkan persamaan 6, undisturbed bit dapat

diperoleh apabila 𝐴𝐶𝑇(𝛼, 2𝑖) = ±16. Artinya berapapun nilai nonzero input

difference 𝛼 yang digunakan, nilai undisturbed bit hanya bergantung pada kolom

2𝑖 dengan nilai 𝑖 mulai dari 0 s.d 3 yang merupakan representasi dari posisi bit

atau yang disebut dengan fungsi koordinat (fungsi boolean) ke- 𝑖. Contoh 3.3. Pencarian undisturbed bit pada S-box 𝑆0 I-PRESENT berdasarkan input dan output difference ditunjukkan pada Tabel 9 dan Tabel 10. Indeks baris pada Tabel 9 merepresentasikan input difference sedangkan pada Tabel 10 merepresentasikan output difference. Indeks kolom pada kedua tabel merepresentasikan fungsi komponen dari S-box yang dinyatakan �� ∙ 𝑆(𝑥) untuk semua nonzero �� ∈ 𝐹2

𝑚. Fungsi komponen merupakan generalisasi dari suatu fungsi koordinat suatu S-box dengan melihat kombinasi linearnya. Input difference yang memiliki undisturbed bit memiliki korespondensi dengan output difference. Hal ini dapat diamati pada kolom 1 yang merupakan autocorrelation spectrum dari fungsi koordinat ke-1 (rightmost). Autocorrelation spectrum adalah fungsi koordinat dari S-box yang merepresentasikan posisi bit, sehingga fungsi koordinat yang termasuk ke dalam autocorrelation spectrum adalah fungsi koordinat bit ke-0 s.d ke-3 yang terdapat pada kolom 2𝑖, dengan nilai 𝑖 adalah posisi bit atau fungsi koordinat ke- 𝑖.

Tabel 9. Perhitungan Pencarian Undisturbed Bit S-box 𝑆0 I-PRESENT

Berdasarkan Input Difference ACT

Keterangan:

= Undisturbed bit, = Struktur linear

= Struktur linear yang memenuhi undisturbed bit

754

Pada Tabel 9 terlihat bahwa di baris 4,9,D pada kolom 3, di baris 2,4,6 pada kolom 8 dan di baris 4,B,F pada kolom B memiliki nilai ±16. Berdasarkan persamaan 6, maka kolom 8 menunjukkan terdapat undisturbed bit pada 𝑆0 I-PRESENT dengan rincian, undsturbed bit bernilai 1 ketika input difference-nya 2 dan 4, dan bernilai 0 ketika input difference-nya 6. Kolom 3 dan 𝐵 menunjukkan bahwa pada 𝑆0 I-PRESENT terdapat fungsi komponen yang memiliki struktur linear nontrivial. Fungsi tersebut direpresentasikan dengan 3 ∙ 𝑆(𝑥) dan 𝐵 ∙ 𝑆(𝑥).

Tabel 10. Perhitungan Pencarian Undisturbed Bit S-box 𝑆2 I-PRESENT

Berdasarkan Output Difference ACT

Pada Tabel 10 di baris 4,8,C pada kolom 4, baris 4,B,F pada kolom 9 dan di baris 3,4,7 pada kolom D memiliki nilai ±16. Berdasarkan persamaan 6, maka kolom 4 menunjukkan terdapat undisturbed bit pada 𝑆2

-1 I-PRESENT bernilai 1 ketika input difference-nya 4 dan 8, sedangkan bernilai 0 ketika input difference C. Kolom 9 dan D menunjukkan bahwa pada 𝑆2

-1 I-PRESENT terdapat fungsi komponen yang memiliki struktur linear nontrivial. Fungsi tersebut direpresentasikan dengan 9 ∙𝑆(𝑥) dan 𝐷 ∙ 𝑆(𝑥). Ke-6 undisturbed bit pada S-box 𝑆0 I-PRESENT berdasarkan ACTdapat dinyatakan sebagai berikut : a. Jika input difference dari S-box adalah 6 maka most significant bit dari output

difference itu undisturbed dan bernilai 0.

b. Jika input difference dari S-box adalah 2 atau 4 maka most significant bit dari

output difference itu undisturbed dan bernilai 1.

c. Jika output difference dari S-box adalah 4 atau 8 maka bit ke-2 dari input


d. Jika output difference dari S-box adalah 12 maka bit ke-2 dari input difference

itu undisturbed dan bernilai 0.

Berdasarkan hasil perhitungan undisturbed bit baik dengan menggunakan DDT, LAT maupun ACT diperoleh 8 dari 16 S-box I-PRESENT memiliki undisturbed bit dengan S-box yang memiliki undisturbed bit terbanyak adalah 𝑆0,𝑆1,𝑆2 dan 𝑆6 yaitu sebanyak 6 buah. Selain itu, pencarian undisturbed bit yang diperoleh dari DDT, LAT dan ACT mendapatkan hasil yang sama untuk jumlah, posisi dan nilai undisturbed bit bagi keseluruhan S-box I-PRESENT.

755

Berikut adalah undisturbed bit pada S-box I-PRESENT :

a. S-box 𝑆0 I-PRESENT memiliki 6 undisturbed bit, yaitu :

1) Jika input difference dari S-box adalah 6 maka most significant bit dari output


2) Jika input difference dari S-box adalah 2 atau 4 maka most significant bit dari

output difference itu undisturbed dan bernilai 1.

3) Jika output difference dari S-box adalah 4 atau 8 maka bit ke-2 dari input


4) Jika output difference dari S-box adalah 12 maka bit ke-2 dari input difference

itu undisturbed dan bernilai 0.

b. S-box 𝑆1 I-PRESENT memiliki 6 undisturbed bit, yaitu :

1) Jika input difference dari S-box adalah 12 maka bit ke-2 dari output difference


2) Jika input difference dari S-box adalah 4 atau 8 maka bit ke-2 dari output


3) Jika output difference dari S-box adalah 1 atau 4 maka most significant bit dari

input difference adalah undisturbed dan bernilai 1.

4) Jika output difference dari S-box adalah 5 maka most significant bit dari input


c. S-box 𝑆2 I-PRESENT memiliki 6 undisturbed bit, yaitu :

1) Jika input difference dari S-box adalah 10 maka least significant bit dari


2) Jika input difference dari S-box adalah 2 atau 8 maka least significant bit dari


3) Jika output difference dari S-box adalah 1 atau 12 maka least significant bit

dari input difference adalah undisturbed dan bernilai 1.

4) Jika output difference dari S-box adalah 13 maka least significant bit dari input


d. S-box 𝑆4 I-PRESENT memiliki 3 undisturbed bit, yaitu :

1) Jika input difference dari S-box adalah 15 maka least significant bit dari output




e. S-box 𝑆5 I-PRESENT memiliki 3 undisturbed bit, yaitu :

1) Jika input difference dari S-box adalah 15 maka least significant bit dari output

difference itu adalah undisturbed dan bernilai 0.



f. S-box 𝑆6 I-PRESENT memiliki 6 undisturbed bit, yaitu :

1) Jika input difference dari S-box adalah 6 maka bit ke-1 dari output difference

itu adalah undisturbed dan bernilai 0.

2) Jika input difference dari S-box adalah 2 atau 4 maka bit ke-1 dari output


3) Jika output difference dari S-box adalah 2 atau 8 bit ke-1 dari input difference


4) Jika output difference dari S-box adalah 10 maka bit ke-1 dari input difference


g. S-box 𝑆14 I-PRESENT memiliki 3 undisturbed bit, yaitu :

1) Jika input difference dari S-box adalah 15 maka most significant bit dari output


756

2) Jika input difference dari S-box adalah 2 atau 13 maka most significant bit dari


h. S-box 𝑆15 I-PRESENT memiliki 3 undisturbed bit, yaitu :

1) Jika output difference dari S-box adalah 15 maka least significant bit dari input


2) Jika output difference dari S-box adalah 1 atau 14 maka least significant bit

dari input difference adalah undisturbed dan bernilai 1

Delapan S-box I-PRESENT lain yaitu 𝑆3, 𝑆7, 𝑆8, 𝑆9, 𝑆10, 𝑆11, 𝑆12, 𝑆13 tidak memiliki

undisturbed bit.

Selain undisturbed bit, diperoleh juga jumlah struktur linear yang dimiliki oleh

masing-masing S-box I-PRESENT. Jumlah struktur linear tersebut ditunjukkan pada

Tabel 11.

Tabel 11 Jumlah struktur linear pada setiap S-box I-PRESENT

Dari Tabel 11 terlihat bahwa 4 buah S-box I-PRESENT yaitu 𝑆0,𝑆1,𝑆2 dan 𝑆6

memiliki jumlah struktur linear yang sama dengan S-box PRESENT, sedangkan

dua belas S-box lainnya memiliki struktur linear yang lebih sedikit dari S-box

PRESENT yaitu 2 struktur linear.

4. Kesimpulan

Berdasarkan hasil pencarian undisturbed bit pada algoritma I-PRESENT

diperoleh hasil bahwa meskipun ke-16 S-box I-PRESENT memiliki karakteristik

yang sama dengan S-box PRESENT tetapi :

a. Hanya empat buah S-box algoritma I-PRESENT (𝑆0,𝑆1,𝑆2 dan 𝑆6) yang

mempunyai jumlah undisturbed bit dan struktur linear yang sama dengan S-

box algoritma PRESENT yaitu 6 undisturbed bit serta 6 struktur linear.

b. Empat buah S-box algoritma I-PRESENT (𝑆4,𝑆5,𝑆14 dan 𝑆15) mempunyai

jumlah undisturbed bit dan struktur linear yang lebih sedikit dari S-box

algoritma PRESENT yaitu 3 undisturbed bit dan 2 struktur linear.

c. Delapan buah S-box algoritma I-PRESENT tidak memiliki undisturbed bit

tetapi memiliki 2 struktur linear.

757

Referensi

[1] Aldabbagh, S. & Fakhri, I. 2013. Improving PRESENT Lightweight Algorithm. IEEE

[2] Biham, E., Anderson, R. & Knudsen, L. 1998. Serpent: A Proposal for the Advanced

Encryption Standard. NIST AES Proposal.

[3] Bogdanov, A. et al. 2007. PRESENT: An Ultra-Lightweight Block Cipher. Springer

Berlin Heidelberg.

[4] Cho, J. C. 2010. Linear Cryptanalysis of Reduced-Round PRESENT. Berlin: Springer

Berlin Heidelberg.

[5] Dawson, M.H. & Tavares, S.E. 1998. An Expanded Set of S-box Design Criteria Based

on Information Theory and its Relation to Differential-Like Attacks. Springer.

[6] Engels, D., Markku-Juhani, O., Schweitzer, P. & Smith, E. 2012. The Hummingbird-2

Lightweight Authenticated Encryption Algorithm. Springer Berlin Heidelberg.

[7] International Organization of Standardization/ International Electrotechnical

Commission 29192-2. 2012. Information Technology-Security techniques- Lightweight

Cryptography Part 2: Block Ciphers. Switzerland: ISO

[8] Kaminsky, P. A. 2014. CSCI 462- Introduction to Cryptography, (online),

http://www.cs.rit.edu/~ark/462/attacks/notes.shtml. (diakses 1 Desember 2015).

[9] Knudsen, L. R. 1994. Truncated and Higher Order Differentials. Springer.

[10] Knudsen, L. R. 2011. COSIC, (online),

https://www.cosic.esat.kuleuven.be/ecrypt/courses/albena11/slides/LRK-

truncated_differentials.pdf. (diakses 11 Agustus 2016).

[11] Leander, G. & Poschmann, A. 2007. On the Classification of 4 Bit S-boxes Arithmetics

of Finite Fields. Springer Berlin Heidelberg.

[12] Makarim, R. & Tezcan, C. 2014. Relating Undisturbed Bits to Other Properties of

Substitution Boxes. Springer Berlin Heidelberg.

[13] Tezcan, C. 2014. Improbable Differential Attack on PRESENT using Undisturbed Bits.

ELSEVIER.

[14] Tezcan, C. 2015. Differential Factors Revisited: Corrected Attacks on PRESENT and

SERPENT. Springer.

[15] Wang, M. 2008. Differential Cryptanalysis of PRESENT. IAC

http://www.cs.rit.edu/~ark/462/attacks/notes.shtml

https://www.cosic.esat.kuleuven.be/ecrypt/courses/albena11/slides/LRK-truncated_differentials.pdf

https://www.cosic.esat.kuleuven.be/ecrypt/courses/albena11/slides/LRK-truncated_differentials.pdf

758

Prosiding SNM 2017 Komputasi , Hal 758 -767

S-NCI: DESAIN PROTOKOL KEY ESTABLISHMENT

MOHAMAD ALI SADIKIN1, SUSILA WINDARTA2



Abstrak. Dalam penelitian ini, didesain sebuah protokol key establishment baru

dengan nama S-NCI. Prinsip kerja dari protokol ini yaitu menggunakan pihak

ketiga terpercaya sebagai pusat translasi kunci (Key Translation Center). Kami

menggunakan algoritma block cipher, fungsi hash MAC, nonce, dan timestamp

untuk menjamin aspek kerahasiaan, integritas data, dan otentikasi serta

mencegah beberapa serangan yaitu man in the middle, replay attack,

modification attack, dan typing attack. Desain dari protokol ini

diimplementasikan dengan simulasi menggunakan bahasa pemograman Java.

Berdasarkan hasil simulasi dan analisis protokol S-NCI memenuhi keamanan,

integritas dari data, otentikasi dan tidak rentan terhadap man in the middle

attack, replay attack, modification attack, dan typing attack serta memiliki rata-

rata waktu eksekusi yaitu 0.6726 detik.

Kata kunci: S-NCI, Replay Attack, Man In The Middle, Modification Attack, Typing

Attack.

1. Pendahuluan

Kunci kriptografi merupakan sebuah parameter yang dioperasikan bersama

algoritma kriptografi sehingga pihak yang memiliki kunci dapat menjalankan operasi

tersebut [2]. Berdasarkan prinsip Kerckhoffs bahwa “security of a cryptosystem must

lie in the choice of its keys only, everything else (including the algorithm itself)

should be considered public knowledge” [15]. Dalam hal ini kekuatan dari suatu

algoritma kriptografi terletak pada kunci yang digunakan. Pernyataan Kerckoffs

diperkuat oleh Shannon yang menyatakan bahwa sebuah sistem kriptografi harus

dirancang sehingga sistem tersebut akan tetap aman walaupun publik mengetahui

seluruh detail dari sistem, kecuali kunci kriptografi yang digunakan di dalamnya

[13][19].

Key establishment (penyediaan kunci) adalah suatu proses atau protokol

yang menyediakan shared secret untuk dua atau lebih pihak, untuk penggunaan

secara kriptografis selanjutnya [10][11]. Dilihat dari aspek keamanan, sebuah

protokol key establishment harus memperhatikan faktor kerahasiaan, integritas data,

otentikasi dan nir-penyangkalan serta ketahanan terhadap berbagai ancaman

serangan. Beberapa serangan yang mungkin terjadi pada protokol key establishment

yaitu: man in the middle attack, replay attack, typing attack, modification attack

[3][4][9].

Banyak protokol key establishment yang telah dikembangkan yaitu salah

satunya berbasis server sebagai trusted third party. Beberapa protokol berbasis

server yang telah diajukan masih rentan terhadap replay attack [3][5][7][12], man in

759

the middle attack [3][13], typing attack[3][5], modification attack [3][14][20].

Dalam paper ini kami mencoba mendesain sebuah protokol key

establishment dengan nama S-NCI yang merupakan protokol berbasis server dengan

pihak ketiga sebagai key translation center (KTC). Dalam mendesain protokol ini

kami menggunakan prinsip yang dikemukakan oleh Abadi dan Needham [1]. Selain

itu, kami juga menggunakan timestamp dan nounce untuk mencegah man in the

middle attack dan replay attack serta fungsi hash dan enkripsi untuk mencegah

terjadinya typing attack dan modification attack. Protokol ini akan disimulasikan

menggunakan bahasa pemograman berbasis Java.

2. Kajian Terkait

A. Protokol Key Establishment

Protokol adalah serangkaian tahapan yang melibatkan dua atau lebih pihak untuk menyelesaikan permasalahan secara berurutan agar tercapainya suatu tujuan [16]. Key establishment (penyediaan kunci) adalah suatu proses atau protokol yang menyediakan shared secret untuk dua atau lebih pihak, untuk penggunaan secara kriptografis selanjutnya [10]. Key establishment Pembagian klasifikasi teknik key establishment dapat dilihat pada Gambar 1. Key establishment merupakan hal yang paling mendasar dalam membangun kriptografi yang didefinisikan sebagai proses yang digunakan untuk menyediakan shared secret bagi setiap entitas untuk penggunan secara kriptografis [6].

Gambar 1 Penyederhanaan klasifikasi teknik key establishment [21]

Salah satu jenis protokol key establishment yaitu berbasis server. Pada Tabel 1

disajikan perbandingan beberapa protokol key establishment yang sudah ada.

§12.2 Classification and framework 491

contrast, dynamic key establishment schemes are those whereby the key established by a

fixed pair (or group) of users varies on subsequent executions.

Dynamic key establishment is also referred to as session key establishment. In this case

the session keys are dynamic, and it is usually intended that the protocols are immune to

known-key attacks.

key establishment

key transport key agreement

asymmetrictechniques

techniquessymmetric

keypre-distribution

dynamic

key establishment

Figure 12.1: Simplified classification of key establishment techniques.

Use of trusted servers

Many key establishment protocols involve a centralized or trusted party, for either or both

initial system setup and on-line actions (i.e., involving real-time participation). This party

is referred to by a variety of names depending on the role played, including: trusted third

party, trusted server, authentication server, key distribution center (KDC), key translation

center (KTC), and certification authority (CA). The various roles and functions of such

trusted parties are discussed in greater detail in Chapter 13. In the present chapter, discus-

sion is limited to the actions required of such parties in specific key establishment protocols.

Entity authentication, key authentication, and key confirmation

It is generally desired that each party in a key establishment protocol be able to determine

the true identity of the other(s) which could possibly gain access to the resulting key, imply-

ing preclusion of any unauthorized additional parties from deducing the same key. In this

case, the technique is said (informally) to provide secure key establishment. This requires

both secrecy of the key, and identification of those parties with access to it. Furthermore,

the identification requirement differs subtly, but in a very important manner, from that of

entity authentication – here the requirement is knowledge of the identity of parties which

may gain access to the key, rather than corroboration that actual communication has been

established with such parties. Table 12.1 distinguishes various such related concepts, which

are highlighted by the definitions which follow.

While authentication may be informally defined as the process of verifying that an

identity is as claimed, there are many aspects to consider, including who, what, and when.

Entity authentication is defined in Chapter 10 (Definition 10.1), which presents protocols

providing entity authentication alone. Data origin authentication is defined in Chapter 9

(Definition 9.76), and is quite distinct.

760

Tabel 1 Perbandingan Protokol Key Establishment berbasis Server

Keterangan: T: pihak ketiga terpercaya (server), A: entitas A, B: entitas B

Key control: entitas yang membangkitkan kunci

Fresh key: entitas yang menjamin fresh key

Key authentication: entitas yang menjalankan proses otentikasi kunci

Key confirmation: entitas yang melakukan proses konfirmasi kunci

B. Serangan pada Protokol (Protocol Attacks)

Berikut adalah beberapa serangan umum pada sebuah protokol:

1. Man in the middle attack (MITM): sebuah bentuk penyadapan dimana

penyerang membuat sebuah koneksi yang independen antara korban dan

mengirimkan pesan diantara para korban yang mengira mereka sedang

berkomunikasi pada sebuah koneksi privat yang sebenarnya semua

percakapan tersebut diatur oleh penyerang [16]. Gambar 2 merupakan

gambaran man in the middle attack.

2. Gambar 2 Man In The Middle Attack

Karakteristik Jumlah

langkah

Key

Control

Fresh

Key

Key

Authentication

Key

Confirmation Serangan

Protokol

Needham- Schroeder

[3][12][18] 5 T A(*) A+B A

Denning- Sacco [3]

[7][18] 3 T A+B A+B No

Otway-Rees [3][14] 4 T A+B A+B No

ISO/IEC 11770-2

mekanisme 10

[3][5][8]

3 T A+B A+B No

ISO/IEC 11770-2

mekanisme 11

[3][5][8]

3 A A+B A+B No

ISO/IEC 11770-2

mekanisme 12

[3][5][8]

4 B A+B A+B No

761

3. Replay attack: Serangan ini dilakukan dengan menggunakan kembali

pesan pada komunikasi sebelumnya oleh pihak ketiga untuk melakukan

kecurangan. Biasanya penyerang tidak dapat membaca isi pesan karena

terenkripsi sehingga penyerang harus menentukan saat yang tepat untuk

menggunakan kembali pesan tersebut [17]. Untuk lebih jelasnya,

Gambar 3 merupakan gambaran replay attack.

Gambar 3 Replay Attack

4. Typing attack: Serangan ini dilakukan dengan memanfaatkan kesamaan dari bagian pesan terenkripsi yang pertama dan pesan terenkripsi lain menggunakan kunci yang sama [3]. Typing attack mengeksploitasi pesan dengan membuat penerima salah menafsirkan pesan, yaitu menerima sebuah elemen protokol sebagai elemen yang lain (pesan dari tipe yang berbeda) [14].

5. Modification attack: penyerang memanfaatkan kelemahan dalam protokol disebabkan tidak adanya koreksi terhadap pesan, sehingga jika terjadi perubahan terhadap pesan maka penerima tidak dapat mengetahuinya. Serangan ini dapat dicegah menggunakan layanan kriptografi yaitu message integrity (integritas pesan) [20].

3. Protokol Key Establishment S-NCI

Pada Tabel 2 didefinisikan notasi yang digunakan pada protokol S-NCI.

Tabel 2 Notasi dan Definisi

Notasi Definisi

𝑇 Trusted Third Party (KTC)

𝐴 Alice

𝐵 Bob

𝐾𝐴𝑇 Kunci antara A dan T

𝐾𝐵𝑇 Kunci antara B dan T

𝐾𝑠 Session key (kunci sesi)

𝐼𝐷𝐴 Identitas A

762

Notasi Definisi

𝐼𝐷𝑩 Identitas B

𝐸 Fungsi Enkripsi

𝐻𝑘 Fungsi hash MAC (𝐾𝑠 sebagai kunci)

𝐻 Fungsi hash MDC

𝑡 Timestamp

𝑁 Nonce

|| Concate

A. Protokol S-NCI

Protokol key establishment S-NCI dirancang untuk menjamin

kerahasiaan, integritas, dan otentikasi dari proses key establishment. Protokol ini

menggunakan pihak ketiga dalam proses pembentukan kunci. algoritma block

cipher, fungsi hash, timestamp, dan nonce. Pada Tabel 3 dijabarkan tahapan

protokol S-NCI. Tabel 3 Protokol Key establishment S-NCI

Ringkasan : A berinteraksi dengan trusted server T dan entitas B.

Hasil : otentikasi entitas (A dan B) serta 𝐾𝑠 hasil proses key establishment

dengan konfirmasi kunci.

1. Persiapan

a. A dan T sudah menyepakati sebuah kunci 𝐾𝐴𝑇 untuk enkripsi pesan.

b. B dan T juga sudah menyepakati kunci 𝐾𝐵𝑇.

c. T merupakan pihak ketiga terpercaya.

2. Pertukaran pesan pada protokol S-NCI

𝐴 → 𝑇 ∶ 𝐸𝐾𝐴𝑇(𝐾𝑠 || 𝐼𝐷𝐴 || 𝐼𝐷𝐵|| 𝑡1)||𝐻(𝐾𝑠 || 𝐼𝐷𝐴 || 𝐼𝐷𝐵|| 𝑡1) (1)

𝑇 → 𝐵 ∶ 𝐸𝐾𝐵𝑇(𝐾𝑠|| 𝐼𝐷𝐴 || 𝑡2)||𝐻(𝐾𝑠|| 𝐼𝐷𝐴 || 𝑡2) (2)

𝐴 ← 𝐵 ∶ 𝐸𝐾𝑆( 𝑁𝐵||𝑡3) (3)

𝐴 → 𝐵 ∶ 𝐻𝑘(𝑁𝐵) (4)

3. Langkah-langkah pertukaran pesan dalam protokol a. A membangkitkan kunci sesi dan kemudian mengirimkan kunci sesi tersebut

kepada T bersama dengan 𝐼𝐷𝐴 , 𝐼𝐷𝐵, dan 𝑡1 yang dienkripsi menggunakan 𝐾𝐴𝑇. Selain itu A juga mengirimkan nilai hash dari 𝐾𝑠 || 𝐼𝐷𝐴 || 𝐼𝐷𝐵|| 𝑡1. T menerima pesan dari A yang kemudian didekripsi menggunakan 𝐾𝐴𝑇 dan melakukan hashing pesan yang di terima untuk mengecek keutuhan pesan yang di terima.

b. T mengenkripsi pesan yang berisi 𝐾𝑠|| 𝐼𝐷𝐴 || 𝑡2 dengan menggunakan 𝐾𝐵𝑇, dan melakukan hashing terhadap 𝐾𝑠|| 𝐼𝐷𝐴 || 𝑡2, kemudian pesan dan nilai hash dikirimkan kepada B.

c. B mendekripsi pesan yang di terima dari T untuk mendaptkan nilai dari kunci sesi dan menghitung nilai hash untuk mengecek keutuhan pesan. Kemudian B membangkitkan bilangan acak 𝑁𝐵 dan nilai timestamp 𝑡3. Nilai acak dan timestamp kemudian di enkripsi dan dikirimkan kepada A.

763

d. A mendekripsi 𝐸𝐾𝑆( 𝑁𝐵||𝑡3) dengan menggunakan 𝐾𝑆. Selanjutnya A akan menghitung nilai MAC dengan kunci 𝐾𝑠 dari 𝑁𝐵 dan mengirimkanya kepada B. Ketika B menerima nilai MAC yang dikirimkan oleh A, sebelumnya B sudah menghitung nilai MAC dari 𝑁𝐵. B akan membandingkan nilai MAC yang lama dan baru sehingga jika keduanya sama maka protokol tersebut sukses dijalankan dan A dan B memiliki kunci sesi yang baru yaitu 𝐾𝑆.

Gambaran skema dari protokol S-NCI dapat dilihat pada Gambar 4.

Gambar 4 Skema Protokol S-NCI

B. Analisis terhadap Replay Attack

Analisis replay attack pada protokol S-NCI dapat dijelaskan sebagai berikut: 1. Langkah 1

𝐴 → 𝑇 ∶ 𝐸𝐾𝐴𝑇(𝐾𝑠 ||𝐼𝐷𝐴|| 𝐼𝐷𝐵|| 𝑡1)||𝐻(𝐾𝑠 || 𝐼𝐷𝐴 || 𝐼𝐷𝐵|| 𝑡1).

Penyerang mencoba mendapatkan pesan terenkripsi 𝐸𝐾𝐴𝑇 dan nilai hash dari pesan. Meskipun memiliki pesan terenkripsi pada protokol sebelumnya, penyerang tidak dapat melakukan replay attack karena terdapat 𝑡1, ketika pesan merupakan pesan lama akan menghasilkan nilai 𝑡1 yang tidak valid (tidak sama).

2. Langkah 2

𝑇 → 𝐵 ∶ 𝐸𝐾𝐵𝑇(𝐾𝑠|| 𝐼𝐷𝐴 || 𝑡2)||𝐻(𝐾𝑠|| 𝐼𝐷𝐴 || 𝑡2).

Seperti pada langkah 1, ketika penyerang melakukan replay attack maka serangan dapat terdeteksi dari nilai 𝑡2 yang berbeda.

3. Langkah 3

𝐴 ← 𝐵 ∶ 𝐸𝐾𝑆( 𝑁𝐵||𝑡3).

Pada langkah 3, serangan replay attack dapat dicegah dengan menggunakan 𝑡3 dan 𝑁𝐵. Ketika terjadi replay attack maka nilai 𝑡3 akan berbeda karena perbedaan waktu pengiriman dan nilai 𝑁𝐵 juga akan berbeda karena setiap sesi 𝑁𝐵 selalu identik.

4. Langkah 4 𝐴 → 𝐵 ∶ 𝐻𝑘(𝑁𝐵).

A

T

B

(2)(1)

(3)

(4)

764

Seperti langkah 3, karena 𝑁𝐵 merupakan nilai yang identik pada setiap sesi protokol maka nilai MAC setiap sesi juga akan berbeda. Ketika terjadi replay attack maka akan terdeteksi dari nilai MAC.

C. Analisis terhadap Man In The Middle Attack

Tujuan dari serangan man in the middle adalah penyerang ingin mendapatkan pesan atau data yang dikirimkan tanpa sepengetahuan pengirim dengan maksud untuk memodifikasi, memperoleh atau bahkan menghapus data.

Berikut analisis man in the middle attack pada protokol S-NCI. 1. Langkah 1


Penyerang harus mengetahui kunci 𝐸𝐾𝐴𝑇 yang digunakan oleh user untuk

mengirimkan kunci sesi kepada 𝐾𝑇𝐶 agar mengetahui pesan yang

dikirimkan. Jika penyerang mencoba untuk memanfaatkan kelemahan

dalam S-NCI maka itu sulit untuk dilakukan, Karena ada parameter lain

yang harus diketahui dan saling berkaitan ketika proses pengiriman kunci.

2. Langkah 2

𝑇 → 𝐵 ∶ 𝐸𝐾𝐵𝑇(𝐾𝑠|| 𝐼𝐷𝐴 || 𝑡2)||𝐻(𝐾𝑠|| 𝐼𝐷𝐴 || 𝑡2).

Penggunaan 𝐸𝐾𝐵𝑇 akan menyebabkan penyerang tidak bisa mendapatkan

pesan asli dari ciphertext yang didapatkan. Selain itu, ketika penyerang

melakukan man in the middle attack maka nilai dari 𝑡2 akan berubah ketika

sampai pada tujuan.

3. Langkah 3

𝐴 ← 𝐵 ∶ 𝐸𝐾𝑆( 𝑁𝐵||𝑡3).

Ketika penyerang melakukan man in the middle attack maka akan terdeteksi

dari nilai 𝑡3 yang dikirimkan oleh B kepada A. Selain itu penyerang harus

mengetahui 𝐾𝑠 untuk bisa mengetahui pesan yang dikirimkan.

4. Langkah 4

𝐴 → 𝐵 ∶ 𝐻𝑘(𝑁𝐵). Serangan man in the middle attack akan dideteksi dengan nilai 𝑁𝐵 yang

identik. Jika penyerang ingin mendapatkan nilai 𝑁𝐵 maka penyerang harus

mengetahui 𝐾𝑠 agar bisa menghitung nilai MAC yang sama.

D. Analisis terhadap Modification Attack

Tujuan dari modification attack yaitu penyerang ingin memodifikasi atau

merubah pesan yang dikirimkan tanpa sepengetahuan pengirim dengan maksud agar

penerima menerima pesan palsu.

Ketika fungsi hash yang digunakan merupakan fungsi hash yang memiliki

sifat preimage resistant, second preimage resistant, dan collision resistant maka

penyerang tidak akan bisa melakukan modifikasi terhadap pesan, karena setiap

perubahan yang terjadi pada pesan akan menyebabkan nilai hash nya berubah dan

ketika di bandingkan dengan nilai hash yang awal maka nilainya akan berbeda,

sehingga pesan tidak valid (terjadi modifikasi).

Sebagai contoh pada langkah 1.


765

Jika penyerang mencoba untuk melakukan modifikasi terhadap pesan yang

terenkripsi 𝐸𝐾𝐴𝑇 maka penyerang pertama harus mendapatkan 𝐾𝐴𝑇 terlebih dahulu.

Sedangkan 𝐾𝐴𝑇 merupakan kunci yang hanya di ketahui oleh 𝐴 dan 𝑇. Selain itu,

penggunaan fungsi hash 𝐻(𝐾𝑠 || 𝐼𝐷𝐴 || 𝐼𝐷𝐵|| 𝑡1) akan menyebabkan jika penyerang

dapat melakukan modifikasi terhadap pesan, maka perubahan akan terdeteksi dari

nilai hash yang dihitung.

E. Analisis terhadap Typing Attack

Ketika penyerang mencoba untuk membuat pesan baru, misalkan penyerang

mencoba untuk melakukan intercept maka penyerang harus mengetahui kunci antar

entitas dengan T. Pada langkah 1 penyerang harus mengetahui 𝐾𝐴𝑇, sedangkah pada

langkah 2 harus mengetahui 𝐾𝐵𝑇, dan ketika ingin menyerang pada langkah 3 dan 4

harus mengetahui 𝐾𝑠 terlebih dahulu.

Selain itu, pada protokol S-NCI setiap langkah terdapat identifier yang sudah

didefinisikan dengan jelas sehingga penerima akan mudah melakukan identifikasi

terhadap pesan yang diterima apakah asli atau palsu. Penggunaan fungsi hash MDC

dan MAC serta enkripsi akan menjamin kerahasiaan, integritas data, dan otentikasi

dari entitas yang benar.

F. Implementasi S-NCI Protokol Key Establishment

Dalam penelitian ini, protokol key establishment S-NCI telah diimplementasikan dalam simulasi sederhana menggunakan bahasa Java. Hasil dari implementasi dari protokol S-NCI dapat dilihat pada Gambar 5 sampai Gambar 8.

1. A mengirimkan EK_AT(K_S,ID_A, ID_B,T_A) kepada T

Hasil concate 1 = O2zr9Q==#A#B#1486620809673

Hasil Enkripsi oleh A = 9xDWuwve+GaD55oWDknbM+iYWTvp6iO3MhaFnEnTb/I=

Gambar 5 Simulasi Protokol S-NCI pada Langkah Pertama

2. T mengirimkan EK_BT(K_S,ID_A,T_T) kepada B

Hasil concate 2 = O2zr9Q==#A#1486620811284

Hasil Enkripsi oleh T = hdHKZCibv8ZSv8r4gk+d7e4Ea38w21wV7jsavdwLZP8=

Gambar 6 Simulasi Protokol S-NCI pada Langkah Kedua

3. B mengirimkan EK_S(N_B,T_B) kepada A

Hasil concate 3 = VG+urw==#A#1486620809943

Hasil Enkripsi oleh B = ijGICGyx1Qr0f1nC4H8Nd9IOD6Y9jE1LkRnn3X0PM6Q=

Gambar 7 Simulasi Protokol S-NCI pada Langkah Ketiga

766

4. A mengirimkan H(N_B) kepada B

Hasil hashing yang dilakukan A terhadap N_B =

JW1FzdPKUXYNbWx1KABot1RTN8/s6U1TKUp++2jNevc=

Gambar 8 Simulasi Protokol S-NCI pada Langkah Keempat

Pada Tabel 4 disajikan data hasil simulasi protokol S-NCI berdasarkan waktu eksekusi protokol.

Tabel 4 Data Hasil Eksekusi Protokol

Simulasi Waktu Eksekusi Protokol (detik)

1 0.648

2 0.772

3 0.681

4 0.629

5 0.633

Berdasarkan data hasil simulasi pada Tabel 4 didapatkan rata-rata waktu eksekusi protokol yaitu 0.6726 detik.

4. Kesimpulan

Protokol key establishment S-NCI merupakan protokol yang di desain

berbasis server dengan memanfaatkan pihak ketiga terpecaya sebagai Key

Translation Center (KTC). Berdasarkan hasil simulasi dan analisis, protokol S-NCI

memenuhi kebutuhan keamanan terhadap serangan man in the middle attack, replay

attack, modification attack, dan typing attack. Man in the middle attack dan replay

attack dapat dicegah menggunakan timestamp dan nonce, sedangkan modification

attack, dan typing attack dapat dicegah menggunakan fungsi hash dan enkripsi.

Selain itu, berdasarkan data hasil simulasi didapatkan rata-rata waktu eksekusi

protokol yaitu 0.6726 detik.

Pernyataan terima kasih. Kami mengucapkan terimakasih kepada Sekolah

Tinggi Sandi Negara atas dukungan secara finansial dan non-finansial.

767

Referensi

[1] Abadi, M and Needham, R. Prudent engineering practice for cryptographic protocols. In

IEEE Symposium on Research in Security and Privacy, pages 122-136. IEEE Computer

Society Press, 1995.

[2] Barker, E, Barker, W, Burr, W, Polk, W, & Smid, M. 2005. Recommendation for Key

Management – Part 2: Best Practices for Key Management Organization. NIST Special

Publication 800-57. US Departement of Commerce.

[3] Boyd, C., & Mathuria, A. (2003). Authentication and Key Establishment. Springer. New

York. Retrieved from http://link.springer.com/content/pdf/10.1007/978-3-642-14313-

7.pdf.

[4] Carlsen, U. Cryptographic protocol flaws - know your enemy. In 7th IEEE Computer

Security Foundations Workshop, pages 192-200. IEEE Computer Society Press, June

1994.

[5] Cheng, Z, and Comley, R. Attacks on An ISO/IEC 11770-2 Key Establishment Protocol.

International Journal of Network Security, Vol.3, No.3, PP.290–295, Nov. 2006.

[6] Choo, KKR. 2009. Secure Key Establishment. Austalian Institute of Criminology :

Springer.

[7] Denning, D.E and Sacco, G.M. Timestamps in key distribution protocols.

Communications of the ACM, 24(8):533-536, August 1981.

[8] ISO/IEC 11770. 1996. Information Technology Security Techniques-Key Management

Part 2: Mechanism Using Symmetric Techniques.

[9] Kaufman, C., Perlman R., Speciner M., 2002. Network security: private communication

in a public world. 2nd ed. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall.

[10] Menezes, A.J., van Oorschot, P.C, Vanstone, S.A. 1997. Handbook of Applied

Cryptography. Boca Raton: CRC Press LLC.

[11] Mao, W and Boyd, C. On the use of encryption in cryptographic protocols. In P. G.

Farrell, editor, Codes and Cyphers - Cryptography and Coding IV, pages 251-262, 1995.

[12] Needham, R and Schroeder, M.D. Using encryption for authentication in large networks

of computers. Communications of the ACM, 21(12):993-999, December 1978.

[13] Oppliger, R. 2005. Contemporary Cryptography. USA: Artech House, Inc.

[14] Otway, D and Rees, O. Efficient and timely mutual authentication. ACM Operating

Systems Review, 21(1):8-10, January 1987.

[15] Petitcolas, F.A.P, 2011. Kerchoff’s Principle in Encyclopedia of Cryptography and

Security. USA: Springer US.

[16] Ramadhan, K., 2010. Pengujian Man-in-the-middle Attack Skala Kecil dengan Metode

ARP Poisoning. Program Studi Teknik Informatika: Institut Teknologi Bandung.

[17] Schmeh, K. 2003. Cryptoghraphy and Public Key Infrastructure on the Internet.

England: John Wiley and Sons. Ltd.

[18] Schneier, B. 1996. Applied Cryptography. 2nd ed. USA: John Wiley and Sons.

[19] Stallings, W. 2014. Cryptography and Network Security Principles and Practices, sixth

Edition. Prentice Hall.

[20] Stubblebine, S.G. and Gligor, V.D. On message integrity in cryptographic protocols. In

IEEE Symposium on Research in Security and Privacy, pages 85-104. IEEE Computer

Society Press, 1992.

[21] Sumarkidjo, dkk., 2007. Jelajah Kriptologi. Jakarta: Lembaga Sandi Negara.

768


KLASIFIKASI MULTIKELAS KANKER OTAK DENGAN

METODE SUPPORT VECTOR MACHINE

VINEZHA PANCA1, ZUHERMAN RUSTAM2

1Universitas Indonesia, Depok, [email protected]

2 Universitas Indonesia, Depok, [email protected]

Abstrak. Masalah klasifikasi kanker otak merupakan masalah klasifikasi

multikelas. Support Vector Machine merupakan metode klasifikasi yang umum

digunakan untuk menyelesaikan masalah dua kelas. Salah satu cara untuk

menerapkan metode klasifikasi Support Vector Machine pada kasus multikelas

adalah dengan mengubahnya terlebih dahulu ke dalam beberapa masalah dua

kelas. Dua pendekatan yang umum digunakan adalah one versus rest dan one

versus one. Pada masalah klasifikasi dengan melibatkan k kelas, apabila

digunakan pendekatan one versus rest akan dibentuk sebanyak k masalah dua

kelas. Setelah semua masalah dua kelas diselesaikan, akan ditentukan satu

prediksi kelas final untuk masalahmultikelas tersebut. Metode yang digunakan

untuk melakukan hal tersebut apabila digunakan pendekatan one versus rest

adalah winner takes all, yakni memilih kelas dimana nilai fungsi objektifnya

paling besar. Sedangkan pada pendekatan one versus one metode yang

digunakan untuk menggabungkan hasil-hasil prediksi masalah dua kelas adalah

max wins, yaitu memilih kelas yang paling sering menjadi solusi masalah dua

kelas. Pada makalah ini dilakukan pembandingan akurasi yang dihasilkan oleh

pendekatan one versus rest dan one versus one dalam menyelesaikan masalah

klasifikasi multikelas kanker otak dengan metode Support Vector Machine.

Kata kunci : kanker otak, masalah klasifikasi multikelas, Support Vector Machine, one

versus rest, one versus one

1. Pendahuluan

Kanker merupakan pertumbuhan sel tubuh yang tidak normal. Kanker yang

terjadi pada sistem saraf pusat disebut kanker otak. Kanker otak merupakan jenis

kanker yang paling sering dialami oleh orang berusia di bawah 40 tahun dan

merupakan jenis kanker penyebab kematian terbesar pada golongan usia tersebut [1].

Pun demikian, penyakit ini kurang mendapatkan sorotan, dibandingkan penyakit-

penyakit kanker lainnya. Kontribusi yang dapat dilakukan oleh matematikawan

dalam dunia kanker otak adalah membantu pendeteksian kanker otak dengan

mengaplikasikan metode - metode machine learning.

Aplikasi metode machine learning telah umum dilakukan dalam

pendeteksian penyakit, termasuk kanker. Permasalahan pendeteksian penyakit

merupakan permasalahan klasifikasi, dimana sampel digolongkan ke dalam suatu

769

kelas berdasarkan atribut atau karakteristik yang dimilikinya. Masalah ini tergolong

supervised learning, dimana akan dipelajari pola karakteristik dari data pelatihan

berisi sampel-sampel yang telah diketahui kelasnya, kemudian digeneralisasi

sehingga model yang terbentuk dapat digunakan untuk memprediksi kelas dari suatu

sampel baru yang tidak dilibatkan dalam proses pembelajaran.

Support Vector Machine (SVM) merupakan suatu metode untuk

menyelesaikan masalah klasifikasi. Konsep SVM adalah mencari suatu hyperplane

yang memaksimumkan margin, yakni jarak hyperplane tersebut ke titik data terdekat

dari masing-masing kelas [2]. Metode SVM biasa digunakan untuk masalah

klasifikasi dua kelas. Namun, SVM dapat dikembangkan untuk menyelesaikan

masalah multikelas, yakni dengan membagi masalah multikelas tersebut ke dalam

beberapa masalah dua kelas, kemudian dilakukan pelatihan SVM pada masing-

masing masalah dua kelas tersebut. Terdapat beberapa pendekatan yang dapat

digunakan, dua diantaranya yakni one versus rest dan one versus one [3].

Pada penelitian ini, akan dihitung akurasi dari metode SVM ketika

diterapkan pada data multikelas kanker otak, baik dengan pendekatan one versus rest

maupun one versus one. Harapannya, hasil penelitian ini dapat menjadi salah satu

masukan untuk dijadikan bahan pertimbangan dokter atau ahli medis dalam bidang

kanker otak untuk memprediksi jenis kanker otak secara cepat dan objektif.

Sistematika penelitian ini adalah dengan studi literatur mengenai SVM

untuk multikelas dan simulasi program dengan menggunakan bahasa pemrograman

R.

2. Klasifikasi Multikelas Kanker Otak dengan Metode

Support Vector Machine

2.1 Support Vector Machine

Support Vector Machine (SVM) adalah sebuah metode yang mencari

suatu hyperplane yang memaksimumkan margin, yaitu jaraknya dengan data-

data masing-masing kelas yang paling dekat dengan hyperplane tersebut.

Semakin besar margin, semakin kecil nilai error pada generalisasi.

Hyperplane yang dicari adalah : [5]

dimana w merupakan parameter bobot dan b

merupakan parameter bias.

Secara umum, model matematis dari masalah optimisasi primal Support

Vector Machine adalah:[5]

(1)

770

Dengan adanya faktor toleransi kesalahan, formulasi Support Vector Machine

dapat dituliskan sebagai berikut.

(2)

Parameter C (C>0) adalah parameter regulasi yang mengatur keseimbangan dalam

meminimumkan kesalahan klasifikasi dan memaksimumkan margin hyperplane,

sedangkan i adalah variable slack. Berikut adalah kriteria nilai

i [5]:

Jika 0i , data ke-i terletak tepat pada margin atau pada sisi kelas yang

benar.

Jika 10 i , data ke-i terletak di dalam wilayah margin namun masih

pada sisi kelas yang benar.

Jika 1i , data ke-i terletak pada sisi kelas yang salah dan terjadi kesalahan

klasifikasi.

Untuk menyelesaikan SVM, masalah optimisasi primal pertama-tama ditransformasi

ke dalam masalah optimisasi dual dengan menggunakan pengali Lagrange. Model

permasalahan yang terbentuk dituliskan sebagai berikut [5].

(3)

dimana 𝛼𝑖 adalah pengali Lagrange. Setelah 𝛼𝑖 diperoleh dengan pendekatan

numerik[2] , vektor bobot dan nilai parameter bias dapat dinyatakan sebagai berikut

: [2].

(4) (5)

Dengan demikian, terbentuklah persamaan hyperplane yang optimum.

2.2 One-Versus-Rest

Dengan pendekatan one-versus-rest, dibentuk sebanyak k masalah

dua kelas, di mana setiap masalah dua kelas terdiri atas sebuah kelas yang

berisi seluruh data dari kelas tertentu (dinamakan kelas 1) dan sebuah kelas

yang berisi gabungan data dari kelas-kelas lainnya (dinamakan kelas -1).

771

Dengan melakukan pelatihan, akan diperoleh fungsi target dari setiap masalah

dua kelas. Misalkan *x adalah suatu sampel uji yang belum diketahui

kelasnya. Jika nilai fungsi target dari *x positif, maka label kelas prediksinya

adalah 1, sedangkan jika nilai fungsi targetnya negatif, label kelas prediksinya

adalah -1. Prediksi kelas final untuk *x adalah kelas yang dirujuk oleh

masalah dua kelas dengan nilai fungsi target terbesar . Metode penentuan

kelas ini disebut winner-takes-all [6].

2.3 One-Versus-One

Pada pendekatan one versus one, dilakukan sebanyak 2

)1( kk masalah

dua kelas, di mana setiap masalah dua kelas terdiri atas pasangan kelas-kelas

yang mungkin. Misalkan terdapat suatu sampel x yang belum diketahui

kelasnya. Masukkan x ke fungsi target masing-masing masalah dua kelas.

Kelas yang paling sering muncul sebagai hasil prediksi masalah-masalah dua

kelas akan menjadi prediksi akhirnya. Metode penentuan kelas ini disebut

max-wins [6].

2.4 K fold cross validation

K fold cross validation merupakan salah satu metode untuk melakukan

validasi. Pada metode ini, data dibagi ke dalam k bagian. Bagian yang pertama

menjadi data pengujian sedangkan k-1 bagian sisanya menjadi data pelatihan.

Setelah dilakukan pelatihan dan pengujian, akan ditemukan akurasi pada data

pengujian tersebut. Selanjutnya, jadikan bagian yang kedua dari k bagian data

tersebut sebagai data pengujian dan k-1 bagian lainnya sebagai data pelatihan,

serta temukan akurasi data pengujian. Lakukan prosedur yang sama

sedemikan sehingga setiap bagian data mendapatkan kesempatan untuk

menjadi data pengujian. Kemudian, hitung rata-rata dari nilai-nilai akurasi

yang dihasilkan.[4]

2.5 Kernel

Untuk sebuah pemetaan 𝜙(𝑥) pada ruang fitur, kernel didefinisikan sebagai [2]

)()()',( xxxxk T (6)

Beberapa kernel pada SVM antara lain [2]:

Linier : ')',( xxxxk T (7)

Polinomial : 2)'()',( cxxxxk T (8)

Sigmoid : )'tanh()',( bxaxxxk T (9)

772

Radial Basis Function : (10)

3. Hasil

Data yang digunakan dalam penelitian ini bersumber dari http://www.broadinstitute.org/cgi-bin/cancer/datasets.cgi. Data ini berisi 42 sampel dengan 4 kelas jenis kanker otak dan 1 kelas normal, yang masing-masing adalah Medulloblastoma(10 sampel), Malignant Glioblastoma (10 sampel), Primitive Neuroectodermal Tumors (8 sampel), Atypical Teratoid Rhabdoid Tumor (10 sampel), dan Normal (4 sampel). Terdapat 7129 macam gen atau fitur yang digunakan oleh data tersebut.

SVM diimplementasikan dengan mengadaptasi library e1071 pada R.

Terdapat empat simulasi yang dilakukan, masing-masing dengan pendekatan one

versus rest dan one versus one. Validasi dilakukan dengan k-fold cross validation

dengan k=3. Terdapat dua aspek yang dijadikan acuan, yakni akurasi dan running

time. Akurasi menunjukkan banyaknya sampel pada data uji yang jenis penyakitnya

dapat diprediksi dengan benar dibandingkan dengan keseluruhan sampel data uji.

Running time menunjukkan durasi komputasi yang dibutuhkan untuk melakukan

pembelajaran dan prediksi. Berikut adalah hasil-hasil dari simulasi yang dilakukan.

1. Simulasi pertama menggunakan kernel linier. Dengan melakukan simulasi dengan berbagai nilai parameter C, akurasi optimum diperoleh dengan nilai C=1.

Tabel 1 Simulasi dengan Kernel Linier Menggunakan Pendekatan One Versus Rest

Bagian data yang menjadi data uji Rata-Rata

1 2

3

Akurasi (%) 76,471 83,33 92,31 84,3903

Running Time (detik)

7,44603 7,92604 7,52503 7,632363

Tabel 1 menunjukkan simulasi dengan kernel linier menggunakan pendekatan one versus rest, menghasilkan rata-rata akurasi sebesar 84,3903% dengan rata-rata running time 7,632363 detik.

Tabel 2 Simulasi dengan Kernel Linier Menggunakan Pendekatan One Versus One


1 2

3

Akurasi (%) 76,471 83,33 76,923 76,6968

http://www.broadinstitute.org/cgi-bin/cancer/datasets.cgi

http://www.broadinstitute.org/cgi-bin/cancer/datasets.cgi

773


9,62123 9,35023 9,83743 9,602966

Tabel 2 menunjukkan simulasi dengan kernel linier menggunakan pendekatan one versus one, menghasilkan rata-rata akurasi sebesar 76,6968% dengan rata-rata running time 9,602966 detik.

2. Simulasi kedua dengan menggunakan kernel polinomial, dengan C=1000 dan coef0=10 Catatan : c pada persamaan (8) merupakan coef0.

Tabel 3 Simulasi dengan Kernel Polinomial Menggunakan Pendekatan One Versus Rest


1 2 3

Akurasi (%) 76,47 83,33 84,62 81,4733


9,34254 10,8696 9,84256 10,01824

Tabel 3 menunjukkan simulasi dengan kernel polinomial menggunakan pendekatan one versus rest, menghasilkan rata-rata akurasi sebesar 81,4733% dengan rata-rata running time 10,01824 detik.

Tabel 4 Simulasi dengan Kernel Polinomial Menggunakan Pendekatan One Versus One


1 2

3

Akurasi (%) 76,47 75 84,62 78,6967


13,8958 13,8608 13,44777 13,73478

Tabel 4 menunjukkan simulasi dengan kernel polinomial menggunakan pendekatan one versus one, menghasilkan rata-rata akurasi sebesar 78,6967% dengan rata-rata running time 13,73478 detik.

