Ispiti Matematika I

7/21/2019 Ispiti Matematika I

1/37

Drugi parcijalni ispit iz Matematike I, 18. 01. 2012.

GRUPA A

1. Izraunati:

40

1 cos 1 coslim .x

2.

Ispitati funkciju i nacrtati joj graf:4 1ln .y x

3. Izraunati integral 2

arcsin .x dx

GRUPA B

1.

Izraunati:

3

3 311 2 1lim .2x

xx x

2. Ispitati funkciju i nacrtati joj graf:

14

.4

xx

y e

3. Izraunati integral

3 2

22 2

1.

1

x xdx

x x

Pismeni dio ispita iz Matematike 1, 26. januar 2012. (termin: 9 sati)

I grupa

1. Izraunatixako u binomnom razvoju

61

3

3

24 2

2

xx

vai:3 5

9 240.T T

2. Vektori 3d v w

i 2 5e v w

su dijagonale paralelograma. Izraunati povrinu paralelograma ako je

01, 2, , 30 .v w v w

3. Ispitati funkciju

3 2

2

8 27 27

2 2

x x xy

x

i nacrtati joj graf ako se zna da je jedina realna nula te funkcije

1 1,62.x

4. Izraunati integral2 3

sin 4 cos 2 .x x dx II grupa

1. Izraunati sve vrijednosti korjena 3 ,z ako je 1 3 1 cos sin .12 12

z i i i

2. Dati su vektori: 0,2 , , 2, 2,1 , 1, 2, 1 .a b c

Odrediti vektor x

tako da je a b c x

i

,a c b x

a zatim dokazati da su vektori ,a b a c

i x

komplanarni.

3.

Ispitati funkciju i nacrtati joj graf:52

34 .xxy ex


2/37

4.

Izraunati integral

2

22

5 12.

6 13

xdx

x x

III grupa

1.

Rijeiti sistem jednaina i diskutovati rjeenja sistema u zavisnosti od parametra:

22 1

3 2 1 4

0.

y mz

y m z m

x y z

2. Ako prava ima vektor pravca p

i ako je 1M taka van prave, a 0M taka na pravoj, onda je rastojanje

take 1M od prave dato formulom0 1

.p M M

dp

Dokazati.

3.

Ispitati funkciju 16ln 1y x

i nacrtati joj graf, ako se zna da ta funkcija nema realnih nula.

4. Izraunati integral2

2 2 .x x x dx

Pismeni dio ispita iz Matematike 1, 26. januar 2012. (termin:12 sati)

Grupa A

1. Vektori 2AB m n i 3 4AC m n su stranice trouglaABC. Izraunati obim i povrinu trouglaABC, ako je

2, 1, ( , )6

m n m n

.

2. Diskutovati rjeenja i rijeiti sistem jednaina za razne vrijednosti realnog parametra a:

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2 2 3 2

6 3 2 4 5 3

6 3 4 8 13 9

4 2 1

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x ax

3. Ispitati i nacrtati graf funkcije 1

2 xy x x e


3/37

4. Rijeiti integral2

3 2

dx

x x .

Grupa B

1. Kroz taku (1,0,7)P povui pravu koja je paralelna ravni 3 2 15 0x y z i koja sijee pravu

1 3

4 2 1

y z .


1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 7 3 6

3 5 2 2 4

9 4 2

5 12 5 ( 4) 10

x x x x

x x x x

x x x ax

x x x a x

3. Ispitati i nacrtati graf funkcije1

1ln( 1)

yx

.

4. Rijeiti integral

5

6 39 8

x dx

x

Grupa C

1. Nai jednainu prave koja sadri taku (1, 1,2)M i sijee pravu1 0

:3 2 2 1 0

x y zp

x y z

pod pravim uglom.


0

( 1) ( 1) 2 0

0

ax y z

a x a y z

x y az

3. Ispitati i nacrtati graf funkcije

3

22 1

xy

x

4. Rijeiti integral:2

( 1)arctgx dx

Pismeni ispit iz Matematike 1, februar 2012.


4/37

Termin: 9h

Grupa D

1.Dokazati matematikom indukcijom: 11

2 4 2 2

1 2 4 2 1 2... 0, .

1 1 1 11 1n n

n n

a na a a aa a

2. Izraunati limes bez upotrebe L'Hopitalovog pravila: a)30

tg sinlimx

xx b)

31

1lim1x

x


ln3

xy

x

.

4. Izraunati integral: 2ln 2 5x dx

Grupa E

1. Dokazati matematikom indukcijom da je izraz 4 15 1n n djeljiv sa 9.

2. Izraunati pomou L'Hopitalovog pravila a)tg

0lim(sin ) x

x b) lim 1

xx

.


2

2

2 3.

2 2 3

x xy

x

4. Izraunati integral: 2 2 .2cos 6sin 2 4sin 1

dx

x x

Grupa F

1.Dokazati matematikom indukcijom:1 2 ( 1)

1 3 5 3 5 7 (2 1)(2 1)(2 3) 2(2 1)(2 3)

n n n

n n n n n

.

2. Izraunati limes bez upotrebe L'Hopitalovog pravila:

a)

25 32 3 1

2

2 3 1lim

2 1

x

x

x

x x

x

b) 33lim 1

xx

.


1

2 xy xe .

4. Izraunati integral:2(5 6) 2 3x x dx .


5/37

Termin: 12 h

Grupa A

1. Zadane su matrice

0 0 1

0 1 0

1 0 0

A

i

2 1 2

0 2 1

0 0 2

B

. Rijeiti matrinu jednainu1 1( )X A BX .

2. Izraunati bez Lopitalovog pravila:4 3 2 1

lim ( ) sinx

x x xx

.

3. Ispitati i nacrtati graf funkcije:2ln

xy

x .

4. Izraunati integral:sin 1

5sin 2cos 3

xdx

x

.

Grupa B

1. Nai sve kompleksne brojeve koji zadovoljavaju jednakost

5

4 3 1

2 2z i i

i za koje je Re 0z , a

Im 0z .

