Ja raSTEM! Interdisciplinarni STEM kurikulum za 7. i 8 ...jarastem.hugokon.org/wp-content/uploads/2018/02/Kurikulum-7.-8.-razred.pdf · Nastavne metode i oblici rada (npr. demonstracija,

Ja raSTEM!

Interdisciplinarni STEM kurikulum za

7. i 8. razred osnovne škole

2

Sadržaj

1 Nastavna tema: Beskralješnjaci i kralješnjaci ..................................................................... 4

1.1 Tijek radionice ............................................................................................................. 5

2 Nastavna tema: Čudesan svijet biljnih molekula ................................................................ 6

2.1 Tijek radionice ............................................................................................................. 7

3 Nastavna tema: Otkrivanje lijekova uz pomoć računala ..................................................... 8

3.1 Tijek radionice ............................................................................................................. 9

4 Nastavna tema: Izolacija molekule DNA.......................................................................... 11

4.1 Tijek radionice: .......................................................................................................... 12

5 Nastavna tema: Slatka kemija ........................................................................................... 13

5.1 Tijek radionice ........................................................................................................... 14

6 Nastavna tema: Kiralnost molekula .................................................................................. 17

6.1 Tijek radionice ........................................................................................................... 18

7 Nastavna tema: Otpor zraka i brzina pada tijela ............................................................... 20

7.1 Tijek radionice ........................................................................................................... 21

8 Nastavna tema: Gustoća ugljikovog dioksida ................................................................... 23

8.1 Tijek radionice ........................................................................................................... 24

9 Nastavna tema: Vrelište i gustoća vode ............................................................................ 26

9.1 Tijek radionice ........................................................................................................... 27

10 Nastavna tema: Duljina sjene ........................................................................................ 29

10.1 Tijek radionice ........................................................................................................... 29

11 Nastavna tema: Dokaz u nastavi matematike ............................................................... 32

11.1 Tijek radionice ........................................................................................................... 33

12 Nastavna tema: Dovitljivost, duhovitost … je li i ovo matematika? (Logički zadatci) 39

12.1 Tijek radionice ........................................................................................................... 40

13 Nastavna tema: Mali poduzetnici (Projektni zadatak - Geometrijska tijela)................ 48

13.1 Tijek radionice ........................................................................................................... 49

14 Nastavna tema: Kombinatorni zadatci i prebrojavanje ................................................. 54

14.1 Tijek radionice ........................................................................................................... 55

15 Nastavna tema: Površine ............................................................................................... 58

15.1 Tijek radionice ........................................................................................................... 59

16 Nastavna tema: Strategije rješavanja problemskih zadataka ........................................ 61

16.1 Tijek radionice ........................................................................................................... 62

16.2 Faktori koji otežavaju rješavanje problema ............................................................... 64

3

16.2.1 Pogrešan redoslijed ............................................................................................ 64

16.2.2 Ključne riječi ...................................................................................................... 65

16.2.3 Dodatni brojevi ................................................................................................... 65

16.2.4 Riječima skriveni brojevi ................................................................................... 66

16.2.5 Brojevi koji se podrazumijevaju......................................................................... 66

16.2.6 Više koraka ......................................................................................................... 67

16.2.7 Točan matematički rječnik ................................................................................. 67

16.3 Strategije rješavanja problemskih zadataka ............................................................... 68

16.4 Metoda pokušaja i promašaja .................................................................................... 70

16.5 Rješavanje srodnog jednostavnijeg problema ........................................................... 72

16.6 Metoda oponašanja i simulacije................................................................................. 73

16.7 Metoda rješavanja unatrag ......................................................................................... 75

16.8 Pronalaženje uzorka ................................................................................................... 77

16.9 Logičko zaključivanje ................................................................................................ 79

16.10 Promjena fokusa ..................................................................................................... 84

17 Nastavna tema: Singapurska metoda modela ............................................................... 87

17.1 Tijek radionice ........................................................................................................... 88

17.1.1 Model usporedbe za zbrajanje i oduzimanje ...................................................... 89

17.1.2 Model dio-cjelina ............................................................................................... 91

17.1.3 Dio-cjelina model za množenje i dijeljenje ........................................................ 93

17.1.4 Multiplikativni model usporedbe ...................................................................... 94

17.1.5 Modeli omjera .................................................................................................... 95

17.1.6 Primjena na razlomke ......................................................................................... 97

17.1.7 Primjena na decimalne brojeve .......................................................................... 99

17.1.8 Postotci ............................................................................................................. 100

17.1.9 Strategija metode modela ................................................................................. 101

18 Nastavna tema: Demografski slom Hrvatske .............................................................. 109

18.1 Tijek radionice ......................................................................................................... 109

19 Nastavna tema: Pitka voda .......................................................................................... 113

19.1 Tijek radionice ......................................................................................................... 114

20 Nastavna tema: Šareno Sunce ..................................................................................... 117

20.1 Tijek radionice ......................................................................................................... 118

21 Nastavna tema: Vulkanizam ........................................................................................ 121

21.1 Tijek radionice ......................................................................................................... 122

4

1 Nastavna tema: Beskralješnjaci i kralješnjaci

Cilj / postignuća (u jednoj rečenici): Usporediti građu, fiziologiju i ulogu u zaštiti okoliša

beskralješnjaka i kralješnjaka na primjeru školjkaša i ribe.

Odgojno-obrazovni ishodi (Po Bloomovoj taksonomiji)

UČENICI ĆE:

• Izvesti sekciju školjkaša i ribe

• Usporediti vanjsku i unutrašnju građu beskralježnjaka i kralješnjaka

• Usporediti fiziologiju beskralješnjaka i kralješnjaka

• Usporediti ulogu u zaštiti okoliša beskralješnjaka i kralješnjaka

Upute za voditelja radionice (detaljan, ali jednostavan opis provedbe radionice, tako da ju

kasnije znaju ponoviti i ostali nastavnici, bez obzira na struku):

- Dati učenicima uputu za izvođenje sekcije školjkaša i ribe

- Usmjeriti učenike na uočavanje razlika u vanjskoj i unutrašnjoj građi školjkaša i ribe

- Usmjeriti učenike na uočavanje razlika u fiziologiji i načinu života školjkaša i riba

- Usmjeriti učenike na razumijevanje uloge u zaštiti okoliša školjkaša i riba

Nastavne metode i oblici rada (npr. demonstracija, crtanje,rad u paru, grupni rad i sl.):

- Demonstracija

- Praktični rad

- Rad u paru

- Individualni rad

Pribor: školjkaš, riba, pribor za sekciju (može i obični nož i pinceta), podloga za seciranje

(plastična tacna i sl.)

5

1.1 Tijek radionice

a) Uvod (motivacijska aktivnost):

Ponoviti s učenicima podjelu životinja na beskralješnjake i kralješnjake. Upoznati

učenike s pravilima seciranja životinja i dati uputu za sekciju školjkaša i ribe. Usmjeriti učenike

na razmišljanje o poznatim skupinama beskralješnjaka i kralješnjaka i razlika u njihovom

načinu života. Ukazati na moguću primjenu vodenih organizama kao bioindikatora stanja

okoliša, školjkaša jer filtriraju vodu te riba kao organizama na vrhu hranidbenog lanca.

b) Glavni dio (aktivnosti):

Učenici će secirati školjkaša i ribu te uočiti razlike u vanjskoj i unutrašnjoj građi

školjkaša i riba. Nacrtati će vanjsku i unutrašnju građu školjkaša i ribe i označiti vanjske i

unutrašnje organe školjkaša i riba.

c) Zaključak / spoznaja:

Učenici će usporediti fiziologiju i način života beskralješnjaka i kralješnjaka. Izvest će

zaključke o razlikama u građi i fiziologiji školjkaša i riba te njihovoj mogućoj primjeni kao

bioindikatora stanja okoliša.

Individualizirajući / dodatni zadaci:

Nacrtaj vanjsku građu školjkaša i označi vanjske organe.

Nacrtaj unutrašnju građu školjkaša i označi unutrašnje organe.

Nacrtaj vanjsku građu ribe i označi vanjske organe.

Nacrtaj unutrašnju građu ribe i označi unutrašnje organe.

Literatura:

1) Beskralješnjaci, I. Matoničkin, I. Habdija, B. Primc-Habdija, ŠK

2) Jadranska ihtiofauna- ribe Jadranskog mora, I. Jardas, ŠK

6

2 Nastavna tema: Čudesan svijet biljnih molekula

Cilj / postignuća (u jednoj rečenici): Izvesti ekstrakciju bioaktivnih spojeva iz različitog voća

i povrća i upoznati djelovanje tih spojeva na ljudsko zdravlje.


UČENICI ĆE:

• Izvesti ekstrakciju spojeva iz različitog voća i povrća

• Dokazati antocijane u izabranim uzorcima voća i povrća

• Upoznati djelovanje antocijana na ljudsko zdravlje

• Usporediti djelovanje različitih bioaktivnih spojeva iz biljaka (npr. alkaloida, kofeina i

nikotina) na ljudsko zdravlje i naučiti kako ih razlikovati



- Usmjeriti učenike na razmišljanje o djelovanju različitih biljaka na ljudsko zdravlje i na

njihovu važnost za očuvanje zdravlja

- Upoznati učenike s metodom ekstrakcije i uputom za izvođenje ekstrakcije bioaktivnih

spojeva iz biljaka

- Usmjeriti učenike na uspoređivanje biološkog djelovanja različitih kemijskih spojeva iz

biljaka (alkaloida, kofeina, nikotina) i biljnih proizvoda na ljudsko zdravlje


- Praktičan rad

- Demonstracija

- Razgovor

- Rad u paru

- Individualni rad

Pribor: različito voće i povrće, tarionik, Pasteur pipeta, filter papir, etanol, vodena otopina

natrijevog hidroksida, octena kiselina (ocat)

7

2.1 Tijek radionice


Na primjeru agruma i vitamina C usmjeriti učenike na razmišljanje o djelovanju

kemijskih spojeva iz biljaka na ljudsko zdravlje. Upoznati učenike s postupcima u ekstrakciji

bioaktivnih spojeva iz uzoraka voća i povrća.


Učenici će u parovima ekstrahirati kemijske spojeve iz dobivenih uzoraka voća i povrća.

Dokazat će antocijane u uzorcima voća i povrća i upoznati njihovo djelovanje na ljudsko

zdravlje. Ekstrakciju bioaktivnih spojeva iz voće ili povrća će izvesti tako da će u tarioniku s

tučkom uz dodavanje alkohola-etanola gnječiti sitno narezano voće ili povrće sve do nastanka

jasno vidljivog tekućeg sadržaja. Antocijane će dokazati tako da će tekući sadržaj dobiven

ekstrakcijom dodavati u kiselu (pH=3) i lužnatu otopinu (pH=9) pri čemu će se ukoliko su

prisutni antocijani boja tekućine dobivene ekstrakcijom u kiselom promjeniti u crvenu boju, a

u lužnatom u zelenu boju.


Učenici će usporediti djelovanje različitih spojeva iz biljaka (glukozinolata iz kupusa,

alkaloida, teobromina iz kakaa, nikotina iz duhana, kofeina iz kave) na ljudsko zdravlje.

Objasnit će važnost fitokemikalija u fiziologiji biljaka kao i njihovu primjenu u liječenju bolesti,

kozmetičkoj industriji, aromaterapiji itd.


Objasni ulogu fitokemikalija u fiziologiji biljaka.

Opiši djelovanje antocijana na ljudsko zdravlje.

Opiši djelovanje odabranih biljnih molekula (npr. alkaloida-kofeina i nikotina,

polifenolnih spojeva i sl.) na ljudsko zdravlje.

Literatura:

1) Fiziologija bilja, K. D. Dubravec, I. Regula, ŠK

2) Plant Physiology and Biochemistry, journals

8

3 Nastavna tema: Otkrivanje lijekova uz pomoć računala

Cilj / postignuća (u jednoj rečenici): Primjenom računalnih metoda u otvorenim bazama

podataka pronaći „hit molekule“ za proučavani ciljni protein.


UČENICI ĆE:

• Upoznati računalne metode otkrivanja novih lijekova

• Usporediti biološku aktivnost različitih kemijskih spojeva

• Procjeniti mogućnosti primjene određenih kemijskih spojeva u liječenju različitih

bolesti

• Snimiti kratki film o djelovanju lijekova na ciljne molekule u liječenju različitih bolesti



- Koristeći powerpoint prezentaciju upoznati učenike s procesom otkrivanja i razvoja

lijekova, otkrivanjem vodećeg spoja „kandidata“ s kojim će se vršiti pretklinička

ispitivanja te o važnosti poznavanja bioraspoloživosti i toksičnosti lijeka

- Instalirati računalni program Marvin Sketch u kojem će učenici crtati kemijske strukture

različitih spojeva i simulirati njihove interakcije

- Usmjeriti učenike na povezivanje kemijske strukture spoja s njegovom biološkom

aktivnošću

- Dati učenicima uputu za snimanje kratkog filma o djelovanju lijekova na ciljne

molekule u liječenju različitih bolesti

Nastavne metode i oblici rada (npr. demonstracija, crtanje, rad u paru, grupni rad i sl.):

- Demonstracija

- Grupni rad

- Individualni rad

- Rad na računalu

9

Pribor: računalo, internet, računalni program „Marvin Sketch“

3.1 Tijek radionice


Upoznati učenike s pristupima molekulskog modeliranja i njihovom primjenom u

interdisciplinarnom pristupu otkrivanja novih lijekova. Pomoću powerpoint prezentacije

upoznati učenike sa specifičnim djelovanjem enzima na supstrat. Ponoviti primjere

makromolekula i njihovu kemijsku strukturu (proteini). Upoznati učenike s etapama u procesu

otkrivanja novih lijekova, načinu na koji se otkriva vodeći spoj „kandidat“ za liječenje određene

bolesti i pojmovima bioraspoloživosti i toksičnosti lijeka. Ponoviti s učenicima mehanizam

inhibicije enzima i usmjeriti učenike na razmišljanje o mogućnostima primjene tog mehanizma

u liječenju različitih bolesti.


Učenici će koristeći računalni program izvesti interakciju kemijskog spoja s ciljnom

biološkom molekulom (proteinom) i otkriti njegova fizikalno- kemijska svojstva. U

računalnom programu Marvin Sketch će nacrtati formule aminokiselina, proteina, karboksilnih

kiselina, aromatskih ugljikovodika i simulirati njihove interakcije. Snimit će kratki film o

djelovanju lijeka na ciljnu molekulu koristeći računalni program.

Sheme kemijskih struktura spojeva:

Slika 1. Strukturna formula aminokiseline glicin

Slika 2. Strukturna molekula dipeptida glicilglicina

10

Slika 3. Strukturna formula aminokiseline tirozin

Slika 4. Strukturna formula acetilsalicilne kiseline (poznate kao lijek aspirin)


Učenici će samostalno koristeći računalni program pronaći „hit molekule“ za ciljni protein i

procjeniti potencijal tih molekula kao kandidata u pretkliničkim ispitivanjima.


Objasni utjecaj strukture kemijskog spoja na njegovu biološku aktivnost.

Opiši interakciju kemijskog spoja sa ciljnom biološkom molekulom.

Opiši stanične odgovore na utjecaj biološki aktivnog spoja.

Literatura:

1) Introduction to Biochemical Pharmacology and Drug Discovery, Gabriel Magoma,

Department of Biochemistry, Jomo Kenyatta University of Agriculture and Technology.

Nairobi, Kenya

11

4 Nastavna tema: Izolacija molekule DNA

Cilj / postignuća (u jednoj rečenici): Izolirati molekulu DNA iz banane ili nekog drugog voća

i opisati kemijsku strukturu i ulogu molekule DNA.


UČENICI ĆE:

• Izolirati molekulu DNA iz banane koristeći sol, deterdžent i medicinski alkohol

• Opisati djelovanje deterdženta na staničnu membranu

• Opisati topljivost DNA u vodi i alkoholu

• Objasniti kemijsku strukturu molekule DNA

• Povezati građu molekule DNA s njenom ulogom u živom organizmu



- Najaviti cilj radionice

- Upoznati učenike sa svim koracima u izolaciji molekule DNA iz banane

- Učenici rade u parovima i slijede korake u izolaciji molekule DNA uz nadzor voditelja

- Usmjeriti učenike na razumijevanje djelovanja deterdženta, soli i alkohola u izolaciji

molekule DNA

- Usmjeriti učenike na povezivanje kemijske građe molekule DNA s njenom ulogom u

živom organizmu


- Rad u paru

- Praktični rad

- Demonstracija

- Razgovor

- Individualni rad

12

Pribor: zrela banana, destilirana voda, kuhinjska sol, plastična vrećica koja se zatvara na vrhu,

sapun ili deterdžent za pranje posuđa, medicinski alkohol, filtrirni papir ili filter za kavu,

lijevak, staklene čaše od 200 do 300 ml, menzura od 5, 10 i 20 ml, tarionik

4.1 Tijek radionice:


Usmeno ponoviti s učenicima uloge staničnih tjelešaca u biljnoj stanici. Postaviti

učenicima zadatak da navedu naziv i ulogu upravljačke molekule u stanici. Upoznati učenike s

uputom za izolaciju molekule DNA iz banane.


Učenici će u parovima izolirati molekulu DNA iz banane ili nekog drugog voća. Prvo

će oguliti bananu, a zatim je izgnječiti pomoću tarionika. Ubacit će zgnječenu bananu u

plastičnu vrečicu koja se zatvara na vrhu, zatim otopiti žličicu soli u pola čaše vruće vode i uliti

dobivenu otopinu u vrečicu sa zgnječenom bananom. Mješati će smjesu banane i vodene

otopine soli 30-45 sekundi i dodati pola čajne žličice deterdženta za pranje posuđa te nastaviti

s laganim miješanjem. Postavit će filter za kavu na staklenu čašu tako da gornji dio filtera saviju

preko ruba čaše kako bi filtar bio nepomičan. Pažljivo će istresti sadržaj vrečice u filtar i ostaviti

nekoliko minuta kako bi sva tekućina iscurila u čašu. Nakon filtriranja bacit će filter sa

zaostalim sadržajem u smeće. Uz stijenku čaše s filtratom lagano će ulijevati rashlađeni

medicinski alkohol sve dok se ne stvori sloj debljine 2,5 do 5 centimetara te ostaviti dobivenu

smjesu da miruje 8 minuta.


Učenici će uočiti bijelu vlaknastu tvar u alkoholnom sloju u čaši. Zaključuju da su

izolirali molekulu DNA i da ona nije topljiva u alkoholu. Opisati će izgled i kemijsku strukturu

molekule DNA.


Opiši ulogu deterdženta i soli u izolaciji molekule DNA.

Opiši ulogu etanola u izolaciji molekule DNA.

Nacrtaj molekulu DNA i opiši njenu kemijsku strukturu.

13

Literatura:

1) Learn. Genetics (Genetic Science Learning Centar)

2) The American Society of Human Genetics (ASHG)- web portal

3) Scitable by nature education (A Collaborative Learning Space for Science)- web portal

4) Genetics and Gene Expression, dr. Ananya Mandal

5 Nastavna tema: Slatka kemija

Cilj / postignuća (u jednoj rečenici): Učenici će izvesti pokuse s glukozom i saharozom te

upoznati reducirajuća svojstva ugljikohidrata.


UČENICI ĆE:

• Izvesti pokuse s glukozom i saharozom i dokazati reducirajuća svojstva ugljikohidrata

• Napisati jednadžbe reakcija ugljikohidrata s Benedictovim i Tollensovim reagensom i

opisati kemijske promjene u tim reakcijama

• Opisati kemijske promjene u Semafor i Kameleon reakcijama

• Opisati kemijske promjene u reakciji Plava boca



- ponoviti s učenicima podjelu i rasprostranjenost ugljikohidrata u prirodi

- upoznati učenike s reagensima koji se koriste za dokazivanje ugljikohidrata

- dati uputu učenicima o izvođenju pokusa s Benedictovim i Tollensovim reagensom,

Semafor i Kameleon reakcije i uputu o izvođenju pokusa Plava boca


- Praktični rad

- Demonstracija

14

- Razgovor

- Grupni rad

- Individualni rad

Pribor: Benedictov reagens (nadražujuće u slučaju kontakta sa sluznicom oka ili gutanja, blago

nadražuje kožu) , Tollensov reagens (1M AgNO3, nadražujuće, izbjegavati kontakt sa

sluznicom oka i kožom, opasno u slučaju gutanja) kalijev permanganat (nadražujuće u slučaju

kontakta sa sluznicom oka ili gutanja, blago nadražuje kožu), natrijev hidroksid (korozivno,

nagrizajuće, nadražujuće, izbjegavati kontakt sa sluznicom oka i kožom, opasno u slučaju

gutanja) , glukoza, saharoza, metilensko modrilo (blago nadražujuće u slučaju kontakta sa

sluznicom oka ili gutanja, blago nadražuje kožu) , indigo karmin (blago nadražujuće u slučaju

kontakta sa sluznicom oka ili gutanja, blago nadražuje kožu), svježe voće (naranča, limun,

grožđe), voćni sok

5.1 Tijek radionice


Ponoviti s učenicima podjelu i rasprostranjenost ugljikohidrata u prirodi. Opisati

kemijsku strukturu monosaharida, disaharida i polisaharida i objasniti njihovu rasprostranjenost

u prirodi. Upoznati učenike s reagensima za dokazivanje ugljikohidrata i demonstrirati pokus

glukoze i saharoze s Benedictovim i Tollensovim reagensom.


Učenici će u skupinama izvesti reakciju glukoze i saharoze s Benedictovim reagensom

tako da će u jednu epruvetu staviti par kapljica limunovog soka, u drugu par kapi soka naranče,

u treću otopinu glukoze koja će služiti kao pozitivna kontrola, a u četvrtu par kapi otopine

saharoze koja će služiti kao negativna kontrola. Zatim će u svaku epruvetu dodati par kapi

Benedictovog reagensa i zagrijavati epruvete u vodenoj kupelji. Nakon 10 minuta zagrijavanja

učenici će uočiti pojavu crvenosmeđeg taloga u epruvetama s glukozom, narančinim i

limunovim sokom dok u epruveti sa saharozom neće uočiti promjenu.

15

Za vrijeme zagrijavanja epruveta u vodenoj kupelji učenici će izvesti reakciju glukoze

s Tollensovim reagensom tako da će u epruvetu staviti 5 ml otopine srebrovog(I) nitrata, zatim

0,4 mL amonijaka i na kraju 0,4 mL 40%-tne otopine glukoze. Nakon kratkog zagrijavanja

otopine u vodenoj kupelji uočit će pojavu srebrnog taloga na stijenkama epruvete.

Učenici će zatim izvesti Semafor reakciju tako da će u Erlenmeyerovoj tikvici u

destiliranoj vodi (cca 50mL) otopiti glukozu (2-3 g), dodati cca 20mL natrijeve lužine (1 M ili

40g/L H2O) i cca 3mL otopine indigo karmina pri čemu će tijekom vremena uočiti promjenu

boje otopine iz zelene u crvenu pa u žutu. Blagim protresanjem sadržaja Erlenmeyerove tikvice

učenici će uočiti promjenu u crvenu, a jačim mućkanjem u zelenu.

