79

Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

  • Upload
    vuthu

  • View
    227

  • Download
    1

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

� �� �� � ������ � ��� ���� ��� �����

��������� � ����� !�� "�#� �$% &�����# ' �(���$)�*+,����$ �! * ##�-��) ./-�

01'���� � 2 3�,$% 4 5� 2

6

Page 2: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

�������

��� 6 �� � �� ���� 6� 6� � � �� ��� �� ��� ��� ����� �� ���� ���� 6��� � ����6� � � 6� ����� 6� ��������� � � � ����6� �� ��� ������6�� !�������"�� 6� # !$ % ����� ��� & �� �� ��� ���6 ��� � ����� 6 � �� 6����� 6�� ������ ��� ���� 6 � �6 ��� �'��� 6� � � �� �������� �&������� ����6 ��� ����&�� ���& ��� ���� ��� �� 6� 6 �� ��� ���� 6" � &� ���� 6 � ���� 6��� � 6�� �(��� ���� ) � ��� ���� � ���*� ��� !$ ����� ��� ����� ������� �� ���& ��� � � +�� 6�����6� �� ���� 6��� � 6�� �����,& ���� ���� 6 � ��� & �� �� ����� 6������ �� 6 ������ 6 � ������ ��� �������� ���� 6�������� �+�� � � � 6��� �� ����� 6 �� 6� ����6� ���� �� ���� 6 � 6����� �

+�� ���� 6� ��� �� 6� 6 ���� ��� � &� � ��� 6�� 6 -��&� 6�� � .) ��� ��� ��� 6 � ����� ����� �������� ��� � 6�� / ��� �� �� 6�� ���� ���� �� � �� � ������� � ��� 6 � � 6� � 6�� � . 6��� � � ���� 6 ������ �'��� 6� � � ���&��� 6 6 � 6 ����� ��� 6�� �� ��� ����6� � 0 1234 � ������� 5���� ��6��� ��� 6� ����6� �� +�� 7 6����6�� �� +�"�� �� )��� 6 �

5��&��� .��� 6� 89+:;� ��� ����� � ����6� � ���� � 6�6 � ��� ��� ����6� � �� ��� ��� � ����6� � ��� � 6��� 6�� ��� 6��� � ��� ��� ���� ��� ���������� �� 6 � ���� ��� ������ 6��� ����� �6 ������ ��� ������� 6� � & 6� 6<��� � ���� ��� �� � ����� � 6� ���� 6� 4= ����� ��� >

��� 6 ? 6 �� 6 ������� �� 6� ��� �6��� ���� 6� �� ��� ��� 6�� �� ��� �� 6� 6 �� ����6� � ��������� �� ����6� � ��� 6 �� � � @� � @���& ���� 6A� � ������� � � '���� 6� � � ���� 6 �� ��� ��� ���� & �� ��� � B�� 6 ��� �� � 8����� C �D � C �4 ��� ���� ���� � ����� ��� 6�6� E&�� � �� ���� �� 6� �� ���� �� ��� �� 6� 6 �� �� ��� �� � ���6& �� �

FGHG I J FKLMN OHP QORSP T J U SH VOSP

66

Page 3: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

������ ��� � ������ ��� �� ��� ������ ����������������� � � � ����� ��� �

&���� 6 . � �� � � �� �

+���6� ��&� 6��� 6 ���� 6�� �� �A ��� � ��� ��� ��'� 6���� �� ��� ��� ����� ��

�� ���� �� (� 6�������

�������� � �� . ����� �� 6��

������ 7 6����6��-��&� 6�� � . ��� �

. �� 1� 124=

666

Page 4: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

��������

+�� ������ 6� ������� 6 �&�� �� (�������� @������ 5 6����< ��� � 6� ���� ��� ������� 6� � � � 6��� 6� �� 6 ��� ����� � 6 ���� 6��� 6� � +�� 6 ������ � � ��������� � �� (�������� 5 6����< ������ 6����� 6 � � �����&�� �

+�� ������ ���������� ��� �� ����� ��� ������� �� ��� !� �� �� � ���� $������� � �"�� � �������-� ����� � 46�� 66=3��D � � 6�� ������ 7 6���� 6���

6�

Page 5: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

��� � � � ��������

B������ 6�0 ������ 6� 1

-������ 0 (��� 6�� � 6<��� �� :'��� 6� � �� : ��6�� 6� +�� � �

�1� 5��6� B���� 3�� � ����� 6��� . ����� 1D

-������ 00 $���� �� -� ����� �� �� ��� ?����� . ���� � �� ��� 8 6�&�� .���� � 1�� � +�� $��� �� -� ����� �� �� � 8 6 ��� +�� ����� �� 6� � 1�D � +�� ?����� .���� �4�4 � +�� 8 6�&�� .���� � 6�� � -� � 6��� � !��� 6 � �4�� � !���� !��� 6 �� DD�3 � +�� 7�� �� 8���� )������ 6� -����� 6 � .��� 6 �� D2

-������ 000 +�� ������ 6�� !�������"�� 6� .���� 4 1�C � : 6�� ������ � : 6�� ������� 4��2 � +�� �� �� 6�� 6�� !��� ��� 8 6�&�� .���� �=�1= � +�� ������ 6 �� 6� �� ��� !�� 6��� $���"�� 6� B����� ��

$����� ��� 3= ������ 3�

Page 6: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

������������B 6 6�� 6<��� �� ������ �<�� � � ������� ���� ��� �&�� 6 6 � �����" 6���� ���� 6��� �� ��� 6� � ����� � 6<��� � 6�� �'��� 6� � ����� � ���� 6� ����� 6� � ��� �� � �� � +�� 6<��� � 6�� �'��� 6� 6���� ���� &� � 6<��� �� �'��� 6� �� 6�� ���� & � ��� 6�A� &� ��� ������ �� ��� � � �� �� �� 6� �� � A 6�� ��� �� � � 6 �� 6 ��� ��� 6 � � �� ��� 6 �� � � � ��� 6�& �� � +� 6� ��� �� � � 6 �� ��������� �6��� �� ��� ��� � �� �� � � 6 �� � �� � �'���� ������ � �� �� 6 � 6 � +�� ���� � 6*� 6�� ��� &� � # =% �

0� 6� ���� 6 -������ 0 ���� 6� � 6� ��� ��&�� �� �� � � 6 �� � � # � � � � � � � � � % 6� ���� � �� �� �� 6� � ������� � 6 � �� � �6 ��� ���� �� � 6 � ���� ���� ���� 6�� 6<��� � 6�� �'��� 6� �� ���6�� 6� ��� � � 6�� ������ 6& � &�� ��� ������ � ���� ��� 6��� � ������ �� �6 ��� �'��� 6� � �� ������� ��

�� � �� ��� � �� � = #� � 1 � � � ���� � %#= �1%

����� ��� ���� � 6� �� �� �� ��� ���� � �����

� ! "

#�% ��� = #� � 1 � � � � � � � � %#& % �� �� # = #� $� % E � � % � 1 � � � � � � � � %

#�% ��� &�'� � �� (��)�� �� ) #� � 1 � � � � � � � � % � ��� ���� �

��� �'� � �� (��)�� �� )

# % +�� � * � ���� 6" #�� �� % 6� ������� �� � �+ ���� 6� � � 6�� � � ��� � ����� ������� � ���� ��&���� � ,- � ,. �� ��� ��� �� ��� A���� 6 ������ ����� �" 6��� �� �� $� = ���� ���� � / ,0 � % / ,1 �

#= ��%

�2������ 3 45 ) 6<��� �� �'��� 6� 6� � ����� 6� � ��� ����� �� ��� ���� #= �1% � ��� �� �� � 6� ���� #�� �� % ��� 6��� �� 6� 6� � #= ��% � �2������ 3 46 ) ���6�� 6� 6<��� �� �'��� 6� 6� �� � ��7 ���� 6�

#� % �� �� � �� �� #� � % � 1 � � � � � � � � % �#= ��%) ������� ��� A 6�� 6<��� �� � ������ �� � ���� ��� 6 � ���� 6�� 6<��� � 6�� �'��� 6� 6� ���� ��� 6 � �

6� ��� � ��� �6*� 6� ������ � �� ��� �"����� ��� ��� & �� ���� #� % � 6�� � �� ��� & � ���A ��� � 8������ ��� 6 ��6 � #�% ��� ���� � ���6&�� � � ����� ������ ����� ��� 6� 6� ��� �

@� 6� 6 ��� 91�: ��� ���� ���� � � ������ �� �'��� 6� � � ���A ��6 � ��� �� 6� 6� � #= ��% ��� �� 6'�� ����� 6� � +�� ����� � 6�� & � � 6�� 6 -������ 0 � )������� �&�� 6 6 � ��� ����� 6� � ������� �� �� & � ���� ��& �� 6��� �

0� 6� ��� ���� ��� �� �� 6� ����6� �� �� �6�� ��� ����� 6��& 6�6�� �� ��� ��� 6��� ������ ��� ���� 6 ������ �'��� 6� � � � 6�� �� �� 6�� ������6� � ����� � ����� �� 6�� ��� ����� �� ����� ����� �� 6������� 6 � ���� 6 �� � 0 ����� & � ���� 6������� �� ��� � � 6�� ��� � 6� 6����� (��&��� �//////////////;<=>?>@A=? BCDE F GHIJ=?K >@ J?LMN=OK P B E P ?=Q=? OR OS= J>JT>RA?LUSV LO OS= =@W RQ OS= OS=K>K F

1

Page 7: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

� 6���� ������ ���� �� ��� ��� �� ����� 6 � �� � ��6� 6 �� 6� ��� ���� 6 � #= �1% � �� ��� ����� & � ���� ����� 6��� ��� � 6� ����� � � ��� 6��� ������ �� ������� 6�� �����" 6��� 6� ��� �������������� � 6 ��� 6 � ��� 6����� 6�� ������ �� ?����� 912: � 8 6�&�� 9� 1: #�� 6A� &� �������� 8����� 9�= :% � ��� ����"�� 6� ������ �� �������� 9�� : �

B�� ����� � ����� � ��& 6����� 6 6� 6�� �����" 6��� 6� �1� � # �1�� � �1�� � � � � � �1�� % 6� ����� � �������6���� 6������ � ! � �&�� 6 � � ��'�� �� � �� � � ���� ���� � �� ��� �� 6� 6� � � #�� �� %

�6���� �� �� � � #� � 1 � � � � � � � � %#= �D %

#�% B�� ��� � ��� �� � ����� � �� 6�� ��� ����6� &� ?����� �� � �� �� 6�� ���� �� #= �1% � ��� ��'�� ��� �� � � 6� �A � &�

�� ��� � ���� �� (��

�� �����

�� �� �����

#� � 1 � � � � � � � � %#= �4%

��#= �4�% �� �� � � 9 �� � : � � ������ � 6� � �6 ��� �� ������ � � ��� ������ ����� �� � 6��� ��� �� ������" ��&��� � � �������� ������ � 6� � 6�� &�

� � # � �� ��

� �����

� � � � � ���� �

% �#= ��%

#& % B�� ��� � ���� ��� � ����� � � � 6�� 6� �������� � �� �� 6�� ���� �� ��� @����6 � 6�� . ���� 9�C: ���� �'��� 6� � ��� ���� 6 � ������ 6& � ���� � � � � ��� ��'�� �� � �� � � 6� �A � &�

�� ��� � �� ���� � �� �

��� ��

�� ��� ����� � �� �

��� ��

�� �� �����

#� � 1 � � � � � � � � %#= �3%

��#= �3�% �� �� � �� 9 �� � : � � �- ������� �� 6� � �6 ��� �������� � � �

0 -������ 0 � � ����� � �� �� @� 6� 6 ��� 91� : 6� � 6�� ��� ��� �� ����� �� �� ��� ?����� � 8 6�&�� .����� � ��6 � ��� ���� ���� ��� � ��� 6" #�� �� % ��� 6�A�� ��� �� 6� 6� � #= ��% �#�% B�� ��� �� ������� � ������ � � � A��� �������� ��� ���6���� �� �1� &� ��� �������

� �1�� � ��

���� � �� ��

�1�� � ���� #� � 1 � � � � � � � � % �#= �C%

0� � �1�� � = ��� ��� � � �1� ��� 6�A�� #= �1% � !����� 6�� � ��� ������ �� �1�� ��� ������ � ��� ���6����

��� ��������� � +� 6� ��� ���� 6� �� � 6 �� � � 6� ��� ���6���� ��� ����� �� � ���6� 6&�� ���� � � ���"��� 6 ������ 6� � ��� ������� � 6�� ��� � 6 � �� 6� E ���� ���� �� #��� ����"�� 6� ������% ������ ���� � �� 6 ������� �� ���� ���� �� � ��� ��� & ��� � ���6&�� ����� ��� � 911: � ! ��� ����� �� � � 6��6 ���������� � ����� ��� �� ��'� 6�� E &� ����� 6 � ��� ���� 6 ���� �� �1� � � �� � � 6�� � ���� � ����

Page 8: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

�� ������ ��� ������� � 6 � ���6��� � � �� ���� ��� ���� 6 ���� ��� ������ ����6����� 6 ������� 6& � ���� � � � ��� ��� 8 6�&�� .���� � ) � � � ���6��� � �� �

� �� &� ������ �� �� ���� �

� ! " �� ��� � �� �� #% $� �% �� ��� � �� �� � � �� �

����

#= �2%

�� �� & � ��� 6A� 6������� +� 6� 6� ����� �� �� ��� ��� ��� 6��� � �� �� � ! � ��� 6��� ��� �� ����" 6 �

��� ���6���� 6� �� ����" ��� ���6��� �� ������� ��� 6��� �� ���� ����� � 0 -������ 0 � � ����� ���� +����� 9�4: � 6� � 6�� ��� ��� �� ����� �� �� �� 6� ��� ����� ��� #�� �� % ��� 6�A�� #= ��% � #= ��% �0� � �� #= ��% 6� ������ � ��� ����� 6� ���� �� �� ����� � �� � ���� ������� 6� � ��� ������ ����" 6 � �

��� 6��� �� 6��� ���� & �� 6 ��� ��� �� ���������� ��� �� ����� �� � ���� �� � � �� �� �������#9�� : ���� 44% ����� � ����� �� ������ �� �� ��� �� 6A� �6����� ������� � ������ �������� ������� ������� #9��: ���� �4% � ����� � � �� 6A�� �� �� &� ���� �� ���� � ���� ��� 6����� ��� 6 6���� &� #= �2% � +���� � 6�� & � 6������ ����� 6 �� 6� ���� 6� �

:��� � 911: ��� 6����� ���� &� ���� �� ��� �� ��� ����"�� 6� ������ � ��� ��& �� ��'� 6�� &� ���8 6�&�� .���� �� & � ����� &� � ������ �� 4 � ������� � ��� �<��� 6�� ��� �� ����"�� 6� ��������'� 6��� ��� 6 � �� ��� ���6���� � � ��� ���� �� 6�� 6� ���� ��� � ���� �������� &�� �� 6�� �� ��& � � � �� � 6� ��� &� � � ����� ������� 6� ������ 6 � ���� 6 � 6 �" 6��� �� �� & � 6 � &� 6�� �

0����� 6�� ������ � � ��� ����� �� � ��� ��� �� & � & ��� �� 6�� ��� ����� ������� 6� ������ 6 ����� 6 �� � 0 -������ 00 � ��� ����� �� �� ����� �� �� ��� ?����� � 8 6�&� � .����� ������ 6� 6 ��� 6� � +�� ����� �� �� ����� �� �� � � ��� � 6�� ������ �� ��� �� ������� � � ������ ��� 6����� B�� ��� ���� �� ����� � 6�� ������ � �� ���� ��� �� ��� ���� ���� ��� ���� 6" #�� �� % ������� ���� #�� % ��� ���� � � +� 6� ���� ���� 6� �� �A � �

�2������ 3 4� ) � * � ���� 6" #�� �� % ��� ���� ���� #�� % 6� ����� �" 6�� � ����� 6�� � 6 ���&���� � � � � � � � � � � � � �� � ��� ��� �� ��� A��� � 6 ������ � ���� ����

��� � �� � � � ���� ���� ���

� � �� & � ��& ��� �� ����

�� �� � = � ���� � � % �� � / �� � % / ��� � �� � �#= �1=%

#5� �� �� � 6� � 1 � � � � � ��� ��� ����� ��� �%

6 �� #�� �� % ��� ���� ���� #�� % ��� ���� � � 6� 6� ���� �� ���� ���� 6� � 6� � � 6�� ����� �� � � #� % 6����� � � 6�� ����� � +���� �" 6�� ����� 6 ���� 6 �� � � � �� ��� �'��� 6� � � ����� ���������� ����� ���� ����� ���� �� ���� ���� �� 6� #� � � % �� � 6�� ������ �� � �������� � � � 6�� ����� � � � � �� �� � +������ �� �� ����� �� �� �� 6� �"����� �� 6�� ���� �� � � +� 6� ��� & �� ���� �� & � ���� O���� �K �SVOLL�6 � &� ������� � 8����� 9�= : � ) �"��6� 6� �"�����6� �� ��� � 6�� ������� �� �� 6 ���� � �� ���� 6�� ������� �� � 6� ���� � 6�� � 0� �� �� � �� �� ��� � 6�� ������ �� � � �� ��� ���� � ��� ���� ��� �� ���� �� ��� ������� � 6 � ���� 6��� ��� 6��� �� � 6�� ��� � ��� 6&�� �"���� 6� �� ��� ��&��������� � 6��� � 6�� � � = ��� �� �

0� � ���� � ��� � �� ��� � � �� ��� ��� � 6� 6����� (��&��� � ��� � 6�� ������� �� � ��� ������� �� � B����� � 6� 6����� (��&��� ��� � 6�� ������ � � 6�� ������� �� � � �� �� & � ������� �"����� ���� ����� ����� ��� 6� � B�� � � ���� 6 � � � � � ��� ����� ���� �� ��� ���� 6" �� ��� 6� 6��� �� � 6���� ���� 6 ���� �� � ��& 6����� ������ 6 � ������� �� ��� &��6� �� � 6�� ������� �� � ��� � �� ���� ���� 6 ���� �� ���� ���� ������ ������� �� ��� &�� 6� �� � 6�� ������� �� ��� �� & � ������� ��� �� �

Page 9: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

B�� ��� ������� 6� ���� � � �� � ������ ���� &� ��� 8 6�&� � .���� � ��� ���� �� �� ����� ���� �� & � 6 ������ &� ��6 � � ���� 6 � �� 6�� 6� �� �� �6��� � 6� ����� 6 � � �� �� 6�� ���� � ��� ���� 6��� ��� 6�� & ��� ��� � �� � ������ &� ������� � 8����� 9�= : ���� ��� ����� � #�� ������� � % ��� ���� �� �� ����� �� �� �� 6� ����� 6����� 6 �� � � � �� � �

0� 6� ���� ���� ���� ��� ����� � ����� ��� ��&�� �� 6����� 6� � ��'� 6�� �� ����� ��� ����� ��� 6 6� 6�� ����� �� �� 6�

�� �1� � � � ���� �

� �1��� ����

#= �11%

����� � �1�� � �1�� � #� � 1 � � � � � � � � %#= �1�%�� � �A 6�� ����� 6� �� 6����� 6� �������� 6����� ��� ����� � ���� ��� 6� �� �� ��� � B�� ��� � ���& ��� � ���� � 6�� ��'� 6�� �� �&�� 6 � �������& �� ����� �� ��������� ��� � 6�� � ���� ����� ����� �� 6������� 6 � ���� 6 � ���� �� ��� 7� 0�)- � 6� ���� 6& 6� 6�� �

0 -������ 000 � 6� 6� ���� ���� ��� ��'� 6�� ��&�� �� 6����� 6� � �� &� ������� ����� &���6 � ��� ������6�� !�������"�� 6� .���� � ����� ��� 6�� �� �� � �G� O �SV KRG��GLO�O �SKH � A��� ���&� 8 � B � $ 6������ � 9��: � 6� ���& 6 � � 6�� ��� 8 6�&�� .���� � +�� 6�� �� ��������"�� 6� 6�������� & �� ��� 6 �� ��� 6� � 6�� ��� ����"�� 6� ������ &� ���� ������� �� ������� � 91D : � ����1�= � �������� � 9�� : � ���� �4 � � :��� � 911: � !�������"�� 6� 6� � ������� �� �� � 6� 6���� ������ ���� ��� �<��� �� ����� ����� 6 ��� ��� ���� �� 91D : � 5� $ 6������ �� . ���� � ��� ������ �� � �����" 6���� ����� 6� � �� � �� #= �1% ��� �� 6A� ���� ������ &� ��� �������

�� ��� � �� �� � �!"���� � �� ��

�� �� � ����� #� � 1 � � � � � � � � %#= �1�%

��#= �1��% �� �� � �� 9 �� � : � � ������ � 6� ��� �� ������� ������ � 0� ��� 6� �� ��� � ��� � � 1 � � � � � � � � � � � 1���� �� ���� ���?��� �� 6�������� � ������� #= �4% � 0 �� ���� � ��� ��� ?����� . ���� ���& 6 � � 6�� ��������"6�� 6� �� ���� ��� 6�������� � �������

�� ��� � � � ���� �� (��

�� ���� ��

�� �� ���� �� � #� 1% �� �� #� � 1 � � � � � � � � % �#= �1D %

��#= �1D�% �� �� � �� 9 �� � : � � ������ � 6� � 6�� 6 #= ��% � )�� 6 6� �� �� 6� �� ��� � ��� � � 1 � � � � � � � � #= �1D % 6� �'� 6���� � �� #= �1�%��� �� 6��& �� ��� 6�� �� � �

+�� �� 6 6 �� ����� �� ���� ��6 � � � � �� ����"�� 6� ������ 6� 6 �� ���� ���� ��6��� 6 �� ���� 6���� #= �1�% �� #= �1D % � $ 6������ ��� 6<��� � ������ �� � ��� ���� 6����� 6� � &�� 6� ��� ������&���� ���� � �� 6 �� � ������ �� ������� ��� 4 6 ��� ���� �� �� ����� �� �� 6 �� ���� & �����6*� � ���� � � 6� �"������� ����� ��� 6 ��� ��� 6�� �� ��� ������ �� � � ������� � 8����� 9�= : ���� �� ��� �� 6 6� ���� ��� �� 6 6� ��� ���� � +� 6� 6� 6������ ������� 6 -������ 0 00 �

������� � &� ��� �6���� �� 6�� �� 6����� 6 � ��� ������ �� �� �������� ��� 6 � ����6� ���� � � ��6 � �� � � �� �� �� � �� ���� ��� ��� 6��& �� � � � �� ��� � � � �� ����"�� 6� ������ � � � 6� �� 6��6 ��� ������ 6� �� 6��& �� ����� � � ����� �� 6 6 ��� ���� �� �� ����� �� 6� � ���6&�� � B�� ��� � 6� 6�����

D

Page 10: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

(��&��� � ��� �� 6 6� �� ��� ���� �� �� � � ��� ��� �� ���� ���� ��� 6 � ���� � 6� ��� ��'� 6�� ��&���� 6����� 6� � � 6�� ��� 8 6�&�� .���� 6� �� ��� ���� �� ��� ���� ��&�� 6� �� ��� ���� �� ��� ��6� �� 6� �� ����� � ��� ��������� ������ ������� � ����� � 6� ��� � 6�� ��� ���� �� ����� ��� �

+�� 6�������� � ������� ��� ��� ������6�� !�������"�� 6� .���� 6�

�� ��� � � � �� ��� � � �� �

��� ��

�� ��� ����� � �� �

��� ��

�� �� ���� �� � #� 1% �� �� #� � 1 � � � � � � � � %#= �14%

��#= �14�% �� �� � �� �� 9 �� � : � � ������ ��� ��&��� 6��� � � � �� �� �� � ��� ��� �������� � ��� ��� � ���� � ���� ���� ��� 6�����-������ �� �� 6� � �6 ��� �� ������ � � 6� � � 1 �� ���� ��� 8 6�&�� .���� � +�� ������6��!�������"�� 6� .���� 6� 6 ���� 6 � ���� �� ���� ����� �� 6����� 6�� ������ �� �6��� &� � �@� 6� 6 ��� 91�: �

0� 6� &� ��6 � ��� ���� ���� ��� ���� 6" #�� �� % ��� �������� #�� % ���� 6� �� &� ���� � ��� ��� A���� 6�� � ���� � � �� �&�� 6 ��� �& ��� �� � 6� � �������&�� �� 6 6 ��� ���� �� �� ����� �� � 8� �������� � ������ ����� 6 � � �� �6��� � � ����� 6� � �"��� ����&�� 6� ����� 6� & ����� ��� � 6�� ������ � � 6�� ������� �� � � �� �� �0� � 6� � � � 6�� ����� �� � ����� �" 6��� � � 6�� ����� �� �� �� �� ���� ����

�� �� ��� � �� � #� 1%#= �1�%� �� ������� ����� � 6�� ����� �� �� �� �� & � ����� 6 � &� #= �1�% ��� ��� � � � +�� � 6�� ��������� �� �� �� ���� & � �"������ �"� �6� 6��� 6 ���� � �� ��� � 6�� ������� �� � � 0� #�� �� % 6� ������� 6� ��� ��� ��� 6��� ����"�� 6� ������ � � 6� � 6�� &�

� ��� �� � D #� � 1%#= �13%����� � � 6� ��� ������� � 6�� ����� �� � � B�� ��� � & � � ����� � 6�� ����� �� �� �� ��� �&������ �����#� 1% � ��� ���� ��� �� ���� �� ��� � ��� 6" �� �� �� 6� 6��� �� � ���� � � � � � 0 �� 6� ���� ���� ����� ���� 6" ���� �� �� 6 � ���� 6���� � � � 6��� �� ���� � � �

B�� ��� � 6� 6����� (��&��� ��� ����� � � � � 6� ���� ����� �'��� �� � � � � � �� & � ����� ������� � ����� ��� � �� & � ��� 6���� ��� ����� ��� 6� � &� ������ 6�� ������� � � B�� ��� �� �������� �� � 6 � ���� � ���� 6� � � 6� �� � ����� 6���� #��� ��� � 6� 6�� ��� (��&��� � � �� 6� 6�� ��� ��& �� ��� � � �� ������ & � ��� % ��� ����� 6�� ������� 6 ��� ���� �� �� ����� �� 6� � . & � � 6���� 6� �����" 6������

