161
i REPRESENTASI LINEAR GRUP BERHINGGA Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: Antonius Yudhi Anggoro NIM: 053114014 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2009

repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/27026/2/053114014_Full.pdf · iv SKRIPSI REPRESENTASI LINEAR GRUP BERHINGGA Dipersiapkan dan ditulis oleh : Antonius Yudhi Anggoro NIM : 053114014

  • Upload
    others

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

i

REPRESENTASI LINEAR GRUP BERHINGGA

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Antonius Yudhi Anggoro

NIM: 053114014

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2009

ii

LINEAR REPRESENTATION OF FINITE GROUP

Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

To Obtain the SARJANA SAINS Degree

In Mathematics

By:

Antonius Yudhi Anggoro

Student Number: 053114014

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2009

iii

Skripsi

REPRESENTASI LINEAR GRUP BERHINGGA

Disusun oleh:

Antonius Yudhi Anggoro

NIM: 053114014

Telah disetujui oleh

Pembimbing

Tanggal : 4 Juni 2009

iv

SKRIPSI

REPRESENTASI LINEAR GRUP BERHINGGA

Dipersiapkan dan ditulis oleh :

Antonius Yudhi Anggoro

NIM : 053114014

Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji

pada tanggal 27 Juni 2009

dan dinyatakan memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguji

Nama Lengkap

Ketua : Prof. Dr. Frans Susilo, SJ

Sekretaris : M.V. Any Herawati, S.Si, M.Si.

Anggota : Wanty Widjaya, M.Ed.

Yogyakarta, 3 Juli 2009

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma

Dekan

v

[tÄtÅtÇ cxÜáxÅut{tÇ[tÄtÅtÇ cxÜáxÅut{tÇ[tÄtÅtÇ cxÜáxÅut{tÇ[tÄtÅtÇ cxÜáxÅut{tÇ

Skripsi ini dipersembahkan untuk:

Ibuku (Alm) Susana Kalimah

Bapak Heru Kuntjoro dan Ibu Lisawati Soegiharto (Surabaya, Indonesia)

Frater Ernest Justin, SJ (Jakarta, Indonesia)

Pater Laurentius Priyo Poedjiono, SJ (USA)

Pater Sunu Hardianto, SJ (Yogyakarta, Indonesia)

Sr. Asissia Suprihatin, FDNSC (Fukui, Japan)

Ibu Narita Shi (Nagoya, Japan)

Budhe Theresia Sumarah (Purworejo, Indonesia)

sebagai ungkapan terimakasih atas jasa-jasa beliau.

Yogyakarta, 3 Juli 2009

vi

Pernyataan Keaslian Karya

Saya menyatakan dengan sungguh bahwa skripsi ini tidak memuat karya orang

lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagai ma-

na layaknya sebuah karya ilmiah.

Yogyakarta, 4 Juni 2009

Penulis

Antonius Yudhi Anggoro

vii

ABSTRAK

Representasi linear grup berhingga membahas cara menyajikan grup berhingga

sebagai grup matriks tak singular. Hal ini dilakukan dengan cara sebagai berikut.

Diberikan suatu grup berhingga � dan lapangan kompleks �. Setiap � � � diaso-

siasikan dengan sebuah matriks ���� � ���, �� sedemikian hingga fungsi � ada-

lah homomorfisma grup. Selanjutnya � disebut representasi dari � atas lapangan

kompleks �. Pembahasan tentang representasi grup berhingga dapat dilakukan

dengan dua cara, yaitu lewat representasi itu sendiri atau lewat modul-�� yang

berkorespondensi dengannya. Hasil utama dari representasi linear grup berhingga

adalah teorema Maschke dan Lema Schur.

viii

ABSTRACT

Linear representation of finite group is concerned with the ways of writing a finite

group as group of nonsingular matrices. This is done as follows: Given a finite

group � and complex field �. Any � � � is assosiated with matrix ���� �

���, �� such that function � is a group homomorphism. Function � is then called

representation of � over complex field �. Discussion about representation of finite

group can be done in two ways, namely by representation itself or by ��-modul

corresponding to it. The main results of linear representation of finite group are

Maschke theorem and Schur lemma.

ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Antonius Yudhi Anggoro

Nomor Mahasiswa : 053114014

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul:

REPRESENTASI LINEAR GRUP BERHINGGA

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, menga-

lihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,

mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikan di internet atau media lain

untuk kepentingan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikan

royalti kepada saya, selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta,

Pada tanggal: 3 Juli 2009

Yang menyatakan

Antonius Yudhi Anggoro

x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Maha Esa atas berkat dan rahmat-Nya, se-

hingga skripsi dengan judul “Representasi Linear Grup Berhingga” ini dapat di-

selesaikan tepat pada waktunya.

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa selesainya skripsi ini tidak lepas dari

dukungan, dorongan, kerjasama maupun bimbingan banyak pihak. Oleh karena

itu, penulis mengucapakan banyak terima kasih kepada:

1. Bapak Heru Kuntjoro dan Ibu Lisawati Soegiharto yang telah memberi

bantuan dan dukungan sehingga penulis dapat melanjutkan pendidikan di

tingkat perguruan tinggi.

2. Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing sekaligus

dosen penguji skripsi yang telah membimbing dan memberi masukan se-

jak awal hingga selesainya skripsi ini.

3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ dan Ibu Wanty Widjaya, M.Ed. selaku

dosen penguji yang telah memberi koreksi dan masukan kepada penulis.

4. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T. selaku Dekan Fakultas Sains

dan Teknologi dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ke-

tua Program Studi Matematika.

5. Perpustakaan Paingan Universitas Sanata Dharma beserta seluruh stafnya

atas seluruh fasilitas dan pelayanan selama penulis mengerjakan skripsi

ini.

xi

6. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si yang telah meminjamkan

buku-buku pendukung tentang teori representasi.

7. Bapak Tukijo dan Ibu Linda yang telah memberi pelayanan administrasi

kepada penulis selama masa kuliah.

8. Teman-teman mahasiswa angkatan 2005 prodi matematika Universitas

Sanata Dharma.

9. Banyak pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Yogyakarta, 3 juli 2009

Penulis

xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL …………………………………………….. i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS …………… ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …...……………. iii

HALAMAN PENGESAHAN …………………………………… iv

HALAMAN PERSEMBAHAN …………………………………. v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……...… .. vi

HALAMAN ABSTRAK ……… ………………………….……... vii

HALAMAN ABSTRACT ………………………………….......... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA

ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS …………….. ix

KATA PENGANTAR …………………………………………… . x

DAFTAR ISI …………………………………………….………. xii

BAB I PENDAHULUAN ………………………………......…… 1

A. Latar Belakang Masalah ………………………………….. 1

B. Rumusan Masalah ……………………………….……..… 2

C. Batasan Masalah ……………………………….....…........ 3

D. Tujuan Penulisan ……………………………..……...…… 3

E. Metode Penulisan …………..………………..……....…… 3

F. Manfaat Penulisan ………..……………….………....…... 3

G. Sistematika Penulisan ………..……………………...….... 3

xiii

BAB II GRUP DAN RUANG VEKTOR ………….....….…......... 5

A. Grup …………………………………………………...…. 5

B. Homomorfisma Grup ……………………………...…….. 17

C. Ruang Vektor …………………………………...…..……. 24

D. Transformasi Linear …………………………….…....….. 41

BAB III REPRESENTASI GRUP BERHINGGA DAN MODUL-�� 67

A. Representasi Grup Berhingga ………..………….........….. 67

B. Modul-�� ………………………………………….....….. 74

C. Submodul-�� dan Ketereduksian …………………….…. 89

D. Grup Aljabar ……………………………….………...…... 98

E. Homomorfisma-�� ………………..………..…...……….... 109

BAB IV TEOREMA MASCHKE DAN LEMA SCHUR ………. 125

A. Teorema Maschke ……………..……….…………...……. 125

B. Lema Schur …………………………………………...….. 136

BAB V PENUTUP ……………………….…………………...…. 146

A. Kesimpulan ……………………………………....………. 146

B. Saran ………………………………………………..…..... 147

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………….… 148

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Teori representasi grup adalah cabang ilmu matematika yang membahas

cara menyajikan grup sebagai grup matriks tak singular. Teori ini memiliki

peran penting baik dalam disiplin ilmu matematika maupun dalam disiplin

ilmu lain seperti fisika dan kimia.

Salah satu peran penting teori representasi grup dalam bidang matema-

tika tampak ketika para matematikawan mencoba membuktikan teorema

Burnside. Teorema Burnside menyatakan bahwa “ Misalkan �, � adalah bi-

langan prima dan �, � adalah bilangan bulat tak negatif yang memenuhi

� � � � 2. Jika adalah grup berorde ���, maka tak simpel”. Pada tahun

1897 Burnside mempresentasikan bukti atas teorema tersebut dalam bukunya

yang berjudul Theory of Groups of Finite Order. Ia membuktikannya dengan

pendekatan teori grup dengan cara memilih beberapa bilangan bulat � dan �

tertentu. Sampai saat itu Burnside belum berhasil membuktikan teorema ini

secara umum, yaitu untuk sebarang bilangan bulat tak negatif �, � yang me-

menuhi � � � � 2. Teori ini baru dapat dibuktikan secara umum setelah

Georg Frobenius menemukan teori representasi. Fakta lain yang menarik ada-

lah bahwa berbagai usaha untuk membuktikan teorema Burnside tanpa meng-

gunakan teori representasi gagal sampai pada akhirnya H. Bender berhasil

menemukannya pada tahun 1972.

2

Teori representasi grup dikembangkan oleh seorang matematikawan

Jerman bernama Ferdinand Georg Frobenius pada akhir tahun 1800-an. Fro-

benius dilahirkan di Charlottenberg, Jerman. Ia memperoleh pendidikan ma-

tematikanya dari Universitas Berlin dibawah bimbingan pengajar terkenal se-

perti E. Kummer, L. Kronecker, dan K. Weierstrass. Setelah menyelesaikan

masa studinya, Frobenius mengajar di almamaternya. Selepas dari sana ia

mengajar di Eidgenossische Technische Hochschule (E.T.H). Selama menga-

jar, ia banyak memberikan kontribusi dalam bidang matematika. Kontribu-

sinya dalam berbagai topik. Fokusnya pada bidang aljabar berawal dari bukti

teorema Sylow yang dipublikasikan pada tahun 1887. Semenjak itu ia mulai

memfokuskan diri pada bidang aljabar sampai pada akhirnya menemukan teo-

ri representasi. Beberapa tokoh lain yang berperan besar dalam pengemban-

gan teori ini antara lain Richard Dedekind, William Burnside, Heinrich

Maschke dan Schur.

Secara formal representasi dari grup atas lapangan kompleks � dide-

finisikan sebagai berikut: Misalkan adalah grup. Representasi dari atas

lapangan kompleks � adalah homomorfisma grup ρ dari ke grup linear

umum ��, ��, yaitu grup matriks tak singular berukuran � � �. Selanjutnya

� disebut derajat dari representasi ρ.

Jadi, jika ρ � � ��, ��, maka ρ adalah suatu representasi jika dan

hanya jika �� � �� untuk setiap �, � � .

B. Rumusan Masalah

1. Apakah yang dimaksud dengan representasi dari grup berhingga?

3

2. Bagaimana cara mengonstruksi representasi dari grup berhingga?

3. Bagaimana sifat representasi dari grup berhingga?

C. Batasan Masalah

1. Grup yang dibicarakan dalam skripsi ini adalah grup berhingga.

2. Skripsi ini tidak membahas representasi dari grup berhingga atas

sebarang lapangan �, namun dibatasi pada lapangan kompleks �.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk memahami representasi dari

grup berhingga atas lapangan kompleks �.

E. Metode Penulisan

Metode penulisan yang akan digunakan dalam skripsi ini adalah metode

studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal ilmiah, dan

karangan ilmiah yang telah dipublikasikan. Oleh karena itu, di sini tidak

disajikan hal baru dalam bidang matematika.

F. Manfaat Penulisan

1. Memahami pengertian representasi dari suatu grup berhingga .

2. Pembaca dapat mengonstruksi suatu representasi.

3. Memahami sifat-sifat suatu representasi.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

4

D. Tujuan Penulisan

E. Metode Penulisan

F. Manfaat Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II GRUP DAN RUANG VEKTOR

A. Grup

B. Homomorfisma Grup

C. Ruang Vektor

D. Transformasi Linear

BAB III REPRESENTASI GRUP BERHINGGA DAN MODUL-�

A. Representasi Grup Berhingga

B. Modul-�

C. Submodul-� dan Ketereduksian

D. Grup Aljabar

E. Homomorfisma-�

BAB IV TEOREMA MASCHKE DAN LEMA SCHUR

A. Teorema Maschke

B. Lema Schur

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

5

BAB II

GRUP DAN RUANG VEKTOR

A. Grup

Definisi 2.1.1

Misalkan � adalah himpunan takkosong. Operasi biner pada � adalah fungsi

�: � � � � � dengan � � � � ��, ��|, � � ��. Selanjutnya, � ��, ��� di-

notasikan dengan � untuk setiap �, �� � � � �.

Definisi 2.1.2

Grup � adalah himpunan takkosong � yang dilengkapi dengan operasi biner

pada � sedemikian hingga untuk setiap , �, � � �,

1. ���� � ���� (sifat assosiatif)

2. Terdapat elemen identitas, yaitu 1 � � yang memenuhi

1 � 1 �

3. Setiap � � mempunyai invers, yaitu �� � � yang memenuhi

�� � �� � 1

Secara khusus, jika � � � untuk setiap , � � �, maka � disebut grup

Abel.

Setiap grup � mempunyai tepat satu elemen identitas dan setiap ele-

mennya mempunyai tepat satu invers. Jika � memuat tak hingga banyak ele-

men, � disebut grup tak hingga. Jika sebaliknya, � disebut grup berhingga.

6

Banyaknya elemen grup berhingga � disebut orde dari � dan dinotasikan

dengan |�|.

Definisi 2.1.3

Misalkan � adalah grup. Untuk setiap � � dan � � �, berturut-turut �

dan �� didefinisikan dengan

� � … ������� !�"!# � dan �� � ������ … ��������������� !�"!# �

Selain itu, % didefinisikan dengan % � 1.

Contoh 2.1.4

1. Himpunan &, ' dan ( adalah grup abel terhadap operasi penjumlahan

biasa. Selain itu ) * �0� adalah grup abel terhadap operasi perkalian

bilangan kompleks.

2. Himpunan semua matriks tak singular berukuran �,� dengan entri bi-

langan kompleks adalah grup terhadap operasi perkalian matriks.

Grup ini disebut grup linear umum dan dinotasikan dengan �-��, )�.

Matriks identitas .� adalah elemen identitas dari �-��, )�.

3. Untuk setiap � � �, semua akar kompleks persamaan ,� � 1 diberi-

kan dengan /� � 0, � )|, � 12345 6, � � 0,1, … , � * 17. Terhadap

operasi perkalian bilangan kompleks, /� merupakan grup. Misalkan

8 � 12645 , maka /� � �1, 8, 89, … , 8���� dan 8� � 1.

7

Definisi 2.1.5

Misalkan � adalah grup. Himpunan bagian takkosong : dari � disebut grup

bagian dari � jika dan hanya jika

1. Untuk setiap �, � � :, �� � :

2. Untuk setiap � � :, ��� � :

Selanjutnya, notasi : ; � digunakan untuk menyatakan bahwa : adalah

grup bagian dari �.

Contoh 2.1.6

Untuk setiap grup �, �1� dan � adalah grup bagian dari �.

Teorema 2.1.7

Misalkan : adalah himpunan bagian takkosong dari grup �. Himpunan :

adalah grup bagian dari � jika dan hanya jika memenuhi:

Jika �, � � :, maka ���� � :

Bukti

�<�

Misalkan : grup bagian dari �. Jelas bahwa 1 � :. Kemudian misalkan

�, � � :. Menurut definisi 2.1.5, ��� � :. Akibatnya ���� � :.

�=�

Misalkan 1 � :. Jika � � :, maka berdasar asumsi �2�, ��� � 1��� � :.

Kemudian misalkan �, � � :. Telah ditunjukkan bahwa jika � � : maka

8

��� � :. Dengan demikian, berdasar asumsi �2�, �������� � �� � :. Jadi,

: adalah grup bagian dari �.

Teorema 2.1.8

Misalkan � adalah grup dan 8 � �. Himpunan bagian �8�|� � &� dari � ada-

lah grup bagian dari �. Grup bagian dari � ini disebut grup bagian siklik dari

� yang dibangun oleh 8 dan dinotasikan dengan ?8@. Bukti

Jelas bahwa �8�|� � &� takkosong karena 8 � 8� � �8�|� � &�. Selanjutnya

misalkan , � � �8�|� � &�. Dengan demikian � 8� dan � � 8A untuk su-

atu �, B � &.

1. � � 8�8A � 8�CA. Jadi, � � �8�|� � &�. 2. �� � 8��. Karena *� � &, akibatnya �� � �8�|� � &�.

Jadi, �8�|� � &� adalah grup bagian dari �.

Jika � � ?8@ maka � disebut grup siklik dan 8 disebut pembangun �.

Selanjutnya misalkan � adalah grup dan 8 � �. Dalam beberapa kasus terda-

pat � � � sedemikian hingga 8� � 1. Dalam kasus ini, ?8@ merupakan grup

berhingga. Banyaknya elemen dari ?8@ sama dengan bilangan bulat positif te-

kecil � sedemikian hingga 8� � 1. Selanjutnya bilangan bulat positif terkecil

yang memenuhi 8� � 1 disebut orde dari elemen 8.

9

Contoh 2.1.9

Grup /� dan & adalah grup siklik. Pembangun dari /� adalah 8 � 12645 se-

dangkan pembangun dari & adalah *1 dan 1.

Teorema 2.1.10

Misalkan � adalah grup dan , � � �. Himpunan bagian ?, �@ dari � yang

diberikan dengan ?, �@ � D, � �|, � EF�GFE2�G2 … E5�G5H (dalam hal ini

� � � dan I#, J# � & untuk setiap � � 1,2, … , � ) adalah grup bagian dari �.

Grup bagian ?, �@ dari � ini disebut grup bagian dari � yang dibangun oleh

dan �.

Bukti

Jelas bahwa ?, �@ takkosong. Selanjutnya misalkan ,, K � ?, �@ Dengan

demikian , dan K dapat dinyatakan dengan , � EF�GFE2�G2 … E5�G5 dan

K � #F�LF#2�L2 … #M�LM. Lebih jauh,

1. ,K � EF�GFE2�G2 … E5�G5#F�LF#2�L2 … #M�LM � ?, �@ 2. ,�� � �EF�GFE2�G2 … E5�G5���

� ��G5�E5 … ��G2�E2��GF�EF

� %��G5�E5 … ��G2�E2��GF�EF�% � ?, �@ Jadi, ?, �@ adalah grup bagian dari �.

Definisi 2.1.11

Misalkan N dan O adalah sebarang himpunan takkosong. Fungsi bijektif ada-

10

lah fungsi P: N � O yang memenuhi

1. Untuk setiap ,, K � N, jika P�,� � P�K� maka , � K

2. Untuk setiap K � O terdapat , � N sedemikian hingga P�,� � K

Fungsi P: N � O yang memenuhi sifat �1� pada definisi 2.1.11 disebut

fungsi injektif sedangkan fungsi P: N � O yang memenuhi sifat �2� pada de-

finisi 2.1.11 disebut fungsi surjektif. Dengan demikian fungsi bijektif adalah

fungsi yang surjektif sekaligus injektif.

Dapat ditunjukkan bahwa fungsi P: N � O adalah fungsi bijektif jika

dan hanya jika terdapat fungsi P��: O � N sedemikian hingga P���P�8�� �8 dan P�P���Q�� � Q untuk setiap 8 � N dan Q � O. Jika fungsi P�� ada,

P�� disebut invers dari P dan P dikatakan dapat dibalik.

Definisi 2.1.12

Permutasi dari himpunan N adalah fungsi bijektif P: N � N.

Teorema 2.1.13

Misalkan N adalah himpunan takkosong dan RS adalah himpunan semua per-

mutasi pada N. Terhadap operasi komposisi fungsi, RS adalah grup.

Bukti

Pertama-tama ingat bahwa fungsi komposisi bersifat assosiatif. Selanjutnya,

jelas bahwa .: N � N yang didefinisikan dengan .�8� � 8 untuk setiap 8 � N

adalah permutasi. Selain itu, untuk setiap P � RS dan 8 � N, �P.��8� �

11

�.P��8� � P�8�. Jadi, . adalah identitas RS. Karena permutasi adalah fungsi

bijektif, untuk setiap P � RS terdapat P�� � RS sedemikian hingga PP�� �PP�� � .. Dengan demikian RS adalah grup terhadap operasi komposisi fung-

si.

■■■■

Definisi 2.1.14

Misalkan R � �1,2, … , �� dengan � � �. Himpunan semua permutasi dari R

yang dilengkapi dengan operasi komposisi fungsi disebut grup simetrik ber-

derajat � dan dinotasikan dengan R�. Orde dari R� adalah |R�| � �! dan se-

tiap U � R� dinotasikan dengan

U � V 1 2U�1� U�2� W �W U���X

Definisi 2.1.15

Misalkan 8, Q � R�. Grup dihedral adalah grup bagian Y9� � ?8, Q@ dari R�

yang memenuhi 8� � Q9 � 1 dan Q��8Q � 8�� untuk setiap � � � dan

� Z 2. Orde dari Y9� adalah 2�.

Sebagai akibat dari sifat Q��8Q � 8��, setiap , � Y9� dapat dinyatakan

dengan , � QE8G untuk suatu I, J � &. Selanjutnya karena 8� � Q9 � 1, maka

I � 0,1 dan J � 0,1, … , � * 1. Dengan demikian,

Y9� � ?8, Q@ � �1, 8, 89, … , 8���, Q, 8Q, Q89, … , Q8��� �

12

Definisi 2.1.16

Misalkan � � � dan [�, [9, … , [\ anggota himpunan R � �1,2, … , �� dengan

] ; �. Putaran �[� [9 W [\ � dengan panjang ] adalah permutasi U yang di-

definisikan dengan U�[�� � [9, U�[9� � [^, … , U�[\� � [� dan U�[� � [ un-

tuk setiap [ � R namun [ _ [E untuk setiap I � 1,2, … , ]. Jika ] � 2 maka pu-

taran �[� [9� disebut transposisi.

Contoh 2.1.17

Diberikan R � �1,2,3,4�. Putaran �1 2 4� dan transposisi �1 3� berturut-turut

merupakan permutasi

U� � b 1 22 4 3 43 1 c dan U9 � b 1 23 2 3 41 4 c

Definisi 2.1.18

Misalkan � adalah grup, � � dan : grup bagian dari �. Koset kiri dari :

dalam � yang memuat adalah himpunan : � ��|� � :�. Sedangkan ko-

set kanan dari : dalam � yang memuat adalah himpunan : ���|� � :� dari �.

Contoh 2.1.19

Diberikan grup R^ � ��1�, �1 2�, �1 3�, �2 3�, �1 2 3�, �1 3 2�� dan grup ba-

gian : � ��1�, �1 3�� dari R^. Koset-koset kiri dari : dalam � diberikan se-

bagai berikut

�1�: � :

13

�1 2�: � ��1 2�, �1 2��1 3�� � ��1 2�, �1 3 2�� � �1 3 2�:

�1 3�: � ��1 3�, �1 3��1 3�� � ��1 3�, �1�� � :

�2 3�: � ��2 3�, �2 3��1 3�� � ��2 3�, �1 2 3�� � �1 2 3�:

Koset-koset kiri (kanan) dari : dalam � yang berbeda memartisi �. Ar-

tinya, setiap elemen dari � tepat berada pada salah satu koset tersebut. De-

ngan demikian � merupakan gabungan dari koset-koset tersebut. Contoh

2.1.19 memberikan gambaran yang jelas tentang hal ini.

Teorema 2.1.20 (Teorema Lagrange)

Jika � adalah grup berhingga dan : adalah grup bagian dari �, maka |:| membagi |�|. Bukti

Misalkan :�, :9, … , :\ adalah semua koset kanan dari : dalam � yang

semuanya berbeda. Pandang fungsi P: : � :E yang didefinisikan dengan

P��� � �E untuk setiap I � 1,2, … , ] dan � � :. Akan ditunjukkan bahwa P

fungsi bijektif.

