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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN MATURÍN TUTORIAL TEORICO PRACTICO PARA LA MATERIA VIRTUAL DE MATEMATICA IV PARA EL INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO, NUCLEO MATURIN ESTADO MONAGAS Autor: Jesús Guerrero Tutor: Ing. José Cova Maturín, Agosto de 2014

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

EXTENSIÓN MATURÍN

TUTORIAL TEORICO PRACTICO PARA LA MATERIA VIRTUAL DE

MATEMATICA IV PARA EL INSTITUTO UNIVERSITARIO

POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO, NUCLEO MATURIN ESTADO

MONAGAS

Autor: Jesús Guerrero

Tutor: Ing. José Cova

Maturín, Agosto de 2014

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INDICE GENERAL

INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………. 1

CAPÍTULO I………………………………………………………………………. 3

EL PROBLEMA…………………………………………………………….......... 3

Contextualización del Problema…………………………………………....... 3

Objetivos de la Investigación……………………………………………........ 6

Objetivo General…………………………………………………………....... 6

Objetivo Específicos….………………………...…………………………….. 7

Justificación……………………………………...…………………………….. 7

CAPÍTULO II……………………………………...…………………………….. 9

DESARROLLO……………………………………...…………………………… 9

Antecedentes de la Investigación…………………………………….............. 9

Funciones de Variable Compleja……………………………………............... 10

De la recta real al plano complejo.. …………………………………….......... 10

Continuidad en el plano complejo……………………………………............. 15

Definición de transformación lineal.……………………………………......... 16

Formas Cartesiana y Polar……………………………………......................... 17

Formula de Euler y Teorema de Moivre………………………………………. 21

Demostración De La Fórmula De Euler……………………………………….. 21

Teorema de Moivre…………………………………….................................... 22

Regiones del plano complejo. Funciones de variables compleja. Límite y

continuidad. Derivación compleja. Regiones del plano complejo………….. 22

Funciones de variables complejas……………………………………............. 22

Límite y continuidad……………………………………................................. 23

Continuidad…………………………………….............................................. 25

Derivación compleja……………………………………................................. 26

Condiciones de Cauchy-Riemann……………………………………............. 27

Fórmula integral de Cauchy……………………………………...................... 28

Función armónica conjugada…………………………………….................... 29

El principio del máximo……………………………………............................ 30

Integral de línea……………………………………......................................... 31

Ecuación diferencial…………………………………….................................. 31

Verificación de la solución de una E.D……………………………………….. 32

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden…………………………. 32

Ecuación lineal…………………………………….......................................... 34

Ecuación de Riccati…………………………………….................................... 35

Ecuación de Lagrange……………………………………................................ 35

Ecuación de Clairaut……………………………………………………………. 36

Soluciones Singular………………………………………………………......... 36

Separación de variables………………………………………………………… 37

Función homogénea. Ecuación diferencial homogénea. Resolución de

ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas. Función homogénea…. 37

Ecuación diferencial homogénea…………………………………………….. 37

Resolución de Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas………….. 38

Ecuaciones diferenciales exactas……………………………………………… 41

Método de resolución………………………………………………………….. 42

Ecuaciones diferenciales de primer orden……………………………………. 43

Ecuación diferencial de Bernoulli……………………………………………… 44

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Efecto Bernoulli……………………………………………………………….. 46

Ecuación de Cauchy-Riemam……………………………………………......... 47

Función Gamma-propiedades……………………………………………......... 49

Función de Bessel………………………………………………………………. 50

Integrales de Bessel……………………………………………………………… 50

Definición de la Transformada………………………………………………… 50

Propiedades de la Transformada………………………………………………. 51

Teorema de la Convolución……………………………………………………. 54

Transformadas de laplace por definición……………………………………... 60

Transformada Inversa de Laplace. Propiedades de la transformada inversa.

Transformada Inversa de Laplace……………………………………………… 62

Propiedades de La Transformada Inversa de Laplace………………………... 63

Teorema de la Convolución……………………………………………………. 64

Serie de Fourier…………………………………………………………………. 66

Ortogonalidad…………………………………………………………………… 67

CONCLUSION……………………………………………………………………… 70

REFERENCIAS……………………………………………………………………. 71

Page 4: Jesus recu

INTRODUCCIÓN

Desde tiempos remotos, el hombre se ha visto en la necesidad de organizarse y

crear sistemas de información que le facilite el trabajo a diario, las computadoras

fueron diseñadas o ideadas como una herramienta mediante la cual se pueden realizar

operaciones de cálculo complicadas en un lapso de mínimo tiempo. A medida que

pasa el tiempo, se siguen generando nuevas formas y herramientas tecnológicas que

ayudan al hombre a ser dependientes de éstos sistemas de información.

Es de suma importancia contar con un tutorial que le permita al estudiantado en

general buscar información de manera rápida y concisa, en el cual se pueda

identificar cualquier información que se necesite.

La investigación consta de dos (2) capítulos:

En el capítulo I, se desarrolla la contextualización del problema, donde se

describe la problemática existente, además se trazan los objetivos generales y

específicos para lograr la meta propuesta, la justificación del estudio para obtener las

soluciones deseadas por la empresa. Capítulo II, se describe el desarrollo de este

estudio.

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2

CAPÍTULO I

EL PROBLEMA

Contextualización del Problema

Mundialmente, cada día es mayor el número de universidades, liceos y colegios

que han descubierto la necesidad e importancia que tiene en los tutoriales

automatizados dependiendo de las necesidades de cada uno. Es por esto que en la

actualidad la mayoría de éstos se encuentran en la búsqueda de procedimientos que le

ayuden a mejorar sus actividades, para así obtener mayor eficacia y eficiencia, de tal

modo que puedan alcanzar las metas, objetivos y resolver las complicadas

operaciones actuales.

En éste ámbito, el buen manejo de la información es fundamental para cualquier

organización, para poder mantenerse competitivamente y estar en progreso constante

en cada una de sus áreas. Es por esto que, antes de la aparición de los sistemas, las

personas se preguntaban si se tendría la libertad de razonar y pensar la manera de

reorganizar la información para que sus actividades fueran rápidas y eficientes. Para

solventar esto, en la actualidad existe el internet, dedicada a manejar la información

de tal manera que las personas tengan un mayor rendimiento y organización.

De acuerdo a lo anterior, para lograr éste rendimiento, se deben desarrollar entre

otros aspectos importantes los planes que deben realizar en alcanzar las metas

establecidas de manera eficaz y eficiente, por lo que se considera la aplicación de la

tecnología al obtener una provechosa administración o gestión del tiempo

suministrado en el internet y ésto se alcanza a través, de una organización, lectura y

planificación.