Shema: Struktura indigo karmina

Učenici će zatim izvesti reakciju Plava boca tako da će u Erlenmeyerovu tikvicu uliti

destilirane vode (cca 50mL), dodati nekoliko mililitara natrijeve ili kalijeve lužine (cca 20mL,

koncentracije 1 M ili 40g/L H2O), glukozu (2-3 g) i na kraju par kapi metilenskog modrila.

Nakon nekog vremena (ovisno o temperaturi, ako je otopina hladna, dulje traje) plava otopina

će se obezbojiti, snažnim mućkanjem sadržaja Erlenmeyerove tikvice vraća se plava boja

otopine.

16

Shema: Reakcija metilenskog modrila

Zadnji pokus kojeg će učenici izvesti je Kameleon reakcija. U Erlenmeyerovu tikvicu

će uliti destiliranu vodu, natrijevu lužinu (1 M ili 40g/L H2O) i saharozu, dodatkom otopine

kalijevog permanganata (par kristalića otopiti u destiliranoj vodi tako da otopina bude tamno

ljubičasta)kreće reakcija redukcije Mn+7 iona (KMnO4), te će uočiti promjene boje otopine iz

ljubičaste u plavu (u otopini ima i ljubičastog Mn+7 i zelenog Mn+6 što rezultira tamno

kratkotrajnim plavim obojenjem ), pa u zelenu, Mn+6 iona (K2MnO4 )i na kraju nastanak

smeđeg taloga Mn+4 (MnO2) koji vizualno ostavlja dojam blijedo žute otopine.

KMnO4 (ljubičast) → K2MnO4 (zelen) → MnO2 (smeđi/žuta suspenzija)

Shema: Kameleon


Učenici će zaključiti da glukoza ima reducirajuća svojstva. Zaključuju da je do promjene

plave boje Benedictovog reagensa u crvenosmeđi talog došlo zbog redukcije bakrovih(II) iona

u bakrove(I) ione, a do nastanka srebrnog zrcala redukcijom srebrovih(I) iona u elementarno

srebro. U reakciji Plava boca zaključuju da oksidacija metilenskog modrila kisikom iz zraka u

Erlenmeyerovoj tikvici dovodi do nastanka plave boje jakim mućkanjem. Zaključuju da u

Semafor reakciji glukoza reducira indigo karmin, a u Kameleon reakciji glukoza redicira

manganove ione do smeđeg taloga manganovog(IV) oksida. Učenici pišu jednadžbe kemijskih

reakcija s reagensima za ugljikohidrate (Benedictovim i Tollensovim reagensom) i objašnjavaju

reducirajuća svojstva ugljikohidrata.

17


Napiši i izjednači jednadžbu reakcije glukoze s Benedictovim reagensom.

Opiši kemijsku promjenu koja se dogodila u reakciji glukoze s Benedictovim

reagensom.

Napiši i izjednači jednadžbu reakcije glukoze s Tollensovim reagensom.

Opiši kemijsku promjenu koja se dogodila u reakciji glukoze s Tollensovim reagensom.

Opiši oksidacijsko-redukcijske promjene u pokusima Plava boca i Kameleon.

Literatura:

1) Zbirka kemijskih pokusa, Milan Sikirica, ŠK (2011.)

6 Nastavna tema: Kiralnost molekula

Cilj / postignuća (u jednoj rečenici): Učenici će slagati i crtati modele molekula različitih

kemijskih spojeva i upoznati svojstvo kiralnosti molekula.


UČENICI ĆE:

• Razvrstati zavojnice ili opruge različitih boja prema usmjerenosti zavoja

• Fotografirati lijevu i desnu ruku i označiti fotografije oznakama L (lijeva ruka) ili D

(desna ruka)

• Slagati i crtati modele molekula vode, amonijaka, ugljikovog dioksida, vodikovog

peroksida i etanola te koristeći ogledalce crtati njihove zrcalne slike

• Slagati i crtati model kiralne molekule (bromflourklormetana) i njegovu zrcalnu sliku

• Upoznati se s r i s označavanjem kiralnih molekula

18



- Upoznati učenike s različitim modelima molekula kemijskih spojeva (kalotni model,

model kuglica-štapić, žičani model)

- Zadati učenicima zadatak slaganja i crtanja modela molekula i njihovih zrcalnih slika

(npr. voda, amonijak, ugljikov dioksid, vodikov peroksid, etanol, bromflourklormetan)

- Zadati učenicima zadatak fotografiranja lijeve i desne ruke, printanja fotografija i

označavanja fotografija ruku oznakama L ili D ovisno da li pokazuju lijevu ili desnu

ruku

- Zadati učenicima zadatak određivanja r i s konfiguracije kiralnih molekula


- Demonstracija

- Razgovor

- Crtanje

- Rad u paru

- Individualni rad

Pribor: modeli molekula, opruge-zavojnice, radni list, ogledalca, fotoaparat, fotokopirni papir,

printer

6.1 Tijek radionice


Upoznati učenike s različitim modelima molekula (kalotni model, model kuglica-štapić,

žičani model). Objasniti značenje različitih boja kuglica u modelima molekula i objasniti

mogućnosti različitog slaganja kuglica u modelu. Zadati učenicima zadatak razvrstavanja

opruga (zavojnica) različitih boja u dvije skupine. Usmjeriti učenike na razmišljanja i traženje

kriterija kojima će razvrstati zavojnice.

19


Učenici će razvrstati opruge (zavojnice) prema usmjerenosti zavoja. Nakon toga će

fotografirati lijevu i desnu ruku i dobivene fotografije označavati slovima L (lijeva ruka) i D

(desna ruka). Zatim će slagati i crtati modele molekula vode, amonijaka, vodikovog peroksida,

ugljikovog dioksida i etanola. Koristeći ogledalce nacrtat će zrcalne slike modela molekula i

opaziti da se slike modela poklapaju sa njihovom zrcalnom slikom. Nakon toga će crtati model

kiralne molekule (bromflourklormetana) i njegove zrcalne slike. Pri tome će opaziti da se slika

modela kiralne molekule ne poklapa s njegovom zrcalnom slikom.


Učenici će zaključiti da su kiralne molekule one čija se slika ne poklapa s njihovom

zrcalnom slikom, a akiralne molekule one čija se slika poklapa s njihovom zrcalnom slikom.

Zaključit će da takvo svojstvo imaju i lijeva i desna ruka kao i predmeti poput rukavica i cipela.


Učenici će određivati r i s konfiguraciju kiralnih molekula. Kiralne molekule u kojima

prioritet atoma vezanih na ugljikov atom pada u smjeru kazaljke na satu će označiti slovom r,

a kiralne molekule u kojima prioritet atoma vezanih na ugljikov atom pada u smjeru obrnutom

od kazaljke na satu će označiti slovom s.

Literatura:

2) Organska kemija, D. Stričević, B. Sever, H. Čičak, PROFIL, Udžbenik za zdravstvene

i strukovne škole

3) Organska kemija, Milan Sikirica, Branka Korpar Čolig, ŠK, Udžbenik za 4. razred

gimnazije

4) Organska kemija, S.H. Pine, ŠK (1994.)

5) Biokemija, J. M. Berg, J. Tymoczko, L. Stryer, ŠK (1991.)

20

7 Nastavna tema: Otpor zraka i brzina pada tijela

Cilj / postignuća (u jednoj rečenici): povezati svakodnevno iskustvo s fizikalnim konceptima

otpora i uzgona


UČENICI ĆE:

steći iskustvo u izvođenju fizikalnog istraživanja

razvijati vještinu interpretacije nastavnih sadržaja znanstvenim načinom mišljenja

stjecati naviku istraživanja i planiranja pokusa

prepoznati i opisati međudjelovanje objekta i okolnog zraka

opisati način na koji zrak utječe na predmete

grafički prikazati ovisnost vremena pada o masi predmeta



- podsjetiti učenika na pojam uzgona

- poticati učenike da samostalno zaključe što im je sve potrebno za istraživanje i kako bi ga

proveli

- pomoći učenicima oko preglednog pisanja dobivenih mjerenja

- na karaju prodiskutirati dobivene rezultate i provjeriti jesu li učenici došli do ispravnih

zaključaka


Razgovor, grupni rad, istraživački pokus, diskusija rezultata

Pribor: čvrsti konac, utezi različitih masa (mogu biti i različiti predmeti), zaporni sat, balon s

helijem

21

7.1 Tijek radionice


Ponoviti s učenicima pojam uzgona (o čemu ovisi – gustoća zraka i volumen tijela; u

kojem smjeru djeluje sila uzgona na tijelo u fluidu – prema gore; kakva treba biti gustoća tijela

da bi se tijelo dizalo ili padalo – tijelo veće gustoće od gustoće zraka će padati, a tijelo manje

gustoće će se dizati prema gore).

Znamo da je težina sila kojom sva tijela djeluju na neku površinu. Znači li to da tijela

veće mase padaju brže? Kako je moguće da zrak može usporiti predmet koji se kreće kroz

njega?


Istraživački pokus kojim će učenici ispitati o čemu ovisi otpor zraka.

**Napomena: - ukoliko nije moguće iskoristiti isti balon pri svakom mjerenju, potrebno je

koristiti balone iste veličine (koristiti utege ili tijela male mase)

- ako je moguće, koristiti balon napunjen helijem (u tom slučaju se mogu koristiti utezi ili tijela

veće mase)

- paziti da tijelo koje zavežemo za balon bude manje od samog balona

Prije izvođenja pokusa, potrebno je izračunati površinu poprečnog presjeka najdebljeg

dijela balona. Pomoću običnog metra može se izmjeriti opseg balona, iz formule za opseg

kruga, O=2rπ

Izračuna se radijus balona, te se iz dobivenog radijusa može izračunati površina poprečnog

presjeka (2): A=πr^2

Pomoću konca zavežemo uteg za balon i složimo jednostavnog „padobranca“ kojega

ćemo puštati da pada sa zgrade (idealno bi bilo koristiti balon napunjen s helijem). Jedan učenik

baca „padobranca“ sa zgrade (drugi kat ili više), a drugi pomoću zapornog sata mjeri vrijeme

potrebno da „padobranac“ stigne do poda. Pokus je potrebno ponoviti nekoliko puta (za istu

masu). U tablicu se unosi srednja vrijednost dobivenih vremena.

22

Nakon toga, za balon se zaveže uteg drugačije mase i ponavlja se pokus. Balon treba

biti isti kako bi provjerili utječe li masa na vrijeme pada balona.

Pokus treba ponoviti za 3-5 utega različitih masa.

Potrebno je bilježiti mase predmeta, visinu s koje se pušta balon i vrijeme potrebno da

predmet padne na pod. Za pregledan zapis podataka može se koristiti tablica (primjer ).

Površina balona

A / cm3 Visina

h / m Masa utega

m / g Vrijeme pada

t / s

Površina balona

A / cm3

Visina

h / m

Masa utega

m / g

Vrijeme pada

t / s

** površina balona i visina s koje ispuštamo balom bi trebali biti isti u svim slučajevima

Nakon izvedenog pokusa, ponoviti pokus s balonom drugačije veličine (može biti veći

ili manji, samo je potrebno obratiti pažnju da razlika u veličini (tj. površini ) bude značajna).

Prodiskutirati s učenicima što se događa s energijama.

Kako bi padao uteg/tijelo ako ga pustimo da pada bez balona? (tijelo bi padalo brže)

Koju energiju tijelo ima prije nego što ga ispustimo sa zgrade u našem slučaju, a kolika

bi bila ta energija da ga puštamo bez balona? (gravitacijska potencijalna energija je jednaka u

oba slučaja)

Što je s kinetičkim energijama tijela u trenutku prije nego što udare u zemlju za ova dva

slučaja? (veću kinetičku energiju ima tijelo koje se giba brže, tj. ono koje pada bez balona)

23

Na što odlazi dio energije kod tijela koje pada s balonom? (na rad sile otpora zraka)


Brzina pada predmeta ne ovisi o masi; otpor zraka ovisi o površini predmeta koji se

kreće kroz zrak – veća površina, veći otpor; pošto je balon u svakom mjerenju veći od predmeta

obješenog na njega, otpor će ovisiti o površini najvećeg poprečnog presjeka balona.

Literatura:

1) https://hr.wikipedia.org/wiki/Uzgon#Uzgon_u_zraku_i_drugim_plinovima

2) https://hr.wikipedia.org/wiki/Aerodinami%C4%8Dka_sila_otpora

8 Nastavna tema: Gustoća ugljikovog dioksida

Cilj / postignuća (u jednoj rečenici): pokazati da plinovi imaju masu i način na koji ju

možemo izmjeriti


UČENICI ĆE:


razvijati sposobnost promatranja, uočavanja i logičnog zaključivanja

razvijati preciznost pri mjerenju i urednost u bilježenju mjernih podataka

prepoznati i opisati vezu između mase i volumena tijela

opisati način na koji su odredili masu plina

usporediti dobivenu gustoću plina s tabličnom

24



- podsjetiti učenika na pojam gustoće


proveli



zaključaka


razgovor, grupni rad, istraživački pokus, diskusija rezultata

Pribor: boca s čepom (0,5 L), plastična boca (1 ili 1,5 L), veća posuda ili kanta, savitljiva

plastična ili gumena cijev, menzura, vaga, čaša, soda bikarbona, octena kiselina, svijeća, šibice

8.1 Tijek radionice


Ponoviti s učenicima pojam gustoće (o čemu ovisi – masa i volume; kako ju možemo

izračunati – količnik mase i volumena)

Znamo da čvrsta i tekuća tijela imaju masu koju možemo jednostavno odrediti. Za plin

možemo lako odrediti volumen, ali imaju li plinovi i masu i kako bi ju mogli odrediti?


Istraživački pokus kojim će učenici provjeriti odnos gustoća zraka i ugljikovog dioksida

te odrediti masu, tj. gustoću ugljikovog dioksida.

POKUS 1: Kakva je gustoća ugljikovog dioksida u odnosu na gustoću zraka?

Na čepu manje boce (0,5 L) oprezno napravimo rupu kroz koju provučemo cijev

(obratiti pažnju da nema rupica kroz koje bi mogao izlaziti plin, bilo kakvi otvori između cijevi

i čepa se mogu zatvoriti pomoću komada plastelina). Drugi kraj cijevi uguramo u veliku bocu

koja stoji okrenuta naopako (otvorom prema dolje). U bocu dodamo sodu bikarbonu, prelijemo

ju s octenom kiselinom i brzo začepimo. Pričekamo nekoliko minuta da završi reakcija.

25

Upalimo svijeću i pokušamo ugasiti svijeću pomoću plina u boci (bocu nagnemo iznad/pokraj

svijeće, kao da točimo sok u čašu). Svijeća će ostati gorjeti.

Nakon toga, ponovimo pokus samo što ovoga puta bocu držimo uspravno (otvorom

prema gore). U ovom slučaju svijeća bi se trebala ugasiti.

Učenici trebaju doći do zaključka da je gustoća CO2 veća od gustoće zraka, pa u prvom

slučaju sav CO2 koji uđe u bocu brzo izađe iz nje, a u drugom slučaju on ostaje u boci pa

možemo ugasiti svijeću.

POKUS 2: Kolika je gustoća ugljikovog dioksida?

Kantu napunimo vodom i jednu veliku plastičnu bocu napunimo vodom do vrha (pošto

plastične boce određenog volumena nisu punjene do vrha, bocu punimo uz pomoć menzure

kako bi mogli točno odrediti volumen vode u boci). Bocu uronimo u kantu s vodom i okrenemo

naopako (paziti da nema nikakvih balončića zraka u boci nakon okretanja).

Drugi kraj cijevi koja je provučena kroz čep manje uguramo u veliku bocu s vodom koja

se nalazi u kanti.

U manju bocu dodamo sodu bikarbonu, a u čašu ulijemo octenu kiselinu koju ćemo

dodati u čašu. Pomoću vage odredimo masu manje boce (i sode bikarbone) i čaše s octenom

kiselinom. Octenu kiselinu dodamo u bocu i pričekamo nekoliko minuta da završi reakcija.

U velikoj boci bi se trebali pojaviti balončići zraka koji se nakupljaju pri vrhu boce.

Nakon što reakcija završi, izvažemo manju bocu i čašu!

Izvučemo cijev iz velike boce, pomoću čepa ju zatvorimo (dok je uronjena u vodu) i

izvučemo iz kante. Pomoću menzure odredimo novi volumen vode u velikoj boci.

Volumen ugljikovog dioksida dobijemo kao razliku početnog volumena u velikoj boci

(kada je boca puna do vrha) i volumena nakon reakcije (kada u boci ima plina).

𝑉(𝐶𝑂2) = 𝑉(𝑣𝑜𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑗𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑘𝑐𝑖𝑗𝑒) − 𝑉(𝑣𝑜𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑘𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑘𝑐𝑖𝑗𝑒)

Masu ugljikovog dioksida dobijemo kad razliku početne mase boce sa sodom

bikarbonom i čaše s octenom kiselinom, i mase boce nakon reakcije (i mase čaše).

𝑚(𝐶𝑂2) = 𝑚(𝑏𝑜𝑐𝑎 + 𝑠𝑜𝑑𝑎 𝑏𝑖𝑘𝑎𝑟𝑏𝑜𝑛𝑎 + č𝑎š𝑎 𝑠 𝑜𝑐𝑡𝑜𝑚) − 𝑚(𝑏𝑜𝑐𝑎 + 𝑝𝑟𝑎𝑧𝑛𝑎 č𝑎š𝑎)

26

Gustoću računamo prema formuli

𝜌 =𝑚

𝑉

Tablična gustoća ugljikovog dioksida iznosi ρ(CO2) = 1,98 kg/m3 ili ρ(CO2) = 0,00198 g/cm3.


Ugljikov dioksid ima veću gustoću od zraka što se jednostavno može pokazati pomoću

prvog pokusa.

Iako nam se često čini da plinovi nemaju masu, pokus nam pokazuje da plin ima masu

te da se ta masa može izmjeriti pomoću dovoljno precizne vage.

Literatura:

1) https://hr.wikipedia.org/wiki/Ugljikov(IV)_oksid

9 Nastavna tema: Vrelište i gustoća vode

Cilj / postignuća (u jednoj rečenici): pokazati kako salinitet utječe na gustoću vode i njezino

vrelište


UČENICI ĆE:



stjecati naviku istraživanja i planiranja pokusa

opisati kako slanost vode utječe na njezino vrelište

opisati kako slanost vode utječe na njezinu gustoću

27



- podsjetiti učenika na pojam gustoće i vrelišta vode


proveli



zaključaka


Razgovor, grupni rad, diskusija rezultata

Pribor: veća posuda, električno kuhalo, voda, kuhinjska sol, termometar, jaje

9.1 Tijek radionice


Ponoviti s učenicima pojam gustoće (o čemu ovisi – masa i volume; kako ju možemo

izračunati – količnik mase i volumena) i vrelišta vode (što je vrelište – temperatura na kojoj

tvar prelazi iz tekućeg u plinovito stanje; na koliko stupnjeva je vrelište vode - 100°C).

Prilikom kuhanja se često dodaje sol u vodu, utječe li to na njezino vrelište i kako?


Istraživački pokus kojim će učenici provjeriti kako salinitet utječe na gustoću vode i

njeno vrelište.

Promjenu gustoće možemo pokazati praktičnim primjerom: prvo ubacimo svježe jaje u

posudu s čistom vodom i vidimo da je potonulo. Svaki put kad pomiješamo sol i vodu ubacimo

jaje u vodu i provjerimo tone li ili pluta.

U veću posudu pomoću menzure ulijemo 1 L vode. U vodu usipamo 50 g soli i

odredimo masu te vode pomoću vage (prvo izmjerimo masu prazne posude, a zatim masu

posude s vodom i soli). Na kuhalu zagrijavamo vodu i očitamo temperaturu kada zakuha.

28

Zatim ponovimo pokus, ali dodamo 100 g soli u čistu vodu. Iz dobivenih podataka

možemo svaki put izračunati gustoću. (pokus ponoviti nekoliko puta, svaki put dodati po 50 g

ili 100 g više soli (50/100/150/200 ili 100/200/300/400)).

Za pregledan zapis podataka može se koristiti tablica (primjer).

Volumen vode

Volumen vode

V / mL

Masa dodane

soli

m(sol) / g

Masa vode sa

soli

m / kg

Temperatura

vrelišta

T / K ili t / °C

Gustoća vode

ρ / kg/m3

**volumen vode bi trebao biti jednak u svim slučajevima

Dobivene podatke učenici mogu prikazati i grafički u T-m ili ρ-m dijagramu.


Dodavanjem soli u vodu povećava se njezina gustoća. Što je više soli otopljeno u vodi,

to je njezino vrelište više.

Literatura:

2) https://hr.wikipedia.org/wiki/Salinitet

3) http://geografijazasve.me/2017/04/29/salinitet-morske-vode/

29

10 Nastavna tema: Duljina sjene

Cilj / postignuća (u jednoj rečenici): povezivanje trigonometrije i fizike s iskustvom iz

svakodnevnog života.


UČENICI ĆE:



povezivati gradivo matematike i fizike

moći odrediti udaljenost predmeta od izvora svjetlosti

moći odrediti visinu predmeta mjereći duljinu njegove sjene




proveli



zaključaka


Razgovor, grupni rad, diskusija rezultata

Pribor: izvor svjetlosti (stolna lampa), predmet (olovka, štapić, figurica...), komadić plastelina,

metar

10.1 Tijek radionice

a) Uvod (motivacijska aktivnost): Zašto se duljina naše sjene mijenja tijekom dana?

b) Glavni dio (aktivnosti): Istraživački pokus

Odredimo mjesto na klupi gdje će nam stajati stolna lampa (lampa bi trebala imati

sjenilo i dobro usmjereni snop). Pomoću metra izmjerimo na kojoj visini se nalazi izvor

svjetlosti (h). Predmet (d) pomoću plastelina pričvrstimo na stol. Predmet osvijetlimo lampom

30

i pomoću metra izmjerimo udaljenost između lampe i predmeta (x) te duljinu sjene predmeta

(y).

Mjerenje je potrebno ponoviti nekoliko puta za različite udaljenosti predmeta od izvora (x).

Za pregledan zapis podataka može se koristiti tablica (primjer).

Izvor svjetlosti

h / cm

Visina predmeta

d / cm

Udaljenost predmeta

od izvora

x / cm

Duljina sjene

y / cm

** visina na kojoj se nalazi izvor svjetlosti (h) i visina predmeta (d) isti su u svim mjerenjima

Učenici trebaju samostalno skicirati problem uočiti vezu između pojedinih vrijednosti,

tj. povezati dobivene rezultate s prethodnim znanjem iz fizike (h : (x + y) = d : y).

Nakon izvedenog pokusa, odredimo fiksni položaj predmeta, a mijenjamo visinu izvora

(h) i mjerimo što se događa sa sjenom (y) ovisno o visini na kojoj se nalazi izvor.

** u ovom slučaju su visina predmeta (d) i udaljenost od izvora (x) isti u svim mjerenjima

Izvor svjetlosti

h / cm

Visina predmeta

d / cm

Udaljenost

predmeta od

izvora

x / cm

Duljina sjene

y / cm

31

Analogno prethodnom slučaju, učenici trebaju samostalno uočiti kako će se odnositi

pojedine stranice trokuta.

c) Zaključak / spoznaja: Duljina sjene ovisi o visini na kojoj se nalazi izvor i o njegovoj

udaljenosti od predmeta.