Misalkan ��, �9 � :. Jika P���� � P��9�, maka

P���� � P��9�

��E � �9E ��EE�� � �9EE��

�� � �9

14

Jadi, P injektif. Selanjutnya jika diambil sebarang K � ��E � :E, maka ter-

dapat � � :, yaitu dengan memilih � � ��, sedemikian hingga P��� � K. Ja-

di, P surjektif. Karena P surjektif dan injektif maka P bijektif. Dengan demi-

kian |:| � |:E| untuk setiap I. Dengan mengingat bahwa � � :� d :9 d … d :\ dan :E e :G � f

jika I _ J, maka

|�| � |:� d :9 d … d :\| � |:�| g |:9| g W g |:\| � |:| g |:| g W g |:|��������������� !�"!# \

� ]|:| Jadi, |:| membagi |�|.

■■■■

Definisi 2.1.21

Misalkan : adalah grup bagian dari grup �. Banyaknya koset kiri (kanan) da-

ri : dalam � yang berbeda disebut indeks ��: :� dari : dalam �. Jika � ber-

hingga, maka ��: :� � |�|/|:|

Definisi 2.1.22

Misalkan : adalah grup bagian dari grup �. Grup bagian : disebut grup ba-

gian normal dari � jika dan hanya jika 8: � :8 untuk setiap 8 � �. Selan-

jutnya notasi : i � menyatakan bahwa : adalah grup bagian normal dari �.

15

Contoh 2.1.23

Untuk setiap grup �, �1� dan � adalah grup bagian normal. Jika � grup abel,

maka setiap grup bagian : dari � adalah grup bagian normal.

Teorema 2.1.24

Misalkan : adalah grup bagian normal dari grup �. Himpunan �/: ��:8|8 � �� adalah grup terhadap operasi biner yang didefinisikan dengan

�:8��:Q� � :�8Q� untuk setiap 8, Q � �. Grup seperti ini disebut grup fak-

tor dari � oleh :.

Bukti

Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa operasi biner yang didefinisikan den-

gan �:8��:Q� � :�8Q� untuk setiap 8, Q � � well-defined, yaitu untuk se-

tiap :8, :8k , :Q, :Ql � �/:, jika :8 � :8l dan :Q � :Ql maka :�8Q� �:�8kQl�. Jelas bahwa 8k � 18k � :8l. Karena :8 � :8l, akibatnya 8l � :8.

Dengan demikian 8k � ��8 untuk suatu �� � :. Demikian pula jelas bahwa

Qk � 1Qk � :Ql. Karena :Q � :Ql, akibatnya Ql � :Q. Dengan demikian

Qk � �9Q untuk suatu �9 � :.

Selanjutnya diperoleh

:8kQl � :��8�9Q

� :8�9Q

� 8:�9Q

� 8:Q

� :8Q

16

Jadi, operasi biner tersebut well-defined. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

�/: adalah grup.

1. Untuk setiap :8, :Q, :m � �/:,

�:8���:Q��:m�� � �:8��:�Qm�� � :�8�Qm�� � :��8Q�m�

� :�8Q�:�m� � ��:8��:Q���:m�

2. Himpunan �/: memuat elemen identitas, yaitu :1 � : � �/:. Un-

tuk setiap :8 � �/:, ::8 � :8: � :8.

3. Setiap :8 � �/: memiliki invers �:8��� � :8�� � �/:. Perhati-

kan bahwa :8:8�� � :8��:8 � :.

Jadi, �/: adalah grup.

■■■■

Teorema 2.1.25

Misalkan ��, �9, … , �� adalah grup. Himpunan

�� � �9 � … � �� � ���, 9, … , ��|E � �E; I � 1,2, … , ��

adalah grup terhadap operasi biner yang didefinisikan dengan

��, 9, … , �����, �9, … , ��� � ����, 9�9, … , ����

untuk setiap ��, 9, … , ��, ���, �9, … , ��� � �� � �9 � … � ��. Grup ini di-

sebut dengan darab langsung dari ��, �9, … , ��.

Bukti

Misalkan � ��, … , ��, � � ���, … , ��� dan � � ���, … , ��� berturut-turut

elemen grup �� � �9 � … � ��

1. ���� � ��, … , ������, … , ������, … , ����

17

� ��, … , �������, … , �����

� ��������, … , ��������

� ��������, … , ��������

� ����, … , �������, … , ���

� ���, … , �����, … , �������, … , ���

� ����

2. Terdapat elemen identitas, yaitu �1,1, … ,1� � �� � �9 � … � ��.

3. Setiap � ��, 9, … , �� � �� � �9 � … � �� mempunyai invers, yaitu

� ����, 9��, … , ����

Jadi, �� � �9 � … � �� adalah grup.

■■■■

Jika ��, �9, … , �� masing-masing adalah grup berhingga, maka

�� � �9 � … � �� juga merupakan grup berhingga. Orde dari �� � �9 � … ��� adalah |�� � �9 � … � ��| � |��||�9| … |��|.

B. Homomorfisma Grup

Definisi 2.2.1

Misalkan � dan : adalah grup. Fungsi o: � � : disebut homomorfisma jika

o��9� � o���o�9� untuk setiap �, 9 � �.

18

Jika o bijektif, maka o disebut isomorfisma dan � dikatakan isomorfis

:. Notasi yang biasa dipakai untuk menyatakan bahwa � isomorfis : adalah

� p :.

Teorema 2.2.2

Jika P: � � : adalah homomorfisma grup dan P dapat dibalik, maka invers

dari P juga merupakan homomorfisma grup.

Bukti

Misalkan 8, Q � � dan P�� adalah invers dari P.

P�P���8�P���Q�� � P�P���8��P�P���Q��

P�P���8�P���Q�� � 8Q

P�� bP�P���8�P���Q��c � P���8Q�

P���8�P���Q� � P���8Q�

Jadi, P�� adalah homomorfisma.

■■■■

Contoh 2.2.3

1. Misalkan � adalah grup Abel. Fungsi o: � � � yang didefinisikan

dengan o�� � �� untuk setiap � � adalah suatu homomorfisma

karena jika , � � � maka o��� � ����� � ����� �o���o�� � o��o���.

2. Diberikan grup Y9� � ?8, Q|8� � Q9 � 1, Q��8Q � 8��@. Setiap

, � Y9� dapat dinyatakan dengan , � QE8G untuk suatu I, J � � yang

19

memenuhi 0 ; I ; 1 dan 0 ; J ; � * 1. Misalkan : adalah sebarang

grup yang memuat elemen , dan K yang memenuhi ,� � K9 � 1 dan

K��,K � ,��. Fungsi o: Y9� � : yang didefinisikan dengan

o�QE8G� � KE,G untuk setiap QE8G � Y9� adalah homomorfisma. Un-

tuk menunjukkan hal ini, misalkan 0 ; ] ; 1, 0 ; [ ; � * 1,

0 ; q ; 1 dan 0 ; r ; � * 1. Karena Y9� adalah grup, akibatnya

Q\8�Qs8t � QE8G untuk suatu 0 ; I ; 1 dan 0 ; J ; � * 1. Lebih

jauh, I dan J ditentukan oleh persamaan 8� � Q9 � 1 dan Q��8Q �8��.

Karena ,� � K9 � 1 dan K��,K � ,��, dapat disimpulkan pula bah-

wa K\,�Ks,t � KE,G. Dengan demikian

u�Q\8�Qs8t� � u�QE8G�

� KE,G

� K\,�Ks,t

� u�Q\8��u�Qs8t�

Jadi, u adalah homomorfisma.

Teorema 2.2.4

Jika � adalah grup, maka terdapat grup permutasi �l sedemikian hingga

� p �l. Bukti

Misalkan � adalah grup dan � �. Pertama-tama didefinisikan fungsi

vw: � � � dengan vw�,� � , untuk setiap , � �. Untuk setiap ,, K � �, jika

20

vw�,� � vw�K� maka

, � K

��, � ��K

, � K

Jadi, vw injektif. Selanjutnya untuk setiap , � �, ambil K � ��, � �. Perha-

tikan bahwa vw�K� � vw���,� � ��, � ,. Dengan demikian vw surjektif.

Karena vw bijektif, dapat disimpulkan bahwa vw adalah permutasi untuk setiap

� �.

Bentuk himpunan �l � Dvw| � �H. Himpunan �l adalah grup terhadap ope-

rasi komposisi fungsi. Untuk menunjukkan hal ini, misalkan , � � �. Maka,

vw, vx � �l. Dengan demikian untuk setiap , � �,

vwvx�,� � vw�vx�,�� � vw��,� � ��,� � ���, � vwx�,�

Jadi, �l tertutup terhadap operasi komposisi fungsi. Perlu diingat bahwa ope-

rasi komposisi fungsi bersifat asosiatif. Selanjutnya �l memuat elemen identi-

tas, yaitu v�: � � � yang didefinisikan dengan v��,� � 1, � , untuk setiap

, � �. Akhirnya, untuk setiap vw � �l pilih vwyF � �l. Perhatikan bahwa un-

tuk setiap , � �

vwvwyF�,� � vwyFvw�,� � , � v��,�

Jadi setiap vw � �l mempunyai invers, yaitu vwyF � �l. Dengan demikian, �l adalah grup terhadap operasi komposisi fungsi.

21

Selanjutnya definisikan P: � � �l dengan P�� � vw untuk setiap � �.

Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa P adalah homomorfisma. Untuk setiap

, � � �, P��� � vwx � vwvx � P��P���.

Jika P�� � P��� maka vw � vx. Akibatnya, , � �, untuk setiap , � �.

Akhirnya diperoleh � �. Jadi, P injektif. Selanjutnya untuk setiap vw � �l pilih , � � �. Perhatikan bahwa P�,� � P�� � vw. Jadi, P surjektif. Ka-

rena P bijektif dan memenuhi sifat homomorfisma, maka P adalah isomor-

fisma. Dengan demikian � p �l. ■■■■

Definisi 2.2.5

Misalkan o: � � : adalah homomorfisma. Kernel dari o dinotasikan dengan

z1]�o� dan didefinisikan dengan

z1]�o� � � � �|o�� � 1� Sedangkan bayangan dari o dinotasikan dengan .B�o� dan didefinisikan

dengan

.B�o� � �� � :|� � o��, � ��

Teorema 2.2.6

Jika o: � � : adalah homomorfisma, maka : � z1]�o� adalah grup bagian

normal �.

Bukti

Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa : grup bagian dari �.

22

1. Jelas bahwa 1 � : karena o�1� � 1.

2. Misalkan 8, Q � :. Maka o�8Q��� � o�8�o�Q��� � 1�o�Q���� � 1.

Akibatnya, 8Q�� � :.

Dengan demikian, : grup bagian dari �.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 8: � :8 untuk setiap 8 � �. Jika

, � 8:, maka , � 8�� untuk suatu �� � :. Dengan demikian o�,� �o�8��� � o�8�o���� � o�8�. Jadi, o�,� � o�8�. Selanjutnya,

o�,� � o�8�

o�,��o�8��*1 � 1

o�,�o�8��� � 1

o�,8��� � 1

Jadi, ,8�� � :. Dengan demikian ,8�� � �9 untuk suatu �9 � :. Akhirnya,

, � �98 � :8. Jika , � :8, maka , � �^8 untuk suatu �^ � :. Dengan

demikian o�,� � o��^8� � o��^�o�8� � o�8�. Jadi, o�,� � o�8�. Selan-

jutnya,

o�,� � o�8�

1 � �o�,��*1o�8� 1 � o�,���o�8�

1 � o�,��8�

Jadi, ,��8 � :. Dengan demikian ,��8 � �{ untuk suatu �{ � :. Akhirnya,

, � 8��{��� � 8:. Jadi, 8: � :8 untuk setiap 8 � �. Dengan kata lain,

: i �. ■■■■

23

Teorema 2.2.7

Jika fungsi P: � � �l adalah homomorfisma grup dan : � z1]�P�, maka

�/: p .B�P�.

Bukti

Didefinisikan fungsi o: �/: � .B�P� yang diberikan dengan o�:8� � P�8�

untuk setiap 8 � �. Pertama-tama akan dibuktikan bahwa o well-defined. Mi-

salkan :8, :Q � �/: dan :8 � :Q. Maka 8��Q � :. Sehingga

P�8��Q� � 1

P�8���P�Q� � 1

�P�8����P�Q� � 1

P�Q� � P�8�

Jadi, o well-defined. Selanjunya akan ditunjukkan bahwa o isomorfisma. Un-

tuk setiap :8, :Q � �/:,

o�:8 :Q� � o�:8Q� � P�8Q� � P�8�P�Q� � o�:8�o�:Q�

Jadi, o memenuhi sifat homomorfisma. Selanjutnya jika o�:8� � o�:Q�

maka P�8� � P�Q�. Sehingga 8��Q � :. Jadi, :8 � :Q. Jadi, o injektif. Se-

lanjutnya misalkan K � .B�P�. Dengan demikian terdapat , � � sedemikian

hingga P�,� � K. Karena , � �, jelas bahwa :, � �/:. Jadi, untuk setiap

K � .B�P� terdapat :, � �/: sedemikian hingga o�:,� � P�,� � K. Jadi,

o surjektif. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa o isomorfisma. Dengan de-

mikian, �/: p .B�P�.

24

C. Ruang Vektor

Definisi 2.3.1

Ruang Vektor | atas lapangan kompleks ) adalah himpunan takkosong |

yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan antara dua anggota | serta ope-

rasi perkalian skalar antara } � | dengan � � ), sedemikian hingga untuk se-

tiap r, }, ~ � | dan �, � � )

1. r g } � |

2. r g } � } g r

3. r g �} g ~� � �r g }� g ~

4. Terdapat 0 � | sedemikian hingga 0 g } � } g 0 � } untuk setiap

} � |.

5. Untuk setiap } � |, terdapat *} � | sedemikian hingga } g �*}� ��*}� g } � 0

6. �} � |

7. ��r g }� � �r g �}

8. �� g ��} � �} g �}

9. ����} � ���}�

10. 1} � }

Selanjutnya, setiap anggota | disebut vektor dan setiap anggota ) disebut

skalar.

Dalam pembahasan selanjutnya, ruang vektor | atas lapangan kom-

pleks ) akan disebut ruang vektor saja.

25

Contoh 2.3.2

1. Misalkan | adalah himpunan semua matriks ukuran 2 � 2 yang ang-

gota-anggotanya bilangan kompleks. Maka, | adalah ruang vektor bi-

la operasi penjumlahan didefinisikan sebagai penjumlahan matriks

dan operasi perkalian skalar didefinisikan sebagai perkalian skalar

dengan matriks.

2. Misalkan � � �. Himpunan )� yaitu himpunan semua pasangan teru-

rut �,�, ,9, … , ,�� dengan ,�, ,9, … , ,� � ) adalah ruang vektor terha-

dap lapangan ) jika penjumlahan dan perkalian skalar dalam )� ber-

turut-turut didefinisikan dengan

�,�, ,9, … , ,�� g �K�, K9, … , K�� � �,� g K�, ,9 g K9, … , ,� g K��

��,�, ,9, … , ,�� � ��,�, �,9, … , �,��

untuk setiap �,�, ,9, … , ,��, �K�, K9, … , K�� � )� dan � � ). Dalam

pembahasan selanjutnya, setiap �,�, ,9, … , ,�� � )� akan dituliskan

dengan menggunakan matriks kolom, yaitu

�,�, ,9, … , ,�� � �,�,9�,��

Definisi 2.3.3

Jika | adalah ruang vektor dan � adalah himpunan bagian takkosong dari |,

maka � adalah ruang bagian dari | jika dan hanya jika:

i. Jika }, ~ � �, maka �} g ~� � �

ii. Jika � � ) dan } � �, maka �} � �

26

Dapat ditunjukkan bahwa ruang bagian adalah himpunan bagian dari

suatu ruang vektor | yang juga merupakan ruang vektor dengan operasi pen-

jumlahan dan operasi perkalian skalar yang didefinisikan dalam |.

Contoh 2.3.4

1. Untuk sebarang ruang vektor |, � � �0� dan | adalah ruang bagian

dari |.

2. Himpunan � yang diberikan dengan � � 0�,,� � )9|, � )7 adalah

ruang bagian dari ruang vektor )9.

Definisi 2.3.5

Misalkan | adalah ruang vektor dan } � |. Misalkan pula }�, }9, … , }� � |.

Vektor } disebut kombinasi linear dari vektor-vektor }�, }9, … , }� jika dan

hanya jika } dapat dinyatakan dalam bentuk

} � ��}� g �9}9 g W g ��}�

dengan ��, �9, … , �� � ). Selanjutnya, himpunan yang memuat semua kom-

binasi linear dari }�, }9, … , }� disebut rentang dari }�, }9, … , }� dan dinotasi-

kan dengan [��}�, }9, … , }��

27

Contoh 2.3.6

1. Misalkan | � )9 dan �10� , �01� � |. Maka setiap vektor } � �8Q� � )9

adalah kombinasi linear dari �10� dan �01� karena } � �8Q� � 8 �10� gQ �01�.

2. Vektor �369� � )^ adalah kombinasi linear dari vektor-vektor

�110� , � 1*20 � , �113� � )^ karena �369� � 1 �110� * 1 � 1*20 � g 3 �113�

Teorema 2.3.7

Jika | adalah ruang vektor dan }�, }9, … , }� � |, maka [��}�, }9, … , }�� ada-

lah ruang bagian dari |.

Bukti

Misalkan � � ) dan r, } � [��}�, }9, … , }��. Maka, r � ��}� g �9}9 g W g��}� dan } � m�}� g m9}9 g W g m�}�.

1. Karena 0 � 0}� g 0}9 g W g 0}�, maka 0 � [��}�, }9, … , }��.

2. r g } � ���}� g �9}9 g W g ��}�� g �m�}� g m9}9 g W g m�}��

� ���gm��}� g ��9gm9�}9 g W g ���gm��}�

Jadi, r g } � [��}�, }9, … , }��

3. �r � ����}� g �9}9 g W g ��}�� � ���}� g ��9}9 g W g ���}�

Jadi, �r � [��}�, }9, … , }��

28

Dengan demikian terbukti bahwa [��}�, }9, … , }�� adalah ruang bagian dari

|.

Definisi 2.3.8

Misalkan � � �Q�, Q9, … , Q�� adalah himpunan vektor-vektor pada ruang vek-

tor |. Himpunan � dikatakan merentang | jika [��Q�, Q9, … , Q�� � |, yaitu

setiap } � | dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari Q�, Q9, … , Q�.

Definisi 2.3.9

Misalkan � � �Q�, Q9, … , Q�� adalah himpunan vektor-vektor pada ruang vek-

tor |. Himpunan � dikatakan bebas linear jika satu-satunya solusi persamaan

��Q� g �9Q9 g W g ��Q� � 0 adalah �� � �9 � W � �� � 0. Jika terdapat

solusi lain, maka � dikatakan bergantung linear.

Contoh 2.3.10

1. Himpunan � � ��112� , �224� , � 3*20 �� � )^ tidak bebas linear karena per-

samaan �� �112� g �9 �224� g �^ � 3*20 � � �000� mempunyai solusi tak nol,

yaitu �� � 2, �9 � *1 dan �^ � 0.

2. Himpunan 0�10� , �01�7 merentang )9 karena untuk setiap } � �8Q� � )9,

29

} � �8Q� � 8 �10� g Q �01�. Kemudian �� �10� g �9 �01� � �00� jika dan

hanya jika ����9� � �00�. Jadi, 0�10� , �01�7 bebas linear.

Definisi 2.3.11

Misalkan � � �Q�, Q9, … , Q�� adalah himpunan vektor-vektor pada ruang vek-

tor |. Himpunan � disebut basis dari | jika bebas linear dan merentang |.

Contoh 2.3.12

1. Himpunan 0�11� , �10�7 merentang ruang vektor )9 karena untuk setiap

} � �,K� � )9, } � �,K� � K �11� g �, * K� �10�. Selain itu, persamaan

�� �11� g �9 �10� � �00� terpenuhi jika dan hanya jika ��� g �9�� � � �00�. Akibatnya, diperoleh �� � 0 dan �9 � 0. Dengan demikian 0�11� , �10�7

bebas linear. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa 0�11� , �10�7 adalah ba-

sis ruang vektor )9.

2. Dalam contoh 2.3.10.2 telah ditunjukkan bahwa 0�10� , �01�7 bebas li-

near dan merentang )9. Jadi, 0�10� , �01�7 basis dari )9. Basis seperti ini

disebut basis standart.

30

Teorema 2.3.13

Misalkan � � �}�, }9, … , }�� adalah basis ruang vektor |. Maka, setiap

} � | hanya dapat dinyatakan dalam bentuk } � m�}� g m9}9 g W g m�}�

tepat dengan satu cara �mE � ), I � 1,2, … , ��.

Bukti:

Karena � adalah basis dari |, maka � bebas linear dan merentang |. Dengan

demikian, setiap } � | dapat dinyatakan dalam bentuk } � m�}� g m9}9 gW g m�}�. Sekarang misalkan } � m�}� g m9}9 g W g m�}� dan } � ��}� g�9}9 g W g ��}�. Maka,

0 � �m� * ���}� g �m9 * �9�}9 g W g �m� * ���}�.

Diketahui bahwa � bebas linear. Akibatnya

m� * �� � 0; m9 * �9 � 0; … ; m� * �� � 0.

Maka diperoleh

m� � ��; m9 � �9; … ; m� � ��

Jadi, setiap } � | hanya dapat dinyatakan dalam bentuk } � m�}� g m9}9 gW g m�}� tepat dengan satu cara.

Teorema 2.3.14

Misalkan � � �Q�, Q9, … , Q�� adalah basis ruang vektor | dan � ��~�, ~9, … , ~A� adalah himpunan sebarang vektor pada |. Jika B � � maka

� bergantung linear.

Bukti

Karena � basis dari |, maka

31

� ~� � 8��Q� g 89�Q9 g W g 8��Q� ~9 � 8�9Q� g 899Q9 g W g 8�9Q� �~A � 8�AQ� g 89AQ9 g W g 8�AQ� � �1�

Untuk menunjukkan bahwa � bergantung linear, harus ditunjukkan bahwa

terdapat ��, �9, … , �A yang tidak semuanya nol sedemikian hingga persamaan

��~� g �9~9 g W g �A~A � 0 �2�

terpenuhi.

Dengan menggunakan persamaan-persamaan �1�, persamaan �2� dapat ditu-

lis kembali dengan

���8�� g �98�9 g W g �A8�A�Q�

g���89� g �9899 g W g �A89A�Q9

g���8�� g �98�9 g W g �A8�A�Q� � 0

Selanjutnya, berdasar sifat kebebasan linear � diperoleh

� 8���� g 8�9�9 g W g 8�A�A � 089��� g 899�9 g W g 89A�A � 0�8���� g 8�9�9 g W g 8�A�A � 0 � �3�

Sistem persamaan diatas memiliki B buah faktor dan � buah persamaan. Ka-

rena B � �, berdasarkan teori tentang sistem persamaan linear, terdapat

��, �9, … , �A yang tidak semuanya nol dan memenuhi sistem persamaan li-

near �3�.

■■■■

32

Teorema 2.3.15

Misalkan � � �Q�, Q9, … , Q�� adalah basis ruang vektor |. Jika � ��~�, ~9, … , ~A� juga merupakan basis dari |, maka � � B.

Bukti

Pandang bentuk kontraposisi dari teorema 2.3.14. Karena � basis dari | dan

� bebas linear, maka B ; �. Demikian pula karena � basis dari | dan �

bebas linear, maka � ; B. Dengan demikian � � B.

■■■■

Definisi 2.3.16

Banyaknya vektor dalam himpunan basis dari ruang vektor | disebut dimensi

dari | dan dinotasikan dengan �IB�|�.

Kecuali dikatakan sebaliknya, setiap ruang vektor dalam karya tulis ini

adalah ruang vektor dengan dimensi berhingga, yaitu ruang vektor yang him-

punan basisnya memilik berhingga banyak elemen. Dimensi ruang vektor

| � �0� didefinisikan �IB�|� � 0.

Definisi 2.3.17

Misalkan | adalah ruang vektor dan R � �}�, }9, … , }�� � | bebas linear.

Himpunan R dikatakan himpunan bebas linear terbesar dari | jika untuk se-

barang ~ � |, himpunan � � �~, }�, }9, … , }�� bergantung linear.

33

Teorema 2.3.18

Misalkan | adalah ruang vektor. Jika R � �}�, }9, … , }�� adalah himpunan

bebas linear terbesar dari |, maka R adalah basis dari |.

