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Nome:_______________________ Ano: 3 Ano do E.M.

Escola: _________________________ Data:___/__/___

3 Ano do Ensino Mdio

Aula n 02

Assunto: JUROS E PORCENTAGENS

1) Porcentagem

Definio: uma frao que indica a participao de uma quantidade sobre um todo. Por facilidade de

clculo e conveno, utiliza-se uma frao com base no denominador igual a 100, da o nome

porcentagem. Trata-se ento de um modo de expressar uma PROPORO ou uma RELAO entre 2

valores a partir de uma FRAO cujo denominador comum 100.

Escrevemos porcentagem da seguinte forma:

Por exemplo: Uma loja de esportes possui 150 camisetas de times de futebol, sendo 30 do time

A, 45 do time B, 15 do time C e 60 do time D. Qual a porcentagem que cada time representa na

quantidade de camisetas?

Times Total de Camisetas Porcentagem

A 30 B 45

C 15

D 60

Total 150

Como podemos calcular porcentagens?

Podemos calcular utilizando a famosa Regra de Trs. A partir do exemplo anterior, podemos

calcular da seguinte forma:

150 camisetas no total ------------- 100%

30 camisetas Time A -------------- P

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Clculo percentual: Em linhas gerais e simplificadas, calcular o percentual sobre uma determinada

quantidade sempre equivalente a multiplicar esta quantidade pela frao equivalente em

porcentagem.

Exemplos:

Quanto 30 % de 190?

Quanto 25% de 320?

Descontos e Acrscimos: muito comum nos depararmos com lojas que cedam descontos em seus

produtos de 10%, 20% etc. Neste tpico aprenderemos a lidar com essas porcentagens de descontos.

Tambm abordaremos o aumento dos preos, por exemplo, para aprendermos a lidar com essa situao

igualmente.

Exemplo: Suponhamos que uma bolsa custe R$ 150,00, porm a loja esta oferecendo um desconto de

20%. Qual seria o valor desta bolsa com o devido desconto?

Para isso, precisamos extrair 20% do valor total da bolsa. Vamos fazer uma Regra de 3 para

descobrirmos esse valor:

Aps efetuada a conta, chegamos em x= R$ 30,00. Com isso, o preo Pr final da bolsa seria

Vamos tentar achar uma equao para calcular o valor final em uma nica conta a partir da equao

anterior. Sabemos que R$ 150,00 corresponde a 100% do valor e 30% corresponde a 20% do valor. Com

isso, podemos reescrever do seguinte modo:

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Colocando os R$ 150,00 em evidncia, temos:

Por recorrncia, podemos estabelecer que, para DESCONTOS, devemos subtrair a porcentagem do

desconto dos 100% total. Ou seja:

Para acrscimo, o raciocnio utilizado segue a mesma linha. Caso essa bolsa estivesse com um aumento

de 20%, ao invs de subtrairmos essa porcentagem devemos som-la porcentagem de 100%,

chegando numa equao do seguinte tipo:

No caso da bolsa ter um aumento de 20%, teramos que o novo preo seria igual a:

Vamos resolver um problema juntos?

1) Em uma loja, um comerciante segue a seguinte regra:

a. Para pagamentos em dinheiro, concede um desconto de 10%,

b. Para pagamentos no carto, concede um acrscimo de 5% para cobrir as suas taxas.

Considerando que um cliente realizou uma compra no valor de R$300,00:

a) Quanto pagar o cliente se optar por pagamento em dinheiro?

b) Quanto pagar o cliente se optar por pagamento no carto

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Exerccios de Sala

1) Um jogador de futebol, durante um campeonato, cobrou 75 faltas, sendo que 8% das cobranas

resultaram em gols. Quantos gols esse jogador marcou atravs das cobranas de faltas?