Individualizirani dodatni zadaci / sadržaji za učenike:

a) Štap visok 2 m baca sjenu dugu 1 m. Koliko je duga sjena osobe visoke 180 cm?

Rj: problem se rješava pomoću omjera – 2m : 1m = 1,80m : x -> x = 0,9 m

b) Horizontalno postavljeni štap duljine 20 cm nalazi se na udaljenosti 30 cm iznad horizontalno

postavljenog zastora. Na vertikali koja prolazi sredinom štapa nalazi se točkasti izvor svjetlosti

10 cm iznad štapa. Kolika je duljina sjene štapa?

Rj:

sa slike - 10cm : 10cm = 40cm : (x/2) -> x/2 = 40 cm -> x = 80 cm

c) Vertikalni štap visok 1 m postavljen blizu ulične svjetiljke (koju možemo smatrati točkastim

izvorom svjetlosti) baca sjenu dugu 0,8 m. Ako štap pomaknemo horizontalno za 1 m, njegova

sjena je 1,3 m. Na kojoj visini se nalazi svjetiljka i u kojem smjeru moramo pomaknuti štap, od

ili prema izvoru svjetlosti, da se to dogodi? Koliko je štap bio udaljen od svjetiljke prije nego

je pomaknut?

32

Rj:

slika 1 – h : (x1 + 0,8m) = 1m : 0,8m

slika 2 – h : (x1 +1m + 1,3m) = 1m : 1,3m

Rješavanjem sustava 2 jednadžbe s 2 nepoznanice dobije se visina svjetiljke h = 3m, i udaljenost

štapa od svjetiljke prije nego što je pomaknut x1 = 1,6m

11 Nastavna tema: Dokaz u nastavi matematike

Cilj / postignuća (u jednoj rečenici):

Razvoj matematičkih teorija temelji se na postavljanju raznih hipoteza o objektima koji

se proučavaju i njihovim svojstvima, te dokazivanju ili opovrgavanju formuliranih

pretpostavki, stoga je poticanje i razvoj takvog rasuđivanja jedna od ultimativnih funkcionalnih

zadaća nastave matematike na svakoj razini obrazovanja.


UČENICI ĆE:

Analizirati problem

Zapisati zadane podatke

Istaknuti tvrdnju koju želimo dokazati

Crtati rješenja

Iskazati i zaključiti konačan niz manjih logičkih tvrdnji

Istaknuti posljednju tvrdnju u nizu ( tvrdnju koju smo trebali dokazati)

Raspravljati o rješenjima

33



- Učenicima objasniti važnost ovakvog načina promišljanja kao temelj razvoja

matematičkih teorija

- Navođenje dijalogom najčešća je metoda poticanja učenika na logičko mišljenje i

dokazivanje, te korektno zapisivanje zaključaka, odnosno dokaza.

- Odabrati dokaze u kojima koristimo poučke sličnosti trokuta, sukladnosti trokuta,

Pitagorin poučak ili neka druga svojstva geometrijskih likova učenih u osnovnoj školi

ali svojom težinom nadilaze zahtjeve redovne nastave


Heuristički razgovor

Demonstracija

Crtanje

Individualni rad

Obrazlaganje

Pribor: nastavni listići, ploča, kreda



Zadati geometrijski zadatak ni pretežak, ni prelagan u kojem se traži logičkim slijedom

zaključaka dokazati da je zbroj udaljenosti bilo koje točke T, koja se nalazi unutar

jednakostraničnog trokuta od stranica tog trokuta stalna i jednaka visini trokuta. 1

Zadatak 1.: Dokažite da je zbroj udaljenosti bilo koje točke T koja se nalazi unutar

jednakostraničnog trokuta od stranica tog trokuta stalan i jednak visini tog trokuta.

(učenici sami kratko vrijeme promišljaju i pokušavaju dokazati zadatak)

1 Vlado Stošić, Matematička natjecanja učenika osnovnih škola, HMD, Element, Zagreb 1994.(13.13, str.120.)

34

Najaviti cilj radionice: Poticanje načina mišljenja u kojem se dokazuju ili opovrgavaju

formulirane pretpostavke o svojstvima objekata koji se proučavaju jedan je od temeljnih oblika

promišljanja koji utječu na razvoj matematičkih teorija.

Zadatak 1.2. U trokutu ABC duljine stranica a, b, c, povezuje jednakost a+b=2c, a>b. Iz vrha

C povučena su visina (CD) ̅ i težišnica (CE.) ̅ Dokažite da je |DE|=a-b. 2

Zadatak 1.3. Četverokut ABCD je centralno simetričan. Opseg tog četverokuta je 12 cm, a

duljina jedne stranice je 3 cm. Dokažite da je ABCD romb. 3


Nacrtati zadane elemente

Dokaz Zadatka1.:

a) Zapisati zadane elemente

b) Istaknutu i zapisati tvrdnju koja se želi dokazati

Neka je |AB|=|BC|=|AC|=a i neka je v visina trokuta ABC. Točka T udaljena je od stranica

𝐴𝐵,̅̅ ̅̅̅ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ redom za |𝑇𝐷| = 𝑣1, |𝑇𝐸| = 𝑣2, |𝑇𝐹| = 𝑣3.

2 Vlado Stošić, Matematička natjecanja učenika osnovnih škola, HMD, Element, Zagreb 1994.(12.11., str.112.) 3 Vlado Stošić, Matematička natjecanja učenika osnovnih škola, HMD, Element, Zagreb 1994.(11.18., str.98.)

35

c) Ponoviti sva poznata svojstva vezana uz skupove točaka u ravnini, vezana uz zadani

zadatak

d) Tražiti poveznicu, te ispisati sve manje logičke tvrdnje vezane uz svojstava objekata iz

zadatka

Iz Slike 1. je očito:

𝑃(𝐴𝐵𝐶) = 𝑃(𝐴𝐵𝑇) + 𝑃(𝐵𝐶𝑇) + 𝑃(𝐶𝐴𝑇)

Odnosno:

1

2𝑎 ∙ 𝑣 =

1

2𝑎 ∙ 𝑣1 +

1

2𝑎 ∙ 𝑣2 +

1

2𝑎 ∙ 𝑣3

1

2𝑎 ∙ 𝑣 =

1

2𝑎(𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣3)

𝑖𝑙𝑖

𝑣 = 𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣3

e) Istaknuti i iskazati zadnju tvrdnju, koja je ujedno i tvrdnja koja se trebala dokazati

tj. |𝑇𝐷| + |𝑇𝐸| + |𝑇𝐹| = 𝑣 , što je i trebalo dokazati.

Heurističkim razgovorom i individualnim radom rješavati pripremljene zadatke

navedenog sadržaja.

Analizirati s učenicima svako dobiveno rješenje i neke moguće druge načine dokaza istog.

Pomoći učenicima u točnom i pravilnom matematičkom zapisu, te inzistirati na istom.

Zadatak 2. Dokažite da svaka dijagonala dijeli srednjicu trapeza u omjeru koji je jednak omjeru

duljina osnovica trapeza.

36

Dokaz:

Slika 2.

∆𝐴𝐶𝐷 ~ ∆𝐴𝐺𝐸 (K-K poučak o sličnosti trokuta) povlači 𝑥 =𝑐

2 .

∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐺𝐹𝐶 (K-K poučak o sličnosti trokuta) povlači 𝑦 =𝑎

2 .

Odatle vrijedi da je x : y = c : a

Slično za dijagonalu 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ , uz iste oznake vrijedi x : y= a : c.

Zadatak 3. Nad svakom stranicom kvadrata ABCD s vanjske strane nacrtani su

jednakostranični trokuti ABE, BCF, CDG i DAH. Dokaži da je četverokut EFGH kvadrat.

Dokaz:

37

Slika 3.

Prvo treba uočiti da su četiri trokuta AEH, BEF, CFG i DGH međusobno sukladna. Dovoljno

je pokazati sukladnost dva trokuta primjerice ∆AEH ≅ ∆BEF.

Naime |AE|=|BE|=|AB| i |AH|=|BF|=|AB|, a ∡EAH= ∡EBF=150° zbog 360-90- 2∙60,

zaključujemo da je |EH|=|EF|.

Na sličan se način dokaže da je ∆BEF ≅ ∆CFG, odnosno ∆CFG≅∆DGH iz čega slijedi da je

|EH|=|EF|=|FG|=|GH|. Kako je trokut EAH jednakokračan, jer je |AE|=|AH|,a to isto vrijedi za

ostala tri trokuta BEF, CFG, DGH, slijedi da je ∡AEH=∡AHE=15°. Uz to je ∡BEF = 15°,pa

je ∡HEF=∡AEH+ ∡AEB+ ∡BEF ili ∡HEF = 15°+ 60°+ 15°= 90°.

Slično se može pokazati i za ostala tri kuta ∡EFG,∡FGH,∡GHE da su pravi. Prema tome

četverokut EFGH ima četiri prava kuta i četiri stranice jednake duljine, a to znači da je kvadrat.


Učiti dokazivati znači učiti rasuđivati, a to je jedan od osnovnih zadataka nastave

matematike. Rasuđivati u životu treba svaki čovjek. Kako inače usporediti različite tvrdnje,

izdvojiti iz više izjava one koje su istinite, provjeriti valjanost nekog sumnjivog dokaza,

38

opovrgnuti nečije mišljenje, donijeti ispravan zaključak o nečemu i sl.? Stoga učiti dokazivati

treba svaki učenik.

Individualizirani / dodatni zadaci:

Za učenike koji žele više, pripremljeni su dodatni zadatci na listiću

Dokaz u nastavi matematike - dodatni listić

1. Dan je pravokutnik ABCD i točka B1 simetrična točki B u odnosu na dijagonalu (AC) ̅.

Pravac AB1 siječe pravac CD u točki E. Dokažite da je |AE|=|CE|. (V.Stošić, str. 98.

zada.11.19.)

2. Unutar kvadrata ABCD istaknuta je točka P, tako da je trokut ABP jednakokračan s kutovima

uz osnovicu ∡PAB=∡PBA=15°. Dokažite da je trokut PCD jednakostraničan. (str. 99. zada

11.26.)

3. Dokažite da je razlika kvadrata dva uzastopna prirodna broja uvijek neparan broj. (V. Stošić,

str. 22., zad. 2.10)

Literatura:

1) Vlado Stošić, Matematička natjecanja učenika osnovnih škola, HMD, Element, Zagreb

1994.

2) Boško Jagodić, Renata Svedrec, Matematika 7 za izbornu i dodatnu nastavu, Školske

novine, Zagreb 2000.

3) Boško Jagodić, Renata Svedrec, Matematika 8 za izbornu i dodatnu nastavu, Školske

novine, Zagreb 2000.

4) Z. Kurnik, Dokaz, Matematika i škola, 9 (2001), 149 - 155.

5) B. Dakić, Zornost u nastavi matematike, Školske novine, Zagreb, 1993.

6) Anđelko Marić, Planimetrija zbirka riješenih zadataka, Element, Zagreb 1996.

39

12 Nastavna tema: Dovitljivost, duhovitost … je li i ovo

matematika? (Logički zadatci)


U ovoj radionici cilj učenja jest kritički preispitati ponuđena rješenja zadatka , osmisliti nove

putove, ako oni postoje i znati ih argumentirati.


UČENICI ĆE:

• Analizirati problem

• Crtati rješenja

• Premiještati/ uklanjati žigice (legiće)

• Prepoznati neku od primijenjenih strategija rješavanja problema

• Raspravljati o rješenjima



- Učenike zainteresirati ne preteškim i nestandardnim matematičkim zadatkom iz

područja matematičke logike 4

- Najaviti cilj radionice

- Suradničkom metodom rada u paru učenici rješavaju pripremljene zadatke

- Zadatci su iz područja matematičke logike, zadatci s žigicama, popunjavanje praznih

mjesta s figurama/ brojevima tako da one čine logičan raspored, nizovi, …

- Pri tome koriste neke od strategija rješavanja problema, preslaguju štapiće (legiće) i

pronalaze rješenje ili neko od mogućih rješenja

- Svaki par učenika predstavlja svoje rješenje, te ga obrazlaže

- Svi ostali učenici preispituju valjanost tog rješenja, a možda daju i neko novo rješenje

ako postoji

4 Mirko Polonijo, Matematičke razbibrige za nove radoznalce, Element, Zagreb 1995.

40


Demonstracija

Suradničko učenje

Individualni rad

Rad u paru

Pribor: projektor, računalo, nastavni listići, LEGO WeDo2.0 ReadyGo



Zadati nestandardan matematički problem iz područja matematičke logike koji nije ni

jednostavno rješiv ali ni pretežak. Tražiti od učenika da ga pokušaju samostalno riješiti. Ukoliko

neki od učenika dođu do rješenja, razmotriti zajedno s njima koja je strategija korištena i

najaviti cilj radionice.

Ukoliko učenici ne uspiju riješiti problem, analizirati što ih zbunjuje i uz pomoć učitelja

riješiti problem.

Zadatak: Adam Crijepić, Baldo Slavinić i Cvjetko Gostić žive u različitim mjestima: jedan u

Sisku , drugi u Dubrovniku, treći u Osijeku, a bave se različitim zanimanjima: jedan je

krovopokrivač, drugi vodoinstalater, a treći konobar. Evo osnovnih podataka o njima: Baldo

nije Dubrovčanin, a nije ni krovopokrivač. Adam nikada nije bio u Sisku. Siščanin nije konobar,

a vodoinstalater živi u Dubrovniku. U kojim gradovima žive i čime se bave Adam Crijepić,

Baldo Slavinić i Cvjetko Gostić?

41

Rješenje:

Sisak

-nije konobar

Znači jest Krovopokrivač

Dubrovnik

Vodo-

instalater

Osijek

Adam Crijepić (2)

-----

Nikad nije bio u Sisku

Adam je

vodoinstalater iz

Dubrovnika

Baldo Slavinić (1)

Nije krovopokrivač stoga

nije iz Siska

-----

Nije Dubrovčanin

Baldo je iz

Osijeka i on

je konobar

Cvjetko Gostić (3) Cvjetko je iz Siska-

krovopokrivač

Ovdje smo koristili strategije crtanja dijagrama i logičkog mišljenja.

Najaviti cilj radionice: svatko od njih će kritički preispitati rješenja zadatka pojedinih

skupina/parova, osmisliti nove putove, ako oni postoje i znati ih argumentirati.

Zadatak 2. Dva unutarnja kvadrata.

42

Slika 1.

Od 24 žigice složen je kvadrat kao na slici1. Treba ukloniti 6 žigica tako da unutar velikog

kvadrata ostanu dva manja.

Rješenje:

Slika2.

Pokušajte pronaći i druga rješenja.

Strategija crtanja dijagrama i strategija logičkog mišljenja.

Zadatak 3. Koju od 6 figura treba postaviti na prazno mjesto, tako da one čine logičan

raspored?

Slika3.

Rješenje: Treba postaviti figuru pod brojem 2.

Strategija logičkog zaključivanja.

43


• Suradničkom metodom rada u paru učenici rješavaju pripremljene zadatke

• Zadatci su iz područja matematičke logike, zadatci s žigicama, popunjavanje praznih

mjesta s figurama/ brojevima tako da one čine logičan raspored, nizovi, …

• Pri tome koriste neke od strategija rješavanja problema, preslaguju štapiće (legiće) i

pronalaze rješenje ili neko od mogućih rješenja

• Svaki par učenika predstavlja svoje rješenje, te ga obrazlaže

• Svi ostali učenici preispituju valjanost tog rješenja, a možda daju i neko novo rješenje

ako postoji

Zadatak 4. Sedam kvadrata.

Od 28 žigica složeni su kvadrati kao na slici 4. Premjestite 8 žigica tako da ostane samo 7

kvadrata.

Slika 4.

44

Rješenje:

Slika 5.

Neka druga rješenja zadataka 4.

Sljedeća tri crteža prikazuju svaki po pet kvadrata. Da bi se dobilo potpuno rješenje, potrebno

je na bilo kojem mjestu dodati još dva mala kvadrata.

Već iz toga proizlazi bezbroj rješenja.

45

Evo još nekoliko rješenja.

Slika 6.

Korištene su strategije crtanja dijagrama / logičkog zaključivanja.

Zadatak 5. Parcele s vrtovima za odmor.

Zemljište kvadratnog oblika, Slika 7. (prikazano s 20 žigica) s jezercem u sredini treba podijeliti

na 8 parcela jednake veličine.

Slika 7.

46

Rješenja:

Slika 8.

Slika 9.

Zadatak 6. Upišite broj koji nedostaje na slici 10.:

Slika 10.

47

Rješenje:

(8+9) – (10+5)=2; (15+4) – (3+3)=13. Nedostaje broj 13.

Korištena strategija pronalaženja uzoraka.


Razmišljanjem i analiziranjem dobivenih rješenja razvija se učenikovo kritičko

mišljenje i kreativno mišljenje, koje je važno za svakodnevni život. Pri tome su učenici

prepoznali i iskazali koje su strategije rješavanja problema koristili.


Učenici samostalno osmišljavaju zadatak zagonetke preslagivanja žigice / legića kako

bi jednakost bila točna

Učenici koji žele mogu igrati igru s preslagivanjem žigica online

http://www.igre.hr/igra/matematika-sibica-match-math-2/

Literatura:

1) Mirko Polonijo, Matematičke razbibrige za nove radoznalce, Element, Zagreb 1995.

2) Volker Pöhls, Razmišljanje kao šport za sveznalice, Alca script, Zagreb 2001.

3) Zadatci za matkače početnike, Matka 10 (2001./2002.) br.38

4) Zdravko Kurnik, Enigmatika, Matka 5(1996./1997.)br.19

5) http://www.igre.hr/igra/matematika-sibica-match-math-2/

48

13 Nastavna tema: Mali poduzetnici (Projektni zadatak -

Geometrijska tijela)

Cilj / postignuća (u jednoj rečenici): Istražiti najisplativiji model tetra-pak ambalaže za

prirodni sokić (tj. koja od pravilnih prizmi ima najmanje oplošje za zadani volumen i visinu)


UČENICI ĆE:

izračunati duljinu brida osnovice i oplošje pravilne trostrane, četverostrane, peterostrane

i šesterostrane prizme i kvadra

skicirati modele

usporediti rješenja

odabrati pravilnu uspravnu prizmu najmanjeg oplošja

povezati gdje se taj oblik nalazi u prirodi i tko ga koristi

nacrtati mrežu pravilne šesterostrane prizme

oslikati ju korištenjem STEAM- Student set-a

izraditi model ambalaže za sokić



Korištenjem matematičkog znanja odrediti koja prizma ima najmanje oplošje za zadani

volumen (1l) i visinu (20 cm= 2dm)). Time dobivamo najveću isplativost, odnosno uštedu

materijala za izradu ambalaže za prirodni sokić. Kako bi proizvod bio što privlačniji kupcu,

osmisliti atraktivan dizajn korištenjem STEAM- Student set-a.


Demonstracija

Crtanje

Heuristički razgovor

Istraživanje

Suradničko učenje

Individualni rad

Rad u paru ili četvorkama

49

Pribor:

Hamer papir (4 kom)

A4 papir

Papir u boji

Boje

LEGO WeDO 2.0 ReadyGo



Započeti razgovor s učenicima koje sokove najviše vole konzumirati. Koji od njih su

zdraviji – manje zdravi? Utječe li ponekad na njihov izbor cijena, ambalaža, dizajn ambalaže ?

Najaviti cilj radionice – kako će upravo oni istražiti i izraditi najisplativiji model tetra-

pak ambalaže za prirodni sokić (tj. koja od pravilnih prizmi ima najmanje oplošje za zadani

volumen i visinu). Tako ćemo postati konkurentniji na tržištu. Osmisliti dizajn ambalaže koji

bi privukao sve njihove vršnjake.


Za zadani volumen prizme 1l i visinu 20cm izračunati duljinu brida osnovice i oplošje

pravilne trostrane, četverostrane, peterostrane i šesterostrane prizme, te kvadra.

Učenici će podijeljeni u skupine, skicirati prizme, izračunati traženo i usporediti rješenja.

50

1. Pravilna trostrana prizma

v=h

V= 1l=1dm3=1000 cm3

h=20cm

a=? O=?

V=B·h

O=2∙B + P

O= 2·𝑎2∙√3

4 +3∙a·h ….. O≈748cm2

2. Pravilna četverostrana prizma

v=h

V=B·h=a2·h

a≈7.1 cm

O= 2∙a2 + 4·a∙h …O≈668cm2

51

3. Kvadar

a=9cm, h= 20 cm, V=1 l

V=B∙h → b≈5.6 cm

O=2(ab+bc+ca)….→684.8 cm2

4. Pravilna peterostrana prizma

V=1l=1000cm3

h=20 cm

V=B·h

B=50cm2

5·𝑎∙𝑣𝑎

2= 50

a∙va = 20 =1∙20=2·10= 4∙5=·5∙4

Neka je stranica a=5, va=4 → O= 600cm2

52

5. Pravilna šesterostrana prizma

V= B·v

B=50cm2

6 ∙𝑎2∙√3

2 = 50 → 𝑎 ≈ 4.38 → 𝑂 ≈ 626 𝑐𝑚2

Usporedimo dobivena rješenja.

Analizom rješenja možemo ustanoviti, kako je oplošje pravilne peterostrane prizme za

zadani volumen najmanje. Međutim, jesmo li tu završili s propitivanjem i odabirom? Mogu li

se pravilne peterostrane prizme posložiti u pakiranja, koja će optimalno ispuniti prostor /

volumen pakiranja.

Pokušajmo posložiti baze pravilnog peterokuta, jedne pored drugih čineći mozaik.

Kao što možemo primijetiti ovakav način pakiranja ne bi bio prikladan, manji broj komada

tetrapak soka zauzeo bi isti prostor / isti volumen kamiona.

53

Promotrimo ostala slaganja:

ili kombinacije

Dakle, ostali ponuđeni oblici optimalno popunjavaju prostor.

Među njima, najmanje oplošje za zadani volumen i visinu ima pravilna šesterostrana prizma.

Gdje smo pravilnu šesterostranu prizmu sreli u prirodi?......Saće

Pčelice svoju kućicu izgrađuju u obliku pravilne šesterostrane prizme, gdje s najmanje

materijala dobivaju udobne kućice istog volumena, a kolonija je okupljena, te je i sigurnost

opstanka veća.

54

c) Završni dio:

Učenici će nacrtati mrežu pravilne šesterostrane prizme, oslikati ju korištenjem

STEAM- Student set-a, te izraditi model ambalaže za sokić.

Zaključak / spoznaja:

Rješavanjem ovog problema, učenici će vidjeti kolika je važnost i zastupljenost

matematike u svakodnevnom životu, poduzetništvu .... ekonomiji. Koliko je važno privući

kupca kvalitetom, dizajnom… reklamom.

Individualizirani / dodatni zadaci: Osmisliti reklamu za dobiveni proizvod

Literatura:

1) Tamara Nemeth, Goran Stajčić, Zvonimir Šikić, Matematika 8, udžbenik i zbirka

zadataka za 8. razred osnovne škole, Profil, Zagreb

2) http://medialift.hr/izrada-reklama/

3) Klaus Kobjoll, Srdačnost kao roba, Profil, Zagreb 2009.