� � ��� 1#= �1C%�����

#1 � .� % � � #1 � �% #1 � � # 1%#= �12%� ����� � . 6� ����� 6 � ���� #= �13% &�� � 6�� � � ��� ���� &� ��� ��� 6���� ����� � .� � +��� ������ 6���� ����� ����� 6 ��� ��� 6��� 6� �� #1 � � % �� & � ������ � � ��� 6�������� � ���� ���8 6�&�� .���� � 6�� �� ��<�� ������ 6�&��� +� 6� ���� �������� ���� ��� ������6�� !�������"�� 6� . ���� �� & � ������������ ����6� �� ���� �� � 6 � �'��� 6� � ����� ��� 8������ �� :'��� 6� �

+�� ������6�� !�������"�� 6� . ���� �� &� ��� � 6�� � � ����� ����� �� 6� ������ 6 � ��6�� 6 � ��� �� 6�� ��� 8 6�&�� .���� �� & � ��� � +�� ���� 6 � � 6�� ��� 6����� 6� ���� �� & �6 ������ &� ���� ��� 1= � 0� 6� �"� ���� ���� ��� ��� �� ��� ������6�� !�������"�� 6� . ����� 6�� �� �6���& �� ����� � ��� ����� �� ���& ��� � ��� �� 6�� ��� ��� �� ����� ����� �� 6� ������ 6 ����� 6 �� 6� ����� 6��� �

4

Page 11: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

������� �

���� ��� � �������� ������� � � ����� �� ���8�� &� � ����� &�� � ��� 6� 6 :���6�� � 6����� � � 6�� 6 ��� 6�� � � &�� ��� � � -� �6����� ���� �� � 6 � ���6�� 6� ���� 6�� 6<��� � 6�� �'��� 6� �� ��� ���� ����#0 �= �1% #� 9�: � � % #� % � = � / �� #� % � � #� % � / ������

#0 �= ��% � 9�: � �'�� �

���� �� �� � � ���� � � � �� � � � �� � #� � 1 � � � � � � � � % � � � � � ��� �� �� 6� � �� ��� ������ � ����� ����� � �� � #��������� � ������� �� &��6� � � � �� � � � � � �� �� � 6� ���� 6 ��� �������% � ��� #� � � � � � � � � � �� % � 8� ������ � �� �� � � � ��� �� � 6 ���� �� �� 6� � �� � � 6�� �� � 6 ���� A��� � ���� ���� 6�� �� 6��� 6��� 6 �� ���� � 6� � �� � 6 ���� �� �� 6� �� � � � � � �� � � � ��� 6��� ��� �� 6� 6� �#0 �= ���% � �� � = #� � 1 � � � � � � � � %#0 �= ��& % � # = �

0� � 6� � � �� �� 6� �A � � �� �� 6��#0 �= �D % � #� % � � #� � � � � � � � � � �� % �

) 6������ � �� �� 6�� ���� �� #0 �= ��% 6� ��� �� ����� ���� �� � ?������ 91C: ���� ��� � 0 �� 6�����

#0 �= �4% � 9�: � � � 9�: � �'�� �

� � ���� � �

Page 12: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

� �� � ���� �����B�� ��� � 6� 6����� (��&��� � ��� �" 6��� �� �� � � 6'�� ����� 6� ��� & �� ����� ��� � � 6� ����� ����� 6� � � ��� ��� �"����� 8 6���� ��� 6 9�= : � ?������ 91C : � -������ ; 0 � 0 91C: ���� ��2 �����&� ���� 6��� 6� 6� � 6�� ��� � � � �

� � 6'�� ����� 6� �" 6��� 6� ���� � � 6 � � �� � 6� ��� �����" �� � � 6��� � 6������ �� � ��� 6�� ��� � � � 6 �� 6 ��� � ��� 6� �� � 6 � � ������ �&��� � ������� ����� �

(� 6��6�� � 8 6� �� 9�4 : ���� � ����� � &��� � ��� ��� �� A 6�� 6<��� �� ������ � ��� ��� �" 6��� ���� � � 6'�� ����� 6� �� ��� � 6� 6����� (��& ��� ��� � � ��� 6� � 6�� ��� �� ���� 6 � �������� �

8 �� ���� � � � 6 � � &��� �� �� � ����� ��� � ��6� 6�� ��&��� � � � ���� ���� 6� � � � � � 6������ �� �� 6�� 6� ��� � 6�� � �� �� ��� � � 6� � 6� ��� ��� �� � � 6 ��6 &�� �� 6 � � ��� ��� ���� ��� 6� �� � � �� ����� � � �� ��� #� 1% 6�� � 6� �������� ����� 6 � &� � ��� �� � ���� � 6����� �"�� �"���� ��� � 6 �� �� � �

-���� � � B� 6�� 6��� � 8���� 9C : ���� � 6�� � ����� ��� ��� ���� �� ���� ���& ��� #0 �= �1% &��� � A 6�� 6<��� �� ������ � +�� �" 6��� �� �� � � 6'�� ����� 6� �� #0 �= �1% 6� ����� ��� ������� ��� 6� �# 91C: ���� 11�% � ���� ����

�6��� 1 1 �� � �� � �� � � � � ��� � =#1�1%

6���6�� � = � � ����� �� 6� ��� ��� �� ��� � � 6 �� �� �� � 6��� �� ���� ��� ���� ���� �� 6 ��� � � ����� 6� � � �� � 6 ���� �� �� 6� � +� 6� �� 6� 6� 6� ������ ���A ��� ��� � � � � 9C : �

+�� � ���� 6� ����� 6� 6� �� � �� � ������� � �"���� ��� ��� �6������ ��� 6� � � -� ��'�� ��� 6�� � �� 6��� ���� 6��� ������� � �����" 6���� � ����� ���� �� 6 �� 6�� & � ��� � 0 ���� ��� � ����������� ��� ��� 6�� 6� �� ������ 91� : � ��� ��� �� ������� �� �� �� 6� � 91: #��� � � �% � �� ���������� 6 � #��� � � � � ��� ��� � 6� 6����� (��&��� %� � A 6�� 6<��� �� ������ 91�: �

0 �� 6� 6������� 6� � 0 ����� & � �� ��� � � 6�� A 6�� 6<��� �� ������ � +�� ��� 6� 6� ������&� � ������ � � ��� 6<��� � 6�� �'��� 6� 6� ��� ���� &� � 6<��� �� �'��� 6� 6 ���� 6 � ��������� �� ��� � � �� �� �� 6� �� ��� ��� # �� �� 6 ��% �� � � +�� ����� 6� �� ��� 6<��� ���'��� 6� 6<��� ���� ��� ����� 6� �� ��� 6<��� � 6�� �'��� 6� &� � ���� � �� 6�� �� � � � ���A � ��� �� ��� ���� � � ��� ��� � �� A 6�� 6<��� �� �����" 6��� 6� �� 6�� 6� ��� � -� � 6�� ��'���� ������ � ����� ��� ��� ��� ���� � #� � � � � � � � � � �� %���� ���� � � � �

�� #� � 1 � � � � � � � � %

����� � 6� ��� ���� �6*� � ��� ����� 6 ������ �

+�� �� � � 6 �� � � � . ��� OP� OVGH � 6� ��� � .

���� ��� � �"���� ��� � � 6 ��� �

)� � � . � ) � 1����� � � #� �� �� � � � � � � �� � � %� . � #� .�� �� .� � � � � � �� .�� %0� � 6� �� ��� � �� � . �� �� 6�� � � � . ���?>L@AHTL? L@W S=�LAR@LT @=O�R?NK SL�= J ==@ HK=W JV �RHOS�=TT L@W S>K MRTTLJR?LOR?K B�DE F ��HL?= @=O�R?NK L?=K>IUT=? P L@W SL�= J ==@ HK=W LTI RKO =�MTHK>�=TV >@ OS= �@>O=W �OLO=K F

3

Page 13: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

� 6� ��� ��� �� ��� ���� �� � � 6 �� �� �� 6 � 6 � � � � ��� �� ������ �� � 6� ��� ��� �� ���� � 6 �� � ���� ���� ��� �� �� 6 �� �� ��� � �� � & ��� � �� � � ) �� ����� � � 6 �� �� � & ��� � �� ����� ���� �� �� � � ) ��� ��� 6� � ���� 6��� �6 � �� 6 6 � ��� �� ��� � �� � � 6 �� � � 6� ������������� 6� � � ��� �� 6 �� �� � � �� & � �� 6 � &� � � &���� �6 � �� �6�� 6 � �� ����� �� �� �� 6 �6 � � � 8� ������ ���� � 6� ��� � 6� ��� ����� �� ���� � 6� �� ���� �

8�� � & � ��� ��&�� �� � � 6 �� �� � � � �� & � ��� ��&�� �� �� 6 �� �� �� � +�� �� ���� �� 6 ��� � ��� & � � ��� &�

� ��� � #� ���� � � ���� � � � � � � ���� % � #� � 1 � � � � � � � � � � � %#1��%

����� � ����� � ���

�� �

8� ������ ���� 6� � # � � � ��� / � � � 8�� � �� &� ��� ����� �� ��� ������" ����� �� �� 6� ��A � � � � ��� � & � ��� ����� �� ��� �� �� 6� � � � �� �� 6�� 6 � � �� �

) �� �� 6� #������% � � / � �� ��� ���� 6 ����� � #� � � �� � � � � � �� �� %������� �� � &��6� �� � 6� �� �� 6� � �� 6�� �'��� � � �� � � � � 6 � �� � � �� 6�� ��������� � ������� � � #� ��� % #� � 1 � � � � � � � � � � � % �#1��%

8� �A � ��� �� ������� #9�� : ���� D %� ! "

��� � #� % � � #� � ��� % #� � 1 � � � � � � � � %� ��� � #� % � � #� ���%

#1�D %

+� �� 6�� ��� A 6�� 6<��� �� � ������ �� #0 �= �1% � �� ��� ���� ��� �� 6��� 6��� &� 6<��� �� '��6� 6� �� � +��� �� 6 9C: � ��� 6<��� � 6�� �� ��������� � �� �� � ��� � �6� ��� ���� &�

��� � #1 � ��� % 9� �� � #��� 1%:�#1�4%� ��� �������� #� % 6� ��� ���� &�

���� � ��� ���� �

� �� ���� � �� � � � ���� �� � � �� ���� �� �� � ��� � ��� �#1��%

C

Page 14: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

+�� A 6�� 6<��� �� � ������ �� #0 �= �1% & ������

#� 9:%� ��� � � = #� � 1 � � � � � � � � %� � � � #� � � � 1 � � � � � � � �� %#1�3%

�� � ! "

� ��'�� � �� �� � ��� � � = #� � 1 � � � � � � � � %� � � � #� � � � 1 � � � � � � � � � %+#1�C%

����� ��� �� ���� ����� � �� ��� � * #� � �� % � ��� 6" #�� �� % 6�

�� �� �

� ! "

�'�� �

9� �� �� � � ��� � �� �� ��� � : #� � % %� �� �� #� �� � � � ��� � ��� ��� ���� � %� ���� �� �� #� �� � � � ��� ��� ��� ���� � %= #� $� % � � ��� �� �� ��� � �� � �� � %

#1�2%

B�� ��� � 6� 6����� ���& ��� �� �� ����

#� 9:%� � � � ���� �

#��� � � ��� % ��� 9:� � � = #� � 1 � � � � � � � � %#1�1=%

#1�1=�%�� �� �

� ! "

�� #� � % % 1 #� ��� � � �� � %= #� $� % � � ��� �� �� ��� � �� � �� � % �

6 �� � � � � � #� � � � 1 � � � � � � � �� % � �� �������� � �� ��

� � �� � = #� � 1 � � � � � � � � %#1�11%

�����

�� �� ������ � �� �� �� ��� � #� � 1 � � � � � � � � % �#1�1�%

8� ��� ���� �� � 6��� �� 6�� #1�11% 6 ��� ����

� ����� �

�� �� � � �� #� � 1 � � � � � � � � %#1�1�%

;� =?= � � >K OLN=@ LK OS= �LTH= � �� � �S=?= � L@W � >K OS= @=L?=KO UR>@O RQ OR � ��� F � TO=?@LO>�=TVPR@= I >ASO =�O=@W OS= QH@MO>R@ � OR � L@W OLN= � � OR J = OS= �LTH= RQ OS>K =�O=@W=W QH@MO>R@ F �@ROS=? URKK>J>T>OV >KOR MSL@A= OS= I =KS K>�= @=L? � �S=@=�=? � ��� WR=K @RO J =TR@A OR P B�� E F �S>K WR=K @RO I LN= OS= U?RJT=I=KK=@O>LTTV IR?= W>� MHTO Q?RI L U?LMO>MLT U R>@O RQ � >=� JHO WR=K KUR>T KRI = RQ OS= I LOS=I LO>MLT ?=TLO>R@KS >UK OR J =A>�=@ TLO=? F �H?OS=? W>KMHKK>R@ RQ OS >K �H=KO>R@ � >TT J = A>�=@ TLO=? F��OS=? �@>O= W>�=?=@M= L@LTRAH=K RQ OS= � >? >MST=O �?RJ T=I P � >OS L K�HL?= @=O P SL�= J ==@ MR@K>W=?=W JV � >T@= BD� EL@W � >MNT=V BDE F2

Page 15: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

����� �� �� ��!" �� ���� ��

#� $� % %= #� � % %#1�1D %

�� � ���� ��

#� � 1 � � � � � � � � % �#1�14%

-������ &� #1�C% � #0 �= ��� �& % � ��� �� �� � 6� �� �� #�� �� % ���� ��� �� ���� 6 � ���� ��� 6��� ! "

#�% �� �� = #� � 1 � � � � � � � � %#& % �� �� # = #� � % � 1 � � � � � � � � %

#�% �� �� &�'� � �� (��)�� �� ) #� � 1 � � � � � � � � % � � ��� ��� � � +

�� �� �'� � �� (��)�� �� )

# % �� �� � = #� ��� � � �� � %#� % �� �� � = #� $� % � � ��� �� �� ��� � �� � �� � %

#1�1�%

#� % �� �� � �� �� #� � % � 1 � � � � � � � � %� �#1�13%

������� 545 +�� ���� 6" #�� �� % ��� 6��� 6 � #1�1�%� #1�1��% 6� 6����� 6&�� � ��� ���� ���� #� � % ����� � � #�% 5� #1�1�%� � 6�� � � ��� � ����� �������� ���� ��&���� �� � � ����� ���� �" 6����� �� ��� � � � 6 �� �� & ��� � 6 � �� ��� ���� ��&��� �6 �� � 6� �� ���� � +�� 6����� 6& 6�6���� ���� �

#& % 8�� � � &� ��� ��� �� 6 ������ ���� �����'�� �

� ����

6� ��� � � ��� � � & � ��� ��� �� 6 ������ ����

�����'�� �

� ����

6� � �+�� � � � � � ��� �������� ���� ��&���� �� � &� #1�1��% � 6� � $� %

�� �� � =

� ���� � / � � � % / � � �� � / � � � % / � � �+��� #�� �� % ��� ���� ���� #� � % �

� � : � � �������� 545 #1�3% 6� � ���6�� 6� ���� �� � 6 � 6<��� �� �'��� 6� �

+�� �" 6��� �� �� � � 6'�� ����� 6� �� #1�11% ��� & �� ����� &� @�������� 6 91�: � � 6�������'� 6� 6 � ���� #�� �� % & � ������� 6� &�� ��6 � #1�1�%� 8� ����� � 6�� � ����� ��� � �������� ������ ���� ���� � �� 6�� 6� �� �� @� 6� 6 ��� 91�: �; > F= F QR? LTT � KHMS OSLO � ��� >K LW� LM=@O OR L UR>@O RQ F�� K LT?=LWV KOLO=W �= L�R>W HK>@A OS>K QLMO �S=?=�=? URKK>JT= F �R? >Q OS= I =KS K>�= >K �L?>=W �K== �CF� � QRRO@RO=� POS >K MR@W>O>R@ >K @R TR@A=? QHT� TT=W F

1=

Page 16: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

������� 546 0� ��� � ��� 6" #�� �� % ��� 6�A�� #= ��% � ��� ��� ����� 6 � � �� #�� �� % � �� �� �� 6�� �� ����� �" 6��� � � 6'�� ����� 6� �� #= �1% ����� � � +� ����� ��� ������� �� �� � �� ���� ���� �� � = � #� � 1 � � � � � � � � % 6���6��� � = � #� � 1 � � � � � � � � % 6� ��� � �� ����� 6� �� #= �1% � 5� �6 ��� �'��� 6� ������� �� 6� � 6�� 6�������� ��� ����� 6 � � �� #�� �� % 6� �� *��� � � ���� ����� �" 6��� � � 6'�� ����� 6� �� #= �1% �

+��� � ��� �� � = � #� � 1 � � � � � � � � % � ������� � = ��� ���� � � +�� ���� ������ ���" 6��� ����� �� � � ��� ��� � �1 � 5� #= ��% �� 6� 6� �� � ��� 6&�� � ���� � � � ��� % / , ������ , � 6� ��� ��� �� ��� 6 ������ ���� ���� ��� �� $� = � 6� 6������ &� 6 ��� 6� � � � ��� ��� % / , � ������ , � 6� ��� ��� �� ��� 6 ������ ���� ���� �� �� $� = � / , �� � � 0� �� ��� ,1 � ��1 � �� ���� ,1 �, � � ,� � � � ����� ��� 6 ����6� ����� 6� 6� ��� 6�� &� ��� 6����� 6& 6�6�� �� #�� �� % � +�������� �� ����� � � � #� � 1 � � � � � � � � % � &� #= ��% �� 6� 6� 6�����6&�� � +�������� � # = � #� � 1 � � � � � � � � % � 6� 6����� � & = � #� � 1 � � � � � � � � % E ��������� � � = � #� � 1 � � � � � � � � % �

� � : � � �(� 6��6�� � 8 6� �� 9�4 : ����� ���� � ��� ��� � 6� 6����� (��& ��� � � �� ��� ������� 6� � �

����� �& ��� � � �� � � = � -���� � � B� 6�� 6��� � 8��� 9C: ����� ��� ���� ���� �� ��� ����� ���� ���& ��� � �� ��� 6� ������� 6� � � ������ ����� �

@�������� 6 91� : �� 6�� � ����� &�� ��� ) � ) � �� ��� ������� 6� ���� � ��� �� � 6 �������� 6�� �� 6��� 6��� �� ��� ����� �� �� � 6 ��� 6 � ��� ������ � �� ���� �&�� 6 � � ����� & �� ��� ) . ) ����� . 6� � � �����" 6���� ����� 6� �� #1�11% � B�� ��� � 6� 6����� (��&��� ��� ����� 6������ 6���� � 6���� � 6� � 6�� & ���� �������� 54� 0�

#� � 9�:% #� % � ���� �

� � � #� %�� ��

� = � / �� 6�

�� � ��"�� ��� ������ ���"��

� � � #� %����

��� )#� 9�:%� ) # ��

��� #� � 1 � � � ���� � % �#1�1C%

���� � � 5� #1�1=% � �� ����

#� 9�:%� � � ���� �

��� � � ��� ��� � #� ��� % �5� +����� �� +������ �

��� #�� % � � #� ��� � ��� % � �� � � � � ���� � � � ��� >

�� � ��� ����� ��

� >�� � ��� �

���� ��

D >�� � ��� �

�� #

�%

����� �6� � �� 6 � � ��� ����� � � � 6 6 � � ��� � � ��� � ��� � 8� ����

#� 9�:%� � ��� > #� � � %� � ��

D >� ���� �

�� � ��� ��

# �% � � � ����

�# �� %�

�� �� �)#� 9�:%� ) # ��

��� �

� � : � � �

11

Page 17: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

������� 54� B�� ��� � 6� 6�� ��� (��&��� � 6� 6� ��� �� 6�� �� � � � 6������ �� �� 6 6 � � 6�

� � � ��"�� ��� ������ ���"��

� � #� %��� �

��� �) � �� ) � ��

�D �� � � �� � �� #� � 1 � � � � � � � � % �#1�12%

���� � ����� � 545 0� #� 9:%� & = � #� � 1 � � � � � � � � % � 6� � & = � #� � � � 1 � � � � � � � � � % � ��� � & = #� � 1 � � � � � � � � % ����� � 546 0� )#� 9:%� ) # #� 9� :%� � #� � 1 � � � � � � � � % � � 6� ) � ) # � � � #� � � � 1 � � � � � � � � � % ���� ) � ) # � � � #� � 1 � � � � � � � � % �

���� � 54� 8�� � �1� � #� �1�� � � �1�� � � � � � � �1�� % / � � ��� � � � ����� � � 6� ��� ����� � 6��������

�� ��� � � �1�

��� # � �

8�� � &� � � ���� 6�� ���� �� ��� � � ���

� #� % � � �1 �'�� �

�� � � �1��

�� � � � �� � ��

��� #� 9�:%� � D�� � �

8� ���� &� ��� ��� ����� �������

) � �� ) # ��� �� #� � � � 1 � � � � � � � � � %�6 �� ��� � ��� / �� � � 6� ���� �� ��� ����� �� � #� % � ��� ������ � � 6 � �� � �

) ��� � &� +������ 1�D � 8���� 1�� �

� � ���D ���

)#� 9�:%� ) � )#� 9� :%� ) # #� 9�:%� #� � 1 � � � � � � � � %� ) � �� ) # � � #� � � � 1 � � � � � � � �� % �+�� ������� ������ � &� 8���� 1�� � � � : � � �������� 546 B�� ��� � 6� 6����� (��& ��� � 6� . 6� � �����" 6���� ����� 6� �� #1�11% � 6�

� �"�� ��� ������

� )� .� )� � � .1��RTTLO� BE SLK KSR�@ OSLO JV L IRW>�MLO>R@ RQ OS= W>�=?=@M= =�HLO>R@K @=L? OS= JRH@WL?VP OS= K=MR@W O=?I ML@J= I LW= OR LUU?RLMS �=?R � >OS � F

1�

Page 18: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

����� � .� � #� 9 .:%�� 6� ��� ����� 6� �� #1�11% � ���

) .� � ) # �D�� � .1 #� � 1 � � � � � � � � % �#1��=%

���� � � 8� A��� ��� ���� ) .� � ) � = #� � � � 1 � � � � � � � � � % �) ��� � 6� �� ���

� . #� % � � �1 �'�� �

#�� � �1��

%� � � ����

#� 9� . :%� � D��� � �0�

� � �� .1D�� � ��� #� 9� . :%� & )#� 9 .:%� ) � )#� 9 . :%� ) �

)���� .� & ) .� � ) � = #� � � � 1 � � � � � � � �� %

��������� ��� ������ �� ���� � &� 8���� 1�� �� � : � � �

) 6���� ���� �� #1�12% 6� ���� ��� �� 6��� 6��� �� � ��� �� � �� � 6 �� ���� � ������� � �� ������ 6���� ��� �� 6��� 6��� &� 6<��� �� '��� 6� �� �� �

+��� ��� � � � � �� ��� ���� � � ����� � � � ����� � � � ��� ���� �� &�

� � #� % � ��� 9#�� � � � �� � % #�� � � � �� � % D : #� % �0� �� � � � �� ���� &� #1�12%

) � �� ) �� �� ��D

� ��� � �� �

�D�

������ � � ��"��� � � #� % �

B�� ��� � 6� �'���� � 6�� � 6 ������� � � �6� � �� ����

� � � � � � � 1� �� �

��� ��D � ���� � � �

� ��D � �=C�� � � �� �

D � � ������� � 8����� 9�= : � 6��

�=� � � �� �D �

�� � �������� 6� ��� 6���� ��� ��� ����� ��� =?= OS= KVIJRT �� I=L@K LUU?R� >I LO=TV T=KK OSL@ R? =�HLT OR F

1�

Page 19: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

� � � ��� ������ � ������+�� �" 6��� �� � � 6'�� ��� �� � ����� 6� �� #1�11% ��� ������ & �� ����� � +��� � ���� ������ �� 6 � �� ���� ������ �� 6�� � ��� ���& ��� � 6��� & � �� �6��� ����� � B��� ��� ����� 6��� � ���� 6��� �� 6 � �� � 6�� � ������� � �������� ���� 6 � ��� �'��� 6� � 6� ��� ������ ���� �� ��� ���& ��� �

� 4 ����� � ������+�� ������ ����� 6� �� #1�11% 6 ���� � �� ����� 6 � �� 6� �� �6���� ����� 6��� ����� �"���� ��� ����

����� � � � 6���� ����� 6� &� ��6� 6 �� 6� ������ � 6��� & � ����� 6��� ��� ����� ������� 6� ������ 6 ����� 6 �� &�� ��� ��&�� �� �� ���� 6� � ��'� 6�� 6 ������� ���� ��� 6�� � 6�� � �

$� �� 9�3: ���� ��� � ����� &� �� 6�� � � �� ����� ��� ��&�� �� �6 ��� �'��� 6� � &� ������� �� 6�� 6� �� ��� ���� �� �� � � +�� �6���6� 6�� �� ��� �� 6� 6 �� �'��� 6� � 6� ���� 6A�� � +� �������� ����� � � A��� �"������� ��� � � #� ��� / � � % � 6 ���� � �� ��� � � #� ��� / #�

�% � �� % �����

#��% 6� ��� ��� �� � � 6 �� � ��� �� � � ���� ����

#� ��� ��� % / �� �B�� �"����� � �� � 6�� ��� � 6� 6����� (��&��� ��� � � �� � ��� 6� #B 6���� 1�1% �

�� �

�� �

B 6���� 1�1�

C D� �

� �

C� CC CD C� C� CC C C� C�D� DC DD D� D�D DD D� D� �� �C �D ��

���� #� �% � #� � 1% � �� � 6��� �� ��� � � 6 �� 1� � � 4 � � � D � #� �� % �� �6��� �� ��� � � 6 �� 1� � � � � D � 2

����� � 6 �� ���� � #� �� % 6� ��� ��� �� �� 6 �� � ��� �� � � ���� ����

#� ��� � ��� % / �� �+�� � � #� ��� / � � % �� &� �"������ 6 ���� � �� � � #� ��� / �� � #�

�%% &� ��� � �� ��� 6<��� ��

�'��� 6� � +��� � 6 B 6���� 1�1� �� ����

� � � � � � �� D � � = � ��� 6 � ��� � �� ����

� � D � � � �� �0� �

�6� ��� ��&�� �� � � 6 �� �� #�

�% � �

�6� ���� ��� ��&�� �� � � 6 �� �� #� �� % � +�� �� 6� 6� ����

��� 6<��� �� �'��� 6� ���� & � ��� 6�A� �� ��� �� 6 �� �� #� �� % � 6��� ���'��� 6� � � �

�� � �� � �

��� 6 � ����� �� ���� � � #� ��� / #��%% � � �� �� ��� � � #� ��� / � � % �+�� ����� ��� �� ��� ��� ���� ����� �� ����� ����� �� 6� ������ 6 � ���� 6 �� � +�� ���6

��6���� �'��� 6� � ��� �� ���� �� ����� � 6���� 6������ �� &� 6����� 6�� ������ � . ������� � ���

1D

Page 20: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

����� 6 �� 6� �� ��� �� �� � 6� �� 6� ��&�� 6��� � ��� �� 6���� ��� ����� � � 0 ����� 6�� � � � ���� �&�� 6 ��� � 6������ ���� ���� �� ��� �'��� 6� � &� ����� 6 � � � = � #� ��� / #�

�%% � � ����� 6 6 �

� � #� ��� / #� �� %% � ���� ��� & �� ��� ������ ��� � � +�� � ���� 6 � ��� &�� ��� ������ �'��� *��� ���� �� �� � 6� �� �� ��� ������ ���� ���� �� ��� �'��� 6� � ��� ����� 6 � �� �� ���� � �

)����� � � 1 �� � � �� 6 � �� #��% � *��� �� ��� ����� �� 6 �� �� #�

�% � +��

��������� ��� ������ �� �� ��� � � 6 �� �� #� �� % �� 6�� �������� 6 ��� ����� ��� 6� � 6� ���� �������� &������ �� ��� 6 ���& 6�6�� �� ��� ����� �

+��� � 6 ��� �"����� #B 6���� 1�1% � � ����� �� � 6 ��� A �� ����� 6 �� 6� �� � ���� ���� �� 6 ����� ���� 6 � ������ �

� � D� � � 14� � � � 4�� � � � �=2� �0� �

�6� ��� ������� ��&�� �� 6 ������� 6 ��� �� 6���� 6� � ��� ���������� ����� ���� & � �& ���

� D �� �+����� 9�� : �������� � ����� ��� 6���� ����� 6� �� 6�� �� ������� 6� �� ����� �� ��� �� ���

�� 6 ��� ������ �� 6����� 6� ��� � � � � ������� � ��� ����� ��� �� ��� ��� �� & � �� 6��& �� �������� ������� 6� ������ 6 � ���� 6 �� � 6� ����� 6 �� �� �� ��� �� +�� ������6�� !�������"�� 6� . ���� �� 0����� 6� #-������ 000% �

B�� ��� � 6� 6����� (��&��� � ��� � ����� ��� � 6�� ����� ����& �� �6�� � � �"��6� 6� �� ��� 6� 6 ���� � �� ��� & �� ��� ������ 6� � ��� 6&�� � +��� ��� &� � ����� ����� ��� 6� � 6�� �6�� � � � �� � � � � � ������� �

�� �

�� #� � 1 � � � � � � � � % � ����� �

�#� � 1 � � � � � � � � % ��� 6 ������ �

8� ������ ���� � � � � = �"���� � �� � �� ����� � � #� � � � � � � � � � ��� � % � !&� 6����� ����� ���� �� ��� 6� �� & � �&�� 6 � &� �6 ��� ��� ��� ��6� 6� �� ���� ����� 6� � � 7 �6 � ��� ����� ��������� 6� �� ��� 6�&��� ��� #1�1=% � �� ��� ��� �� � 6 ���� ���� #��� ������ 913: ���� 24% � �� 6 �����

��� ��� �� � �6 �����

����� �6 �� .���

����� � �!