2. Nai jednainu tangente i normale u taki T(0,0) na graf funkcije ( )y y x zadane implicitno jednainom2 0yye x x y .

3. Ispitati i nacrtati graf funkcije:3

2

xey

.

4. Izraunati integral: 2ln 1x x dx .

Grupa C

1. U zavisnosti od realnog parametra diskutovati rjeenja sistema i rijeiti sistem jednaina:


6/37

2 1

3 1

2 5 1

x y z

x y

x y z

2. Odrediti parametre ai btako da funkcija

1 sin, 0

2

( ) , 0

, 02

x x

axx

x

f x b x

e ex

x

bude neprekidna.


3

2

( 1)

( 1)

xy

x

.

4. Izraunati integral:2 2

sin (9 )cos (5 )cosx x xdx .

Pismeni ispit iz Matematike 1, 14. 06. 2012. termin 9h

Grupa A

1. U zavisnosti od realnog parametra arijeiti sistem jednaina:

2 0

4 2 8

2 (2 3) ( 4) 10 2

x y z

x ay z

x a y a z a

.

2. Date su ravni : 3 1 0, :2 2 6 3 0x y z x y z . Ispitati uzajamni poloaj ravni i Ako se ravni sijeku

odrediti jednainu njihove presjene prave u kanonskom obliku, a ako se ne sijeku odrediti rastojanje ravni i .

3. Ispitati i nacrtati graf funkcije3 1

ln3 3

xy

x

.

4. Rijeiti integral:

2

2 2

2

( 1)( 1)

xdx

x x x

.

Grupa B


7/37

1. Rijeiti sistem jednaina u zavisnosti od realnog parametra c:2 2

6 3 4

6 ( 2) 2

x y z

x cy z

x cy c z c

.

2. Date su prava ai ravan u prostoru:1 5

:3 2 1

x y za

i : 3 2 6 0x y z .

Odrediti meusobni poloaj prave ai ravni . Ukoliko se prave ai ravan sijeku odrediti veliinu ugla

izmeu prave ai

ravan , kao i presenu taku prave ai ravan , a ako se ne sijeku odrediti rastojanje izmeu prave ai ravan .


1 ln 5xy

x

.

4. Izraunati integral:3

2 2

2

( 1)

xdx

x x

Grupa C

1. U zavisnosti od realnog parametra trijeiti sistem jednaina:

2 1

3 ( 1) 3

2 2 ( 1) 1

x y z

x t y z t

x y t z

.

2. Da te su prave2 1

: i1 1 0

x y zp

2 2:

3 1 1

x y zq

. Ispitati meusobni poloaj ove dvije prave. Ako se prave

sijeku ili su paralelne odrediti jednainu ravni koja ih sadri, a ako su mimoilazne onda odrediti udaljenost te dvije prave.

3. Ispitati i nacrtati graf funkcije2ln(2 5 7).y x x

4.Rijeiti integral:

2

2 2

1

( 3)( 4)

xdx

x x


8/37

Pismeni ispit iz Matematike 1, 14.06. 2012. termin 12h

Grupa A

1. Odrediti kompleksne brojeve z1i z2u algebarskom obliku ako je

768

3

1 17

2 2(2 ) 2

2 2

2 2

2 2

i i i

z

i

,3

2( 1) 27z .

2. Nai vektor c

koji je normalan na vektorima 3,2,2a

i 18, 22, 5 ,b

sa y osom gradi tupi ugao i 7 .c


1 2

xey

x

.

4. Rijeiti integral:4 2

1

sin cosdx

x x.

Grupa B


1234

1 28

3 3 (1 ) 5

3 3

3 3

i i iz

i

,2

2( 1) 49i .

2. Dati su vektori 8,4,1a

i 2, 2,1 .b

Nai vektor c

koji je okomit na vektoru ,a

komplanaran sa vektorima a

i ,b

sa vektorom b

gradi otar ugao i 2 .c a

3. Ispitati i nacrtati graf funkcije 2

2

xxy ex

.


1 tg

sin 2

xdx

x

Grupa C


536

12011

1 33 7 3 6

2 2i i i

z

i

i 4

2 2 16z .


9/37

2. Dati su vektori (2 1, 2, 2), (3, 1, 1), ( ,1,3), ,a k k b k c p k R p R

.Odrediti vrijednost parametara k ip tako da

vai a b i 26c

. Pokazati da su vektori , ia b c

komplanarni , a zatim izraziti a

kao lineranu kombinaciju vektora b

i

c

.


1

3

3

xey

x

4. Izraunati integral: 5 sin 2cos

2sin 7cos

x xdx

x x

Pismeni ispit iz Matematike I, 29. 06. 2012., termin 9h

I GRUPA

1.

Dokazati identitete: a)1

, , , 1;1 1

n n nn k n k

k k k

b) , .n m n m

n mm n

2.

Zadan je trougaoABCu kome je 02, 3, 60 .AB AC BAC Izraunati pomou vektorskog rauna

duine teinica u datom trouglu.


10/37

3.

Ispitati i nacrtati graf funkcije

3 2

2

2 7 3

2

x xy

ako se zna da je jedina realna nula te funkcije

1 0,3796.x

4. Izraunati integral arctg .x x

e e dx

II GRUPA

1.

Rijeiti matrinu jednainu82 ,AX X A pri emu je poznata matrica

2 2, 1.ij ijA a a j i

2. Zadan je trougao ABC u kome je je03, 4, 30 .AB BC ABC Izraunati pomou vektorskog

rauna duine teinica u datom trouglu.

3. Ispitati i nacrtati graf funkcije 2 2

3

12 3 3 9 2 1.

4

x x x xy

x

4. Izraunati integral arcsin .1

xdx

x

III GRUPA

1. Rijeiti jednainu 1 1 0n n

z z u skupu kompleksnih brojeva.

2. Zadan je trougao ABC u kome je je02, 5, 45 .AC BC ACB Izraunati pomou vektorskog



2

2 4

16 10.

3 3

xy

x

Uputa: Funkcija ima dvije prevojne take. Apscisa jedne je 2 .2

x

4.