14 Nastavna tema: Kombinatorni zadatci i prebrojavanje


Kombinatorikom razmještati objekte zadanog konačnog skupa u određene konfiguracije.

Odrediti je li razmještaj moguć i ukoliko jest, na koliko se načina može postići.


UČENICI ĆE:

• Prepoznati o kojoj se strategiji rješavanja radi

• Odabrati primjenu strategije

• Raspravljati o rješenjima

• Prezentirati rješenje

55




• Razgovor

• Demonstracija

• Individualni rad

• Crtanje

• Obrazlaganje

Pribor:

• Računalo, projektor

• Nastavni listići

• A4 papir

• Ploča, kreda


a) Uvod (motivacijska aktivnost): Učenicima objasniti osnove kombinatornog

prebrojavanja:

Dirichletov princip: Ako n+1 predmet rasporedimo u n kutija onda postoji barem jedna

kutija koja sadrži barem dva predmeta. Poopćenje: Ako kn+1 predmeta rasporedimo u n kutija

(pretinaca), onda postoji barem jedna kutija koja sadrži bar k+1 od tih predmeta. Pokazati na

primjerima. Također objasniti princip zbroja i princip umnoška u prebrojavanju, također

pokazati na primjerima

Primjer : Tri zrna prosa: Na šahovsku ploču, čija je duljina stranice polja jednaka 4cm,

bačeno je bez ikakvog reda 129 zrna prosa. Je li moguće položiti na ploču čelični prsten duljine

unutrašnjeg promjera 6cm tako da se unutar njega nalaze barem tri zrna prosa?

Objašnjenje: Metom razgovora zaključiti da na cijeloj ploči postoji polje koje sadrži

tri zrna prosa; po Dirichletu 129 = 64 * 2 + 1, polja na šahovskoj ploči su kvadrati sa stranicom

duljine 4cm, crtanjem kvadrata te opisivanjem kružnice tom kvadratu zaključiti da je promjer

56

opisane kružnice kvadratu 4√2cm što je manje od 6cm. Zaključak: moguće je na zadanu ploču

položiti čelični prsten promjera 6cm tako da se unutar njega nalaze barem tri zrna prosa.


Zadati učenicima zadatke:

1. U jediničnom kvadratu dano je 5 točaka. Dokažite da postoje barem dvije čija udaljenost je

manja od √2/2.

2. Pokaži da među šest prirodnih brojeva postoje dva čija je razlika djeljiva s 5.

3. Unutar jednakostraničnog trokuta stranice duljine 2 nacrtamo 5 točaka. Dokaži da je

udaljenost

neke 2 točke manja ili jednaka 1.

4. U razredu ima 40 učenika. Dokažite da postoji mjesec u godini u kojem rođendan slave

najmanje 4 učenika toga razreda.

5. Unutar jediničnog kvadrata smještena je 101 točka. Pokaži da neke tri od njih čine trokut

površine ne veće od 0.02.

6. Dano je 20 prirodnih brojeva. Dokažite da se između njih mogu odabrati 2 broja čija je

razlika djeljiva sa 19.

7. Unutar kvadrata čija je stranica duljine 1 dm nalazi se 110 točaka. Dokaži da postoji krug

polumjera 1/8 dm unutar kojeg se nalaze barem 4 zadane točke.

57

Na zadanim primjerima učenici će odabrati i primijeniti odabranu strategiju rješavanja

problema.

Analizirati će dobivena rješenja te u raspravi odlučiti koje je rješenje prihvatljivo i

dokazano matematičkim principima.

c) Zaključak / spoznaja: Individualizirani dodatni zadaci / sadržaji za učenike:

Dirichletov princip ima za nastavu matematike dva važna svojstva: jednostavnost i

očiglednost.

Zato je njegova primjena moguća vrlo rano. Nije rijedak slučaj da se na natjecanjima iz

matematike učenika osnovnih škola pojavljuju zadaci u kojima je moguća primjena

Dirichletovog principa. Takvi zadaci pogoduju razvijanju logičkog mišljenja učenika.


• Dodatni zadatci na listiću

• Učenici mogu sami osmisliti zadatak kombinatornog tipa

Literatura:

1) D. Veljan, Kombinatorika i diskretna matematika, Algoritam, Zagreb 2001

2) Završni rad: Mario Mijić, Osnovni kombinatorni principi, Osijek 2010

3) http://www.skoljka.org

4) https://web.math.pmf.unizg.hr/~mbasic/Prezentacija_Tafro.pdf

5) http://natjecanja.math.hr/wp-

content/uploads/2015/12/Logicki_zadaci_i_Dirichletov_princip.pdf

6) Mirko Polonijo, Matematički problemi za radoznalce, ŠK, Zagreb 1990

58

15 Nastavna tema: Površine

Cilj / postignuća (u jednoj rečenici): Razvoj geometrijskog mišljenja u učenika.


UČENICI ĆE:

• Izračunavati površine raznih geometrijskih likova

• Skicirati geometrijske likove; u ravnini i pravokutnom koordinatnom sustavu

• Usporediti rješenja

• Naći poveznicu u stvarnom životu; gdje izračunavamo površine, zašto ih izračunavamo

• Moći procijeniti duljinu, širinu te površinu promatranog objekta u blizini npr. pod

učionice u kojoj se nalazimo, radnu plohu učeničkog stola itd.



- U razgovoru s učenicima objasniti važnost izračunavanja površine promatranog lika.

Razgovarati o mjernim jedinicama, o pretvorbi mjernih jedinica u „veće“ ili „manje“

mjerne jedinice. Moći predočiti mjerne jedinice i pojmiti veličinu mm2, cm2, dm2..

- Ispisati formule za površinu kvadrata, pravokutnika, trokuta, paralelograma, trapeza.

- Razgovorom s učenicima naći što jednostavnije rješenje tj. put rješavanja problema.

- Prezentirati rješenje


• Heuristički razgovor

• Demonstracija

• Crtanje

• Individualni rad

• Rad u paru

59

Pribor:

• Računalo

• Projektor

• A4 papir

• Pribor za crtanje: ravnala, šestar, olovke, bojice

• Nastavni listići



Razgovorom s učenicima prisjetiti se kako se izračunavaju površine kvadrata,

pravokutnika, kruga, paralelograma, trapeza. Procjenjivati veličine zadanih mjernih jedinica

mm2, m2 i drugih po potrebi skicirati geometrijske likove te ispisati formule; svatko sebi na

papir ili na ploču.

Primjer: Ako svakoj stranici jednog para nasuprotnih stranica pravokutnika smanjimo duljinu

za 5 cm, a svakoj stranici drugog para nasuprotnih stranica tog pravokutnika smanjimo duljinu

za 2 cm, onda nastaje kvadrat koji ima za 80 cm2 manju površinu od površine zadanog

pravokutnika. Koliki je opseg nastalog kvadrata, a koliki je opseg zadanog pravokutnika?

Rješenje: Skica rješenja na ploči ili projekcijom s računala

Površina za koju se smanji pravokutnik jednaka je P1+P2+P3= 80 cm2 pa prema uvjetu zadatka

vrijedi 5 · x + 5 · 2 + 2 · x = 80. Slijedi x = 10. Dakle, stranica kvadrata duljine je 10 cm, a

stranice pravokutnika su duljine 15 cm i 12 cm Opseg kvadrata je Ok = 4 · x = 4 · 10 = 40 cm,

opseg pravokutnika je Op = 2 · 15 + 2 · 12 = 54 cm.

b) Glavni dio( aktivnosti)

1. Dan je jednakokračan trokut s krakovima duljine 2√2cm. Neka je P je polovište visine

spuštene na osnovicu tog trokuta. Ako je udaljenost točke P od kraka tri puta manja od njene

udaljenosti od osnovice, kolika je površina tog trokuta?

60

2. Izračunati površinu nepravilnog četverokuta sa slike (na listiću). Napomenuti učenicima da

postoje više načina rješavanja. Razgovorom poticati učenike na logičko razmišljanje, doći do

spoznaje da ne postoje univerzalne formule za izračunavanje nepravilnih geometrijskih likova

te da se takve površine izračunavaju kao zbroj ili razlika površina dijelova od kojih se taj

geometrijski lik sastoji.

Izračunati površinu peterokuta sa slike (na listiću).

3. Stranice trokuta ABC leže na pravcima čije su jednadžbe y = - 2x + 10, y = 3/2 x – ½ i x +

4y – 5 = 0. Odredi koordinate vrhova trokuta ABC i njegovu površinu te ga nacrtaj u

koordinatnom sustavu.

(Zadatak se može rješavati uz upotrebu računalnog programa Geogebre)

4. Odrediti površinu presjeka kvadra koji je nastao presijecanjem ravnine koja sadrži brid baze

i s bazom zatvara kut od 30 ili 60 stupnjeva. Duljine bridova mogu biti zadane ili se može

odrediti formula za takvu površinu (uz naravno određene uvijete).

Zaključak / spoznaja: Računanje površina primjenjuje se u svakodnevnom životu, razvijanje

geometrijskog mišljenja omogućava nam lakše razumijevanje prostora u kojem živimo, brže i

lakše dolazimo do određenih zaključaka te omogućava jednostavnije shvaćanje apstraktnih

pojava.

Individualizirani dodatni zadaci / sadržaji za učenike:

Dodatni zadatci na listiću

Literatura:

1) http://www.antonija-horvatek.from.hr/8-razred/05-Geometrijska-tijela/Mjerenje-

povrsine-i-volumena-Pano.pdf

2) G. Paić, Ž. Bošnjak: Matematički izazovi, radni listići za sedmi i osmi razred; Alfa, Zg

2008

3) MZOS, Hrvatsko matematičko društvo: Zadatci sa školskih i županijskih natjecanja

61

16 Nastavna tema: Strategije rješavanja problemskih zadataka


U ovoj radionici predstavljene su strategije rješavanja problemskih zadataka u matematici koje

nisu standardne za nastavu matematike.


UČENICI ĆE:

Moći prepoznati faktore koji otežavaju rješavanje problema

Nabrojati neke strategije rješavanja problemskih zadataka u matematici koje nisu

standardne za nastavu matematike

Odabrati primjerenu strategiju za rješavanje zadanog problema

Navesti četiri koraka za rješavanje problema

Raspravljati o rješenjima



- Učenike upoznati s faktorima koji otežavaju rješavanje problema

- Na određenim zadatcima učenici će moći prepoznati faktore koji otežavaju rješavanje

problema

- Predstaviti učenicima strategije rješavanja problemskih zadataka

- Na zadanim primjerima učenici će odabrati i primijeniti odabranu strategiju rješavanja

problema

- Kako je za mnoge učenike najteži dio rješavanja problema pronaći polaznu točku, tako

je bitno da im prikažemo četiri koraka Georga Polya za rješavanje problema:

razumijevanje problema, stvaranje plana, provođenje osmišljenog plana te osvrt na

rješenje. Svaki korak je bitan, od razumijevanja što se traži u zadatku do analiziranja je

zadovoljava li rješenje uvjetima problema.

62


Demonstracija

Suradničko učenje

Individualni rad


Pribor:

Projektor

Računalo

Nastavni listići

2 papira za plakate

ProBot (Logo u školama)



Zadati nestandardan matematički problem koji nije jednostavno rješiv i tražiti od

učenika da ga pokušaju samostalno riješiti. Ukoliko učenici ne uspiju riješiti problem,

analizirati što ih zbunjuje. Najaviti cilj radionice upoznavanje s različitim strategijama, koje

mogu pripomoći u rješavanju nestandardnih matematičkih problema.

Ukoliko neki od učenika dođu do rješenja, razmotriti zajedno s njima koja je strategija

korištena (a da oni toga nisu svjesni) i najaviti cilj radionice.

Primjer 1. (Razred: 7) Vlasnik zološkog vrta ima nojeve i slonove u jednom dijelu zološkog

vrta. Ukupan broj njihovih glava je 60 a nogu 180. Koliko svake vrste životinja ima?

Rješenje:

Možemo smanjiti složenost problema i raditi s jednostavnijim ali i ekvivalentnim

skupom brojeva. Podijelimo sve brojeve sa 10. Pokušajmo riješiti problem sa 6 glava i 18 nogu.

Ovdje ćemo raditi s manjim brojevima pa ćemo se onda vratiti na izvorni problem. Nojevi

imaju po dvije noge a slonovi po 4. Napravimo crtež u kojem 0 predstavlja glavu.

0 0 0 0 0 0

63

Sada, bilo da je u pitanju slon ili noj, ima najmanje dvije noge. Idemo označti s ”//” dvije

noge kod svake glave.

0 0 0 0 0 0

// // // // // //

Ova računica nam daje 12 nogu. Ostatak ide u paru na 3 glave.

// // //

0 0 0 0 0 0

// // // // // //

Znači, postoje 3 slona i 3 noja. Pomnožimo to sa 10 i pronašli smo odgovor na naš

početni problem. (Prisjetimo se da smo podijelili sve brojeve sa 10 da bi radili s jednostavnijim

brojevima) Odgovor: Vlasnik ima 30 nojeva i isto toliko slonova.

(Primijenili smo metodu rješavanja srodnog jednostavnijeg problema)

Primjer 2. (Razred: 7) Uzmimo LEGO kockice za ovaj problem. Kockice predstavljaju

automobile u trajektu. Svaka kockica (automobil) ima onoliki broj ljudi koliko je i njezina

dužina.

Dakle:

1 = Bijela kockica, 2 = Crvena, 3 = Zelena, 4 = Plava, 5 = Žuta

Imate jednu kockicu svake boje i dužine. Prikažite kako možete izgraditi trajekt dužine od 1 do

15.

(Primjena metode oponašanja i simulacije)

Primjer 3. (Razred: 7,8) Pronađite sljedeća dva člana niza 5,11,23,47,...

Rješenje: …. Uzorak za svaki sljedeći član u nizu je dvostruki prethodni s dodatkom broja 1.

(Algebarski, uzorak nam je formula 2n + 1, gdje je n prethodni član.)

( Primjena metode pronalaženja uzorka)

64


- upoznavanje s faktorima koji otežavaju rješavanje problema

- prepoznavanje istih u zadatcima

- upoznavanje sa strategijama rješavanja problemskih zadataka

- primjena istih

- osvješćivanje koraka rješavanja problema

16.2 Faktori koji otežavaju rješavanje problema

U strategijama rješavanja problema, važno je prepoznati kako sama struktura može

predstavljati problem u problemu. Postoji sedam faktora koje učenici moraju biti u stanju

prepoznati. Ti faktori su:

1. Pogrešan redoslijed

2. Ključne riječi

3. Dodatni brojevi

4. Riječima skriveni brojevi

5. Brojevi koji se podrazumijevaju

6. Više koraka

7. Točan matematički rječnik

16.2.1 Pogrešan redoslijed

Razred: 7. Nogometna ekipa je na treningu popila 9 3/4 litara vode. Spremnik može

sadržavati 15 litara vode. Koliko vode je ostalo u spremniku?

U ovom problemu, učeniku su dane informacije u suprotnom redoslijedu u kojemu treba

izračunati zadatak. Učenik mora koristiti prvo veći broj kako bi postavio točan problem kojeg

treba riješiti.

65

Pogrešan redoslijed - savjet za nastavu: Neka učenici prvo analiziraju pitanje, tj. ono što

se traži u zadatku. Moramo naučiti učenike napisati jednadžbu nakon što shvate koji tip

rješavanja im je potreban.

16.2.2 Ključne riječi

Marko je platio Luki 20.75 kn za kombinaciju 13 nogometnih kartica i neke košarkaške

kartice. Svaku nogometnu karticu je platio 1.25 kn a svaku košarkašku 0.75 kn. Koliko kartica

je Marko sveukupno kupio?

U ovoj situaciji ključna je riječ na riječi sveukupno, što ne mora značiti da je samo riječ

o zbrajanju, nego i o množenju i dijeljenju.

Ključne riječi - savjet za nastavu: Pokazati kako ključne riječi mogu biti varljive i

naglasiti važnost čitanja cijelog problema prije rješavanja. Najbolji savjet je da su ključne riječi

najkorisnije kada se pojavljuju neposredno prije upitnika. Također, treba istaknuti kako neke

ključne riječi mogu imati više od jedne operacije. Na primjer, riječ sveukupno. U nižim

razredima osnovne škole se uči da je to zbrajanje, a može se koristiti i za množenje.

16.2.3 Dodatni brojevi

Problemi s previše brojeva mogu biti vrlo teški za učenike. Nesigurni su prilikom odabira pravih

brojeva. U nastavku su prikazani primjeri ovog otežavajućeg faktora.

Primjer 1.

Lea, Ana i Helena skupljaju klikere. Lea ima 152 klikera u svojoj kolekciji, Ana ima 149

klikera, a Helena 126. Koliko klikera Lea ima više od Ane? U ovom problemu, postoje tri seta

brojeva, ali jedan set nam nije potreban da bi se problem riješio.

Primjer 2.

Alen se natjecao u skoku u dalj u kojem je dobio tri pokušaja. Na prvom skoku postigao je

rezultat od 3 metra i 83/4 centimetara. U drugom skoku, postigao je rezultat od 3 metra i 111/2

centimetara, a u poslijednjem 3 metra i 81/4 centimetara. Za koliko je bio dulji njegov najduži

skok od najkraćeg?

66

Dodatni brojevi - savjet za nastavu: Naučiti učenike da se bave ovim otežavajućim

faktorom tako da rasprave o brojevima i njihovim odnosima u priči. Treba raspraviti o tome

zašto dodatni broj ili brojeve treba eliminirati.

16.2.4 Riječima skriveni brojevi

Učenici često traže ključne riječi u problemu. Tako ne daju problemu puno pažnje. Pisanje

jednog od tih brojeva u obliku riječi komplicira ovu strategiju. Pogledajmo primjere.

Razred: 7

Julia ima novčanicu od 100 kn za kupnju majice, a majicu koju je pronašla košta 80 kn.

Na blagajni joj je prodavač rekao da je ta majica na sniženju dvadeset posto. Koliko joj je

ostatak novca blagajnik vratio?

Riječima skriveni brojevi – savjet za nastavu: Naučite učenike prvo pronaći broj skriven

riječima. Kada učenici nauče prepoznati takav broj, dajte im da vježbaju pronalaženje tih

brojeva. Kada ih pronađu, neka istaknu tu riječ.

16.2.5 Brojevi koji se podrazumijevaju

Ovi problemi su često povezani s problemima koji sadrže još jedan otežavajući faktor.

Problem ne bi mogao predstaviti dovoljno informacija ili jedan od nužnih brojeva za rješavanje

problema koji se podrazumijevaju u izrazu, kao što je mjerenje pojma. Pogledajmo primjere.

Razred: (5)

Ani je potrebno mlijeko za kolač kojeg peče za prodaju. Otišla je u trgovinu i kupila

jednu litru mlijeka te je iskoristila jednu šalicu mlijeka za kolač. Koliko joj je mlijeka ostalo

nakon što je napravila kolač?

U ovom problemu, učenici mogu usporediti jednu šalicu sa jednom litrom i pretpostaviti

da je potrošila cijelo mlijeko. Ovdje učenik mora znati koliko šalica ima u jednoj litri.

Brojevi koji se podrazumijevaju – savjet za nastavu: Naučite učenike tražiti riječi koje

se podrazumijevaju. Vježbanjem neka naglase te riječi i neka ih pretvore u odgovarajući

kontekst brojeva. Također, neka provjere jesu li ti brojevi potrebni u zadatku ili su navedeni

kao dodatna informacija.

67

16.2.6 Više koraka

Problemi s više koraka su izuzetno teški za učenike. Oni će često izvršiti samo jedan

korak ili će izvršiti oba koraka ispravno, ali će njihovi izračuni biti krivi već u prvom koraku

koji u konačnici daje netočno rješenje.

Razred: 3

Goran je ubrao 24 jabuke ujutro i 30 poslijepodne. Njegova baka ima nekoliko vrečica

i zamolila ga je da u svaku vrečicu stavi po 6 jabuka. Koliko vrečica Goran može popuniti?

Nakon što učenik prepoznaje da se radi o problemu s više koraka, mora odrediti koje

operacije je potrebno izvršiti. U ovom problemu učenik može prvo zbrojiti sve jabuke pa ih

podijeliti u grupe po 6 jabuka ili će podijeliti oba broja u grupe po šest i zbrojiti ta dva količnika.

Obje strategije daju isti rezultat.

Razred: 7

Gospodin Jan kupio je 3 okvira za slike za 64.50 kn. Ako je pojedini okvir koštao 20 kn

bez poreza, koliko poreza je platio za 3 okvira?

Više koraka – savjet za nastavu: Uvedite ovaj otežavajući faktor nakon što savladaju sve

druge faktore. Predstavite problem demonstracijom i pokazivanjem uobičajenih koraka koje su

potrebne za rješavanje ovakvih tipova problema.

16.2.7 Točan matematički rječnik

Koristeći točnu terminologiju povećavamo poteškoće u problemu. Učenici moraju biti

u stanju interpretirati matematički rječnik kako bi razumjeli situaciju. Također, moraju biti u

mogućnosti identificirati moguće jednadžbe povezane s pojmovima kako bi riješili problem.

Pogledajmo primjere.

Razred: 7

Četiri razreda skupljala su novac za dobrotvorne svrhe. 7. razred skupio je 320 kn, 8.

razred je skupio 180 kn, a 5. razred 165 kn. Kolika je srednja vrijednost prikupljenog novca?

Razred: 8

Koliki je volumen sfere koja ima radijus od 8 metara?

68

Točan matematički rječnik – savjet za nastavu: Utvrdite uobičajene matematičke

pojmove. Često se problemi s riječima koriste u zadatcima s mjernim jedinicama i

geometrijskim pojmovima. Ovdje su dani primjeri za razumijevanje i razlikovanje pojmova

opsega, obujama i površine.

Proces rješavanja problema

Kada u nastavi govorimo o rješavanju problema, važno ih je predstaviti učenicima kao metodu

pristupanja svim vrstama problema. Za mnoge učenike je najteži dio rješavanja problema

pronaći polaznu točku. George Polya (1973) predložio je četiri koraka kako bi pomogli djeci

riješiti problem:

1. Razumijevanje problema

2. Stvaranje plana

3. Provođenje osmišljenog plana

4. Osvrt na rješenje

Njegova metoda je sistematski pristup rješavanju problema koji pruža smjernice pomoću kojih

se prolazi kroz proces rješavanja mnogih vrsta problema.

16.3 Strategije rješavanja problemskih zadataka

Problemski zadaci mogu se riješiti primjenom različitih heurističkih strategija. Nastavnici

trebaju učenike upoznati s tim specifičnim strategijama koje mogu primijeniti Polyn pristup

rješavanja problema. Sljedećih 9 strategija mogu se primijeniti na veliki izbor rješavanja

problemskih zadataka:

Ispisivanje sustavnih listi

Metoda pokušaja i promašaja

Rješavanje srodnog jednostavnijeg problema

Metoda oponašanja i simulacije

Metoda rješavanja unatrag

Pronalaženje uzorka

Logičko zaključivanje

Crtanje dijagrama

69

Promjena fokusa

Primjena ispisivanja sustavnih listi

Primjer 1. Josipa ima 55 blokova koje treba složiti u trokut u izlog trgovine. Ona želi da na

vrhu trokuta stoji jedan blok, red ispod njega dva bloka, pa onda tri bloka i tako dalje. Je li

moguće napraviti trokut od svih 55 blokova, i ako je tako, koliko redova će trokut imati?

