Embed Size (px)
Citation preview
Sveuciliste J.J.Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku
Karolina Srdoc
Primjene sferne trigonometrije na astronomiju
Diplomski rad
Osijek, 2011.
Sveuciliste J.J.Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku
Sveucilisni diplomski studij matematike
Karolina Srdoc
Primjene sferne trigonometrije na astronomiju
Diplomski rad
Mentor: doc. dr. sc. T.Marosevic
Osijek, 2011.
Sadrzaj
1 Uvod 4
2 Osnovni pojmovi sferne geometrije 5
2.1 Sferni trokut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Osnovne veze medu elementima sfernog trokuta . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Pravokutni sferni trokut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Osnovni astronomski pojmovi i orijentacija na sferi 13
3.1 Elementi nebeske sfere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Sferni astronomski koordinatni sustavi 17
4.1 Horizontski (azimutski) koordinatni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Ekvatorski koordinatni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.1 Mjesni ekvatorski koordinatni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.2 Nebeski ekvatorski koordinatni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Eklipticki koordinatni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3.1 Revolucija Zemlje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3.2 Definiranje ekliptickog koordinatnog sustava . . . . . . . . . . . . . 20
4.4 Galakticki koordinatni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Transformacije sfernih astronomskih koordinatnih sustava 23
5.1 Graficka metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2 Transformacija koordinatnih sustava racunskim putem . . . . . . . . . . . 24
5.2.1 Transformacija izmedu horizontskog i ekvatorskog sustava . . . . . 24
5.2.2 Transformacija izmedu ekvatorskog i ekliptickog sustava . . . . . . 26
6 Vrijeme 29
6.1 Zvjezdano vrijeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.2 Suncevo vrijeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.3 Veza zvjezdanog i srednjeg Suncevog vremena . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7 Promjena koordinata nebeskih tijela 35
7.1 Precesija i nutacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.2 Refrakcija, aberacija i paralaksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.3 Vlastito kretanje zvijezda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Sazetak 41
Summary 42
Zivotopis 43
3
1 Uvod
Sferna trigonometrija pocela se razvijati prije obicne (ravninske) iz potreba navigacije te
raznih astronomskih promatranja. Ona danas ima veliku vaznost u pomorskoj, zrako-
plovnoj i satelitskoj navigaciji, astronomiji, geofizici i astrofizici, balistici te opcenito u
svakodnevnom ljudskom zivotu.
Osnovne pojmove sferne geometrije i definiranje osnovnih elemenata nebeske sfere, koji
nam sluze kao polazna tocka za daljnje razumijevanje, obradujemo u 2., tj. 3. poglavlju.
Prilikom razmatranja nebeskih tijela potrebno je jednoznacno odrediti njihov polozaj u
prostoru (tri velicine jednoznacno definiraju polozaj tijela u prostoru) koristeci trodimen-
zionalne koordinatne sustave. Postoji vise koordinatnih sustava (npr. pravokutni, cilin-
dricni, sferni) koji se medusobno razlikuju u nacinu definiranja koordinata. Zbog prirode
problema u ovom slucaju koristimo sferni koordinatni sustav. Ovisno o orijentaciji koor-
dinatnih osi razlikujemo horizontski, ekvatorski i eklipticki koordinatni sustav. Pojedine
koordinatne sustave uvodimo postupno u 4. poglavlju, dok u 5. poglavlju razmatramo
potrebu promjene tih koordinata iz sustava u sustav.
Vecina sfernih astronomskih koordinatnih sustava utemeljena je na osnovi gibanja Zemlje,
odnosno prividnim posljedicama tog gibanja. Iz zakonitosti prividnih gibanja, kako Zemlje
tako i drugih nebeskih tijela, neposredno su izvedene i definicije vremenskih jedinica
koje takoder promatramo, u 6. poglavlju. Izmedu ostaloga objasnjavamo orijentiranje
na nebeskoj sferi i rjesenje mnogih prakticnih astronomskih problema kao npr. vrijeme
izlaska i zalaska nebeskih tijela, trenutak prolaza meridijanom, odredivanje geografske
duzine mjesta opazanja i slicno. Na kraju, u 7. poglavlju, razmatramo promjene ko-
ordinata nebeskih tijela zbog odredenih prirodnih pojava kao npr. precesije, nutacije,
aberacije, paralakse, refrakcije te vlastitog gibanja zvijezda.
2 Osnovni pojmovi sferne geometrije
Definicija 1 Sfera je skup svih tocaka prostora koje su na jednakoj euklidskoj udaljenosti
od cvrste tocke O koja se zove srediste ili centar sfere, a ta udaljenost je radijus R
sfere. Dakle, sfera je skup
S2(O;R) = {T ∈ R3|d(O, T ) = R}.
Sfera s centrom u ishodistu O koordinatnog sustava i radijusa 1 zove se standardna
sfera i biljezi sa S2. Dakle S2 = S2(O; 1). Ako sferu presijecemo ravninom kroz njeno
srediste , u presjeku dobijemo veliku kruznicu ciji je radijus jednak radijusu sfere.
Za svake dvije tocke A, B ∈ S2(O;R) koje nisu dijametralno suprotne (kaze se jos da nisu
antipodalne i pise A 6= −B ) postoji ocito jedinstvena velika kruznica na kojoj one leze
(vidi sliku 2. pod a)). Tu kruznicu dobivamo kao presjek ravnine kroz tocke O, A, B i
sfere S2 = (O;R). Ako su A i B antipodalne tocke (A = −B), onda postoji beskonacno
mnogo takvih kruznica kroz A i B. Najpoznatiji primjer antipodalnih tocaka su sjeverni
i juzni pol Zemljine kugle, dok ulogu velike kruznice ima ekvator.
Slika 2.Velika kruznica sfere (slucaj a)) i kut dvokuta (slucaj b))
Pod udaljenoscu tocaka A i B podrazumijevamo duljinu manjeg luka AB velike
kruznice kroz A i B. Luku AB pripada potpuno odredeni kut ^AOB = α. Ako je taj
kut dan u radijanima, onda je duljina luka AB dana s |AB| = Rα.
Dvokut je dio sfere medu dvjema velikim polukruznicama. Mozmo ga dakle zamisljati
kao vanjsku povrsinu kriske narance. Dvokut je odreden svojim kutom, tj. kutom izmedu
pripadnih kruznica (vidi sliku 2. pod b)), odnosno tangentama na te kruznice i zove se
kut dvokuta. Kut dvokuta moze biti bilo koji kut izmedu 0 i Π radijana. Dvije velike
kruznice odreduju na sferi cetiri dvokuta od kojih su po dva dijametralno suprotna i
kongruentna.
Povrsina P0 sfernog dvokuta s pripadajucim kutom α ocito je razmjerna kutu α, tj.
Pα = kα za neku konstantu k. Specijalno, za α = π, povrsina dvokuta je polusfera koja
ima povrsinu Pπ = 2R2π pa k ima vrijednost 2R2 i dobivamo
Pα = 2R2α.
5
2.1 Sferni trokut
Definicija 2 Neka su A, B, C ∈ S2(O;R) tri tocke na sferi sa sredistem O i radijusom
R, od kojih nikoje dvije nisu antipodalne tocke. Spojimo li te tri tocke lukovima velikih
kruznica, pri cemu je duljina svakog luka manja od Rπ, onda se dio sfere omeden tim
lukovima zove sferni trokut s vrhovima A, B, C i obiljezava s 4ABC.
Lukove BC, CA, AB obiljezavamo redom s a, b, c i nazivamo ih stranicama trokuta
4ABC. Kutovi tog trokuta α, β, γ kutovi su medu njegovim stranicama, tj. tangentama
na velike kruznice u vrhovima. To su diedralni kutovi, kutovi medu ravninama velikih
kruznica. Stranice i kutovi sfernog trokuta zajednickim imenom nazivamo elementima
sfernog trokuta (vidi sliku 2.1).
Slika 2.1.Elementi sfernog trokuta
Neka su A′, B′, C ′ antipodalne tocke od A, B, C (tj. A′ = −A itd.). Ako dva sferna
trokuta, omedena istim glavnim kruznicama na sferi imaju zajednicki vrh, tada ih zovemo
vrsnim trokutima (npr. 4ABC i 4AB′C ′). Ako imaju zajednicku stranicu, zovemo ih
sutrokutima (npr. 4BCA′,4ACB′,4ABC ′ su sutrokuti trokuta 4ABC), ako su im
vrhovi antipodalne tocke zovemo ih suprotni trokuti (npr. 4ABC i 4A′B′C ′). Dva se
sutrokuta nadopunjuju na sferni dvokut.
Dva sferna trokuta 4ABC i 4A′B′C ′ na sferi S2(O;R) sukladna su (kongruentna)
ako postoji bijekcija f : {A,B,C} → {A′, B′, C ′}, tako da je f(A) = A′, f(B) = B′,
f(C) = C ′ i a = a′, b = b′, c = c′, α = α′,β = β′,γ = γ′, tj. odgovarajuci elementi
su jednaki. Dva sferna trokuta 4 i 4′ sukladna su ako i samo ako postoji izometrija
f : R3 → R3, tako da je f(4) = 4′. Sukladnost trokuta obiljezavamo s 4 ∼= 4′.Uocimo da zbog definicije sfernog trokuta na S2(O;R) za stranice i kutove vrijedi :
0 < a, b, c < Rπ, 0 < α, β, γ < π.
Za elemente sfernog trokuta vrijede nejednakosti analogne onima iz planimetrije, ali i
neke druge.
Teorem 2.1 Neka je definiran sferni trokut 4ABCna S2(O;R) s pripadajucim strani-
cama i kutevima. Tada vrijedi:
6
1. a+ b > c, |a− b| < c (nejednakost trokuta);
2. α + β < γ + π;
3. a = b⇔ α = β (nasuprot jednakim stranicama leze jednaki kutovi i obrnuto, tzv.
pons asinorum);
4. a < b⇔ α < β ( nasuprot vecoj stranici lezi veci kut i obrnuto);
5. π < α + β + γ < 3π, 0 < a+ b+ c < 2Rπ.
2
Napomena 2.1 Iz svojstva π < α + β + γ < 3π slijedi da je α + β + γ > π pa se kut
ε = α + β + γ − π zove sferni eksces sfernog trokuta.
2.2 Osnovne veze medu elementima sfernog trokuta
U nastavku cemo izvesti osnovne formule koje vezu elemente bilo kojeg sfernog trokuta.