Izraunati integralarctg

.1

xdx

x

Pismeni ispit iz Matematike I, 29. 06. 2012., termin 12h

GRUPA A

1. Rijeiti sistem jednaina i diskutovati rjeenja u zavisnosti od parametra :

2

3

1

.

y z t

x y z t

x y z t

x y z t

2. Nai takuAkoja lei na pravoj1 3 4

:

2 3 5

x y za

i jednako je udaljena od take 0,1,1B i ravni

: 2 2 1 0.x y z

3. Ispitati i nacrtati graf funkcijeln

.ln 2

xy

x


11/37


.2

dxI

x x

GRUPA B

1.

Rijeiti jednainu

sin sin cos4

2 2sin cos sin .4 4

1 1

x x x

x x x

a a

2. Nai takuAkoja lei na pravoj1 1

:2 3 1

x y za

i na udaljenosti je 3 od ravni 3 0.x y z

3.

Ispitati i nacrtati graf funkcije

4 26 8 3.

1

x x xy

x

Uputa: Jedna prevojna taka ima apscisu

0 2,27.x

4.

Izraunati integral3 4

.2

dxIx x x

Pismeni dio ispita iz Matematike I, 30. 08. 2012.

GRUPA A

1.

Zadan je trougao ABC u kome je je02, 5, 45 .AC BC ACB Izraunati pomou vektorskog


2. Nai jednainu tangente parabole2 2 4y x x koja je povuena iz take 2, 5A van parabole.

3. Ispitati i nacrtati graf funkcije2 3

1 2 4.y

x x


3

2.

1 2

xdx

x x

GRUPA B

1.

Zadan je trougaoABCu kome je02, 3, 60 .AB AC BAC Izraunati pomou vektorskog rauna

duine teinica u datom trouglu.

2. Nai jednainu tangente parabole2 2 1y x x koja je povuena iz take 0, 5T van parabole.

3.

Ispitati i nacrtati graf funkcije2 3 .

x

x e

4.

Izraunati integral

2

3

2.

1 3

xdx

x x

GRUPA C

5. Zadan je trougao ABC u kome je je03, 4, 30 .AB BC ABC Izraunati pomou vektorskog


6.

Nai jednainu tangente parabole2 3 6y x x koja je povuena iz take

9, 1

5T

van parabole.


12/37

7. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik2

2 ln.

ln 1y

x

8. Izraunati integral 2

.2 3sin 2 4 cos

dx

x x

I GRUPA

1.

Dokazati tvrdnju 2

54 2 4 9 3 2

n

n n n metodom potpune matematike indukcije.

2.

Izraunati2 20

1 1lim .

sinx x x

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik

2

2

1 1.

2 1

x xy

x


.2

dxI

x x x

II GRUPA

1.

Koristei trigonometrijski oblik kompleksnog broja izraziti preko trigonometrijskih funkcija viestrukih

uglova izraze4sin i 4cos .x

2.

Izraunatix

2

2xcosx ctgxL lim .

2ctgxcosx

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik3 1

ln3 2

xy e

x

(bez analize znaka I izvoda).


5 3

4 3 2

3 4 4.

2 2

x x xdx

x x

III GRUPA

1. Koliko racionalnih lanova ima u razvoju 100

3 42 3 ?

2. Izraunati2

1

0

tglim .

x

x

xl

x

3.

Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik

2

1

1

2.1

x

ey

4. Izraunati integral 2 ln 2 1 .x x dx Pismeni ispit iz Matematike 1, 14. 09. 2012.

Grupa A

1. Diskutovati rjeenja sistema za razne vrijednosti parametra R:

3241234

21

23

321

321

321

xxx

xxx

xxx


13/37

2. Napisati jednainu ravni koja prolazi kroz take (1,2,3)M i ( 1,0,2)N i normalna je na ravan

2 3 0x y z .


6 6

1

xy x

.


cosx

e xdx

Grupa B

1. U zavisnosti od parametra R rijeiti sistem jednaina:

.1

1

2)12(

zyx

zyx

zyx

2. Napisati jednainu ravni koja je paralelna sa ravni 2 3 0x y z i prolazi kroz presjek ravni 0x y z i

2 3 1 0x y z .

3. Ispitati i nacrtati graf funkcije:( 4)( 3)

4x x

y

.


cos 3 sin 6x xdx

Grupa C

1. Gaussovom metodom rijeiti sistem jednaina u zavisnosti od parametra R :

.1

1

2

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

2. Napisati jednainu ravni koja prolazi kroz presjek ravni 2 3 0x y z i 4 1 0x y z i kroz taku

( 1,0,2)N .

3. Ispitati i nacrtati graf funkcije:

2 12

2

xy

x

.

4. Izraunati integral:2 2 2

(6 2 5)x

e x dx

Grupa D

1. Rijeiti sistem jednainau zavisnosti od realnih parametara i :


14/37

4 0

2 3 1

4 7

x y z

x y z

x y z

2. Napisati jednainu ravni koja prolazi kroz presjek ravni 5 0,2 6 1 0x y z x y z ,a koja sa prvom

ravni zaklapa ugao od 30.


28

1

xy x

4. Izraunati integral:2 2

( 3 sin )x x dx

Parcijalni ispit 27. 11. 2012.

GRUPA A

1. Dokazati metodom matematike indukcije tvrdnju 4 3 212 3 14 21 10 , .n n n n n 2. Rijeiti sistem jednaina i diskutovati rjeenja sistema u zavisnosti od parametra :

2

3

1

.

y z t

x y z t

x y z t

x y z t

3.

Nai sve vrijednosti korjena

7

643 1

1 4 3ii i

u skupu kompleksnih brojeva.

4. Data je etverostrana piramida ABCDE, ija je baza paralelogram ABCD. Ako je

2,3,1 , 4,1, 2 , 6, 3,7 , 5, 4, 8 ,A B C E izraunati zapreminu piramide i visinu povuenu iz vrhaE.

GRUPA B

1. Dokazati metodom matematike indukcije tvrdnju za sve :n

2 21 1 1 1... .2 2 2 2 2 2 2 2n n n n

x x x xtg tg tg ctg ctgx

2.