Con base en esto, las universidades, se ha propuesto una mejor coordinación de

sus actividades en la cuales se decide lo que ha de hacerse, a través de la formulación

de objetivos estratégicos para así lograr las metas. Dentro de estos objetivos se tienen

planteados la actualización tecnológica a través de la aplicación de sistemas y equipos

Page 6: Jesus recu

3

Que ayuden al cumplimiento de dichas metas de forma eficiente. Para actualizar el

manejo de estas funciones de administración y control, se utilizan sistemas de

información, como soluciones tecnológicas, que se encargan de procesar, almacenar

datos para controlar las actividades y la información.

Estas soluciones tecnológicas y sistemas de información tienen como objetivo

principal minimizar el tiempo que el personal emplea para realizar cualquier

actividad, así como disminuir en gran parte los errores que pueden cometerse. Por lo

que para cada institución, es de vital importancia llevar un estricto control de las

actividades que se realizan, y poder verificar de manera constante los objetivos, para

sí observar si se están cumpliendo las metas propuestas.

En la Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño, donde también

toma ventaja de los adelantos científicos y tecnológicos, está inmersa en éstos nuevos

cambios, automatizando los procesos dentro de la institución, para así llevar un

control de los estudios que faciliten el rendimiento eficacia, eficiencia y la

productividad, desarrollando al máximo la capacidad de los estudiantes. Es por esto,

que las instituciones deben adaptarse a los cambios tecnológicos y estar a la

vanguardia con los programas y técnicas existentes en la actualidad, para así mejorar

el rendimiento y calidad.

Objetivos de la Investigación

Objetivo General

Desarrollar un tutorial teórico práctico para la materia virtual de matemática IV para

el Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño, núcleo Maturín estado

Monagas.

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4

Objetivo Específicos

1. Diseñar un tutorial teórico práctico para la materia virtual de matemática IV

para el Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño, núcleo Maturín

estado Monagas.

Justificación de la investigación

El enfoque que plantea sobre el sistema de gestión en ésta investigación, ofrece

la posibilidad de realizar evaluaciones para reordenar las actividades, al tiempo que se

documenta el proceso y se plantea la instrumentación de soluciones en aquellas áreas

que muestren una mayor debilidad. Por su parte, el aplicar el enfoque de gestión por

procesos permitirá estudiar a la institución como un sistema, teniendo presente la

relación existente entre cada uno de las áreas que lo conforman, incluyendo sus

procesos y funciones.

Toda las organizaciones y las instituciones en específico I.U.P. “Santiago

Mariño”, planifica en búsqueda de lograr sus objetivos y metas, buscan procesos para

optimizar su funcionamiento, por lo que el sistema es la mejor forma de llevar el

control, las automatizaciones son las herramientas idóneas para desarrollar un

programa que permita de una manera sistemática ahorrar tiempo y horas de estudio;

lo que impondrá un dinámico proceso de cambio con el nuevo sistema para el

crecimiento de la misma.

La propuesta del tutorial proporcionó un esquema general de procesos y

procedimientos que se empleará para garantizar que la organización realice todas las

tareas necesarias para alcanzar sus objetivos. Mediante la aplicación informática se

pretende minimizar los problemas como lo es la falta de automatización en los

procesos de estudios, para así facilitar los registros y tráfico de estudiantes al igual

que la obtención de los datos de relacionados con el estudio, todo esto utilizando el

tutorial que estará en capacidad de proporcionar necesaria.

De la misma manera lograrán los siguientes beneficios que se exponen a

continuación:

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5

a) Una definición ágil y flexible de la materia;

b) La unión de procesos y procedimientos;

c) Una mayor flexibilidad y agilidad para adaptación al cambio;

d) Una ruta de mejoramiento y eficiencia continua, al convertir actividades

ineficientes en eficientes, a través de uso de tecnologías enfocada en procesos;

e) Aplicación de la tecnología de información para la mejora de procesos.

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6

CAPÍTULO II

DESARROLLO

Variables Compleja, Transformación lineal, Forma cartesianas y polar.

Funciones de Variable Compleja

Es una serie de operaciones que se hacen a una variable y de las que se

obtiene un valor. Cuando la variable es un número complejo, a la función se llama

función de variable compleja. Podemos imaginarnos la función como una máquina a

la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.

Ejemplo: Sea la función w = Az, en el que A es una constante compleja y z una

variable compleja. Expresando A y z en la forma exponencial:

A = a eia

z = r eib

Entonces w = ar ei(a + b)

Si dibujamos en un plano varios puntos (serían los puntos z) y en otro plano

los puntos w obtenidos al aplicar la función, veremos que la distancia de los puntos z

al origen de coordenadas ha sido aumentada o disminuido por el factor a y girados al

rededor del origen un ángulo a.

Sea la función w = z + A.

Expresando A y z en forma binaria:

A = a1 + ia2

z = z1 + iz2

Entonces w = (a1 + z1) + i(a2 + z2)

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7

Si dibujamos en un plano varios puntos (serían los puntos z) y en otro plano

los puntos w obtenidos al aplicar la función, veremos que los puntos z han sido

desplazados según el vector A.

Sea la función w = 1/z .

Cuando aplicamos esta función a la recta x = c obtenemos la circunferencia (u

- 1/2c)2 + v

2 = (1/2c)

2.

Cuando aplicamos esta función a la recta y = c obtenemos la circunferencia (v

- 1/2c)2 + u

2= (1/2c)

2. Si aplicamos la función w = 1/z a las circunferencias

anteriores obtendremos las rectas correspondientes.

De la recta real al plano complejo

La idea de función de variable (o variables) reales puede ser extendida

(continuada, le dicen también) al Plano complejo. La idea es la de siempre: si en una

determinada región del plano complejo R a un número complejo z le corresponde un

número (o varios números) complejos w = f(z), diremos que f(z) es una función de

variable compleja z. Obvio que f(z) puede ser biyectiva, en cuyo caso tendremos que

a z le estará asociado uno y solo un numero complejo w = f(z). Es claro también que

siempre se podrá expresar f(z) = u(x, y) + iv(x, y) con u(x, y) la parte real y v(x, y) la

parte imaginaria (1), Esta representación tiene una interpretación adicional. Como

representamos un numero complejo en el plano 0xy como z = x + iy, pero w = f(z)

también podrá ser representada como un punto en el plano 0uv.

Entonces, desde el punto de vista geométrico una función de variable

compleja podrá ser entendida como una ley de transformación entre pares de puntos

(x, y) del plano 0xy del argumento z y los puntos (u, v) del plano 0uv de valor w.

Continuidad en el plano complejo

Podemos también extender el concepto de continuidad de una función de

variable real a una función de variable compleja. Esto es: diremos que una función

compleja1 w = f(z) será continua en z0 si para un 1A partir de ahora y por razones de

simplicidad llamaremos a f(z) función compleja en vez de función de variable

compleja.