Rješenje: Počnimo s vrhom našeg trokuta s jednim blokom te nastavljamo sve dok ne

iskoristimo svih 55 blokova. To se najbolje može učiniti kreiranjem tablice za praćenje

obrnutog postavljanja blokova.

Broj retka Broj blokova u retku Ukupan broj blokova

1 1 1

2 2 3

3 3 6

4 4 10

5 5 15

6 6 21

7 7 28

8 8 36

9 9 45

10 10 55

Iz tablice vidimo da ćemo u desetom retku iskoristiti svih 55 blokova.

Odgovor: Moguće je složiti trokut od 55 blokova u 10 redaka.

Osvijestiti korake rješavanja problema:

1. Razumijevanje problema

2. Stvaranje plana

3. Provođenje osmišljenog plana

70

4. Osvrt na rješenje

Primjer 2. Prosinac je dvanaesti mjesec u godini i ima dva zanimljiva datuma, 12. prosinac i

24. prosinac jer su to višekratnici broja 12. Koliko dana u neprijestupnoj godini su višekratnici

od njegovog broja mjeseca, za svaki mjesec u godini?

Odgovor: Zbrajanjem ukupnog broja višekratnika za svaki mjesec dobit ćemo naš odgovor.

Ima ukupno 90 dana koji su višekratnici od svog broja mjeseca.

16.4 Metoda pokušaja i promašaja

Metodu pokušaja i promašaja koristimo u svakodnevnom životu i često nismo ni svjesni

toga. Na primjer, kada miješamo boje kako bi dobili onu odgovarajuću, pokušavamo i miješamo

boju sve dok ne dobijemo željeni rezultat. Iako ova strategija ne zvuči vrlo matematički, često

je korištena metoda. Ova strategija je izuzetno snažna i vrlo korisna. Učenik pogada rezultat (i

to mora biti inteligentan pogodak, a ne samo slučajan ubod u problem), a zatim nastavlja

testirati taj pogodak prema uvjetima problema. Ako pogađanje nije točno, onda učenik opet

pogađa. Svaki pogodak slijedi na temelju rezultata dobivenih u prethodnim ispitivanjem. Ako

je rezultat ispitivanja premalen, sljedeći pogodak bi trebao biti malo veći, odnosno ako je

rezultat prevelik, sljedeći pogodak bi trebao biti manji. Obično, tablica ili lista služe za

organiziranje podataka iz svakog uzastopnog pogotka i rezultata tog pogotka. Proces se

nastavlja sve dok učenik ne dođe do pogotka koji rješava problem.

Primjer 1.

Barbara rješava test višestrukog izbora od 20 pitanja. Test je ocjenjen sa +5 ako je odgovor

točan a sa −2 u slučaju netočnog odgovora te 0 ako je pitanje izostavljeno. Ona je postigla 44

boda iako je izostavila neka pitanja. Koliko pitanja je Barbara izostavila?

Rješenje: Ovaj problem možemo riješiti algebarski. Neka je

x = broj pitanja s točnim odgovorom

y = broj pitanja s netočnim odgovorom

z = broj izostavljenih pitanja

Zatim, uvjeti zadatka bi dali

x + y + z = 20

71

5x−2y + 0z = 44

Sada imamo dvije jednadžbe s tri nepoznanice. Takav sustav jednadžbi može se riješiti

strategijom Diophantove analize. Međutim, ona takoder ima jednostavno rješenje pomoću

metode pokušaja i promašaja. Ispitajmo broj pitanja na koje je Barbara odgovorila točno. Mora

ih biti barem 10, jer ako je odgovorila na 9 ispravno, dobila bi 9×5 = 45, i oduzimanjem parnog

broja, nikada ne bi mogla završiti s 44 bodova.

Točno (+5) Netočno (-2) Izostavljeno Bodovi (44) Ukupan broj pitanja

8 Nemoguće 40−2× (broj pogrešaka)

9 Nemoguće 0 45−2× (broj pogrešaka)

10 3 7 44 20

11 Nemoguće

12 8 0 44 20

13 Nemoguće

14 13 0 44 27

Sa 10 točnih rješenja, Barbara bi imala 3 pogrešna odgovora i rezultat od 44 boda. Dakle,

ona bi izostavila 7 pitanja. To je točan odgovor, ali je li to jedini odgovor? Pretpostavimo da je

Barbara odgovorila na 11 pitanja točno. Ne postoji način na koji je mogla ostvariti 44 boda

oduzimanjem parnog broja od 55. Dakle, 11 točnih odgovora je nemoguće. Pretpostavimo da

je točno odgovorila na 12 pitanja. 12×5 = 60 i 60−16 = 44, što znači da je imala 12 točnih, 8

netočnih odgovora te ni jedno izostavljeno pitanje. Međutim, to nam je u kontradikciji s uvjetom

problema. Ako je Barbara odgovorila na 13 pitanja točno, nikako ne bi mogla ostvariti 44 boda

kao i kod slučaja s 11 točno odgovorenih pitanja. Ako je, pak, na 14 pitanja odgovorila točno,

mogla bi doći do 44 boda ako bi imala 13 netočnih odgovora što bi premašilo broj pitanja u

testu. Nastavljajući ovim postupkom, vidimo da za 16 i 18 točno odgovorena pitanja ne postoje

rješenja. Dakle, rezultat od ’izostavljenih 7’ je jedino moguće rješenje. Ovom metodom smo

stigli do odgovora na učinkovit način sa sigurnošću u jedinstvenost rješenja. Kao što smo već

naglasili, važnost ove strategije je da učenik iznese niz pogađanja. Postupak počinje

informiranim pogotkom. Ovaj korak je bitan i počiva na učenikovom predznanju matematike

72

te kako se problem mora kontekstualizirati. Primjerice, u našem navedenom problemu moramo

razumjeti da negativan broj bodova može biti posljedica oduzimanja, te da su za ocjenu

određeni pravi ili krivi odgovori dobiveni množenjem. Iako se sve to može činiti očigledno,

učenicima nije ugodno kad su takvi problemi u pitanju i kao posljedica njihovih nesporazuma

čine neuspješna nagađanja.

Primjer2.

Otac ima na raspolaganju 1600 kn koje treba podijeliti svojim trima sinovima. Najstariji će

dobiti 200 kn više nego srednji sin. Srednji sin dobit će 100 kn više od najmlađeg sina. Koliko

je novca dobio svaki sin?

Rješenje: Možemo koristi metodu pokušaja i pogrešaka. Napravimo tablicu kako bi imali

pregled svih nagađanja i njihova testiranja.

Broj pogađanja Najmlađi sin Srednji sin Najstariji sin Ukupno

100kn 200kn 400kn 700kn (premalo)

200kn 300kn 500kn 1000kn (i dalje premalo)

300kn 400kn 600kn 1300kn (i dalje premalo)

400kn 500kn 700kn 1600kn (pogodak!)

Dobivamo odgovor iz tablice.

Odgovor: Najmlađi sin dobit će 400 kn, srednji 500 kn a najstariji 700 kn.

16.5 Rješavanje srodnog jednostavnijeg problema

Trebalo bi biti očito da se neki problem obično može riješiti na više načina. Jedan

jednostavniji način da se problem bolje izvede i koji obično daje dobre rezultate je da

promijenimo zadani problem u njemu ekvivalentni problem kojeg je lakše riješiti, tj.

pojednostavljivanje brojeva u zadanom problemu. To može učenicima dati uvid u to kako

riješiti izvorni problem. U nekim slučajevima, jednostavniji problem može uključiti samo

jednostavnije brojeve, ali se može pojednostaviti obzirom na jednostavniji slučaj problema.

73

Nakon što učenici riješe jednostavniju verziju, mogu nastaviti na originalan (možda i složeniji)

problem.

Primjer 1. (Razred: 7)

Upitali su Mariju kako bi pronašla tri uzastopna parna broja čiji je zbroj 60. Koji su to brojevi?

Rješenje: Koristit ćemo metodu rješavanja srodnog jednostavnijeg problema. Počet ćemo s

najmanjom parnom trojkom brojeva, pa ćemo probati iduću i tako sve dok ne dođemo do

nečega što možemo iskoristiti.

2+ 4 + 6 = 12 Trojka počinje s brojem 2 (što je 1×2)



8 + 10 + 12 = 30 Trojka počinje s brojem 8 (što je 4×2)

Vidimo da se zbroj povećava za 6. Iznos će biti 12,18,24,30,36,42,48,54 i 60. Mi želimo deveti

zbroj, tj. kad je zbroj 60. Tri uzastopna parna broja daju zbroj koji počinje s 9×2 ili 18. Mi ćemo

uzeti 18 + 20 + 22 = 60.

Odgovor: Tri uzastopna parna broja čiji je zbroj 60 su 18, 20 i 22.

Napomena za nastavu: Učenici mogu nastaviti dodavati sljedove triju uzastopnih

brojeva sve dok ne pronađu sve zbrojeve i dok ne dođu do zbroja 60. Također, možemo pokazati

učenicima da je zbroj tri uzastopna parna broja zapravo tri puta uvećan srednji broj. Stoga, 60/3

= 20 što je srednji broj te dobijemo preostala dva broja 18+20+22 = 60.

16.6 Metoda oponašanja i simulacije

Ova strategija je korisna u nižim razredima osnovne škole. Ovdje djeca preuzimaju ulogu

problema i izvode neke akcije. Također, mogu koristiti materijale kao što su žetoni, čepovi, itd.

za simuliranje akcija u problemu. Krajnja simulacija je koristiti brojeve.

Primjer 1. Markova majka kući je donijela list od 24 poštanskih markica (Slika 1). Marku su

potrebne tri markice, pa je otkinuo tri povezane markice. Koliko je mogućih različitih skupova

oblika od tri povezane markice?

74

Slika 1: List od 24 markice

Rješenje: Učenike treba potaknuti da uzmu 3 pločice oblika kvadrata da bi simulirali problem

te da vide koliko različitih oblika mogu dobiti od 3 povezane markice (Slika 2).

Slika 2: Različiti oblici napravljeni od 3 markice

Odgovor: Postoje 6 različitih skupova od 3 markice koje Marko može otkinuti.

Napomena za nastavu: Upitajte učenike kako znaju da su napravili sve moguće razmještaje od

3 markice. Trebali bi vidjeti da su razmjestili kvadrate na sve moguće načine.

75

16.7 Metoda rješavanja unatrag

Ovu strategiju učenici mogu teško savladati. Većinom su u matematici naučeni krenuti

rješavati problem od početka korak po korak. Ova metoda ima suprotan red. Učenici počinju

od kraja problema i provode postupak unatrag da bi dobili uvjete na početku. Matematičke se

operacije invertiraju tj., množenje u problemu postaje dijeljenje a zbrajanje postaje oduzimanje.

Nakon što pronđemo rješenje problema, možemo ga provjeriti na način da krenemo od početka

i provodimo ga do kraja. Iako se postupak može činiti neprirodan, često se koristi u

svakodnevnom donošenju odluka. Na primjer, pronalaženje najboljeg puta do nepoznatog

odredišta na karti. Prvo što pokušamo je pronaći odredište točke, a zatim se postupno vraćati

unatrag kroz mrežu prometnice sve dok ne dođemo do poznatog okruženja. Medutim, kada je

riječ o matematičkoj primjeni ove tehnike, moramo potaknuti učenike da ovu metodu svrstaju

u svoje načine rješavanja problema.

Primjer 1.

Promotrimo sljedeći problem: Eva, Hrvoje i Antonio igraju određenu igru. Igrač koji

izgubi rundu mora svakom igraču dati onoliko novca koliko je svaki od njih imao u to vrijeme.

U prvoj rundi je Eva izgubila i daje Hrvoju i Antoniu onoliko novca koliko je imao svaki. U

drugoj rundi Hrvoje gubi te daje Evi i Antoniu onoliko novca koliko svatko ima. Antonio gubi

u trećoj rundi te daje Evi i Hrvoju onoliko novca koliko ima svatko od njih. Odlučili su prestati

igrati igru u onom trenutku kada je svatko imao 24 kn. Koliko je svatko od njih imao novca na

početku igre?

Rješenje: Možda ste počeli ovaj problem rješavati postavljanjem sustava s tri jednadžbe i tri

nepoznanice. Može li se to učiniti? Naravno da može. Međutim, kako naš problem zahtijeva

puno oduzimanja i pojednostavljivanja izraza u zagradi, konačni skup jednadžbi može biti

netočan. Čak i ako se dobije točan skup jednadžbi, moraju se riješiti istovremeno:

Runda Eva Hrvoje Antonio

Početak x y z

1 x−y−z 2y 2z

2 2x−2y−2z 3y−x−z 4z

3 4x−4y−4z 6y−2x−2z 7z−x−y

76

To nas dovodi do sljedećeg sustava jednadžbi:

4x−4y−4z = 24

−2x + 6y−2z = 24

−x−y + 7z = 24

Rješavanje ovog sustava nam daje x = 39, y = 21 i z = 12. Znači, Eva je na početku

imala 39 kn, Hrvoje 21 kn, dok je Antonio imao 21 kn. Kada problem navodi svoju situaciju na

kraju priče (”Svaki od njih je imao 24 kn”) i kada se pitamo za početnu situaciju (”Koliko je

svatko od njih imao novca na početku igre?”) tada sigurno znamo da se radi o metodi rješavanja

unatrag. Pogledajmo kako bi olakšali ovaj postupak. Počinjemo s kraja, tj. kada je svatko od

njih imao 24 kn:

Eva Hrvoje Antonio

Kraj treće runde 24 24 24

Kraj druge runde 12 12 48

Kraj prve runde 6 42 24

Početak 39 21 12

Kraj druge runde: Zbog toga što je Antonio izgubio u trećoj rundi, Eva i Hrvoje udvostručuju

ono što su imali u drugoj rundi. Pa tako na kraju druge runde Eva i Hrvoje imaju po 12 kn dok

je Antonio imao 48 kn= 24 kn+12 kn +12 kn.

Kraj prve runde: Zbog toga što je Hrvoje izgubio u drugoj rundi, Eva i Antonio udvostručuju

ono što su imali u prvoj rundi. Pa tako je na kraju prve runde Eva imala 6 kn, Antonio 24 kn,

dok je Hrvoje imao 12 kn+6 kn+24 kn= 42 kn.

Početak: Zbog toga što Eva gubi u prvoj rundi, Hrvoje i Antonio udvostručuju ono što su imali

na početku. Dakle, na početku, Hrvoje je imao 21 kn, Antonio 12 kn dok je Eva imala 6 kn+21

kn+12 kn= 39 kn.

Dobili smo ista rješenja kao što smo postigli s algebarskim načinom rješavanja.

Kao što smo već rekli, važno je da pružite sebi i učenicima priliku raspraviti o tome što

učenici misle o problemu prije nego što ga krenu oni sami rješavati. To je temelj za korištenje

ove strategije. Učenici moraju razumjeti strukturu problema kako bi mogli pratiti problem od

77

kraja do početka. Kao i uvijek, učenici bi trebali biti potaknuti tražiti elegantna i efikasna

rješenja.

Primjer 2. Radijski voditelj planira svoj subotnji program. U sat vremena, mora odvojiti 5

minuta za vijesti, 4 minute za vrijeme, 3 minute za lokalne najave te 27 minuta za reklame. Ako

svaka pjesma u prosjeku svira 3 minute, koliko pjesama on može pustiti u svom subotnjem

programu?

Odgovor: Radijski voditelj može pustiti 7 pjesama u jednome satu.

16.8 Pronalaženje uzorka

Uzorci se javljaju u mnogim situacijama. Učenici trebaju uvježbati ispitivanje podataka

kako bi pronašli postojanje uzorka. Neki problemi će navoditi da uzorak postoji u slijedu

brojeva a učenik treba pronaći taj uzorak i/ili nastaviti slijed za nekoliko dodatnih uvjeta. Ostali

problemi mogu zahtijevati tablicu ili listu za organiziranje podataka kako bi uvidjeli nastajanje

uzorka. U svakodnevnom životu se često pozivamo na pronalaženje uzorka kako bi riješili neki

problem, ali nikad nismo to učinili izravno. Na primjer, trebamo pronaći određenu adresu u

susjedstvu s kojom niste poznati. Ako ste u potrazi za Vukovarkom 270, prvo što utvrdite je s

koje strane su parni odnosno neparni brojevi. Zatim gledamo u kojem su oni poretku, uzlazno

ili silazno. Ovaj problem uključuje pronalaženje uzorka pomoću kojeg ćemo doći do cilja.

Pronalaženje uzorka ponekad može biti izazovno. Najbolji način da učenici nauče pronaći

uzorak je da uvježbaju pronalaženje uzorka u različitim problemskim situacijama.

Primjer 1. (8. razred)

Imamo stroj koji radi samo na dane brojeve. Dakle, ako smo unijeli broj 3, stroj može

raditi samo s brojem 3. Stroj koristi četiri temeljne operacije (zbrajanje, oduzimanje, množenje

i dijeljenje) ili same ili u kombinaciji. Evo prvih šest izlaza za ulaze x = 1 do 6:

78

Ulaz Izlaz

1 1

2 9

3 29

4 67

5 129

6 221

Kolika je vrijednost za ulaz x = 9?

Rješenje: Možda bi započeli riješiti ovaj problem s pogađanjem pravila po kojem stroj radi. To

je vrlo težak i dugotrajan posao. Međutim, problem se može riješiti pomoću strategije

pronalaska uzorka zajedno s nekim obrazloženjem kako bi se utvrdilo što stroj zapravo radi

kada mi unesemo neki broj. Njegov izlaz se čini da je blizu kubnog unesenog broja. Imamo:

Medutim, budući da naš izlaz može sadržavati samo broj ulaza, moramo izraziti x3 kao x•x•x,

te (x−1) kao (x− x/x). Dakle, naše izlazno pravilo za neki ulaz x mora biti x•x•x+(x−x/x), pa

rješenje našeg problema iznosi 9•9•9+(9−9/9) = 93+8 = 729+8 = 737.

Kako bi se učinkovito iskoristili geometrijski i brojčani uzorci u rješavanju problema, učenici

moraju:

79

1. Razumjeti svrhu i kontekst uzorka. Primjer: u navedenom problemu, treba razumjeti da

tražimo uzorak koji opisuje matematički odnos izmedu ulaza i izlaza.

2. Utvrditi ponavljajuće elemente u uzorku. Primjer: u navedenom problemu, treba primijetiti

da su izlazne vrijednosti blizu kubne vrijednosti ulaza.

3. Proširiti uočen uzorak.

Primjer: u navedenom problemu, pretpostaviti da ulaz x daje izlaz x3 + (x−1).

Učenici moraju naučiti prvo uočiti uzorak pa tek onda sustavno organizirati svoja razmatranja.

Mnogo toga se može riješiti raspravom u razredu prije nego učenici krenu na rješavanje

problema. Opis nekih učenika može postaviti temelje za istraživanje kako se uzorak može

nastaviti.

16.9 Logičko zaključivanje

Iako rješavanje bilo kojeg problema zahtijeva logičko zaključivanje, nekim problemima

je ovo primarna strategija za rješavanje. To može biti u rasponu od jednostavne logike do

problema koji se sastoje od logičkog lanca zaključivanja. Jedan zaključak dovodi do drugog.

Logički proces nastavlja se sve dok se problem ne riješi.

Primjer 1.

Promotrimo sljedeći problem: Rebeka, Sara, Tin, Una, Vesna i Dino idu na večeru kako

bi proslavili to što su Vesna i Dino maturirali. Obrok svake osobe koštao je jednako. Vesni i

Dini će društvo platiti obroke ali svatko od slavljenika mora dati doprinos u cijeni jela drugog

slavljenika. Koliko je svaki od njih platio ako je ukupan račun bio 108.00 kn?

Rješenje: Jedan od prvih načina za riješiti ovaj problem bi bio algebarski.

108 ÷ 6 = 18 kn za jedan obrok

Neka 2x predstavlja količinu koju je svatko dao za Vesnu i Dina. Tada je

Rebeka platila 18 kn+2x

Sara je platila 18 kn+2x

Tin je platio 18 kn+2x

80

Una je platila 18 kn+2x

Vesna je platila x

Dino je platio x

Dakle, 72 kn+10x = 108 kn

10x = 36 kn

x = 3.60 kn

Vesna i Dino su svoje obroke platili 3.60 kn dok su svi drugi platili 18 kn+2×3.60 kn=

25.20 kn. Pokušajmo riješiti ovaj problem koristeći logičko zaključivanje. Znamo da je Vesna

platila 1/5 Dininog obroka ili 1/5 od 18kn je 3.60 kn. Istovremeno, Dino plaća 1/5 Vesninog

obroka ili 3.60 kn, ukupno 7.20 kn. Ako oduzmemo 7.20 kn od ukupnog iznosa 108 kn, dobit

ćemo još 100.80 kn koje trebamo podijeliti na preostale četiri osobe. Dijeljenjem 100.80 kn sa

4 dobivamo 25.20 kn po osobi tj. iznos koji su Rebeka, Sara, Tin i Una platili. Vesna i Dino su

platili po 3.60 kn.

Problemi koji uključuju logičko zaključivanje često uključuju znatnu količinu podataka

koje se na prvi pogled čine zbunjujućima. Strategija rješenja, kao što je već rečeno, je izvući

logičke zaključke iz danih podataka, tj. da iskoristimo zaključak. Međutim, to zahtijeva da

učenici nauče razumno i sustavno organizirati podatke. Ovo uključuje učenje kako analizirati

tragove, na primjer, kako koristiti proces eliminacije, popise, Vennove dijagrame ili tablice.

Također je važno da učenici u razredu raspravljaju o svojim mišljenjima. Kada od učenika

tražimo da riješe problem s logičkim zaključivanjem, to nije samo skakanje s jednog pojma na

drugi, ono često zahtijeva čitanje između redaka. Primjerice, u našem problemu ne piše da je

Vesna platila 1/5 Dininog obroka (riječima skriveni brojevi). Za većinu učenika će ovo biti

novo iskustvo te će morati raspraviti i istražitiiti niz problema da bi stekli učinkovitost i

eleganciju koja logičko zaključivanje dovodi do rješavanja problema.

81

Primjer 2. (Razred: 7)

Odredite vrijednosti za A, B, C i D ako su oni svi pozitivni cijeli brojevi te vrijedi:

A×B = 24

A + B = 14

C ×D = 48

A×D = 192

B×C = 6

Rješenje: Iskoristit ćemo logičko zaključivanje zajedno sa znanjem aritmetike. Zbog toga što

je A×B = 24 možemo ispitati faktore broja 24. A i B mogu biti samo 1 i 24, 2 i 12, 3 i 8 ili 4 i

6. Nadalje, zbog A + B = 14, A i B mogu biti samo 12 i 2. Primijetimo da nam zadnja jednakost

B×C = 6 govori da B mora biti 2, a A mora biti 12. Nadalje, ako je B = 2, C mora biti 3. Budući

je C ×D = 48, D mora biti 16. Strategija logičkog zaključivanja mora biti korištena od strane

učenika u načinu otvorenog razmišljanja, i sve dok učenici mogu opravdati svoje korake

logično, ovi koraci bi trebali biti prihvaćeni. To može biti lijepa grupna aktivnost.