3. Simulasi ketiga dengan menggunakan kernel sigmoid, dengan C=1000, gamma=1/7129 (gamma=1/data dimension) , dan coef0=0,1

Catatan : a pada persamaan (9) merupakan gamma, b merupakan coef0.

774

Tabel 5 Simulasi dengan Kernel Sigmoid Menggunakan Pendekatan One Versus Rest


1 2 3

Akurasi % 70,59 66,67 92,31 76,5233


10,1176 10,1196 10,8606 10,36593

Tabel 5 menunjukkan simulasi dengan kernel sigmoid menggunakan pendekatan one versus rest, menghasilkan rata-rata akurasi sebesar 76,5233% dengan rata-rata running time 10,36593 detik.

Tabel 6 Simulasi dengan Kernel Sigmoid Menggunakan Pendekatan One Versus One


1 2

3

Akurasi (%) 76,47 75 84,62 78,6967


14,4368 13,8278 14,5358 14,26682

Tabel 6 menunjukkan simulasi dengan kernel sigmoid menggunakan pendekatan one versus one, menghasilkan rata-rata akurasi sebesar 78,6967% dengan rata-rata running time 14,26682 detik.

4. Simulasi keempat menggunakan kernel radial, dengan C=1000 dan gamma=0,0000001. Nilai 22/1 pada persamaan (10) merupakan gamma.

Tabel 7 Simulasi dengan Kernel Radial Menggunakan Pendekatan One Versus Rest


1 2

3

Akurasi (%) 76,471 83,33 84,62 81,4737


9,49843 9,66683 9,91215 9,692472

Tabel 7 menunjukkan simulasi dengan kernel radial menggunakan pendekatan one versus rest, menghasilkan rata-rata akurasi sebesar 81,4737% dengan rata-rata running time 14,26682 detik.

775

Tabel 8 Simulasi dengan Kernel Radial Menggunakan Pendekatan One Versus One


1 2 3

Akurasi (%) 76,47 75 84,62 78,6967


16,7715 13,1828 14,6628 14,87239

Tabel 8 menunjukkan simulasi dengan kernel radial menggunakan pendekatan one versus one, menghasilkan rata-rata akurasi sebesar 78,6967% dengan rata-rata running time 14,87239 detik.

Hasil-hasil tersebut dapat dirangkum dalam bentuk grafik sebagai berikut.

Berdasarkan grafik di atas, diketahui bahwa pada pendekatan one versus rest, akurasi tertinggi diperoleh saat menggunakan kernel linier, sedangkan akurasi terendah diperoleh saat menggunakan kernel sigmoid.

0,7

0,75

0,8

0,85

Linier Polinomial Sigmoid Radial

Perbandingan Akurasi dengan Pendekatan One

Versus Rest

Akurasi

Gambar 1 Perbandingan Akurasi dengan Pendekatan One Versus Rest menggunakan kernel

Linier , Polinomial , Sigmoid dan Radial

0

5

10

15


Perbandingan Running Time dengan Pendekatan

One Versus Rest (dalam detik)

Running TimeGambar 2 Perbandingan Running Time dengan Pendekatan One Versus Rest (dalam detik)

menggunakan kernel Linier , Polinomial , Sigmoid dan Radial

776

Berdasarkan grafik di atas, diketahui bahwa pada pendekatan one versus rest running time tercepat diperoleh saat menggunakan kernel linier dan running time terlama diperoleh saat menggunakan kernel sigmoid.

Berdasarkan grafik di atas, diketahui bahwa pada pendekatan one versus one nilai akurasi yang diperoleh saat menggunakan kernel polinomial, sigmoid, dan radial sama besarnya.

0,755

0,76

0,765

0,77

0,775

0,78

0,785

0,79


Perbandingan Akurasi dengan Pendekatan One

Versus One

Akurasi

0

2

4

6

8

10

12

14

16


Perbandingan Running Time dengan Pendekatan

One Versus One (dalam detik)

Running Time

Gambar 3 Perbandingan Akurasi dengan Pendekatan One Versus One menggunakan kernel Linier ,

Polinomial , Sigmoid dan Radial

Gambar 4 Perbandingan Running Time dengan Pendekatan One Versus One (dalam detik)

menggunakan kernel Linier , Polinomial , Sigmoid dan Radial

777

Berdasarkan grafik tersebut, diketahui bahwa pada pendekatan one versus one

running time tercepat diperoleh saat menggunakan kernel linier dan running time

terlama diperoleh saat menggunakan kernel radial.

3. Kesimpulan

Pada makalah ini, dibahas mengenai dua pendekatan dalam menyelesaikan

masalah multikelas kanker otak dengan metode Support Vector Machine, yakni one

versus rest dan one versus one. Adapun kernel yang digunakan adalah kernel linier,

polinomial, sigmoid, dan radial. Berdasarkan hasil simulasi, rata-rata akurasi tertinggi

dengan pendekatan one versus rest diperoleh pada simulasi menggunakan kernel linear,

yaitu 84,3%. Adapun dengan pendekatan one versus one, simulasi menggunakan ketiga

kernel nonlinear (polinomial, sigmoid, dan radial) menghasilkan rata-rata akurasi yang

sama, yakni 78,7%. Untuk selanjutnya, dapat dicari nilai parameter yang optimum pada

masing-masing kernel yang digunakan, dan dapat dilakukan aplikasi Support Vector

Machine pada permasalahan klasifikasi lainnya, baik dua kelas maupun multikelas.

Referensi

[1] https://www.curebraincancer.org.au/page/8/facts-stats diakses 12 Januari

2017 pukul 22.51

[2] Bishop, C.M., 2006, Pattern Recognition and Machine Learning, New York: Springer

[3] Hsu, C.W. & Lin, C.J., 2002, A Comparison of Methods for Multiclass Support

Vector Machines, IEEE Transactions on Neural Networks,13(2), 415-425

[4] Refaeilzadeh, P., Tang,L., dan Liu, H. (2009). Cross Validation, dalam Ozsu,M.T.,

dan Liu,L (Ed). Encyclopedia of Database Systems, Berlin : Springer

[5] Panca, V., 2016, Application of Machine Learning on Brain Cancer Multiclass

Classification, submit pada The 2nd International Symposium on Current

Progress in Mathematics and Sciences 2016 (ISCPMS)

[6] Duan, K.B. & Keerthi, S.S,2005, Which Is the Best Multiclass SVM Method? An

Empirical Study, dalam N.C. Oza et al., MCS 2005, LNCS 3541, pp. 278–285,

778


ANALISIS AKURASI DARI METODE MACHINE

LEARNING UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH

CREDIT SCORING

NURUL MAGHFIRAH, ZUHERMAN RUSTAM



Abstrak. Credit scoring adalah ekspresi numerik berdasarkan analisis file

kredit seseorang, untuk mewakili kelayakan kredit dari orang tersebut. Pemberi

pinjaman, seperti bank menggunakan credit scoring untuk mengevaluasi potensi

risiko yang ditimbulkan dari meminjamkan uang kepada konsumen dan untuk

mengurangi kerugian akibat kredit macet. Sehingga akan digunakan machine

learning untuk mengevaluasi risiko – risiko yang ada. Oleh karena itu, pada

makalah ini akan dibandingkan tingkat akurasi perhitungan credit scoring dari

german credit dataset menggunakan tiga buah metode machine learning, yaitu

: Fuzzy C-Means, Support Vector Machine, dan Logistic Regression. Sebagai

hasil didapatkan akurasi metode Fuzzy C-Means adalah sebesar 64%, metode

Support Vector Machine adalah sebesar 78,7%, dan metode Logistic Regression

adalah sebesar 87,6%.

Kata kunci: credit scoring, fuzzy c – means, support vector machine, logistic

regression.

1. Pendahuluan

Kredit atau cicilan saat ini telah menjadi konsumsi sehari – hari masyarakat.

Banyaknya institusi finansial dan pihak pemberi pinjaman yang menawarkan

beragam bentuk kredit mempermudah masyarakat dalam memenuhi kebutuhan

primer, sekunder, bahkan tersier mereka.

Meski begitu, tidak menutup kemungkinan adanya beberapa peminjam yang

mungkin akan bermasalah pada saar proses pembayaran cicilan atau kredit macet.

Oleh karena itu institusi finansial membutuhkan metode atau alat untuk

meminimalkan risiko tersebut.

Credit scoring adalah himpunan dari model pembuat keputusan untuk

membantu pihak pemberi pinjaman memberikan pinjaman kepada pihak

peminjam[1]. Metode ini mampu menentukan baik atau buruknya nilai kredit

peminjam, sehingga dapat diketahui seberapa berisiko jika pihak pemberi pinjaman

meminjamkan sejumlah uang untuk peminjam tersebut.

Data – data credit scoring didapatkan dari data historis peminjam. Data ini

berukuran sangat besar, sehingga akan mempengaruhi tingkat akurasi dari penentuan



779

baik atau buruknya nilai kredit peminjam tersebut. Sehingga digunakan metode

machine learning untuk menentukan metode mana yang baik dan menghasilkan

tingkat akurasi yang sangat tinggi.

Metode machine learning atau metode – metode data mining lainnya dapat

diaplikasikan untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan

forecasting atau fitting data. Algoritma machine learning dibuat untuk mempelajari

sifat – sifat data historis berukuran besar dan kemudian membuat perkiraannya. Pada

kasus credit scoring contohnya, data – data historis peminjam diketahui berukuran

sangat besar. Sehingga akan cocok jika menggunakan algoritma machine learning

yang akan mempelajari sifat – sifat data historis dan kemudian membuat perkiraan

apakan peminjam memiliki nilai kredit yang baik atau buruk. Pada makalah ini akan

dibandingkan hasil pengukuran tingkat akurasi dari tiga buah algoritma machine

learning dalam menentukan credit scoring. Algoritma yang digunakan yaitu : Fuzzy

C – Means, Support Vector Machine, dan Regresi Logistik.

Metode Fuzzy C – Means (FCM) adalah teknik pengelompokkan data yang

posisi datanya ditentukan oleh derajat keanggotaan[2]. Support Vector Machine

(SVM) adalah suatu metode untuk melakukan prediksi, dengan cara membangun

sebuah hyperplane terbaik sebagai pemisah dua kelas data. Metode Regresi Logistik

suatu metode prediksi dengan cara menghitung probabilitas antara variabel dependen

dan variabel independennya

Ketiga metode tersebut digunakan untuk mengukur tingkat akurasi yang

kemudian akan dibandingkan hasilnya. Data credit scoring yang digunakan adalah

german credit dataset, kemudian dilakukan simulasi program untuk metode SVM

dan Regresi Logistik menggunakan python, sementara untuk metode FCM

menggunakan matlab.

Selanjutnya pada bagian II akan dijelaskan mengenai hasil – hasil penelitian

dan pada bagian III akan dijelaskan mengenai kesimpulan.


Metode Fuzzy C – Means (FCM) adalah teknik pengelompokkan data yang

posisi datanya ditentukan oleh derajat keanggotaan. Konsep dasar dari metode ini

adalah menentukan pusat klaster awal atau lokasi rata – rata dari masing – masing

klaster. Kemudian di tiap – tiap iterasi, pusat klaster ini akan diperbaiki hingga

mengarah ke lokasi yang sesuai. Hal ini berdasar pada peminimuman fungsi objektif

yang menggambarkan jarak antara titik data dengan pusat klaster[2].

Dari konsep dasar tersebut, dapat dibangun sebuah fungsi objektif fari FCM

tersebut. Model matematis dari FCM adalah[2]:

𝑀𝑖𝑛 𝐽𝐹𝐶𝑀(𝑉, 𝑈, 𝑋, 𝑐,𝑚) = 𝑀𝑖𝑛 ∑ ∑ 𝑢𝑖𝑘𝑚‖𝑥𝑘 − 𝑣𝑖‖

2𝑁𝑘=1

𝑐𝑖=1

dengan fungsi kendala

∑ 𝑢𝑖𝑘 =𝑐𝑖=1 1

dimana,

N adalah banyaknya data

c adalah banyaknya cluster

780

V adalah pusat cluster, dengan V = (

𝑣11 ⋯ 𝑣1𝑁⋮ ⋱ ⋮𝑣𝑐1 ⋯ 𝑣𝑐𝑁

)

U adalah fungsi keanggotaan, dengan U = (

𝑢11 ⋯ 𝑢1𝑘⋮ ⋱ ⋮𝑢𝑐1 ⋯ 𝑢𝑐𝑘

)

X adalah data yang akan di – cluster, dengan X = (

𝑥11 ⋯ 𝑥1𝑘⋮ ⋱ ⋮𝑥𝑛1 ⋯ 𝑥𝑛𝑘

)

m adalah derajat fuzzyness (m > 1)

‖𝑥𝑘 − 𝑣𝑖‖2 adalah jarak antara titik data dengan pusat cluster

Model matematis tersebut kemudian akan digunakan untuk membangun

sebuah algoritma dalam menentukan tingkat akurasi dari credit scoring. Secara

umum, algoritma dari FCM pada kasus ini bekerja dengan cara memperbaharui nilai

pada tiap klaster (U) dan pusat klaster (V), dan akan melakukan pengulangan atau

looping sampai memenuhi kriteria berhenti atau stopping criteria.

Berikut ini adalah algoritma FCM menggunakan matlab[2]:

Algoritma FCM

start

step 1 Inisialisasi banyaknya data training yang

akan digunakan, banyaknya klaster, besar

derajat fuzzyness (𝑚 > 1), kriteria berhenti

(휀 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑛𝑔𝑎𝑡 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙), dan pusat

klaster awal

step 2 Hitung fungsi keanggotaan awal setiap data,

lalu perbaharui nilai pada tiap klaster

(U), dimana

𝑢𝑖𝑘 =1

∑ (‖𝑥𝑘 − 𝑣𝑖‖

‖𝑥𝑘 − 𝑣𝑗‖)𝑐

𝑖=1

2𝑚−1

𝑢𝑖𝑘 ∈ 𝑈, 𝑘 = 1,2, … , 𝑛

step 3 Perbaharui pusat klaster untuk setiap kalster

ke – I dengan

781

𝑣𝑖 =∑ 𝑢𝑖𝑘

𝑚𝑥𝑘𝑁𝑘=1

∑ 𝑢𝑖𝑘𝑚𝑁

𝑘=1

𝑖 = 1,… , 𝐶

step 4 Tentukan kriteria penghentian iterasi, yaitu

apabila selisih fungsi objektif sekarang dan

fungsi objektif sebelumnya < 휀 atau selisih

dari pusat klaster sekarang dan pusat

klaster sebelumnya < 휀, jika belum mencapai

kriteria ulangi step 2

end

Support Vector Machine (SVM) adalah suatu metode untuk memprediksi

data, dengan konsep dasar berupa membagi data menjadi dua kelas berbeda.

Pembagian data dilakukan dengan cara membuat hyperplane atau bidang pemisah

terbaik. Hyperplane ini dicari dengan cara mengukur margin hyperplane dan

mencari titik maksimalnya. Margin adalah jarak antara hyperplane dengan pattern

terdekat dari masing – masing kelas. Pattern ini dikenal sebagai support vector.

Dari konsep dasar tersebut, didapatkan model matematis sebagai berikut[3]:

𝑦(𝒙) = 𝒘𝑇𝒙 + 𝑏

dimana w merupakan vektor yang berisi nilai parameter bobot, 𝒘 = {𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑘}; k adalah jumlah atribut dan b adalah skalar yang disebut dengan bias.

Saat dataset yang dimiliki sudah terbagi menjadi dua kelas, maka sebuah

garis lurus dapat digambarkan untuk memisah semua data yang telah dikelompokkan

ke dalam kelas negatif ataupun kelas positif.

Model matematis tersebut kemudian akan digunakan untuk membangun

sebuah algoritma dalam menentukan tingkat akurasi dari credit scoring. Secara

umum, algoritma dari SVM pada kasus ini bekerja dengan cara memperbaharui nilai

bobot (𝒘) dan nilai bias (𝑏) dan akan melakukan pengulangan atau looping hingga

semua datanya sudah terpisah ke dalam dua kelas yang ada. Metode regresi logistik adalah suatu metode machine learning yang berbasis

statistika. Konsep dasar dari metode regresi logistik adalah dengan mengukur

keterhubungan antara variabel dependen dan variabel independennya dengan cara

menghitung probabilitas yang ada.

Gambar 2.1 Ilustrasi hyperplane

● +1

○ -1

782

Dari konsep dasar tersebut, didapat model matematis sebagai berikut:

𝜋 =𝑒��

1 + 𝑒��=

1

1 + 𝑒−��

dengan

𝛽 = (𝑥𝑇𝑥)−1𝑥𝑇𝑦

�� = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 + 𝛽2𝑥2 +⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑛

dimana

x dan y adalah data

𝛽 adalah koefisien regresi

�� fungsi linear dari variabel 𝑥

𝜋 adalah probabilitas dari variabel dependen

Model matematis tersebut kemudian akan digunakan untuk mengklasifikasikan data

menjadi dua buah hasil, yaitu hasil dianggap benar, dan hasil dianggap salah. Proses

klasifikasi data dilakukan dengan cara menghitung probabilitas dan

mengelompokkan berdasarkan hasil yang didapatkan.

Berikut ini adalah gambaran secara umum bagaimana regresi logistik

bekerja:

783

Tabel 2.1 Hasil klasifikasi metode FCM

Pada makalah ini, data yang digunakan adalah german credit dataset yang diperoleh

dari UCI Machine Learning Repository[4]. Data ini digunakan karena setiap sampel

sudah diberi label dan fitur – fitur yang ada cukup banyak.

Kemudian akan dibandingkan tingkat akurasi dari ketiga metode yang

digunakan. Untuk menghitung tingkat akurasi, digunakan empat kemungkinan hasil

klasifikasi, yaitu :

1. Positif Benar (TP)

Adalah kasus dimana sampel dengan nilai kredit baik dideteksi sebagai nilai

kredit baik

2. Positif Salah (FP)

Adalah kasus dimana sampel dengan nilai kredit buruk dideteksi sebagai nilai

kredit baik

3. Negatif Benar (TN)

Adalah kasus dimana sampel dengan nilai kredit buruk dideteksi sebagai nilai

kredit buruk

4. Negatif Salah (FN)

Adalah kasus dimana sampel dengan nilai kredit baik dideteksi sebagai nilai

kredit buruk

Tingkat akurasi didapatkan dari persamaan akurasi berikut :

𝐴𝑘𝑢𝑟𝑎𝑠𝑖 = 𝑇𝑃 + 𝑇𝑁

𝑇𝑃 + 𝐹𝑃 + 𝑇𝑁 + 𝐹𝑁 × 100%

Pada proses klasifikasi menggunakan metode FCM, dilakukan klasifikasi

data yang terbagi atas dua kelas. Kelas I merupakan kumpulan sampel dengan nilai

kredit baik dan kelas II merupakan kumpulan sampel dengan nilai kredit buruk. Data

training yang digunakan yaitu 10% - 70% pada data. Data yang bukan training

kemudian akan menjadi data testing.

Berikut ini adalah hasil klasifikasi dataset credit scoring menggunakan

metode FCM :

Persentase Training Data Akurasi (%)

10 27,222

20 50,000

30 16,571

40 27,500

50 10,000

60 64,000

70 27,333

784

Dari tabel 2.1, dapat dilihat bahwa akurasi terbesar didapat menggunakan

60% data training dengan akurasi sebesar 64%.

Sementara untuk metode SVM dan regresi logistik, simulasi program

dilakukan menggunakan python. Proses klasifikasi dilakukan dengan membangun

model yang tepat untuk kedua metode ini, data yang ada dibagi menjadi data training

dan data testing. Sehingga didapatkan hasil pengukuran tingkat akurasi

menggunakan metode SVM sebesar 78,7% dan tingkat akurasi menggunakan

metode regresi logistik sebesar 87,6%.

Berikut ini adalah grafik perbandingan hasil pengukuran tingkat akurasi

menggunakan ketiga metode tersebut.

3. Kesimpulan

Dari pengujian yang dilakukan menggunakan ketiga metode tanpa adanya

proses pemilihan fitur, diperoleh tingkat akurasi sebesar 64% untuk metode FCM,

sebesar 78,7% untuk metode SVM, dan sebesar 87,6% untuk metode regresi logistik.

Sehingga dari ketiga metode tersebut, dapat disimpulkan bahwa metode regresi

logistik adalah metode yang paling baik untuk prediksi credit scoring menggunakan

german credit dataset dikarenakan memberikan hasil tingkat akurasi paling besar

dengan nilai 87,6%.

Referensi

[1] Thomas, Lyn C. (2002). Credit Scoring and Its Application. Society for Industrial and

Applied Mathematics. Philadelphia

[2] Rachman, Arvan Aulia. (2016). Klasifikasi Data Kanker Menggunakan Fuzzy C –

Means dengan Pemilihan Fitur Menggunakan Fisher’s Ratio. Skripsi. Departemen

Matematika FMIPA UI

[3] Janati, Melati Vidi. (2016). Klasifikasi Kanker Paru – paru Menggunakan Support

Vector Machine dengan Pemilihan Fitur Berbasis Fungsi Kernel. Skripsi. Departemen

Matematika FMIPA UI

[4] Hoffman, Hans. (2000). Statlog(German Credit Data) Data Set. January 27, 2017.

https://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Statlog+(German+Credit+Data)

64,7578,7

87,6

Hasil Pengukuran Tingkat Akurasi

FCM SVM Regresi Logistik

Gambar 2.3 Hasil Pengukuran Tingkat Akurasi

https://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Statlog+(German+Credit+Data)

785


PENGEMBANGAN MEDIA AUGMENTED REALITY

BERBASIS ANDROID UNTUK PEMBELAJARAN

DIMENSI TIGA

FARIS FATHAN1, TITA KHALIS MARYATI2, DINDIN

SOBIRUDDIN3

1 UIN Syarif Hidayatullah Jakarta, [email protected]



Abstrak. Augmented reality merupakan suatu teknologi yang memungkinkan

konten virtual digabung dengan dunia nyata yang dapat diterapkan pada android

smartphone. Pada penelitian ini kami mengembangkan media augmented reality

basis android untuk pembelajaran berdimensi tiga. Media dikembangkan

dengan menggunakan software Unity dengan model pengembangan ADDIE

(Analysis, Design, Development, Implementation, and Evaluation). Melalui

tahapan peninjauan ahli materi, ahli media, pengguna guru dan siswa, media

augmented reality berbasis android yang dikembangkan ini memperoleh umpan

balik berupapenilaian dengan tingkat kelayakan kategori baik.

Kata kunci: Media Pembelajaran, Augmented Reality, Smartphone Android, Materi

Dimensi Tiga, Model Pengembangan ADDIE.

1. Pendahuluan

Di era globalisasi ini, banyak sekali perkembangan teknologi dalam proses

pendidikan. Dengan adanya perkembangan teknologi dalam proses pendidikan maka

akan melahirkan beragam jenis kegiatan yang baru bagi dunia pendidikan. Sebelum

adanya teknologi dalam pendidikan, proses pembelajaran selalu menitik beratkan

peranan guru dan buku sebagai penyampaian informasi yang utama. Teknologi yang

telah berkembang sampai saat ini khususnya dalam dunia pendidikan dapat

membantu peranan guru dalam memperkuat penyampaian informasi. Siswa juga

dapat belajar lebih banyak secara individual atau kelompok dengan memanfaatkan

perkembangan teknologi pendidikan.

Perkembangan media pembelajaran merupakan salah satu alternatif dalam

mencari informasi pendidikan sehingga akan membawa berbagai kemajuan bagi

siswa. Dalam hal ini guru juga dituntut untuk selalu dapat memanfaatkan atau

bahkan mengembangkan produk teknologi pendidikan salah satunya adalah

kemampuan merancang dan memanfaatkan berbagai media dan sumber belajar[7].




786

Bidang pendidikan, khususnya matematika memiliki banyak peranan

penting dalam kehidupan. Matematika disebut juga sebagai Queen of Sciences,

karena matematika merupakan akar dari ilmu pengetahuan lainnya dan juga

berkaitan dengan kehidupan sehari-hari. Namun matematika juga merupakan salah

satu mata pelajaran yang abstrak. Untuk memahami konsep abstrak anak

memerlukan benda-benda riil sebagai perantara atau visualisasinya. Bahkan orang

dewasapun yang pada umumnya sudah dapat memahami konsep abstrak, dalam

keadaan tertentu masih memerlukan visualisasi[9].

Geometri merupakan salah satu materi yang memuat konsep tentang titik,

garis, bidang dan ruang beserta sifat-sifatnya, ukuran-ukurannya, dan hubungan

antara satu dengan lainnya. Salah satu topik yang dibahas dalam geometri adalah

dimensi tiga. Di jenjang Sekolah Menengah Atas (SMA), materi yang diajarkan

meliputi kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga, serta jarak dan

sudut antara titik, garis, dan bidang.

Menurut Wahyuni[10] dalam penelitian terkait konsep jarak dalam ruang

dimensi tiga dapat diidentifikasi beberapa hambatan belajar siswa, salah satunya

adalah siswa kesulitan dalam membangun concept image mengenai visualisasi jarak

dalam ruang dimensi tiga. Pada pembelajaran sebelumnya, biasanya siswa lebih

terbiasa dengan konsep jarak pada dimensi dua. Hal ini berpengaruh ketika

dihadapkan dengan persoalan jarak dimensi tiga, siswa akan mengalami

kebingungan. Selain itu, terbiasanya siswa dalam memahami konsep-konsep dalam

dimensi tiga yang hanya terbatas pada sumber buku akan membuat pembelajaran

kurang bermakna sehingga konsep yang dibangun oleh siswa akan lebih sulit dan

cenderung membosankan, sehingga perlu adanya pengembangan media

pembelajaran alternatif guna mencapai pembelajaran yang lebih bermakna.

Sudah selayaknya lembaga-lembaga pendidikan yang ada mulai

memanfaatkan teknologi sebagai media pembelajaran yang lebih mutakhir. Menurut

Darmawan pengembangan pendidikan berbasis TIK memberikan dua keuntungan,

yaitu sebagai pendorong dari setiap bagian dalam pendidikan termasuk guru untuk

lebih apresiatif dan proaktif dalam memaksimalkan potensi pendidikan, serta

memberikan kesempatan luas kepada peserta didik dalam memanfaatkan setiap

potensi yang ada, yang dapat diperoleh dari sumber-sumber tak terbatas[5].

Pesatnya pertumbuhan teknologi membuat jumlah penggunaan perangkat

android smartphone semakin meningkat. Riset Google bersama TNS Australia

menunjukkan bahwa Indonesia bersama dengan Australia dan India termasuk dalam

kelompok driven social. Dari tiga indikator utama pemakaian smartphone, ketiga

negara mendominasi aktivitas media sosial di pringkat pertama dan chat di peringkat

kedua. Sementara peringkat ketiga indikator di Indonesia didominasi dengan

aktivitas googling[3]. Hal ini menunjukkan bahwa masih kurangnya pemanfaatan

teknologi di bidang smartphone bagi pendidikan.

Augmented reality merupakan salah satu perkembangan teknologi.

Teknologi ini dikenal dengan pembuatan objek yang mirip dengan kondisi nyata.

Augmented reality merupakan sebuah teknologi yang memungkinkan konten virtual

digabung dengan dunia nyata[4]. Hal ini menunjukkan bahwa augmented reality

sangat mendukung dalam penyampaian informasi pada dimensi tiga jika diterapkan

sebagai media pembelajaran alternatif matematika.

787

Dengan adanya perkembangan teknologi ini maka peneliti bertujuan untuk:

a. Menghasilkan produk pembelajaran berbentuk aplikasi augmented reality yang

berjalan pada platform android dalam membantu visualisasi siswa pada materi

dimensi tiga.

b. Mengetahui tanggapan responden terhadap media pembelajaran yang dihasilkan.


Menurut Azhar[2], istilah ‘media’ sering dikaitkan atau dipergantikan

dengan kata ‘teknologi’ yang berasal dari kata latin tekne (bahasa inggris art) dan

logos (bahasa indonesia ‘ilmu’). Media pembelajaran menurut Aqib[1] merupakan

segala sesuatu yang dapat digunakan untuk menyalurkan pesan dan merangsang

pembelajaran pada siswa. Seperti halnya menurut Sanjaya[7] bahwa media

pengajaran meliputi perangkat keras (hardware) dan perangkat lunak (software).

Hardware berupa alat yang dapat mengantarkan pesan seperti televisi, komputer,

radio, dan sebagainya. Sedangkan software merupakan suatu program yang

mengandung pesan atau informasi seperti aplikasi yang terdapat pada komputer, film

yang ditampilkan pada televisi, dan lain sebagainya.

Salah satu faktor penting dalam proses pembelajaran adalah media

pembelajaran. Dalam memahami peranan media pembelajaran, Edgar Dale[7] pada

Gambar 1 melukiskan sebuah kerucut pengalaman (cone of experience) yang pada

saat ini dianut secara luas dalam menentukan media apa yang sesuai agar siswa

memperoleh pengalaman belajar secara mudah.

Dari kerucut pengalaman yang telah dikemukakan oleh Edgar Dale tersebut

telah memberikan pandangan mengenai pengalaman belajar siswa. Semakin konkret

siswa mempelajari bahan ajar, contohnya pengalaman langsung, maka akan semakin

banyak pengalaman yang didapat oleh siswa. Sebaliknya, semakin abstrak siswa

mempelajari bahan ajar, contohnya menggunakan bahasa verbal saja, maka semakin

sedikit pengalamannya.

Adapun beberapa persyaratan dari alat peraga antara lain[8]:

a. Tahan lama.

b. Bentuk dan warnanya menarik.

c. Sederhana dan mudah dikelola.

d. Ukurannya sesuai.

e. Dapat menyajikan konsep matematika baik dalam bentuk real, gambar, atau

diagram.

f. Sesuai dengan konsep matematika.

g. Dapat memperjelas konsep matematika dan bukan sebaliknya.

h. Peragaan itu supaya menjadi dasar bagi tumbuhnya konsep berpikir abstrak bagi

siswa.

i. Menjadikan siswa belajar aktif dan mandiri dengan memanipulasi alat peraga.

j. Bila mungkin alat peraga tersebut bisa berfaedah lipat (banyak).

788

Gambar 1 Kerucut Pengalaman Edgar

Model ADDIE (Analysis, Design, Development, Implementation, and

Evaluation) merupakan salah satu model yang dapat digunakan untuk berbagai

macam bentuk pengembangan produk seperti model, strategi pembelajaran, metode

pembelajaran, media dan bahan ajar. Pada prosedur penelitian dan pengembangan

memiliki beberapa tahapan yang harus dikerjakan dalam penelitian. Berikut ini

tahapan model ADDIE yang dilakukan dalam penelitian ini, yaitu[6]:

a. Analisis

Tahapan kali ini bertujuan untuk menganalisis perlunya pengembangan media

pembelajaran alternatif. Pengembangan media pembelajaran didasari oleh

beberapa latar belakang masalah yang ada yaitu, perlunya media sebagai alat

bantu visual pada materi dimensi tiga dan kurangnya pemanfaatan teknologi

dalam media pembelajaran matematika.

b. Desain Tahapan yang dilakukan meliputi perancangan materi yang akan disampaikan,

pembuatan bagan alur media, pembuatan storyboard media, penyusunan modul

yang diintegrasikan dengan perangkat android, dan pengumpulan bahan lainnya

yang diperlukan dalam pengembangan media. Rancangan inilah yang akan

mendasari pada proses pengembangan berikutnya.

c. Pengembangan Sebagaimana pada tahap desain kerangka prosedural yang telah disusun akan

direalisasikan agar menjadi produk yang siap diimplementasikan. Dalam

merealisasikan produk tersebut terdapat beberapa langkah yang akan ditempuh

antara lain yaitu, pembuatan user interface menggunakan Unity 3D, pembuatan

Abstrak

Konkret

789

objek tiga dimensi menggunakan blender, pembuatan gambar seperti; tombol,

background, dan marker, pengkodingan (coding), serta penjalanan aplikasi (test

aplication/run) pada emulator android, baik dengan PC maupun android

smartphone. Setelah melalui langkah tersebut maka prototip akan dihasilkan.

Prototip yang telah dihasilkan akan di uji oleh para ahli. Setiap ahli akan

memberikan penilaian baik dari segi kualitas media maupun kesesuaian materi

dan komentar serta saran perbaikan agar prototip yang ada dapat diperbaiki.

Setelah para ahli memvalidasi prototip, maka prototip dapat diimplementasikan

ke lapangan.

d. Implementasi Pada tahap ini, prototip akan diujicobakan kepada pengguna dalam skala yang

kecil terlebih dahulu. Setelah media diujicobakan, evaluasi awal akan dilakukan

untuk melihat bagaimana tanggapan atau penilaian responden terhadap media

yang telah dihasilkan yang kemudian akan dilakukan perbaikan guna

mendapatkan hasil yang maksimal. Kemudian media yang telah diperbaiki akan

diterapkan kembali ke lapangan dengan jumlah siswa yang lebih banyak.

e. Penilaian

Evaluasi bertujuan agar kualitas media yang dikembangkan dapat sesuai dengan

tujuan awal. Dalam pengembangan media ini, evaluasi akan dilakukan terus

menerus agar setiap kesalahan kecil dapat terlihat dan dapat diperbaiki langsung

tanpa menunggu produk akhir selesai. Namun evaluasi pada kali ini merupakan

tahapan terakhir dalam proses pengembangan media pembelajaran. Hal ini

dapat dilihat berdasarkan data yang diperoleh saat implementasi guna

melakukan revisi tahap akhir.

Produk akhir dari penelitian ini merupakan media pembelajaran matematika

yang berbentuk aplikasi android dan modul pembelajaran augmented reality pada

materi dimensi tiga. Media pembelajaran augmented reality berbasis android ini

diberi nama “Dimensi 3 AR”, dengan nama file Dimensi3AR.apk. Adapun tujuan

pembelajaran yang terdapat pada modul antara lain, agar siswa dapat menentukan:

a. Jarak dari titik ke titik.

b. Jarak dari titik ke garis.

c. Jarak dari titik ke bidang.

d. Jarak dari garis ke garis.

e. Jarak dari garis ke bidang.

f. Jarak dari bidang ke bidang.

g. Besar sudut antara garis dengan garis.

h. Besar sudut antara garis dengan bidang.

i. Besar sudut antara bidang dengan bidang.

790

Gambar 2 Tampilan Sampul Modul

Gambar 3 Tampilan Splash Screen

Ketika aplikasi ini dijalankan, tampilan awal yang pertama kali muncul adalah

splash screen seperti Gambar 2 dengan durasi sekitar 7 detik. Setelah aplikasi

terbuka, maka akan langsung masuk ke tampilan utama. Tampilan utama ini

merupakan tampilan dari kamera pada perangkat smartphone android dengan

beberapa tombol yang sudah tersedia yang dapat dilihat pada Gambar 3. Berikut ini

adalah fungsi dari setiap tombol yang ada pada tampilan utama:

a. Tombol dan adalah tombol on-off, berfungsi untuk memunculkan atau

menyembunyikan dari tombol rotasi terhadap sumbu x, y, dan z, tombol zoom

in dan zoom out, tombol garis bantu, serta tombol reset objek ilustrasi.

b. Tombol dan adalah tombol rotasi terhadap sumbu x, berfungsi

untuk merotasi objek ilustrasi terhadap sumbu x.

c. Tombol dan adalah tombol rotasi terhadap sumbu y, berfungsi

untuk merotasi objek ilustrasi terhadap sumbu y.

d. Tombol dan adalah tombol rotasi terhadap sumbu z, berfungsi

untuk merotasi objek ilustrasi terhadap sumbu z.

791

e. Tombol dan adalah tombol zoom in dan zoom out, berfungsi untuk

memperbesar atau memperkecil objek ilustrasi.

f. Tombol adalah tombol garis bantu, berfungsi untuk memunculkan garis

bantu pada objek ilustrasi yang terdapat di contoh soal.

g. Tombol adalah tombol reset, berfungsi untuk mengembalikan objek

ilustrasi ke ukuran dan posisi awal.

h. Tombol adalah tombol petunjuk, berfungsi untuk memunculkan tampilan

petunjuk penggunaan dari media pembelajaran ini.

i. Tombol adalah tombol profil, berfungsi untuk memunculkan tampilan

profil dari peneliti pada media pembelajaran ini.

j. Tombol adalah tombol petunjuk, berfungsi untuk keluar dari media

pembelajaran ini.

Gambar 4 Tampilan utama

Pada tampilan utama, kamera sudah siap untuk membaca marker yang tersedia

pada modul pembelajaran yang sudah didesain. Aplikasi ini hanya bisa membaca

marker yang sudah terdaftar ketika proses pembuatan.

Gambar 4 Contoh Marker pada Modul

792

Pada materi jarak dalam dimensi tiga, materi disajikan dalam bentuk teks serta

objek ilustrasi. Objek ilustrasi yang digunakan merupakan animasi tiga dimensi yang

dapat membantu penggambaran dari setiap materi yang dijelaskan. Misal pada

Gambar 5a, objek ilustrasi dapat dilihat pada titik A yang berwarna merah dan titik

B yang berwarna biru dan disambungkan dengan sebuah garis. Garis penghubung

tersebut merupakan jarak antara titik A dengan titik B. Dalam aplikasi yang dibuat,

garis penghubung dari setiap materi jarak diberikan penekanan dengan

menambahkan efek bergerak agar siswa dapat memahami materi dengan baik.

Selain itu, objek ilustrasi juga dapat dirotasi terhadap sumbu x, sumbu y,

maupun sumbu z sehingga siswa lebih mudah dalam mengamati objek ilustrasi.

Misal pada Gambar 5b, objek ilustrasi dapat dirotasi sehingga siswa dapat

mengamati jarak yang merupakan panjang ruang garis AP yang tegak lurus terhadap

bidang V.

Gambar 6 Tampilan Contoh Soal 1

Gambar 5 Tampilan Materi Jarak

(a) (b)

793



Pada contoh soal, garis bantu dapat dimunculkan pada objek ilustrasi. Contoh

garis bantu dan sudut dapat dilihat pada gambar di atas. Garis bantu dan sudut yang

dibuat disesuaikan dengan contoh soalnya dan juga disesuaikan dengan langkah-

langkah pengerjaannya. Hal ini bertujuan agar siswa mengetahui jarak yang

dimaksud.

Pada materi sudut dalam dimensi tiga, materi disajikan tidak jauh berbeda

seperti materi jarak dalam dimensi tiga. Materi yang disajikan masih sama yaitu

dalam bentuk teks serta objek ilustrasi. Dari Gambar 6. dapat dilihat bahwa sudut

pada objek ilustrasi diberikan penekanan warna merah. Begitu pula pada materi

sudut yang lainnya.

Selain tampilan utama, aplikasi ini juga dilengkapi dengan menu petunjuk dan

menu profil. Menu petunjuk dan menu profil dapat diakses dengan menyentuh salah

satu dari tombol-tombol tersebut. Menu petunjuk berisikan tentang informasi

bagaimana cara menggunakan media pembelajaran ini. Sedangkan menu profil

berisikan tentang profil dari peneliti. Berikut ini adalah tambilan dari menu petunjuk

dan menu profil.

794

Gambar 9 Tampilan Materi Sudut

Gambar 10 Tampilan Menu Petunjuk 1 pada Aplikasi

Gambar 11 Tampilan Menu Petunjuk 2 pada Aplikasi

795

Gambar 12 Tampilan Menu Profil pada Aplikasi

Produk akhir dari penelitian ini memiliki beberapa kelebihan dan kekurangan.

Kelebihan dari media pembelajaran yang telah dikembangkan antara lain:

a. Media ini dapat digunakan pada android smartphone dengan minimum android

v4.2.2 “Jelly Bean” (API level 17) dan perangkat komputer/laptop basis

windows dengan menggunakan aplikasi bluestack.

b. Media ini menyajikan materi berupa teks dan objek ilustrasi yang bergrafis tiga

dimensi.

c. Media ini berupa modul dan aplikasi android sehingga mudah untuk digunakan

kapanpun dan dimanapun.

Adapun kekurangan dari media pembelajaran ini adalah:

a. Materi yang disajikan pada media pembelajaran ini terbatas pada materi

dimensi tiga yang ada di tingkat SMA.

b. Objek ilustrasi pada media ini jumlahnya terbatas, karena aplikasi ini hanya

dapat membaca marker pada modul pembelajaran yang telah disediakan.

c. Contoh soal pada media ini sangat terbatas dan tidak dapat dirandom.

3. Kesimpulan

Perkembangan teknologi pada dunia pendidikan sangat membantu

khususnya pada pembelajaran matematika. Salah satu perkembangan teknologi

adalah augmented reality dimana teknologi ini memungkinkan penggabungan

konten virtual dengan dunia nyata sehingga sangat baik untuk diterapkan dalam

media pembelajaran matematika terutama pada materi dimensi tiga. Hasil dari

penelitian ini merupakan media pembelajaran matematika yang berbentuk aplikasi

android dan modul pembelajaran augmented reality pada materi dimensi tiga.

Berdasarkan uji coba media pembelajaran tersebut yang dilakukan kepada ahli

materi, ahli media, guru dan siswa, mendapatkan umpan balik yaitu tingkat

kelayakan media pembelajaran augmented reality basis android pada materi dimensi

tiga secara keseluruhan termasuk dalam kategori baik. Diharapkan media

pembelajaran ini dapat membantu dalam pembelajaran matematika khususnya

materi dimensi tiga.

796

Referensi

[6] Aqib, Zainal. Model-model, Media, dan Strategi Pembelajaran Kontekstual (Inovatif).

Bandung: Yrama Widya, 2013.

[7] Arsyad, Azhar. Media Pembelajaran. Jakarta: PT RajaGrafindo Persada, 2011.

[8] Auliani, Palupi Annisa. “Mau Tahu Hasil Riset Google soal Penggunaan “Smartphone”

di Indonesia?”.

(http://tekno.kompas.com/read/2015/11/19/23084827/Mau.Tahu.Hasil.Riset.Google.so

al.Penggunaan.Smartphone.di.Indonesia), 13 November 2016.

[9] Azuma, Ronald, Mark Billinghurst, dan Gudrun Klinker. Special Section on Mobile

Augmented Reality. Computers and Graphics Journal. 35, 2011.

[10] Darmawan, Deni. Teknologi Pembelajaran. Bandung: PT Remaja Rosdakarya, 2011.

[11] Mulyatiningsih, Endang. Metode Penelitian Terapan Bidang Pendidikan. Bandung:

Alfabeta, 2012.

[12] Sanjaya, Wina. Strategi Pembelajaran: Berorientasi Standar Proses Pendidikan.

Jakarta: Kencana, 2014.

[13] Sundayana, Rostina. Media Pembelajaran Matematika. Bandung: Alfabeta, 2013.

[14] Tim MKPMB Jurusan Pendidikan Matematika. Strategi Pembelajaran Matematika

Kontemporer. Bandung: JICA-UPI, 2011.

[15] Wahyuni, Dwi. “Desain Didaktis Konsep Jarak Dalam Ruang Dimensi Tiga Dengan

Pendekatan Kontekstual Pada Pembelajaran Matematika SMA Kelas X”, Skirpsi pada

Sarjana UPI. Bandung: 2013.

http://tekno.kompas.com/read/2015/11/19/23084827/Mau.Tahu.Hasil.Riset.Google.soal.Penggunaan.Smartphone.di.Indonesia

http://tekno.kompas.com/read/2015/11/19/23084827/Mau.Tahu.Hasil.Riset.Google.soal.Penggunaan.Smartphone.di.Indonesia

797


APLIKASI ADAPTIVE NEURO-FUZZY INFERENCE

SYSTEM PADA PENGAMBILAN KEPUTUSAN DALAM

INVESTASI SAHAM

I PUTU ADITYA WARDANA, ZUHERMAN RUSTAM



Abstrak. Selama bertahun-tahun, memprediksi pergerakan harga saham-saham dan

mengambil keputusan di tengah-tengah ketidakpastian pasar sudah menjadi perhatian

bagi para investor untuk memilih saham-saham yang tepat. Penelitian ini bertujuan

untuk menentukan keputusan.yang dapat mengurangi risiko-risiko dalam investasi

saham, agar investor memperoleh keuntungan. Technical analysis merupakan salah satu

metode yang digunakan oleh technicalist untuk memprediksi harga saham. Penelitian

ini menggunakan pendekatan Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System (ANFIS) untuk

menentukan keputusan berdasarkan indikator-indikator pada technical analysis. Ada

beberapa indikator technical analysis yang digunakan di dalam penelitian ini, antara

lain RSI, MACD, SO dan OBV.

Kata kunci: pasar saham, analisis teknikal, indikator teknikal, pengambilan keputusan,

adaptive neuro-fuzzy inference system.

1. Pendahuluan

Pasar saham merupakan sarana investasi alternatif untuk mengelola aset. Saham

dinilai mempunyai sejumlah karakteristik yang unik. Harga saham yang cenderung

lebih fluktuatif dibandingkan dengan jenis investasi lain menjadikan pergerakan

harga saham lebih sulit untuk diprediksi. Prediksi mengenai pergerakan harga saham

menjadi perhatian khusus di bidang keuangan. Hal tersebut dapat dicapai dengan

menentukan keputusan yang tepat di masa sekarang agar dapat memperoleh

keuntungan dengan meminimalisasi resiko pasar.

Investor yang baik harus mampu menentukan keputusan yang tepat. Idealnya,

saham dibeli saat harga lebih murah daripada harga biasanya dan dijual saat harga

saham lebih mahal daripada harga beli. Namun, kerapkali investor ragu dalam

menentukan waktu yang tepat untuk membeli, menjual, atau menahan saham lebih

lama karena ketidakpastian pergerakan harga saham.

Artificial neural networks (ANN) sudah digunakan selama beberapa dekade

terakhir untuk memprediksi pergerakan harga saham. Neural networks mempunyai

karakteristik yang relevan untuk memprediksi pergerakan harga saham, seperti

interpolasi tidak linier, kemampuan mempelajari pemetaan tidak linier yang

kompleks, dan kemampuan self-adaptation untuk beragam distribusi statistik.

Namun, neural networks mempunyai kekurangan karena ia tidak dapat mencari

hubungan antara variabel input dan output. Pendekatan fuzzy logic juga relevan



798

digunakan dalam berbagai kasus prediksi. Fuzzy logic mempunyai tingkat akurasi

yang tinggi. Namun, perancangan sistemnya tergantung dari proses heuristik,

sehingga tidak selalu memberi hasil terbaik. Pemilihan membership functions pada

sistem fuzzy logic pun masih berdasarkan proses trial and error. Berdasarkan

kelebihan dan kelemahan artificial neural networks dan fuzzy logic, sistem yang

digunakan pada penelitian ini memanfaatkan pendekatan Adaptive Neuro-Fuzzy

Inference System (ANFIS). [1]

Seorang investor tidak dianjurkan untuk berspekulasi saat berinvestasi. Investor

harus melakukan analisis terlebih dahulu sebelum menentukan keputusan. Secara

umum, saham dievaluasi dengan dua metode, yaitu analisis teknikal dan analisis

fundamental. Penelitian ini menggunakan pendekatan ANFIS berdasarkan indikator-

indikator teknikal, antara lain RSI, MACD, SO, dan OBV. Kemudian, informasi dari

indikator-indikator tersebut dikombinasikan untuk membangun sebuah sistem yang

mampu menentukan keputusan dalam investasi saham.

Bagian lain dari paper ini terdiri dari: Bagian 2 mengenai hasil-hasil utama dan

Bagian 3 mengenai kesimpulan.


Secara umum, saham dievaluasi dengan dua metode, yaitu analisis teknikal dan

analisis fundamental. Analisis teknikal adalah suatu metode pengevaluasian dengan

cara menganalisis indikator-indikator teknikal di masa lampau untuk memprediksi

pergerakan harga saham. Sedangkan, analisis fundamental menggunakan data-data

internal dan eksternal emiten untuk menilai saham. [4]

Penelitian ini menggunakan analisis teknikal dengan beberapa indikator

teknikal. Ada tiga dasar pemikiran analisis teknikal, yaitu:

- Pergerakan harga yang terjadi di pasar telah mewakili semua faktor lain.

- Terdapat suatu tren dalam pergerakan harga.

- Sejarah akan terulang.

2.1. Pemilihan Indikator dan Parameter

Terdapat banyak indikator teknikal, tapi tidak semua indikator dipakai di dalam

penelitian ini. Hal ini bertujuan untuk menyederhanakan sistem dengan prinsip tidak

mengurangi kemampuan sistem dalam memprediksi pergerakan harga saham.

Berdasarkan publikasi sebelumnya, peneliti memusatkan perhatian pada RSI,

MACD, OBV dan SO. Indikator-indikator tersebut dapat membantu untuk

mempredisi pergerakan harga saham. [2]

MACD adalah indikator teknikal yang sering digunakan karena mempunyai

karakteristik yang sederhana dan akurat. MACD terdiri dari dua exponential moving

average (EMA) yang berfungsi untuk mendeteksi tren pergerakan harga saham.

Penelitian ini menggunakan EMA-12 dan EMA-26 (periode baku).

𝐸𝑀𝐴(𝑡) = 𝑝(𝑡)

2

𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑 + 1+ 𝐸𝑀𝐴(𝑡 − 1) (1 −

2

𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑 + 1).

(1)

Nilai MACD adalah hasil pengurangan EMA periode yang lebih pendek dengan

EMA periode yang lebih panjang.

Apabila garis EMA periode lebih pendek memotong garis EMA periode lebih

799

panjang dari arah bawah, maka itu merupakan indikasi bahwa pergerakan harga

saham akan cenderung naik. Sebaliknya, apabila garis EMA periode lebih pendek

memotong garis EMA periode lebih panjang dari arah atas, maka itu merupakan

indikasi bahwa pergerakan harga saham akan cenderung turun. Gambar 2.1

menunjukkan grafik indikator EMA-12 dan EMA-26 dari PT Agung Podomoro

Land, Tbk.

Gambar 2.1: EMA-12 dan EMA-26 APLN.JK (Yahoo! Finance)

Selain nilai MACD, terdapat juga nilai signals. Pada penelitian ini, nilai signals

merupakan EMA-9 dari MACD. Lebih lanjut, perbandingan nilai signals dengan

nilai MACD dapat memberi sinyal jual atau beli. [2]

(i) Jika nilai MACD berada di atas nilai signals, maka BUY.

(ii) Jika nilai MACD berada di bawah nilai signals, maka SELL.

RSI (Relative Strength Index) merupakan indikator teknikal lain yang sering

dipakai. Nilai indikator RSI berkisar antara 0 sampai 100. Apabila RSI bernilai lebih

dari 70, maka sekuritas dikatakan overbought. Apabila RSI bernilai kurang dari 30,

maka sekuritas dikatakan oversold. RSI dapat digunakan untuk menyelidiki apakah

arah pergerakan harga saham mengikuti suatu tren atau tidak. Gambar 2.2

menunjukkan grafik indikator RSI-14 dari PT Agung Podomoro Land, Tbk.

𝑅𝑆𝐼 = 100 −

100

1 + 𝑅𝑆.

(2)

Catatan: RS adalah rasio antara rata-rata kenaikan pergerakan harga saham

selama 14 hari dan rata-rata penurunan pergerakan harga saham selama 14 hari.

Gambar 2.2: RSI APLN.JK (Yahoo! Finance)

SO (Stochastic Oscillator) merupakan indikator yang dapat mengukur tingkat

kejenuhan pasar (oversold atau overbought). Nilai SO berkisar antara 0 sampai 100.

Apabila SO bernilai lebih dari 80, maka sekuritas dikatakan overbought. Sebaliknya,

800

apabila SO bernilai kurang dari 20, maka sekuritas dikatakan oversold. Sekilas, SO

mirip dengan RSI. Namun, SO dapat memberi sinyal jual atau beli. Indikator SO

terdiri dari 2 parameter, yaitu %K dan %D. Kedua parameter ini mempunyai nilai

dan diplot bersamaan. Gambar 2.3 menunjukkan grafik indikator stochastic

oscillator dari PT Agung Podomoro Land, Tbk.