Teorem 2.2 (kosinusov poucak za stranice) Vrijedi
cos a = cos b cos c+ sin b sin c cosα,
tj. da je kosinus stranice jednak produktu kosinusa ostalih dviju stranica plus produkt
sinusa tih dviju stranica i kosinusu kuta nasuprot prvoj stranici. Ciklickom zamjenom
argumenata u prvoj relaciji dobivamo jos dva izraza :
cos b = cos c cos a+ sin c sin a cos β,
cos c = cos a cos b+ sin a sin b cos γ
Dokaz. Promotrimo standardnu sferu S2 i uvedimo oznake kao na slici 2.2.1.
Slika 2.2.1
7
Uzmimo da je A ”sjeverni pol ” i neka velika kruznica prolazi kroz A i B, odnosno A i
C i sijece ”ekvator” u tocki B1, odnosno C1. Izrazimo vektore−−→OB i
−→OC pomocu linearno
nezavisnih vektora −→u =−−→OB1,−→v =
−−→OC1 i
−→OA. Ocito imamo
−−→OB =
−→OA cos c+−→u sin c
−→OC =
−→OA cos b+−→v sin b
Vektor−→OA okomit je na −→u i −→v pa im je skalarni produkt nula, tj.
−→OA ·−→u =
−→OA ·−→v = 0,
dok je −→u · −→v = cosα. Stoga je
cos a =−−→OB ·
−→OC = (
−→OA cos c+−→u sin c)(
−→OA cos b+−→v sin b) = cos b cos c+ sin b sin c cosα.
Time je prva tvrdnja dokazana. Druge dvije tvrdnje dokazuju se analogno. 2
Teorem 2.3 (sinusov poucak) Sinusi kutova sfernog trokuta odnose se kao sinusi na-
suprotnih stranica, tj.sinα
sin a=
sin β
sin b=
sin γ
sin c.
Dokaz. Iz Teorema 2.2 dobivamo
cosα =cos a− cos b cos c
sin b sin c.
Stoga je, zbog α ∈ 〈0, π〉 :
sinα =√
1− cos2 α =
√1− cos2 a+ cos2 b cos2 c− 2 cos a cos b cos c
sin2 b sin2 c=
=
√(1− cos2 b)(1− cos2 c)− cos2 b cos2 c− cos2 a+ 2 cos a cos b cos c
sin2 b sin2 c=
= sin a
√1− cos2 a− cos2 b− cos2 c+ 2 cos a cos b cos c
sin a sin b sin c= K sin a
Faktor K simetricna je funkcija u varijablama a, b, c pa taj isti faktor dobivamo i za sin β
i sin γ. Odatle slijedi tvrdnja. 2
Ako je luk AB velike kruznice na sferi, onda se krajevi C1 i C′1 dijametra C1C
′1 sfere
koji je okomit na ravninu te velike kruznice zovu polovi luka AB (vidi sliku 2.2.2 pod
a)).
Slika 2.2.2 Slika prikazuje polove (slucaj a)) te polarni trokut (slucaj pod b))
8
Definicija 3 Neka je4ABC sferni trokut. Neka su A1, B1, C1 polovi lukova BC, CA, AB
i to tako da su A, A1 s iste strane ravnine luka BC itd. Tada se 4A1B1C1 zove polarni
trokut od 4ABC. Njegove elemente oznacimo sa a1, b1, c1, α1, β1, γ1(vidi sliku 2.2.2. pod
b)).
Za tako definiran trokut vrijedi da je:
α + a1 = π, α1 + a = π, β + b1 = π
β1 + b = π, γ + c1 = π, γ1 + c = π.
2
Teorem 2.4 (kosinusov poucak za kutove) U sfernom trokutu vrijedi
cosα = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a
kao i jos dvije analogne formule
cos β = − cos γ cosα + sin γ sinα cos b
cos γ = − cosα cos β + sinα sin β cos c.
Dokaz. Neka je 4A1B1C1 polarni trokut od trokuta 4ABC. Iz Teorema 2.2 4A1B1C1
imamo
cos a1 = cos b1 cos c1 + sin b1sinc1 cosα1.
Zbog a1 = π − α, b1 = π − β, c1 = π − γ, α1 = π − a slijedi odmah navedena formula. 2
Vezu izmedu stranice sfernog trokuta i dva sferna kuta izrazavamo pomocu sinus-
kosinusovog poucka.
Teorem 2.5 (sinus-kosinusov poucak) Produkt sinusa stranice i kosinusa kuta uz stran-
icu jednak je produktu kosinusa stranice nasuprot tom kutu i sinusa trece stranice minus
produktu sinusa stranice nasuprot tom kutu, kosinusa trece stranice i kosinusa kuta na-
suprot prvoj stranici, tj.
sin a cos β = cos b sin c− sin b cos c cosα
sin a cos γ = cos c sin b− sin c cos b cosα
sin b cos γ = cos c sin a− sin c cos a cos β
sin b cosα = cos a sin c− sin a cos c cos β
sin c cosα = cos a sin b− sin a cos b cos γ
sin c cos β = cos b sin a− sin b cos a cos γ.
9
Dokaz. U dokazu koristimo Teorem 2.2, tj. kosinusni poucak za stranice
cos b = cos a cos c+ sin a sin c cos β
cos c = cos a cos b+ sin a sin b cos γ.
Uvrstimo cos b iz gornjeg izraza u drugu jednakost i dobivamo
cos c = cos a(cos a cos c+ sin a sin c cos β) + sin a sin b cos γ,
zamijenimo cos2 a sa 1− sin2 a
cos c = (1− sin2 a) cos c+ cos a sin a sin c cos β + sin a sin b cos γ
cos c = cos c− sin2 a cos c+ cos a sin a sin c cos β + sin a sin b cos γ \ : sin a
nakon skracivanja i sredivanja jednadzbe dobivamo jedan od izraza iz sinus-kosinusovog
poucka
sin b cos γ = cos c sin a− sin c cos a cos β.
Ostali izrazi se dokazuju analogno. 2
Teorem 2.6 (Napierovo ili kotangens pravilo) U sfernom trokutu 4ABC vrijedi
sin a ctg c− sin β ctg γ = cos a cos β,
kao i jos pet analognih formula
sin c ctg a− sin β ctgα = cos c cos β,
sin b ctg c− sinα ctg γ = cos b cosα,
sin c ctg b− sinα ctg β = cos c cosα,
sin a ctg b− sin γ ctg β = cos a cos γ,
sin b ctg a− sin γ ctgα = cos b cos γ.
Dokaz. Iz Teorema 2.3 znamo da vrijedi
sin b sin γ = sin c sin β.
Ako svaki clan iz sinus-kosinusovog poucka
sin b cos γ = cos c sin a− sin c cos a cos β
podijelimo s odgovarajucom stranom jednakosti, dobivamo navedenu formulu
sin a ctg c− sin β ctg γ = cos a cos β.
2
Kao i u ravninskoj geometriji od najvece vaznosti je kosinusov poucak, jer se iz njega
mogu izvesti sve formule sferne trigonometrije, a u njemu se zrcale i sva svojstva sfernog
trokuta.
10
2.3 Pravokutni sferni trokut
Pravokutni sferni trokut je sferni trokut koji ima barem jedan pravi kut (vidi sliku
2.3.1 pod a)). Sferni trokut moze imati dva pa cak i tri prava kuta kao npr. na slici 2.3.1
slucaj b) gdje su A i B tocke na ”ekvatoru”, a C ”sjeverni pol”. Stranica nasuprot pravog
kuta zove se hipotenuza, a ostale dvije katete.
Ako u izrazu za Teorema 2.2 (kosinusov poucak za stranice) stavimo γ = π2, dobivamo
cos c = cos a cos b.
Time je hipotenuza svakog trokuta izrazena pomocu kateta pa formula igra ulogu Pitagorinog
poucka u planimetriji i zove se sferni Pitagorin poucak.
Ako u izrazu Teorem 2.3 stavimo γ = π2, dobivamo
sinα =sin a
sin c, sin β =
sin b
sin c,
tj. sinus kuta pravokutnog sfernog trokuta jednak je omjeru sinusa nasuprotne katete i
sinusa hipotenuze.
Slika 2.3.1Pravokutni sferni trokut s jednim pravim kutem (slucaj a)) i s vise pravih kuteva (slucaj b))
Napomena 2.2 Ako su a, b, c stranice pravokutnog sfernog trokuta na sferi S2(O;R),
onda su aR
, bR
, cR
tim stranicama pripadni sredisnji kutevi izrazeni u radijanima pa sferni
Pitagorin poucak mozemo pisati i u obliku
cosc
R= cos
a
R· cos
b
R.
Koristeci razvoj u red cosx = 1− x2
2!+ x4
4!− . . . , dobivamo
1− 1
2!(c
R)2 +
1
4!(c
R)4 − . . . = (1− 1
2!(a
R)2 +
1
4!(a
R)4 − . . .)(1− 1
2!(b
R)2 +
1
4!(b
R)4 − . . .),
sto nakon mnozenja i sredivanja daje
c2 − 1
12
c4
R2+ . . . = a2 + b2 − a2b2
2R2− a4
12R2− b4
12R2+ . . .
Uzmemo li da su duljine stranica trokuta cvrste, a srediste kugle pomice se sve dalje i
dalje, tj. pustimo li da R → ∞, gornja formula pokazuje da na limesu dobivamo obican
Pitagorin poucak. Slicno vidimo i da formula sinα sin cR
= sin aR
prelazi na limesu za
R→∞ u formulu c sinα = a.
11
Sve formule za sferni pravokutni trokut sada mozemo napisati u obliku tzv. ”deset
formula”:
cos c = cos a cos b,sin a = sin c sinαsin b = sin c sin β
},
cos β = cos b sinαcosα = cos a sin β
}
cos c = ctgα ctg β,cos β = ctg c tg asin b = tg a ctgα
},
cosα = tg b ctg csin a = tg b ctg β
}.
Zgodan nacin za pamcenje ovih formula je tzv. Napierovo pravilo. Zamijenimo elemente
a i b redom s π2− a, π
2− b i napisimo deset formula u obliku:
cos c = sin(π
2− a)(
π
2− b), cos(π
2− a) = sin c sinα
cos(π2− b) = sin c sin β
},
cos β = sin(π2− b) sinα
cosα = sin(π2− a) sin β
},
cos c = ctgα ctg β,
cos β = ctg c ctg(π2− a) , cosα = ctg(π
2− b) ctg c
cos(π2− b) = ctg(π
2− a) ctgα , cos(π
2− a) = ctg(π
2− b) ctg β
}.
Promatramo pravokutni trokut (ravni) 4ABC i oznacimo mu hipotenuzu s c, katete
s π2− a, π
2− b i kutove s α i β (pravi kut nam je poznat) (vidi sliku 2.3.2).