Rijeiti sistem jednaina i diskutovati rjeenja u zavisnosti od parametra a:

2 1

1

3 3 .

ax y z

x ay z

y z a

3. Rijeiti jednainu po nepoznatoj zu skupu kompleksnih brojeva:

3

3 23

4

1 3 93 .

43

1 3

iz i

i

4. Vrhovi trougla su take 1, 1,2 , 5, 6,2, , 1,3, 1 .A B C Izraunati sve visine ovog trougla.


15/37

GRUPA C

1. Dokazati metodom matematike indukcije tvrdnju: 2

1

sinsin 2 1 .

sin

n

k

nxk x n

x

2. Rijeiti sistem jednaina i diskutovati rjeenja u zavisnosti od parametra a:

2

2 1 6 6 3

2 4 14 16 2.

a x y z

ax y z a x y z

3. Rijeiti jednainu 1 1 , ,n n

z i z n u skupu kompleksnih brojeva.

4.

Nai vektor koji je okomit na vektore 3,2,2 , 18, 22, 5 ,a b

sa y osom gradi tupi ugao i ima

intenzitet 7.

Prvi parcijalni ispit iz Matematike 1 (ponovljen)

Grupa A

1. Rijeiti u skupu kompleksnih brojeva jednainu:6 4 2

16 16 0z z z . (Uputa: polinom rastaviti na prostefaktore)

2. Diskutovati rjeenja sistema jednaina za razne vrijednosti realnog parametra i nai ta rjeenja ako postoje:2 1

3 1

2 5 1

y z

x y

x y z

.

3. Date su pravepi q:1 2 1

:3 2 4

y zp

,

5 6:

3 6 2

x y zq

a) Pokazati da te dvije prave ne pripadaju istoj ravni. b) Nai njihovo najkrae rastojanje.

c) Napisati jednainu ravni koja sadri pravupa paralelna je sa q.

Grupa B

1. Rijeiti u skupu kompleksnih brojeva jednainu:8 4

3 2 0z z . (Uputa: polinom rastaviti na proste faktore)2. Diskutovati rjeenja sistema jednaina za razne vrijednosti realnog parametra ai nai ta rjeenja ako postoje

2 ( 4) 3

2 1

2 3

x y a z

x z

x ay z

3. Date su take

a) Napisati jednainu prave p: (AB) , b) Napisati jednainu prave q: (CD)

c) Ispitati meusobni poloaj pravih p i q, d) Napisati jednainu ravni koja sadri prave p i q

Grupa C

1. Rijeiti u skupu kompleksnih brojeva jednainu:6 3

2 4 0z z . (Uputa: uzeti smjenu i svesti na kvadratnujednainu)

(1, 2,3), (4,0,5), (2,3,1), (5,1,3)A B C D


16/37

2. Diskutovati rjeenja sistema jednaina za razne vrijednosti realnog parametra ai nai ta rjeenja ako postoje

3

2 1

2 2 7

y z

x ay z

x y az a

.

3. a) Ispitati meusobni poloaj ravni i prave p : : 2 4 5 0x y z , 1 2 3

:2 1 3

y zp

b) Nai presjenu taku prave i ravni. c) Napisati jednainu ravni, koja sadri pravu 1 2 32 1 3

x y z i

normalna je na ravan : 2 4 5 0x y z .


1.

Nai jednainu tangente krive2xy x u taki 1,1 .A


1

.

2 3

xx

y e


lncos.

cosdx

x

GRUPA B

1. Nai jednainu normale krive 2 1x

y x u taki 1,2 .B


12 3

.xx

y ex


lnsin.

sin

xdx

x


GRUPA A

1.

Izraunatixako je u binomnom razvoju

9

log

7 2

1 xxx

trei lan jednak 360000.

2. Nai sve vrijednosti parametra m tako da su vektori 0, ,1 ,a m

1, 1, 3 , ,1 ,1b m c m m

linearno zavisni. Za dobijenu cjelobrojnu vrijednost parametra m izraziti vektor c

kao linearnu kombinaciju

vektora a i b .

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik3 22ln 9 ln 12ln .x x x


17/37


.1

dxI

x x x

GRUPA B

1.

Nai nako se zna da je u razvoju

4

4

1

2 3

n

odnos petog lana sprijeda prema petom lanu ozada jednak

6 :1.

2. Nai ravan koja na osama Oxi Oyima odsjeke redom 6 i 3 i okomita je na ravan 4 2 7 0.x y z

3.

Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik3 2ln 6ln 9 ln .x x x

4.


.1

dx

x x

GRUPA C

1. Nai brojeve , ,a b n ako se zna da su prva tri sabirka u razvoju binoma n

a b jednaki redom 729, 7290 i

30375.

2.

Nai jednainu ravni koja je udaljena od koordinatnog poetka za 6, a odsjeci te ravni nax, yi zosi su u

omjeru 1:2:3.

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik3 2ln ln ln 1.y x x x


.1

dxI

x x x

I GRUPA

1.

a) Stepenovati (osloboditi se zagrade) 4.z i

b) Rijeiti jednainu4 3 24 6 4 0.z z i z iz

2. Nai ravan koja prolazi kroz taku 1, 2,1A paralelno pravoj :2 3

x ya z

i obrazuje ugao od

060

sa pravom : , 0.b x y z


12

2 .4

xx

y e

4.


.sin cos

dx

x x

II GRUPA

1. Rijeiti jednainu

31

1 .iz

2. Nai koordinate take A koja lei na pravoj3 1

:2 3 1

y za

i jednako je udaljena od taaka

3,0, 2B i 1,1,5 .C


12 2 3.x

x xy e


18/37


.sin cos

dx

x x

III GRUPA

1.

Rijeiti jednainu

313

3 1 1

0.12

i

z i

2. Nai takuAkoja lei na pravoj1 3 4

:2 3 5

x y za

i jednako je udaljena od take 0,1,1B i ravni

: 2 2 1 0.x y z

3.


122.

2 1x

xy e

x


tg .dx


Grupa A

1. Diskutovati rang matrice

1 10 6

2 1 5

1 1 2

M

za razne vrijednosti parametra .