Gambar 2.3: SO APLN.JK (Yahoo! Finance)

%𝐾 = 100 ×

𝑃𝑟𝑖𝑐𝑒(𝑡) − 𝐿𝑜𝑤𝑒𝑠𝑡 𝑃𝑟𝑖𝑐𝑒(𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑)

𝐻𝑖𝑔ℎ𝑒𝑠𝑡 𝑃𝑟𝑖𝑐𝑒(𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑) − 𝐿𝑜𝑤𝑒𝑠𝑡 𝑃𝑟𝑖𝑐𝑒(𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑) (3)

%𝐷 = 𝐴𝑣𝑒𝑟𝑎𝑔𝑒 %𝐾(𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑) (4)

Sinyal jual atau beli dapat dilihat dari grafik %K dan %D. [2]

(i) Jika garis %K memotong garis %D dari atas, maka sinyal jual.

(ii) Jika garis %K memotong garis %D dari bawah, maka sinyal beli.

Indikator terakhir yang digunakan dalam penelitian ini adalah OBV (On Balance

Volume). OBV merupakan indikator yang menggunakan informasi volume

perdagangan untuk memperkuat keyakinan investor dalam menentukan keputusan.

𝑂𝐵𝑉(𝑡) = {

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒(𝑡 − 1) + 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒(𝑡),𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒(𝑡), 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 (𝑡 − 1) − 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒(𝑡),

Jika 𝑝(𝑡) > 𝑝(𝑡 − 1)

Jika 𝑝(𝑡) = 𝑝(𝑡 − 1)

Jika 𝑝(𝑡) < 𝑝(𝑡 − 1) (5)

Namun, nilai OBV tidak menggambarkan hal yang berarti karena OBV lebih

berfokus pada tren yang terbentuk. Jika upward, maka buy. Sebaliknya, jika

downward, maka sell. [2]

Tabel 2.1 menunjukkan indikator teknikal dan periodenya yang dipakai pada

penelitian ini. Metode perhitungan moving average yang dipakai adalah exponential

(EMA).

Indikator Teknikal Parameter

MACD Long = 26

Short = 12

Signals = 9

RSI

SO

OBV

N = 14

K = 10

D = 3

Moving Average

Method = Exponential

Tabel 2.1: Indikator Teknikal (Periode Baku)

801

2.2. Membangun rules dan membership functions

Pada dasarnya, sistem fuzzy logic terdiri dari aturan-aturan (if-then) yang

dirancang berdasarkan kasus yang diteliti. Sehingga, sistem diharapkan mampu

mendefinisikan keadaan nyata secara akurat. Aturan-aturan diperoleh dari informasi

indikator teknikal yang sudah dibahas pada Bagian 2.A. Berikut ini merupakan

beberapa aturan yang diimplementasikan:

Tabel 2.2: Aturan-aturan pada Fuzzy Logic

No.

IF

MACD RSI SO OBV

THEN

REKOMENDASI

1 LOW LOW LOW LOW SELL

2 LOW MED MED LOW SELL

3 LOW MED HIGH LOW SELL

4 LOW HIGH MED LOW SELL

5 LOW HIGH HIGH LOW SELL

6 HIGH LOW LOW HIGH BUY

7 HIGH LOW MED HIGH BUY

8 HIGH MED MED HIGH BUY

9 HIGH MED LOW LOW HOLD

10 HIGH MED LOW HIGH BUY

11 HIGH MED MED LOW HOLD

12 HIGH HIGH HIGH HIGH BUY

13 LOW MED MED HOLD

14 LOW HIGH HIGH SELL

15 HIGH LOW LOW BUY

16 HIGH MED MED HOLD

17 LOW LOW HIGH BUY

18 MED MED HIGH HOLD

19 HIGH HIGH LOW SELL

20 MED MED LOW HOLD

802

Membership functions adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan setiap

titik di dalam ruang anggota ke dalam derajat keanggotaannya yang nilainya berkisar

antara 0 sampai 1. Membership functions dirancang sedemikian sehingga ia dapat

mengurangi efek minor yang mempengaruhi akurasi.

Gambar 2.4: MATLAB Fuzzy Logic Toolbox

2.3. Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System (ANFIS)

Metode Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System (ANFIS) merupakan metode

yang menggunakan jaringan syaraf tiruan untuk mengimplementasikan fuzzy

inference system.[1] ANFIS dapat mencari hubungan antara variabel input-output,

yang tidak dapat dilakukan oleh neural networks. Sedangkan, fuzzy logic dapat

memodelkan aspek kualitatif pengetahuan dan penalaran manusia. Penggabungan

neural networks dan fuzzy logic dapat mengatasi keterbatasan dalam pemetaan input-

output yang banyak dan tidak linier.

Fuzzy inference system terdiri dari empat blok. Blok pertama, knowledge base,

terdiri dari database dan rule base (Takagi-Sugeno). Database berisi membership

functions, sedangkan rule base berisi aturan if-then. Blok kedua, fuzzification

interface, mengubah crisp input ke fuzzy input. Blok ketiga, inference interface,

mengubah fuzzy input menjadi fuzzy output. Blok keempat, defuzzification interface,

mengubah fuzzy output ke crisp output. Hal ini divisualisasikan ke dalam Gambar

2.5.

Gambar 2.5: Fuzzy Inference System

Arsitektur ANFIS ditunjukkan pada Gambar 2.6. Node lingkaran adalah fixed

parameter, sedangkan node persegi adalah parameter yang akan dipelajari. Pada

Gambar 2.6, arsitektur ANFIS terdiri dari dua input, 𝑥 dan 𝑦, dengan masing-masing

Knowledge

Base

Fuzzification Input

Inference

Defuzzification Output

803

variabel input mempunyai dua membership functions, dan satu output 𝑓, dan dua

aturan if-then.

Gambar 2.6: Arsitektur ANFIS

(https://www.computer.org/csdl/trans/lt/2012/03/tlt2012030226.html)

Rule 1: 𝑖𝑓(𝑥 𝑖𝑠 𝐴1)𝑎𝑛𝑑 (𝑦 𝑖𝑠 𝐵1) 𝑡ℎ𝑒𝑛 (𝑓1 = 𝑝1𝑥 + 𝑞1𝑦 + 𝑟1) Rule 2: 𝑖𝑓(𝑥 𝑖𝑠 𝐴2)𝑎𝑛𝑑 (𝑦 𝑖𝑠 𝐵2) 𝑡ℎ𝑒𝑛 (𝑓2 = 𝑝2𝑥 + 𝑞2𝑦 + 𝑟2)

Dengan, 𝑥 dan 𝑦 sebagai variabel input, 𝐴 dan 𝐵 sebagai fuzzy sets, dan, 𝑝, 𝑞 dan 𝑟

sebagai parameter output.

Layer 1 dan Layer 2 merupakan adaptive layer. Layer 1 berkaitan dengan

membership functions (Gaussmf). Sedangkan, pada Layer 2 terjadi proses perkalian

antar derajat keanggotaan. Parameter input (𝐴 dan 𝐵) pada Layer 1 disebut parameter

premis dan parameter output (𝑝, 𝑞 dan 𝑟) pada Layer 4 disebut parameter konsekuen.

Node berlabel N menunjukkan adanya normalisasi. Output yang dihasilkan oleh

Layer 4 adalah perkalian hasil normalisasi dengan polinomial. Pada Layer 5 terdapat

node berlabel ∑ yang menghitung keseluruhan output.

Proses pelatihan pada arsitektur ANFIS bertujuan untuk menyesuaikan semua

parameter. Algoritma pembelajaran pada ANFIS menggunakan metode least-square

dan back propagation.

2.4. Hasil Eksperimen

Eksperimen menggunakan data dari emiten di Indonesia yang diperoleh dari

situs Yahoo! Finance. Situs tersebut menyediakan grafik untuk beberapa indikator

teknikal dan data riwayat saham setiap hari mengenai harga pembukaan, harga

penutupan, harga tertinggi, harga terendah, dan volume. Proses pelatihan sistem

menggunakan data harian dari 11 November 2010 sampai dengan 31 Desember

2015. Sedangkan, proses pengujian sistem menggunakan data harian dari 1 Januari

2016 sampai dengan 31 Desember 2016.

Untuk menguji sistem ANFIS, peneliti cukup memasukkan nilai setiap variabel

input dari data testing pada fuzzy inference system yang sudah dihasilkan oleh

ANFIS, kemudian sistem akan menghasilkan nilai output dan rekomendasi

keputusan. Lalu, peneliti akan menguji tingkat akurasinya dengan cara

membandingkan harga penutupan hari ke-𝑡 dengan harga penutupan hari ke−(𝑡 +𝑝). Periode pembandingan disesuaikan dengan trading period masing-masing

investor. Pada penelitian ini, peneliti membandingkan harga penutupan hari ke−𝑡 dengan harga penutupan hari ke−(𝑡 + 7). Apabila harga penutupan hari ke-𝑡 jauh

lebih tinggi dibandingkan harga penutupan hari ke-(𝑡 + 7), maka sell. Apabila harga

penutupan hari ke-𝑡 jauh lebih rendah dibandingkan harga penutupan hari ke-(𝑡 +7), maka buy. Sedangkan, apabila harga penutupan hari ke-𝑡 tidak jauh berbeda atau

804

sama dibandingkan harga penutupan hari ke-(𝑡 + 7), maka sistem hold. Selanjutnya,

bandingkan rekomendasi keputusan oleh sistem dengan rekomendasi keputusan

yang seharusnya.

Emiten Periode Jumlah Data Akurasi Sistem

BUMI 1-1-2016 s/d 30-12-2016 244 70.90%

3. Kesimpulan

Penelitian ini mengimplementasikan pendekatan ANFIS berdasarkan indikator

teknikal pada pengambilan keputusan dalam investasi saham. Dari hasil eksperimen,

ANFIS telah terbukti sesuai untuk digunakan dalam kasus prediksi yang melibatkan

pemetaan tidak linier dan kompleks. Tentunya, tingkat akurasi sistem sangat

bergantung dari karakteristik data training. Semakin volatil pergerakan harga saham

dari suatu emiten, semakin sulit pula pergerakan sahamnya untuk diprediksi. Hal ini

tercermin dari tingkat akurasi sistem untuk emiten PT Bumi Resources Tbk. (periode

11 November 2010 – 31 Desember 2016) belum mendekati 100%.

Ada beberapa hal yang dapat ditambahkan atau dimodifikasi untuk

mengembangkan sistem. Penelitian bisa dilakukan dengan jenis membership

functions lain dan indikator teknikal lain dengan parameter lain. Pengembangan

sistem yang terintegrasi langsung dengan sumber data di internet secara real-time

online dan kemampuan penentuan bobot atau persentase uang yang digunakan pada

transaksi merupakan fitur-fitur yang dapat ditambahkan ke dalam pengaturan sistem

dalam penelitian berikutnya.

Referensi

[1] S. Agrawal, M. Jindal, and G. N Pillai, “Momentum Analysis based Stock Market

Prediction using Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System (ANFIS),” Int.

multiconference Eng. Comput. Sci., vol I, pp. 526-531, 2010.

[2] Bala, V. Devsaer, “Analysing and Handling Anomalies in Stock Market using Fuzzy

System,” Int. journal Comput. Sci. Eng., vol 6, issue 4, pp 538-542, 2016.

[3] J. -S. R. Jang, C. –T. Sun, E. Mizutani. Neuro-Fuzzy and Soft-Computing: A

Computational Approach to Learning and Machine Intelligence. Eanglewood

Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1997.

[4] Ong, Edianto. Technical Analysis for Mega Profit. Jakarta: PT Gramedia Pustaka

Utama, 2016.

805


PEMILIHAN PERSONAL COMPUTER (PC) TERBAIK

BERBASIS ANDROID MENGGUNAKAN METODE

FUZZY ANALYTICAL HIERARCHY PROCESS (FAHP)

AKIK HIDAYAT1, EBBY SYABILAL R2, RUDI ROSYADI3,

ERICK PAULUS4

1)Prodi Teknik Informatika, Fakultas MIPA, Universitas Pdjadjaran Jl. Raya Bandung Sumedang KM 21

Jatinangor Sumedang 45363, [email protected] 2)Prodi Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Pdjadjaran Jl. Raya Bandung Sumedang KM 21

Jatinangor Sumedang 45363, [email protected] 3) Prodi Teknik Informatika, Fakultas MIPA, Universitas Pdjadjaran Jl. Raya Bandung Sumedang KM

21 Jatinangor Sumedang 45363, [email protected] 4)Prodi Teknik Informatika, Fakultas MIPA, Universitas Pdjadjaran, Jl. Raya Bandung Sumedang KM 21

Jatinangor Sumedang 45363, [email protected]

Abstrak: Dewasa ini banyak merk Personal Computer (PC) dengan beragam spesifikasi dan harga

yang dijual dipasaran membuat konsumen menjadi kesulitan dalam menentukan pilihan yang sesuai

dengan keinginan dan anggaran yang mereka miliki. Sejalan dengan itu, perkembangan penggunaan

komputer juga meningkat, salah satunya adalah penggunaan komputer dalam memberikan keputusan

terbaik pada suatu masalah, dalam hal ini adalah masalah pemilihan Personal Computer (PC). Oleh

karena itu, maka dalam hal ini telah dikembangkan perancangan sebuah system pendukung keputusan

pemilihan Personal Computer (PC) dengan menggunakan metode Fuzzy Analytical Hierarchy Process

(FAHP), dengan tujuan konsumen dapat menentukan pilihan Personal Computer (PC dengan tepat

sesuai dengan keinginan dan anggaran yang dimilikinya sedangkan hasil akhir akan direkomendasikan

10 daftar merek Personal Computer (PC) terbaik yang sesuai dengan kriteria yang diinputkan.

Kata kunci: Fuzzy Analytical Hierarchy Process, pemilihan Personal Computer (PC),

sistem pendukung keputusan,

1. Pendahuluan

Seiring pesatnya perkembangan teknologi, handphone yang dulu digunakan

hanya untuk SMS (Short Message Service) dan telepon, kini handphone hadir

dengan fitur-fitur tambahan yang membuatnya kini dikenal dengan sebutan

smartphone. Fitur tambahan tersebut sangat mendukung segala aktifitas

penggunanya seperti camera, games, internet browser, email, GPS (Global

Positioning System), dan masih banyak lagi fitur lainnya. Android yang kini sangat

dikenal dalam lingkup smartphone merupakan suatu Operating System (OS) yang

berbasis Linux yang menjadi platform-nya. Android dengan sifatnya yang open

source membuat pengembang leluasa untuk menciptakan aplikasi mereka yang

berbasis Android, salah satunya aplikasi pemilihan Personal Computer (PC).

Untuk mempertimbangkan beberapa faktor yang berkaitan dengan

pemilihan Personal Computer (PC) tersebut, dibutuhkan suatu sistem pendukung

keputusan yang dapat mempercepat dan mempermudah pengguna. Fuzzy Analytical

806

Hierarchy Process (FAHP) adalah suatu sistem pendukung keputusan yang

merupakan gabungan antara metode AHP dengan pendekatan konsep fuzzy.

Sedangkan Tujuan adalah untuk menerapkan metode FAHP dalam pemilihan

Personal Computer (PC), Membangun aplikasi pemilihan Personal Computer (PC)

menggunakan metode FAHP sehingga Mempermudah pembeli untuk memilih

Personal Computer (PC) sesuai kriteria yang diinginkan.


Metode yang digunakan dalam penelitian yaitu melakukan studi literatur

dan Merancang program menggunakan Java Android.


3.1 Fuzzy Analytical Hierarchy Process (FAHP)

Metode FAHP memecahkan masalah pemilihan yang menggunakan konsep

teori himpunan fuzzy dan analisis struktur hirarkis. Pada dasarnya, metode FAHP

merupakan perluasan dari metode AHP biasa yang menggunakan perhitungan

bilangan real, menjadi metode FAHP yang melakukan perhitungan menggunakan

bilangan fuzzy.

Karena pada dasarnya AHP tidak mengikutsertakan ketidakjelasan

pertimbangan personal, maka AHP telah diperbaiki dengan memanfaatkan

pendekatan logika fuzzy. Pada FAHP, alternatif kriteria dari perbandingan

berpasangan ditunjukan dengan variabel linguistik.

Fuzzy Analytical Hierarchy Process (FAHP) memasukkan nilai fuzzy pada

Analytic Hierarchy Process (AHP) yang telah dikembangkan oleh Thomas L. Saaty.

Dalam pendekatan FAHP digunakan Triangular Fuzzy Number (TFN)

untuk proses fuzzyfikasi dari matriks perbandingan yang bersifat crisp. Data yang

kabur akan dipresentasikan dalam TFN. Setiap fungsi keanggotaan didefinisikan

dalam 3 parameter yakni, l, m, dan u, dimana l adalah nilai kemungkinan terendah,

m adalah nilai kemungkinan tengah dan u adalah nilai kemungkinan teratas pada

interval putusan pengambil keputusan. Nilai l, m, dan u dapat juga ditentukan oleh

pengambil keputusan itu sendiri. Tulisan ini mengajukan tiga parameter bilangan

fuzzy untuk merepresentasikan skala Saaty (1-9) sesuai dengan tingkat

kepentingannya, yakni (Alias, Hashim, & Samsudin, 2009):

(3.1)

Triangular Fuzzy Number (TFN) dapat menunjukkan kesubjektifan

perbandingan berpasangan atau dapat menunjukkan derajat yang pasti dari

kekaburan (ketidakpastian). Dalam hal ini variabel linguistik dapat digunakan oleh

pengambil keputusan untuk merepresentasikan kekaburan data seandainya ada

ketidaknyamanan dengan TFN. TFN dan variabel linguistiknya sesuai dengan skala

Saaty ditunjukkan pada tabel berikut (Alias, Hashim, & Samsudin, 2009):

807

Tabel 3.1 Tabel Fungsi Keanggotaan Fuzzy Definisi Skala Saaty TFN

Equally Important (sama penting) 1 (1,1,1)

Moderately more important (sedikit lebih

penitng) 3 (2,3,4)

Strongly More Important (lebih penting) 5 (4,5,6)

Very strongly more important (sangat

penting)

7 (6,7,8)

Extremely more important (mutlak lebih

penting) 9 (9,9,9)

Intermediate Values (nilai yang

berdekatan) 2,4,6,8 (1,2,3),(3,4,5),(5,6,7), dan (7,8,9)

Untuk melakukan prioritas lokal dari matriks fuzzy pairwise comparison

sudah banyak metode yang dikembangkan oleh para ahli sebelumnya. Dengan

mengkombinasikan prosedur AHP dengan operasi aritmetik untuk bilangan fuzzy,

prioritas lokal dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan berikut

(Febryansyah, 2006):

𝑆𝑖 = ∑ 𝑀𝑔𝑖𝑗⊗𝑚

𝑗=𝑖 [∑ ∑ 𝑀𝑔𝑖𝑗𝑚

𝑗=1𝑛𝑖=1 ]

−1

(3.2)

dimana 𝑆𝑖 = fuzzy synthetic extent

gi = goal set (i = 1, 2, 3, …, n)

𝑀𝑔𝑖𝑗 = Triangular Fuzzy Number (j = 1, 2, 3, ... , m)

∑ 𝑀𝑔𝑖𝑗= (∑ 𝑙𝑗

𝑚𝑗=1 ; ∑ 𝑚𝑗

𝑚𝑗=1 ; ∑ 𝑢𝑗

𝑚𝑗=1 )𝑚

𝑗=𝑖

(3.3)

Dan

[∑ ∑ 𝑀𝑔𝑖𝑗𝑚

𝑗=1𝑛𝑖=1 ]

−1= (∑ 𝑙𝑗

𝑚𝑗=1 ; ∑ 𝑚𝑗

𝑚𝑗=1 ; ∑ 𝑢𝑗

𝑚𝑗=1 )

−1

(3.4)

karena l < m < u, sehingga persamaan (3.4) menjadi:


𝑗=1𝑛𝑖=1 ]

−1=

(1

∑ 𝑢𝑖𝑛𝑖=1

;1

∑ 𝑚𝑖𝑛𝑖=1

;1

∑ 𝑙𝑖𝑛𝑖=1

) (3.5)

sehingga persamaan (3.2) menjadi:

𝑆𝑖 = (∑ 𝑙𝑗𝑚𝑗=1 ; ∑ 𝑚𝑗

𝑚𝑗=1 ; ∑ 𝑢𝑗

𝑚𝑗=1 )⊗ (

1


;1


;1


)

(3.6)

dengan: l = nilai batas bawah (kemungkinan terendah)

m = nilai yang paling menjanjikan (kemungkinan tengah)

u = nilai batas atas (kemungkinan teratas)

Untuk menentukan nilai perbandingan berpasangan dari 𝑆𝑖 digunakan rumus:

𝑉(𝑆𝑖 ≥ 𝑆𝑘) =

{

1; 𝑚𝑆𝑖 ≥ 𝑚𝑆𝑘

0; 𝑙𝑆𝑘 ≥ 𝑢𝑆𝑖(𝑙𝑆𝑘−𝑢𝑆𝑖)

((𝑚𝑆𝑖−𝑢𝑆𝑖)−(𝑚𝑆𝑘

−𝑙𝑆𝑘)); 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

(3.7)

dimana: 𝑉(𝑆𝑖 ≥ 𝑆𝑘) = nilai perbandingan antara fuzzy synthetic extent

𝑆𝑖 = nilai fuzzy synthetic extent kriteria i

𝑆𝑘 = nilai fuzzy synthetic extent kriteria k

808

𝑑′𝑖 = 𝑚𝑖𝑛(𝑉(𝑆𝑖 ≥ 𝑆𝑘)) ; untuk 𝑘 = 1,2,3,… , 𝑛; 𝑘 ≠ 𝑖

(3.8)

𝑊′ = (𝑑′𝑖, 𝑑′𝑖+1, 𝑑′𝑖+2, … , 𝑑′𝑖+𝑛−1)𝑇;

(3.9)

𝑑𝑖 =𝑑′𝑖

∑ 𝑑′𝑖𝑛𝑖=1

(3.10)

𝑊 =(𝑑𝑖 , 𝑑𝑖+1, 𝑑𝑖+2, … , 𝑑𝑖+𝑛−1)

𝑇 (3.11)

dimana : 𝑑′𝑖 = bobot kriteria i

𝑊′ = vektor bobot kriteria

𝑑𝑖 = normalisasi bobot

𝑊 = normalisasi vektor bobot kriteria

𝑛 = jumlah kriteria

Operasi aritmetik untuk bilangan fuzzy dapat dilihat dari persamaan berikut:

1. ��1⊕ ��2 = (��1𝑙 + ��2𝑙; ��1𝑚 + ��2𝑚; ��1𝑢 + ��2𝑢) 2. ��1⊗��2 = (��1𝑙 × ��2𝑙; ��1𝑚 × ��2𝑚; ��1𝑢 × ��2𝑢)

3. 1 ��1⁄ =

(1 ��1𝑢⁄ ; 1 ��1𝑚

⁄ ; 1 ��1𝑙⁄ )

(3.12)

Sedangkan prioritas global diperoleh dengan mengalikan normalisasi skala

setiap kriteria wj dengan normalisasi bobot 𝑑(𝐴𝑖) dan menjumlahkan semua hasil

perkalian dari setiap kriteria. Persamaan dapat dituliskan sebagai berikut:

��𝑖 = (��1⊗𝑑(𝐴1)) ⊕ (��2⊗𝑑(𝐴2)) ⊕⋯⊕ (��𝑗⊗𝑑(𝐴𝑖)) (3.13)

3.2 Contoh Kasus dan Perhitungan

Pada contoh kasus ini akan diinputkan skala prioritas pada setiap kriteria

yang ada sebagai berikut: jumlah inti 2, kecepatan processor 6, RAM 3, lebar layar

7, kapasitas SSD 1, kapasitas HDD 4, harga 9.

Tabel 3.2 Input Kriteria oleh User

INPUT

Jumlah Inti C1 2

Kecepatan Processor C2 6

RAM C3 3

Lebar Layar C4 7

Kapasitas SSD C5 1

Kapasitas HDD C6 4

Harga C7 9

809

Setelah ditentukan skala prioritas, kemudian akan dilakukan perhitungan

sebagai berikut:

1. Menghitung matriks perbandingan berpasangan

Tabel 3.3 Rumus Umum Matriks Perbandingan Berpasangan Matriks Perbandingan Berpasangan

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7

C1 C1/C1 C1/C2 C1/C3 C1/C4 C1/C5 C1/C6 C1/C7







Tabel 3.4 Hasil Perhitungan Matriks Perbandingan Berpasangan Matriks Perbandingan Berpasangan

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7

C1 1.0000 0.3333 0.6667 0.2857 2.0000 0.5000 0.2222

C2 3.0000 1.0000 2.0000 0.8571 6.0000 1.5000 0.6667

C3 1.5000 0.5000 1.0000 0.4286 3.0000 0.7500 0.3333

C4 3.5000 1.1667 2.3333 1.0000 7.0000 1.7500 0.7778

C5 0.5000 0.1667 0.3333 0.1429 1.0000 0.2500 0.1111

C6 2.0000 0.6667 1.3333 0.5714 4.0000 1.0000 0.4444

C7 4.5000 1.5000 3.0000 1.2857 9.0000 2.2500 1.0000

810

2. Menghitung TFN dari matriks perbandingan berpasangan

Tabel 3.5 Rumus Umum TFN Matriks Perbandingan Berpasanga

C1 C2 C3 C4

l m u l m u l M u l m u

C1 mC1-

1 C1/C1 mC1+1 mC2-1 C1/C2 mC2+1 mC3-1 C1/C3 mC3+1 mC4-1 C1/C4 mC4+1

C2 mC1-


C3 mC1-


C4 mC1-


C5 mC1-


C6 mC1-


C7 mC1-


C5 C6 C7

l M u l m u l m u

C1 mC5-

1 C1/C5 mC5+1 mC6-1 C1/C6 mC6+1 mC7-1 C1/C7 mC7+1

C2 mC5-


C3 mC5-


C4 mC5-


C5 mC5-


C6 mC5-


C7 mC5-


Jika m = 1, maka l = 1 dan u = 1; jika m = 9, maka l = 9 dan u = 9; jika l ≤ 0,

maka l = m; jika u ≥ 0, maka u = m.

Tabel 3.6 Hasil Perhitungan TFN Matriks Perbandingan Berpasangan

C1 C2 C3 C4

l m u l m u l M u l M u

C1 1.0000 1.0000 1.0000 0.3333 0.3333 1.3333 0.6667 0.6667 1.6667 0.2857 0.2857 1.2857

C2 2.0000 3.0000 4.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 2.0000 3.0000 0.8571 0.8571 1.8571

C3 0.5000 1.5000 2.5000 0.5000 0.5000 1.5000 1.0000 1.0000 1.0000 0.4286 0.4286 1.4286

C4 2.5000 3.5000 4.5000 0.1667 1.1667 2.1667 1.3333 2.3333 3.3333 1.0000 1.0000 1.0000

C5 0.5000 0.5000 1.5000 0.1667 0.1667 1.1667 0.3333 0.3333 1.3333 0.1429 0.1429 1.1429

C6 1.0000 2.0000 3.0000 0.6667 0.6667 1.6667 0.3333 1.3333 2.3333 0.5714 0.5714 1.5714

C7 3.5000 4.5000 5.5000 0.5000 1.5000 2.5000 2.0000 3.0000 4.0000 0.2857 1.2857 2.2857

C5 C6 C7

l M u l m u l m u

811

C1 1.0000 2.0000 3.0000 0.5000 0.5000 1.5000 0.2222 0.2222 1.2222

C2 5.0000 6.0000 7.0000 0.5000 1.5000 2.5000 0.6667 0.6667 1.6667

C3 2.0000 3.0000 4.0000 0.7500 0.7500 1.7500 0.3333 0.3333 1.3333

C4 6.0000 7.0000 8.0000 0.7500 1.7500 2.7500 0.7778 0.7778 1.7778

C5 1.0000 1.0000 1.0000 0.2500 0.2500 1.2500 0.1111 0.1111 1.1111

C6 3.0000 4.0000 5.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.4444 0.4444 1.4444

C7 9.0000 9.0000 9.0000 1.2500 2.2500 3.2500 1.0000 1.0000 1.0000

3. Menghitung jumlah baris ∑ 𝑀𝑔𝑖𝑗= (∑ 𝑙𝑗

𝑚𝑗=1 ; ∑ 𝑚𝑗

𝑚𝑗=1 ; ∑ 𝑢𝑗

𝑚𝑗=1 )𝑚

𝑗=𝑖

Tabel 3.7 Rumus Umum Perhitungan Jumlah Baris Jumlah Baris

l m U

C1T lC1+..+lC7 mC1+..+mC7 uC1+..+uC7

C2T lC1+..+lC7 mC1+..+mC7 uC1+..+uC7

C3T lC1+..+lC7 mC1+..+mC7 uC1+..+uC7

C4T lC1+..+lC7 mC1+..+mC7 uC1+..+uC7

C5T lC1+..+lC7 mC1+..+mC7 uC1+..+uC7

C6T lC1+..+lC7 mC1+..+mC7 uC1+..+uC7

C7T lC1+..+lC7 mC1+..+mC7 uC1+..+uC7

Tabel 3.8 Hasil Perhitungan Jumlah Baris Jumlah Baris (Sigma TFN)

l m U

C1T 4.0079 5.0079 11.0079

C2T 11.0238 15.0238 21.0238

C3T 5.5119 7.5119 13.5119

C4T 12.5278 17.5278 23.5278

C5T 2.5040 2.5040 8.5040

C6T 7.0159 10.0159 16.0159

C7T 17.5357 22.5357 27.5357

4. Menghitung jumlah kolom


𝑗=1𝑛𝑖=1 ] = (∑ 𝑙𝑗

𝑚𝑗=1 ; ∑ 𝑚𝑗

𝑚𝑗=1 ; ∑ 𝑢𝑗

𝑚𝑗=1 )

812

Tabel 3.12 Rumus Umum Perhitungan Jumlah Kolom

Tabel 3.9 Hasil Perhitungan Jumlah Kolom

Jumlah Kolom

l m U

JK 60.1270 80.1270 121.1270

5. Menghitung invers jumlah kolom


𝑗=1𝑛𝑖=1 ]

−1= (

1


;1


;1


)

Tabel 3.10 Rumus Umum Perhitungan Invers Jumlah Kolom

Invers Jumlah Kolom

l m u

iJK 1/uJK 1/mJK 1/lJK

Tabel 3.11 Hasil Perhitungan Invers Jumlah Kolom

Invers Jumlah Kolom

l m u

iJK 0.0083 0.0125 0.0166

6. Menghitung nilai Fuzzy Synthetic Extent

𝑆𝑖 = ∑ 𝑀𝑔𝑖𝑗⊗𝑚

𝑗=𝑖 [∑ ∑ 𝑀𝑔𝑖𝑗𝑚

𝑗=1𝑛𝑖=1 ]

−1

Tabel 3.12 Rumus Umum Perhitungan Fuzzy Synthetic Extent Fuzzy Synthetic Extent

l m u

S1 lC1T x liJK mC1T x miJK uC1T x uiJK






813


Tabel 3.17 Hasil Perhitungan Fuzzy Synthetic Extent

Fuzzy Synthetic Extent

l m u

S1 0.0331 0.0625 0.1831

S2 0.0910 0.1875 0.3497

S3 0.0455 0.0938 0.2247

S4 0.1034 0.2188 0.3913

S5 0.0207 0.0313 0.1414

S6 0.0579 0.1250 0.2664

S7 0.1448 0.2813 0.4580

7. Menghitung perbandingan Fuzzy Synthetic Extent

𝑉(𝑆𝑖 ≥ 𝑆𝑘) =

{

1; 𝑚𝑆𝑖 ≥ 𝑚𝑆𝑘

0; 𝑙𝑆𝑘 ≥ 𝑢𝑆𝑖(𝑙𝑆𝑘 − 𝑢𝑆𝑖)

((𝑚𝑆𝑖 − 𝑢𝑆𝑖) − (𝑚𝑆𝑘 − 𝑙𝑆𝑘)); 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

Tabel 3.13 Hasil Perhitungan Fuzzy Synthetic Extent Perbandingan Fuzzy Synthetic Extent

S1>= S2>= S3>= S4>= S5>= S6>= S7>=

S1 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.7761 1.0000 1.0000

S2 0.4241 1.0000 0.5878 1.0000 0.2440 0.7372 1.0000

S3 0.8149 1.0000 1.0000 1.0000 0.6055 1.0000 1.0000

S4 0.3376 0.8874 0.4925 1.0000 0.1685 0.6348 1.0000

S5 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

S6 0.6669 1.0000 0.8422 1.0000 0.4711 1.0000 1.0000

S7 0.1490 0.6861 0.2989 0.7978 0.0000 0.4376 1.0000

8. Menghitung nilai bobot 𝑑′𝑖 = 𝑚𝑖𝑛(𝑉(𝑆𝑖 ≥ 𝑆𝑘))

Tabel 3.14 Rumus Umum Perhitungan Nilai Bobot

Nilai Bobot

Bobot S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 Total

(Td'(An))

d'(An)

814

min

(S1>=

(S1,..,S7))

min

(S2>=

(S1,..,S7))

min

(S3>=

(S1,..,S7))

min

(S4>=

(S1,..,S7))

min

(S5>=

(S1,..,S7))

min

(S6>=

(S1,..,S7))

min

(S7>=

(S1,..,S7))

d'(A1)

+..+

d'(A7)

Tabel 3.15 Hasil Perhitungan Nilai Bobot Nilai Bobot

Bobot S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 Total

d'(An) 0.1490 0.6861 0.2989 0.7978 0.0000 0.4376 1.0000 3.3694

9. Normalisasi nilai bobot (𝑑𝑖 =𝑑′𝑖

∑ 𝑑′𝑖𝑛𝑖=1

)

Tabel 3.16 Rumus Umum Normalisasi Bobot

Normalisasi Nilai Bobot

Bobot S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7

d(An) d'(A1)

/Td'(An)

d'(A2)

/Td'(An)

d'(A3

)/Td'(An)

d'(A4)

/Td'(An)

d'(A5)

/Td'(An)

d'(A6)

/Td'(an)

d'(A7)

/Td'(an)

Tabel 3.17 Hasil Normalisasi Bobot Normalisasi Nilai Bobot

Bobot S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7

d(An) 0.0442 0.2036 0.0887 0.2368 0.0000 0.1299 0.2968

10. Menghitung bobot global

��𝑖 = (��1⊗𝑑(𝐴1) ⊕ (��2⊗𝑑(𝐴2)) ⊕⋯⊕ (��𝑗⊗𝑑(𝐴𝑖))

dimana ��𝑖 adalah bobot global dari Personal Computer (PC) ke i

��1 adalah normalisasi skala dari kriteria 1

��2 adalah normalisasi skala dari kriteria 2

��𝑗 adalah normalisasi skala dari kriteria j

Maka rumus umum untuk menghitung bobot global dari kasus diatas

adalah:

��1 = (��1⊗𝑑(𝐴1)⊕ (��2⊗𝑑(𝐴2)) ⊕⋯⊕ (��7⊗𝑑(𝐴7)) ��1 = (��1⊗0.0442)⊕ (��2⊗0.2036)⊕ (��3⊗0.0887)

⊕ (��4⊗0.2368)⊕ (��5⊗0)⊕ (��6⊗0.1299)⊕ (��7⊗0.296))

dan dihitung hingga semua Personal Computer (PC) mendapatkan nilai

prioritas globa

3. Kesimpulan dan Saran

Dari hasil analisi terhadap masalah dan aplikasi yang telah dikembangkan,

maka dapat disimpulkan yaitu Proses penggunaan aplikasi dilakukan oleh user. User

melakukan input memilih skala prioritas dari setiap kriteria. Aplikasi akan

melakukan perhitungan, kemudian output yang dihasilkan adalah 10 rekomendasi

815

Personal Computer (PC) dengan nilai bobot tertinggi. Adapun sarannya adalah

Menambah kriteria lain seperti VGA, tipe RAM, berat Personal Computer (PC),

ketebalan Personal Computer (PC), dan fitur-fitur tambahan lainnya agar kriteria

yang diperhitungkan lebih lengkap sebagai pertimbangan bagi user.

Referensi

[1]. Alias, M. A., Hashim, S. Z., & Samsudin, S. (2009). Using fuzzy analytic Hierarchy

process for southern johor river ranking. Int. J. Advance. Soft Comput. Appl. Vol. 1. No.

1, 62-76.

[2]. Anton, H. (2000). Elementary Linear Algebra. NJ: John Wiley and Sons.

[3]. Febryansyah, A. (2006). Mengukur kesuksesan produk pada tahap desain: sebuah

pendekatan fuzzy-mcdm. Jurnal Teknik Industri Volume 8 Nomor 2, 122-130.

[4]. Kusumadewi, S., & Hartati, S. (2010). NEURO-FUZZY Integrasi Sistem FUzzy &

Jaringan Syaraf (2nd ed.). Yogyakarta: Graha Ilmu.

[5]. Safaat, N. (2011). Pemrograman Aplikasi Mobile Smartphone dan Tablet PC

Berbasis Android. Bandung: Penerbit Informatika.

816


PENCARIAN IMPROBABLE DIFFERENTIAL 9 DAN 10

ROUND PRESENT

AFIFAH1, SARI AGUSTINI H.2



Abstrak. Pencarian improbable differential adalah langkah awal dalam

melakukan improbable differential attack. Pada tahun 2014, Tezcan, telah

melakukan pencarian improbable differential dengan memanfaatkan

undisturbed bit pada PRESENT sebanyak 9 round [2] dan 10 round [5] dengan

probabilitas yang diperoleh adalah 𝑝′ ≈ 2−9.29 untuk 9 round dan 𝑝′ ≈ 2−19.29

untuk 10 round. Untuk mengetahui ada atau tidak improbable differential 9 dan

10 round lain maka dilakukan penelitian untuk mencari improbable differential

9 dan 10 round lainnya dengan menggunakan undisturbed bit seperti yang

dilakukan Tezcan. Berdasarkan pencarian improbable differential 9 round

PRESENT dengan menggunakan input difference 1, 8, dan 9 yang diawali satu

dan dua S-box aktif pada round pertama diperoleh improbable differential 9 round

dengan probabilitas lebih besar dari 2−9.24511242 sebanyak 3 karakteristik

sedangkan yang memiliki probabilitas lebih kecil dari 2−9.24511242 sebanyak 124

karakteristik. Pada pencarian improbable differential 10 round diperoleh satu

karakteristik yang memiliki probabilitas sama dengan 2−19.24511337, sebanyak 56

karakteristik memiliki probabilitas lebih besar dari 2−19.24511337, dan sebanyak

971 karakteristik mempunyai probabilitas lebih kecil dari 2−19.24511337.

Kata kunci: Improbable differential, PRESENT, differential characteristic, impossible

differential, undisturbed bit.

1. Pendahuluan

PRESENT merupakan salah satu algoritma block cipher ultra lightweight

yang didesain untuk memenuhi efisiensi implementasi dan keamanan [1]. Algoritma

PRESENT mempunyai struktur SPN (Substitution Permutation Network) sehingga

salah satu kekuatan PRESENT terletak pada komponen substitution box (S-box). S-

box mempunyai nilai difference yang didapatkan dari DDT (Differential

Distribution Table). Nilai difference tersebut dapat dimanfaatkan pada penerapan

improbable differential attack untuk mengetahui kekuatan algoritma PRESENT.

Improbable differential attack merupakan serangan yang menghubungkan celah

antara differential dan impossible differential attack [2].

Suatu S-box yang memiliki nilai difference dengan persebaran yang merata

mempunyai ketahanan yang lebih baik terhadap differential cryptanalysis [3].

Persebaran nilai difference dari S-box PRESENT cukup seragam sehingga

mempersulit usaha dalam melakukan attack karena titik awal untuk menemukan

differential characteristic mempunyai banyak kemungkinan serta probabilitas yang

didapatkan relatif kecil. Meskipun demikian, S-box PRESENT masih mempunyai

817

kelemahan, salah satunya adalah terdapat undisturbed bit pada S-box PRESENT

yang dapat dimanfaatkan untuk mempermudah konstruksi improbable differential.

Suatu S-box dikatakan mempunyai undisturbed bit jika diberikan suatu nilai

input difference tertentu, maka peluang dihasilkan nilai Least Significant Bit (LSB)

pada output difference dari S-box adalah satu dan sebaliknya [2]. Berdasarkan

kelemahan tersebut, maka dapat dilakukan pencarian differential characteristic

maupun impossible differential dengan memanfaatkan undisturbed bit pada

algoritma PRESENT yang dapat dikombinasikan secara tepat untuk memperoleh

improbable differential.

Tezcan telah melakukan pencarian improbable differential dengan

memanfaatkan undisturbed bit pada PRESENT sebanyak 9 round [2] dan 10 round

[5] dengan probabilitas yang diperoleh adalah 𝑝′ ≈ 2−9.29 untuk 9 round dan 𝑝′ ≈2−19.29 untuk 10 round. Untuk mengetahui ada atau tidak improbable differential 9

dan 10 round lain maka dilakukan penelitian untuk mencari improbable differential

9 dan 10 round lainnya dengan menggunakan undisturbed bit.

Pencarian improbable differential 9 round lain dilakukan dengan

memanfaatkan semua kemungkinan differential characteristic 3 round selain yang

digunakan oleh Tezcan [2] namun impossible differential 6 round yang digunakan

sama untuk semua improbable differential 9 round. Semua kemungkinan differential

characteristic 3 round yang digunakan untuk membentuk satu improbable

differential memiliki differential characteristic 1 round yang sama. Jadi banyaknya

kemungkinan improbable differential 9 round lain yang dapat dibentuk sama dengan

banyaknya kemungkinan differential characteristic 1 round, sedangkan banyaknya

differential characteristic 3 round untuk setiap improbable differential tergantung

dari banyaknya differential characteristic 3 round dengan differential characteristic

1 round yang sama dan mempunyai output difference pada round ketiga dengan S-

box aktif bernilai 9𝐻.

Untuk pencarian improbable differential 10 round dilakukan dengan

memanfaatkan impossible differential 5 round yang sama dengan yang digunakan

Tezcan [5] namun menggunakan semua kemungkinan differential characteristic 5

round dengan input difference satu dan dua S-box aktif pada round pertama.

Pencarian improbable differential 10 round pada prinsipnya sama dengan pencarian

improbable differential 9 round yaitu mencari semua kemungkinan differential

characteristic yang memiliki output difference di round terakhir dengan S-box aktif

bernilai 9𝐻. Setiap pembentukan satu improbable differential 10 round

membutuhkan semua kemungkinan differential characteristic 5 round dengan

differential characteristic 3 round yang sama dan memiliki output difference pada

round kelima dengan S-box aktif bernilai 9𝐻 . Oleh karena itu, pada pencarian semua

kemungkinan improbable differential 10 round lain digunakan semua variasi

differential characteristic 3 round.

818

2. Landasan Teori

Berikut adalah konsep dan teori yang berkaitan dengan penelitian yaitu algoritma PRESENT, improbable differential attack, dan undisturbed bit.

2.1 Algoritma PRESENT

PRESENT adalah salah satu algoritma lightweight block cipher yang mempunyai panjang blok sebesar 64-bit, variasi input key 80 dan 128-bit, serta jumlah round sebanyak 31. PRESENT mempunyai dua komponen utama yaitu key schedule dan algoritma enkripsi/dekripsi.

2.1.1 Key Schedule

Proses key schedule untuk setiap round PRESENT dengan input kunci 80 bit (𝑘79𝑘78…𝑘1𝑘0) yaitu:

(1) Subkey pada round ke-𝑖 dengan (30 ≥ 𝑖 ≥ 0): 𝐾𝑖 = 𝑘63𝑘62…𝑘1𝑘0 =𝑘79𝑘78…𝑘15𝑘16

(2) [𝑘79𝑘78…𝑘1𝑘0] = [𝑘18𝑘17…𝑘20𝑘19] (3) [𝑘79𝑘78𝑘77𝑘76] = 𝑆[𝑘79𝑘78𝑘77𝑘76] (4) [𝑘19𝑘18𝑘17𝑘16𝑘15] = [𝑘19𝑘18𝑘17𝑘16𝑘15] ⨁ 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑_𝑐𝑜𝑢𝑛𝑡𝑒𝑟

2.1.2 Enkripsi

Skema enkripsi pada PRESENT dapat dilihat pada Gambar 2.1.

Gambar 2.1 Skema Enkripsi PRESENT

Komponen algoritma enkripsi PRESENT sebagai berikut:

(1) AddRoundKey

Proses AddRoundKey dilakukan setiap round, sebanyak 64-bit plaintext di-XOR

dengan 64-bit subkey.

(2) sBoxLayer (ditunjukkan pada Tabel 2.1)

819

Tabel 2.1 S-box pada Algoritma PRESENT

(3) pLayer (ditunjukkan pada Tabel 2.2)

Tabel 2.2 Permutasi Bit pada Algoritma PRESENT

2.2 Improbable Differential Attack

Improbable differential attack merupakan perluasan dari impossible differential attack yang mengkombinasikan satu atau dua differential characteristic dengan impossible differential untuk mendapatkan improbable differential pada jumlah round yang lebih besar [4]. Suatu improbable differential didefinisikan sebagai nilai difference yang memiliki input difference 𝛼 dan output difference selain 𝛽 dengan probabilitas 𝑝′. Impossible differential merupakan salah satu kejadian dari improbable differential dengan 𝑝′ = 1 [5]. Skema impossible dan improbable differential dapat dilihat pada Gambar 2.2.

820

Gambar 2.2 Skema Impossible Differential dan Improbable Differential [4]

2.3 Undisturbed Bit

Undisturbed bit pada S-box PRESENT sebanyak 6 yaitu berdasarkan input dan output difference masing-masing berjumlah tiga [2]. Berikut definisi dan corollary terkait undisturbed bit:

Definisi 2.1. [6] Misal �� ∈ 𝔽2𝑛 adalah input difference bukan nol pada S-box 𝑆 dan

𝛺�� = {�� = (𝛽𝑚−1, . . . , 𝛽0) ∈ 𝔽2

𝑚|Ρr𝑠[�� → ��] > 0} adalah himpunan semua

output difference dari 𝑆 yang berkorespondensi dengan ��. Jika 𝛽𝑖 = 𝑐 untuk 𝑐 ∈ 𝔽2

tetap dan untuk semua �� ∈ 𝛺�� dengan 𝑖 ∈ {0, . . . , 𝑚 − 1} maka S-box 𝑆

mempunyai undisturbed bit, sehingga dapat dinyatakan bahwa untuk input

difference ��, bit ke-𝑖 pada output difference S-box 𝑆 adalah undisturbed yang

bernilai c.

Corollary 2.2. [6] Untuk input difference bukan nol �� ∈ 𝔽2𝑛, bit ke-𝑖 dari output

difference S-box 𝑆 adalah undisturbed bit jika dan hanya jika:

∑ 𝐷𝐷𝑇(𝛼, 𝜐)(−1)𝑒��.�� =

��∈𝔽2𝑚

±2𝑛

dengan 𝑖 ∈ {0, . . . , 𝑚 − 1} dan 𝑒�� adalah standar basis ke-𝑖 dari 𝔽2𝑛.


Sebelum melakukan pencarian improbable differential 9 dan 10 round, terlebih dahulu dilakukan perhitungan kembali differential characteristic 3 round. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa differential characteristic 3 round yang diperoleh penulis berbeda dengan yang dituliskan Tezcan [2], ditunjukkan pada Tabel 3.1. Tezcan menuliskan nilai 𝑥12 pada 𝑋(2, 𝑃) sebesar 1𝐻 sedangkan berdasarkan hasil perhitungan, nibble yang bernilai 1𝐻 berada pada 𝑥11. Selain itu, hasil dari 𝑋(3, 𝑆) diperoleh nilai 3𝐻 pada nibble 𝑥11 sedangkan menurut Tezcan nibble yang bernilai 3𝐻 berada pada nibble 𝑥12. Namun, output difference pada round ketiga 𝑋(3, 𝑃) yang dituliskan Tezcan sama dengan hasil perhitungan kembali, yaitu 𝑥2 = 𝑥6 = 9, sehingga tidak mempengaruhi proses selanjutnya untuk melakukan pencarian impossible differential 6 round yang memanfaatkan nilai ouput difference pada round ketiga dari difference characteristic 3 round sebagai input difference pada impossible differential 6 round.

821

Tabel 3.1 Perbedaan Differential Characteristic 3 Round antara Hasil

Perhitungan Kembali dengan Hasil yang diperoleh Tezcan

Rounds Differential Characteristic [2]

Differential Characteristic

Hasil Perhitungan

Kembali

𝛼 𝑥3 = 1, 𝑥0 = 1 𝑥3 = 1, 𝑥0 = 1

𝑋(1, 𝑆) 𝑥3 = 9, 𝑥0 = 9 𝑥3 = 9, 𝑥0 = 9

𝑋(1, 𝑃) 𝑥12 = 9, 𝑥0 = 9 𝑥12 = 9, 𝑥0 = 9

𝑋(2, 𝑆) 𝑥12 = 4, 𝑥0 = 4 𝑥12 = 4, 𝑥0 = 4

𝑋(2, 𝑃) 𝑥12 = 1, 𝑥8 = 1 𝑥11 = 1, 𝑥8 = 1

𝑋(3, 𝑆) 𝑥12 = 3, 𝑥8 = 3 𝑥11 = 3, 𝑥8 = 3

𝑋(3, 𝑃) 𝑥6 = 9, 𝑥2 = 9 𝑥6 = 9, 𝑥2 = 9

3.1. Pencarian Improbable Differential 9 Round Lain

Berdasarkan differential characteristic 3 round pada diperoleh pada Tabel 3.1 diperoleh kemungkinan differential characteristic 1 round sebanyak 128 buah yang tercantum pada Tabel 3.2, sehingga dapat dibentuk 128 improbable differential 9 round dengan memanfaatkan semua kemungkinan differential characteristic 1 round yang terdiri dari variasi 1-24 sebanyak 32 differential characteristic dan variasi 2-22 sebanyak 96 differential characterictic. Yang dimaksud dengan variasi 1-24 adalah jumlah S-box aktif hasil differential characteristic pada round pertama hingga ketiga berturut-turut 1, 2, dan 4, sedangkan variasi 2-22 adalah jumlah S-box aktif hasil differential characteristic pada round pertama hingga ketiga berturut-turut 2, 2, dan 2.

Berdasarkan Tabel 3.2, pada variasi 1-24 terdapat dua variasi probabilitas yaitu 2−2 dan 2−3, masing-masing probabilitas mempunyai differential characteristic 1 round berjumlah 16. Pada variasi 2-22 terdapat tiga variasi probabilitas yaitu 2−4, 2−5, dan 2−6 dengan jumlah differential characteristic 1 round pada masing-masing variasi probabilitas berturut-turut 24, 48, dan 24. Tezcan menggunakan satu dari 24 differential characterictic pada variasi 2-22 yaitu dengan probabilitas differential characteristic 1 round sebesar 2−4 sehingga terdapat 127 kemungkinan improbable differential 9 round lain yang dapat dibentuk.

