KONTI~UUfIA
']1 1 . k d . t .. , I~o~tors~a ~Be aClJQj
I
I. Geometrijski uslovi kompaktibilnosti
3. Osnovne teorme (~)dokaZi ••••••••••••••••••••.•.••••••• 10
Izrac"unav n; ' 04- • • CtJ ?;> <) fi • • · • • • • • • • • • · • • · · • · · · · • .. • • • .• ~~ .. ()
Analiza rormul . za izracunavanj Jt _.,.. .. • • • • • • • • • • • • 21.1- ffU(,f 1 • • Olcf
4.
5.
5.2. s neparno ••• .- ••••••••••••••••••••••••••••••• 34
5.3. Nel-ce napomene " ................ '. • • • • • • • • • • • • • • • ••• 34
7. Neki primeri primene iz10zene teorije •••••••••••••• 39
8. Neki osnovni pojmovi i de~inicije singu1arnoih
povrsina /povrsina diskontinuiteta/ •••••••••••••••••• 4
10. Us10vi kompatibilnosti k-tog •••••••••••••••••••• 49
11. Primeri. Geometrijski us10vi kompatibi1nostj.
prvog, drugog, tre6eg i cetvrtog reda . •••••••••••••• 52
12. . klO V • nnl za Jl1CC 1 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••
·II. Kinematicki us10vi kompatibilnosti
15. d izvod vremenu ••••••••••••••••••••••••••••••••••
16. d izvod nekih velicina ••••••••• . ••••• · •••••••••••
57
62
65
68
70
II
Kinemati~ki us10vi kompatibilnosti n-tog reda
20. Mesoviti us10vi kom.patibi1nosti • • • • • G ~ • ~ .. 86
21. Diskusija 065 & • • ~ • • • • • • • • • • • • • • • • 8 • • ~ 6 • • .88
Literatura • • • 6 & • • • • • • • • • • • • • • • • • 8 & • • •
Za rea.firma.ciju i Zl'l6caj pro1)lema Vl .:L.s};:tiui-
: solid mhis ", ~iji editori I.N Sneddon i Hill,
d ";, 1 t II· • t " , t " t· n~lazio raL monogra16Kog Karar J1SCOn 111.Ul,y e~a· lOns
:\. hl'lis of soli(is 1f ... Eill·-a " '1 i~lj .. sl 1_1vodu
11 Bi·tYla l<::';)IIipOYl.E':llta ·t;elmike za \ gii pro-
·i~ ..ll.ii ktiI1l.l.'_1Iil' izucavanje 1-n dikti~-
1:. .. i.t·t; z\i ~)m.1"ii i njihovill izvoc1a" povr-sil1.e
:.:·,1 1:;i lzl"i 5.1i k.kti sticne 11 sislu;
:, ! ti sta.eionaI'!le i11 prostirati kao talas .. m
~vu6i, te~ak a1i i §iroko primenljivo Bi6e.to, bez
i1, m od ve1ikog ZI1acaja u bliskoj budUC1'lOsti sa
nastankom novih i reorganizacijom starih grana mehanike solida.
Medjutim, n analiti~ka sredstva za razmatranje
()l);tih diskontinuitets. da1eko od poznatib.~ ni,je -
'vio lJ.i rlel<;:~ iscrpan noy prilog. Glavni izvori -
::.'..::u.t..n. kl.sik . 1903 god .. 9 sada uve1iko ztIJ1ll;
·})~:5.·{18.n '.i gin, mala knj iga Levi C1Y:i.ta- 0<:1 1932
;].. 1. niz vrecll'lil1 11 Ile i lako ~i tlji vih v l'l::.s-
1953 gOd0 ~
poziva hitno sveobuhyatno i deta-
l,- iz.l(~;, OSnOVl1.E analize ....... tf
nekic irim u -.. ....... ...
lz~ozena ln povrslna
ali n i n :n- opsta 'teorija POVrE:i:n.Cl ~,-i.k()n.tinu.itt ..
Iste godine ,stampan rad . ·sdl.l-; General al1d
,:.~;;.C::1e·t t of \ in f'inite elastic. strain If [? " lz ";: slobodHo rel::i to .ftmdamentalan rad po.er pros·ti-
:c3.n.ja t 1 ..
. Dii rezul tati opsteg karaktera i obtlhvataju kao
~opecijalan sll1 rezu.ltate ni.za drl.lgih radova j n -
['-:l r ] 1 iv1in;- Toupin·-a i Berstein~·a 4 .. n sto za n '1 _ •
\1. n znacajno jeste metoda .. bila metoda povrsina
r:L:I.s}::o1Jtin.1.ll teta,. '( (11.1. date dve .fundamentalne teoreme kao i
.... ., • d -{ . k t . . ". " k t;' °t ;':;\.r:t8.LJ..za znacaJF.:. .. OSu8"Ga .. povrslna .. n ... ... ..
P:X"'\}':i \. pokazano (l. metoda poyrsina diskontinlli. teta
t-:l. i ee;zaktl18o
'JIime pot\n.:d;jell~ i.stoj godin.i~ stav koji izrekao
R~ HiJ .. .
iS·tOil radu .. Truesde.ll dt.l diskutuje kompo-
l.)C-::l:lt primene teori.je .n disko:ntinui teta i istice -
statak nepostojanja opste teorije i opasnost
ovom stepenu njenog razvoja njena primena pretvori u ~isti
formalizam"
::I. i tkl mnogo ipak ' gllsti da
oceY1.imo fru.. dlkvidst predvi.djanja Truesdell-a i .. Hi.ll-a ..
tada do radova iz oblasti prostiranja
koji baziraju primeni teorije povrsina diskonti-
'::."!.i·tlt~ ogroman" Posebno poglo.vlje cine . koji treti-
bl talasa ubrzanja za razne materijaleo NvmD l1ekee
Palase ubrzanja u elasticnim materijalima izu~~vali
;:s [5 'jI Toup.in i Berstein [4 '6 Truesde11 [2] , 113.11 [6],
{""·, l~' r' 1 r r-t~ . \ ..... .. ~.~ !.~,. 9
,. 1 ...... . t' . _. v '1 8] Vlbko-~S~llm l8Ll ar _ .
';", ])ril.V d ~ r.9' , [ ~ ; u
1 t 'V' t" l' !.;:;.per·-e lCnHfi erlJ3 .ll, Niroboli \1 VHI"ley i -
; u lkt-'gl1.t!lim solidima McCarty [l~ ~ McCarty i
::;: .. >n [13] 9 11 termoel?sticni.m materij 1i.m [1~ ; u mikro­
f/.Jlarni1l'1 visko-lstil1i m.aterijalima McCarty i Eringen [l~ ;
, m.aterija1ima rn1 lrn 16 ~ Gurtin i Herrera [1 ~ , .n i Gurtin [18 i td ....
radova odnosi rast i1i opadanje talasa
t.rz: k8.0 r'adovi l1- [19}~ ~ Suh1).bi-a [2~] ,Nariboli-a
i 'n [2~ i'td ....
U istom vremerlskom. razmaku i mehanika kontinuuma oboga-
tila nizoill l10vih teorijac Fosebna paznja bila
" • • 1.. .," t J.1el:t.nearYloJ 1... lluurna .. uslovilo razvoj pojedinih
-'- ~ , v k4b ' . l' 'k "t , [, CJ..C~ .. . lSC.1.p_ln.8, :80 s Sll teorija grupa~ teorija
:i.ll\Taroij anata ~ .funkc i.ln analiz jI dif'erencij 1 geometrij
i drugih oblasti primenjene matematike. Najnoviji rezultati
<Jr1..1gih posebnih nauka nalaze primerle u hnii konti-
n.u '. prvenst-veno odnosi 1'iziktl i hemijuo Unutrasnja
s"GI'uktu_ra :ti1 postaje predmet istraziv811ja i u mehanici
kntiUUJIl8.. Izucava,ju raz:D.i modeli materij ala i daju odgova-
I'u -tieorij koje adekvatno OpiBt1jU nn takvih materijala.
kv teorije teorija polarnog i multipolarnog kontinuuma~
i:;eorija orijenti sanog kon.tin1J.uma ~ teorija mikropolarnog kon-ti-
t .. 'k l' 1, 4' 't~ 1 1n , ·eorJ..J8 l romor nog .t''::OI1cJ..nuuma .., . ..
U dinamickim problemima ovih teorija n interesovanje
:5 .. zazivaju ef'ek.ti nelinearllosti .. odnosi. prvenstveno
.r prostiranja talasa., E.fekti talasa viseg reda i mogucnost
T;7:'ostiI'anja te.lasa u mater'ija1ima ikstukt1... i1i orije­
l1t;isanih meterijala postaje predmet eksperimentalnih istraziva-
nja i to i.~3 dva Sn\7l1.. l."azlo~a Pl">vi vezan za :prove:r'u
ispravn.osti teorije., Tako npr" u. teoriji mikropolarnih kontinuu.na
:'vlll i talasi mikrorotacije Njih u klasicnoj teoriji
;:·~ .. Eksperimentalno utvrdjivanje postajanja ovih talasa
I,,stvl 'potvrdu ispravnosti teorije .. S drl.lge strane ~ rezul­
'~jati koji dobijaju. osnovu ovih teorij prestavljaju
1:lsl1 klasicnih rezultata, koji od izvanrednog znacaja
za prakticnu primenu ..
egzaktna metoda za izucavanje mogu6nosti prostiranja talasa
bilo kog reda"i tipa ..
odgovarajHcib. relacija diskontinuitete .. Relacije koje izve­
n drugog 111 najvise tre6eg /n u potpunosti/e
ne1>:ira ops-tim z.kllli., 1zvan specijalnih slucajeva, moze
biti reci osnovu opstih relacija diskontinuiteta ..
Neosporno se ove relacije mogu izvesti s osnovu
jedne opste i potpune teorije povrsina diskonti.nuiteta<; jedne
sveobllhvatne i deta.ljno i.zlozene analize teorije povrsina
dJ.skontinuiteta kojoj govorio . Hill.