Bukti

Harus ditunjukkan bahwa R merentang |. Karena R adalah himpunan bebas

linear terbesar dari |, maka untuk setiap ~ � |, �~, }�, }9, … , }�� bergantung

linear. Dengan kata lain persamaan

8%~ g 8�}� g W g 8�}� � 0

memiliki solusi tak nol. Perhatikan bahwa 8% _ 0 karena jika tidak demikian

akan timbul kontradiksi, yaitu bahwa R bergantung linear. Akibatnya dipero-

leh

~ � * 8�8% }� * W * 8�8% }�

Jadi, R merentang |.

■■■■

Teorema 2.3.19

Misalkan | adalah ruang vektor berdimensi �. Jika � � �}�, }9, … , }�� � |

bebas linear, maka � adalah basis dari |.

Bukti

Berdasar teorama 2.3.14, dan definisi 2.3.17, � adalah himpunan bebas linear

terbesar dari |. Kemudian berdasar teorema 2.3.18, � adalah basis dari |.

■■■■

34

Teorema 2.3.20

Misalkan | adalah ruang vektor berdimensi � dan � adalah ruang bagian da-

ri |. Jika �IB��� � �, maka � � |.

Bukti

Misalkan } � �. Jelas bahwa } � |. Kemudian misalkan } � | dan

�~�, ~9, … , ~�� adalah basis dari �. Dengan demikian �~�, ~9, … , ~�� bebas

linear dan juga himpunan bagian dari |. Karena �IB�|� � �, berdasar teo-

rema 2.3.19, �~�, ~9, … , ~�� adalah basis dari |. Jadi, } dapat dinyatakan se-

bagai kombinasi linear dari ~�, ~9, … , ~�. Akibatnya } � �. Akhirnya, dapat

disimpulkan bahwa � � |.

■■■■

Teorema 2.3.21

Misalkan | adalah ruang vektor berdimensi �. Jika ] adalah bilangan bulat

positif yang memenuhi ] � � dan �}�, }9, … , }\� � | bebas linear, maka ter-

dapat vektor-vektor }\C�, }\C9, … , }� � | sedemikian hingga �}�, }9, … , }�� adalah basis dari |.

Bukti

Karena ] � �, maka menurut teorema 2.3.15, �}�, }9, … , }\� bukan basis dari

|. Karena �}�, }9, … , }\� bukan basis dari |, maka menurut teorema 2.3.18

�}�, }9, … , }\� bukanlah himpunan bebas linear terbesar dari |. Akibatnya

terdapat }\C� � | sedemikian hingga �}�, }9, … , }\ , }\C�� bebas linear. Jika

] g 1 � �, dengan penalaran yang sama, terdapat }\C9 sedemikian hingga

�}�, }9, … , }\ , }\C�, }\C9 � bebas linear. Dengan mengulangi proses yang sa-

35

ma sampai ] � � akan diperoleh �}�, }9, … , }�� bebas linear. Menurut teore-

ma 2.3.19, �}�, }9, … , }�� adalah basis dari |.

■■■■

Teorema 2.3.22

Misalkan | adalah ruang vektor berdimensi �. Jika � adalah ruang bagian

dari |, maka �IB��� ; �.

Bukti

Misalkan �~�, ~9, … , ~\� adalah basis dari �. Ada dua kemungkinan. Perta-

ma �~�, ~9, … , ~\� adalah basis dari |. Jika demikian, menurut teorema

2.3.15, ] � �. Kemungkinan lainnya, �~�, ~9, … , ~\� bukan basis dari |. Jika

demikian menurut teorema 2.3.21 terdapat ~\C�, ~\C9, … , ~� sedemikian

hingga �~�, ~9, … , ~�� adalah basis dari |. Artinya ] � �. Dengan demikian

untuk semua kasus, ] ; �. Jadi �IB�~� ; �.

■■■■

Definisi 2.3.23

Misalkan � � �}�, }9, … , }�� adalah basis ruang vektor |. Untuk setiap

} � m�}� g m9}9 g W g m�}� � |, matriks koordinat dari } relatif terhadap

basis � dinotasikan dengan �}�� dan didefinisikan dengan

�}�� � �m�m9�m��

36

Contoh 2.3.24

Telah ditunjukkan dalam contoh 2.3.12.1 bahwa 0�11� , �10�7 adalah basis dari

)9. Jika diambil �12� , � 2*1� � )9, maka �12� � 2 �11� * 1 �10� dan � 2*1� �*1 �11� g 3 �10�. Dengan demikian ��12��� � � 2*1� dan �� 2*1��� � �*13 �.

Dalam kasus khusus � adalah basis standart dari |, untuk setiap } � |

berlaku �}�� � }.

Teorema 2.3.25

Misalkan � � �}�, }9, … , }�� adalah basis dari ruang vektor |. Misalkan pu-

la � � ) dan }, ~ � |. Maka,

1. �} g ~�� � �}�� g �~��

2. ��}�� � ��}��

Bukti:

Misalkan } � ��}� g �9}9 g W g ��}� dan ~ � ��}� g �9}9 g W g ��}�.

1. } g ~ � ���}� g �9}9 g W g ��}�� g ���}� g �9}9 g W g ��}��

� ��� g ���}� g ��9 g �9�}9 g W g ��� g ���}�

Akibatnya,

�} g ~�� � ��� g ���9 g �9��� g ��� � ����9���

� g ����9���� � �}�� g �~��

2. �} � ����}� g �9}9 g W g ��}�� � ���}� g ��9}9 g W g ���}�

37

Akibatnya,

��}�� � ������9����� � � ����9���

� � ��}��

Teorema 2.3.26

Jika �� � �}�, }9, … , }�� dan �9 � �~�, ~9, … , ~�� adalah basis dari ruang

vektor |, maka terdapat tepat satu matriks N berukuran �,� sedemikian

hingga �}��F � N�}��2 untuk setiap } � |. Matriks tersebut diberikan dengan

N � ��~���F �~9��F W �~���F� Selanjutnya, matriks N tersebut dinamakan matriks transisi dari �9 ke ��.

Bukti:

Untuk setiap } � ��~� g �9~9 g W g ��~� � |, berlaku

�}��F � ���~� g �9~9 g W ��~���F

� ���~���F g ��9~9��F g W g ���~���F

� ���~���F g �9�~9��F g W g ���~���F

� ��~���F �~9��F W �~���F� ����9���� � N�}��2

Selanjutnya misalkan untuk setiap } � |, �}��F � N�}��2 dan matriks

O � � Q�� Q�9Q9� Q99 W Q��W Q9�� �Q�� Q�9 �W Q�� �

memenuhi �}��F � O�}��2. Akibatnya

38

N�}��2 � O�}��2

��~���F �~9��F W �~���F��}��2 � � Q�� Q�9Q9� Q99 W Q��W Q9�� �Q�� Q�9 �W Q�� � �}��2

Jika diambil } � ~�, maka

��~���F �~9��F W �~���F��~���2 � � Q�� Q�9Q9� Q99 W Q��W Q9�� �Q�� Q�9 �W Q��

� �~���2

��~���F �~9��F W �~���F� �10�0� � � Q�� Q�9Q9� Q99 W Q��W Q9�� �Q�� Q�9 �W Q�� � �10�0�

�~���F � �Q��Q9��Q���

Demikian juga jika berturut-turut diambil } � ~9, … , } � ~�, maka

�~9��F � �Q�9Q99�Q�9� , … , �~���F � �Q��Q9��Q��

Akhirnya diperoleh N � O. Jadi, matriks tersebut tunggal.

Contoh 2.3.27

Diberikan ruang vektor '9. Misalkan �� � 0�10� , �01�7 dan �9 � 0�10� , �11�7

adalah basis dari ruang vektor '9. Maka,

39

�10� � 1 �10� g 0 �01� dan �11� � 1 �10� g 1 �01� Dengan demikian diperoleh ��10���F

� �10� dan ��11���F� �11�. Akhirnya dipe-

roleh matriks transisi dari �9 ke �� sebagai berikut:

N � �1 10 1�

Dalam contoh 2.3.27 tampak bahwa N dapat dibalik. Invers dari N ada-

lah N�� � � 1 *10 1 �. Hal ini bukanlah suatu kebetulan. Secara umum, ma-

triks transisi adalah matriks yang dapat dibalik. Teorema di bawah ini menun-

jukkan hal tersebut.

Teorema 2.3.28

Misalkan �� � �}�, }9, … , }�� dan �9 � �~�, ~9, … , ~�� adalah basis dari

ruang vektor |. Jika N adalah matriks transisi dari �9 ke ��, maka

1. N dapat dibalik

2. N�� adalah matriks transisi dari �� ke �9

Bukti:

Misalkan N adalah matriks transisi dari �9 ke �� dan O adalah matriks transi-

si dari �� ke �9. Untuk membuktikan teorema di atas, akan ditunjukkan bah-

wa NO � . dan selanjutnya menyimpulkan bahwa O � N�� untuk melengka-

pi bukti. Misalkan

40

NO � � m�� m�9m9� m99 W m��W m9�� �m�� m�9 �W m�^ �

Berdasar teorema 2.3.26 , untuk setiap } � | berlaku �}��F � N�}��2 dan

�}��2 � O�}��F . Akibatnya

�}��2 � O�}��F

N�}��2 � NO�}��F

�}��F � � m�� m�9m9� m99 W m��W m9�� �m�� m�9 �W m�� � �}��F

Jika diambil } � }� � ��, maka diperoleh

�}���F � � m�� m�9m9� m99 W m��W m9�� �m�� m�9 �W m�� � �}���F

� 10�0 � � � m�� m�9m9� m99 W m��W m9�� �m�� m�9 �W m�� � � 10�0 � � � m��m9��m��

Demikian pula jika berturut-turut diambil } � }9, … , } � }� maka diperoleh

� 01�0 � � � m�9m99�m�9 � ; … ; � 00�1 � � � m��m9��m��

Akhirnya diperoleh

NO � � m�� m�9m9� m99 W m��W m9�� �m�� m�9 �W m�� � � � 1 00 1 W 0W 0� �0 0 �W 1 � � .

41

Berdasar teori matriks, jika NO � . maka ON � .. Jadi, N dapat dibalik dan

N�� � O.

D. Transformasi Liner

Definisi 2.4.1

Misalkan | dan � adalah ruang vektor. Transformasi linear adalah fungsi

v: | � � yang memenuhi sifat:

i. v�}� g }9� � v�}�� g v�}9� untuk setiap }�, }9 � |

ii. v��}� � �v�}� untuk setiap } � | dan � � ).

Jika | � �, maka transformasi linear v disebut endomorfisma.

Contoh 2.4.2

1. Fungsi v: )9 � )^ yang didefinisikan dengan

v�}� � � ,�,9,� g ,9�

untuk setiap } � �,�,9� � )9 adalah transformasi linear.

2. Misalkan | adalah ruang vektor. Fungsi .: | � | yang didefinisikan

dengan .�}� � } untuk setiap } � | adalah transformasi linear.

Transformasi linear seperti ini disebut transformasi identitas.

3. Misalkan untuk setiap r, } � )9, fungsi v: )9 � )9 didefinisikan

dengan v�}� � I}. Dengan demikian

i. v�r g }� � I�r g }� � Ir g I} � v�r� g v�}�

42

ii. v��}� � I�} � �I} � �v�}� dengan � � )

Dengan demikian v adalah transformasi linear. Karena v: )9 � )9,

maka v disebut endomorfisma.

Teorema 2.4.3

Misalkan | dan � adalah ruang vektor. Jika �}�, }9, … , }�� adalah basis dari

| dan ~�, ~9, … , ~� adalah sebarang vektor pada �, maka terdapat tepat satu

transformasi linear v: | � � sedemikian hingga v�}E� � ~E untuk setiap

I � 1,2, … , �.

Bukti

Misalkan }, ~ � |. Maka, } � 8�}� g 89}9 g W g 8�}� dan ~ � Q�}� gQ9}9 g W g Q�}� dengan 8E , QE � ). Definisikan v: | � � dengan

v�}� � v�8�}� g 89}9 g W g 8�}�� � 8�~� g 89~9 g W g 8�~�

Jelas bahwa v�}E� � ~E untuk setiap I. Selain itu v adalah transformasi linear

karena

1. v�} g ~� � v��8� g Q��}� g �89 g Q9�}9 g W g �8� g Q��}��

� �8� g Q��~� g �89 g Q9�~9 g W g �8� g Q��~�

� 8�~� g W g 8�~� g Q�~� g W g Q�~�

� v�}� g v�~�

2. Untuk setiap � � )

v��}� � v��8�}� g �89}9 g W g �8�}��

� �8�~� g �89~9 g W g �8�~�

� ��8�~� g 89~9 g W g 8�~�� � �v�}�

43

Selanjutnya akan dibuktikan sifat ketunggalan. Misalkan vl: | � � adalah

transformasi linear yang memenuhi vl�}E� � ~E untuk setiap I. Dengan de-

mikian

v�}� � v�8�}� g W g 8�}�� � 8�v�}�� g W g 8�v�}��

� 8�vl�}�� g W g 8�vl�}�� � vl�8�}� g W g 8�}�� � vl�}�

Definisi 2.4.4

Misalkan v: | � � adalah transformasi linear. Kernel dari v dinotasikan

dengan z1]�v� dan didefinisikan dengan

z1]�v� � �} � ||v�}� � 0�.

Sedangkan bayangan dari v dinotasikan dengan .B�v� dan didefinisikan

dengan

.B�v� � �~ � �|~ � v�}�, } � |�.

Berdasar definisi ruang bagian, dapat ditunjukkan bahwa z1]�v� ada-

lah ruang bagian dari | dan .B�v� adalah ruang bagian dari �.

Teorema 2.4.5

Misalkan | adalah ruang vektor dan v: | � � adalah transformasi linear.

Maka �IB�z1]�v�� g �IB�.B�v�� � �IB�|�

Bukti

Misalkan �}�, }9, … , }\� adalah basis dari z1]�v� dan �IB�|� � �. Pertama-

tama akan ditinjau kasus jika ] � �. Jika ] � �, maka berdasar teorema

44

2.3.20, z1]�v� � |. Akibatnya, .B�v� � �0� sehingga �IB�.B�v�� � 0.

Dengan demikian �IB�z1]�v�� g �IB�.B�v�� � �IB�|�.

Selanjutnya akan ditinjau untuk kasus ] � �. Basis �}�, }9, … , }\� dapat di-

perluas menjadi basis dari | yaitu menjadi �}�, }9, … , }\ , }\C�, … , }��. Misal-

kan v�}\CE� � ~E untuk I � 1,2, … , � * ]. Maka, untuk setiap } � 8�}� gW g 8�}� � |

v�8�}� g W g 8�}�� � v�8�}� g W g 8\}\� g v�8\C�}\C� g W g 8�}��

� v�8\C�}\C� g W g 8�}��

� 8\C�~� g W g 8�~��\

Dengan demikian .B�v� � [��~�, … , ~��\�. Kemudian misalkan m�~� gm9~9 g W g m��\~��\ � 0. Maka,

v�m�}\C� g W g m��\}�� � m�v�}\C�� g W g m��\v�}��

� m�~� g W g m��\~��\ � 0

Jadi, m�}\C� g W g m��\}� � z1]�v�. Akibatnya, m�}\C� g W g m��\}� da-

pat dinyatakan kembali dengan

m�}\C� g W g m��\}� � ��}� g W g �\}\

*��}� * W * �\}\ g m�}\C� g W g m��\}� � 0

Namun �}�, }9, … , }�� bebas linear, akibatnya m� � m9 � W � m��\ � 0.

Dengan demikian, �~�, … , ~��\� bebas linear. Akhirnya, dapat disimpulkan

bahwa �~�, … , ~��\� adalah basis dari .B�v� dan �IB�.B�v�� � � * ]. Ja-

di, �IB�z1]�v�� g �IB�.B�v�� � �IB�|�.

45

Contoh 2.4.6

1. Diberikan v: | � �, yaitu transformasi linear yang didefinisikan

dengan v�}� � 0 untuk setiap } � |. Maka, z1]�v� � | dan

.B�v� � �0�.

2. Diberikan v: | � |, yaitu transformasi linear yang didefinisikan den-

gan v�}� � 3} untuk setiap } � |. Maka, z1]�v� � �0� dan

.B�v� � |.

Teorema 2.4.7

Misalkan v: | � � adalah transformasi linear. Transformasi linear v injektif

jika dan hanya jika z1]�v� � �0�.

Bukti

�<�

Misalkan v injektif dan } � z1]�v�. Maka v�}� � 0 � v�0�. Karena v in-

jektif, maka } � 0. Jadi, z1]�v� � �0�.

�=�

Misalkan z1]�v� � �0� dan v�}�� � v�}9� untuk setiap }�, }9 � |. Maka,

v�}�� * v�}9� � 0

v�}� * }9� � 0

Karena z1]�v� � �0�, maka }� * }9 � 0. Akibatnya, }� � }9. Jadi, v injek-

tif.

46

Contoh 2.4.8

Transformasi linear dalam contoh 2.4.6.2 adalah transformasi linear yang bi-

jektif.

Teorema 2.4.9

Jika v: | � � adalah transformasi linear yang dapat dibalik dan v�� adalah

invers dari v, maka v�� juga merupakan transformasi linear.

Bukti:

Misalkan r, ~ � � dan � � ). Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa

v���r g ~� � v���r� g v���~�.

v�v���r� g v���~�� � v�v���r�� g v�v���~��

v�v���r� g v���~�� � r g ~

v�� bv�v���r� g v���~��c � v���r g ~�

v���r� g v���~� � v���r g ~�

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa v����r� � �v���r�

v��v���r�� � �v�v���r��

v��v���r�� � �r

v�� bv��v���r��c � v����r�

�v���r� � v����r�

Jadi, v�� adalah transformasi linear.

47

Teorema 2.4.10

Jika v: | � | adalah endomorfisma, maka ketiga pernyataan berikut ekivalen

1. v dapat dibalik

2. z1]�v� � �0�

3. .B�v� � |

Bukti

�1� < �2�

Telah dibuktikan dalam pembuktian teorema 2.4.7.

�2� < �3�

Misalkan z1]�v� � �0�. Maka �IB�z1]�v�� � 0. Dengan menggunakan

teorema 2.4.5, �IB�.B�v�� � �IB�|� * �IB�z1]�v�� � �IB�|�. Berda-

sar teorema 2.3.20. .B�v� � |.

�3� < �1�

Misalkan .B�v� � |. Maka, untuk setiap } � |, ada ~ � | sedemikian

hingga v�~� � }. Jadi v surjektif. Kemudian berdasar teorema 2.4.5 dan

�IB�z1]�v�� � �IB�|� * �IB�.B�v�� � 0. Jadi, z1]�v� � �0�. Berdasar

teorema 2.4.7, v injektif. Karena v injektif dan surjektif, maka v dapat diba-

lik.

Definisi 2.4.11

Misalkan v�: | � | dan v9: | � | masing-masing adalah endomorfisma dan

48

� � ). Untuk setiap } � |, fungsi-fungsi v� g v9, v�v9, dan �v� didefinisikan

dengan

�v� g v9��}� � v��}� g v9�}�

v�v9�}� � v��v9�}��

��v���}� � �v��}�

Teorema 2.4.12

Jika v�: | � | dan v9: | � | masing-masing adalah endomorfisma, maka

fungsi-fungsi v� g v9, v�v9, dan �v� adalah endomorfisma.

Bukti

Misalkan }�, }9 � | dan �, � � ). Pertama-tama akan dibuktikan bahwa

�v� g v9� adalah endomorfisma. Jelas bahwa v� g v9: | � |. Kemudian,

i. �v� g v9��}� g }9� � v��}� g }9� g v9�}� g }9�

� v��}�� g v��}9� g v9�}�� g v9�}9�

� v��}�� g v9�}�� g v��}9� g v9�}9�

� �v� g v9��}�� g �v� g v9��}9�

ii. �v� g v9���}�� � v���}�� g v9��}��

� �v��}�� g �v9�}��

� ��v��}�� g v9�}���

� ��v� g v9��}��

Jadi, v� g v9 adalah endomorfisma. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa v�v9

adalah endomorfisma. Jelas bahwa v�v9: | � |. Kemudian,

i. v�v9�}� g }9� � v��v9�}� g }9��

49

� v��v9�}�� g v9�}9��

� v��v9�}��� g v��v9�}9��

� v�v9�}�� g v�v9�}9�

ii. v�v9��}�� � v��v9��}���

� v���v9�}���

� �v��v9�}���

� �v�v9�}��

Jadi, v�v9 adalah endomorfisma. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa �v�

adalah endomorfisma. Jelas bahwa �v9: | � |. Kemudian,

i. ��v���}� g }9� � ��v��}� g }9��

� ��v��}�� g v��}9��

� ��v��}��� g ��v��}9��

� ��v���}�� g ��v���}9�

ii. ��v����� � ��v���}���

� ���v��}���

� ���v��}���

� ���v���}��

Jadi, �v� adalah endomorfisma.

Contoh 2.4.13

Diberikan transformasi linear v�: '9 � '9 dan v9: '9 � '9 yang berturut-

50

turut didefinisikan dengan v� b�,K�c � � , g K, * 2K � dan v9 b�,K�c � � , * 2K*2, g 4K� untuk setiap �,K� � '9. Maka, transformasi linear v� g v9, v�v9 dan 3v� bertu-

rut-turut didefinisikan dengan

�v� g v9� b�,K�c � v� b�,K�c g v9 b�,K�c � � , g K, * 2K � g � , * 2K*2, g 4K�

� � 2, * K*, g 2K� v�v9 b�,K�c � v� �v9 b�,K�c� � v� V� , * 2K*2, g 4K�X

� � �, * 2K� g �*2, g 4K��, * 2K� * 2�*2, g 4K�� � � *, g 2K5, * 10K� �3v�� b�,K�c � 3 � , g K, * 2K � � � 3, g 3K3, * 6K �

Teorema 2.4.14

Misalkan v: | � | adalah endomorfisma. Jika � � �}�, }9, … , }�� adalah ba-

sis dari |, maka terdapat secara tunggal matriks �v�� berukuran � � � sede-

mikian hingga �v�}��� � �v���}�� untuk setiap } � |. Matriks tersebut di-

berikan dengan

�v�� � ��v�}���� �v�}9��� W �v�}����� Selanjutnya matriks tersebut dinamakan matriks dari v relatif terhadap basis

�.

Bukti

Untuk setiap } � 8�}� g 89}9 g W g 8�}� � |,

51

�v���}�� � ��v�}���� �v�}9��� W �v�}����� �8�89�8��

� 8��v�}���� g 89�v�}9��� g W g 8��v�}����

� �8�v�}�� g 89v�}9� g W g 8�v�}����

� �v�8�}�� g v�89}9� g W g v�8�}����

� �v�8�}� g 8�}9 g W g 8�}����

� �v�}���

Sekarang misalkan untuk setiap } � |, �v�}��� � �v���}�� dan matriks

O � � Q�� Q�9Q9� Q99 W Q��W Q9�� �Q�� Q�9 �W Q�� �

memenuhi �v�}��� � O�}��. Akan ditunjukkan bahwa �v�� � O untuk

membuktikan ketunggalan matriks dari v relatif terhadap basis �. Selanjut-

nya diperoleh

�v���}�� � O�}��

��v�}���� �v�}9��� W �v�}������}�� � � Q�� Q�9Q9� Q99 W Q��W Q9�� �Q�� Q�9 �W Q�� � �}��

Jika diambil } � }�, maka

��v�}���� �v�}9��� W �v�}������}��� � � Q�� Q�9Q9� Q99 W Q��W Q9�� �Q�� Q�9 �W Q�� � �}���

��v�}���� �v�}9��� W �v�}����� � 10�0 � � � Q�� Q�9Q9� Q99 W Q��W Q9�� �Q�� Q�9 �W Q�� � � 10�0 �

52

�v�}���� � �Q��Q9��Q���

Demikian juga jika berturut-turut diambil } � }9, … , } � }�, maka

�v�}9��� � �Q�9Q99�Q�9� , … , �v�}���� � �Q��Q9��Q��

Akhirnya diperoleh

�v�� � ��v�}1��� �v�}2��� W �v�}����� �v�� � � Q�� Q�9Q9� Q99 W Q��W Q9�� �Q�� Q�9 �W Q��

� � O

Jadi, matriks tersebut tunggal.