2. Dati su vrhovi paralelogramaABCD: 3,0,4 , 1,2,3 , 9,6,4 .A B C

a) Nai preostali vrh D i povrinu paralelograma.

b) Na z osi nai taku Stako da je ABCDS piramida zapremine 252.

3. Ispitati i nacrtati funkciju 24 3 .xx e


5 2.

dxI

x x x

Grupa B


19/37


4 1 1 2

1 1 1 5

3 3 7 3

M


2. Vrhovi tetraedraABCDsu: 2, 3,1 , 4,1, 2, , 6, 3, 7 , 5, 4, .A B C D x

a) Odrediti nepoznatu koordinatu take Dtako da takeA, B,Ci Dbudu komplanarne,

b) Odrediti nepoznatu koordinatu take Dtako da visina Htetraedra povuena iz vrha Dbude dugaka 11.

3. Ispitati funkciju 1

2 xy x e i nacrtati joj grafik.

4. Izraunati integral243.

xdxI

x

Grupa C


1 1 1

1 0 1 1

2 3 1

M


2. Odrediti sve vrijednosti parametra mtako da vektori 2 , 1, 1 , 3,2 ,0 , 4,2,4a m b m c m

budu linearno zavisni, pa za najveu dobijenu vrijednost parametra mnapisati vektor b

kao linearnu kombinaciju

vektora a

i c

.

3. Ispitati funkciju 2

2 3 x

y x e i nacrtati joj grafik.


3

5126

dx

x .

Grupa D


20/37

1. Rijeiti matrinu jednainu 3A I X I B , ako je

2 5 2

2 8 0

1 5 2

A

,

3 21 1

2 50 2

1 22 0

B

, I -

jedinina matrica.

2. U zavisnosti od parametara ai mdiskutovati odnos prave1 2

:2 1

x y zp

a

prema ravni

: 2 ( 2) 0x a y z m

3. Ispitati funkciju

3

2 2( 1)

xy

x

i nacrtati joj grafik.

4. Metodom parcijalne integracije izraunati integral:2 2

( 1) sin 2x xdx .

Grupa E

1. Rijeiti matrinu jednainu1 1 1

1 1 6 2 1 0

, 2 3 0 , 1 4 1

0 1 1 1 0 2

X AB B A A B

2.

U zavisnosti od parametara ai mdiskutovati odnos dviju pravih1 2

:2 1

x y zp

a

i

1:

2 2 1

y z mq

a

.

3. Ispitati funkciju i nacrtati graf:3 2

16.

4y

x

4. Izraunati integral (cos6 sin2 cos )x x x dx .

(Uputa: Transformisati pod integralnu funkciju na oblik cos( )x a x b dx ili sin( )a x b dx , te metodomparcijalne integracije izraunati integral.)

Grupa F

1. Rijeiti matrinu jednainu 2 ,XA A X I ako je

0 1 2

2 3 4 ,

1 0 1

A

a I je jedinina matrica.

2. U zavisnosti od parametara ai mdiskutovati odnos dviju ravni : 2 ( 2) 0x a y z m i

: 2 1 2 0x y az a .

3. Ispitati funkciju i nacrtati grafik:

3

25 4

xy

.


21/37

4. Metodom parcijalne integracije izraunati integral:2 2

(2 1) cos 2x xdx


GRUPA A

1.

Ispitati funkciju i nacrtati graf: 2

2

ln.

x ey

e

2.

Odrediti broj atako da postoji limes

2 1

20

2lim .

x x

xx

e e

e a

3.

Izraunati integral2

ln .1 4ln ln

xdxx x

GRUPA B

1.

Ispitati funkciju i nacrtati graf:

2

2

2 2 6ln .

x xy

x x

2.

Dokazati da ne postoji limes3

110

1lim .

1x

x xe e

3.

Izraunati integral2

2.

xdx

x


GRUPA A

1. Rijeiti jednainu u skupu kompleksnih brojeva:6 3

2 1 0.z z

2. Nai jednainu ravni koja sadri osu Oz, a sa ravni : 2 5 0x y z zaklapa ugao od 060 .

3. Ispitati funkciju i nacrtati graf:2

1 11

2 .xy xe


arctg

32 2

.

1

xe dxI

x

GRUPA B

1. Rijeiti jednainu u skupu kompleksnih brojeva: 3

6 2 2 3 .z i


22/37

2. Odrediti odnos pravih1 2

:2 3 1

y za

i

5 3: .

4 5 2

x y zb

Zatim nai pravu koja prolazi kroz

taku 1,1, 1S i sijee obje date prave.

3. Ispitati funkciju i nacrtati graf: ln 2 1 .xy e


tg.

1 tg tg

xdx

x

GRUPA C

1. Rijeiti jednainu u skupu kompleksnih brojeva:

12

6 4.

3 1z

i

2. Nai jednainu ravni koja prolazi kroz taku 3,1,1A i kroz pravu0

: .2 3 0

za

x y z

3.

Ispitati funkciju i nacrtati graf:

2

4 2

5.

5 4

xy

x


2

1

ln, .

n

xdx n

GRUPA D

1.

Ako je1 3

,2 2

z i izraunati 100 2001 .z z

2. Na pravoj1 2 3

:1 5 3

x y za

nai taku koja je jednako udaljena od taaka 2,1,7A i

4,3,1 .B

3. Ispitati funkciju i nacrtati graf:

4

2

1.

4 5y


2.

2 sin

dx

GRUPA E

1.

Ako je1 3

,2 2

z i izraunati 102 1041 .z z

2.

Data je prava

1

2

1 0:

2 2 0

x y za

x y z

i prava

1 1: .

1 2 2

y zb

Ako se ravan 1 sijee sa

pravom bu takiA, a ravan 2 sijee pravu bu taki B, nai ravan koja sadri pravu ai sredite duiAB.

3.

Ispitati funkciju i nacrtati graf:2

1

1.xy xe


3

2

arccos.

1

xdx

x


23/37

Pismeni dio ispita iz Matematike 1, 27. 06. 2013.