Na n svega ovoga bilo bi pogresno zakljuciti da
primena teorije povrsina diskontinuiteta prostire poslednjih
deset godina .. ! sarnom pocetku istakli t1reafirma­
cija". Time m zeleli da naglasimo nag1i porast interesovanja
i potrebu za veobuhvatnijim izucavanjem ovog problemao
Istorijski posmatrano 1m povrsina diskontinl1iteta !
t pojavljuje -u dvi Lll- [22] /1764/!I [2 /1765/ u
kojima posmatra povrsina kojoj gradijenti brzine.imaju
diskont1n"l1itet .. Cinjenica da brzina z biti prekidna bila
1 pU.t i isi:;aknuta OC,'I.. strane Stokes-a [2~ /1848/ .. Veliki.
-5-
prilog razmatranju ovog problema dali Cl1...ristof'fel [25 /1877/
i g11.it [26 /1885/ Prosirencje !ljihoviIl id Hadamard
;; Jrnjizi 'tLecons sur 1 P.ropagation des n "!; les Equtions
; 1. Hydrod;ynamique r , [27.] /l903/ .. Osnovni nedostatak ovog ­
mentalllog rada lezi zahtevu neprekidnosti. :funkcije povrsini
diskontinuiteta& Rezultati izvedeni preko klaBi~nog matemati-
c.kog aparata - preko parcijalni}), izvoda-ali u invarijantrlom obliku,
1. su radovi Zemplen-a [28] /.1905/ i Lichtenstein-a [29] /19291
Prosirene lls10ve kompatibilnosti /kako re1acije disko-
t;i.l1.11iteta nazivaju 1.1 ld m./,) bez ogranicenja za
f1mkciju za koju, traze uslovi kompati bilnosti ') prvi dis­
k'L1tovao hs [30] /1957/. Izvedeni na~in uslovi
ktilnsti poznati u literaturi kao THomas-vi itera­
tivni uslovi ktilnsti /vidi n. .. Truesdell i .. . ..
Touping CFT [3~ / .. Dobijeni izrazi za uslove kompatibilnosti
prvog i drugog reda .. Time n dat i postupak za odredji­
uslova kompatibilnos·ti viseg reda .. Nedostatak ovog
bin u izboru specijalnot sitem.a - Dekartovih-koordinata
ci.me gubilo u inyarijantnosti. Medjutim, osnovni nedostatak
i ostao 11 slozenosti izvodjenja ovih relacija i ngu-
:r.sti izV'odjenja opstih izraza .. U radu od 1966 godo Thomas
[)2 razmatra isti problema1i u n proizvo1jni sistem
koordir18ta dopustiv u Euklid_skom prostor·u~ ~ime ispravio
prvi nedostatak~ tj .. re1acije imaju invarijantan obliko ·
yerovatno i razlog naslova ovog ". general theory of
;~ompatibili.ty condi tions ".. Vazno ista61 izvan toga
rada uopste razlikuju') ~ime pitanje n opstosti,
kojoj .. Hill govorio') i dalje ostalo aktuelnoe
-6-
Od zn6 svakako da istakno i ruzlika u kori~6e-
, ' t' ~l t·,,· d ., . ,,; m:ti lC\:0i; lzuec,-Ju m.- 3.. ro.
slu~io tenzorskom analizom 6ime izvodjenje relacija bilo
~:,:c:.atl'lo l..lpr"osceno, postupak vrlo elep;antan dobijeIle relacije
imale automatski invarij8ntan ok ••
Kako tenzorska analiza postala jedna osnovnih mate-
+- • "k' 1. ' . l' k' '1' t' ,.. 1 t' . 1 • .... :l. •. l. lSC3..P lna _{3.. l. U .ln3..l ~{on ·..n 3.. i,:oJa
razvijala uporedo razvojem me}lsnike ktinuu to
radovi .. .. 1.lOs sve vise koristili k i njegovi iterativni
Hslovi kompatibilnosti I-Idd-v1 postajali 1 klasika
1.1 toj oblasti .. I t111010gi hsvih 10 pocela 1-
§ da koristi~ Tako u poslednje m ustaljen naziv
singularne povrsine za povrsine diskol1tinuiteta .. relacije
diskontinuiteta naz1vaju uslovima kompatibilnosti. Mi
koristiti i jedne i druge nazive.
rad prestavlja prilog teoriji povrsina diskontinuitetc
Tacnije, prestavlja pokusaj n sveobuhvatna
i detaljno izlozena teorija povrsina diBkontinuiteta
govorio R .. Hill .. n razlika u razmatranju ovog problema i
C1.1:'11giJl teorija i rada u s:m prilazu. Mi prilaz
:!.zlozen 1.1 rndu nazvati direk-t;an. tim podrazl..un.evamo
direktno ispitivanje nn .f-je 11 povrsini bez posebnih
ogranicenja bilo .f-je bilo povrsine, tjo to povrsina
diskontinuiteta za posmatranu .f-ju .. Na taj nacin dobijeni
opsti zultti potvrdjeni i dokazani kroz date stavove i
teoreme" ZatiIYJ. r.La n ovih rezi.ll tata razmatran blm
povrsina diskontinuiteta i dobijeni izrazi za relacije diskon-
1;i.nuiteta .. Sam postupak za njilloyo i.zvodjenje vrloprost
dobijeni rezultati su opstio
~;tavnost izvodjenja relacija diskontinuitetao Predpostavljajuci
f- za koju ispituju relacije disktinuitt
1.;el1.zorskog karaktera ~ bilo ko~ i tipa') dobijeni su -
Z1.11 tati invarij antnog oblika .. U d' · podvucena razlika
izmedju rezultata teorije povrsine diskontinuiteta koju
d T~Y. Thomas i ovde izlozene. U nedostatak -
l"d.ove teorije Thomas-ova teorije prestavlja n prosirenje.
bl\oze slobod.no ! izlozena teorij prosirenja
fImsv, cime udn odredje!l i n Hadamard-
teoriji ..
moze podeliti n. dela. U prvom razmatrani
geometrijBki uslovi kompatibilnostl. Date tpi teoreme, koje
prestavljaju c.ele teorije. Izvedeni BU n! rezultati.
Definisan operator diskontinulteta i pokazane njegove osobine.
Njegovom primenom dobijeni opsti izrazi za geometrijske
uslove kompatibilnosti. Izvedena analiza dobijenih rezultata.
Dati su neki primeri primene i ujedno ilustrovana
stvst njihovog izvodjenja.
kompatibilnos-t;i .. Data u sazetom obliku teorija povrsina koje
krecu .. n razmatrana kinematika takvih povrsinao
._) f" .!. d 1 d . . tJP.. . ~n~an ~zvo" zve n ~zraz za Jtn ~ kOJl
n i primenjen za izvodjenje kinematickih uslova kompatibil-
:'sti relacije izvedene vrlo prost nacin~ pri
koris·tena osobina komutativnosti izmedju operatora [ i ! .. i u prvom delu aaa~ nizu primera ilustrovana izlozena
teorija o Izvedeni opsti zakljucci i pokazano do -
znati re.zultati speci.jalan slucaj izlozene teor-ije"
-8-
::;;t:i, Eu.klidski // trodimenzioni. prostor ~ pro stor
fizickih dogadjaja~ Lako videti rezultati automatski od­
i :Uk1idski. prostor bilo kojeg reda dimenzijeo Koordina­
tni sistem u n koji vr~i ispitivanje bilo koji
dopllsten u Euklidskom prostoru", tj. x i su generalisane koordi­
nate. Notacija tenzorskog karaktera.
1 .. GEOIv1ETRIJSKI USLOVI KOlvIPATIBILNOSTI
Neka x i /1=1.,2,3/ neke krivolinijske koordinate
dopusteI18 u uklidskl prostoru .
Tada
/2.1/
p:t:'estaY1.ja povrsinu S koja kre6e u " Koordinate
/=1,,2/ 11 k.rivolinijske koordinate :povrsine, t-vreme.
U daljem delu rada :podrazumevace da latinski indeksi
idu od 1 3, grcki 1 i 2. Pretpostavlja da su f'-je ~
/2.1/ neprekidne i dif'erencij abi1ne . i t do reda koj i
treba ..
/2.2/
. gij osnovni metricki tenzor 3 u odnosu sistem
koordinata x i • Kontravarijantne nv.n metricke tenzore or;fi
obelezavamo, kao sto uobicajeno, gij i U /2.2/
primenili s Einstein-ovu konvenciju indeksima
koji dva puta ponavljaju. osnovnih metrickih
tenzora moguce podizati i1i spustati indekse neke tenzorske
velicinec Tako
-10-
Komponente jed.inicnog vektora norma1e povrsini rv
/2,,1/ obelezi6emo n i .. Tada , nvu teorije povrsi­
:.8. /vidinpr .. .. .. Thomas [ / ~
/2.4/
/2.5/
/2 .. 7/
Iz /2 .. 5/ vidi da x,~ vektori tangentnoj tavni .....,
1)Oyrs1ne 8, cije komponente u odnosu obvojni prostor su
xi,~ .. Napominjemo da xi,~ kontravarijantni tenzor !
transformaciji x i ; isto tako to kovarijantni tenzor
! troans.:formaciji ©t,.
koristiti u daljem radu.
3. O~novne teoreme i dokazi
Neka u Euk11dskom trodimenzionom prostoru /l data
dovoljno glatka povrsina S de.:finisana sa /201/. Neka u
data neka tenzorska funkc1ja f / de.:finisana i neprekidna S i
/ dif'erencijalibi1na S do reda koji treba, recimo ]
/k bilo koji prirodan , tj .. k=1~2~3~.ooo ••• /.
F-ja r rrlOze biti ska1arna 111 tenzorska vel1cina bilo koje{
I'eda i tipa ..
r m 1: ,_-;;";"-'--''1: _1:' • _____ =__ Kovarijantni izvod k :f-e
moze se povrsini S prestaviti
'2&2 " ,,1l +
k-e1emenata kojima ima s jednakih jedne vrste /svi
x ip , / i k-s jednakih druge vrste /svi niq / /p=1,2,.e •• ,S;
nego sto d striktni dokaz teoreme duzni smo
objasnimo sis postojanja /382/ u /3.1/.