"���� ��

� � .�

= ��$� � .

#� � 1 � � � � � � � � %�� �&�� 6 &� ��� ������ �� (� 6��6�� � 8 6� �� 9�4 : �

#� � � � � � � � � � �� % �� ��� �

� ��� � � � ��� �� �� ��� �� �

� � �� �� ��� �� �

� � �� ��� ��� �

� � �� �� ��� � �� �

�� ��

�� ��6 �����

����� �� ��

�� �� 6 �����

�� �� �6 � ���� 6 � � �� �

������6 �� � �� � � �� ��

�� ��6 � �����

��

� �0 ���� ��� ��� �& ��� �������� �� �&�� 6 ����� ���� ����� 6� � � #�� ��� 6� � ����� � � 1 �� � �

� � 6 � �� �� � = ���������% � ��� �'����� � 6�� D � � � C 6 ������� � � �6� � +�� ����� 6� ���� � &�� ��� ������ 6� ������� � �6 ��� ���& 6 �� 6� �� ����� ����� 6� � � B�� � ����� ��� � 6�� � � * ��6 ������� � � �6� � � #� � 1% #�� 1% #� � � �� �% ���� 6��6��� 6� � ��� ��'� 6�� � ����� 6 � ��� ����� ������ �� 6� � ��� � �� �

������� � ��� �������� 6� �� ����� ���� �� �� 6� � ��� ����� ��� 6� � 6� 6 �� ���� ���� 6� ���� �� ��� ��� ����� ����� ��� 6� � � � ���� ������� ���& ��� � ��� �� & � � � ��� ��� ���� ��� 6� � �����& �� �� ������ 6 � ��� ����� ���� �� �� 6� � ���� �� 6 �� 6�� �� & � ���� 6A� �+��S>TT>UK L@W � >=@=? AL�= OS= KRTHO>R@ QR? L H@>O MHJ= � � � F;� RKNR� >O� BD� E SLK UHJT>KS=W OLJT=K QR? �L?>RHK ?=MOL@AHTL? ?=A>R@K �SRK= KSR?O=KO K>W= MR@OL>@K LO IRKO QRH?>@O=?�LTK F � >=JI L@@ BDCE SLK A>�=@ OLJT=K OR � W=M>I LTK QR? K�HL?= ?=A>R@K � >OS � L@W >@O=?�LTK R@ L K>W= F

14

Page 21: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

B�� ����� � � ��� � ��� 6� �� �� ���� ����� 6� ���� � ���� ����� 6��� �� ��� ��� &� �������6�������" 6��� 6� ������ �

� 4 ������ ��� � ������+�� ?����� � 8 6�&�� � ��� ������6�� !�������"�� 6� .����� �� �������� 6� 6����� 6� ����

& �� ���� 6& � 6 ��� 0 ������ 6� ��� �� ���� ������ � �� �6 ��� �'��� 6� � � 8� ����� � 6�� � �������� ���� ����� �� ��� �� ����� �� �� ��� ?����� � 8 6�&�� .����� �� 6�� 6� �� �� @� 6� 6 ���91�: � B��� �� 6� ��� �� ����� �� �� ��� ������6�� !�������"�� 6� . ���� ������ � �� � 6�� & � ���� 6 -������ 000 � ����� �� 6� ����� 6� 6������ �������� 6 45 @ 6�� ��� ������ �� �6 ��� �'��� 6� �#= �1%

�'� � � �� �� � � �� � = #� � 1 � � � � � � � � %����� #�� �� % 6� 6����� 6&�� � ����� ��� ����� �� �� #�� �� % ��� 6��� #= ��% � ��� ��� ��'�� �� �� �������� 6�� &� ��� ?����� . ���� � #= �4% � � ��� 8 6�&�� .���� � #= ��% � ���� �� ����� �� ��� ����� 6� �� #= �1% ����� � � #�% B�� ��� 8 6�&�� .���� � 6� �� � 6� ��� � 6�� �����" 6��� 6� �� �A � &� #= �3% ���� ��� � 6�� ����� �� �� 6� � �� � � �� � 6� � 6�� &� � !

"� �� �� � �� ��

� � � �� ��

�� ��� �� �� ��

��� � �� ��

�� ��� �� � ��� #� � 1 � � � � � � � � %� �1� � �1�

#� �1%

8�� � �� �1 � ��"�� ��� ������

)� �� �� )

B�� ��� � � �� ���� &� #= ��% ���� #�% )� ���� ) # � �1�1� ��� ��� � � � &� #= ��% ���� #�% )� ����� ) � � �1�1 �5� ��� 6����� 6& 6�6�� �� #�� �� % � �� ���� )� ���� � ) � � �1�1

)� ����� ) � � �1�1 ��� ���� �� $� � � �)� ���� ) # � �1�1 #� � 1 � � � � � � � � % �

-� � 6 � 6 � �� 6� ��� ���� � �� ���� A ���� )� �� �� ) � � �1�1 #� � 1 � � � � � � � � % �

8��� 6 � � � � ��"�� ��� ������

)�� �� �� )� �1�1 ����� �� �1�� � � �1�1 #� � 1 � � � � � � � � % �

�� ���� � �� �1 # � � � �1�1 � #� � � 1% �

1�

Page 22: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

6� 6����� � ��� �1 # ��� � �1�1� �� �� �6���� � �� �1 � =

� �6���� �� � � �#& % B�� ��� ?����� . ���� � ��� ������ � 6� ����� 6����� ��� ���� �

� � : � � �������� 6 45 B�� #1�11% � ��� ?����� . ���� � ��� 8 6�&�� .���� ���� �� ����� �

8� ������ ���� ��� 8 6�&�� .���� 6� �� ����� � ��� � � ���� 6 � �� ��� �'��� 6� � � � ������� ���� 6 � ��� &� ��� �� ����� ���� ����� ���� � 91� :

)� �� ����� ��� 6 -������ 00 � �������� ��� 8 6�&�� .���� �� ������ �"����� �� 6�� �� ������ ��� ?����� . ���� � ��� ���� �� �� ����� �� 6 � 6���� ���� 6� ���� ���� � ������� � 8����� 9�= :���� 6 ��� ��� ��� �� 6A��� 6� � �� ���������� ��� �� ����� �� �� ��� 8 6�&�� .���� ��� ���� 6� 6����� (��&��� ��� � � � �#�% +�� A��� 6� ��� ��� �� �������� &� ��� � �� �� 6�� ��� ������ �� �� �� ��� � � � 6�� & �� �� ���6������ �6����� ������� '���� & �� ��� � 6�� D � 2 � �4 &�� ��� ��� ��� � !� 6 �� 6��� ��� �� 6 6 �� ����� �� ���� ���� �� & � �< ��� &� ��� �"��� ���� 6 ����� 6 ��� ��� �� ���� �����6������������ � ������� � &� � ��6��� �� 6A��� 6� �� ��� 6<��� �� �'��� 6� � �� 6� �"��� ���� 6� ������� �& ��� �= �� 6 � � �'���� & �� �� � 6�� 6 � � � 6 �� � �� 6�� ��� ���� �� �� ����� �� 6� 6������ &�� ������ �� �& ��� � �4 �#& % +�� ���� �� 6A��� 6� 6� ��� ��� �� � �"�������� 6� ��� ����� ����� ���� 6����� 6� � ����& �� � ������� � 0 ���� ����� ��� ��'� 6�� ��&�� �� 6����� 6� � �� & � ����� &� � ������ �� ����� ����� � $��� ��� �� �� 9�2: ��� ������ � � ����� �� 6�� ��� � ��� 6� � ��� � 6� ��� ���������"���� ���� 6� ����� ����� 6����� 6� � � �� �� 6 ������ ��� �� 6 �������� �

� ����������� ��� ������ �� ��� 6 � � �<���� &� ����� �� 6A��� 6� � ��� �� 6 ������ ������ 6�& ��� 6�� �� � � +�� ������6�� !�������"�� 6� . ���� ���� 6& � 6 -������ 0 00 � � ��� ����� �� ��<��� � �� 6 6 �� ����� �� �� 6�� � �� 6 ������ � 6�� �� � � ��� ��� � 6� 6����� (��& ��� 6� ���6� ��� 6� �� �� �� � �� 4 � � ������� � ������

$���"�� 6� ������ ���� & �� ���� 6& � &� 6��� 6 ��� 0 ������ 6� � 8� ����� � 6�� &���� ������ � �� �� +����� 9�4 : � �� ��� �� ����� �� �� ��� ����"�� 6� ������ ��� ����6� �� � � �6 ��������� #= �1% ����� 6 � ���� #�� �� % 6� ������� 6� � ���6� 6�� �A 6�� �������� 6 46 B�� ��� ������ �� �6 ��� �'��� 6� � #= �1% � 6� #�� �� % 6� ������� 6� � ��� 6� 6�� �A 6�� �� 6� �� ���� ���� � ������� ���6��� #6 �&������ �����% 6� ����"� � ��� ��� ����"�� 6� ������� ������ �� ��� ����� 6� �� #= �1% ����� � � !&� 6������ �6 �� #�� �� % 6� � ��6� 6�� �A 6�� � � 6'�� ����� 6� �� #= �1% �" 6��� � 8�� ��� &� � �����" 6���� ����� 6� �� #= �1% � ��� � ������� ���6��� #6 �&������ �����% � ���� �� � ��� �B�� � � ��� ������� � � / � � �� �A � ��� �� ���� 6 � ������� 6� & 6�6 ��� ����

� # � � % ������ � � �� �

� � �� �

13

Page 23: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

6 �� #�� �� % 6� ��� 6� 6�� �A 6�� � � # � � % & = � � # � % � = 6� � � �� 6� � = �0� �� �� ���

� # % � 1�� # � % �

���� �

�� ���� ���� �

��� � � �� ��

� � �� � = #� � 1 � � � � � � � � %

� � ������ � �� �� #� � % � 1 � � � � � � � � % �)� 6� ���� � �� � ��� � ��� �"����� � 8 6�� #9�3: ����� 1=2� 11�% � 6� ��� 6�A�� #= �1% � ��� � �6 ��#�� �� % 6� ��� 6� 6�� �A 6�� � � ������� � ����� 6�� � 6 6��� � �� 6�� �� � ��� &� � 1 � 0� �� ������ � �� ������� �� &��6� �� � &� � ������� �� ��� ������� 6� #9�: ���� �D3% � �� ����

� # � % ����� �

� � �� � #� � =%

����� �� � �� � � � � � �� ��� ��� ���� 6 ���� �� ������� �� ��� �� &�� 6� � 0� 6� ����� ���� ������ �

��

& ������ ���� ����� � � # % 6� ���� ���� ����� � �� �� � � 1 6� � O N�KLM�G � SH S� M� ��� � # % ��� ��� / � �

8� ����

� # ��� � ��� % � 1�� # ��� � ��� � ��� � ��� % � ��

�� � ��9 ���� � ��� :

� 1�� # ��� � ��� % � � � # ��� � �� % � 1

� ��� #�� � �� % � ��

�� � ��9 ���� � ��� :

� # ��� � ��� % � � # ��� % � � � # ��� � �� % � ���� � ��

� 1� ��� #�� � �� % �

+� 6� �"�����6� 6� � 6 6� 6*� &� ���� 6 �

� � � # ��� � �� % � ��� #�� � �� % � �'� � � �� �� ���� � ��

�� ���

0� � �� 6 #= �2% � �� �&�� 6 ��� ���� ��� &� ����" 6 � ��� ���6��� �� � ��� � �� ����

� ! " ���� � ���� �

� ���� � �� ��

���� � �� �� �� ���� � ���� #� $� % %

1C

Page 24: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

� � ��� � � # ��� % � � # ��� % #� ���

� %��� ��

�0� �� 6� ��� ���� 6� ��� ���� �� ��� � ������6 � ��'�� �� �� ������ �� � �� � �� 6�� �������� � �6� 6��6 �� � �� � 6� &�� � & ���� &� � 1 � 6 �� ��� = #� � 1 � � � � � � � � % #& ������ #�� �� % 6� � ��6� 6���A 6�� % � ��� ������� ���6��� �� �� � ���������� *��� E �� �� ��� ��� � � 1 � � � � � � � �

�6������ �� ��

� � = ���� ��� �� �� &� ��� �������� �� �� �� 6 ��� ����� 6 � � �� #�� �� % � 8� ����

� ���� � �

�� �� �� #� � 1 � � � � � � � � %

�� �� ���� � �

�� �� #�� � � �� �� % #� � 1 � � � � � � � � % �

+�������� � ��� � � 1 � � � � � � � � �

�6���� �� �� � �6�������� �

�� �� #�� � � �� �� % � ���� �

�� �� �� � � �

� � : � � �

������� 6 4� 0� #�� �� % 6� � � *� ���� 6" ��� 6��� 6 � #= ��% � #= ��% ��� #�� �� % 6� � ��6� 6�� �A 6�� ����� � � 0� 6� ���� � �� ���� 6� #�� �� % 6� ������� 6� � ��� #�� �� % 6� � ��6� 6�� �A 6�� 6� � � �� 6�

���� � �� ��

�� � � �� #� # =% #� � 1 � � � � � � � � %

6���6�� � � � = � #� � 1 � � � � � � � � % � ��� ��� 6 ��� �� 9�: ����� �D4 � �=4 � +��� � ������� ��� ����� # = ��

�� � �� �� �� � � � � #� � 1 � � � � � � � � % �

+�� #��� � % �� �

��� � �� (��

�� �� �� � = #� � 1 � � � � � � � � %

� &� #= ��%

#��� � % &���� �� (��

)�� �� ) #� � 1 � � � � � � � � %

� ��� ��� � �#��� �%

���� �� (��

)�� �� ) �

12

Page 25: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

5� +������ 1�� � �6 �� �� �� �� ��� 6�A�� #= ��% � ��� ����� 6 � � �� #�� �� �� % � #����� � 6� ��� 6� � 6������ 6" % � � �� �� �� 6�� � +��������

�� � = #� � 1 � � � � � � � � % �� � : � � �

������� 6 46 0� #�� �� % ��� 6�A�� #= ��% � #= ��% ��� ��� ����"�� 6� ����� �� ������ �� ��� ����� 6� �� #= �1% 6� � �� ���� ���� � ������� ���6��� 6� ����"� �

5� ��� � ���� �� +������ � �1� 6� 6� ����� ���� ��� ����"�� 6� ����� �� ������ 6� #�� �� % ��� 6�A��#= ��% 6� ��� ���6���� ��� ����"� 6 � � ���� ��& � ��� �� ��� �� ���� 6 � ����� 6�� 6� �+���� �" 6��� � A"� ��&�� � ���� ���� ��� ��� � � � ��� ���6��� �� � ��� 6� ����"� �� �����

� �� � � � 6����� 6� ����� ��� � 6�� � &����� ��� #� � � %6�� �8� ���� ������ �&����� ���� ����"�� 6� ������ ��� �� ���� �� 6�� ��� ����� ����� �� 6�

������ 6 � ���� 6 �� � ������� � � ������ 6� ������ 6 � &��� ������ � �� ��� 8������� )��� ��8�&������� 94 : � �<��� � �� �� 6� � � ���� �� ����" 6 � ���6���� ��� ��� � 6� 6����� (��&��� � 6�� ���� � ��� 6� � �� 6�� �� & � 6 ��� 6& � 6 � �'���� ��� 6� � 6�� � 1 6 ������� � � � 6� � ) ���� 6 �����&�� �� & � 6 � ��� � 6�� ������ ��� 6� � ���� & � &� 6�� �

. �� �� � � ����� & ��� 6� � �'���� ���� 6�� �� ������ 6� ���� 6 ��� � ���� ������� � 6 � �� � �� � � 6 � � :��� �� � � 6 � 6� �� ���� �� ��� ���� �� ��� � �� 6 �� &� A"� ���6��� ��� � +������ 6 ��� ������� � 6 � �� �� 6 �� �� ,� ��� ���� � � +�� ���6���� �� ��� �� 6�� �� ��� 6� �1���� ������� � ����� �� � ������� 6� �� �� ����� ��� 6���� ��� 6 ������ 6 �� ��� ������� � 6 ����� 6 ��� � +�� �������� � �� 6�� ��� ��� ������� � ��� �����" 6������ �� � 6�� 6 ��� �������� �� ��������� 6� ������ 6 � �� 6��� � ���� ��� 6� �� �� ��� ������� 6� � �� & � �� �� ��� �1�� � +�� ��� 6���� �� ��� � ��� A��� 6������ �����" 6��� 6� ���� �&�� 6 � � ��� ��� ������� � ��� ��� ���� ��� ����6� ��������� ) � ��6�� �������� ��� & � �&�� 6 � �

+������ ��� �������� �� ��� 8������� )��� �� 8�&�������� 0 ��� �& �� �� ��� ��� ������ 6 �&��� �� ����� ������� ���& ��� � ���� 6 ���� 6 � �&��� 14= �� �� 6 �� � 0 ��� ���� ��� ��" 6������6��� ��� ����� &� � ������ �� ���� 1= �� 4= � :��� 6����� 6� ��'� 6�� �& ��� � ����� � � 6�� ����������� ���� �� ��� � 6�� &� 6 � ����� �� ������ 6 � ��� ���6���� #&� � ��� � ��� 6 �% � ����� 6 ���� ����� �� � ��� 6 � ��� �������� � ) �"��� 6� �� �� ������ �� � ������ �&��� ����� ��������6����� 6� � � 6�� � �= * �= ��� 6� 6 ��� � 6���6���� ��� �

�=

Page 26: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

������� ��

� ���� � � ����������� � � ��� � ��� �� � �������� � � ��� � ���� ��� � ����� ������� � 8����� 9�= : 6 ���� 6���� ��� ��� 6 6�� �� �� ����� �� �� �� � ��� ��� ����� �� 6� �A �&� ��� 8 6�&�� .���� � ��� #= �3% � ��� ��� ���� �� ��� � 6� 6����� (��&��� � +��� �� �6��� ���� 6�� ������ �� �� � �� 6�� �������� 6� ��� 6����� ��� ���� � ��� ����� � � 0 �� 6� ������� � 0 � 6���� 6�� � �"��� ����� 6� � ��� ����� 6 � � & ����� ��� � 6�� ������ � � 6�� ������� �� �� � ������� � � ��� ��� ������� 6� �A � &� ��� ?����� . ���� � ��� #= �4% � +�� � ����6� �� � 6� ����� 6��������� � �� 6 � ����� ����� 6� � � �"��� � ����6� 6� ��� �� �� � B��� �� 6� � ����6� � ��� 6����� ������ ��&�� �� 6����� 6� � ��'� 6�� �� �&�� 6 � �� �� 6A� �������� ��� �� 6�� �

� � � �� � ��� � � ����������� � � � � ����� �������� �� ���8� ����� �� �6�� A��� ��� ���� �� �� ����� �� �� � �6 ��� ��� ������� 6� � �� � � 6�� �6� ��������" ������ ����� � � � � �� 6����� � 0� � � #� � � �� � � � � � �� % 6� � � ������ �� � � �� �A � ������� �� � &� �� � � � ��

�� �)�� )� �

����#� �1%

) ��� � � 6�� ��� 6 �� ������#� � � % � ��

�� ��� �� �#� ��%

� 6� � :���6�� ������ ����� � �2������ � 45 � 6� � ���������� ��� ������� 6� 6� ��� ��� � / �

�6���� �� � #� % � � =

�2������ � 46 +�� ���� � � ����������� �� � �� ����� � ��� ����� �� 6� � � � 6�� #� % � ��� � #� %#� ��%

������ #� % � �6���� �� ��&� �� ��� � � �� � � #� % ��� � �� �#� �D %

) � �� ����� ��� ����� � ��� ��&�� �� � 6��� � ���� &� ����6� �� � ������ � �� ����� �� � �� ��� �� 6A� ����� 6� �� 6����� 6� � �����" 6������� 6 ������� ���� ��� 6� �� �� ��� ���� �� �� ����� �� �

0� 6� ���� � �� � ��� ��� �"����� .����<�� 9��: � -������ � 0 0 � ���� � ��� � 6�� 6 �� � 6�� ������� � � �� � � � � � �� � 6�� ���� 6��6� 6� 6�� � � � �� � � � � � �� �����

�����

� � � � �

� 1

Page 27: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

�2������ � 4� � � 6� ��� ��� ����� � ������ �� �� � 6�)� � ) & )� )

����� � 6� � � � 6�� ����� �� � �

8� ����� ���� & ���� ���� )� � ) � � #� % � +�� ���� ����� ���� 6" ���� 6� � � � 6��� 6 &�� ������ � #9�� : ����� ��� � �D 1% �

�������� = = � � � == �� = � � � == = �� � � � =� � � � � � �= = = � � � �� �

�������#� �4%

����� � � & � � �� #� � 1 � � � � � � �� � % 6� � �'���� ���� ���� 6" �� ��� �����������

� � = = � � � =1 � � = � � � == 1 �� � � � =� � � � � � �= = = � � � ��

������� �#� ��%

���� � �� ��� ��� � � �� &� 6�� 6 �� � 8�� ��� ��&�� �� ��� � � ����� � �� ��� ���� 6" �� & ��� � #� � 1 � � � � � � �� � % �) ��� � 6��� � 6�� ��� ��� �� ���� 6" ���� #� �4% 6� � &��6�

�� � �� � �� � 1 � � � � � � �� �� � 1 � � � � � � � �� �� 6�� ���� � 6��� � 6�� ����� �� �8� �� �����6*� ��� �� � �� � �� ����

�� � �� � � 1 �� � 1 � � � � � � �� �� � 1 � � � � � � � �� � �#� �3%

B�� � � � / � �� ���� � � � �����

� ���� �

� � �� � � ��#� �C%

� � � #� � �� % �

�� ����1 � � � ����� � � ���� �� � 1 � � � � � � �� �� � 1 � � � � � � � �� �#� �2%

������ � � � � >� >#� �% > �

5� ��6 � #� �C% � #� �2% � � ���� ����� ���� 6� )� � ) � 1� � 6� � �� ����� � ��� ����� �� 6� �+�� ������ 6 � ������� 6� �&�� 6 � 6 � �6� 6��� ���� 0� � ��&���� ��� ��� ���� 6 ��� �6���������������� 0 ���� & �� � �&�� �� A 6� �

��

Page 28: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

������� � 45 0� � 6� � �� ����� � ��� ������� 6� � 6� � � 6� ��� �� 6 � � � 6�� ����� �� � ���

� #� % � )� � ) �#� �1=%

���� � � 0� �� ��� �� � ��&� �� ��� � � �� � � #� % ��� ���� ��'�� �� ��� � 6� �� ��� � ������6 � � � 6� & �� � &���� &� *��� � +�������� � �6���� ���" 6��� �

5� ��� ������ � 6�� �� � � �� �� ������ �� � � 1� 5� #� �C% � #� �2% �� ����

� � � #� % � � �����

� ���� �

�� ����1 � � �� � �� ��� ���� � � �� �#� �11%

5�� � # � E �� �� � � �� � # � �� # � � �5� ��� �6 ��� 6 �� � � �� �� ��� � � �� � ��� ���� � 6� �� � � �� �� #� �C% ��� & �� � ��� ��� �� � � 1�8�� � � ��"

� ��)� � �� )� 8� ���� �� � � #� % � # � � �

�� )� � )� ���� �� # ��&� ��� ��� � �

�� )� � )� ��� ���� ���� # ��&� ��� #� � %��� ��

� �� �� )� � )��� �� � �5�� ��� ��� � � � � �

� �� �� 6� � ������6 � �� �� 6� �� � � � � � �� +�� # #� � %��� �

� �� )� � )��� �� �+�������� � � #� % � �6���� �� # )� � )�! ��� ����� �� � 6� � #� % � � �� � �� � )� � ) ��� ��� � � +�������� � #� % & )� � ) � ��� ������������� � �

� � : � � �������� � 45

� #� % � ��� )� � )�#� �1�%������� � 46 � 6� � �� ����� � ��� ������� 6� 6� � � �� 6� ��� � 6�� ������ �� � ��� ������� ��� � � 6 �&������ ����� �������� � 46 5� �6� 6��� ������ �� �� �����

� #� % � �6���� �� �� � �#� �1�%

����� �� � � � ��&� � �� � #� % ��� � �#� �1D %

;�= @RO= OSLO �� � � � C K>@M= � >K MR@�=?A=@O F �R? >Q � >K MSRK=@ KR OSLO � �� � � � �� OS=@ �� � �� �� � �� � �� �� �L@W �RHTW @RO LUU?RLMS �=?R H@T=KK �� � � � C ���

Page 29: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

8� �� �� �6�� ��� ��&�� �� 6����� 6� � �������� �� ����� �� � �� � �� �� 6A� ����� 6� ��6����� � �2������ � 4� 0� � 6� � �� ����� � ��� ������� 6� � �

� � #� � � � � %� ���� ��� �������� ��&�� � ���� ������ � #� % � # � �� � � #= � � � 1% � �2������ � 4�

� #� � � � � % � ��&� �� � #� � � � � % �#� �14%

8 �� � �� ���6� � 6�� �� 6�� �� ��� ��� ��� �� 6� ������ � ��� � #� � � � � % �������� � 4�

�6��� 1 �� #� � � %� ��� � ��� )� � )� � 1 �#� �1�%

���� � � B�� ��� � �� ����� � � #� � � % � ��� � ��� )� � )

����� � #� �% � � � � � � � � ��� #� � � % &

��� � ��� )� � ) �+�� ��'� 6���� � ���� �� � & � ����� �� � ����� 6� � �� 6����� 6� �'� 6���� � �� ��'� 6� 6 � ������ � � � ��&� � �� � #� % ��� � � � �

!&� 6����� �� � � = � � � � �5� +������ � �� �

)� � ) � � #� % � �� �� � ������

�6���� � #� % � = �+�� �� 6� 6� �� � � � � ��'� 6��� ����

9 )� � ) � � #� % :� � �� � � � ���

� � ��� � ��� 9 )� � ) � � #� % :� ��� � ��� )� � )

� ��� )� � ) ��� 9 )� � ) � � #� % : �

5� ��� �� � 6 � 6�� �� ��� ����� 6��� 6� �� �� 6� ��� )� � ) =

�6��� 1 � ��� � ��� )� � )� 1 �

� � : � � �

�D

Page 30: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

� � � �� � ��� �� � �����+�� 6�������� � ������� ��� ��� ?����� .���� �� 6����� 6� 6� � 6�� &� #= �4% � 7 �6 � #1�1D % � #1�14% � �� ����

�� ��� ���� � �

�� �� �� �� � �� #� � 1 � � � � � � � � %#D �1%

��#D �1�% �� �� � � 9 �� � : � ������ � � ���� ��� ������ #� � � �� � � � � � �� % � +�� �� ���� ����� � �� #� � �� % � ��� ���� 6" �� � � 6� � 6�� &� � � �� � �� �� #� � % � 1 � � � � � � � � % �#D ��%5� #1�1�% � #1�1D % � �� �� � = #� � 1 � � � � � � � � %�� �� & = � $� % #� � % � 1 � � � � � � � � %� ��� ���� 6" #�� �� % 6� 6����� 6& �� �5� +������ � �1� ��� ���� �� �� ����� �� �� ��� ?����� .���� �� � � � ��� �� 6 � �� 6�� ����� �� � �

8� ��� ���� � # � �� � � � � � � % 6� � GS� GHRGV�K� �� � � 6�� � 6�� ����� � 6� � � �� 6�� 9 : � �#D ��%

�� � �'� 6���� ���#D ���%

�'� � � �� �� � � � � #� � 1 � � � � � � � � % �������� � 45 0� #�� �� % 6� � ������� 6� � * � ���� 6" ��� 6��� 6 � �� 6� 6� � #= ��% � ��� ��� ��������� �� ��� ���� 6" �� � 6� � ���� 6��� �� ���� 6" E 6� � � � ���� ��� ������� � 6�� ����� �� � � � � 6��6���� # �� ��� ����% ����� � � 45 +�� � 6�� ������ �� � ��� ��� ���� �� ��� � 6�� ������ �� � . ����� ��� �� ���� ����� ��� #� .� �� % 6�

� .� �� � � .� �� �� ! "

�� ����� �� ��� ��

#� $� % %= #� � % %

���� � � 0� � # % � �#D �D %��� �'� � � �� �� � � � � #� � 1 � � � � � � � � %

�'� � � �� �� ��� �� � � ���� �� � #� � 1 � � � � � � � � % �8�� .� � ��� �� � #� � 1 � � � � � � � � %#D �4%

�'� � � �� �� ��� ����� ��

.� � � .�� �'� � ��� (� �

�� ����� �� ��� ��

.� � ���� �

� .� �� .� ��4

Page 31: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

+��� � . 9 . : � � . �#D ��%-� ������� 6� � 6� � � 6�� ����� �� � . �� �� ���� ���� � 6� � � 6�� ����� �� � � +� 6� ������

��� ����� �� � : � � �

6 �� #� .� �� % 6� ������� 6� &� 9�: ����� �=4�� � ����� �" 6��� � ����� ����� &�� 6� �� � 6�� �������

���� � ���� � � � � � �� ������ ���� � . 9 ���� : � � � ���� #� � 1 � � � � � � � � %�����

� � & � � & � � � & �� �#D �3%8� ���� ���� ��� ������� � 6 � ������� ��� ��� 6��� 6 � #D �D % ��� �6 ����� 6 ��� � � ��� 6� ����

� 6� ��� ���� � � 6��� � 0 �� 6� ���� ��� ���� � ���� � � � � � �� �� &� ��� �6 ����� 6 �� � � � � 6�� �������� � . ���� ���� ��� % � 1 � � � � � � � � � . 9 �� �� : � � �� �� �!&� 6����� �� � � #% � 1 � � � � � � � � % ��� ���� �6 ����� 6 �� � � � �����

�� �� � �� ��������� � 1 � � � � � � � �% � 1 � � � � � � � � �

� ��� = ��� �� ��� ����� ���� �� #� � �� % 6� 6��� �� �

���� � � 46 8�� #�� �� % & � � ���� ������� 6� � * � ���� 6" �#�% � � 6� ��� ������� � 6�� ����� �� #�� �� % 6� � � �� 6� � � 6� ��� ��" 6��� ����� ��

� 9�: �

����� � � �� �

�� �� �#D �C%

��& � ��� �� ��� �� 6� 6� ���� � ��

�� ��

�� � 1#D �2%

#& % 0� ����� �� � 1� ���

���� 6� � � 6�� ������ ���� � 6��� � 6�� � � 6� � � �� 6�

� 9���� : � � � �

���� � � #�% 0� 6� ���� � �� ���� � � ���� ������� 6� ���� 6" 6� ������� ���� �'� 6���� � �� � ���� 6��� �� ���� 6" #�� �� % � ��� ������� �� ����� ����� �� 6� ��� ��" 6��� �� � 9

�: ��&� ��� �� ��� ��6

'� 6���� � ���� � 1� #��� ��� 6 ��� �� 9�: ����� �D3��4=% � +�� ��" 6��� ������� �" 6��� � 6�

���� 6 � & ������ � 9�: 6� � �� � 6 ���� �� �� 6� � � ������� ��� � +�� 6��� �� ����� �� �� #�� �� %��� � 6�� ������ �� #�� �� % � �� ������� #��� 9�: ���� �=4% � +��� � #�% 6� ����� �

��

Page 32: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

#& % ) � 6 8 6�� 9�3: ����� 11�� 114 � ��� ��" 6��� ���&��� ��� &� ��������� 6 ���� � ��8���� �� �� ���� 6��6��� � 8� ���� ��� �� 6� 6� �

� ! "

��� �

�!"����� � � �� �

�� �� � � � ���� �

�� 1� ��� � = #� � 1 � � � � � � � � %

�'�� �

�� � 1

#D �1=%

����� � 6� � 8���� �� �� ���� 6��6�� � 7�� �6���6A��� 6� ����� �� 6� 6� � & ������ ! "

�'�� � �� ��� � � �� � #� � 1 � � � � � � � � %

�'�� �

�� � 1 �

#D �11%

0��

��� 6�A�� #D �11% � �� ����

� 9�: � �'

��� � � �� ��� �� � �

�'�� �

� �� �'� � � �� ��� �

� �'�� �

� ��� � � � �#D �1�%

+��� � 6����� � ����� �

���� �� � 1� 6� � � 6�� ������ �� #�� �� % � 6�� � 6�� ����� � � � � 9

���� : � � � �

-� �������� 6� � 9���� : � � � � �

���� �� � 1� �6 �� � � 6� ��� ��" 6��� �� � 9

�: ��& � ��� �� �

��� � 1�

&� #D �11% ����� 6� � � 6�� ������ �� #�� �� % � 6�� � 6�� ����� � � �

� � : � � ����� � � 4� 8�� #�� �� % & � � ���� ������� 6� � * � ���� 6" ���� ����

�� �� � = #� � 1 � � � � � � � � %

�� �� & = #� � % � 1 � � � � � � � � %� #�� �� % 6� 6����� 6&�� � 0� � � 6� ��� ������� � 6�� ����� �� #�� �� % � 6�

���� 6� � � � 6�� ������

���� � 6��� � 6�� � � � ��� � 6����

����� = #� � 1 � � � � � � � � %

������� � = #� � 1 � � � � � � � � % �

.������� � � � 6� �6���� # �� ��� ����% ����� � � 5� 8���� D �� � ��� ���

� / � �

� 9���� : & � 9

�: �

! ��� ����� �� � �6 �� �� �� & = #� � % � � 1 � � � � � � � � % �� 9���� : # � 9 �

���� : �

�3

Page 33: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

������

���� � # )

����� )� )

����� )� � � � � )

����� ) % �#D �1�%

:'���6�� �� � �� � ���� 6� � � �� ���� �� �� $� =

����� �

���� & = �#D �1D %

5� 8���� D �� � �

���� 6� � � 6�� ����� �� #�� �� % � ������ ���� ��� ���� � �� ���� � = � +�� �

����� � =

� ���� � �� ��

����� � � � �

����� � =

� �6 �� � �� �� � & = �� ���� �

����� � = ��� ��� % ���� ���� �� �� $� = � 7 �6 � ��� 6����� 6& 6�6�� �� #�� �� %6� �� &� ����� ������

����� � = #� � 1 � � � � � � � � % �

+� 6� �� ��� 6��� ��� �� 6� 6� ����� �� � �

���� �� � 1

+�������� ������ $� = #� � 1 � � � � � � � � % �

)�� 6 � &� ��� 6����� 6& 6�6�� �� #�� �� % � � 6 �� � ���� ����� & = ��� ���� �� �� $� = �� �� ���� ����

����� = #� � 1 � � � � � � � � %

������� � = #� � 1 � � � � � � � � % �

+� ���� ���� � � 6� �S�� LG �� A��� ��� ���� ����� �" 6��� � ����� ����� &��6� �� � � 6�� ���������� #�� �� % � 0� � � 6� ��� ���� � � 6��� ��� ����� ���� �" 6�� � �6 ����� 6 �� � � � ������� ��� 6�� ������� ���� ���� � 6��� � 6�� � � � 5�� �6 �� ���� 6� � �� 6�� 6 � � � � �6� � 6� 6� 6�����6&������ ���� ����� & � ������� �� �

� � : � � �B��� 8���� D �� � 6� �� ���� � ���� ��� ������� � 6�� ����� �� � . 6� �6���� � +�� ������� ������ � �� � ��&� 8���� D �1�

� � : � � �

������� � 46 8�� #�� �� % & � � ���� ������� 6� � * � ���� 6" � #� 1% ���� ����

��� � = #� � 1 � � � � � � � � %

�� �� & = #� � 1 � � � � � � � � %� #�� �� % 6� 6����� 6&�� � 8�� #� �� �� % & � ��� � . * � . ���� 6" �&�� 6 � ���� #�� �� % &� ���� 6 � �������� �� 6 #� � . % ��� � � ��� ������� � 6 � ����� � � ����� � . � � � 0� � � � � �� � ������ ������� � 6�� ������ �� #�� �� % � #� �� �� % ��� � � � � �� ���== OS= U?RRQ RQ �S=R?=I CFD F

�C

Page 34: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

���� � � 8�� �� 9�: �

� ����� � � �

�� ��� �� ��

� 9�: �

����� � � �� �

�� �� � �0��� ��� ����� �

�� ��� �� � 1 6� � � 6�� ������ �� #��� �� % ���

� �� � �� 9�� ��� : � � 9

�� ��� :

������� ���� 6 ��� ���� �"�����6� 6� ���� �� &� *��� 6� ��� ��� ��� � ����� ���� & �� ����� �

�� �� � � & � �� � 5� 8���� D �� � +������ D �1��� ��� 6� �� � � 6�� ������ �� #�� �� % ���� � 6��� � 6��

��� ������� � 6�� ����� �� #�� �� % � +�������� � � � � �� �� � : � � �

������� � 45 0� � ���� � � ���� ����� � ���� $� � ���� � � ���� 6� �� ���� � � 6� � ���� � � ���� � ������ ������� � 6�� ����� �� � ����6� �� #1�11% � ��� ��� ������� ���� � ���� � 6�� 6 ��� 6��� � ���� � � ���� ���� ��� 6����� ���

� ���� � � ���� �8� ���� ������ ��� � #+������ 1�1% � ���� #�� �� % ��� ���� ���� #� � % � 8� �A � ��� ������ � / ����� ����

� � � 1 � / � � � ��� ��� ����� �'�� �

� ����

6� �

� � � = � / � � � ��� ��� ����� �'�� �

� ����

6� ��� �#D �14%

������� � 4� 0� � 9 : � � � 6� � � # 1%� #D �1�%��� � 9 � : � #� % � �#D �13%#8� � �� ��� ��� ���� ���� #�� �� % 6� ������� 6�% ����� � � ��

�� ��� �� �� �

��� � �

�� �� # 1%�� � #� � 1 � � � � � � � � % �0� �� �� $� = � � / � � � � % / � � �� � / � � � % / � � � 8� ����

���� �

�� �� �� � # 1%� � ���� �

�� �� �� # 1%� �� � � #� % �� #� � 1 � � � � � � � � % �

�� �� � &� #D ���% � � 9 � : � � � �� � : � � �

�2

Page 35: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

������� � 46 +�� � 6�� ������ � ��� & � �"������ 6 ��� ���� � � #1 �� % �#D �1C%��� ��� � � � � � & � ��� ��&�� �� 6 ������ 6 � � � � � ���� ��� 6�����

������� � 4� 8�� �� & � ��� ��&�� �� � 6*��� � 6�� ������ �� � � ���� . � � 6 #� � � � � % � .. � ��" #� � � � � % �#D �12%

0� #�� �� % 6� ������� 6� � ��� #�% +���� ��� �� � 6�� ������� ���� � 6��� � 6�� � 6*��� � 6�� ������ ����� = # �� # �� . � � �� 6� ��� �+���� ���� � 6��� � 6�� ������ � �� �� 6�� 6� � 6����� � � 6���� � � �� � � �#& % +�� #� ��% 6�� �6� �� ��� ����� 1 �� � �� & � ������� �� � &��6� �� #� ��% ������� �������� #�� ����% �� ����� ������� �� 6�� 6� � 6����� � � � � #� � ����% �� 6�� 6� � 6����� � � � �� ��� � �#6% 0� � 9 : � � � ����� 6� �� 6� � 6����� *��� &�� �� 6���� 6� � 6����� � � 6���� � � �� � � � ��� � � = � B�� � � 9 : �� 6���� 6� � 6����� ���������� � +��� � 6� � $� = � ���� �� �� 6�� 6� � 6������ � 6���� � � �� � � �#66% 0� ��� � ��� ��� � � ��� �6 ����� 6 ��� � � � 6�� ������� �� � � 6�� � 6*��� � 6�� ������ 6�6� �&� 6��� ���� � ��� # $� ��� % � � ��� # $� ��� % ��� �6 ����� 6 ��� � � � +�������� � �� 6� ��� � ����� �6�� ��� ���� � � � � �� � � �� � � � � � � � �� � � � �� � � � #% � 1 � � � � � � � ����% � +�� ������� 6 � ��� 6�� 6 � � � ����� 6 � � �� 6�� 6 � � � ! ��� ����� �� � ��� �� ������� �� � � � � � ��� �6 �����6 ��� � � � �� �� ���� # �� . �#666% 0� � 9 : � = �� ��� �� 6�� � . � ..����� . �� 6���� 6� � 6����� � � � � .. �� 6���� 6� � 6����� � � � � &��� . � .. �6� 6 1 � +����� �� ��� ������� �&�� 6 � 6 �� 6� ��� ��� 1 � �� �� ����� �" 6��� � �6 ����� 6 �� � � � ��&������ 6 � 1 � 5� #66% � #� � ����% �� ����� ������� �� 6�� 6� � 6����� � � � � #�� ����% �� 6��6� � 6����� � � � �

� � : � � �@ 6�� � ��& 6����� ����� ������ � � �1� 6 � �� ��� �� 6��� �1� � ��

�� ��� �� �#D ��=%

� &� +������ D �D � �� ����� �1� � ������� �

� � �� � � � �� � �� � � � � ������ � ���� � � � �� �#D �� 1%

����� � 9 �� � : � �� �� � #% � 1 � � � � � � � ����%�� = #% � 1 � � � � � � � ����% �� �� � � � �� � #% � 1 � � � � � � � ����%� �� � �� �� #% � 1 � � � � � � � ����%� 9 �� � : � = #% � ���� � 1 � � � � � � ����% �

�=

Page 36: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

)���� � 6����� 6� � � #� 1% � �� ����

� �� � � ������ � �

��� � � �� � � #�� %�� �� � �� � �#D ���%

B�� ����� ����� ����� ��� � 1 �� 6 ��� � 6� 6����� (��&��� � ��� �� � ��� ������� �� � 0� �� ��������� �� � ���� & �� �����6*� �� ����

� � ����� �

� �1�� �� �� #% � 1 � � � � � � � � %#D ���%

� �� �1� � � ���� �

� �� �#D ��D%

B�� ��� � 6� 6����� (��&��� � �� � 6�� �� ���� ����

�� . �� # �� . ��#1 � �%�#D ��4%

����� � . � . � � . 6� � �����" 6���� ����� 6� �� #1�11% � � ����� �� . �� 6� ��� ��� �� ��� �'������� ��� ���6���� �� 8� ���� ������� 6 ��� 6� � � � 6�� � &�� ��� ) .� � )� #� � 1 � � � � � � � � %�� �� @�������� 6 �

+� ����� #D ��4% � �� ��� #D ���% �� �"����� � . 6 ���� � �� ��� � 6�� ������� �� � � 8� ����

� . � ��� � �

� � �� �� �� . �� � ��

�� �� �� �

)���#� 9 . :%� � ��

� � � �� �� .� � �� #� � 1 � � � � � � � � %

� = �

���� � �� ��

� � �� #� � 1 � � � � � � � � % ��� ��

#� 9 . :%� � ��� � � �� ��

� .� #� � 1 � � � � � � � � % �5�� �6 ��

��� � 1 #� � 1 � � � � � � � � % ���S= KHI RQ OS= K�HL?=K RQ OS= ?=K>WHLTK SLK J ==@ HK=W LK L I =LKH?= RQ MR@�=?A=@M= JV �R� >= B� E F

� 1

Page 37: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

� �� �� � �� �� #� $� % %#� 9 . :%� � � .� #� 9� . :%�

� � .� ���� �

���� �� �� #� � 1 � � � � � � � � %

#� 9 . :%� ����� �

#1 �� %�� �� �� #� � 1 � � � � � � � � %

�� . �� � �#� 9 .:% �� � ���� �

#1 �� %�� �� & #1 � � %� �� . �� ��� �� � #D ��4% 6� ����� �

B�� ��� � 6� 6����� (��&��� � 6�� � ����� ����� ��� 6� � ��� � 6�� ������ � � 6�� ������� �� � �� & � �"������ �"��6� 6���� 8�� �

�& � ��� ��&�� �� 6 ������� � ��� � �� �6� � 8� ����

�� �� � ���� �

�6 � �� ��

�� �����

�#D ���%

����� � �� ��

� 1 � � � � � � � ��� �% � 1 � � � � � � � � �

+�� ������� � 6 � � 6�� ����� 6��� � 1� ��

�� ���� � �� �� �

��

�#D ��3%

+� 6� ��� & � ��� 6�� ��� 6A� &� #= �4% � #1�1=% �0 ���� 6�����

� � � 1� ���� �

��� ���

#D ��C%

B�� ����� ��

#� � 1 � � � � � � � � %� � � 1 � �

D��

�� �1� ��

#D ��2%

� � #� % � � �

D��

�� �1� ���#D ��=%

+�� ���� �� �� ����� �� 6� ��������� ���� ���� ��� ����� ��� 8� ������ ���� � � � �� �� ��� ����

�� �� ����� �� �� &� ��� 6���� ��� � ����� ����� ��� 6� � &� ��6 � +������ D �� � -�������� D �1�

���� �� � � ����������������� � 4� B�� ��� � 6� 6�� ��� (��&���

� #� � � % � ��� � ��� � �#D �� 1%

����� � #� � � % 6� �A � &� ��A 6� 6� � �D � #��� �� 6� ������ � ��� & �� �� 6��� % �

��

Page 38: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

���� � � B�� ��� � / � &� #D ���% � #D ��D%��� 9� : � # ��� �� � �5��

��� �� � # � �� ����� 6�

� & ��� � ��� � � �

�� ��� #� � � % # ��� � ��� � � �

! ��� ����� �� � 6� � � ��� ��� 9� : � � ��� � � � � � �� � �+��������

� #� � � % & ��� � ��� � �� ��� ������� ������ � �

� � : � � �

������� � 4� 8�� � � ����� � & �� � ��� 6� � � ��� � & � �� ���� � 8�� � � � �� � � � �& � ��� ����� 6 � � �&�� 6 � ���� � &� ��& 6� 6 6 � ��� ���� &� � ������ �� � � � �� � � � � � ��� ��� ��� � 6� 6�� ��� (��& ��� � ����� �" 6�� � ��6� 6�� �� ��� �� � � � � � � � ���� �6*� �1 ���� ������� ��� � � �1 ��� � 6�� = � � # �1

� � # ��� #� � � � � % # � �#D ���%

����� � � ���� ��� ������ ����� �� ��� �� �� 6� � �A � � � � �� ��� � � 8�� � � � & � ����� ����� ��� 6� � � 6���� ��� 6& 6 � � 6 ��� 6& � 6 � 8�� ��� � 6���� � � � & � �

����

� �����

���� ��� 6����� #� � 1 � � � � � � � � % � ��� ��� ��� ��

& � ����� �� ������� ���� 6���� �� � � 8�� � ���� � � ���� & � ��� ��� �� �� �� 6 �� 6 ��� 6�� �� � � � ���� ��� 6�����0� � � ���� #� % � � � #� % � � ���� #� % � ��� ��� ������� � 6�� ����� �� � ��� � ���� �� � � � ���� ���� ��� 6������ ���� &� +������ D �� � -�������� D �1�

� ���� #� % # � � #� % # � ���� #� % �#D ���%

5� #D ��C% �� ���� � 1 � ���

D��

�� �#� ����

%�� � � #�� %

��� � ���� � � ���D

���� �

#� ����

%�� � � #�� %

��� � ���� � � ���D

���� �

#� ����

%�� � � #�� %

��

Page 39: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

����� � #�� % �� 6���� � 6�� �� �+�������� � &� #D �� 1% �

��� ��� � �D ��

�� �#� ����

%�� � � #�� % #� #� � � � � % # ��� �

�� � �D ���� �

#� ����

%�� � � #�� %� ��� ������� ������ � �

� � : � � �0 ��� �& ��� �� �� �� ��� ����� ���� �� � � = ��� ��'� 6�� ��&�� �� 6����� 6� � 6� �������� 6�����

���� ��� 6� �� �� ��� � 0 ���&���� #� � � % � � #��� % �#D ��D%

�D

Page 40: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

� � � �� � ���� ��� � ����� � ��� � ���� ������ ��������+�� 6�������� � ������� ��� ��� 8 6�&�� .���� ��� & �� � 6�� 6 #= �3% � 7 �6 � #1�1D % � #1�14% � �� ����

� �� ��� � �� ���� �

�� �� �� ��� ���

� �� ��� �� �� �� � ��#4 �1%

�� #4 �1�% �� �� � �� 9 �� � : � ������ � � ���� ��� ���� 6 � �� ��� �'��� 6� � � � � ���� ��� ������ #� � � �� � � � � � �� % �

5� +������ � �1� ��� ���� �� �� ����� �� �� ��� 8 6�&�� .���� �� � � � ��� �� 6 � �� 6�� ����� �� �� � +�� �� ���� 6 � ��� & �� ��� &� @� 6� 6 ��� 91�: � &� �� 6 � $��� & ��� 9�D :������� � 43

�� 9� : � �� 6� � � �� 6��� ���� �

�� �� ��� ���

� �� ��� �� �� � �� � #� � 1 � � � � � � � � % �#4 ��%

. ������� � 6� ��� ���� 6" # � �� % 6� � 6�� &�

� �� �� ! "

�� �� % ���� �� % � �� % � �

#4 ��%

��� )�� �� )� ��� ��������� 6�� 6� ����� 6 � � �� �� � 6� �'��� �� ��� ����� 6 � � �� # � �� % �-������� ��� ����� 6 � � �� # � �� % �� &� �&�� 6 � ���� )� �� ) &� ���� 6��� 6 � ��� ���� � �� ����� ������ ����� 6 � � �� 6�� ��� & ���� ��� �� 6 6��� �� &� � ����������� ����� ����

5������ #�� �� % ��� ���� ���� #�� % � 6� 6� � ���6& �� �� ���� ��� �'��� 6� � 6 ���� � ��� ���� �����6� � �"��� ����� 6� &����� ��� � 6�� ������ � � 6�� ������� �� � � �� � ��� ���� 6 �� � 6�� & ������ ���������� ����� ���� � 5����� �A 6 � ���� � ������� � �� ����� A��� �A � � ���� ��������� �" 6��� � ����� ��� ������ �������� � 45 ) � * � ���� 6" #�� �� % ��� ���� ���� #�� % 6� � � �� 6� ����� �" 6��� � ������ � 6 � � 6�� 6 ������ �� �� 6 ���� ���� ���� �� �� $� = � � $� % 6���� )� � �� ) � 1 � � ���� ���� �

������� � 6�� 6 �� ������ ����� � �#�% 0� #�� �� % ��� ���� ���� #�� % � ����� �" 6�� � ����� 6��� 6 � ���� � � � � � � � � � � �� ���� ����

��� � �� � �

8� ������ ��� ���� �� ����� �� ���� � / �� � � $� % 6���6�� �� �� � = �� % / ��� � �� � � #) �& ����� � � 1 � �� � ��� ����� ����% � 8� �� �A � � ���� ���� � � % / �� 6���6�� � � � �� � ������ 6� � / �� � % / �� � ��� � � )� � �� ) � 1 � � � 6�� ���� ��� ��'� 6�� ���� ��� 6�� � 8� ��� ����� 6� �� � 6'���� ����� 6 � �#& % 0� � �" 6��� � � ��� ����� �� � �� � ��� &� � � � � � � � � � � �

� ���� � �� 6�� � � 6� � �� ��� � ���� ��6 ���� 6 � ���� � � ����� �� � ��"

�� � � 6

�� � � -������ 6� �� �� $� = � � / �� � � $� % �� ����

)� � �� ) � 1 � % / ��� � �� � � �� �� � 6� � 6� ��� ��&�� �� 6�� 6 �� ������ �� � � � �� ��� ����� � � � � � � � � � �

� � 6�� & � � ������ +��� � #�� �� % ��� ���� ���� #�� % �� � : � � �

�4

Page 41: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

������� � 45 0� #�� �� % ��� �������� #�� % � #� & �% � 6� ��� ���� ���� #�� � % � � ���� � # � . # � ����� � � 0� #�� �� % ��� �������� #�� % �� �� ���

� #� � % � 1 � � #� � % � � � � � � � � #�� � % � � .