Grupa A

1. Diskutovati sistem jednaina u zavisnosti od realnog parametra :

1

2 1

2 4 2

x y z

x y z

x y z

2. Vektori , ,a b c

su komplanarni i pri tome je 02, 3, 5, , , 60 .a b c a b b c

Nai intenzitet

vektora .u a b c

3. Ispitati i nacrtati graf funkcije (4 3 ).x xe e

4. Izraunati integral 2 2sin 2 cosI x x x dx .

Grupa B

1. Diskutovati sistem jednaina u zavisnosti od realnog parametra :

( 1)

(2 1) 2 1

1

x y z

y z

x y z

2. Zadani su vektori: a i j k

i 2b i j

. Nai vektor c

koji je komplanaran s vektorima a

i b

,

okomit na vektor a

i za koji vrijedi: 14c b

.

3. Ispitati i nacrtati funkciju 24 3 .xx e

4. Izraunati integral: 3

sin 2I x x dx .

Grupa C

1. Rijeiti sistem jednaina i diskutovati rjeenje zavisno od parametra :

3 1

1 1

2 3

x y z

x y z

x y z

.


24/37

2. Nai ugao izmeu vektora a

i ,b

ako je 7 5a b a b

i 7 2 4a b a b

.

3. Ispitati funkciju i nacrtati grafik:2

1.xe

y

4. Izraunati integral:

3

3

sin

cos 8

xI dx

.

Grupa D

1. Odredi x u izrazu: 6

1 1

log 1 12xx x

, ako je etvrti lan u razvoju tog binoma jednak broju 200.

2. Nai jednainu prave koja lei u ravni : 4 2 7 0x y z , prolazi kroz taku u kojoj ravan sijee pravu

2 4 3 0:

2 3 1 0

x y za

x y z

i normalna je na pravu a .

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik:3

ln 1.

xy


.3cos 4sin 4sin cos

dxI

x x x x

Grupa E

1. Odredi x u izrazu :

6

1

4

42 2

4

x

x

tako da trei lan u razvoju tog binoma bude jednak broju 240.

2. Date su prave8 4 6

:5 4

x y za

i : 2 7, 3 4, 3b x t y t z t .

Odrediti tako da se prave sijeku, pa zatim odrediti presjenu taku pravih a i b, te jednainu ravni u kojoj lee

te prave.

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik:

1.

ln 3 1y

x

4. Izraunati integral3 2 3 3( ) cosx x dx


GRUPA A


25/37

1. Dokazati matematikom indukcijom tvrdnju 12

22 22

1log log log 2, , 0 .k k

n

k

nx x x n n x

n

Napomena: 1 12 42 2 2 22

log log log log ... log log .k k n nn

k

x x x x x

2.

Nai jednainu projekcije prave4 1

:4 3 2

y za

na ravan : 3 8 0.x y z


2

2

6.

4

xy

x x


arccos .x dx GRUPA B

1. Dokazati matematikom indukcijom da tvrdnja vai za sve :n 3 1 5 .n n n

2. Date su prave1 2 3

:2 1 3

y za

i

3 2 9: .

2 1 3

x y zb

Nai jednainu ravni u odnosu

na koju su te prave meusobno simetrine.


3

3

4.

1

xy

x

4.

Izraunati integral

3

2 .

arctg xI dx

x

GRUPA C

1.

Dokazati matematikom indukcijom tvrdnju

1

12 3 1 1 1

1 ... 1 , .1

n nn n

xx x x x x n

x

2.

Nai taku A koja lei na pravoj : 3 0,2 0a x y y z , a od prave :b x y z je udaljena 6.


2

3 2 .

4 4

xy

x x

4.

Izraunati integral1

arcsin .dxx

GRUPA D

1.

Dokazati matematikom indukcijom tvrdnju 24 2 7 3 5 5n n za sve cijele brojeve 0,1,2...n

2. Izraunati udaljenost izmeu pravih1

:2 3

y za

x z

i : 1.b x y z


3

3 2 .

2 2

xy

x x

4.

Izraunati integral 23 .1

x

dxx


26/37

GRUPA E

1. Dokazati matematikom indukcijom tvrdnju

2

1 1 1 21 1 ... 1 .

4 9 2 11

nn

nn

2. Kroz taku 2, 1,3A postavljene su dvije ravni. Jedna od njih sadrix osu, a druga sadriy

osu. Odrediti ugao izmeu te dvije ravni.


4 2

4 2

3 2.

3 2

x xy

x


7 3

28

3 5.

4

x xdx

x


Grupa A

1. Nai realni i imaginarni dio proizvoda i kolinika korijena jednaine:2(1 ) (2 2 ) (3 ) 0i z i z i

Uputa: Za pronalaenje korijena jednaine koristiti formulu:2

1/2

4

2

b b acz

a

, gdje su

, ,a b c koeficijenti uz 2 1 0, ,z z respektivno.

2. Rijeiti sistem jednaina Gausovom metodom:

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

3 0

2 2 3

3 2 1

3 2 2 12

2 5

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x


27/37

3. Rijeiti integral: 2(2 5) 2x xdx

4. Ispitati i nacrtati graf funkcije: 54 xxy e

x

.

Grupa B

1. Nai realni i imaginarni dio proizvoda i kolinika korijena jednaine:2(2 ) (5 ) (2 2 ) 0i z i z i


1/2

4

2

b b acz

a

, gdje su



1 2 3 4 5

1 2 3 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

5 4 2

2 9 7 13 55 5 2 8 2

4 4 4 7

x x x x x

x x x xx x x x x

x x x x x

3. Rijeiti integral:3

2

6 10

4 8

x xdx

x x


2 1x

xe

.

Grupa C

1. Nai realni i imaginarni dio proizvoda i kolinika korijena jednaine:2(3 ) (4 ) (1 ) 0i z i z i


1/2

4

2

b b acz

a

, gdje su



1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

5 4 7 2

4 3 6 3

5 5 2 8 2

2 10 9 2 12 8

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

3. Rijeiti integral: 2(3 5) 12x x xdx


28/37

4. Ispitati i nacrtati graf funkcije:2 1

2 4

x

xx e

.

