JUVENIL DE MATEM£¾ de OJM/OJM 2013...¢  2014-05-19¢  jos£â€° heber nieto said, rafael s£¾nchez lamoneda,

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  • JOSÉ HEBER NIETO SAID, RAFAEL SÁNCHEZ LAMONEDA, ESTEFANÍA ORDAZ, SOPHIA TAYLOR Y LAURA VIELMA

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    OLIMPIADA JUVENIL DE

    MATEMÁTICA

    2013 Problemas y Soluciones

  • José Heber Nieto Said. Venezolano de origen uruguayo, es egresado de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Buenos Aires, M.Sc. en Matemática y Dr. H.C. por la Universidad del Zulia (LUZ). Es profesor titular emérito de LUZ, donde fue Director del Departamento de Matemática y Computación, profesor de casi todas las materias dictadas por ese Departamento, proyectista de la Licenciatura en Computación y editor de revistas científicas. Ha escrito varios libros y artículos sobre diversos aspectos de la matemática. Es miembro de varias asociaciones académicas y profesionales (AMV, AVCM, MAA, AMS y CMS). En las olimpiadas matemáticas venezolanas ha participado desde hace más de quince años como entrenador, jefe o tutor de delegaciones, jurado y apoyo académico.

    Rafael Sánchez Lamoneda. Venezolano. Profesor Titular de la Escuela de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UCV. Egresado del Instituto Pedagógico de Caracas, M.Sc. en Matemáticas de la Universidad Simón Bolívar y PhD en Matemáticas de Brandeis University, Massachusetts, USA. Ha escrito varios artículos sobre Algebra en revistas internacionales. Fue Jefe del Departamento de Matemáticas del Ivic y miembro de la Comisión de postgrado de ese Instituto y de la Escuela de Matemáticas de la UCV. Premio Erdös 2010, otorgado por la World Federation for National Mathematical Competitions. Premio al mejor trabajo en el área de Matemáticas otorgado por el Conicit en el año 1993. Ha trabajado en las Olimpiadas Matemáticas en Venezuela desde 1978, ha sido jefe o tutor de delegaciones del país en Olimpiadas de Matemáticas Internacionales desde 1981. Asesor de la Organización de Estados Ibero-americanos para la Educación la Ciencia y la Cultura, OEI, en el área de Matemáticas y Olimpiadas Matemáticas. Asesor en el área de Matemáticas de la Academia Venezolana de Ciencias Físicas, Matemáticas y Naturales. Pertenece a la directiva de la Asociación Matemática Venezolana desde hace más de diez años. En la actualidad es el Presidente de la Asociación Venezolana de Competencias Matemáticas, ACM.

    Laura Vielma Herrero. Profesor de Matemáticas y de Inglés con menciones Magna Cum Laude de la UPEL-IPC, Caracas, Venezuela. Magíster en Ingeniería Industrial en el área de Investigación de Operaciones y Estadística de la Universidad de Los Andes, Bogotá, Colombia. Trabajó como asistente graduado y profesor en la Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia. Profesor de la UPEL-IPC. Coordinador de proyectos y gerente de sector y territorio de una consultora internacional cuyas soluciones se enmarcan en el uso de modelos matemáticos para soportar la toma de decisiones en procesos industriales. Actualmente realiza estudios del Doctorado de Matemáticas de la Universidad Simón Bolívar Profesor y Jefe de Departamento de Matemáticas en la Academia Washington. Colabora activamente desde el año 2001 con el Programa de Olimpiadas Matemáticas de la Asociación Venezolana de Competencias Matemáticas, ACM. Ha desempeñado el rol de entrenador, tutor y jefe de delegaciones venezolanas en competencias internacionales y se encarga de la realización del Calendario Matemático que publica la ACM.

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  • OLIMPIADA JUVENIL DE

    MATEMÁTICA (OJM, OMCC, OIM, IMO)

    2013 Problemas y Soluciones

    JOSÉ HEBER NIETO SAID RAFAEL SÁNCHEZ LAMONEDA

    ESTEFANÍA ORDAZ SOPHIA TAYLOR

    Y LAURA VIELMA HERRERO

  • OLIMPIADA DE MATEMÁTICA 2012

    COLECCIÓN ESTUDIOS

    ©  José H. Nieto Said, Rafael Sánchez Lamoneda, Estefanía Ordaz, Sophia Taylor y Laura Vielma

    ©  Academia de Ciencias Físicas, Matemáticas y Naturales

    ©  Asociación Matemática Venezolana

    Hecho el Depósito de Ley Deposito Legal: lfi65920145101012 ISBN: 978-980-6195-34-9

    Diseño General: Antonio Machado-Allison

    Diseño Carátula: Claudia Nieto y Antonio Machado-Allison

    Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida por ningún medio, sin la aprobación previa de los autores.

  • Olimpiadas Matemáticas 2013

    (OJM, OM, OMCC, OIM, IMO)

    Problemas y Soluciones

    José Heber Nieto Said

    Rafael Sánchez Lamoneda

    Estefanía Ordaz

    Sophia Taylor

    Laura Vielma Herrero

  • Índice general

    Introducción 1

    1. Prueba Canguro 3 1.1. Prueba de Primer Año y Segundo Año . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.1.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Prueba de Tercer Año . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.2.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3. Prueba de Cuarto Año y Quinto Año . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.3.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2. Prueba Regional 27 2.1. Prueba de Primer Año . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.1.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. Prueba de Segundo Año . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.2.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. Prueba de Tercer Año . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.3.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4. Prueba de Cuarto Año . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.4.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5. Prueba de Quinto Año . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.5.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3. Prueba Final 34 3.1. Prueba de Primer Año . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    3.1.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Prueba de Segundo Año . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    3.2.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3. Prueba de Tercer Año . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    3.3.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4. Prueba de Cuarto Año . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3.4.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

  • 3.5. Prueba de Quinto Año . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    4. Olimpiada de Mayo 41 4.1. Problemas del Primer Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2. Soluciones del Primer Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3. Problemas del Segundo Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.4. Soluciones del Segundo Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    5. Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe 48 5.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    6. Olimpiada Iberoamericana de Matemática 53 6.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    7. Olimpiada Internacional de Matemática 59 7.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    Glosario 70

    Premiación de las Olimpiadas Matemáticas del 2013 73

  • Introducción

    L as Olimpiadas Matemáticas son competencias dirigidas principalmente a jó- venes de escuela elemental y secundaria. Actualmente esta actividad se ha

    extendido por todo el mundo debido a su gran efectividad en la popularización de las matemáticas y en la detección de jóvenes con talento para el estudio de esta ciencia.

    El presente libro reúne todos los problemas propuestos en la Olimpiada Juvenil de Matemáticas (OJM) 2013, así como aquellos de los eventos internacionales en los cuales participamos desde hace varios años. Estos son la 54a Olimpiada Inter- nacional de Matemáticas (IMO) celebrada en Santa Marta, Colombia, del 18 al 28 de Julio, la XV Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe (OMCC), celebrada en Managua, Nicaragua, del 22 al 30 de Junio y la XXVIII Olimpia- da Iberoamericana de Matemáticas (OIM), celebrada en Panamá, del 21 al 28 de septiembre. Las tres competencias son de carácter presencial. Cada una de ellas consta de dos exámenes, presentados en días consecutivos. Cada prueba tiene 3 problemas y los participantes disponen de cuatro horas y media para resolverlos. El valor de cada pregunta es de 7 puntos, para un máximo posible de 42 puntos en la competencia. Los ganadores reciben medallas de oro, plata o bronce y mención honorífica, según sea su