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8

ejemplo:

Vamos a estudiar la función sobre el circuito

adjunto con lo que tendremos:

Y la integral es nula por no haber ningún polo de f(z) en el circuito. Continuando

resulta

Y tenemos: en BC.- z = R+i.y , con O < y < a , dz = i.dy:

Y la última expresión tiende a cero cuando R tiende a infinito. Aná1ogamente resulta

para la última de las integrales, con lo que nos queda, para la tercera : en CD.- z = x +

i.a , x en el intervalo (R,-R) :

Y la última expresión tiende a cero cuando R tiende a infinito. Aná1ogamente resulta

para la última de las integrales, con lo que nos queda, para la tercera: en CD.- z = x +

i.a , x en el intervalo (R,-R) :

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De ese modo, finalmente:

Siendo la integral una que aparece en el estudio de la función Gamma de

Euler. Por otro lado , para la función de variable real que estamos estudiando,

tenemos :

Pero el primer integrando es una función par que nos permite continuar la igualdad en

la forma:

Con lo que finalmente resulta:

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10

Ejemplo:

Resolver las integrales de Fresnel:

Tomaremos como función a estudiar , y como circuito el representado en la

figura adjunta. Aplicando el teorema de los residuos, y considerando que no hay

ningún cero en el recinto, tenemos:

Para la segunda integral tenemos:

Y esto resulta de que en AB:

Nos queda calcular la última de las integrales, para la que tenemos:

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11

En consecuencia:

Donde nos aparece la integral de Euler, vista en otros problemas. Continuando nos

queda:

Ejercicios propuestos:

Se demuestra en teoría que si una función es analítica, la suma de todos sus residuos,

comprendido el del infinito, es cero. Aplicar lo dicho al cálculo de la integral:

Ejercicio:

Sea f(z) una función analítica en un dominio D, y sea C el contorno de dicho

dominio. Si z1,… , zk son polos exteriores, se demuestra que podemos escribir:

donde el símbolo indica que la integral se hace en sentido negativo. Teniendo en

cuenta lo anterior podemos escribir:

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12

Y tenemos:

Si z = es cero de primer orden, entonces: Res(f, ) = -Lím z.f(z) (cuando z )

Si z = es cero de orden >, entonces: Res (f, ) = 0

Si z = es polo de orden n, entonces: Res (f, ) = - Res [(1/z2).f(z) , 0]

Como aplicación a estos conceptos calcúlese la integral:

Definición de transformación lineal

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda

aplicación cuyo dominio y condominio sean espacios vectoriales y se cumplan las

siguientes condiciones:

Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación

lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv

ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝,

1. T (u+v)= Tu+Tv

2. T (∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.

Ejemplos propuestos:

1. Sea T: R2 → R

2 definida por T(x, y) = (x + y, y). Determina si T es una

transformación lineal.

2. Sea T: R2 → R

2 definida por T(x, y) = (-x, y). Esto es, T (1, 2) = (-1, 2).

Determina si T es una transformación lineal.

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3. La función f: R → R definida por f(x) = x2 no es una transformación lineal, pues,

(x + y)2 ≠ x

2 + y

2. En particular, 5 = 2 + 3 pero:

F(5) = 52 = 25 ≠ 13 = 2

2 + 3

2 = f(2) + f(3).

Ejercicios resueltos:

Es una transformación lineal.

Veamos primero que respeta la suma.

Sean cualesquiera en

T((x;y)+(x';y')) = T((x+x';y+y'))

= (y+y';x+x')

= (y;x)+(y';x')

= T((x;y))+T((x';y'))

Ahora la multiplicación por escalar.

Sea cualesquiera en y en

T(a(x;y)) = T((ax;ay))

= (ay;ax)

= a(y;x)

= aT((x;y))

con lo cual hemos demostrado que es una transformación lineal.

Demostrar que la siguiente función

Es una transformación lineal.

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14

Solución: Veamos primero que respeta la suma.

Sean cualesquiera en

T((x;y)+(x';y')) = T((x+x';y+y'))

= (2(x+x')+3(y+y');(x+x')-3(y+y'))

= (2x+2x'+3y+3y';x+x'-3y-3y')

= (2x+3y;x-3y')+(2x'+3y';x'-3y')

= T((x;y))+T((x';y'))

Ahora la multiplicación por escalar.

Sea cualesquiera en y en

T(a(x;y)) = T((ax;ay))

= (2ax+3ay;ax-3ay)

= (a(2x+3y);a(x-3y))

= a(2x+3y;x-3y)

= aT((x;y))

Con lo cual hemos demostrado que es una transformación lineal.

Formas Cartesiana y Polar

En coordenadas polar

El sistema de coordenadas polares es un sistema de

coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina

por un ángulo y una distancia.

Coordenadas polares

Con coordenadas polares señalas un punto diciendo la distancia y

el ángulo que se forma:

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15

Coordenadas cartesianas

Con coordenadas cartesianas señalas un punto diciendo la distancia de lado y

la distancia vertical:

Ejemplos:

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16

Conversión de coordenadas polares a cartesianas

x = r · cos α

y = r · sen α

Ejemplos

2120º

10º = (1, 0)

1180º = (−1, 0)

190º = (0, 1)

1270º = −(0, −1)

Conversión de coordenadas cartesianas a polares

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260º

2120º

2240º

2300º

(2, 0)

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18

20º

(−2, 0)

2180º

(0, 2)

290º

(0, −2)

Formula de Euler y Teorema de Moivre.

Fórmula de Eule

La fórmula o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece que:

Para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad

imaginaria y senx y cosx son funciones trigonométricas.

Ó bien:

Siendo Z la variable compleja formada por: Z=a+ix.

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19

Demostración De La Fórmula De Euler

Partiendo de las Series de Taylor (1), (2) y (3):

Si en (1) sustituimos x por z·i,

Si consideramos que i1 = i, i

2 = -1, i

3 = -i, i

4 = 1, etc.

Si agrupamos las potencias pares de z por un lado y las impares por otro, entonces:

Sustituyendo (2) y (3) tenemos:

Sustituyendo z por π (PI)

Por lo tanto, obtenemos la Identidad de Euler / Lindeman:

ei · π

+ 1 = 0

Teorema de Moivre

Fórmula para calcular las potencias zn de un número complejo z. El teorema de De

Moivre establece que si un número complejo z = r(cos x + i sin x), entonces zn =

rn(cos nx + i sin nx), en donde n puede ser enteros positivos, enteros negativos, y

exponentes fraccionarios.

La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:

Aplicando leyes de la exponenciación

Entonces, por la fórmula de Euler,

Regiones del plano complejo. Funciones de variables compleja. Límite y continuidad.

Derivación compleja.

Regiones del plano complejo

El plano complejo a veces recibe el nombre de plano de Argand a causa de su uso

endiagramas de Argand. El concepto de plano complejo permite

interpretar geométricamente los números complejos. La suma de números complejos

Page 23: Jesus recu

20

se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números

complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la

magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo

contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los término.

Funciones de variables complejas.

Una función es una serie de operaciones que se hacen a una variable y de las que se

obtiene un valor. Cuando la variable es un número complejo, a la función se llama

función de variable compleja. Podemos imaginarnos la función como una máquina a

la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.