Contoh 2.4.15

1. Diberikan endomorfisma v: '9 � '9 yang didefinisikan dengan

v b�,K�c � � , g K, * 2K�. Misalkan �� � 0�10� , �01�7 dan �9 � 0�10� , �11�7

adalah basis dari |. Maka

v b�10�c � �11� � 1 �10� g 1 �01� v b�01�c � � 1*2� � 1 �10� * 2 �01� v b�10�c � �11� � 0 �10� g 1 �11� v b�11�c � � 2*1� � 3 �10� * 1 �11�

53

Dengan demikian diperoleh matriks dari v relatif terhadap basis ��

dan matriks dari v relatif terhadap basis �9 sebagai berikut:

�v��F � � 1 1 1 *2 � dan �v��2 � � 0 31 *1 � 2. Misalkan | adalah ruang vektor berdimensi �. Fungsi .: | � | yang

didefinisikan dengan v�}� � } untuk setiap } � | adalah endomor-

fisma. Untuk sebarang basis �, �v�� � .� yaitu matriks identitas be-

rukuran � � �.

Teorema 2.4.16

Misalkan � � �}�, }9, … , }�� adalah basis dari ruang vektor |. Misalkan pu-

la v�: | � | dan v9: | � | masing-masing adalah endomorfisma. Maka,

1. �v� g v9�� � �v��� g �v9��

2. �v�v9�� � �v����v9��

3. ��v��� � ��v��� �� � )�

Bukti:

Misalkan �v��� adalah matriks dari v� relatif terhadap basis � dan �v9�� ada-

lah matriks dari v9 relatif terhadap basis �. Maka �v��}��� � �v����}�� dan

�v9�}��� � �v9���}�� untuk setiap } � |.

1. Untuk setiap } � |,

��v� g v9��}��� � �v��}� g v9�}���

� �v��}��� g �v9�}���

� �v����}�� g �v9���}��

� ��v��� g �v9����}��

54

Karena sifat ketunggalan matriks dari v� g v9 relatif terhadap basis �,

maka dapat disimpulkan bahwa �v� g v9�� � �v��� g �v9��.

2. Untuk setiap } � |

�v�v9�}��� � ¡v��v9�}��¢�

� �v����v9�}���

� �v����v9���}��

Karena sifat ketunggalan matriks dari v�v9 relatif terhadap basis �,

maka dapat disimpulkan bahwa �v�v9�� � �v����v9��.

3. Untuk setiap } � |,

���v���}��� � ��v��}���

� ��v��}���

� ��v����}��

Karena sifat ketunggalan matriks dari �v� relatif terhadap basis �,

maka dapat disimpulkan bahwa ��v��� � ��v���.

Teorema 2.4.17

Diberikan ruang vektor | � )�. Jika N adalah matriks atas ) berukuran

� � �, maka fungsi v: | � | yang didefinisikan dengan v�}� � N} untuk se-

tiap } � | adalah endomorfisma.

Bukti:

Misalkan }, ~ � | dan � � )

1. v�} g ~� � N�} g ~� � N} g N~ � v�}� g v�~�

55

2. v��}� � N��}� � ��N}� � �v�}�

Jadi, v adalah endomorfisma.

Contoh 2.4.18

Misalkan N � � 1 *13 2 �. Maka, v: )9 � )9 yang didefinisikan dengan

v b�,�,9�c � N �,�,9� � � 1 *13 2 � �,�,9� � � ,� * ,93,� g 2,9� untuk setiap �,�,9� � )9

adalah endomorfisma.

Teorema 2.4.19

Misalkan v: | � | adalah endomorfisma dan � � �}�, }9, … , }�� adalah ba-

sis dari |. Transformasi linear v dapat dibalik jika dan hanya jika �v�� dapat

dibalik. Selanjutnya, jika v dapat dibalik maka �v���� � ��v�����.

Bukti:

�<�

Misalkan v dapat dibalik dan v�� adalah invers dari v. Maka

.� � �.�� � �vv���� � �v���v����

Jadi, �v�� dapat dibalik dan ��v����� � �v����.

�=�

Misalkan N � �v�� dapat dibalik. Dengan demikian terdapat matriks O sede-

mikian hingga NO � ON � .�. Selanjutnya berdasar teorema 2.4.3. terdapat

transformasi linear v��: | � | sedemikian hingga untuk setiap � � 1,2, … , �

dan v��

56

v���}�� � Q�,�}� g Q9,�}9 g W g Q�,�}�

v���}9� � Q�,9}� g Q9,9}9 g W g Q�,9}�

� v���}�� � Q�,�}� g Q9,�}9 g W g Q�,�}�

dengan QE,G adalah entri baris ke- I kolom ke-J pada matriks O untuk setiap

I � 1,2, … , � dan J � 1,2, … , �. Dengan demikian �v���� � O. Akibatnya

�vv���� � �v���v���� � NO � .� � �.£��

Jadi, vv�� � .£.

Teorema 2.4.20

Misalkan �� � �}�, }9, … , }�� dan �9 � �~�, ~9, … , ~�� adalah basis dari

ruang vektor |. Misalkan pula N adalah matriks transisi dari �9 ke ��. Jika

v: | � | adalah endomorfisma, maka �v��F � N�v��2N��.

Bukti:

Untuk membuktikan teorema ini, perhatikan kembali teorema 2.4.14 dan teo-

rema 2.3.26. Berdasar teorema 2.4.14, untuk setiap } � | berlaku �v�}���F � �v��F�}��F dan �v�}���2 � �v��2�}��2. Kemudian karena N ada-

lah matriks transisi dari �9 ke ��, maka berdasar teorema 2.3.28, N�� adalah

matriks transisi dari �� ke �9. Berdasar teorema 2.3.26 diperoleh pula

�}��F � N�}��2 dan �}��2 � N���}��F. Dengan informasi ini, dapat diperoleh

�}��2 � N���}��F

�v��2�}��2 � �v��2N���}��F

57

�v�}���2 � �v��2N���}��F

N�v�}���2 � N�v��2N���}��F

�v�}���F � N�v��2N���}��F

Berdasar sifat ketunggalan matriks dari v relatif terhadap basis ��, maka

N�v��2N�� � �v��F.

Contoh 2.4.21

Misalkan | � '9. Misalkan pula �� � 0�10� , �01�7 dan �9 � 0�10� , �11�7 adalah

basis dari ruang vektor |. Dari contoh 2.3.27 dan teorema 2.3.28 matriks

transisi dari �9 ke �� dan matriks transisi dari �� ke �9 berturut-turut adalah

N � �1 10 1� dan N�� � � 1 *10 1 � Kemudian pandang endomorfisma v: | � | yang didefinisikan dengan

v b�,K�c � � , g K, * 2K�. Dalam contoh 2.4.15.1 telah ditunjukkan bahwa

�v��F � � 1 1 1 *2 � dan �v��2 � � 0 31 *1 �. Seperti dinyatakan dalam teorema

2.4.20, berlaku

�v��F � � 1 1 1 *2 � � �1 10 1� � 0 31 *1 � � 1 *10 1 � � N�v��2N��

Definisi 2.4.22

Misalkan | adalah ruang vektor dan /�, /9, … , /\ berturut-turut adalah ruang

bagian dari |. Jumlahan /� g /9 g W g /\ � ∑ /E\E¥� didefinisikan dengan

58

¦ /E\

E¥� � �r� g r9 g W g r\|rE � /E; I � 1,2, … , ]� Dapat ditunjukkan bahwa ∑ /E\E¥� adalah ruang bagian dari |.

Definisi 2.4.23

Misalkan | adalah ruang vektor dan /�, /9, … , /\ berturut-turut adalah ruang

bagian dari |. Jumlahan /� g /9 g W g /\ disebut jumlahan langsung inter-

nal dari /�, /9, … , /\ jika /G e ∑ /EE§G � �0� untuk setiap J � 1,2, … , ]. Jum-

lahan langsung internal dari /�, /9, … , /\ dinotasikan /� ¨ /9 ¨ W ¨ /\.

Contoh 2.4.24

1. Misalkan �}�, }9, … , }�� adalah basis dari ruang vektor | dan

/E � [��}E� untuk setiap I � 1,2, … , �. Maka, | � /� ¨ /9 ¨ … ¨/�.

2. Misalkan | adalah ruang vektor berdimensi � dan / adalah ruang ba-

gian dari | dengan basis �l � �}�, }9, … , }#�. Himpunan basis �l da-

pat diperluas menjadi basis � � �}�, }9, … , }# , }#C�, }#C9, … , }�� dari

| dengan menambahkan sejumlah vektor yang sesuai. Jika � �[��}#C�, }#C9, … , }��, maka | � / ¨ �.

Teorema 2.4.25

Misalkan | adalah ruang vektor dan /�, /9, … , /\ berturut-turut adalah ruang

bagian dari |. Pernyataan-pernyataan di bawah ini ekivalen.

59

1. | � /� ¨ /9 ¨ … ¨ /\

2. | � ∑ /�\E¥� dan untuk setiap r�, r9, … , r\ dengan rE � /E �I �1,2, … , ]�, jika r� g r9 g W g r\ � 0 maka rE � 0 untuk setiap I.

3. Setiap } � | dapat dinyatakan secara tunggal sebagai } � r� g r9 gW g r\. Dalam hal ini, rE � /E untuk setiap I � 1,2, … , ].

4. Jika �E adalah basis dari /E untuk setiap I � 1,2, … , ], maka � �© �E\E¥� adalah basis dari |.

Bukti:

�1� < �2�

Misalkan | � /� ¨ /9 ¨ … ¨ /\. Berdasar definisi jelas bahwa | �∑ /E\E¥� . Selanjutnya misalkan r� g r9 g W g r\ � 0 dengan rE �/E �1 ; I ; ]�. Dengan demikian untuk setiap I

*rE � ¦ rGG§E �J � 1,2, … , ]�

Akibatnya rE � ∑ /GG§E . Namun /E e ∑ /GG§E � �0�. Akibatnya rE � 0 untuk

setiap I. �2� < �3�

Misalkan } � |. Misalkan pula } � r� g r9 g W g r\ dan } � ~� g ~9 gW g ~\ dengan rE , ~E � /E �I � 1,2, … , ]�. Dengan demikian

r� g r9 g W g r\ � ~� g ~9 g W g ~\

�r� * ~�� g �r9 * ~9� g W g �r\ * ~\� � 0

60

Namun �rE * ~E� � /E untuk setiap I. Dengan demikian berdasar asumsi,

rE * ~E � 0. Akibatnya rE � ~E. Jadi, } � | dinyatakan secara tunggal seba-

gai } � r� g r9 g W g r\.

�3� < �4�

Misalkan setiap } � | dapat dinyatakan secara tunggal sebagai } � r� gr9 g W g r\ �rE � /E� dan �E adalah basis dari /E untuk setiap I � 1,2, … , ].

Akan dibuktikan bahwa � � © �E\E¥� adalah basis dari |.

Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa � � © �E\E¥� merentang |. Perhatikan

bahwa �E adalah basis dari /E. Dengan demikian setiap vektor dalam /E dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam basis �E. Na-

mun } � r� g r9 g W g r\ untuk setiap } � |. Dengan demikian setiap

} � | dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam

� � © �E\E¥� . Jadi, � � © �E\E¥� merentang |.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa � � © �E\E¥� bebas linear. Untuk setiap

I, tuliskan vektor-vektor dalam basis �E dengan }EG �J � 1,2, … , BE�. Misal-

kan

¦ ¦ 8EG}EGA6

G¥�\

E¥� � 0 �8EG � )�

Selanjutnya untuk setiap I tuliskan

~E � ¦ 8EG}EGA6

G¥�

Dengan demikian

61

¦ ~E\

E¥� � ~� g ~9 g W g ~\ � 0

Selain itu, ~E � [���E� � /E. Ingat bahwa 0 � /E. Dengan demikian persa-

maan di atas dapat dituliskan kembali dengan

~� g ~9 g W g ~\ � 0 g 0 g W g 0����������� !�"!# \ � 0

Dengan demikian ~E � 0 untuk setiap I. Akibatnya 8EG � 0. Jadi, � �© �E\E¥� bebas linear. Karena � � © �E\E¥� bebas linear dan merentang | ma-

ka � � © �E\E¥� adalah basis dari |.

�4� < �1�

Misalkan �E adalah basis dari /E untuk setiap I � 1,2, … , ] dan � � © �E\E¥�

adalah basis dari |. Akan ditunjukkan bahwa | � /� ¨ /9 ¨ … ¨ /\.

Jelas bahwa

| � [���� d �9 d … d �\� � [����� g [���9� g W g [���\� � ¦ /\\

E¥�

Selanjutnya dengan metode kontradiksi akan ditunjukkan bahwa /G e∑ /EE§G � �0� untuk setiap I dan J dengan J � 1,2, … , ]. Misalkan } _ 0 dan

} � /G e ∑ /EE§G . Dengan demikian } � /G � [���G� dan } � ∑ /EE§G �[��© �EE§G �. Jadi, } dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-

vektor dalam basis � � © �E\E¥� dengan dua cara. Hal ini kontradiksi dengan

teorema 2.3.13. Jadi, /G e ∑ /EE§G � �0�. Karena | � ∑ /\\E¥� dan /G e ∑ /EE§G � �0�, maka | � /� ¨ /9 ¨ … ¨/\. ■■■■

62

Teorema 2.4.26

Misalkan | adalah ruang vektor, / dan � adalah ruang bagian dari | dan

| � / ¨ �. Fungsi ª: | � | yang didefinisikan dengan ª�r g ~� � r un-

tuk setiap r g ~ � | adalah endomorfisma. Lebih jauh, .B�ª� � /,

z1]�ª� � � dan ªª � ª.

Bukti

Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa fungsi ª well-defined, yaitu akan di-

tunjukkan bahwa untuk setiap }�, }9 � |, jika }� � }9 maka ª�}�� � ª�}9�.

Misalkan }�, }9 � | dan }� � }9. Karena | � / ¨ �, setiap } � | dapat

dinyatakan dengan } � r g ~ dengan satu cara. Akibatnya, }� � }9 � r g~ untuk suatu r � / dan ~ � �. Dengan demikian

ª�}�� � ª�r g ~� � ª�}9�

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ª adalah endomorfisma. Misalkan

}� � r� g ~� � |, }9 � r9 g ~9 � | dan � � ).

ª�}� g }9� � ª��r� g ~�� g �r9 g ~9��

� ª��r� g r9� g �~� g ~9��

� r� g r9

� ª�}�� g ª�}9�

ª��}�� � ª���r� g ~���

� ª��r� g �~��

� �r�

� � ª�}��

Jadi, ª adalah endomorfisma.

63

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa .B�ª� � /. Jelas bahwa .B�ª� « /.

Misalkan r � /. Perhatikan bahwa r � ª�r� untuk setiap r � /. Dengan

demikian / « .B�ª�. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa .B�ª� � /.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa z1]�ª� � �. Jika ~ � �, maka

ª�~� � 0. Dengan demikian, ~ � z1]�ª�. Jadi, � « z1]�ª�. Selanjutnya

jika , � z1]�ª�, maka ª�,� � 0. Namun , � | � / ¨ �. Akibatnya

, � r g ~ untuk suatu r � / dan ~ � �. Selanjutnya diperoleh

ª�,� � ª�r g ~� � r � 0

Dengan demikian , � r g ~ � 0 g ~ � ~ � �. Jadi, z1]�ª� « �. Akhir-

nya dapat disimpulkan bahwa z1]�ª� � �

Terakhir akan ditunjukkan bahwa ªª � ª. Misalkan } � r g ~ � |.

ªª�r g ~� � ª�ª�r g ~�� � ª�r� � ª�r g ~�

Jadi, ªª � ª.

■■■■

Definisi 2.4.27

Misalkan | adalah ruang vektor. Suatu endomorfisma ª: | � | disebut

proyeksi dari | jika ªª � ª.

Contoh 2.4.28

Diberikan endomorfisma ª: '9 � '9 yang didefinisikan dengan

ª b�,K�c � �2, g 2K*, * K � untuk setiap �,K� � '9. Selanjutnya perhatikan bahwa

64

ªª b�,K�c � ª V�2, g 2K*, * K �X � �2�2, g 2K� g 2�*, * K�*�2, g 2K� * �*, * K� � � �4, g 4K g *2, * 2K*2, * 2K g , g K � � �2, g 2K*, * K � � ª b�,K�c

Jadi, ª adalah proyeksi dari |.

Teorema 2.4.29

Jika ª adalah proyeksi dari ruang vektor |, maka | � .B�ª� ¨ z1]�ª�.

Bukti

Misalkan } � |. Perhatikan bahwa } � ª�}� g �} * ª�}��. Jelas bahwa

ª�}� � .B�ª�. Selain itu, } * ª�}� � z1]�ª� karena

ª�} * ª�}�� � ª�}� * ª�ª�}�� � ª�}� * ª�}� � 0

Jadi, | � .B�ª� g z1]�ª�. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa .B�ª� ez1]�ª� � �0�. Jelas bahwa �0� « .B�ª� e z1]�ª�. Selanjutnya misalkan

} � .B�ª� e z1]�ª�. Karena } � .B�ª�, maka ada , � | sedemikian hing-

ga ª�,� � }. Dengan demikian diperoleh

ª�,� � }

ª�ª�,�� � ª�}�

ª�,� � ª�}�

} � ª�}�

Namun } � z1]�ª�, akibatnya ª�}� � } � 0. Jadi, .B�ª� e z1]�ª� « �0�. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa .B�ª� e z1]�ª� � �0�. Berdasar defini-

si jumlahan langsung internal, | � .B�ª� ¨ z1]�ª�.

65

Definisi 2.4.30

Misalkan | adalah ruang vektor berdimensi � dan o: | � | adalah endomor-

fisma. Skalar ¬ disebut nilai eigen dari o jika o�}� � ¬} untuk suatu vektor

tak nol } � |. Selanjutnya vektor } demikian disebut vektor eigen dari o

yang terkait nilai eigen ¬.

Perhatikan bahwa persamaan o�}� � ¬} dapat dituliskan kembali seba-

gai berikut.

o�}� � ¬}

o�}� * ¬} � 0

o�}� * ¬.£�}� � 0

o�}� * �¬.£��}� � 0

�o * ¬.£��}� � 0

Dengan demikian ¬ adalah nilai eigen dari o jika dan hanya jika

z1]�o * ¬.£� _ �0�. Dengan kata lain ¬ adalah nilai eigen dari o jika dan

hanya o * ¬.£ tidak dapat dibalik. Selanjutnya ambil sebarang basis � dari |.

Berdasar teorema dalam aljabar linear, o * ¬.£ tidak dapat dibalik jika dan

hanya jika �o * ¬.£�� matriks singular. Berdasar teorema dalam aljabar linear

pula �o * ¬.£�� matriks singular jika dan hanya jika �1q��o * ¬.£��� � 0.

Dengan demikian nilai eigen dari o merupakan skalar ¬ yang memenuhi per-

samaan

�1q��o�� * ¬.�� � 0

66

Menyelesaikan persamaan ini sama artinya dengan menemukan akar

dari suatu polinomial berderajat �. Karena setiap polinomial tak konstan den-

gan koefisien dalam ) pasti memiliki akar dalam ), akibatnya dapat ditarik

kesimpulan sebagai berikut:

Teorema 2.4.31

Misalkan | adalah ruang vektor tak nol dan o adalah endomorfisma dari |.

Endomorfisma o pasti memiliki suatu nilai eigen ¬.

67

BAB III

REPRESENTASI GRUP BERHINGGA DAN MODUL-��

A. Representasi Grup Berhingga

Representasi dari grup berhingga � merupakan aturan penyajian �

sebagai grup matriks. Secara formal, representasi grup berhingga �

merupakan homomorfisma dari � ke grup linear umum. Subbab ini akan

membahas representasi grup berhingga beserta contohnya secara detail. Akan

diperkenalkan pula konsep representasi ekivalen.

Definisi 3.1.1

Misalkan � adalah grup berhingga dan � adalah lapangan kompleks.

Representasi dari � atas lapangan kompleks � adalah homomorfisma

�: � � ��, �� untuk suatu �. Selanjutnya disebut derajat

representasi �.

Dengan demikian, fungsi �: � � ��, �� adalah representasi jika dan

hanya jika ���� � ��� ��� untuk setiap �, � �. Jika � adalah

representasi, maka �1� � �� dan ����� � ������� untuk setiap � �.

Dalam pembahasan selanjutnya, representasi dari � atas lapangan

kompleks � akan disebut dengan representasi dari � saja.

68

Contoh 3.1.2

1. Diberikan �� � ��|�� � 1� dan matriks � dan � yang didefinisikan

dengan

� � 1 0 0 1 " dan � � #5 12 #2 5 " Perhatikan bahwa

�� � #5 12 #2 5 "� � 1 0 0 1 " � � Fungsi � & �� � ��2, �� yang didefinisikan sebagai

�1� � � dan ��� � �

adalah representasi dari �� berderajat dua. Uraian di bawah ini

menunjukkan bahwa � adalah homomorfisma.

��1�1�� � �1� � � � �� � �1��1�

�1�� � ��� � � � �� � �1���� ��1� � ��� � � � �� � ����1�

���� � ���� � �1� � � � �� � ������

2. Jika � adalah grup dan �, maka fungsi � & � � ��, �� yang

didefinisikan dengan ��� � �� untuk setiap � � adalah

representasi dari � berderajat karena ������ � ���� � �� ����� untuk setiap �, � �.

3. Diberikan grup dihedral '( � )1, �, ��, �*, +, +�, +��, +�* , dan

matriks tak singular

� � 0 1#1 0 " dan - � 1 00 #1 "

69

Dapat ditunjukkan bahwa �. � -� � �� dan -���- � ���. Seperti

telah ditunjukkan dalam contoh 2.2.3.2, fungsi � & � � ��2, �� yang

didefinisikan dengan ��+/�0� � -/�0 untuk setiap +/�0 '( dengan

1 � 0, 1 dan 2 � 0, 1, 2, 3 adalah homomorfisma. Dengan demikian �

adalah representasi dari '(. Derajat dari � adalah 2. Berikut ini adalah

daftar matriks ��+/�0�.

�1� � 1 00 1 " ��� � 0 1 #1 0 " ���� � #1 0 0 #1 " ��*� � 0 #1 1 0 " �+� � 1 0 0 #1 " �+�� � 0 11 0 " �+��� � #1 0 0 1 " �+�*� � 0 #1#1 0 "

Selanjutnya akan dijelaskan cara mengonstruksi representasi dari se-

buah representasi yang telah diketahui. Misalkan � & � � ��, �� adalah re-

presentasi dari � dan 4 adalah matriks tak singular berukuran 5 . Untuk

setiap �, - ��, �� berlaku

4���4�4��-4� � 4���-4

Persamaan ini dapat digunakan untuk mengonstruksi representasi 6 dari

�, yaitu dengan mendefinisikan 6: � � ��, �� dengan

6�� � 4�����4

untuk setiap � �. Sekarang akan dibuktikan bahwa 6 adalah representasi.

Untuk setiap �, � �,

70

6��� � 4������4

� 4��������4

� 4�����44�����4

� 6��6��

Jadi, 6 adalah representasi dari �.

Definisi 3.1.3

Misalkan � & � � ��, �� dan 6 & � � ��7, �� adalah representasi dari �.

Representasi � ekivalen 6 jika dan hanya jika � 7 dan terdapat matriks tak

singular 4 berukuran 5 sedemikian hingga 6�� � 4�����4 untuk se-

tiap � �.

Teorema 3.1.4

Misalkan �: � � ��, ��, 6: � � ��7, �� dan 8: � � ��9, �� masing-

masing adalah representasi dari �. Maka,

1. Representasi � ekivalen �.

2. Jika � ekivalen 6, maka 6 ekivalen �.

3. Jika � ekivalen 6 dan 6 ekivalen 8, maka � ekivalen 8.

Bukti

Misalkan � �.

1. Jelas bahwa � dan terdapat matriks 4 yang memenuhi

��� � 4�����4

yaitu dengan memilih 4 � ��. Jadi, � ekivalen �.

71

2. Diketahui bahwa � ekivalen 6. Dengan demikian � 7 dan terdapat

matriks 4 yang memenuhi 6�� � 4�����4. Jelas bahwa 7 �

dan terdapat matriks 4� yang memenuhi ��� � 4���6��4�, yaitu

dengan memilih 4� � 4��. Jadi, 6 ekivalen �.

3. Karena � ekivalen 6 maka � 7 dan terdapat matriks 4 yang meme-

nuhi 6�� � 4�����4. Demikian pula karena 6 ekivalen 8 maka

7 � 9 dan terdapat matriks 4� yang memenuhi 8�� � 4���6��4� .

Karena � 7 dan 7 � 9 maka � 9. Kemudian pilih 4� � 44�.