Tabel 3.2 Rekapitulasi Jumlah Differential Characteristic 1 Round dari

Differential Characteristic 3 Round Berdasarkan Probabilitas pada Setiap Variasi S-Box Aktif

No. Probabilitas Jumlah Differential Characteristic

Variasi 1-24 Variasi 2-22

1. 2−2 16 -

2. 2−3 16 -

3. 2−4 - 24

4. 2−5 - 48

5. 2−6 - 24

Total 32 96

822

Setiap kemungkinan differential characteristic 1 round dilanjutkan dengan pencarian characteristic hingga tiga round yang menghasilkan semua kemungkinan nilai output differential pada round ketiga dengan S-box aktif bernilai 9𝐻. Setelah dilakukan pencarian differential characteristic 3 round dari 128 differential characteristic 1 round yang diperoleh sebelumnya, dihasilkan 128 improbable differential dengan probabilitas yang berbeda-beda. Hasil pencarian 128 improbable differential 9 round dengan perhitungan probabilitas dari setiap improbable differential sebagian tercantum pada Tabel 3.3 dan Tabel 3.4. Tabel 3.3 merupakan hasil perhitungan untuk S-box aktif dengan variasi 1-24 sedangkan Tabel 3.4 untuk variasi 2-22.

Tabel 3.3 Improbable Differential 9 Round untuk Variasi 1-24

Tabel 3.4 Improbable Differential 9 Round untuk Variasi 2-22

823

Improbable differential 9 round yang diperoleh Tezcan memiliki probabilitas sebesar 2−9.24511242 dapat dilihat pada Tabel 3.3 dengan kolom berwarna biru. Tezcan menggunakan probabilitas differential characteristic 1 round sebesar 2−4 dan mempunyai sebanyak 108 kemungkinan differential characteristic 3 round dengan output difference pada round ketiga yang mempunyai S-box aktif bernilai 9𝐻. Hal ini berarrti improbable differential 9 round yang diperoleh Tezcan memperkecil 108 kemungkinan differential characteristic 3 round yang dapat dibentuk.

Hasil perhitungan dari 128 kemungkinan diperoleh tiga improbable differential 9 round lain dengan probabilitas lebih besar dari 2−9.24511242 yang tercantum pada Tabel 3.5, Tabel 3.6, dan Tabel 3.7.

Tabel 3.5 Improbable Differential 9 Round Pertama

Tabel 3.6 Improbable Differential 9 Round Kedua

824

Tabel 3.7 Improbable Differential 9 Round Ketiga

Ketiga improbable differential 9 round tersebut memiliki S-box aktif dengan

variasi 1-24 dan nilai probabilitas differential characteristic 1 round sebesar 2−2. Berdasarkan Tabel 3.3 hasil perhitungan probabilitas dari ketiga improbable differential 9 round tersebut, dua diantaranya bernilai 2−8.91253757 dan sisanya bernilai 2−8.67807198. Dua improbable differential 9 round dengan probabilitas 2−8.91253757, masing-masing memiliki jumlah semua kemungkinan differential characteristic 3 round yang mempunyai output difference pada round ketiga dengan S-box aktif bernilai 9𝐻 sebanyak 208. Improbable differential 9 round yang ketiga memiliki probabilitas sebesar 2−8.67807198 dan mempunyai jumlah semua kemungkinan differential characteristic 3 round dengan output difference S-box aktif pada round ketiga bernilai 9𝐻 sebanyak 160.

Pencarian improbable differential 9 round menggunakan S-box aktif dengan variasi 2-22 atau berpola sama pada setiap round tidak menjamin diperoleh improbable differential 9 round dengan probabilitas terbesar. Pencarian improbable differential dengan diawali satu atau dua S-box aktif memiliki dampak yang berbeda-beda dalam mengaktifkan S-box aktif pada round-round selanjutnya. Hal ini bergantung pada nilai input difference dan permutasi yang digunakan. Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh tiga improbable differential 9 round yang memanfaatkan satu S-box aktif pada round pertama dengan probabilitas lebih besar dari

825

2−9.24511242 dan kemungkinan differential characteristic 3 round yang diperkecil pada setiap improbable differential berjumlah lebih besar yaitu sebanyak 160 dan 208. Pada variasi 1-24 mempunyai potensi ditemukan improbable differential dengan probabilitas lebih besar daripada variasi 2-22 karena S-box aktif yang dihasilkan di round pertama pada variasi 1-24 hanya berjumlah satu dengan probabilitas terbesar bernilai 2−2 sedangkan pada variasi 2-22 mempunyai S-box aktif pada round pertama berjumlah dua dengan probabilitas terbesar bernilai 2−4.

Berdasarkan hasil perhitungan pada Tabel 3.3 dan Tabel 3.4, improbable differential 9 round lain yang diperoleh tidak hanya memiliki probabilitas lebih besar dari 2−9.24511242, namun juga diperoleh improbable differential 9 round lain sebanyak 124 dengan probabilitas yang lebih kecil dari 2−9.24511242 yaitu mempunyai nilai probabilitas berkisar dari 2−13.39984035 hingga 2−9.5821476 yang meliputi variasi 1-24 maupun 2-22.

3.2. Pencarian Improbable Differential 10 Round Lain

Pada Tabel 3.8 tercantum semua variasi differential characteristic 3 round, diperoleh dari semua variasi differential characteristic 5 round. Berdasarkan Tabel 3.8 diperoleh probabilitas yang berbeda-beda untuk setiap variasi S-box aktif. Variasi 1-2442 adalah variasi yang mempunyai probabilitas paling kecil diantara variasi yang lainnya karena memiliki jumlah S-box aktif hingga round ketiga paling banyak yaitu berjumlah 7. Variasi 1-1244 dan variasi 2-1124 mempunyai probabilitas paling besar diantara variasi yang lainnya karena kedua variasi tersebut mempunyai jumlah S-box aktif paling sedikit yaitu berjumlah 4.

Tabel 3.8 Rekapitulasi Jumlah Differential Characteristic 3 Round dari Differential Characteristic 5 Round Berdasarkan Probabilitas pada

Setiap Variasi S-Box Aktif

No Probabilitas

Jumlah Differential Characteristic

Total Variasi

1-1244

Variasi

1-2442

Variasi

2-1124

Variasi

2-1244

Variasi

2-2222

1. 2−8 4 - 1 - - 5

2. 2−9 18 - 14 - - 32

3. 2−10 28 - 26 4 - 58

4. 2−11 36 - 28 12 - 76

5. 2−12 40 - 48 16 2 106

6. 2−13 - - - 48 4 52

7. 2−14 - 8 - 16 32 56

8. 2−15 - 16 - 48 56 120

9. 2−16 - 20 - - 104 124

10. 2−17 - 40 - - 96 136

11. 2−18 - 16 - - 96 112

12. 2−19 - 32 - - - 32

13. 2−20 - 40 - - - 40

14. 2−21 - 80 - - - 80

Total 126 252 117 144 390 1029

826

Berdasarkan Tabel 3.8, semua kemungkinan differential characteristic yang dimanfaatkan untuk membentuk improbable differential 10 round sebanyak 1029. Improbable differential 10 round yang diperoleh Tezcan mempunyai probabilitas sebesar 2−19.245 dan menggunakan satu dari 56 differential characteristic yang mempunyai probabilitas round pertama hingga round ketiga sebesar 2−14 dari variasi 2-222, sehingga terdapat 55 differential characteristic lain yang dapat digunakan untuk membentuk improbable differential 10 round lain dengan kemungkinan probabilitas sama dengan 2−19.245 dari variasi 2-222. Selain itu, terdapat 329 differential characteristic 3 round yang dapat digunakan untuk membentuk improbable differential 10 round lain dengan kemungkinaan probabilitas yang lebih besar dari 2−19.245 sedangkan untuk membentuk improbable differential 10 round lain dengan kemungkinan probabilitas yang lebih kecil dari 2−19.245 terdapat sebanyak 644 differential characteristic 3 round.

Pada setiap variasi differential characteristic 3 round, dilanjutkan pencarian pada round keempat dan kelima hingga diperoleh output difference dengan nilai S-box aktif sebesar 9𝐻 agar dapat dikombinasikan dengan impossible differential 5 round sehingga menghasilkan improbable differerential 10 round. Salah satu hasil rekapitulasi perhitungan probabilitas improbable differential 10 round menggunakan 1029 differential characteristic 3 round tercantum pada Tabel 3.9. Tabel 3.9 Rekapitulasi Hasil Perhitungan Probabilitas Improbable Differential 10

Round dari Variasi 1-1244

Differential

Characteristic 3 Round

Total Differential Characteristic Round

Keempat dan Kelima yang dapat

dibentuk dengan Output Difference

Bernilai 9𝐻 untuk Setiap Differential


Probabilitas

Improbable

Differential 10

Round Probabilitas Jumlah

2−8

1 32236 2−19.51542854

3 64972 2−19.7832737

2−9

3 32236 2−20.51542854

2 145300 2−20.59871864

5 64972 2−20.7832737

4 126532 2−20.86836243

3 160545 2−21.38402557

1 51600 2−21.44205856

2−10

4 32236 2−21.51542854

2 145300 2−21.59871864

8 64972 2−21.7832737

4 126532 2−21.86836243

2 191880 2−22.23085976

2 160545 2−22.38402557

4 261807 2−22.40595245

2 51600 2−22.44205856

2−11

6 32236 2−22.51542854

4 145300 2−22.59871864

10 64972 2−22.7832737

827

Differential


Total Differential Characteristic Round

Keempat dan Kelima yang dapat

dibentuk dengan Output Difference

Bernilai 9𝐻 untuk Setiap Differential


Probabilitas

Improbable

Differential 10

Round Probabilitas Jumlah

8 126532 2−22.86836243

6 160545 2−23.38402557

2 51600 2−23.44205856

2−12

4 32236 2−23.51542854

4 145300 2−23.59871864

4 64972 2−23.7832737

8 126532 2−23.86836243

4 191880 2−24.23085976

4 160545 2−24.38402557

8 261807 2−24.40595245

4 51600 2−24.44205856

Improbable differential 10 round yang diperoleh Tezcan memiliki probabilitas sebesar 2−19.24511337 dengan variasi 2-222. Berdasarkan hasil pencarian improbable differential 10 round dan perhitungan probabilitas dari semua variasi S-box aktif, diperoleh 1029 improbable differential 10 round. Sebanyak 1029 improbable differential 10 round terdiri dari 56 improbable differential yang memiliki probabilitas yang lebih besar dari 2−19.24511337, satu improbable differential yang memiliki probabilitas sama dengan 2−19.24511337, dan 971 improbable differential yang memiliki probabilitas lebih kecil dari 2−19.24511337. Differential characteristic dengan variasi 1-1244, variasi 1-2442, dan variasi 2-1244 tidak menghasilkan improbable differential 10 round dengan probabilitas lebih besar dari 2−19.24511337. Hal ini dikarenakan jumlah S-box aktif dari ketiga variasi tersebut cukup banyak yaitu berjumlah 12 dan 13, sedangkan untuk variasi 2-1124 dan variasi 2-222 dengan S-box aktif berjumlah 10 menghasilkan improbable differential 10 round dengan probabilitas lebih besar dari 2−19.24511337.

Improbable differential 10 round lain dengan probabilitas sama dengan 2−19.24511337 menggunakan differential characteristic 5 round yang memiliki difference input 𝑥0 = 𝑥1 = 1𝐻 dan jumlah S-box aktif pada setiap round berjumlah dua. Differential characteristic round pertama hingga ketiga yang digunakan sebagai berikut:

Difference Input 0000000000000011

Round ke-1

sBoxLayer 0000000000000099

pLayer 0003000000000003

Round ke-2

sBoxLayer 0001000000000001

pLayer 0000000000001001

Round ke-3

sBoxLayer 0000000000009009

pLayer 0009000000000009

828

Hasil differential characteristic 3 round dilanjutkan pada round keempat dan kelima hingga diperoleh semua kemungkinan differential characteristic 5 round dengan output difference pada round kelima mempunyai S-box aktif bernilai 9𝐻. Setelah dilanjutkan pencarian differential characteristic pada round keempat dan kelima diperoleh 108 differential characteristic 5 round, yang tercantum pada Tabel 3.10.

Tabel 3.10 Jumlah Differential Characteristic Berdasarkan Variasi Probabilitas dari Round ke-4 dan ke-5 untuk Pencarian Improbable Differential 10 Round lain

No Probabilitas Banyaknya Differential Characteristic

1. 2−8 4

2. 2−10 8

3. 2−14 32

4. 2−16 64

Jumlah 108

Berdasarkan Tabel 3.10 hasil perhitungan probabilitas dari improbable differential 10 round sebagai berikut:

p′ = 2−14(4. 2−8 + 8. 2−10 + 32. 2−14 + 64. 2−16). 1

= 2−14(22. 2−8 + 23. 2−10 + 25. 2−14 + 26. 2−16) = 2−14(2−6 + 2−7 + 2−9 + 2−10) = 2−14 . 0.0263671875

≈ 2−19.245.

Improbable differential 10 round lain dengan probabilitas lebih besar dari 2−19.24511337 sebanyak 56 karakteristik yang terdiri dari variasi 2-1124 sebanyak 52 karakteristik dan variasi 2-222 sebanyak 4 karakteristik.

Berdasarkan 56 improbable differential yang diperoleh, banyaknya differential characteristic 5 round yang membentuk satu improbable differential 10 round mempunyai jumlah paling sedikit sebesar 208 dan paling banyak berjumlah 931 sedangkan hasil pencarian Tezcan hanya berjumlah 108. Sehingga, improbable differential tersebut dapat menjadi alternatif untuk diterapkan pada improbable differential attack karena selain memiliki probabilitas besar juga jumlah differential characteristic 5 round dari setiap satu improbable differential yang dibentuk cukup banyak

3. Kesimpulan

Dari hasil penelitian yang telah dilakukan, disimpulkan sebagai berikut:

a. Berdasarkan pencarian improbable differential 9 round PRESENT

menggunakan input difference 1, 8, dan 9 yang diawali satu dan dua S-box aktif

pada round pertama diperoleh improbable differential 9 round dengan

probabilitas lebih besar dari 2−9.24511242 sebanyak 3 karakteristik dan yang

829

memiliki probabilitas lebih kecil dari 2−9.24511242 sebanyak 124 karakteristik.

b. Berdasarkan pencarian improbable differential 10 round diperoleh satu

karakteristik yang memiliki probabilitas sama dengan 2−19.24511337, sebanyak

56 karakteristik memiliki probabilitas lebih besar dari 2−19.24511337, dan

sebanyak 971 karakteristik mempunyai probabilitas lebih kecil dari

2−19.24511337 c.

Referensi

[1] A. Bogdanov, R. L. Knudsen, G. Leander, C. Paar dan A. Poschmann,

“PRESENT: An Ultra-Lightweight Block Cipher,” Springer Berlin

Heidelberg Volume 4727, pp. pp. 450-466, 2007.

[2] C. Tezcan, “Improbable Differential Attack on PRESENT using Undisturbed

Bits,” 2014a. [Online]. Available:

http://cihangir.forgottenlance.com/papers/ICACM_Extended_Abstract.pdf.

[3] C. Tezcan dan F. Özbudak, “Differential factors: Improved attacks on

SERPENT,” Springer International Publishing, pp. In International Workshop

on Lightweight Cryptography for Security and Privacy (pp. 69-84), 2014.

[4] C. Tezcan, “The Improbable Differential Attack: Cryptanalysis of Reducedd

Round CLEFIA,” Springer Berlin Heidelberg, pp. In International Conference

on Cryptology in India (pp. 197-209), 2010.

[5] C. Tezcan, “Improbable Differential Attacks On Present Using Undisturbed

Bits,” Journal of Computational and applied mathematics, pp. Volume 259,

Part B, pp. 503-511, 2014b.

[6] R. Makarim dan C. Tezcan, “Relating undisturbed bits to other properties of

substitution boxes,” Springer International Publishing, pp. Volume 8898, pp.

109-125, 2014.

.

830


PENCARIAN KARAKTERISTIK DIFERENSIAL 4

ROUND PADA ALGORITMA MACGUFFIN

RIDWAN IMAM SYARIF1, DAN SANTI INDARJANI2

SEKOLAH TINGGI SANDI NEGARA 1,2

1. Ridwan Imam Syarif, [email protected]

2. Santi Indarjani, [email protected]

Abstrak. Algoritma MacGuffin merupakan algoritma block cipher

berstruktur unbalanced feistel network dengan operasi XOR, permutasi,

dan S-box. Algoritma ini menggunakan input 64 bit dan kunci 128 bit.

Rijmen dan Preneel menerapkan differential crytanalysis pada algoritma

MacGuffin 4 round dan didapat probabilitas terbaik 1

149. Dalam paper

yang dituliskan tidak dijabarkan bagaimana cara memperoleh

karakteristik terbaik tersebut. Dalam makalah ini penulis menjelaskan

secara detail proses penentuan karakteristik diferensial setiap round pada

algoritma MacGuffin 4 round.

Kata kunci: karakteristik diferensial, MacGuffin, probabilitas.

1. Pendahuluan

Kriptografi merupakan sistem yang mempelajari secara ilmiah metode

perahasiaan berita/informasi agar terjamin kerahasiaannya.[4] Dengan adanya hal

tersebut banyak pengembangan tentang kriptografi baik algroritmanya maupun

protokol yang digunakan.

Kriptanalisis memiliki dua aspek yaitu proses/prosedur kriptografi dan perilaku

huruf huruf dalam menjadi kata-kata dan selanjutnya menjadi kalimat kalimat[4].

Tujuannya untuk mengetahui kelemahan dari suatu kriptografi sehingga dapat

diperbaiki untuk lebih menjamin keamanan.

Salah satu teknik kriptanalisis adalah dengan kriptanalisis diferensial.

Kriptanalisis diferensial merupakan metode kriptanalisis chosen plaintext attack,

yaitu asumsi penyerang mampu memilih sebagian input, memeriksa output dan

menganalisis untuk mendapatkan kunci[1]. Dengan adanya kunci maka ciphertext

(pesan sandi) dapat diubah menjadi plaintext (pesan terang) dengan asumsi bahwa

algoritma diketahui secara umum.

Algoritma MacGuffin merupakan algoritma block cipher berstruktur

unbalanced feistel network dengan operasi XOR, permutasi, dan s-box.

Algoritma MacGuffin merupakan algoritma yang hampir sama dengan

algoritma Data Encryption Standard (DES). Dengan round sebanyak 32 round

831

atau 2 x round DES, dimana setiap round algoritma MacGuffin akan berimbas

pada setengah jumlah bit pada setiap round DES[2].

Beberapa serangan pada algoritma DES telah dilakukan salah satunya adalah

Differential Cryptanalysis sehingga algoritma DES menjadi tidak aman lagi. Vincent

Rijmen pada tahun 1995 mencoba menerapkan serangan differential cryptanalysis

kepada MacGuffin dan didapatkan MacGuffin lebih lemah daripada DES[5]. Pada

tulisan ini akan dijelaskan mengenai tahapan tahapan pencarian karakteristik

diferensial pada MacGuffin yang berguna untuk serangan differential cryptanalysis.


2.1. Algoritma MacGuffin

Algoritma MacGuffin merupakan algoritma block cipher yang berdasarkan

pada Generalized Unbalanced Feistel Network (GUFN). Algoritma MacGuffin

memiliki 32 round (2 ×round DES) dimana setiap round dari algoritma

MacGuffin akan berimbas pada setengah dari jumlah bit pada setiap round DES

dan kunci yang berjumlah 128 bit[2].

Algoritma ini memiliki input 64 bit yang dibagi menjadi 16 bit merupakan

blok target dan 48 bit blok kontrol. Blok target merupakan blok yang mengalami

proses pembagian bit dan blok kontrol merupakan blok yang telah mengalami

proses pembagian bit. Dimana fungsi 𝐹 pada MacGuffin menggunakan input

48 bit yang paling kanan atau blok kontrol, operasi XOR dengan subkey pada

setiap round dan dibagi menjadi 8 bagian dimana setiap bagian akan masuk ke

dalam s-box. S-box terdiri dari 8 buah s-box (𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 𝑆4, 𝑆5, 𝑆6, 𝑆7, 𝑆8) dengan

input masing masing s-box adalah 6 bit yang dipetakan ke 2 bit. Output dari

setiap s-box akan digabungkan sehingga mendapatkan jumlah bit sebanyak 16

bit. Output yang telah digabungkan akan di XOR kan dengan 16 bit blok target

sehingga akan menghasilkan output dari fungsi 𝐹 algoritma MacGuffin[2].

Gambar. 2.2 Skema Algoritma MacGuffin

F

832

Table 2.1. Tabel permutasi S-box[2].

S-box Input Bit

0 1 2 3 4 5

𝑆1 𝑎2 𝑎5 𝑏6 𝑏9 𝑐11 𝑐13

𝑆2 𝑎1 𝑎4 𝑏7 𝑏10 𝑐2 𝑐14

𝑆3 𝑎3 𝑎6 𝑏8 𝑏13 𝑐0 𝑐15

𝑆4 𝑎12 𝑎14 𝑏1 𝑏2 𝑐4 𝑐10

𝑆5 𝑎0 𝑎10 𝑏3 𝑏14 𝑐6 𝑐12

𝑆6 𝑎7 𝑎8 𝑏12 𝑏15 𝑐1 𝑐5

𝑆7 𝑎9 𝑎15 𝑏5 𝑏11 𝑐2 𝑐7

𝑆8 𝑎11 𝑎13 𝑏0 𝑏4 𝑐3 𝑐9

Tabel 2.2. Tabel Permutasi Output S-box[2].

S-box Output Bit

0 1

𝑆1 𝑡0 𝑡1

𝑆2 𝑡2 𝑡3

𝑆3 𝑡4 𝑡5

𝑆4 𝑡6 𝑡7

𝑆5 𝑡8 𝑡9

𝑆6 𝑡10 𝑡11

𝑆7 𝑡12 𝑡13

𝑆8 𝑡14 𝑡15

Tabel 2.3. S-box Algoritma MacGuffin[2].

𝑆1

2 0 0 3 3 1 1 0 0 2 3 0 3 3 2 1 1 2 2 0 0 2 2 3 1 3 3 1 3 1 1 2

0 3 1 2 2 2 2 0 3 0 0 3 0 1 3 1 3 1 2 3 3 1 1 2 1 2 2 0 1 0 0 3

𝑆2

3 1 1 3 2 0 2 1 0 3 3 0 1 2 0 2 3 2 1 0 0 1 3 2 2 0 0 3 1 3 2 1

0 3 2 2 1 2 3 1 2 1 0 3 3 0 1 0 1 3 2 0 2 1 0 2 3 0 1 1 0 2 3 3

𝑆3

2 3 0 1 3 0 2 3 0 1 1 0 3 0 1 2 1 0 3 2 2 1 1 2 3 2 0 3 0 3 2 1

3 1 0 2 0 3 3 0 2 0 3 3 1 2 0 1 3 0 1 3 0 2 2 1 1 3 2 1 2 0 1 2

𝑆4

1 3 3 2 2 3 1 1 0 0 0 3 3 0 2 1 1 0 0 1 2 0 1 2 3 1 2 2 0 2 3 3

2 1 0 3 3 0 0 0 2 2 3 1 1 3 3 2 3 3 1 0 1 1 2 3 1 2 0 1 2 0 0 2

𝑆5

0 2 2 3 0 0 1 2 1 0 2 1 3 3 0 1 2 1 1 0 1 3 3 2 3 1 0 3 2 2 3 0

0 3 0 2 1 2 3 1 2 1 3 2 1 0 2 3 3 0 3 3 2 0 1 3 0 2 1 0 0 1 2 1

𝑆6

833

2 2 1 3 2 0 3 0 3 1 0 2 0 3 2 1 0 0 3 1 1 3 0 2 2 0 1 3 1 1 3 2

3 0 2 1 3 0 1 2 0 3 2 1 2 3 1 2 1 3 0 2 0 1 2 1 1 0 3 0 3 2 0 3

𝑆7

0 3 3 0 0 3 2 1 3 0 0 3 2 1 3 2 1 2 2 1 3 1 1 2 1 0 2 3 0 2 1 0

1 0 0 3 3 3 3 2 2 1 1 0 1 2 2 1 2 3 3 1 0 0 2 3 0 2 1 0 3 1 0 2

𝑆8

3 1 0 3 2 3 0 2 0 2 3 1 3 1 1 0 2 2 3 1 1 0 2 3 1 0 0 2 2 3 1 0

1 0 3 1 0 2 1 1 3 0 2 2 2 2 0 3 0 3 0 2 2 3 3 0 3 1 1 1 1 0 2 3

2.2. Differential Cryptanalysis

Differential Cryptanalysis adalah metode kriptanalisis chosen

plaintext attack, yaitu asumsi penyerang mampu memilih sebagian input,

memeriksa output dan menganalisis untuk mendapatkan kunci. Misal sistem

dengan input 𝑋 = [ 𝑋1, 𝑋2, … . . , 𝑋𝑛] dan output 𝑌 = [ 𝑌1, 𝑌2, … . . , 𝑌𝑛] memiliki input 𝑋′ dan 𝑋" dengan output 𝑌′ dan 𝑌" yang saling

berkorespodensi. Input difference adalah ∆𝑋 = 𝑋′⨁𝑋" dan output difference-

nya adalah ∆𝑌 = 𝑌′⨁𝑌"[1].

Kontruksi diferensial (∆𝑋, ∆𝑌) meliputi memeriksa karakter diferensial

dengan peluang tinggi. Karakteristik diferensial merupakan barisan dari

sejumlah pasangan input diferensial dan output diferensial untuk setiap round-

nya, dimana output diferensial yang dihasilkan dari suatu round akan

terhubung dengan input diferensial pada round selanjutnya. Dengan

karakteristik diferensial yang memiliki peluan yang tinggi akan

mempermudah dalam perolehan bit bit subkunci pada round terakhir.[1]

Karakteristik diferensial diperoleh dengan cara memeriksa sifat

nonlinearity-nya yaitu menentukan input diferensial dan output diferensial

dengan pasangan yang dipilih memiliki peluang diferensial yang tinggi[1].

2.3. Pencarian Karakteristik Diferensial 4 Round pada Algoritma MacGuffin

Dalam paper Rijmen dan Prenel telah ditemukan bahwa Algoritma

MacGuffin memiliki karakteristik iteratif diferensial 4 round dengan

probabilitas 1

149 dengan pola sebagai berikut.

834

Probabilitas tersebut merupakan probabilitas setelah dilakukan pencarian

karakteristik diferensial. Dalam mencari karakteristik diferensial pada round

MacGuffin dapat dicari dengan:

1. Menentukan input difference ∆𝑃(∆𝐿, ∆𝑅). 2. Memilih pasangan difference dari s-box yang memiliki kemunculan

tertinggi dengan memanfaatkan fungsi nonlinear-nya

3. Dalam kasus ini kunci tidak diperhatikan karena nilai pasangan berurut

(𝑥, 𝑥∗) ketika masing masing di XOR-kan dengan kunci maka didapat (𝑥⨁𝑘)⨁(𝑥∗⨁𝑘) = (𝑥⨁𝑥∗) (1)

dalam hal ini kunci tidak berpengaruh, sehingga hanya fungsi s-box saja

yang diperhatikan.

4. Menentukan karakteristik pada masing masing round

a) Karakteristik round ke-1

Gambar 2.2. Fungsi 𝐹 pada algoritma MacGuffin

Langkah untuk menghitung probabilitas round 1 :

1. Ubah input fungsi 𝐹 ke biner

Input fungsi 𝐹 = 2000 0001 0000

Input 1 = 2000 : Register A

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

𝑎15 𝑎14 𝑎13 𝑎12 𝑎11 𝑎10 𝑎9 𝑎8 𝑎7 𝑎6 𝑎5 𝑎4 𝑎3 𝑎2 𝑎1 𝑎0

𝑆1, 𝑆2, … . , 𝑆8

Gambar 2.3 Karakteristik diferensial pada 4 round MacGuffin [5]

Gambar 2.4 Karakteritik differential round ke-1

f

2000

0001

0040 0001

0040 0000

0000

2000

K

835

Input 2 = 0001 : Register B

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

𝑏15 𝑏14 𝑏13 𝑏12 𝑏11 𝑏10 𝑏9 𝑏8 𝑏7 𝑏6 𝑏5 𝑏4 𝑏3 𝑏2 𝑏1 𝑏0

Input 3 = 0000 : Register C

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

𝑐15 𝑐14 𝑐13 𝑐12 𝑐11 𝑐10 𝑐9 𝑐8 𝑐7 𝑐6 𝑐5 𝑐4 𝑐3 𝑐2 𝑐1 𝑐0

2. Masukkan input ke tabel permutasi input S-box

S-box Permutasi Input S-box

𝑆1 𝑐13𝑐11𝑏9𝑏6𝑎5𝑎2 000000

𝑆2 𝑐14𝑐2𝑏10𝑏7𝑎4𝑎1 000000

𝑆3 𝑐15𝑐0𝑏13𝑏8𝑎6𝑎3 000000

𝑆4 𝑐10𝑐4𝑏2𝑏1𝑎14𝑎12 000000

𝑆5 𝑐12𝑐6𝑏14𝑏3𝑎10𝑎0 000000

𝑆6 𝑐5𝑐1𝑏15𝑏12𝑎8𝑎7 000000

𝑆7 𝑐7𝑐2𝑏11𝑏5𝑎15𝑎9 000000

𝑆8 𝑐9𝑐3𝑏4𝑏0𝑎13𝑎11 000110

3. Masukkan input S-box

4. Pilih output 0 dengan input yang telah diberikan

5. Lihat tabel Differential Distribution Table (DDT) pada S-box yang aktif

S-box 8

6. Didapatkan nilai probabilitas yaitu 20

64

7. Masukkan output yang dipilih ke dalam tabel permutasi output S-box

𝑥/𝑦 0 1 2 3

0 64 0 0 0

1 10 22 22 10

... .....

5 16 12 16 20

6 20 16 12 16

7 28 20 4 12

... ......

62 10 18 14 22

63 16 20 16 12

836

8. Output yang dihasilkan adalah

0000 0000 0000 0000 0000 : biner

0000 : heksadesimal

9. Untuk round ke dua, tiga, dan empat cara pencarian nilai probabilitasnya

sama.

Langkah mencari karakteristik diferensial

Jika ∆𝑃 = 0040 2000 0001 0000 maka 𝑎′ = ∆𝑅 = 2000 0001 0000 𝐴′ = 0000 ∆𝐶 = (2000 0001 0000 0040)

S-box yang aktif adalah S-box ke delapan. Dengan input pada S-box

adalah 000110 atau jika dalam bentuk desimal adalah 6. Probabilitas dari S-

box yang aktif pada round 1 adalah 20

64, sedangkan S-box yang lainnya (yang

tidak aktif) dianggap bernilai 0, sehingga probabilitas untuk s-box yang tidak

aktif adalah 1.

Input Difference = ∆𝑃(0040, 2000 0001 0000) Output difference = ∆𝐶(2000, 0001 0000 0040)

Probabilitas yang didapat round ke-1 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 ×20

64=

20

64

b) Karakteristik round ke-2

Langkah mencari karakteristik diferensial

Jika ∆𝑃 = 2000 0001 0000 0040 maka

𝑏′ = ∆𝑅 = 0001 0000 0040

𝐵′ = 0000

∆𝐶 = (0001 0000 0040 2000)

S-box yang aktif adalah S-box ke lima. Dengan input pada S-

box adalah 010001 atau jika dalam bentuk desimal adalah 17. S-box

yang aktif probabilitasnya 22

64, sedangkan S-box yang lainnya (yang

tidak aktif) dianggap bernilai 0, sehingga probabilitas untuk S-box

yang tidak aktif adalah 1.

S-box Permutasi Output S-box

𝑆1 𝑡0𝑡1 00

𝑆2 𝑡2𝑡3 00

𝑆3 𝑡4𝑡5 00

𝑆4 𝑡6𝑡7 00

𝑆5 𝑡8𝑡9 00

𝑆6 𝑡10𝑡11 00

𝑆7 𝑡12𝑡13 00

𝑆8 𝑡14𝑡15 00

837

Input Difference = ∆𝑃 (2000, 0001 0000 0040) Output Difference = ∆𝐶 (0001, 0000 0040 2000)

Probabilitas yang didapat round ke-2 = 1 × 1 × 1 × 1 ×22

64× 1 ×

1 × 1 =22

64

c) Karakteristik round ke-3

Jika ∆𝑃 = 0001 0000 0040 2000 maka

𝑏′ = ∆𝑅 = 0000 0040 2000

𝐵′ = 0000

∆𝐶 = (0000 0040 2000 0001)

S-box yang aktif adalah S-box ke satu. Dengan input pada S-box

adalah 100100 atau jika dalam bentuk desimal adalah 36. S-box yang

aktif probabilitasnya 16

64, sedangkan S-box yang lainnya (yang tidak

aktif) dianggap bernilai 0, sehingga probabilitas untuk S-box yang

tidak aktif adalah 1.


Probabilitas yang didapat round ke-3 = 16

64× 1 × 1 × 1 × 1 × 1 ×

1 × 1 =16

64

d) Karakteristik round ke-4 Jika ∆𝑃 = 0000 0040 2000 0001 maka

𝑏′ = ∆𝑅 = 0040 2000 0001

𝐵′ = 0000

∆𝐶 = (0040 2000 0001 0000)

S-box yang aktif adalah S-box ke tiga. Dengan input pada S-box

adalah 011010 atau jika dalam bentuk desimal adalah 22. S-box yang

aktif probabilitasnya 16

64, sedangkan S-box yang lainnya (yang tidak

aktif) dianggap bernilai 0, sehingga probabilitas untuk S-box yang

tidak aktif adalah 1.


Probabilitas yang didapat round ke-4 = 1 × 1 ×16

64,× 1 × 1 × 1 ×

1 × 1 =16

64

5. Menghitung Probabilitas Total/ Rasio Propagasi Total

𝑅𝑝 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =20

64×22

64×16

64×16

64=

112640

16777216= 0.006714 =

1

149

Dari hasil penghitungan probabilitas total didapat hasil 1

149. Hasil ini sama

dengan hasil yang telah ditemukan oleh Rijmen dan Preneel. Sehingga karakteristik

diferensial yang di dapat diatas yaitu 0040 2000 0001 0000 dimana input dan

output diferensial yang sama sehingga karakteristik diferensial tersebut merupakan

karakteristik iteratif yang dipakai oleh Rijmen dan Preneel dalam menyusun paper

yang mereka publikasikan.

838

3. Kesimpulan MacGuffin merupakan salah satu algoritma block cipher yang berstruktur

unbalanced feistel network. Input algoritma adalah 64 bit plaintext dan 128 bit kunci

dengan 32 round dimana setiap roundnya memiliki fungsi permutasi, s-box dan

XOR. MacGuffin termasuk dalam algoritma yang mudah untuk diserang

menggunakan differential cryptanalysis. Pada karakteristik 4 round probabilitas

yang didapat adalah 20

64,22

64,16

64 dan

16

64 untuk round pertama, kedua, ketiga dan

keempat dengan probabilitas total adalah 0.012274.

Pernyataan terima kasih. Terima kasih kepada saudara Jimmy, Ryan Setyo

dan Fadila yang memberikan bantuan dalam menyelesaikan makalah ini. Terima

kasih pula kepada pihak penyelenggara Sekolah Tinggi Sandi Negara yang selalu

memberikan dukungan.

.

Referensi

[1] Heys, H.M. 2002. A Tutorial Linear and Differential Cryptanalysis. Canada.

[2] Blaze, M. Schneier, B. 1994. The MacGuffin Block Cipher Algorithm. USA :

International Workshop on Fast Software Encryption

[3] Hafman, S.A. Santi Indarjani. 2007. Diktat Mata Kuliah Statistika Kriptografi.

Sekolah Tinggi Sandi Negara

[4] Soemarkidjo, et al. 2008. Jelajah Kriptologi. Jakarta : Lembaga Sandi Negara

[5] Rijmen, V. Preneel, B. 1994.Cryptanalysis of McGuffin. Belgium : National Fund for

Scientific Research

839

PEMODELAN DAN OPTIMASI


840

Prosiding SNM 2017 Pemodelan dan Opt imisas i , Hal 840 -849

PERBANDINGAN METODE RUNGE-KUTTA-VERNER

DAN LAPLACE ADOMIAN DECOMPOSITION METHOD

DALAM SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL

NONLINEAR PADA MASALAH BIOMATEMATIKA

BETTY SUBARTINI1, RIAMAN2, DAN ALIT KARTIWA3

1 Universitas Padjadjaran, [email protected]

2. Universitas Padjadjaran, [email protected]

3. Universitas Padjadjaran, [email protected]

Abstrak. A Paper ini berisi perbandingan dua solusi numerik yang digunakan

untuk menyelesaikan masalah-masalah Biologi, seperti model populasi

serangga dan model Lotka-Volterra satu-spesies. Salah satu metodenya adalah

metode Runge-Kutta-Verner yaitu suatu metode yang menjanjikan hasil nilai

pendekatan pada solusi sistem persamaan diferensial non-linear. Tehnik

penggambarannya diilustrasikan melalui simulasi numerik, kemudian

mengubah model populasi dengan mengambil (Fungsional respon Holing tipe

III) dan membandingkan dengan metode lain yaitu Laplace Adomian

Decomposition Method, sehingga hasil yang diperoleh dari kedua metode yang

dilakukan adalah metode Runge-Kutta-Verner yang paling baik.

Kata kunci: : Solusi persamaan diferensial nonlinear, Runge-Kutta-Verner, Laplace

Adomian Decomposition Method.

1. Pendahuluan

Model matematika dari pertumbuhan populasi telah dibentuk dan dibuktikan

secara signifikan dalam situasi ekologi yang nyata. Arti dan pentingnya dari setiap

parameter dalam model telah didefinisikan secara biologis oleh R.A. Parker dan

C.Qiwu [3,4]. Contohnya dalam kasus populasi serangga, tingkat kelahiran dan

kematian spesies biasanya tidak konstan; sebagaimana, mereka bervariasi secara

periodik tergantung musim, sedangkan persamaan Lotka-Volterra dipengaruhi oleh

jumlah pesaing ekologi (atau predator-mangsa) suatu model yang dinamis di alam.

Contoh lain model pertumbuhan penduduk sangat penting dalam matematika biologi

yang digunakan sebagai dasar untuk menunjukkan sistem kontrol nonlinear

sederhana dalam pertumbuhan populasi. Untuk mendapatkan populasi yang

sebenarnya Fungsional respon Holing tipe III mempunyai peran penting dalam

dinamika populasi, sebagaimana dasar penelitiannya[2]. Fungsional respon Holing

tipe III model ekologinya memasukan spesies predator sebagai fungsi kepadatan

mangsa.

841

Di bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, banyak fenomena fisik yang

signifikan sering dimodelkan dengan persamaan diferensial nonlinear. Persamaan

tersebut seringkali sangat sulit untuk diselesaikan secara analitis, seperti model

pertumbuhan populasi serangga tersebut sulit diselesaikan secara Analitik. Oleh

Karena itu ada beberapa metode secara Numerik, diantaranya metode Homotopy

Perturbation (HPM), Homotopy Analysis Method (HAM), Differential Transform

Methode (DTM), Variational Iteration Method (VIM), Laplace Adomian

Decomposition Method (LADM), dan Runge-Kutta-Felberg (RKF).

Para ilmuwan banyak menggunakan metode numerik dalam masalah yang

berbeda-beda, seperti pada paper ini kami mencoba memberikan beberapa referensi

yang menunjukkan pentingnya teknik atau metode kuasi-numerik pada saat ini.

Kumar dan Baskar[10]membahas kuasi-interpolasi metode numerik berdasarkan B-

spline untuk beberapa jenis persamaan Sobolev, Liu dkk[5] membahas kompleksitas

kuasi-optimal metode elemen hingga adaptif untuk masalah elastisitas linier dalam

dua dimensi.

Tujuan dari makalah ini adalah untuk membawa solusi numerik dari

berbagai model populasi dengan menggunakan pendekatan LADM dan RKVe, serta

membandingkan keakuratannya. Makalah ini disusun sebagai berikut :

• Studi literatur tentang dasar dari model pertumbuhan populasi

• Mempelajari tehnik-teknik numerik

• Memberikan contoh solusi numerik dalam model matematika biologi, serta

model perluasannya

• Membandingkan diantara model- model yang kita gunakan dengan ilustrasi.


2.1. Laplace Adomian Decomposition Method(LADM)

2.1.1 LADM untuk Persamaan Differensial Nonlinear.

Metode LADM [6,7] telah diperkenalkan oleh Khuri dan telah berhasil

digunakan untuk menentukan solusi persamaan differensial linear dan nonlinear.

Transformasi Laplace adalah sebagai teknik dasar dari solusi persamaan differensial

biasa yang banyak digunakan oleh para ilmuwan dan insinyur dalam menanggulangi

model linear. Masalah utama dari metode ini adalah metode solusi yang disajikan

dalam deret takhingga yang konvergen ke nilai sebenarnya dan tidak akan memakan

waktu dalam perhitungannya.

Bentuk Umum Persamaan differensial nonlinear sebagai berikut :

𝐿𝑢(𝑡) + 𝑅𝑢(𝑡) + 𝑁𝑢(𝑡) = 𝑔(𝑡), (1) dengan 𝐿 adalah operator linear dari turunan tingkat tinggi. yang diasumsikan

dibalik dengan mudah, 𝑅 adalah sisa operator linear order kurang dari 𝐿 dan 𝑁 adalah

operator nonlinear, dan 𝑔(𝑡) adalah sebagai sumber

Buat Transformasi Laplace kedua ruas dari persamaan(1), didapat :

ℒ[𝐿𝑢(𝑡)] + ℒ[𝑅𝑢(𝑡)] + ℒ[𝑁𝑢(𝑡)] = ℒ[𝑔(𝑡)], (2) gunakan sifat turunan dari transformasi Laplace dan gunakan syarat awal, didapat :

𝑠𝑛ℒ[𝑢(𝑡)] − 𝑠𝑛−1𝑢(0) − 𝑠𝑛−2𝑢′(0) − ⋯− 𝑢𝑛−1(0) + ℒ[𝑅𝑢(𝑡)] + ℒ[𝑁𝑢(𝑡)] = ℒ[𝑔(𝑡)], (3)

842

Atau

ℒ[𝑢(𝑡)] = 𝑢(0)

𝑠+ 𝑢′(0)

𝑠2+⋯+

𝑢𝑛−1(0)

𝑠𝑛−ℒ[𝑅𝑢(𝑡)]

𝑠𝑛−ℒ[𝑁𝑢(𝑡)]

𝑠𝑛+ℒ[𝑔(𝑡)]

𝑠𝑛 . (4)

Sekarang kita definisikan fungsi 𝑢(𝑡) dalam bentuk deret takhingga :

𝑢(𝑡) = ∑𝑢𝑛(𝑡),

∞

𝑛=0

(5)

Komponen 𝑢𝑛(𝑡) biasanya ditentukan berulang dan 𝑁(𝑢) dapat diuraikan dalam deret takhingga berikut

𝑁(𝑢) = ∑𝐴𝑛

∞

𝑛=0

, (6)

dengan 𝐴𝑛 adalah polinom Adomian dari 𝑢0, 𝑢1, … , 𝑢𝑛 yang didefinisikan sebagai

berikut

𝐴𝑛 = 1

𝑛!

𝑑𝑛

𝑑𝜆𝑛[𝑁(∑ 𝜆𝑖𝑢𝑖

∞

𝑖=0

)]

𝜆=0

, 𝑛 = 0,1,2, …. (7)

Olah karena itu, persamaan (4) menjadi

ℒ [∑𝑢𝑛(𝑡)

∞

𝑛=0

] = 𝑢(0)

𝑠+ 𝑢′(0)

𝑠2+⋯+

𝑢𝑛−1(0)

𝑠𝑛−ℒ[𝑅{∑ 𝑢𝑛(𝑡)

∞𝑛=0 }]

𝑠𝑛−ℒ[∑ 𝐴𝑛

∞𝑛=0 ]

𝑠𝑛

+ℒ[𝑔(𝑡)]

𝑠𝑛. (8)

Secara rekursif pada umumnya ditulis sebagai berikut:

ℒ[𝑢0(𝑡)] = 𝑢(0)

𝑠+ 𝑢′(0)

𝑠2+⋯+

𝑢𝑛−1(0)

𝑠𝑛+ℒ[𝑔(𝑡)]

𝑠𝑛 ,

ℒ[𝑢𝑛+1(𝑡)] = −ℒ[𝑅(𝑢𝑛(𝑡))]

𝑠𝑛−ℒ[𝐴𝑛]

𝑠𝑛 . (9)

Gunakan invers transformasi Laplace untuk kedua ruas persamaan (9), kita peroleh

𝑢𝑛,(𝑛 ≥ 0, kemudian substitusi ke persamaan (5).

Untuk Perhitungan numerik, kita sajikan sebagai

𝜙𝑛(𝑡) =∑𝑢𝑘(𝑡) ,

𝑛

𝑘=0

(10)

Yang merupakan pendekatan ke-n dari 𝑢(𝑡) dan solusi berbentuk deret yang akan

konvergen ke nilai sebenarnya.

2.1.2 Algoritma Solusi Numerik LADM

Langkah 1. Bagi persaman (1) dalam 2 bagian.

Ruas pertama adalah −[𝑅𝑢(𝑡) + 𝑁𝑢(𝑡)], (11)

dan ruas kedua 𝐿𝑢(𝑡) − 𝑔(𝑡). (12)

Langkah 2. Gunakan transformasi Laplace untuk ruas kedua, tentukan

koefisien dari ℒ[𝑢(𝑡)], dan diperoleh ℒ[𝑢0] Langkah 3. Hitung Polinomial Adomian untuk fungsi 𝑁𝑢(𝑡), kemudian

gunakan transformasi Laplace.

Langkah 4. Bagi Ruas pertama oleh koefisien ℒ[𝑢(𝑡)], Lakukan looping

untuk menghitung ℒ[𝑢𝑛+1(𝑡)], dengan mensubstitusikan ℒ[𝐴𝑛 ], dan ℒ[𝑢𝑛(𝑡)], pada ruas pertama.

Langkah 5. Konstruksi solusi dengan menggunakan Invers Transformasi

843

Laplace pada ℒ[𝑢𝑛(𝑡)]. Langkah 6. Selesai

2.2. Metode Runge -Kutta Verner (RKVe)

RKVe adalah salah satu metode untuk menyelesaikan masalah persamaan

diferensial nonlinear[1]. Salah satu metode yang paling dikenal adalah metode

Runge-Kutta orde 4 (RK4). Metode Runge-Kutta layak digunakan, karena tingkat

keakuratanya dan tidak memerlukan perhitungan turunan tingkat tinggi seperti

metode Taylor. Bagaimanapun juga, dalam hal estimasi kesalahan metode satu-

langkah dengan ukuran langkah adaptif metode RKVe[8,9], memberikan estimasi

error yang paling baik dibandingkan dengan satu metode Runge-Kutta yang tetap.

Pada setiap langkah Metode RKVe dijelaskan perhitungan dua metode Runge-Kutta

yang berbeda Ordenya (RK5 dan RK7). Jika kedua jawaban cukup kontinu dapat

diterapkan pada kasus model persamaan non-linear masalah stokastik, fisika, kimia

dan biologi.

Bentuk Umum masalah nilai awal persamaan Diferensial biasa:

𝑦′(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡)), 𝑦(𝑡0) = 𝑦0. (13)

RKVe adalah salah satu cara untuk menyelesaikan masalah nilai awal persamaan

(13) dengan cara pertama sebagai prediktor dengan rumus:

𝑦𝑖+1

= 𝑦𝑖+

13

160 𝑘1 +

2375

5984 𝑘3 +

5

16𝑘4 +

12

85𝑘5 +

3

44𝑘6, (14)

kemudian korektor dengan rumus :

𝑧𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 3

40 𝑘1 +

875

2244 𝑘3 +

23

72𝑘4 +

264

1955𝑘5 +

125

11592𝑘7 +

43

616 𝑘8, (15)

dengan rumus untuk 𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘8 didefinisikan pada [1],

𝑘1 = ℎ𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖),

𝑘2 = ℎ𝑓 (𝑡𝑖 +1

6ℎ, 𝑦

𝑖+1

6 𝑘1)

𝑘3 = ℎ𝑓 (𝑡𝑖 +4

15ℎ, 𝑦

𝑖+4

75 𝑘1 +

16

75𝑘2)

𝑘4 = ℎ𝑓 (𝑡𝑖 +2

3ℎ, 𝑦

𝑖+5

6 𝑘1 −

8

3𝑘2 +

5

2𝑘3)

𝑘5 = ℎ𝑓 (𝑡𝑖 +5

6ℎ, 𝑦

𝑖−165

64 𝑘1 +

55

6𝑘2 −

425

64𝑘3 +

85

96𝑘4)

𝑘6 = ℎ𝑓 (𝑡𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 +12

5 𝑘1 − 8𝑘2 +

4015

612𝑘3 −

11

36𝑘4 +

88

255𝑘5)

𝑘7 = ℎ𝑓 (𝑡𝑖 +1

15ℎ, 𝑦

𝑖−8263

15000 𝑘1 +

124

75𝑘2 −

643

680𝑘3 −

81

250𝑘4 +

2484

10625𝑘5)

𝑘8 = ℎ𝑓 (𝑡𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 +3501

1720 𝑘1 −

300

43𝑘2 +

297275

52632𝑘3 −

319

2322𝑘4 +

24068

84065𝑘5

+3850

26703𝑘6)

(16)

Pendekatan Numerik dari kesalahan diskritisasi global(lokal) pada titik 𝑡𝑖+1 adalah

𝜖 = |𝑦𝑖+1 − 𝑧𝑖+1|. (17) Jika 𝜖𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜖 ≤ 𝜖𝑚𝑎𝑥, (dimana toleransi maksimum dan minimum untuk kesalahan

pemotongan lokal, masing-masing, yang didefinisikan dari awal) maka 𝑦𝑖+1 adalah

pendekatan yang dapat diterima dari 𝑦(𝑡𝑖+1) dan ukuran langkah(interval) cukup

besar untuk langkah berikutnya. Jika tidak, ukuran langkah baru 𝑠ℎ yang dapat

ditentukan dari perkalian scalar 𝑠 dengan ukuran langkah ℎ. Skalar 𝑠 diberikan oleh

844

𝑠 = (𝜖ℎ

2|𝑦𝑖+1 − 𝑧𝑖+1|)

14= 0,8408964153(

𝜖ℎ

|𝑦𝑖+1 − 𝑧𝑖+1|)

14. (18)

dengan 𝜖 adalah toleransi error kontrol.

2.2.2 Algoritma untuk menentukan solusi numerik RKVe

Langkah 1. Diberikan fungsi 𝑓(𝑡, 𝑦1) Langkah 2. baca 𝑡(0), 𝑦1(0), ℎ, limit, 𝜖𝑚𝑖𝑛 , 𝜖𝑚𝑎𝑥

Langkah 3. For 𝑖 = 0(1) limit, do call 𝑘1, 𝑘2, . . . , 𝑘8 in equation (16)

Langkah 4. Calculate

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 13

160 𝑘1 +

2375

5984 𝑘3 +

5

16𝑘4 +

12

85𝑘5 +

3

44𝑘6, (19)

Langkah 5. Calculate

𝑧𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 3

40 𝑘1 +

875

2244 𝑘3 +

23

72𝑘4 +

264

1955𝑘5 +

125

11592𝑘7 +

43

616 𝑘8. (20)

Langkah 6.