Dada una función de variable compleja, w = f (z), no es posible representar, a la

manera clásica, la gráfica de esta función pues tanto los valores de la variable

independiente z como de la función son puntos en un plano. Para representar las

funciones de variable compleja se utilizan dos gráficas: en una se sitúan los puntos (z)

correspondientes a la variable independiente y en la otra los puntos (w) obtenidos con

la función.

Esta forma de representar la función se puede entender la función (f) como la

transformación que se produce al aplicar a los puntos de origen la función.

Ejemplos propuestos:

Calcular los ceros exteriores a = 1 , para F(z) = z8 - 4.z

5 + z

2 + 1

Encontrar los ceros de z7 - 5. z

3 + 12 en el anillo 1< < 2.

Estudiar la derivación de la función f (z) = x en el caso real y en el caso complejo.

Ejemplos resueltos:

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21

Estudiar si son derivables o en que dominio lo son, las siguientes funciones de

variable compleja:

Para el primer caso tenemos:

Con lo que resulta:

Se cumplen las condiciones de Cauchy – Riemman y las funciones ux, uy, vx,

vy son continuas para todos los valores x e y , por lo que la función estudiada es

holoforma para todo valor de z.

Para la segunda función tenemos:

En este caso se cumplen las condiciones de Cauchy – Riemman pero las

derivadas dejan de ser continuas en = 0 y, en consecuencia, f (z) es

derivable en todo el plano salvo el punto (0, 0). En el tercer caso podemos escribir:

En este último caso, las condiciones de Cauchy – Riemman únicamente se

cumplen si x = 0 ó y = 0, es decir, sobre dichas rectas. De todos modos, en ningún

punto de dichas rectas es derivable la función.

Ejemplo.

Determínense las regiones de convergencia de las siguientes series:

a) La expresión dada se puede transformar en una más sencilla escribiendo:

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22

Por el criterio de la raíz tenemos:

Y la región de convergencia será el interior del círculo

b) Para la segunda serie aplicamos el criterio logarítmico, que dice: Si existe el

límite de la expresión:

Y este es mayor que 1, entonces la serie an es convergente. Según eso tenemos:

Y a partir de ahí:

Con lo que la región de convergencia será el exterior del círculo

Límite y continuidad

Límite y continuidad. Derivación compleja.

El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el

cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que

el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende

a un número determinado o al infinito.

Ejemplo:

1 ----- Cuando x → 3, la cantidad 3x2-4x+2 se acerca a 17, y entonces

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23

lim

x→3 (3x

2-4x+2) = 27

Nota que esto es sencillamente el valor de la función evaluada a x = 3

2 ----- Por otro lado, la función

No está definida en x = 3. Sin embargo, en otros valores de x, se simplifica a

Y, cuando x → 3, esta cantidad se acerca a 6. Entonces,

x2 - 9

x - 3 → 6

cuando x → 3,

O

lim

x→3

x2 - 9

x - 3 = 6

Continuidad

Una función f es continua a si limx → a f(x) existe, y es igual a f(a).

La función f es continua en su dominio si es continua en cada punto de su dominio. El

enfoque algebraico a límites es basado en el hecho que todas las funciones de forma

cerrada son continuas en sus dominios.

Ejemplo

La función f(x) = 3x2-4x+2 es de forma cerrada, y entonces continua a cada punto de

su dominio (todos los números reales).

x2 - 9

x - 3

x2 - 9

x - 3 =

(x - 3)(x + 3)

x - 3 = x + 3,

Page 27: Jesus recu

24

La función

g(x) = 4x2+1

x - 3

Es también de forma cerrada, y entonces continua en su dominio (todas núeros reales

excepto 3).

Por otro lado, la función

h(x) =

-1 si -4 ≤ x < -

1

x si -1 ≤ x ≤ 1

x2-

1 si 1 < x ≤ 2

No está de forma cerrada y en realidad es discontinua a x = 1

Derivación compleja

La derivada compleja es un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación

lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de

una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la

recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más

elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más

se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente

relacionado es el diferencial de una función.

La derivada de una función compleja f(z)enz0 ∈ℂ

Es, si existe, el límite siguiente:

f'(z0) =limz→z0 f(z) -f(z0) .

z-z0

Ejemplos propuestos:

Hallad las funciones derivadas de las funciones

F (z) = e-jz,g(z) =sin(2z + 3i),h(z)

Buscad también las derivadas en el punto z0 = i de las funciones anteriores.

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25

Ecuacion de Cauchy-Riemann. Formula integral de Cauchy.Funciones armónicas

conjugada. Integral de linea.

Condiciones de Cauchy-Riemann

Las condiciones de Cauchy-Riemann son básicas en el Análisis Complejo, debido a

que su verificación constituye una condición necesaria para la derivabilidad de este

tipo de funciones.

Sea una función compleja f(z), con z = x + iy y f(z) se puede descomponer en suma de

dos funciones reales de dos variables u y v, de manera que f(z) = f(x,y) = f(x + iy)

= u(x,y) + iv(x,y). Si la función f(z)sea derivable en un punto z0 = x0 + iy0 entonces

deben verificarse las condiciones de Cauchy-Riemann:

ux(x0,y0) = vy(x0,y0)

vx(x0,y0) = − uy(x0,y0)

Además se cumple que el valor de la derivada en el punto, de existir, debe ser:

f'(z0) = ux'(x0,y0) + ivx'(x0,y0) = vy'(x0,y0) − iuy'(x0,y0)

Existen formas equivalentes de expresar las condiciones de Cauchy-Riemann:

fx + ify = 0

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son condición necesaria, pero no son condición

suficiente para demostrar la derivabilidad de una función en un punto. Sin embargo,

existen condiciones suficientes de la misma si la función, además de cumplir las

ecuaciones de Cauchy-Riemann, se puede descomponer en dos funciones u y v con

derivadas parciales primeras continuas en un entorno de z0 = (x0,y0).

Ejemplo resuelto:

Veamos un ejemplo donde derivable en todo número complejo y por lo tanto las

ecuaciones de Cauchy-Riemann se verificarán en cualquier z = x + iy. Consideramos

la función f(z) =z2. Ahora veamos esta función en coordenadas cartesianas.

F (x + yi) = (x + yi)2 = (x

2 − y

2) + i2xy

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26

Por lo tanto las parte real e imaginaria de la función son u(x,y) = x2 − y

2 y v(x,y) = 2xy

respectivamente. Derivado con respecto a x e y es inmediato que ux = 2x = vy y que

uy = − 2y = − vx. Por último verifiquemos la condición sobre las derivadas. La

derivada de f es claramente f'(z) = 2z (las reglas para derivar funciones complejas es

similar a las funciones reales) por lo tanto f'(x + iy) = 2(x + iy) =

2x + i2y = ux + ivx = vy − iuy

Fórmula integral de Cauchy

Cauchy fue pionero en el análisis matemático y la teoría de

grupos de permutaciones, contribuyendo de manera medular a su desarrollo. También

investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones

diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.