Akibatnya:

4������4� � 44�������44�

� 4���4�����44�

� 4���6��4�

� 8��

Jika dipilih 4� � 44�, maka diperoleh 8�� � 4������4�. Jadi, �

ekivalen 8.

Contoh 3.1.5

Diberikan grup �� � ��|�� � 1� dan matriks tak singular

� � #5 12 #2 5 " Dapat ditunjukkan bahwa �� � �. Akan dibuat representasi 6: �� � ��2, ��

dari representasi �: �� � ��2, �� yang didefinisikan dengan �1� � � dan

��� � �.

72

Pilih matriks 4 � 2 #3 1 #1 ". Maka diperoleh, 4�� � #1 3 #1 2 ". Dengan de-

mikian diperoleh representasi 6: �� � ��2, �� yang didefinisikan dengan

61� � 4���4 � #1 3 #1 2 " 1 0 0 1 " 2 #3 1 #1 " � 1 0 0 1 " 6�� � 4���4 � #1 3 #1 2 " #5 12 #2 5 " 2 #3 1 #1 " � 1 0 0 #1 " Berdasar definisi 3.1.3, 6 ekivalen �.

Definisi 3.1.6

Representasi �: � � ��1, �� yang didefinisikan dengan ��� � 1 untuk se-

tiap � � disebut representasi trivial.

Definisi 3.1.7

Representasi �: � � ��, �� dikatakan sesuai jika :;<�� � )1, = �.

Teorema di bawah ini memberikan syarat cukup dan perlu untuk me-

nentukan apakah suatu representasi adalah sesuai atau tidak.

Teorema 3.1.8

Misalkan � adalah grup berhingga dan �: � � ��, �� adalah representasi

dari �. Representasi � sesuai jika dan hanya jika �7�� > �.

Bukti:

?�

73

Karena � adalah homomorfisma, maka menurut teorema 2.2.7 �/:;<�� >�7��. Karena � sesuai, maka :;<�� � )1,. Akibatnya �/:;<�� ��/)1, � �. Jadi, � > �7��.

A�

Misalkan �7�� > �. Menurut teorema 2.2.7, �/:;<�� > �7��. Jadi,

�/:;<�� > �. Akibatnya, |�/:;<��| � |�|. Namun |�/:;<��| �|�|/|:;<��|. Akibatnya, |�| � |�|/|:;<��|. Sehingga, |:;<��| � 1. Ja-

di, :;<�� � )1,. Dengan demikian � sesuai.

Contoh 3.1.9

1. Representasi dalam contoh 3.1.2.3, yaitu representasi � dari grup di-

hedral '( yang didefinisikan dengan

��+/�0� � 1 0 0 #1"/ 0 1 #1 0 "0

untuk 1 � 0, 1 dan 2 � 0, 1, 2, 3, adalah sesuai karena :;<�� � )1,. Hal tampak dari daftar matriks ��+/�0� dalam contoh tersebut.

2. Representasi trivial dari grup � adalah sesuai jika dan hanya jika

� � )1,.

Teorema 3.1.10

Misalkan � dan 6 adalah representasi dari grup �. Jika � sesuai dan � ekiva-

len 6, maka 6 sesuai.

74

Bukti:

Harus ditunjukkan bahwa :;<6� � )1,. Karena � ekivalen 6, maka terdapat

matriks tak singular 4 sedemikian hingga 6�� � 4�����4 untuk setiap

� �. Selanjutnya, karena � sesuai, maka :;<�� � )1,. Misalkan � :;<6�. Maka 6�� � � � 4�����4. Selanjutnya diperoleh

� � 4�����4

4 � ���4

� � ���

Karena :;<�� � )1,, akibatnya � � 1. Dengan demikian :;<6� � )1,. Jadi, 6 sesuai.

B. Modul-��

Dalam subbab ini akan diperkenalkan konsep modul-�� dan ditunjuk-

kan hubungan antara modul-�� dan representasi dari �.

Definisi 3.2.1

Misalkan B adalah ruang vektor dan � adalah grup. Ruang vektor B disebut

modul-�� jika perkalian �C terdefinisi untuk setiap C B dan � � serta

memenuhi kondisi berikut:

Untuk setiap D, C B, E � dan �, � �,

1. �C B

2. ���C � ��C�

3. 1C � C

75

4. �EC� � E�C�

5. �D F C� � �D F �C

Perhatikan bahwa kondisi 1, 4 dan 5 dalam definisi di atas menjamin

bahwa untuk setiap � �, fungsi GH: B � B yang didefinisikan dengan

GHC� � �C untuk setiap C � adalah endomorfisma.

Definisi 3.2.2

Misalkan B adalah modul-�� dan I basis dari B. Untuk setiap � �, ma-

triks dari GH relatif terhadap I dinotasikan dengan J�KI.

Hubungan antara modul-�� dengan representasi dari � adalah sebagai

berikut.

Teorema 3.2.3

1. Jika �: � � ��, �� adalah representasi dari � dan B � ��, maka B me-

rupakan modul-�� jika untuk setiap C B dan � � perkalian �C dide-

finisikan dengan �C � ���C. Selain itu terdapat basis I dari B sedemi-

kian hingga ��� � J�KI untuk setiap � �.

2. Jika B adalah modul-�� dan I adalah basis dari B, maka fungsi L yang

didefinisikan dengan L�� � J�KI untuk setiap � � adalah representa-

si dari �.

76

Bukti:

1. Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa B � �� merupakan modul-��.

a. Misalkan C ��. Matriks kolom C berukuran 5 1 sedangkan ���

adalah matriks berukuran 5 . Akibatnya, �C � ���C adalah ma-

triks kolom berukuran 5 1. Jadi, �C � ���C B.

b. Misalkan C �� dan �, � �,

���C � ������C

� �������C

� ������C�

� ����C�

� ��C�

c. Karena � adalah homomorfisma maka 1C � �1�C � �C � C

d. Misalkan C ��, � � dan E �,

�EC� � ���EC�

� E���C�

� E�C�

e. Misalkan D, C �� dan � �,

�D F C� � ���D F C� � ���D F ���C � �D F �C

Jadi, B � �� adalah modul-��. Kemudian ambil basis standart I dari

��. Untuk setiap C �� dan � �, GHC� � �C � ���C. Dengan de-

mikian

77

MGHC�NI � J�CKI � J���CKI � ���C � ���JCKI

Berdasar sifat ketunggalan matriks dari GH relatif terhadap I, dapat dis-

impulkan bahwa ��� � MGHNI. Dengan menggunakan notasi pada defi-

nisi 3.2.2, ��� � MGHNI dapat dituliskan kembali dengan ��� � J�KI.

2. Pertama-tama akan ditunjukkan L: � � ��, �� dengan cara menunjuk-

kan bahwa J�KI adalah matriks tak singular untuk setiap � �. Misal-

kan �, � �. Maka, untuk setiap C B

GHOC� � ���C � ��C� � ��GOC��

� GH�GOC�� � GHGOC�

Dengan demikian,

MGHONI � MGHGONI � MGHNIJGOKI

Dengan menggunakan notasi pada definisi 3.2.2 diperoleh J��KI �J�KIJ�KI. Secara khusus, J1KI � J�KIJ���KI. Namun J1KI adalah mariks

identitas karena G� adalah transformasi linear identitas. Jadi, J�KI tak

singular dengan J�KI��� � J���KI. Jadi, L: � � ��, ��.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa L homomorfisma. Misalkan

�, � �. Maka,

L��� � J��KI � J�KIJ�KI � L��L��

Jadi, L adalah homomorfisma. Akhirnya, dapat disimpulkan bahwa L

adalah representasi.

78

Contoh 3.2.4

Diberikan ruang vektor �� dan grup '( � )1, �, ��, �*, +, �+, ��+, �*+ ,. Di-

definisikan pula representasi dari '( seperti pada contoh 3.1.2.3. Dengan

mendefinisikan �C � ���C untuk setiap C �� dan � '(, maka berdasar

teorema 3.2.3, �� merupakan modul-�'(. Sebagai contoh,

� 10" � ��� 10" � 0 1 #1 0 " 10" � 0#1 " � 01" � ��� 01" � 0 1 #1 0 " 01" � 10 " Jika diambil basis standart P 10" , 01"Q = ��, maka J�KI � ��� untuk setiap

� '(.

Sejauh ini, representasi selalu digunakan untuk membentuk modul-��.

Selanjutnya akan jelaskan cara mengonstruksi modul-�� tanpa menggunakan

representasi.

Misalkan B ruang vektor atas � berdimensi dan )C�, C�, … , C�, basis

dari B. Misalkan pula � adalah grup. Pertama-tama definisikan �C/ untuk se-

tiap 1 � 1,2, … , dan � �. Selanjutnya definisikan �C untuk setiap � �

dan C � S�C� F S�C� F T F S�C� B dengan

�C � �S�C� F S�C� F T F S�C��

� S��C�� F S��C�� F T F S��C��

Dengan cara seperti ini, akan diperolah modul-�� B. Namun, �C/ tidak

boleh didefinisikan secara sebarang. Teorema berikut menjamin bahwa jika

79

perkalian antara C/ dengan � memenuhi kondisi yang diberikan, maka B me-

rupakan modul-��.

Teorema 3.2.5

Misalkan )C�, C�, … , C�, adalah basis ruang vektor B. Jika �C yang terdefinisi

untuk setiap � � dan C B memenuhi:

Untuk setiap �, � �, 1 � 1,2, … , dan S�, S�, … , S� �

i. �C/ B

ii. ���C/ � ��C/�

iii. 1C/ � C/ iv. �S�C� F S�C� F T F S�C�� � S��C�� F S��C�� F T F S��C��

, maka B adalah modul-��.

Bukti

Harus ditunjukkan bahwa kelima kondisi dalam definisi 3.2.1 terpenuhi. Mi-

salkan C, D B dan �, � �. Maka, C � S�C� F S�C� F T F S�C� dan

D � U�C� F U�C� F T F U�C� dengan S/, U/ � untuk setiap 1 � 1,2, … , .

1. �C � �S�C� F S�C� F T F S�C��

� S��C�� F S��C�� F T F S��C��

Karena �C/ B untuk setiap 1, akibatnya S/�C/� B. Dengan demi-

kian �C B

2. ���C � ���S�C� F S�C� F T F S�C��

� S�����C�� F S�����C�� F T F S�����C��

� S���C��� F S���C��� F T F S���C���

80

� �S��C�� F S��C�� F T F S��C���

� ���S�C� F S�C� F T F S�C��� � ��C�

3. 1C � 1S�C� F S�C� F T F S�C��

� S�1C�� F S�1C�� F T F S�1C��

� S�C� F S�C� F T F S�C� � C

4. Misalkan S �

�SC� � ��SS�C� F S�C� F T F S�C���

� �SS�C� F SS�C� F T F SS�C��

� SS��C�� F SS��C�� F T F SS��C��

� S�S��C�� F S��C�� F T F S��C���

� S��S�C� F S�C� F T F S�C��� � S�C�

5. �D F C�

� ��U�C� F T F U�C�� F S�C� F T F S�C���

� ��U� F S��C� F T F U� F S��C��

� U� F S���C�� F T F U� F S���C��

� U��C�� F S��C�� F T F U��C�� F S��C��

� U��C�� F T F U��C�� F S��C�� F T F S��C��

� �D F �C

Dengan demikian B adalah modul-��.

Definisi di bawah ini menyajikan konsep representasi trivial dan repre-

sentasi sesuai dalam konteks modul.

81

Definisi 3.2.6

Modul-�� trivial adalah ruang vektor B berdimensi satu yang memenuhi

�C � C untuk setiap C B dan � �. Suatu modul-�� dikatakan sesuai jika

sifat di bawah ini terpenuhi untuk setiap C B.

�C � C jika dan hanya jika � � 1

Contoh 3.2.7

Perhatikan modul-�'( �� dalam contoh 3.2.4. Untuk setiap C B dan � �,

�C � ���C � ��+/�0�C. Misalkan � � 1. Jelas bahwa �C � ���C ��1�C � �C � C. Misalkan �C � C. Maka,

�C � C

���C � C

��+/�0�C � C

��+/�0� � �

Dari daftar matriks ��+/�0� diketahui bahwa +/�0 � 1 � �. Dengan demi-

kian modul-�'( �� adalah sesuai.

Dengan menggunakan teorema 3.2.5, akan dibentuk modul-�� dengan

� adalah grup bagian dari V�.

Misalkan � adalah grup bagian dari V� dan B adalah ruang vektor ber-

dimensi . Misalkan pula )C�, C�, … , C�, basis dari B. Untuk setiap 1 �

82

1,2, … , dan � � definisikan �C/ � CH/�. Selanjutnya akan ditunjukkan

�C/ memenuhi kondisi 1� # 3� dalam teorema 3.2.5.

Jelas bahwa �C/ � CH/� B dan 1C/ � C�/� � C/. Selain itu, untuk se-

tiap �, � � berlaku

���C/ � CHO/� � CH�O/�� � �CO/� � ��C/�

Selanjutnya dengan menggunakan kondisi 4� dalam teorema 3.2.5, un-

tuk setiap C � S�C� F S�C� F T F S�C� B, definisikan �C dengan

�C � S��C�� F S��C�� F T F S��C��

Dengan demikian diperoleh modul-�� B.

Contoh 3.2.8

Misalkan � � V. dan I � )C�, C�, C*, C., adalah basis ruang vektor B. Den-

gan �C seperti pada uraian di atas, maka diperoleh modul-�V. B. Sebagai

contoh, jika diambil � � 1 2� V., maka

�C� � 1 2�C� � C�

�C� � 1 2�C� � C�

�C* � 1 2�C* � C*

�C. � 1 2�C. � C.

Jika diambil � � 1 3 4� V., maka

�C� � 1 3 4�C� � C*

�C� � 1 3 4�C� � C�

�C* � 1 3 4�C* � C.

�C. � 1 3 4�C. � C�

83

Selanjutnya diperoleh matriks dari GH dan GO relatif terhadap I berturut turut

sebagai berikut

J�KI � X0 11 0 0 00 00 00 0 1 00 1Y dan J�KI � X0 00 1 0 10 01 00 0 0 01 0Y

Definisi 3.2.9

Misalkan � adalah grup bagian dari V�. Modul-�� B dengan basis

)C�, C�, … , C�, yang memenuhi �C/ � CH/� untuk setiap 1 � 1,2, … , dan

� � disebut modul permutasi untuk � terhadap �. Kemudian )C�, C�, … , C�, disebut basis natural dari B.

Jika I � )C�, C�, … , C�, adalah basis natural dari suatu modul permuta-

si, maka untuk setiap � �, matriks J�KI tepat mempunyai satu entri tak nol

di setiap baris dan kolomnya. Entri tak nol tersebut adalah 1 �. Matriks ter-

sebut dinamakan matriks permutasi.

Teorema 3.2.10

Jika modul-�� B adalah modul permutasi dan )C�, C�, … , C�, , basis dari B,

maka modul-�� B adalah sesuai.

Bukti

Harus ditunjukkan bahwa untuk setiap � � dan C B, �C � C jika dan

84

hanya jika � � 1. Misalkan C � S�C� F S�C� F T F S�C� B. Jika � � 1,

maka

�C � 1C � S�1C�� F S�1C�� F T F S�1C��

� S�C� F S�C� F T F S�C� � C

Jika �C � C, maka �C/ � C/ untuk setiap 1 � 1,2, … , . Sehingga diperoleh

�C/ � C/ CH/� � C/ Dengan demikian �1� � 1 untuk setiap 1. Jadi, � � 1, yaitu permutasi identi-

tas. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa modul-�� B adalah sesuai.

Teorema 3.2.11

Misalkan � dan Z adalah grup dan ruang vektor B adalah modul-��. Jika

Z > �, maka B adalah modul-�Z.

Bukti

Karena Z > �, akibatnya terdapat isomorfisma L: Z � �. Untuk setiap

� Z dan C B didefinisikan �C � L��C. Dengan mendefinisikan �C

seperti ini, akan ditunjukkan bahwa B adalah modul-�Z.

1. �C � L��C B

2. Misalkan ��, �� Z.

�����C � L�����C � �L���L����C

� L���L���C� � ����C� 3. 1C � L1�C � 1C � C

85

4. Misalkan E �.

�EC� � L��EC� � EL��C� � E�C�

5. Misalkan D, C B

�D F C� � L��D F C� � L��D F L��C � �D F �C

Jadi, B adalah modul-�Z.

Contoh 3.2.12

Misalkan B adalah ruang vektor. Diberikan grup � � )1, 1 2 3�, 1 3 2� , [V* dan grup �* � ��|�* � 1�. Perhatikan bahwa �* > � dengan isomorfisma

G: �* � � yang diberikan dengan

G1� � 1 G�� � 1 2 3� G��� � 1 3 2�

Selain itu, B adalah modul-�� dengan �C seperti dalam uraian di atas untuk

setiap � � dan C B. Berdasar teorema 3.2.11, ruang vektor B dapat

menjadi modul-��* dengan mendefinisikan DC � GD�C untuk setiap D �*

dan C B. Lebih jauh, karena B adalah modul-�� yang sesuai akibatnya B

adalah modul-��* yang sesuai.

Selanjutnya misalkan I\ � )C�, C�, C*, adalah basis dari B. Dengan demikian

1C� � G1�C� � 1C� � C�

�C� � G��C� � 1 2 3�C� � C�

��C� � G���C� � 1 3 2�C� � C*

1C� � G1�C� � 1C� � C�

�C� � G��C� � 1 2 3�C� � C*

��C� � G���C� � 1 3 2�C� � C�

86

1C* � G1�C* � 1C* � C*

�C* � G��C* � 1 2 3�C* � C�

��C* � G���C* � 1 3 2�C* � C�

Pembahasan dalam subbab ini akan diakhiri dengan uraian tentang hu-

bungan antara modul-�� dengan representasi-representasi dari � yang ekiva-

len. Diberikan suatu modul-�� B. Untuk setiap basis I dari B, dapat dipero-

leh representasi �: � � ��, �� dari � yang diberikan dengan ��� � J�KI

untuk setiap � �.

Dengan demikian setiap modul-�� mendefinisikan banyak representasi

karena basis dari B tidak tunggal. Akan ditunjukkan seluruh representasi ter-

sebut ekivelen satu sama lain. Lebih jauh, dua buah representasi yang ekiva-

len berasal dari modul-�� yang sama.

Teorema 3.2.13

Misalkan B adalah modul-�� dengan basis I� dan � adalah representasi dari

� yang didefinisikan dengan ��� � J�KI] untuk setiap � �.

1. Jika I� basis dari B, maka representasi G dari � yang didefinisikan

dengan G�� � J�KI^ untuk setiap � �, ekivalen dengan �.

2. Jika 6 adalah representasi dari � yang ekivalen �, maka terdapat basis

I* dari B sedemikian hingga 6�� � J�KI_ untuk setiap � �.

87

Bukti

1. Misalkan � matriks transisi dari I� ke I�. Maka menurut teorema

2.4.20, untuk setiap � � berlaku

�J�KI]��� � J�KI^

J�KI] � ���J�KI^�

��� � ���G���

Jadi, G ekivalen �.

2. Diketahui 6 ekivalen �. Dengan demikian � ekivalen 6. Akibatnya,

terdapat matriks tak singular 4 sedemikian hingga 6�� � 4�����4

untuk setiap � �. Selanjutnya ambil basis I* dari B, sedemikian

hingga 4 adalah matriks transisi dari I� ke I*. Dengan kata lain pilih

basis I* dari B yang memenuhi 4J�KI]4�� � J�KI_. Perhatikan bah-

wa 6�� � 4�����4 � 4��J�KI]4 � J�KI_ untuk setiap � �.

Contoh 3.2.14:

Diberikan grup �* � ��|�* � 1� dan matriks � � 0 #11 #1 ". Dapat ditunjuk-

kan bahwa

�� � #1 1#1 0 " dan �* � 1 00 1 " Selanjutnya diberikan representasi �: �* � ��2, �� yang didefinisikan den-

gan ���� � �� untuk setiap �� �*. Dengan demikian diperoleh

�1� � � � 1 00 1 " ��� � � � 0 #11 #1 " ���� � �� � #1 1#1 0 "

88

Selanjutnya diberikan ruang vektor �� dengan basis I� � P 10" , 01"Q. Dengan

mendefinisikan �C � ���C untuk setiap � �* dan C B, maka �� meru-

pakan modul-�� berdasar teorema 3.2.3.1. Lebih jauh, karena I� adalah ba-

sis standart dari ��, maka diperoleh

J1KI] � �1� � 1 00 1 " J�KI] � ��� � 0 #11 #1 " J��KI] � ���� � #1 1#1 0 " Selanjutnya ambil basis I� � P 10" , 11"Q dari B. Dapat ditunjukkan bahwa

J1KI^ � 1 00 1" ; J�KI^ � #1 #1 1 0 " ; J��KI^ � 0 1#1 #1 " Selanjutnya berdasar teorema 3.2.3.2, a: �* � ��2, �� yang didefinisikan

dengan a�� � J�KI^ untuk setiap � �* merupakan representasi dari �*.

Selain itu, matriks transisi dari I� ke I� diberikan dengan 4 � 1 #1 0 1 ". Akhirnya diperoleh

4J1KI] 4�� � 1 #1 0 1 " 1 00 1" 1 10 1" � 1 00 1" � J1KI^

4J�KI]4�� � 1 #1 0 1 " 0 #11 #1 " 1 10 1" � #1 #1 1 0 " � J�KI^

4J��KI]4�� � 1 #1 0 1 " #1 1#1 0 " 1 10 1" � 0 1#1 #1 " � J��KI^

Dengan mengingat bahwa ��� � J�KI] dan a�� � J�KI^ untuk setiap

� �* maka diperoleh 4���4�� � a��. Dengan demikian ��� �

89

4��a��4. Jadi, a ekivalen �. Hal ini sesuai dengan pernyataan dalam teo-

rema 3.2.13.1.

C. Submodul-�� dan Ketereduksian

Definisi 3.3.1

Misalkan B adalah modul-��. Himpunan bagian c dari B disebut submodul-

�� jika c adalah ruang bagian dari B dan �d c untuk setiap d c dan

� �.

Contoh 3.3.2

1. Jika B adalah modul-��, maka )0, dan B adalah submodul-�G dari B.

2. Perhatikan kembali contoh 3.2.12. Misalkan )C�, C�, C*, adalah basis

dari modul-��* B. Dengan demikian untuk setiap � �, �C/ diberi-

kan dengan

1C� � C� 1C� � C� 1C* � C*

�C� � C� �C� � C* �C* � C�

��C� � C* ��C� � C� ��C* � C�

Selanjutnya ambil C � C� F C� F C* B. Menurut teorema 2.3.7,

c � 9fC� adalah ruang bagian dari B. Kemudian misalkan d c

dan � �*. Maka d � gC� F C� F C*� � gC� F gC� F gC* untuk

suatu g �. Dengan demikian

�d � �gC� F gC� F gC*�

� g�C�� F g�C�� F g�C*�

90

Jika berturut-turut diambil � � 1, � � �, � � ��, maka diperoleh

1d � g1C�� F g1C�� F g1C*�

� gC� F gC� F gC* � gC� F C� F C*� c

�d � g�C�� F g�C�� F g�C*� � gC� F gC* F gC�

� gC� F gC� F gC* � gC� F C� F C*� c

��d � g��C�� F g��C�� F g��C*� � gC* F gC� F gC�

� gC� F gC� F gC* � gC� F C� F C*� c

Jadi, �d c untuk setiap d c dan � �*. Dengan demikian,

c � 9fC� adalah submodul-��* dari B.

Selanjutnya perhatikan ruang bagian h � 9fC� F C�� dari B. Ruang

bagian h dari B bukanlah submodul-��* dari B. Untuk menunjukkan

hal ini, ambil i � C� F C� h. Dengan demikian �i � �C� F C�� ��C� F �C� � C� F C*. Jadi, �i j h. Jadi, h � 9fC� F C�� bukan

submodul-��* dari B.

Definisi 3.3.3

Suatu modul-�� B dikatakan tak tereduksi jika B k )0, dan submodul-�G

dari B hanyalah )0, dan B. Jika B memiliki submodul-�G c dengan c k)0, dan c k B, maka B dikatakan tereduksi. Representasi �: � � ��, ��

dikatakan tak tereduksi jika modul-�� �� yang didefinisikan melalui

91

�C � ���C untuk setiap � � dan C �� merupakan submodul-�G tak te-

reduksi. Jika berlaku sebaliknya, representasi tersebut dikatakan tereduksi.