𝜖 = |𝑦𝑖+1 − 𝑧𝑖+1| (21) Langkah 7. Anggap 𝜖𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜖 ≤ 𝜖𝑚𝑎𝑥, Langkah 8. 𝑡𝑖+1 = 𝑡𝑖 + ℎ. Tulis 𝑧𝑖(𝑡𝑖+1), 𝑡𝑖 Langkah 9. ulangi sampai mendapatkan pendekatan yang paling baik

Langkah 10. end program

Langkah 11. jika tidak, ℎ = 𝑠ℎ dengan

𝑠 = (𝜖ℎ

2|𝑦𝑖+1 − 𝑧𝑖+1|)

14= 0,8408964153(

𝜖ℎ

|𝑦𝑖+1 − 𝑧𝑖+1|)

14

Langkah 12. ulangi langkah 8-10 untuk mendapatkan nilai akurasi yang baik

atau berhenti sampai disini

2.3. Solusi dari beberapa model populasi dengan teknik Numerik

2.3.1 Model Populasi Serangga

Misalkan 𝑃 suatu populasi serangga yang menunjukkan model pertumbuhan

musiman yang dibahas Erbe dkk, [11]. Persamaan diferensial model pertumbuhan

serangga diberikan oleh : 𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝐾𝑃 cos𝜆𝑡 (22)

Dengan 𝐾 𝑑𝑎𝑛 𝜆 adalah konstanta positif

Selesaikan masalah nilai awal persamaan (22) dengan metode LADM dengan nilai

awal 𝑃(0), sehingga

∑𝑃𝑛(𝑡) =

∞

𝑛=0

𝑃(0) + 𝐾ℒ−1 [1

𝑠ℒ (∑𝑃𝑛(𝑡) cos 𝜆𝑡

∞

𝑛=0

)]. (23)

Sekarang gunakan algorithma rekursif dengan menerapkan LADM

𝑃0 = 𝑃(0)

𝑃𝑛+1(𝑡) = 𝐾ℒ−1 [

1

𝑠ℒ(𝑃𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠 𝜆𝑡)] , 𝑛 ≥ 0 (24)

Sekarang kita gunakan metode RKVe, bentuk masalah nilai awal persaman (13)

menjadi

𝑃′(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝑃(𝑡)) = 𝐾𝑃 𝑐𝑜𝑠 𝜆𝑡, 𝑃(𝑡0) = 𝑃0

Pertama kita definisikan berdasarkan (16). Maka solusi pendekatan masalah nilai

awal persamaan (22) sebagai prediktor menggunakan rumus :

845

𝑃𝑛+1 = 𝑃𝑛 + 13

160 𝑘1 +

2375

5984 𝑘3 +

5

16𝑘4 +

12

85𝑘5 +

3

44𝑘6 (26)

Dan solusi terbaik sebagai korektor menggunakan rumus:

𝑧𝑛+1 = 𝑃𝑛 + 3

40 𝑘1 +

875

2244 𝑘3 +

23

72𝑘4 +

264

1955𝑘5 +

125

11592𝑘7 +

43

616 (27)

Pengembangan dari model populasi serangga (model II) yang dikembangkan oleh

Fungsional respon Holling tipe III sebagai berikut :

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝐾𝑃 cos 𝜆𝑡 −

𝛼𝑃2

𝛽 + 𝑃2 , (28)

dengan 𝛼 dan 𝛽 konstanta positif dan 𝛼 menunjukkan tingkat penangkapan

maksimum serangga dengan spesies predator.

Persamaan (28) diselesaikan terlebih dahulu oleh LADM, dengan nilai awal 𝑁(0), secara recursif diperoleh:

𝑃𝑜 = 𝑃(0) − 𝛼𝑡,

𝑃𝑛+1 = 𝐾ℒ−1 [

1

𝑠ℒ(𝑃𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠 𝜆𝑡)] + 𝛼𝛽ℒ

−1 [1

𝑠ℒ (𝐴𝑛)] , 𝑛 ≥ 0 (29)

Oleh Karena itu 𝑃 dapat disajikan dalam deret takhingga 𝑃 = ∑ 𝑃𝑛∞𝑛=0 dan

polynomial Adomian dihitung dengan rumus di bawah ini:

𝐴𝑛 = 1

𝑛!

𝑑𝑛

𝑑𝜆𝑛[𝑁 (∑𝜆𝑘𝑃𝑘

∞

𝑘=0

)]

𝜆=0

. (30)

Sekarang kita selesaikan persamaan (29) dengan metode RKVe. Anggap masalah

nilai awal berbentuk:

𝑃′(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝑃(𝑡)) = 𝐾𝑃 cos 𝜆𝑡 −𝛼𝑃2

𝛽 + 𝑃2 , 𝑃(𝑡0) = 𝑃0 . (31)

Pertama kita definisikan:

𝑘1 = ℎ𝐾 𝑃0 cos 𝜆𝑡0 −𝛼𝑃0

2

𝛽 + 𝑃02

𝑘2 = ℎ𝐾 (𝑃0 +1

6 𝑘1) cos 𝜆 (𝑡0 +

1

6ℎ ) −

𝛼 (𝑃0 +16 𝑘1)

2

𝛽 + (𝑃0 +16 𝑘1)

2

𝑘3 = ℎ𝐾 ( 𝑃0 +4

75 𝑘1 +

16

75𝑘2) cos 𝜆 (𝑡0 +

4

15ℎ) −

𝛼 (𝑃0 +475 𝑘1 +

1675𝑘2)

2

𝛽 + (𝑃0 +475 𝑘1 +

1675𝑘2)

2

𝑘4 = ℎ𝐾 ( 𝑃0 +5

6 𝑘1 −

8

3𝑘2 +

5

2𝑘3) cos 𝜆 ( 𝑡0 +

2

3ℎ)

−𝛼 (𝑃0 +

56 𝑘1 −

83𝑘2 +

52𝑘3)

2

𝛽 + (𝑃0 +56 𝑘1 −

83𝑘2 +

52𝑘3)

2

𝑘5 = ℎ𝐾 ( 𝑃0 −165

64 𝑘1 +

55

6𝑘2 −

425

64𝑘3 +

85

96𝑘4) cos 𝜆 (𝑡0 +

5

6ℎ, )

−𝛼 (𝑃0 −

16564

𝑘1 +556𝑘2 −

42564

𝑘3 +8596𝑘4)

2

𝛽 + (𝑃0 −16564

𝑘1 +556𝑘2 −

42564

𝑘3 +8596𝑘4)

2

846

𝑘6 = ℎ𝐾 ( 𝑃0 +12

5 𝑘1 − 8𝑘2 +

4015

612𝑘3 −

11

36𝑘4 +

88

255𝑘5) cos 𝜆(𝑡0 + ℎ, )

−𝛼 (𝑃0 +

125 𝑘1 − 8𝑘2 +

4015612

𝑘3 −1136𝑘4 +

88255

𝑘5)2

𝛽 + (𝑃0 +125 𝑘1 − 8𝑘2 +

4015612

𝑘3 −1136𝑘4 +

88255

𝑘5)2

𝑘7 = ℎ𝐾 ( 𝑃0 −8263

15000 𝑘1 +

124

75𝑘2 −

643

680𝑘3 −

81

250𝑘4 +

2484

10625𝑘5) cos 𝜆 (𝑡0 +

1

15ℎ)

−𝛼 (𝑃0 +

125 𝑘1 − 8𝑘2 +

4015612

𝑘3 −1136𝑘4 +

88255

𝑘5)2

𝛽 + (𝑃0 +125 𝑘1 − 8𝑘2 +

4015612

𝑘3 −1136𝑘4 +

88255

𝑘5)2

𝑘8

= ℎ𝑓 ( 𝑃0 +3501

1720 𝑘1 −

300

43𝑘2 +

297275

52632𝑘3 −

319

2322𝑘4 +

24068

84065𝑘5

+3850

26703𝑘6) cos 𝜆(𝑡0 + ℎ)

−𝛼 (𝑃0 +

35011720

𝑘1 −30043

𝑘2 +29727552632

𝑘3 −3192322

𝑘4 +2406884065

𝑘5 +385026703

𝑘6)2

𝛽 + (𝑃0 +35011720

𝑘1 −30043

𝑘2 +29727552632

𝑘3 −3192322

𝑘4 +2406884065

𝑘5 +385026703

𝑘6)2

(32)

Kemudian solusi pendekatannya dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 5

𝑃𝑛+1 = 𝑃𝑛 + 13

160 𝑘1 +

2375

5984 𝑘3 +

5

16𝑘4 +

12

85𝑘5 +

3

44𝑘6 . (33)

Dan solusi terbaiknya gunakan metode Runge-Kutta orde 7

𝑧𝑛+1 = 𝑃𝑛 + 3

40 𝑘1 +

875

2244 𝑘3 +

23

72𝑘4 +

264

1955𝑘5 +

125

11592𝑘7 +

43

616 𝑘8. (34)

2.4. Hasil Perhitungan

Tabel 1 Solusi Model I degan nilai awal 𝑃(0) = 1000 𝑑𝑎𝑛 𝐾 = 2 , 𝜆 = 𝜋, ℎ = 0,1

t Solusi eksak solusi RKVe

Solusi

LADM 3

iterasi

ERRVe ERRLADM

0 1000,0000 1000,0000 1000,0000 0,E+00 0,E+00

0,1 1217,4076 1217,2047 1216,0738 2,E-01 1,E+00

0,2 1453,7921 1453,2372 1444,1789 6,E-01 1,E+01

0,3 1673,5898 1673,4973 1647,5683 9,E-02 3,E+01

0,4 1831,8332 1831,7952 1788,5216 4,E-02 4,E+01

0,5 1889,5970 1889,5634 1838,8428 3,E-02 5,E+01

0,6 1831,3776 1831,2582 1788,1223 1,E-01 4,E+01

0,7 1672,7982 1672,5945 1646,8516 2,E-01 3,E+01

0,8 1452,8457 1452,7963 1443,2843 5,E-02 1,E+01

0,9 1216,4762 1216,4072 1215,1581 7,E-02 1,E+00

1 999,1956 999,1804 999,1956 2,E-02 0,E+00

847

Gambar 1 Perbandingan solusi eksak, LADM, RKVe untuk Model I

Tabel 2 : Solusi Model 2 dengan Nilai Awal 𝑃(0) = 100, 𝑑𝑎𝑛 𝛼 = 0,5, 𝛽 = 0,03, 𝐾 = 2, 𝜆 = 𝜋, ℎ = 0,05

T Solusi

eksak

Solusi

RKVe

Solusi

LADM 3

iterasi

ERRVe ERRLADM

0 100,0000 100,0000 100,0000 0,E+00 0,E+00

0,05 110,4454 110,2788 110,4297 2,E-01 2,E-02

0,1 121,6856 121,2084 121,5572 5,E-01 1,E-01

0,15 133,4239 132,8734 133,0020 6,E-01 4,E-01

0,2 145,2587 144,1945 144,3173 1,E+00 9,E-01

0,25 156,6939 156,3465 155,0163 3,E-01 2,E+00

0,3 167,1668 166,4323 164,6054 7,E-01 3,E+00

0,35 176,0921 174,7453 172,6181 1,E+00 3,E+00

0,4 182,9208 182,0651 178,6494 9,E-01 4,E+00

0,45 187,2017 185,6547 182,3860 2,E+00 5,E+00

0,5 188,6384 186,7861 183,6299 2,E+00 5,E+00

0,55 187,1284 184,6437 182,3137 2,E+00 5,E+00

0,6 182,7774 182,0000 178,5057 8,E-01 4,E+00

0,65 175,8845 174,6345 172,4051 1,E+00 3,E+00

0,7 166,9031 165,0572 164,3261 2,E+00 3,E+00

0,75 156,3834 154,8673 154,6740 2,E+00 2,E+00

0,8 144,9109 143,7689 143,9164 1,E+00 1,E+00

0,85 133,0478 133,3725 132,5464 -3,E-01 5,E-01

0,9 121,2890 120,8674 121,0507 4,E-01 2,E-01

0,95 110,0347 109,9000 109,8757 1,E-01 2,E-01

1 99,5797 99,7869 99,4013 -2,E-01 2,E-01

0,0000

200,0000

400,0000

600,0000

800,0000

1000,0000

1200,0000

1400,0000

1600,0000

1800,0000

2000,0000

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

y(So

lusi

)

tSolusi eksak solusi RKVe Solusi LADM 3 iterasi

848

Gambar 2. Perbandingan solusi eksak, solusi LADM dan Solusi RKVe (Model II)

3. Kesimpulan

Hasil dari solusi numerik dengan menggunakan metode LADM dan RKVe,

dan dibandingkan dengan solusi eksak dari model populasi yang berbeda, dapat

disimpulkan sebagai berikut :

1. Dari tabel 1 dan gambar 1 untuk model 1, dengan nilai awal 𝑃(0) =1000, 𝑑𝑎𝑛 𝐾 = 2, 𝜆 = 𝜋, ℎ = 0,1 dapat dilihat bahwa metode RKVe yang

paling baik tingkat akurasinya.

2. Dari tabel 2 dan gambar 2 untuk model II, dengan mengambil 𝛼 = 0,5, 𝛽 =0,03,𝐾 = 2, 𝜆 = 𝜋, ℎ = 0,05, dan 𝑃(0) = 100. Sekali lagi, hasil metode

numerik RKVe. menunjukan tingkat akurasi yang baik.

Sebagai saran bagi peneliti selanjutnya, dapat dikembangkan untuk model

persamaan differensial non linear yang lebih kompleks lagi seperti solusi taksiran

penyebaran penyakit demam berdarah.

Pernyataan terima kasih. Terima Kasih pada semua pihak yang telah

membantu materil dan spiritual sehingga terselesaikannya makalah ini

Referensi

[16] Burden L Richard , Faires J Douglas, 2005, Numerical Analysis 8th , Thomson

Brooks/Cole, printed in the United State of America

[17] C. S. Holling, 1965, The functional response of predators to prey density and its role in

mimicry and population regulation. Memoirs of the Entomological Society of Canada,

vol. 97, no. 45, pp. 5-60.

[18] R. A. Parker, 1993, Feedback control of birth and death rates for oftimal population

density, Ecologycal modelling, vol. 65, no. 1-2, pp. 137-146.

[19] C. Qiwu and G.J. Lawson, 1982, Study on Models of single population : expansion of

the logistic and exponensial equations, Journal of Theoretical Biology, vol. 98, no. 4

pp. 645-659.

0,0000

50,0000

100,0000

150,0000

200,0000

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

y(s

olu

si)

t

Solusi eksak Solusi RKVe Solusi LADM 3 iterasi

849

[20] C. Liu, L. Zhong, S.Shu, and Y Xiao, 2016, Quasi-optimal complexity of adaptive finite

element method for linear elasticity problems in two dimensions, Applied Mathematics

and mechanic, English edition, vol. 37, no. 2, pp. 151-168

[21] S. A. Khuri, 2001, A Laplace Decomposition algorithm applied to a class of of

Nonlinear Equations, Journal of Applied Mathematics, vol. 1, no.4, pp. 141-155.

[22] O. Kiymaz, 2009, A Algorithm for solving initial value problems using Laplace

Adomian decomposition method, Applied Mathematical Sciences, vol.3 no. 29-32, pp.

1453-1459.

[23] P. Albrecht, 1996, the Runge-Kutta theory in a nutshell, SIAM Journal of Numerical

Analysis, vol. 33, no. 5, pp. 1712-1735

[24] P. J. Prince and J. R. Dormand, 1981, High order embedded Runge-Kutta formulae,

Journal of computational and Applied Mathematics, vol. 7, no. 1, pp. 67-75

[25] R. Kumar and S Baskar, 2016, B-Spline Quasi-interpolation based numerical methods

for some Sobolev type equation, Journal of computational and applied Mathematics,

vol. 18, no. 6, article ID 10206, pp. 41-66

[26] L. H. Erbe, H. I. Freedman, and V. Sree Hari Rao, 1986, Three-species food-chain

models with mutual interference and time delays, Mathematical Biosciences, vol. 80,

no. 1, pp. 57-8

850

Prosiding SNM 2017 Pemode lan dan Opt imisas i , Hal 850 -857

PERMODELAN DINAMIK PADA SISTEM PROSES

PENGOLAHAN AIR LIMBAH KOLAM STABILISASI

FAKULTATIF

SUNARSIH1, DIAN HULIYUN RAHMANIA2, NIKKEN PRIMA

PUSPITA3

1Departemen Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Diponegoro

e-mail : [email protected] 2Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Diponegoro

email : [email protected] 3Departemen Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Diponegoro

e-mail : [email protected]

Abstrak. Karakteristik air buangan perkotaan yang menonjol adalah kandungan bahan

organik yang tinggi yaitu dengan ditandainya kandungan Biological Oxygen Demand

(BOD), termasuk air buangan kota Yogyakarta Indonesia yang diolah melalui Instalasi

Pengolahan Air Limbah (IPAL) Sewon Bantul. Air buangan perkotaan tidak termasuk

air buangan industri walaupun tidak mengandung bahan kimia yang berbahaya,

sehingga dalam pengolahan pada umumnya tidak menggunakan bahan kimia khusus,

tetapi dengan pengolahan secara biologi atau secara alamiah. Pengolahan biologi

ditujukan untuk mendegradasi bahan organik dengan memanfaatkan mikrobiologi.

Banyak metode evaluasi pemantauan kualitas limbah cair yang menggunakan prediksi.

Permasalahan yang ada adalah trend yang ada ditentukan melalui ekstrapolasi dari data

sampel dengan cara regresi. Metode regresi ini memiliki keakuratan dan presisi yang

cukup baik, tetapi memiliki keterbatasan dalam proses pengembangan permodelan

kualitas air. Tujuan dari tulisan ini adalah melakukan permodelan dinamik terhadap

kualitas air limbah dengan 4 (empat) sistem diferensial non linier yang diselesaikan

secara simultan sebagai metode evaluasi kinerja sistem pengolahan air limbah kolam

stabilisasi. Hasil penelitian adalah model sebagai metode evaluasi kinerja sistem proses

pengolahan air limbah yang diselesaikan secara numerik dengan menggunakan metode

Euler. Model divalidasi dan disimulasi pada sistem pengolahan air limbah kolam

stabilisasi fakultatif. Hasil simulasi model menunjukkan bahwa terdapat tingkat

kesalahan relatif kurang dari 10% yaitu dengan membandingkan data model dan data

observasi terhadap konsentrasi alga, bakteri, oksigen terlarut, dan BOD.

Kata kunci: Biological Oxygen Demand, Kolam Stabilisasi, Metode Evaluasi, Model

Dinamik, Metode Euler

1. Pendahuluan

1.1. Latar Belakang

Karakteristik air buangan perkotaan yang menonjol adalah kandungan bahan

organik yang tinggi yaitu dengan ditandainya kandungan Biological Oxygen

Demand (BOD). Air buangan perkotaan ini biasanya disebut dengan limbah cair

domestik. Limbah cair domestik merupakan limbah yang dihasilkan dari limbah

rumah tangga sebagai cirinya adalah kandungan bahan organik yang tinggi. Limbah


851

ini terdiri dari pembuangan air kotor dari kamar mandi, kakus, dan dapur. Air

buangan ini tidak termasuk air buangan industri, walaupun tidak mengandung bahan

kimia yang berbahaya dalam pengolahannya pada umumnya tidak menggunakan

penambahan bahan kimia khusus. Pada umumnya pengolahan air limbah ini

menggunakan kolam stabilisasi. Sistem pengolahan limbah pada kolam stabilisasi

dipergunakan untuk memperbaiki kualitas air limbah dengan mengandalkan proses-

proses alamiah untuk mengolah air limbah dengan memanfaatkan keberadaan

bakteri, alga, dan zooplankton untuk mereduksi bahan pencemar organik yang

terkandung dalam air limbah [1].

Oleh karena air buangan perkotaan ini yang menonjol adalah bahan organik,

maka sistem pengolahannya diutamakan secara biologi menggunakan kolam

stabilisasi. Pengolahan biologi ditujukan untuk mendegradasi kandungan bahan

organik dengan memanfaatkan mikrobiologi, yang akan mendegradasi bahan

organik tersebut. Untuk mendukung berlangsungnya proses degradasi bahan organik

diperlukan kondisi air yang mendukung antara lain suhu, pH dan kandungan oksigen

dalam air. Sistem pengolahan limbah pada kolam stabilisasi dipergunakan untuk

memperbaiki kualitas air limbah dengan mengandalkan proses-proses alamiah yang

memanfaatkan keberadaan bakteri dan alga yang terkandung dalam air limbah [2,3].

Salah satu jenis sistem proses pengolahan limbah domestik adalah menggunakan

unit Instalasi Pengolahan Air Limbah (IPAL) terpusat Sewon Bantul Yogyakarta.

Karakteristik hidrolis merupakan salah satu faktor yang mendukung kinerja

unit pengolahan secara optimal, apabila kondisi hidrolis didalamnya tidak

mendukung terjadinya pengolahan maka kinerja unit tersebut dapat menjadi buruk.

Kolam stabilisasi limbah ini sangat cocok diterapkan pada negara berkembang

(terutama daerah tropis yang iklimnya hangat), karena pengoperasian kolam ini tidak

membutuhkan biaya investasi dan biaya pengoperasian yang tinggi [2-7, 11].

Dalam upaya melakukan mengendalikan kualitas air pada sistem pengolahan

air limbah diperlukan metode evaluasi yang menggunakan permodelan matematika

yaitu model dinamik. Model ini berdasarkan [8] yang kemudian dikontruksikan

kembali menjadi 4 (empat) variabel yaitu alga, bakteri, Dissolved Oxygen dan

substrat (Biochemecal Oxygen Demand) berupa sistem persamaan diferensial

dengan dasar model monod sebagai model pertumbuhan mikroba.

1.2.Bahan dan Metode

Asumsi Pengembangan Model

Pengembangan model berdasarkan pada proses pengolahan air limbah IPAL

dengan persamaan matematis yaitu persamaan diferensial non linier simultan. Model

direpresentasikan sebagai model dinamik dengan asumsi bahwa dasar kolam adalah

tidak aktif dan sistem pengolahan air limbah diilustrasikan seperti Gambar 1.

852

Alga

CO2 Substrat

(BOD)

I

N

L

E

T

F Sinar

Matahari Fotosintesiss µ1

ℎ3𝜇2

ℎ4𝜇1

𝐷1

𝑚1

Bakteri

ℎ1𝜇1

O

U

T

L

E

T

ℎ2𝜇2

Reaerasi

𝑘𝐿𝑎

𝑟1

F

𝜇2 oksidasi

Oksigen

Terlarut

𝑚2

Gambar 1. Diagram Sistem Pengolahan Air Limbah Kolam Stabilisasi

Gambar 1, menunjukkan sistem pengolahan air limbah secara biologi yang

digunakan untuk mengembangkan model yang berupa laju perubahan/ pertumbuhan

dari variabel pembentuk persamaan mass balance ke dalam sistem persamaan

diferensial non linier simultan.

1.3. Model Dinamik

Bentuk persamaan mass balance untuk setiap komponen pada sistem persamaan

yang dibangun dalam 4 (empat) persamaan diferensial nonlinear. Dengan 4 (empat)

persamaan yang dikembangkan diaplikasikan dari persamaan monod terhadap

koreksi waktu sebagai pertumbuhan maksimum [1, 8-10].

Berdasarkan Gambar 1. diperoleh model matematika berbentuk sistem

persamaan diferensial nonlinear orde satu yang menggambarkan laju perubahan

konsentrasi : alga (𝐴), bakteri (𝐵), Dissolved Oxygen (𝐷𝑂) dan substrat (𝑆) pada

kolam stabilisasi sebagai berikut : 𝑑𝐴

𝑑𝑡 = 𝜇1

𝑆

𝑘1 + 𝑆𝐴 −𝑚1𝐴 − 𝐷1𝐴

𝑑𝐵

𝑑𝑡= 𝜇2

𝑆

𝑘2 + 𝑆

𝐷𝑂

𝑘3 + 𝐷𝑂𝐵 −𝑚2𝐵 − 𝐷1𝐵

𝑑𝐷𝑂

𝑑𝑡= ℎ1𝜇1

𝑆

𝑘1 + 𝑆𝐴 − 𝐷1𝐷𝑂 + 𝑘𝐿𝑎(𝐷0 − 𝐷𝑂)

−ℎ2𝜇2𝑆

𝑘2 + 𝑆

𝐷𝑂

𝑘3 + 𝐷𝑂𝐵 − 𝑟1𝐴

𝐷𝑂

𝑘0 + 𝐷𝑂𝑑𝑆

𝑑𝑡 = −ℎ3𝜇2

𝑆

𝑘2 + 𝑆

𝐷𝑂

𝑘3 + 𝐷𝑂𝐵 − 𝐷1𝑆 − ℎ4𝜇1

𝑆

𝑘1 + 𝑆𝐴,

(1)

dengan 𝜇1 > 0, 𝜇2 > 0,𝑚1 > 0, 𝑚2 > 0, ℎ1 > 0, ℎ2 > 0, ℎ3 > 0, ℎ4 > 0, 𝑘0 >0, 𝑘1 > 0, 𝑘2 > 0, 𝑘3 > 0, 𝑘𝐿𝑎 > 0, 𝑟1 > 0,𝐷0 > 0, dan 𝐷1 > 0.

Metode Euler dan Model Program Persamaan (1) yang terdiri atas 4 (empat) persamaan differensial non linier

diselesaikan dengan Metode Euler sebagai teknik integrasi untuk mendapatkan

konsentrasi setiap komponen terhadap waktu simulasi dilakukan menggunakan

853

program Matlab(R2008a) dan sebagai input data awal adalah kondisi awal alga

𝐴(0) = 33 jumlah individu, bakteri 𝐵(0) = 490 mg/l, Dissolved Oxygen DO (0) =0.9 mg/l dan subtrat (Biochemical Oxygen Demand 𝑆(0) = 250 mg/l. Nilai awal

konsentrasi ini merupakan hasil pengukuran pada inlet kolam stabilisasi.

Model Validasi

Uji validasi model dilakukan dengan menggunakan data pengukuran pada

IPAL Sewon Bantul Yogyakarta meliputi konsentrasi: alga, bakteri, DO dan BOD.

Uji dilakukan dengan menbandingkan antara data observasi dan data hitung dengan

toleransi kesalahan 10%. Menurut [12] untuk mengukur kualitas yang merupakan

suatu istilah realtif yang sangat bergantung pada situasi, maka dengan

membandingkan standar dan pengukuran kinerja suatu hal adalah perbedaan/

Perbedaan ini menurut [13] bisa sampai dengan toleransi kesalahan 20%.


Sistem persamaan (1) digunakan untuk menggambarkan bagaimana daya

dukung lingkungan pada sistem proses unit pengolahan air limbah yang dapat

mendegradasi bahan organik. Sebuah sistem yang dapat mengilustrasikan proses

degradasi adalah sistem IPAL yang terjadinya interaksi antar unsur-unsur variabel

konsentrasi. Kondisi ini merupakan keadaan dinamik dimana keadaan sistem

berubah terhadap waktu, yang ditandai dari keadaan tak tunak (unsteady state)

sampai keadaan tunak (steady state). Untuk mengetahui kesetimbangan dari sistem

berikut ini ditentukan titik ketimbangan dari model yaitu :

A. Penentuan Titik Kesetimbangan

Untuk menentukan titik kesetimbangan terlebih dahulu disimbolkan sebagai

titik (𝐴∗, 𝐵∗, 𝐷𝑂∗, 𝑆∗) yang merupakan titik dari persamaan (1) jika memenuhi 𝑑𝐴

𝑑𝑡=

0,𝑑𝐵

𝑑𝑡= 0,

𝑑𝐷𝑂

𝑑𝑡= 0,

𝑑𝑆

𝑑𝑡= 0, maka sistem persamaan pada persamaan (1) disekitar

titik kesetimbangan (𝐴∗, 𝐵∗, 𝑂2∗, 𝑆∗) menjadi :

𝜇1

𝑆∗

𝑘1 + 𝑆∗ 𝐴

∗ − 𝑚1𝐴∗ − 𝐷1𝐴

∗ = 0 (2)

𝜇2

𝑆∗

𝑘2 + 𝑆∗

𝐷𝑂∗

𝑘3 + 𝐷𝑂∗ 𝐵

∗ − 𝑚2𝐵∗ − 𝐷1𝐵

∗ = 0 (3)

ℎ1𝜇1𝑆∗

𝑘1 + 𝑆∗ 𝐴

∗ − 𝐷1𝐷𝑂∗ + 𝑘𝐿𝑎(𝐷0 − 𝐷𝑂

∗) − ℎ2𝜇2𝑆∗

𝑘2 + 𝑆∗

𝐷𝑂∗


∗ (4)

−𝑟1𝐴∗

𝐷𝑂

𝑘0 + 𝐷𝑂= 0

−ℎ3𝜇2𝑆∗

𝑘2 + 𝑆∗

𝐷𝑂∗


∗ − 𝐷1𝑆∗ − ℎ4𝜇1

𝑆∗

𝑘1 + 𝑆∗ 𝐴

∗ = 0. (5)

Dari persamaan (2), (3), (4) dan (5) dapat diperoleh empat titik

kesetimbangan, yaitu titik kesetimbangan pada kondisi kolam tercemar yang berarti

bahwa kolam mengandung alga, bakteri, dan substrat: 𝐸1(𝐴∗, 𝐵∗, 𝐷𝑂∗, 𝑆∗) =

(𝐴∗, 𝐵∗,(𝑚2+𝐷1)(𝑘2(−𝜇1+𝑚1+𝐷1)+𝑘1(−𝑚1−𝐷1))𝑘3

𝜇2𝑘1(−𝑚1−𝐷1)−(𝑚2+𝐷1)(𝑘2(−𝜇1+𝑚1+𝐷1)+𝑘1(−𝑚1−𝐷1)),𝑘1(−𝑚1−𝐷1)

−𝜇1+𝑚1+𝐷1), titik kese-

timbangan pada kondisi kolam tidak mengandung bakteri 𝐸2(𝐴∗, 𝐵∗, 𝐷𝑂∗, 𝑆∗) =

(𝐷1𝑘1

ℎ4(−𝜇1+𝑚1+𝐷1), 0, 𝐷𝑂∗,

𝑘1(−𝑚1−𝐷1)

−𝜇1,𝑚𝑎𝑥+𝑚1+𝐷1), titik kesetimbangan pada kondisi kolam

854

tidak mengandung alga 𝐸3(𝐴∗, 𝐵∗, 𝐷𝑂∗, 𝑆∗) = (0, 𝐵∗,

ℎ2𝐷1𝑆∗+ℎ3𝑘𝐿𝑎𝐷0

ℎ3(𝐷1+𝑘𝐿𝑎), 𝑆∗) dan titik

kesetimbangan pada kondisi kolam tidak mengandung alga, bakteri dan substrat

𝐸4(𝐴∗, 𝐵∗, 𝐷𝑂∗, 𝑆∗) = (0,0,

𝑘𝐿𝑎𝐷0(𝐷1+𝑘𝐿𝑎)

, 0).

B. Kestabilan dari Titik Kesetimbangan

Penentuan kestabilan dari titik kesetimbangan dilakukan untuk 4 (empat) titik

kondisi setimbangan, yaitu kesetimbangan pada kondisi kolam mengandung alga,

bakteri dan substrat, kesetimbangan pada kondisi kolam tidak mengandung alga,

kesetimbangan pada kondisi kolam tidak mengandung bakteri dan kesetimbangan

pada kondisi kolam tidak mengandung alga, bakteri dan substrat. Kestabilan dari

sistem persamaan non linier (1) di sekitar titik kesetimbangan dapat diketahui dengan

melakukan pelinieran sistem non linier menggunakan ekspansi Taylor, sehingga

diperoleh matriks Jacobian sebagai berikut [10]:

𝐽(𝐴∗, 𝐵∗, 𝐷𝑂∗, 𝑆∗) =

[ 𝜕𝑓1

𝜕𝐴

𝜕𝑓1

𝜕𝐵

𝜕𝑓1

𝜕𝐷𝑂

𝜕𝑓1

𝜕𝑆

𝜕𝑓2

𝜕𝐴

𝜕𝑓2

𝜕𝐵

𝜕𝑓2

𝜕𝐷𝑂

𝜕𝑓2

𝜕𝑆

𝜕𝑓3

𝜕𝐴

𝜕𝑓3

𝜕𝐵

𝜕𝑓3

𝜕𝐷𝑂

𝜕𝑓3

𝜕𝑆

𝜕𝑓4

𝜕𝐴

𝜕𝑓4

𝜕𝐵

𝜕𝑓4

𝜕𝐷𝑂

𝜕𝑓4

𝜕𝑆 ]

=

[ 𝜇1𝑆

∗

𝑘1+𝑆∗ −𝑚1 − 𝐷1 0 0

𝜇1𝐴∗

𝑘1+𝑆∗ −

𝜇1𝑆∗𝐴∗

(𝑘1+𝑆∗)2

0𝜇2𝑆

∗

𝑘2+𝑆∗

𝐷𝑂

𝑘3+𝐷𝑂

𝜇2𝑆∗

(𝑘2+𝑆∗)(𝑘3+𝐷𝑂

∗)𝐵∗

𝜇2𝐷𝑂∗𝐵∗

(𝑘2+𝑆∗)(𝑘3+𝐷𝑂

∗)−

0 −𝑚2 −𝐷1 −𝜇2𝑆

∗𝐷𝑂∗

(𝑘2+𝑆∗)(𝑘3+𝐷𝑂

∗)2𝐵∗

𝜇2𝑆∗𝐷𝑂 ∗𝐵∗

(𝑘2+𝑆∗)2(𝑘3+𝐷𝑂

∗)

ℎ1𝜇1𝑆∗

𝑘1+𝑆∗

−ℎ2𝜇2𝑆∗

𝑘2+𝑆∗

𝐷𝑂 ∗

𝑘3+𝐷𝑂∗ −𝐷1 − 𝑘𝐿𝑎 −

ℎ2𝜇2𝑆∗𝐵∗

(𝑘2+𝑆∗)(𝑘3+𝐷𝑂

∗)

ℎ1𝜇1𝐴∗

𝑘1+𝑆∗−ℎ1𝜇1𝑆

∗𝐴∗

(𝑘1+𝑆∗)2

−𝑟1𝐷𝑂

∗

𝑘0+𝐷𝑂∗ 0 +

ℎ2𝜇2𝑆∗𝐷𝑂 ∗𝐵∗

(𝑘2+𝑆∗)(𝑘3+𝐷𝑂

∗)2−

ℎ2𝜇2𝐷𝑂∗𝐵∗

(𝑘2+𝑆∗)(𝑘3+𝐷𝑂

∗)

0 0 −𝑟1𝐴

∗

𝑘0+𝑂2∗ +

𝑟1𝐴∗𝐷𝑂 ∗

(𝑘0+𝐷𝑂∗)2

+ℎ2𝜇2𝑆

∗𝐷𝑂 ∗𝐵∗

(𝑘2+𝑆∗)2(𝑘3+𝐷𝑂

∗)

−ℎ4𝜇1𝑆∗

𝑘1+𝑆∗

−ℎ3𝜇2𝑆∗

𝑘2+𝑆∗

𝐷𝑂 ∗

𝑘3+𝐷𝑂∗ −

ℎ3𝜇2𝑆∗𝐵∗

(𝑘2+𝑆∗)(𝑘3+𝐷𝑂

∗)+ −

ℎ3𝜇2𝐷𝑂∗𝐵∗

(𝑘2+𝑆∗)(𝑘3+𝐷𝑂

∗)+

0 0ℎ3𝜇2𝑆


(𝑘2+𝑆∗)(𝑘3+𝐷𝑂

∗)2ℎ3𝜇2𝑆


(𝑘2+𝑆∗)2(𝑘3+𝐷𝑂

∗)− 𝐷1

0 0 0 −ℎ4𝜇1𝐴

∗

𝑘1+𝑆∗ +

ℎ4𝜇1𝑆∗𝐴∗

𝑘+𝑆∗ ]

.

Dengan mensubstitusikan titik kesetimbangan yang telah diperoleh kedalam

matriks Jacobian. Nilai eigen dapat diperoleh dengan det (𝐽(𝐴∗, 𝐵∗, 𝐷𝑂∗, 𝑆∗) −𝜆𝐼) = 0. Nilai eigen untuk titik kesetimbangan pada kondisi kolam tidak

mengandung alga, bakteri dan substrat adalah 𝜆1 = −𝑚1 − 𝐷1, 𝜆2 = −𝑚2 − 𝐷1,

𝜆3 = −𝐷1 − 𝑘𝐿𝑎 dan 𝜆4 = −𝐷1. Untuk menganalisis kestabilan sistem pada sisitem

(1) didasarkan pada sifat kestabilan di sekitar titik kesetimbangan. Dengan

menggunakan nilai eigen, maka titik kesetimbangan diketahui jenisnya. Pada titik

kesetimbangan bebas pencemar 𝐸4 merupakan stabil asimtotik jika semua nilai eigen

bernilai negatif atau 𝜆𝑖 < 0 untuk 𝑖 = 1,2,3,4. Nilai eigen 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3 dan 𝜆4 bernilai

negatif, sehingga titik kesetimbangan bebas pencemar 𝐸4 stabil asimtotik. Pada titik

kesetimbangan 𝐸1(𝐴∗, 𝐵∗, 𝐷𝑂∗, 𝑆∗), 𝐸2(𝐴

∗, 𝐵∗, 𝐷𝑂∗, 𝑆∗), 𝐸3(𝐴∗, 𝐵∗, 𝐷𝑂∗, 𝑆∗)

diselesaikan secara metode numerik karena sulit untuk dapat diselesaikan secara

eksak oleh karenanya simulasi numerik diuraikan pada sub bab berikut.

855

D. Simulasi Numerik

Simulasi numerik untuk penerapan model digunakan data penelitian dari IPAL

Sewon, Bantul Yogyakarta. Model diselesaikan secara numerik dengan bantuan

program Matlab. Parameter yang digunakan untuk simulasi ditentukan berdasarkan

hasil estimasi parameter dengan menggunakan metode kuadrat terkecil dan hasilnya

disajikan pada Tabel 1.

Table 1. Nilai Parameter Model

Simbol Nama Dimensi Nilai

𝜇1 Laju pertumbuhan alga maksimum hari-1 0,118

𝜇2 Laju pertumbuhan bakteri maksimum hari-1 0,12

𝑚1 Koefisien kematian alga hari-1 0,001

𝑚2 Koefisien kematian bakteri hari-1 0,06

𝑘0 Konstanta kenitika saturasi respirasi mg/L 0,003

𝑘1 Konstanta saturasi alga pada subtrat mg/L 0,001

𝑘2 Konstanta saturasi alga pada bakteri mg/L 250

𝑘3 Konstanta saturasi bakteri pada oksigen

terlarut. mg/L 0,0001

ℎ1 Koefisien produksi oksigen pada alga mg/mg 0,0496

ℎ2 Koefisien konsumsi oksigen pada bakteri mg/mg 1,289

ℎ3 Koefien subtrat pada bakteri mg/mg 3

ℎ4 Koefisien substrat pada alga mg/mg 0.2

𝑘𝐿𝑎 Koefisien intertransfer oksigen terlarut m/hari 12,4

𝐷0 Saturasi oksigen terlarut mg/L 4,3

𝑟1 Laju respirasi alga hari-1 0,0001

𝐷1 Laju dilusi hari-1 0,148

Dengan diperolehnya nilai parameter-parameter tersebut selanjutnya diguna-

kan untuk menghitung nilai konsentrasi pada sistem persamaan (1) yang terdiri dari

4 (empat) variabel yaitu konsentrasi alga, bakteri, DO dan substrat (BOD). Hasil

simulasi model dan validasi model disajikan pada Gambar 2.

Gambar 2. Nilai Konsentrasi Hasil Simulasi Numerik

Gambar 2. menunjukkan hasil simulasi model dengan nilai konsentrasi awal

856

pada alga 𝐴(0) = 33 jumlah individu, bakteri 𝐵(0) = 490 mg/l, DO 𝑂2(0) = 0.9

mg/l dan BOD 𝑆(0) = 250 mg/l yang diukur pada inlet kolam stabilisasi fakultatif.

Selanjutnya dilakukan validasi model yaitu dengan membandingkan data observasi

dan data perhitungan model. Data observasi yang diukur di IPAL Sewon untuk ke 4

(empat) variabel diawali pada waktu ke nol. Untuk mengetahui kecocokan dari suatu

model, maka dilihat dari nilai 휀 (error)-nya yaitu dengan membandingkan nilai

hitung model dan observasi.

Dari variabel alga menunjukkan bahwa alga hitung dan data observasi

mempunyai kesalahan relatif 3,81%, variabel bakteri menunjukkan bahwa hasil

simulasi model dengan bakteri hitung dan data observasi mempunyai kesalahan

relatif 7,96%, variabel DO menunjukkan bahwa hasil simulasi model dengan

kandungan DO hitung dan data observasi mempunyai kesalahan relatif sebesar

6,97% dan variabel BOD yang mewakili substrat menunjukkan bahwa hasil simulasi

model dengan substrat hitung dan data mempunyai kesalahan relatif sebesar 7,91%.

Hasil validasi menunjukkan bahwa tingkat kesalahan pada keempat konsentrasi

mempunyai kesalahan < 10% hal sesuai dengan [12,13].

3. Kesimpulan Model dinamik dengan sistem persamaan diferensial non linier berdimensi

4 (empat) dengan 4 (empat) variabel konsentrasi alga, bakteri, DO dan substrat dapat

dijadikan sebagai metode evaluasi pada sistem pengolahan air limbah kolam

stabilisasi. Hal ini ditunjukkan dari hasil simulasi numerik dengan model yang telah

tervalidasi dengan tingkat kesalahan relatif <10%, sehingga model sesuai dengan

kondisi lapangan.

Hasil penelitian ini masih dapat dikembangkan dengan melakukan

modifikasi model dengan menambah variabel dan parameter yang dapat mendukung

sistem proses pengolahan air limbah di IPAL sejenis.

Pernyataan terima kasih. Balai Pengelolaan Infrastruktur Sanitasi dan Air

Minum Perkotaan DIY dan Dinas PU, Perumahan dan ESDM DIY.

Referensi

[1] Sunarsih, Purwanto, Wahyu Setia Budi, “Mathematical Modeling Regime

Steady State for Domestic Wastewater Treatment Facultative Stabilization

Ponds” Journal of Urban and Environmental Engineering (JUEE),V.7, n.2, pp.

293 -301, 2013.

[2] Kayombo, S., T.S.A. Mbwette, A.W. Mayo, J.H.Y Katima, S.E. Jorgensen,

“Diurnal cycles of variation physical-chemical parameters in waste stabilization

ponds”. Ecological Engineering 18 pp 287-291, 2002

[3] B. Beran B. and K. Kargi, “A dynamic mathematical model for waste water

stabilization ponds”. Ecological Modelling 181 pp 39-57, 2005.

[4] D.A. Mashauri, S. Kayombo, “Application of the two coupled models for water

quality management : facultative pond cum constructed wetland models”.

Physics and Chemistry of the Earth 27 pp 773-781, 2002.

[5] D. Mara, “Domestic Wastewater Treatment ini Developing Countries” First

Published by Earthscan in the UK and USA, 2004.

[6] Naddafi, 1K, 1M.S. Hassanvand, 1E. Dehghanifard, 2D. Faezi Razi, 2S.

857

Mostofi, 2N. Kasaee, 1R.Nabizadeh, 1M. Heidari, “Perfornance Evaluation of

Wastewater Stabilization Ponds in Arak Iran”. Iran. J. Environ. Health. Sci.

Eng.Vol. 6, No. 1, pp. 41-46, 2009.

[7] Amoo O.T. and Aremu A.S., “Tretability of Institutional Wastewater Using

Waste Stabilization Pond System”. Open Access http://www.trisanita.org/jates.

Volume 2, Number 4: 217-222, November, 2012. Department of Environmental

Engineering Sepuluh Nopember Institute of Technology, Surabaya &

Indonesian Society of Sanitary and Environmental Engineers, Jakarta.

[8] Dochain, D., Gregoire, S., Pauss, A., Schaegger, M. “Dynamical Modelling of

a Waste Stabilization Pond”. Bioprocess Biosyst Eng 26: pp. 19-26, 2003

[9] Moreno-Grau S., Garcia-Sanchez A., Moreno-Clavel J., Serrano-Aniorte J.,

Moreno-Grau, M.D.. “A mathematical model for waste water stabilization

ponds with macrophytes and microphytes”. Journal Ecological Modelling 91

pp 77-103, 1996.

[10] L.M. Situma, L. Etiegni, S.M. Shitote and B.O. Oron, “Biochemical Modeling

of Pan African Paper mills aerated Lagoons, Webuye, Western Kenya”. African

Pulp and Paper Week. ‘Adding Value in a Global Industry’ International

Convention Centre, Durban, 8 – 11 October, 2002.

[11] Tu, Pierre, N. V. “Dynamical System: An Introduction with Applications in

Economics and Biology”. New York: Springer-Verlag, 1994.

[12] Juran, J.M, 1992. Juran on Quality by Desain. The Free Press, New York.

[13] Feigenbaum, A.V, 1992. Kendali Mutu Terpadu, Penerbit Erlangga.

http://www.trisanita.org/jates

858

Prosiding SNM 2017 Pemodelan dan Opt imisas i , Hal 858 -864

SOLUSI MASALAH RELAKSASI MELALUI

PERSAMAAN DIFERENSIAL FRAKSIONAL BERORDE

(,)

E. RUSYAMAN1 DAN K. PARMIKANTI2

1Departemen Matematika FMIPA Unpad, [email protected]

2Departemen Matematika FMIPA Unpad, [email protected]

Abstrak. Akhir-akhir ini bidang ilmu kalkulus fraksional, khususnya

Persamaan Diferensial berorde bilangan fraksional berkembang dengan sangat

pesat. Aplikasinyapun telah menyebar pada berbagai ilmu seperti Fisika,

Ekonomi, dan lain-lain. Makalah ini akan membahas bentuk Persamaan

Diferensial Fraksional berorde (,) disertai solusi dan aplikasinya dalam

menentukan nilai regangan suatu benda apabila diketahui koefisien relaksasi

dan tegangan yang diberikan. Metode pencarian solusi akan menggunakan

Transformasi Laplace, sedangkan hasilnya berupa fungsi solusi dalam bentuk

Mittag-Lefler.

Kata kunci : fraksional, Laplace, relaksasi, Mittag-Lefler..

1. Pendahuluan

Kalkulus fraksional adalah adalah hasil pengembangan kalkulus yang

biasanya menggunakan bilangan asli menjadi bilangan rasional. Khususnya masalah

turunan dan integral suatu fungsi, yang biasanya berorde bilangan asli n menjadi

turunan dan integral berorde bilangan rasional α. Kalkulus fraksional ini sebenarnya

sudah muncul lebih dari 300 tahun yang lalu, yaitu saat Leibniz bertanya tentang

turunan ke-1,5 kepada L'Hospital di tahun 1695 [4]. Pertanyaan tersebut telah

menginspirasi banyak ilmuwan matematika seperti Liouville, Riemann, dan Weyl

untuk mengembangkan turunan berorde fraksional. Selanjutnya pengembangan

kalkulus fraksional dilanjutkan oleh Fourier, Abel, Leibniz, Grünwald, dan

Letnikov, yang selama bertahun-tahun telah berkontribusi besar dalam ilmu ini.

Saat ini, banyak ilmuwan dan ahli teknik yang tertarik untuk memperdalam

dan mengaplikasikan ilmu ini dalam berbagai bidang seperti Adam Loverro, 2004,

dalam [1] memanfaatkan turunan fraksional dalam bidang teknik fisika khususnya

masalah mekanika dan aerodinamik, serta Podlubny, 2004, dalam [3] yang

mengkaji masalah persamaan diferensial parsial berorde fraksional dan aplikasinya.

Selanjutnya E. Rusyaman, dkk, 2009, dalam [5] mengaplikasikan turunan

fraksional dalam masalah interpolasi yang meminimumkan nilai energi potensial.

Demikian pula F.C. Meral, T.J. Royston , R. Magin, 2010 dalam [2] telah membahas

tentang masalah viskoelastisitas sebagai presentasi dari orde fraksional.

859

Dalam makalah ini disajikan masalah eksistensi dan solusi dari persamaan

diferensial fraksiolanal berbentuk:

𝑎𝑛 𝑦(𝛼𝑛) + 𝑎𝑛−1 𝑦

(𝛼𝑛−1) + ⋯ + 𝑎1 𝑦(𝛼1) + 𝑎0 𝑦 = 𝑢(𝑡) (1)

di mana 𝑦(𝛼) menyatakan turunan fraksional dari y terhadap x dengan orde α , 𝑎𝑛

adalah konstanta real, dan 𝑢(𝑥) fungsi dalam x. Selain itu grafik fungsi solusi

disajikan untuk membantu pemahaman tentang kaitan kekonvergenan barisan

bilangan orde turunan dengan kekonvergenan barisan fungsi solusi. Terakhir

diperlihatkan aplikasi dari persamaan diferensial fraksional.


Seperti yang telah disebutkan di atas, turunan fraksional adalah hasil

generalisasi dari turunan biasa di mana orde yang tadinya berupa bilangan asli

diperluas menjadi bilangan rasional α. Penurunan rumus turunan fraksional dari

suatu fungsi disajikan secara berbeda oleh beberapa ahli matematika. Riemann-

Liouville mendefinisikan turunan fraksional sebagai berikut.

Definisi 2.1. Turunan fraksional dari fungsi 𝑓(𝑥) dengan orde- di sekitar x = a

adalah

𝐷𝑥𝛼 𝑓(𝑥)𝑎 =

1

(𝑛 − 𝛼) (𝑑

𝑑𝑥)𝑛

∫ 𝑓(𝑡) (𝑥 − 𝑡)−(𝛼−𝑛+1)𝑥

𝑎

𝑑𝑡

di mana n – 1 ≤ α < n atau n – 1 = ⌊𝛼⌋.

Berbeda dengan Riemann-Liouville, Grunwald-Letnikov mendefinisikan turunan

fraksional dari f(x) berorde-α pada interval [a , b] dengan definisi berikut.

Definisi 2.2. Turunan fraksional dari f(x) berorde-α pada interval [a , b] adalah

𝐷𝑥𝛼 𝑓(𝑥) = lim

ℎ→0

1

ℎ𝑛 ∑(−1)𝑖𝑛

𝑖=0

(𝛼 + 1)

(𝑖 + 1) (𝛼 − 𝑖 + 1) 𝑓(𝑥 − 𝑖ℎ)

dengan n = ⌊𝑏−𝑎

𝑛⌋ .

Secara sederhana, dari rumus di atas diperoleh bahwa turunan ke-α dari fungsi

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑝 terhadap x adalah

𝐷𝑥𝛼 𝑥𝑛 =

(𝑝 + 1)

(𝑝 − 𝛼 + 1) 𝑥𝑝−𝛼 . (2)

Karena makalah ini akan membahas tentang masalah solusi persamaan

diferensial fraksional menggunakan transformasi Laplace dan fungsi Mittag-Lefler,

berikut diberikan definisi tentang keduanya.

Definisi 2.3: Transformasi Laplace dari fungsi f(t) didefinisikan sebagai

𝐿{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡∞

0

.

860

Teorema 2.4: Jika f(t) fungsi yang terdiferensial n kali, maka berlaku

L{f(n)(t)} = sn L {f(t)} – sn-1 f(0) – sn-2 f’(0) – . . . – f (n-1) (0) .

Dalam hal 𝐷𝑡𝛼𝑓(𝑡) merupakan turunan dari f(t) terhadap t dengan orde fraksional

, maka tranformasi Laplace dengan syarat awal

f (k)(0) = 0 untuk k = 0, 2, ..., (n-1),

akan mengakibatkan

L {𝐷𝑡𝛼𝑓(𝑡); 𝑠} = s L {f(t)} = s F(s) . (3)

Salah satu fungsi khusus lain yang sangat penting dalam kalkulus fraksional

adalah fungsi Mittag-Leffler yang diperkenalkan th.1953. Fungsi tersebut tersaji

sebagai berikut [3],[5].

Definisi 2.5: Fungsi Mittag-Leffler dengan dua parameter dan didefinisikan

sebagai

𝐸𝛼,𝛽(𝑧) = ∑𝑧𝑘

(𝛼𝑘 + 𝛽)

∞

𝑘=0

; 𝛼 > 0 , 𝛽 > 0.

Fungsi ini benar-benar sangat fleksibel, karena dengan mengganti

kedua parameter dengan konstanta akan menghasilkan fungsi lain yang

sangat berbeda.

Contoh 2.6. Untuk pasangan parameter = 1 = 1 dan = 2 = 1 berturut-turut

menghasilkan fungsi:

1. 𝐸1,1(𝑧) = ∑𝑧𝑘

(𝑘 + 1)=

∞

𝑘=0

∑𝑧𝑘

𝑘!=

∞

𝑘=0

𝑒𝑧 .