Prvo, s obzirom Euklidski prostor
,- potpuno simetrican tenzor indeksima i r /r=1,2, " .... ,k/,
tada i desna strana /3.1/, pod pretpostavkom da /3 .. 1/ vazi,
biti potpuno simetricna ovim indeksimaD Svaki 1n
desne strane .formiran od·komponenata vektora norma1e n !
i vektora Xi,d' S .. U svaki od c1anova u1azi ukupno ono1iko
i i ! 9<d' ko1iki red izvoda f-je }~, tj.. k .. (~lanova desne stn jednak k+1, jer
-12-
(1;}.;(,. ~ ,,~,
/1/
. Drugo, da bi desna strana /3.1/ bi1a simetricna mora
biti svaki 1n /3.3/ simetrican indeksima i r /r=1,2, •• ,k/.
Iz /3.3/ vidi s prvi clan zadovoljava uslov simetri-
cnostie Ostali clanovi moraju simetrizovati. Radi kratkoce
uvedimo opsti clan za /3.3/
/3.4/ /o~ B~ k/.
Oc.igledno /3.4/ simetricno .. Dalje, potpuna ,.",
simetricnost /3.4/ i r povlaci za potpunu simetricnost
• Obrnuto 9 simetricnost ~ povlaci simetricnost
i p /p=1,2,eoe,S/.
/1/ Ocigledno radi kombinacija n1­
njem elementa /n i ,( ; :fiksiran broj/-k-te klase. -..., ""'"
s obzirom poznati izraz
gde '::
k-te klase,
,.I!: It _ (+. ~1) l fJ = +:.-! ~
kombinHeija sa ponavljanjem p-elemenata ('!: L-F:'~ kombinacija bez ponavljanja k+p-l
elementa k-te klase i da u n slucaju =2 bice
I (; (.I:. / /·1 ) = == I = :.""·1
~ j!f:.j.{ '. IC)'
s~vakom slucaju
0:)4D"<>~ potpuno siraeiirican tenzor.
povlaci za simetricnost 1 u /3.4/. u
11~.4/ imamo potpunu simetricnost ; i i q /p=1,2, •• o.s; .,; -
=l+S, s+2, ••••• ,k/, tj. medjusobnu simetricnost xip,oC p
za i niq za . Zato bismo dobi1i 1n
/3.3/ simetricnim nije potrebno izvoditi simetrizaciju
svim indeksima i r izmedju indeksa elemenata
x ip , i niq u /3.3/. Tada u /3.4/ mesto .bi10 koja dva
indeksa skupa i p ravnopravno. Isto vazi za oCp kao i za
iqo Fin svih clanova kojim /3.4/ ucinilo
si.metricnim i r ! permutacije ponavljanjem
k-elemenata medju kojima ima s jednakih n vrste
/x,,,,~ / i k-s jednakih druge Vl"'ste /n/. Njihov ukupan ,."",:# ~
/3.5/
k elemenata s-te k1ase.
Trece, odredjivanje ovih clanova vrsi se leksikogra­
~ski. Za /3.4/ raspored indeksa i1 i2 ••• e •••• isis+l •••• ik
..... .... . })OCe\ .. nl. fiIi smatrati n! uredjeni velicini 9 tj.
il.;!; i2" ....... ~ 1+1" •••• ~ 1k- svi osta1i clanovi
formiraju pomeranjem e1emenata /3.4/ s 1 desno
znti nacin. ! dati tabelu za postupak.
-14-
" 8
..
n. ..
:n

,~ .". ~ i' " OI/. ~ r.?';
~.; flJ . ngc rr!>"j 'r~ ., r(!,:J ;] iiOj i "'" ~;,f~()i;1~! ~!L;Y:i ~''=:?!JCtrJ ., ,
-1", i4 " i/r - ;(,,~~ .. lUit!i tl'J' (:.'1/ (,/ · rfiif' "d~})(Df.:jJ o1i/y{,fi l' ;.}L'J«:f I :' !
.-1:: .. .",
< < .. ~ <,
f·~(, d'l'X':k.' ''l~tJ fIil,.;. 'z5 !r ='. .~(~ r,A:,j~1' .JL},';( iIL IJ~
" " [. 7lis :l~'f.1/ ~.~ 411·1I,j
1'~ .~~ '»r .jl,pJl~
',) " 1" . ,.
lfl) fiI ,~ f .~ - J1'Rj -! 1)!! /'(; ?l"~ 1'~~ .JL~."(J ; Ptl ,.~
, . .., "i.t
.. ) '9 '!)'!
'1/~;Y .. !
,,) .'
JCi,~ 2Ci~ ,~ ,<}
1'i!~!J.J f1):"\IbpJ , '" jn~5' I1 f ~:;~ ";;'~.9dJ 1:,; I~ J:""pt!,;\;f ,~~
' '" Ifli:; i5 ~J f)
.-.
, '
~ 1'~ fji)'>',? /f";~!-! /L, . J~!J~4 /t j~ ! ,
.:""" " ~(i~ ~
/i~ - L ';fiJt; ~ J©ip ' ~J
osta:ie v
kn zbir svih 1n 1 bre1 obelezi1i smo
/3 .. 2/ •. tome /3.2/ potpuno simetrican tentor inde­
ksima i r • Tako ukupan zbir svih 1n 1 br.2
Ocig1edno $
{It .,,, f
{ 7l~ nt ~ ~ ~ nfJ = 12 '4 '~ ~ " 7l : ) /3.6/ '
{ i, ~ ic - 1V't"1 "'Y''l2 "iY"f ~~ )oC~ ~ ., ~\~ - ..t,~..A.,)~ .. .. ~)cC.c }
s obzirom /3.4/ i s=o i s=k.
D k z t r m 1. dokazati
metodom matematicke indukcije. Zaista, f'Ji se moze rastaviti
S u odnosu trijedar vektora
de~inisan u svakoj tacki povrsine S, tj.
/3.7/ }O,i= 7l i + x~ "
~rde u . ; A~ komponente r;"l u pravcima
I'e spekt;i l1.0
/ =1,2/, koji
/ / ./ ., ,,-'
s obziroI!l j2,,3-5/ i ';:.l .nzn odredjene velicine.
f fi)/i nz k.oristi ti prethodne rezul tate . r1' l!J' 1 /t, ') ~) •. ~ ",,; ,
Kako , rb/l'4:~;;;.(r/jj/t'i kako /~)" 7/ vaz1 nezavisno prirode .funk-
cije ~ /tjo da 11 shBlarna 111 tenzorska velicina/ i
/ 7- g/ :;>" • ,
l st:t·;.. kOJ:1tT'avari,jantni tenzor drugog reda Ali tada
Ai . k' ".. t' d 1 kt . / i 811 . ~ .oll.t:ravaJ::"J .. ,J 'tl enzor~ prvog ve o~ s z -
transformaciju & Kako velicine definisane S ~
tada i za njih vaii /3011,
13,,10/ " !' 1~ ~ /J-~ .'
; = q 1 ' 1 ' "~', 7 +. , IA /L;. - ;} Ui§ )
gde {]
1
Zamenom 13,,10/ u /309/ dobijamo
~18-
Tada
/3 .. 11/
Ako k:::::1 i k=2 dobi6emo /3 .. 7/ i 13.11/,
i.~!3·t;·;i;.() <18. /3 .. 1/1:1BZi. za neko > 2.. Tada , prema
13 .. 12/
indeksi, ([( samo i broj evi pri trans.formaciji
Zarilenom
. ~
-19-
/316/
• -20-
(1~I-O ~
A~j""n'?'~Y=~"?~ .. ~ ~
Koriste6i /3~18/ 11 /3~15/ i obele~avaju6i i n +1 mogu6e
/ .. 1'5/ napisati u oblikll
/3 .. 19/
Izraz 1.1 111l0 zagradi znakom 11 /3.19/ ~ prema Tabeli
.. l, prestavlja nista drllgo nego zbir svih permutacija sa
n1 Il+l elementa medju kojima ima s-jednakih jedne
vrste i n+l-s jednakih druge vrste / se permutacije sa
vl mOfjLl rastaviti koje zavrsavaju
/ konacno
sto trebalo dokazati~
.;;;;T~e;.--.;0:..-;"'=--..;;;;e~n:;:..1....;a;;;.;....._.;;;;2;..::;.." l:1re stavljanje /3.1/ jednoznacnoo
D k z t r m 2 Zaista, ako pretpostavimo l
g6 i prestavljanje obli.ka
'" ; It~
~p i#,~, ~Jt,~)' ~.;~ ~ adS r.l~ >Jjf'~ hiJ~'+~ • ~ .4ff?~~1 ! ' L- / 1- <4 4," "Jt.)ol$ !!. {&
j~O L d
A(;to~ Q ~ ,,©tj (lcf ,'" ~ct;:: - - ' ' ,
tj ..
visne kao pos1edica1/J1P/" Zato mozemo 13 .. 1/ shvatiti kao
sistem ednacina _1"' \ ' /o~ s~ k/ .. !f;if,,1·! ~j'
.;;T.....;;.e.....;;o ____ r __ e ....... m ___ a ___ -"'"2~.. Si st . dn ina 13 .. 1/ potpun &
Dokaz teoreme 3: Broj jednacina sistema /3 .. 1/ jednak broju " "
VJ. ff" • ~ f~ • OvaJ" broJ" nezavisnih komponenata tenzora k-tog reda /'
jednak broju kombinacija ponav1janjem elemenata \
k-te k1ase 1 u nasem s1ucaju n=3 jer prostor u kome se
problem razmatra trodimenzioni Euklidski /
S druge
(~}A If~···~
strane i su potpuno simetricni tenzori tako
da njihov broj, za neko fiksirano s ,prema /3 .. 24/, jednak
/3 .. 25/ C'S =(fl-I+S-f}=(1l+S-1) n-1 5 5
jer povrsina S prostor za jednu dimenziju manji od
-22-
obvojnog prostora / n 1 " , l;t dve
cJ.imenzije/o Njihov ukupan
i ('IZ+S~2) 5=0 '. S
t~. jednacina /3.1/ jednak uknm broju nepoznatih (~)oCl· ., "cC~ 1 ~ /o~ S~k/, i1i kratko n sistem jednacina
/301/ potpun.