Perhatikan bahwa jika modul-�� B tereduksi maka l17B� m 2. Hal

ini dapat dengan mudah ditunjukkan. Misalkan l17B� n 2. Dengan demi-

kian terdapat dua kemungkinan, yaitu l17B� � 0 atau l17B� � 1. Jika

l17B� � 0 maka B � )0,. Jadi, B tidak memiliki submodul-�G c yang

memenuhi c k )0, dan c k B. Jika l17B� � 1, maka ruang bagian dari B

adalah )0, dan B. Jadi, B tidak memiliki submodul-�G c yang memenuhi

c k )0, dan c k B. Dengan demikian, jika l17B� n 2 maka B tidak me-

miliki submodul-�G c yang memenuhi c k )0, dan c k B. Bentuk kon-

traposisi dari pernyataan ini adalah jika B memiliki submodul-�G c yang

memenuhi c k )0, dan c k B, maka l17B� m 2. Dengan kata lain, jika B

tereduksi, maka l17B� m 2.

Teorema 3.3.4

Suatu modul-�� B tereduksi jika dan hanya jika terdapat basis I dari B se-

demikian hingga untuk setiap � �,

J�KI � opH qHr hHs untuk suatu matriks pH, qH dan hH dengan pH berukuran g 5 g.

Bukti

?�

92

Misalkan B adalah modul-�� yang tereduksi dan l17B� � . Maka B me-

miliki submodul-�G c sedemikian hingga 0 n l17c� n . Misalkan

It � )d�, … , du, adalah basis dari c. Dengan menambahkan vektor

duv�, … , d� yang sesuai, It dapat diperluas menjadi basis I dari B. Den-

gan demikian I � )d�, … , du , duv�, … , d�, adalah basis dari B. Selanjutnya

untuk setiap � �,

J�KI � JJ�d�KI J�d�KI T J�duKI J�duv�KI T J�d�KIK Namun karena c adalah submodul-�G dari B, �d/ c untuk setiap � �

dan 1 � 1,2, … , g. Dengan demikian diperoleh

�d� � w��d� F w��d� F T F wu�du F 0duv� F T F 0d�

�d� � w��d� F w��d� F T F wu�du F 0duv� F T F 0d�

x �du � w�ud� F w�ud� F T F wuudu F 0duv� F T F 0d�

Selanjutnya diperoleh

J�d�KI �yzzzz{w��w��xwu�0x0 |}

}}}~

; J�d�KI �yzzzz{w��w��xwu�0x0 |}

}}}~

; … ; J�duKI �yzzzz{w�uw�uxwuu0x0 |}

}}}~

Akhirnya diperoleh

J�KI � opH qHr hHs untuk suatu matriks pH, qH dan hH dengan pH berukuran g 5 g. Dalam hal ini,

93

pH � �w�� w��w�� w�� T w�uT w�ux xwu� wu� xT wuu�

A�

Misalkan terdapat basis I � )C�, C�, … , Cu , Cuv�, … , C�, dari B sedemikian

hingga untuk setiap � �,

J�KI � opH qHr hHs untuk suatu matriks pH, qH dan hH dengan pH berukuran g 5 g. Pandang

c � 9fC�, C�, … , Cu�. Menurut teorema 2.3.7, c adalah ruang bagian dari

B dan 0 n l17c� � g n .

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa �d c untuk setiap d � ��C� F��C� F T F �uCu c dan � �. Perhatikan bahwa,

J�dKI � J�KIJdKI � opH qHr hHsyzzzz{����x�u0x0 |}

}}}~

� yzzzz{7�7�x7u0x0 |}

}}}~

untuk suatu 7/ �. Dengan demikian �d � 7�C� F 7�C� F T F 7uCu c. Jadi, c adalah submodul-�G dari B dengan 0 n l17c� n . Akibat-

nya, B tereduksi.

■■■■

Perhatikan bahwa fungsi L dan 6 yang berturut turut didefinisikan den-

gan L�� � pH dan 6�� � hH untuk setiap � � adalah representasi dari �.

Uraian berikut menunjukkan hal tersebut. Misalkan �, � �. Maka

94

J��KI � opHO qHOr hHOs Namun,

J��KI � J�KIJ�KI � opH qHr hHs opO qOr hOs � opHpO pHqO F qHhOr hHhO s Sehingga,

opHO qHOr hHOs � opHpO pHqO F qHhOr hHhO s Berdasar sifat kesamaan matriks, pHO � pHpO dan hHO � hHhO. Dengan de-

mikian L��� � pHO � pHpO � L��L�� dan 6��� � hHO � hHhO �6��6��. Jadi, L dan 6 adalah representasi dari �.

Teorema 3.3.5

Misalkan � adalah representasi berderajat dari �. Representasi � tereduksi

jika dan hanya jika � ekivalen dengan suatu representasi 6 di mana setiap ma-

triks 6�� berbentuk

6�� � opH qHr hHs untuk suatu matriks pH, qH dan hH dengan pH berukuran g 5 g.

Bukti

?�

Misalkan � tereduksi. Maka menurut definisi 3.3.3, modul-�� �� yang dide-

finisikan melalui �C � ���C untuk setiap � � dan C �� merupakan

modul-�� tereduksi. Menurut teorema 3.3.4, terdapat basis I dari �� sede-

mikian hingga untuk setiap � �,

95

J�KI � opH qHr hHs untuk suatu matriks pH, qH dan hH dengan pH berukuran g 5 g. Selanjutnya

menurut teorema 3.2.3.2, fungsi 6 yang didefinisikan dengan

6�� � J�KI � opH qHr hHs untuk setiap � � adalah representasi dari �. Selain itu, menurut teorema

3.2.3.1 terdapat basis I\ dari B sedemikian hingga ��� � J�KI� untuk setiap

� �. Dengan demikian menurut teorema 3.2.13.1, � ekivalen 6.

A�

Misalkan � ekivalen dengan suatu representasi 6 di mana setiap matriks 6��

berbentuk

6�� � opH qHr hHs untuk suatu matriks pH, qH dan hH dengan pH berukuran g 5 g. Bentuk mod-

ul-�� �� dengan mendefinisikan �C � ���C untuk setiap � � dan

C ��. Menurut teorema 3.2.3.1 terdapat basis I� dari �� sedemikian hingga

��� � J�KI] untuk setiap � �. Selanjutnya karena � ekivalen 6, menurut

teorema 3.2.13.2 terdapat basis I� dari B sedemikian hingga 6�� � J�KI^

untuk setiap � �. Namun 6�� � opH qHr hHs. Dengan demikian J�KI^ �opH qHr hHs. Jadi, terdapat suatu basis dari �� sedemikian hingga J�KI^ �

96

opH qHr hHs untuk setiap � �, yaitu dengan memilih basis I�. Akibatnya,

modul-�� �� tereduksi. Menurut definisi, � tereduksi.

■■■■

Teorema 3.3.6

Misalkan � dan 6 adalah representasi dari � atas �. Jika � ekivalen 6 dan �

tereduksi, maka 6 tereduksi.

Bukti

Diketahui bahwa � ekivalen 6. Dengan demikian 6 ekivalen �. Karena � te-

reduksi, manurut teorema 3.3.5 � ekivalen dengan suatu representasi 8 di ma-

na setiap matriks 8�� berbentuk

8�� � opH qHr hHs untuk suatu matriks pH, qH dan hH dengan pH berukuran g 5 g. Karena 6 eki-

valen � dan � ekivalen 8, akibatnya 6 ekivalen 8. Dengan demikian berdasar

teorema 3.3.5, 6 tereduksi.

■■■■

Contoh 3.3.7

1. Diberikan grup �* � ��|�* � 1� dan ruang vektor B berdimensi 3

dengan basis )C�, C�, C*,. Telah ditunjukkan dalam contoh 3.2.12

bahwa B merupakan modul-��* yang memenuhi

�C� � C� �C� � C* �C* � C�

97

Dalam contoh 3.3.2.2 telah ditunjukkan pula bahwa B memiliki sub-

modul-��* yaitu c � 9fC� F C� F C*�. Kemudian dapat ditunjuk-

kan bahwa I � )C� F C� F C*, C�, C�, adalah basis dari B. Dengan

mengambil basis ini, maka diperoleh

J1KI � �1 0 00 1 00 0 1� ; J�KI � �1 0 10 0 #10 1 #1� ; J��KI � �1 1 00 #1 10 #1 0� Dengan demikian diperoleh dua representasi baru, yaitu representasi

trivial �: �* � ��1, �� dan representasi 6: �* � ��2, �� yang dide-

finisikan dengan

61� � 1 00 1" ; 6�� � 0 #11 #1" ; 6��� � #1 1#1 0" 2. Diberikan grup '( dan ruang vektor ��. Ruang vektor �� dapat men-

jadi modul-�'( dengan mendefinisikan perkalian �C seperti pada

contoh 3.2.4 untuk setiap � '( dan C ��. Dengan demikian

� � ��, +� dan untuk setiap w�" ��

� w�" � ��� w�" � 0 1 #1 0 " w�" � �#w" + w�" � �+� w�" � 1 0 0 #1 " w�" � w#�"

Akan ditunjukkan bahwa modul-�'( �� tak tereduksi. Misalkan ter-

dapat submodul-�'( c dari �� sedemikian hingga c k ��. Dengan

demikian l17c� [ 1. Jadi, c � 9f � EU"� untuk suatu EU" ��.

Dengan demikian

� EU" � U#E" � g EU" 1�

98

+ EU" � E#U" � � EU" 2�

untuk suatu g, � �. Dari persamaan kedua diperoleh U � 0 atau E � 0. Na-

mun, dengan persamaan pertama dapat disimpulkan bahwa E � U � 0. Jadi,

EU" � 00". Dengan demikian c � )0,. Jadi, modul-�'( �� tak tereduksi.

D. Grup Aljabar

Dalam subbab ini, pertama-tama akan didefinisikan grup aljabar dari

grup berhingga �. Selanjutnya, dengan menggunakan grup aljabar ini, akan

dibentuk representasi dari � yang dikenal dengan representasi regular.

Misalkan � � )��, ��, … , ��, adalah grup berhingga dengan |�| � .

Didefinisikan suatu ruang vektor �� atas lapangan kompleks � dengan basis

� � )��, ��, … , ��,. Elemen-elemen dalam �� berbentuk

� S/�/�

/��

dengan S/ � dan �/ � untuk setiap 1 � 1,2, … , . Penjumlahan dan perka-

lian skalar dalam �� didefinisikan dengan:

Untuk setiap D � ∑ S/�/�/�� dan C � ∑ �/�/�/�� dalam �� serta g �,

� S/�/�

/�� F � �/�/�

/�� � �S/ F �/��/�

/��

g � S/�/�

/�� � �gS/��/�

/��

Dengan demikian �� merupakan ruang vektor berdimensi � |�|.

99

Seringkali setiap D �� tidak dinotasikan seperti di atas, namun dino-

tasikan dengan

D � � SH�H � �SH ��

Dalam pembahasan selanjutnya, notasi ini akan digunakan untuk me-

nyatakan setiap elemen ��. Basis )��, ��, … , ��, dari �� ini disebut basis

natural.

Contoh 3.4.1

Diberikan grup �* � ��|�* � ;� dan D, C ��* yang berturut-turut diberikan

dengan D � ; # � F 2�� dan C � �� ; F 5�. Dalam hal ini, elemen identitas

dari �* dinotasikan dengan ; untuk menghindari kerancuan dengan 1 �.

Dengan demikian

D F C � ; # � F 2��� F ��� ; F 5�� � *� ; F 4� F 2��

�* D � �* ; # � F 2��� � �* ; # �* � F �* ��

Definisi 3.4.2

Misalkan � adalah grup berhingga. Grup aljabar dari � atas � adalah ruang

vektor �� yang dilengkapi dengan perkalian antar anggota �� yang didefini-

sikan dengan

DC � �� SH�H � � �� �O�O � � � � �SH�O����H,O �

100

untuk setiap D � ∑ SH�H � dan C � ∑ �O�O � elemen ��.

Contoh 3.4.3

Diberikan grup �* � ��|�* � ;� dan D, C �� yang berturut-turut diberikan

dengan D � ; # � F 2�� dan C � �� ; F 5�. Ruang vektor ��* merupakan

grup aljabar bila dilengkapi dengan perkalian antar elemen ��* yang didefi-

nisikan seperti dalam definisi 3.4.2. Sebagai contoh

DC � ; # � F 2��� ��� ; F 5��

� �� ;;� F 5;�� # �� �;� # 5��� F ��;� F 10����

� �� ; F 5� # �� � # 5�� F �� F 10;

� ��� ; F �� � # 4��

Teorema 3.4.4

Misalkan � � )��, ��, … , ��,. Untuk setiap D, C, d �� dan S �, perka-

lian dalam �� memenuhi sifat-sifat di bawah ini.

1. DC ��

2. DCd� � DC�d

3. D1;� � 1;�D � D

4. SD�C � SDC� � DSC�

5. DC F d� � DC F Dd

6. D F C�d � Dd F Cd

7. D0�� � 0��D � 0��

101

Bukti

Misalkan D � ∑ SH�H � , C � ∑ �H�H � dan d � ∑ �H�H � adalah elemen-

elemen dari ��.

1. Jelas bahwa DC ��

2. DCd� � ∑ SH�H � �∑ �O�O � �∑ �ugu � ��

� ∑ SH�H � �∑ �O�u��g�O,u � �

� ∑ �SH�O�u�� ���g��H,O,u �

� ∑ ��SH�O��u� ����g�H,O,u �

� �∑ �SH�O����H,O � �∑ �ugu � �

� ��∑ SH�H � �∑ �O�O � �� ∑ �ugu �

� DC�d

3. D1;� � �SH]�� F SH^�� F T F SH����1;�

� �SH]1���;� F �SH^1���;� F T F �SH�1���;�

� SH]�� F SH^�� F T F SH��� � D

1;�D � 1;��SH]�� F SH^�� F T F SH����

� �1SH]�;��� F �1SH^�;��� F T F �1SH��;���

� SH]�� F SH^�� F T F SH��� � D

Jadi, D1;� � 1;�D � D.

4. SD�C � �S ∑ SH�H � � ∑ �O�O �

� �∑ SSH�H � � ∑ �O�O �

102

� ∑ ��SSH��O� ���H,O �

� ∑ �S�SH�O�� ���H,O �

� S ∑ �SH�O����H,O �

� SDC�

SDC� � S ∑ �SH�O����H,O �

� ∑ �S�SH�O�� ���H,O �

� ∑ �SHS�O�� ���H,O �

� �∑ SH�H � �∑ S�O��O � �

� �∑ SH�H � �S ∑ �O�O � �

� DSC�

Jadi, SD�C � SDC� � DSC�

5. DC F d� � ∑ SH�H � ∑ �O�O � F ∑ �O�O � �

� ∑ SH�H � ∑ �O F �O��O � �

� ∑ �SH�O F �O�� ���H,O �

� ∑ �SH�O F SH�O����H,O �

� ∑ �SH�O����H,O � F ∑ �SH�O����H,O �

� DC F Dd

6. D F C�d � �∑ SH�H � F ∑ �H�H � � ∑ �O�O �

� �∑ �SH F �H��H � � ∑ �O�O �

103

� ∑ ��SH F �H��O� ���H,O �

� ∑ �SH�O F �H�O����H,O �

� ∑ SH�O���H,O � F ∑ �H�O���H,O �

� Dd F Cd

7. D0�� � �∑ SH�H � �∑ 0�O � �

� ∑ �SH0���� �H,O � ∑ 0��� �H,O � 0��

0��D � ∑ 0�O � ��∑ SH�H � �

� ∑ �0SH���� �H,O � ∑ 0��� �H,O � 0��

Jadi, D0�� � 0��D � 0�� .

■■■■

Sifat 3� dalam teorema 3.4.4 menunjukkan bahwa grup aljabar ��

memuat elemen identitas perkalian. Elemen tersebut adalah 1; ��. Selan-

jutnya elemen identitas ini akan dinotasikan dengan 1��.

Selanjutnya akan didefinisikan modul-�� regular dengan menggunakan

grup aljabar ��. Misalkan B � �� adalah ruang vektor. Dengan demikian B

adalah ruang vektor berdimensi � |�|. Perhatikan bahwa setiap � � da-

pat dipandang sebagai elemen dalam ��. Selanjutnya untuk setiap C B dan

� � definisikan perkalian �C seperti perkalian pada grup aljabar ��. Ber-

dasar teorema 3.4.4 nomor 1 sampai 5, untuk setiap C Bdan � �

�C ��

��C� � ���C

104

;C � 1��C � C

�SC� � S�C�

�C F d� � �C F �d

Dengan demikian B adalah modul-��.

Definisi 3.4.5

Misalkan � adalah grup berhingga. Ruang vektor �� yang dilengkapi dengan

perkalian �C� �, C �� � yang didefinisikan seperti di atas disebut mod-

ul-�� regular. Jika diambil basis natural I dari ��, maka representasi

�: � � ��, �� yang didefinisikan dengan ��� � J�KI untuk setiap � �

disebut representasi regular.

Teorema 3.4.6

Modul-�� regular adalah sesuai.

Bukti

Perhatikan definisi 3.2.6. Misalkan � �. Jika � � ;, maka ;C � C untuk

setiap C ��. Jika �C � C untuk setiap C ��, maka �1�� � 1��. Namun,

�1�� � �. Jadi, � � 1�� � ;. Dengan demikian, modul-�� regular adalah

sesuai.

■■■■

Contoh 3.4.7

Diberikan grup �. � ��|�. � ;�. Untuk setiap C ��., C � S�; F S�� FS*�� F S.�* dengan S/ � dan 1 � 1,2,3,4. Dengan demikian diperoleh

105

;C � ;S�; F S�� F S*�� F S.�*� � S�; F S�� F S*�� F S.�*

�C � �S�; F S�� F S*�� F S.�*� � S.; F S�� F S��� F S*�*

��C � ��S�; F S�� F S*�� F S.�*� � S*; F S.� F S��� F S��*

�*C � �*S�; F S�� F S*�� F S.�*� � S�; F S*� F S.�� F S��*

Selanjutnya jika diambil basis natural I � �. dari ��., maka diperoleh

J;KI � X1 00 1 0 00 00 00 0 1 00 1Y J�KI � X0 01 0 0 10 00 10 0 0 01 0Y

J��KI � X0 00 0 1 00 11 00 1 0 00 0Y J�*KI � X0 10 0 0 01 00 01 0 0 10 0Y

Dengan demikian diperoleh representasi regular �: �. � ��4, �� yang dibe-

rikan dengan ��� � J�KI untuk setiap � �.

Ingat kembali bahwa modul-�� B adalah ruang vektor yang dilengkapi

dengan operasi perkalian antara � � dengan C B yang memenuhi bebera-

pa aksioma. Selanjutnya, operasi perkalian ini akan diperluas sedemikian

hingga diperoleh <C B untuk setiap < elemen grup aljabar �� dan C B.

Definisi 3.4.8

Misalkan � adalah grup berhingga dan B adalah modul-��. Untuk setiap

C B dan < � ∑ �H�H � ��, <C didefinisikan dengan

<C � � �H�C�H �

106

Contoh 3.4.9

Misalkan B adalah modul-�V. dengan basis I � )C�, C�, C*, C.,. Jika diambil

< �V. dengan < � ��1 2� F ��1 3 4�, maka

<C� � ���1 2� F ��1 3 4��C�

� ���1 2�C�� F ���1 3 4�C��

� ��C� F ��C*

<C� � ���1 2� F ��1 3 4��C�

� ���1 2�C�� F ���1 3 4�C��

� ��C� F ��C�

<2C� F C�� � ���1 2� F ��1 3 4��2C� F C��

� ���1 2�2C� F C��� F ���1 3 4�2C� F C���

� ���2�1 2�C�� F 1 2�C�� F ���2�1 3 4�C�� F 1 3 4�C��

� ��2C� F C�� F ��2C* F C��

� 2��C� F ��C� F 2��C* F ��C�

� ��C� F 2�� F ���C� F 2��C*

Teorema 3.4.10

Jika B adalah modul-��, maka sifat di bawah ini dipenuhi untuk setiap

D, C B, S � dan <, 9 ��.

1. <C B

107

2. <9�C � <9C�

3. 1��C � C

4. <SC� � S<C� � S<�C

5. <D F C� � <D F <C

6. < F 9�C � <C F 9C

7. <0� � 0��C � 0�

Bukti

Misalkan < � ∑ SH�H � dan 9 � ∑ �O�O � dengan SH, �O � untuk setiap

�, � � adalah elemen-elemen dalam ��. Misalkan pula S � dan D, C B.

1. Dari definisi jelas bahwa <C B.

2. <9�C � �∑ �SH�O����H,O � �C

� ∑ �SH�O�����C�H,O �

� ∑ �SH�O����C��H,O �

� ∑ SH�H � ∑ �O�C�O � �

� <9C�

3. 1��C � 1;�C � 1;C� � 1C � C

4. <SC� � �∑ SH�H � �SC�

� ∑ SH��SC��H �

� ∑ SH�S�C��H �

� S ∑ SH�C�H �

� S<C�

108

<SC� � �∑ SH�H � �SC�

� ∑ SH��SC��H �

� ∑ SH�S�C��H �

� ∑ �SSH��C�H �

� �∑ �SSH��H � �C

� �S ∑ SH�H � �C

� S<�C

Jadi, <SC� � S<C� � S<�C

5. <D F C� � �∑ SH�H � �D F C�

� ∑ SH��D F C��H �

� ∑ SH�D F �C�H �

� ∑ SH�D�H � F ∑ SH�C�H �

� <D F <C

6. < F 9�C � �∑ �SH F �H��H � �C

� ∑ �SH F �H�H � �C�

� ∑ �SH�C� F �H�C��H �

� ∑ SH�C�H � F ∑ �H�C�H �

� <C F 9C

7. <0� � �∑ SH�H � �0� � ∑ SHH � �0�� � ∑ SHH � 0� � 0�

0��C � �∑ 0�H � �C � ∑ 0H � �C� � ∑ 0�H � � 0�

Jadi, <0� � 0��C � 0�. ■■■■

109

E. Homomorfisma ��

Dalam bab II telah dijelaskan tentang pemetaan yang mempertahankan

struktur grup yang disebut homomorfisma grup. Telah dijelaskan pula peme-

taan yang mempertahankan struktur ruang vektor yang disebut transformasi

linear. Dalam subbab ini akan dijelaskan pemetaan yang mempertahankan

struktur modul-�� yang disebut dengan homomorfisma-��.

Definisi 3.5.1

Misalkan B dan c adalah ��-modul. Fungsi L: B � c disebut homomorfis-

ma-�� jika dan hanya jika L adalah transformasi linear yang memenuhi

L�C� � �LC� untuk setiap C B dan � �.

Perhatikan bahwa jika � adalah grup berhingga dan fungsi L: B � c

adalah homomorfisma-��, maka untuk setiap C B dan < � ∑ SH�H � ��:

L<C� � L �� SH�C�H � � � � L �SH�C��H � � � SHL�C�H � � � SH�LC�H �

Dengan demikian L<C� � <LC� untuk setiap C B dan < ��.

Teorema 3.5.2

Jika L: B � c adalah homomorfisma-�� dan p adalah submodul-�G dari B,

maka Lp� � )d c|d � Lw�, w p, adalah submodul-�G dari c.

110

Bukti

Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa Lp� adalah ruang bagian dari c.

1. Karena 0 � L0�, maka 0 Lp�.

2. Misalkan d�, d� Lp�. Dengan demikian d� � Lw�� dan d� �Lw�� untuk suatu w�, w� p. Selanjutnya

d� F d� � Lw�� F Lw�� � Lw� F w�� Lp�

Jadi, d� F d� Lp�.

3. Misalkan d� Lp� dan g �. Dengan demikian d� � Lw�� untuk

suatu w� p. Selanjutnya

gd� � gLw�� � Lgw�� Lp�

Jadi, gd� Lp�.

Jadi, Lp� adalah ruang bagian dari c. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

untuk setiap � � dan d� Lp�, �d� Lp�. Misalkan � � dan

d� � Lw�� Lp�. Dengan demikian

�d� � �Lw�� � L�w�� Lp�

Jadi, Lp� adalah submodul-�G dari c.

Teorema 3.5.3

Misalkan B dan c adalah modul-��. Jika L: B � c adalah homomorfisma-

��, maka :;<L� adalah submodul-�G dari B dan �7L� adalah submodul-

�G dari c.

111

Bukti

Pertama-tama akan dibuktikan bahwa :;<L� adalah submodul-�G dari B.