Odgovor: A = 12,B = 2,C = 3 i D = 16.

Primjer 3. (Razred: 7) Nacrtajte dvije ravne linije kroz lice sata (Slika 3.) tako da zbroj brojeva

u svakom odjeljku bude jednak.

Slika 3.: Lice sata

Rješenje:

Malo logičkog zaključivanja može pomoći. Ako nacrtamo dva pravca koja se sijeku da

dobijemo četiri dijela, dobit ćemo grupiranje malih brojeva međusobno odnosno velikih brojeva

međusobno. To će biti neuravnoteženo odmah na početku. Idemo ispitati problem logično. Ako

zbrojimo svih 12 brojeva na satu, dobivamo 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 =

82

78. Zbog toga što zbroj unutar svakog dijela mora biti isti, podijelimo taj broj s 3, 78÷3 = 26.

To čini posao lakšim. Odgovor je prikazan na Slici 4.

Slika 4. Podjela sata u tri dijela

h) Crtanje dijagrama

Rješavanje geometrijskog problema bez crtanja skice jest nezamislivo. Ipak skica može

biti vrlo korisna i u rješavanju negeometrijskih problema. Zapravo, postoje slučajevi kada je

skica neophodna za rješavanje negeometrijskih problema. Ipak, određivanje kada je problem

bolje riješiti uz pomoć skice je nešto što dolazi s iskustvom. Prikazat ćemo nekoliko ilustracija

za usmjeravanje misli u tom smjeru. Pogledat ćemo neke probleme koje koriste skicu kako bi

razjasnile situaciju ili da nam pomognu pri zaključivanju problema.

Primjer 1.

Ana drži četiri karte u ruci: asa pik, asa srce, asa tref i asa karo. Ivan vuče dvije karte iz Anine

ruke bez gledanja. Kolika je vjerojatnost da je Ivan izvukao barem jednog crnog asa?

Rješenje: Možemo pretpostaviti da je vjerojatnost 2/4, tj. 1/2. Medutim, ako ćemo napraviti

skicu mogućih ishoda, vidjet ćemo da ovo nije točno. (Slika 5.)

83

Slika 5: Sve moguće kombinacije izvlačenja karata, gdje * predstavlja uspješnu kombinaciju

Naša skica nam otkriva kako postoji 12 mogućih ishoda, od kojih su 10 uspješni (barem

jedan as je crni). Točan odgovor je 10/12 ili 5/6, što je drugačije od pretpostavke 1/2. Izrada

pažljive skice problema brzo otkriva točan odgovor. Kao što smo rekli, snaga u skici leži u tome

kako organizira i pojašnjava podatke. Pravilno napravljena skica pruža smisleno objašnjenje

strukture problema. Nekim učenicima u početku neće biti lako napraviti takve skice. U raspravi

s učenicima treba ilustrirati kako se dijagrami i skice mogu učinkovito koristiti za praćenje svih

mogućih događaja i rezultata. Takva rasprava će podržati eksperimentiranje i istraživanje

učenika da pronađu vještinu u korištenju ove strategije.

Primjer 2. (Razred: 8) Izložba vozila na auto sajmu sastoji se od motocikala, kombija i

automobila. Ukupno ima 18 vozila i 60 kotača. Ako postoji četiri automobila više od kombija,

koliko je svaki od njih izložen na sajmu?

Rješenje: Skicirajmo prvo 18 vozila. (Slika 6.)

Slika 6: Skica 18 vozila

Svako vozilo mora imati barem 2 kotača, stoga dodajmo na svako vozilo dva kotača. (Slika 7.)

84

Slika 7: Skica 18 vozila sa preostalim kotačima

Iskoristili smo ukupno 36 kotača. Preostaje nam još 60 − 36 = 24. Oni dolaze u parovima pa

ćemo ih rasporediti kao na Slici 8.

Slika 8: Skica 18 vozila sa preostalim kotačima

Skica nam sada pokazuje da postoji 12 vozila sa 4 kotača i 6 na dva kotača. Vozila sa dva kotača

su motocikli. Zbog toga što postoji 4 automobila više od kombija, izloženi su 8 automobila i 4

kombija.

Odgovor: Izložena su 6 motocikla, 8 automobila i 4 kombija.

16.10 Promjena fokusa

Ponekad se problem može riješiti na učinkovitiji i zanimljiviji način ako joj pristupimo s

različitog gledišta. Umjesto da se problem riješi na izravan i očigledan način, drugačiji pristup

može dati odgovor brže i učinkovitije. Na taj način mogu se otkriti neke zanimljve činjenice.

To ne znači da je originalna ili očita situacija netočna nego da je savršeno valjana. Međutim,

ponekad ispitujući problem iz drugog aspekta može realizirati odlična matematička diskusija.

Većina se matematičkih problema može riješiti na različite načine. Neki načini će očito biti

85

elegantniji od drugih i to bi moglo biti predmet rasprave u razredu. Trebali bi potaknuti učenike

da koriste svoju genijalnost a zatim da usporede rješenja. Mnogo bi više stekli rješavanjem

problema na više načina nego rješavanje nekoliko primjera svaki na samo jedan način.

Primjer 1. (Razred: 7,8) Kvadrat EFGH formiran je spajanjem točaka koje se nalaze na

kvadratu ABCD. |AF| = |BG| = |CH| = |DE| = 4 cm i |FB| = |CG| = |DH| = |EA| = 3 cm. Koliko

iznosi površina osjenčanog dijela slike?

Slika 9: Skica Primjera 1.

Rješenje: Neki učenici mogu pokušati riješiti ovaj zadatak tako da pronadu površinu manjeg

kvadrata te ga oduzeti od površine većeg kvadrata. Međutim, to zahtijeva poznavanje

Pitagorinog poučka:

a2 + b2 = c2

32 + 42 = 9 + 16 = 25

C2 = 25

c = 5

Sada možemo izračunati obje površine. Površina većeg kvadrata je 7 × 7 = 49, a površina

manjeg kvadrata iznosi 5×5 = 25. Oduzimanjem tih dviju površina dobivamo traženu površinu

našeg problema, tj. 49−25 = 24. Promotrimo problem s drugačijeg gledišta. Osjenčano područje

se sastoji od četiri sukladna pravokutna trokuta, svaki s katetama 3 i 4. Dakle, površina jednog

trokuta iznosi (3∙4)/2=6. Kako postoje 4 takva trokuta, vrijedi 4×6 = 24, te dobivamo površinu

osjenčanog dijela.

86

Odgovor: Površina osjenčanog dijela iznosi 24 centimetara kvadratnih.

Primjer 2.

Zaokružujući na dvije decimale, nađite vrijednost izraza

3.1416×2.7831 + 3.1415×12.27−5.0531×3.1416.

Rješenje: Najčešća i najočitija metoda za rješavanje ovog problema je pronaći tri odvojena

umnoška, a zatim ih zbrojiti ili oduzeti ako je potrebno. Korištenjem kalkulatora, dobivamo

3.1416×2.7831 = 8.743387

3.1416×12.27 = 38.547432

5.0531×3.1416 = 15.874818 ⇒ 8.743387 + 38.547432−15.874818 = 31.416001 = 31.42

Uočite da se sve to moglo pažljivo organizirati i pratiti sa parcijalnim umnošcima. Osim

toga, ako smo koristili kalkulator za rješavanje problema, moguće je da krivo utipkamo

znamenku a da nismo ni svjesni toga. Idemo ispitati ovaj problem s drugog gledišta. Imamo

zajednički faktor u svakom izrazu, broj 3.1416. Ako ga izlučimo iz svakog izraza, dobivamo

43

3.1416×(2.7831 + 12.27−5.0531) = 3.1416×10 = 31.41600

= 31.42

Dobili smo isto rješenje puno jednostavnijim načinom. Primijetimo da ovo rješenje

uključuje uzorak, tj. prepoznavanje zajedničkog faktora. Ovu vrstu uzorka je vrijedno istaknuti.

Ovi problemi imaju potencijal da budu među zanimljivijim problemima u ovom radu. Od

učenika ne tražimo naći samo rješenje problema, nego da nađu ono najelegantnije i

najefikasnije. Svi mi imamo različite načine promišljanja, stoga je važno objasniti, ilustrirati i

raspraviti rješenja.

Zaključak / spoznaja:

Najbitnija primjena strategija rješavanja problemskih zadataka jest rješenje zadatka na

neklasičan način. Razmišljanjem i analiziranjem dobivenih rješenja razvija se učenikovo

kritičko mišljenje i kreativno mišljenje, koje je važno za svakodnevni život.


Priređeni zadatci na nastavnom listiću

87

Transfer načina promišljanja na rješavanje problema programiranja pomoću ProBot

(Logo u školama. Programirajući crtanje poligona, problem se svodi na manji -programiranje

crtanja dužine te zakretanje za određeni kut, čime se koristi strategija Rješavanja

srodnog/jednostavnijeg problema, te Logičkog zaključivanja)

Literatura:

1) S. POSAMENTIER, S. KRULIK, Problem Solving in Mathematics, Corwin,

California, 2009.

2) D. V. MINK, Strategies for Teaching Mathematics, Shell Education, California, 2004.

3) G. POLYA, How To Solve It, Princeton University Press, New Jersey, 1973.

4) S. VAROŠANEC, Neke metode rješavanja problemskih zadataka, Poučak, 1 (2002),

32-38.

17 Nastavna tema: Singapurska metoda modela


Koristeći slikovne prikaze olakšati vizualizaciju apstraktnih matematičkih odnosa i različitih

problema. Ti prikazi su zapravo pravokutnici, koji se po potrebi mogu dijeliti na manje

pravokutnike.


UČENICI ĆE:

Odabrati odgovarajuće manipulative (lego kockice) kako bi prikazali odnos dio-cjelina

ili model usporedbe

Učenici će crtati modele

Provjeriti istinitost zaključivanja korištenjem formule



- Upoznati učenike s podrijetlom metode i zašto je važna

- K-S-A upoznati učenike s tehnikom konkretno – slikovno – apstraktno

88

- Predstaviti Model usporedbe za zbrajanje i oduzimanje

- Predstaviti Model dio-cjelina

- Primijeniti navedene modele na množenje, dijeljenje, razlomke, omjere i postotke

- Istaknuti strategije Metode modela

- Primijeniti na linearne jednadžbe


Demonstracija

Crtanje

Suradničko učenje

Individualni rad


Pribor:

Projektor

Računalo

Nastavni listići

LEGO WeDo 2.0 ReadyGo



Tijekom godina Singapur je na vrhu liste TIMSS i PISA istraživanja iz matematike.

Razlog se krije u tome što su učenici u Singapuru izloženi brojnim matematičkim problemima

prije svojih vršnjaka, samim time i algebrom. Poznato je da svi učenici imaju probleme s

algebrom, te se postavlja pitanje kako učenici u Singapuru mogu svladati gradivo algebre, ali i

druga matematička područja u tako ranoj dobi. Zagovornici metode modela (dr. Kho i njegovi

suradnici) tvrde da se učenici rano upoznaju sa složenijim matematičkim problemima upravo

zbog same metode modela.

Najaviti cilj radionice upoznavanje s tehnikom rada singapurske metode modela.

89


K-S-A upoznati učenike s tehnikom konkretno – slikovno – apstraktno

K-S-A Konkretno, Slikovno, Apstraktno

Poučavanje započinje na konkretnoj razini korištenjem manipulativa kako bi se

izgradilo razumijevanje osnovnih vještina i koncepata.

Tada se učenici uvode u slikovnu fazu: crtanje modela.

Učenicima se ne pokazuje formula niti algoritam, tj. apstraktna razina sve dok

nisu savladali crtanje modela.

Predstaviti Model usporedbe za zbrajanje i oduzimanje

17.1.1 Model usporedbe za zbrajanje i oduzimanje

Razlika Manja

količina

Veća količina

Model predstavlja kvantitativnu vezu 3 varijable: manju količinu, veću količinu,

razliku. Ako su dane bilo koje dvije varijable, treća se može dobiti zbrajanjem ili

oduzimanjem.

Primjer 1: Imamo 2 kruške više od naranči. Ako imamo 6 krušaka, koliko onda imamo

naranči?

Malo dijete može računati s konkretnim predmetima (ili slikama) kako bi pronašlo

odgovor. U prvom razredu osnovne škole učenik mora napisati jednakost 6−2 = 4 kako bi riješio

problem. To je trivijalno, no ipak učenici imaju problema s pisanjem ove jednakosti. Kako bi

shvatili usporedbu da imaju 2 kruške više od naranči, učenici su trebali posložiti kruške i

naranče jednu po jednu i usporediti njihove brojeve. Na primjer:

90

Nacrtano je 6 krušaka. Ima onoliko krušaka koliko i naranči. (Dva broja su jednaka.)

Nacrtano je 6 krušaka. Nacrtane su 2 kruške više od naranči. (Razlika između dva broja je 2.)

U drugom razredu osnovne škole, učenici izrađuju slikovni model koji reprezentira problemski

zadatak. Primjerice:

Ovo je model usporedbe:

91

Primjer 2. (Osmisliti zadatak za ovaj model usporedbe)

Predstaviti Model dio-cjelina

17.1.2 Model dio-cjelina

Primjer 1. Ivana ima 8 autića. David ima 6 autića. Koliko autića imaju zajedno?

U prvom razredu osnovne škole učenici koriste konkretne predmete ili izrezane slike kako bi

stvorili dvije grupe autića i onda te dvije grupe spojili.

Učenici zbrajaju 8 i 6 čime su dobije ukupan zbroj. Zatim pišu jednakost 8 + 6 = 14, čime su

riješili problem. U višim razredima osnovne škole, učenici izrađuju slikovni model koji

predstavlja problemski zadatak. Primjerice:

Model se može vizualizirati kao cjelina koja obuhvaća dva dijela. Učenici dodaju dva dijela

kako bi pronašli cjelinu:

92

Učenici pišu jednakost 8 + 6 = 14 i daju odgovor na postavljeno pitanje. Ivana i David zajedno

imaju 14 autića.

U modelu dio-cjelina (poznat i kao dio-dio-cjelina) opisan je odnos između tri količine: cjeline

i dva dijela.

Promatrajući cjelinu kao dva dijela, učenici zbrajaju:

dio + dio = cjelina.

Kad su zadani cjelina i jedan dio, kako bi pronašli drugi dio učenici oduzimaju:

cjelina−dio = dio.

Primjer 2. (Osmisliti zadatak za navedeni primjer)

Primijeniti navedene modele na množenje, dijeljenje, razlomke, omjere i postotke

93

17.1.3 Dio-cjelina model za množenje i dijeljenje

Sljedeći dio-cjelina model predstavlja cjelinu podijeljenu na 3 jednaka dijela:

Model ilustrira koncept množenja kao

Primjer 1. Iza sedam gora, sedam mora i sedam planina žive Snjeguljica i sedam patuljaka.

Jednoga dana Snjeguljica i nekoliko patuljaka brali su jagode. Nabrali su 48 jagoda. Na putu

do kuće svatko je pojeo 8 jagoda. Koliko je patuljaka ostalo kod kuće, a koliko ih je bralo

jabuke?

Rješenje:

Rješenje: cjelina

Dio Model: dio-cjelina

Ukupno je šestero njih bralo jagode.

Dio

Cjelina

Jedan dio Broj dijelova

Cjelina × =

94

Snjeguljica 5 patuljaka

Kod kuće su ostala dva patuljka.

17.1.4 Multiplikativni model usporedbe

Jedna količina je višekratnik druge tj.

Veća količina

Manja količina

Veća količina je tri puta kao manja količina, tj. manja količina iznosi 1/3 veće količine.

Primjer: Zvonimir ima 7 vojničkih figurica, a njegova sestra Marija 3 puta više barbika. Koliko

barbika ima Marija?

Rješenje:

Manja količina

7

Veća količina

7 7 7

Odgovor: Marija ima 21 barbiku.

95

17.1.5 Modeli omjera

Dani dio-cjelina model pokazuje tri količine A, B i C u omjeru 2:3:4.

Dio A Dio B Dio C

Sljedeći model usporedbe pokazuje tri količine A, B i C u omjeru 2:3:4.

Količina A

Količina B

Količina C

Omjer 2:3:4 znači “2 jedinice prema 3 jedinice prema 4 jedinice”.

Primjer 1.:

Omjer novca koji imaju Anja i Marinela je 5:3. Nakon što je Anja potrošila polovinu svog

novca, imala je 15 kn manje nego Marinela. Koji iznos novca su obje djevojčice imale na

početku?

Korak 1. Načiniti omjer novca 5:

96

Korak 2. Omjer novca Anje i Marinele nakon što je Anja potrošila 1

2 svog novaca

Korak 3. Označiti blok koji predstavlja razliku novca dvije djevojčice.

Korak 4. Pronaći vrijednost svakog bloka

Primjer 2. Marija je izrezala vrpcu duljine 30m na tri dijela koji se odnose kao 3:2:5 i dijeli

ih prijateljicama Ines i Marineli. Ako sebi ostavi najkraći dio vrpce, a Marineli da najduži,

koliko je dugačak dio vrpce koji će dobiti Ines?

(Rješenje: Ines je dobila 9m vrpce)

Završni korak je izračunati ukupnu količinu novca koje obje djevojčice imaju u početku. Iz 1.

koraka, mi znamo da postoji 8 blokova ukupno.

Dakle, odgovor je 8 x 30 kn= 240 kn.

97

17.1.6 Primjena na razlomke

Primjer 1. Pekar Martin prodaje peciva. Ujutro je prodao 3/5 peciva i 1/4 ostatka u

popodnevnim satima. Ako je pekar Martin ujutro prodao 200 peciva više nego poslijepodne,

koliko je pekar Martin imao peciva u početku?

Rješenje:

Korak 1.Pekar Martin je prodao 3/5 peciva ujutro

Korak 2. Pekar Martin je prodao 1/4 ostatka poslijepodne

Korak 3. Načiniti sva polja jednake veličine

Korak 4. Izračunati koliko peciva predstavlja svako polje

98

Korak 5. Izračunati ukupan broj peciva

Primjer 2.

Gospođa Valentić napravila je 300 tortica. Prodala je 3/4 izrađenih tortica na sajmu

umirovljenika, a 1/3 ostatka je poklonila susjedi Alilović. Koliko joj je tortica ostalo?

Rješenje: Ostalo joj je 50 tortica.

99

17.1.7 Primjena na decimalne brojeve

Primjer 1. David ima zemljište površine 200ha i daje u najam 75ha Ani i Ivoni. Ostatak

zemljišta je prodao osmorici prijatelja na jednake dijelove. Koliko je zemljišta dobio svaki

prijatelj?

200 ha

200-75=125 75 ha

8 jedinica=125

1 jedinica=125:8=15.625

Svakom prijatelju prodao je 15.625ha.

Primjer 2. Sara ima 15 kn prije kupovine. Nakon što je kupila 5 identičnih olovaka, ostalo joj

je 9 kn. Koliko košta svaka olovka?

(Rješenje: Jedna olovka košta 1.20 kn)

100

17.1.8 Postotci

Primjer 1. 120 učenika sudjelovalo je na testu iz matematike. 90% ih je položilo test. Koliko je

učenika položilo test?

120

12

12∙9=108

Primjer 2. Marta ima 250 cd-ova. Ivana ima 20% više cd-ova od Marte. Ako svaka od njih

dvije da 10% svojih cd-ova Svjetlani, koliko onda svaka od njih ima?

Rješenje:

Marta: 5 jedinica iznosi 250

1 jedinica iznosi 50

Ivana: 250+50=300 CD-ova

Korak1. Podijelimo pravokutnike na petine (20% = 𝟏

𝟓 ), te Ivani dodamo

𝟏

𝟓

pravokutnika.

Marta: 10 jedinica iznosi 250


Ivana: 10 jedinica iznosi 300


101

Marta ima: 250 – 25 =225 CD-ova

Ivana ima: 300 – 30 = 270 CD-ova

Svjetlana ima: 25 + 30 = 55 CD-ova

Korak2. Podijelimo pravokutnike na 10 jednakih dijelova (10% od svake je 𝟏

𝟏𝟎).

Istaknuti strategije Metode modela

17.1.9 Strategija metode modela

8 koraka za metodu modela:

1. PROČITATI problem

2. Odlučiti TKO je uključen

3. Razlučiti ŠTO je uključeno

4. NACRTATI pravokutnike

5. Pročitati svaku rečenicu ponovo

6. Staviti UPITNIK

7. Provesti RAČUNANJE

8. ODGOVORITI na pitanje

Primijeniti na linearne jednadžbe

Primjena na linearne jednadžbe

Primjer 1. Marina i Ivana imaju 520 kn zajedno. Ako Marina potroši 2/5 svog novca, a Ivana

potroši 40 kn, tada je objema ostala jednaka količina novca. Koliko novca ima Marina?

x Marina

Ivana 520 - x 520

102

Primjer 2. Svjetlana i David imaju 836 sličica zajedno. Svjetlana ima 20% više sličica nego

David. Koliko više sličica ima Svjetlana u odnosu na Davida?

David 220 jedinica iznosi 836

100 % 1 jedinica iznosi 836:220= 3.8

Svjetlana 20 jedinica je 20∙3.8 = 76

120%

Neka je broj Davidovih sličica osnova (100%). Svjetlanin broj sličica u odnosu na Davida je

120%. Broj sličica koje imaju David i Svjetlana predstavljaju 100 i 120 jedinica, stoga zajedno

imaju 220 jedinica. Iz modela se nađe vrijednost 1 jedinice i ona iznosi 3.8. Razlika od 20

jedinica, koliko Svjetlana ima više, iznosi 76.

Algebarsko rješenje:

Neka je x broj sličica koje ima David. Tada svjetlana ima 1.2∙x.

Iz modela slijedi: x + 1.2x =836

2.2x =836

x=836:2.2

x=380

David ima 380 sličica, a Svjetlana 1.2∙ 380=456 sličica.

Razlika je 456-380 =76 sličica.

Osvijestiti korake Metode modela

103


Rješavanje zadataka iz algebre simboličkom metodom svodi se na automatske procese,

već naučene, dok se metodom modela pristupa svakom problemu posebno. Prema tome učenici

metodom modela više koriste misaone vještine i heuristike za rješavanje problema te tako bolje

razumiju i rješavaju matematičke, a time i algebarske probleme.


Priređeni zadatci na nastavnom listiću Metoda modela- dodatni zadatci

Metoda modela- dodatni zadatci

1. Na glazbenom koncertu, karte za sjedeća mjesta prodavane su po cijeni od 4 kune, a za stojeća

mjesta po cijeni od 2 kune. Listić s programom koncerta prodavan je po cijeni od 1 kune svaki,

te ga je kupilo 3/4 publike koji su imali karte za sjedeća mjesta i 2/3 publike koja je imala

stojeća mjesta. Ukupan iznos novca koji je prikupljen od ulaznica je 1400 kuna, a od listića s

programom je 350 kuna. Koliko je bilo ljudi na koncertu?

2. David i Filip imaju 520 kuna zajedno. Ako David potroši 2/5 svog novca na nove hlače i

Filip potroši 40 kuna na nove rukavice, tada je oboma ostala jednaka količina novca. Koliko je

novca imao David prije nego je kupio nove hlače?