Enunciado 1

Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces

para cualquier punto contenido en el interior de D y para cualquier

camino C cerrado simple que contenga al punto se tiene

k = n + 1.kordenpolodevalorz = z0

Donde la integración está tomada en sentido antihorario.

Enunciado 2

Sea una función holomorfa (función analítica) sobre γ, γ un camino (una

curva diferenciable con continuidad a trozos) cerrado y

Page 30: Jesus recu

27

Siendo un punto, el índice del punto respecto a la curva (el número de

veces que la curva rodea al punto teniendo en cuenta el sentido con que lo hace).

Función armónica conjugada

Función armónica, es una función dos veces continuamente

derivable f: D → R (donde D es un subconjunto abierto de Rn) que cumple

la ecuación de Laplace, i.e.

En D. Esto se suele escribir como

o también como

Ejemplos

Ejemplos de funciones armónicas de dos variables La parte real e imaginaria de cualquier función holomorfa

f(x1, x2) = ln(x12 + x2

2) definida en R

2 \ {0} (asi como los ies por

ejemplo el potencial eléctrico debido a una carga en línea, y el potencial

gravitatorio debido a una masa cilíndrica)

Si u es una función armónica y le aplicamos una transformación

conforme del plano, continúa siendo armónicA.

Ejemplos de funciones armónicas de n variables

Las funciones afines, en particular la función constante.

La función

Siempre que .

Page 31: Jesus recu

28

Propiedades de las funciones armónicas conjugada

Algunas propiedades importantes de las funciones armónicas se pueden deducir de la

ecuación de Laplace.

El teorema de regularidad para las funciones armónicas

Las funciones armónicas son infinitamente derivables. De hecho, son funciones

analíticas.

El principio del máximo

Las funciones armónicas satisfacen el siguiente principio del máximo (conocido

como el principio débil del máximo): si K es cualquier subconjunto compacto de D,

entonces f, enK, alcanza sus máximo y mínimo en la frontera de K.

Si además D es conexo, se tiene que f no puede tener máximos o mínimos locales,

excepto si f es constante (conocido como el principio fuerte del máximo).

Integral de línea

Es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva

es cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de

contorno.

Ejemplos prácticos:

el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,

el cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se

posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva,

o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a

lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por

campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

Ejemplo:

Page 32: Jesus recu

29

Un hombre de 160 libras lleva una cubeta de pintura de 25 libras a lo alto de

un tanque a través de una escalera helicoidal. La escalera tiene 20 pies de radio. Al

alcanzar la altura máxima de 90 pies del tanque la escalera ha dado tres vueltas

completas. Calcule el trabajo realizado para llevar la cubeta hasta lo más alto del

tanque.

Aplicación De La Integral De Línea Al Cálculo Del Trabajo

El trabajo en la física elemental se define como “trabajo es igual a fuerza por

distancia”, es decir que el trabajo que se efectúa sobre el cuerpo se da por: W = Fd ,

donde F es una fuerza constante que actúa sobre el cuerpo y que es paralela al

desplazamiento y d es la magnitud del desplazamiento.

Unidad II: Definición de ecuación diferencial. Clasificación, grado y orden de una ecuación diferencial, tipo de soluciones, verificación de la solución de una E.D

Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no

trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida

con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida

depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria , por el

contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial .

La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene

como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero

son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la

función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:

Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable.

Otro ejemplo es

Page 33: Jesus recu

30

Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable

; por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función

derivable.

Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación

diferencial ordinaria es aquella que tiene a como variable dependiente y a como

variable independiente se acostumbra expresar en la forma

Para algún entero positivo . Si podemos despejar de esta ecuación la

derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden de la forma

Ejemplo

La ecuación es equivalente a las dos ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como ya

vimos, según su tipo en ordinarias y parciales, o según su linealidad u orden, como

veremos.

Por Orden

El orden de la derivada mayor que existe en la ED, entiéndase por orden a la cantidad

de veces que se deriva una función ejemplo:

Page 34: Jesus recu

31

El orden es 3 puesto que la mayor de las derivadas es y“`.

Por Grado

Es el grado de la derivada de mayor orden que existe en la ecuacion diferencial.

Entiéndase por grado la potencia a la que esta elevada la derivada. Ejemplo:

El grado de esta ED. Es 2 ya que “y” esta elevada a la segunda potencia.

Tipo de solución de una ecuación diferencial

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la

función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la

ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:

1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o

más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de

infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a

una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente

infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se

logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la

ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no

dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular

de la ecuación completa.

2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde

debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un

único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación,

éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el

punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso

particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe

un valor específico.

Page 35: Jesus recu

32

3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se

obtiene particularizando la solución general.

Verificación de la solución de una E.D

Demostrar que

Es una solución de la ecuación diferencial

Sustituyendo los valores en la ecuación diferencial original encontramos que la

relación de variables satisface la ecuación

Demostrar que

Es una solución particular de la ecuación diferencial

Sustituyendo el valor y’ en la ecuación diferencial y reduciendo obtenemos

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Una ecuación diferencial de primer orden con la condición inicial se expresa de la

siguiente forma:

Page 36: Jesus recu

33

Donde es la condición inicial.

Entre los tipos de EDOs de primer orden se encuentran:

Ecuación de variables separables

En donde es posible "despejar" todos los términos con la variable dependiente en

función de la variable independiente, quedando ahora la ecuación:

En donde se procede integrando ambos miembros de la ecuación

De donde es posible obtener la solución

Ecuación exacta

Una ecuación de la forma:

Se dice exacta si existe una función F que cumpla:

y

Su solución es entonces:

Page 37: Jesus recu

34

Ecuación de Coeficientes Homogéneos (llamada comúnmente homogénea).

Ecuación lineal

Una ecuación diferencial es lineal si presenta la forma:

Y que tienen por solución:

Como se puede apreciar, esta ecuación es una ecuación diferencial de Bernoulli,

con n=0.

Ecuación de Riccati

Una ecuación diferencial tiene la forma de la introducida por Jacobo Francesco

Riccati cuando presenta la estructura:

Para resolverla, se debe hacer la sustitución , donde yp es una solución

particular cualquiera de la ecuación.

Ecuación de Lagrange

Una ecuación diferencial de Lagrange presenta la forma:

Resolviéndose con la sustitución y' = p, obteniéndose una solución general y una

solución particular.

Page 38: Jesus recu

35

Ecuación de Clairaut

Suponga que es una función real. Si la recta

tangente a la gráfica de la función en este punto está dada por

Observe que esta ecuación es una familia de curvas uniparamétricas con parámetro .

Entonces podemos encontrar una ecuación diferencial cuya solución general sea esta

familia de curvas. Si y tiene una inversa cerca de ,

entonces y podemos reescribir la ecuación de la recta tangente como

La cual es la ecuación diferencial buscada. A este tipo de ecuaciones se les conoce

como ecuaciones de Clairaut.

Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la

forma

Se conoce como ecuación de Clairaut . Donde es una función continuamente

diferenciable.

El interés que presenta este tipo de ecuación se debe al hecho de que tiene como

solución a una familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas

tangentes están dadas por la familia, también es solución, en este caso una solución

singular, de la ecuación de Clairaut.

Demostración

Page 39: Jesus recu

36

Para resolver la ecuación hacemos la sustitución para obtener

Derivando ambos lados respecto a

De donde obtenemos que

Surgen dos casos

Caso 1:

Si , entonces y sustituyendo en la ecuación obtenemos la solución

general .

Observe que la solución general se obtiene simplemente sustituyendo en la

ecuación por .

Caso 2:

Si , entonces y sustituyendo en la ecuación

, es decir

Estas son las ecuaciones paramétricas de una curva donde es el parámetro. Observe

que esta solución no es un caso particular de la solución general, por lo que se trata de

una solución singular.

Page 40: Jesus recu

37

Ejemplo:

Solución:

La solución general es la familia de rectas y como

la solución singular está dada por

Observe que estas son las ecuaciones paramétricas de una círculo de radio

2, . En la figura se muestra la familia de rectas tangentes

y la envolvente .

Figura 1.2: Envolvente y rectas tangentes .

Page 41: Jesus recu

38

Separación de variables

Se refiere a un procedimiento para encontrar una solución completa particular

para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas parciales como serie

cuyos términos son el producto de funciones que tienen las "variables separadas". Es

uno de los métodos más productivos de la física matemática para buscar soluciones a

problemas físicos descritos mediante ecuaciones diferenciales de derivadas parciales.

El mismo nombre se aplica a la forma de buscar soluciones de ecuaciones

diferenciales ordinarias de cierto tipo que permite resolverlas por cuadraturas de

funciones que contienen las variables separadas.

Ejemplo:

Separando obtenemos

que nos da

Si queremos despejar y obtenemos

Función homogénea

Una función homogénea es una función que presenta un comportamiento

multiplicativo de escala interesante: si todos los argumentos se multiplican por un

factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces

el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la

función homogénea.

Decimos que una función (x,y) es homogénea de grado 'n' si:

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39

Determine si la función es homogénea:

Solución:

Por lo tanto

La función es Homogénea de grado 3

Ecuación diferencial homogénea

Es una ecuación diferencial lineal que puede ser expresada como un conjunto

de sumandos cada uno de los cuales es lineal en la incógnita o una de sus derivadas.

El caso más sencillo se da para una función escalar de una única variable, si una

ecuación diferencial para dicha función es homogénea entonces admitirá una

representación de la forma:

Nótese que el hecho básico es que en ninguno de los miembros aparezca un término

que sea simplemente una función de la incógnita.

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, , es

homogénea si la función es homogénea de orden cero.

Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma

Serían homogéneas sí y sólo sí los coeficientes y son funciones

homogéneas del mismo grado.

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40

Resolución de Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas:

Son aquellas que mediante un cambio de variable se convierten en homogéneas.

Ejemplos De Ecuaciones Diferenciales Reducibles A Homogéneas

Ejemplo 1.- Resolver la ecuación diferencial:

Podemos aplicar el método de resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas

puesto que P y Q son funciones homogéneas de grado 3. Haciendo el cambio v = y/x

tenemos:

Y separando variables para integrar:

Que después de deshacer el cambio queda en la forma:

La ecuación puede tener soluciones singulares que vienen dadas por:

El caso x = 0 es una solución incluida en la general, ya que basta sustituir x por 0 en

la ecuación diferencial para ver que esta se hace idénticamente nula. Para el otro caso

tenemos:

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41

Que es una solución singular no incluida en la general.

Ecuaciones Diferenciales Reducibles A Homogéneas

Las ecuaciones diferenciales de la forma:

Son homogéneas si se tiene c1 = c2 = 0.

Cuando se tiene , la anterior ecuación puede transformarse en homogénea

mediante una traslación de ejes, es decir, poniendo x = X + h; y = Y + k, donde h y k

vienen dados por el sistema:

Si este sistema no es compatible, siempre podemos poner:

Con lo que obtenemos:

Y haciendo el cambio:

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42

Con lo que sustituyendo:

Que es una ecuación en variables separadas cuya solución viene dada por:

Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial:

Para convertir esta ecuación diferencial en homogénea hacemos el cambio sugerido

en la parte de teoría, con lo que resulta:

Y para que sea homogénea se ha de cumplir:

Según esto nos queda:

Y haciendo el cambio v = Y/X, obtenemos:

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43

Y separando variables:

Para resolver la primera integral aplicamos el método de fracciones simples:

Con lo que tenemos:

Y deshaciendo el cambio:

Ecuaciones diferenciales exactas

En donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y son

iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función F(x,y)=0 tal que

Page 47: Jesus recu

44

Donde y . Dado que F(x,y) es una función

diferenciable entonces las derivadas cruzadas deben ser iguales y esta es la

condición .

Método de resolución.

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes

pasos:

Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas

parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.

Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y)

obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función

incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

Para despejar la función g se deriva con respecto a la variable

independiente de g.

Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando

y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se

encontrará la función g.

Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general .

Ejemplos Resueltos De Ecuaciones Diferenciales Exactas

Sea la función diferencial:

Solución

Page 48: Jesus recu

45

Para ver que esta ecuación diferencial es de diferenciales exactas hacemos:

Y tenemos:

Siendo cierto que la ecuación es del tipo de diferenciales exactas, podemos calcular

con facilidad la función integral:

Para conocer el valor de la función derivamos U(x, y) respecto de y, e

igualamos el resultado a Q:

Así pues, la solución general de la ecuación diferencial estudiada será:

Ejercicios:

sea la función diferencial:

Solución.

Operando como en los casos anteriores se comprueba que esta ecuación no es una

Page 49: Jesus recu

46

ecuación diferencial exacta, no obstante, si multiplicamos todos los términos por

1/xy2 nos queda:

Con lo que obtenemos una ecuación diferencial que si cumple las condiciones de ser

diferencial exacta y a la que podemos aplicarle el método que estamos desarrollando:

Derivando respecto de y e igualando a Q:

Y de esa forma, la solución general será:

Que es válida para todos los puntos en los que se cumpla que x e y son distintos de 0.

Aparte de la solución general, podemos ver que existe una solución singular para el

caso y = 0 ó x = 0 ya que entonces la ecuación se verifica trivialmente.

El término 1/xy2 recibe el nombre de factor integrante y resulta fácil comprobar que,

en general, introduce soluciones singulares en los casos en los que se opera con él.

Resolución de E.D de primer orden por factor integrante. Ecuación de Bernoulli.

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Una ecuación de primer orden puede reducirse a al forma

Siendo M y N funciones de X e Y

Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden dividirse en 4 grupos.