Slika 2.3.2Sferni pravokutni trokut
Za svaki od pet elemenata na slici imamo dva susjedna i dva nesusjedna elementa,
npr. za element α susjedni su π2− b i c, a nesusjedni β i π
2− a.
Napierovo pravilo1. Kosinus svakog elementa jednak je produktu kotangensa susjednih
elemenata, a takoder, jednak je produktu sinusa nesusjednih elemenata. Ove formule
sluze nam za rjesavanje sfernog pravokutnog trokuta kojemu su zadana dva elementa.
1John Napier (1550-1617), skotski matematicar; uveo prirodne logaritme
12
3 Osnovni astronomski pojmovi i orijentacija na sferi
Astronomija je vezana uz orijentaciju u prostoru. Pri razmatranju gibanja nebeskih tijela
potrebno je u svakom trenutku jednoznacno odrediti njihov polozaj u prostoru. Pro-
matrajuci razlicite objekte na nebu polozaj tijela projiciramo na plohu jedne kugle koju
nazivamo nebeskom sferom. Polozaj tijela odredujemo smjerovima i kutevima izmedu
njih. Za zapis polozaja na nebeskoj sferi sluze nam sferne koordinate, slicno kao sto
nam za odredivanje polozaja na povrsini Zemlje sluze geografske koordinate (vidi [3], [4]).
Vazne tocke geografske koordinatne mreze su polovi kroz koje prolazi Zemljina os vrtnje.
Kazemo da se Zemlja okrece kao desni vijak koji napreduje od juznog pola prema sjev-
ernom polu. Pomocu meridijana odbrojavamo geografske duzine λ koje racunamo kao
istocne ili zapadne od 0◦
do 180◦. Pocetni meridijan 0◦ dogovorno prolazi astronomskim
opservatorijem u Greenwichu. Okomito na meridijane prolaze paralele ili usporednice.
Paralela najveceg opsega je ekvator, a od njega prema sjeveru i prema jugu odbrojavamo
geografske sirine ϕ kao sjeverne ili juzne od 0◦
do 90◦. Sustav paralela i meridijana nije
graden na jednak nacin. Sustav paralela sastoji se od jedne velike ili glavne kruznice i od
neizmjernog mnostva malih, a njihove ravnine i krugovi su paralelni. S druge stranen, svi
meridijani su velike kruznice koje nastaju presjecistem sfere i ravnina polozenih kroz os
rotacije.
Slika 3Geografska koordinatna mreza
Matematicki gledano, geografsku sirinu i duzinu mozemo smatrati dvjema koordi-
natama trodimenzionalnog sfernog sustava kojem je ishodiste u sredistu Zemlje. Treca
koordinata u sfernom sustavu udaljenost je od ishodista. No, kako svi promatrani ob-
jekti na Zemljinoj povrsini izgledaju jednako udaljeni od ishodista (pretpostavlja se da
se nalaze na povrsini kugle - sferi), to je za jednoznacno odredivanje polozaja tijela treca
koordinata nepotrebna. Na slican nacin definiramo koordinatne sustave u astronomiji.
Udaljenost tijela je toliko velika da je obicno zanemarujemo, tj. zamisljamo da su svi
objekti na povrsini kugle (nebeske sfere) u cijem ishodistu je opazac i koja je teorijski
neizmjernog polumjera. Pri crtanju nebeske sfere i polozaja objekata na njoj potrebno je
naglasiti da se opazac nalazi u sredistu sfere.
13
3.1 Elementi nebeske sfere
Da bismo uveli koordinate na nebeskoj sferi potrebno je, slicno kao i kod geografskih
koordinata, istaknuti neke posebne tocke ili kruznice na nebeskoj sferi. Ovi elementi su
povezani s osnovnim Zemljinim gibanjem.
Slika 3.1.1Elementi nebeske sfere
Svaki promatrac na Zemlji stoji na vodoravnoj ravnini tzv. ravnini horizonta (opisuje
kruznicu N,W, S,E), a pravac sile teze, vertikala mjesta (kruznica koja prolazi tockama
Z,E, Z′,W ) okomit je na tu ravninu (vidi sliku 3.1.2).
Slika 3.1.2Promatrac u sredistu sfere
Produzi li se vertikala prema nebeskoj sferi probost ce je u tocki koja ovisi o geograf-
skom polozaju i trenutku u danu, jer se Zemlja okrece, a upravo zbog te vrtnje vertikala
14
mjesta opisuje stozac oko produzene Zemljine osi - svjetske osi (pravac PSPN). Tocke u
kojima vertikala probada nebesku sferu jesu zenit(Z) i nadir(Z′). Svjetska os probada
nebesku sferu u sjevernom (PN) i juznom nebeskom polu (PS). Ako ravninu Zemljina
ekvatora produzimo do nebeske sfere, isijecamo na njoj nebeski ekvator (kruznica kroz
tocke Q i Q′). Ta je ravnina okomita na svjetsku os. Ravnina meridijana na kojem se
promatrac nalazi presijeca nebesku sferu uzduz velike kruznice - nebeskog meridijana.
Prolazi nebeskim polovima, zenitom i nadirom, okomita je na horizont i na ekvator. Pro-
matrac subjektivno ne osjeca Zemljinu vrtnju, ali mu se cini kao da se nebeska sfera okrece
oko svjetske osi, i to u suprotnom smislu. To je dnevno gibanje neba. Velika kruznica,
po kojoj se prividno giba Sunce tijekom godine, naziva se ekliptika i polozena je u odnosu
na ekvator pod kutem od 23◦27′. Os Ekliptike sijece nebesku sferu u sjevernom i juznom
polu ekliptike. Sjecista ekvatora i ekliptike su proljetna i jesenska tocka.
Kao istocnu (E) tocku horizonta i kao zapadnu (W ) tocku horizonta zadaje se pres-
jeciste nebeskog ekvatora s horizontom. Presjeciste meridijana i horizonta blize sjever-
nom nebeskom polu sjeverna je tocka horizonta (N), a njoj nasuprot juzna tocka horizonta
(S). Cetiri glavne tocke horizonta odredene su prividnim gibanjem neba i razlikovanjem
polova, a razmaknute su na horizontu za pravi kut (slika 3.1.2).
Slika 3.1.3Dnevno gibanje neba
Promatramo li dulje zvjezdano nebo vidjet cemo da neke zvijezde ”izlaze”, uzdizu se
nad horizont, zatim se opet spustaju i konacno ”zalaze” ispod horizonta. Njihova udal-
jenost od sjevernog pola veca je od ϕ, ali manja od 180◦−ϕ. Neke zvijezde pak niti ”izlaze”
niti ”zalaze” vec kruze oko jednog cvrstog pravca svjetske osi. Zvijezde blize sjevernom
nebeskom polu, za koje je udaljenost od sjevernog pola manja ili jednaka geografskoj sirini
ϕ, stalno su iznad horizonta, tj. nikad ne zalaze i zovu se cirkumpolarne zvijezde. No,
ako je udaljenost zvijezde od juznog pola manja od ϕ takve zvijezde uopce ne izlaze nad
horizont pa ostaju za nas nevidljive (anticirkumpolarne)(slika 3.1.4). Zvijezde obilaze
oko svjetske osi po kruznicama koje se nazivaju dnevne.
15
Slika 3.1.4Gibanje zvijezda u odnosu na horizont
Zvijezde izlaze na istocnoj polovici horizonta, podizu se do meridijana, gdje dostizu
najvecu visinu, tj. kazemo da prolaze kroz gornju kulminaciju. Nastavljajuci kruzenje,
zalaze na zapadnoj polovici horizonta. Te zvijezde zatim prolaze kroz najnizi polozaj
donju kulminaciju. Iznad horizonta se zvijezde premijestaju od istocne strane prema
zapadnoj. Dijelovi kruznica iznad horizonta jesu dnevni lukovi.
16
4 Sferni astronomski koordinatni sustavi
Polozaj nebeskih tijela na nebeskoj sferi (Sunca, Mjeseca, planeta, zvijezda, i dr.), jed-
noznacno je odreden dvjema koordinatama definiranog sfernog koordinatnog sustava. U
astronomiji razlikujemo 5 nebeskih koordinatnih sustava:
1. horizontski (azimutski) koordinatni sustav,
2. ekvatorski koordinatni sustav (mjesni i nebeski),
3. eklipticki koordinatni sustav,
4. galakticki koordinatni sustav.
4.1 Horizontski (azimutski) koordinatni sustav
Slika 4.1Horizontski koordinatni sustav
Za osnovu horizontskog koordinatnog sustava sluzi nam vertikala mjesta, tj.
okomica zenit-nadir, nebeski horizont i meridijan mjesta opazanja. Polozaj nebeskog
tijela odredujemo s dvije koordinate:
1. Visina h - kut u sredistu sfere koji se nalazi u ravnini okomitoj na horizont. Ko-
ordinata h pozitivna je iznad horizonta (prema zenitu) i krece se od 0◦ do
90◦, a negativna ispod horizonta (prema nadiru) i krece se od 0◦ do −90◦.
Komplement visine je zenitna duljina z
z = 90◦ − h,
mjeri se od zenita prema nadiru u stupnjevima od 0◦ do 180◦.
Jedan od najjednostavnijih astronomskih instrumenata za mjerenje visine Sunca i
sjajnih nocnih objekata je sekstant.
2. Azimut A - luk glavne kruznice horizonta izmedu juzne tocke S i sjecista hori-
zonta s vertikalom promatranog nebeskog tijela, tj. kut sto ga zatvara ravnina
nebeskog meridijana s ravninom vertikale nebeskog tijela. Racuna se u stupn-
jevima od 0◦ do 360◦.
17
Sporedna kruznica, cija je ravnina paralelna s ravninom horizonta zove se akumu-
lant.2 Horizontske koordinate podlozne su promjenama, na njih utjece dnevna vrtnja
neba, a ovise i o geografskom polozaju promatraca.
4.2 Ekvatorski koordinatni sustav
Ekvatorski koordinatni sustav izravno je povezan s vrtnjom nebeske sfere. Taj je sustav
projekcija geografskog koordinatnog sustava na nebesku sferu. Istu ulogu koju u prvom
sustavu imaju horizont i vertikala mjesta, u ovom sustavu imaju ekvator i svjetska os.
Umjesto vertikale promatramo sada glavne kruznice koje prolaze nebeskim polovima i
koje se zovu deklinacioni krugovi, tj. satne kruznice (vidi sliku 3.1). Umjesto zenita Z
promatramo sjeverni pol, a uzmemo u obzir jos i meridijan mjesta opazanja i proljetnu
tocku (tocku u kojoj prividna godisnja putanja Sunca sijece nebeski ekvator). Deklinacioni
krug koji prolazi proljetnom tockom zove se ekvinocij ili ravnodnevnica. Tada je
duljina dana jednaka duljini noci i on nastupa kada astronomski pocinje proljece.