/4.2/
i kako ~if~QotK simetrican svim indeksima, bice za
.L.. L.. 1_ -. k
/4 .. 3/
-23-
,
8to s di.rektno dobij iz /3.1/ i /3 17/ '1. vidi da
u /4.4/ smisla za 8=1 .. . potpuno razum.ljivo kad se
. d , ;;: I za _1 /...,." ./1 ... '--" "
1; /4,. 3/ rle postoj i u zagradi nij -
'dan element 1.~':; -; ~ "'-\:"),- _.nace obrazuju sumu" Uzimaju6i to u
. kona~no ~ nIisti ObZlr 7
/4 .. 6/
u daljem d1 rada \.l. 6 i l k=o .. U tom slucaju
def'inisemo
(;)
;: ... §1 i ~ . ..::fg.FJll ]..;:;;';~qg;:;;;;r:;..-;;;:;,a~c.;;::l.ll1::.;.~~:;..;.v:...;;a;':n;;;J.l;J..· e~...;A~.;;.o(,;;,.]'~,-. _,,_,,_,,--=;.;..fiL..- l-1..l:i.z f izraza u /l~&/ vidi n moze
napisati, jed.IlOst8.1Tl1ije", nije 1 " . s .1.1 za ostale izraze /4.6/.
Zato sasv-im log:j,.cn.o ocekivati se ostali clanovi /4.6/ " -(f)
izv-ti p:reko $) ~I ~ k i llji.hovih izvoda.
Zais·b8" izz. /4.6/2 "3 4 pr'estav1,jaju rekurentne obrasce '(~) . 9· )
za iz.1.1n ' .~y, (/~ /l.~ s ~ k/ .. ~~l';) ~, -:S
~ 1. ' /1' ,--...:" ~.' < ""/""" ~
/5 .. 1/
/5.21
i1i
Medjutim, odredjivanje ~ormula za /4.6/3,4 vrlo te­
sko~ Mi ovde necemo zadrzavati tome vec izvrs1ti
analizu svih clanova i osnovu -toga izvesti opste zak1ju-
cke ..
/5 .. 4/
gde
/5 .. 5/ P~4' · ./. • '~-l = ~--1 tL~ ... f!Jj-/ d.~ f4 ... J:~H
oCf ., .,~ • f«dr~f f~::i1 QC;~f 6(; 0{..!+1 (.;C,'~j 13 .
~fde su ~ ronekerovi simboli. Iz /5.4/ vidi Z: .. -d5 Izrazava preko 1;ri sdn clana /k-l/-og izvoda
f-je r ,tj.
(tp) ({;~!) (tc-
~j 6> .. ".:1;$ ') ~~, ~ {=! 1 • " "o(s-~ uz komponente druge osnovne forme ~tJ " Ako l~ ~ k
tada ocigled.no da CC€ se time obhvati t1 svi clanovi
/k-l/-og izvoda f-je r . Na isti nacin zakljucilo ovi izrazavaju preko clanova /k-2/-og izvodae Nastavljajuci
postupak istim redoL1 dosli 1 izvoda prvog reda ..
Da ! analiza bila ociglednija prestavimo sve clanove
svih izvoda u sledecem tabelarnom obliku:
./
-28-
u ovoj ta~::;hi • recimo, u k-p-toj vrsti i s-toj
,oloni oznacava ~"" .• -0/5 • Mi ova OZn8cavanja nismo unosi1i
,1 tabelu u cilju preglednosti same tabeleo (~)
Mi polazimo, s obzirom /5.4/, od clana 1 ... koji nalazi u s-toj koloni i k-toj vrsti nase tabele.
Ci.njenica izrazava preko
(Ic-f) ~-1} ~-1)
~oCp" .. ~) 4 .. - .. oC5-1 } Adl " " ~~j-2 f;J)
izrazena ~j_~) crtama ~~~ye :polaze od fk, .... eL§ ka ovim Clanovima.
Clanovi ,,/'. . i ,.,~ ./'""ulaze u /5.4/ bez izvoda /a1i Ih ....., '" .~ """'1 <> ,,~~ (f) ~~ . izrazeno spoljnim crtama. Ako ~~ ••• ~
~. ~O r i ../'. --. izraze preko clanova /k-2/-o~ izvoda funkcije ,
. '~" .. <orn.J·-2 (i-.i) (Aj-Z) izmedju osta1ih~ pojavice fIoDt"si.~f" .... o!S_4koji 8U
tabeli prestavljeni spoljnim crtama. Nastavljajuci dalje
postupak videcmo da crte 8e6i ivice nase tabele.
Vertikalna crta, koja oznacava s-tu kolonu, 11ipotenuzu
clanu
(5-f) izrazavati preko itc,,, .. ' s obzirom /4.6/4 clan
($-1) (7,-1) i )1d'f ~ "dS~1 /clan J1d:f 9 ~ ~4 aVljuje/. Zato ova spoljna
' daljom im /4.6/ '+ klizi duz hipotenuze do clana ( (()) ,
., /i1i do ..., sto isto/. sto tice druge _JJoljne~_,,) t ' " k 1 .., v 1 (1 . 1 . seCl .0 oznacenu l l ,
u zavisnosti od toga da 1i s-parno il~)neparno .. Svi
ostali clanovi preko kojih izrazava 11., ~ " .. ~ sadrzini
811 izmedju_ ovih spoljnih crta .. Odavde sledi zakljucak:
i
.Z8.
k8(1 s neparno
1..:tlaze 11 iz,raz
"
"
/ /
/
n.n p~~azuje koji sve clanovi /k-/-tG izvcl. u1:rzi u
izraz za ~ ... ~. Red izvoda preko ko,~a izZ8an ~f. · ""'5
naznacen u prvom redu tabele brojevima k-l,k-2,~~k-
uz kose crte. Svi clanovi desno od neke kose crte, recimo
k-3, zajedno clanovima toj c:r-t'i odredjuju clanove datog
/ u n primeru reda k-3 / preko koga izrazava reda (~)
,,, ., <>~$"
izvoda dobijaju iz clanova /k-2/-og izvoda, tj. svih
clanova n od kose crte /k-2/. Svi 8 o:l:li pojavljuju u
/k-3/-em izvodu dodatnim clanovima crti /k-3/ ili
/8-6/ i crte koja prolazi kroz /8-5/.
/5.6/
(~-p)
~f· • ·qCS .-(fJ:!f,) } (&1
'" .. (I:=p)
A~1· · ·~5-(+i)~1 • .. ·;6-!
Vazno uociti za 8rednji stubac q=o
pri
Aot1 . <- .. oC,5·-;/ .. ..
Za q=p bi6e dobijeni krajnji clanovi n troug1aste
tabele 9 . to ",
/5.9/ ~~-p)
Uopste 9 znakom plus od.redjeni clanovi levo od
kolone q=o, znakom inus clanovi desno od kolone q=o
n tabele.
Samo sebi razume da /5.6/ ima smis1a ako
/5.10/ 5 -(:!f.)> " u l kad
/5.11/ 5~Cf)!.i»O /5 .. 6/ postaje
/5612/ ~-p)
tj. dobijaju se clanovi koje rekurentni obrasci /4.6/,4
n mogu vise primeniti. U tabeli to c1anovi
IJtubcu. . ()
Clanovi izraza /5.12/ oni preko kojih ! .. "oCs
izrazava u konacnom obliku. i jeste cilj naseg daljeg
r:ada i zato nas interesovati s slucaj kad zadovo1jena
re1acija /5.11/,tj.
/5 .. 13/
izraz sadrzi dve jednakosti. U s1ucaju da u /5.13/
znak plus 6
15.15/
S ~ p~ l:
zavisnosti od /5.13/.
5.1 Slucaj kad s 2
/ Neka u /5.6/ ispred q znak plUB. Tada , s obzirom
/5.13/, =- interva1 promene definisan /5.14/.
Izraz /5.6/ " /5.12/
~~.~) .f).,
;P~1 " .' {J!j~-j; (k-s)
A<~~1 ~ " D /!8 Za > s bi10 bi q=s-p z-t;o u suprotnosti /5.71.
/ Tada /5.,61 ima smis1a akc ispred q znak minus i1i,
/5.13/,
Interval promene definisan /5.15/. Izraz /5.6/ postaje
15 .. 1 .. 4/
oVU vrednost za u ~C:.l.l/ 1C-&1') /
(~-J;l) ~ ,
)/&1
dlJic:t
,:3vi ostali rezul tati isti kao i kad
2.3 Neke
s parno.
(~:'P) Vazno Uocit7fJa se u slucaju B~l jav1jaju
clanovi u izrazu za I~~ .. Zaista, za , p:r.ema
~-o 15.141, p=l i 15.1 .. 11 postaje
(&-)
A)~ (- q=o i vazi /5.8/,tj. 15.3.1/ 1 ~ ~ Ali tada
Ako uzme u obzir 15.15/ tada 1~ p~ k i /5 .. 1 .. 4/
pOBtaje
~-p) (-)
)f!J1 ~-p) ~-i) .Ali sada mogu a'7i ti clanovi f1 l:4 kao najve6eg njima" Razlog jednostavan .. Svi ovi
C1a!lOvi nalaze ist mestu seme pri s .
-35-
(~-p) Ako pri - ne POjavi:A onda se ne mogu pojaviti
i clanovi za > .. Ovi rezu1 tati su u potpunosti sag1a­
sni sa izrazom /5 .. 2/.
Napomena 2. Za p=k u /5.1.4/ dobijamo
"
~j?J{. ~ /-
~~1' •• / (~) Ocig1edno da se osnovu ovoga zakljucuje da se )foC1-~~~ izrazava i preko ) .. protivurecno zak1jucku
koji moze izvesti osnovu 1 . 30 Raz10g protivu­
recnosti sledeoi: (~)
k~fstili smo rekurentne obras~ef;f4.6/. Pri tome smo postepeno
izrazavali preko)t i njegovih izvoda, zat~~ 04- t' ,.~ (1 itd.o Tako smo dosli i c~,nova prvog izvoda, tj.
i njegovih izvoda, tek zatim = r i njegovih izvodao
Ako 11. /5.6/ p=k-l mora biti s-/p:!:'q/6: 1 ..