Page 50: Jesus recu

47

Ecuación diferencial de Bernoulli

Una ecuación de Bernoulli es aquélla que tiene la forma:

(5a)

Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas cualesquiera. Su solución para α > 1

viene dada por:

(5b)

Efecto Bernoulli

El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de

Bernoulli: en el caso de que el fluido fluya en horizontal un aumento de la velocidad

del flujo implica que la presión estática decrecerá.

Un ejemplo práctico es el caso de las alas de un avión, que están diseñadas para que

el aire que pasa por encima del ala fluya más velozmente que el aire que pasa por

debajo del ala, por lo que la presión estática es mayor en la parte inferior y el avión se

levanta.

Ecuación de Cauchy-Riemam

Las condiciones de Cauchy-Riemann son básicas en el Análisis Complejo, debido a

que su verificación constituye una condición necesaria para la derivabilidad de este

tipo de funciones.

Sea una función compleja f(z), con z = x + iy y f(z) se puede descomponer en suma de

dos funciones reales de dos variables u y v, de manera que f(z) = f(x,y) = f(x + iy)

= u(x,y) +iv(x,y). Si la función f (z) sea derivable en un punto z0 = x0 + iy0 entonces

deben verificarse las condiciones de Cauchy-Riemann:

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48

Además se cumple que el valor de la derivada en el punto, de existir, debe ser:

f'(z0) = ux'(x0,y0) + ivx'(x0,y0) = vy'(x0,y0) − iuy'(x0,y0)

Ten formas equivalentes de expresar las condiciones de Cauchy-Riemann:

fx + ify =

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son condición necesaria, pero no son

condición suficiente para demostrar la derivabilidad de una función en un punto.

Sin embargo, existen condiciones suficientes de derivabilidad si la función, además

de cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann, se puede descomponer en dos

funciones u y v con derivadas parciales primeras continuas en un entorno de z0 =

(x0,y0).

Función Gamma-propiedades.

Cálculo fraccionario:

La n-ésima derivada de axb (donde n es un número natural) se puede ver de la

siguiente manera:

Como n! = G(n + 1) entonces donde n puede

ser cualquier número donde gamma esté definido o se pueda definir mediante límites.

De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de x, de x2 e inclusive

de una constante c = cx0:

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49

Propiedades:

De la representación integral se obtiene:

.

Otras ecuaciones funcionales importantes de la función Gamma son la fórmula de

reflexión de Euler

y la fórmula de duplicación

La fórmula de duplicación es un caso especial del teorema de multiplicación

Una propiedad básica y muy útil de la función Gamma, que puede obtenerse a partir

de la definición mediante productos infinitos de Euler es:

Quizá el valor más conocido de la función Gamma con argumento no negativo es

La cual puede obtenerse haciendo z = 1 / 2 en la fórmula de reflexión o en la fórmula

de duplicación, usando la relación de la función Gamma con la función beta dada más

abajo con x = y = 1 / 2 o haciendo la sustitución en la definición integral de

la función Gamma, con lo que se obtiene una integral Gaussiana. En general, para

valores impares den se tiene:

(n impar)

Donde n!! Denota a la doble factorial.

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50

Las derivadas de la función Gamma vienen dadas por la función poligamma. Por

ejemplo:

La función Gamma tiene un polo de orden 1 en z = − n para todo número natural y el

cero. El residuo en cada polo es:

El teorema de Bohr-Mollerup dice que, entre todas las funciones que

generalizan el factorial de los números naturales a los reales, sólo la función Gamma

es logaritmo convexa (o log-convexa), esto es, el logaritmo natural de la función

Gamma es una función convexa.

El desarrollo en Serie de Laurent de Γ(z) para valores 0 < z < 1 es:

Donde ζ(n) es la función zeta de Riemann.

Valores de la función Gamma

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51

Función de Bessel

Las funciones de Bessel o funciones cilíndricas, se utilizan en la mecánica

gravitatoria, pero también se aplican en otros campos como la propagación de ondas

electromagnéticas y de calor. Las funciones de Bessel aparecen como coeficientes en

las series de expansión de la perturbación indirecta de un planeta causada por el

movimiento del Sol.

Aplicaciones

La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de

Laplace o a laecuación de Helmholtz por el método de separación de

variables en coordenadas cilíndricaso esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son

especialmente importantes en muchos problemas de propagación de ondas,

potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de

Helmholtz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven

sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero

(α = n) y en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de

Bessel de orden semientero (α = n + 1 / 2), por ejemplo:

Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas.

Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas.

Conducción del calor en objetos cilíndricos.

Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con forma de

anillo).

Difusión en una red.

También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesado

de señales.

Integrales de Bessel

Para valores enteros de n, se tiene la siguiente representación integral:

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52

Que también se puede escribir como:

Esta es la aproximación usada por Bessel en su estudio de estas funciones, y a

partir de esta definicion dedujo varias propiedades de las mismas. Esta definición

integral puede extenderse a órdenes no enteros añadiendo otro término integral:

También se tiene, para

Propiedades

Para enteros de orden α = n, Jn(x) se puede definir a partir de la serie de Laurent de la

siguiente función generatriz:

Aproximación tomada por P. A. Hansen en 1843. Esta expresión puede generalizarse

a órdenes no enteros usando integración de contorno u otros métodos. Otra expresión

importante para órdenes enteros es la identidad de Jacobi-Anger:

Identidad que es usada para expandir ondas planas en una serie infinita de ondas

cilíndricas o para encontrar la serie de Fourier de un tono de una señal de FM.

Page 56: Jesus recu

53

Más generalmente, una función ƒ se puede expandir en una serie de la forma

Que se denomina expansión de Neumann de ƒ. Los coeficientes de esta serie en el

caso ν = 0 tienen la siguiente forma explícita

Donde Ok son los polinomios de Neumann.

Existen funciones que admiten la siguiente representación especial

Con

Debido a la relación de ortogonalidad

Más generalmente, si f tiene un punto de ramificación donde

f(z) = ∑ akJν + k(z),

k = 0

Entonces

o

Donde es la transformada de Laplace de ƒ.17

Page 57: Jesus recu

54

Otra manera de definir las funciones de Bessel son la representación de Poisson y la

fórmula de Mehler-Sonine:

Donde ν > −1/2 y z es un número complejo Esta fórmula es especialmente útil

cuando se trabaja con transformadas de Fourier.

Las funciones Jα(x), Yα(x), y cumplen las

siguientes relaciones de recurrencia:

Donde Z denota J, Y, H(1)

, o H(2)

.

Estas dos identidades se suelen combinar para obtener otras relaciones

distintas. Por ejemplo, se pueden calcular funciones de Bessel de mayores órdenes (o

mayores derivadas) a partir de funciones de Bessel de menor orden o de derivadas de

menor orden. En particular, se cumple:

Las funciones modificadas de Bessel cumplen relaciones similares:

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55

Las relaciones de recurrencia serán en este caso:

Donde Cα denotará a Iα o a eαπi

Kα. Estas relaciones son útiles para problemas de

difusión discreta.