� #� � � �% � � . 1 � � #�� �� % � � . ��� ����� 6 � � �� � . 6�� 6 �� ������ � # � . # � � #� #�� % � ���� � � ��� � / �� % � �� �� �� ���� � .� � � .� � � � � � � .� ���� �&�� 6 � �� 6 ��� +������ � #�� �� % ��� ���� ���� #�� � % �

� � : � � �������� � 46 0� #�� �� % 6� S��GPMVSNLG � ��� ���� ���� #�� % � ���

� � �� � ��"�

� � � 6 �

� � ����� � � 8� �� � �� ����� ���� 6� � � � � � �� � � � � ��� ����� �" 6��� �. ���� ���� � �� � � � 1�8�� �� & � ��� ��� �� ��� � ���� ���� � � # � � � �� & � ��� ��� �� ��� � ���� ���� � � & � � � � 5� ���6����� 6& 6�6�� �� #�� �� % ����� �" 6��� � / �� � % / �� ���� ���� �� �� $� = � 5�� �� 6� 6���6�� )� � �� ) � 1��� 6�� 6� 6�����6&�� 6� �� � �� � �

� � : � � �

�2������ � 45 � 6� ����� ��� ����� ��� ������ �� #�� �� % � �2������ � 46 ) K�PG� SH� � �� ��� ��� � � ����� � �� � ���� 6" #�� �� % � 6�� ���� ���� #�� % 6����������� � 6� ��� ��� � ���� 6 � ������ � � � � �� 6���6�� � % � �� � �+ ��� ��� � � % / � �

8 �� �� �� ��� �� � VKH� S� �GH � K�PG� SH� � 6� 6� 6���6� ���� #�� �� % ��� ���� ���� #�� % ��� ���� � �0� 6� �&� 6��� ���� 6� � ���� 6" #�� �� % ��� ���� ���� #�� % ��� �� ����� � � �� �6��� � ���� 6 � �� ������ � � ����� � �� #�� �� % �" 6��� �������� � 4� 0� � 6� � �� �6��� � ���� 6 � � 6� �� �� $� = � � % � ��� � � �� �

������� � � ����� ����8� A��� �A � �'� 6���� � ���� 6 �� � �2������ � 4� +�� ���� 6 �� � � � � . ��� ������ ��� 6� �������� �� �� $� = � � $� %

� % � �� � 6� � � �� 6� � % � �� � . �������� � 4� 0� � 6� �'� 6���� � �� � . � � 6� �� � 6��� � 6� � � �� 6� � . 6� �� �6��� � �

-������� 6� � 6� �� �6��� � � � ��� 6 ������ �� ��� ��� � ��� % �� ��� �� #�� �� % � ����� � � � ��� ��� �� ���� 6 � �&�� 6 � � 6�� & � �� �6��� � �

B�� ��� �� �� � �� �A � ��� ���� 6 � ����� 6� ��� �� ��� � �� � � 6 �� &� #1�1��% � 8� ��

�A � ���� ��� 6��� ���� 6 �� �; � � � H@W=? � I=L@K OSLO H@W=? OS= R?W=?>@A OS= �OS ?R� QR TTR� K OS= � OS ?R� RQ �� � �

�� F

��

Page 42: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

�2������ � 4�#�% �1 � � . 6�

� ! "

� � � .� ��� � � � .� � � � �� � � .�� � ������������������������������������������ � � � .� � � � � �� � � � .� � � � � .�#& % � � � � . 6� �'

�� �� � �'

�� �� .�

#�% �� � � . 6� �'�� �

� � 6� � � �'�� �

� .� 6� ���

#% �� � � .#� � �%

6� � � 6� ��� � � .� 6� � � ��� � � � .� � � � � �#� % �� � � .

#� � �%6�� ! "� � � .�� � 6� � � � .�� .�� � 6� ��� � � � � � .� �

0� 6� �� 6� � ���� �1 6� �'� 6���� � �� � � � � 1 6� ��� ���� ����� ���� 6 � �������� �� �������� 6 ��� ����� �������� � 46 +�� ���� 6 �� � 1 � � � � �� � �� ��� �� � 6��� � � +�� ���� 6 � �� 6� �� �� �6��� � ������ ������� ����� � � #�% 8� ���� ������ ��� ���� � 1 6� �'� 6���� � �� � � � 8� �A � ��� ���� 6 � ������ &�

� � ���

�� �� ����

#� � 1 � � � � � � � � % �#4 �D %

-������ �� �� $� = � � $� % 6���6�� )� � �� ) � 1� �� �� &� +������ #4 �1% � #�� �� % ��� ���� ���� #�� %����� � 6� ��� ��&�� �� 6�� 6 �� ������ �� � � �� � 6� �� �6��� � � 6 �� � � �� 6���6�� � ��� � �� � � �� � � �#& % 8� ���� ������ ��� ���� #�� �� % ��� ���� ���� #� � % ����� � � � � � ��� ��� ���� ����� �'

�� �� ����

6�� �� ��� � ���� ��� 6�����

+�� ���� 6 � ������ 6� � 6�� &�

� � �� ! "

1 6� �'�� �

� ����

6� �

= 6� �'�� �

� ����

6� ��� �#4 �4%

-������ �� �� $� = � � $� % 6���6�� )� � �� ) � 1� ) ��� � � �� 6���6�� � ��� � �� � � �� �� � � � �� � � 6��� �6��� � �#�% B�� �� � �� ��� ��� ���� 6 � ������ & � � 6�� &�

� � �� ! "� ���� 6� � ���� 6� �

� ���� 1 6� � ���� 6� ��� �#4 ��%

�3

Page 43: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

)�� 6 �� �� $� = � � $� % 6���� )� � �� ) � 1� � � � �� 6���6�� � ��� � �� � � �� �� � +��� � � � 6��� �6��� � � 8� ��� ���� #�� �� % ��� ���� ���� #� � % ����� � 6� ��� ��&�� �� 6�� 6 �� ������ �� � �# % 8�� � � �� �6�� �� ��� ���� 6��� �� � �'����

�� ��7 �� �� ��� ���� 6 � 6�

�� �� � � � � � � � �0� �� ���� �� �6��� � �� ���� �A � � ���� 6 � ������ � ���� ���� � #� % � 1� 5� ��� ��'� 6������ ��� 6�� �� � �� ���� ����

� #�% � � � #�% � � � #� % � D �+�������� � )� #� % � #� % ) 1� � �� ��� 6�� 6� �

� � : � � �

������� � 4� 8�� #�� �� % & � � � * � ���� 6" � 6�� ���� ���� #�� % � ����� ��� ���� 6 � �� ������ � � ����� � �� #�� �� % 6� �� �6��� � � 8�� ��� �� ���� ���� � � �� #�

.� �� % & � � 6�� &�

�.� �� � �� �� #� � % �� � � % %

�.� �� � ��� �� #� % % �

+�� � ��� ����� 6 � � )#�.� �� % ) �'���� )#�

..� �� % ) ����� ��� �� ���� ����� � �� #�

..� �� % 6� � 6�� &�

�..� �� � �� �� #� � % %

�..� �� � �� �� �� #� $� % % �

���� � � :��� ���� �� )#�.� �� % ) 6� �� ��� ����

� #% #�%% ����� �

#�.� �� ��� %

����� % #�% 6� � � ������� 6� �� ��� A��� � 6 ������ �

� #% #�%% ����� �� ����� �� �

� ������� �� �����

��� �� ������� �� ����� � � �

� ��� �5�� �6 �� #�� �� % � �� �� #�

.� �� % ��� ���� ���� #�� % 6� �� �� $� = � � � % 6���6�� �� ��� � � � 1� �

� % #�% 6���6�� � � �� ��� � 1� ����� ��� ���� 6 � ������ � �" 6��� &� +������ #4 �1% � 8� ����

� #% #�%% ����� �� ����� �� �

� ������� ����

�� ������ �� ���

���� ����

�� ��� �� �� ��� �

8�� � & � ��� ��&�� �� ������� � 6�� � � �� ��� � � & � ��� ��&�� �� ������� � 6�� � � � �� ��� � � �

���� ����

�� ��� � � �� ���

�C

Page 44: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

� ����� ����

�� ��� �� ��� � �

� � ����� ��� (��� ��� � � �� ��� � = �

+��������

� #% #�%% ����� �� ����� �� �

� ������� �� ��� (� �

�� �� �� ����� 6�� 6� � �� ���� ���� �� )#�

..� �� )�

� � : � � �

������� � 4� 0� � 6� � � 6�� � � 6*��� � 6�� ����� �� � � 6� � 6� � �� �6��� � ���� 6 � � ��� � � � � 6� � � 6�� � � 6�� ����� �� �� � 0� �� 6� ��� ��&�� �� � 6*��� � 6�� ������ �� � � ��� �G�K 6� � #� ����%6�� � � 6�� ����� �� �� �� ��� � � 5� +������ 4 �= � +������ 4 �� ��� ��������� 6�� 6� ����� 6 � � �� �� �'����

)�� �� ) � )��� �� ) � �� �� )� ��� )�5� +������ D �� �

)� ��� ) � ������� �

#� � �� % #�� %� � �� ��� ��

)�� �� ) � �� � ���� ������� �

#� � �� % �� � : � � �

������� � 4� 0� � 6� �� �6��� � � ��� ��� ���� �� �� ����� �� �� �� 6� �"����� �� 6�� ��� ���� ���� ����� �� �� � �

������� � 4� 0� #�� �� % 6� ������� 6� � 6� � 6� �� �6��� � � ��� ��� � 6�� ������ �� �� ��� ���� � � ���� 6�� �������� � 4� 0� � 6� � �� �6��� � ���� 6 � � 6� � 9 : � � � 6�

� � � �#4 �3%

� � ���� #4 �C%

��� �� 9� : � �� �#4 �2%

�2

Page 45: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

���� � � 5� +������ 4 �D � � � � � 6� � � 6�� ����� �� �� � 8� ����

�� ���� �

�� �� � �� ���

� �� ��� �� �� � �� ��

�� ��� �� � ��� ��� �� � ��

� �� ��� �� ���

�� � �5�� ��� �� �� $� =

�� � � � � 1 % �� � 1 % � �

�6 �� ��� ���� 6 � 6� �� �6��� � � &� ��A 6� 6� 4 �� � -�������� 4 �� � +�� ���� �"�����6� & ������

� �� � ���� �����

� ��� �� �� � � � �� � ����� � � #� ���� %� � � �� � �

5� +������ 4 �= � �� 9� : � � � �� � : � � �

������� � 4� 0� #�� �� % 6� ������� 6� � 6� � 6� �� �6��� � � ��� ����� ���� �� ��� ���� 6" �� �� 6� 6��� �� �"���� � ���6&�� ��� ��� ��&���� 6" ���� � 6��� � 6�� ��� � 6�� ����� *��� �

���� � � 0� � $� = 6� � � 6�� � ���� �� )�� �� ) � = � � � �� 6� � � 6�� � ���� �� )� �� ) � = &�+������ 4 �D � 6 �� #�� �� % 6� ������� 6� � ��� ����� ���� �� ��� ���� 6" �� � 6� 6��� �� &� +������D �1 � �� �� ����� �" 6�� � �6 ����� 6 ��� � � � 6�� ������� �� �

�� � #% � 1 � � � � � � � � % �+�� � 6�� �������

� �� � #% � 1 � � � � � � � � %�� �� � 6�� &� #4 �C% � ��� ���� �6 ����� 6 ��� � � � !����� 6�� ����� ���� �" 6�� �� ��� ��� � � �� � � � � � �� �� ��� *��� ���� ����

����� �� �� � � = �

B�� ��� � � 1 � � � � � � � ������ �� � �� �� � ��

��� ����

���� �� �� � = � 6 �� �� $� = �� 6� 6���6��

����� �� �� �� � = #� � 1 � � � � � � � � %

������� �� �� � � = �

+� 6� �� ��� 6��� ��� ���� ���� ��� �� � ��� �6 ����� 6 �� � � � �� � : � � �

D=

Page 46: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

������� � 4� 0� #�� �� % 6� ������� 6� � ��� ����� ���� �� �� � 6� 6��� �� ����� � � 5� +������ � 4 �D � 4 �� � �� �� � �� ���� ���� ����� �" 6�� � ���� �6 ����� 6 ��� � �������� 6 ��� ��� ����� �� ��� � +���� ��� �� �6 ����� 6 �� � � � ������� 6 ��� ��� ����� ����� ����� ����� � �� ��� *��� �"���� ��� � � � / � � �� � �� & � ��� ���6��� 5� +������ D �D ������ ��� � � ���� �6 ����� 6 �� � � � ������� 6 ��� ��� ����� �� � �� 6�� �� 6�� 6� � 6����� � � � � !&� 6������ ����� ������� ��� ���� 6 ��� ��� ����� �� ��� � +��� � ��� ����� ��&�� �� �6 �����6 ��� � � ������� 6 ��� ��� ����� �� �� � 6�

�� � #� � ���% � � ��

��

� � : � � �+��� +������ 4 �3 �� �� & � �"�� � �� ��� �� �6��� � ���� 6 �� �� & � ���� ��� 6��� +��� ��� �6�� � ��� 6� � 6�� ���� � � 6 �� � ��� � #1 � 1% � � ��� � #1 � �% � � ��� � #� � 1% � � �� � � #� � �%� 6�� ��� ���� 6 � �1 � � ��� � � ��� � � ��� � � �� � � 8� ���� ��� ��� � 6� 6����� (��& ���

��� #= � � � � � 1% � #1 � = � = � =%����� ��� #1 � = � = � =% � = � +��� � � 6�� ��� � ������ �" 6��� � 0� �� & � ���6�� ���� 9�= : ���� ��� ��� �� ���� �� ��� ���� 6" �� ��� 6� �

����1�D = = == = = == 1 = == = = =

������ 6�� ������� � 6 � &�� 6�

#D � � � � � 1%#1 � = � = � =%#= � � � � � 1%#= � 1 � 1 � =% �

0 ��� �� ���� 6 � �� �� ������ #�� �� % 6� ������� 6� � @ 6�� � ��& 6����� ����� ������� �1� � �1� #4 �1=%

�� �� �"�� � �1� 6 � 6�� ������� � 6�� ��� � ������� �� �� #� �� � 6��� �% � &� +������ 4 �� � 8����� � �1� � �����

�� �� � � �� � � �#4 �11%

����� �� 9� �� � : � �� � �� ��� SL�= @RO V=O J ==@ LJT= OR U?R�= OS= QRTTR� >@A MR@� =MOH?=K �S>MS L?= KHAA=KO=W JV @HI=?>MLT ?=KH TOK � >OS K�HL?=?=A>R@K � >OS � P � L@W >@O=?�LTK R@ L KMLT= F�L� �R? OS= � >? >MS T=O �?RJT=I L@W QR? L K�HL?= ?=A>R@ � >OS � >@O=?�LTK R@ L K>W= P OS=?= L?= �� � � � @>TU RO=@O �=MOR?KRQ W=A?== � �� � C � � � C� P QR? OS= R?W=?>@A �� F�J � �R? L@V ?=A>R@ P OS= S>AS=KO W=A?== RQ @>TU RO=@MV WR=K @RO =�M==W OS= @HIJ=? RQ W>KO>@MO �LTH=K RQ � P QR? � � F

D 1

Page 47: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

� ����� � 6� � �� 6��& �� �6 ��� ���& 6 �� 6� �� 6�� ��� � ������� � ) ���� � 6����� 6� � � ��� ����������� & ���� �� � �� � � �����

� � ���� � � � �� � � ��� 9� :#4 �1�%

����� ��� ���� � # � � � � 6���6�� ��� 9� : � = �0� ��� �� �� � 6� �� #�� % �� #D ���% ��� ��� �"�� � 6� �� � �1� 6 � 6�� ������� �� � ��� � �� � ��� � �

�� #4 �11% ��� &� ������� ���6�� ��� ��� ���� 6 � � � � 8� ���� &� #4 �C � 4 �2%

� �� � � ���� �� � #% � 1 � � � � � � � ����%

����� � 9 �� �: � �� �� � E �� = #% � 1 � � � � � � � ����%� ����� ��� 9� �� � : � �� � �� � � � �� � �� � #% � 1 � � � � � � � ����% �B��� #4 �4% � �� ���� � �6 ��

����� � #1 � % � � ���� � #% � 1 � � � � � � � ����%

� �� � � ##1 � % � � � ���� % #% � 1 � � � � � � � ����% �#4 �1�%

0� �� ���� � �� � � #1 � % �� � #% � 1 � � � � � � � ����%#4 �1D %

6� �� &� ���6�� ��� 6A� ����

��� 9� � �� � : � = #% � 1 � � � � � � � ����% �5� #D �1C% � �� ����

� ! "

� �� � � 1�9 �� � � �� �:

#1 � % �� � � 1�9 �� � � � �� �: #% � 1 � � � � � � � ����%#4 �14%

��������� � ! "

� �� � � 1 � � ����� �� � � 1 � ����

� � �� �#% � 1 � � � � � � � ����% �

� � �� � � 1� �� � � 1

� � �� �#4 �1�%

��� 6 � ����� �'��� 6� � ��� �� � � � �� � � �� ���

� ! "

�� � � �� ���� 9� �� � � #1 � ���� %� � �� � � �� ���� � �� � � � �#% � 1 � � � � � � � ����% � �� � � �� ���� 9� �� � � #1 � � ���� %� � �� � � �� ���� � �� � � ��

#4 �13%

����� ��� 9� �: � ��� 9�� : � = �

D�

Page 48: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

5� #D �� 1% � � ��& 6����� ����� ������ � �1� �� & � � � 6��� 6 ��� ����

� �1� � ������ � �

�� �� � � � �� � �� � � � � ������ � ���� � �� �� � �

7�6 � #4 �13% � ��� ���� ����

� 9 �� �: � = 6���6�� ��� 9 �� �: � = ��� ���� � �1� � �����

� � ��� ���� #� � � �� % � �� � � �#4 �1C%

����� ��� 9� : � = � 0 ��� 6� 3 � �� ����� ��� �� 6� �"�� �6� �� ��� � ��� �� &�� ��� ��� ��&���� 6����� 6� � ��'� 6�� �� ����� ��� A 6�� 6<��� �� � ������ �� ��� � 6� 6�� ��� (��& ��� ��6 � ��� �

B�� � �� ���� �� �6��� � ���� 6 � � � � ������� � ��� 6� ��� � � � �� � �� #D ��=% ��� � �� � �������� 6 �� 6� �� ��� � � �� #4 �11% ���� � �� & � � � &� ���� 6 � � ��� �� �6 ��� �'��� 6� � � +� 6� 6����� ��� ������ ��� � 6�� ������� � � �� � �� �� ��� � �� �"��6� 6��� 6 ���� � �� ��� �� � �

D�

Page 49: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

� � � ����� ���������8� ���� ��� ���� ��� ���� �� �� ����� �� �� ��� 8 6�&�� .���� � 6�� � �� �6��� � ���� 6 � 6��"����� �� 6�� ��� ���� �� �� ����� �� �� ��� ?��� �� . ���� � 0� 6� ��� 6��� �� ��� ������� ��� ������ �� ����� �� �� ��� 8 6�&� � .���� ���� �� & � 6 ������ &� ��6 � ���� 6 �� �� 6�� ��� ���� �6��� � �

������� � 8����� 9�= : ����� ���� � �"���� ��� �� ��� � � ��� ���� �� �� ����� �� �� ��� 8 6�&�� .���� ����6� �� ��� � 6� 6����� (��&��� 6� ����� 6����� 6 ��� � � �� ��� ���� 6 �� 6�� ��� � � 6 ����� �������� � ����� 6��� �� 6� �� � � 6�� 6 +�&�� � �1� 6 6����� ���� ��� �<��� �� ��� ���� 6 � � ��� ���� �� �� ����� �� 6� �� ��� � �� �"��� 6 � 1� 6 ��� ���� �"����� ���� ������ � � ����������� 6�� �� � 6 ������� � B���������� � 6 ����� ����� � ��� �� �6��� � ���� 6 �� ���� ��� �� � 6�� ���& ��� �� ����� �� � 0� 6� �� �� � ������ ���� ��� �� � 6��� � ���� 6 �� � �� � 6�� ��� & ��� �� ����� �� �0 ���� �� ��� � ����� �� �� 6� �"���� ��� � � �� �� 6�� ���� � 0� ��� ���� 6 � ����� 6� �� 6� &����� � �� � � 6�� �� 6 � � � � �� ���� �� ��� � � � 6 �� 6� ��� �� � � �� �6��� � ���� 6 � � 6�� 6 �� ���� & ���� � �� � 6��� � E 6� 6� ����� ��� ��� ���� ��� 6 � ���� ���� 6 � � ���� ��� ���� �� �� ����� ��6� �� 6 ������ �

5����� � 6� 6 � ��� ����� �� �� 6� ���� � �� ����� A ��� � 6�� � �"����� �� ���� ���� ��� ������� �� ��� 6� 4 ��� �� ���6 ��� ��� ���� 6 �� ��� 4 �� ����� ��� ��� � ���� ��� � ����� � � ������� � 4� � �� � �� �� ��

-� �6�� ��� � 6� 6����� (��& ��� ��� � �'���� ��� 6� � 6�� ���� 6 ��� 6�� � � 6 �� � 0� ��� ���� ��6�������� � 6� �1 � �1 ��

�� �D � ��� ��������� 6�� 6� �'��� 6� ��� ��� 8 6�&�� .���� 6�

1�4� 9�4��� �D�� : � =#� �1%

� ��� � 6�� ������ ��� � � = � = � = � 1�D �B�� ��� ?����� . ���� ��� � 6�� ������ ���

� � = � = � 1�� � 1�� �+� 6� ������ � 6�� +������ 4 �D � ! ��� ����� �� � � 6�� ��� ���� 6 � �� � �1 ��

�D �� � ��� ����6����� 6�� 6� �'��� 6� ��� ��� 8 6�&�� .���� 6�

1�4� 9�4��� �4�� � ��� �: � = �#� ��%

� ��� � 6�� ������ ��� � � = � �= 114 � �11C4� � �= 114 �11C4� � ��33 � 6 �� ��33 1�D � ��� ���� �� �� ����� �� �� ��� 6� ���� ��� ��� ���� �� �� ����� �� �� ��� ���

�� 6� ��� 6� �8� �&����� ���� ��� ���� �� �� ����� �� 6� 6 �� � � � �� � ����6� � ������� 6� �� ��� ���� 6 � �

�� �� � ��� ���� � 6���� 6<��� � ���� 6 �� ���

�1 � �1 ���� �D � �� � �1 ��

�D �� � � .� � �1 �D�� �� �

�� � �1 ���D �� � � .1 � �1 ��

�� �D � � .� � �1 �D�� �� �

DD

Page 50: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

+�� ���� 6 �� �1 � � .1 � � � � � .� ��� �� �6��� � � 5� ��������� 6� 6� �� 6� � ���� �� 6� �'� 6���� � ��� .� � +��� ��� �� 6� ��� 6� � �� ���� ���� ���� ��� � ���� 6 � �� ��� ���� �� �� ����� �� �� ���8 6�&�� .���� �"��� ���� ��� � �� � 6��� � ���� 6 � ��� 4 ��� ����� � � �������� ��� � � ����� �������� � � ��� �������� �� � ��������������� ���

8� �� ����� � �� �� 6�� ���� �� ��� �� � ������ ���� ��� #�� �� % ������� 6� � ��� ���� �� �� ����� ���� ��� 8 6�&�� .���� ��� � � ���� 6 � ��� �� �"��� ���� ��� � �� �6��� � ���� 6 � �������� � 45 8�� � & � � �� �6��� � ���� 6 � �� ��� ��� � � ����� � �� ��� ������� 6� � * ����� 6" #�� �� % ��� 6��� 6 � #= ��% � 0� � . 6� � �� ���� 6 � �&�� 6 � &� ��� � 6 � ��� ����� 6�� � ��6� 6� ��� � �6 ��� ��� � ��� ������� � 6 � ����� � �� � � ��� ��� ���� �� �� ����� �� �� �� � ��� ���"��� ��� ���� �� �� ����� �� �� �� �� ��� � � 5� +������ 4 �= )�� �� ) � )# � �� % )�����

� �� �� ! "

�� �� #% �%��� �� #% � �%� #% � �%

� ����� � &� #1�D %

�� �� �� ! "

= #� � % % �� ���� ��

#� $� % % �0� 6� ���6�� ��� 6A� ���� )# � �� % ) � )# .� �� % ) ������

.� �� �� ! "

�.� �� #% �%�� .� �� #% � �%� #% � �%

� �����

� .� �� �� ! "

= #� � % %�� ����� ����� ��

#� $� % % �8� ��� ���� .� �� 6� ������� 6� ����� � � 45 8�� � & � ��� � ��� � � & � ��� ������� � 6�� ����� �� �� � +�� ��� ��& ����� 6 � �� ��&�� 6 � ���� ��� ���� 6" # .� �� % &� ���� 6 � � ��� ��&�� �� ��� � � ��� �������� 6 � ����� ���� � ��6� 6�� � ��� � � � � �� ��� � � 8� A��� ��� ��� ���� � �6 �� � 6� �� �6��� � ��� #�.� �� % � 6� 6� ���� �� � 6��� � ��� � � ��&���� 6"�� ��� �& ��� ��� � � 5� +������ D �� � ��� ������� � 6�� ����� �� ��� ?����� .���� ��� ��� ��&���� 6"6� ������� ��� ��� ��� � � 6�� ���� 6" � 5�� &� +������ 4 �D � ��� ���� 6� ���� ��� �� � 6 �� � 6� ��� �)�� �� ) = ��� ��� ��&���� 6" � �� �� ��� ���� 6" 6� � ��6� 6�� ��� ��� � 6� ��� ����� � E ���������)�� � �� ) = ��� ��� ��&���� 6" �

� � : � � �

D4

Page 51: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

��� ��� ��� ��� � � ����� � �� )�� � �� ) � )#� .� �� % ) & � ���� �� �� ���� ���� ��� 6 ��� ���� � . �0� ��� �1 6�� �'��� 6� ��� �� 6� 6 ���� 6�� ���� �� ����

� .� �� �� ! "

�.� �� #% �%�� .� �� #% � �%� #% � �%

#� ��%

�"���� ���� ��� ��� � � �� ��� ����� ! "

�!"