Slucaj kad s-/p±q/=o smo ispitali. Ostaje slucaj
S-/::q/=l.
" (IJ)
-36-
(1)
tj. clan i njegove izvode koje moze primeniti
);-ekurentni obrazac
Ocigledno da se 15.3.31 i 15.3.51 razlikud.r samo za ",
koje se zaista pojavljuje izrazima za )f ~ ~ ~, ~ ~(ft~5
treba strogo voditi racuna pri njihovom izracunavanjuo
Na isti nacin zakljucuje kad s-/+Q/=l
preko
R z i m W) Na kraju da zakljucimo da clanovi :..' ~ izrazavaju f1oC, .. a(A,S
1501.1/ ~-p)
...

'" Q
-37-
yodeci 1 i 2 i s /tj. da 1i s parno i11
l1./
preko koj1h se clanova 1 nj1hovih izvoda oni~~zraznvaju. 1,
posmatra1i smo jedan potpuno 1 (f. p ~; s /=Iq;,( " ~~ bilo fiksirano variralo. Nas interesuje obrnut slucaj,
tj. kad fiksirano
(lr". fJ)
s varira. Drukcije receno, nas inte
resuje koji nacin pojav1juje u /3.1/. Odgovor to
/5.1.1/ i /5.1.4/ Najveci red izvoda s u svim ovim
izrazima bice kad
~-p)
-38-
( p~ ~2. U /5.1 .. 4/ najveca vrednost s moze bi ti ,
(. ponovo do1azi /6.1/. (k-PJ Ako o~p~ k dobicemo sve"A i njihove izvode koji
lz u odredjivanje koe.ficijenata izraza 1301/0 su
/6.2/
; ~ ~1 ; ~ }oCfo(t
(Ir-p) ~-p) (-)
(1) (1)
-39-
Koriste6i dosada~njim rezultatima izve~6emo izraze za
/7 ?/ .. -
+ !(~~ + B~f~)A.rtf-
-43-
....L1-4-
+ ~~(;,! +fktf8~,r-+B;&fpt,.f+
+fJJJt,~)r,(f-
I(' rt' Il. tt ') rfi . - IL 3' (! -t ? ~3' rJrt>C/ () tf -r
+(~o~ ~~ft):+
+( RJrfft +!JoelB;)tf: +
+(#t·~; +f.tfG:JtJY:ci +
-({ (1)
-+ ( !. 11/ 1{ 1/ -+ !, 'Izt '1/ r/ f
+ : 'Ili n '{/ +x!c1in' rf) +
-+ Ak~( x~~ 'lfr/ + x~x~ '1/1/+
+ :ri ~e 1 +.r7 lC m!' -i + .A..)~ lfI, 'l t .,. )/6 l' 7 {
~!\feki osnovni pojbllOvi i de.finicija singu1arnih
povrsina !povrsina diskontinuiteta/
Obe1ezimo F neki skup funkcija od i t. Povrsina
s/t/ kojoj postoji diskontinuitet bi10 koje funkcije iz F
111 nti enih izvoda zove singu1arna i1i povrsin.a ta1asa u
opstem,sm1s1u. preciznije, kazemo da S/t/ ta1as nultog
/singularna povrsina nultog reda/ ako jedna .funkcija
F/x,t/ prekidna koordinatama S/t/. Talas nultog .1"'>§ ,...,
zove se i udarni ta1as.
Povrsina S/t/ ta1as prvog ako
/ .f-je F/x,t/ neprekidne S/t/ i ,"
/ bar jedan prvi izvod F,i prekidan S/t/.
S1ngu1arne :povrsine i1i talasi ~ 2 de.finisu
analogan nacin ..
Skup funkcija u odnosu koji definise singu1arna1,
povrsina u mehanici kontinuuma n sastoji od .funkci-
u i /x,t/- komponenata vektora n. ~
Naziv geometrijski us10vi kompatibilnosti /geoetrijske
relacije diskontinuiteta/ koristi za n relacije kompati­
b11nosti koje n zavise od kretanja povrsine S/t/, za razliku
od kinematickih us10va kom.patibi1l1.osti /kinematickih relacija
diskontinuiteta/ koje zavise kretanja :povrsine S/t/.
Hed uslova kompatibilnosti odredjen redom izvoda za
koji ovi us10vi traze.
-47-
~Z10tI'i ti osobine operatora [ ] (3~ ; opera­
~or[1 1"10 lako i kratko izvodimo potrebne uslove.
i do sada~ neka zadata glatka povrsina S/t/.
Neka u oblasti prostora , koja sadrzi i S/t/,
definisana r-jaf 6 Funkcija f neprekidna i di~e- I'Giiln u okolini 8/t/ Granicne v1.'ednosti n ~-je
kao i njihovi izvodi neprekidne .f·-je s/t/, !
~ oznaciti .f-ju r unutrasnje, ~ f-j'\l r spoljne strane povrsine s/t/. Pod spoljnom stranom
d.rZ1.lvm stIlU povrsine u pravcu 1n normale ­
vrsini 8/t/.
Operatorom [ definisemo razliku vrednosti f-je r povrsini S/t/, tj.
19.1/
Diskontinuitet /9.1/ f-je! S/t/ cesto puta u literatu­
ri nazi i skok .f-je r 8/t/.
Operator diskontinuteta poseduje odredjene osobine. Nave-
[ nekee
s obzirom /901/ ..
4..Lf-8-
Zaista~ za bilo koje dve ~-je 1 i r iz skupa realnih
I'm:r .i.vih i bilo koj G. dva i(l iz skupa realnil1
orojeva de~iniciji
/9 .. 3/
~./l[tJ+ (L [1] sto trebalo pokazati.
Diskontinuitet izvd dveju .f-je odredjen sa
19.4/
sto n08n sledi iz /904/.
1 n njih .neprekidna, n. r [Y']gO,
/9 .. 6/ [tfJ= r [tJ, De navedenim pretpostavkama za .funkci.ju r vazi
Lema -:
tangentnom izvodu diskontinuiteta /skoka/ [l] "
-49--
~~=t:i~~ ~:oj i.
Osobine A'IB'IC i D opex'atora [ cesto koristiti u
da.ljem ..
definiciji singularne povrsine /povrsine diskon­
tinuiteta/ n f-je r za koju se traze uslovi
ktiil:r:sti.. Na n toga di skontil'lui tetu
k-tog izvoda i'-j r ., Zato koristi ti
/3 .. 1/
-50-
n1.~ x i ])« kao i svih ostalih elemenata unutrasnje geometrije
povrsine S/t/e
bilnosti k-tog 1tt;. ~~~di, odredjivanje diskontinuiteta
koeficijenata >~ ~ u /3 .. 1/ '; tj &
/1002/
da ~)~ .•. ol:j /o~ s""k/ izrazavaju preko /6.2/. cili
Kako svi oni ulaze u linearnom obliku svodi
diskontinuitete ve1icina
" Q
--51-
_ (i} "'\ "' (O"~ - (~) ( [ 1. [,, " · · [.,···"" [/1 ... ~J,
[ ~~]) • " [~o>. dfl " . ~ [~. ~ .~] . A1i prema si D operatora [ . svodi
[) . (t--Q (~·_o
[ ],[ ];,[ ]'''''<4 ) .. .
• <
(;) (t) . (f) •
[ ],[ J,"'i .... ] f'1,,~, .. JIf"'~' [' 1; . . " . , [ f JF1"<F1 .•. , [! ]'«1''''''''
-52·=
prvog, dr~g05, tRe6eg i cetvrtog
I'eda
Zakljucno prethodnim, desetim~ odeljkom teorija
". dO 1 t' °t t . .v+ povrs~na lsron lnUl · s~anOVls~a geometri~skih uslo-
kompatibilnosti zaokruzena. Sada smo u stanju da damo
i konkretne rezultate~ koji ujednQ preatavljaju i iluatraciju
primene do izlozene teorije. ! se ovde zadrzati
izvo(ljenju uslova kompatibi1nosti .f- do cetvrtog reda.
Medjutiill j nacin izvodjenja uslova kompatibilnosti visih redova
potpuno istovetan ..
/10.1/ i. /10 .. 4/ .. Pri tome svakako koriste rekurentni
! /4.6/ .. U slucaju ! koristiti rezu1tate
ode1jka 7 i to izraze: /7.2/, /7.4/, /7.6/, /7.7/ i /7.8/.
di dstvstiis8 konacnih izraza obe1ezimo (ftJ) . ( )
73 velicine [ : .. ,tj.
sa
/11.1/
()
n.:{AJ-[f Tada 9 s obzirom /7.2/~ 110.1/ i /11.1/, geometrijski -
lov kOlllpatibilrlosti prvog reda
/11 .. 2/
G t · . k" 1 • 1 t ''.."1 1:;' d d .. :rlJB_l US_OVl compe~2ul .n· l rugog a~ Z~-
glase
111,,3/
/11 .. 4/
Na isti nacin kao . izvodjenje us10va ktiil­
I10sti bilo kog prakti.cIlO svodi f'ormalno zamenjivanje
odgovarajucih diskntiritt velicina [~)] u konacnim relaci­
13.1/, ~to ilustrovano relacijama prvog~ drugog i
treceg Zato uslovi kompatibilnosti cetvrtog
dlrektno ! ta~ju. iz /'7" 7/ :1. /7 .. 8/. i napisati u eksp1i­
citnom. oblikll (1 ! kompJ.etirali na~e rezu.ltate .. Tako
/11.5/
-56-
s zi /7 .. 7/ i /11" /" Uslo''Vi k.tiilrlOsti cetvrtog
/1108/ -
-57-
12 nn! zakljucci
Na svega sto izlozeno U se izvesti
slede6i zakljucci:
diskontinuitetima normalnih komponenti, njihovih izvoda
povrsini diskontinuiteta i geometrijom same povrsine disko-
ntinuiteta;
f-je za koju diskontinuitet -tirazi nego njeni izvodi
povrsini diskontinuiteta. Ov zak1jucak suprotan pret­
postavci Hadamard-a koja ekspicitno ponovljena od strane
Truesdel1-a i Toupin-a u CFT, str. 496, & 176;
3/ vi sada poznati rezu1tati specija1an su slucaj
teorije ..