2) O preo de venda de um CD de R$ 28,00 e um comerciante decide reajust-lo em 15%. Diante da

insistncia de um comprador, o comerciante concede sobre o novo valor um desconto de 15%. No final,

podemos afirmar que:

a) O preo do CD voltou a ser de R$ 28,00.

b) O desconto deveria ser de 30% para que o preo voltasse ao valor de R$ 28,00.

c) O desconto deveria ser de 7,5% para que o preo voltasse ao valor de R$ 28,00.

d) O comerciante levou vantagem, pois o preo final foi maior que R$ 28,00.

e) O comprador levou vantagem, pois o preo final foi menos que R$ 28,00.

1) Matemtica Financeira Bsica

Conceitos Bsicos

Capital: O capital o valor inicial que o investimento possui devido a alguma operao financeira como

o investimento inicial em uma poupana, por exemplo. Geralmente, adota-se a simbologia C para

representar o capital nas equaes.

Juros: Os juros, J, representam a remunerao do Capital investido em alguma atividade financeira.. Os

juros so divididos em Juros Simples e Juros Compostos. Discutiremos suas diferenas em breve.

Montante: O montante, cujo smbolo mais comum M, corresponde ao valor final que o investidor

arrecada ao somar o capital inicial com os juros. Matematicamente, temos que M = C + J

Taxa de Juros: Representada pela letra I, essa taxa indica qual remunerao ser paga ao valor investido

para um determinado perodo, sendo normalmente representada na forma percentual. Usando

novamente o exemplo da poupana, a taxa de juros da poupana de, em mdia, 0,5% ao ms.

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2) Juros Simples

O regime de juros ser simples quando o percentual de juros for aplicado apenas sobre o capital. Sobre

os juros gerados a cada perodo no incidiro novos juros. Em termos de progresso, a cada perodo de

tempo indicado pela taxa de juros ser adicionada a porcentagem tambm indicada pela taxa de juros

sobre o capital.

Por exemplo: Supondo que foram investidos R$ 1000,00 e a taxa de juros corresponde a 5% ao ms.

Sabemos calcular 5% de R$ 1000,00? Claro!

Portanto, a cada ms que passar, haver um acrscimo sobre o valor inicial de R$50,00. Podemos,

ento, montar nossa progresso:

1 ms

(R$1000,00 ; R$ 1050,00 ; 1100,00 ; 1150,00 ; 1200...)

+ R$50,00

Podemos, a partir do contedo j visto, descobrir uma frmula para calcularmos os juros aps um

perodo de tempo longo? Vamos tentar!

Sabemos que os juros so calculados a partir da taxa de juros aplicada sobre o capital da seguinte forma:

No entanto, sabemos que a taxa de juros, I, relaciona-se com o tempo e teriamos a resposta para a

nossa conta em funo do tempo. Por isso, podemos multiplicar pela varivel tempo, T, para obtermos o

valor aps um certo tempo. Com isso, nossa equao fica:

CONSEGUIMOS!! Com essa equao, podemos calcular os juros acumulados aps um determinado

perodo de tempo.

Para descobrirmos o Montante, basta somarmos os Juros ao Capital da seguinte forma:

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Com o contedo visto at agora, podemos coloc-los em prtica nos exemplos a seguir:

Exemplo:

1) Temos uma dvida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples

e devemos pag-la em 2 meses. Quanto pagaremos de Juros?

Exerccios de Sala

1) Uma pessoa tomou um emprstimo de R$ 1.200,00 no sistema de capitalizao simples, quitando-o em

uma nica parcela, aps 4 meses, no valor de R$ 1.260,00. A que taxa anual de correo este

emprstimo foi concedido?

a) 5% a.a

b) 29% a.a

c) 12% a.a

d) 15% a.a

e) 18% a.a

2) Uma quantia de R$ 8.000,00 aplicada durante um ano e meio, a uma taxa de juros simples de 2,5% a.m,

render no final da aplicao um montante de:

a) R$ 3.600,00

b) R$ 10.400,00

c) R$ 12.900,00

d) R$ 10.700,00

e) R$ 11.600,00

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3) Juros Compostos

O regime de juros compostos o mais usado no dia-a-dia e no sistema financeiro. Os juros gerados a

cada perodo so incorporados ao capital para o clculo dos juros do perodo seguinte, ou seja: a taxa de

juros aplicada sobre o montante, lembrando que .