2. 𝐸2,1(−𝑧2) = ∑

(−𝑧2)𝑘

(2𝑘 + 1)

∞

𝑘=0

= ∑(−1)𝑘 𝑧2𝑘

(2𝑘)!

∞

𝑘=0

= cos 𝑧 .

Tipe lain dari fungsi Mittag-Leffler yang juga diperkenalkan oleh Podlubny dalam

[3] adalah

𝑘(𝑡, ; 𝛼, 𝛽) = 𝑡𝛼𝑘+𝛽−1 𝐸𝛼,𝛽

(𝑘)( 𝑡𝛼) , (4)

di mana 𝐸𝛼,𝛽(𝑘)(𝑧) adalah turunan ke-k dari fungsi Mittag-Leffler dua parameter

yaitu

𝐸𝛼,𝛽(𝑘)(𝑧) = ∑

(𝑖 + 𝑘)! 𝑧𝑖

𝑖! (𝛼𝑖 + 𝛼𝑘 + 𝛽)

∞

𝑖=0

; 𝑘 = 0, 1, 2,⋯ .

Dengan demikian transformasi Laplace dari fungsi pada (4) diperoleh

L {𝑘(𝑡, ± ; 𝛼, 𝛽)} = 𝑘! 𝑠𝛼−𝛽

(𝑠𝛼 ∓ )𝑘+1 (5)

Bentuk umum Persamaan Diferensial Fraksional yang disajikan dalam (1)

akan memiliki banyak bentuk yang lebih spesifik. Hal ini tergantung pada pemilihan

𝑢(𝑡) sebagai fungsi dalam t, sehingga bisa berbentuk fungsi polinom ataupun fungsi

861

transenden. Demikian pula pemilihan (𝛼𝑛) sebagai orde berupa bilangan fraksional,

akan menyebabkan perbedaan cara dalam menentukan penyelesaian. Yang akan

dibahas dalam makalah ini adalah Persamaan Diferensial Fraksional berorde (𝛼, 𝛽) , yaitu

𝑎𝑦(𝛼) + 𝑏𝑦(𝛽) = 𝑢(𝑡), (6)

di mana α > β , a dan b konstanta real, serta 𝑢(𝑡) fungsi sembarang dalam t .

Theorem 2.7. Solusi dari Persamaan Diferensial Fraksional berorde (𝛼, 𝛽) dengan 𝑢(𝑡) = 𝑡𝑖 adalah

𝑦(𝑡) = 𝑖!

𝑎 𝑡𝛼+𝑖∑

(−𝑏𝑎𝑡(𝛼−𝛽))

𝑘

Γ((𝛼 − 𝛽)𝑘 + 𝛼 + 𝑖 + 1)

∞

𝑘=0

. (7)

Bukti:

Transformasi Laplace dari peramaan (6) menghasilkan

L{ 𝑎𝑦(𝛼) + 𝑏𝑦(𝛽)} = L{ 𝑡𝑖}. Dengan sifat kelinearan transformasi Laplace , syrat awal nol, dan menggunakan

persamaa (3) maka didapat

𝑎𝑠𝛼𝐹(𝑠) + 𝑏𝑠𝛽𝐹(𝑠) = 𝑖!

𝑠𝑖+1

sehingga diperoleh

𝐹(𝑠) =

𝑖!𝑠𝑖+1

(𝑎𝑠𝛼 + 𝑏𝑠𝛽)=

𝑖! 𝑠−𝑖−1

𝑎𝑠𝛽 (𝑠𝛼−𝛽 +𝑏𝑎) .

Dengan mengadakan penyesuaian untuk mendapatkan fungsi solusi, diperoleh

𝑦(𝑡) = L−1{𝐹(𝑠)} = 𝑖!

𝑎 L−1 {

𝑠−𝑖−1−𝛽

(𝑠𝛼−𝛽 +𝑏𝑎)} =

𝑖!

𝑎 L−1 {

0! 𝑠𝛼−𝛽−(𝛼+𝑖+1)

(𝑠𝛼−𝛽 +𝑏𝑎)

0+1}.

. Selanjutnya dengan menggunakan bentuk (5) tentang invers transformasi Laplace

maka diperoleh

𝑦(𝑡) =𝑖!

𝑎 휀0 (𝑡,−

𝑏

𝑎; 𝛼 − 𝛽, (𝛼 + 𝑖 + 1)).

Berdasarkan bentuk (4), solusi umum 𝑦(𝑡) dapat dituliskan menjadi

𝑦𝑖(𝑡) =𝑖!

𝑎 𝑡(𝛼−𝛽)∙0+𝛼+𝑖+1−1𝐸𝛼−𝛽,(𝛼+𝑖+1) (−

𝑏

𝑎𝑡(𝛼−𝛽))

=𝑖!

𝑎 𝑡𝛼+𝑖𝐸𝛼−𝛽,(𝛼+𝑖+1) (−

𝑏

𝑎𝑡(𝛼−𝛽)).

Dengan mengembalikan bentuk ini menjadi fungsi Mittag-Leffler type pertama,

maka bentuk fungsi solusi menjadi

𝑦(𝑡) =𝑖!

𝑎 𝑡𝛼+𝑖∑

(−𝑏𝑎𝑡(𝛼−𝛽))

𝑘

Γ((𝛼 − 𝛽)𝑘 + 𝛼 + 𝑖 + 1)

∞

𝑘=0

∎

862

Contoh 2.8.

Berdasarkan rumus pada Teorema 2.7 di atas, dengan mengambil nilai-nilai a = 2,

b=1, i = 0, dan syarat awal y(0) = 0, y’(0) = 0, maka solusi dari Persamaan

Diferensial Fraksional berorde (𝛼, 𝛽) = (1,9 , 0) dan (1 , 0) berturut turut adalah

𝑦(𝑡) = 1

2 𝑡1,9∑

(−12𝑡1,9)

𝑘

(1,9𝑘 + 2,9)!

∞

𝑘=0

dan

𝑦(𝑡) = 1

2 𝑡∑

(−12 𝑡)

𝑘

(𝑘 + 1)!

∞

𝑘=0

= 1 − ∑(−

12 𝑡)

𝑘

𝑘!

∞

𝑘=0

= 1− 𝑒−12𝑡 .

Adapun grafik fungsi solusi dari Persamaan Diferensial Fraksional berorde (𝛼, 𝛽) =(1,9 , 0) dan (1 , 0) berturut-turut tampak pada Gambar.1 berikut.

Gambar.1 Grafik Fungsi Solusi PD Fraksional

Teorema di atas dapat dijadikan landasan untuk mengembangkan 𝑢(𝑡) baik

menjadi fungsi polinom secara umum maupun menjadi fungsi transenden. Sebagai

contoh, jika 𝑢(𝑡) = ∑ 𝑐𝑖𝑡𝑖𝑛

𝑖=0 (polinom), maka solusi dari (6) akan berbentuk

penjumlahan solusi pada (7) dengan i = 0, 1, 2, 3, ... , n. Demikian juga apabila 𝑢(𝑡) dikembangkan menjadi fungsi transenden, dengan mengubahnya menjadi polinom

melalui deret Mac Lauren atau Deret Taylor, solusi dapat dicari seperti sebelumnya.

Contoh 2.9. Solusi persamaan diferensial fraksional

𝑦(𝛼) + 2𝑦(𝛽) = 1 + 2𝑡 + 𝑡2.

dengan orde (𝛼, 𝛽) = (5

3 ,

1

2) dan syarat awal 𝑓(0) = 0 dan 𝑓′(0) = 0 maka

solusinya adalah

𝑦(𝑡) = 𝑡53∑

(−2𝑡23)𝑘

(23 𝑘 +

83) !

∞

𝑘=0

+ 2𝑡83∑

(−2𝑡23)𝑘

(23𝑘 +

113 ) !

∞

𝑘=0

+ 2𝑡113 ∑

(−2𝑡23)𝑘

(23𝑘 +

143 ) !

.

∞

𝑘= 0

Dalam uraian berikut ini, akan disampaikan aplikasi Persamaan Diferensial

Fraksional dalam bidang fisika, khususnya masalah relaksasi, yaitu masalah

peregangan suatu benda yang diakibatkan adanya tegangan yang diberikan pada

863

benda tersebut. Jika R menyatakan regangan dan T menyatakan tegangan, menurut

hukum Hooke-material, elastisitas material adalah rasio dari tegangan dengan

regangan. Di sisi lain, dalam fluida ada istilah viskositas yang menurut hukum

Netonian-fluida viskositas adalah laju perubahan regangan terhadap waktu dibagi

dengan tegangan. Secara matematika dapat ditulis sebagai berikut [2].

model Hooke-material : 𝑇(𝑡) = 𝐸 𝑅(𝑡) ,

model Newtonian-fluida: 𝑇(𝑡) = 𝜇 𝑑𝑅(𝑡)

𝑑𝑡 .

Dengan memasukkan unsur sebagai rasio 𝜇 terhadap 𝐸, kedua model tersebut

dapat dikombinasikan dan diperluas dalam bentuk model persamaan diferensial

fraksional

𝑇(𝑡) = 𝐸 𝛼 𝑑𝛼𝑅(𝑡)

𝑑𝑡𝛼 (8)

yakni untuk = 0 model (10) akan kembali ke model Hooke-material, sedangkan

untuk = 1 model (10) akan kembali ke model Newtonian-fluida. Dengan demikian

untuk orde fraksional nilai di mana 0 < < 1 diperkenalkan istilah

viskoelastisitas.

Secara umum, bentuk Persamaan Diferensial Fraksional untuk masalah

relaksasi adalah

𝑅 (α) (t) + A 𝑅(t) = 𝑇(t)

di mana 0 1 , syarat awal 𝑅 (0) = 𝑅′(0) = 0 , A adalah koefisien relaksasi,

𝑇(t) menyatakan tegangan sebagai fungsi dalam waktu, dan 𝑅(t) menyatakan

regangan.

Contoh 2.10

Misalkan suatu benda yang memiliki koefisien relaksasi A = 2 diberi tegangan

sebesar 𝑇(t) = 𝑡 sin 𝑡 , maka persamaan diferensial fraksional orde = 0,5 adalah

𝑅 (0.5)(t) + 2 𝑅(t) = t sin t.

Dengan menggunakan deret Maclaurin, persamaan menjadi

𝑅(0.5)(𝑡) + 2 𝑅(𝑡) = ∑(−1)𝑖+1

(2𝑖 − 1)! 𝑡2𝑖

∞

𝑖=1

.

Dengan (7), fungsi solusi dari persamaan diferensial fraksional tersebut adalah

𝑅(𝑡) = ∑((−1)𝑖+1 .2𝑖 𝑡0.5+2𝑖∑(−2𝑡0.5)𝑘

(0.5𝑘 + 0.5 + 2𝑖)!

∞

𝑘=0

)

∞

𝑖=1

.

Grafik fungsi tersebut terlihat di bawah ini.

Gambar.2 Hubungan Regangan dan Tegangan

864

Dari Gambar.2 terlihat bahwa apabila koefisien relaksasi dan tegangan

diketahui, maka besarnya regangan akan diketahui pula. Sangat mungkin terjadi,

regangan akan terus membesar manakala tegangan sudah mengecil melewati nilai

maksimum.

3. Kesimpulan

Dari uraian yang telah disampaikan dapat disimpulkan bahwa perubahan

orde fraksional maupun perubahan fungsi u(t) yang dapat berperan sebagai fungsi

regangan dapat menghasilkan metode dan solusi yang berbeda. Dalam masalah

relaksasi khususnya masalah viskoelastisitas, orde fraksional merepresentasikan

suatu zat/benda yang merupakan peralihan antara cairan dan material, antara

Newtonian-fluida dan Hooke-material.

Penelitian ini masih perlu dikembangkan, terutama mencari hubungan

antara viskoelastisitas dengan tegangan permukaan yang juga masih merupakan

bagian dari masalah relaksasi. Pengembangan lain bisa dilakukan dengan

memperluas bentuk persamaan diferensial fraksional menjadi persamaan diferensial

parsial fraksional.

Pernyataan Terima Kasih

Materi pada makalah ini merupakan bagian dari rangkaian Penelitian Unggulan

Perguruan Tinggi No. 718/UN6.3.1/PL/2017, Universitas Padjadjaran.

Referensi

[1] Adam Loverro, 2004 , Fractional Calculus: History , Definitions and

Applications for the Engineer, Department of Aerospace and Mechanical

Engineering,University of Notre Dame, IN 46556, U.S.A.

[2] F.C. Meral, T.J. Royston , R. Magin, 2010, Fractional calculus in viscoelasticity:

An experimental study, Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 15 pg 939–945

[3] Podlubny, I .; Chechkin. A.; Skovranek, T.; Chen , Y. Q. and Vinagre, B. M. J,

2009 , Matrix approach to discrete fractional calculus II: Partial fractional

Differential equations, Journal of Computational Physics, Vol. 228, 3137–3153.

[4] Petraš, I. Fractional Derivatives, Fractional Integrals, and Fractional

Differential Equations in Matlab Technical University of Košice Slovak

Republic, 2011.

[5] Rusyaman , 2009 , A 2-D interpolation method that minimizes an energy

integral, IndoMS International Conference on Mathematics and Its Applications

(IICMA). Yogyakarta.

.

865

Prosiding SNM 2017 Pemodelan dan Optimisasi, Hal 865-872

KONTROL OPTIMAL PADA MODEL EPIDEMIOLOGI

DENGAN VAKSINASI

JONNER NAINGGOLAN

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Cenderawasih Jayapura, [email protected]

Abstrak. Paper ini mengkaji kontrol optimal pada model epidemiologi dengan vaksinasi. Kontrol

pengobatan optimal dilakukan untuk mengoptimalkan pengobatan pada pengendalian penyebaran suatu

penyakit menular. Kemudian ditentukan the reproduction ratio vaksinasi. Selanjutnya diberikan

perhitungan numerik dengan menggunakan software Matlab untuk mengetahui pengaruh kontrol

pengobatan terhadap penurunan jumlah individu kompartemen infected.

Kata kunci: Kontrol pengobatan optimal, epidemiologi, the reproduction ratio vaksinasi.

1. Pendahuluan

Model penyebaran penyakit tipe SIR (Susceptible-Infected-Recovered)

klasik telah dikaji oleh Kermak & McKendrick [6]. Selanjutnya Hethcote [5]

mengembangkan model dari tipe SIR klasik dengan memperhatikan kompartemen

exposed, Brauer and Castillo-Chavez [2] mengembangkan model tipe SIR dengan

memperhatikan struktur umur. Pengendalian suatu penyakit yang mewabah dapat

dilakukan tindakan melalui vaksinasi. Model dinamika vaksinasi telah dikaji oleh

beberapa peneliti antara lain: Model vaksinasi tipe SVI yang telah ditulis oleh

Kribs-Zaleta [7], Liu dkk. [8], dimana V adalah kompartemen vaksinasi.

Ambang batas untuk mengetahui terjadinya endemik suatu penyakit dapat

dilihat dari nilai the reproduction ratio. Pada model penyebaran suatu penyakit

keadaan bebas penyakit stabil secara lokal jika the reproduction ratio lebih kecil dari

satu, dan jika the reproduction ratio lebih besar dari satu maka penyakit akan

menyebar (Castillo-Chavez et al. [3]; Driessche and Watmough, [4]).

Model matematika merupakan alat yang penting untuk mengoptimalkan

pencegahan, pengobatan dan pengontrolan infeksi suatu penyakit (Hethcote [5]).

Untuk mengoptimalkan pengendalian suatu penyakit dapat dengan memberikan

tindakan kontrol optimal (Neilan and Leinhart [9]). Penyelesaian model kontrol

optimal dapat digunakan dengan metode Prinsip Maksimum Pontryagin. Agusto [1]

mengkaji kontrol optimal, dengan tindakan chemoprophylaxis dan pengobatan pada

penyebaran penyakit tuberkulosis tanpa memperhatikan kompartemen vaksinasi.

Paper ini mengkaji model kontrol pengobatan suatu penyakit tipe SVIR

(Susceptible-Vaccination-Infected-Recovered) yang dikaji oleh Liu et al. [8].

Sebelum mengkaji kontrol pengobatan optimal ditentukan dahulu titik ekuilibrium

endemik, nonendemik, dan the reproduction ratio. Selanjutnya dibahas karakterisasi

model kontrol untuk menentukan variabel co-state (adjoint), kontrol optimal, dan

simulasi numerik untuk mengetahui pengaruh kontrol pengobatan terhadap

penurunan jumlah individu kompartemen terinfeksi dengan menggunakan software

Matlab.


866

Organisasi dalam tulisan ini adalah bagian pertama pendahuluan, bagian dua

membahas model epidemiologi tipe SVIR, kontrol pengobatan optimal, simulasi

numerik, dan terakhir kesimpulan.

2. Model Epidemiologi tipe SVIR

Model tipe SVIR yang dikaji oleh Liu et al. [8], seseorang individu yang

kebal permanen terhadap suatu infeksi jika individu yang terinfeksi telah sembuh,

atau telah divaksinasi. Model tipe SVIR dapat diaplikasikan pada penyakit menular

yang realistis digunakan pada penyakit cacar, polio, campak, serta meningitis (Liu

et al. [8]). Vaksinasi diberikan sebelum individu tersebut terinfeksi, dan vaksinasi

kemungkinan dapat berhasil atau tidak berhasil. Keberhasilan vaksin bergantung dari

kualitas vaksin dan keadaan individu yang divaksin.

Laju infeksi yang terjadi melalui kontak antara individu kompartemen

susceptible dengan terinfeksi misalkan dinotasikan dengan /N. Laju kelahiran dan

kematian alami dari masing-masing kompartemen adalah . Kemudian proporsi S

yang divaksinasi masuk ke kompartemen vaksinasi V dengan laju . Selanjutnya laju

kekebalan individu yang vaksinasi memperoleh kekebalan permanen sebesar 1,

sedangkan laju individu yang sembuh dari infeksi sebesar . Perbandingan antara

individu yang sukses divaksinasi dengan individu yang divaksinasi tetapi masih

terinfeksi, proporsional dengan perkalian antara interaksi kompartemen V dan I. Satu

individu yang tidak berhasil divaksinasi kemudian kontak dengan populasi yang

terinfeksi sebesar 1/N persatuan waktu. Adapun diagram alur model tipe SVIR yang

dikaji oleh Liu et al. [8] dapat dilihat seperti Gambar 1.

Berdasarkan Gambar 1 dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:

𝑑𝑆

𝑑𝑡= – 𝑆𝐼 – ( + 𝜃)𝑆

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝜃𝑆 – (1 − )𝑉𝐼 – ( + 𝛾1)𝑉

𝑑𝐼

𝑑𝑡 = 𝑆𝐼 + (1 − )𝑉𝐼 – ( + )𝐼

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 𝛾1𝑉 + 𝐼 – 𝑅 }

.

(1)

dimana parameter-parameter , 𝛽, 𝜇, 𝜃, 𝜎, 𝛾, 𝛾1 0 dan jumlah awal kompartemen-

kompartemen S(0) = S0 0, V(0) = V0 0, I(0) = I0 0, R(0) = R0 0. Pada

VI

S (1-)VI I

S V I R

1V

Gambar 1. Dinamika transmisi epidemik SVIR

S V I R

867

kompartemen I diberikan pengobatan dengan laju sebesar r yang masuk ke

kompartemen R, sehingga persamaan (1) menjadi seperti persamaan (2).

𝑑𝑆

𝑑𝑡= – 𝑆𝐼 – ( + 𝜃)𝑆

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝜃𝑆 – (1 − )𝑉𝐼 – ( + 𝛾1)𝑉

𝑑𝐼

𝑑𝑡 = 𝑆𝐼 + (1 − )𝑉𝐼 – ( + 𝑟 + )𝐼

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 𝛾1𝑉 + (+ 𝑟)𝐼 – 𝑅 }

.

(2)

2.1 Analisis Model Epidemiologi Tipe SVIR

Pada analisis epidemiologi tipe SVIR ditentukan titik ekuilibrium dan the

reproduction ratio dengan vaksinasi. Titik ekuilibrium non-endemik dari persamaan

(2) diperoleh pada waktu laju masing-masing kompartemen sama dengan nol dan

jumlah individu kompartemen terinfeksi sama dengan nol. Titik ekuilibrium non-

endemik dari persamaan (2) adalah (Perko [10])

𝐸0 = (𝑆0, 𝑉0, 𝐼0, 𝑅0) = (

𝜇+,

𝜃

(𝜇+𝜃)(𝜇+𝛾1), 0,

𝛾1𝜃

𝜇(𝜇+𝜃)(𝜇+𝛾1)).

The reproduction ratio vaksinasi persamaan (2) adalah (Liu et al. [8])

ℜ0𝑣 =𝛽

(𝜇+𝜃)(𝜇+𝑟+𝛾)+

(1−𝜎)𝛽𝜃

(𝜇+𝜃)(𝜇+𝛾1)(𝜇+𝑟+𝛾),

dan the reproduction ratio tanpa vaksinasi ( = 0) adalah

ℜ0 =𝛽

𝜇(𝜇+𝑟+𝛾) .

Akibatnya ℜ0𝑣 =𝜇ℜ0

𝜇+𝜃(1 +

(1−𝜎)𝜃

𝜇+𝛾1) ≤ ℜ0, karena 𝜇(𝜇 + 𝛾1 + (1 − 𝜎)) < (𝜇 +

𝜃)(𝜇 + 𝛾1).

Teorema 2.1

Titik ekuilibrium endemik E0 bersifat stabil secara lokal jika ℜ(𝜃) < 1 dan tidak

stabil jika ℜ(𝜃) > 1. BUKTI:

Pelinearan matriks Jacobian model (2) di titik ekuilibrium E0. Matriks Jacobi 𝐽𝐸0

ekuilibrium non-endemik adalah

01

1

0

1

0 0

(1 )0

( )( )

0 0 1 0

0

EJ

r

.

Titik ekuilibrium non-endemik E0 stabil secara lokal jika semua nilai eigen dari

Det(𝐽𝐸0- ) = 0 bernilai real negatif (Perko [10]; Brauer and Castillo-Chavez [2]).

Nilai eigen dari Det(𝐽𝐸0- ) = 0 adalah: 1 < 0 dengan syarat 𝛼 < 𝜇, 2 < 0,

dengan syarat 𝛾1 < 𝜇, 3 = −𝜇 < 0, 4 = ℜ0 − 1, jadi agar semua nilai eigen dari

Det(𝐽𝐸0- ) = 0 adalah negatif ekivalen dengan ℜ0 < 1. Sebaliknya nilai eigen dari

868

Det(𝐽𝐸0- ) = 0, jika yang bernilai real positif jika ℜ0 > 1 dengan kata lain E0 tidak

stabil.

2.2 Kontrol Pengobatan Optimal

Pada persamaan (2) diberikan variabel kontrol U = { u(t) | terbatas

dan terukur

0 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 𝑏 ≤ 1, 𝑡𝜖[0, 𝑡𝑓]}, dimana u(t) adalah kontrol pengobatan per unit

waktu, interpretasi r(1 + u(t)) adalah kontrol terhadap pengobatan dalam upaya

menurunkan jumlah individu kompartemen terinfeksi persatuan waktu, atau

meningkatkan jumlah individu yang sembuh persatuan waktu karena pengobatan.

Persamaan epidemiologi tipe SVIR setelah diberikan kontrol pengobatan (u) pada

individu kompartemen terinfeksi, persamaan (2) menjadi

𝑑𝑆

𝑑𝑡= – 𝑆𝐼 – ( + 𝜃)𝑆

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝜃𝑆 – (1 − )𝑉𝐼 – ( + 𝛾1)𝑉

𝑑𝐼

𝑑𝑡 = 𝑆𝐼 + (1 − )𝑉𝐼 – ( + 𝑟(1 + 𝑢) + )𝐼

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 𝛾1𝑉 + (+ 𝑟(1 + 𝑢))𝐼 – 𝑅 }

.

(3)

Berdasarkan persamaan (3) dengan menggunakan operator Next Generation Matrix

(Driessche and Watmough [4] the reproduction ratio dengan vaksinasi dan kontrol

(ℜ0𝑣𝑢) adalah

ℜ0𝑣𝑢 =𝛽

(𝜇+𝜃)(𝜇+𝑟(1+𝑢)+𝛾)+

(1−𝜎)𝛽𝜃

(𝜇+𝜃)(𝜇+𝛾1)(𝜇+𝑟(1+𝑢)+𝛾) .

Akibatnya ℜ0𝑣𝑢 ≤ ℜ0𝑣 ≤ ℜ0.

Fungsional objektif pada model kontrol pengobatan optimal pada model tipe SVIR

dengan reinfeksi adalah

min 𝐽(𝑢) = ∫ 𝐴𝐼(𝑡) + 𝐶𝑢2(𝑡)𝑑𝑡𝑡𝑓0

,

dimana A adalah bilangan positif sebagai bobot jumlah individu kompartemen

infected, C adalah suatu bobot parameter yang bersesuaian dengan kontrol u(t) dan

tf adalah waktu akhir periode.

Langkah pertama untuk mengkaji model kontrol optimal yaitu mencari

persamaan Lagrangian dan Hamilton dari masalah kontrol optimal. Persamaan

Lagrangian masalah kontrol optimal yaitu:

𝐿(𝐼, 𝑢) = 𝐴𝐼(𝑡) + 𝐶𝑢2(𝑡). (4)

dibentuk fungsional objektif atau integral indeks performance untuk

meminimumkan persamaan Hamilton H dari persamaan (3) dan (4) yaitu:

H(S,V,I,R,u ,1,2,3,4,t)= 𝐴𝐼(𝑡) + 𝐶𝑢2(𝑡) + 1𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡+2

𝑑𝑉(𝑡)

𝑑𝑡+

3𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡+ 4

𝑑𝑅(𝑡)

𝑑𝑡. (5)

Sebelum menentukan solusi model kontrol optimal, lebih dahulu dikarakterisasi

model kontrol seperti yang dinyatakan dalam Teorema 2.2 berikut.

869

Teorema 2.2

Misalkan S*(t), V*(t), I*(t), R*(t) adalah penyelesaian yang bersesuaian dengan

sistem persamaan (3) dan kontrol optimum 𝑢∗(𝑡) maka terdapat variabel-variabel

adjoint 1, 2, 3, 4 yang memenuhi: 𝑑1

𝑑𝑡= (1 − 2)+ (1 − 3)𝛽𝐼 + 1𝜇

(6) 𝑑2

𝑑𝑡= (2 − 3)(1 − 𝜎)𝛽𝐼 + (2 − 4)𝛾1 + 2𝜇

(7) 𝑑3

𝑑𝑡= −𝐴 + (1 − 3)𝛽𝑆 +

(2 − 3) (1 − 𝜎)𝛽𝑉 + (3 − 4)(𝛾 + 𝑟(1 + 𝑢) + 3𝜇 (8) 𝑑4

𝑑𝑡= 4𝜇,

(9)

dengan syarat batas (transversality)

1(tf) = 2(tf) = 3(tf) = 4(tf) = 0,

(10)

dan kontrol optimum 𝑢∗(𝑡), yaitu

𝑢∗(𝑡) = 𝑚𝑖𝑛 {1,𝑚𝑎𝑘𝑠 {0,(3−4)𝑟𝐼

∗(𝑡)

2𝐶}}

(11)

BUKTI:

Untuk menentukan persamaan adjoint dan syarat batas, digunakan persamaan

Hamiltonian persamaan (5), dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin,

diperoleh persamaan adjoint berikut: 𝑑1

𝑑𝑡= −

𝜕𝐻

𝜕𝑆, 𝑑2

𝑑𝑡= −

𝜕𝐻

𝜕𝑉,𝑑3

𝑑𝑡= −

𝜕𝐻

𝜕𝐼, 𝑑4

𝑑𝑡= −

𝜕𝐻

𝜕𝑅, sehingga diperoleh persamaan

(6)-(9), dengan 1(𝑡𝑓) = 2(𝑡𝑓) = 3(𝑡𝑓) = 4(𝑡𝑓) = 0. Kondisi optimalisasi

bentuk Hamiltonian terhadap kontrol optimal 𝜕𝐻

𝜕𝑢= 2𝐶𝑢∗(𝑡) − 3𝑟𝐼

∗(𝑡) +

4𝑟𝐼∗(𝑡) = 0, sehingga diperoleh 𝑢∗(𝑡) =

(3−4)𝑟𝐼∗(𝑡)

2𝐶, dengan menggunakan sifat

ruang kontrol diperoleh

𝑢∗(𝑡) =

{

0,

(3−4)𝑟𝐼∗(𝑡)

2𝐶 ≤ 1

(3−4)𝑟𝐼∗(𝑡)

2𝐶, 0 <

(3−4)𝑟𝐼∗(𝑡)

2𝐶 < 1

1, (3−4)𝑟𝐼

∗(𝑡)

2𝐶 ≥ 1

,

atau dapat dituliskan dalam bentuk

𝑢∗(𝑡) = 𝑚𝑖𝑛 {1,𝑚𝑎𝑘𝑠 {0,(3−4)𝑟𝐼

∗(𝑡)

2𝐶}}.

Solusi dari fungsi adjoint persamaan (6)-(9) yaitu 1∗(𝑡),2

∗(𝑡), 3∗(𝑡), dan 4

∗(𝑡) dapat diperoleh secara numerik.

2.3 Simulasi Numerik

Langkah pertama penyelesaian kontrol optimal dari persamaan (3) dengan

memasukkan tebakan awal pada kontrol pengobatan u*(t). Kemudian

mensubstitusikan tebakan awal nilai kontrol pada variabel state. Selanjutnya nilai

kontrol dan nilai variabel state disubstitusi ke variabel adjoint dengan kondisi

transversality. Nilai variabel state dan adjoint disubstitusi kembali ke variabel

kontrol, sehingga diperoleh nilai variabel kontrol kedua. Proses ini dilanjutkan

sehingga diperoleh nilai variabel state, adjoint, dan kontrol sampai pada waktu akhir

870

yang ditentukan. Simulasi persamaan state dan adjoint diselesaikan dengan metode

Runge-Kutta orde empat skema maju-mundur dengan menggunakan software

Matlab. Adapun simbol, deskripsi, dan estimasi parameter dan nilai awal yang

digunakan simulasi numerik seperti pada Tabel 1 berikut. Sebagian besar nilai

parameter diambil dari jurnal Agusto [1] dan Liu [8], sebagian lagi diasumsikan.

Jumlah awal masing-masing kompartemen yaitu: S(0) = 150000 , V(0) =

45000, I(0) = 5000, R(0) = 0. Kontrol pengobatan 1 + u(t) yaitu upaya mengurangi

jumlah individu kompartemen terinfeksi dan meningkatkan jumlah individu

kompartemen recovered.

Tabel 1. Simbol, Deskripsi, dan Parameter Model

Simbol Deskripsi Estimasi Referensi

Laju rekruitmen 3500 per

tahun

Asumsi

Laju transmisi infeksi 14 per tahun [1]

Laju kematian alamiah masing-

masing kompartemen

0,01 per tahun [1]

Proporsi vaksinasi 0,3 per tahun [8]

Tingkat efektifitas vaksinasi 0,8 per tahun [8]

Laju recovered alamiah dari

kompartemen I

0,08 per tahun [1]

1 Laju recovered karena efektifitas

vaksinasi

0,4 per tahun [8]

r Laju recovered karena pengobatan 0,6 per tahun [1]

Grafik dinamika dengan pengobatan, kontrol dan tanpa kontrol dapat dilihat

sebagai berikut.

Pada Gambar 2 dapat dilihat bahwa dengan pengobatan dan vaksinasi lebih efektif

menurunkan jumlah individu kompartemen terinfeksi dibandingkan dengan tanpa

vaksinasi, vaksinasi dan tanpa pengobatan lebih efektif menurunkan jumlah

individu kompartemen terinfeksi dibandingkan dengan tanpa vaksinasi dan tanpa

pengobatan.

Gambar 2. Dinamika kompartemen terinfeksi dengan pengobatan dan vaksinasi

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2x 10

5

Waktu (Tahun)

Kom

aprt

em

en T

erinfe

ksi

Dengan pengobatan dan vaksinasi

Dengan vaksinasi dan tanpa pengobatan

Tanpa pengobatan dan vaksinasi

871

Pada Gambar 3 dapat dilihat bahwa dengan kontrol pengobatan lebih efektif

menurunkan jumlah individu kompartemen terinfeksi dibandingkan dengan tanpa

kontrol. Gambar 4 dapat dilihat bahwa dengan kontrol pengobatan lebih efektif

meningkatkan jumlah individu kompartemen recovered dibandingkan dengan tanpa

kontrol.

Pada Gambar 5, biaya kontrol pengobatan dengan bobot biaya C = 50 kontrol

pengobatan optimal pada tahun ke 27, untuk bobot biaya C = 100 kontrol pengobatan

Gambar 4. Dinamika kompartemen recovered dengan kontrol dan tanpa kontrol

0 5 10 15 20 25 30-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

5

Waktu (Tahun)

Kom

part

em

en R

ecovere

d

Dengan kontrol pengobatan

Tanpa kontrol pengobatan

Gambar 5. Kontrol pengobatan

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Waktu(Tahun)

Ko

ntr

ol p

en

go

ba

tan

Kontrol u dengan C = 50

Kuntrol u dengan C = 100

Kontrol u dengan C = 150

Gambar 3. Dinamika kompartemen terinfeksi dengan kontrol dan tanpa kontrol

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

14

16x 10

4

Waktu (Tahun)

Kom

part

em

en T

erinfe

ksi

Tanpa kontrol pengobatan

Dengan kontrol pengobatan

872

optimal pada tahun ke 28, dan bobot biaya C = 150 kontrol pengobatan optimal pada

tahun ke 29. Sehingga dari grafik dapat dilihat bahwa, makin besar biaya kontrol

maka makin cepat optimalisasi pengobatannya.

3. Kesimpulan

Berdasarkan dari hasil kajian model transmisi penyebaran suatu penyakit

tipe SVIR diperoleh bahwa:

1. Tindakan pengobatan dan vaksinasi lebih efektif menurunkan jumlah individu

kompartemen terinfeksi dibandingkan dengan tanpa vaksinasi.

2. Tindakan pengobatan lebih efektif menurunkan jumlah individu kompartemen

terinfeksi dibandingkan dengan tanpa pengobatan.

3. Berdasarkan kajian model kontrol pengobatan optimal model transmisi

penyebaran suatu penyakit tipe SVIR diperoleh kontrol pengobatan optimal lebih

efektif menurunkan jumlah individu kompartemen terinfeksi dibandingkan

dengan tanpa kontrol.

Pada pembaca yang tertarik mengembangkan pelitian ini, secara teoritis

masalah penelitian ini dapat dikembangkan pada kontrol optimal pengendalian

penyebaran suatu epidemik dengan dua strain atau tiga strain, dan dapat

diimplementasikan pada pengendalian penyebaran suatu penyakit epidemik,

misalnya tuberkulosis, malaria, HIV/AIDS dan penyakit tropis lainnya.

Referensi

[1] Agusto, F.B., 2009, Optimal Chemoprophylaxis and Treatment Control

Strategies of A Tuberculosis Transmission Model, World Journal of Modelling

and Simulation, 3(5), 163-173.

[2] Brauer F. and Castilllo-Chavez, C., 2000, Mathematical Model in Population

Biology and Epidemiology, Springer.

[3] Castillo-Chavez, C., Feng, Z., dan Huang, W., 2002, On The Computation of

R0 and its Role on Global Stability. Mathematical Approaches for Emerging

and Reemerging Infectious Disease: An Introduction, IMA, Springer-Verlag,

125, 229 - 250.

[4] Driessche, P.v.d., and Watmough, J., 2002, Reproduction Numbers and Sub-

Threshold Endemic Equilibria for Compartmental Models of Disease

Transmission, Mathematical Biosciences 180, 29–48. [5] Hethcote, H.W., 2000, The Mathematics of Infectious Disease. SIAM REVIEW,

42, 599-653.

[6] Kermack, W. O., and McKendrick, A. G., 1927, A Contribution to the

Mathematical Theory of Epidemics, Royal Society, 115, 700-721

[7] Kribs-Zaleta, C. M., Velasco-Hernandez, J. X., 2000, A Simple Vaccination

Model with Multiple Endemic States, Mathematical Biosciences 164,183-201.

[8] Liu, X., Takeuchi, Y. and Iwamin S., 2008, SVIR Epidemic Models with

Vaccination Strategies, Theoretical Biology: 253, 1 – 11.

[9] Neilan, R.M. and Lenhart, S., 2010, An Introduction to Optimal Control with an

Application in Disease Modeling, DIMACS Series in Discrete Mathematics

75,67-81.

[10] Perko, L., 1991, Differential Equation and Dynamical Systems, Springer

Verlag, New York.

873

Prosiding SNM 2017

Pemodelan dan Optimisasi, Hal 873-883

MODEL OPTIMISASI LINEAR INTEGER UNTUK TWO-

STAGE GUILLOTINE CUTTING STOCK PROBLEM

DENGAN METODE BRANCH AND BOUND PADA

INDUSTRI GARMEN

EMAN LESMANA1, JULITA NAHAR2, ANNISA D.P3

1. Departemen Matematika FMIPA Unpad, [email protected]

2. Departemen Matematika FMIPA Unpad , [email protected]

3. Departemen Matematika FMIPA Unpad , [email protected]

Abstrak: Makalah ini membahas tentang Two-Stage Guillotine Cutting Stock Problem

(2GCSP) pada industri garmen, yaitu bagaimana menentukan pola two-stage guillotine yang

digunakan untuk memotong stok kain menjadi beberapa bahan kaos ukuran tertentu yang

diproduksi berdasarkan permintaan setiap ukuran kaos. 2GCSP ini dimodelkan dalam bentuk

Optimisasi Linear Integer dan pencarian solusi menggunakan metode Branch and Bound.

Dalam makalah ini juga disajikan Graphical User Interface dengan software Maple sebagai

alat interaktif untuk menemukan pola pemotongan stok kain terbaik. Hasilnya menunjukkan

bahwa solusi optimal dapat ditentukan dengan penyelesaian secara numerik menggunakan

metode Branch and Bound dan paket optimization pada Maple. Solusi tersebut ditampilkan

dengan ilustrasi pola dan jumlah kain yang dipotong berdasarkan pola tersebut.

Kata kunci : Masalah Cutting Stock Dua Dimensi, Pola Guillotine dua tahap,

Pemrograman Linear Integer, Metode Branch and Bound, Graphical

User Interface

1. Pendahuluan

Industri garmen adalah industri yang memproduksi pakaian jadi dan

perlengkapan pakaian. Salah satu bahan baku yang digunakan pada industri garmen

yaitu kain. Kain tersebut memiliki standar ukuran yang lebih besar daripada ukuran

bahan yang digunakan untuk membuat items pesanan. Oleh karena itu, muncul

masalah pemotongan yang disebut sebagai Two Dimensional Cutting Stock Problem.

Masalah tersebut dapat diklasifikasikan berdasarkan aturan pola pemotongannya,

salah satunya yaitu two-stage guillotine. Terdapat dua tahap untuk menentukan pola

potong two-stage guillotine. Tahap pertama yaitu tentukan pola potong stok kain

hingga membentuk beberapa strip. Tahap kedua yaitu tentukan pola strip tersebut

sehingga membentuk bahan kaos yang dibutuhkan. Masalah 2GCSP ini ditemukan

dalam industri garmen Merch Cons Bandung dalam memproduksi kaos. Industri

tersebut harus memproduksi sejumlah ukuran kaos sesuai permintaan, tetapi dengan

penggunaan stok kain yang minimum. Untuk menyelesaikan masalah tersebut,

2GCSP dapat dimodelkan dalam formulasi Optimisasi Linear Integer dengan fungsi

874

tujuan minimisasi jumlah stok kain yang dipotong. Untuk mempermudah industri

tersebut dalam mencari pola optimal, dibutuhkan aplikasi yang mampu memberikan

solusi tersebut.

Berdasarkan uraian tersebut, maka persoalan yang dibahas dalam penelitian

ini adalah bagaimana 2GCSP pada industri garmen dapat dinyatakan sebagai

masalah Optimisasi Linear Integer. Kemudian bagaimana solusi optimal 2GCSP

dengan menggunakan metode Branch and Bound pada studi kasus di industri garmen

Merch Cons Bandung. Terakhir yaitu bagaimana Graphical User Interface (GUI)

pencari pola memberikan pendahuluan (latar belakang, tujuan, sistematika) dari

makalah anda.

2. Tinjauan Pustaka

2.1 Metode Branch and Bound

1. Tahap inisialisasi

Untuk fungsi objektif maksimisasi, tetapkan 𝑍∗ = −∞. Sedangkan untuk

fungsi objektif minimisasi, tetapkan 𝑍∗ = ∞.

2. Tahap iterasi

a. Branching (percabangan)

Misal 𝑥𝑗 adalah variabel keputusan yang bernilai noninteger, 𝑥𝑗 = 𝑟𝑗, 𝑟𝑗 ∈ ℝ.

Bentuk dua subproblem dengan penambahan kendala 𝑥𝑗 ≤ ⌊𝑟𝑗⌋ untuk

subproblem pertama dan 𝑥𝑗 ≥ ⌊𝑟𝑗⌋ + 1 untuk subproblem kedua pada model

pemrograman integer linear awal. Menurut John W. Chinneck (2010),

terdapat beberapa aturan pemilihan subproblem yang akan dicabangkan,

diantaranya yaitu:

Best-first atau global-best: pilih subproblem yang memiliki batas

terbaik dari subproblem manapun. Untuk masalah minimisasi, pilih

subproblem dengan batas terkecil. Untuk masalah maksimisasi, pilih

subproblem dengan batas terbesar.

Depth-first: pilih subproblem yang memiliki batas terbaik dari

subproblem yang baru dicabangkan. Jika tidak ada subproblem yang

bisa dicabangkan pada level tersebut, kembali satu level dan lakukan

percabangan pada subproblem yang belum dicabangkan.

Breadth-first: cabangkan subproblem sesuai urutan dalam satu level.

b. Bounding (pembatasan)

Lakukan pembulatakan kebawah pada nilai fungsi tujuan (𝑍) untuk masalah

maksimisasi. Sebaliknya, lakukan pembulatan keatas pada nilai fungsi

tujuan untuk masalah minimisasi.

c. Fathoming (penghilangan)

Untuk setiap subproblem baru, terapkan uji fathoming sebagai berikut.

Uji 1 : Pada masalah maksimisasi, fathom jika batasnya ≤ 𝑍∗. Sedangkan pada masalah minimisasi, fathom jika batasnya ≥ 𝑍∗. 𝑍∗ adalah nilai 𝑍 incumbent saat ini.

Uji 2 : Fathom jika PL relaksasi tidak memiliki solusi yang layak.

Uji 3 : Fathom jika solusi optimal untuk PL relaksasinya adalah bilangan

bulat. Apabila solusi ini lebih baik dari pada incumbent, maka

solusi ini menjadi incumbent baru dan uji 1 diterapkan kembali

875

pada subproblem yang tidak dihilangkan dengan 𝑍∗ baru.

3. Uji Optimalitas

Berhenti jika tidak ada lagi subproblem yang tersisa. Incumbent (calon solusi

optimal) yang berlaku adalah optimal. Jika tidak, kembali lakukan iterasi

selanjutnya.

2.2 Two-Stage Guillotine Cutting Stock Problem (2GCSP)

Two-Stage Gullotine Cutting Stock Problem (2GCSP) adalah permasalahan

yang muncul dalam industri ketika barang-barang berbentuk persegi atau persegi

panjang harus dipotong dari bahan baku dengan aturan pola potong guillotine dua

tahap (M Mrad, et al., [7]). Klasifikasi pemotongan bentuk items pada 2GCSP adalah

bentuk regular. Pola guillotine merupakan pola pemotongan yang dimulai dari satu

sisi bahan baku yang kemudian dilanjutkan pada sisi lainnya. Pada masalah ini,

terdapat dua tahap dalam menentukan pola pemotongan. Tahap pertama, tentukan

pola potong dimana pemotongan tersebut dilakukan berdasarkan lebar items atau

panjang items pada bahan baku, sehingga menghasilkan beberapa strip. Tahap kedua

adalah pemotongan satu persatu bagian strip sesuai ukuran items yang diminta.

Gambar 2.1 Pola Two-Stage Guillotine Berdasarkan Lebar Items

Gambar 2.2 Pola Two-Stage Guillotine Berdasarkan Panjang Items


3.1 Model Optimisasi Linear Integer 2GCSP pada Industri Garmen

Asumsi-asumsi pada model ini adalah :

1. Stok kain dan bahan kaos berbentuk persegi panjang.

2. Pola pemotongan sesuai dengan pola two-stage guillotine dengan ketentuan

pola berdasarkan lebar bahan kaos, panjang bahan kaos, dan tanpa rotasi.

3. Pola pemotongan optimal hanya dipengaruhi oleh banyaknya permintaan setiap

ukuran kaos, faktor lain tidak diperhitungkan, misal harga stok kain atau harga

jual kaos.

4. Pembentukan pola potong stok kain berdasarkan lebar bahan kaos pada

tahap pertama dimulai dari strip dengan lebar bahan kaos terbesar yang ada

dalam pola stok kain tersebut. Sedangkan pembentukan pola potong stok

kain berdasarkan panjang bahan kaos pada tahap pertama dimulai dari strip

876

dengan panjang bahan kaos terbesar yang ada dalam pola stok kain tersebut.

5. Pembentukan pola potong strip berdasarkan lebar bahan kaos pada tahap

kedua dimulai dari bahan kaos dengan lebar terbesar yang ada dalam pola

strip tersebut dan lebar bahan kaos tersebut kurang dari atau sama dengan

lebar strip. Sedangkan pembentukan pola potong strip berdasarkan panjang

bahan kaos pada tahap kedua dimulai dari bahan kaos dengan panjang

terbesar yang ada dalam pola strip tersebut dan panjang bahan kaos tersebut

kurang dari atau sama dengan panjang strip.

6. Pada pola potong strip tahap kedua minimal terdapat satu bahan kaos yang

memiliki lebar yang sama dengan lebar strip untuk pola potong berdasarkan

lebar bahan kaos dan minimal terdapat satu bahan kaos yang memiliki

panjang yang sama dengan panjang strip untuk pola potong berdasarkan

panjang bahan kaos.

7. Hasil potong (bahan kaos) boleh lebih dari permintaan.

Tabel 3.1 Parameter untuk Model 2GCSP pada Industri Garmen

No Notasi Keterangan

1 𝑚𝑙 banyaknya lebar bahan kaos yang berbeda

2 𝑚𝑝 banyaknya panjang bahan kaos yang berbeda

3 𝑙(𝑖) lebar bahan kaos terkecil ke-𝑖 (𝑖 = 1, … ,𝑚𝑙)

4 𝑝(𝑖)

panjang bahan kaos terkecil ke-𝑖 (𝑖 = 1, … ,𝑚𝑝)

5 𝜋𝑙 banyaknya pola potong stok kain berdasarkan lebar bahan kaos

6 𝜋𝑝 banyaknya pola potong stok kain berdasarkan panjang bahan kaos

7 𝜌𝑖𝑙

banyaknya pola strip dengan lebar 𝑙(𝑖) (𝑖 = 1, … , 𝑚𝑙) dan panjang 𝑃 yang

dipotong menjadi persegi panjang sesuai ukuran bahan kaos yang diminta

8 𝜌𝑖𝑝

banyaknya pola strip dengan panjang 𝑝(𝑖) (𝑖 = 1, … ,𝑚𝑝) dan lebar 𝐿 yang

dipotong menjadi persegi panjang sesuai ukuran bahan kaos yang diminta

9 𝑎𝑖𝑗𝑙

banyaknya strip dengan lebar 𝑙(𝑖) pada pola potong stok kain ke-𝑗, 𝑖 =

1,… ,𝑚𝑙, 𝑗 = 1,… , 𝜋𝑙

10 𝑎𝑖𝑗𝑝

banyaknya strip dengan panjang 𝑝(𝑖) pada pola potong stok kain ke-𝑗, 𝑖 =

1,… ,𝑚𝑝, 𝑗 = 1,… , 𝜋𝑝

11 𝑏𝑠𝑖𝑘𝑙

banyaknya bahan kaos tipe s yang termasuk dalam pola strip ke-𝑘 dengan

lebar 𝑙(𝑖), 𝑠 ∈ ℕ: 𝑙𝑠 ≤ 𝑙(𝑖), 𝑘 = 1, … , 𝜌𝑖𝑙, 𝑖 = 1, … ,𝑚𝑙

12 𝑏𝑠𝑖𝑘𝑝

banyaknya bahan kaos tipe s yang termasuk dalam pola strip ke-𝑘 dengan

panjang 𝑝(𝑖), 𝑠 ∈ ℕ: 𝑝𝑠 ≤ 𝑝(𝑖), 𝑘 = 1, … , 𝜌𝑖𝑝, 𝑖 = 1, … , 𝑚𝑝

Tabel 3.2 Variabel untuk Model 2GCSP pada Industri Garmen

No Notasi Keterangan

1 𝑥𝑗𝑙

banyaknya pola stok kain berdasarkan lebar bahan kaos ke-𝑗 yang

dipotong pada tahap pertama, 𝑗 = 1,… , 𝜋𝑙

2 𝑥𝑗𝑝

banyaknya pola stok kain berdasarkan panjang bahan kaos ke-𝑗 yang

dipotong pada tahap pertama, 𝑗 = 1,… , 𝜋𝑝

3 𝑦𝑖𝑘𝑙

banyaknya pola strip ke-𝑘 dengan lebar 𝑙(𝑖) dan panjang 𝑃 yang

dipotong pada tahap kedua, 𝑘 = 1,… , 𝜌𝑖𝑙 , 𝑖 = 1, … ,𝑚𝑙

4 𝑦𝑖𝑘

𝑝

banyaknya pola strip ke-𝑘 dengan panjang 𝑃(𝑖) dan lebar 𝐿 yang

dipotong pada tahap kedua, 𝑘 = 1,… , 𝜌𝑖𝑝, 𝑖 = 1, … ,𝑚𝑝

877

Menurut Mrad, Meftahi, dan Haouari [7], jumlah total strip dengan lebar 𝑙(𝑖) pada

pola stok kain yang dipotong pada tahap pertama lebih besar atau sama dengan jumlah total

pola strip dengan lebar 𝑙(𝑖) dan panjang 𝑃 yang dipotong pada tahap kedua, sehingga:

1 1

, 1,...,

lli

l l l l

ij j ik

j k

a x y i m

(3.1)

Kemudian jumlah total strip dengan panjang 𝑝(𝑖) pada pola stok kain yang dipotong

pada tahap pertama lebih besar atau sama dengan jumlah total pola strip dengan panjang 𝑝(𝑖)

dan lebar 𝐿 yang dipotong pada tahap kedua, sehingga:

1 1

, 1,...,

ppi

p p p p

ij j ik

j k

a x y i m

(3.2)

Karena strip yang dipotong pada tahap kedua harus dapat memproduksi bahan kaos

sesuai dengan permintaan dan diizinkan lebih dari permintaan, maka jumlah total produksi

bahan kaos tipe 𝑠 lebih besar atau sama dengan permintaan sehingga:

, 1 1

, 1,...,

ttim

t t

sik ik s

t l p i k

b y d s m

(3.3)

Kemudian, setiap variabel keputusan merupakan variabel nonnegatif dan merupakan

bilangan bulat, maka dapat dituliskan:

0, 1,..., , ,

0, 1,..., , 1,..., , ,, integer

t t

jt t t

ik i

x j t l p

y k i m t l px y

(3.4)

Karena tujuan utama dari model ini adalah untuk meminimumkan jumlah stok kain

yang digunakan, maka fungsi tujuannya yaitu meminimumkan jumlah pola potong stok kain

pada tahap pertama berdasarkan lebar kaos dan panjang kaos. Sehingga dapat dirumuskan

sebagai berikut :

, 1

t

t

j

t l p j

Minimize x

(3.5)

3.2 Studi Kasus

3.2.1 Pengolahan Data

Data permintaan produksi kaos pada industri garmen Merch Cons Bandung dapat

dilihat pada Tabel 3.3.