/12.1/
di za k=1,2 .iz /11.2/ i /11.3/ isti oblik 1 kompati-
bi1nosti prvog i drugog reda koji dobio i . .. Thomas
[ ~()>>i] ::= '~!Ji + 4 )~ri . ! . [ I .} ~
[= tini + (f}~g4AiJ(i:t~+nf :I~)+
-f (4 - 91) :r;~:r1 '
Ako uvedemo novu oznaku
/12.2/ - i primenimo /1201/ i /12.2/ u /11.4/ dobicemo uslove kompati-
bilnosti tre6eg reda u obliku
f~J=JJT/r/'If+
+ (6cGt o!+B~a.,co + ff' 0:0), }
U specijalnom slucaju kad
tj kad su .f-j i i t: neprekidni, dobi6emo
['fl'J",JJr!,/rt-+ CYr~1/f+1!.trlff+:l:C tf?/)- -P[(x~ I~ '1/ +:l~!l; fl/+]j :r~'Il9
koj i tl) identican rezl.:il tatv. Nil.i. .. ·.. i 1)Il [2] , /'1970/ ..
Ako
ki.i
/o,~ ~ k-l, "'., /
r snovu pretpostavke neprekidnosti f-je1 i njenih
izvoda., Istu relaciju /12 .. 4/ mozeo napisati nekol,iko
ekvivalentnih oblika
/12 .. 6/
~ ? ./~ J:IV D ~> ):71 l.f!]rli., ., '". llk '= ) }!?. ' 11 '1·
/kad k parIlo/
-60--
/kad k neparno/. Pri izyodjenju ovih izraZ8 vodili. racuna neprekidnosti
f-je f i. njenih izvoda do k-l reda kao i relaciji
/12 .. 7/
Izrazi /12.6/ u potPLUlOj podudarnosti rezultatima
Truesdell-e. i Toupin-a /vidi Cli'T,st:r'. 498, /17€) " 11/ ..
l!-/ ! tl1e razlike izmed.ju - teorij i ovde iz10zene
sledece~
teta dva uzastopna reda 8to kod - teorije iSkljuceno.
- Za izvodjenje relacija diskontinuiteta bilo kog reda
osnovu Thomas-ove teorije nuzno provesti ce10kupan un.
Vec kod diskontinuiteta tre6eg reda racunice vrlo kom­
plikovane postupak prakticno nepodesan /vidi Truesdel1 i
Toupin, CFT, str. 498/ ..
uslova kopatibilnosti daleko prostije i bez provodjenja
celokupne racunice.. Njena primena u tom smislu bila izlo­
zena u odeljcima 7 i 110
- h teorija daje ogucnost da da opsti zakljucak
diskontinuitetima bilo kog , prema tome moze
! nazvati opstomo
u ovde izvedenoj teoriji, vide1i , odredjiva-
n. uslova kompatibi1nosti biIQ kod reda ! ddiv­ (,)
.nje diskontinuiteta 11' "ina '_", ". u odeljku 5 pokazano ~ 11'lN1 .. .. "'
konacan izraz za :t dobija u elegantnom obliku /5.3/.
1 za osta1e l{:oe.ficijente _1' ...I'nmoguce dobiti konacne izraze. ((Aj.(J.~
taj nacin moguce izvesti najop~tije zakljucke diskonti-
!l1.1i.tetime bilo kog reda jNapominjem da ovde, zbog kom-
plikovanosti ovih jzraza~ zadrzali detaljnoj analizi izraza
. za t .. ~kOja n daje dovoljno podataka osnovu kojih moze­
zakljuciti dovoljno diskontinuii;etima bilo kog .. / ..
d- Izlozena teorija egzaktna i pociva dokazima datih
teorema., hs-v teorija vise metodo
- u - recXe~ se relacije diskontinuiteta odredjuju
diskontinui tetima ' znaci u teoriji ~·~··oCs
odgovarajuci c1anovi grupisani, cime znatno uproscu-
. Primenom operatora diskontinuiteta i koriscenjem njegovih
osobina prakticno svodi .fmliz.
-:.-
kompatibilnosti .'~~i,' bi tno vezani za kretanje povrsina
diskontinuiteta. Zato neophodno potrebno prouciti nji­
hovo kretanje.

/2.1/
i1i
/2.1/ [=I{!, [),
gde sa obe1ezena tacka prostoru cije su koordinate x i ,
sa u 1/1'>1
obe1ezena tacka povrsini sa koordinatama
Ovaj nacin obe1ezavanja vrlo praktican, sazet i gde
9g mi ga koristiti i .
..
U n trenutku t tacke povrsine potpuno su odredjene
svojim koordinatama S/t/. Brzina kretanja n tacke
povrsine de.finisana sa
/13.2/
gJt/ nije dati jedTloz.necan oblik /2.1/. Prema tome,
/2 .. 1/ n mogucih p8.ram.etarskih oblika povrsine S/t/,
ciji analiticki oblik dat /13.2/.
Pretpostavimo da dat bi10 koji parametarski oblik
/2.1/ povrsine 8/t/ .. D.i.ferencirajuci /2.1/ vremenu dobi6emo
/13.3/
re1acijom
, ~-L 6 =!'!! = .w /jrOdl/ ~ -#;/, • /13 .. 5/
Iz /13.5/ vidi 6 upotpunosti odredjeno sa /13.2/,
tj .. nezavisno naseg parametarskog prestav1janja /2.1/
povrsine S/t/. Drukcije n, sve mogu6e brzine r povrsine - koja imaju iSt1J. n1n kom.ponentu 5 ' koja zove
brzina n povrsine.
u specijalnom 1. mogu_6e S/t/ prestavi ti u posebnom
parametarskom obliku /2 .. 1/ za koji W upravno S/t/, tj.
/13.6/
-64---
brzina zva6e normalna brzina povrsine. Ako bi bilo
:::= 1(/;) povrsine obrazovane za razlici ta vremena t bile bi
paralelne.
oblik S/t/ saglasan sa /13.2/. /3.1/ i /13.2/ moze
biti koristeno jedJ10Vremeno tako /13.2/ identicki ­
dnako nuli, tj .!(I(EJi),i)=O . Di.ferencj.rajuci izraz vremenu dobijamo
11.+ ' of t}~or
s obzirom /13.5/ sledi
/13.7/
Obrnuto, /13.5/ sledi iz /13.7/ tako da /13.5/ i /13.7/
ekviva1entno de.finisu brzinu pomeranja s obzirom /2.1/
i1i /13.2/ kojima de.finisana povrsina S/t/.
Do sada u bi10 nezavisno odvremena, tjo prestav1ja10 """
tacku povrsineo k u prestav1ja npr. materijalne tacke - povrsini, koje u toku vremena uvek ostaju S/t/, tada u
opstom slucaju u = u /t/. U tom l bi6e, s obzirom - /2.1/,
/138/ fJ1! +X~ tiJt lfJ~ di ,~ dt ""
veliCinajf~ naziva tangentna brzina parametrizacije.
Iz /13.8/ direktno sledi da
/13.9/
-65-
-vlja tacke povrsini za norr.a.a1no kretanje:
da ~ presta-
Sva dosadasnja nasa razmatranja bi1a nezavisna od
kretanja bi10 koje materija1ne sredine. Sada pretpostav1jamo
sredina, koja sastoji cestica , u kretanju. Neka ,...,
kretanje materija1ne sredine de~inisano sa
/14.1/ ,
i nepr·ekidne. Zamel10m /14.1/ u /13.2/ dobijamo
/14.2/
ili
i t. Otuda a1ternativne reprezentacije
povrsine krece
/14 .. 4/ , f(~Jt)=D.
U drugom prestavljanju povrsine S/t/, koji obe1ezavamo sa (), mi smatramo cestice Z nepokretnim. Fizicki smisaoJri) nn kretanje medju Cesticama~. Tacnije, u svakom trenutku
t raz1icit skup cestica na~} U specijalnom slucaju kad
1 I
{(:}- mi kazemo da povrsinao Ako
/14 .. 6/
onda ) materij alna ivSin. Reprezentacije S/t/ i J(l) ,
F()t):: dualne .. n prestavljaju
tj .{(1,t)=O i
potpuno razlicite. S/t/ povrSlna prostoru polozaja, dok
je~) povrsina u tu cestica, tjo pocetnih polozaja ­ si:iica !~ koje se u trenutku t nalaze s/t/.'!ftJ trenutne
geometrijske interpretacije, n postoji neko /bilo k~je/
geometrisko svojstvo koje bi posmatrac u prostoru mogao uociti.
Dualan izraz za brzinu definisan sa
8
Povrsina koja povrsina diskontinuiteta za neku velicinu
i ~a brzinu prostiranj razlici tu od nulezove se povrsina
prostiranja diskontinuiteta /singularna povrsina prostiranja/ ili
talas ..
Ocig1edno da vrednost 6 za datu povrsinu !(I,i}=O u datom kretanju, sem kad jei7~O, zavisi u opstem slucaju, od
izbora trenutka posmatranog kao t=o za kretanje svake cestice
/s obzirom dualnu reprezentaciju J""X~i)/. Vrlo cestR
!( 'KT'~ '· ~ ::!': ' , 1 . ~ Vt··;.. , . 'l:
pogodno uzeti za t=o uoceni tr.utk Onda
funkcionalni oblici f i ,! ' u tom un
·-67-
trenutku, identicni. Ali, izvod vremenu racunat kad
x=conste nije u opstem slucaju jednak izvodu vremenu
kad = constea U specijalnom slu~aju, sa ovim izbo­
rom .tilnih koo:rdiIlata , brzinu prostiranja 6 1­ zi6emo saL/i zvacemo lokalna brzina prostiranja povrsine.
brzina nln brzina povrsine u odnosu cestice
koje se trenutno nalaze njoj i vezana brzinom ­
n re1acijom
6 v[ fl< =,-1--1 /14.91 _-_ ':
! i;1C
gde jeIbrzina cestice koja se trenutno nalazi povrsini 7
nn normalna komponenta povrsin]( , za specijalni
izbor materija1nih koordinata x~tf::r~ /ako se trenutna
kon.figuracija izabere kao pocetna/,
zbog /14.9/ svodi
/14 .. 10/
-68-
n. normalne brzine i norma1ne brzine povrsine.