� .� ��� � �.

� ��� � � .�� �� � �� .�� ��

#�1 � � %���!

"� .� ��� � �� .

� ��� � � .�� �� � �.�� ��

#�1 � % �#� �D %

0� � ���� � �" 6��� )�� �� ) � )�� � �� )� ��� ������� ������ � �� � �� �

5� #� ��% � #� �D % � ��� ����� 6 � �� )# .� �� % ) � )#� .� �� % ) �� 6<�� � �� 6 ���� � �� �� 6 6 � ���������� # .�� �� .� ��� % ����� �1 $� % � � � � $� % �

+�� 6��� ���� �� ���� ���� � ��� )# .� �� % ) ���� #% #�%% � .�� �� �

.� � ��� � � �

.�� ���� #% #�%%

� ��� �������� ���� ���

� #% � #�%% � .�� ��� .�� �� � � � �

.�� ���� #% #�%%

����� � � � �� � � � � � �� � �1 ��� 6�� 6 �� 6 ������ � � � #% #�%% 6� ��� ��& ����� 6 � � �&�� 6 � ���� # .� �� %&� ����� 6 � ��� ��� � � ����� � �� �� 6 6 � �1 � � � � � � � � �� � ��� ��&����� 6 � �� ��� � ��6� 6�� ���� � � � &� 8���� � �1� 6� 6��� �������� �� & � � 6�� ��� ��� �������� 6 � ���� �� ���� � �� #% #�%%� �� #% � #�%% ��� )#� .� �� % )�8� ��� ���� � 6 �� #�� �� % ��� �������� � � � � ���� & � � � .������� ��� ���� ��� �� ���� � � ��� ����� ���� ��&��� 6��� 6� �&�� 6 � ���� ��� ��� �� A��� ��&��� 6��� &� � ��� ��&�� �� ��� ���� 6� 6� � ��� �� �� ���� � ���� 6�� �6� �

5� +������ 4 �� �� #% #�%% � � #% � #�%% �

)��� ��� � � � � � �� ����� #% #�%% # = �

! ��� ����� �� � &� #� �D %�� #% #�%% � �� � #% #�%%

�� #% � #�%% � ��� � #% #�%%��� ���� 6 ����� � +��������

9�� #% #�%% � �� #% � #�%% �� #% #�%%: ����� 9#�� ��� ��� ��� %� � #% #�%%: ���

� # = �

D�

Page 52: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

��� 6 � ���� ��� ���� ���� �� ���� � � �� ���

)�� � � �� ) # )�� � �� ) � = � 6 �� � 6� ��� � )�� � �� ) 6� � ��6� 6�� ��� ��� � 6� ��� ����� � � +�������� � ��� ���� � .� & � � � �� ����

)�� � � .�� ) � = �) �6� 6��� ������ � �� & � ��� ��� � 6� � �

� � : � � �+�� ������ ��� �� ��� �� & �� �&�� �� �"�� ��� ����� �� ��� ���� ����� ���� ��� � � ��� ��

6� ��� 6 ��� ���� 6 � �+�� ������ 6 � ���� 6��� ���� ��� ��� ��� � 6� 6����� (��& ��� ��� � 6�� �� ���� ���� ��� �<��� ��

� ��� �� �� ���� 6 � 6� ����� � 6 ��� ���&�& 6�6��� :"���� ��� :"������ 1� � � � � ��� � 6�� ��������� ��� � �� �6��� � ���� 6 �� ���� �&�� 6 � �"� �� 6�� ������ 9�= : � 8� ��� ���� ��� � � ��� 6� � 6�� � ���� ��� ����� � � 6 �� ����� ���� 6 � 6� �� �6��� � � �� �� � � ��� � ����6&�� ������� 6� ���� ��� �<��� �� 6<��� � ���� 6 �� �������� �� � 6 ������� � 6� ���� ��� ��� ���� 6� 6� ������� 6 :"����� 1�

D3

Page 53: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

+�&�� � �1

$�� 6� � !��� 6 � � � � �+#�� �6��� � ���� 6 �%

5� 1 � � �D � � � ��33+ ��4=

6 � 1 � � � � �4 � D � ��=3+ ��C4

� � 1 � � � � �� � 4 � D � ��2�+ ����

� �1 � � � � �� � 4 � D �3 � C � 2 �

�4 12 � �==� �4==

� � 1 � � � � �C � 2 � D �3 � � � 4 �

�4�= � �== 1 �4==

� �1 � � �D � � �4 � � �C � 3 �

�DD4 � �==D �D�C

� �1 � � � � �� � 4 � D �3 � C � 2 �1� � 11 � 1= �

�4C3 � �==4 �43D4

� �1 � � � � � D �C � 3 � � � 4 �2 � 1= � 11 � 1� �1� � 14 � 1D � 1� �

���D � �==3 ��44

///////////// �+��LMO �LTH=K OR @HIJ=? RQ W=M>I LTK A>�=@ F

DC

Page 54: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

� � � �� � �� � � ����� ����� ���� ��������� � ��� ����! � � 6��� ������� ���� � 6� � ����� ������� 6� ������ 6 � ���� 6 � �� & � ��� � 6�� ��� 8 6�&�� .���� � ��� ���� ���� �� �� ����� �� ���� & � ����� ���� &� ��� �� �� �� ��� ���� 6 � � ) ����������� � ����6� ������� ������� ���� ��� ��&�� �� 6����� 6� � ��'� 6�� ��� & � �� ����� ���� ��� � 6�� � ���� ���� 6 � ��� � 6�� 6� ���� 6& 6� 6�� �

B�� �"����� � 6 9� 1: � B � ��� � � � 8 6� 6 ���� ���� ��� � ��� �� �� 6 � 6 ������ 6� � ��� ���� 6 �� �8������ 5�� ��� ����� (��&��� � ��� � � �� � ��� 6� &� ��� � �� ��� 7� 0�)- �+ � ��6 � ���8 6�&�� .���� �� +�� ������� ����� ���� ���& ��� � ��� � �'���� ��� 6� � 6�� �== 6 ������� � ��6� � � � �� ������ � �� ����� ��� 6� � � ��� ���6�� ��������� � ! ��� ����� �� � ��� ������� ���� � ��� 6���� �� ��� ��&�� �� 6����� 6� � ��'� 6�� � )� �� ����� ��� � ��� ��� � 6� 6�� ��� (��& ��� ���� �== * �== 6 ������ �'���� � ��� 7� 0�)- ���� ��'� 6�� �&��� � ����� �� ����� ��� ����� �� ����� 6� 6 �� ��� 6���� ����� 6� &� � ������ �� 1=== �

B�� ��� ��&�� �� 6����� 6� � ��'� 6�� �� ����� �� �1� � �� � �A 6�� ����� 6� � �� 6�� �� 6� 6 ������� � �� ���� &� ��A 6� 6� � �4 � +������ � �� �

�6��� 1 �� #�� � � %� ��� � ��� )� � )� � 1 �#3 �1%

5� +������ D �� � +������ 4 �D � -�������� 4 �4 � �� ����� #�� � � % � � #��� %#3 ��%

���� 6� � 6� �� �6��� � � 5� ��� �� �6���� 6� � �� ��� 6� � � �� 6� 6� ������ ����� 6 �� ���� ��� � ����� 6 � �

B�� ��� ���� 6 � �� �� �� �� ���� � ���� �"��� ������� � �& ��� ��� ��'� 6�� ��&�� ��6����� 6� � �������� � 45 B�� ��� � #= � � � 1%

� #��� � � % # ��� ��� ��� � � � 1 �#3 ��%

���� � � 5� #4 �1C% � �� ���� � �1� � ������ � �

���� � ��� ����

�� � �� � � �

����� ��� 9� : � = � +�� ��� � & 1

� �� � � ������ � �

��� � � ��

� ���� �� ��� � �� � �5� #4 �1�%

� �� �� � 1 � � ����� �� �� � 1 � ����

� �� �� �;� S=@ OS= ULU=? B� CE �LK � ?>OO=@ P OS= MR@KO?HMO>R@ RQ OS= �G ���� SLW @RO V=O J ==@ MRIUT=O=W F��S= � >=JI L@@ � =OSRW >K MT=L?TV U?=Q=?LJT= OR OS= � R?I =K � =OSRW F GRO R@TV >K OS= ?LO= RQ MR@�=?A=@M= O� >M= LKTL?A= P JHO OS= KOR?LA= U?RJT=I >K K>IUT>�=W F��S= R?W=?>@A � � �LK HK=W QR? OS= MRW>@A QR? OS= �G ���� A>�=@ >@ B�CE F �S= MRW>@A QR? OS= R?W=?>@A � � �RHTW J=R@TV KT>ASOTV IR?= W>� MH TO L@W LUU?R� >I LO=TV SLTQ LK I L@V KOR?LA= ?=A>KO=?K �RHTW J= ?=�H>?=W F �S>K >K WH= OR OS=

QLMO OSLO OS= �LTH=K RQ � �� �� �S=?= �'���� ���� >K RWW MRIUT=O=TV W=O=?I >@= � ��� ��� �� � C D � � � � F

D2

Page 55: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

�� ��

����� 9� �1� : �� � ������ � �

������� � � ��

� ���� ��� �1 � ��

� �# ����� ��

��� � �

� �� � ���� � �� �� �1� ������� 9� �1� : � # �� ��� ��� �� �1� � �#3 �D %

+��������� #��� � � % # ��� ��� ��� � � � 1 �#3 �4%

� � : � � ��� � ����� ���� ���� 6 � 6� ��� � ��� ���� �� �� ����� �� �� ��� 8 6�&�� .���� 6� ���� ���� �

B�� � � � ��� � 6�� ��� 6����� 6� � �� ���� �� ��� ��&�� �� 6����� 6� � 6� �� ��� ���� �� ��� � � � �� ���� ����� � 6�� 6� �� ��� ���� �� ��� �-� �6�� � ��� �"����� � ��� � 6� �'���� � 6�� �� � � �== � 8� ���� &� #D ��=%

� � � 1 � ��

#�==%��� � � 1 � � #�==%�� �

��� 6 � � � 1=�� � �� ���� &� #3 �1%

� #�� � 1=�� % � � ��� 1=� ��==�� � �� � === 6����� 6� � �

B�� ��� 7� 0�)- � ��� ��� 6���� �� ��� � 6�� ��'� 6�� #6 ���� �% � �� 6����� 6� � 6�� 6 9� 1: 6�� ��� �1== ����� � � � �� ��� ��� ��&�� �� 6 ������� � ��� �6�� �� � � �� � ����� ��� � 0 ��� ���� � 2==���� � ��� ��'� 6�� ��� 6����� 6� �

+�� ����� � 6�� ��'� 6�� 6��� � �== * 2== ���� � � 14 � C== ����� � ��= ��� �

����� 6��� ��� 6����� ��� ����� ���� � 6*�� � 6�� & � � 6�� 6 ��� 6� 2 �!&� 6������ ��� ����� � � � ���� ��� 6�� �� ���� 6 � ����� 6� ��� � 0 ��� �"� ������� � 6�

6� ���� ���� ��� 8 6�&�� .���� �� & � �� 6A� 6 ���� � ��� ���� ��� ��&�� �� 6����� 6� ���'� 6�� 6� ���� ��� 6� �� �� �� � 6 ���� �� ��� �

4=

Page 56: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

������� ���

�� ���������� �������������� � �����8 � B � $ 6������ �� ����� �� �������� 6� ��������"�� 6� ��� ������ & �� ���� 6& � 6 ��� 0 ���6��� 6� � 7 �6 � � A"� ����"�� 6� ������ � � ��� ���� �� �� ����� �� �� �� 6 �� ���� & � ������ 6�& ��6 ������ � -� �6�� ��� � 6� 6����� (��&��� ��� �"����� � 0 ��� ���� 6� �� #1�1D % � #1�14% � ���6�������� � ������� #= �1�% & ������ � #6� �� ��� ���� � ��� &� � % �#0 0 0 �= �1% �� ��� � � �'� � � �� �� �� �� � � �� #� 1% �� �� #� � 1 � � � � � � � � %

��#000 �= �1�% �� �� � �� 9 �� � : � � � �8� �&����� ���� � ������ � 6� � � 6�� ������ �� �� � 6�� � 6�� ����� �� 6� � � �� 6�

#0 0 0 �= ��% �� � � � � �'� � � �� �� � � #� 1%� � #� � 1 � � � � � � � � % �5�� 6�

� 9 : � �#00 0 �= ��% � �'� � � �� �� � #� 1% � � �� � #� 1% �� � 9�� #� 1%: � � 91 � #1 � %: #� � 1 � � � � � � � � % �+��������#000 �= �D % �� 9 : � 91 � #1 � %:�

91 � #1 � %:6� � � 6�� ����� �� �� �

5� +������ � �1� -�������� � � �� � 6�� �� ����� 6� � � �� 6�#0 0 0 �= �4% )1 � #1 � % ) � 1��� ��� � 6�� ������ � �� � �

B�� ��� � 6� 6����� (��&��� � ��� � ��� ���� � . ������� � 6� � � 6� ��� ������� � 6�� ����� �� � � #� � %6� ��� �������� &� +������ D �� � ��� �&��� ��'� 6��� � � 6� �'� 6���� � �� ��� �� 6� 6� #000 �= ��% = � � � �

1 � � � �+�������� � ��� ���� �� �� ����� �� �� �� & � 6 ������ &� � ������ �� ���� ��� �� #1 � � �% �� 6��6� ���� ��6����� ������� ��� � � � � 6 �� � � 6� 6 �� ���� ���� ����� � � �

) � ����� ���� 6������ $ 6������ ��� 6� � � ���� 6����� 6� � B�� ��� � 6� 6����� (��& ��� � ���6�������� � ������� ��� & � �� 6���

#000 �= �3% �� ��� � �� �'� � � �� �� �� �� � �� �� #�� 1% �� �� #� � 1 � � � � � � � � %

4 1

Page 57: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

��#000 �= �3�% �� �� � ��� 9 �� � : � �� � �0�

#0 0 0 �= �C% � �1� � �1� � �'�� �

�� �� �

����� � �� � � 6� ��� ����� ��� �� ��� �� � 6�� ������� �� � � ��� 6� �� & � ���6�� ��� 6A� ����

#000 �= �2% � �� � � �� � � �'�� �

�� �� � �

�� �#1 �

�#1 �

�%%

#000 �= �1=% �� �� � �� � �'�� �

� ����

�� �#1 �

�#1 �

�%%� �

+��� � ��� �<��� �� �� 6 � � �� #1 � � �% � � � 6����� 6� 6� ����� ���� &� ��6 � � � 1 � �����6����� 6� � � 5� #000 �= �2% � �� ��� ���� 6� � � 6�� ����� �

�6� � �� �"����� ��� �� �� � 6� � �

��� ���

�������� 6 � � 6�� ������ �� & � ������ � � � 6����� 6� &� ���� 6 � � � 1� #1 ��% � 0 ���� � 6�

��� ��� #� � 1 � � � � � � � � % � ���� � �� � ��� ����� ���� &� ����� �� *��� ����� � 6����� 6� � �

0 ����� 6�� ������� � ��� ��� ����� ����� � �� � ��� 6� ���� ���� � ��� ��&�� �� 6����� 6� �

���� &� ���� 6& 6� 6�� &� ��� �& ��� ����� � $ 6������ ����� ������ �� � �����" 6������ ��� ������� 6 ��� �� ��

= � � � 11 � �

6 � ������� �� ����� ���� �

#1 ��#1 �

�%%

�� � 6���� �� �� ����6&�� ��� ��� ���

������� � ���� ���� 6��� ��� 6�� ��� � �'���� ��� 6� � 6�� �= 6 ������� � � �6� #����� ��� ����� � �� %� 6� ������� ��&���� ���� ��� �� 6 6 �� ����� �� ���� ���� &� ��� �� �"��� � ������

�� A�� � �"���� &� � ���� ����� ��� ��� 6�� �� ��� ���

) � ����� 6 ��� 0 ������ 6� � � � �� &� ������� 6���� �� 6�� 6 � ��� ������ �� �� �� � ��6 � �� ������ �� �� � �� ���� ��� ��� 6��& �� � ��� ���� � � �� GP ����"�� 6� ������ � � ��� �&�� 6 � �����6 ������ 6 ��� ���� �� �� ����� �� � +�� 6�������� � ������� ��� ��� ������6�� !�������"�� 6� . ���� 6� � 6 ��� ���� 6� �� #1�1D % � #1�14% � &� #= �14%

#000 �= �11% �� ��� � � � �� �'� � � �� �� �� ��� ��'� �� � �� �� ��

�� � #� 1% �� �� � � ����#000 �= �11�% �� ��� � �� �� 9 �� � : � � � �

4�

Page 58: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

� � � ���������� ��� �����������0 ���� �� ���� ��� ���� �� �� ����� �� �� ��� ������6�� !�������"�� 6� . ���� � �� ����� � ���*���� � 6�� ������ � � 6�� ������� �� �� �� � 8� ����� 6�� ��������� �� ��� ���� ����� #�� �� % ��� ���� ����#�� % � ����� ��� ���� 6 � � 6� �� �6��� � �������� � 45 �� �� 9�� : � �� ��#C �1%6� � � �� 6�

� �!"�� ��� � �

�� �� �� ��� ���

��� ��� �� ��� ��� #� 1%�� � � �� �� � #� � 1 � � � � � � � � % �#C ��%

+�� ����� 6� 6��� 6��� &� #0 00 �= �11% �

������� � 46 0� � 9 : � ��� � #� 1% � ���� ���#C ��%

�� � �����#C �D %

��� �� �� 9�� : � �� �� �#C �4%����� � 6� ��� �������� ������ � #��� ��� 6� 4% �

���� � � 0� �� � � ������ � #� � 1 � � � � � � � � % � 6�

�� � #� 1% � ���� ������ � �!

"�� ��� � �

�� �� �� ��� ���

� �� ��� �� ��� ��� #� 1%�� �

� � �!"�� ���� �

�� �� �� � ������ � ��

��� ��� �� ���

� ����� ��� #� 1%���� �� � �

5�� ��� �� �� � = � �� ����

�� � � � � 1 #% �%� � 1 #% � �%

�� �� � �� ���� ��� ��� ���� �"�����6�

� �� �� � ���� � ! "�����

� ��� �� �� � � � � #� 1%���

� �� � � 9���� ��� #� 1%:���� �� � � &� #D ���% � �

� �� �� � #� � 1 � � � � � � � � % �&� #C ��% � �� �� � �� 6� � � 6�� ������ � �� 6� � � 6�� ����� �� �� �� � &� +������ C �1�

� � : � � �

4�

Page 59: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

������� � 4� 0� � 9 : � � �

� �� � D #� 1% � =#C ��% �� �� 9�� : � �� ���� � #� 1% � ���� ���

�� � �����

��. � �

��� �� � #�� 1%�� �� ���� �#C �3%

��� �� �� 9�� . : � �� ��. � �� �#C �C%

8� ���� �� . � ��� �� �� ������ �� �� �� �

� ��� � ����� � � 45 0� �� �� 9�� : � �� �� ��� �� �� 9�� . : � �� ��. � ��

6� � � �� 6�

�� �� .� � �� � � � �!"�� ���� �

�� �� #�� �� .� � ��� % ���

��� ��� �� �� .� ��� #� 1%�� .� � #� � 1 � � � � � � � � % �#C �2%

+�� ����� 6� 6��� 6��� ���� #000 �= �11% �8� ���� ��� ��� � � 1 � � � � � � � �

� �!"�� ��� � �

�� �� #�� �� .� � ��� % ���

��� ��� �� �� .� ��� #� 1%�� .�

� � �!"�� ��� � �

�� �� ������ ���

� � � � ��� �� �

�� �� ����

1� �� ��� ���� �� ��� #� 1% �� �� 1� �� �� � ���� � � � 6 ��

�� � � � � 1 % �� � 1 % � �

��� ���� �"�����6� & ������

� �� �� � ���� � �� � 1� �

���� �

�� �� � #� 1%�� �� � ���� � �� �� 1� � �5� #D ���% � �� ����

�� �� � ���� � �� �� � 1� � � �� ��� #� 1% �� �� 1� � � �

��� 6 � ���� ��� � #� 1% � �� � � �� � D #� 1% � = �� ���

�� � #� 1% � �� � ��� ��� �4D

Page 60: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

�� �� � �� �������� �� � ���� � �� �� �� 1� � �� �� � ���� � � � ��� �� �� 1� � ��� �� �� � ���� � �

� �� ��.� � ��

.� #� � 1 � � � � � � � � % �

+�� ������� ������ � &� 8���� C �1�� � : � � �

������� � 45 0� #�� �� % 6� ������� 6� � 6� � 6� � � 6�� � ���� �� )� �� ) � = � ��� 6�A�� #C ��% ���� ����� �" 6�� � �6 ����� 6 ��� � � � 6�� ������� � � �6 ����� 6 ��� � � 6 ��� 6� � ��������� �� �� ���� � 6��� � 6�� ��� � 6�� ����� �� � 6�� &� #C ��% �������� � 4� 0� � � � � � 1 � � � � � � � � � ��� ��� � 6�� ������ �� � � 6� � 1� ��� ��� ��� � 6�� �������� �� �� ��� � 6�� &�

�� � #� 1% � �� ��� ���#C �1=%. ��� 6��6� 6� 6�� �� ��� � 6�� ������ ��� �������� ����� � � 8�� )�� �� ��� ) � )� � �� ) � � ���� &� +������ C �1�

� .� �� �� ! "

#� 1% �� � � %� �� �� � � %��� �� �� � %

5� +������ 4 �� � )#� .� �� % ) � )#� ..� �� % )� �����

� ..� �� ��!" #� 1% �� #� � % % #� � 1 � � � � � � � � %�� ��� �� �� #� $� % % #� � 1 � � � � � � � � %

+��������

)�� �� ��� ) � � � ��� �� � #� 1% � ��� �� ��� � � � � ��� �� ���� �

�� � #� 1% � ��� �� ��� ��

���� �

#�� ��� ��� 9#� 1% � ��:% �

+�������� � )�� �� ��� ) �� 6���� 6� � � �� 6��� ��� ��� � #� 1% � �� �� 6�� ���� 6��6� 6� 6�� �������� �

� � : � � �

44

Page 61: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

������� � 4� B�� � 1� 6� #�� �� % 6� ������� 6� � ��� ����� ���� �� ��� ���� 6" �� �� �� 6� 6��� ���"���� ��� ��� ��&���� 6" ���� � 6��� � 6�� �� #� % �A � &� #C ��% ����� � �� � D #� 1% � = � 0 ��������� ���� � 6� � 6� � � 6�� � ���� �� )� �� ) � = 6 ��� ����� ���� � ��� ���� � 6��� ��&���� 6" ����� 6��� �� ����� �� �'��� �� �� #� % � ��� ����� �� 6 � *���� � � �� 6 ��� 6��� �� 6��� 6�����& ���� ��� �� 6 6��� �� �

���� � � ��� 6 � #C ��% ��� �� ��� � �� ���

�� #� � %��� � �� � � �� �� �� D #� 1%

��#C �11%

0� � 1 � 6� � �� �� D #� 1% $� = � �� ��� ��� 6�� 6 �� ����� 6� �

�� . #� � %��� � �� � � �� �� �� D #� 1%

�#C �1�%

�� .. #� � %��� � �� � �� �� �� D #� 1%

��#C �1�%

5� +������ #D ��% � ��� � 6*��� � 6�� ������ �� � � ���� 6 �� 6�� � 8� ��� ����

�� . #� � %��� � �� .. #� � %

���#C �1D %

�� .. #� � %��� � �� . #� � %

��� �#C �14%+���� ��� ����� ����� �� �� �6��#�% 0� � �� �� D #� 1% = �

8� ��� ��� 6�� 6 �� � ���� � ��6� 6�� ������ �� . #� � % � �� .. #� � % � ��� 6�� 6 �� � 6�� ������� �A �&� #C �D % � +�� �� 6� �� � 6�� ������� ���� � 6��� � 6�� � � ��� ������� 6� � 6��� � 6�� ��� �� 6� ���� � 6���� 6�� ����� ���� � 6��� � 6�� � � &� #C �D % � #D �1�% � #C �11% � +��� � ��� ���� �� 6� #� � � � � % ��� 6��� 6 �#D ��% � �� ��� ��� �6 ����� 6 �� � � � � 6�� ������� �� �� �� � !� ������ � 6� � 1 � � � $� = �6 ��� �� �� D #� 1% �#& % 0� � �� �� D #� 1% � = �

0 �� 6� ���� � �� ��� ��� 6�� 6 �� ������" � 6�� ������ �� . � �� .. � ���� � � � = � 0� � � � = 6� �� 6�� � � 6�� ����� �� � �� ��� &� #C �D % � � �6 ����� 6 ��� � � � 6�� ������� �� �� �� � 6�� � 6�� ������� � #� 1% � 0� � � $� =

�� . #� � %��� � �� � � ����

� �� .. #� � %��� � �� � ����

����� � �� � D #� 1% � �� �� = �) � 6 #�% � �� �&�� 6 �"����� ��� 6�� 6 �� ������" � 6�� ������� �� �� �� ��� ���� �� 6� �� � 6�� ������#� � � � � % �� � � 0� � � 6� � � 6�� � � 6�� ����� � �� �&�� 6 � ���� �� 6�� �#�% 0� � �� �� D #� 1% � = �

8� �&�� 6 6 �� 6� ���� 6 ��� 6� � ������� &� +������ C �� � 0� � � 6� ��� ���� � � 6��� � ����� ��� ��6 ����� 6 �� � � � � 6�� ������ ���� � 6��� � 6�� �� #� � % � � 6 ��� 6� � ������� &� -�������� C �1 ��+������ C �� � � � : � � �

4�

Page 62: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

8�� �� ��� ���� �� ��� �� �'��� 6� #C ��% &� � � � &��� 8� �&�� 6 ��� ������ �� 6 ��� ������� 6�

� � #� 1%� � � � ���#C �1�%

��� 6 � ��� � � �� ����� � �� #

�% � �

�� �� �

� D #� 1%�

#C �13%8��

#C �13�%� ! "

� .� #�% � �

� � �� ��

� D #� 1%�

� ..� #�% � �

� �� �

� D #� 1%�

#C �13& % �� #�% � ��" # )� .� #

�% )� )� ..� #

�% ) % �

8� ��� ���� �� #�% � �� #

�% �

������� � 4� 0� � 6� � � ��6� 6�� ���� �� ��� � � 6�

� � � 1 � �1 � 1 � �� � �#C �1C%

��� #C �1C�% )�� � #� % )� � )� � 1 ) ��� ��� ����

�� # )�) # � %

� #C �1C& % � #� % � ��&

���� ��� ���)�� #

�% )� )� � 1 )

6� � $� � � �� ��� � � 8� ������ ���������� ����

�6� ���� �

���� � � 46 0��

� � D #� 1%� ��� #

�% 6� ������" � )�� #

�% )� � )� 1 )�

� ��� � � +�� ����� �� ���� � ���� #C �13% � � � : � � �

���� � � 4� 0��

�� �

�� D #� 1%� ����

�� #�� % �� #

�� % �

���� � � 5� #C �13�% � #C �13& % � �� ��� �������� ��� ���6� 6�� � 6� �� ���� ��� �6� �� ��� �� 6���

�� � ��� �

�� #�� % �� #

�� % � � #

��

�� % � �� �

�� D #� 1% �� ��

�� D #� 1%�

� ��#��

�� % � � � #

�� �

�� %�� �

�� D #� 1% � �� ��

�� D #� 1% = �

� � : � � �

43

Page 63: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

���� � � 4� 0� � � � � � = � ��� D #� � 1%� �� D #� � 1%� � � �

���� � �D #� � 1%� �� D #� � 1%� � �

� D� ��� � � #� � � � % �� ��

#� � � % � � ��

#� � �%� =

� � : � � �

���� � � 4� 0� � � � � � = � 6��

�&

D #� � 1%� �� � ���

�� � #� % � �� � #� % ����� � � 5� 8���� C �D �

� D #� � 1%� � � � ���

�� � #� % �� � #� % � � � � �� � � �� ��

� D #� � 1% �� � ��

� D #� � 1%�

� #� � � � %� � � �

� #� �� � � � % � D #� � � �%�'�� �

�� �� � � D #� � 1%

� #� � � � %� � � #� � � � % �

� #� � � � � % D ��'�� �

�� �� � � D #� � 1%

� #� � � � %�

������'�� �

�� �� � � D�

� #� � 1% � #�

�� � �%�'�� �

�� �� � � D #� � 1%

����� �

5�� ��� �� � � D�

� #� � 1% �� � #� � �� � %� � D #�

� 1% #� � 1 � �% � 6 �� � � �� � = � �� ����

�� �� � � D�

� #� � 1% #� � �� � % � = #� � 1 � �%� �� � #� % �� � #� % � = � +� 6� ������ ��� ����� �

� � : � � �+�� ������� �� ������ � ���� ��� ������ �

� � : � � �

4C

Page 64: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

������� � 4� 0� #�� �� % 6� ������� 6� � � 6� ��� ����"�� 6� ������ � � � � 6� ��� � �����

� � � 1 � ��1 � 1 � ��� �

���

#C �12%

��� ��� ���� �� �� ����� �� �� �� �� 6� ��" 6� 6*� � +�� ���� �� �� ����� �� �� �� �� � 6�� #�� �� � % � ��� #� � 1% �#C ��=%

. ������� � ��� ��� � �#C ��=�% )�� #� � % ) � � � 1 ����� � � +�� ����� �� ���� � ���� +������ � �1� -�������� � �1� � +������ C �� � � ��� ���� ����& ������ #�� �� % 6� ������� 6� ��� � 6�� ������ �� � ��� ���� �������� � 46 1 # � � � � ����� � � 6 �� = # � � � 1� �� �� ���

� � � ��� � � ����� = � � # ��� � � 1 � �1 �6 �

��� � ��

+�� 1 �6 �

��� � � �� #�D �

�% �

+�������� = # 1 �6 �

��� � � 1 �� � : � � �

������� � 4� 0� #�� �� % 6� ������� 6� � � 6�� ��� ����� � � � 6�� &� #C �12% � ��� ��� ��� �� ���� ���� �� � �� �� 6 � ���� 6���� � � � 6��� �� ����� � ���� � 6��� � 6�� ��� ��� ���� � 6�� ����� #� � 1% �+�� ��&���� 6" 6� �� ��� ���� � � � 1 =

1 � � 1 � �#C �� 1%

���� � � +�� ����� �� ���� � ���� +������ C �D � +������ C �4 � +������ D �1�� � : � � �

������� � 4� 0� #�� �� % 6� ������� 6� � ��� ��� ��� � � �)�� #� � % ) � #� 1% #� � 1 � � � � � � � � %

��� ��� � � � ��� ����� ���� �� ��� ���� 6" �� �� �� 6� 6��� �� ����� � � +�� ����� �� ���� � ���� +������ C �4 � 8���� C �� �� +������ C �� �

� � : � � �+��� � ��� #�� �� % ������� 6� � ��� �� ������ �� �� ��� & �� � ���*� ����������� :�� 6� #�� �� % 6� ��������� 6� �� ���� ���� � +������ C �D � ��� ��� � 6�� ������ �� �� �� �� & � ����� 6 � ���� ���

� 6�� ������ �� � ��� ����� ��� � �� �8� ����� �� ���� ���� ��� ���� ���� ����� � ��� ���� �� �� ����� �� �� �� �� 6� �� ��� ���� ��

��� �'���� ���� �� ��� ���� �� �� ����� �� �� ��� 8 6�&�� .���� � ��� #�� �� % ������� 6� �

42

Page 65: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

� � � �� ����������� ���� ��� � ���� ��� � ������ 4 ����� � � �����������

0� � 6� ����� � � � 6� ���� ����� � � � 8� ����������� � 45

�6���� � � #�� �� � %

� #�� % � 1 � � � �� �#2 �1%

����� � 6� ��� ���� �� �� ����� �� �A � 6 ��A 6� 6� � �� � � ����� � � 6� � 6�� &� #C �12% ����� � � 5� #C ��=�% � ��6 � � � ��� ��� 6��� ����� �� � � ��� �� 6 � � � 6�� ����� �� �� �� � 6� � 6�� &�

)�� #� �% ) � � � 1 � ��1 � 1 � ��� �

����#2 ��%

5�� ��� #1 � 1 � �� % � �� #1 � �% � #1 � � % � � � ##1 � �%��� % ��� � � � #1 � � % � � � ##1 � �%��� %

��� ��1 � 1 � ��� �

�� � �� #1 � �% � � ##1 � � %��� % �+�������� � &� #� ��% � #4 �3% �

� #�� �� � %� #�� % � ��� )�� #� � % )� ��� � � � ��

� 1 � � � � ##1 � �%��� %� ��� ������� ������ � �

� � : � � �������� � 45

� #�� �� � % � � 9� #�� %: ��� �#2 ��%���� � � +� 6� �� ���� � �6 ��

� #�� % � � ��� � � � � #1 � �% � � � ##1 � �%��� % �� � : � � �

� 4 ���� �� � � ���������� � �������� �� � ����� ��� � ���� �� � � �� �2�� �� ����

0� ��� & ��� ��������"�� 6� ������ � � � 6� ��� � ��� ��&�� �� 6����� 6� � �������� �� ����� �������� �� � �� �� 6A� ����� 6� �� 6����� 6� � &� +������ � �� � �����" 6������ ��� ����� �

� #�� �� � � � % � ��� � ��� #� � 1% �#2 �D %

B�� � � ����� �'��� �� � � � �� ����

��� #� � 1% � ���� 1 � � �

�=

Page 66: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

+��������

#2 �4�% � #�� �� � � � % � ��� ����� 1 � �

� ��� ��� 8 6�&�� .����

#2 �4& % � #�� � � % � ��� �� #1 � �% �

�� �� � �� ������ ����� 6 ��� 0 ��� ��� 6� � 6� ��� ��'� 6�� ��&�� �� 6����� 6� � 6� �� ������� �� ��� &� ��� 8 6�&�� .���� � ���� ��&�� 6� �� ��� ���� �� ����� &� ��� ������6��!�������"�� 6� .���� � B�� ��� � 6� 6�� ��� (��&��� � &� #3 ��% � � � � �

B�� ��� � 6� 6����� (��&��� � ��� ��� ���� 6 � �� � �� �� �� 6�� � �� �� ���� ��� � #�� � �� � � % �������� � 46 B�� ��� � 6� 6�� ��� (��&��� � 6� )�� � ) � � 1� �����

� & � � � 1 � ��1 � 1 � ��� �

����

��� � #��� �� � � % 6� �� ������� ��� ��� ������� ����� 6� � ��

� )�� � )�� � � ��4 �#2 ��%���� � � 5� #D �� 1% � #D ��D% � �� ���� ��� � � � / �

� � ������ � �

�� �� � � � �� � �� � � � � ��������� � � � �� �

� �� �� � �'� � ���� �

5� #C �D % � �6 �� ������ � #1 � % � �� ���� � � �� ����

� ! "

�� �� � � 9 #1 � % � �� ���� � : �� ��� � �� � � 9 #1 � % � ������� � : �� �#2 �3%

�����

#2 �3�%� ! "

�� ���� � ��� � �� �� �� D #� 1%�

������� � ��� �� �� �� D #� 1%��

#2 �3& %� ! "��� �� 9�� �� � : � ��� �� �� ���� �� 9�� � �� � : � ���� �� � �� � �

6 �� � �� � � #1 �� % �� � #% � 1 � � � � � � � ����%#2 �C%

� 1

Page 67: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

�� ���� � ! "

�� �� � � 1 � ��� �� � � 1 ��� � �� ��� � �� � � 1 � ���

� �� � � 1 ���� � �� � #% � 1 � � � � � � � ����%#2 �2%

����� � ��� �� �� 6� �� � �� ���

�� � �� ����� �� � �������

#% � 1 � � � � � � � ����% �#2 �1=%

-� �������� �� ����

� ! "

�� � � 1 � ���� � �� � �� � � 1 � ��

�� ��� � � �� � � �� � � 1 � ��

�� � �� � �� � � 1 � ���� � �� � � �� � #% � 1 � � � � � � � ����% �#2 �11%

. ������� � 6� ���

� % # � ���� �� � � � �� � � �� �� � � �� � �� � ��� �6 ����� 6 �� � � � �

B�� � ��� & %

���

� 9 �� �: � = � � ��� �� 9 �� �: � #� 1% �� � �+��� � �� ��� ���

�� �� � � �� � �� � � �� � #% � ��� � 1 � � � � � � ��

�% �

8� ���� � � ������ � �

1

�� �� � ��� #1 �� � % � � �� # 1 �� � %� �� �� �#2 �1�%

� ��� # 1 � �� % � � �� #1 � �� %� �� � �� � � � � ������ � ����� � � � � �� �� �

���� �� 9� : � ������ � �

��� �� �� ���� #�� �� � %�� �� # 1 �� � % #1 � �� % � �� #1 �� �� � %�

� ���� � �� ����

� � � �� � � ��� �� �� ���� #�� �� � %�� � #1 �� � % #1 �� % � � �� # 1 � �� �� � %�

� ���� � �� ����

� � �� � �� � � � � ������ � ����� � � �� ���� �� �

������� � �

�� �� � �� � � � � � �� � � �� � � � � ������� ����� � � �� ��� �� �� �� �

��

Page 68: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

5� #C �11% � #2 �1=% � � 6���� �� � �� � ��� ���� ���� � ���6� 6�� �� ���� ���� ��� ������" �� ������� �� 6�� � ��6� 6�� ���� ����� � .������� � )�� ) � 1 � )�� � ) � 1� +��� � �� ����

� ! "

���� �� ����� �� �

# �� )��� )��� �)1 �� �� � ) # 1

)#1 �� % #1 �� � % ) # �

)#1 � �� � % #1 � �� % ) # D����� )��� ) � ��" # )�� )� )�� � )% �+�������� �

#2 �1��% �!")� � �� � ) # � )��� )��� � #D )� � � ) � )� � )% � )��� )�� )� � ))� � � �� � ) # � )��� )��� � #� )� � ) � )� � � )% � )��� )�� )� � � ) �5� ��� ���� ����� � 6� �� & � ���� ���� ��� �& ��� 6 �'���6�� ���� ��� 6� �� � �� � �� 6�� 6�

� ���6& �� ��� � � � � � 0 �� 6� ���� � � � � � �� � �� � ��� 6� ��� ���� &� ��� 6 ��� 6� � ������ #��� +������C ��%

� . ��� � �6�� ��� �

��� ��� �� � ���� � ��� � 1

� �� �� � ��������

� ��� � ##1 � % � �� % ��� �+��� � ��� 6 �'���6�� #2 �1��% 6� ���6 ��� ��� � & � � �8� �� ����

����� �� 9� : �� #������� �

��� )��� )� ���� �� 913 )�� � ) � 4 )� � )�

� 1� )�� ))�� � ) � )��� )�� 9)� � )� � )�� � )� :� � � � ������� ����� � � )� � )� )�� )�� �

+�������� ����� �� 9� : �� # �= )�� � )� �� � ��� � �� ����#2 �1�% ����� �� 9� : � # 4� )�� � )�� � �� � �

�� �� � 6� � 6� ��� ������� ����� 6� ��� )�� � )�� � � ��4

��� ��� � � ����� �� � # � �� � �� � : � � �

��

Page 69: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

+�� ����� 6� �� ��� ��&�� �� 6����� 6� � ��'� 6�� ��6 � ��� ������6�� !�������"�� 6� . ����6� ��� &� #2 ��% �� & � 6 �� ���� �� �� ����� �� ��� �� 6 6 ��� ���� �� �� ����� �� � ������� � ��� � 6� ���� ����� ��� �� 6 � 6 ���� ���� ��� �����" 6������ �'��� � B�� ����� � � ��� � � ����� � �

� #��� � � % � ��� � ��� � �� &� +������ 2 �1

� #�� � �� � � � % � ��� �� ��� � �

B�� ��� � 6� 6����� (��&��� � ��� � 6� �'���� � 6�� � � 1�� �� ���� &� #D ��=% � +������ 4 �D

� � � 1 � �� � E ��� � � � � �

� �5� +������ C �3

�� � )� �� � � � � 1 � 1 ���

��� �� � )� �� � ���� ��� �� � )� �� � ��� � � ���

�+��� � ��� �� 6 6 ��� ���� �� �� ����� �� &� �� 6 � ��� ������6�� !�������"�� 6� . ���� 6� �� ������� �� � �

� 4 ��� � �� � � ����� ����� �� �� ��������� � ������� 4+�� ����� ����� 6� 6 ��� ��'� 6�� ��&�� �� 6����� 6� � ����� ��� ������6�� !�������"�� 6�

. ���� ���� ���� ����� 6��� ��� ��� � 6�� ����� ������� 6� ������ 6 � ���� 6 �� � ) ���� �� ����� 6 � ��� ��� 7� 0�)- ��� � � 6� 6����� (��&��� �� & � ����� &� ��� � �� ��� 8 6�&�� .����9� 1: #��� ���� ��� 6� 00 �D % ������� ���� � �� ��� � 6� 6� �� ������ �� ��� 6� � ���� & � ��'� 6�� ����� ��� ������6�� !�������"�� 6� . ���� � ���� ��� � 6�� ��� 6����� 6� ���� �� & � 6 ������&� ���� ��� 1= � B�� & ��� ������ � ��� ����� ������ �� 6�� ��� ��� � ���� �� ���� 6� ��� ��������� �� �� ��� ���� ��� �� �� � � 6 �� �

+�� ������ 6 � ��& �� � 6��� � ������ 6�� �� ��� ��� 6���� ��&�� �� 6����� 6� � ��'� 6�� ��6 � ���8 6�&�� .���� � ��� ������6�� !�������"�� 6� . ���� ��� ��� � 6� 6����� (��&��� � 6�� ���� 6� �'���� � 6�� � 6 ������� � � �6� � + 6�� ��� 6����� ��� ��� 7� 0�)- ��� ���� � 6�� � 9 �� +�&�� �"� ���� �:

�D

Page 70: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

+�&�� 2 �1

��� �������� ���� ��� �� ������ ������������ ����

0 � � � #�� � � %+ + 6�� � � � �� � � #�� �� � � � %+ + 6�� ��= �234D �C= �� 1 1�344 �344 D4 �=4

4= �22�=4 134= 1� �14 1�CC� �CC� 1=� �3D

1== �222= 14 3= 1= 124 �= 1�2D= �2D= ��3 3 �24

�== �222C2= ���== 14 �34= 1�2C= �2C= 34= 1C� �4

0 ��� �& ��� ��� 6����� � ��� ������ �� & � 1=�� � B�� ������� � � ��� ��� ���� �� ��� ������6��!�������"�� 6� .���� ���� &� ������� �

6 �� � � � �� � 6� � �� �"����� ��� � �'���� �� ����� ����� ��� 6� � ��� ����� 6 �� 6� �� � ���� ���� 6 ��� �& ��� �"������ � 0 ��� �"� ���� 6� � �� 6����� ������ ��� �����6 � � � ��� ������ ���� ��� 6� � �

/////////////////+ � ��� �� � � � >K OS= KRTHO>R@ RQ � �� � � C �� � � �� �� ��� � � >K OS= KRTHO>R@ RQ ��� � � �

��S= =KO>I LO=W O>I = >K >@ SRH?K MRIUHO>@A O>I = QR? OS= �G ���� F �S= @HIJ=? RQ K=MR@WK U =? >O=?LO>R@ �LKLKKHI =W OR J= � ��C�� P B�CE F

�4

Page 71: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

� �� � �� ������ ������� � � ��� ������� � ��������� ������5� #C �12% � ��� ��� 6��� ����"�� 6� ������ � � 6� � 6�� &� � � � 1 � ��1

� 1 � ��� �

�������� � � 6� ���

������� � 6�� ����� �� ��� ?����� . ���� �B�� ��� � 6� 6����� (��&��� � � � �� & � �"������ 6 ���� � �� ��� � ��� �������� � 6�� ����� �� ���

A 6�� 6<��� �� � ������ ��� ! "

�'�� �

� � #� %�� ��

� � #� % � / � #� % � = � / �#1= �1%

�� 6�� 6� � 6�� &� � � ���� �

��� � � ��� ��� � � � �� � #� ��� / � � %#1= ��%

� � = #� ��� / �� % �5� #1= ��% � #D ���% � �� ����

�� #1 � �% � ��� �#1= ��%) ��� � &� 9C:

�6��� 1����� � � � �#1= �D %

����� � � 6� ��� �������� � 6�� ����� �� #1= �1% �+�� ����� 6� & ����� ��� ��� � � � ��� & �� 6 ���� 6���� &� -�����* #93: � ����� �C=��23% �

��� ������� � ��� & �� ���� �� & � �������&�� ����� ��� ���� ��� 6� � ��� � 6�� ������ ������ �� � �� & � ������� �"����� ��� ���� ��� 6� � 6 ��� 6 � ��� � 6���� #92: ���� ��=% � � ��� ���6���914: � ! � ������ � � � 6����� �� & � ������� �"����� ��� �'���� �� ����� ����� ��� 6� � � #D ��C% �

B�� ��� ���� �� � ����� ����� ��� 6� � 6�� �6� �� ����

��� � �

�#� � 1 � � � � � � � � % �

�� ����� � � � ��� ��

�� �1� ��� � � ��

�� �1� ���#1= �4%

5� #1= ��% � #D ��C% �

����� � 1

���� � ��

�� ���� �

���

� � ��� ���� �

1� �� 1

1���

�� �1� ��� � #�� %�

����� � � ��

�� �1� �� ��

1���

�� �1� ��� � � #�� % �#1= ��%

��

Page 72: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

�� �� � ��� �� ����� �� �� ��� ��� �� � � 6� � 6 �� 6� ���� ���� ��� 6 �0 � � ���� � ��� ��� � 6� 6����� (��&��� � � ����� & �� �� ��� �� & � ��� &� ������ 6 � ��� ���

� � 6���� ��� 6& 6 � ����� ����� ��� 6� � & ������ �� ��� +������ D �� � -���������8� �� ���� ���� ��� ��� �� ���� ���� �� � 6 � ���� � 6� #1 � �% 6� �� ������� 6���� � ��� ����� 6��

������� 6 ��� ���� �� �� ����� �� 6� � �������� 6������ ��� ����� ������ 6 #1 � �% � ��� �����#1 � �% � �'��� �� � � ���� ��� ����� 6�� ����� 6 ��� ��� 6��� 6� �� #1 � �% � �2������ 53 45 +�� �� �� ��� ������ � �� ����� � �� �

. � 6�� ���� ��� �� � 6�� )� . � )

)� )� #� $� =% �

������� 53 45 8�� � � & � ��� �� 6 � � � 6�� ����� �� � � ��� � .� & � ��� ��� 6���� ����� �� � ����� ����

� � # � .� � 1

+��

�6���� �

� ! "

�6�� ��� �

�� #�� �� � % � #�� �� %� �� � �� � �1 � � � �� �1 � ��

1 � � � � � � 1

�#1= �3%

����� � � � . ��� ����� 6 � ���� #C �12% &��� � � � � � .� ���� ��� 6����� � ����� � #�� �� % � � #�� �� � % ��� ��� ����� �� �� ����� �� �� �� �� � �� �� � ���� ��� 6��������� � � +�� ���� ���&�� �� #1= �3% �'����

�6���� �

��� � 9��� � #�� �� %: ��� � 9��� #1 � �%:

#1= �C%

���� 6� ��� �� 6��� 6��� �" 6�� � ��� ��� � � � ��� � E &� #C �12%

#� 1%��� � 1 �6 �

��� � � �� #�D �

�%

��� #� 1%��� � 1

����� #�D �

�%

��� � 9��� � #�� �� %: � �

�� � 9��� # ��� #� 1%%:

���� � # ��� #� 1%%

��� #� 1% �� ��� � #� 1%���

��� #� 1% � #� 1%����

� ��� � #� 1%��� ���� � ��� #� 1% � #� 1%���

� ���� #�D �

�%

��� �� � #�D �

�% � �� #�D �

�%���� �

�3

Page 73: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

��� � 9��� � #�� �� %: � 1

��� �� #�D �

�% � ��� �

���� � �#1= �2%

) ���

#1= �2�% ��� � ��� #1 � � % � 1

1 � � �� ���

���� � � ��� �

����� � �

+�� ���� ���&�� �� #1= �3% �'����

�6��� 1

�� �

� ��� �� #�D �

�% � ��� �

� 1�

#1= �1=%

&� � �� ��� 6��� �� $��� �� � : � � �

������� 53 46�6���� �

� #�� �� � %� #�� �� % � ��#1= �11%

�����#1 � .�% � � #1 � �% #= � � # 1% �

� ����� � �� . ��� ����� 6 � ���� #C �12% ��6 � � � � � .� ���� ��� 6��������� � � � & � . � �� �� ��� � 6�� ������ �� �� �� � ���� �&������ ����� )� . 1 )

� #�� �� � %� #�� �� % � ��� #� . 1% ��� #� 1% �8�� � � � ��� � � � .� � ��� � . ����� �

. # �

1 ��� � . � � #1 ��� � %

�6 � �.�� � �6 � �

��

5�� � �� 6 +������ 1= �1�#� 1%��� � 1 �6 �

��� � � �� #�D �

�% �#1= �1�%

#� . 1%��� � 1 �6 �.