Grupa E

1. Nai za koje vrijednosti x u razvoju binoma1

12

2

mx

x

zbir treeg i petog lana

iznosi 135, ako je zbir binomnih koeficijenata tri posljednja lana 22.

2. Rijeiti matrinu jednainu: 1 1 1( ) ( )AB B X B ako je

3 4 5

2 3 1

3 5 1

A

i

1 2 2

2 1 2

2 2 1

B


6

3 2 1( 1)x dx

x x


2( ) xx x e .

Grupa F

1. Odrediti za koju je vrijednost od x etvrti lan razvoja binoma 13122

m

x

x

dvadeset

puta vei od eksponenta binoma (tj. od m ), ako je binomni koeficijent etvrtog lana pet

puta vei od binomnog koeficijenta drugog lana.

2. Provjeriti da li su matrice A i B regularne, a zatim rijeiti matrinu jednainu:

BXA BA B ako je

1 2 3

1 4 6

0 1 0

A

i

1 2 3

3 4 6

0 1 1

B

3. Rijeiti integral:5 4

2 2

2

( 4)

x xdx

x

4. Ispitati i nacrtati graf funkcije:22x x

y xe .


29/37


1.

Izraunati unutranje uglove, sve tri visine i sve tri teinice, te poluprenik opisane i upisane

krunice trougla iji su vrhovi 4,4,4 , 2,4,2 , 3,3,6 .A B C

2.

Izraunati limes2

1

lim ln .1

sinx

xx

x

3. Ispitati i nacrtati graf funkcije:

23ln .

2

xy


3 .I x x dx

Parcijalni ispit iz Matematike I, 28. 11. 2013.

GRUPA A

1. Rijeiti sistem jednaina i diskutovati rjeenje zavisno od parametra a:

3 2 21 5

5 4 2.

ax y z aa x ay z a

ax a y a z a

2.

Izraunati u skupu kompleksnih brojeva ako je

1522

18

1 33

1 3.

1

ii

iz

i

3. U trouglu ABCdati su vektori b CA

i .a CB

Taka M se nalazi na stranici ,AB tako da je CM

simetrala ugla .ACB Napisati vektor CM

u vidu linearne kombinacije vektora i .b a

GRUPA B

1. Rijeiti sistem jednaina i diskutovati rjeenje zavisno od parametra ai b:

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 4

2

3

4 2 2 .

x x x x

ax x x x

x x x b

2. Izraunati 3 u skupu kompleksnih brojeva ako je 1 3 1 cos sin .12 12

z i i i


30/37

3. Neka je Tteite trouglaABC. Dokazati da je: CATCBCTBABTA

Drugi parcijalni ispit, 23. 01. 2014.

1. Odrediti presjene take i ugao izmeu krivih2 2 2 29, 6 9.x y x y x

2. Ispitati funkciju i nacrtati joj graf:2 3

ln .2 3

y


3 2

3

2.

1

x xdx


I GRUPA

1. Odrediti broj nako se zna da peti lan razvoja binoma 3 1

n

x

ne zavisi odx.

2. Dokazati da se mimoilaze prave :2 3 1

x y za

i

2 1 2:

3 5 2

x y zb

i nai njihovu meusobnu

udaljenost.

3.

Ispitati funkciju i nacrtati joj graf: 2

2 42 3 .x

y e x x

4.


.1 x x x

dxIe e e

II GRUPA

1. Nai sve racionalne lanove u razvoju binoma 14

8 2 2 .

2. Nai ravan koja prolazi kroz pravu : 5 0, 4 0a x y z x z i sa ravni 4 8 1 0x y z zatvara

ugao od0

45 .

3.

Ispitati funkciju i nacrtati joj graf:

22 21 4 .xy e x

4.

Izraunati integral 43

11 .dx

x

III GRUPA

1. Nai lan u razvoju binoma

10

3 2 3

1 1

1

x x

x xx x

koji ne sadrix.


31/37

2. Nai jednainu prave koja sijee prave3 5

:2 3 1

y za

i

10 7:

5 4 1

y zb

i paralelna je pravoj

2 1 3: .

8 7 1

x y zc

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj graf:

2

2

2.

3

x xy


.sin cos

dxx x

IV GRUPA

1. U razvoju binoma

3

15 28

1

6

n

a a

a

nai lan koji ne sadri aako se zna da je zbir binomnih koeficijenata

prva tri lana jednak 79.

2. Nai taku na y osi koja je podjednako udaljena od ravni : 2 3 6 6 0x y z i

:8 9 72 73 0.x y z

3.

Ispitati funkciju i nacrtati joj graf:

2

2

ln 2ln.

x xy


.sin

dx


I GRUPA

1. Izraunati 24

1231 2 3 .

2

i

2.

Rijeiti matrinu jednainu 1 1

,T TA B X I A X

ako je

2 1 3 2 1 0

0 2 1 , 0 2 1 ,

0 0 0 0 0 2

A B

a I je jedinina matrica.

3.


2

4

4 3.

2 1

xy

4.

Izraunati integral

3

3

1 3.

2

x xI dx

x x

II GRUPA

1. Nai realni i imaginarni dio broja

222

1 3 1 3.

6 2

iz

i

2.

Rijeiti matrinu jednainu 4 2 ,ABX X C ako je

1 1 11 0 3

0 2 , , 0 .1 2 1

3 1 1

A B C


32/37


1

3 4 .xy x e

4. Izraunati integral3ln .I x xdx

III GRUPA

1. Nai realni i imaginarni dio broja

4

15

2 6.

3 7sin cos

10 10

iz

i

2. Rijeiti matrinu jednainu 1

1,X B A XB B A

ako je

4 1 0 0 1 1

2 6 3 , 2 2 2 .

7 8 22 1 1 1

A B


2

32

4 12.

1y

x

4.

Izraunati integral 2

2

ln 1.

x xI dx

x

IV GRUPA

1. Nai sve vrijednosti korjena

44 3 3 3 3 4

3 4

i

i


2. Rijeiti matrinu jednainu 1 1

1 1 1 1 1 12 2 2 ,XA B BA X I XA B ako je

1 2 10 10, .

2 2 12 13A B

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik ln 1 2 .2 1

y

4.