Slika 4.2Ekvatorski koordinatni sustav
4.2.1 Mjesni ekvatorski koordinatni sustav
Krug nebeskog ekvatora je prvi referentni krug u ovom nebeskom koordinatnom sustavu,
a drugi je krug mjesnog nebeskog meridijana. Polozaj nebeskih tijela u mjesnom ekva-
torskom koordinatnom sustavu jednoznacno je odreden:
1. Satnim kutem t - kut izmedu meridijana mjesta opazanja i deklinacijskog kruga
nebeskog tijela. Ima dvije varijante racunanja. Prema jednoj mjeri se od
meridijana i to od one polovice omedene sjevernim i juznim polom koja sadrzava
u sebi zenit u stupnjevima od 0◦ do 360◦ u smislu dnevne vrtnje nebeskog
svoda. Druga varijanta se racuna od meridijana preko zapada prema sjeveru
od 0◦ do 180◦ i od meridijana preko istoka od 0◦ do −180◦. Satne kruznice su
2dolazi od arapske rijeci koja znaci ”bijeli put”
18
mjesta na sferi koja imaju jednak satni kut. Buduci da je satni kut razmjeran
vremenu, cesto ga izrazavamo i vremenskim jedinicama (satima, minutama i
sekundama). Veze izmedu ovih mjera dane su tablicom :
Tablica 1.
360◦. . . . . . . . . 24h
15◦ . . . . . . . . . 1h
1◦ . . . . . . . . . 4m
15′ . . . . . . . . . 1m
1′ . . . . . . . . . 4s
15′′ . . . . . . . . . 1s
1′′ . . . . . . . . .( 115
)s
2. Deklinacijom δ - kutna udaljenost nebeskog objekta od nebeskog ekvatora. Ko-
ordinata poprima vrijednost od 0◦ do 90◦ mjerena od nebeskog ekvatora prema
sjevernom polu i od 0◦ do −90◦ od nebeskog ekvatora prema juznom nebeskom
polu.
4.2.2 Nebeski ekvatorski koordinatni sustav
U nebeskom ekvatorskom sustavu, krug nebeskog ekvatora i ekvinocijski krug, cine pri-
marni i sekundarni referentni krug. U ovom koordinatnom sustavu jednoznacno odreduju
polozaj nebeskog tijela:
1. Rektascenzija α - kut izmedu satne kruznice koja prolazi proljetnom tockom i
satne kruznice promatranog tijela. Rektascenzija se racuna u satima od 0
h do 24 h od zapada prema istoku, suprotno od satnog kuta. Dok se satni
kut neprestano mijenja s vremenom, na rektascenziju ne utjece dnevna vrtnja
nebeskog svoda.
2. Deklinacija δ - definirana na isti nacin kao u mjesnom ekvatorskom koordinatnom
sustavu.
4.3 Eklipticki koordinatni sustav
4.3.1 Revolucija Zemlje
Prisjetimo se da se Sunce prividno giba medu zvijezdama po jednoj glavnoj kruznici koja
sijece ekvator u proljetnoj tocki pod kutem ε = 23◦27′. Ta putanja Sunca lisena dnevne
vrtnje nebeskog svoda, kojom putuje Sunce, zove se ekliptika (vidi sliku 3.1). Gibanje
Sunca medu zvijezdama je opticka varka, nastala promatranjem Sunca s pokretne Zemlje,
a odvija se od istoka prema zapadu sto je suprotno smjeru gibanja dnevnog neba.
Presjek ekvatora i ekliptike su:
• proljetna tocka g, u kojoj astronomski pocinje proljece, u kojoj je deklinacija Sunca
δ = 0 i, takoder, rektascenzija Sunca α = 0,
• jesenska tocka l, u kojoj je deklinacija opet δ = 0, ali rektascenzija iznosi α = 180◦.
19
Te dvije tocke nazivamo ekvinocijske tocke. U tom trenutku Sunce opisuje jednake
lukove ispod i iznad horizonta (dnevni i nocni luk Sunca su jednaki), zbog cega su duljina
dana i noci jednake.
Obzirom na polozaj Zemljinog ekvatora prema smjeru Suncevih zraka razlikujemo u toku
godine cetiri vazna trenutka, pocetke godisnjih doba. Nakon prolaska proljetnom tockom
Sunce se sve vise uzdize nad ekvator, deklinacija mu raste tako dugo dok ne prode jednu
cetvrtinu luka ekliptike. U toj tocki rektascenzija Sunca je α = 90◦, a Sunce postize svoju
najvecu visinu nad ekvatorom, deklinacija iznosi δ = ε = 23◦27′. U tom vremenu Sunce
opisuje najveci dnevni luk nad horizontom i najkraci nocni luk ispod horizonta. Paralela
na sjevernoj geografskoj sirini od 23◦27′ zove se sjeverna ili Rakova obratnica, a buduci
da je na svom ”putu” prema sjeveru Sunce ”zaostalo” i poslije toga datuma obasjava
okomito mjesta s manjom geografskom sirinom od 23◦27′ prvi dan ljeta nazivamo ljetnim
suncostajem ili solsticijem. Nakon toga visina Sunca se postepeno smanjuje, dok ne
stigne u drugo sjeciste ekliptike i ekvatora, jesensku tocku. Prolazeci trecu cetvrtinu
ekliptike Sunce pada sve vise ispod ekvatora i na kraju postize svoj najnizi polozaj, kada
mu deklinacija iznosi δ = −ε = −23◦27′, a rektascenzija α = 270◦. Sunce tada opisuje
svoj najmanji (dnevni) luk iznad horizonta i najveci (nocni) luk ispod horizonta, pa je
to doba najkracih dana i najduzih noci. Prvi dan zime nazivamo zimski suncostaj, a
paralelu na 23◦27′ juzne geografske sirine juzna ili Jarceva obratnica. Godisnji ciklus
zavrsava ponovnim povratkom Sunca u proljetnu tocku. To je ciklus promjene godisnjih
doba ili sezona koji nazivamo tropska godina. Pravac koji spaja proljetnu i jesensku
tocku zove se ekvinocijska linija.
U astrologiji, pocevsi od proljetne tocke ekliptiku dijelimo na 12 jednakih dijelova po
30◦. Zvijezda kroz koja Sunce na taj nacin ”prolazi”zovu se zvijezdima zodijaka ili
zivotinjskog pojasa. Kako puni kut ima otprilike isto stupnjeva koliko i jedna godina
ima dana, Sunce ce ekliptikom prelaziti 1◦ u jednom danu.
4.3.2 Definiranje ekliptickog koordinatnog sustava
Slika 4.3.2Eklipticki koordinatni sustav
20
Osnovni elementi ovog sustava su eklipticka os i sama ekliptika. Koordinatnu mrezu
cine kruznice paralelne s ekliptikom i kruznice koje prolaze ekliptickim polovima. Koor-
dinate koje jednoznacno odreduju eklipticki koordinatni sustav su:
1. Eklipticka sirina (latituda) β - geografska sirina duz vertikale na ekliptiku, tj.
kut izmedu ekliptike i nebeskog tijela mjeren po vertikali nebeskog tijela. Mjeri
se od ekliptike prema sjevernom polu ekliptike Π i iznosi od 0◦ do 90◦, a od
ekliptike prema juznom polu ekliptike Π′ od 0◦ do −90◦
2. Eklipticka duzina (longituda) λ - geografska duzina duz ekliptike do vertikale,
tj. kut izmedu proljetne tocke i vertikale mjesta promatranog nebeskog tijala
mjeren u smjeru suprotnom od prividnog godisnjeg gibanja Sunca, od zapadne
strane horizonta prema istocnoj od 0◦ do 360◦.
Smjer gibanja nebeskih objekata koji se podudaraju sa smjerom godisnjeg gibanja Sunca
naziva se direktno gibanje. Gibanje u suprotnom smjeru naziva se retrogradno. Ek-
lipticke koordinate neovisne su o prividnom dnevnom gibanju nebeske sfere i mjestu
opazanja.
4.4 Galakticki koordinatni sustav
Slika 4.4Galakticki koordinatni sustav
Glavni elementi galaktickog koordinatnog sustava su galakticki ekvator UCNV (vidi
sliku 4.4), galakticka os GG′ i nul-tocka C koja predstavlja smjer u kojem se nalazi
galakticko srediste. Koordinate koje jednoznacno odreduju galakticki koordinatni sustav
su:
1. Galakticka sirina (latituda) βgal - kut izmedu galaktickog ekvatora i vertikale
nebeskog tijela mjeren po galaktickom meridijanu prema sjevernom galaktickom
polu od 0◦ do 90◦, odnosno prema juznom galaktickom polu 0◦ do −90◦.
2. Galakticka duzina (longituda) λgal - kut izmedu meridijana smjera galaktickog
sredista i galaktickog meridijana nebeskog tijela mjeren od smjera galaktickog
21
centra po galaktickom ekvatoru u suprotnom smjeru dnevnog kretanja nebeskih
tijela, tj. od 0◦ do 360◦.
Horizontalni, mjesni i nebeski ekvatorijalni koordinatni sustav, najcesce su koristeni ko-
ordinatni sustavi, dok se preostala dva sustava, eklipticki i galakticki, koriste vrlo rijetko.
22
5 Transformacije sfernih astronomskih koordinatnih
sustava
Transformacije koordinatnih sustava omogucavaju nam da iz poznavanja vrijednosti ko-
ordinata nebeskog tijela u jednom koordinatnom sustavu pronademo vrijednost koordi-
nata istog objekta u drugom koordinatnom sustavu. Postupak transformacije neopho-
dan je u astronomskoj praksi. Obicno se provodi racunskim putem, primjenom sferne
trigonometrije. Medutim, problemi se mogu rjesavati i graficki, no trebamo napomenuti
da su rezultati dobiveni na taj nacin samo priblizno tocni.
5.1 Graficka metoda
Ova metoda polazi od crtanja nebeske sfere sa svim elementima svojstvenim koordinatnim
sustavima medu kojima se obavlja transformacija a zatim se priblizno ucrtava polozaj
objekta na temelju zadanih koordinata u jednom sustavu. S istog crteza priblizno se
ocitaju koordinate objekta u drugom sustavu.
Metodu cemo ilustrirati na konkretnom primjeru.