Tabel 3.3 Permintaan Kaos ukuran S, M, L, dan XL

Ukuran Kaos Permintaan (buah)

S 24

M 24

L 36

XL 24

Bahan baku yang digunakan untuk memproduksi kaos tersebut yaitu kain katun

combed 20s dengan panjang 200 cm dan lebar 100 cm. Standar ukuran bahan kaos yang

digunakan di Merch Cons yaitu standar ukuran internasional USA dengan rincian ukuran

setiap kaosnya yaitu dalam Tabel 3.4.

878

Tabel 3.4 Standar Ukuran Internasional USA untuk Bahan Kaos

Ukuran

Kaos

Panjang Bahan

Bagian Badan

(cm)

Lebar Bahan

Bagian Badan

(cm)

Panjang Bahan

Bagian Lengan

(cm)

Lebar Bahan

Bagian Lengan

(cm)

S 70 46 43 22 M 72 51 48 24.5 L 75 56 52.5 25

XL 77 61 57.5 28 Untuk membuat satu buah kaos dibutuhkan dua lembar bahan bagian badan, yaitu

bagian depan dan belakang kaos sehingga kebutuhan bahan untuk membuat setiap ukuran

kaos dapat dilihat pada Tabel 3.5.

Tabel 3.5 Permintaan Setiap Bahan

Bahan Permintaan (Lembar)

Bahan bagian lengan ukuran S (𝑆𝑙) 48

Bahan bagian lengan ukuran M (𝑀𝑙) 48

Bahan bagian lengan ukuran L (𝐿𝑙) 72

Bahan bagian lengan ukuran XL (𝑋𝐿𝑙) 48

Bahan bagian badan ukuran S (𝑆𝑏) 48

Bahan bagian badan ukuran M (𝑀𝑏) 48

Bahan bagian badan ukuran L (𝐿𝑏) 72

Bahan bagian badan ukuran XL (𝑋𝐿𝑏) 48

3.2.2 Penyelesaian Masalah

Pertama, tentukan semua pola pemotongan tahap pertama dan tahap kedua yang

mungkin. Berikut ilustrasi pola pemotongan tahap pertama dan tahap kedua berdasarkan

lebar bahan kaos dan panjang bahan kaos.

Gambar 3.1 Ilustrasi Pola Tahap Pertama Berdasarkan Lebar Kaos dan Panjang Kaos

Gambar 3.2 Ilustrasi Pola Tahap Kedua Berdasarkan Lebar Kaos dan Panjang Kaos

Dengan menentukan pola tersebut, dapat ditentukan nilai-nilai dari

parameter sehingga masalah 2GCSP pada industri garmen Merch Cons Bandung

dapat dinyatakan dalam model Optimisasi Linear Integer.

Kemudian, berikut langkah-langkah untuk mencari solusi model Optimisasi

Linear Integer dengan software Maple berdasarkan metode Branch and Bound:

1. Ketik restart untuk menghapus data yang telah di-input sebelumnya seperti

berikut >

2. Gunakan paket optimization dan linalg pada worksheet dengan cara ketik: >

>

879

3. Bentuk matriks pola pemotongan tahap pertama berdasarkan lebar bahan

kaos ([𝑎𝑖𝑗𝑙 ]) dimana setiap elemennya merupakan koefisien kendala 1-8

dengan syntax berikut.

matrix([[𝑎11𝑙 , … , 𝑎1𝑗

𝑙 ],… , [𝑎81𝑙 , … , 𝑎8𝑗

𝑙 ]])

4. Bentuk matriks pola pemotongan tahap pertama berdasarkan panjang bahan

kaos ([𝑎𝑖𝑗𝑝]) dimana setiap elemennya merupakan koefisien kendala 9-16

dengan syntax berikut.

matrix([[𝑎11𝑝, … , 𝑎1𝑗

𝑝],… , [𝑎81

𝑝, … , 𝑎8𝑗

𝑝]])

5. Bentuk matriks koefisien kendala 17-24 berdasarkan pola pemotongan tahap

kedua dengan syntax berikut.

matrix

([[𝑏1,1,1𝑙 , … , 𝑏1,8,18

𝑙 , 𝑏1,1,1𝑝

, … , 𝑏1,8,4𝑝

],… , [𝑏8,1,1𝑙 , … , 𝑏8,8,18

𝑙 , 𝑏8,1,1𝑝

, … , 𝑏8,8,4𝑝

]])

6. Bentuk matriks 𝐘 sebagai variabel kendala 17-24 seperti berikut.

7. Buat fungsi ruas kiri kendala dengan menggunakan for seperti berikut.

>

>

>

8. Buat fungsi ruas kanan kendala seperti berikut.

880

9. Untuk tahap inisialisasi, set 𝑍1 = ∞ dan tentukan solusi dari LP relaksasi dengan

syntax berikut.

10. Untuk tahap iterasi lakukan sesuai algoritma Branch and Bound, selesaikan LP

relaksasi di setiap subproblem dengan menambahkan kendala yang baru pada syntax

solusi di poin 9.

Berikut solusi yang dapat diberikan untuk industri garmen Merch Cons Bandung

menggunakan metode Branch and Bound dengan aturan pemilihan variabel yaitu urutan

natural yang memiliki nilai noninteger dan aturan pemilihan subproblem yaitu Depth First

Selection (DFS).

Ilustrasi Pola Pemotonga Stok

Kain

Jumlah

(Lembar)

Ilustrasi Pola Pemotonga Stok

Kain

Jumlah

(Lembar)

24

2

30

1

3

14

881

8

2

Jadi, banyaknya bahan kaos yang dihasilkan dengan pola potong tersebut

diberikan dalam Tabel 3.6.

Tabel 3.6 Banyaknya Bahan Kaos yang Dihasilkan

Bahan Persediaan (Lembar)

Bahan bagian lengan ukuran S (𝑆𝑙) 48

Bahan bagian lengan ukuran M (𝑀𝑙) 48

Bahan bagian lengan ukuran L (𝐿𝑙) 72

Bahan bagian lengan ukuran XL (𝑋𝐿𝑙) 48

Bahan bagian badan ukuran S (𝑆𝑏) 48

Bahan bagian badan ukuran M (𝑀𝑏) 48

Bahan bagian badan ukuran L (𝐿𝑏) 72

Bahan bagian badan ukuran XL (𝑋𝐿𝑏) 48

3.3 GUI Pencari Pola Pemotongan Optimum pada Stok Kain

Pada GUI yang dibuat terdapat 2 pilihan input. Pertama yaitu input data

permintaan ukuran kaos dan yang kedua yaitu input data permintaan bahan kaos

seperti pada Gambar 3.3.

Gambar 3.3 Jendela Input

Misal masukkan data permintaan ukuran kaos pada industri Garmen Merch Cons

Bandung. Kemudian setelah klik solusi, hasil jumlah banyaknya stok kain yang

digunakan akan muncul dalam textbox. Rincian pola tahap pertama dan tahap kedua

dapat dilihat pada file Microsoft Excel seperti berikut.

882

Gambar 3.4 Rincian Pola Tahap Pertama dan Tahap Kedua pada Microsoft Excel

4. KESIMPULAN

Two-Stage Guillotine Cutting Stock Problem (2GCSP) pada industri garmen

dapat dinyatakan dalam model Optimisasi Linear Integer dengan fungsi

tujuannya yaitu meminimumkan jumlah stok kain yang dipotong dan

kendala yaitu aturan pola pemotongan berdasarkan lebar kaos, aturan pola

pemotongan berdasarkan panjang kaos, dan aturan pola tahap kedua

berdasarkan permintaan kaos.

Solusi optimal 2GCSP pada studi kasus di industri garmen Merch Cons

883

Bandung dapat ditentukan dengan menggunakan metode Branch and Bound.

Metode tersebut memberikan solusi yang bernilai integer pada setiap

variabel keputusan. Solusi tersebut merupakan pola pemotongan stok kain

pada tahap pertama dan tahap kedua yang optimal dimana pola pemotongan

stok kain tersebut dapat memenuhi permintaan setiap ukuran kaos.

Graphical User Interface (GUI) untuk mencari pola pemotongan optimal

dapat dibuat menggunakan software Maple. GUI tersebut digunakan sebagai

alat interaktif untuk pengguna dalam menginput data permintaan produksi

kaos pada industri garmen. Hasilnya berupa pola pemotongan tahap satu dan

tahap dua yang optimal dalam file Microsoft Excel. Hasil tersebut

merupakan solusi dari model Optimisasi Linear Integer 2GCSP yang sudah

dibuat berdasarkan paket Optimization pada software Maple.

Referensi

[1] Chinneck, John W. 2010. Practical Optimization: a Gentle Introduction.

(lms.ipb.ac.id/file.php/307/Integer_Programming_Via_Branch_and_Bound

.pdf, diakses 27 Desember 2016).

[2] Clausen, Jens. 1999. Branch and Bound Algorithms – Principles and Examples.

Denmark: University of Copenhagen.

[3] Gilmore, P.C., & Gomory, R.E. 1961. A Linear Programming Approach to The

Cutting Stock Problem. Journal of Operations Research 9:849-859.

[4] Gilmore, P.C., & Gomory, R.E. 1965. Multistage Cutting Stock Problems of Two

and More Dimensions. Journal of Operations Research 13:94-120.

[5] Hillier, F.S., & Lieberman, G.J. 2001. Introduction to Operation Research,

Seventh Edition. New York: The McGraw-Hill.

[6] Lodi, Andrea, & Monaci, Michele. 2003. Integer Linear Programming Models

for The 2-Staged Two-Dimensional Knapsack Problems. Math. Program., Ser

B 94:257-278.

[7] Mrad, M., Meftahi, I., & Haouari, M. 2012. A Branch-and-Price Algorithm for

The Two-Stage Guillotine Cutting Stock Problem. Journal of the Operational

Research Society 1-9.

[8] Parlar, Mahmut. 2000. Interactive Operations Research with Maple: Methods

and Models. Boston: Birkhauser.

[9] Rao, S.S. 2009. Engineering Optimization: Theory and Practice, Forth Edition.

New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.

[10] Taha, Hamdy A. 2007. Operations Research: an Introdaction. New Jersey:

Pearson Education, Inc.

884

Prosiding SNM 2017

Pemodelan dan Optimisasi, Hal 884-892

PENERAPAN OPTIMASI MULTI RESPON DENGAN

METODE TAGUCHI FUZZY LOGIC

SRI WINARNI1, BUDHI HANDOKO2, YENY KRISTA FRANTY3

1, 2, 3. Departemen Statistika FMIPA UNPAD,

[email protected],


Abstrak. Optimasi multi respon merupakan proses optimasi dengan

mempertimbangkan beberapa respon secara simultan. Tujuan dari penelitian ini

adalah mendapatkan titik optimum pada proses optimasi multi respon

menggunakan metode taguchi fuzzy logic. Titik optimum ditentukan dari

variabel Multi Performance Characteristics Index (MPCI) yang merupakan

konversi dari nilai Signal to Noise Ratio respon-respon yang terlibat. Contoh

kasus yang digunakan dalam penelitian ini adalah kasus optimasi karakteristik

kualitas lead-slag perisai radiasi beton dengan mempertimbangkan beberapa

karakteristik kualiatas yang diukur. Hasil optimasi didapatkan faktor rasio

air/semen 0,42, kuantitas semen 390kg, fraksi valume 60% dan rasio semen

0,15.

Kata kunci: Optimasi Multi Respon, Taguchi Fuzzy Logic.

1. Pendahuluan

Optimasi respon merupakan upaya mendapatkan kombinasi perlakuan yang

menghasilkan respon optimum. Pada bidang industri, optimasi respon seringkali

digunakan untuk mendapatkan desain produk yang optimum. Desain taguchi

merupakan desain yang umum digunakan untuk mendapatkan desain produk yang

robust (kokoh). Optimasi respon dapat dilakukan dengan pendekatan single respon

dan pendekatan multi respon, Monthgomery [4].

Pendekatan optimasi single respon dilakukan ketika optimasi hanya satu

respon saja yang dipertimbangkan dalam proses optimasi. Titik optimum yang

didapatkan berupa kombinasi perlakuan yang mengoptimumkan respon tersebut,

Mohan and Paul [7]. Pendekatan optimasi single respon digunakan jika kualitas

produk yang dihasilkan hanya dipertimbangkan dari satu karateriktik produk saja.

Ketika kualiatas produk tidak hanya mempertimbangkan satu karakteristik produk

maka pendekatan optimasi yang digunakan adalah optimasi multi respon. Jika yang

digunakan adalah pendekatan optimasi single respon maka titik optimum yang

didapat belum tentu merupakan titik optimum secara simultan Monthgomery [4].

Skema analisis optimasi respon diberikan pada Gambar 1.

885

Gambar 1. Skema Analisis Optimasi Respon pada Desain Taguchi

Pada skema Gambar 1. Metode analisis yang dapat digunakan pada

pendekatan single respon adalah metode Signal to Noise Ratio (SNR) dan metode

response surface. Analisis pada metode SNR relatif mudah, sehingga metode ini

merupakan metode yang paling umum digunakan untuk optimasi single respon.

Sedangkan metode response surface digunaan ketika faktor yang digunakan adalah

faktor kuantitatif. Pada pendekatan optimasi multi respon terdapat beberapa metode

analisis yang digunakan. Multiple SNR merupakan pengembangan dari metode

SNR. Metode overlaid surface plot dan desirability function merupakan

pengembangan dari metode response surface. Metode lain yang dapat digunakan

pada optimasi multi respon adalah metode grey relational analysis, principal

component analysis, TOPSIS dan fuzzy logic, Bahloul [8].

Penelitian ini akan dilakukan pengembangan analisis optimasi multi respon

menggunakan metode taguchi fuzzy logic. Tujuan dari penelitian ini adalah

mendapatkan titik optimum pada kasus optimasi multi respon desain taguchi

menggunakan metode taguchi fuzzy logic.

2. Bahan dan Metode

Contoh kasus yang digunakan dalam penelitian ini adalah kasus optimasi pada

Electrical Discharge Machining (EDM), Mohan & Paul [7]. Ilustrasi kasus beserta

faktor dan respon percobaan diberikan pada Gambar 2.

Gambar 2. Kasus Optimasi EDM

886

Faktor percobaan yang digunakan pada kasus ini adalah faktor gap voltage,

peak current dan duty factor. Masing-masing faktor dilakukan pada tiga taraf seperti

yang diberikan pada Gambar 2. Performance mesin diukur dari respon percobaan

Material Removal Rate (MRR) dan Surface Roughness (SR). Kedua respon ini akan

dipertimbangkan secara simultan sehingga didapatkan komposisi perlakuan yang

menghasilkan MRR dan SR yang optimum. Desain eksperimen yang digunakan

pada kasus ini adalah desain taguchi L9. Data percobaan diberikan pada Tabel 1.

Tabel 1. Data Percobaan Kasus Optimasi EDM dengan Desain Taguchi L9

Desain taguchi L9 merupakan desain ortoghonal array dengan 9 kombinasi

perlakuan. Kombinasi perlakuan A1B1C1 artinya perlakuan dengan gap voltage

40V, peak current 9 A, dan duty factor 0.4. Respon MRR dan SR merupakan

parameter dari EDM.

Metode analisis yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode taguchi

fuzzy logic. Tahapan analisis diberikan pada Gambar 3.

Gambar 3. Tahapan Analisis Metode Taguchi Fuzzy Logic

Metode taguchi fuzzy logic merupakan kombinasi dari metode SNR dan

fuzzy logic. Tahapan analisis dimulai dari desain orthogonal array yang merupakan

input dari fuzzy logic. Tahapan analisis fuzzy logic terdiri dari tiga tahapan yaitu

fuzzifier, fuzzy inference engine, dan defuzzifier, Liu, et.all [3]. Output dari analisis

fuzzy logic berupa Multi Performance Characteristics Index (MPCI). Titik

optimum ditentukan dari pengaruh faktor dengan nilai MPCI tertinggi.

Tahapan analisis selengkapnya dapat dijelaskan sebagai berikut :

887

1. Menghitung nilai SNR dan normalisasinya

Pada metode fuzzy logic, respon percobaan akan masuk sebagai variabel input

pada proses fuzzy, dalam kasus penelitian ini MRR dan SR. Perhitungan nilai

SNR terbagi menjadi tiga kriteria: Husain, et.all [9] .

a. Larger the better

SNR larger the better digunakan ketika tujuan optimasi respon adalah

yang terbesar yang terbaik (memaksimumkan respon). Formula SNR

untuk larger the better diberikan pada Persamaan 1. dengan 𝑖𝑗 adalah

nilai SNR respon ke-i perlakuan ke-j, dan yij adalah nilai respon ke-i

perlakuan ke-j.

................................. (1)

b. Smaller the better

SNR smaller the better digunakan ketika tujuan optimasi respon adalah

yang terkecil yang terbaik (meminimumkan respon). Formula SNR

smaller the better diberikan pada Persamaan 2.

................................. (2)

c. Nominal is the best

SNR nominal is the best digunakan ketika tujuan optimasi respon adalah

pada nilai target tertentu.

Nilai SNR selanjutnya dinormalisasi, formula untuk menormalisasi SNR dengan

kriteria larger the better diberikan pada Persamaan 3. Anand & Vijay [5]

𝑖𝑗∗ =

𝑖𝑗 −min𝑖𝑗

max𝑖𝑗 −min𝑖𝑗

................................. (3)

dengan 𝑖𝑗∗ adalah nilai normalisasi SNR respon ke-i perlakuan ke-j. min𝑖𝑗 adalah

nilai dari 𝑖𝑗 dan maks 𝑖𝑗 adalah nilai maksimum dari 𝑖𝑗. Normalisasi SNR

dengan kriteria smaller the better diberikan pada persamaan 4.

𝑖𝑗∗ =

maks 𝑖𝑗 − 𝑖𝑗

max𝑖𝑗 −min𝑖𝑗

................................. (4)

Nilai normalisasi SNR dijadikan sebagai input pada proses fuzzy

2. Fuzzy logic

Analisis fuzzy logic terbagi menjadi tahap fuzzifier, inference fuzzy engine, defuzzifier. Pada

tahap fuzzifier, dilakukan konversi variabel linguistik menjadi variabel fuzzy. Masuk pada

tahap inference fuzzy engine, dibentuk aturan-aturan fuzzy (fuzzy rules) yang berbasis pada

aturan “IF and THEN”. Untuk dua variabel input dan satu variabel output, fuzzy rule dapat

dibentuk sebagai berikut : Pandey & Dubay [1]

Rule 1 : if x1 is A1 and x2 is B2 then y is C1 else,

888



.

.

.

Rule n : if x1 is An and x2 is Bn then y is Cn else.

Variabel Ai , Bi , dan Ci merupakan fuzzy subset yang menghubungkan variabel

input normalisasi MRR, normalisasi SR dan variabel output MPCI. Pada penelitian ini

variabel input dibentuk dalam tiga subset, yaitu low (L), medium (M), dan Hight (H).

Sedangkan variabel output dibentuk dalam lima subset, yaitu very small (VS), small (S),

medium (M), large (L) dan very large (VL). dengan fuzzy set variabel input dan output

dapat terbentuk fuzzy rule yang diberikan pada Tabel 2. Bahloul [8]

Tabel 2. Fuzzy Rule

Normalisasi SR Normalisasi MRR

Low Medium Hight

Low Very Small Small Medium

Medium Small Medium Large

Hight Medium Large Very Large

Tabel 2. Menunjukkan jika normalisasi MRR low dan normalisasi SR low maka

MPCI very small, jika normalisasi MRR medium dan normalisasi SR low maka MPCI

small, begitu seterusnya. Aturan ini dapat disimulasikan dengan operator mamdani sebagai

berikut : Anand & Vijay, [5]

𝜇𝐶0(𝑦) = (𝜇𝐴1(𝑥1) 𝜇𝐵1(𝑥2))(𝜇𝐴2(𝑥1) 𝜇𝐵2(𝑥2))…(𝜇𝐴𝑛(𝑥1) 𝜇𝐵𝑛(𝑥2))

Dengan adalah operator minimum dan adalah operator maksimum. Selanjutnya adalah

tahap defuzzifier, yaitu mentransformasi variabel fuzzy output menjadi variabel non fuzzy

MPCI, Ramaiah [9]. Transformasi tersebut menggunakan persamaan berikut :

𝑦0 =∑𝑦𝜇𝐶0(𝑦)

∑𝜇𝐶0(𝑦)

Variabel non fuzzy MPCI digunakan untuk menentukan titik optimum.

3. Penentuan titik optimum

Titik optimum ditentukan dari pengaruh faktor utama MPCI yang terbesar. Penentuan

pengaruh faktor utama menggunakan plot pengaruh utama, Bahloul [8].


1. Hasil normalisasi SNR MRR dan SR

Pada kasus EDM dalam penelitian ini optimasi mempertimbangkan respon MRR

dengan kriteria larger the better dan respon SR dengan kriteria smaller the better. Hasil

SNR dan normalisasinya diberikan pada Tabel 3.

889

Tabel 3. SNR dan normalisasi SNR untuk respon MRR dan SR

Perlakuan Respon SNR SNR*

MRR SR MRR SR MRR* SR*

1 4.74 3.26

13.516 -10.264

0.000 1.000

2 8.60 6.98

18.690 -16.877

0.502 0.408

3 9.51 11.78

19.564 -21.423

0.587 0.000

4 7.46 4.58

17.455 -13.217

0.383 0.736

5 12.80 9.62

22.144 -19.663

0.838 0.159

6 8.38 6.99

18.469 -16.889

0.481 0.407

7 15.51 6.53

23.812 -16.298

1.000 0.460

8 10.90 4.82

20.748 -13.661

0.702 0.696

9 13.36 8.98 22.516 -19.065 0.874 0.213

Nilai SNR respon MRR dan S diperoleh dari Persamaan 1 dan Persamaan 2.

Normalisasi SNR dilakukan dengan Persamaan 3 dan 4. Nilai normalisasi berada pada

selang nilai 0 sampai 1. Nilai normalisasi SNR yang mendekati 1 menunjukkan bahwa nilai

respon tersebut mendekati target. Pada MRR dengan kriteria larger the better nilai respon

yang besar akan menhasilkan normalisasi SNR yang mendekati 1. Sedangkan untuk respon

SR dengan kriteria smaller the better nilai normalisasi SNR yang mendekati 1 adalah nilai

respon yang kecil. Sebaliknya untuk hasil normalisasi yang mendekati 0 adalah MRR yang

bernilai kecil dan SR yang bernilai besar.

2. Hasil analisis fuzzy logic

Pada penelitian ini analisisis fuzzy logic dilakukan denga bantuan software matlab. Tahap

awal adalah pendefinisian variabel input dan output yang diberikan pada Gambar 4.

890

Gambar 4. Input dan Output fuzzy logic

Variabel input yang digunakan adalah normalisasi SNR untuk MRR dan SR,

sedangkan outputnya adalah MPCI. Pembentuakan variabel fuzzy diberikan pada Gambar

5.

Gambar 5. Variabel fuzzy untuk input dan output

Variabel fuzzy untuk normalisasi MRR dan normalisasi SR terbagi dalam tiga

subset; low (L), medium (M) dan hight (H). Sedangkan untuk variabel fuzzy output MPCI

terbagi dalam lima subset; very small (VS), small (S), medium (M), large (L) dan very large

(VL). Fuzzy rule pada tahap inference fuzzy engine dan tahap defuzzifier diberikan pada

Gambar 6.

891

Gambar 6. Fuzzy rule dan tahap defuzzifier

Pada tahap inference fuzzy engine terdapat sembilan fuzzy rule yang terbentuk.

Rule tersebut mentransformasi variabel fuzzy input menjadi fuzzy output. Selanjutnya

adalah tahap defuzzifier, mentransformasi output fuzzy menjadi output MPCI non

fuzzy. Pada Gambar 6 jika normalisasi MRR bernilai 0 dan normalisasi SR bernilai

1 maka MPCI akan bernilai 0.5. Hasil MPCI diberikan pada Tabel 4.

Tabel 4. Hasil Output MPCI

Faktor MPCI

A B C

1 1 1 0.500

1 2 2 0.703

1 3 3 0.250

2 1 2 0.594

2 2 3 0.498

2 3 1 0.500

3 1 3 0.750

3 2 1 0.600

3 3 2 0.568

Nilai MPCI yang mendekati 1 menunjukkan bahwa nilai respon yang dekat

dengan nilai target, sebaliknya nilai MPCI yang mendekati 0 menunjukkan bahwa nilai

respon jauh dari nilai targetnya. MPCI merupakan variabel konversi dari beberapa respon

yang dipertimbangkan pada proses optimasi. Selanjutnya MPCI digunakan untuk

menentukan titik optimum.

3. Hasil penentuan titik optimum

Titik optimum ditentukan dari pengaruh faktor utama terbesar dari masing-masing faktor

percobaan. Penentuan titik optimum secara visual dilakukan dengan main effect plot yang

diberikan pada Gambar 7.

892

Gambar 7. Main effect plot untuk MPCI

Pada Gambar 7 didapatkan bahwa untuk faktor A pengaruh utama MPCI terbesar

dihasilkan pada taraf 3. Pada faktor B, pengaruh MPCI terbesar dihasilkan pada taraf 1.

Sedangan pada faktor C pengaruh MPCI terbesar dihasilkan oleh taraf 2. Dengan demikian

titik optimum yang didapatkan adalah perlakuan A3B1C2. Artinya bahwa MRR dan SR

optimum dapat dihasilkan dengan oleh perlakuan A3B1C2.

4. Kesimpulan

Kesimpulan yang didapat pada penelitian ini adalah bahwa metode analisis

taguchi fuzzy logic dapat dijadikan sebagai alternatif metode pada optimasi multi

respon. Pada kasus optimasi EDM yang digunakan pada penelitian ini didapatkan

bahwa kombinasi perlakuan yang menghasilkan MRR dan SR optimum adalah

faktor gap voltage 70 V, peak current 9 A dan duty factor 0,6

Referensi [1] A. K. Pandey and A. K. Dubey, 2012, “Taguchi based fuzzy logic optimization of

multiple quality characteristics in laser cutting of Duralumin sheet,” Opt. Lasers

Eng., vol. 50, no. 3, pp. 328–335.

[2] B. Das, S. Roy, R. N. Rai, and S. C. Saha, 2014, “Surface roughness of Al-5Cu alloy

using a taguchi-fuzzy based approach,” J. Eng. Sci. Technol. Rev., vol. 7, no. 2, pp.

217–222.

[3] C. L. Liu, Y. S. Chiu, Y. H. Liu, Y. H. Ho, and S. S. Huang, 2013, “Optimization of

a fuzzy-logic-control-based five-stage battery charger using a fuzzy-based taguchi

method,” Energies, vol. 6, no. 7, pp. 3528–3547.

[4] D. C. Montgomery, 2013, Design and Analysis of Experiments, Internatio. John

Wiley & Sons.

[5] K. Anand Babu and G. Vijaya Kumar, 2015, “Determination of optimum parameters

for multi responses in drilling of Al 7075 - 10%SiCp Metal Matrix Composite under

MQL condition using Taguchi-Fuzzy Approach,” Int. J. Eng. Technol., vol. 7, no. 4,

pp. 1200–1211.

[6] P. V. Ramaiah, N. Rajesh, and K. D. Reddy, 2013, “Determination of Optimum

Influential Parameters in Turning of Al6061 Using Fuzzy Logic,” vol. 2, no. 10, pp.

5555–5560.

[7] R. Mohan, J. P. C, and B. Paul, 2014, “Multi Output Optimization of CNC High

Speed Hard Turning of AISI 52100 Bearing Steel using Taguchi Method and Fuzzy

Logic Unit,” vol. 15, no. 3, pp. 118–123.

[8] S. A. El-bahloul, 2015, “Optimization of Thermal Friction Drilling Process Based on

Taguchi Method and Fuzzy Logic Technique,” vol. 4, no. 2, pp. 55–59.

[9] S. A. Hussain, V. Pandurangadu, and K. Palanikumar, 2014, “Multiple Performance

Characteristic Optimization in Turning of GFRP Composites Using Fuzzy Logic,”

Int. J. Eng. Res., vol. 3, no. 1, pp. 106–111.

893

TERAPAN


894

Prosiding SNM 2017 Terapan, Hal 894-900

PENCITRAAN ARAH AKUMULASI PASIR BESI

BERDASARKAN KONTRAS KEMAGNETAN DAN

FORWARD MODELLING DENGAN MENGGUNAKAN

METODE GEOFISIKA PASIF PADA DAERAH PANTAI

GOA CEMARA,YOGYAKARTA

RIZKY RAMADHAN DWIYANTORO

Jurusan Teknik Geofisika, Universitas Pembangunan Nasional “Veteran” Yogyakarta Jalan SWK 104 Condongcatur Yogyakarta

[email protected]

Abstrak. Magnet merupakan fenomena yang dimiliki oleh bumi, dalam pemanfaatannya magnet dapat diterapkankan sebagai alat yang berfungsi untuk mencitrakan suatu keadaan bawah permukaan dengan

menggunakan kontras perbedaan nilai intensitas kemagnetan batuan dengan menggunakan salah satu metode tertua dalam geofisika yaitu geomagnet. Geomagnet adalah metode geofisika pasif yang memanfaatkan nilai kemagnetan batuan untuk mengetahui kondisi bawah permukaan, menentukan arah litologi maupun perlapisan. Pasir besi yang terdapat pada pantai goa cemara merupakan hasil dari endapan merapi muda yang tertransportasi lalu terakumulasi pada permukaan pantai tersebut, lalu pasir silika yang berada pada daerah penelitian bersumber dari tinggian wonosari yang tertransport lalu terakumulasi. survei geomagnet yang bersifat regional berfungsi untuk memodelkan, memetakan dan

menentukan arah akumulasi hasil transportasi pasir besi secara regional. Interpretasi dari survei magnetik, berupa arah akumulasi pasir besi secara regional berdasarkan peta kuat medan magnetik yang telah melalui reduksi dan pemodelan 2,5 dimensi. Penelitian ini dilakukan dengan jumlah 12 lintasan (grid) pengukuran dengan interval setiap titik 10 meter dan hasil pengukuran secara umum dari daerah penelitian memiliki 2 litologi yang dominan yaitu pasir besi dan pasir silika didapatkan nilai intensitas magnetik setelah direduksi (reduce to the pole) sebesar 120,9 nT sampai 387,5 nT dapat di

interpretasikan sebagai pasir besi sementara itu, batu pasir silika memiliki nilai lebih rendah antara -242,0 nT sampai -22,1 nT. Dari data pengolahan tersebut diproyeksikan lebih lanjut kedalam model forward 2,5 dimensi dengan menggunakan perangkat lunak merupakan pemodelan kedepan menggunakan persamaan matematika yang diturunkan dari konsep fisika, dalam pemodelan geofisika dicari suatu model yang cocok dengan data lapangannya (fit). dengan nilai persentase kesalahan model sebesar 22.276 % terlihat bahwa model bawah permukaan sesuai dengan peta kontinuasi keatasnya,

akumulasi pasir besi mengarah dari tenggara ke barat laut sesuai dengan arah media transportasinya

Kata Kunci: Geomagnetik, pemodelan kedepan, reduksi ke kutub

1. Pendahuluan

Matematika merupakan ilmu yang mendasari banyak ilmu salah satunya

adalah geofisika, Terapan dari matematika banyak digunakan untuk

menghubungkan antara data observasi dengan model fisis. Dengan memanfaatkan

fenomena yang ada di bumi, yaitu gaya magnet, menjadi dasar dari salah satu

metode pasif dalam geofisika yaitu geomagnetik. sebagai salah satu metode tertua


895

dalam geofisika, geomagnetik memanfaatkan sifat kemagnetan bumi dalam

mencitrakan kondisi bawah permukaan.

Penelitian bermaksud untuk memetakan kawasan pantai goa cemara dengan

parameter fisis kemagnetan dan mendapatkan arah endapan pasir besi

(akumulasi) dengan tujuan mengetahui kondisi bawah permukaannya berdasarkan

pemodelan kedepan (forward modelling) dan kontras nilai kemagnetan dalam

geofisika, model dan parameter model digunakan untuk mengkarakterisasi suatu

kondisi geologi bawah-permukaan. Pemodelan merupakan proses estimasi model

dan parameter model berdasarkan data yang diamati di permukaan bumi, Pemodelan

ke depan menyatakan proses perhitungan "data" yang secara teoritis akan teramati

di permukaan bumi, persamaan matematis untuk model yang memiliki kesalahan

minimum dinyatakan dengan:

E = ∑ (𝑒𝑖𝑁𝑖=1 ) 2

dimana:

𝑒𝑖 adalah (𝑇𝑖𝑐𝑎𝑙 − 𝑇𝑖

𝑜𝑏𝑠) 2

E adalah merupakan fungsi dari parameter model (a, b)

T cal adalah prediksi data

T obs adalah data lapangan

Hubungan linier antara data (d) dengan parameter model (m) atau intensitas

magnetisasi dinyatakan oleh:

d = G m

dimana G adalah matriks kernel (N × M) yang memetakan sumber anomali

menjadi data observasi, dengan N adalah jumlah data dan M adalah jumlah

parameter model. [1] persamaan diatas merupakan persamaan pemodelan kedepan

yang digunakan untuk memodelkan bawah permukaan bumi dengan parameter fisis

dari geomagnetik adalah intensitas kemagnetan (I) yaitu tingkat kemampuan

menyearahnya momen-momen magnetik dalam medan magnet luar, atau

didefinisikan sebagai momen (M) magnet persatuan volume (V) :

I = M/V Medan magnet, dalam ilmu Fisika adalah suatu medan yang dibentuk dengan

menggerakan muatan listrik (arus listrik) yang menyebabkan munculnya gaya di

muatan listrik yang bergerak lainnya. (Putaran mekanika kuantum dari satu partikel

membentuk medan magnet dan putaran itu dipengaruhi oleh dirinya sendiri seperti

arus listrik; inilah yang menyebabkan medan magnet dari ferromagnet. medan

magnet adalah medan vektor Bumi merupakan medan magnetik raksasa, yang

pembuktiannya dapat dilakukan dengan kompas. Penunjukkan arah kompas

menyatakan arah kutub-kutub magnet bumi, Intensitas medan magnetik yang

terukur di atas permukaan bumi senantiasa mengalami perubahan terhadap waktu.

Berdasarkan faktor-faktor penyebabnya perubahan medan magnetik bumi dapat

terjadi antara lain:

Variasi sekuler Variasi sekuler adalah variasi medan bumi yang berasal dari variasi medan magnetik

utama bumi, sebagai akibat dari perubahan posisi kutub magnetik bumi.

http://id.wikipedia.org/wiki/Fisika

http://id.wikipedia.org/wiki/Arus_listrik

http://id.wikipedia.org/wiki/Gaya

http://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika_kuantum

896

Variasi harian Variasi harian adalah variasi medan magnetik bumi yang sebagian besar bersumber

dari medan magnet luar. Medan magnet luar berasal dari perputaran arus listrik di

dalam lapisan ionosfer yang bersumber dari partikel-partikel terionisasi oleh radiasi

matahari sehingga menghasilkan fluktasi arus yang dapat menjadi sumber medan

magnet. [3]. geomagnetik, merupakan metode yang didasarkan pada pengukuran

variasi intensitas magnetik di permukaan bumi yang disebabkan adanya variasi

distribusi (anomali) benda termagnetisasi di bawah permukaan bumi. Hal ini terjadi

sebagai akibat adanya perbedaan sifat kemagnetan suatu material. Kemampuan

untuk termagnetisasi tergantung dari suseptibilitas magnetik masing-masing

batuan.[4] Dalam geomagnet terdapat beberapa cara survei salah satunya yaitu

dengan teknik satu alat. Akuisisi menggunakan satu alat adalah survei geomagnetik

dengan cara titik pengukuran geomagnetik akan kembali lagi menuju titik semula.

Pengukuran menggunakan satu alat merupakan suatu konsep pengukuran dengan

memanfaatkan titik awal yang digunakan sebagai titik acuan dan pengukuran awal

hingga terakhir akan kembali pada titik tersebut

Gambar 1.1 desain survei penelitian

Pengukuran dilakukan pada Pantai Goa Cemara, Kabupaten Bantul, Daerah Istimewa Yogyakarta pada 5 April 2015 dengan kondisi cuaca cerah, penelitian ini terdiri dari 12 lintasan secara (grid ), Lintasan pada desain survei tersebut dipilih dengan arah memotong arah hembusan angin agar mendapat respon anomali dari target dalam penelitian ini informasi geologi sangat penting dikarenakan desain survei dari geofisika sangat bergantung pada infomasi geologi

2. Hasil-hasil utama

Genesa Target Pembentukan endapan pasir besi memiliki perbedaan genesa dibandingkan dengan mineralisasi logam lainnya yang umum terdapat. Pembentukan pasir besi adalah merupakan produk dari proses kimia dan fisika dari batuan berkomposisi intermediet hingga basa atau dari batuan bersifat andesitik hingga basaltik [2]. di pulau Flores secara umum terletak pada busur batuan vulkano-plutonik yang masih aktif mirip dengan pulau jawa dimana endapan pasir besi ditemukan sepanjang

897

pantai selatan. Pasir besi termasuk ke dalam endapan sedimenter, karena mengalami proses: 1. Perombakan 2. Transportasi 3. Pemilahan

4. Pengkayaan pasir besi yang berasal dari gunung berapi, mengalir melewati sungai, berkumpul di sepanjang sungai (terutama pada lekukan sungai), dan mengendap di sungai, muara, hingga menuju laut. Ombak yang menyapu di sepanjang pantai membuat pasir besi terpilahkan dan menjadi butiran bebas, yang terkayakan. Proses ini terjadi berulang-ulang, sehingga bisa terbentuk menjadi endapan pasir besi yang ditemukan di sungai maupun di pantai.

Total intensitas magnetik peta total intensitas magnetik adalah peta rata-rata dari respon intensitas magnetik atau sering disebut kuat medan total, perbedaan warna yang signifikan melambangkan kontras kuat medan magnetik pada daerah penelitian. Pada peta total intensitas magnetik batuan yang memiliki intensitas sedang ditunjukkan pada warna hijau hingga kuning dan memiliki nilai -174,7 nT hingga –12,4 nT merupakan

pasir silika yang berasal dari tinggian wonosari.

Gambar 2.1 penggabungan peta intensitas magnetik dengan topografi

Gambar 2.2 Peta intensitas magnetik

898

Peningkatan kualitas data Upaya peningkatan kualitas data untuk mendekatkan data observasi dengan

anomali target dengan proses Reduksi ke kutub yaitu filterasi yang mereduksi ke

kutub sehingga pada anomali pengukuran hanya dipengaruhi oleh satu kutub. hal ini

dilakukan agar anomali dari total intesitas magnetik berada tepat dibawah titik

pengukuran. Peta total intensitas magnetik merupakan hasil medan magnetik dari

daerah pengukuran dengan anomali yang masih dipengaruhi 2 kutub maka

dibutuhkan filterasi agar menemui target dengan menyearahkan momen magnetik

pada satu kutub magnet bumi.

Gambar 2.3 penggabungan peta reduksi ke kutub dengan topografi

Gambar 2.4 Peta reduksi kutub

899

Pemodelan kedepan dan kontinuasi keatas Peta kontinuasi keatas adalah salah satu upaya melihat anomali dari target

pengukuran dengan asumsi bahwa pada ketinggian ini anomali regional sudah dapat dihilangkan dan sudah mencakup area pengukuran. Tingkat proses kontinuasi dilakukan menurut target yang diinginkan yaitu bergantung pada kedalaman target itu sendiri. Proses kontinuasi dengan uji trial and error dilakukan dengan melihat kecenderungan pola kontur hasil kontinuasi pada ketinggian tertentu, sangat jelas terlihat bahwa penyebaran searah dengan media transportasi pasir besi dengan udara maka didapatkanlah arah tenggara barat laut dengan dasar 3 peta diatas, kontinuasi keatas, Total intesitas magnet dan reduksi ke kutub dengan nilai intensitas

magnetik sebesar 120,9 nT sampai 387,5 nT dapat diinterpretasikan sebagai pasir besi sementara itu, batu pasir silika memiliki nilai lebih rendah antara -242,0 nT sampai -22,1 n. pasir besi pada daerah pengukuran termasuk produk lepasan andesit yang tertransport dari merapi menuju selatan Yogyakarta dan terkumpul sepanjang pantai dengan pola penyebaran mengikuti arah angin. Garis hitam pada peta upward continuation adalah sayatan yang digunakan untuk membuat model bawah permukaan dari target. Pemodelan kedepan (forward modeling) yang menggunakan persamaan matematika yang diturunkan dari konsep fisika, dalam pemodelan geofisika dicari suatu model yang cocok dengan data observasi [1] dengan nilai persentase kesalahan model sebesar 22.276 % Pemodelan ini merupakan gambaran bawah permukaan hasil intepretasi berdasarkan data observasi dan kondisi geologi, dapat terlihat bahwa dimana lapisan pasir besi yang lebih dominan dibandingkan dengan pengendapan pasir silika model ini dicocokan dari kondisi geologinya yang menyatakan bahwa terdapat material lepas berupa pasir besi dan berdasarkan arah sayatan maka dapat diinterpretasikan akumulasi dari pasir besi mengarah tenggara-barat laut berada pada permukaan maupun bawah permukaan pada pantai.

Gambar 2.5 penggabungan peta kontinuasi keatas dengan topografi

900

Gambar 2.6 pemodelan kedepan

3. Kesimpulan

dari penelitian ini dapat ditarik kesimpulan : Berdasarkan peta reduksi ke kutub,kontinuasi ke atas dan pemodelan

kedepan penyebaran arah akumulasi pasir besi mengarah barat laut menuju tenggara dengan media transportasi pasir besi adalah udara dan air berdasarkan dari ketiga peta magnetik maka dapat diketahui bahwa hanya terdapat 2 litologi pada daerah penelitian yaitu, pasir silika dan pasir besi, Pasir silika merupakan hasil dari tinggian wonosari yang tersisipkan bersilang bersama pasir besi lalu tertransportasi dengan media udara dan terendapkan. pasir besi pada pantai goa cemara merupakan merupakan batuan yang bersumber dari aktivitas merapi, merupakan hancuran andesite tertransportasi hingga daerah pantai goa cemara hal ini diduga berdasarkan dari nilai magnetiknya yang tinggi, pantai goa cemara memiliki fenomena geologi ini yang disebut barchan dune dimana bentukan dari timbunan

pasir yang terjadi karena pengendapan material-material yang terbawa oleh angin yang terbentuk pada daerah dataran yang terbuka.

Referensi

[1] Hendra Grandis,2009, Pengantar Pemodelan Inversi Geofisika,Himpunan Ahli

Geofisika,Jakarta [2] Subandoro dan Pudjowaluyo, 1978, Iron Sand Occurrences In The Coastal Areas of

Flores, Mineral Resources In Asian Offshore Areas, CCOP , Singapore [3] Telford, W., Geldart, L., Sheriff, R., and Keys, D., (1976). Applied Geophysics,

Cambridge University Press, New York. [4] Tri, Audi. 2016. Identification of Paleo-extraction zone of ironsand deposit by magnetic

responses combined with fourier transform analysis: new development in geomagnetic exploration. MGEI 8th Conference proceeding 2016. Bandung

901

Prosiding SNM 2017 Terapan, Hal 901-910

TRANSFORMASI STRUKTURAL DAN KETIMPANGAN

ANTAR DAERAH DI PROVINSI KALIMANTAN TIMUR

ADI SETIAWAN1 DAN FITRI KARTIASIH2

1Badan Pusat Statistik Kota Jakarta Pusat, [email protected]

2 Sekolah Tinggi Ilmu Statistik, [email protected]

Abstrak

Tingginya ketimpangan pendapatan mengindikasikan tidak meratanya pembangunan terutama

dalam bidang ekonomi di Indonesia. Kalimantan Timur adalah contoh provinsi yang mengalami

“growth without development”: pertumbuhan ekonomi daerah memang terjadi namun pembangunan

tidak dinikmati oleh sebagian besar rakyat Kalimantan Timur (Mubyarto, 2005). Hal ini dapat dilihat

dari indeks eksploitasi dan angka kemiskinan di Kalimantan Timur. Penelitian ini bertujuan untuk

menganalisis transformasi struktural di Provinsi Kalimantan Timur, mengklasifikasikan

kabupaten/kota menurut tingkat pertumbuhan dan pendapatan per kapitanya, menganalisis tingkat

ketimpangan pendapatan antar kabupaten/kota dan mengetahui hubungan antara pendapatan perkapita

dengan ketimpangan pendapatan. Penelitian ini menggunakan analisis deskriptif, Tipologi Klassen,

Indeks Williamson, Indeks Theil T dan Indeks Theil L. Hasil penelitian menunjukkan bahwa struktur

ekonomi Provinsi Kalimantan Timur masih bertumpu pada sektor primer dan belum terjadi

transformasi struktur ekonomi. Berdasarkan Indeks Williamson, tingkat ketimpangan antar daerah di

Provinsi Kalimantan Timur relatif tinggi. Berdasarkan Indeks Theil T dan Theil L, ketimpangan antar

daerah lebih banyak disebabkan oleh ketimpangan dalam kelompok kabupaten (within) dibanding

ketimpangan antar kelompok kabupaten penghasil migas-non penghasil migas (between). Hipotesis

Kuznets berlaku atau terjadi di Provinsi Kalimantan Timur selama periode penelitian.

Kata Kunci : ketimpangan, Indeks Williamson, Indeks Theil, Kuznets, Kalimantan Timur

1. Pendahuluan

Pembangunan yang dilaksanakan sejauh ini cukup mampu mendorong

peningkatan laju pertumbuhan ekonomi, tetapi dalam banyak kasus relatif tidak bisa

mengurangi ketimpangan (disparity). Tingginya ketimpangan pendapatan

mengindikasikan tidak meratanya pembangunan terutama dalam bidang ekonomi di

Indonesia. Selain itu, tingginya ketimpangan pendapatan juga memperlihatkan

adanya heterogenitas antar wilayah. Faktor-faktor penyebab terjadinya ketimpangan

meliputi faktor biofisik/karakteristik wilayah (sumberdaya alam), sumberdaya

buatan (ketersediaan sarana dan prasarana sosial ekonomi), sumberdaya manusia,

karakteristik struktur ekonomi wilayah dan kebijakan pemerintah daerah (Daryanto

dan Hafizrianda [4] ; Rustiadi dkk [6], Sjafrizal [7];).

Ketimpangan antardaerah dapat menimbulkan krisis yang lebih kompleks

seperti masalah kependudukan, ekonomi, sosial, politik dan lingkungan serta dalam

902

konteks makro sangat merugikan proses dan hasil pembangunan yang ingin dicapai

suatu wilayah. Beberapa daerah dapat mencapai pertumbuhan yang signifikan,

sementara beberapa daerah lainnya mengalami pertumbuhan yang lambat.

Provinsi Kalimantan Timur merupakan provinsi terkaya di Indonesia dengan

Produk Domestik Regional Bruto (PDRB) per kapita Rp 129,26 juta (BPS [2]).

Provinsi ini terkenal kaya dengan sumber daya alam (SDA) terutama minyak, gas

bumi, batubara, emas, perikanan dan kelautan serta hasil-hasil hutan yang melimpah.

Kalimantan Timur adalah contoh provinsi yang mengalami “growth without

development”: pertumbuhan ekonomi daerah memang terjadi namun pembangunan

tidak dinikmati oleh sebagian besar rakyat Kalimantan Timur (Mubyarto [5]). Hal

ini dapat dilihat dari indeks eksploitasi dan angka kemiskinan di Kalimantan Timur.

Jumlah penduduk miskin di Provinsi Kalimantan Timur pada tahun 2008 tercatat

sebesar 9,51 persen. Sedangkan indeks eksploitasi ekonomi Kalimantan Timur

sebesar 93,10 persen dan merupakan angka yang paling tinggi dibanding dengan

provinsi-provinsi lain di Indonesia.

Berdasarkan uraian diatas maka tujuan dari penelitian ini antara lain: 1)

Menganalisis transformasi struktural di Provinsi Kalimantan Timur pada periode

tahun 2010-2015; 2) Mengklasifikasikan kabupaten/kota di Provinsi Kalimantan

Timur menurut tingkat pertumbuhan ekonomi dan pendapatan per kapitanya; 3)

Menganalisis tingkat ketimpangan pendapatan antar kabupaten/kota di Provinsi

Kalimantan Timur, dan 4) Mengetahui hubungan antara pendapatan per kapita

dengan ketimpangan pendapatan.

Pembangunan harus dipandang sebagai suatu proses multidimensional yang

mencakup berbagai perubahan mendasar atas struktur sosial, sikap-sikap masyarakat

dan institusi-institusi nasional disamping tetap mengejar akselerasi pertumbuhan

ekonomi, penanganan ketimpangan pendapatan serta pengentasan kemiskinan.

Menurut Kuznets, pertumbuhan ekonomi adalah kenaikan kapasitas dalam jangka

panjang dari suatu negara yang bersangkutan untuk menyediakan berbagai barang

ekonomi kepada penduduknya. Kenaikan kapasitas itu sendiri ditentukan oleh

adanya kemajuan atau penyesuaian-penyesuaian teknologi, instistusional, dan

ideologis tehadap berbagai keadaan yang ada (Todaro dan Smith [9]).

Teori pola pembangunan Chenery memfokuskan terhadap perubahan

struktur dalam tahapan proses perubahan ekonomi, industri dan struktur institusi dari

perkonomian negara sedang berkembang, yang mengalami transformasi dari

pertanian tradisional beralih ke sektor industri sebagai roda penggerak ekonomi.

Penelitian yang dilakukan Hollis Chenery tentang transformasi struktur produksi

menunjukkan bahwa sejalan dengan peningkatan pendapatan perkapita,

perekonomian suatu negara akan bergeser dari yang semula mengandalkan sektor

pertanian menuju ke sektor industri (Todaro dan Smith [9]).

Ketimpangan pendapatan itu tidak dapat dihindari, tetapi bukan berarti hal

tersebut boleh dibiarkan terus-menerus tinggi. Ketimpangan yang tinggi dapat

membawa dampak buruk terhadap kestabilan ekonomi dan kestabilan politik. Oleh

sebab itu perlu diupayakan ketimpangan yang terjadi tidak terlalu menyolok, atau

perkembangan ketimpangan sedapat mungkin jangan sampai membesar. Akan

tetapi, usaha untuk menciptakan pemerataan atau pengurangan ketimpangan

pendapatan dalam suatu proses pembangunan ekonomi sangatlah sulit. Terutama

disebabkan karena adaya trade off antara pendapatan dengan laju pertumbuhan

ekonomi (Daryanto dan Hafizrianda [4]).

Penelitian ini menggunakan data sekunder yang diperoleh dari Badan Pusat

Statistik (BPS). Data yang digunakan adalah data Produk Domestik Regional Bruto

903

(PDRB) atas dasar harga berlaku; PDRB atas dasar harga konstan (PDRB riil) tahun

dasar 2010 serta data jumlah penduduk kabupaten/kota di Provinsi Kalimantan

Timur tahun 2010-2015. Metode analisis yang digunakan dalam penelitian ini adalah

analisis deskriptif, Tipologi Klassen, Indeks Williamson, Indeks Theil T dan Indeks

Theil L.

Tipologi Klassen membagi daerah berdasarkan dua indikator utama, yaitu

pertumbuhan ekonomi dan PDRB per kapitanya (Sjafrizal [7]). Daerah-daerah

pengamatan dibagi dalam empat kuadran, yaitu:

(1) daerah cepat maju dan cepat tumbuh (high growth and high income);

(2) daerah berkembang cepat (high growth but low income);

(3) daerah maju tapi tertekan (high income but low growth); dan

(4) daerah relatif tertinggal (low growth and low income)

Ketimpangan pendapatan antar daerah dalam penelitian ini digunakan 3

metode pengukuran yaitu Indeks Williamson, Indeks Theil T dan Indeks Theil L.