Por exemplo: Temos um capital de R$ 5.000,00 e uma taxa de juros de 5% a.m (ao ms).

No primeiro ms teremos um juros (J) de:

Logo, nosso montante aps 1 ms :

No segundo ms de aplicao, a taxa de juros ser aplicada sobre o novo montante, de R$ 5.250,00,

calculado anteriormente, sendo esse valor o nosso novo capital. Assim sendo, temos que no segundo

ms os juros sero de:

Com isso, temos que o montante do segundo ms igual a:

Com isso, podemos obter a seguinte progresso:

X (1,05)

(R$ 5.000,00 ; R$ 5.250,00 ; R$ 5.512,50 ; ...)

X 1,05 X 1,05

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A frmula matemtica que nos auxilia no calculo do novo montante aps um determinado tempo t a

seguinte:

, sendo C o capital inicial , I a taxa de juros e t o tempo corrido.

Observao: Devemos prestar ateno s unidades utilizadas, pois elas devem ser sempre

correspondentes. Caso a taxa de juros seja ao ms, o tempo dever ser em meses, por exemplo.

Para sabermos quanto de juros foi agregado ao valor inicial, devemos realizar a seguinte operao:

, sendo M o montante calculado e C o capital investido inicialmente.

Tendo em vista que j discutimos os conceitos fundamentais, podemos aplic-los abaixo.

Exemplo

1) Calcule o montante de um capital de R$ 6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano,

taxa de 3,5% ao ms.

Dado:

Exerccios de Sala

1) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juros compostos de 1,7% a.m (ao ms), quanto

receberei de volta aps um ano de aplicao? Qual o juro obtido nesse perodo?

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Exerccios de casa

1) Dadas as expresses, assinale a alternativa que corresponde soluo de cada uma delas

I) 20% de 500 II) 30% de 20% de 500 III) Um desconto de 25% sobre R$80,00 IV) Um acrscimo de 15% sobre R$80,00 V) (30%)

VI)

a) 120; 30; R$60,00; R$90,00; 15%;100% b) 150; 45; R$50,00; R$92,00; 12%;14% c) 100; 30; R$60,00; R$92,00; 8%;14% d) 100; 30; R$60,00; R$92,00; 9%;140% e) 100; 60; R$50,00; R$92,00; 10%;140%

2) O grfico ao lado representa a taxa

percentual de desemprego nas regies

metropolitanas no ms de maro/2010.

Supondo que o total de pessoas pesquisadas na regio metropolitana de Porto Alegre equivale a 250.000,o nmero de desempregados em maro de 2010,nessa regio, foi de:

a) 24.500 b) 25.000 c) 220.500 d) 223.000 e) 227.500

3) Um laboratrio realiza exames em que possvel observar a taxa de glicose de uma pessoa. Os

resultados so analisados de acordo com o quadro a seguir.

Um paciente fez um exame de glicose nesse laboratrio e comprovou que estava com hiperglicemia. Sua taxa de glicose era de 300 mg/dL. Seu mdico prescreveu um tratamento em duas etapas. Na primeira etapa ele conseguiu reduzir sua taxa 30% e na segunda etapa em 10%.

Ao calcular sua taxa de glicose aps as duas redues, o paciente verificou que estava na categoria de:

a) Hipoglicemia b) Normal c) Pr-diabetes d) Diabetes melito e) Hiperglicemia

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4) No mundial de 2007, o americano Bernard Lagat, usando pela primeira vez uma sapatilha 34% mais leve

do que a mdia, conquistou o ouro na corrida de 1.500 metros com um tempo de 3,58 minutos. No ano

anterior, em 2006, ele havia ganhado medalha de ouro com um tempo de 3,65 minutos nos mesmos

1.500 metros.

a) 1,05% b) 2,00% c) 4,11% d) 4,19% e) 7,00%

Sendo assim, a velocidade mdia do atleta aumentou em aproximadamente:

5) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trar maior retorno financeiro em uma

aplicao de R$500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos:

poupana e CDB (certificado de depsito bancrio). As informaes obtidas esto resumidas no quadro:

Para o jovem investidor, ao final de um ms, a aplicao mais vantajosa :

a) a poupana, pois totalizar um montante de R$502,80

b) a poupana, pois totalizar um montante de R$500,56

c) o CDB, pois totalizar um montante de R$504,38 d) o CDB, pois totalizar um montante de R$504,21 e) o CDB, pois totalizar um montante de R$500,87

6) Qual o montante que uma pessoa pode regastar, depois de ter aplicado um capital de R$ 15.000,00, por

um perodo de um ano, se a taxa de juros simples foi de 1,5% ao ms?

a. R$ 2.700,00

b. R$ 15.700,00

c. R$ 17.700,00

d. R$ 17.000,00

e. R$ 16.700,00

7) Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado taxa de 2,0% ao ms num regime de juros compostos. Aps

um perodo de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicao sero:

Dado: (1,02)=1,0404

a) R$98,00

b) R$101,00

c) R$110,00

d) R$114,00

e) R$121,00

1.d 2.a 3. d 4.b 5. d 6. c 7. b

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Raciocnio Lgico Matemtico

Assunto: Fraes e suas operaes

Definio de frao: Uma frao envolve a ideia de dividir algo em partes. Dentre essas partes,

consideramos uma ou algumas partes, conforme o interesse:

Dada uma frao qualquer

; dito o numerador (a parte) e dito o denominador (o todo)

Ex.: Roberto comeu

de um chocolate. Isso significa que, se dividssemos o chocolate em 4 partes iguais,

Roberto teria comido trs partes dela.

Fraes equivalentes: So fraes que, embora escritas aparentemente diferentes, equivalem a uma

mesma parte do todo.

Ex.:

equivalente a

. Utilizando o mesmo exemplo anterior do chocolate de Roberto:

Simplificao de fraes: Uma frao equivalente pode ser reduzida dividindo-se o numerador e o

denominador por um mesmo fator comum. Quando essa diviso no for mais possvel, temos uma

frao dita irredutvel.

Ex.:Como visto

equivalente a

, conclumos isso dividindo o numerador e o denominador da frao

por 2 e obtendo ento a frao irredutvel

.

Operaes com fraes: Como dito, fraes so relaes da parte (numerador) com o todo

(denominador). Dessa forma, podemos efetuar as 4 operaes bsicas seguindo algumas regras:

Soma e subtrao: Multiplicao e diviso:

1) As fraes possuem o mesmo denominador

Neste caso, conserva-se o denominador e efetua-se a operao no numerador.

2) As fraes possuem denominadores diferentes

Neste caso, antes de efetuar a operao no numerador, devemos expressar as fraes em um denominador comum (MMC).

1) Na multiplicao

Multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador.

2) Na diviso

Devemos multiplicar a primeira frao pelo inverso da segunda.

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Exerccios de Casa

1) Calcule, detalhando as etapas de clculos e tornando as fraes irredutveis (quando possveis),

as seguintes operaes:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2) Calcule, detalhando cada uma das etapas de clculo, as seguintes expresses:

a)

b)

c)

d)

3) O salrio de Joo Carlos de R$1.800,00 por ms. Gasta

com aluguel,

com

alimentao da famlia e

com despesas diversas. O que sobra de seu salrio,

ele aplica na poupana. Qual o valor do depsito mensal que Joo Carlos realiza?

a) R$200,00 b) R$210,00 c) R$220,00 d) R$230,00 e) R$240,00

4) No Brasil, os trabalhadores recebem dois salrios mnimos em dezembro: o salrio normal e o 13 salrio. Se a pessoa trabalhou os 12 meses do ano, os dois salrios sero iguais. Se a pessoa trabalhou uma frao do ano, o 13 salrio corresponder a essa frao do salrio normal. Se o salrio normal de uma pessoa R$1.296,00 e ela trabalhou 7 meses nesse ano, quanto ela vai receber de 13 salrio?

a) R$722,00 b) R$741,00 c) R$756,00 d) R$775,00 e) R$796,00

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