Primjer 5.1 Neka su zadane horizontske koordinate nebeskog objekta h = 30◦ i A = 280◦
u mjestu cija je geografska sirina ϕ = 60◦. Odredimo ekvatorske koordinate objekta, tj.
deklinaciju δ i satni kut t.
Rjesenje: Primijetimo da je vrijednost azimuta iz zadatka veca od 180◦, sto znaci da se
objekt nalazi na polusferi istocno od meridijana mjesta. Prakticnosti radi cemo nebesku
sferu crtati s pogledom ”iza”, tj. tako da prema nama bude okrenuta istocna polusfera
na kojoj je objekt. Ucrtavamo prvu liniju zenit - nadir (ZZ ′) i horizont (vidi sliku 5.1).
Tocka juga (S) na slici se nalazi na lijevoj strani, a tocka sjevera (N) na desnoj strani.
Kutomjerom izmjerimo po meridijanu luk NPN koji je jednak geografskoj sirini mjesta
opazanja (60◦) i okomito na liniju PNPS ucrtamo polozaj nebeskog ekvatora QQ′.
Slika 5.1Primjer jednostavne graficke metode transformacije horizontskih u ekvatorske koordinate.
Prelazimo na ucrtavanje polozaja objekta pomocu zadanih koordinata. Na temelju
zadane vrijednosti azimuta odredujemo na horizontu tocku K, u kojoj se sijeku vertikala
23
tijela i horizont. Kako je visina tijela 30◦ te se ono nalazi na 13
duljini luka KZ pribliznom
procjenom dobivamo polozaj objekta T na nebeskoj sferi. Sada odredujemo deklinaciju
i satni kut. Pridruzimo objektu vertikalu PNTPS i procijenimo vrijednost deklinacije
(δ ≈ 20◦). Satni kut mjeri se od tocke Q′ u smjeru WQE pa procjenjujemo da iznosi
priblizno 295◦.
Time smo iz poznavanja horizontskih koordinata dobili vrijednost ekvatorskih. Istovjet-
nim postupkom moguce je transformirati bilo koja druga dva astronomska koordinatna
sustava.
Vecu preciznost mozemo postici uz upotrebu tzv. ortografske projekcije. Naime,
nebesku sferu mozemo nacrtati u projekciji na jednu karakteristicnu ravninu npr. na ravn-
inu meridijana. Ako znamo kako u toj projekciji izgledaju velike i male kruznice, onda je
lako ucrtati polozaj nebeskog tijela u jednom koordinatnom sustavu i naci koordinate u
nekom drugom sustavu.
5.2 Transformacija koordinatnih sustava racunskim putem
Transformacije iz jednog sustava u drugi izvode se crtanjem nebeske sfere s osnovnim
elementima doticnih sustava i proizvoljnim polozajem tijela i oznacavanjem koordinata u
oba sustava. Tada odabiremo karakteristicni sferni trokut tzv. paralakticki trokut, cije
su stranice i kutevi (ili njihovi komplementi) vrijednosti koordinata tijela u oba sustava i
jos neke velicine kojima je problem jedinstveno zadan.
5.2.1 Transformacija izmedu horizontskog i ekvatorskog sustava
Slika 5.2.1.1Transformacija izmedu horizontskog i ekvatorskog sustava (slucaj a)) i promatrani karakteristicni sferni trokuti (slucaj b))
Na slici 5.2.1.1 prikazana je nebeska sfera s osnovnim elementima horizontskog i ek-
vatorskog koordinatnog sustava. Ucrtan je i polozaj nebeskog tijela T i naznacene su
njegove horizontske koordinate (h i A) i mjesne ekvatorske koordinate (δ i t).
Promatramo karakteristicni sferni trokut 4PNZT i redom njegove elemente :
• sferni kut u vrhu PN jednak je satnom kutu t,
• sferni kut u zenitu Z jednak je 180◦ − A,
24
• luk, tj. stranica PNZ iznosi 90◦ − ϕ,
• stranica ZT ima vrijednost 90◦ − h,
• stranica PNT jednaka je 90◦ − δ.
Nadalje primjenjujemo osnovne poucke sferne trigonometrije na sferni trokut 4PNZT .
Neka su poznate ekvatorske koordinate (δ, t). Izvodimo relacije za izracunavanje hori-
zontskih koordinata (h,A) iz (δ, t) (uvrstavamo odgovarajuce velicine iz sfernog trokuta,
vidi sliku 5.2.1.1 pod b)).
1. Iz Teorema 2.2 (kosinusovog poucka za stranice) vrijedi :
cos(90◦ − h) = cos(90◦ − δ) cos(90◦ − ϕ) + sin(90◦ − δ) sin(90◦ − ϕ) cos t.
Nadalje znamo da je cos(90◦−x) = sinx i sin(90◦−x) = cos x pa za gornju formulu
slijedi
sinh = sin δ sinϕ+ cos δ cosϕ cos t. (1)
Dobivena funkcija sinh funkcija je varijabli (δ i t), tj. sinh = f(δ, t), a ϕ je poznata
geografska sirina.
2. Iz Teorema 2.3 (sinusov poucak) imamo :
sin(180◦ − A)
sin(90◦ − δ)=
sin t
sin(90◦ − h).
Tada zbog
sin(180◦ − x) = sin x, sin(90◦ − x) = cos x ⇒ sinA
cos δ=
sin t
cosh
slijedi
sinA cosh = sin t cos δ. (2)
3. Uvrstavanjem Teorem 2.5 (sinus-kosinusov poucak) dobivamo :
sin(90◦−h) cos(180◦−A) = cos(90◦− δ) sin(90◦−ϕ)− sin(90◦− δ) cos(90◦−ϕ) cos t
i koristenjem transformacijskih formula sin(90◦ − x) = cos x, cos(90◦ − x) = sin x
te cos(180◦ − x) = − cosx slijedi
cosh cosA = − sin δ cosϕ+ cos δ sinϕ cos t. (3)
Dijeljenjem izraza (3) i (2) dobivamo
ctgA = − tg δcosϕ
sin t+ ctg t sinϕ (4)
sto je funkcija od (δ, t), tj. ctgA = f(δ, t).
Slicno se mogu izvesti relacije za izracunavanje ekvatorskih koordinata (δ i t), ako su
zadane horizontske (h i A):
25
1. Iz Teorema 2.2
cos(90◦ − δ) = cos(90◦ − h) cos(90◦ − ϕ) + sin(90◦ − h) sin(90◦ − ϕ) cos(180◦ − A)
dobivamo :
sin δ = sinh sinϕ− cosh cosϕ cosA. (5)
Dobivena funkcija sin δ je funkcija varijabli (h i A), tj. sin δ = f(h,A), a ϕ je poznata
geografska sirina.
2. Iz Teorema 2.3 dobivamo :
sin t cos δ = sinA cosh. (6)
3. Uvrstavanjem u Teorem 2.5 slijedi:
sin(90◦−δ) cos t = cos(90◦−h) sin(90◦−ϕ)−sin(90◦−h) cos(90◦−ϕ) cos(180◦−A),
a nakon sredivanja dobivamo
cos δ cos t = sinh cosϕ+ cosh sinϕ cosA. (7)
Dijeljenjem izraza (7) i (6) dobivamo
ctg t = tg hcosϕ
sinA+ ctgA sinϕ (8)
sto je funkcija od (h, A) tj. ctg t = f(h,A).
5.2.2 Transformacija izmedu ekvatorskog i ekliptickog sustava
Slika 5.2.2Transformacija izmedu ekvatorskog i ekliptickog sustava (slucaj a)) i promatrani karakteristicni sferni trokuti (slucaj b))
Promatramo sliku 5.2.2 na kojoj je prikazana nebeska sfera s osnovnim elementima
ekvatorskog i ekliptickog koordinatnog sustava. Ucrtano je nebesko tijelo T i naznacene
su njegove ekvatorske koordinate (δ i α) i eklipticke koordinate (β i λ). Kut izmedu rav-
nine ekliptike i ekvatora oznacen je s ε i iznosi 23◦27′.
Promatramo karakteristicni (paralakticki) sferni trokut 4ΠPNT i redom njegove ele-
mente:
26
• sferni kut u vrhu PN jednak je 90◦ + α,
• sferni kut u sjevernom polu ekliptike Π jednak je 90◦ − λ,
• luk, tj. stranica PNΠ iznosi ε,
• stranica ΠT ima vrijednost 90◦ − β,
• stranica PNT jednaka je 90◦ − δ.
Primjenjujemo osnovne poucke sferne trigonometrije na sferni trokut 4ΠPNT .
Neka su zadane ekvatorske koordinate (δ, α). Izvodimo relacije za izracunavanje ekliptickih
koordinata (β, λ) iz (δ, α) uvrstavanjem odgovarajucih velicina iz karakteristicnog sfernog
trokuta (vidi sliku 5.2.2 pod b)).
1. Iz Teorema 2.2 (kosinusovog poucka za stranice) vrijedi :
cos(90◦ − β) = cos(90◦ − δ) cos ε+ sin(90◦ − δ) sin ε cos(90◦ + α),
daljnjim transformacijama za gornju formulu slijedi
sin β = sin δ cos ε− cos δ sin ε sinα. (9)
Dobivena funkcija sin β je funkcija varijabli (δ i α), tj. sin β = f(δ, α), a ε je poznati
kut izmedu ekliptike i ekvatora.
2. Iz Teorema 2.3 (sinusov poucak) imamo :
sin(90◦ + α)
sin(90◦ − β)=
sin(90◦ − λ)
sin(90◦ − δ)
a tada izcosα
cos β=
cosλ
cos δ
slijedi
cosα cos δ = cosλ cos β. (10)
3. Uvrstavanjem u Teorem 2.5 (sinus-kosinusov poucak) dobivamo :
sin(90◦ − β) cos(90◦ − λ) = cos(90◦ − δ) sin ε− sin(90◦ − δ) cos ε cos(90◦ + α)
koristenjem transformacijskih slijedi
cos β sinλ = sin δ sin ε+ cos δ cos ε sinα. (11)
Dijeljenjem izraza (11) i (10) dobivamo
tg λ = tg δsin ε
cosα+ cos ε tgα (12)
sto je funkcija od varijabli (δ, α), tj. tg λ = f(δ, α).
Pokazimo sad obrnuti slucaj izracunavanje ekvatorskih kooridnata (α i δ), ako su
zadane eklipticke (λ i β):
27
1. Iz Teorema 2.2
cos(90◦ − δ) = cos ε cos(90◦ − β) + sin ε sin(90◦ − β) cos(90◦ − λ)
dobivamo :
sin δ = cos ε sin β + sin ε cos β sinλ. (13)
Dobivena funkcija sin δ je funkcija varijabli (β i λ), tj. sin δ = f(β, λ), a ε je poznati
kut izmedu ekliptike i ekvatora.