Izraunati integral

2

2 3.

8 6 9

dxI

x


I GRUPA

1. Rijeiti sistem jednaina i diskutovati rjeenja u zavisnosti od realnog parametra :

6 3 213 2 9

3 2 13.

x y z

x y z

x y z


33/37

2. Nai jednainu prave koja prolazi kroz taku 3, 1, 1M i sijee pravu3 2

:1 1 2

y za

pod uglom

od .3


2 4

22

9.

3

x xy

x


2

1 1

11I dx

x

pomou smjene

21 .1

xt

II GRUPA


8 4 29

4 3 13

4 2 1 16.

x y z

x y z

x y z

2. Nai jednainu ravni koja prolazi kroz pravu2 3

: ,1 2 1

y za

a sa pravom

2 3 0:

3 0

x y zb

x y z

gradi ugao2

arcsin .3

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik 2ln 5 7 .x xy e e


32

2 2

22

xI dx

xx

pomou smjene32 .

2

xt

x

III GRUPA


10 5 37

5 4 17

5 2 2 19.

x y z

x y z

x y z

2.

Neka je ravan koja sadri pravu 2 2 3:1 1 2

x y za

i taku 1,1, 2 .A Nai taku koja je

simetrina koordinatnom poetku u odnosu na ravan .


2.

x

xy

xe


2 2,

16 9

dxI

x

pomou smjene

2.

9

xt

x


34/37


I GRUPA

1. Dokazati matematikom indukcijom tvrdnju: 13 5 5 1 6 3 2 .n n n n n n

2.

Nai jednainu prave koja prolazi kroz koordinatni poetak i sijee prave2 2 1

:2 1 1

x y za

i2 1

: .1

x y zb

x y z


22ln 3ln.

xy

x

4.

Izraunati integral

3 5

2 4

cos cos.

sin sin

xI dx

x x

II GRUPA

1. Dokazati matematikom indukcijom tvrdnju: 2 321 2 1 2 1 .n n n

2.

Date su prave1 5

:1 1 1

x y za

i

2 2 3 0: .

3 5 2 1 0

x y zb

x y z

Dokazati da se ove prave sijeku, te nai njihovu zajedniku taku i jednainu ravni koja ih sadri.


3

2

24.

3 28

xy

(Uputa: Funkcija ima jednu prevojnu taku

ija je prva koordinata 0 1,18.x )

4.

Izraunati integral

2sin cos.

sin cos

xdxI

x

III GRUPA

1.

Dokazati matematikom indukcijom tvrdnju: 28 135 1 3 3 5 .n n n n n

2.

Date su ravni : 2 3 0x y z i : 3 1 0,x y prava2 1 1

:1 1 1

y zp

i taka

2,2, 3 .P Ako se ravni i sijeku po pravoj ,q a je ravan koja sadri pravupi taku P, nai

projekciju prave qna ravan .

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik:2

5 2

.

x

xy xe

4. Izraunati integral:

2

4

sin.

sin cos

xI dx

x x


35/37


I GRUPA

1.

Rijeiti jednainu 4 22 4 0z z u skupu kompleksnih brojeva.

2. Dati su vektori: 3 2 , 2 ,a m n p b m n p

pri emu je 2, 3,m n

2,p

, , , , .3 2

m n n p m p

Izraunati a

i .b


24

ln .4

xy

x

4. Izraunati integral: .1

x

x

xeI dx

e

II GRUPA

1. Rijeiti jednainu

510

6

10

1 3

1 3

i iz

i


2. Date su take: 2, 1,1 , 3, 2 ,1 , 5,1, , 4, 2, 2 .A B C D

a) Odrediti sve realne brojeve tako da take , , ,A B C D nisu vrhovi tetraedra u prostoru.

b) Ako je 1, izraunati visinu tetraedra ABCD povuenu iz vrha C.

3.

Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik:

22

3

2.

1

xy

x

Odrediti apscise taaka u kojima grafik date funkcije

sijee svoju asimptotu.

4.

Izraunati integral:

2 2ln

.1 1

x xI dx

x x

III GRUPA

1. Rijeiti jednainu

114 38

2 3 2 1 3

iz

i i


2. Date su take: 1, 3, 1 , 3, 3,1 , 2,1, , 4, 4, 1 .A B C D Odrediti sve realne brojeve tako da

zapremina tetraedra ABCD bude5

.3

V Zatim, uzimajui najmanju dobijenu vrijednost za ,

izraunati uglove ABC i .BAC


1

2 1.xy x e

4.

Izraunati integral22 arctg .I x x dx


36/37


I GRUPA

1. Odrediti lan razvoja binoma

21

33

2, 0

2

x yx y

y x

koji sadri stepene od x i y sa istim

izloiocem.

2.

Rijeiti sistem jednaina i diskutovati rjeenja u zavisnosti od realnog parametra a:

1

3 3

3 2 4

2 2 .

x y z

ax y z

x az

y z a


4 2

2

2 6 2.

3

x xy

x

4.

Izraunati integral

5 3 2

5 3

1.

2

x x xI dx

x x

II GRUPA

1.

Izraunatixako se zna da je esti lan u razvoju binoma 1

2

71

log 3 11 59 7 2

x

x

jednak 84.

2. Rijeiti sistem jednaina i diskutovati rjeenja u zavisnosti od realnog parametra a:

1

2 5 5

3 2 3 7

1 5 3 3.

x y z

a x y z

a x a y z

a x y z a


2

.

1x

xy

e x

4.

Izraunati integral3

.2

dxI

x x

III GRUPA

1.

Izraunatixako se zna da je esti lan u razvoju binoma

7

log 10 3 5 2 log32 2

xx

jednak 21.

2.

Rijeiti sistem jednaina i diskutovati rjeenja u zavisnosti od realnog parametra a:


37/37

1

2 5 5

4 2 1 5

4 5 3.

y z

x a y z

x y a z

x y z a

3. Ispitati funkciju i nacrtati joj grafik: 4 2ln 3 2 .y x x


2

4 3 2

7 26 9.

4 4 9

x xI dx

x x

Documents

Ispiti Matematika I