3. U plesnoj skupini je 50 djece. Ako ima 10 dječaka više nego li djevojčica, koliko ima

djevojčica u plesnoj skupini?

4. Omjer novca koji ima Šimun i novca koji ima Petar iznosi 4 : 1. Nakon što je Šimun kupio

čokoladu za 26 kuna, imao je 2 kune manje od Petra. Koliko je kuna imao Šimun prije nego što

je kupio čokoladu?

104

Rješenja:

1. Na glazbenom koncertu, karte za sjedeća mjesta prodavane su po cijeni od 4 kune, a za stojeća

mjesta po cijeni od 2 kune. Listić s programom koncerta prodavan je po cijeni od 1 kune svaki,

te ga je kupilo 3

4 publike koji su imali karte za sjedeća mjesta i

2

3 publike koja je imala stojeća

mjesta. Ukupan iznos novca koji je prikupljen od ulaznica je 1400 kuna, a od listića s

programom je 350 kuna. Koliko je bilo ljudi na koncertu?

(1)Sjedeća mjesta :

3

4 publike kupilo je listić s programom u vrijednosti 1 kn ukupan iznos

(2)Stojeća mjesta: novca prikupljen

X od ulaznica iznosi

2

3 publike kupilo je listić s programom u vrijednosti 1 kn

Neka je vrijednost jednog pravokutnika u drugom slučaju ( (2) Stojeća mjesta) x. Tada vrijedi

da je broj ljudi koji je kupio program po 1 kn u slučaju (1) Sjedeća mjesta:

350 -2x.

Iz modela (1) možemo iskazati jednakost:

3

4 od (1)- ukupnog broja sjedećih mjesta, iznosi (350-2x).

1400 kn

105

To znači da je ukupan broj sjedećih mjesta u slučaju (1)… 4

3 od (350-2x), odnosno

4

3∙(350-

2x).

Sada postavljamo jednakost:

4∙4

3(350 − 2𝑥) + 2 ∙ 3𝑥 = 1400

4 kn br. Sjedećih mjesta

2 kn broj stojećih mjesta

…..

Rješenje jednadžbe x= 100.

Stojećih mjesta je bilo 3x=3∙ 100 = 300

Sjedećih mjesta je bilo: 4

3∙ (350 − 2 ∙ 100) =

4

3∙ 150 = 200

Ukupan broj mjesta je bio 300+200=500.

Napomena: zadatak se može riješiti i sustavom dviju linearnih jednadžbi s dvjema

nepoznanicama.

106

6

5

5

5

4

5

4

4

0

4

0

4

0

2.David i Filip imaju 520 kuna zajedno. Ako David potroši 2

5 svog novca na nove hlače i Filip

potroši 40 kuna na nove rukavice, tada je oboma ostala jednaka količina novca. Koliko je

novca imao David prije nego je kupio nove hlače?

David x 520 kuna zajedno

Filip 40

Ako vrijednost jednog pravokutnika, koji ima David, označimo s x, tada možemo

pisati jednakost: 5x +3x+40=520

8x+40=520

8x= 520-40

8x=480

⇒ x= 60.

Prije nego li je David kupio nove hlače imao je 5∙ 60 = 300 𝑘𝑛.

107

3. U plesnoj skupini je 50 djece. Ako ima 10 dječaka više nego li djevojčica, koliko

ima djevojčica u plesnoj skupini?

Dječaci x 10 ukupno 50 djece

Djevojčice x

2x+10 =50

2x=50-10

2x=40

x=20

U plesnoj skupini ima 20 djevojčica.

4. Omjer novca koji ima Šimun i novca koji ima Petar iznosi 4 : 1. Nakon što je Šimun kupio

čokoladu za 26 kuna, imao je 2 kune manje od Petra. Koliko je kuna imao Šimun prije nego

što je kupio čokoladu?

x x x x

Šimun 2

26 kn

Petar x

108

Iz modela možemo uočiti: 3x+2=26

3x=24

X=8

Prije nego je Šimun kupio čokoladu imao je 4∙ 8 = 32 𝑘𝑢𝑛𝑒.

Literatura:

1) K. T. Hong, Y. S. Mei, J. Lim, The Singapore Model Method for Learning Mathematics,

Ministry of Education, Singapore, 2009.

2) B. Kaur, What is the method of models?, Yearbook, National Institute of Education

Singapore, 2008.

3) V. L. Soo, Y. M. Liu, Mathematical problem solving with the bar Model Method, MAV

Annual conference 2014, The mathematical Association of Victoria, Brusnwick.

4) W. K. Yoong, L. P. Yee, B. Kaur, F. P. Yee, N. S. Fong, Mathematics Education, The

Singapore Journey, World Scientic Publishing Co. Pte. Ltd, 2009.

5) Mathematics Syllabus, Primary, Ministry of Education, Singapore, 2007.

6) Mathematics Syllabus, Primary One to Five, Ministry of Education, Singapore, 2013.

109

18 Nastavna tema: Demografski slom Hrvatske

Cilj / postignuća (u jednoj rečenici): Uspoređivati statističke podatke i uz pomoć istih

analizirati društvene fenomene i opisivati društvene događaje te planirati buduća kretanja

stanovnika Hrvatske.


UČENICI ĆE: opisati način prikupljanja podataka za popis stanovništva, izdvojiti najvažnije

podatke koji se traže tijekom popisa, koristiri excel i ProBot kao zamjenu za geometrijski

pribor, olovku i papir, staviti u odnos gospodarsku i sigurnosnu situaciju u zemlji s općim

kretanjem broja stanovnika, odlučiti koje podatke koristiti u analizi te procijeniti koju vrstu

dijagrama koristiti za predočavanje pojedinih podataka.


kasnije znaju ponoviti i ostali nastavnici, bez obzira na struku): Biti će izrađena PP prezentacija

koja će voditi nastavnika kroz cijeli program radionice.

Opisati proces popisivanja stanovnika države svakih deset godina. Informirati učenike o

izvorima potrebnih podataka. Poučiti učenike za rad u Excel programu (upisivanje podataka u

ćelije i izrada stupičastih dijagrama) i programiranju ProBota. Naučiti učenike crtati dijagrame

dobno-spolnog sastava stanovništva pomoću geometrijskog pribora. Naučiti učenike čitati

dijagrame. Učenicima objasniti što je i što očekivati nakon „demografskog sloma“.

Nastavne metode i oblici rada: demonstracija, crtanje, razgovor

Pribor: računalo i DLP projektor, ProBot, bijeli listovi papir A3, geometrijski pribor, olovka,


a) Uvod (motivacijska aktivnost): Prema popisu iz 2011. godine u Hrvatskoj je živjelo 4

284 889 stanovnika. Time smo svrstani na 129. mjesto od 233 države i teritorija u svijetu. Za

Hrvatsku se govori kako gubi stanovništvo. Predviđanja su kako će Hrvatska do 2050. godine

ostati bez gotovo 700 000 stanovnika. Postoji li problem u činjenici što neka država gubi

stanovništvo? Iz kojih podataka možemo vidjeti broj stanovnika neke države? Kako se

prikupljaju podaci o stanovništvu?

b) Glavni dio (aktivnosti): Od 1857. godine u svijetu se u pravilu svakih 10 godina provodi

popis stanovnika po državama. U Hrvatskoj popis priprema, organizira i provodi Državni

110

zavod za statistiku, a u okviru svojih nadležnosti sudjeluju i Državna geodetska uprava,

Ministarstvo vanjskih poslova i europskih integracija, Ministarstvo unutarnjih poslova,

Ministarstvo obrane i Ministarstvo pravosuđa. Posljednji je popis bio 2011. godine i idući se

priprema za 2021. godinu. Popis je najopsežniji izvor podataka o stanovništvu, kućanstvima,

obiteljima i stanovima. Ti su podaci nužni za provedbu raznih gospodarskih i socijalnih

razvojnih politika te znanstvenih istraživanja. (pokazati učenicima popisnicu i prokomentirati

podatke koji se ispisuju u popisnici)

Temeljem podataka DZS-a (www.dzs.hr) izraditi stupičasti dijagram ukupnog kretanja

broja stanovnika Hrvatske od prvog do posljednjeg popisa stanovništva. (prvo crtati

geometrijskim priborom , a nakon toga pomoću ProBota, ukoliko je moguće) Analizirati graf.

Izdvojiti 1921., 1948. i 2001. godinu kao posebne u ukupnom trendu kretanja broja stanovnika

Hrvatske. (popisne godine nakon ratnih sukoba)

Temeljem popisa stanovništva se na državnoj razini povode gospodarska i socijalna

razvojna politika. Jedno od važnijih saznanja do kojih dolazimo prikupljanjem podataka o

stanovništvu su i podaci o odnosu muškog i ženskog stanovništva te dobnim skupinama. U

pravilu se rađa više muške djece, a žene dulje žive. Rezultat je to biološke otpornosti ženskog

organizma u odnosu na muški, što se pak prirodno kompenzira rađanjem većeg broja muške

djece. Rezultat je podjednak broj muškaraca i žena u ukupnom broju stanovnika neke države.

Za gospodarstvo je još važniji podatak o odnosu mladog, zrelog i starog stanovništva unutar

neke države. Stanovnici su svrstani u dobne skupine: mlado (0-14/18 godina), zrelo (15/19 –

59/64) i staro (60/65 nadalje). Obzirom da država funkcionira zahvaljujući radu svoga

stanovništva i njihovom solidarnošću, bitno je naglasiti kako je zrelo stanovništvo radno

aktivno, a iz njihovih se prihoda putem poreza financiraju usluge koje pruža država. (Koje su

to usluge?) Aktivno (zrelo) stanovništvo tijekom svog radnog vijeka zapravo indirektno

financira, među ostalim, zdravstvenu zaštitu i obrazovanje mladih, te zdravstvenu zaštitu i

mirovine starih. S navršenih 15 godina života svaki građanin Republike Hrvatske ima pravo,

uz prethodno dopuštenje njegovih roditelja/skrbnika, biti zaposlen. Iz tog razloga se ponekad

dobna skupina mladih pomiče s 18 godina (punoljetnost) na 14 godina. Isto tako je dobna

granica između zrelog i starog stanovništva promjenjiva. Najčešće je to zakonska granica za

odlazak u starosnu mirovinu. Temeljem podataka dobivenih iz popisa stanovništva od 1947. do

2011. godine nacrtat ćemo dijagrame dobno-spolne strukture stanovništva Hrvatske koristeći

Excel. Dijagrame je potrebno isprintati radi analize: obratiti pažnju na postupno sužavanje baze

111

dijagrama kroz popisne godine, visinu dijagrama (dulji životni vijek) te odnos muškog i

ženskog stanovništva mlađe i starije dobi.

Potrebno je u Excelu izraditi dijagram dobno-spolne strukture stanovništva Norveške

2001. godine (Norveška ima približno jednak broj stanovnika Hrvatskoj, ali spada među

najrazvijenije države svijeta koje na državnoj razini kontroliraju strukturu svoga stanovništva i

određenim mjerama djeluju na prirodno(rodnost i smrtnost) i umjetno (migracije)kretanje

stanovništva). Primjećuje se kako je ukupan broj stanovnika Norveške 1970-ih godina počeo

naglo opadati, što je trend u većini razvijenih zemalja svijeta kao rezultat tercijarizacije društva

(niska stopa nataliteta, formiranje nuklearnih obitelji, briga za starije prelazi sa djece na privatne

i državne institucije, moderan način života smanjuje vrijeme koje pojedinci mogu odvajati za

djecu...). Međutim, sa smanjenjem broja mladih u društvu, kroz dvadesetak godina smanjit će

se i broj zrelih, radno aktivnih, koji omogućavaju funkcioniranje države. Uz to se povećava broj

starijih u društvu što je rezultat napretka medicine i općeg rasta kvalitete života. Norveška je

reagirala provođenjem pronatalitetne politike kako bi iz vlasnitog fonda stanovništva prirodnim

putem povećala broj stanovnika. Već se 1990-ih vidi zaustavljanje negativnog trenda i

povećanja broja mladih. U isto vrijeme Norveška je „otvorila“ svoje granice za, među ostalim,

ratne izbjeglice s područja bivše Jugoslavije i time imigracijom djelovala na pozitivne trendove

rasta broja stanovnika. Osim što je privukla mlade strance u svoju zemlju, Norveška ih je

integrirala u svoje društvo (ubrzano učenje Norveškoj jezika i kulture, prekvalifikacija na

zanimanja koja su Norveškoj potrebna, subvencija države pri kupnji stambenih i poslovnih

prostora...) U isto vrijeme na dobno-spolnom dijagramu Hrvatske zamijećuje se nagli pad broja

stanovnika Hrvatske od 1980-ih do 2001. godine.

Slijedi prikupljanje podataka o broju rođenih i umrlih, te migracijskoj bilanci u

Hrvatskoj od 2001. do 2016. godine. Podaci su dostupni u Statističim ljetopisima Hrvatske za

spomenute godine. Podatke o broju rođenih, umrlih, doseljenih i iseljenih uvrstit ćemo u Excel

tablicu iz koje je moguće izraditi stupičaste dijagrame. Uočava se trend ukupnog pada broja

stanovnika Hrvatske uzrokovan prirodnim padom i iseljavanjem.

c) Zaključak / spoznaja: „Značenje stanovništva i potreba njegovog planiranog razvoja u

interesu hrvatskog gospodarstva i društva općenito, bila je i ostala u temelju znanstvenog

promišljanja hrvatskih demografa, njihovih radova, javnih nastupa i ukupnog djelovanja,

sukladno znanstvenom izazovu i spoznaji, razumijevanju objektivne stvarnosti i nacionalnom

112

strateškom značenju stanovništva za Hrvatsku.“ Isti ti demografi su predvijeli pojmove u

nastavku koji se ostvaruju:

• smanjivanje rodnosti

• lagani porast smrtnosti

• prirodni pad

• iseljavanje domicilnog stanovništva

• izumiranje

• useljavanje u Hrvatsku

• supstitucija stanovništva

• izrazito duboka starost

• nedostatni kontingenti stanovništva

• demografska polarizacija

• regionalne razlike

• izravni utjecaj na gospodarsko nazadovanje

• demografski slom

Demografska revitalizacija i opstanak: neka učenici pokušaju preložiti mjere. ( kako potaknuti

mlade parove na stvaranje obitelji, kako potaknuti hrvatsko iseljeništvo na povratak u

domovinu...?

Literatura:

1) Šterc, S., Komušanac, M., 2012: Neizvjesna demografska budućnost Hrvatske-

izumiranje i supstitucija stanovništva ili populacijska revitalizacija...?, Društvena

istraživanja 117 (3), 21, 693-714.

2) www.dzs.hr

113

19 Nastavna tema: Pitka voda

Cilj / postignuća (u jednoj rečenici): Ukazati na problem pitke vode u svijetu i nužnost zaštite

i pravilnog gospodarenja vodom u razvijenom svijetu.


UČENICI ĆE: definirati pojmove vodocrpilište, tok rijeke i vodonosnik, razlikovati gornji i

sredni tok rijeke, predvidjeti horizontalno kretanje podzemnih voda, izračunati postotak,

pripremiti model vodonosnika, ukazati na problem smještaja gospodarskih djelatnosti iznad

vodonosnika, prepoznati izdvojiti na topografskoj karti zadane pojmove,



Biti će izrađena PP prezentacija koja će voditi nastavnika kroz cijeli program radionice.

Temeljem predočenih UN-ovih podataka razgovarati s učenicima o stanovništvu u svijetu,

posebice problemima vezanim za nestašicu vode. Zapisati na ploču praktičnu upotrebu vode u

kućanstvima. Pogledati EUROSTAT-ove podatke o dostupnosti vode u EU. Raščlaniti vodu na

Zemlji prema mjestu i agregatnom stanju u kojem se nalazi. Izraditi jednostavan model

podzemlja Zagreba u velikoj staklenoj posudi koristeći pijesak, šljunak, zemlju i vodu. Proučiti

i prezentirati geološke karte zagrebačkog podzemlja. Objasniti uz fotografije razlike između

gornjeg te srednjeg i donjeg toka svake rijeke. Objasniti zagrebački vodonosnik uz PP

prezentaciju. Spojiti četiri karte u jednu te ucrtavati vodocrpilišta i tražiti potencijalne prijetnje

higijenske ispravnosti njihovih voda. Navesti učenike na razmišljanje o budućem smjeru širenja

zagrebačkog sustava vodoopskrbe.


demonstracija, direktna grafička metoda, metoda razgovora, grupni rad

Pribor: velika staklena zdjela, pijesak, šljunak, zemlja, škare, ljepljiva traka, računalo i

projektor, kopije topografskih karata

114


a) Uvod (motivacijska aktivnost): http://www.worldometers.info/hr/ je web stranica

kojom započinje radionica. Nakon komentara o učenicima najzanimljivijih podataka, fokusirati

se na podatak o Osobama bez pristupa vodi pogodnoj za piće. Prema podacima UN-a, 1,5

milijardi stanovnika našeg planeta ili 20 % svjetske populacije nema na raspolaganju

zdravstveno ispravnu, pitku vodu. Isto tako, pola svih bolničkih kreveta u svijetu koriste ljudi

oboljeli od bolesti povezanih s onečišćenom vodom. Nadalje, UN-ove agencije upozoravaju

kako je 80% bolesti stanovnika koji žive u zemljama u razvoju povezano s pitkom vodom. Ovi

će brojevi u budućnosti rasti radi velikog porasta broja stanovništva upravo u zemljama u

razvoju. U budućnosti možemo očekivati sukobe među ljudskim zajednicama uzrokovanim

nedostatkom vode, prirodnim izvorom kojeg stanovnici srednje razvijenih i razvijenih država

koriste kao da je neograničen.

b) Glavni dio (aktivnosti): Zadati učenicima da razmisle i zapišu za što se sve koristi voda

u kućanstvu (u Zagrebu: za tuširanje, WC, i perilicu rublja po 25%, higijenu 10 %, čišćenje 8%,

pranje suđa 4% i piće i kuhanje 3%). Osim u kućanstvu, voda se koristi i u gospodarskim

aktivnostima, najviše u industriji i poljoprivredi, oko 70% vode preusmjerene iz prirode u

vodovodne cijevi, prema podacima Eurostata.

Na web stranici http://ec.europa.eu/eurostat/statistics-explained/index.php/Water_statistics je

vidljivo kako je Hrvatska na prvom mjesu među državama EU-a prema količini dostupne pitke

vode po stanovniku. Iz tablice na spomenutoj stranici je vidljivo kako jedan stanovnik Hrvatske

ima na raspolaganju 27 330 m³ vode godišnje. Neka učenici izračunaju koliko je to litara i

koliko je to litara dnevno. (27 300 000 l ili 74 876 litara dnevno, što stane u dvije kamionske

cisterne koje prevoze naftne derivate)

Toliko vode nam je dostupno iz različitih izvora. Od ukupne količine vode na Zemlji

oko 3,5% je slatka voda: 1,74% je led u ledenim pokrovima i ledenjacima, 0,76% voda u

podzemlju, a ostatak slatke vode je sadržan u jezerima, tlu, atmosferi i tekućicama.

Stanovništvo Hrvatske na različite načine dolazi do pitke vode: iz jezera (npr. Vransko jezero

na Cresu), iz izvora vode iz podzemlja (izvor rijeke Rječine)ili kopanjem bunara do vode

temeljnice (Zagreb). Upravo je vodoopskrba Zagreba zanimljiva i njome ćemo se pozabaviti.

Izradit ćemo jednostavan model kojim ćemo objasniti izgled zagrebačkog podzemlja.

Potrebna nam je velika staklenka, malo pijeska, malo zemlje, šljunka i voda. U staklenku

115

usipati prvo pijesak, pa debeli sloj šljunka i na kraju takli sloj zemlje. Uliti vode u staklenku

tako da prekrije šljunak, a zemlja da ostane suha. Pogledamo li bočno kroz staklenku, vidjet

ćemo tri sloja: pijesak na dnu predstavlja nepropusni sloj stijena velike starosti, šljunak je

propusan nanos stijena između čijih se kamenčića zadržava i teče voda, a sloj zemlje predstavlja

zaista zemlju iz koje rastu biljke. Slična je situacija vidljiva na geološkoj karti zagrebačkog

podzemlja. Prostor kojim danas teče rijeka Sava južni je rub Panonske nizine koja je tektonskim

pokretima u Zemljinoj prošlosti nagnuta u smjeru istoka (iz tog razloga Sava teče u tom smjeru).

Sava počinje teći u Sloveniji podno Triglava i sve do zapadnog predgrađa Zagreba Sava je

rijeka koja sa tog područja odnosni stijene koje se kotrljaju njenim koritom, lome se, usitnjavaju

i pretvaraju u okrugle kamenčiće. Kod Podsuseda (zapadni dio Zagreba), zbog rasjeda, počinje

srednji tok Save gdje rijeka počinje taložiti stijene koje je do tog trenutka zbog brzine svoga

toka nosila svojim koritom. Od Podsuseda do sela Šćitarjevo (nekadašnja rimska Andautonija)

na istoku Zagreba Sava je krajem posljednjeg ledenog doba, kad je bila ogromna, moćna rijeka,

nataložila šljunak debeo u dubinu od 4 metra u Podsusedu do oko 250 metara ispod Šćitarjeva.

Kada se ledeni pokrov sa Alpa (Triglav)otopio, Sava se „smirila“ i nastavila je teći na način

kakvom je danas vidimo. Sava je usjekla svoje korito u nanose koje je u prošlosti nataložila.

Kroz te nanose šljunka u smjeru istoka ispod zemlje prolazi velika količina vode temeljnice

koja je spojena s vodom rijeke Save. (na modelu u staklenoj posudi možemo razgrnuti zemlju

i stvoriti brazdu koja će izgledati kao riječno korito) Kiša koja pada i snijeg koji se topi puni

nanose šljunka ispod zagrebačkog područja koje smo prije skoro 150 godina pretvorili u tzv.

„zagrebački vodonosnik“. (karta se projecira na platnu)

Danas na zagrebačkom području postoji 8 vodocrpilišta na čijem su području iskopani

bunari na različitim dubinama iz kojih se crpi voda za potrebe skoro milijun stanovnika. (karta

vodocrpilišta se projecira na platnu) Slijedi kartiranje. Učenicima podijeliti četiri isprintane

topografske karte mjerila 1:25 000 i to Zagreb zapad, Zagreb istok, Zadvorsko i Velika Gorica.

Škarama će izrezati rubove karata tako da mogu četiri karte spojiti u jednu koja će prikazivati

područje zagrebačkog vodonosnika. Sada je potrebno s projecirane karte na platnu ucrtati

plavom bojom pozicije zagrebačkih vodocrpilišta. Kada karta bude gotova razmisliti koji su

potencijalni onečišćivači podzemnih voda koji prijete vodi u podzemlju. Pogledati na karti

postoje li takvi u okolini ucrtanih vodocrpilišta. (poljoprivredno zemljište – pesticidi,

insekticidi, herbicidi koje kiša ispire do vode temeljnice; industrijska postrojenja s otpadnim

vodama; odlagališta otpada; prometnice – opasnost od prevrnuća vozila za prijevoz kemikalija,

zasoljavanje cesta zimi; zračna luka; šljunčare – mjesta s kojih se kopa šljunak kako bi se

116

koristio u građevinskim radovima – kopa se do vode temeljnice...) Ukoliko postoje, ucrtati ih

crvenom bojom.