2. Iz Teorema 2.3 dobivamo :
cosλ cos β = cosα cos δ. (14)
3. Uvrstavanjem u Teorem 2.5 slijedi:
sin(90◦ − δ) cos(90◦ + α) = cos(90◦ − β) sin ε− sin(90◦ − β) cos ε sinλ,
nakon sredivanja dobivamo
cos δ sinα = − sin β sin ε+ cos β cos ε sinλ. (15)
Dijeljenjem izraza (15) i (14) dobivamo
tgα = − tg βsin ε
cosλ+ tg λ cos ε (16)
sto je funkcija od varijabli (β, λ) tj. tgα = f(λ, β).
28
6 Vrijeme
Jedan od vaznijih pojmova u astronomiji je vrijeme. U astronomiji se sluzimo razlicitim
mjerama vremena, no, u svima je osnovno utvrditi relaciju izmedu prihvacenih vremenskih
jedinica (godine, dana, sata, minute, sekunde) i nekog opazanog fizickog fenomena koji
je periodicki i/ili odbrojavan. Danas je prihvaceno nekoliko nacina mjerenja vremena,
temeljenih na periodickim pojavama kao sto su Zemljina rotacija i revolucija te promjena
atomskog stanja. Na temelju Zemljine rotacije nastalo je zvjezdano i Suncevo vrijeme,
na temelju Zemljine revolucije dinamicko i koordinatno vrijeme te na temelju promjene
atomskog stanja atomsko vrijeme. Neka od njih necemo posebno objasnjavati, ali ih se
moze dodatno prouciti iz literature [3], [4].
6.1 Zvjezdano vrijeme
Astronomima je najblize zvjezdano vrijeme3. Za osnovu tog vremena uzeta je vrtnja
Zemaljske kugle, tj. vrtnja nebeskog svoda oko njene osi pa vrijeme jednog punog okreta
kugle Zemaljske zovemo zvjezdani dan4. To je vremenski interval koji protjece izmedu
dvije uzastopne (gornje ili donje) kulminacije bilo koje stajacice5 npr. proljetne tocke
g. Kako se od jedne do druge gornje kulminacije razmjerno s vremenom mijenja i satni
kut t proljetne tocke, pod zvjezdanim vremenom u nekom odredenom trenutku na nekom
odredenom mjestu podrazumijevamo satni kut proljetne tocke u tom trenutku i na tom
mjestu, tj.
S = tg.
Zvjezdano vrijeme S jednako je zbroju satnog kuta t i rektascenzije α zvijezde:
S = t+ α +
{0−24h
(17)
pri cemu 24h odbijamo u izrazu kada je satni kut zvijezde veci od satnog kuta proljetne
tocke. Specijalno, za t = 0 kada se zvijezda nalazi u svojoj gornjoj kulminaciji, vrijedi
S = α, (18)
tj. da zvijezda kulminira u toliko sati zvjezdanog vremena koliko iznosi njezina rekta-
scenzija.
Satni kut odredujemo od mjesnog (stajalisnog) meridijana pa onda zvjezdano vrijeme ovisi
o astronomskoj (geografskoj) duljini i zbog toga je ispravno upotrebljavati naziv mjesno
3engl. sidereal time (ST)4sidericki dan5Zvijezde nam prakticno izgledaju kao tockasti izvori svjetlosti, prividno mnogo manjeg sjaja od Sunca,
a vide se samo nocu jer se danju gube u suncevu sjaju. Golim okom je nemoguce primjetiti njihovo gibanjeu odnosu na njihovu nebesku okolinu u vremenu kracem od nekoliko stotina godina, pa ih po tradicijizovemo i ’zvijezde stajacice’.
29
(lokalno) zvjezdano vrijeme6. Zvjezdano vrijeme mjerimo satom, pri cemu mislimo na
astronomski sat. Postoje dvije vrste astronomskih satova: sat s njihaljkom i kronometar.
Nije vazno koji od njih koristimo, nego da idu jednoliko. Ovaj nacin mjerenja vremena
najvise se koristi da bi se odredio polozaj zvijezda, a osim u astronomiji primjenjuje se i
u geodeziji te navigaciji.
Zvjezdano vrijeme nije pogodno za obican zivot koje uskladujemo prema Suncu pa kao
jedinicu vremena uzimamo jos i pravi Suncev dan.
6.2 Suncevo vrijeme
U svakodnevnim aktivnostima najvazniji period vremena odreden je izmjenom svjetlosti
i tame - dnevnim ciklusom osuncanja. Suncev dan7 (pravi Suncev dan) vrijeme je
koje protjece izmedu dvije njegove uzastopne istovjetne kulminacije (donje ili gornje).
Racunanje vremena pocinje u ponoc, tj. kad je Sunce u donjoj kulminaciji. Pravo
Suncevo vrijeme8 T razlikuje se dakle za 12h od satnog kuta t :
T = t± 12h. (19)
Predznak treba odabrati tako da vrijeme bude izmedu 0 i 24, a pretpostavka je da satni
kut raste jednoliko s vremenom.
Napomena 6.1 Gornji izraz (19) vrijedi kada satni kut racunamo u stupnjevima od 0◦
do 360◦
u smislu dnevne vrtnje nebeskog svoda. U slucaju da satni kut racunamo od
meridijana mjesta prema zapadu u stupnjevima od 0◦
do 180◦
i od merdijana prema istoku
od 0◦
do −180◦
tada vrijedi formula
T = t+ 12h. (20)
Slika 6.2.1Suncevo vrijeme T razlikuje se za 12 h od satnog kuta Sunca t; T = t− 12(slucaj a)) i T = t+ 12 (slucaj b))
Ako sat pokazuje vrijeme T , tada ce se to vrijeme razlikovati od zvjezdanog vremena
S za neku velicinu u koju zovemo korekcija sata pa ce biti
T + u = S.
6engl. local sidereal time (LST)7engl. solar day (SD), sinodicki dan8engl. true solar time (TST)
30
Da se odredi korekcija sata, opaza se vrijeme gornje kulminacije neke zvijezde kojoj poz-
najemo rektascenziju pa prema formuli (18) slijedi
S = α = T + u ⇒ u = α− T. (21)
Kao veca vremenska jedinica uzima se vremensko razdoblje koje protjece izmedu dva uza-
stopna prolaska Sunca kroz proljetnu tocku g, a to vremensko razdoblje zovemo tropska
godina. Trajanje tropske godine iznosi
366,2422 zvjezdana dana.
Trajanje tropske godine ne mozemo izraziti pravim Suncevim danima zbog prividnog
dnevnog gibanja po ekliptici. Gibanje po ekliptici je nejednoliko, jer je ono odraz pravog
gibanja Zemlje oko Sunca. Putanja Zemlje oko Sunca je elipsa, u cijem je jednom zaristu
nalazi Sunce. Prema Keplerovim zakonima9 Zemlja se giba tako da u jednakim vremen-
skim intervalima radijusvektor iz zarista, u kojem se nalazi Sunce, opisuje isjecke jednake
povrsine. To znaci da ce se Zemlja najbrze gibati u tjemenu P elipse, koje je najblize
Suncu i kojeg zovemo perihel, a najsporije u tjemenu A, koje je najvise udaljeno od
Sunca, a zove se afel.
Slika 6.2.2Putanja Zemlje oko Sunca
Zbog nejednolikog gibanja Sunca duljina pravog Suncevog dana mijenja se u toku ci-
jele godine.
No, i kada bi se Sunce jednoliko gibalo po ekliptici, tada jos uvijek jednakim lukovima ek-
liptike ne bi odgovarali jednaki lukovi na ekvatoru ili jednake razlike rektascenzije kojom
se mjeri dnevna vrtnja nebeskog svoda. Zbog toga sto svaki Suncev dan ima drugacije
trajanje, uvodimo srednju vrijednost trajanja svih Suncevih dana u toku godine i tu vri-
jednost nazivamo srednji Suncev dan10. Kazaljci srednjeg Suncevog vremena odgovara
9Johannes Kepler (27.12.1571 - 15.11.1630) njemacki matematicar, astronom i astrolog. Najpoznatijipo svoja tri zakona o planetarnom gibanju tzv. Keplerovi zakoni:
1. Planeti se gibaju po elipsama u cijem se jednom zaristu nalazi Sunce.
2. Spojnica planet - Sunce (radijusvektor) u jednakim vremenima opisuje jednake povrsine, odnosnokad je planet blizi Suncu giba se brze.
3. Kvadrati ophodnih vremena planeta oko Sunca proporcionalni su kubovima udaljenosti od Sunca.
10engl. mean solar day (MSD)
31
neko zamisljeno Sunce koje se nebeskim ekvatorom giba jednoliko. Danas se trajanje sred-
njeg Suncevog dana kontrolira pomocu atomskih satova. Od 1967. godine dogovoreno je
da se umjesto sekunde odredene iz gibanja Zemlje kao jedinica vremena koristi atom-
ska sekunda (sekunda odredena atomskim satom). Ta je sekunda povezana s trajanjem
tropske godine 1900. Kada se Sunce ne bi gibalo po ekliptici, bio bi pravi Suncev dan
jednak zvjezdanom danu, no zbog gibanja po ekliptici srednji Suncev dan ce biti dulji,
jer u dnevnoj vrtnji oko Zemaljske osi Sunce mora jos nadoknaditi neki kut γ koji ovisi o
tome za koliko se Sunce pomaknulo po ekliptici.
Slika 6.2.3Gibanje Sunca po ekliptici
S obzirom na to da se Sunce svakog dana pomakne po ekliptici za neki kut γ ono
ce svakog dana ranije prolaziti meridijan mjesta. Svi ti kutevi u vremenu jedne tropske
godine iznose 360◦, to ranije prolazenje meridijanom mjesta nagomila se u tom vremenu
na jedan zvjezdani dan pa ce zbog toga 366, 2422 zvjezdanih dana tropske godine
iznositi 365, 2422 srednjih Suncevih dana.
Ako dakle 365, 2422 srednje Suncevih dana iznosi 366, 2422 ∗ 24 sati zvjezdanog vremena
1 srednji Suncev dan =366, 2422 ∗ 24
365, 2422sata zvjezdanog vremena
1 zvjezdani dan = 24 sata zvjezdanog vremena,
onda ce razlika jednog srednjeg Suncevog dana i jednog zvjezdanog dana iznositi
24
365, 2422= 3m56, 56s = d1 zvjezdanog vremena.