Ingat bahwa :;<L� adalah ruang bagian dari B. Selanjutnya harus ditunjuk-

kan bahwa �C :;<L� untuk setiap C :;<L� dan � �.

L�C� � �LC� � �0 � 0

Jadi, �C :;<L�. Dengan demikian :;<L� adalah submodul-�G dari B.

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa �7L� adalah submodul-�G dari c. In-

gat bahwa �7L� adalah ruang bagian dari c. Selanjutnya harus ditunjukkan

bahwa �d �7L� untuk setiap d �7L� dan � �. Misalkan d �7L�. Dengan demikian ada C B sedemikian hingga LC� � d.

�d � �LC� � L�C� �7L�

Dengan demikian �7L� adalah submodul-�G dari c.

■■■■

Contoh 3.5.4

1. Misalkan B dan c adalah modul-��. Diberikan fungsi L: B � c

yang didefinisikan dengan LC� � 0 untuk setiap C B. Jelas bahwa

L adalah transformasi linear. Untuk setiap C B dan � �,

L�C� � 0 � �0 � �LC�

Jadi, L adalah homomorfisma-��.

2. Misalkan B adalah modul-�� dan S �. Diberikan fungsi L: B � c

yang didefinisikan dengan LC� � SC untuk setiap C B. Jelas bahwa

adalah transformasi linear. Selanjutnya untuk setiap C B dan � �,

112

L�C� � S�C� � �SC� � �LC�

Jadi, L adalah homomorfisma-��.

3. Misalkan � adalah grup bagian dari grup V�. Misalkan pula B adalah

modul-�� permutasi dengan basis natural )C�, C�, … C�, dan c adalah

modul-�� trivial dengan basis )d,. Selanjutnya diberikan fungsi

L: B � c yang didefinisikan dengan

L �� S/C/�

/�� � � �� S/�

/�� � d

untuk setiap C B. Akan ditunjukkan bahwa L adalah homomorfis-

ma-��. Misalkan D, C B dan S �.

LD F C� � L∑ S/C/�/�� F ∑ �/C/�/�� �

� L∑ S/ F �/�C/�/�� �

� ∑ S/ F �/��/�� �d

� ∑ S/�/�� F ∑ �/�/�� �d

� ∑ S/�/�� �d F ∑ �/�/�� �d

� LD� F LC�

LSC� � S ∑ S/C/�/��

� ∑ SS/�C/�/��

� ∑ SS/�/�� �d

� �S∑ S/�/�� ��d

� S�∑ S/�/�� �d�

� SLC�

113

L�C� � L� ∑ S/C/�/�� �

� L∑ S/�C/��/�� �

� L�∑ S/CH/��/�� �

� ∑ S/�/�� �d

Namun,

�LC� � �L∑ S/C/�/�� �

� �∑ S/�/�� �d

� ∑ S/�/�� ��d�

� ∑ S/�/�� �d

Dengan demikian, L�C� � �LC�. Akhirnya dapat disimpulkan

bahwa L adalah homomorfisma-��. Selain itu,

:;<L� � �� S/C/�

/�� | � S/�

/�� � 0�

�7L� � c

Definisi 3.5.5

Misalkan B dan c adalah modul-��. Fungsi L: B � c disebut isomorfisma-

�� jika L adalah homomorfisma-�� dan L dapat dibalik. Jika terdapat iso-

morfisma-�� L: B � c, maka B dan c dikatakan isomorfis dan dinotasikan

dengan B > c.

114

Teorema 3.5.6

Jika L: B � c adalah isomorfisma-��, maka L��: c � B, yaitu invers dari

L, juga merupakan isomorfisma-��.

Bukti

Jelas bahwa L�� dapat dibalik. Invers dari L�� adalah L. Selanjutnya akan di-

tunjukkan bahwa L�� adalah homomorfisma-��. Berdasar teorema 2.4.9,

L�� adalah transformasi linear. Selanjutnya, untuk setiap � � dan d c

L��L��d�� � �L�L��d��

L��L��d�� � �d

L�� �L��L��d��� � L���d�

�L��d� � L���d�

Dengan demikian, L�� adalah homomorfisma-��. Akhirnya, karena L�� da-

pat dibalik dan L�� adalah homomorfisma-��, maka L��: c � B adalah

isomorfisma-��.

■■■■

Sebagai akibat teorema 3.5.6 di atas, perhatikan bahwa jika B > c ma-

ka c > B.

Teorema 3.5.7

Misalkan B dan c adalah modul-��. Jika B > c maka

1. l17B� � l17c�

2. B tak tereduksi jika dan hanya jika c tak tereduksi.

115

3. B memuat submodul-�G trivial jika dan hanya jika c memuat sub-

modul-�G trivial.

Bukti

Misalkan B > c. Maka terdapat L: B � c sedemikian hingga L dapat diba-

lik dan L adalah homomorfisma-��.

1. Misalkan I� � )C�, C�, … , C�, basis dari B. Dengan demikian

l17B� � . Pandang himpunan I� � )LC��, LC��, … , LC��,. Ka-

rena L fungsi bijektif, banyaknya anggota I� sama dengan banyaknya

anggota I�, yaitu .

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa I� adalah basis dari c. Misal-

kan d c. Maka d � LC� untuk suatu C � ∑ �/C/�/�� B. Dengan

demikian

d � LC� � L �� �/C/�

/�� � � � �/LC/��/��

Jadi, I� merentang c. Selanjutnya misalkan

��LC�� F ��LC�� F T F ��LC�� � 0

Maka,

��LC�� F ��LC�� F T F ��LC�� � 0

L��C� F ��C� F T F ��C�� � 0

Karena L adalah transformasi linear yang injektif, ��C� F ��C� F T F��C� � 0. Namun I� bebas linear, akibatnya �� � �� � T F �� � 0.

Jadi, I� bebas linear. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa I� basis da-

ri c. Dengan demikian l17c� � � l17B�.

116

2. ?�

Misalkan B tak tereduksi. Dengan demikian B k )0, dan untuk setiap

B\ � B, jika B\ merupakan submodul-�G dari B, maka B� � )0, atau

B� � B.

Akan ditunjukkan bahwa c tak tereduksi. Dengan kata lain harus di-

tunjukkan bahwa c k )0, dan untuk setiap c\ � c, jika c\ meru-

pakan submodul-�G dari c, maka c� � )0, atau c� � c.

Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa c k )0,. Karena B k )0,, maka l17B� � g m 1. Namun B > c. Akibatnya l17c� �l17B� � g m 1. Jadi, c k )0,. Selanjutnya misalkan c\ merupakan submodul-�G dari c. Perhatikan

bahwa L��c\� � )L��d\�|d\ c\, adalah submodul-�G dari B.

Namun B tak tereduksi, akibatnya L��c\� � )0, atau L��c\� � B.

Jika L��c\� � )0,, maka

L�L��c\�� � L)0,�

c� � )0,

Jika L��c\� � B, maka

L�L��c\�� � LB�

c� � c

Dengan demikian c tak tereduksi.

A�

117

Misalkan c tak tereduksi. Dengan demikian c k )0, dan untuk se-

tiap c\ � c, jika c\ merupakan submodul-�G dari c, maka

c� � )0, atau c� � c.

Akan ditunjukkan bahwa B tak tereduksi. Dengan kata lain harus di-

tunjukkan bahwa B k )0, dan untuk setiap B\ � B, jika B\ merupakan

submodul-�G dari B, maka B� � )0, atau B� � B.

Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa B k )0,. Karena c k )0,, maka l17c� � g m 1. Namun B > c. Akibatnya l17B� �l17c� � g m 1. Jadi, B k )0,. Selanjutnya misalkan B\ merupakan submodul-�G dari B. Perhatikan

bahwa LB\� � )LC\�|C\ B\, adalah submodul-�G dari c. Namun

c tak tereduksi, akibatnya LB\� � )0, atau LB\� � c. Jika

Lc\� � )0,, maka

L���LB\�� � L��)0,�

B� � )0,

Jika LB\� � c, maka

L���LB\�� � L��c�

B� � B

Dengan demikian B tak tereduksi.

3. ?�

Misalkan B\ adalah submodul-�G trivial dari B. Dengan demikian

l17B\� � 1 dan untuk setiap C\ B\ dan � �, �C� � C\. Selanjut-

nya pandang himpunan bagian c� � LB\� � )LC��|C\ B\, dari

118

c. Jelas bahwa c� adalah submodul-�G dari c. Lebih jauh,

l17c\� � 1. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa �d� � d\ untuk

setiap d\ c\ dan � �. Jika d\ c\, maka terdapat C\ B\ sede-

mikian hingga LC�� � d\. Dengan demikian

�d� � �LC�� � L�C�� � LC�� � d\ Dengan demikian c� adalah submodul-�G trivial dari c.

A�

Misalkan c\ adalah submodul-�G trivial dari c. Dengan demikian

l17c\� � 1 dan untuk setiap d\ c\ dan � �, �d� � d\. Selan-

jutnya pandang himpunan bagian B� � L��c\� � )L��d��|d\ c\, dari B. Jelas bahwa B� adalah submodul-�G dari B. Lebih jauh,

l17B\� � 1. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa �C� � C\ untuk

setiap C\ B\ dan � �. Jika C\ B\, maka terdapat d\ c\ sede-

mikian hingga L��d�� � C\. Dengan demikian

�C\ � �L��d\� � L���d\� � L��d�� � C\ Dengan demikian B� adalah submodul-�G trivial dari B.

■■■■

Teorema 3.5.8

Misalkan B dan c adalah modul-�� dan � �. Modul-�� B dan c isomor-

fis jika dan hanya jika terdapat basis I� dari B dan basis It dari c sedemi-

kian hingga J�KI� � J�KI� untuk setiap � �.

Bukti:

?�

119

Misalkan B > c dan I� � )C�, C�, … , C�, basis dari B. Karena B > c, ma-

ka terdapat L: B � c sedemikian hingga L dapat dibalik dan L adalah ho-

momorfisma-��. Selanjutnya ambil basis It � )LC��, LC��, … , LC��, da-

ri c. Akan ditunjukkan bahwa J�KI� � J�KI� untuk setiap � �.

Misalkan � � dan C B. Karena B adalah modul-��, maka �C B. Den-

gan demikian �C � ∑ S/C/�/�� dengan S/ � untuk setiap 1 � 1,2, … , . Den-

gan demikian J�CKI� � �S�S�xS��. Di sisi lain,

�LC� � L�C� � L �� S/C/�

/�� � � � S/LC/��/��

Dengan demikian J�LC�KI� � �S�S�xS��

Jadi, J�CKI� � J�LC�KI� untuk setiap � � dan C B. Akibatnya,

J�KI� � JJ�C�KI� J�C�KI� T J�C�KI�K � JJ�LC��KI� J�LC��KI� T J�LC��KI�K � J�KI�

A�

Misalkan terdapat basis I� � )C�, C�, … , C�, dari B dan basis It �)d�, d�, … , d�, dari c sedemikian hingga J�KI� � J�KI� untuk setiap

� �. Menurut teorema 2.4.3, terdapat transformasi linear L: B � c yang

memenuhi LC/� � d/ untuk setiap 1 � 1,2, … , . Transformasi linear terse-

but diberikan dengan L∑ S/C/�/�� � � ∑ S/d/�/�� untuk setiap C � ∑ S/C/�/��

120

B. Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa L dapat dibalik dengan cara me-

nunjukkan bahwa L bijektif.

Jika LC� � 0, maka 0 � LC� � L∑ S/C/�/�� � � ∑ S/d/�/�� . Namun It be-

bas linear. Jadi S/ � 0. Akibatnya C � 0. Dengan demikian :;<L� � )0,. Jadi, L injektif. Selanjutnya jika d � ∑ S/d/�/�� c, maka terdapat C B

sedemikian hingga LC� � d, yaitu dengan memilih C � ∑ S/C/�/�� . Jadi, L

surjektif. Dengan demikian L bijektif.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa L adalah homomorfisma-�� yaitu den-

gan menunjukkan bahwa L�C� � �LC� untuk setiap C B dan d c.

L�C� � L �� � S/C/�

/�� � � L �� S/�C/�

/�� � � � S/L�C/��/��

Namun, J�KI� � J�KI� untuk setiap � �. Akibatnya L�C/� � �LC/�.

Akhirnya diperoleh

L�C� � � S/L�C/��/�� � � S/�LC/��

/�� � � � S/d/�

/�� � �LC�

Jadi, L adalah homomorfisma-��. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa L ada-

lah isomorfisma-��. Jadi, B > c.

Teorema 3.5.9

Misalkan B dan c berturut-turut adalah modul-�� dengan basis I� dan It.

Misalkan pula � dan 6 adalah representasi dari � yang berturut-turut didefini-

sikan dengan ��� � J�KI� dan 6�� � J�KI� untuk setiap � �. Modul-

�� B dan c isomorfis jika dan hanya jika � ekivalen 6.

121

Bukti

?�

Misalkan B > c. Menurut teorema 3.5.8, terdapat basis I� dari B dan basis

I� dari c sedemikian hingga J�KI] � J�KI^ untuk setiap � �. Selanjutnya

untuk setiap � �, didefinisikan suatu representasi G dari � dengan

G�� � J�KI]

Karena J�KI] � J�KI^ untuk setiap � �, maka diperoleh G�� � J�K�. Se-

lanjutnya berdasar teorema 3.2.13.1, G ekivalen � dan G ekivalen 6. Jadi, �

ekivalen 6.

A�

Misalkan representasi � dan 6 yang berturut-turut didefinisikan dengan

��� � J�KI� dan 6�� � J�KI� adalah ekivalen. Menurut teorema 3.2.13.2

terdapat basis I\ dari B sedemikian hingga 6�� � J�KI�. Namun karena

6�� � J�KI�, maka J�KI� � J�KI�. Berdasar teorema 3.5.8, B > c.

Contoh 3.5.10

Misalkan �* � ��|�* � 1� adalah grup siklik berorde 3 dan misalkan c ada-

lah modul-�� regular. Dengan demikian I � )1, �, ��, adalah basis dari c.

Selain itu,

J1KI � �1 0 00 1 00 0 1� ; J�KI � �0 0 11 0 00 1 0� ; J��KI � �0 1 00 0 11 0 0�

122

Selanjutnya perhatikan kembali contoh 3.2.12. Misalkan I\ � )C�, C�, C*, adalah basis dari modul-��* B. Dengan demikian untuk setiap � �, �C/ di-

berikan dengan

1C� � C� 1C� � C� 1C* � C*

�C� � C� �C� � C* �C* � C�

��C� � C* ��C� � C� ��C* � C�

Selain itu,

J1KI� � �1 0 00 1 00 0 1� ; J�KI� � �0 0 11 0 00 1 0� ; J��KI� � �0 1 00 0 11 0 0�

Dengan demikian J�KI � J�KI�, untuk setiap � �. Menurut teorema 3.5.8,

c > B.

Pembahasan dalam subbab ini akan diakhiri dengan pembahasan ten-

tang jumlahan langsung internal dari modul-��.

Definisi 3.5.11

Misalkan B adalah modul-�� dan B�, B�, … , B� berturut-turut adalah submo-

dul-�G dari B. Jika ruang vektor B adalah jumlahan langsung internal dari

ruang bagian B�, B�, … , B� dari B, maka modul-�� B disebut jumlahan lang-

sung internal dari submodul-�G B�, B�, … , B�. Selanjutnya, jumlahan langsung

internal dari submodul-�G B�, B�, … , B� dinotasikan dengan

B � B� � B� � … � B�

123

Perhatikan bahwa jika I�, I�, … , I� berturut-turut adalah basis dari

B�, B�, … , B�, maka berdasar teorema 2.4.25, I � I� � I� � T � I� merupa-

kan basis dari B. Akibatnya, untuk setiap � �,

J�KI � �J�KI]rxrrJ�KI^xr

TT�TrrxJ�KI�

Teorema 3.5.12

Misalkan B adalah modul-�� dan B �  � �  � � … �  � dengan  / ada-

lah submodul-�G dari B untuk setiap 1 � 1,2, … , <. Untuk setiap C B, C da-

pat dinyatakan secara tunggal dengan C � ∑ D/�/�� di mana D/  / untuk se-

tiap 1. Jika untuk setiap C � ∑ D/�/�� B didefinisikan pemetaan ¡/: B � B

dengan

¡/C� � ¡/ �� D/�

/�� � � D/ maka untuk setiap 1 � 1,2, … , <, ¡/ adalah homomorfisma-��. Selain itu, ¡/ adalah proyeksi dari B.

Bukti

Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa ¡/ adalah homomorfisma-��. Misal-

kan C � ∑ D/�/�� B dan d � ∑ D/\�/�� B dengan D/ , D/\  /. Maka,

¡/C F d� � ¡/∑ D/�/�� F ∑ D/\�/�� �

� ¡/∑ D/ F D/\��/�� �

� D/ F D/\ � ¡/C� F ¡/d�

124

Misalkan g �

¡/gC� � ¡/g ∑ D/�/�� �

� ¡/∑ gD/�/�� �

� gD/ � g¡/C�

Misalkan � �

¡/�C� � ¡/� ∑ D/�/�� �

� ¡/∑ �D/�/�� �

� �D/ � �¡/C�

Jadi, ¡/ adalah homomorfisma-��.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ¡/ adalah proyeksi dari B.

¡/¡/C� � ¡/�¡/C�� � ¡/D/� � D/ � ¡/C�

Jadi, ¡/ adalah proyeksi dari B.

■■■■

125

BAB IV

TEOREMA MASCHKE DAN LEMA SCHUR

A. Teorema Maschke

Dalam subbab ini akan dijelaskan dan dibuktikan suatu teorema yang

yang penting dalam teori representasi. Teorema ini dikemukakan oleh seo-

rang matematikawan Jerman bernama Heinrich Maschke. Oleh karenanya

teorema ini disebut teorema Maschke. Akibat dari teorema ini adalah bahwa

setiap modul-�� tak nol merupakan jumlahan langsung internal dari submo-

dul-�� tak tereduksi.

Teorema 4.1.1 (Teorema Maschke)

Misalkan � adalah grup berhingga dan � adalah modul-��. Jika � adalah

submodul-�� dari �, maka terdapat submodul-�� � dari � sedemikian

hingga � � � � �.

Bukti

Misalkan � adalah submodul-�� dari �. Ambil ruang bagian �� dari � se-

demikian hingga � � � � ��. Hal ini selalu dapat dilakukan misalnya den-

gan cara mengambil sebarang basis � �� , ��, … , ��� dari � kemudian

memperluasnya menjadi basis � �� , ��, … , �� , ��� , … , ��� dari �. Den-

gan mengambil �� � ������ , … , ��� maka diperoleh � � � � ��. Dengan

demikian, untuk setiap � � � terdapat secara tunggal � � � dan � � �� se-

demikian hingga � � � � �.

126

Selanjutnya perhatikan pemetaan �: � � � yang didefinisikan dengan

���� � ��� � �� � �

untuk setiap � � � � � � �. Menurut teorema 2.4.26, � adalah proyeksi

dengan !"��� � �� dan #$��� � �.

Perhatikan pula pemetaan %: � � � yang didefinisikan dengan

%��� � 1|�| ( )* ��)��+�,

untuk setiap � � �. Akan ditunjukkan bahwa % adalah homomorfisma-��.

Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa % adalah transformasi linear. Misalkan

�, �- � �.

%�� � �-� � |,| ∑ )* �/)�� � �-�0+�,

� |,| ∑ )* ��)� � )�-�+�,

� |,| ∑ )* /��)�� � ��)�-�0+�,

� |,| ∑ /)* ��)�� � )* ��)�-�0+�,

� |,| ∑ )* ��)��+�, � |,| ∑ )* ��)�-�+�,

� %��� � %��-�

Misalkan, 2 � �.

%�2�� � |,| ∑ )* �/)�2��0+�,

� |,| ∑ )* �/2�)��0+�,

� |,| ∑ )* /2��)��0+�,

� |,| ∑ 2/)* ��)��0+�,

127

� 2 |,| ∑ )* ��)��+�,

� 2%���

Jadi, % adalah transformasi linear.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa %�3�� � 3%��� untuk setiap � � � dan

3 � �.

%�3�� � |,| ∑ )* �/)�3��0+�,

� |,| ∑ )* �/�)3��0+�,

Misalkan 4 � )3, maka )* � 34* . Dengan demikian,

%�3�� � |,| ∑ 34* ��4��5�,

� 3 6 |,| ∑ 4* ��4��5�, 7

� 3%���

Dengan demikian % adalah homomorfisma-��.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa %% � %. Pertama-tama perhatikan bah-

wa )� � � untuk setiap � � � dan ) � �. Dengan demikian ��)�� � )�.

Selanjutnya diperoleh

%��� � |,| ∑ )* ��)��+�,

� |,| ∑ )* �)��+�,

� |,| ∑ �+�,

� �

Perhatikan pula bahwa %��� � � untuk setiap � � �. Dengan demikian,

%%��� � %/%���0 � %���. Jadi, %% � %.

128

Telah ditunjukkan bahwa % merupakan proyeksi dari �. Berdasar teorema

2.4.29, berturut-turut � � #$�%� � !"�%� dan #$�%� � �. Namun !"�%�

adalah submodul-�� dari �. Jadi, dengan memilih � � !"�%� maka dipe-

roleh � � � � �.

■■■■

Contoh 4.1.2

Misalkan � � 89 dan � adalah modul-�� permutasi dari � dengan basis nat-

ural �� , ��, �9�. Dapat ditunjukkan bahwa � � ���� � �� � �9� adalah

submodul-�� dari �. Dengan menggunakan langkah-langkah pembuktian

teorema Maschke, akan ditentukan submodul-�� � dari � sedemikian hing-

ga � � � � �.

Perhatikan bahwa �� � �� � �9� adalah basis dari �. Perluas basis tersebut

menjadi basis �� � �� � �9, � , ��� dari �. Misalkan �� � ���� , ���. Den-

gan demikian � � � � ��. Akibatnya setiap � � � dapat dinyatakan secara

tunggal dengan � � � � �� dengan � � � dan �� � ��.

Selanjutnya definisikan proyeksi �: � � � dengan

���� � ��� � ��� � �

untuk setiap � � � � �� � �. Dengan demikian diperoleh

��� � � ��0�� � �� � �9� � � � 0��� � 0

����� � ��0�� � �� � �9� � 0� � ��� � 0

���9� � �/�� � �� � �9� ; � ; ��0 � �� � �� � �9�

homomorfisma-�� %: � � � didefinisikan dengan

129

%��� � 16 ( )* ��)��+�,

untuk setiap � � �. Dengan demikian

%�� � � 16 ( )* ��)� �+�, � 13 �� � �� � �9�

%���� � 16 ( )* ��)���+�, � 13 �� � �� � �9�

%��9� � 16 ( )* ��)�9�+�, � 13 �� � �� � �9�

Selanjutnya akan dicari !"�%�. Misalkan � � > � � >��� � >9�9 � !"�%�. Maka

%��� � %�> � � >��� � >9�9�

0 � > %�� � � >�%���� � >9%��9�

0 � > 9 �� � �� � �9� � >� 9 �� � �� � �9� � >9 9 �� � �� � �9�

0 � �> � >� � >9�� � �> � >� � >9��� � �> � >� � >9��9

Karena �� , ��, �9� adalah basis dari �, maka > � >� � >9 � 0. Dengan de-

mikian

!"�%� � ?� � ( >@�@9

@A � �| ( >@9

@A � 0B Perhatikan bahwa >� � ;> ; >9. Dengan demikian

� � > � � >��� � >9�9

� > � � �;> ; >9��� � >9�9

� > � � ;> �� � ;>9�� � >9�9

� > �� ; ��� ; >9��� ; �9�

130

Jadi, !"�%� dapat dinyatakan kembali dengan

!"�%� � ���� ; ��, �� ; �9�

Berdasar bukti teorema Maschke, jika diambil � � !"�%� � ���� ;��, �� ; �9�, maka diperoleh � � � � �.

Teorema 4.1.3

Jika � adalah modul-�� tereduksi berdimensi C, maka terdapat basis dari

� sedemikian hingga untuk setiap ) � �,

D)E � FG+ HH I+J untuk suatu matriks G+ berukuran 2 K 2 dan I+ berukuran $ K $ yang me-

menuhi C � 2 � $.