Posljednje je pitanje za učenike vezano za nelogični izostanak vodocrpilišta na mjestu

gdje je zagrebački vodonosnik najširi i najdublji – na prostoru južno od Ivanje Reke i

sjeveroistočno i istočno od Velike Gorice. (obtariti pažnju na raspored onečišćivača i smjer

tečenja podzemnih voda)

c) Zaključak / spoznaja: Zagreb leži na velikom „spremniku i filteru“ vode. Podzemna

voda koja teče 200 m kroz šljunak postaje pitka. U Hrvatskoj u prosjeku na jednog stanovnika

dnevno otpada oko 315 litara vode (količina vode koja se iz prirode upumpa u hrvatske

vodovodne sustave podijeljena s brojem stanovnika). Tom broju moramo pribrojati gubitke iz

vodovoda (radi pucanja cijevi i curenja na spojevima) koji iznose oko 40%. Ispada da na jednog

stanovnika Hrvatske otpada 195 litara dnevno. Tome broju moramo oduzeti još 35% koji se

potroši u gospodarskim aktivnostima. Dolazimo do broja 126,75 litara pitke vode koja je

dostupna i koju troši jedan stanovnik Hrvatske u jednom danu. (učenici računaju na ploču)

Naglasiti kako govorimo o 126,75 litara vode koja je u većem djelu Hrvatske pitka, a cijena joj

iznosi oko 15 kn za jedan kubični metar (=1000 litara; neka u omjer stave cijenu jedne litre

pitke vode iz trgovine) Za kraj je potrebno pobrojati za što u svojim kućanstvima koristimo

pitku vodu iz slavine i još jednom pročitati UN-ove podatke iz uvoda.

Literatura:

1) Global Water Institute, Elizabeth Hameeteman 2013

2) Coping with water scarcity - Challenge of the twenty-first century, 2007.

3) ELABORAT O ZONAMA ZAŠTITE IZVORIŠTA GRADA ZAGREBA, 2014.,

Sveučilište u Zagrebu, Rudarsko-geološko-naftni fakultet , Zavod za geologiju i

geološko inženjerstvo

117

20 Nastavna tema: Šareno Sunce

Cilj / postignuća (u jednoj rečenici): Definirati Sunce kao nama najvažniju zvijezdu i

analizirati efekte Sunčevog zračenja na Zemlji.


UČENICI ĆE: navesti spektar Sunčeva zračenja, objasniti utjecaj istih na procese na Zemlji,

demonstrirati utjecaj Sunčeve topline i svjetlosti na pojedine tvari, ukazati na probleme kod

poremećaja u količini Sunčeva zračenja, objasniti pokretačku silu Sunca na atmosferske procese

te prosuditi o istinitosti teze o globalnom zagrijavanju temeljem naučenog, kritizirati će viđeni

film




- Promatrati predmete uz pomoć UV sijalice. Rastumačiti UV kao dio svjetlosti kraće

valne duljine nevidljive našem oku. Objasniti važnost UV zračenja na život na Zemlji

te ulogu „zaštitnog“ sloja ozona u atmosferi.

- Rastumačiti infracrveno zračenje i infracrvenu svjetlost kao EM zračenje većih valnih

duljina koje jednostavno zovemo toplina. Zbog te silne energije odvijaju se svi procesi

u atmosferi.

- Učenici će zagrijavati vodu i „hvatati“ oblak u zdjelu iznad kuhala, te promatrati procese

koji se odvijaju u zdjeli.

- Na kraju će pogledati desetminutni film u kojem se nagađa što bi se dogodilo sa

Zemljom kada bi Sunce trenutno nestalo. Raspravit će o viđenom u filmu.


Pribor: računalo i DLP projektor, uv sijalica, led sijalica, sijalica sa žarnom niti, kuhalo za

vodu, staklena posuda, kućna vremenska stanica

118


a) Uvod (motivacijska aktivnost): Pogledati desetminutni film s osnovnim podacima o

Suncu. Objasniti učenicima svjetlost kao fizičku pojavu (dio EM spektra, primarni i sekundarni

izvori svjetlosti, frekvencija svjetlosti). Izdvojiti iz spektra Sunčevog zračenja ultraljubičasto,

svjetlost i infracrveno zračenje kao najvažnije za procese na Zemlji. Od navedenih, jedino je na

svjetlost ljudsko oko osjetljivo, tj. naš mozak prepoznaje spektar boja od ljubičaste prema

crvenoj, odnosno vidimo frekvencije EM zračenja valne duljine od 390 do 700 nm.

b) Glavni dio (aktivnosti): Radi nuklearne fuzije koja se odvija na Suncu, oslobađa se

velika količina toplinske energije, a zagrijani sustavi svijetle. Takvu prirodnu pojavu nazivamo

inkandescencija. Iz iskustva znamo da svi predmeti iz okoline za vrijeme gorenja svjetle (šibica,

plin u upaljaču, drvo u roštilju...) Prije izuma žarulje i umjetne proizvodnje električne energije,

ljudi su osvjetljavali svoje prostore vatrom iz raznih izvora. Danas nam spomenuti izumi

omogućavaju akrivnosti tijekom 24 sata, nismo ovisni kao prije o Sunčevom svjetlu.

Žarulja sa žarnom niti svjetli zato što struja prolazi metalnom žarnom niti koja počinje

titrati, zagrijava se, a usputna pojava je i emisija svjetlosti. Žarna nit je smještena u staklenoj

pusudi, hermetički je zatvorena i iz nje je isisan zrak kako bi se uklonio kisik koji podržava

gorenje. Žarna nit titra u vakuumu i ne gori, a emitira u okoliš infracrveno zračenje

(kolokvijalno – toplinu) i svjetlost. Izvest ćemo pokus: upalit ćemo stolnu svjetiljku sa

klasičnom žaruljom snage 60 W koju ćemo zajedno s termometrom zatvoriti velikom staklenom

posudom. Zapisat ćemo temperaturu zraka očitanu s termometra. Očitanje temperature nije

iznenađujuće. I sami znamo kako upaljenu žarulju ne smijemo dirati golim rukama kako bismo

izbjegli opekline.

Ponovit ćemo isti pokus ali ovoga puta s LED žaruljom. Izmjerena temperatura ovoga

je puta znatno niža nego u prvom pokusu. Glavni je razlog LED žarulja koja, za razliku od

klasične, većinu električne energije pretvara u svjetlost, a manji dio u toplinu. Odmah po

gašenju, LED žarulju možemo taknuti rukom, a kada ju odvijemo iz grla svjetiljke, primjetit

ćemo kako je stražnji dio žarulje topliji od dijela koji emitira svjetlost.

LED tehnologija omogućava ljudima pretvaranje električne energije u svjetlost koja

nam tijekom noći i u zatvorenim prostorijama zamijenjuje Sunčevu svjetlost. Isto tako,

pretvaranje električne energije u klasičnoj žarulji, a posebno u specijalnim infracrvenim

119

žaruljama koje električnu energiju pretvaraju većim dijelom u infracrveni dio spektra EM

zračenja, a manjim djelom u svjetlost, ljudi su zamijenili dobivanje topline sa Sunca,

konvekcijsko grijanje (grijalice koje pušu topli zrak)i kondukcijsko grijanje ( radijatori...)

toplinskim isijavanjem (proizvodnja EM valne duljine od oko 0,001mm do 1 mm).

Infracrvena tehnologija nam omogućava promatranje predmeta u potpunom mraku. Detaktori

otkrivaju i prikazuju na ekranu uređaja različitim bojama temperaturne razlike. (pokazati

učenicima infracrvene snimke) Infracrvena tehnologija se koristi u astronomiji: teleskopima

promatramo svemir i otkrivamo predmete koji ne emitiraju svjetlost. Jedini je problem što

ugljični dioksid i vodena para u atmosferi upijaju velik dio tog zračenja, pa teleskope moramo

postavljati na vrhove visokih planina, u satelite, a od 2005. godine u upotrebi je zrakoplov

Boeing 747 u kojem je teleskop promjera zrcala 2,5 metara što je i do 4x veći promjer od

promjera zrcala ugrađenih u satelite. Spomenuti uređaji opažaju temperaturni raspon od 3000

°C do -250 °C tako da pogled kroz njih prikazuje svemir u potpuno drugom, šarenom „svjetlu“:

u mogućnosti smo vidjeti hladne oblake prašine u svemiru, mlazove vrućeg plina iz mladih

zvijezda, mlade galaktike i dr. Pogledamo li u Sunce infracrvenim uređajem, vidjet ćemo samo

bijelu boju jer je Sunčeva površina duplo veće temperature od one koju je moguće vidjeti u

infracrvenom spektru.

Temeljem praćenja elektromagnetskog zračenja iz svemira i sa Sunca, znanstvenici su

došli do spoznaje kako IC zračenje sa Sunca sudjeluje u zagrijavanju Zemlje sa oko 49%. Sunce

zagrijava Zemljinu atmosferu (zrak) i Zemljinu površinu, koja pak isijava IC zrake, odnosno

toplinu prema atmosferi. Drugim riječima, površina Zemlje je kao vrsta grijalice u našim

domovima koja zagrijava zrak iznad sebe. Zagrijani, topli zrak se izdiže u više slojeve atmosfere

i sa sobom nosi, između ostalog, vodenu paru. Radi Zemljine privlačne sile, 99% atmosfere

zadržava se do 10 km od Zemlje. Taj sloj atmosfere naziva se troposfera i u njoj se odvija većina

procesa povezanih s vremenom (padaline, vjetrovi, tlak zraka...) Troposfera je najtoplija pri

površini Zemlje (najbliža je grijalici), a najhladnija je u višim slojevima (najudaljenija je od

grijalice). U pravilu, temperatura zraka pada za oko 1 °C svakih 100 m penjemo li se okomito

prema svemiru.

Izvest ćemo pokus: manja posuda će zamijeniti neku vodenu površinu na Zemlji. U nju

ćemo uliti vruću vodu zagrijanu u grijalici. Manju posudu s vodom ćemo poklopiti s velikom

staklenkom korištenom u prethodnom pokusu. Promatrat ćemo kretanje sitnih čestica vode i

vodene pare prema gore i njihovu kondenzaciju na stijenkama staklenke. Simulirali smo

kruženje vode u prirodi.

120

Izvest ćemo pokus s UV sijalicom: Upalit ćemo svjetiljku s UV sijalicom i potom

zamračit prostoriju. Promatrat ćemo predmetne u prostoriji osvijetljene dijelom EM spektra

valne duljine od 390 nm do 10 nm kojeg nazivamo ultraljubičasto ili ultravioletno zračenje.

(napominjemo kako naša žarulja isijava samo jedan dio toga spektra) Primjećujemo kako su

vidljivi samo predmeti koje inače vidimo u bijeloj boji. U astronomiji znanstvenici koriste

teleskope s UV tehnologijom za gledanje najtoplijih predmeta u svemiru. Zvijezde toplije od

10 000°C najsjajnije su na UV valnim duljinama. Gledamo li u Sunce UV teleskopom, primjetit

ćemo kako u njegovoj kromosferi postoje sjajni dijelovi koji su zapravo plinovi temperature

od 100 000 °C. Površina Sunca je tamna jer je prehladna (samo 5 500°C) da bi emitirala

ekstremnu ultraljubičastu svjetlost. Gledamo li Zemlju istim teleskopom, vidjet ćemo je

okruženom sjajnim obrubom, što su zapravo atomi u gornjim slojevima atmosfere zagrijani

nabijenim česticama Sunčevog vjetra. Većina UV zraka sa Sunca ne dolazi do Zemljine

površine jer UV kraće valne duljine zaustavljaju atomi kisika i dušika u gornjim slojevima

atmosfere (100 do 200 km), dok preostale valne duljine zaustavlja ozonski sloj na visini između

10 i 50 km. Iz tog razloga UV teleskope nije moguće postavljati na zemlji ili u zrakoplove, već

samo u satelite. Manji dio UV zračenja dolazi do Zemljine i tamo sprečava prekomjeran razvoj

bakterija na npr. površini kože čovjeka. Prođe li kroz atmosferu prevelika količina UV-a, nestat

će veći dio istih bakterija što opet nije dobro jer se trenutni život na Zemlji razvio zahvaljujući

konstantnom količinom sveukupnog zračenja koja dopire do Zemljine površine. Ljudska koža

štiti naš organizam od prevelikog izlaganja UV-u stvaranjem melanina (koža tamni na Suncu),

što dugoročno postaruje izgled kože. U slučaju pretjerane propusnosti ozonskog sloja (ozonske

rupe- nastaju vezivanjem jednog atoma kisika iz ozona na plinove freone koji su se do 90-ih

godina prošlog stoljeća koristili u rashladnim uređajima kao plinovi koji se pod velikim

pritiskom hlade), inače normalno izlaganje ljudskog organizma Suncu može izazvati

malformacije na koži koje prerastaju u rak kože. UV sijalice određenih valnih duljina ljudi

koriste u solarijima, za dezinfekciju (npr. četkica za zube), brzo sušenje porculanskih plombi,

zabavni učinak u noćnim klubovima itd.

c) Zaključak / spoznaja: Shvativši UV, svjetlost i IC kao dio spektra elektromagnetskog

zračenja, ljudi su zahvaljujući tehnologiji u mogućnosti proizvesti umjetne izvore spomenutog

zračenja i upotrijebiti ih za znanstvena istraživanja i za praktičnu upotrebu. Isto tako, ljudi su

spoznali kako je za opstanak života kakvog poznajemo na Zemlji nužna trenutna količina

sveukupnog zračenja sa Sunca. Trenutna količina svjetlosni neophodna je za fotosintezu,

trenutna količina UV-a neophodna je za balans mikroorganizama u okolišu, a trenutna količina

121

IC-a neophodna je za trenutnu klimu na Zemlji. Svaka, i najmanja promjena u količini isijavanja

pojedinog dijela spektra sa Sunca vrlo lako i vrlo brzo može izbrisati život kakav trenutno

postoji na Zemlji. Pogledati desetminutni film u kojem se nagađa što bi se dogodilo sa Zemljom

kada bi Sunce trenutno nestalo.

Literatura:

1) Couper, Heather; Henbest Nigel. 2004. Enciklopedija svemira, Znanje d.d., Zagreb

21 Nastavna tema: Vulkanizam

Cilj / postignuća (u jednoj rečenici): Opisati zonalnu građu Zemlje i teoriju tektonike

litosfernih ploča te nastanak vulkana, izvesti pokuse vezane za kristalizaciju, te vizualno

analizirati sastav stijena vulkanskih stijena.


UČENICI ĆE: definirati i identificirati vrste vulkanskih stijena, predvidjeti opasnosti od

vulkana, baratati posuđem za pokus kristalizacije, pripremiti pokuse, usporediti uvjete na

Zemlji danas i prije 2,5 milijardi godina, ukazati na probleme s kojima se susreću vulkanolozi




Objasniti zonalnu građu Zemlje i teoriju litosfernih ploča. Diskutirati o nastanku stijena

i procesu hlađenja lave.

Izvesti pokus kristalizacije soli ili modre galice iz zasićene otopine. Temeljem pokusa

objasniti proces kristalizacije minerala u stijenama tijekom hlađenja lave prilikom

izlaska na površinu i u zemljinoj kori.

Izraditi model vulkana i izazvati reakciju sličnu vulkanskoj erupciji. Promatrati razlike

među različitim vrstama vulkanskih stijena (opsidijan, bazalt, granit)

Pretpostaviti što bi se desilo na Zemlji u slučaju prestanka vulkanske aktivnosti.

122


demonstracija, direktna grafička metoda, razgovor

Pribor: računalo i DLP projektor, kuhalo za vodu, staklena posuda, sol ili modra galica, stijene,

povećalo, plastična boca 0,25l, soda bikarbona, ocat, glatko brašno, jestive boje, posuda s

pijeskom


a) Uvod (motivacijska aktivnost): Pogledat film „Sile prirode“, dio o vulkanima ili sl.

b) Glavni dio (aktivnosti): Ponoviti zonalnu građu Zemlje i teoriju litosfernih ploča.

(Unutrašnjost Zemlje je podijeljena na tri glavna sloja: koru, visoko viskozan plašt te jezgru

koja je opet podijeljena na tekuću vanjsku i krutu unutarnju. Podaci o Zemljinoj unutrašnjosti

dobiveni su geofizičkim mjerenjima. Brzina seizmičkih(potresnih) valova mijenja se kada se

promijeni medij u kojemu se gibaju. Iz tih podataka može se dobiti dubina na kojoj se nalaze

navedeni slojevi. Računanjem volumena i mase Zemlje možemo odrediti i gustoću. Tektonika

ploča je geološka teorija koja objašnjava pomicanje Zemljine kore velikih razmjera. Vanjski se

dio Zemlje sastoji od dva sloja: vanjskog sloja, koji se naziva litosfera, a obuhvaća kruti gornji

dio plašta, dok se ispod litosfere nalazi astenosfera. Iako u krutom stanju, astenosfera ima

relativno nisku viskoznost i posmičnu snagu te se stoga u geološkoj vremenskoj skali može

ponašati kao tekućina. Ispod astenosfere se nalazi krući donji plašt, čije je fazno stanje

posljedica ne manjih temperatura, već visokog tlaka. Litosfera je razlomljena u tzv. litosferne

ploče (tektonske ploče). Postoji sedam glavnih i još desetak manjih ploča. Litosferne ploče

„plove“ na astenosferi.) Uz kartu svijeta s ucrtanim zonama najčešćih vulkana rastumačiti kako

se izbijanja magme na površinu događaju većinom na mjestima gdje se dodiruju litosferne

ploče. Do prije 2,5 milijardi godina Zemljina kora nije postojala. Površina Zemlje izgledala je

kao ocean lave. Hlađenjem površinskog sloja naše planete počinje se stvarati kora, tj. hlađenjem

se lava pretvarala u stijene. Kora je tanja ispod današnjih oceana (5 do 12 km) u usporedbi s

korom koja gradi današnje kontinente (oko 40 km). Čvrsta kora je ispucala jer je plašt ispod nje

viskozan i radi kruženja tvari unutar plašta pod utjecajem topline dijelovi kore se pomiču,

plutaju na plaštu. Ispucane dijelove Zemljine kora nazivamo litosferne ploče. Postoji sedam

velikih i više manjih ploča koje se međusobno sudaraju, razmiču ili klize jedna uz dugu. Na

njihovom kontaktu stvaraju se novi oblici reljefa na površini ili ispod svjetskog mora. Radi

tektonike ploča kontinenti se pomiču od nekoliko milimetara do desetak centimetara godišnje.

(pogledati film „Površina Zemlje kroz 650 milijuna godina u 80 sekundi“)

123

Izvest ćemo jednostavnu simulaciju vulkana: u plastičnu posudu ćemo zatrpati zemljom

plastičnu bocu 0,25 l do grla. U nju sipati sodabikarbonu i glatko brašno u omjeru 1:1, te dodati

jestivu boju. Polako ulijevati ocat i pustiti da se sadržaj boce izbačen iz „vulkana“ nataloži i

stvrdne na obronke i podnožje „vulkana“. Primjetit ćemo novi sloj materijala koji je iz boce

izbačen na već postojeće tlo. Isti se princip događa pri pravom vulkanu u prirodi: rastaljene

stijene i metali iz Zemljinog plašta pod pritiskom izlaze na površinu Zemlje gdje se u vodi ili

na zraku hlade. Ovisno o brzini izlaska na površinu i brzini hlađenja, stvaraju se različite vrste

stijena zajedničkog naziva vulkanske ili magmatske stijene. Lava (temperature od 700 do 1200

°C) koja se najduže hladila pretvorila se u stijene čiji dijelovi svjetlucaju. To su kristali. Izvest

ćemo pokus u kojem će otopina modre galice zamijeniti magmu. U vruću otopinu uronimo nit

vune i pustimo da se ohladi. Za vrijeme hlađenja otopine pogledat ćemo kratki film „Kad lava

naiđe na vodu“. U njemu je vidljiv vrlo brzi prelazak lave iz tekućeg u kruto stanje. U takvim

uvjetima otopljena smjesa ne stigne kristalizirati, kao što ovoga trenutka kristalizira modra

galica u posudi. Što znači kako će stijena koja je nastala niti tamna, bez sjaja odnosno bez

novostvorenih kristala. Koja će stijena nastati hlađenjem lave ovisi o brzini hlađenja i

kemijskom sastavu lave. Opsidijan je vulkanska stijena, vrsta vulkanskog stakla. Ova vrsta

prirodnog stakla se stvara u magmatskim stijenama brzim hlađenjem lave obogaćene lakim

materijalima, a posebno silikatima, tako da se nisu stigli formirati kristali. Opsidijanske oštrice

mogu dosegnuti molekularnu tankoću, tako da se mogu rabiti kao oštrice raznih alata. Kirurški

skalpeli za operacije srca imaju oštricu od opsidijana kako bi ožiljci nakon rezova bili što manji.

Opsidijan je poput minerala, ali nije pravi mineral, jer nema kristalnu rešetku. (pokazati

učenicima opsidijan)

95% gornjeg dijela Zemljine kore čine magmatske stijene. Često su prekrivene relativno tankim

slojem taložnih i preobraženih stijena. Iskoristimo model vulkana i prekrijmo zemljom

mješavinu sodabikarbone i brašna kako bismo dočarali prekrivanje jednih stijena drugima.

Opisano je oko 700 vrsta magmatskih stijena. Najbrojnije su intruzivne (nastaju u Zemljinoj

kori). U njima su golim okom vidljivi kristali. Efuzivne nastaju bržim hlađenjem lave zbog

čega u njima nema kristala. Bazalt je jedna vrsta efuzivne stijene nastale hlađenjem lave na

zraku. Lijep primjer intruzivnih magmatskih stijena je granit. Obično je srednje do krupno

kristalast, a može biti ružičast do tamnosivi, što ovisi o njegovom kemijskom i mineralnom

sastavu. Granit je gotovo uvijek masivan, čvrst i tvrd zbog čega je vrlo raširena njegova uporaba

kao građevinskog kamena. (pokazati učenicima bazalt i granit)

124

Ohlađeni konac s kristalima modre galice možemo izvaditi iz posude i položiti ga na zemlju u

plastičnoj posudi i tako simulirati intruzivnu magmatsku stijenu u kojoj su vidljivi kristali

okruženi različitim stijenama.

c) Zaključak / spoznaja: Vulkanizam je jedna od najatraktivnijih unutrašnjih sila koje

formiraju reljef. Podmorski i površinski vulkani izbacuju na površinu nove stijene i time

stvaraju novo kopno na Zemlji. S druge pak strane, voda na Zemlji uništava stijene i služi kao

medij koji raspadnute stijene odnosi na dno oceana. Kada bi kojim slučajem prestala vulkanska

aktivnost, kontinenti bi nestali i Zemlja bi bila prekrivena slanom vodom. (Pokušati navesti

učenike na spomenutu hipotezu)

Documents

Ja raSTEM! Interdisciplinarni STEM kurikulum za 7. i 8 ...jarastem.hugokon.org/wp-content/uploads/2018/02/Kurikulum-7.-8.-razred.pdf · Nastavne metode i oblici rada (npr. demonstracija,