��� � . � �� #�D �.�% �#1= �1�%

� ������ 6 � ���� � 6 � � �. �� ����� � 6���� ��� ��� A��� �� ����

�. � �� � � � #� % �#1= �1D %

� � ��� #� 1%��� � �� � � #� %� ��� #� . 1%��� � ��. � � #� %

����� � #� % �� 6���� � 6�� � � �� �� � ��� ������� ������ � �� � : � � �

�C

Page 74: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

B��� �� 6� � 6� �� & � ��� ���� ��� 6� #1 � � % 6� � ����� 6���� &� �� ���� �� 4= ��� ������ �� ����� �� � 6�� & � ������� &� ���� ��� �= � 6 �� ��� �� 6 6 ��� ���� �� �� ����� �� ����� ������ 6�� !�������"�� 6� . ���� 6� �� � ���� �� ��� 6��� � ������� � ���� � 6 ������ 6������ 6���� � 6������ � �

! ��� ����� �� � 6� � 1 �� ����

� #�� �� � % � ����!"� .� �� �

�� .�� �� D #� . 1%� ���

����� � .�� .�� D #� . 1% � = &� #C �12% � +��������

� #�� �� � % � ��� �� .�

�� � � �� �� � .�� � � �0� � .� � ��� � . � &� #1= �1�% �

#� . 1%��� � 1 �6 �.

��� � . � �� #�D �.�%

� . � ���� #�D �.�% �

� ������ 6 � ���� � 6 �. � 6���� ��� ��� A��� � ���� 6 � �

. � �� � � � #� % �� 6 #1= �1D %

� #�� �� � % � � � � �� 1 � � #� %

6 �� � #�� �� % � � � � #� % � �� ����

�� #�� �� � %� #�� �� % � � �� �� 1 � � #� % �#1= �14%

5������ �� ��� ����� �� �� ��� ���� �� 1 � ��� �� 6��� 6�� �� ��� �& ��� ��� 6� � 6�� ���� ��� ��� & ������ ����� �� � ���������� � � � +��� � 6� 6� ������ & ����� �� ���������� ��� #1 � �% � 6 �� �& � ���� � # 1�

) � ����� 6 ��� 0 ������ 6� � ��� ���� ���� ��� �� 6 6 ���� �� �� ����� �� 6� �� ���� �� �6� 6���� ����� 6�� ��� ��� 6 #1 � � % #�� �� � �� #1 � �% 6� �� ������� 6����% � �������� ���� �� � ����� ��� � 6� 6�� ��� (��&��� &�� ��� ����� ���� �� � 6 � �'��� 6� � ��� ����"�� 6� ������ �� & � ����� ������ ��� ���& ��� � �� & � ����� ���� ���� ��� 6��� B�� �'��� 6� � �� ��� ��� � #1�11% ����� #�� �� %6� �� ������� 6� � ������� � ��� � 6�� ������ �� � ��� �� 6 �� ���� ���� � ��� �� 6 6 �� ����� ���� 6�� ���� &� �&�� 6 � � ��� � 6�� ��� &��� ����"�� 6� ������ � 6� ���� ���� � � ����������� �������� 6� & ����� ��� � 6�� ������ �� � � �� � �� �� ��� ���6 � +�� ���� �� ��� �� ����� �� ���� � �� �� 6� ��������� � 6���6A� �

�2

Page 75: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

� ���������91: � 5����� � �O� �SOL Q S����� ���� � �� ���� � � ��� �� �� ��� � ����� ����������� �� ! �" #$%& ' # ( # � �)*+��� ,-����� . �/����)� -��01+2� 3�� �4� 5612�� 72���)� �8 9�: ; < ; = ��> ; �� �?? ;

= � @> ; �� %AB�%C � �� !D" #$B& ( # � ��*4�/ 2�E 5 # F 2)72�� � � G: ��H I = �:� � �� �J:� � K�� L��* � F 2)0 �++2� � �� !M" #$!& N # ��� �� � ,O 7�2��P5612�� OQQ +�)2���� �� R�+2S2���� F ��4�E� �8 T ; �?? ; �>H U ;� �D � DBV�DBC �

�� !C" #$A& N # 7 # ��� �� � � ���@:���� WX? @��� Y�: I: @>� Z X �:���� G� @�� I ��: @��� [ �� �:�� @���

� �� @��U � '2������� O����2+ 72\��2���� R�Q��� � 'O7 C V]%%$M& 7 # ^�++2�_ � ,��0��*1�`�� _1� -�4+��2\�)4 a2�_1�` 3 a1� E2� . �/����_�����324��� \ �� Q2����++��

. �/������2+` +��)41�`�� �8 b�� @U ; I ; ��� �c ; = � @> ; ; = ��> ;� �B � AMdAC � �� BB"$C& 7 # ^�++2�_ � � �� ��c�: @? :J��X � � e>:� Z X �:�U�> � Y �>�� ��� � K �� L��* � ^4�+��2 f1\+��4P

��` ^� #� �� !D" #$D& R # ^�1�2�� � g # -���E��)4� 2�E h # 7���� , a�\�� E�� f2����++�� . �/����_��`+��)41�`�� E�� F 2�4P

�0 2���)4�� f4���* �8 = � @> ; ��� ; �VV � B%d C! � �� %D" #$ & R # ^�1�2�� 2�E . # h �+\ ��� � = �@> �� �: = � @>�X � @�U�>�� �>H U�i � j � ���+�� � k1+�1� 5Q���`�� �

�� B �" #$�V& O # .���E�� � ,N� �4� j���2���� �3 7 ���2� h�0�`����1� l�2��3��02����� �8 Y �� ; �X �: ; = � @> ;

G �;� !D � ACCdAC � �� !%" #$��& h # m00��� � ,K10���)2+ 5�+1���� �3 f2���2+ . �/������2+ m612����� �8 9�: ; �?? ; = � @> ; % �

�CBd � A � �� !A" #$�%& h # (�����`�� � n� @>� G�@�� I GHU @�X U I o ����: � �� @��U JH W�: @��� e @�:� @�� = �@> U �

O�� O�\�� � F �)4�`2� � R������� O�������2�� p�+10� � BMAdB B � �� ! " #$�B& 5 # (���)4`���� � ,-�4+��2\�)4 a2�_1�` 3 a1� E2� . �/����_�����324��� _1� 7 a��1�` f2����++�� . �/��P

����2+` +��)41�`�� �8 b�� @U ; I ; ��q�c ; = � @> ; ; = ��> ;� �V � BCBdBD% � �� BV" #$�!& . # h2����� � W����� @��q e�U @: X �� @U �� = ��>���U � � �\2�2 � ���� # �3 j++����� f���� � �� ! " #$�A& k # h������ � �>� �:�� ��? �� r:���� �H I �� � ���? @�� = �X J:��� � l�)4��)2+ R�Q ��� K� # B � K2��

^����2)� KMPNRlP �VM � l2�* N�E�� A � ^2+�3����2 � 5�2�3��E ����������� O1`1�� � �� ! " #$�M& l # k # h �``��� � ,O 51���� �3 �4� OQQ��S �02�� 5�+1���� �3 l�� . �0 ������2+ f4���)2+ f��\ +�0 �

\� p2��2����2+ F ��4�E� 2�E -����� . �/����)� f�� )�E1��� �8 ^42Q��� �V �3 Z X �:���� = �@> UI ����H U�U �� ��q����:��q � K�� L��* � F 2)0 �++2� � �� ! " #

$�C& . # k2)*��� � r:��: G�:��U �� n: @>q��� ��H�X ���U � K� # M � ^2�1� F2�4�02��)2+ F ���P`�2Q4� � F 2�4�02��)2+ O��� )�2���� �3 O0���)2 � �� ! �" #

$�D& N # . # g�++�`` � r� � @��U I � @�� @��� �>�:H � F1��2� f������` ^� #� �� % " #$� & F # g��0�� � ,K10���)2+ 5�+1���� �3 �4� ��1�E2�� p2+1� f��\+�0 3�� �4� f������2+ m612����

\� F�2�� �3 f1�)4�E ^2�E� �8 s ��; G�� ; e�U @; �! � %!Dd%AV � �� !B" #

CV

Page 76: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

$%V& 7 # 7 �)4�������� � ,K�1��� m��� �)*�+1�`�� E�� f������2+�4����� � g��3��0� O\\ �+E1�` �8 �� �Hi ��? �� �� �: = � @>�X � @�U�>�� ��UU��U�>�I @�� � jj j # ^ # B � �CCdBCC #

$% �& h # 7 ��\02�� � ,. �� O�`�� a24��� m�0 ����+1�` 42�0����)4�� -1�)������ 1�E g��3��0�� O\\�+PE1�`�� �8 G� @��Y�H�: ; �i� ; � �UU ; = � @> ;��>HU ; � ��UU� � BDAd! �M �� �D" #

$%%& ^ # F 2).1/�� � e� @: �@�� @ � JU @:��@ � �q �J:� � K�� L��* � K�� L��* � k�4� ' �+�� 2�E 5��� �j�) #� �� !V" #

$%B& ' # m # F �+�� � ,K10���)2+ F ��4�E� O��� )�2��E � ��4 72Q+2)� �� m612���� �8 �� \ � Q1\+��4�E ���4� �: ��� ��qU I @>� GHX? U� X � o�:q ��G���� [ �q � @�� W����� @��q = ��>���:H � ^20\��E`� �h2��2�E ����������� 5�Q��0\�� � �� ! " #

$%!& . # F ��)�� ��_ � ,l4� K10���)2+ 5�+1���� �3 72Q +2)� �� 2�E f������ �� m612����� �8 9�: ; �?? ;= � @> ; % � �!Dd �MB �� !! " #

$%A& h # � # f4�++�Q� 2�E K # ' ����� � ,K��� 2�E �4� . ���)4+�� f��\ +�0 �8 T ; = � @> ; �� �>H U ;� %D ��VAd �%! �� %B" #

$%M& 7 # - # R �)42�E��� � ,l4� OQQ��S �02�� O���40 ���)2+ 5�+1���� \� - ����� . �/����)�� �3 f4���)2+f��\ +�0 � j���+� ��` . �/������2+ m612����� ' ��4 2� OQQ+�)2���� �� �4� 5������� �� 2 F 2�����.20 �8 �>�� ;�:��U ;� % �V O BVCdBAC �� �V" #

$%C& ^ # R1�`� � , a�\ �� ���� F ��4�E� E�� Q2����++� . �/������2+` +��)41�`�� �� )����2�� �10����)4_1 ����`������ �8 b�� @U ; I ; = � @> ; ; �>HU ; AM � %%Ad%B% � �� VDdV " #

$%D& 71E� �` 5��E�+ � = �� �>���: �i� �X �U�>� � J>�� ��q �� � % O\42�E+1�`�� � D �P �VD � ��DC! " #$% & . # 542�*� � �� ����qH J� @c��� �:��U��� @U �� = � @>�X � @���� G���� ��U �� GX � Z������:

G���� ��� @�G���� �� �:��UI:X � @��U G qq �U @� JH e @� K2�2+ N�E�2�)� 72\��2���� F �0�P�2�E10 ! � ' 4��� N2* � F 2�� +2�E � %M k1+�� �� ! " #

$BV& ( # h # 54���+�� 2�E R # '�++�� � ,l4� K10���)2+ 5�+1���� �3 72Q+2)� �� m612���� �8 T ; �?? ; �>H U # � BB!dB!! �� BD" #

$B �& - # 5��E�� 2�E h # 7 ����`���� � ,^�E��` �3 2 72Q+2)� ��1�E2�� p2+1� f��\+�0 3�� �4� �KjpO^ �8= � @> ; �� J�� �� @>�: � � U @ WX? @� @�� � jj j � B! �dBAV � �� ! " #

$B%& R # p # 5�1�4��++ � s ���� @�� = �@> U �� �>�:� @���� �>H U��U � NS3��E ���������� f���� � �� !M" #$BB& k # - # 5��/����� � e� @�:? �� @�� � �2+��0��� � ' �++�20 � 2�E ' �+* ��� � �� %C" #$B!& 5���� 2�E R����\��` � ,N� �4� 5�+1���� �3 5����0 � �3 5�01+�2���1� m612����� \� j���2���� �8

T: ; o � � = � @> ; G �;� %B � ���d ��D � �� !M" #$BA& ( # l�0Q+� � ,l4� (����2+ l4���� �3 R�+2S2���� F ��4�E� OQQ+��E �� 7���2� 5����0 � �8 �: �;

s H� G �# O �M � !CMdAVV �� BDdB " #$BM& h # l4�02� � ,m ++�Q��) f��\+�0 � �� 7 ���2� . �/����)� m612����� ���� 2 K�����* �8 7�)�1�� ����� �

'2���� 5)������ ) 72\��2����� K�� L��* � �d C #$BC& . # ' �EE�� � � ��� �� W����U � K�� L��* � f�����)� h2++ � j�) #� �� !C" #

C �

Page 77: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

��� ����������� � ��� �� � � � � �� ����� � � ������������ �� � � ����� ����

.2��E F # L�1�` � k� #

l4� ����� E�/����)� 2�2+�`1� �3 2 \ �1�E2�� �2+1� Q��\ +�0 ����+���` 2 +���2� � ��)��E ��E��Q2���2+ E �/������2+ �612���� �3 �++�Q��) ��Q � )2� \ � ��E1)�E �� 2 �����0 �3 +���2� �612����� �3 �4�3��0 �

��� !" #� �� $ %" V �& � ' % ' (((' ) "��"

�4��� �4� )��* )����� !" #� �2���3� �4� )��E������+,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.

�2" !" #" / V �& � ' % ' ( ( ( ' ) "�\ " !" #� 0 V �& 1 2 3 & ' 2 � ' % ' ( ( ( ' ) "

�)" !" #" 4�5� � � 6�"

7!" #� 7 �& � ' % ' ( ( ( ' ) "

2�E 3�� ��0� &!" #" /

�5� � � 6�"

7!" #� 7

�E " l4� ) 8 ) 02���S �!" #� " �� 9::;<=>9?@;� �42� �� � ` ���� 2�� ������ �0Q�� )�0Q+�0 ���2�� �1\���� � AB 2�E AC �3 �4� ��� �3 �4� � ���) ����`��� �4��� �S ���� !" #� 1 V �1)4 �42� & D AE 2�E 2 D AF (

�%"

-�� �4� ��+3 2EG ���� )2�� �

!" #� !� #" �& ' 2 � ' % ' ( ( ( ' ) " (�B"(�����`�� $�%& 42� �4��� �42� �3 �!" #� " �2������ �%" � �4�� ��" 42� 2 1��61� ��+1���� # O )�12++� �\�2����`�4� ��+1���� 02� \ � ���� +2\ ����1� # j� �4�� �4���� �4� Q�2)��)2\ �+��� �3 �2���1� 0��4�E� 3�� ��+� ��`��" �� )����E���E � � ��4 �Q �)�2+ �0Q42��� �� �4��� 2E2Q��E �� +2�`� 21��0 2��) )�0Q1���` 02)4���� #f2���)1+2� 2�������� �� ` ���� �� �4� ����� E�/����)� 2�2+�`1� �3 �4� . ���)4+�� f��\+�0 #

. ���)� 0��4�E� �1)4 2� �4� 1�� �3 E����0 ��2��� 2�E �+�0 ��2���� E� ��� 2QQ �2� Q�2)��)2+ 3��+2�`� ) � 2�E �2���1� 0��4�E� �3 �1))������ 2QQ��S �02���� 2�� 1�12++� �0Q+���E � ��)+1E ��` ����2����0��4�E� 2�E ��+2S2���� 0��4�E� # -�� �1))������ 2QQ��S �02���� 0��4�E� � 2� 2�\ ���2�� �����2+ 2QPQ��S �02���� � HFI �� HFI ' � HFIJ ' ( ( ( ' � HFI� " �� )4���� 2�E �1))������+� �0Q����E # j� ^42Q��� j *����Q���3� 2�� `���� 3�� �4� )�����`��)� �3 � HK I �� �4� ��+1���� �3 ��" 2� L M N #

j���2���� 0 ��4�E� 2QQ �2� �� \ � 0��� �1���E 3�� +2�`� 21��0 2��) )�0Q1���` 02)4���� # l4� 1�12+0��4�E� 2�� �4� g��0 �� F��4�E 2�E �4� 7��\02�� F��4�E # l4� ��61��)�� O� HK I P 2�� E����E 2�3� ++�� �

�2" l4� g��0�� F��4�E

� HKQ I" R

���� � 6�"

!" #�!" #"� HK I� R %"!""

�& � ' % ' S S S ' ) "�! "

C%

Page 78: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

���!2" � HK Q I � $� HK I & $ � '�4��� � �R %

! ' R %J!JJ ' ( ( ( ' R %�

!� � " (�A"

�\ " l4� 7��\02�� F��4�E

� HKQ I" R "� �

� � !" #�!" #"� HKQ I� R

��

� �"Q !" #�!" #"� HK I� R %"!" #"

�& � ' % ' S S S ' ) "�M"

���M2" � HKQ I �� $� HK I & $ ��4��� � E������ �4� ��E����` �3 �4� �612����� #

l4� �2��� �3 )�����`��)� �3 �4��� 0��4�E� E�Q ��E �� �4� E�0 ��2�� ��`���2+1�� �3 �4� +���2��Q ��2���� � 2�E �� � �4�)4 2�� +���2� �Q ��2���� �� �4� ��)��� �Q2)� �� �3 ) P�1Q +�� �3 )�0Q+�S�10\��� # -�� �4� ��1E� �3 �4��� � �� 1�� �4� 32)� �42� �!" #� " 42� Q��Q ���� ��� " 3�� ��0� ����`�� #���� � � �!" #� " 42� �� ����� �� " �3 �4��� �S ��� ��� �0Q�� E��G ���� �1\���� � ' � J ' ( ( ( ' �� �3 � ��4� ��� �3 �4� � ��� ) ����`��� � �1)4 �42�

���� �� � � 2�E �1)4 �42� �4� �� )2� \ � +2\ �+�E �� �42�

!" #� V 1�+��� & 2 �� & D �� 2�E 2 D ��� � ��Q # �� F 2�E ��Q E����� �4� �0Q�� ��� #"� ���` �4�� Q��Q ����� �� �4�� �42� �4� ��`���2+1�� � �3 � � ))1� �� Q2��� �� ' R� " # l4��� �S ���

)���2�� ��E����`�� �3 �4� �612����� �1)4 �42� �� �2)4 �1)4 Q2�� �4��� )�����Q ��E� 2� ��`���2+1�� � J �3 �� 3 4��)� � �4� �2�� �3 )�����`��)� �3 �� �� �S2)�+� �� �)� �42� �3 � # O� �SQ+�)�� �SQ��������3 �4� ��`����)���� �3 �� �� ���0 � �3 �4� ��`����)���� �3 � �� 2+�� `���� # -�� �4� ��00����) )2�� �2++ ��`���2+1�� �3 � 2�E �� 2�� ��2+ 2�E �4� k��E2� ���02+ 3��0 �3 �4� )�����Q ��E��` 02���)��2�� E �2`��2+ � ��4 �4� Q����\ +� �S)�Q���� �3 �4� �1\�Q2)� 2���� )�2��E � ��4 � V 3�� �� # j3 � 2+�� �

!"" )����2�� � 2� 3�� �4� . ���)4 +�� f��\+�0 � �4� ��`����)���� �3 � 2�� ���4�`��2+ # -�� �4� . ���)4+��f��\+�0 �4� ��`���2+1�� 2�E ��`����)���� �3 � 2�E �� )2� \ � )�0Q1��E �S2)�+� 3�� 2 ��)�2�`1+2���`��� # -�� ��� ��E����` � �J � �4� ���0 2+ 3��0 �3 �4� 02���S �3 ��� �� E �2`��2+ 2�E �3 �4� )���E��2����3 2� 2�\ ���2�� ��)��� �� �� ��3����E �� �4� \2��� �3 ��`����)���� �3 � 2�� *���� � �4� )���E��2����3 �42� �20 � ��)��� ��3����E �� �4� \2��� �3 ��`����)���� �3 ��� )2� \� )�0Q1��E 2� ��)� #

-�� �4� ��00����) )2�� � 2 )��G �)�1�� �42� \� �4� 7 ��\02�� F��4�E �4� �2�� �3 )�����`��)� )2���� \ � ��)��2��E \� 1���` 2� ��E����` �4�)4 �� ��� )��������� � �� Q����E �� ��� �Q �)�2+ )2�� # 5�0��10���)2+ ��1E��� \ �2� �1� 2 )��G �)�1�� \� 54���+�� 2�E '�++�� � $BV& � �42� 3�� +2�`� ) �4� �2�� �3)�����`��)� �3 �� �� ��2�+� ��E�Q ��E��� �3 � #

l4� �10\�� �3 ����2����� ��61���E �� ��E1)� �4� ���0 �3 �4� �����2+ ����� 31�)����

�� HFI R � � � ��"� ��

HFI" R � " "

J� �J�� 2 E������ 3�2)���� �3 ����+3 �� 2��0Q����)2++� 3�� �0 2++ � Q��Q ������2+ �� ��J �� �� �4� 0 ��4��_�" # -�� ��0� Q��\+�0 � �4��� 2 ���� �0 2++ 0��4 ��_� 01�� \ � 1��E � �4� ��0� ��61���E �� �\�2��2� 2))�Q�2\ +� E�`��� �3 2))1�2)�� ���� � ��4 2 32�� )�0Q1���` 02)4��� �1)4 2� �4� �KjpO^ � ��Q��4 �\ ����� #����� !"#!$%&' (!# �())#" *� %'$'+#%+, !"#!$%&' -

CB

Page 79: Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type

j� ^42Q��� jjj � �� �� �4��� �42� �4� ��61���E �10\�� �3 ����2����� )2� \� `��2�+� ��E1)�E \�1���` �4� G ���UU��� n��::���� @�� = �@> � �4��� �4� �E�2 �3 UH U @�X � @�� ��::���� @�� � � ��� 1��E\� 7 # - # R �)42�E��� � $%M& � �� )�0\���E � ��4 �4� 7��\0 2�� F��4�E # -�� �4� . ���)4+�� f��\+�0 � �4���E1)���� �� �3 �4� ��E�� �3 �� � 2�E 3�� �4� `����2+ ��+3 2EG ���� )2�� � �3 �4� ��61���E �10\�� �3����2����� � ��4 �4� 7��\0 2�� F��4�E �� �3 �4� ��E�� �3 ��� � �4� ��E1)���� �� �3 �4� ��E�� �3 ��� �J ��3 �4� 51))������ N�����+2S2���� F��4�E �� 1��E � ��4 �4� Q��Q �� ��+2S2���� 32)��� � # F ������� ��4�� ��� �0Q����E 0��4�E )2� \ � 1��E � ��4 2�� +2�`� 21��02��) )�0Q1���` 02)4��� 3�� �4�)4 �4�7��\02�� F��4�E )2� \ � 1��E 3 �4� 02)4��� ��0 � Q �� ����2���� ��1+E ��� \ � ��)��2��E \� 0����42� �V� #

l4� �0Q����0��� 3��01+2 ��

� HKQ I" �

��R "� �

� � !" #�!" #"� HK Q I� R

��

� �"Q !" #�!" #"� HK I� R %"!" #"

�� R �� R �"� HK I

" �& � ' % ' ( ( ( ' ) "�C"

���V #C2" � HKQ I �� #� $� HK I & $ � ��4��� �4� �1\�)��Q�� � 2�E � �3 �� #� E����� �4� ��E����` � �2��10�E )���������" � �3 �4� �612����� �2�E �4� ��+2S2���� 32)��� ���Q �)����+�# �� #� �� 2 +���2� �Q ��2��� �� �� � 2�E �3 � �� �� 42�� �4�7��\02�� F��4�E #

j3 � �� 2� ��`���2+1� �3 � � �4��� �S ���� 2� ��`���2+1� �� �3 �� #� �1)4 �42�

�� �� �J �� $ �� R �"�D"

2�E )�������+� ����� ��`���2+1� �3 �� #� )2� \ � E����0 ���E \� �D" � 3�� ��0� � # l4� ��`����)�����3 �� #� )2� \ � �SQ�����E �SQ+�)��+� �� ���0 � �3 �4� ��`����)���� �3 � # j3 �!" #� " �� ��00����) � �4���4� �Q��010 ��+2S2���� 32)��� � � � �� ` ���� \�

� J � J ! �� R �"� "

�4��� � �� �4� +2�`��� ��`���2+1� �3 � # -�� 2++ � � � ����� ��`���2+1� �3 �� #� 42� 2\��+1�� �2+1��� R �" � 2�E �4� k��E2� ���02+ 3��0 �3 �4� 02���S �3 �� #� �� E�2`��2+ 1�+��� � � # j� �4 �� )2�� ��4� ���02+ 02���S 3��0 )���2��� Q��)���+� ��� ��� E�2`��2+ �+�0 ��� #

-�� �4� . ���)4+�� f��\+�0 � �3 � �� �0 2++ � � �� ���� ��2�+� ��� # � )2� \� )2+)1+2��E �S2)�+� 3�� 2��)�2�`1+2� ��`��� 2�E 3�� ��4�� ��`���� )2� \� ����0 2��E \� )�0Q2����� �4����0 � # -�� �4� `����2+��+3 2EG���� )2�� � Q����E�E � �� ��� 1�E������0 2��E � �3�� �4� . ���)4+�� f��\+�0 2 ��� ���� �2+ 1QQ ��\ �1�E 3�� � )2� 2+�2�� \ � 3�1�E"� �4� ��+2���� E�)��2�� �� �4� �2�� �3 )�����`��)� � �3 � C

4 � �� 1��E � �� 2QQ��S �02��+� � �J R �� �4��� �� R � C " �� R � " �V � 0 �" 2�E �4��� � C ��E����0 ���E 3��0 � " � \1� � ��4 � ��Q +2)�E \� � C # l41� 2 ��+2����+� +2�`� ����� �� �4� ����0 2���� �3�� R � " )2� \ � 2++���E 2�E �4� �0Q����0��� ���� �4� 7��\0 2�� F��4�E � �++ ��� �1/�� 2QQ��)�2\ +�#l4�� �1``���� �42� �4� 51))������ N�����+2S2���� F ��4�E )2� \� 2QQ+��E �1))���31++� �� ��+3 2EG�����612����� ��4�� �42� 72Q+2)� �� m612���� #

C!