Formula Indeks Williamson ini pada dasarnya sama dengan coefficient of variation

(CV) biasa dimana standar deviasi dibagi dengan rataan.

𝐶𝑉𝑤 =√∑(𝑌𝑖−𝑌)

2𝑛𝑖 𝑛⁄

𝑌 (1)

Keterangan:

Yi = PDRB per kapita kabupaten/kota i

Y = PDRB per kapita Provinsi Kalimantan Timur

ni = jumlah penduduk kabupaten/kota i

n = jumlah penduduk Provinsi Kalimantan Timur

Sjafrizal [7] menetapkan sebuah kriteria yang digunakan untuk menentukan

apakah ketimpangan antardaerah berada pada ketimpangan taraf rendah, sedang,

atau tinggi. Untuk itu ditentukan kriteria sebagai berikut: ketimpangan taraf rendah

bila indeks Williamson < 0,3 ; ketimpangan taraf sedang bila indeks Williamson

antara 0,3 – 0,50 dan ketimpangan taraf tinggi bila indeks Williamson > 0,50.

Indeks Theil memiliki karakteristik utama yaitu kemampuannya untuk

membedakan ketimpangan antar daerah (between-region inequality) dan

ketimpangan dalam suatu daerah (within-region inequality). Ketidakmerataan antar

kelompok (between) yang dimaksud dalam penelitian ini adalah ketidakmerataan

antar wilayah atau kelompok kabupaten/kota, sedangkan ketidakmerataan dalam

kelompok (within) adalah ketidakmerataan yang terjadi di dalam satu wilayah atau

kelompok kabupaten/kota tertentu. Dalam penelitian ini akan dilihat ketimpangan

pendapatan yang dibagi menjadi dua kelompok wilayah analisis, antara lain:

1. Kelompok kabupaten/kota penghasil migas yang terdiri dari: Kabupaten

Kutai Kartanegara, Kutai Timur, Penajam Paser Utara, Kota Balikpapan,

Samarinda dan Bontang.

2. Kelompok kabupaten/kota bukan penghasil migas yang terdiri dari:

Kabupaten Paser, Kutai Barat dan Berau.

Koefisien Theil diukur dengan menggunakan rumus sebagai berikut (Tadjoedin [8])

:

𝑇 = ∑ ∑ [𝑌𝑖𝑗

𝑌] ln [

��𝑖𝑗

��]𝑗𝑖 (2)

𝐿 = ∑ ∑ [𝑛𝑖𝑗

𝑛] ln [

��

��𝑖𝑗]𝑗𝑖 (3)

Keterangan:

T = indeks Theil T

L = indeks Theil L

904

Yij = PDRB kabupaten i, kelompok j

Y = PDRB Provinsi Kalimantan Timur (Σ Σ Yij)

��𝑖𝑗 = PDRB per kapita kabupaten i, kelompok j

�� = PDRB per kapita Provinsi Kalimantan Timur

Selanjutnya dihitung ketimpangan dalam kelompok dan antar kelompok, dengan

rumus sebagai berikut :

Total Ketimpangan = Ketimpangan dalam kelompok+ketimpangan antar kelompok

𝑇 = 𝑇𝑤+𝑇𝐵

𝑇 = ∑ (𝑌𝑖

𝑌)𝑇𝑖𝑖 + ∑ (

𝑌𝑖

𝑌) ln (

𝑌��

��) =𝑖 𝑇𝑤+𝑇𝐵 (4)

𝑇𝑖 = ∑ (𝑌𝑖𝑗

𝑌𝑖) ln (

��𝑖𝑗

��𝑖)𝑗 (5)

𝐿 = 𝐿𝑤+𝐿𝐵

𝐿 = ∑ (𝑛𝑖

𝑛)𝐿𝑖𝑖 + ∑ (

𝑛𝑖

𝑛) ln (

��

𝑌��) =𝑖 𝐿𝑤+𝐿𝐵 (6)

𝐿𝑖 = ∑ (𝑛𝑖𝑗

𝑛𝑖) ln (

��𝑖

��𝑖𝑗)𝑗 (7)

TW dan LW adalah ketimpangan dalam kelompok (within-region inequality)

TB dan LB adalah ketimpangan antar kelompok (between-region inequality)

Konsep pemikiran Kuznets (Todaro dan Smith [9]) yang dituangkan dalam

bentuk kurva U terbalik, yaitu sewaktu pendapatan per kapita naik, ketidakmerataan

mulai muncul dan mencapai maksimum pada saat pendapatan berada pada tingkat

menengah dan kemudian menurun sewaktu telah dicapai tingkat pendapatan yang

sama dengan karakteristik negara industri. Ketidakmerataan pendapatan akan

memburuk pada tahap awal disebabkan upah buruh masih relatif rendah. Dengan

demikian pertumbuhan tidak banyak memberikan manfaat bagi golongan miskin

atau golongan buruh. Namun dengan semakin meningkatnya pendapatan per kapita,

maka permintaan terhadap sarana publik (transportasi, komunikasi, pendidikan, dsb)

juga meningkat. Kondisi ini akan memunculkan trickle-down effect bagi golongan

miskin dengan meningkatnya upah buruh melalui sektor lain. Hipotesis Kuznets

(Kurva U-Terbalik) dapat dibuktikan dengan membuat grafik antara Produk

Domestik Regional Bruto (PDRB) per kapita dan indeks ketimpangan (indeks

Williamson, indeks Theil T dan indeks Theil L).


Kalimantan Timur merupakan provinsi terluas kedua di Indonesia setelah

Papua, dengan luas wilayah kurang lebih sekitar 204,5 ribu km2 atau sekitar satu

setengah kali Pulau Jawa dan Madura. Daerah ini dapat dikatakan berpenduduk

jarang apabila dilihat dari tingkat kepadatannya yang hanya 15,94 jiwa/km2.Selain

itu tingkat penyebaran penduduknya timpang atau tidak merata.

Kontribusi Kalimantan Timur terhadap perekonomian nasional relatif

tinggi. Produk Domestik Regional Bruto (PDRB) Kalimantan Timur pada tahun

2015 sebesar 442,39 triliun rupiah atau 4,89 persen dari Produk Domestik (PDB)

Indonesia. Angka ini merupakan angka kontribusi yang terbesar untuk daerah di luar

Jawa. Sedangkan secara nasional, Kalimantan Timur masuk sebagai empat besar

905

provinsi penyumbang PDB Indonesia setelah DKI Jakarta, Jawa Timur dan Jawa

Barat.

PDRB per kapita Provinsi Kalimantan Timur dari tahun 2010 hingga

tahun 2015 terlihat mengalami peningkatan dari tahun ke tahunnya. Pada tahun 2010,

PDRB per kapita atas dasar harga berlaku tercatat sebesar 107,87 juta rupiah dan

pada tahun 2015 mencapai 152,68 juta rupiah. Sedangkan PDRB per kapita atas

dasar harga konstan tercatat sebesar 107,87 juta rupiah pada tahun 2010 dan pada

tahun 2015 sebesar 133,57 juta rupiah.

Kalimantan Timur sebagai daerah yang mengandalkan sektor primer,

mengalami laju pertumbuhan ekonomi yang positif tetapi mengalami penurunan

dalam kurun waktu 2010-2015. Laju pertumbuhan ekonomi Provinsi Kalimantan

Timur pada tahun 2011 sebesar 6,30 persen, kemudian pada tahun 2014 turun

menjadi 1,70 persen. Bahkan laju pertumbuhan ekonomi Provinsi Kalimantan Timur

mengalami kontraksi sebesar -1,17 persen pada tahun 2015. Hal ini dikarenakan laju

pertumbuhan ekonomi di sektor pertambangan dan penggalian pada tahun 2014 dan

2015 mengalami kontraksi masing-masing sebesar -0,42 persen dan -4,81 persen.

Tabel 1 Struktur Ekonomi Provinsi Kalimantan Timur Tahun 2010-2015 (%)

Kategori Uraian 2010 2011 2012 2013 2014 2015

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

A Pertanian, Kehutanan, dan Perikanan

5.52 5.25 5.47 5.65 7.04 7.51

B Pertambangan dan Penggalian 49.87 56.69 57.11 55.21 50.19 45.16

C Industri Pengolahan 24.66 19.46 17.60 17.98 19.32 20.60

D Pengadaan Listrik dan Gas 0.03 0.02 0.02 0.02 0.02 0.04

E Pengadaan Air, Pengelolaan

Sampah, Limbah dan Daur Ulang 0.04 0.03 0.03 0.04 0.04 0.04

F Konstruksi 6.51 5.86 6.34 6.72 7.49 8.31

G Perdagangan Besar dan Eceran;

Reparasi Mobil dan Sepeda Motor 4.36 4.20 4.23 4.29 4.58 5.13

H Transportasi dan Pergudangan 2.27 2.15 2.30 2.58 2.99 3.47

I Penyediaan Akomodasi dan Makan Minum

0.61 0.57 0.62 0.66 0.73 0.85

J Informasi dan Komunikasi 1.01 0.90 0.95 1.00 1.07 1.21

K Jasa Keuangan dan Asuransi 1.18 1.07 1.23 1.43 1.50 1.66

L Real Estate 0.74 0.66 0.69 0.75 0.84 0.95

M,N Jasa Perusahaan 0.16 0.16 0.17 0.18 0.21 0.22

O

Administrasi Pemerintahan,

Pertahanan dan Jaminan Sosial

Wajib

1.61 1.53 1.64 1.71 1.94 2.32

P Jasa Pendidikan 0.67 0.75 0.87 1.02 1.18 1.45

Q Jasa Kesehatan dan Kegiatan Sosial

0.35 0.34 0.37 0.39 0.44 0.55

R,S,T,U Jasa lainnya 0.40 0.35 0.36 0.38 0.43 0.54

TOTAL 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00

Sumber: BPS, diolah

Struktur ekonomi Kalimantan Timur sangat mengandalkan sektor

pertambangan dan penggalian serta industri pengolahan. Aktivitas penambangan dan

pengolahan minyak dan gas mendominasi ekonomi Kalimantan Timur. Sebagai

leading sector ekonomi Kalimantan Timur, kontribusi sektor pertambangan dan

penggalian pada tahun 2010 sebesar 49,87 persen terus mengalami peningkatan

hingga pada tahun 2012 kontribusinya melonjak menjadi 57,11 persen. Peningkatan

906

ini ditopang oleh peningkatan pada subsektor pertambangan migas maupun tanpa

migas (batubara). Akan tetapi kontribusi sektor ini mengalami penurunan pada tahun

2013 hingga 2015, dimana kontribusi pada tahun 2015 sebesar 45,16 persen.

Kontribusi sektor industri pengolahan juga mengalami penurunan selama periode

pengamatan yaitu dari 24,66 persen pada tahun 2010 turun menjadi 20,60 persen

pada tahun 2015.

Sektor pertanian, kehutanan dan perikanan merupakan sektor keempat

terbesar dalam menyumbang PDRB Kalimantan Timur setelah sektor petambangan

dan penggalian; industri pengolahan dan konstruksi. Kontribusi sektor ini

mengalami peningkatan selama periode tahun 2010-2015 yaitu dari 5,52 persen pada

tahun 2010 naik menjadi 7,51 persen pada tahun 2015. Akan tetapi sektor pertanian

merupakan sektor yang paling banyak menyerap tenaga kerja. Pada tahun 2014

sebanyak 25,53 persen angkatan kerja bekerja pada sektor pertanian, sedangkan

penyerapan tenaga kerja di sektor industri pengolahan hanya sebesar 6,15 persen

(BPS [1]).

Perekonomian suatu daerah dalam jangka panjang akan terjadi perubahan

struktur perekonomian dimana semula mengandalkan sektor pertanian menuju

sektor industri. Dari sisi tenaga kerja akan menyebabkan terjadinya perpindahan

tenaga kerja dari sektor pertanian desa ke sektor industri kota, sehingga

menyebabkan kontribusi pertanian menurun. Menurut Chennery [3], sejalan dengan

peningkatan pendapatan perkapita, perekonomian suatu daerah akan bergeser dari

yang semula mengandalkan sektor pertanian menuju ke sektor industri. Hal-hal

tersebut di atas belum ditemukan di Provinsi Kalimantan Timur. Dengan demikian

dapat disimpulkan bahwa belum terjadi transformasi struktur ekonomi di Provinsi

Kalimantan Timur selama periode tahun 2010-2015.

Klasifikasi Kabupaten/Kota di Provinsi Kalimantan Timur

Tipologi Klassen membagi daerah yang diamati dalam empat klasifikasi,

yaitu: (1) daerah cepat maju dan cepat tumbuh (high growth and high income); (2)

daerah berkembang cepat (high growth but low income); (3) daerah maju tapi

tertekan (high income but low growth); dan (4) daerah relatif tertinggal (low growth

and low income). Analisis dalam penelitian ini menggunakan data PDRB per kapita

daerah tahun 2010-2015 untuk mengklasifikasikan kabupaten/kota.

Gambar 1 Plot Laju Pertumbuhan Ekonomi dan PDRB perkapita Kabupaten

/Kota di Provinsi Kalimantan Timur Tahun 2011

Paser

Kubar

KukarKutim

Berau

PPU

Balikpapan

Samarinda

Bontang

(10,00)

(5,00)

-

5,00

10,00

15,00

20,00

0,00 50,00 100,00 150,00 200,00 250,00 300,00 350,00 400,00

Per

tum

bu

han

Eko

no

mi (

%)

PDRB perkapita (Juta Rp)

I. Daerah cepat maju dan cepat tumbuh

II. Daerah berkembang cepat

III. Daerah maju tapi tertekan IV. Daerah relatif tertinggal

907

Dari Gambar 1 terlihat bahwa kabupaten/kota mengelompok pada tiga

kuadran. Kabupaten Penajam Paser Utara (PPU) dan Paser serta Kota Samarinda

berada di posisi kuadran dua sebagai daerah berkembang cepat. Kabupaten Kutai

Kartanegara (Kukar) dan Kutai Timur (Kutim) serta Kota Bontang berada di

kuadaran tiga yaitu menempati klasifikasi sebagai daerah maju tapi tertekan.

Kabupaten Kutai Barat (Kubar), Berau dan Kota Balikpapan menempati kuadran

empat dimana baik pertumbuhan ekonomi maupun pendapatan perkapitanya di

bawah angka provinsi. Tidak ada kabupaten/kota yang menempati kuadran pertama.

Gambar 2 Plot Laju Pertumbuhan Ekonomi dan PDRB perkapita Kabupaten

/Kota di Provinsi Kalimantan Timur Tahun 2015

Pada tahun 2015 terjadi pergeseran posisi dari beberapa kabupaten/kota.

Kabupaten Paser, Kutai Timur dan Kota Bontang menempati kuadran pertama

sebagai daerah maju. Kabupaten Kukar tetap berada di kuadran dua. Kuadran tiga

ditempati oleh lima kabupaten/kota lainnya. Tidak ada kabupaten/kota yang berada

di kuadran empat. Secara umum dapat dilihat bahwa terjadi peningkatan laju

pertumbuhan ekonomi maupun pendapatan perkapita dari masing-masing

kabupaten/kota sehingga terjadi pergeseran kuadran pada tahun 2015.

Tabel 2 Indeks Williamson Provinsi Kalimantan Timur Tahun 2010-2015 Tahun Indeks Williamson

(1) (2)

2010 0,6977

2011 0,6399

2012 0,6169

2013 0,5730

2014 0,5437

2015 0,5591

Paser

Kubar

Kukar

Kutim

Berau

PPU

Balikpapan

Samarinda

Bontang

(10,00)

(8,00)

(6,00)

(4,00)

(2,00)

-

2,00

4,00

6,00

8,00

0,00 50,00 100,00 150,00 200,00 250,00 300,00

Per

tum

bu

han

Eko

no

mi (

%)


I. Daerah cepat maju dan cepat tumbuh

III. Daerah maju tapi tertekan

II. Daerah berkembang cepat

IV. Daerah relatif tertinggal

908

Hasil penghitungan tingkat ketimpangan antardaerah di Provinsi

Kalimantan Timur menggunakan Indeks Williamson dapat dilihat pada Tabel 2.

Tingkat ketimpangan antardaerah di Provinsi Kalimantan Timur selama tahun 2010-

2015 termasuk dalam kriteria ketimpangan yang tinggi yaitu di atas 0,5. Akan tetapi

selama kurun waktu penelitian menunjukkan tren menurun dari 0,6977 pada tahun

2010 turun menjadi 0,5591 pada tahun 2015. Adanya sejumlah kabupaten/kota yang

memiliki PDRB per kapita yang sangat tinggi, yang antara lain disebabkan oleh

keberadaan migas di daerah tersebut menyebabkan terjadinya ketimpangan

antardaerah di Provinsi Kalimantan Timur.

Ketimpangan ini terjadi karena masing-masing kabupaten/kota memiliki

kelimpahan sumber daya alam yang berbeda-beda dimana kekayaan alam tersebut

menghasilkan pendapatan yang begitu besar bagi daerah yang memilikinya.

Kabupaten/kota di Provinsi Kalimantan Timur memiliki kelimpahan sumberdaya

alam non migas seperti batubara, emas, perak, kehutanan maupun sektor pertanian

yang menghasilkan nilai tambah bruto (PDRB) dalam perekonomian daerah.

Kabupaten Kutai Timur, Paser dan Berau serta Kota Bontang merupakan

kabupaten/kota yang memiliki pendapatan per kapita tertinggi walaupun tanpa

memasukkan sektor migas. Dengan adanya perusahaan-perusahaan besar batubara

seperti PT Kalimantan Timur Prima Coal (PT. KPC) di Kabupaten Kutim, PT. Berau

Coal di Kabupaten Berau maupun PT Pupuk Kalimantan Timur (Pupuk Kalimantan

Timur) di Kota Bontang yang merupakan perusahaan produsen pupuk urea dan

amoniak terbesar di Indonesia, memberikan kontribusi yang besar terhadap

perekonomian Kalimantan Timur. Migas diduga memicu ketimpangan antardaerah

menjadi lebih tinggi.

Tabel 3 Dekomposisi Indeks Theil T Provinsi Kalimantan Timur Tahun 2010-2015

Tahun

Indeks

Theil T

Ketimpangan

antar kelompok

Ketimpangan

dalam kelompok

Indeks Kontribusi

(%)

Indeks Kontribusi

(%) (1) (2) (3) (4) (5) (6)

2010 0,2152 0,0060 2,85 0,2028 97,15

2011 0,1874 0,0043 2,34 0,1804 97,66

2012 0,1809 0,0021 1,20 0,1750 98,80

2013 0,1657 0,0010 0,59 0,1643 99,41

2014 0,1499 0,0006 0,39 0,1489 99,61

2015 0,1547 0,0001 0,05 0,1427 99,95

Tingkat ketimpangan antar daerah di Provinsi Kalimantan Timur jika

dilihat menggunakan indeks Theil T dan Theil L menunjukkan ketimpangan yang

rendah. Selama periode tahun 2010-2015 indeks Theil T mengalami penurunan dari

0,2152 pada tahun 2010 menjadi 0,1547 pada tahun 2015. Indeks Theil T dan Theil

L dapat didekomposisi untuk melihat ketimpangan antar kelompok wilayah

(between) dan ketimpangan dalam kelompok wilayah (within) yang diamati.

Wilayah Kalimantan Timur dibagi menjadi 2 kelompok yaitu kelompok

kabupaten/kota penghasil migas dan kelompok kabupaten/kota bukan penghasil

migas.

909

Tabel 4 Dekomposisi Indeks Theil L Provinsi Kalimantan Timur Tahun 2010-2015

Tahun

Indeks

Theil L

Between Within

Indeks Kontribusi

(%)

Indeks Kontribusi

(%) (1) (2) (3) (4) (5) (6)

2010 0,2250 0,0064 2,83 0,2186 97,17

2011 0,1996 0,0046 2,29 0,1950 97,71

2012 0,1982 0,0022 1,11 0,1960 98,89

2013 0,1865 0,0010 0,53 0,1855 99,47

2014 0,1683 0,0006 0,35 0,1677 99,65

2015 0,1594 0,0001 0,04 0,1593 99,96

Berdasarkan Tabel 3 dan Tabel 4 dapat dilihat bahwa ketimpangan dalam

kelompok lebih besar kontribusinya dibandingkan ketimpangan antar kelompok.

Kontribusi ketimpangan dalam kelompok sebesar 99,95 persen terhadap

ketimpangan total di Provinsi Kalimantan Timur. Hal ini terutama disebabkan

ketimpangan dalam kelompok kabupaten/kota penghasil migas. Sedangkan sisanya

0,05 persen disebabkan oleh ketimpangan antar kelompok.

Untuk melihat apakah hubungan antara pendapatan per kapita dengan

tingkat ketimpangan antardaerah di Provinsi Kalimantan Timur baik dengan

menggunakan Indeks Williamson maupun Indeks Theil sesuai dengan Hipotesis

Kurva U-Terbalik Kuznets, maka dilakukan plot terhadap data-data tersebut.

Sumbu vertikalnya (sumbu Y) adalah indeks ketimpangan (Indeks Williamson,

Indeks Theil T dan Indeks Theil L) dan rata-rata PDRB per kapita sebagai sumbu

horizontalnya (sumbu X).

(a) Indeks Williamson (b) Indeks Theil T (c) Indeks Theil L

Gambar 3 Kurva Hubungan Antara Indeks Williamson, Indeks Theil T dan Indeks

Theil L dengan PDRB per kapita di Provinsi Kalimantan Timur Tahun 2010-2015

Pada Gambar 3 dapat dilihat bahwa kurva hubungan antara Indeks

Williamson dan Indeks Theil dengan PDRB per kapita di Provinsi Kalimantan Timur

pada tahun 2010-2015 seperti huruf U yang terbalik, artinya hipotesis Kuznets terjadi

di provinsi ini selama periode penelian. Hal ini menunjukkan bahwa semakin

meningkatnya PDRB per kapita akan menurunkan tingkat ketimpangan pendapatan

antar daerah di Provinsi Kalimantan Timur.

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

128 130 132 134

Ind

eks

Will

iam

son


0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

128 130 132 134

Ind

eks

Thei

l T


0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

125 130 135

Ind

eks

Thei

l L


910

3. Kesimpulan Berdasarkan hasil dan pembahasan di atas, maka dapat diambil beberapa

kesimpulan sebagai berikut:

1. Belum terjadi transformasi (pergeseran) struktur ekonomi di Provinsi

Kalimantan Timur selama tahun 2010-2015. Struktur ekonomi provinsi ini

masih bertumpu pada sektor primer terutama pertambangan dan penggalian.

2. Berdasarkan analisis Tipologi Klassen, kabupaten/kota mengelompok di

kuadran dua (klasifikasi daerah berkembang cepat).

3. Ketimpangan antardaerah yang terjadi di Provinsi Kalimantan Timur relatif

tinggi jika diukur menggunakan indeks Williamson, akan tetapi termasuk

ketimpangan rendah jika diukur menguunakan indeks Theil T dan Theil L.

Ketimpangan antar kelompok daerah (between) penghasil migas dan bukan

penghasil migas lebih rendah bila dibandingkan dengan ketimpangan dalam

kelompok (within).

4. Hipotesis Kuznets berlaku atau terjadi di Provinsi Kalimantan Timur selama

tahun 2010-2015.

Referensi

[1] BPS Provinsi Kalimantan Timur. 2015. Kalimantan Timur Dalam Angka 2015. BPS

Provinsi Kalimantan Timur, Samarinda.

[2] BPS Provinsi Kalimantan Timur. 2016. Kalimantan Timur Dalam Angka 2016. BPS

Provinsi Kalimantan Timur, Samarinda.

[3] Chenery, H., Ahluwalia, Bell, Duloy, dan Jolly. 1974. Redistribution with Growth.

Oxford University Press, Oxford.

[4] Daryanto, Arief & Yundy Hafizrianda. 2010. Model-Model Kuantitatif Untuk

Perencanaan Pembangunan Ekonomi Daerah: Konsep dan Aplikasi. PT Penerbit IPB

Press, Bogor

[5] Mubyarto. 2005. Menggugat Ketimpangan dan Ketidakadilan Ekonomi Nasional.

PUSTEP-UGM & Aditya Media, Yogyakarta.

[6] Rustiadi, E., S. Saefulhakim, dan DR. Panuju. 2009. Perencanaan dan Pengembangan

Wilayah. Yayasan Obor Indoneisa, Jakarta.

[7] Sjafrizal. 2008. Ekonomi Regional, Teori dan Aplikasi. Baduose Media, Padang.

[8] Tadjoeddin, M.Z., W.I. Suharyo dan S. Mishra. 2003. Regional Disparity and Centre-

Regional Conflicts in Indonesia. Working Paper (01/01-E). UNSFIR, Jakarta.

[9] Todaro, M. P. dan Stephen C. Smith. 2006. Pembangunan Ekonomi Jilid 1. Haris dan

Puji [penerjemah]. Erlangga, Jakarta.

911

Prosiding SNM 2017 Terapan , Hal 911 -922

EVALUASI TIGA MODEL PENDUGAAN EVAPORASI

PANCI (EPAN) DI WILAYAH BALI

TRINAH WATI1 DAN FATKHUROYAN2

1Pusat Informasi Perubahan Iklim BMKG, [email protected]

2 Pusat Penelitian dan Pengembangan BMKG, [email protected]

Abstrak. Dalam penelitian ini dilakukan evaluasi model pendugaan

evaporasi/penguapan panci Klas A (Epan) metode Penman [1], KNF (Kohler -

Nordenson-Fox) [2] dan Linacre [3] dengan Epan hasil pengukuran di 5 stasiun

cuaca di wilayah Bali. Analisis menggunakan Metode RMSE (Root Mean

Square Error) digunakan untuk mengetahui keakuratan dan keandalan ketiga

model pendugaan tersebut. Hasil menunjukkan metode Penman terbaik di empat

stasiun yaitu di stasiun Sanglah, Kahang, Negara dan BBMKG wilayah 3

sedangkan di stasiun Ngurah Rai metode KNF yang terbaik. Nilai RMSE yang

semakin kecil menunjukkan hasil pendugaan semakin mendekati data observasi.

Nilai RMSE hasil pendugaan metode Penman, KNF dan Linacre juga

dibandingkan dengan model pendugaan yang dilakukan secara lokal yaitu Wati

[4] menghasilkan nilai yang lebih besar. Hal ini menunjukkan bahwa keandalan

model pendugaan Epan dipengaruhi oleh tipe iklim. Pendugaan yang dilakukan

di iklim yang sama dengan lokasi penelitian lebih akurat dibandingkan iklim

sub tropis pada ketiga model tersebut.

Kata kunci : evaporasi panci, Penman, KNF, Linacre, Bali

1. Pendahuluan

Pemahaman besaran nilai dan variasi kehilangan air akibat

penguapan/evaporasi dibutuhkan pada sektor pertanian dan hidrologi. Pada sektor

tersebut dibutuhkan dalam perencanaan dan managemen sumber daya air, desain

waduk, penilaian efisiensi sistem irigasi, evaluasi persyaratan drainase di masa

mendatang, kuantifikasi kehilangan air akibat perkolasi di bawah tanah, kebutuhan

ketersediaan air yang diusulkan dalam suatu projek irigasi dan dalam sistem

prakiraan debit sungai [5]. Bentuk dari proses evaporasi ada dua yaitu evaporasi dari

permukaan air terbuka dan transpirasi dari vegetasi. Evaporasi adalah jumlah air

yang mengalami penguapan dari permukaan air terbuka atau dari permukaan tanah,

sedangkan transpirasi didefinisikan sebagai proses perpindahan air dari vegetasi ke

atmosfer dalam bentuk uap air. Kedua proses evaporasi dan transpirasi disebut

dengan istilah evapotranspirasi dimana merupakan jumlah uap air yang

berevaporasi/menguap dari tanah dan tanaman ketika permukaan tanah pada

kandungan kelengasan yang alami [6].

Pengukuran evaporasi di Indonesia dilakukan di stasiun-stasiun pengamatan

cuaca menggunakan panci terbuka standar yaitu Clas A pan (panci klas A). Data

pengamatan evaporasi panci klas A mengunakan satuan tinggi air dalam milimeter

yang secara langsung dapat dibandingkan dengan curah hujan. Besarnya laju

912

evaporasi panci (Epan) berbeda dengan laju evapotranspirasi di permukaan

bervegetasi, keduanya dihubungkan dengan koefisien panci [5]. Besaran koefisien

panci klas A berbeda-beda tergantung pada penempatan dan lingkungan pada

beberapa tingkatan kelembaban relatif dan kecepatan angin [7].

Terdapat beberapa kendala dalam pengukuran Epan antara lain : biaya yang

cukup tinggi karena sistem pengukuran otomatis, ketidakcocokan dengan beberapa

lingkungan seperti di wilayah yang mengalami pembekuan pada suhu tertentu dan

curah hujan juga mempengaruhi keakuratan pengukuran Epan [8]. Namun seiring

dengan kemajuan teknologi, sistem pengukuran Epan secara otomatis semakin

berkembang, sehingga data dapat tercatat secara otomatis dan dapat dimonitor dari

jarak jauh (remote system) [9]. Di Indonesia sendiri ketersedian data Epan cukup

terbatas, sehingga pendugaan menggunakan metode yang sudah ada lebih diminati

dengan menggunakan data pengamatan cuaca.

Dalam penelitian ini dilakukan evaluasi model pendugaan Epan yang telah

berkembang antara lain : metode Penman [1], KNF (Kohler-Nordenson-Fox) [2] dan

Linacre [3] dengan Epan hasil pengukuran di 5 stasiun cuaca di wilayah Bali.

Analisis menggunakan Metode RMSE (Root Mean Square Error) digunakan untuk

mengetahui keakuratan dan keandalan ketiga model pendugaan tersebut.

Perbandingan hasil RMSE dilakukan juga antara hasil dugaan ketiga model tersebut

dengan hasil model pendugaan lokal Wati [4] yang pernah dilakukan di stasiun

penelitian.

2. Model Pendugaan Evaporasi Panci

Formula Penman (1948) untuk menghitung evaporasi air terbuka berdasarkan prinsip fisika mengkombinasi pendekatan perpindahan massa (aerodinamik) dan keseimbangan energi. Formula Penman dalam mengestimasi evaporasi yaitu :

𝐸𝑝𝑎𝑛 = ∆H+ γEa

∆+γ (1)

H = E (1+β)

= (1-r)Ra (0.18 + 0.55 n/N) – σT4 (0.56 – 0.092√ed)(0.10 +0.90n/N) (2)

𝐸𝑎 = 0.35 (0.5 +𝑈2

100)(ea − ed) (3)

Keterangan :

γ : konstanta psychrometri

H : Radiasi Netto dalam unit evaporasi merupakan komponen keseimbangan

energi dengan rumus pada persamaan (2)

r : koefisien pemantulan permukaan (untuk nilai rata-rata tahunan, Penman

menggunakan 0.05 untuk air terbuka, 0.10 untuk tanah gundul dan 0.20

untuk vegetasi hijau)

Ra : Radiasi Angot

n/N : nisbah antara lama penyinaran dan panjang hari

σ : konstanta Stefan Boltzman

∆ : kemiringan (slope) kurva tekanan uap jenuh dengan suhu (𝑑𝑒

𝑑𝑇 ≅

𝑒𝑎−𝑒𝑑

𝑇𝑎−𝑇𝑑 )

913

pada suhu udara tertentu T dalam mb/°C

ea : tekanan uap air jenuh pada suhu T dalam mm Hg

ed : tekanan uap air jenuh pada suhu titik embun dalam mm Hg

Ea : komponen aerodinamik (perpindahan massa uap air) dengan rumus pada

persamaan (3):

Metode Penman 1948 banyak diaplikasikan di Amerika dan Eropa untuk

evaporasi air terbuka sedangkan di India diaplikasikan untuk lahan terbuka dan di

Kepulauan Inggris untuk lahan gambut [1]. Pendugaan Epan metode KNF (Kohler-

Nordenson-Fox) [2] telah banyak digunakan untuk menduga besaran evaporasi [10]

contohnya pada percobaan di Danau Hefner, Okla dan komputasi di 21 stasiun di

Amerika Serikat dan satu di Alaska dengan mengadopsi metode Penman, formula

metode KNF [2] yaitu:

𝐸𝑝𝑎𝑛 = ∆𝑅𝑛+𝛾+𝐸𝑎

∆+ 𝛾 (4)

𝐸𝑎 = 25.2[0.96(𝑒𝑎 − 𝑒𝑑)0.88(0.37 + 0.00255 𝑈𝑝)] (5)

∆𝑅𝑛 = 154.4 exp[(1.8𝑇 − 180)(0.1024 − 0.01066 ln (0.239𝑅𝑠)) −0.01544] (6)

Metode Linacre [3] menyederhanakan metode Penman dengan hanya

menggunakan suhu udara untuk meduga Epan, berikut adalah formula metode

Linacre :

𝐸𝑝𝑎𝑛 = (700 𝑇𝑚100−𝐴

)+15(𝑇−𝑇𝑑)

80−𝑇 (7)

𝑇𝑑 = 243.5 log(

𝑒𝑑6.112

)

17.67− log(𝑒𝑑6.112

) (8)

Keterangan :

Rn : Radiasi netto

Rs : Radiasi matahari

T : Suhu udara

Tm : T – 0.006 h dengan h adalah ketinggian

A : derajat lintang posisi stasiun cuaca

Td : suhu titik embun dengan rumus pada persamaan (8)

Wati [4] melakukan pendugaan Epan di wilayah Pulau Jawa dan Bali

Indonesia dengan parameter cuaca yang memiliki korelasi tertinggi dengan Epan.

Analisis regresi dan korelasi dilakukan antara Epan dengan unsur – unsur cuaca yaitu

suhu udara, kelembapan relatif, lama penyinaran, defisit tekanan uap air dan

kecepatan angin. Hasil model pendugaan Epan untuk 5 stasiun cuaca di Pulau Bali

antara lain :

914

1. Negara

Epan = 2.29 + 0.36VPD (9)

2. Ngurah Rai

Epan = 14.62 – 0.11RH (10)

3. Balai Besar BMKG wilayah 3

Epan = 7.14 – 0.10T (11)

4. Sanglah

Epan = 2.38 + 0.30VPD (12)

5. Kahang

Epan = 1.844 + 0.37LP (13)

Keterangan :

VPD : defisit tekanan uap air

RH : kelempaban relatif

T : suhu udara rata-rata

LP : lama penyinaran

Evaluasi keandalan model pendugaan dalam penelitian ini dilakukan

menggunakan analisis Root Mean Square Error (RMSE) dengan formula sebagai

berikut:

𝑅𝑀𝑆𝐸 = √∑ (𝑋𝑖−𝑌𝑖)

2𝑛𝑖=1

𝑛 (14)

dengan Xi dan Yi merupakan data observasi dan hasil dugaan.

Uji hasil model dilakukan dengan uji beda nilai tengah dua populasi dengan

asumsi keragaman sama. Tujuan uji t ini adalah untuk menentukan apakah dua

populasi yaitu Epan observasi dan Epan hasil pendugaan memiliki nilai tengah yang

sama atau tidak. Uji beda nyata ini pada taraf α 5 %.

Hipotesis : H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 ≠ µ2

|𝑡𝐻𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔| = (��1−��2)−𝛿0

𝑆(��1−��2) (15)

𝑆(��1−��2) = 𝑠𝑔√(1

𝑛1+

1

𝑛2) (16)

𝑠𝑔 = √(𝑛1−1)𝑠1

2+(𝑛2−1)𝑠22

𝑛1+𝑛2−2 (17)

Keterangan:

µ = nilai tengah

n = jumlah data

s = ragam

915

Dengan derajat bebas (db) sebesar n1 + n2 – 2, Sg merupakan ragam gabungan dari

kedua populasi. Keputusan jika |thitung| > ttabel(α,db) maka menolak hipotesis H0, jika

sebaliknya maka terima H0..


Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data harian pengamatan

Epan, suhu udara rata-rata, kelembapan relatif, lama penyinaran dan kecepatan

angin. Periode data cuaca yang digunakan dan posisi stasiun cuaca disajikan pada

Tabel 1 dan Gambar 1. Data penelitian observasi sebelum digunakan dalam analisis

sudah dilakukan quality control terlebih dahulu [4]. Deskripsi statistik data evaporasi

harian di Bali menunjukkan kisaran data evaporasi harian antara 0 mm – 3,9 mm,

standar deviasi berkisar antara 1,5 – 2,0 mm dengan median antara 4,3 – 5,6 mm.

Quartil ke-1 data evaporasi harian berkisar antara 3,1 – 4,4 mm dan quartil ke-3

berkisar antara 3,0 - 6,5 mm [4].

Tabel 1. Lokasi stasiun penelitan dan periode data yang digunakan

No Stasiun

Penelitian

Lintang Bujur Ketinggian

(m)

Periode

data

1 Negara -8.3400 114.6164 23.7 1999-2012

2 Ngurah Rai -8.7450 115.1710 6.0 1979-2012

3 BBMKG

wilayah 3

-8.7392 115.1786 3.5 2002-2010

4 Sanglah -8.6769 115.2100 15.0 1995-2012

5 Kahang -8.3560 115.6110 140.0 1994-2012

Gambar 1. Posisi Stasiun Penelitian

Gambar 2 hingga 6 merupakan grafik ploting data Epan observasi dengan

hasil dugaan model rata-rata harian di masing-masing stasiun. Berdasarkan gambar,

hasil dugaan Epan model Linacre di semua stasiun overestimate dibandingkan

dengan data observasi, sedangkan model Penman dan KNF underestimate

dibandingkan data observasi. Epan hasil dugaan Wati lebih mendekati observasi

dibandingkan ketiga model lainnya, meskipun pola tidak sama kecuali di stasiun

916

Kahang yang paling mendekati pola Epan observasi. Berdasarkan pola data harian,

pendugaan metode Penman paling mendekati pola observasi meskipun

underestimate.

Gambar 2. Epan rata-rata harian hasil dugaan dengan observasi di stasiun Negara

Gambar 3. Epan rata-rata harian hasil dugaan dengan observasi di stasiun Ngurah

Rai

Gambar 4. Epan rata-rata harian hasil dugaan dengan observasi di BBMKG

Wilayah 3

917

Gambar 5. Epan rata-rata harian hasil dugaan dengan observasi di stasiun Sanglah

Gambar 6. Epan rata-rata harian hasil dugaan dengan observasi di stasiun Kahang

Epan observasi bulanan di Pulau Bali rata-rata sepanjang tahun sebesar 141

mm dengan kisaran antara 127 – 167 mm. Sedangkan Epan tahunan rata-rata sebesar

1656 mm dengan kisaran antara 1485 – 1959 mm. Pola Epan bulanan di pulau Bali

menurut Wati [4] terendah rata-rata terjadi di bulan Februari dan tertinggi di bulan

Oktober. Di pulau Bali pola Epan memiliki dua puncak yaitu pada bulan Oktober

dan bulan Maret.

Gambar 7 merupakan grafik ploting Epan rata-rata bulanan observasi dan

hasil dugaan di 5 stasiun penelitian. Gambar menunjukkan hal yang sama dengan

data rata-rata harian, yaitu model Linacre overestimate sedangkan model Penman

dan KNF underestimate dibandingkan dengan observasi di semua stasiun di Bali.

Sedangkan model pendugaan Wati yang paling mendekati nilai observasi

dibandingkan ketiga model tersebut. Besaran rata-rata bulanan Epan observasi dan

hasil dugaan disajikan pada Tabel 3 hingga Tabel 7.

RMSE digunakan untuk mengukur tingkat keakuratan hasil pendugaan suatu

model dan merupakan nilai rata-rata dari jumlah kuadrat kesalahan [10]. RMSE

dapat dinyatakan sebagai ukuran besarnya kesalahan yang dihasilkan oleh suatu

918

model pendugaan. Nilai RMSE yang rendah menunjukkan bahwa variasi nilai yang

dihasilkan oleh suatu model dugaan mendekati variasi nilai obeservasinya.

(a) (b)

(c)

(d) (e)

Gambar 7. Epan rata-rata bulanan hasil dugaan dengan observasi di stasiun cuaca

wilayah Bali

Tabel 2. Nilai RMSE dari pendugaan evaporasi data harian

No Stasiun Penelitian Penman KNF Linacre Wati

1 Negara 2.2 3.2 3.7 1.5

2 Ngurai Rai 3.0 2.4 3.3 1.8

3 BBMKG wil 3 2.5 3.6 4.1 1.8

4 Sanglah 1.9 3.1 3.9 1.4

919

5 Kahang 2.3 3.3 3.0 1.9

Hasil analisis RMSE data harian ketiga model pendugaan Epan

menunjukkan model Penman memiliki nilai terkecil dibandingkan model KNF dan

Linacre di empat stasiun cuaca di Bali yaitu di Negara, BBMKG wilayah 3, Sanglah

dan Kahang seperti yang disajikan dalam Tabel 2. Sedangkan di stasiun Ngurah Rai

nilai RMSE terendah adalah model KNF. Nilai RMSE Epan hasil dugaan Penman

bervariasi antara 1,9 hingga 3,0, model KNF 2,4 hingga 3,3, sedangkan model

Linacre 3,0 hingga 4,1. Jika dibandingkan dengan ketiga model Epan maka nilai

RMSE model Wati memiliki nilai paling rendah yaitu 1,5 hingga 1,9.

Hasil uji t uji beda nilai tengah antara populasi Epan observasi dengan hasil

pendugaan disajikan pada tabel 3. Keputusan hasil uji t menolak hipotesis H0 pada

taraf α 5%, nilai tengah pendugaan Epan metode Penman, KNF dan Linacre berbeda

nyata dengan Epan observasi di 5 stasiun penelitian, sedangkan hasil pendugaan

Wati memiliki nilai tengah yang sama dengan Epan observasi di stasiun Negara dan

Kahang, di stasiun lainnya berbeda nyata.

Pada penelitian sebelumnya, evaluasi 5 metode estimasi Epan di Florida,

Amerika Serikat [5] dilakukan untuk penggunaan jadwal irigasi dan pengisian data

Epan yang hilang. Hasil menunjukkan metode KNF memiliki RMSE paling kecil

dibandingkan dengan metode Penman, Cristiansen, Priestley-Taylor dan Linacre

sehingga metode KNF yang terbaik digunakan untuk pendugaan Epan di wilayah

tersebut.

Tabel 3. Nilai |t hitung| dengan t tabel = 1.96

No Stasiun Penelitian Penman KNF Linacre Wati

1 Negara 53.55 130.96 148.11 0.66

2 Ngurai Rai 101.21 44.39 172.44 25.42

3 BBMKG wil 3 45.78 100.59 112.85 2.84

4 Sanglah 46.17 156.07 190.60 2.11

5 Kahang 52.37 113.24 94.92 1.62

920

Tabel 4. Persentase kesalahan dari pendugaan evaporasi data bulanan di stasiun

Negara


Ngurah Rai

Tabel 6. Persentase kesalahan dari pendugaan evaporasi data bulanan di BBMKG

Wilayah 3

Epan (mm) Observasi Penman % Ey KNF % Ey Linacre % Ey Wati % Ey

Januari 126 85 32 45 64 248 -97 135 -7

Februari 112 73 35 39 65 222 -99 119 -7

Maret 125 83 34 44 65 246 -97 133 -7

April 116 84 28 42 64 236 -104 126 -9

Mei 115 86 25 43 62 238 -107 131 -14

Juni 110 75 32 40 64 218 -98 123 -12

Juli 118 80 32 41 65 216 -83 126 -7

Agustus 134 93 31 45 67 218 -62 133 1

September 140 100 29 45 68 223 -59 133 5

Oktober 144 110 23 50 65 247 -72 144 0

November 130 96 27 47 64 245 -88 136 -4

Desember 115 82 29 47 59 252 -118 139 -21

rata-rata 29.8 64.3 -90.4 -6.8

tahunan 1484.8 1044.6 29.6 528.9 64.4 2808.6 -89.2 1578.8 -6.3

MetodeStasiun Negara


Januari 158 100 36 121 24 263 -67 177 -12

Februari 147 92 38 113 23 238 -62 163 -11

Maret 167 89 47 105 37 261 -56 177 -6

April 156 99 37 114 27 252 -62 170 -9

Mei 152 103 33 135 11 255 -67 179 -17

Juni 150 96 36 145 3 240 -60 176 -18

Juli 161 95 41 164 -2 241 -50 186 -16

Agustus 177 93 48 165 7 240 -36 187 -6

September 180 85 53 136 24 238 -32 177 1

Oktober 186 97 48 129 31 259 -39 183 1

November 169 101 40 118 30 259 -53 176 -4

Desember 157 114 27 137 13 266 -69 180 -14

rata-rata 40.1 19.0 -54.5 -9.2

tahunan 1959.0 1164.5 40.6 1581.5 19.3 3010.8 -53.7 2132.0 -8.8

MetodeStasiun Ngurah Rai


Januari 138 87 37 42 70 265 -92 134 3

Februari 121 49 59 33 73 228 -88 124 -2

Maret 134 78 42 41 69 265 -98 134 0

April 125 88 30 38 70 253 -102 130 -4

Mei 135 81 40 40 71 257 -90 136 0

Juni 135 92 32 39 71 239 -78 134 1

Juli 137 100 27 43 69 243 -77 139 -2

Agustus 150 99 34 39 74 238 -58 140 7

September 128 99 23 41 68 237 -84 134 -5

Oktober 148 103 30 42 71 247 -67 139 6

November 133 91 32 42 68 263 -97 129 3

Desember 137 78 43 41 70 267 -95 134 2

rata-rata 35.7 70.4 -85.5 0.8

tahunan 1622.4 1045.2 35.6 480.2 70.4 3001.1 -85.0 1606.5 1.0

MetodeBBMKG Wilayah 3

921


Sanglah


Kahang

Persentase kesalahan/error (% Ey) hasil pendugaan Epan rata-rata bulanan

terhadap data observasi di masing-masing stasiun disajikan pada tabel 4 hingga tabel

8. Berdasarkan tabel tersebut diperoleh bahwa metode Penman memiliki persentase

kesalahan paling rendah di 4 stasiun di wilayah Bali yaitu Negara, BBMKG wilayah

3, Sanglah dan Kahang dengan kisaran antara 23,8% hingga 40,1%. Sedangkan di

stasiun Ngurah Rai metode KNF memiliki persentase kesalahan paling rendah

sebesar 19%, persentase kesalahan metode KNF di stasiun lainnya antara 59,6

hingga 70,4%. Persentase kesalahan model Linacre di 5 stasiun penelitian antara -

54,5% hingga -90,4%. Sedangkan persentase kesalahan model Wati lebih kecil

dibandingkan dengan metode Penman, KNF dan Linacre yaitu sebesar -9,8% hingga

0,8%.


Januari 143 100 30 54 63 261 -82 141 2

Februari 132 86 34 50 62 238 -81 130 1

Maret 142 107 25 56 61 263 -86 145 -2

April 140 109 22 55 61 256 -82 142 -1

Mei 135 111 18 58 57 260 -93 148 -10

Juni 122 101 17 55 54 242 -99 142 -16

Juli 129 105 19 56 56 242 -89 144 -12

Agustus 145 116 20 58 60 242 -67 147 -2

September 146 119 19 56 61 241 -65 143 2

Oktober 166 133 20 60 64 263 -59 152 9

November 148 110 25 58 61 261 -77 147 0

Desember 139 89 36 56 60 264 -90 145 -4

rata-rata 23.8 60.0 -80.7 -2.8

tahunan 1685.7 1284.7 23.8 672.4 60.1 3034.2 -80.0 1725.5 -2.4

MetodeStasiun Sanglah


Januari 91 56 39 39 57 206 -127 109 -20

Februari 77 45 41 34 56 185 -141 94 -23

Maret 103 65 37 43 58 212 -106 117 -14

April 121 74 39 49 59 213 -77 122 -1

Mei 132 93 30 56 58 221 -68 148 -12

Juni 130 79 39 53 59 207 -59 136 -5

Juli 139 95 31 54 61 206 -48 161 -16

Agustus 153 118 23 57 63 203 -32 179 -17

September 168 123 27 57 66 205 -22 173 -3

Oktober 168 128 24 61 63 228 -36 168 0

November 142 104 27 57 60 224 -57 143 0

Desember 107 65 39 47 56 217 -103 112 -5

rata-rata 32.9 59.6 -73.0 -9.5

tahunan 1530.2 1044.8 31.7 608.1 60.3 2526.7 -65.1 1660.4 -8.5

MetodeStasiun Kahang

922

4. Kesimpulan

Hasil Evaluasi tiga model menunjukkan baik data harian maupun bulanan

metode Penman terbaik di empat stasiun yaitu di stasiun Sanglah, Kahang, Negara

dan BBMKG wilayah 3, sedangkan di stasiun Ngurah Rai metode KNF yang terbaik.

Nilai RMSE hasil pendugaan metode Penman, KNF dan Linacre lebih besar

dibandingkan dengan model pendugaan Wati menunjukkan keandalan model

pendugaan Epan dipengaruhi oleh tipe iklim. Pendugaan yang dilakukan di iklim

yang sama (meskipun hanya dengan parameter yang lebih sedikit) lebih akurat

dibandingkan dengan ketiga model tersebut yang dilakukan pada tipe iklim yang

berbeda (iklim sub tropis).

Pernyataan terima kasih. Terima kasih diucapkan kepada stasiun Badan

Meteorologi Klimatologi dan Geofisika dan Balai Besar MKG wilayah 3 di wilayah

Bali atas ketersediaan datanya dalam penelitian ini.

Referensi

[1] Penman, H.L., 1948, Natural evaporation from open water, bare soil and grass. In Proc.

of the Royal Soc. of London A: Math., Physic. and Eng. Sci. (Vol. 193, No. 1032, pp.

120-145). The Royal Society.

[2] Kohler, M.A., Nordenson, T.J. and Fox, W.E., 1955, Evaporation from pans and lakes.

[3] Linacre, E.T., 1977, A simple formula for estimating evaporation rates in various

climates, using temperature data alone. Agri. Met., 18(6), pp.409-424.

[4] Wati, T., 2015, Kajian Evaporasi Pulau Jawa dan Bali Berdasarkan Data Pengamatan

1975-2013, Tesis, Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.

[5] Irmak, S. dan Haman, D.Z., 2003, Evaluation of five methods for estimating class A pan

evaporation in a humid climate. Hort. Tech., 13(3), pp.500-508.

[6] World Meteorological Organization. 1992, International Meteorological Vocabulary.

Second edition, WMO-No.182, Geneva.

[7] Allen R.G., Pereira L.S., D. Raes dan M. Smith, 1998, Crop Evapotranspiration

Guidelines for Computing Crop Water Requirements, FAO Irrigation and Drainage

Paper, No 56.

[8] Lindsey, S. D., dan R. K. Farnsworth, 1997, Sources of solar radiation estimates and

their effect on daily potential evaporation for use in streamflow modeling. J. Hydrol.

201(1-4): 348-366.

[9] Hoogenboom, G., 1996, The Georgia Automated Environmental Monitoring Network.

In Preprints of the 22nd Conf. on Agri. and Forest Met., 343-346. Boston, Mass.:

American Meteorological Society.

[10] Makridakis, S., Andersen, A., Carbone, R., Fildes, R., Hibon, M., Lewandowski, R.,

Newton, J., Parzen, E. and Winkler, R., 1982. The accuracy of extrapolation (time

series) methods: Results of a forecasting competition. J. of forecast., 1(2), pp.111-153

Documents

KATA SAMBUTAN - math.ui.ac.id · aplikasi fuzzy c-means pada prevalensi global youth ... jantung berdasarkan metode ahp dan topsis ... bit pattern based integral attack pada algoritma