La división de la ecuación de Bessel por x es una ecuación hermética o auto-adjunta,

por lo que sus soluciones deben cumplir determinadas relaciones de ortogonalidad

para unas condiciones de contorno adecuadas. En particular, se cumple:

Donde α > − 1, δn,m es la delta de Kronecker, y uα,m es el m-ésimo cero de Jα(x). Esta

relación de ortogonalidad puede ser usada para extraer coeficientes de las series de

Fourier-Bessel, donde una función se expande en una base de funciones de

Bessel Jα(xuα,m)para α fijo y m variable. (Obtener una relación análoga para funciones

de Bessel esféricas es trivial.)

Se puede obtener de forma inmediata una relación análoga para funciones de Bessel

esféricas:

Otra relación de ortogonalidad es la ecuación de cierre:

Page 59: Jesus recu

56

Para α > − 1 / 2 y siendo δ(x) la función delta de Dirac. Esta propiedad se usa para

construir expansiones de funciones arbitrarias como series de funciones de Bessel

mediante la transformada de Hankel.

Para funciones de Bessel esféricas, la relación de cierre es:

Para α > − 1. Otra propiedad importante de la ecuación de Bessel, que se deriva de

laidentidad de Abel, es el Wronskiano de las soluciones:

Donde Aα y Bα son dos soluciones cualesquiera independientes de la ecuación de

Bessel y Cαes una constante independiente de x (que depende de α y de las funciones

de Bessel consideradas). Por ejemplo, se cumple:

Existe un gran número de integrales e identidades que involucran a funciones de

Bessel que no están aquí reproducidas, pero que se pueden encontrar en las

referencias.

Page 60: Jesus recu

57

Unidad III: Definición de transformada de Laplace. Linealidad. Propiedades de la transformada de Laplace.

Definición de la Transformada

Sea f una función definida para , la transformada de Laplace def(t) se define

como

cuando tal integral converge

Notas

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de

integracion se considera constante

2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion

en la variable s

3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:

1. De orden exponencial

2. Continua a trozos

Linealidad

Propiedades de la Transformada

En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que

poseen transformada de Laplace.

1. Linealidad (Ejemplos, Demostracion,

Page 61: Jesus recu

58

Idea

La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas

y saca constantes que multiplican.

Versión para la inversa:

2. Primer Teorema de Traslación (Ejemplos, Demostracion,

Donde

Idea

La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en

una traslación en la variable s.

Versión para la inversa:

3. Teorema de la transformada de la derivada (Ejemplos,Demostracion,

Idea

La transformada de Laplace cancela la derivadamultiplicando por la

variable s.

4. Teorema de la transformada de la integral (Ejemplos

5. Teorema de la integral de la transformada (Ejemplos

Page 63: Jesus recu

60

Ejercicios:

Transformadas de laplace por definición:

1.

L

2.

L

Transformada Inversa de Laplace. Propiedades de la transformada inversa.

Transformada Inversa de Laplace

La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada

para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es

transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la

álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La

transformada inversa deLaplace para recuperar las soluciones de los problemas

originales.

En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la

función f(t)que cumple con la propiedad

donde es la transformada de Laplace.

Page 64: Jesus recu

61

La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace

tienen un número de propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas

dinámicos lineales. Las características fundamentales de la transformada de Laplace

son:

Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones

diferenciales lineales.

Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden

convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.

Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por

operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.

Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de

un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales

correspondiente.

Propiedades de La Transformada Inversa de Laplace

En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que

poseen transformada de Laplace.

Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in

Differential Equations with modelling applications

1. Linealidad

Idea

La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas

y saca constantes que multiplican.

Versión para la inversa:

2. Primer Teorema de Traslación

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Donde

Idea

La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en

una traslación en la variable s.

Versión para la inversa:

3. Teorema de la transformada de la derivada

Idea

La transformada de Laplace cancela la derivadamultiplicando por la

variable s.

4. Teorema de la transformada de la integral

5. Teorema de la integral de la transformada

Siempre y cuando exista

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63

6. Teorema de la derivada de la transformada

7. Transformada de la función escalón

Si representa la función escalón unitarioentonces

8. Segundo teorema de Traslación

9. Transformada de una función periódica

Si f(t) es una función periódica con período T:

Teorema de la Convolución

Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces

Serie de Fourier. Relaciones de ortogonalidad. Funciones par e impar.

Serie de Fourier

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a

una función periódica y continua a trozos(o por partes). Las series de Fourier

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64

constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para

analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una

suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de

senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático

francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba

la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y

publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se

llama algunas veces Análisis armónico.

Las series de Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la

función

Ortogonalidad

Se puede usar la fórmula del sumatorio para probar una relación de ortogonalidad:

Donde δ es la delta de Kronecker.

Las raíces n-ésimas de la unidad se pueden usar para formar una matriz cuyo

elemento Ai,j es

De lo anterior, las columnas de esta matriz son ortogonales y por tanto es unitaria. De

hecho, esta matriz es precisamente la transformada de Fourier discreta (aunque varían

la normalización y la convención de signos).

Las raíces n-ésimas de la unidad forman una representación irreducible de

cualquier grupo cíclico de orden n. La relación de ortogonalidad se obtiene de los

principios de teoría de grupos descritos en el grupo de caracteres.

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65

Las raíces de la unidad aparecen en los autovectores de las matrices hermitianas (por

ejemplo, de la laplaciana discretizada unidimensional con límites periódicos), de los

que se obtiene también la propiedad de ortogonalidad (Stran, 1999).

función impar:

Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se

tiene que f(-x)=-f(x). Modifica los valores de x en la escena y observa qué sucede con

los valores de f(x) y de f(-x).

Al ir modificando los valores de x la gráfica muestra también los valores de -x, de

f(x) y de f(-x). Observa que para cualquier valor del dominio, f(x)=-f(x). Habrás

notado además que el segmento que une los puntos P1 y P siempre pasa siempre por

el origen, punto del cual equidistan.

función par:

Sea f(x) una función de valor real de una variable real. Entonces f es par si se satisface

la siguiente ecuación para todo x en el dominio de f:

.

Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al

eje y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el

eje y.

Ejemplos

La función y(x)=x es impar ya que:

f(-x) = -x

pero como f(x) = x entonces:

f(-x) = - f(x).

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La función f(x)=x2 es par ya que f(-x) = (-x)

2 =x

2

ejemplo:

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CONCLUSIONES

Se diseñó la herramienta informática en base a las especificaciones establecidas

cumpliendo con los requisitos de los usuarios. Precisando la automatización de los

procesos por medio del desarrollo de un tutorial que permita controlar y hacer más

eficientes las tareas realizadas. Siguiendo los lineamientos dictados por la

metodología empleada y tomando como referencia las características propias de la

actual forma de estudios, realizando el diseño de alto nivel, a fin de establecer una

arquitectura base, logrando con esto obtener el modelo de datos, el modelo de

interfaz.

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REFERENCIAS