Bukti:

Misalkan � adalah modul-�� tereduksi berdimensi C. Karena � tereduksi,

maka terdapat submodul-�� � sedemikian hingga LM$��� � 2 dan 0 N 2 NC. Selanjutnya berdasar teorema Maschke, terdapat submodul-�� � sedemi-

kian hingga � � � � �. Dengan demikian misalkan � �� , ��, … , ��� adalah basis dari � dan O � �� , ��, … , �P� adalah basis dari �, maka

� Q O � �� , ��, … , �� , � , ��, … , �P� adalah basis dari �. Selain

itu, LM$��� � $ � C ; 2. Selanjutnya untuk setiap ) � �,

D)E � DD)� E D)��E R D)��E D)� E D)��E R D)�PEE Namun karena � adalah submodul-�� dari � maka )�@ � � untuk setiap

M � 1,2, … , 2. Akibatnya

131

)� � 3 � � 3� �� � R � 3� �� � 0� � R � 0�P

)�� � 3 �� � 3���� � R � 3���� � 0� � R � 0�P

T )�� � 3 �� � 3���� � R � 3���� � 0� � R � 0�P

Selanjutnya diperoleh

D)� E �UVVVVW3 3� T3� 0T0 XY

YYYZ

; D)��E �UVVVVW3 �3��T3��0T0 XY

YYYZ

; … ; D)��E �UVVVVW3 �3��T3��0T0 XY

YYYZ

Demikian pula karena � adalah submodul-�� dari � maka )�\ � � untuk

setiap ] � 1,2, … , $. Akibatnya

)� � 0� � R � 0�� � ^ � � ^� �� � R � ^P �P

)�� � 0� � R � 0�� � ^ �� � ^���� � R � ^P��P

T )�P � 0� � R � 0�� � ^ P� � ^�P�� � R � ^PP�P

Selanjutnya diperoleh

D)� E �UVVVVW 0T0̂ ^� T^P XY

YYYZ ; D)��E �

UVVVVW 0T0̂ �^��T^P�XY

YYYZ ; … ; D)�PE �

UVVVVW 0T0^ P^�PT^PPXY

YYYZ

Dengan demikian

D)E � FG+ HH I+J

132

Di mana G+ dan I+ berturut-turut berukuran 2 K 2 dan $ K $ dan diberikan

dengan

G+ � _3 3� T3� 3 �3��T3��

RRR

3 �3��T3��` dan I+ � _ ^ ^� T^P

^ �^��T^P�RRR

^ P^�PT^PP`

Misalkan � adalah modul-�� dan LM$��� � C. Berdasar teorema

3.3.4, jika terdapat basis dari � sedemikian hingga untuk setiap ) � �,

D)E � FG+ a+H I+J untuk suatu matriks G+, a+ dan I+ dengan G+ berukuran 2 K 2, maka � tere-

duksi. Karena � tereduksi, berdasar teorema 4.1.3 terdapat basis - dari � se-

demikian hingga untuk setiap ) � �,

D)E � Fb+ HH c+J untuk suatu matriks b+ berukuran 2 K 2 dan c+ berukuran $ K $ yang me-

menuhi C � 2 � $. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa jika terdapat

basis dari � sedemikian hingga untuk setiap ) � �,

D)E � FG+ a+H I+J untuk suatu matriks G+, a+ dan I+ dengan G+ berukuran 2 K 2, maka terdapat

basis - dari � sedemikian hingga untuk setiap ) � �,

D)E � Fb+ HH c+J

133

untuk suatu matriks b+ berukuran 2 K 2 dan c+ berukuran $ K $ yang me-

menuhi C � 2 � $.

Contoh 4.1.4

Perhatikan kembali contoh 4.1.2. Ambil basis � �� � �� � �9, � , ��� dari

�. Untuk setiap ) � �, matriks D)E berbentuk

D)E � de e � e 90 e�� e�90 e9� e99f Selanjutnya dengan mengambil basis - � �� � �� � �9, � ; ��, �� ; �9� dari � maka untuk setiap ) � �, matriks D)Eg

D)Eg � dh 0 00 h�� h�90 h9� h99f

Teorema 4.1.5

Misalkan i: � � �j�C, �� representasi dari grup berhingga �. Jika i tereduk-

si maka i ekivalen dengan suatu representasi k di mana setiap matriks k�)�

berbentuk

k�)� � FG+ HH I+J untuk suatu matriks G+ berukuran 2 K 2 dan matriks I+ berukuran $ K $

yang memenuhi C � 2 � $.

134

Bukti

Misalkan i tereduksi. Maka menurut definisis 3.3.3, modul-�� �� yang dide-

finisikan melalui )� � i�)�� untuk setiap ) � � dan � � �� merupakan

modul-�� tereduksi. Menurut teorema 4.1.3, terdapat basis dari �� sede-

mikian hingga untuk setiap ) � �,

D)E � FG+ HH I+J untuk suatu matriks G+ berukuran 2 K 2 dan I+ berukuran $ K $ yang me-

menuhi C � 2 � $. Selanjutnya berdasar teorema 3.2.3.2, fungsi k: � ��j�C, �� yang didefinisikan dengan

k�)� � D)E � FG+ HH I+J untuk setiap ) � � adalah representasi dari �. Di sisi lain, berdasar teorema

3.2.3.1 terdapat basis - dari �� sedemikian hingga i�)� � D)El untuk se-

tiap ) � �. Dengan demikian menurut teorema 3.2.13.1, i ekivalen k.

Selanjutnya dengan menggunakan teorema Maschke, akan ditunjukkan

bahwa setiap modul-�� tak nol � merupakan jumlahan langsung internal dari

modul-�� tak tereduksi.

Definisi 4.1.6

Suatu modul-�� � dikatakan tereduksi secara lengkap jika � � � � �� �… � �m, dengan �@ adalah submodul-�� tak tereduksi dari �.

135

Teorema 4.1.7

Misalkan � adalah grup berhingga. Setiap modul-�� tak nol tereduksi secara

lengkap.

Bukti

Bukti dengan induksi matematika. Misalkan � adalah modul-��. Jika

LM$��� � 1. Jelas bahwa � tereduksi lengkap karena � tak tereduksi.

Selanjutnya misalkan untuk setiap 2 � 1,2,3, … , C ; 1, modul-�� � yang

memenuhi LM$��� � 2 tereduksi lengkap. Akan dibuktikan bahwa modul-

�� � yang memenuhi LM$��� � C tereduksi lengkap.

Ditinjau dalam dua kasus. Kasus pertama jika � tak tereduksi. Jelas bahwa te-

reduksi lengkap. Selanjutnya misalkan � tereduksi. Maka terdapat submodul-

�� � dari � sedemikian hingga 0 N LM$��� N LM$���. Menurut teorema

Maschke, terdapat submodul-�� � dari � sedemikian hingga � � � � �.

Dengan demikian 0 N LM$��� N LM$���. Selanjutnya berdasar asumsi,

�, � berturut-turut dapat dituliskan kembali dengan � � � � �� � … ��m dan � � � � �� � … � �n dengan �@, �\ merupakan modul-�� tak

tereduksi untuk setiap M dan ]. Akibatnya,

� � � � � � � � �� � … � �m � � � �� � … � �n

Jadi, � tereduksi secara lengkap. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa setiap

modul-�� tak nol tereduksi secara lengkap.

■■■■

136

Teorema 4.1.8

Misalkan � adalah modul-�� dan � adalah grup berhingga. Jika � adalah

submodul-�� dari �, maka terdapat homomorfisma-�� o: � � � sedemikian

hingga o surjektif.

Bukti

Misalkan � adalah submodul-�� dari �. Menurut teorema Maschke, terdapat

submodul-�� � dari � sedemikian hingga � � � � �. Selanjutnya didefi-

nisikan fungsi o: � � � dengan o�� � �� � � untuk setiap � � � � � � �.

Jelas bahwa o surjektif. Selanjutnya menurut teorema 3.5.12, o adalah ho-

momorfisma-��.

■■■■

B. Lema Schur

Dalam subbab ini akan dijelaskan tentang teori dasar untuk modul-��

tak tereduksi. Teorema ini mudah dibuktikan dan penting dalam teori repre-

sentasi. Akan dijelaskan pula aplikasinya untuk menentukan semua represen-

tasi tak tereduksi dari darab langsung dari sejumlah berhingga grup siklik.

Teorema 4.2.1 (Lema Schur)

Misalkan � dan � adalah modul-�� tak tereduksi.

1. Jika %: � � � adalah homomorfisma-��, maka % adalah isomorfis-

ma-�� atau %��� � 0 untuk setiap � � �.

2. Jika %: � � � adalah homomorfisma-��, maka % adalah kelipatan

skalar endomorfisma identitas #p.

137

Bukti

1. Misalkan %: � � � adalah homomorfisma-�� dan terdapat � � � se-

demikian hingga %��� q 0. Karena terdapat � � � sedemikian hingga

%��� q 0, maka #$�%� q �0� dan !"�%� q �. Selanjutnya perhati-

kan bahwa #$�%� adalah submodul-�� dari �. Namun karena � tak

tereduksi dan #$�%� q �0� maka #$�%� � �. Perhatikan pula bahwa

!"�%� adalah submodul-�� dari �. Namun karena � tak tereduksi

dan !"�%� q � maka !"�%� � �0�. Telah ditunjukkan bahwa

#$�%� � � dan !"�%� � �0�. Dengan demikian % dapat dibalik. Ja-

di, % adalah isomorfisma-��.

2. Misalkan %: � � � adalah homomorfisma-��. Berdasar teorema

2.4.31, endomorfisma % memiliki nilai eigen >. Dengan demikian

!"�% ; >#p� q �0�. Karena !"�% ; >#p� adalah submodul-�� dari

� dan � tak tereduksi, akibatnya !"�% ; >#p� � �. Dengan demi-

kian, untuk setiap � � �,

�% ; >#p���� � %��� ; �>#p����

0 � %��� ; >#p���

%��� � >#p���

Jadi, % � >#p

Teorema 4.2.2

Jika � adalah modul-�� tak nol dan setiap homomorfisma-�� �: � � � ada-

lah kelipatan skalar dari #p, maka � tak tereduksi.

138

Bukti

Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Misalkan � tereduksi. Dengan demi-

kian terdapat submodul-�� � dari � sedemikian hingga � q �0� dan � q �.

Selanjutnya berdasar teorema Maschke, terdapat submodul-�� � dari � se-

demikian hingga � � � � �. Berdasar teorema, proyeksi o: � � � yang di-

definisikan dengan o�� � �� � � untuk setiap � � � dan � � � adalah

homomorfisma-�� dan bukan kelipatan skalar dari #p. Dengan demikian

timbul kontradiksi. Jadi, � tak tereduksi.

Teorema 4.2.3

Misalkan i: � � �j�C, �� adalah representasi dari �. Representasi i tak te-

reduksi jika dan hanya jika setiap matriks b berukuran C K C yang memenuhi

i�)�b � bi�)� untuk setiap ) � � berbentuk b � >#� dengan > � �.

Bukti

�r�

Misalkan i tak tereduksi dan b adalah matriks berukuran C K C yang meme-

nuhi i�)�b � bi�)� untuk setiap ) � �. Akan ditunjukkan bahwa b � >#�

dengan > � �.

Perhatikan bahwa representasi i tak tereduksi jika dan hanya jika modul-��

�� yang diperoleh dengan mendefinisikan )� � i�)�� untuk setiap � � �

dan ) � � tak tereduksi. Selanjutnya pandang endomorfisma �: �� � ��

yang didefiniskan dengan ���� � b� untuk setiap � � �. Untuk setiap � � �

dan ) � �,

139

��)�� � b�)�� � b�i�)��� � /bi�)�0�

� �i�)�b�� � i�)��b�� � )����

Dengan demikian � adalah homomorfisma-��. Menurut lema Schur, � ada-

lah kelipatan skalar endomorfisma identitas #�s. Dengan demikian untuk se-

tiap � � �,

���� � �>#�s����

b� � �>#���

b � >#�

�t�

Misalkan setiap matriks b berukuran C K C yang memenuhi i�)�b � bi�)�

untuk setiap ) � � berbentuk b � >#� dengan > � �. Akan ditunjukkan bah-

wa representasi i tak tereduksi dengan cara menujukkan bahwa modul-�� ��

yang diperoleh dengan mendefinisikan )� � i�)�� untuk setiap � � � dan

) � � tak tereduksi.

Misalkan �: �� � �� adalah homomorfisma-��. Karena � adalah transfor-

masi linear, maka terdapat matriks b berukuran C K C sedemikian hingga

���� � b� untuk setiap � � �. Namun � adalah homomorfisma-��. Akibat-

nya, i�)�b � bi�)� untuk setiap ) � �. Berdasar asumsi, b � >#� untuk

suatu > � �. Dengan demikian, untuk setiap � � �

���� � b� � >#�� � �>#�s��

Jadi, � � >#�s. Berdasar teorema 4.2.2, �� tak tereduksi.

140

Contoh 4.2.4

Misalkan � � u9 � ve|e9 � 1w dan i: � � �j�C, �� adalah representasi dari

� yang diberikan dengan

i�1� � x1 00 1y ; i�e� � x0 ;11 ;1y ; i�e�� � x;1 1;1 0y Perhatikan bahwa untuk setiap ) � �,

i�)� x0 ;11 ;1y � x0 ;11 ;1y i�)�

Namun, x0 ;11 ;1y q > x1 00 1y. Dengan demikian berdasar teorema 4.2.3, re-

presentasi i tereduksi.

Selanjutnya akan dibahas aplikasi lema Schur dalam menentukan semua

representasi tak tereduksi dari darab langsung dari sejumlah berhingga grup

siklik. Pertama-tama akan ditentukan terlebih dahulu dimensi dari sebarang

modul-�� tak tereduksi � jika � grup Abel berhingga.

Teorema 4.2.5

Jika � adalah grup Abel berhingga dan � adalah modul-�� tak tereduksi,

maka LM$��� � 1.

Bukti

Misalkan � adalah grup Abel berhingga dan � adalah modul-�� tak tereduk-

si. Akan ditunjukkan bahwa LM$��� � 1.

Misalkan 3 � �. Karena � adalah grup Abel, maka untuk setiap ) � � dan

� � �

141

3�)�� � �3)�� � �)3�� � )�3��

Dengan demikian endomorfisma �z: � � � yang didefinisikan dengan

�z��� � 3� untuk setiap � � � adalah homomorfisma-��. Hal ini tampak

dari penurunan berikut:

�z�)�� � 3�)�� � )�3�� � )�z���

Selanjutnya berdasar lema Schur, �z � >z#p untuk suatu >z � �. Jadi, untuk

setiap � � �,

�z��� � >z#p��� � >z�

Namun �z��� � 3�, dengan demikian 3� � >z�. Dengan demikian setiap

ruang bagian dari � adalah submodul-�� dari �. Karena � tak tereduksi, da-

pat disimpulkan bahwa LM$��� � 1.

Misalkan u�{ , u�| , … , u�} adalah grup-grup siklik yang berturut-turut

berorde C , C�, … , Cm. Akan dicari seluruh representasi tak tereduksi dari da-

rab langsung � � u�{ K u�| K … K u�}. Perhatikan bahwa karena u�~ ada-

lah grup Abel untuk setiap ] � 1,2, … , " akibatnya � juga merupakan grup

Abel.

Misalkan � , ��, … , �m berturut-turut adalah pembangun dari grup siklik

u�{ , u�| , … , u�}. Selanjutnya tuliskan

)\ � /1, … , �\ , … 10 (�\ pada posisi ke-]) Dengan demikian

� � �) P{)�P| … )mP}|0 � $\ � C\ ; 1; ] � 1,2, … , "�

142

Bukti dari persamaan di atas adalah sebagai berikut. Misalkan ) � �.

Dengan demikian ) � �e , e�, … , em� dengan e\ � u�~ untuk setiap ] �1,2, … , ". Selanjutnya karena �\ pembangun dari u�~ akibatnya e\ � �\P~ un-

tuk suatu $\ yang memenuhi 0 � $\ � C\ ; 1. Sehingga diperoleh

) � /� P{ , ��P| , … , �mP}0

� /� P{ , 1, … ,10/1, ��P| , … ,10 … /1,1, … , �mP}0

� �� , 1, … ,1�P{�1, ��, … ,1�P| … �1,1, … , �m�P}

� ) P{)�P| … )mP}

Jadi, ) � �) P{)�P| … )mP}|0 � $\ � C\ ; 1; ] � 1,2, … , "�. Dengan demi-

kian � � �) P{)�P| … )mP}|0 � $\ � C\ ; 1; ] � 1,2, … , "�. Selanjutnya misalkan ) � �) P{)�P| … )mP}|0 � $\ � C\ ; 1; ] �

1,2, … , "�. Dengan demikian ) � ) P{)�P| … )mP} untuk suatu

$ , $�, … , $m yang memenuhi 0 � $\ � C\ ; 1 untuk setiap ] � 1,2, … , ".

Selanjutnya,

) � �� , 1, … ,1�P{�1, ��, … ,1�P| … �1,1, … , �m�P}

� /� P{ , 1, … ,10/1, ��P| , … ,10 … /1,1, … , �mP}0

� /� P{ , ��P| , … , �mP}0

Perhatikan bahwa �\P~ � u�~ untuk setiap ] � 1,2, … , ". Jadi ) � �.

Dengan demikian �) P{)�P| … )mP}|0 � $\ � C\ ; 1; ] � 1,2, … , "� � �.

Akhirnya dapat disimpulkan bahwa

� � �) P{)�P| … )mP}|0 � $\ � C\ ; 1; ] � 1,2, … , "�

143

Selanjutnya misalkan i: � � �j�C, �� adalah representasi tak tereduksi

dari �. Berdasar definisi, i tak tereduksi jika dan hanya jika modul-�� ��

yang diperoleh dengan mendefinisikan )� � i�)�� untuk setiap � � �� dan

) � � tak tereduksi. Namun � adalah grup Abel. Berdasar teorema 4.2.5,

LM$���� � C � 1. Dengan demikian, untuk setiap ] � 1,2, … , ", terdapat

>\ � � sedemikian hingga

i/)\0 � >\

Perhatikan bahwa

)\�~ � /1, … , �\, … 10�~ � 61, … , �\�~ , … 17 � �1, … ,1, … 1�

Informasi ini akan digunakan untuk menentukan nilai >\.

i/)\�~0 � i � )\)\ … )\�������n������� �~� � i/)\0i/)\0 … i/)\0�������������n������� �~

� >\>\ … >\�����n������� �~� >\�~ � 1

Tampak bahwa >\ adalah akar kompleks dari persamaan >\�~ � 1. Dengan

dimikian >\ � !|��s~ @ dengan 2 � 0,1,2, … , C\ ; 1.

Selanjutnya misalkan ) � �. Dengan demikian ) � ) P{)�P| … )mP}

untuk suatu bilangan bulat $ , $�, … , $m. Dengan demikian

i�)� � i�) P{)�P| … )mP}� � > P{>�P| … >mP}

Simbolkan representasi demikian dengan i�{,�|,… ,�}.

Perhatikan bahwa persamaan >\�~ � 1 memiliki ] buah akar yang ber-

beda. Dengan demikian banyaknya representasi i�{,�|,… ,�} yang dapat diben-

tuk adalah C C� … Cm � |�|. Representsi-representasi tersebut tidak ekivalen

satu sama lain karena untuk setiap matriks � berukuran 1 K 1 dan ) � �,

144

�* i�{,�|,… ,�}�)�� � i�{,�|,… ,�}�)�. Hasil ini dirangkum dalam teorema di

bawah ini.

Teorema 4.2.6

Misalkan u�{ , u�| , … , u�} adalah grup-grup siklik yang berturut-turut berode

C , C�, … , Cm dan � � u�{ K u�| K … K u�}. Terdapat sebanyak |�| repre-

sentasi tak tereduksi dari �. Representasi-representasi tersebut berbentuk

i�{,�|,…,�} dengan >\ � !|��s~ @ /2 � 0,1, … , C\ ; 1; ] � 1,2, … , "0 dan tidak

ekivalen satu sama lain.

Contoh 4.2.7

1. Misalkan � � u� � ve|e� � 1w. Akar-akar kompleks dari persamaan

�� � 1 adalah � � 1, �� � ;1, �9 � M, �� � ;M. Dengan demikian

representasi-representasi tak tereduksi dari � adalah sebagai berikut

i �e�� � 1� � 1

i* �e�� � �;1��

i@�e�� � M�

i*@�e�� � �;M��

dengan 2 � 0,1,2,3.

2. Misalkan � � u� K u�. Akar kompleks dari persamaan �� � 1 adalah

� � 1, �� � ;1, �9 � M, �� � ;M. Selain itu, akar kompleks dari

145

persamaan �� � 1 adalah � � 1, �� � ;1. Dengan demikian seluruh

representasi tak tereduksi dari � adalah sebagai berikut

i , /�e� , h��0 � 1�1� � 1

i ,* /�e�, h��0 � 1��;1�� � �;1��

i* , /�e� , h��0 � �;1��1� � �;1��

i* ,* /�e�, h��0 � �;1���;1�� � �;1����

i@, /�e�, h��0 � M�1� � M�

i@,* /�e�, h��0 � M��;1��

i*@, /�e� , h��0 � �;M��1� � �;M��

i*@,* /�e�, h��0 � �;M���;1��

dengan � � 0,1,2,3 dan � � 0,1.

146

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Representasi dari grup � atas lapangan kompleks � adalah homomor-

fisma i: � � �j�C, �� untuk suatu C � �. Selanjutnya C disebut derajat dari

representasi i. Jika i dan k keduanya adalah representasi dari �, maka kedua

representasi ini dikatakan ekivalen jika dan hanya jika berderajat sama dan

terdapat matriks tak singular � sedemikian hingga �* i�)�� � k�)� untuk

setiap ) � �. Suatu representasi dikatakan sesuai jika bersifat injektif. Repre-

sentasi trivial didefinisikan sebagai representasi i: � � �j�C, �� yang me-

menuhi i�)� � 1 untuk setiap ) � �.

Terdapat hubungan erat antara representasi dari � dengan suatu modul-

��. Jika i: � � �j�C, �� adalah representasi dari �, maka ruang vektor ��

merupakan modul-�� dengan mendefinisikan operasi perkalian )� dengan

)� � i�)�� untuk setiap ) � � dan � � ��. Selain itu, jika � adalah modul-

�� dan adalah basis dari �, maka fungsi % yang didefinisikan dengan

%�)� � D)E untuk setiap ) � � adalah representasi dari �.

Misalkan � adalah grup berhingga dan � adalah modul-��. Teorema

Maschke menjamin bahwa jika � adalah submodul-�� dari �, maka terdapat

submodul-�� � dari � sedemikian hingga � � � � �. Akibat dari teorema

ini adalah bahwa setiap modul-�� merupakan jumlahan langsung internal da-

ri submodul-�� tak tereduksi. Akibat lain dari teorema ini adalah jika � ada-

147

lah modul-��, � adalah grup berhingga dan � adalah submodul-�� dari �,

maka terdapat homomorfisma-�� o: � � � sedemikian hingga o surjektif.

Akhirnya, lema Schur merupakan lema penting yang terkait dengan

modul-�� tak tereduksi. Lema tersebut menjamin bahwa jika � dan � ada-

lah modul-�� tak tereduksi, maka homomorfisma-�� %: � � � adalah iso-

morfisma-�� atau %��� � 0 untuk setiap � � �. Selain itu, jika %: � � �

adalah isomorfisma-��, maka % adalah kelipatan skalar dari endomorfisma

identitas #p.

B. Saran

Skripsi ini hanya membahas representasi grup berhingga pada lapangan

kompleks �. Selain itu, aplikasinya dalam kehidupan nyata juga tidak diba-

has. Oleh karena itu, skripsi ini dapat dikembangkan lebih lanjut ke pembaha-

san tentang representasi grup secara umum pada sebarang lapangan � serta

aplikasinya pada kehidupan nyata.

148

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. and Busby, R. C. (2003). Contemporary Linear Algebra. New York: John Wiley & Son, Inc.

Anton, H. and Rorres, C. (1991). Elementry Linear Algebra: Application Version.

New York: John Wiley & Sons, Inc. Chen, J.Q. (1989). Group Representation Theory for Physicists. Singapore: World

Scientific. Fraleigh, J.B. (2003). A First Course in Abstract Algebra. Boston: Addison-

Wesley. Gallian, J.A. (1998). Contemporary Abstract Algebra. New York: Houghton Mif-

flin Company. Hungerford, T.W. (1974). Algebra. New York: Springer-Verlag. Jacob, B. (1990). Linear Algebra. New York: WH Freeman and Company. James, G. and Liebeck, M. (2001). Representation and Character of Groups.

Cambridge: Cambridge University Press. Janich, K. (1994). Linear Algebra. New York: Springer-Verlag.