REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 38, No. 1, 2006

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JUGUETE DE BALANCEO CAÓTICO

D.F. Jaramillo C.1, D.L. González C.2 1Licenciatura en Física, Universidad DistritalFrancisco José de Caldas

2 Departamento de física, Universidad de los Andes Bogotá, Colombia

(Recibido 15 de Sep.2005; Aceptado 04 de Enr.2006; Publicado 28 de Abr. 2006)

RESUMEN Se estudia el comportamiento dinámico de un juguete de balanceo que consiste en dos esferas iguales soportadas por dos brazos que forman un ángulo α con un eje central, el cual está pivotado en un punto fijo. A partir de la solución numérica de las ecuaciones de movimiento provenientes del lagrangiano del sistema, se estudian los diferentes comportamientos, se encuentran las trayec-torias y secciones de Poincaré. En algunos casos, las trayectorias están confinadas en ciertas regio-nes del espacio de fase dependiendo de las condiciones iniciales. La transición entre comporta-miento regular y caótico se ve reflejada en la destrucción de las regiones regulares de las secciones de Poincaré.

Palabras claves: juguete de balanceo, Cáos.

ABSTRACT Herein, we study the dynamic behavior of a balanced toy, consisting of two equal spheres suppor-ted by two arms that form an α angle with a central axis, which is pivoted in a fixed point. From the numerical solution of the equations of motion arising of the lagrangian of the system, the diffe-rent behaviors were studied; we found trajectories and Poincaré sections. In some cases, the tra-jectories are confined in certain regions of the phase space depending on the initial conditions. The transition between regular and chaotic behavior is reflected in the destruction of the regular regions of the Poincaré sections.

Keywords: balanced toy, chaotic behavior. 1. INTRODUCCIÓN

El juguete de balanceo consiste en dos esferas de masa m soportadas por dos brazos y un eje central pivotado en el punto fijo O. Se considera que tanto el eje central como los brazos tienen masas despreciables

Figura No.1. Juguete caótico.

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El lagrangiano del juguete está dado por: ( ) θωωω CosnmagIIIL zzyyyxxx −−++= 122

'''2

'''2

'' En donde Ix’x’, Iy’y’ , Iz’z’ y ω x’, ω y’ , ωz’ son los momentos de inercia y las velocidades angulares respectivamente con respecto a los ejes primados [1]. Además a n=b Cosα, con a y b las logitu-des del eje central y los brazos respectivamente, α es el ángulo que forman cada uno de los brazos con el eje central; notemos que n es una medida del ángulo α, así por ejemplo n=b/a corresponde a Cosα=1. Para valores suficientemente pequeños de n el juguete pierde estabilidad y la posición de equilibrio del punto A pasa de θ=0 a θ=π. En este trabajo nos limitamos a estu-diar el sistema dentro de su región de estabilidad. Las ecuaciones de movimiento se obtienen de la forma usual a través del lagrangiano. 2. PÉNDULO ESFÉRICO Α=0 En el caso α=0 el juguete se reduce al péndulo esférico, en este caso el lagrangiano se puede escribir como:

( ) ( )( ) θ

θθ φ

22

22.2

42

Senbam

PCosbamagbamL

−+−−−=

Los dos términos de la última ecuación pueden interpretarse como un potencial efecti-vo el cual diverge en θ=nπ si 0≠φP , por lo tanto bajo esta condición las trayectorias están aco-tadas según 0<θ<π. Las trayectorias del péndulo se muestran a continuación así como el com-portamiento de θ. De ahora en adelante se toma a=1, b=2, g=1 y m=1.

-1,0-0,5

0,00,5

1,0 -1,0-0,5

0,00,5

1,0

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

Z

YX

0 4 8 12 16 20

0 4 8 12 16 20

-1,8

-1,2

-0,6

0,0

0,6

1,2

1,8

-1,8

-1,2

-0,6

0,0

0,6

1,2

1,8

θ(rad)

t(s)

Figura No.2. Trayectorias (invertida) del péndulo esférico con 0=φP línea gruesa y 0≠φP línea delgada

(Izquierda) y ángulo θ en función del tiempo, 0=φP línea punteada y 0≠φP línea continua (Derecha).

Es claro que si 0=φP el péndulo nunca pasa por θ=0 ni por θ=π. De tal forma que en este caso solo hay libraciones y la trayectoria se encuentra acotada. 3. JUGUETE CAÓTICO Α≠0

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En este caso el comportamiento del juguete es semejante al del péndulo para n cercano a dos, sin embargo a medida que nos alejamos de este valor el comportamiento se torna irregular co-mo se manifiesta en las siguientes trayectorias.

-1,0-0,5

0,00,5

1,0 -1,0

-0,5

0,0

0,51,0-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

Z

YX

n=1.999

5000 5005 5010 5015 5020

5000 5005 5010 5015 5020

0,5

1,0

1,5

2,0

0,5

1,0

1,5

2,0

θ(ra

d)

t(s)

n=1.999

-1,0-0,5

0,00,5

1,0 -1,0

-0,5

0,0

0,51,0

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

n=1.99

Z

YX

5000 5005 5010 5015 5020

5000 5005 5010 5015 5020

0,5

1,0

1,5

2,0

0,5

1,0

1,5

2,0

θ(

rad)

t(s)

n=1.99

-1,0-0,5

0,00,5

1,0 -1,0

-0,5

0,0

0,51,0

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

n=1.9

Z

YX

5000 5010 5020 5030 5040

5000 5010 5020 5030 5040

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

θ(ra

d/s)

t(s)

n=1.9

Figura No.3. Trayectorias del punto A (Izquierda) y θ en función del tiempo (derecha).

Para n=1.99 se observa como empieza a emerger el comportamiento irregular aunque θ vs t se comporta de una forma similar al caso de n=1.999, sin embargo en n=1.9 el comportamiento irregular se pone totalmente de manifiesto. Una característica que conserva el juguete con res-pecto al péndulo en la asíntota en θ=nπ, aunque cuanto más caótico es el comportamiento más se acerca el juguete a estos valores asintóticos. Es importante señalar que el juguete se balancea

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sin perder estabilidad de tal forma que el punto A alcanza incluso a estar por debajo del punto O.

0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0

0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

dθ/d

t(rad

/s)

θ(rad)

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

dθ/d

t(rad

/s)

θ(rad)

n=1.999

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

dθ/d

t(rad

/s)

θ(rad)

n=1.99

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

dθ

/dt(r

ad/s

)

θ(rad)

n=1.9

Figura No.4. Proyeciones de secciones de Poincaré para el péndulo esférico y para diferentes valores de n en el juguete caótico. En todos los casos se fijó la energía total del sistema a E=1 y se consideró la evolu-ción del sistema de t=1000 a t=10000.

Nuevamente para valores de n cercanos a dos, el juguete se comporta como un péndulo esféri-co, pero a medida que n se aleja de este valor el comportamiento del juguete se torna caótico; esto se refleja en la destrucción de regularidad de las gráficas anteriores, así como en el sobre-lapamiento de las trayectorias; en n=1,9 las trayectorias regulares se han destruido totalmente. Los exponentes de Lyapunov dentro de la región estudiada son siempre positivos y cumplen con la condición λ1.9> λ1.99> λ1.999=0.001, por lo tanto el sistema es sensible a las condiciones iniciales. Otros comportamientos de interés deben ser estudiados en futuros artículos como los que se encuentran justo antes de que el juguete pierda estabilidad. REFERENCIAS [1] H. Goldstein, Classical Mechanics, 3 ed, Addison Wesley [2] S. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos. Perseus Publishing