U l da povrsina S/t/ materija1na bice -Jfn=LI=. Na n ovoga i /14.9/ lako dokazati teoremu
Lagrange-a:
Potreban i dovo1jan 1 da bi povrsina /([,1.)-0 bila materijalna jeste 1=0 .
i takvih povrsina granicne povrsine telima
/za deta1je k1asifikacije granicnih povrsina videti CFT,
'~. 184/ ..
cija za izvodjenje kinematickih us10va kompatibi1nostie Mi
kad god moguce koristiti lf izvod n, koji definisao . Thomas [3<:> Njegovo uvodjenje dovodi
ve1ikih n inace slozenih matematickih operacija i
izrazae
de'finisan
= aI + 6 tK71t .
u norma1nih trajektorija tacaka povrsine s/t/ za koje

tj.
-69--
/14.3/ 1f= $= Stav: Operator [ ] i [~..l:ZVOd vr~~en'U kttivi. Pri dokazivanju ovog stava mi 6 slediti YoThomas- [ • Posmatrajmo dva polozaja S/t/ i s/t +~t/ povrsine S/t/.
U nekoj tacki // S/t/ povucimo normalu kao sto - prikazano l.1. Prava -
djena normalom prodire .-
pri ~x prestavlja raz1i- 6'<>#
ku koordinata dveju tacaka, tj.
komponente vektora re1ativnog -
sl.1 vac norma1e "..
Neka
gde ~ .i 1; vrednosti .f-je'f spoljnoj i unutrasnjoj
strani 8/t/" Obelezimo L1A razliku vrednosti .f-je u
tackama pD i , tj"
= (~~Y:)#:A't -!J~
41= Yi(p;t1iJ[)=filRi) _ t,{P,tTAt)-trl:) Jt ~t ~t
Tada
pravcu normale r.1. bi.6e ."""
Na i.sti nacin
Tada ~ u_ graIlicnom slucaju svodi izraz .6.1:
/15.5/ if=fl-1f = (l-iffl=[Jf · de.finiciji operatora [ i osobina f-je r S/t/.
Uzimaju6i u obzir /15.31 ~ /15.51 napisati u oblikri
/15.6/ tf[iJ~[lIJ t li.')
sto trebalo pokazati.
1-6. tf izvod nekih ve1icina
"[ 8 videli geometrij povr'sine S/t/ utice geome-
'!:;.isk us10ve km,tilsti .. Normalno ocekivati da to
! ti slucaj i za ki:::lem.aticke 1 kmtiilsti" Zato
proucititf izvod osn.cvnih geometrijskih objekata povrsine S/t/:
.... , i ! . ~,. _ _ .!: . ).~, 9 QJI., ,~..l.~:!J •
-71-
/16,,1/
·,Pre nego sto n izvodjenje novih re1acija za dru­
ge geometrijske velicine povrsine S/t/, napominjemo da izvod, do 1n' izvod u norma1nih trajektorija
tacaka povrsine S/t/. Tada
/16 .. 3/
Zaista,
/16 .. 5/
pri
/16 .. 6/
"\ • ,. ','"',,:! ~~.
}. .) f' ; ~ ~'
si:;'\ dokazan .. ,s-t.ay 6 O.alje ' koristiti.,
", .; ". . .. ;:", '7, '1 .. +: .. i.-.Il· ri ~'. 1> ~ -" ", "],, ,'1 -.::> ·~~O -: d''''''C') s·!- <::> V''''']' ..; ,;> •• _ .. ~.o ~ ,~., ' •• cV 1,. -'- ~ . V '.i. ,_",', •. . _ '-., :." ~ ... .<." V (,~ .". ,) " .,
~I1D.lc() f.;
/16 .. 10/
/16 .. 11/
/16 .. 12/
koje su dobro poznate /vidi .. CFT, DOdatak/, koje
jednostavan naain dobiti ~fiste~ preth~fi stav .. Na
. t . ~ . l· ' d d· t . ' O~ ~. td 1,S 1. naCln mog 1 1 1 1 " 'dt" 1 " ..
J\'Iedjutim, to bj~O n posao. dati postupak za
odredjivanje ~ ~ gde k=1,2, ..... oo,N bilo koji prethodan

Isti postupak moze primeniti i na:r~" Opravdano ovde postaviti pitanje zasto interesuju
izvodi bas ovih velicina .. U ovom trenutku odgovor mogao
biti intuitivan& Naime, pokazalo
rezultatima za uslove kompatibi1nosti
u dosadasnjim poznptim
prvog re dr-
od ! tnog znacaja .. ! pre_tpostav1jamo da se za us10ve kompa­
tibilnosti viseg reda ~2! i dalje pojavljivati, kao i da red njegovog izvoda povecavati. Pokazacemo kasnije ko1iko su
n oceki\Janja bila opravdana.
Uocimo da iZVOdd koje primenjuje .. Tako

/16 .. 13/
~1l!. vektor /derinisan S/t/.
(f;) gde ~ i
@~ k.n.t u u IlOrmal i
Jcangentnoj ravni respektivno.. In.a.eks k 1]. ovim izre.zima
"'c;emzorski karakter sto s :u.ag188i1i st8Y1j ajuci ga u zagradu.
defini~e 1 strani /16~13/ red izvoda, desnoj
kojeg reda izvoda S1.1 -",'" komponen.te ..
Kako
/.1.,,19/
'~4~fJ!~b
'
-77-
~ . '!!,5! bez 11810v8 8 r-D, tj. nmln traj~ktorijama ta5aka povr~ine. ! i koristiti njima
.... ... ... +. ~. . ~ :1." "". t .. 1;:80 8 v 1. lffi . J.ZYOQO - . .. Ali pri konkretnom
." . l' t . V k . '1r 1 ,- t' . 1 t . d .. lzracunavanJu l-l~lLl _ 1. 1. 1 pogo nlJe
, 1 · t' ... "~ . [31). r:_,. ..roor . .. .. llgl lzrazJ.. usV'U.
kdint /normalne trajektorije tacaka povrsine/ jedno-
v ~ ' znacno 8
Za opste
n8opl1.odno
11.<-161 tf izyod. bi10 kog /i n-tog/ neke
f'~'Je r neprekic1ne i di.ferencij l S/t/ i t.
1\ .- t' " ..., + . . d V l' d l' ~aBa razma .. .~ l 8 ze .. nag s..
da i :r~i~t) bilo ! parametarski oblil- S/t/.
1)0 definiciji
/17.2/ Vt'f~~1C
/17 .. 4/
,-,"-.... ('.~. ,... .. ~·;' ... 110.... S'~lO 1r",r-~ C!-!--~ 1 -, ;/4 2/ l ..... ..L . ..1... _ r,; ......... ~ .... ': . .1. .!.~ ·_· -,_ •. ~~ l.; ~ ... \ .. ... _.." '" __ ..
~ r m 4: n-" o~ izvod. f-je I moze se prestavi ti u
,.;likv.
/1 '7 r:::. / ( ~//
+ t + ' "'1 • ~ 1 •• :,;n ·m .. ;l.;:(ill 1.IlO.UL':':1.n .. Odmah vidi da /17 .. 51
tstvi sada . /17 .. 5/ 'n i .za
pri l1 s koristIlJ_ /4~2/'j 117.5/~ u /17 .. 6/,;) staIrili '-
l'1f!§ff .. Na osnovv. /1 t / .. / p.roizl1azi da /17,,51 vazi i za
n+l tome i za svako ~to trebalo dokazati ..
,. 1
/17 07/ JZn~1f ~[ tJri [ }ff-; 'fl q . r;o
Ve6 s ra1.lije I1ul.. r b110 koja tenzorska veli-
cina" /17071 1zi i za tCg , tj.,
Sm /17.,8/ u /17.,'11 dobijamo
/17.91
Ako primenimo /1707/ ~IG~ i to smenimo I.l /17,.91 bi6e
117 ,. / ;" 6.10
Nastavlj ajuci }JO;:c.;·t:;·r.IJ>Hk da1je ~ kOllaCnC dobi.jamo
/1'"1 .. 11/
-81-
& & & 8 • • • • 8 • • • •
8 & & & ~ • 8 • • • • _ • • 8 $ • • • •
pri ~ strogo vodili a~na da
/17.12/ 1/ =) - (t + ~ ~t,-f)~ i
/17 & 13/ ~»eJ,. ~ ; ls--.f> za l1:0 1-' s," U specijalnom l kad s=n svi
/17 & 1-4/ [ ~ ) ( s= 1 , 2 , " " f ) "'
lz /17 .. 12/ i /17 .. 13/ vidi da n&
/1 7 .. 15/ ~ ~ { '!l = rn vidi da se /17 .. 11/ moze napisati u sazetoln obliku
~l )1 , I 1, I
i
-82-
/17 .. 16/
'r ~Z~17 .. 1/ i. 1301/ sledi da se '8t:n izrazava~i preko
% <., ., OS- i n ihOr/h " izvoda. li!edj u t i. kako se 11 '.k, · • . r>CS v ,
izrazava preko i njihovih iZVOda&O u to u kona-
cnom obliku i ~ izrazavati preko A~ i njihovih izvoda '" i tf izvoda. izvodi n i i xi,.,c takodje ucestvuju u 11'1 /17.16/ i odredjuju uticaj geometrije povrsine S/t/ ~ U odeljku 16 mi napomenuli da moze ocekivati i~ izvod n i i xi,~ sto se pokazalo tacnim ..
18 .. Neki primeri
.. Tako za
i1i konacno
/18.2/
pri rn korist11.i rezultate odeljka 7, /16 .. 1/ i /4.2/.
Z~ n=3, 1 s 3
U·· cilju dobij Il k:.ng rezu1.tata potr'ebno koristi ti
rezu1tate odeljka 7 i odeljka 16. Mi tome n zadrza­
v-ati .. Za ns odredjivanje uslova kompatibilnosti i rezu-
ltat sasvim dovoljan.