Na slican nacin izvodimo da ce razlika jednog srednjeg Suncevog dana i jednog zvjezdanog
dana iznositi
24
366, 2422= 3m55, 91s = d2 jedinica srednje Suncevog vremena.
Kako se pravi Suncev dan mijenja u toku godine (ovisno o godisnjem dobu) tako se i pravo
Suncevo vrijeme mijenja.Zbog toga uvodimo pojam ”prvo srednje Sunce”, koje u isti cas
s pravim Suncem krece iz perihel jednoliko se gibajuci po ekliptici, da se u isto doba
kad i pravo Sunce vrati u perigej. Pri tome ce srednje Sunce kasnije proci kroz proljetnu
32
tocku nego pravo Sunce, u tocki afel oba Sunca ce se sastati, srednje Sunce ce prije proci
jesenskom tockom nego pravo Sunce i onda se opet u perihelu oba Sunca sastanu. No,
i dalje ”prvo srednje Sunce” ne odreduje srednji Suncev dan zbog toga sto jednakim
lukovima ekliptike ne odgovaraju jednaki lukovi ekvatora (jednake rektascenzije).
Da bi uklonili i ovaj problem, uvodimo pojam ”drugo srednje Sunce” koje se jednoliko
giba po ekvatoru te zajedno sa ”prvim srednjim Suncem” prolazi proljetnom i jesenskom
tockom. Oba srednja Sunca prolaze u istom trenutku, takoder, ljetnu i zimsku tocku. Zbog
toga je rektascenzija ”drugog srednjeg Sunca” jednaka duljini ”prvog srednjeg Sunca”.
Srednje Suncevo vrijeme T∗ odredeno je satnim kutom ”drugog srednjeg Sunca” t∗,
tj. vrijedi :
T∗ = t∗ ± 12h. (22)
Na temelju prethodno definiranih pojmova izvodimo jednadzbu vremena E koja
povezuje pravo i srednje Suncevo vrijeme, tj. razliku izmedu pravog Suncevog vremena i
srednjeg Suncevog vremena:
E = T − T∗. (23)
Slika 6.2.4Jednadzba vremena
Buduci da je pravo Suncevo vrijeme odredeno satnim kutom pravog Sunca t, a srednje
Suncevo vrijeme satnim kutom ”drugog srednjeg Sunca” t∗, gornji izraz mozemo izraziti
kao razliku satnih kuteva (koristeci (19) i (22)):
E = t − t∗. (24)
Takoder, koristeci (17) i formule (19) te (22) dobivamo :
T = S + 12h− α, T∗ = S + 12h− α∗ ⇒ E = T − T∗ = α∗ − α.
Buduci da opazanjem mozemo izracunati samo pravo Suncevo vrijeme, jednadzbe (23) i
(24) sluze za izracunavanje ”srednjeg Suncevog vremena”. Jednadzba vremena mijenja se
33
od godine do godine, jer Sunce nema uvijek isti polozaj u ekliptici na pocetku svake kalen-
darske godine. Jednadzbu vremena iscitavamo iz astronomskih godisnjaka (efemerida)
gdje se ona izracunava za svako srednje podne nultog (greenwichskog) meridijana.
Buduci da svako vrijeme - i zvjezdano i Suncevo - mjerimo satnim kutom, tj. u odnosu na
meridijan opazaca, ono je lokalnog karaktera. Svaka geografska duzina ima svoje vrijeme.
Svakih 15◦ geografske duzine donosi razliku mjesnih vremena za 1 h. Zato je na nekoj
geografskoj duzini λ srednje Suncevo vrijeme jednako
T∗ = UT ± λ.
Kod istocnih duzina, predznak je pozitivan, a kod zapadnih negativan. Svjetsko vri-
jeme11 UT srednje je Suncevo vrijeme na greenwichskom meridijanu. Zbog racunanja
potrebno je da geografsku duzinu izrazavamo u vremenskim jedinicama prema Tablici 1.
U drustvenim zajednicama uspostavljeno je pojasno ili zonsko vrijeme. Umjesto da se
svako mjesto ravna po svom srednjem Suncevom vremenu, citave drzave ili njihovi dijelovi
imaju zajednicko vrijeme. Cijela Zemlja raspodijeljena je u 24 vremenska pojasa ili zone.
Sredisnji meridijani pojasa razmaknuti su za 15◦, a unutar njih se postuje jedinstveno vri-
jeme. Pojedine drzave uvode i ukazno (dekretno) vrijeme, kojim se satovi pomicu ljeti
i/ili zimi. Kod nas se primjenjuje srednjeevropsko vrijeme12 (SEV) koje je odredeno
srednjim Suncevim vremenom za istocnu duzinu od 15◦, a od 1983. godine primjenjuje se
i ljetno ukazno vrijeme.
6.3 Veza zvjezdanog i srednjeg Suncevog vremena
Buduci da je
366, 2422 zvjezdanih dana = 365, 2422 srednjih Suncevih dana, slijedi razmjer :
Z∗ : S⊙ = 366, 2422 : 365, 2422 ,
gdje je Z∗ broj zvjezdanih jedinica vremena nekog cvrstog vremenskog razdoblja, a S⊙srednjih Suncevih jedinica u tom istom vremenskom razdoblju. Iz razmjera slijedi :
Z∗ =366, 2422
365, 2422S⊙ = S⊙ +
S⊙365, 2422
= Sh⊙ +d1
24Sh⊙ sati zvjezdanog vremena
= Ss⊙ +d1
86400Ss⊙ sekundi zvjezdanog vremena.
S⊙ =365, 2422
366, 2422Z∗ = Z∗ −
Z∗366, 2422
= Zh∗ −
d2
24Zh∗ sati srednjeg Suncevog vremena
= Zs∗ −
d2
86400Zs∗ sekundi srednjeg Suncevog vremena.
Ove formule sluze da se pretvore zvjezdane u Sunceve vremenske jedinice nekog vremen-
skog razdoblja i obrnuto, njima se pretvara kolicina jednog vremena u drugo.
11engl. universal time (UT)12engl. central european time (CET)
34
7 Promjena koordinata nebeskih tijela
Nebeske se koordinate mijenjaju tijekom vremena, tako da se ponekad nebeska tijela ne
nalaze tamo gdje ih u neki cas vidimo. Postoji nekoliko razlicitih uzroka tih promjena:
1. gibanje koordinatnih sustava (precesija i nutacija),
2. prividni kutni pomak smjera nebeskih tijela (aberacija, paralaksa i refrakcija),
3. gibanje zvijezda medu sobom (vlastito kretanje zvijezda).
Promjene koordinata, uslijed tih pojava, relativno su male, ali u preciznim astronom-
skim mjerenjima (npr. astrogeodetskim), pracenjima i proucavanjima polozaja nebeskih
tijela u duljem vremenskom periodu, promjene moramo uzeti u obzir.
7.1 Precesija i nutacija
Pored rotacije (vrtnje) i revolucije (obilazenja oko Sunca) Zemlja pokazuje jos jednu vrstu
gibanja. Zemlja nema oblik kugle, nego je na polovima spljostena (sferoid), a osim toga
nije ni homogeno ispunjena masom. Zbog toga za Zemlju vrijede zakoni zvrka, tako da
zemaljska os opisuje gibanje kao izvodnica stosca. To gibanje je jednoliko, a zove se
precesija13. Obzirom na trajanje pojedinog gibanja i intenzitet uzajamnog djelovanja
razlikujemo luni-solarnu precesiju i planetarnu precesiju.
Luni-solarnom precesijom nazivamo gibanje nebeskih polova oko ekliptickih polova,
uzrokovano gravitacijskim djelovanjem Mjeseca i Sunca na Zemljinu os rotacije (ophodni
period iznosi 25800 godina, tj. Platonova godina). Istodobno se proljetna tocka pomice po
ekliptici u suprotnom smjeru od prividnog godisnjeg gibanja Sunca, tj. u susret godisnjoj
putanji Sunca (50, 39′′/god.). Gravitacijski su utjecaji planeta na Zemljinu os rotacije
zanemarivi, ali mijenjaju elemente Zemljine staze (ekliptike). Zakretanje (njihanje) ek-
lipticke ravnine u prostoru (0, 11′′/god.) nazivamo planetnom precesijom. Zakretanje
ekliptike dovodi i do promjena polozaja ekliptickih polova na nebeskoj sferi i promjene
vrijednosti priklona nebeskog ekvatora (QQ′) prema ekliptici (ΠΠ′). Istodobno proljetna
tocka klizi i po nebeskom ekvatoru 0,15” na godinu. Uzajamno djelovanje luni-solarne
i planetne precesije, odnosno ukupni pomak ekvatorske i eklipticke ravnine nazivamo
opcom precesijom (50, 29′′/god.)
Slika 7.1.1Luni-solarna, planetarna i opca precesija
13lat. praecedere = ici naprijed, ici u susret
35
Postoji jos neznatnije kolebanje u gibanju proljetne tocke u visini i sirini izazvano
istotakvim kolebanjem zemaljske osi, koje se vrsi u periodu od 18, 6 godina, pa se zbog
tog kolebanja pravi polozaj proljetne tocke moze razlikovati od srednjeg, koji zavisi samo
od procesija, za 18′′. Takvo kolebanje proljetne tocke zovemo nutacijom, zbog koje ce
plast stosca koji opisuje zemaljska os, izgledati naborano.
Slika 7.1.2Nutacija
7.2 Refrakcija, aberacija i paralaksa
Kao sto smo ranije rekli ove pojave djeluju na nacin da se nebeska tijela ne nalaze tamo
gdje bi trebala, tj. uzrokuju prividni kutni pomak smjera nebeskih tijela.
Refrakcija je pojava loma zrake svjetlosti pri prolasku svjetlosti kroz slojeve Zemljine
atmosfere razlicite gustoce. Svjetlosna se zraka razlicito lomi na granici izmedu dva sloja
razlicite gustoce. Ako Zemlju zamislimo u obliku koncentricnih kugli, tako da se gustoca u
slojevima blize Zemlji povecava, refrakcija poglavito ovisi o lomu svjetlosti (indeksu loma
svjetlosti) u gustom prizemnom sloju – troposferi, koja se proteze do visine od nekoliko
kilometara (vidi sliku 7.2.1).