19" Kinemati::2-.ki usl.9"'yi kompat~bi.lnosti n-··tog reda
Primenimo operator diskontinu.iteta [ /17 .. 16/.
/19.1/
kao pos1edica osot>ina operatora diskontinui teta i njegove
komutativnosti i.zvd .. /19.1/ prestavlja kinematicke - 16ve kompatibilnosti n-tog reda f-jef povr~jf1 Sjtj.
n se vidi da se oni i.zrazavati preko [~J ,njihovih
izvoda ut:JC i. tf izvoda" ve1.icine izvan ovih geometri-
ski uticaj povrsine s/t/ .. u /19 .. 1/ ulaze prekotf izvoda
Il! i xi,oe •
svojim izvodima 6.0 n-1-og reda /19 .. 1/ postaje
-85-
/19,,2/
sto prestavlj intr·::;.iu u.gnit-Duh-v t:
Brzina n siIlgularne povrsine kojoj f-ja I i njelli izvodi n-l·-og reda neprekidni a1i bar jedpn izvod
n-tog reda kidn n do znak kolicnikom di­
skontinui teta [$1 i norma1ne komponente n-tog izvoda flZf f-je r /i1i n-tog izvo<la u pravcu norma1e f-je r /, ·. 8l}i
[CFTJ .. Da bi korn.pletira1i izvedenu teoriju napisa6emo
kinematicke uslove kompatibilnosti prvoG i drugog reda. Ovi
neposredno 1 iz /18 .. 1/ i /18.2/ kad primeni operator
.iskntinui teta [ i n u obzir /11 1/ ..
Kinemat6f~i uslov ktilnsti prvo~ ls:
/19.4/ [~] =1 -85, drugog red~ ~ () (1) ~~)
/19.5/ [~J= -§i1J -16 11 -6(1~+~.
, I I
·· ". . . 1 lZ\f'OQJ 611 , \ od najopstijih pretpo-
stavki za f-ju r bilo koju tenzorsku
i "t;ipa"
/20 .. 2/
i1i.
~';'-,- T)C"'i""'" ~ 1-\!::! - c>'~; ,<,_O-i-,,::. Ql( '~"Y! +"1:,'1 +:0 ,_' J:::._, .. ,',"'Ciov .... ,_; .. ~ l ..... ....,"l,\.v 1J......,~o\,e .__v1, .• .. ~"
" '? :>.. ...., . v .. ... . - •
1.) s.lll sllJ.,;]' k,arl i'-'J8 kld zaJedno
•• ' ~ 1 "' , ':' C:;:',rr'Jlrn lZ' -VO- 'U'l,C (,,". "·'-I.·n- ="' "'-". lC"" ~JA k..' "-.......... ~ . ...L.;:;J. '-~ ..... ' .J..,..;I.t. , ~!.. v
I"")C .l.l../· I ':'_,. I
rtn D !Jl~ . U1,f •• "!i tn
~~ / [ '!l ~ .. nlm llP~ · rfn 8. (, ... JtJ']X fli; g ' 1lim [[{]
mesovitim zato .sto vl11ll i iZ70di l?o koor(1::'LI1C'.t;flEl8
kao i . S druge strane, kako
/20,.5/
k k111mtiki i kao geoetrijski. U prvom s11..lcaj'l..1. mi
zl1 iiu .! m-tom' kovari.jantnom }
izvodu -- f u drugom e~ n-tom izvodu
iste f-je ::,,:,m.IlU .. Izz /20.5/ kz
jedl1.o koji nacin izracu.IlBvati 10 kompatibi­
lnosti za l. Nama cini da za pogodnije,
s obzirom pri1az , ih odredjujemo
naci~prikazan izrazom /20 .. 2/ i1i /20 .. / . .(~
. 1"'" t t' d f' . k /;Ej.> .. {r u punos 1. lnlS8 ';
tom slucaju
i njihovih
dobijamo konacne z1tt.
ki?:t ickil1.
1.1s10\ 1.tii1s·t;i \iT10 s1ozenog blik. .. ;10 i ,>
,. 1:
oceki'\7ati s Z:Lm } defin.iciju ( iz"Voda .. IJ izvod i kv-· ! .Jiii,
i zl.n:Gl1i izvod i.'.311 1:0muttivi 1;,~ao sto sl za .~.-Il :i.J.i;' /··"
V}t' .. r,~:r.::<ij1.1tir.1~ i pored. S-8 S\7'oj 10zsti, l--
vnije bilo koja do Ba~a poznat& td, 6to
-89-'
ilustrovali izvesnom broju primera. Pokazali s da su svi
'1:.0 sd. po:znati rezul tati, tj .. re.1acije kinematickih uslova
kompatibilnosti, specijalan slucaj ove teorije. U radu dat
i originalan postllpak za odredjivanje tf izvoda n i i xi,~
slucaju ml paraIr~trizacije jednacine povrsine 8/t/. Ovi
rezultati bitan deo~ovde izlozene teorije, omogucuje
dobivanje uproscenijih izraza za uslove kompatibilnosti /vidi
. Thomas /.
karakterisu materijalne sredine /kontinuuma/
povrsini diskontinuiteta .. Takve velicine su gradijenti
de.formacije , tenzor de:formacije eij , tenzor -ltj itd.o primenom[ prvu Cauchy-jevu jednacinu kretanja
dobijamo dobro poznate dinamicke uslove kompatibilnosti. U
trenutku razvoja mehanike kontinuuma najnovije
teorije sisteme di:ferencijalnih jednacina, ~oje
omog~cuju daleko kompleksije i egzaktnije sugledavanje -
sanja materijalae Svaka jednacina ovih sistema
dinamicki uslov kompatibilnosti. S druge strane, nove teorije
zadrzavaju .fktim prvog . tome vec bilo
reci u uvodu ovog .
Sve to problemi bitnog interesa za dalja istrazivanja,
pogotovu aspekta primene povrsina diskontinuiteta.
-90-
.~:.
solids, Progress in Solid Mechanics,
Vo1.II,247-276 /1961/.
in finite elastic strain, . Rational
Mech. Anal. 8,263-296.
[3] . Hayes i R.S. Riv1in: Propagation of 1n
wave in n isotropic e1astic materia1
subject to pure homogeneous defor~ationo
Arch., Radiona1 . An1. 8, 15122.
[4 Ro Roupin i . Berstein: Sound waves in deformed
perfect1y e1astic materia1s; the acousto­
e1astic effect. Acouste SOCo . 33, 216-225.
[5] y~ Thomas: Plastic f10w n fracture in solidso
Academic Press, New York /1961/.
'[6 Ro Hi11, . Mech .. . Solids 10,1 /1962/ ..
[7 . .. Chen: Growth of acce1eration waves of
arbitrary form in homogeneous1y deformed
e1astic materia1s, Arch. Rationa1 Mech.
Anal. 30, 81-90 /1968/.
-91-
[9 .. Dun\vood~y i N.T .. Dunwoody, Int. Engng Scie
3~417 /1965/.
[1 , G.A .. Naribo1i, .. rnath • .Analysis App1iCo8,57/1964/e
[11] .. Var1ey i .. Dunwoody, . . Phys. Solids 13,
17 /1965/.
[12] M.F. McCarthy:: propagation n gro\vth 01' 1n
acce1eration waves in per1'ect1y e1ectrica11y
conducting e1astic materia1 in magnetic
.fie1d .. Int .. . Engng Si .. 4,31/1966/.
[l~J M .. F. McC:arthy i '{v"A.Green; Int. Engng Sci .. 4,
403 /1966/.
tion and the growth 01' acceleration waves
in e1astic materia1s .. .. Rationa1 .
An1. 31,228-254 /1968/.
[l~ M.F. McCarthy i .. Eringen; Int. Engng Sci. 7,
447 /1969/.
(16] . D. 1n; Arch. Rationa1 . An1. 17, 1-46
/1964/ ..
360-364 /1965/.
(!-8 B.D .. Coleman i .. .. Gurtin: I!Vaves in materials with
memory. J~ch. Rationa1 An1. 19,
266-298 /1965/.
~~ .. n: the growth 01' longitud~na1 waves in
anisotropic elastic materia1so .
--92-
(2~] .. So Suhubi; he gro'..vth of acceleration waves of
arbi trary f'orrn in deformed hyperelastic
tils .. Int.J. Engng Sci .. 8, 699-711
/1970/.
[2~ G .. A .. Naribo1i i BoL. un: Growth of acce1eration
waves in n unsrained non-1inear isotropic
elastic medium, Non-1inear mechanics, 5,
513-525 /1970/0
. [22] L.. 1: De motu f1uidorum di ca10ris gradu
oriundo. Novi m. .. 8ci, Petrop. 11
/1764/.
u primis nostrae eognitionis prinei-
piis stabi1ita et omnis motuso
~~ G .. G. Stokes: Notes hydrodynamics .. Cambr. Dubl.
Matho .. 3,209-219 /1848/.
durch e1astische f'este Korpero Ann Mat ..
/2/ 8,193-244 /1877/
UIl f1uide indefini .. C.R.Aead.Sci" Paris
101,1118-1120,1229-1232 /1885/ ..
et 1es equations de 1'Hydrodynamique ..
Paris /1903/.
negatives n 1 gas. CoR .. Aead .. Sei,
Paris 141,"710-712 /1905/.
Ber1ine Springer. /1929/.
the study of surfaces of discontinuity
in continuum mechanics, Math ..
6,311-322 /1957/.
F , Handbuch Physik, 111/1,
225-793 /1960/.
conditions, Int.J. Engng. Sci .. 4,207-235
/1966/ ..
differentia1 geometry, Second edition,
/1965/ ...
kristalima" Magistarski /1970/"
Strana red oc1ozgo stoji trelJa
~ 13 I11 ".;: 11o:rna s 11 13 specij alno·t specijalnog
7 1. sadapoznati sada poznati if 4 f-a f-ja
17 13 /3.// /3.7/ 20 13 in iH+1
s , s
ti tal)cli })r. .... tr stoji preseku ..)
k-p-te vrste i s-te kolone ~-!l)

68 17 s/t/ S/t/
86 4 ti, .. .. ·'im