Slika 7.2.1Refrakcija prilikom proslaska svjetlosti kroz slojeve Zemljine atmsofere
Kada zraka svjetlosti stize od nekog dalekog nebeskog tijela smjerom SA koroz vakuum
do zemljine atmosfere lomi se prema okomici i k nasem oku dolazi u smjeru S1A. Kut
36
ovih dvaju smjerova SA i S1A tj. ^SAS1 = r zove se astronomska refrakcija. Za
odredivanje refrakcije moramo znati elemente atmosfere (model atmosfere): temperaturu,
tlak, gustocu, visinu pojedinog sloja itd. Posljedica astronomske refrakcije je povecanje
visina nebeskih tijela. U blizini zenita refrakcija je jednaka nuli, dok se priblizavanjem
horizontu stalno povecava tako da u blizini horizonta iznosi oko 35 kutnih minuta.
Aberacija je pojava prividnog kutnog pomaka opazanog polozaja nebeskog tijela od
njegovog geometrijskog polozaja, koji nastaje uslijed toga sto brzina kretanja motritelja
nije zanemarivo mala prema brzini svjetlosti. Brzina svjetlosti iznosi 300000 km/s, a
brzina Zemlje pak 30 km/s.
Slika 7.2.2Aberacija, pojava prividnog kutnog pomaka opazanog polozaja nebeskog tijela od njegovog geometrijskog polozaja
Da bi zornije objasnili ovu pojavu objasnjavamo aberaciju pomocu durbina teleskopa.
Zraka svjetlosti ulazi u durbinu u tocki A. Za vrijeme dok ona prevali put Aa, duljinu cijevi
durbine, teleskop se pomaknuo u smjeru K za velicinu aa1, a motritelj vidi tijelo u smjeru
a1S1. Taj maleni kut pomaka y zove se konstanta aberacije i lako ga odredujemo iz
trokuta Aaa1. Stranice aa1 i Aa tog trokuta odnose se kao brzina gibanja Zemlje i brzina
svjetlosti pa ce biti :
sin y =30
300000,
no, za vrlo male y vrijedi sin y ≈ y pa se moze uzeti y = 30300000
, odakle konacno dobivamo
y u kutnim sekundama
y′′ =30
300000206265′′ = 20, 6′′
(gdje je ρ′′ = 1π180 · 60 · 60 = 206265 faktor pretvorbe radijana u kutne sekunde)
Za ovaj kut vidjet cemo nebesko tijelo pomaknuto u smjeru gibanja Zemlje zbog vlasti-
tog gibanja Zemlje ako pretpostavimo da zraka svjetlosti dolazi okomito na smjer gibanja
Zemlje.
Paralaksa je razlika izmedu smjerova prema nebeskom tijelu, koje vidimo s dva razlicita
mjesta, stajalista i neke referentne tocke. Buduci da Sunce, Mjesec i ostali planeti nisu
toliko udaljeni od Zemlje da bi pravce s raznih mjesta povrsine Zemlje (razlicitih tocki
stajalista, tzv. topocentar) na ta nebeska tijela mogli smatrati paralelnima, zovemo ih
37
prividnim pravcima dok one koji idu iz sredista Zemlje (tzv. geocentar) do nebeskih
tijela nazivamo pravim pravcima (vidi sliku 7.2.3).
Slika 7.2.3Paralaksa
Kut sto ga zatvara prividni pravac (topocentrican smjer) neke tocke A na povrsini
Zemlje s pravim pravcem (geocentricnim smjerom) zove se dnevna paralaksa doticnog
nebeskog tijela. Najveca paralaksa biti ce onda kada se tocka opazanja A nalazi na
ekvatoru a nebesko tijelo na horizontu. Takva najveca paralaksa zove se horizontalna
ekvatorska paralaksa nebeskog tijela ako ju oznacimo s πd vrijedi :
sinπd =R
d.
Iz dane formule moze se tada izracunati udaljenost d tog nebeskog tijela od Zemlje, a πdje tada kut pod kojim vidimo polumjer Zemaljske kugle iz promatranog tijela.
Slika 7.2.4Godisnja paralaksa
Dnevnu paralaksu imaju samo tijela Suncevog sustava, jer su puno bliza i od najblize
zvijezde. Zvijezde stajacice tako su daleko od Zemlje da, zaista, pravce s bilo koje tocke
na Zemlji do zvijezde stajacice mozemo smatrati paralelnima pa je njihova paralaksa πdjednaka nuli. Za dovoljno bliske stajacice ipak necemo moci pravce s povrsine Zemlje
do takve stajacice smatrati paralelnima, ako se motre s raznih mjesta putanje Zemlje
oko Sunca. Prema stajacicama mozemo putanju Zemlje smatrati kruznicom kojoj se u
sredistu nalazi Sunce. Pravac koji spaja Sunce (srediste kruznice) sa zvijezdom nazivamo
pravim pravcem, a pravac s drugih mjesta Zemljine putanje do zvijezde stajacice nazivamo
38
prividnim pravcima. Najveci kut izmedu prividnih pravaca i pravog pravca, tj. kut pod
kojim se radijus Zemljine staze vidi sa zvijezde stajacice zove se godisnja paralaksa
doticne zvijezde. Neka je D radijus Zemljine staze ili udaljenosti Zemlje od Sunca te neka
je d udaljenost Sunca od njegove stajacice, tada ce za godisnju paralaksu vrijediti formula
sin πg =D
d.
Kako je udaljenost Sunca od zvijezde stajacice d mnogo veca od polumjera Zemljine staze
D slijedi da je godisnja paralaksa zvijezde πg vrlo mala i moze se pisati
sin πg ≈ πg, πg =D
d
odnosno u kutnim sekundama
π′′
g =D
dρ′′
Godisnja paralaksa πg posluzit ce nam za odredivanje udaljenosti zvijezda stajacica od
Sunca.
7.3 Vlastito kretanje zvijezda
Pojavu prostornog medusobnog kretanja zvijezda nazivamo vlastito kretanje zvijezda.
Kretanje mozemo rastaviti u dvije komponente: u smjeru zvijezde (radijalnu) i okomito
na smjer (tangencijalnu). Kod samo nekoliko zvijezda godisnje vlastito kretanje vece je
od 1′′ (npr. najveci godisnji pomak ima Barnardova zvijezda 10, 3′′). U pravilu to su
vrlo male vrijednosti. Stoga vlastito kretanje zvijezda iskazujemo u intervalu od 100 god-
ina. Odredivanje vlastitog kretanja izvodi se usporedbom visegodisnjih preciznih mjerenja
polozaja zvijezda.
39
Literatura
[1] Z. Hanzek, Sferna trigonometrija, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1971.
[2] Pavkovic-Veljan, Elementarna matematika 2, Skolska knjiga , Zagreb, 1995.
[3] D. Rosa, Opca astronomija, prvi dio, Zvjezdarnica hrvatskog prirodoslovnog
drustva, Zagreb, 1993.
[4] V. Vujnovic, Astronomija 1; Osnove astronomije i planetski sustavi, Skolska knjiga,
Zagreb, 1994.
[5] V. Vujnovic, Astronomija 2; Metode astrofizike, Sunce, zvijezde i galaksije, Skolska
knjiga , Zagreb, 1994.
[6] Geodetski fakultet u Zagrebu, pripremio J. Beban-Brkic, za predmet: Matematika
1. URL: http://www.geof.unizg.hr/ jbeban/M1/13.pdf (studeni 2011)
[7] Geodetski fakultet u Zagrebu, pripremio D. Spoljaric, za predmet: Geodetska as-
tronomija. URL: http://www.geof.unizg.hr/ dspoljar/vremenske20skale.pdf (listopad
2011)
[8] Pomorski fakultet u Splitu, pripremio Z. Lusic, za predmet: Terestricka i astronom-
ska navigacija. URL: http://www.pfst.hr/?a=materijali ( listopad 2011)
[9] Zvjezdarnica Zagreb. URL: http://eskola.zvjezdarnica.hr/ (listopad 2011)
40
Sazetak
U uvodnom dijelu objasnili smo osnovne pojmove sferne geometrije kao i teoreme koji su
nam potrebni za kasnije razumijevanje sfernih astronomskih koordinatnih sustava te smo
naveli osnovne astronomske pojmove koji se koriste u nastavku rada.
U ovom radu usredotocili smo se na primjenu sferne geometrije na astronomiju te odredivanje
koordinata nebeskih tijela u tri glavna sferna koordinatna sustava: horizontskom, ekva-
torskom i ekliptickom. Pritom se koriste osnovne relacije koje vrijede za sferni trokut.
Pokazali smo, teorijski i na primjerima, da se dobivene nebeske koordinate u bilo ko-
jem sustavu mogu transformirati u neki drugi zeljeni astronomski sustav. Same koordi-
nate nebeskih tijela su promjenjive prirode ovisno o astronomskim pojavama: precesije,
nutacije, refrakcije, aberacije, paralakse, kao i zbog vlastitog kretanja zvijezda. Navedene
pojave neznatno utjecu na promjenu koordinata, ali gledano u duzim vremenskim peri-
odima od nekoliko desetljeca nisu zanemarive.
Nadalje, objasnjavamo vaznost mjerenja vremena te opisujemo razlicite pristupe, kao i
vezu izmedu zvjezdanog i Suncevog vremena.
Kljucne rijeci: sferna geometrija, nebeska sfera, sferni astronomski koordinatni sustavi,
mjerenje vremena
41
Summary
In the introductory section, we explain the basic concepts of spherical geometry and the
theorems that we need for later understanding of spherical astronomical coordinate sys-
tems, and we stated the basic astronomical terms used in the sequel.
In this paper we focus on the application of spherical geometry to astronomy and to
determine the coordinates of celestial bodies in the three major coordinate systems: hori-
zon, equatorial and ecliptic. It utilizes the basic relations which are valid for spherical
triangles.
We have shown, theoretically and on examples, that obtained celestial coordinates in any
system can be transformed into any other desired astronomical system. The coordinates
of celestial bodies are changing their nature based on astronomical phenomena of the pro-
cession, nutation, refraction, aberration, parallax as well as the motions of stars. These
appear only slightly affected by the change of coordinates, but speaking for extended
periods period of several decades are not negligible.
Furthermore, we explained the importance of timing, and describes the different ap-
proaches, as well as a link between stellar and solar time.
Keywords: spherical geometry, celestial sphere, spherical astronomical coordinate sys-
tems, timing
42
Zivotopis
Rodena sam 15. prosinca 1984. godine u Osijeku. Osnovnu skolu Antuna Mihanovica u
Osijeku zavrsila sam 1999. godine, a 3. gimnaziju u Osijeku 2003. godine. S polozenim
prijemnim ispitom upisala sam Odjel za matematiku Sveucilista Josipa Jurja Strossmayera
u Osijeku. Preddiplomski studij matematike, upisan 2003. godine, uspjesno sam zavrsila
2007. godine. Tada sam upisala diplomski studij matematike, smjer financijska i poslovna
matematika, takoder na Sveucilistu Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku.
43
